Specifika resultat

I en tidigare litteraturstudie av Garfield och Ahlgren (1988) uppmärksammades proportionella samband som en av de främsta orsakerna till varför svårigheter inom sannolikhetslära förekommer. Svårigheter för proportionella samband visar sig förekomma i alla åldrar enligt Garfield och Ahlgren (1988) och kan bero på intuitiva resonemang, vilket den aktuella studiens resultat bekräftar. Deltagarnas brist på kunskap syns särskilt i de frågor som riktar sig till att undersöka domänen frekvensdefinitionen av relativa frekvensens stabilisering. Resultatet visar att LS uppfattningar av relativa frekvensens stabilisering på fråga 7 är problematisk med ett lågt genomsnittligt resultat. Det är intressant att genomsnittsnivån för LS hamnar på endast 17% av de framförda resonemang som skrivs fram på uppgift 7b. Det visar sig tydligt att kunskaperna är begränsade och paralleller kan dras mellan två olika aspekter. En aspekt är det som forskning (Lecoutre et al., 2006) kallar equiprobability-bias, ett rättvisetänk för slumpfenomen som innebär att tolka slumpen som lika stor sannolikhet, oberoende av vad som frågas efter. Men då fråga 7 egentligen inte handlar om att jämföra förhållandet mellan två lika stora proportioner, utan sannolikheten för den ena eller andra händelsen inom frekvensdefinitionen, är frågan komplex i sin utformning. Den andra aspekten är att uppmärksamma relativa frekvensens innebörd för små och stora stickprov, vilket de flesta inte gör. Dessa två aspekter spelar in och bidrar till missuppfattningar. Kuzmak (2016) som undersökte liknande fenomen har i sin studie beskrivit att de matematiska kunskaper som behövs för att förklara relativa frekvensen och relativa frekvensens stabilisering är nödvändiga, men svåra att ta fasta på. Det blir tydligt att LS inte besitter specifika kunskaper (SCK). Jag ställer mig frågan hur det kan påverka den framtida undervisningen av elevers lärande? Det finns en risk att lärarstudenter i sin framtida yrkesroll inte uppmärksammar betydelsen av relativa frekvensen och relativa frekvensens stabilisering vilket kan påverka elevers förståelse kring området. Främst då LS själva inte har KCS av vilka kända svårigheter och missuppfattningar elever kan tänkas möta. Den kunskap som lärare inte har utvecklad kring ett slumfenomen, begränsar KCS i praktiken, då de inte kommer kunna känna igen elevers felaktiga resonemang. I undervisning lyfts relativa frekvensen och relativa frekvensens stabilisering som en experimentell oåterkallelig process (Pratt et al., 2008). Det innebär att undervisning måste framhäva betydelsen av stora stickprov, snarare än att tolka ett mindre stickprov med fåtal gynnsamma försök. Det är därför viktigt att intuitiva uppfattningar finns med i LS kunskapsbas (KCS) för kännedom om vad, hur och varför

31 olika kontexter i sannolikhetslära (KCTP) är nödvändiga att ha kunskap om (Eckert & Nilsson, 2013).

Flera av deltagarna på fråga 9, främst LS24 skriver att de inte förstår frågan, vilket resulterar i ett felaktigt svar. Frågan innebär att tolka en graf av relativa frekvensens stabilisering som kräver övriga matematiska kunskaper, förekommande främst i området statistik som är nära besläktat med sannolikhetslära (Karlsson & Kilborn, 2014). Skillnaden mellan grupperna är stor, exakt 29 procentenheter för både 9a och 9b. Det tyder på att LS68 visar på märkbar kunskap och förståelse i sina redogörelser av att förklara begreppet relativa frekvensens stabilisering. I detta fall innebär det att klave i större stickprov kommer stabilisera resultatet för den exakta teoretiska sannolikheten av utfallsrummet som är 50%. LS24 redogör i större utsträckning likt dessa deltagare; ”Slumpen avgör”, ”Osäker på frågan/grafen” och ”Vet

faktiskt inte”. Det går därför dra slutsatser att grundläggande kunskaper (CCK), som att tolka

en graf, påverkar resultatet för de skillnader mellan LS24 och LS68. En annan slutsats är att LS24 inte har kommit till den tidpunkten då utbildningen erbjudit undervisning av den skilda grenen sannolikhetslära i matematikämnet (KCTP). Det har bidragit till att specifika begrepp inte befästs, exempelvis relativa frekvensens stabilisering och stora talens lag som krävs för förståelse inom frekvensdefinitionen (Pratt et al., 2008).

Den intuitiva definitionen innebär, som bakgrunden beskriver att individer uppfattar ett fenomen genom att göra grundlösa antaganden, ofta i brist på kunskap. LS redogörelser på de uppgifter som undersöker representativitet påverkas av en stark tro på att slumpen ska vara en oordnad process av en händelse, framförallt i uppgifterna 2 och 5. Lärarstudenter som är obekanta med teoretisk sannolikhet uttrycker sig som deltagare 22 skriver. ” Jag tänker att

talen i A är mer tätt ihop medan de i B är mer utspridda och det skapar en större sannolikhet”.

Lu et al. (2014) undersökte exakt liknande fenomen av 24 collegeelever (18–19 år) och resultatet pekar på att 42% i den studien har liknande missuppfattning av representativitet. I den aktuella studiens resultat för fråga 5a svarar 22 av 55 (40%) stycken LS den händelsen som är oordnad, vilket stämmer överens med tidigare studier (Lu et al., 2014). Processer där slump har betydelse uppfattas av många som icke ordnade händelser då den anses som mer sannolik. Skillnaden är 15 procentenheter mellan LS24 och LS68 och resultatet tyder på att LS68 har mer kunskap i detta område av slumpmässig händelse. Flera faktorer kan ha betydelse, exempelvis var i utbildningen LS befinner sig eller hur den enskilda individen uppfattar ett slumpfenomen som grundar sig i intuitiva resonemang och subjektiva antaganden. Det går inte fastställa exakt

32 varför skillnaden är signifikant, men ämneskunskaper och framförallt SCK kan vara en orsak, då LS68 har erhållit mer specifika matematiska kunskaper via sin utbildning som innebär att koppla idéer och företeelser med varandra. Argumentation för att LS68 har utvecklad förmåga att redogöra och resonera över sannolikhets- och slumfenomen stödjs av resultatet.

Slumpen för enstaka händelser är oförutsägbar, men det är ändå flera som skriver att de använder känsla eller erfarenhet. Med ett bestämt resonemang skrivs exempelvis att serien 1111111111 av en sexsidig tärning är; ”orimlig”, ”ej sannolik”, ”slumpmässiga tal innebär

större sannolikhet” och ”mer sannolikt för olika tal”. Att använda sig av erfarenhet och känsla

för slumpmässiga händelser stöds av Pratt et al. (2008) som i sin studie av yngre elever (10–11 år) fastställer denna företeelse vid experiment av en tärning som kastas slumpmässigt. Det går att dra paralleller till att LS24 i större utsträckning redogör för heuristisk representativitet som innebär att synen på slump är mer sannolik om den är oordnad. Enligt mig är det en indikation på att en lärarutbildning påverkar hur LS resonerar. Samtidigt visar forskning (Kahneman & Frederick, 2002) att intuitiva resonemang och subjektiva antagande är bestående hos alla individer oberoende av tidigare formell kunskap. Därför finns även argument för att resultatet ska tolkas i sin helhet när det kommer till representativitet. Procentuella genomsnittet för LS redogörelser på 2b och 5b indikerar att grupperna följer varandra kunskapsmässigt, men att frågornas innebörd uppfattas olika som kan bero på erfarenhetsmässiga tolkningar.

I områdena beroende och sammansatt händelse på fråga 3 och 4 visar resultatet att lärarstudenter är omedvetna om möjliga kombinationer av utfallsrum. Jag medger att det är en komplex förmåga som kräver ett djupare matematiskt resonemang. Framförallt kan det vara svårt att på en digital enkät bryta ned frågan. Tillgång till hjälpmedel har enligt Steinbring (1991) betydelse för att steg för steg övervinna utmanande tankeprocesser, som ofta krävs vid beroende och sammansatta händelse. Under min utbildning till grundskollärare har jag vid flera tillfällen praktiserat och vikarierat. På matematiklektioner har jag uppmanat och påmint de elever jag har framför mig att läsa noggrant vad som frågas efter, men framförallt, rita det som frågas efter. Det är av vikt att kontextualisera innehållet i sannolikhetslära genom rika diskussioner (KCTP) som öppnar upp tankeprocesser tillsammans med stöd av verktyg. Sammansatta och beroende händelser ställer högre krav på LS att strukturera möjliga kombinationer av utfallsrum vilket resultatet visar. Jag anser att lärarstudenterna i sin framtida yrkesroll behöver förståelse för hur de ska generera och visualisera möjliga slumpmässiga kombinationer för sina elever i undervisning. Kännedom av lärare kring komplicerade

33 slumpmässiga händelser i sannolikhetslära är viktigt, då lärares kunskaper för varierande slumpfenomen är betydelsefull, inte enbart i sannolikhetslära, utan även i området statistik. Min reflektion är att både SCK och CCK är viktiga perspektiv att ha i åtanke när slumpmässiga händelser presenteras. Kännedom om begrepp, kunna svara på elevernas varför-frågor och koppla idéer och tankar i en kontext är viktiga.

Skillnaden mellan grupperna är ungefär 11 procentenheter för alla b-frågor. Skillnaden är inte signifikant, men det är intressant att LS68 har ett högre genomsnitt än LS24 i nästan samtliga områden som innefattar skriftliga redogörelser. Jag har uppmärksammat att flera av LS redogör med hjälp av vardagsnära begrepp som exempelvis chans, risk, slumpar och lika många, utifrån egna erfarenhet i relation till slumpmässig händelse. I linje med den forskning och den teoretisk ram som studien grundar sig på är det matematiska språket en avgörande aspekt för att uppfatta, förklara och förstå slumpmässiga händelser. Utifrån egna erfarenheter av en lärarutbildning utmanas vi lärarstudenter att förklara, analysera och kritiskt granska. Det är en utveckling, en progression av svårighetsgrad i syfte att få tillit till sina egna förmågor och en balans mellan ämnesfokuserad och elevfokuserad kunskapsbas. Utbildningens längd ger lärarstudenter ökade kunskaper som bidrar till förmågan att kunna redogöra på ett fördjupat sätt. En slutsats är att desto längre in i utbildningen en lärarstudent befinner sig utvecklas det matematiska språket. Samtidigt är min reflektion att det inte är unikt för en högre utbildning. Jag som student har förväntningar att när jag som verksam lärare har erfarenhetsmässiga kunskaper som leder till ett metaspråk. Vilket kan bekräftas av studiens resultat av de LS som går andra halvan av utbildningen.

Sammanfattningsvis visar studien att lärarstudenter har svårigheter för relativa frekvensen och relativa frekvensens stabilisering. Studien visar även att lärarstudenter har svårigheter med kombinationer av sammansatta händelser och beroende händelse som påverkar resultatet nästa försök. Lärarstudenter uppvisar missuppfattningar när de svarar på uppgifter gällande representativitet. Deras känsla för vad som är mer sannolikt av en slumpmässig händelse visar på intuitiva resonemang som grundar sig utifrån egna erfarenheter av slumpfenomen. Resonemang som redogörs av lärarstudenter synliggör att de svårigheter och missuppfattningar som har beskrivits ovan är områden som är problematiska att förklara. Det får till följd att flera resonerar enligt ett rättvisetänk, att slump innebär lika stor sannolikhet, oberoende av vad som frågas efter. Vidare syns skillnader mellan LS24 och LS68 att en lärarutbildning påverkar lärarstudenters förmåga att resonera kring området sannolikhetslära. De lärarstudenter som

34 befinner sig i sista halvan av utbildningen kopplar idéer och tankar i sina resonemang genom ett utvecklat matematiskt språk.