Cm-faktorer för böjd och tryckt stång: Lösning av nya elementarfall

i

Förord

Denna rapport utgör en vidare fördjupning inom ett av de kursmoment som behandlar stålbalkars kapacitet vid böjknäckning i kursen ”AF2130 – Dimensionering av

stålkonstruktioner enligt Eurocode 3”.

I samband med ovan nämnda kurs har jag fått ovärderlig hjälp av kursens examinator och tillika kursansvarige, universitetslektor Bert Norlin, som ägnat mycket tid utanför lektionerna till att ge mig fördjupad kunskap inom områdena stålkonstruktion och Eurocode 3.

Jag vill också rikta ett särskilt tack till Maija Engberg, studievägledare för Samhällsbyggnadsprogrammet på KTH, som gjorde denna specialinriktning på kandidatarbetet möjlig.

Stockholm, maj 2018 Jonas Gerland

ii

iii

Sammanfattning

I den mest grundläggande delen av Eurocode 3, SS-EN 1993-1-1, finns olika sätt att

kontrollera bärförmågan för en balkpelare som utsätts för böjknäckning, d.v.s. en kombination av transversell och axiell last. Genom att använda formler där det dimensionerande värdet på andra ordningens moment ingår kan man kontrollera om balkpelaren håller för den aktuella belastningen.

Beräkningar av andra ordningens moment ger differentialekvationer som kan vara besvärliga och tidskrävande att lösa, men beräkningarna kan förenklas om man känner till den

momentfaktor, kallad C_m-faktor, som tar hänsyn till momentfördelningens form i det aktuella lastfallet.

Denna rapport visar hur man kan härleda både exakta och approximativa värden på C_m- faktorer genom att studera två lastfall som skulle kunna vara av intresse för praktiskt bruk då konsolbalkar utsätts för böjknäckning.

Resultaten visar att den approximativa metoden, som innebär avsevärt förenklade beräkningar, ger fullgoda resultat för de två fall som behandlas i rapporten.

C_m-faktorerna presenteras som grafer för att kunna läsas av då normalkraften som angriper i konsolbalkens fria ände varierar. I rapporten ges även bakgrunden till begreppet

momentfaktor genom förklaring och beräkning av förstoringsfaktorn, ofta kallad f.

En sammanfattning av de i rapporten härledda C_m-faktorerna redovisas i Tabell 1.

Tabell 1: C_m- faktorer för två olika lastfall.

Fall Upplagsvillkor

& laster

Momentfaktorer (C_m)

”Exakt¹”

x (1 − N N⁄ cr)

”Dimensio- neringsvärde²”

”Approx³”

1 ^{x =tan(kL)}_kL ^{(1 + 1}

1− ^π2 k2L2

) 1 − 0,446 ^N

N_cr 1 − 0,428 N N_cr

2 ^{x =}_βL^{1 [}sin[k L (β−1)]+sin(k L)

k cos(k L) ]

Beror av

värdet på β 1 + [−^{π2β(β−3)}

24 − 1] ^N

N_cr

1 Motsvarar den exakta lösningen till den styrande differentialekvationen.

2 Linjär approximation av den exakta Cm- faktorn.

3 Cm-faktor helt baserad på en approximativ beräkning av andra ordningens moment via traditionell förstoringsfaktor.

iv

v

Abstract

In the most basic part of Eurocode 3, SS-EN 1993-1-1, there are various ways to verify the load carrying capacity of a beam column exposed to flexural column buckling, i.e. a combination of transverse and axial loads, by using different formulas.

These formulas include the value of the second order moment that is provided by differential equations that can be tedious and difficult to solve. By using a correction factor C_m that takes the shape of the moment distribution for the current load case into account, the calculations can be considerably simplified.

This report shows how to derive both exact and approximate C_m-factors by studying two load cases that might be of practical use when a beam column is subjected to flexural column buckling.

The results show that the approximate method, which involves considerably simplified calculations, gives good results for the two load cases discussed in the report.

The C_m-factors are presented graphically for varying values of the normal force acting at the free end of the beam column. The report also gives the background to the concept of C_m- factors by explaining and deriving the magnification factor, often called f.

A summary of the C_m-factors derived in the report is shown in Table 2.

Table 2: C_m-factors for two different load cases.

Case Boundary conditions and load cases

Moment factors (C_m)

”Exact⁴”

x (1 − N N⁄ _cr)

”Dimesion value⁵”

”Approx⁶”

1 ^{x =tan(kL)}_kL ^{(1 + 1}

1−^π2 k2L2

) 1 − 0,446 ^N

N_cr 1 − 0,428 N N_cr

2 ^{x =}_βL^{1 [}sin[k L (β−1)]+sin(k L)

k cos(k L) ]

Varies with β

1 + [−^{π2β(β−3)}

24 − 1] ^N

N_cr

4Corresponds to the exact solution of the governing differential equation.

5 Linear approximation of the exact Cm-factor.

6 Cm-factor entirely based on an approximate calculation of second order moment via traditional magnification factor.

vi

vii

Innehållsförteckning

Förord ... i

Sammanfattning ... iii

Abstract ... v

Kapitel 1 - Inledning ... 1

1.1 Bakgrund ... 1

1.2 Syfte ... 2

1.3 Beskrivning av rapporten ... 2

1.4 Avgränsningar ... 2

1.5 Rapportens struktur och innehåll ... 2

Kapitel 2 - Analys enligt Eurocode 3 ... 3

2.1 Olika dimensioneringsmetoder där Cm-faktorer kan användas i Eurocode 3 ... 3

2.1.1 Snittkontroll enligt SS-EN 1993-1-1 6.2 ... 3

2.1.2 Interaktionssamband enligt SS-EN 1993-1-1 6.3.3 ... 5

Kapitel 3 - Andra ordningens teori och momentfaktorer ... 7

3.1 Teoretiska förutsättningar ... 7

3.2 Grundläggande materialsamband ... 7

3.3 Andra ordningens teori ... 8

3.4 Bakgrund till begreppet förstoringsfaktor... 8

3.5 Ekvivalent momentfaktor ... 11

Kapitel 4 - Fallstudier ... 13

4.1 Konsol med sinusformad last och normalkraft ... 13

4.2 Konsolbalk med punktlast i varierande läge samt normalkraft ... 17

Kapitel 5 - Resultat och slutsats ... 23

5.1 Resultat ... 23

5.2 Slutsats ... 23

Källförteckning ... 25

Bilaga - Beräkningsexempel ... 27

1

Kapitel 1 - Inledning

1.1 Bakgrund

Böjknäckning innebär att en balk eller pelare samtidigt belastas av tryckande normalkraft och böjande moment, och då den fungerar som både balk och pelare samtidigt benämns den alltså som ”balkpelare”.

Det böjande momentet orsakas av yttre transversallast och/eller böjande ändmoment (t.ex.

orsakade av excentriskt angripande normalkraft).

Böjknäckning är ett plant problem vilket innebär att balkpelaren endast böjer ut i samma plan som transversallasten och/eller ändmomenten verkar.

Om normalkrafterna är stora kan de få stor inverkan på balkböjningen, vilket gör att man måste ta hänsyn till dem vid dimensionering.

Då man vill veta exempelvis momentfördelningen för en balkpelare som utsätts för samtidig transversell last och stor normalkraft måste därför en jämviktsekvation ställas upp i

balkpelarens deformerade läge, vilket ger en differentialekvation av andra ordningen som är besvärligare och mer tidskrävande att lösa än om inte hänsyn hade tagits till den verkande normalkraften. Detta kallas för beräkningar enligt andra ordningens teori.

I de formler som anges i den första delen av Eurocode 3, SS-EN 1993-1-1, behöver man känna till värdet på det dimensionerande moment som verkar i något snitt av balkpelaren för att kontrollera bärförmågan vid den aktuella belastningen.

Vid böjknäckning beräknas detta dimensionerande moment utifrån andra ordningens teori.

För att slippa att använda andra ordningens teori kan man använda momentfaktorer och med hjälp av ex. tabellfall utifrån första ordningens teori få fram både exakta och approximativa värden på andra ordningens moment för att kontrollera balkpelarens bärförmåga. Dessa momentfaktorer kallas för C_m- faktorer och tar hänsyn till momentfördelningens form för det aktuella belastningsfallet.

I denna rapport görs den typen av beräkningar som i Sarvell (2012), men för två elementarfall som inte behandlas i rapporten eller i Appendix A i SS-EN 1993-1-1. För en djupare

beskrivning av de begränsningar som formelpaketet för bärförmågan vid böjknäckning i Eurocode 3 har hänvisas till Sarvell (2012).

2

1.2 Syfte

Syftet med denna rapport är härleda C_m-faktorer för två elementarfall då balkpelare utsätts för böjknäckning.

1.3 Beskrivning av rapporten

Denna rapport beskriver teorin bakom momentfaktorer och visar genom två beräkningsexempel hur C_m-faktorer kan tas fram för balkpelare.

1.4 Avgränsningar

C_m-faktorerna begränsas till att användas endast i det plana böjknäckningsfallet.

1.5 Rapportens struktur och innehåll

I kapitel 2 beskrivs hur bärförmågan vid böjknäckning kontrolleras i SS-EN 1993-1-1.

I kapitel 3 ges bakgrunden till andra ordningens teori och härledning av förstoringsfaktorn, samt hur denna är relaterad till C_m-faktorn.

I kapitel 4 härleds exakta och approximativa C_m-faktorer för två fall då balkpelare utsätts för böjknäckning.

I kapitel 5 redovisas resultat och rapportens slutsats.

I bilagan ges ett beräkningsexempel där det visas hur man kan tillämpa C_m-faktorer i ett praktiskt dimensioneringsfall med andra ordningens beräkning och snittkontroll enligt SS-EN 1993-1-1 som redovisas i kapitel 2.

3

Kapitel 2 - Analys enligt Eurocode 3

2.1 Olika dimensioneringsmetoder där C

-faktorer kan användas i Eurocode 3

Då man vill kontrollera bärförmågan hos en balkpelare som utsätts för böjknäckning utifrån kriterierna i Eurocode 3, SS-EN 1993-1-1, kan man använda snittkontroll eller

interaktionskontroll.

Snittkontroll måste genomföras om det inte är uppenbart att snittkontroll är gynnsammare än stabilitetskontroll med interaktionssamband.

Notera att de flesta ekvationerna i detta kapitel har getts samma nummer som i SS-EN 1993- 1-1. Redogörelsen av kapitlets innehåll är hämtad ur Norlin (2003).

2.1.1 Snittkontroll enligt SS-EN 1993-1-1 avsnitt 6.2

Balktvärsnitten förutsätts tillhöra tvärsnittsklass (TK) 1, 2 eller 3. Balkpelarens

initialkrokighet, egenspänningar samt inverkan av plasticering för TK 1 och 2 måste beaktas genom att använda tabell 5.1 i SS-EN 1993-1-1.

Vid beräkningar enligt andra ordningens teori måste längs en given struktur alla balktvärsnitt uppfylla snittkontrollen. Andra ordningens moment kan enkelt beräknas exakt eller

approximativt om man känner till C_m-faktorn för det aktuella böjknäckningsfallet.

Det exakta eller approximativa värdet på andra ordningens moment är det dimensionerande värde för momentet som ska användas i brottkriterierna (6.1), (6.2) och (6.31) då balkpelaren utsätts för böjknäckning.

Då man utför snittkontroll utifrån en elastisk analys med ett balktvärsnitt tillhörande tvärsnittsklass 3 måste den mest utsatta delen på balkpelaren uppfylla brottkriteriet (6.1)

( ^σx,Ed

fy⁄γM0)

2

+ ( ^σz,Ed

fy⁄γM0)

2

− ( ^σx,Ed

fy⁄γM0) ( ^σz,Ed

fy⁄γM0) + 3 ( ^τEd

fy⁄γM0)

2

≤ 1 (6.1) där σ_x,Ed är det dimensionerande värdet av den lokala longitudinella

spänningen vid bedömningspunkten.

σ_z,Ed är det dimensionerande värdet av den lokala tvärspänningen vid bedömningspunkten.

τ_Ed är dimensioneringsvärdet av den lokala skjuvspänningen vid bedömningspunkten.

Genom att summera kvoten mellan dimensioneringsvärde och kapacitet för varje spänningsresultant fås

NEd

N_Rd+^My,Ed

M_y,Rd+^Mz,Ed

M_z,Rd ≤ 1 (6.2)

4

där N_Ed, M_y,Ed och M_z,Ed är dimensioneringsvärdena för normalkraft och böjande moment kring y- respektive z-axeln, och där N_Rd, M_y,Rd och M_z,Rd är normalkrafts- respektive

momentkapaciteten för motsvarande. (6.1) och (6.2) – speciellt (6.2) – får användas för att på säkra sidan kontrollera tvärsnitt i klass 1 och 2.

För tvärsnitt tillhörande klass 1 eller 2 måste följande villkor vara uppfyllt

M_Ed ≤ M_N,Rd (6.31)

Vilket betyder att det dimensionerande momentet måste vara mindre än eller lika stort som tvärsnittets momentkapacitet då detta samtidigt påverkas av en normalkraft.

För dubbelsymmetriska I-och H-tvärsnitt tillhörande klass 1 eller 2 och med böjning kring y- axeln kan momentkapaciteten kontrolleras genom

M_N,y,Rd = M_pl,y,Rd ¹⁻ⁿ

1−0,5a men M_N,y,Rd< M_pl,y,Rd (6.36) där M_N,y,Rd är momentkapaciteten vid y-axelböjning.

M_pl,y,Rd är tvärsnittets plastiska momentkapacitet vid y-axelböjning.

n = ^NEd

Npl,Rd är kvoten mellan yttre normalkraft och plastisk normalkraftskapacitet.

a =^{A−2 b tf}

A men a ≤ 0,5 kvoten mellan livarea och total tvärsnittsarea.

För dubbelsymmetriska I-och H-tvärsnitt tillhörande klass 1 eller 2 och med böjning kring z- axeln kan momentkapaciteten kontrolleras genom

M_N,z,Rd = M_pl,z,Rd om n ≤ a (6.37)

M_N,z,Rd = M_pl,z,Rd[1 − (^n−a

1−a)²] om n > a (6.38) där M_N,z,Rd är momentkapaciteten vid z-axelböjning.

M_pl,z,Rd är tvärsnittets plastiska momentkapacitet vid z-axelböjning.

5

För rektangulära ihåliga tvärsnitt med konstant tjocklek samt för sammansvetsade tvärsnitt med lika flänsar och liv kan momentkapaciteten för y- samt z-axelböjning kontrolleras genom

M_N,y,Rd = M_pl,y,Rd ¹⁻ⁿ

1−0,5aw men M_N,y,Rd< M_pl,y,Rd (6.39) M_N,z,Rd = M_pl,z,Rd ¹⁻ⁿ

1−0,5af men M_N,z,Rd < M_pl,z,Rd (6.40) där a_w =^{(A−2 b t)}

A men a_w ≤ 0,5 för ihåliga tvärsnitt.

a_w = ^{(A−2 b tf)}

A men a_w ≤ 0,5 för sammansvetsade lådtvärsnitt.

a_f =^{(A−2 h t)}

A men a_f≤ 0,5 för ihåliga tvärsnitt.

a_f =^{(A−2 b tw)}

A men a_f≤ 0,5 för sammansvetsade lådtvärsnitt.

2.1.2 Interaktionssamband enligt SS-EN 1993-1-1 6.3.3 Begränsningar

För att tillämpa de interaktionssamband för konstruktionselement som är föremål för böjknäckning i SS-EN 1993-1-1 avsnitt 6.6.3 måste hänsyn tas till följande begränsningar:

• Endast dubbelsymmetriska tvärsnitt kan hanteras,

• Tvärsnittsformen får inte ändras vid belastning av t.ex. koncentrerade laster, men tvärsnittsklass 4 är okej.

• Interaktionsformlerna är framtagna och kalibrerade för en vid båda ändar fritt upplagd balk.

Interaktionskontroll

Interaktionssambanden i SS-EN 1993-1-1 avsnitt 6.6.3 används för konstruktionselement som utsätts för böjknäckning med syftet att andra ordningens teori ej behöver tillämpas.

Interaktionssambanden kan användas på två sätt, antingen genom att beräkna de ingående parametrarna enligt Appendix A eller Appendix B. I den nationella bilagan till SS-EN 1993- 1-1 anges att Appendix A bör användas.

Enligt SS-EN 1993-1-1 avsnitt 6.3.3 måste följande villkor vara uppfyllda för en balkpelare som utsätts för böjknäckning:

N_Ed χyNRk

γM1

+ k_yy^{My,Ed+∆My,Ed}

χLTMy,Rk γM1

+ k_yz^Mz,Ed_Mz,Rk^+∆Mz,Ed

γM1

≤ 1 (6.61)

N_Ed χzNRk

γM1

+ k_zy^{My,Ed+∆My,Ed}

χLTMy,Rk γM1

+ k_zz ^Mz,Ed_Mz,Rk^+∆Mz,Ed

γM1

≤ 1 (6.62)

6

där N_Ed, M_y,Ed, M_z,Ed är maximala dimensioneringsvärdet för yttre normalkraft och böjmoment kring y-respektive z-axeln längs med hela balkpelaren.

∆M_y,Ed, ∆M_z,Ed är tillskottsmoment kring y-respektive z-axeln som uppkommer p.g.a. att neutrala lagrets läge kan ändras något vid areareducering för profiler i tvärsnittsklass 4.

N_Rk, M_y,Rk, M_z,Rk är normalkraftskapaciteten samt momentkapaciteten kring y- respektive z- axeln. Dessa värden är beroende av tvärsnittsklass.

χ_y, χ_z är reduktionsfaktorer för knäckning av centriskt tryckt stång.

χ_LT är en reduktionsfaktor för inverkan av vippning.

k_yy, k_yz, k_zy, k_zz är interaktionsfaktorer enligt tabellerna A.1 och A.2 i Appendix A i SS-EN 1993-1-1.

Då böjknäckning är ett plant problem kan endast böjning ske kring antingen y- eller z-axeln vilket förenklar (6.61) till

N_Ed χyNRk

γM1

+ k_yy^{My,Ed+∆My,Ed}

χLTMy,Rk γM1

≤ 1 (2.1)

och (6.62) till

NEd χ_z^NRk

γM1

+ k_zz ^Mz,Ed_Mz,Rk^+∆Mz,Ed

γM1

≤ 1 (2.2)

där k_yy= ^Cmy

(1−χyNEd Ncr,y)Cyy

och k_zz = ^Cmz

(1−χzNEd Ncr,z)Czz

för tvärsnittsklass 1 och 2

samt k_yy= ^Cmy

(1−χyNEd

Ncr,y) och k_zz = ^Cmz

(1−χzNEd

Ncr,z) för tvärsnittsklass 3 och 4

C_yy och C_zz i formlerna för k_yy och k_zz i fallen med tvärsnittsklass 1 eller 2 ovan är en korrektionsfaktor som beaktar inverkan av den plastiska responsen.

N_cr,y är balkpelarens kritiska knäckningslast med avseende på knäckning i den styva riktningen.

C_my är den C_m-faktor som beaktar momentfördelningens form enligt tabellerna A.1 och A.2 i SS-EN 1993-1-1 Appendix A och som härleds för två andra lastfall i denna rapport.

7

Kapitel 3 - Andra ordningens teori och momentfaktorer

3.1 Teoretiska förutsättningar

Förutsättningar för matematisk behandling av elastisk instabilitet som de beskrivs i Höglund (2006):

• Linjärt elastiskt material, d.v.s. töjning och spänning förutsätts vara linjärt relaterade oavsett vilken spänningsnivå som gäller.

• Små töjningar och därmed små böjdeformationer.

• Vid bestämning av kritiska laster anses konstruktionselementen som imperfektionsfria, d.v.s.

ingen initialkrokighet och inga egenspänningar anses förekomma.

3.2 Grundläggande materialsamband

Den grundläggande teorin i detta kapitel är hämtad ur Heyden m.fl. (2011).

Vid ren böjbelastning utgörs materialsambandet av elastiska linjens differentialekvation som beskriver relationen mellan deformation, böjmomentet och böjstyvheten:

d²w

dx² = −^M

EI (3.1) som kan skrivas som

M = −EI^d2w

dx² (3.2) Om elastiska linjens differentialekvation löses för en ledat infäst pelare som belastas med en tryckande normalkraft N i båda ändar fås den kritiska knäckningslasten N_cr =^π2EI

L² . Den allmänna lösningen kan skrivas som

N_cr =^π2EI

Lcr2 (3.3) där L_cr är knäckningslängden, en fiktiv längd som används för att knäckningslasten skall kunna uttryckas med samma ekvation oberoende av belastningens form, stångens geometri samt upplagsförhållandena.

För pelare med olika upplagsvillkor är de vanligaste de fyra fall som benämns som Eulers knäckningsfall, då L_cr = 2L för en i ena änden fast inspänd pelare, L_cr= 1L för en ledat infäst pelare, L_cr = 0,7L för en i ena änden fast inspänd och i den andra änden ledat infäst pelare och L_cr= 0,5L för en i båda ändar fast inspänd pelare.

8

3.3 Andra ordningens teori

För balkpelare, alltså en balk som utsätts för både transversell och axiell last, måste jämvikten ställas upp i det deformerade läget då normalkrafterna är stora. I momentjämvikten ingår då en okänd utböjning w(x) som insatt i elastiska linjens differentialekvation ger en

differentialekvation av andra ordningen.

Beräkningar enligt andra ordningens teori visar att en stor normalkraft ger större utböjningar och moment i en balkpelare än vad en beräkning enligt första ordningen gör. Ju större normalkraft som balkpelaren utsätts för, desto mindre transversallast klarar den av.

Då normalkraften närmar sig värdet av den kritiska knäckningslasten kommer balkpelaren att kollapsa utan att klara någon transversell belastning alls.

3.4 Bakgrund till begreppet förstoringsfaktor

Om andra ordningens moment skall kunna beräknas måste det finnas en initialkrokighet, som antingen finns där från början eller orsakas av en transversallast eller ändmoment.

Nedan följer en beräkning av utböjningen för en ledat infäst pelare som utsätts för en normalkraft och som är krökt redan då den är obelastad. Pelaren antas ha en initialutböjning med formen av en halv sinusvåg som visas i Figur 3.1.

a(x) = a₀sin (^πx

L) (3.4)

Figur 3.1: Pelare med sinusformad initialutböjning belastad med normalkraft i ena änden.

9

En momentjämvikt enligt Figur 3.2 ställs upp i pelarens deformerade läge då normalkraften verkar.

M(x) − N(a(x) + w) = 0, där w är tillskottsutböjningen som ges av normalkraften N.

Figur 3.2: Momentjämvikt i snitt för normalkraftsbelastad pelare med initialutböjning.

Detta ger momentekvationen

M(x) = N(a(x) + w) (3.5) som insatt (3.1) ger

d²w

dx² = −^N

EIa₀sin (^πx

L) −^Nw

EI (3.6) Genom att definiera k = √^N

EI blir k² = ^N

EI och (3.6) kan skrivas om som

d²w

dx² + k²w = −a₀ sin (^πx

L) (3.7) Den allmänna lösningen till (3.7) blir

w(x) = A cos(kx) + B sin(kx) +_π2^k2

L2−k²a₀sin (^πx

L) (3.8) Randvillkoren w(0) = 0 och w(L) = 0 för (3.8) ger A = B = 0

Om k² skrivs om genom att utnyttja (3.3) med L_cr= 1L för en ledat infäst pelare blir k² = ^Nπ2

NcrL² och tillskottsutböjningen orsakad av normalkraften N kan skrivas som:

w(x) = ^{N N⁄ cr}

1−N N⁄ cra₀sin (^πx

L) (3.9)

10

I mitten av pelaren blir denna tillskottsutböjning, när x =^L

2 sätts in i (3.9) w (^L

2) = ^{N N⁄ cr}

1−N N⁄ cra₀ (3.10) Genom att i (3.4) sätta x =^L

2 fås pelarens initialutböjning i mitten a (^L

2) = a₀ (3.11) Den maximala utböjningen, som alltså inträffar i pelarens mitt och som fås genom addition av (3.10) och (3.11), blir enligt andra ordningens teori

w₂ = w (^L

2) + a (^L

2) = ^{N N⁄ cr}

1−N N⁄ cra₀+ a₀ = ^a0

1−N N⁄ cr (3.12) Initialutböjningen vid pelarens mitt, ^L

2 , som utan normalkraftspåverkan var a₀ har nu multiplicerats med faktorn

f = ¹

1−N N⁄ _cr (3.13) Faktorn (3.13) brukar kallas för en förstoringsfaktor då uttryckets nämnare aldrig kan bli större än 1 och förstorar alltså täljarens värde. Om normalkraften N närmar sig värdet av den kritiska knäckningslasten N_cr kommer uttrycket att bli oändligt stort.

Om man ställer upp momentjämvikten och bortser från den tillskottsutböjning w som ges av normalkraften N hade momentet blivit M = Na₀

Om (3.10) och (3.11) sätts in i (3.5) fås värdet på andra ordningens moment M₂ = N ^a0

1−N N⁄ _cr (3.14) Även här har momentet M = Na₀ multiplicerats med faktorn f = ¹

1−N N⁄ cr.

För att erhålla en mycket bra approximation av andra ordningens maximala utböjning kan alltså första ordningens utböjning multipliceras med förstoringsfaktorn f = ¹

1−N N⁄ cr. Detta förutsätter dock att första ordningens utböjning har en form som liknar formen hos aktuell knäckningsmod. I varianten med enbart sinusformig initialkrokighet har både knäckningsmoden och initialkrokigheten exakt samma form och då ger förstoringsfaktorn exakt lösning. Om formerna avviker lite blir approximationen mycket bra, om formerna är helt olika blir approximationen också helt fel.

11

Då första ordningens moment är formad som eller liknar formen av den kurva som knäckningsmoden motsvarar kan även första ordningens moment multipliceras med

förstoringsfaktorn f för att få en approximation av andra ordningens moment. I de flesta fall är approximationen av andra ordningens utböjning betydligt bättre än approximationen av andra ordningens moment.

3.5 Ekvivalent momentfaktor

Man kan alltså uppnå ett bra värde på andra ordningens utböjning och moment, dock med bättre precision på utböjningen, genom att multiplicera första ordningens utböjning och moment med förstoringsfaktorn f under antagande att de båda i formen liknar den sinuskurva som knäckningsmoden motsvarar.

w₂ = w₁ ¹

1−N N⁄ cr (3.15) M₂ = M₁ ¹

1−N N⁄ _cr (3.16) Om så inte är fallet måste ettan i förstoringsfaktorns täljare ersättas med en korrektionsfaktor C_m som kan ge det exakta eller approximativa värdet på andra ordningens moment, M₂. Ekvation (3.16) kan då skrivas som

M₂ = M₁ ^Cm

1−N N⁄ cr (3.17) och om man ur denna ekvation löser ut korrektionsfaktorn C_m, som härefter benämns som momentfaktorn eller C_m-faktorn, samt skriver första och andra ordningens moment som funktioner av x-koordinaten längs balkpelaren kan momentfaktorn anges som en funktion av x och kvoten N N⁄ _cr:

C_m(x, ^N

Ncr) =^M2(x)

M1(x)(1 − ^N

Ncr) (3.18) Denna momentfaktor kommer att ha olika värden för varje värde på x-koordinaten längs balkpelaren.

För en balkpelare som belastas med transversallaster eller transversallaster i kombination med koncentrerade moment kan ett approximativt värde på andra ordningens moment beräknas enligt

M_2,approx(x) = M₁(x) + N[w₁(x) − w_m(x)]f (3.19)

12

Jämför med ekvation (3.14), där i ekvation (3.19) första ordningens moment M₁(x) adderats till följd av de transversallaster eller ändmoment som också kan påverka pelaren.

Faktorn w_m är en korrektion som gör att skillnaden w₁(x) − w_m(x) får en form som så nära som möjligt liknar den på första ordningens moment. Denna faktor används inte i några av de beräkningar som görs i denna rapport, men för en mer ingående förklaring hänvisas till Sarvell (2012).

Om andra ordningens moment, M₂ i ekvation (3.18), syftar till det exakta värdet på M₂ som fås genom att lösa den styrande differentialekvationen (3.7) (dock med högerledet utbytt mot första ordningens moment M₁(x)), så betecknas också C_m som exakt.

C_m,exakt(x, ^N

N_cr) =^M2,exakt(x)

M₁(x) (1 − ^N

N_cr) (3.20) Om M₂(x) löses ur (3.18) och sätts lika med (3.19) kan den approximativa C_m- faktorn skrivas som

C_m,approx(x, ^N

Ncr) = 1 + [^{Ncr(w1(x)−wm(x))}

M1(x) − 1] ^N

Ncr (3.21) Denna formel återfinns som fall 2 i SS-EN 1993-1-1 Appendix A tabell A.2.

I denna rapport kommer faktorn w_m alltid vara lika med noll.

Det bör påpekas att det finns ett alternativt sätt att uttrycka (3.17) i litteratur med koppling till Eurocode 3, där C_m = 1 + δ ^N

Ncr , och där faktorn δ kallas för ”Dischinger faktorn”, se Lindner m.fl. (2017). Ekvation (3.17) skrivs då som

M₂ = M₁^1+δ

N Ncr 1−^N

Ncr

(3.22)

13

Kapitel 4 - Fallstudier

Nedan följer två härledningar av C_m-faktorer för fast inspända balkpelare som utsätts för både transversell och axiell last.

För båda fallen gäller att maximalt första ordningens moment M₁, maximalt andra ordningens moment M₂, och maximal första ordningens utböjning w₁ inträffar i den fast inspända änden, dvs där x = L . Utböjningen sker i endast det plan som lasterna verkar.

C_m-faktorerna kommer att redovisas med grafer för olika värden på kvoten N N⁄ _cr i intervallet 0 ≤ N N⁄ _cr≤ 1. En approximation med ett förstagradspolynom kommer även att göras till kurvan för C_m,exakt.

4.1 Konsol med sinusformad last och normalkraft

Figur 4.1: Konsol med sinusformad last och normalkraft.

Momentjämvikt enligt andra ordningens teori ger enligt Figur 4.1

M₂(x) = N w(x) + M₁(x) (4.1) där första ordningens moment är

M₁(x) =^q0Lx

π −^q0L2

π² sin (^πx

L) (4.2) För beräkning av (3.21) behövs även värdet på första ordningens böjdeformation

w₁(x) = ¹

EI[−^Lq0(π

3x³+6L³sin(^πx_L)+6πL²x−3π³L²x)

6π⁴ ] (4.3)

14

Uttrycket (4.2) insatt i (4.1) ger M₂(x) = N w(x) +^q0Lx

π −^q0L2

π² sin (^πx

L) (4.4) och (4.4) insatt i elastiska linjens differentialekvation, (3.1), ger krökningen enligt

d²w

dx² = −^M2(x)

EI = −¹

EI(N w(x) +^q0Lx

π −^q0L2

π² sin (^πx

L)) (4.5) Detta är en linjär differentialekvation av andra ordningen havande konstanta koefficienter.

Genom att definiera k = √^N

EI blir k² = ^N

EI, och andra ordningens böjdeformation - lösningen till (4.5) - kan skrivas som

w(x) = A cos(kx) + B sin(kx) + ^q0L2

Nπ²(1− ^π2

k2L2)sin (^πx

L) −^q0Lx

Nπ (4.6) Randvillkoret w(0) = 0 → A = 0

Andra ordningens vinkeländring blir w^′(x) = B k cos(kx) + ^q0L

Nπ(1− ^π2

k2L2)cos (^πx

L) −^q0L

Nπ (4.7)

Randvillkoret w^′(L) = 0 → B = ^q0L

N π k cos(kL)(1 + ¹

1− ^π2 k2L2

)

Andra ordningens nedböjning kan nu skrivas som

w(x) = ^q0L

N π k cos(kL)(1 + ¹

1− ^π2 k2L2

) sin(kx) + ^q0L2

Nπ²(1− ^π2

k2L2)sin (^πx

L) −^q0Lx

Nπ (4.8) Andra ordningens moment M₂ erhålles genom att derivera utböjningen två gånger och

multiplicera med −EI.

M₂(x) = ^q0L

π k cos(kL)(1 + ¹

1−^π2 k2L2

) sin(kx) + ^q0

k²(1− ^π2

k2L2)sin (^πx

L) (4.9) Genom insättning av x = L i (4.9) fås maximalt andra ordningens moment i inspänningssnittet enligt

15

M₂(L) = M_2,max= ^{q0L tan(kL)}

πk (1 + ¹

1− ^π2 k2L2

) (4.10)

Även maximalt första ordningens moment inträffar i inspänningssnittet, x = L sätts in i ekvation (4.2)

M₁(L) = M_1,max =^q0L2

π (4.11) Genom insättning av (4.10) och (4.11) i (3.20) fås

C_m,exakt( ^N

Ncr) = ^tan(kL)

kL (1 + ¹

1− ^π2 k2L2

) (1 − ^N

Ncr) (4.12) Det maximala värdet på första ordningens utböjning behövs för beräkningen av C_m,approx. Insättning av x = L i (4.3) ger

w₁(L) =^q0L4

EI (¹

3π− ¹

π³) (4.13) Insättning av (4.11), (4.13) och (3.3) med knäckningslängden L_cr= 2L, samt w_m = 0 i (3.21) ger

C_m,approx( ^N

Ncr) = 1 + (^π2

12−⁵

4) ^N

Ncr≈ 1 − 0,4275 ^N

Ncr (4.14) Graferna i Figur 4.2 visar sambandet mellan C_m-faktorn och kvoten N N⁄ _cr.

Den första som benämns ”Exact” visar C_m-värden enligt ekvation (4.12).

Den andra, benämnd ”Exact design curve”, är en kurvanpassning med ett förstagradspolynom till kurvan ”Exact” i intervallet 0 ≤ N N⁄ _cr≤ 1.

Den tredje, ”Approx”, visar approximativa värden enligt ekvation (4.14). Knäckningslängden har satts till L_cr= 2,0L enligt Eulers första knäckningsfall.

Graferna visar att approximativ lösning enligt (3.21) eller (4.14) stämmer mycket bra med exakt lösning enligt (3.20) eller (4.12).

16

Figur 4.2: Momentfaktorer för en konsol med sinusformad last.

17

4.2 Konsolbalk med punktlast i varierande läge samt normalkraft

Figur 4.3: Konsolbalk med punktlast i varierande läge samt normalkraft.

Beteckningen w_h i följande beräkningar syftar på nedböjningen för den del av balken som ligger till höger om punktlastens verkningspunkt och har ingenting med riktningen på x-axeln att göra. Nedböjningen w_v berör den del av balken som ligger mellan punktlastens

verkningspunkt och den fasta inspänningen. Dessa beteckningar används då skarvvillkor förekommer i beräkningen. βL är sträckan mellan den fasta inspänningen och

transversallastens verkningspunkt.

För delen 0 ≤ x ≤ L − βL:

Momentjämvikt enligt Figur 4.3 ger

M_2,h(x) = N w_h(x) (4.15) Funktionen (4.15) insatt i (3.1) ger krökningen

d²w_h

dx² = −^M2,h(x)

EI = −^{N wh(x)}

EI (4.16) Genom definition

k = √^N

EI och k² = ^N

EI (4.17) skrivs (4.16) som

d²wh

dx² + k²w_h(x) = 0 (4.18)

18

Den allmänna lösningen till (4.18) är

w_h(x) = A cos(kx) + B sin(kx) (4.19) Det randvillkor som kan användas är w_h(0) = 0 → A = 0

w_h(x) = B sin(kx) (4.20) Derivering av (4.20) ger lutningen

w_h^′(x) = B k cos(kx) (4.21) För delen L − βL ≤ x ≤ L:

Momentjämvikt ger

M_2,v = N w_v(x) + P(x − L + βL) (4.22) Uttrycket (4.22) insatt i (3.1) ger krökningen

d²w_v

dx² = −^M2,v(x)

EI = −¹

EI(N w (x) + Px − PL + PβL) (4.23) och genom att använda definitionen (4.17) kan (4.23) skrivas som

d²w_v

dx² + k²w_v(x) =^k2P

N [−x + L − βL] (4.24) Differentialekvationen (4.24) har lösningen

w_v(x) = C cos(kx) + D sin(kx) +^P

N[−x + L − βL] (4.25) Derivering ger

w_v^′(x) = −C k sin(kx) + D k cos(kx) −^P_N (4.26) Randvillkoret w_v^′(L) = 0 ger

D = C ^{sin (kL)}

cos (kL)+ ^P

k N cos (kL) (4.27) Ekvationerna (4.25) och (4.26) kan nu skrivas om innan skarvvillkoren används genom att använda (4.27)

19

w_v(x) = C cos(kx) + [C^{sin (kL)}

cos (kL)+ ^P

k N cos (kL)] sin(kx) +^P

N[−x + L − βL] (4.28)

w_v^′(x) = −C k sin(kx) + k [C_cos(kL)^sin(kL)+ ^P

k N cos(kL)] cos(kx) −^P

N (4.29) En balk som deformeras elastiskt får inga knyckar vilket innebär att lutning och nedböjning i

den punkt där punktlasten verkar måste vara lika. Skarvvillkoren w_h(L − βL) = w_v(L − βL) och w_h^′(L − βL) = w_v^′(L − βL) ger de hittills okända konstanterna B, C och D:

B = ^P

k N[^{sin2k(L−βL)}

cosk(L−βL) −^{sink(L−βL)}

cos(kL) sin(kL) + ¹

cos(kL)− ¹

cos k(L−βL)] (4.30) C = − ^P

k Nsink(L − βL) (4.31) D = P [ ¹

k N cos (kL)−^{sink(L−βL)}

k N

sin(kL)

cos(kL)] (4.32) Genom att använda (4.30), (4.31) och (4.32) skrivs (4.28) och (4.29) som

w_v(x) = −P sin k(L−βL)

k N cos(kx) + [ ^P

k N cos(kL)−P sin k(L−βL) k N

sin(kL)

cos(kL)] sin(kx) +^P

N[−x + L − β] (4.33) w_v^′(x) =Psin k(L−βL)

N sin(kx) + [ ^P

N cos(kL)−P sin k(L−βL) N

sin(kL)

cos(kL)] cos(kx) −^P

N (4.34)

Den del av balken som är betydelsefull då C_m-faktorerna beräknas är den vänstra delen, mellan den fasta inspänningen och punktlasten.

Nedan följer de ekvationer som behövs för att ta fram C_m-faktorerna för den delen, d.v.s. för:

L − βL ≤ x ≤ L

Första ordningens moment:

M₁(x) = P(x − L + βL) (4.35) Första ordningens nedböjning:

w₁(x) = ¹

EI[−^{P(L3β3−3L3β2 +3L3β−L3−6L2βx+3L2x+3Lβx2−3Lx2+x3)}

6 ] (4.36) Andra ordningens moment fås genom att derivera (4.34) vilket ger andra ordningens

krökning. Efter multiplikation med −EI fås det exakta värdet på andra ordningens moment.

M₂(x) = −P sin k(L−βL)

k cos(kx) + [ ^P

k cos(kL)−P sin k(L−βL) k

sin(kL)

cos(kL)] sin (kx) (4.37)

20

Genom insättning av x = L i (4.37) fås maximalt andra ordningens moment i inspänningssnittet enligt

M₂(L) = M_2,max= Psin[kL(β−1)+sin(kL)]

k cos(kL) (4.38) Även maximalt första ordningens moment inträffar i inspänningssnittet, x = L sätts

in i (4.35)

M₁(L) = M_1,max = PβL (4.39) Genom insättning av (4.38) och (4.39) i (3.20) fås

C_m,exakt( ^N

Ncr, β) = ¹

βL

sin[k L (β−1)]+sin(k L)

k cos(k L) (1 − ^N

Ncr) (4.40) Det maximala värdet på första ordningens utböjning behövs för beräkningen av C_m,approx. Insättning av x = L i (4.36) ger

w₁(L) =^{PL3β2(β−3)}

6 (4.41) Insättning av (4.39), (4.41) och (3.3) med knäckningslängden L_cr= 2L, samt w_m = 0 i (3.21) ger

C_m,approx( ^N

Ncr, β) = 1 + [−^{π2β(β−3)}

24 − 1] ^N

Ncr (4.42) Det är viktigt att notera att (4.40) och (4.42) endast är giltiga för den vänstra sidan av balken.

Om β = 0 försvinner den vänstra sidan vilket gör att (4.40) och (4.42) förlorar sin innebörd.

Det som är på den högra sidan är helt enkelt Eulers första knäckningsfall då det inte finns någon initialkrokighet eller någon initiallutning hos stången.

Figur 4.4 och Figur 4.5 visar sambandet mellan C_m-faktorer och kvoten mellan normalkraft och knäckningslast för fallet då β = 1, d.v.s. då punktlasten angriper i konsolens fria ände och fallet då β = 0,5, då punktlasten angriper i konsolens mitt.

När β minskar ökar lutningen på graferna vilket betyder att andra ordningens effekter avtar och att punktlasten P gör mindre skada ju närmre den flyttas mot balkpelarens fasta

inspänning.

21

Figur 4.4: Momentfaktorer för en konsol med punktlast i fria änden, 𝛃 = 𝟏.

Figur 4.5: Momentfaktorer för en konsol med punktlast i balkens mitt, 𝛃 = 𝟎, 𝟓.

22

Figur 4.6 visar för tre olika kvoter på N N⁄ _cr hur de approximativa C_m-faktorerna varierar beroende av var på balkpelaren punktlasten angriper mätt från den fasta inspänningen. Man ser återigen tydligt att lutningen på graferna ökar då β minskar, vilket är lätt att se på formel (4.42) som är den C_m-faktor som visas i Figur 4.6. Punktlasten P gör alltså mer skada ju närmre balkpelarens fria ände den angriper.

Figur 4.6: Den i inspänningssnittet approximativa momentfaktorns variation beroende av punktlastens läge.

23

Kapitel 5 - Resultat och slutsats

5.1 Resultat

Resultaten för de i föregående kapitel beräknade C_m-faktorerna presenteras i Tabell 5.1. De tre fallen motsvarar ”Exakt” - beräknad utifrån andra ordningens teori,

”Dimensioneringsvärde” - en kurvanpassning med ett förstagradspolynom till det exakta värdet, samt ”Approx” – beräknad med den approximativa metoden. Notera att det är svårt att skriva ett enkelt uttryck för kurvanpassningen ”Dimensioneringsvärde” för fall 2 som beror av värdet på β utmed balkpelaren.

Tabell 5.1: C_m- faktorer för två olika lastfall.

Fall Upplagsvillkor

& laster

Momentfaktorer (C_m)

”Exakt⁷”

x (1 − N N⁄ _cr)

”Dimensio- neringsvärde⁸”

”Approx⁹”

1

k2L2

) 1 − 0,446 ^N

N_cr 1 − 0,428 N N_cr

2

k cos(k L) ]

Beror av

värdet på β 1 + [−^{π2β(β−3)}

24 − 1] ^N

N_cr

5.2 Slutsats

I denna rapport har jag noga redovisat beräkningar för två fall av exakta och approximativa värden på C_m-faktorer som jag ej har funnit i litteratur som behandlar dylika fall. Resultaten i rapporten visar att det i dessa två fall är mycket liten skillnad på de exakta och approximativa värdena.

7 Motsvarar den exakta lösningen till den styrande differentialekvationen.

8 Linjär approximation av den exakta Cm- faktorn.

9 Cm-faktor helt baserad på en approximativ beräkning av andra ordningens moment via traditionell förstoringsfaktor.

24

25

Källförteckning

Skriftliga källor

EN 1993-1-1. Eurocode 3: Design of steel structures - part 1-1: General rules and rules for buildings. (2005). European Committee for Standartisation.

Heyden, S., Dahlblom, O., Olsson, A., & Sandberg, G. (2011). Introduktion till strukturmekaniken. Lund: Studentlitteratur.

Höglund, T. (2006). Modul 6 Stabilitet för balkar och stänger. Stockholm: Kunliga Tekniska Högskolan.

Lindner, J., Kuhlmann, U., & Jörg, F. (2017). Initial bow imperfections e_0 for the verification of Flexural Buckling According to Eurocode 3 Part 1-1- additional considerations.

Muratagic, D. (2010). Verifiering av interaktionsformlers gränser i Eurokod 3.

Norlin, B. (2003). Dimensionering av stålkonstruktioner enligt Eurocode 3, föreläsningar &

tal.

Sarvell, F. (2012). Verifiering av interaktionsformlers gränser för balkpelare i Eurokod 3 En fallstudie av balkpelare med godtyckliga last- och randvillkor. Stockholm.

Muntliga källor

Norlin, Bert. Universitetslektor på Institutionen för byggvetenskap, bro- och stålbyggnad, återkommande samtal och granskningar under vårterminen 2018.

26

27

Bilaga - Beräkningsexempel

I följande exempel beräknas normalkraftsbärförmågan för tvärsnittet HEA 280 då ett elastiskt brottkriterium enligt (6.2) och ett plastiskt brottkriterium enligt (6.31) i SS-EN-1993-1-1 används. Balkpelaren kan bara böjknäcka i veka riktningen och är fast inspänd med en normalkraft verkande i den fria änden.

Tvärsnittets sträckgräns och balkpelarens längd är olika för det elastiska och det plastiska fallet. Detta är för att samma tvärsnittsprofil skall kunna användas tillsammans med båda brottkriterierna samt för att anpassa så att slankhetstalet λ, som är ett mått på en tryckt pelares benägenhet att knäcka, i båda fallen blir lika med ett.

I denna bilaga används Eurokodens numrering av ekvationer hämtade från denna standard.

Tvärsnittsdata HEA 280

Stålets E-modul E = 210 GPa Partialkoefficient γ_M1 = 1,0

Profilbredd b = 280 mm Profilhöjd h = 270 mm Livtjocklek t_w = 8,0 mm Flänstjocklek t_f= 13,0 mm Hålkälsradie R = 24 mm Tvärsnittsarea A = 9726 mm² Tröghetsmoment I_z = 47,63 ∗ 10⁶ mm⁴ Elastiskt böjmotstånd W_z,el = 340 ∗ 10³ mm³ Plastiskt böjmotstånd W_z,pl = 518 ∗ 10³ mm³

Elastiskt brottkriterium enligt SS-EN-1993-1-1 (6.2)

Tvärsnittsklassning

Flytspänning f_y = 620 MPa

28

Roten ur kvoten mellan referensflytspänningen och aktuell flytspänning

ε = √235 MPa

f_y = 0,616

Slankhet hos flänsplåten som utsätts för tryck

c_f= b 2 −

t_w 2 − R

𝑡_𝑓 = 8,62

Gränser för tryckt fläns enligt Tabell 5.2 SS-EN-1993-1-1

( 9ε 10ε 14ε

) = ( 5,54 6,16 8,62

)

Klass 1 Tryckflänsen Klass 2 tillhör klass 3 Klass 3

Slankhet hos livplåten under antagande att hela livplåten är tryckt

c_w =h − 2 t_f− 2R

𝑡_𝑤 = 24,5

Gränser för tryckt livplåt enligt Tabell 5.2 SS-EN-1993-1-1

( 33ε 38ε 42ε

) = ( 20,3 23,4 25,9

)

Klass 1 Livplåten Klass 2 tillhör klass 3 Klass 3

Tvärsnittet tillhör alltså tvärsnittsklass 3.

Bärförmåga med hänsyn till normalkraft och momentkapacitet

Tvärsnittets normalkraftsbärförmåga N_Rd = ^Afy

γM1 = 6,03 ∗ 10³ kN (6.10) Tvärsnittets elastiska momentbärförmåga

M_z,Rd =^{Wz,el fy}

γM1 = 211 kNm (6.14)

29

Slankheten

Då slankheten λ har bestämts till värdet 1 för både den elastiska och plastiska analysen uttrycks längden L₁ via parametrarna: slankheten λ, elasticitetsmodulen E, tröghetsmomentet I_z och normalkraftsbärförmågan N_Rd.

L₁ =^π

2λ√_N^EIz

Rk = 2,02 m Kritisk knäckninglast

Den kritiska knäckningslasten beräknas N_cr,z =^π2EIz

L_cr² = 6,03 ∗ 10³ kN där L_cr= 2L₁

Bärförmåga för knäckning enligt SS-EN 1993-1-1 6.3.1.1 & 6.3.1.2

Brottvillkoret

N_Ed

Nb,Rd≤ 1,0 (6.46) där normalkraftskapaciteten för knäckning är

N_b,Rd =^χAfy

γM1 (6.47) Reduktionsfaktorn χ kan antingen avläsas ur Figur 6.4 eller beräknas enligt formeln

χ = ¹

Φ+√Φ²−λ² (6.49) där hjälpparametern Φ skrivs som

Φ = 0,5[1 + α(λ − 0,2) + λ²]

30

Då (6.49) används avläses imperfektionsparametern α i Tabell 6.1 utifrån villkoren i Tabell 6.2.

31

Då flytspänningen f_y = 620 MPa inte finns med i Tabell 6.2 används värdet för S 460 och knäckningskurva a används vilket ger α = 0,21.

Φ = 1,08 insatt i (6.49) ger χ = 0,67

Normalkraftskapaciteten för knäckning (6.47) blir N_b,Rd = 4,01 ∗ 10³ kN