Useˇ´ cka - ´useˇcka
Sousednost dvou ´useˇcek je nejjednoduˇsˇs´ım pˇr´ıpadem sousednosti element˚u, proto je pochopen´ı pr´ace s ´useˇckou velmi d˚uleˇzit´e, protoˇze ostatn´ı sloˇzitˇejˇs´ı pˇr´ıpady sousednost´ı element˚u vych´azej´ı ze sousednosti dvou ´useˇcek (napˇr. troj´uheln´ık je rozloˇzen na 3 ´useˇcky).
Na z´akladˇe definice parametrick´e rovnice ´useˇcky lze vyvodit vliv parametru na polohu bodu na ´useˇcce. Na obr´azku 4 je zobrazena pˇreruˇsovanou ˇcarou pˇr´ımka, na n´ıˇz leˇz´ı ´useˇcka p (zad´ana body AB). Poloha bodu P je definov´ana rovnic´ı:
P = A + tu; t ∈< 0; 1 >
Kdyˇz bude parametr t = 0, tak se bod A = P . V pˇr´ıpadˇe, ˇze parametr t ∈< 0; 1 >, tak bod P bude ∈ na ´useˇcce mezi bodem A a B. Kdyˇz parametr t = 1, tak se bod P = B. Pokud parametr t /∈< 0; 1 >, tak bod P /∈ na ´useˇcce AB, ale ∈ na pˇr´ımce zobrazen´e pˇreruˇsovanou ˇ
carou.
Obr´azek 4: Vliv parametru na polohu bodu
Kompatibiln´ı sousednost ´useˇcek
Dvˇe ´useˇcky jsou navz´ajem kompatibiln´ı, pokud maj´ı spoleˇcnou pr´avˇe jednu celou stˇenu.
Jestliˇze ´useˇcka p je zad´ana body AB a ´useˇcka q je zad´ana body CD, potom jsou obˇe ´useˇcky kompatibiln´ı, pokud jsou totoˇzn´e p=q.
Obr´azek 5: Kompatibiln´ı sousednost ´useˇcek
Useˇ´ cky nemaj´ı pr˚unik
Pˇri urˇcov´an´ı, zda maj´ı dvˇe ´useˇcky spoleˇcn´y pr˚unik, se nejprve pouˇzije rychl´y test. Na jeho z´akladˇe lze urˇcit pˇr´ıpady, v nichˇz elementy nemohou m´ıt pr˚unik. Pokud elementy mohou m´ıt pr˚unik, pracuje se s parametricky zadan´ymi ´useˇckami p a q.
Obr´azek 6: ´Useˇcky nemaj´ı pr˚unik
p : x = a1+ tu y = a2+ tu q : x = c1+ sv y = c2+ sv
V pˇr´ıpadˇe, ˇze parametr t nebo s /∈< 0; 1 > lze ˇr´ıci, ˇze ´useˇcky nemaj´ı spoleˇcn´y pr˚unik.
Useˇ´ cky maj´ı pr˚unik
Aby dvˇe ´useˇcky p, q mˇely spoleˇcn´y pr˚unik, nesm´ı to b´yt vylouˇceno rychl´ym testem. D´ale tak´e parametry obou ´useˇcek t, s ∈< 0; 1 >. Pokud jsou splnˇeny pˇredchoz´ı podm´ınky, je pr˚unikem ´useˇcek p, q bod P .
Obr´azek 7: ´Useˇcky maj´ı pr˚unik P
Moˇzn´e typy sousednost´ı dvou ´useˇcek jsou pops´any v tabulce 1. Je zde zohlednˇen i vliv rychl´eho testu na moˇznost pr˚uniku dvou ´useˇcek a jsou zde uvedeny parametry t a s.
Typ sousednosti Rychl´y test Parametr t Parametr s Useˇ´ cky nemaj´ı pr˚unik bez pr˚uniku -
-Useˇ´ cky jsou totoˇzn´e pr˚unik je moˇzn´y nelze vypoˇc´ıtat nelze vypoˇc´ıtat Useˇ´ cky maj´ı 1 pr˚unik pr˚unik je moˇzn´y 0 < t < 1 0 < s < 1
Tabulka 1: Sousednosti ´useˇcky a ´useˇcky
Useˇ´ cka - troj´uheln´ık
Sousednost ´useˇcky a troj´uheln´ıku je podobn´a pˇr´ıpadu sousednosti dvou ´useˇcek. Zde je jedn´ım elementem ´useˇcka a druh´ym elementem je troj´uheln´ık, kter´y je tvoˇren tˇremi hranami (´useˇckami) a tˇremi pr˚uniky tˇechto hran.
Pˇri rozhodov´an´ı, o jak´y typ sousednosti se jedn´a, se nejprve provede rychl´y test (pro vylouˇcen´ı pˇr´ıpadu, kdy elementy nemohou m´ıt spoleˇcn´y pr˚unik). D´ale se vezme pˇr´ımka (jednoznaˇcnˇe urˇcen´a elementem ´useˇcky na n´ı leˇz´ıc´ı) a zjist´ı se poloha dvou pr˚unik˚u t´eto pˇr´ımky s troj´uheln´ıkem. Podle toho, jak´e jsou hodnoty parametr˚u (t0, t1) popisuj´ıc´ıch pr˚uniky elementu ´useˇcka s jednou hranou troj´uheln´ıka, se rozhodne, o jak´y typ sousednosti se jedn´a. Jednotliv´e typy sousednost´ı v z´avislosti na rychl´em testu a hodnot´ach parametr˚u jsou zobrazeny v tabulce 2.
Typ sousednosti Rychl´y test Parametr t0 Parametr t1
Useˇ´ cka leˇz´ı mimo troj´uheln´ık bez pr˚uniku -
Tabulka 2: Sousednost´ı ´useˇcky a troj´uheln´ıka .
Useˇ´ cka leˇz´ı mimo troj´uheln´ık
Pokud pˇri proveden´ı rychl´eho testu pro ´useˇcku a troj´uheln´ık je zjiˇstˇeno, ˇze elementy nemaj´ı spoleˇcn´y pr˚unik, znamen´a to, ˇze ´useˇcka EF nem´a pr˚unik s ˇz´adnou hranou troj´uheln´ıku ABC, a ani neleˇz´ı uvnitˇr tohoto troj´uheln´ıku. Mus´ı tedy leˇzet mimo troj´uheln´ık ABC.
Useˇ´ cka m˚uˇze leˇzet mimo troj´uheln´ık, i kdyˇz to nen´ı urˇceno rychl´ym testem. Jedn´a se konkr´etnˇe o pˇr´ıpad, kdy spoleˇcn´y pr˚unik nen´ı vylouˇcen rychl´ym testem, ale na z´akladˇe porovn´an´ı element˚u je zjiˇstˇeno, ˇze spolu elementy nemaj´ı ˇz´adn´y pr˚unik. Tento pˇr´ıpad je zobrazen na obr´azku 8.
Obr´azek 8: ´Useˇcka leˇz´ı mimo troj´uheln´ık
Useˇ´ cka leˇz´ı uvnitˇr troj´uheln´ıku
Pˇri postupn´em zjiˇst’ov´an´ı pr˚unik˚u ´useˇcky a prvn´ı, druh´e a tˇret´ı hrany troj´uheln´ıka nesm´ı b´yt nalezen ˇz´adn´y pr˚unik. Pˇri splnˇen´ı tˇechto podm´ınek ´useˇcka EF neleˇz´ı mimo troj´uheln´ık a ani nem´a ˇz´adn´y pr˚unik s hranami troj´uheln´ıku, tud´ıˇz leˇz´ı uvnitˇr troj´uheln´ıku ABC.
Obr´azek 9: ´Useˇcka leˇz´ı uvnitˇr troj´uheln´ıku
Useˇ´ cka leˇz´ı na hranˇe troj´uheln´ıku
V pˇr´ıpadˇe, ˇze ´useˇcka leˇz´ı na libovoln´e hranˇe troj´uheln´ıku, mohou nastat dva pˇr´ıpady. Po-kud je ´useˇcka s libovolnou hranou troj´uheln´ıku totoˇzn´a, jedn´a se dle definice o kompatibiln´ı sousednost. V druh´em pˇr´ıpadˇe, kdy ´useˇcka nen´ı s libovolnou hranou troj´uheln´ıku totoˇzn´a,
´
useˇcka leˇz´ı pouze na ˇc´asti hrany troj´uheln´ıku nebo naopak obsahuje celou hranu. Na
obr´azku 10 je zn´azornˇen pˇr´ıpad, v nˇemˇz ´useˇcka DE obsahuje celou hranu AB z troj´uheln´ıku ABC. V tomto pˇr´ıpadˇe jsou hodnoty parametr˚u 0 < t0 < 1 a 0 < t1 < 1.
Obr´azek 10: ´Useˇcka leˇz´ı na hranˇe troj´uheln´ıku
Useˇ´ cka m´a s troj´uheln´ıkem jeden pr˚unik
Pokud m´a ´useˇcka EF s troj´uheln´ıkem ABC jeden pr˚unik P , znamen´a to, ˇze krajn´ı bod E ´useˇcky EF leˇz´ı uvnitˇr troj´uheln´ıku ABC a druh´y krajn´ı bod F leˇz´ı mimo troj´uheln´ık (poˇrad´ı bod˚u m˚uˇze b´yt i opaˇcn´e). V tomto pˇr´ıpadˇe jsou hodnoty parametr˚u t0 < 0, 0 < t1 < 1. Pokud by pozice krajn´ıch bod˚u E a F byly prohozeny, pak by hodnoty parametr˚u byly 0 < t0 < 1, 1 < t1.
Obr´azek 11: ´Useˇcka m´a s troj´uheln´ıkem jeden pr˚unik
Useˇ´ cka m´a s troj´uheln´ıkem dva pr˚uniky
Jestliˇze m´a ´useˇcka EF s troj´uheln´ıkem ABC dva pr˚uniky P 1 a P 2, plat´ı, ˇze oba krajn´ı body E a F ´useˇcky leˇz´ı vnˇe troj´uheln´ıku ABC. ´Useˇcka tedy ”ˇreˇze”troj´uheln´ık.
Obr´azek 12: ´Useˇcka m´a s troj´uheln´ıkem dva pr˚uniky
Troj´uheln´ık - troj´uheln´ık
Troj´uheln´ık leˇz´ı uvnitˇr troj´uheln´ıku
Aby troj´uheln´ık B1B2B3mohl leˇzet uvnitˇr troj´uheln´ıku A1A2A3, nesm´ı b´yt rychl´ym testem vylouˇcena moˇznost pr˚uniku tˇechto element˚u. Pˇri zjiˇst’ov´an´ı vz´ajemn´ych pr˚unik˚u hran obou
Obr´azek 13: Troj´uheln´ık leˇz´ı uvnitˇr druh´eho troj´uheln´ıku
troj´uheln´ık˚u ovˇsem nesm´ı b´yt nalezen ˇz´adn´y pr˚unik hran. Tento pˇr´ıpad je zobrazen na obr´azku 13.
Troj´uheln´ık proch´az´ı jednou hranou druh´eho troj´uheln´ıku
K tomuto pˇr´ıpadu sousednosti doch´az´ı v pˇr´ıpadˇe, ˇze jednou hranou prvn´ıho troj´uheln´ıku proch´az´ı dvˇe hrany druh´eho troj´uheln´ıku. Jak je patrno z obr´azku 14 (v nˇemˇz jsou zobra-zeny oba pˇr´ıpady) protnut´ı jedn´e hrany troj´uheln´ıku se jeˇstˇe m˚uˇze liˇsit t´ım, ˇze troj´uheln´ık B1B2B3 m´a uvnitˇr troj´uheln´ıku A1A2A3 jeden vrchol a troj´uheln´ık C1C2C3 m´a uvnitˇr troj´uheln´ıku dva vrcholy.
Obr´azek 14: Troj´uheln´ık proch´az´ı jednou hranou druh´eho troj´uheln´ıku
Troj´uheln´ık prot´ın´a dvˇe hrany druh´eho troj´uheln´ıku
Pˇr´ıpad˚u, kdy kdy prvn´ı troj´uheln´ık m´a protnuty dvˇe hrany druh´ym troj´uheln´ıkem, exis-tuje v´ıce. Na obr´azku 15 je zobrazen pˇr´ıpad, kdy je troj´uheln´ık A1A2A3 protnut ve vr-cholu. Troj´uheln´ık B1B2B3, kter´y prot´ın´a troj´uheln´ık A1A2A3 m´a uvnitˇr dva sv´e vrcholy.
Troj´uheln´ık C1C2C3 takt´eˇz prot´ın´a troj´uheln´ık A1A2A3, ale m´a uvnitˇr pouze jeden vrchol.
Dalˇs´ı pˇr´ıpad protnut´ı dvou hran je na obr´azku 16. Troj´uheln´ık B1B2B3 prot´ın´a dvˇe hrany troj´uheln´ıku A1A2A3 a m´a uvnitˇr jeden sv˚uj vrchol. Troj´uheln´ık C1C2C3
”ˇreˇze“ troj´uheln´ık A1A2A3 - proch´az´ı jeho dvˇema hranami, ale nem´a uvnitˇr ˇz´adn´y vrchol.
Obr´azek 15: Troj´uheln´ık prot´ın´a dvˇe hrany druh´eho troj´uheln´ıku v jeho vrcholech
Obr´azek 16: Troj´uheln´ık prot´ın´a dvˇe hrany druh´eho troj´uheln´ıku
Troj´uheln´ık prot´ın´a tˇri hrany druh´eho troj´uheln´ıku
Pˇr´ıpad, kdy troj´uheln´ık A1A2A3 prot´ın´a tˇri hrany troj´uheln´ıku B1B2B3 nastane, po-kud kaˇzd´a hrana troj´uheln´ıku A1A2A3 je protnuta dvˇema hranami troj´uheln´ıku B1B2B3. Pˇr´ıklad protnut´ı tˇr´ı hran jsou na obrazku 23.
Obr´azek 17: Troj´uheln´ık prot´ın´a tˇri hrany druh´eho troj´uheln´ıku