KURS:Examensarbete för grundlärare, F-3, 15hp
PROGRAM:Grundlärarprogrammet med inriktning mot arbete i grundskolans årskurs F-3 FÖRFATTARE:Linus Blennborn
EXAMINATOR:Annica Otterborg TERMIN:VT/21
”Känslan säger
att det är lika stor
sannolikhet”
Lärarstudenters kunskaper och uppfattningar om
det matematiska området sannolikhetslära
JÖNKÖPING UNIVERSITY Examensarbete för grundlärare F-3, 15hp School of Education and Communication Grundlärarprogrammet med inriktning
mot arbete i grundskolans årskurs F-3. Vårterminen 2021
SAMMANFATTNING
_________________________________________________________________________________ Linus Blennborn
”Känslan säger att det är lika stor sannolikhet” – Lärarstudenters kunskaper och uppfattningar om det matematiska området sannolikhetslära
Antal sidor: 34 __________________________________________________________________________________ Dagens moderna samhälle är uppbyggt av olika sannolikhetsmodeller. Det kan innefatta allt från väderprognoser och försäkringar till att förutspå sannolikhetsmått i spel och lekar där slumpen gör sig påmind. Lärarstudenter möter sannolikhets- och slumpbegrepp i de matematikkurser som en lärarutbildning erbjuder, i syfte att utveckla specifika ämneskunskaper och pedagogiska färdigheter. Betydelsen av att framtida lärare erhåller kunskaper i sannolikhetslära blir tydlig då TIMSS (Sollerman & Nydahl, 2020) senaste rapport visar att statistik och sannolikhet är ett område där yngre elevers resultat försämras för varje fyraårsperiod som undersökningen genomförs. Eftersom sannolikhetslära utgör grunden för statistiska antaganden är området viktigt, både i vardagen och i undervisning då grundläggande kunskaper och uppfattningar erhålls. Detta ställer i sin tur krav på att lärarstudenter i sin framtida yrkesroll har kunskap om kända missuppfattningar och intuitiva antaganden.
Studien utgår från Mathematical Knowledge for Teaching som är ett ramverk för lärarkunskap och syftar till betydelsen av lärares matematiska och pedagogiska kunskaper. Denna studie syftar till att undersöka lärarstudenters kunskaper och uppfattningar för slumpmässiga händelser i det matematiska området sannolikhetslära. Detta görs genom kvantitativ datainsamlingsmetod i form av en digital enkät av varierande frågor. 55 lärarstudenter svarade på enkäten som analyserades kvantitativt och kvalitativt. Studien delade in deltagarna i två grupper. Första och sista halvan av utbildningen för att undersöka skillnader. Följande frågeställningar ligger till grund för att uppfylla studiens syfte:
• Vilka svårigheter och missuppfattningar uppmärksammas av lärarstudenter? • Hur resonerar lärarstudenter kring specifika områden inom sannolikhetslära?
• Hur påverkar en lärarutbildning över tid, lärarstudenters förmåga att resonera matematiskt eller intuitivt?
Resultatet visar att relativa frekvensen, representativitet och sammansatt slumpmässig händelse är problematiska områden. Intuitiva antaganden resulterar i problematiska resonemang och lärarstudenters personliga känsla för slump uppmärksammas. Vidare syns skillnader mellan grupperna och gruppen med lärarstudenter som går sista halvan av utbildningen uppvisar ett bättre resultat.
JÖNKÖPING UNIVERSITY Degree Project for Teachers in Primary School of Education and Communication School Years F-3, 15hp
Teacher Education Programme for Primary Education – Preschool and School Years 1-3
Spring semsester 2021
ABSTRACT
_________________________________________________________________________________
Linus Blennborn
“The feeling is that there is an equal probability” – Teacher-students knowledge and perceptions in the mathematical area of probability
Number of pages: 34 __________________________________________________________________________________ Today´s modern society consists of different probability models. It can include everything from weather forecasts and insurance to predicting probability measures in games where chance is reminded. Teacher-students encounter concepts of probability and chance through their basic teacher education, which is part of mathematics teaching. The importance of gaining specific knowledge in probability theory becomes clear when TIMSS (Sollerman & Nydahl, 2020) latest report shows that statistics and probability is an area where younger students results drops for each four-year period that the survey is conducted. Because probability theory is the basis for statistical assumptions, the area is important, both in everyday life and in teaching when basic knowledge and perceptions are held. This in turn requires that teachers-students in their future professional role have knowledge of known misconceptions and intuitive assumptions.
The study is based on Mathematical Knowledge for Teaching, which is a framework for teacher knowledge and aims at the importance of teachers mathematical and pedagogical knowledge. This study aims to examine teacher-students knowledge and perceptions of random events in the mathematical area of probability theory. This is done through a quantitative data collection method in the form of a digital survey of varying questions. 55 teacher-students responded to the questionnaire, which was analyzed quantitatively and qualitatively. The study divided the participants into two groups. First and last half of the education to study differences. The following questions form the basis for fulfilling the aim of the study:
• What difficulties and misconceptions are noticed by teacher-students? • How do teachers-students reason about a specific area i probability theory?
• How does a teacher education over time affect teacher-students ability to reason mathematically or intuitively?
The result shows that relative frequency, representativeness and compound random events are problematic areas. Intuitive assumptions result in problematic reasoning and the teacher-students personal sense of probability is noticed. Furthermore, differences of teacher-students who attend the last half of the education show a better result.
Innehållsförteckning
1. Inledning ... 1
2. Syfte ... 3
3. Bakgrund ... 4
3.1 Sannolikhet och slump i undervisning ... 4
3.2 Domäner i sannolikhetslära ... 5
3.2.1 Den klassiska sannolikhetsdefinitionen ... 5
3.2.2 Frekvensdefinitionen ... 7 3.2.5 Intuitiv definition ... 8 3.3 Teoretisk utgångspunkt ... 9 4. Metod ... 12 4.1 Val av metod ... 12 4.2 Genomförande ... 12 4.3 Urval ... 13 4.4 Analys ... 14 4.5 Etiska överväganden ... 17
4.6 Validitet och reliabilitet ... 17
5. Resultat ... 19
5.1 Beskrivning av tabell ... 19
5.2 Övergripande resultat av enkät ... 21
5.2.1 Styrkor och svagheter med proportionella samband ... 21
5.2.2 Representativitet i handling, heuristisk representativitet ... 23
5.2.3 Beroende och sammansatt händelse för kombinationer av utfallsrum ... 24
5.2.4 Problematiska områden ... 26
6. Diskussion ... 27
6.1 metoddiskussion ... 27
6.2 resultatdiskussion ... 29
6.2.1 Lärarstudenternas visade kunskaper ... 29
6.2.2 Specifika resultat ... 30
6.2.3 Framtida forskning ... 34
7. Referenser ... 35 Bilaga 1 ... I
1
1. Inledning
År 2019 genomförde TIMSS (Trends in International Mathmatics and Science Study) en internationell studie som återkommer var fjärde år för att undersöka elevers kunskaper inom matematik. Studien visar att årskurs 8 elevers resultat för området statistik och sannolikhet successivt sjunker för varje period som undersökningen görs (Sollerman & Nydahl, 2020). Detta är bekymmersamt och denna trend är viktig att bryta. Därför är denna studie menat som ett kunskapsbidrag till lärarstudenter och verksamma lärare för att uppmärksamma om kända svårigheter och den problematik som lärare och elever kan tänkas möta i undervisning.
I sannolikhetslära skriver forskning att det finns olika aspekter av hur individer uppfattar och förutspår sannolikhet och slump. Kahneman och Tversky (1972) var något av pionjärer på området och har i sin studie Subjektive probability: A judgment of representativeness undersökt hur människor uppfattar slumpmässiga händelser av vardagliga fenomen som uppstår i olika sammanhang. De aspekter som betonas är matematiska resonemang, intuitiva föreställningar eller subjektiva antaganden (Kahneman & Tversky, 1972; Lecoutre, 2006; Lu et al., 2014). Det är intressant att individer ofta använder sin intuition när det kommer till att fatta beslut kring slumpmässiga händelser, främst då slump innefattas av ett visst mått av osäkerhet. Missuppfattningar och problematik kring sannolikhetslära visar på att nära hälften av de som deltog i en studie av Smith (1998), även vuxna, grundar beslut på bristande matematiska kunskaper genom subjektiva antagande. Med anledning av det ovanstående är det av intresse att undersöka lärarstudenters kunskaper i sannolikhetslära.
Idén till examensarbetet växte fram under min tidigare litteraturstudie som till stor del handlade om att undersöka elevers och lärares missuppfattningar och svårigheter inom sannolikhetslära. Denna studie riktar sig till att undersöka lärarstudenters uppfattningar och kunskaper av begreppet slumpmässig händelse inom det matematiska området sannolikhetslära. Data har samlats in genom kvantitativ metod i form av enkäter som har skickats ut elektroniskt till samtliga lärarstudenter på Högskolan i Jönköping. Denna data har sedan analyserats både kvantitativt och kvalitativt.
Den svenska läroplanen skriver att det är skolans ansvar att varje elev efter grundskolan ”kan använda sig av matematiskt tänkande för vidare studier och i vardagslivet” (Skolverket, 2011, s. 11). Det är betydelsefullt att lärarstudenter i sin framtida yrkesroll som verksamma lärare
2 besitter goda pedagogiska färdigheter och ämneskunskaper i de områden som undervisas om för elevers lärande. Med vetskap om negativa trender kring området sannolikhet och statistik (Sollerman & Nydahl, 2020) och betydelsen av de kunskaper som vilar på blivande verksamma lärare är valet av teoretiskt ramverk för denna studie Mathematical Knowledge for Teaching (MKT) (Ball et al., 2008). Enligt detta teoretiska ramverk är det viktigt att undervisningsaspekter möjliggör för elevresonemang som främjar förståelsen där lärares matematikkunskaper för innehållet och kännedom om sin elevgrupp är betydelsefullt.
Sannolikhetslära är en gren inom matematiken som är skild från övriga matematiska områden (Eckert & Nilsson, 2013). Slump och sannolikhet innebär förståelse för processer av händelser som framförallt uppmärksammas i experiment. Intuitiva missuppfattningar i sannolikhetslära är i viss mån beständiga, även om en individ har fått undervisning kring området (Kahneman & Frederick, 2002). Kunskap av lärare att veta vilka missuppfattningar som bidrar till problematik är en viktig aspekt i undervisning (Pratt et al., 2008).
3
2. Syfte
Syftet med denna studie är att undersöka lärarstudenters kunskaper och uppfattningar om slumpmässiga händelser i det matematiska ämnesområdet sannolikhetslära.
Syftet besvaras genom följande frågeställningar:
- Vilka svårigheter och missuppfattningar uppvisas av lärarstudenter?
- Hur resonerar lärarstudenter kring specifika områden inom sannolikhetslära?
- Hur påverkar en lärarutbildning över tid, lärarstudenters förmåga att resonera matematiskt eller intuitivt?
4
3. Bakgrund
Sannolikhetslära i grundskolan syftar till att elever ska få erfarenhet av sannolikhetsmodeller för att fatta välgrundade beslut i de många valsituationer som erbjuds i samhällets beslutsprocesser (Skolverket, 2017a). Genomgående skrivs det fram från Skolverket (Skolverket, 2011; Skolverket, 2017a; Skolverket 2017b) hur betydelsefullt det är för verksamma lärare att engagera och utmana elever genom resonemang kring slumpmässiga händelser. I Läroplanens centrala innehåll (Skolverket, 2011) finner vi sannolikhet och statistik som ett gemensamt område. Denna studie syftar till att endast behandla begreppet sannolikhet som kan anses vara grunden till att förstå och tolka statistiska resultat (Skolverket, 2017b). Läroplanen för grundskolan skriver att elever i årskurs 1–3 ska möta sannolikhet genom ”slumpmässiga händelser i experiment och spel.” (Skolverket, 2011, s. 56). Elever i årskurs 4– 6 ska utveckla kunskaper genom ”observationer, simuleringar eller statistiskt material från vardagliga situationer. Jämförelser av sannolikheten vid olika slumpmässiga försök.” (Skolverket, 2011, s. 57). Elever i årskurs 7–9 ska bekanta sig med metoder, datasimuleringar och kombinatoriska principer för att fastställa sannolikheten av varierande slumpmässiga händelser utifrån vardagliga problem (Skolverket, 2011).
3.1 Sannolikhet och slump i undervisning
Lärare behöver gentemot sina elever betydande mer matematiska kunskaper och en högre förståelse för det matematiska innehållet som ska undervisas om (Ball et al., 2008), vilket är en generell och självklar uppfattning i alla undervisningskontexter. Framgångsfaktorer i undervisning kring sannolikhet och slump beror till stor del på lärares kunskaper i ämnesområdet (Batanero & Diaz, 2012). Framförallt beror det på vilka kunskaper läraren besitter för vilka svårigheter och missuppfattningar som elever kan tänkas möta. Lärarens förmåga att veta vad eleverna ska lära sig och hur ska de lära sig för att utvecklas i området kräver att lärare inte besitter samma missuppfattningar (Ball et al., 2008). MKT som teoretiskt ramverk beskriver de strukturer, kunskaper och kompetenser som lärare i undervisning ska stäva mot för att elever ska utveckla förståelse kring ämnesområdet (Eckert & Nilsson, 2013).
Sannolikhet, slump, chans och risk är begrepp som finns med i skolverkets läroplaner och kommentarmaterial i ämnesområdet matematik (Skolverket, 2011; Skolverket, 2017a; Skolverket, 2015). Dessa begrepp stäcker sig även utanför skolans väggar och har betydelse för hur vårt moderna samhälle är uppbyggt. Sannolikhetsmodeller genom statistiska antaganden
5 finner vi i olika sociala system, prognoser och mätningar som vi människor förlitar oss på. Därför är det viktigt att lärarstudenter i sin framtida yrkesroll har de kunskaper som är nödvändiga för att elever ska utveckla sin förståelse i ämnesområdet. Sannolikhet och slump är processer av händelser, till skillnad från aritmetiken som handlar om operationer med tal (Karlsson & Kilborn, 2014). I sannolikhetslära går det inte att återskapa eller med exakthet efterlikna händelser av slump. Inom aritmetiken är det annorlunda, där exempelvis olika additioner av äpplen för att visa på kommutativa lagen är något som kan konstrueras. Händelser av slumpfenomen är oåterkalleliga och resultatet för händelsen går inte att återskapa för att få fram exakt liknande resultat. Batanero och Diaz (2012) skriver att det är en svårighet att förstå, både för lärare i undervisningskontexter och för elever. Exempelvis om sannolikheten för att plocka ett grönt äpple ur en låda med tre gröna och fyra röda äpplen ska demonstreras är det en oåterkallelig process som uppstår precis när händelsen sker. Om undervisning engagerar elever till att resonera med varandra och tänka matematiskt genom aktiviteter och experiment skapas förutsättningar för förståelse av sannolikhet och slumpfenomen (Batanero & Diaz, 2012; Nilsson, 2014).
3.2 Domäner i sannolikhetslära
I sannolikhetslära framkommer det olika sannolikhetsdefinitioner som är viktiga att ha kännedom om, vilket studier pekar på är en av de avgörande aspekterna i undervisning kring sannolikhetslära (Eckert & Nilsson, 2013). I följande avsnitt kommer domänerna klassisk sannolikhetsdefinition, frekvensdefinition och intuitiv definition förklaras tillsammans med forskning och varierande begrepp som har betydelse för den aktuella studiens syfte.
3.2.1 Den klassiska sannolikhetsdefinitionen
Den klassiska sannolikhetsdefinitionen, även kallad den teoretiska definitionen och benämns klassisk då den härstammar från 1500–1600 talet för att beräkna sannolikheten i olika hasardspel. Denna definition beräknas genom formeln, P (Viss händelse) =!"##$%&&% ()*%++,ö.+/0% ()*%++ , där P är ett sannolikhetsmått (Vejde & Roth, uå).
Om ett mynt kastas är det ett slumpförsök. När myntet landar med ena sidan upp och andra sidan ner har det resulterat i ett utfall (Skolverket, 2015). Alla utfall som är möjliga bidrar tillsammans ett utfallsrum och ett mynts utfallsrum är U= [krona och klave] (Karlsson & Kilborn, 2014). En händelse består av ett eller ett flertal utfall. Exempelvis en händelse av att
6 få ojämna nummer på en tärning är händelsen de tre utfallen ett, tre och fem. Att veta vad sannolikheten är för enkla slumpmässiga händelser, exempelvis att kasta ett mynt är oftast ingen svårighet för de flesta individer (Nilsson & Lindström, 2013). Det krävs vetskap om vilka utfall som är möjliga, och i detta fall är det endast krona eller klave som innebär 50% sannolikhet. Svårigheter eller missuppfattningar hos individer sker ofta vid fler försök eller när en händelse är för komplex för att fastställa sannolikheten (Skolverket, 2015). Följande beskrivs olika slumpfenomen som forskning visar på är kritiskt för att förstå sannolikhet och slump.
Om en tärning kastas är den oberoende om föregående resultat inte påverkar kommande försök (Skolverket, 2015). En beroende händelse innebär kännedom om en händelses utfall som sedan tidigare påverkar resultatet. För att förtydliga de två begreppen skrivs ett exempel fram. I en låda ligger det tre röda kulor och fyra svarta kulor. Slumpmässigt plockar du en kula från lådan med fyra svarta kulor och tre gröna kulor. Den klassiska sannolikhetsdefinitionen för att plocka en svart kula är då 4/7. Utan att lägga tillbaka kulan förändras utfallsrummet och påverkar sannolikheten att dra en svart kula vid nästa försök som då är 3/6. Därav är försök utan återläggning beroende av föregående försök och utfallsrummet förändras. Om kulan istället återplaceras efter första försöket är utfallsrummet opåverkat och nästa försök blir därför oberoende det första. Oberoende och beroende händelse är begrepp som forskning visar kan vara problematiska för verksamma lärare (Nilsson & Lindström, 2013). När Nilsson och Lindström (2013) undersökte 43 lärares kunskaper i en enkätundersökning för beroende och oberoende händelse visade resultatet på att lärares har svårt med att beskriva och förklara detta.
Om man ska räkna ut summor på två sexsidiga tärningar som kastas, är de båda tärningarna en
sammansatt händelse, vilket kräver en förståelse för kombinationer av möjliga utfall för
utfallsrum (Nilsson, 2007). I studien poängterar Nilsson (2007) att elever i åldern 12–13 år upplever svårigheter med utfallsrum som är sammansatta och som påverkar resultatet vid en händelse. Experiment med summor av två tärningar visar på mer och mindre sannolika utfall, exempelvis kombinationen [6–6] där summan 12 endast har en kombination, medan summan 11 har två kombinationer [5–6] och [6–5]. De tre utfallen har lika hög sannolikhet, det är summorna som har olika sannolikhet (Skolverket, 2015). Exemplet kan enligt Nilsson (2007) användas i undervisning för att skapa intressanta resonemang före, under och efter i syfte att utveckla kunskap om kombinationer av sammansatta händelser. Batanero & Diaz (2012) beskriver att experiment, exempelvis med tärningar, har en viktig funktion för att utveckla den intuitiva föreställningen av sannolikhets- och slumpproblem. Forskning skriver att individer
7 som inte har fått erfara experimentell undervisning använder sig ofta av ett rättvisetänk som kallas equiprobability-bias (Lecoutre et al., 2006). Denna tolkning görs av människor som har en intuitiv uppfattning av att sannolikheten för alla slumpade händelser måste innebära lika stor sannolikhet. Att det enligt experimentet ovan är ren slump för alla händelser av två tärningars utfallsrum, vilket enligt equiprobability-bias även måste innebära 50% sannolikhet för summornas kombinationer av utfallsrum. Därav ett rättvisetänk som är ett vanligt förekommande fenomen hos människor, som forskning skriver utgör hinder för matematiska resonemang att fastställa ett korrekt sannolikhetsmått (Kuzmak, 2016; Lecoutre et al., 2006). Att resonera över mer eller mindre sannolika utfall av sammansatta händelser är en svårighet och beror på bristande förståelse för varierande kombinationer av utfallsrum (Lecoutre et al., 2006). Det är en viktig del av lärares kunskaper, att både själva kunna resonera korrekt matematiskt och att ha kännedom om elevers olika resonemang (Ball et al., 2008).
3.3.1 Frekvensdefinitionen
frekvensdefinitionen beräknas med formeln P (Viss händelse) = 1#)%+2) 0å#024 2# 5ä#72+$2 /#)4ä**%4
82+% %#)%+2) *ö4$ö9 , där P står för sannolikheten och förutsätter att flertalet försök görs på samma sätt vilket bidrar till att sannolikheten stabiliseras kring ett värde (Vejde & Roth, uå). Frekvensdefinitionen används för att utvidga tillämpningsområdet kring sannolikhetslära genom att koppla områdena statistik och sannolikhet för att göra statistiska antaganden (Vásques & Alsina, 2019).
Relativa frekvensens är ett av de många begrepp som är viktigt att ha förståelse för, både som
elev men ännu viktigare för verksamma lärare i undervisningskontexter (Batanero & Diaz, 2012; Kahneman & Tversky, 1972). Detta begrepp handlar om att förstå de stora talens lag. Exempelvis ju fler upprepade slumpförsök en sexsidig tärning kastas stabiliseras resultatet för utfallsrummet [1,2,3,4,5,6]. Om ett antal försök med en tärning upprepas, exempelvis 200 gånger och sidan sex presenteras 45 gånger är den relativa frekvensen 45/200 som är 22,5%. Tärningen som i detta fall är 1/6 ≈ 0,167 kommer med fler upprepade försök stabilisera sig exakt 16,7% för varje utfall och benämns relativa frekvensens stabilisering. Det finns på förhand inga givna svar för enstaka slumpmässiga händelser, slumpen har inget minne och är oförutsägbar (Karlsson & Kilborn, 2014). Oförutsägbarheten att fastställa sannolikheten på få försök genom ett mindre stickprov bidrar till missuppfattningar (Kahneman & Tversky, 1972; Smith, 1998; Pratt, 2008). Experimentell undervisning krävs enligt forskning för att förstå
8 frekvensdefinitionen och det ger upphov till resonemang och funderingar som utmanar i sannolikhetslära (Pratt et al., 2008). Kännedom av att flera slumpförsök bidrar till stabilisering är en viktig aspekt som lärare och elever behöver känna till för att analysera sannolikheten av olika utfall (Pratt, 2008). Med ett större stickprov med fler identiska slumpförsök går det att fastställa sannolikheten och möjliggör för ett sannolikhetsmått (Björklund & Grevholm, 2014).
3.3.2 Intuitiv definition
Intuitiv definition inom sannolikhetslära innebär att alla individer, barn som vuxna uttalar sig
om sannolikhetsfenomen genom att förlita sig på sin intuition. Främst syftar denna definition på de som inte har tränats eller fått undervisning i området och som därmed tolkar slump och sannolikhet utan matematiska resonemang (Vásques & Alsina, 2019). Intuitiv sannolikhet förekommer ofta i vardagliga kontexter i möten med spel och lekar där slump påverkar. Om exempelvis en individs erfarenhet av ett tärningsspel är att sidan sex på tärningen är mer frekvent än de andra sidorna, upplevs sidan sex därav som mer sannolik än de andra utfallsrummen. Ett intuitivt resonemang går att koppla till subjektiva antaganden av slumpfenomen (Skolverket, 2017b). Denna typ av antaganden innebär att sannolikhetsbedömningar av vardagsfenomen förändras när informationen ökar. Att sannolikheten ”är en grad av övertygelse och den modifieras med hänsyn till graden av kunskap” (Skolverket, 2017b, s. 7). Om exempelvis individen upplever att tärningens resultat inte uppfyller de tidigare förutspådda uppfattningarna för sidan sex, ökar kunskapen och förståelsen för sannolikhetsmått av slumpmässiga händelser.
I ett vidare perspektiv skriver forskning fram ett begrepp som benämns Gambler´s fallacy och översätts till svenska som spelarens missuppfattning. Spelarens missuppfattning innebär att en individ anser sig tro att en slumpad händelse, exempelvis nummer på en lottorad har större chans att vinna på grund av att spelarens turnummer finns med (Kuzmak, 2016). Denna missuppfattning kan kopplas till alla åldersgrupper i hela populationen, men uppmärksammas särskilt hos yngre individer (Kahneman & Tversky, 1972).
Det engelska ordet representativeness översätts till svenska som representativitet. Ordets mening inom sannolikhetslära innebär att individer fattar beslut som representerar det mest troliga scenariot för slumpmässiga händelser genom att använda sin intuition av subjektiva antaganden (Lecoutre et al., 2006). Om exempelvis en sexsidig tärning kastas under två upprepade försök tio gånger där den första seriens exakta utfall är; 1111111111 och den andra
9 seriens exakta utfall är; 6125563152 anser majoriteten av de tillfrågade individerna att den senare serien representerar den mest sannolika händelsen (Lu et al., 2014). Forskning förklarar att bristande matematiska resonemang och subjektiva antaganden ligger till grund för denna uppfattning (Lu et al., 2014; Kahneman & Tversky, 1972). Det beror på att den anses var mer representativ att representera en händelse, där slump har en avgörande betydelse. Intuitiva resonemang bidrar till missuppfattning som individer besitter oberoende av yrkesgrupp eller utbildningsnivå (Kahneman & Frederick, 2002). Missuppfattningar som grundar sig av känslomässiga aspekter är svåra att övervinna. Det beror på att människor ofta vill finna ett samband mellan olika slumpmässiga händelser, även om det inte råder något samband (Garfield & Ahlgren, 1988). Vidare framkommer det att även om en människa undervisas om olika slumpfenomen visar forskning att missuppfattningar fortsätter finnas parallellt med den formella matematiska kunskapen (Kahneman & Frederick, 2002; Lu et al., 2014).
3.4 Teoretisk utgångspunkt
Ett ramverk för lärarkunskap inom matematiken som beskrivits i inledningen är MKT,
Mathematical Knowledge for Teaching (Ball et al., 2008) (se figur 1). MKT som teoretiskt
ramverk är uppdelat i två huvudgrenar, där den ena förgreningen syftar till lärarens ämneskunskaper, SMK (Subjekt Matter Knowledge) medan den andra syftar till lärarens pedagogiska kunskaper; PCK (Pedagogical Content Knowledge). Detta matematiska ramverk karaktäriseras utifrån olika underrubriker.
Figur 1: Olika områden inom MKT, Mathematical Knowledge for Teaching.
Denna studie består av ett specifikt matematiskt område som undersöker lärarstudenters kunskaper och uppfattningar inom sannolikhetslära. MKT som ramverk fokuserar på lärarens kunskaper och i många avseenden kännedom om missuppfattningar där läraren ska kunna
10 redogöra för hur elever förstår och uppfattar ett specifikt innehåll (Ball et al., 2008). Det kräver att läraren besitter goda ämneskunskaper i sannolikhetslära, samtidigt som läraren använder pedagogiska kunskaper för att undervisa sin elevgrupp som grundar sig i kännedom om elevers kunskaper och förmågor (Skolverket, 2011). Studien avser framför allt att använda och belysa underrubrikerna CCK (Common Content Knowledge), SCK (Specialized Content Knowledge) och KCS (Knowledge of Content and Students) (Ball et al., 2008). CCK innebär de grundläggande matematiska kunskaper som de flesta individer har mött i den svenska grundskolan och som de allra flesta har förståelse för. Inom sannolikhetslära kan det omfattas av enkla slumpmässiga händelser genom spel och lekar i undervisning (Skolverket, 2011). CCK utifrån ett lärarperspektiv menas de allmänna matematiska kunskaper som behövs i undervisning. Bland annat lärares begreppsförståelse, vilket material som är fördelaktigt att använda sig av och vetskap om hur beräkningar utförs, exempelvis hur den klassiska sannolikhetsdefinitionen beräknas. Med SCK menas sådana kunskaper av ett specifik matematiskt innehåll som nödvändigtvis inte behövs annat än i undervisningskontexter för elevers lärande. Exempelvis ska lärare genom SCK bland annat kunna presentera matematiska idéer och koppla idéer till varandra, svara på elevernas varför-frågor, kännedom om vilka representationer som behövs för att exemplifiera ett specifikt matematiskt innehåll och även ge eller utvärdera matematiska förklaringar. Med KCS menas att lärare behöver förutspå elevers troliga tolkningar och kännedom om missuppfattningar av ett varierat matematiskt innehåll. Lärares förmåga att välja rätt uppgifter efter elevers kunskaper och förmågor har betydelse. Det kräver god kännedom om elevgruppen och elevers matematiska kunskaper. Det kan exempelvis vara betydelsefullt att lärare demonstrerar en oberoende slumpmässig händelse med få utfallsrum, i stället för en sammansatt händelse med fler utfallsrum vid introduktion kring sannolikhetslära (Ball et al., 2008).
Eckert och Nilssons (2013) studie som baserats utifrån MKT skrev fram ytterligare en inriktning som är relevant för den aktuella studiens syfte och frågeställningar, närmare bestämt KCTP (Knowledge of Content and Teaching Probability). KCTP utgår från den ena förgrening PCK och framhåller betydelse av lärares pedagogiska kunskaperna. Eckert och Nilssons (2013) syfte var att belysa aspekter av hur undervisning möjliggör för elevnära samtal och diskussioner där lärarens ämneskunskaper är betydelsefulla. Motivet till varför det är viktigt att knyta MKT i relation till sannolikhetslära beror enligt Eckert och Nilsson (2013) på att sannolikhetslära är en skild gren inom matematiken. Det finns ett behov av att utmana lärare att vara mer medvetna om de olika aspekter som sannolikhetslära utgörs av. Slump och sannolikhet är som nämnt
11 tidigare processer av händelser där kunskaper utvecklas genom sannolikhetsresonemang. Därför är det viktigt enligt KCTP att kontextualisera olika slumpfenomen. Kännedom av lärare att veta vad, hur och varför det har betydelsen för ett specifikt innehåll som ska kommuniceras i en undervisningskontext. Exempelvis skillnader mellan den klassiska sannolikhetsdefinitionen och frekvensdefinitionen som innebär att tolka olika aspekter av slumpfenomen.
12
4. Metod
I detta avsnitt redogörs för val av metod, studiens genomförande, vilket urval som studien syftar att undersöka och hur analysen har gått tillväga. Avslutningsvis behandlas etiska ställningstaganden och studiens validitet och reliabilitet.
4.1 Val av metod
Studien syftar till att omfatta en bred förståelse för lärarstudenters kunskaper och uppfattningar av slump och sannolikhet i området sannolikhetslära. För att undersöka detta användes en kombinerad insamlingsmetod. Val av metod blev då kvantitativ metod med en kvantitativ och kvalitativ analys. Materialet som har använts i studien är en elektronisk enkät skapad i Google
forms bestående av nio frågor som består både av flervalsalternativ och textutrymme för
skriftliga svar. Enkäten är skapad i elektronisk form eftersom det möjliggör att nå ut till fler individer samtidigt och att det genererar till effektivisering vid analys. Analysenheten som bestod av lärarstudenter analyserades både på ett kvantitativt och kvalitativt sätt. Kvantitativ metod användes för att samla in data för att få syn på samband och förekomster mellan olika faktorer. Kvalitativ metod användes för att få en helhet av det som lärarstudenterna skriver fram när de svarar på frågorna (Dimenäs, 2016). Studien tar stöd av båda dessa metoder för att få syn på och undersöka mätbara skillnader (Bryman, 2018, kap. 7). Kvantitativ och kvalitativ analysmetod kompletterar varandra och kan fungera bra vid övergripande undersökningar (Bryman, 2018, kap. 2). Dessa kombinerades för att få mer fullständiga svar och bidrar till fördjupad insikt i kunskaper och uppfattningar av studiens syfte (Bryman, 2018, kap. 27).
4.2 Genomförande
Området som denna studie grundade sig på valdes utifrån skribentens egna erfarenheter från sin lärarutbildning. Missuppfattningar och svårigheter som förekommer både hos lärare och elever i sannolikhetslära bidrar till intresseväckande frågeställningar. Slump och sannolikhet är områden som i viss mån har betydelse i individers vardag, där kunskaper och uppfattningar inom detta matematiska område kan skilja sig beroenden på erfarenheter. Dessa kunskaper och uppfattningar har betydelse i praktiken för verksamma lärare av vad som kan behöva utvecklas i undervisning. Planeringsfasen med enkäten grundar sig i de frågeställningar som utgörs av denna studie. I första hand tog studien stöd av forskning och litteratur för att sammanställa frågor som syftar till att analysera varierande områden kring sannolikhetslära. Därefter testkördes frågorna mot en testgrupp. Avsikten med att testköra frågorna är att undersöka
13 frågornas validitet, om frågorna anses relevanta för studiens frågeställningar (Larsen, 2007). Resultatet av testomgången visade på att de flesta frågorna fungerade bra. Mindre justeringar av vissa frågors meningsuppbyggnad omarbetades. En fråga lades till innan mejlutskick till lärarstudenterna för att få svar på samma område med två frågor av ett specifikt innehåll. Det gjordes för att erhålla mer data av samma slumpfenomen vid analysen för att jämföra likheter och skillnader av lärarstudenters uppfattningar.
Vid valet av teoretiskt ramverk använde sig den aktuella studien av Mathematical Knowledge for Teaching (MKT) då studiens syfte relaterar till lärares matematiska ämneskunskaper och pedagogiska kunskaper. Motivet till denna teori är att analysera och jämföra allmänna kunskaper, specifika kunskaper och vanligt förekommande missuppfattningar inom sannolikhetslära. Detta teoretiska ramverk användes för att spegla studiens resultat i diskussionsavsnittet.
4.3 Urval
För att mäta och få kunskap om det som studien avser, var kriteriet att deltagarna skulle vara lärarstudenter som genomgår en grundlärarutbildning. Denna studie är genomförd på Högskolan i Jönköping där 390 lärarstudenter som går grundlärarutbildningen med inriktning i årskurs F-3 och årskurs 4-6 i termin 2, 4, 6 och 8 tillfrågades. Sammanlagt svarade 55 stycken på enkätundersökningen (se figur 2). Högskolan i Jönköping ses som ett stickprov bland andra universitet och högskolor med lärarstudenter som utbildar sig till grundskollärare i de lägre årskurserna (Bryman, 2018). Därav skickades den elektroniska enkäten till lärarstudenterna genom sannolikhetsurval för att erhålla så många lärarstudenters svar av studiens syfte och frågeställningar. Alla lärarstudenter fick samma möjligheter att delta i undersökningen och tiden som enkäten låg öppen för att delta var fyra dagar. Därefter stängdes möjligheten att svara och analyssammanställningen av den kvantitativa enkäten påbörjades. För att bidra till högre trovärdighet genom generalisering av ett stickprov är en tumregel att storleken på urvalet ska vara minst 30 individer (Larsen, 2007). Storleken på urvalet var för låg för varje enskild termin för att göra statistisk analys, framförallt då lärarstudenter i termin 4 och 6 endast var sex stycken i varje termin. Lärarstudenterna som gick första halvan av lärarutbildningen utgjordes av totalt 24 individer, lärarstudenter som gick sista halvan av lärarutbildningen utgjordes av totalt 31 individer och hela urvalet bestods av 55 deltagare. Gruppen med lärarstudenter som gick första halvan av utbildningen hamnar som bemärkt under denna tumregel med 30 individer och
14 diskuteras vidare i metoddiskussionen om varför studien ändå anser detta urval är representativt.
Figur 2: [Färg]. Översikt av deltagarantal för varje termin.
.
4.4 Analys
Den elektroniska enkät som lärarstudenterna svarade på analyserades på ett kvantitativt och kvalitativt sätt. Detta bidrog till att erhålla så mycket data som möjligt vid framställandet av resultatet (Bryman, 2008, kap 17). Data laddades ner direkt efter att svarstiden upphört och sammanställning av de 55 analysenheterna påbörjades. Programvaran Google forms möjliggjorde att data presenterades i form av diagram för att urskilja procentuell fördelning av de stängda flervalsalternativen (se bilaga 1). Materialet sammanställdes sedan i programvaran
Excel för att beräkna procentuella skillnader och urskilja deltagarnas skriftliga svar.
Färgkodning användes vid analysen av fritextfrågorna för att få en systematisk överblick av olika terminer.
Varje fråga, exempelvis fråga 1, bestod av 1a och 1b, där a-frågorna var flervalsalternativ och b-frågorna var fritextutrymme. För att kunna lämna in sin enkät var det obligatoriskt för varje deltagare att markera ett alternativ på flervalsfrågorna och skriva sin redogörelse i fritextutrymmet. Enkäten frågade efter vilken termin som den svarande gick i för att studien skulle kunna analysera skillnader och göra jämförelser mellan terminer. Argumentet som ligger till grund för att dela in datamaterialet i två grupper istället för varje termin var för sig, är att det blir för få lärarstudenter i varje termin för att generalisera. Resultatet kan därav inte anses vara approximativt normalfördelat om inte deltagarna delades in i två grupper vid jämförelse mellan första halvan av lärarutbildningen och sista halvan av lärarutbildningen. Programvaran
18
6 6
25
Totalt 55 Lärarstudenter
15 Google forms möjliggjorde dessvärre inte att automatiskt urskilja vilken termin som deltagaren gick i. Därför bearbetades och sammanställdes enskilda svar manuellt med stöd av Excel för att jämföra de två urvalgrupperna vid analysarbetet. Flervalsfrågorna analyserades genom frekvensfördelning. Det medförde att procentuella skillnader framkom tydligt för varje fråga och underlättade analysen för hela enheten.
För att analysera och beräkna lärarstudenternas skriftliga redogörelser tog den aktuella studien stöd av Nilssons och Lindströms (2013) analysmetod. Det efterliknades genom att jämföra kvalitativa skillnader av deltagarnas svar med varandra i form av kategorisering (se tabell 1). På förhand hade studien fastställt olika nivåer av de skriftliga svaren på b-frågorna i form av kodning. Exempel i uppgift 3b urskildes fyra nivåer från 0–3 där tre är den högsta nivån. Den totala maxnivån som hela analysenheten kunde få är 3*55=165. Nivån i denna uppgift beräknades (0*9+1*31+2*6+3*9) / (165) som är 42% genomsnittlig nivå för lärarstudenternas redogörelser och uppfattningar för slumpfenomen i uppgift 3b.
16 Tabell 1: Översikt av nivåskillnad för lärarstudenters redogörelser och uppfattningar.
Fråga: Nivå: Nivåmarkering av lärarstudenternas redogörelser och uppfattningar.
1b 0
1
Redogör för generellt/missvisande, oförmåga att förklara/gissar, eller inte relevant för uppgiften.
Redogör på ett fungerande sätt att sannolikheten för uppgiften är lika sannolik.
2b 0
1 2
Redogör som för heuristisk representativitet, oförmåga att förklara/gissar, eller inte relevant för uppgiften.
Redogör på ett fungerande sätt att sannolikheten för uppgiften är lika sannolik. Redogör tydligt för sannolikheten av slumpmässig händelse för utfallsrum exempelvis genom bråk, procent eller utfallsrum.
3b 0
1 2 3
Redogör för generellt/missvisande, oförmåga att förklara/gissar, eller inte relevant för uppgiften.
Hänvisar endast till slump som faktor eller lika stor sannolikhet i sin förklaring.
Redogör för att sannolikheten av de exakta utfallen 6–6 & 5–6 har lika stor sannolikhet.
Refererar till att de två olika händelserna har olika sannolikhet.
4b 0
1 2 3
Redogör för generellt/missvisande, oförmåga att förklara/gissar, eller inte relevant för uppgiften.
Anger bråk, procent eller utfallsrum i sin förklaring.
Betonar att det gröna kortet som är grönt på båda sidorna kan uteslutas. Redogör för beroende händelse av utfallsrum.
5b 0
1 2
Redogör som för heuristisk representativitet, oförmåga att förklara/gissar, eller inte relevant för uppgiften.
Redogör på ett fungerande sätt att sannolikheten för uppgiften är lika sannolik. Redogör tydligt för sannolikheten av slumpmässig händelse för utfallsrum genom exempelvis bråk, procent eller utfallsrum.
6b 0
1
Redogör för generellt/missvisande, oförmåga att förklara/gissar, eller inte relevant för uppgiften.
Anger bråk, procent eller utfallsrum för att förklara lika stor sannolikhet eller resonerar över vad som är kvar i lådan genom beroende och oberoende händelse.
7b 0
1 2
Redogör för generellt/missvisande, oförmåga att förklara/gissar, eller inte relevant för uppgiften.
Antal försök har betydelse, flera försök närmre förväntningarna.
Hänvisar till stora talens lag, variationen i små stickprov för händelse eller försök är större.
8b 0
1 2
Redogör som för heuristisk representativitet, oförmåga att förklara/gissar, eller inte relevant för uppgiften.
Redogör på ett fungerande sätt att sannolikheten för uppgiften är lika sannolik.
Redogör tydligt för sannolikheten av slumpmässig händelse för utfallsrum genom exempelvis bråk, procent eller utfallsrum.
9b 0
1 2
Redogör för generellt/missvisande, oförmåga att förklara/gissar, eller inte relevant för uppgiften.
Redogör för att stickprov med fler försök troligtvis jämnar ut resultatet. Redogör tydligt att stora talens lag fastställer resultatet med stöd av bråk eller procent.
17 4.5 Etiska överväganden
Etiska överväganden har gjorts i enlighet med god forskningssed av Vetenskapsrådet (2017). Dessa fyra direktiv och krav är; informationskravet, samtyckeskravet, konfidentialitetskravet och nyttjandekravet. Att delta var frivilligt och de medverkande fick information i mejlet om att svaren endast användes i studiens syfte. Det framkom även vem som undersökte och hur länge enkäten låg öppen för att vara med samt information om vilket urval som studien avser att undersöka. Enkäten innehöll endast frågor som är relevanta för att undersöka lärarstudenters kunskaper och uppfattningar kring ämnesområdet sannolikhetslära. Det var därför obligatoriskt att markera vilken termin som deltagaren går i för att undersöka skillnader mellan terminer. I enkäten meddelades även att den som deltar i studien förblir anonym och att identiteten inte på något sätt kommer avslöjas. Anonymitet bidra till att deltagarna vanligtvis svara mer ärligt (Larsen, 2007). Detta kan tyckas ge denna studie en högre validitet. Förutom att se vilken termin den enskilde deltagaren gick i fanns det ingen möjlighet att koppla svaren till en specifik individ. Avidentifiering i studien skedde genom att lärarstudenternas skriftliga redogörelser benämndes exempelvis, deltagare 24 och så vidare. Kodlistan för de svar och redogörelser som studien grundar sig på kommer raderas efter att arbetet blivit godkänt i enlighet med Vetenskapsrådets (2017) direktiv.
4.6 Validitet och reliabilitet
De nio frågor som enkäten innehåller har konstruerats med stöd av tidigare forskning och rapporter från Skolverket (Nilssson & Lindström, 2013; Lu et al., 2014; Skolverket, 2015) och bidrog till att mäta det som avsågs enlig studiens syfte och frågeställningar. Frågorna som utgör grunden för studien har därav efterliknats, men även omformats, för att passa studiens syfte och frågeställningar för specifika områden inom sannolikhetslära. Frågorna testkördes till en början av en testgrupp som bidrog till bättre grammatiskt utformade frågor med högre relevansen för studiens syfte och frågeställningar. Frågorna bestod till stor del av dupletter för att öka validiteten. I ett av de områdena som undersöks finns tre frågor av liknande matematiskt innehåll inom sannolikhetslära. Det bidrog till möjliga orsakssamband av liknande fenomen och validiteten ökade genom denna utformning som var viktig för att mäta och få syn på de variabler som studien avser (Dimenäs, 2016). Kombinationen av kvantitativ och kvalitativ metod skapar enligt Larsen (2007) förutsättningar för en högre validitet och reliabilitet, då främst nackdelar för en av de båda metoderna kan stöttas upp av den andra metoden.
18 Materialet av de 55 analysenheterna har stegvist analyserats av en person. Med stöd av Excel och Google forms har materialet grundligt kontrollerats vid flera tillfällen för att fastställa resultatet som bidrog till reliabilitet. Det totala antalet deltagare ansågs representativt då hela 55 analysenheter har erhållits vilket bidrog till att resultatet kunde generaliseras (Larsen, 2007). Kodningslistan (se tabell 1) för vilken nivå som utmärker ett specifikt skriftligt svar har efterliknats i stor utsträckning av tidigare forskning (Nilsson & Lindström, 2013) som resulterade i hög reliabilitet. Personliga värderingar har frångåtts, och hela processen, från genomförande till slutsatser har därmed inte påverkats. Studiens tillförlitligheter kan anses hög då tillvägagångsättet och genomförandet är sammanställt med hjälp av vald metod. Materialet i form av rådata har funnits tillgänglig under hela processen under arbetets gång för att kunna gå tillbaka och jämföra mot studiens syfte och frågeställningar.
19
5. Resultat
I detta avsnitt kommer resultatet att presenteras med stöd av tabell 2 (se sidan 20). Alla lärarstudenter kommer framöver betecknas LS och vid resultat som riktar sig mot att jämföra olika terminer kommer de lärarstudenter som gör första halvan av lärarutbildningen betecknas LS24 och lärarstudenter som går sista halvan av utbildningen betecknas LS68.
5.1 Beskrivning av tabell
Av de nio frågor som enkäten bestod av är de stängda flervalsfrågorna markerade med bokstaven a, medan fritextsvaren är markerade med bokstaven b. I tabell 2 (se sidan 20) har enkäten som LS svarat på sammanställts för att visa antal rätt svar på a-frågorna och den genomsnittliga procentsatsen på både a-frågorna och b-frågorna. Till vänster i tabellen visas vilken fråga som berörs och vilket område som testas i sannolikhetslära. Fritextsvaren baseras utifrån nivåskillnader av kvalitativa svar av LS redogörelser och uppfattningar (se tabell 1, sidan 16), därav visas endast den procentuella genomsnittliga nivån för b-frågorna i tabell 2.
20
Tabell 2: Översikt av lärarstudenters rätta svar på a-frågor för varje grupp. Procentuell
genomsnittlig rätt svarsfrekvens på a-frågor och procentuell genomsnittlig nivå för redogörelser och uppfattningar på b-frågor.
LS-Totalt 55 LS24-Totalt 24 LS68- Totalt 31 LS- Totalt 55 LS24- Totalt 24 LS68- Totalt 31 Fråga – Testar område Antal rätt svar på a-frågor Fråga – Testar område Antal rätt svar på a-frågor Genomsnitt % Genomsnitt % 1a – Oberoende händelse med procentuellt lika proportioner 46 st. 84% 17 st. 70% 29 st. 94% 5b 45% 33% 53% 1b 80% 71% 87% 6a – Beroende slumpmässig händelse utan återläggning 55 st. 100% 24 st. 100% 31 st. 100% 2a – Representativitet, händelse av exakt utfallsrum 40 st. 73% 17 st. 70% 23 st. 74% 6b 96% 96% 97% 2b 41% 35% 45% 7a – Relativa frekvensens stabilisering 14 st. 25% 5 st. 20% 9 st. 29% 3a – Sammansatt händelse för kombinationer av utfallsrum 12 st. 22% 6 st. 25% 6 st. 19% 7b 17% 8% 24% 3b 42% 43% 42% 8a – Representativitet, oberoende enstaka slumpmässig händelse 52 st. 95% 22 st. 92% 30 st. 97% 4a – Beroende händelse för olika utfallsrum 5 st. 9% 1 st. 1% 4 st. 13% 8b 80% 79% 81% 4b 30% 24% 34% 9a – Relativa frekvensens stabilisering 25 st. 45% 7 st. 29% 18 st. 58% 5a – Representativitet, händelse av exakt utfallsrum 32 st. 58% 12 st. 50% 20 st. 65% 9b 29% 13% 42%
21 5.2 Övergripande resultat av enkät
Studiens resultat visar att LS resonerar i linje med equiprobability-bias i områdena relativa frekvensens stabilisering (fråga 7 och 9), representativitet för händelse av exakta utfallsrum (fråga 2 och 5), sammansatt händelse för kombinationer av gynnsamma utfall (fråga 3) och beroende slumpmässig händelse för möjliga gynnsamma utfall (fråga 4). Det visar sig både att kunskaperna i vissa områden är begränsade och att uppfattningar som LS redogjorde för är missvisande eller inte relevant för uppgiften. Enkäten visar att i uppgift 1a-9a som är de stängda flervalsfrågorna är 57% genomsnittligt rätt för samtliga LS och där 51% är genomsnittligt rätt för LS24 medan 61% är genomsnittligt rätt för LS68. Det är en ökning med 10 procentenheter vid jämförelse mellan första och andra halvan av lärarutbildningen. För frågorna 1b-9b som innebär för LS att resonera och skriva sina förklaringar, visar resultatet på 51% genomsnittlig nivå för resonemang och förklaringar. Där LS24 visar på 45% i genomsnitt och LS68 uppvisar 56% i genomsnitt. 1b-9b speglar ungefär det resultat av mellanskillnad som framkommer i flervalsfrågorna men med en liten ökning till 11 procentenheter som skiljer de båda grupperna åt.
5.2.1 Styrkor och svagheter med proportionella samband
Fråga 1 bygger på oberoende enstaka slumpmässig händelse där proportionerna i förhållande till varandra är lika stora. LS resultat för denna uppgift visar att majoriteten (84%) klarar denna uppgift. Fråga 6 skiljer sig i sin utformning genom att LS ska svara på en beroende slumpmässig händelse för utfallsrum. Denna fråga har likheter med fråga 1 då det gäller att jämföra proportioner med varandra för att svara på hur stor sannolikheten är, vilket samtliga LS (100%) svarade rätt på i uppgift 6a. Fråga 8 har likheter med både fråga 1 och 6 för proportionernas sannolikhet av utfallsrum. Fråga 8 undersöker å andra sidan området representativitet men även oberoende enstaka slumpmässig händelse av ett mynts utfallsrum där genomsnittligt rätt svarsfrekvens är på en hög nivå (95%). Vidare visar samtliga LS styrkor för b frågorna i de områden som har presenterats. Resultatet visar att skillnader mellan LS24 och LS68 inte utmärker sig signifikant för dessa frågor av att redogöra och resonera. För de domäner som innebär att jämföra enkla proportioner med varandra och som innehåller enstaka slumpmässiga händelser av fåtal utfallsrum hamnar LS relativt högt utifrån övriga områden.
I många av LS skriftliga svar för sannolikhetsfenomen tolkas och förklaras slumpen som en opålitlig faktor över att fastställa ett resultat. Det framkommer i uppgift 7 som handlar om relativa frekvensens stabilisering att proportionerna i förhållande till varandra kan vara en
22 bidragande orsak. Uppgiften går ut på att jämföra små och stora stickprov av en oberoende händelse av ett mynts två utfallsrum. LS fick svara på frågan om det är mer sannolikt att få krona 7 gånger på de 10 första kasten, eller att få krona 70 gånger på de 100 första kasten. 25% procent av LS valde rätt alternativ i uppgift 7a, att sannolikheten för att få krona 7 gånger på de 10 första kasten är mer troligt i jämförelse med 70 gånger på de 100 första kasten. I genomsnitt visar resultatet på en lägre nivå i uppgift 7b där 17% av LS gav en godtagbar redogörelse av att förklara denna företeelse. Flertalet svarade lika stor sannolikhet i denna uppgift i linje med equiprobability-bias. Jämförelse mellan nivåskillnader av första och andra halvan av lärarutbildningen syns skillnader där LS68 visar på ökad förståelse av att förklara och redogöra för relativa frekvensen av små stickprov. Dessa skillnader i förhållande till den totala nivå som alla LS uppnådde visar att problematiken för begreppet relativa frekvensens stabilisering ändå är stor hos båda grupperna. I uppgift 9 undersöks samma begrepp där genomsnittligt 45% av LS svarade rätt på flervalsalternativen. I uppgift 9 syns en graf som visar proportionerna för ett mynts relativa frekvens som har kastats cirka 1500 gånger (se figur 3).
Figur 3: Grafen visar ett mynts relativa frekvensen för utfallsrummet klave i uppgift 9.
Deltagarna fick frågan hur grafen sannolikt kommer se ut efter det 10,000 kastet. Mer än hälften (53%) valde svarsalternativet: Proportionerna för klave är ren slump och därför går det inte
fastställa ett resultat. Deltagare 33 som går första halvan av lärarutbildningen redogör i sin
förklaring. ”Vid varje kast är det 1/2 chans till båda alternativen. Det innebär att det är en
sannolikhet att, exempelvis, alltid få klave”. Denna förklaring av deltagare 33 är både i linje
23 kan innebära att klave alltid visas. I uppgift 9b skiljer sig resultatet signifikant mellan LS24 och LS68 med 29 procentenheter.
Gemensamt för frågorna 7 och 9 som handlar om relativa frekvensen och relativa frekvensens stabilisering bortser de flesta LS från storleken på stickproven. Resultatet visar att LS i större utsträckning redogör för jämförelser mellan proportionerna istället för redogörelser av att fler slumpförsök innebär stabilisering av resultat. Det visar sig tydligt att skillnaden och betydelsen av små och stora stickprov är ett område som LS inte uppmärksammar, vilket skapar problematik för slumpmässiga händelser i domänen frekvensdefinition.
5.2.2 Representativitet i handling, heuristisk representativitet
Uppgifterna 2 och 5 omfattas av begreppet representativitet som innebar att deltagarna fick välja mellan två olika serier av gynnsamma händelser. Även uppgift 8 hör till detta begrepp som tidigare påpekats, men som skiljer sig i sin utformning. Resultatet visar att LS på fråga 2 och 5 svarar och redogör i viss mån för heuristiska representativitet när de får välja mellan två olika serier av slumpade händelser. I uppgift 2a får de välja på ett av tre alternativ för hur de uppfattar om en lottoserie är mer sannolik att vinna över en annan. Svarsalternativen var: A)
1-2-3-4-5-6-7, B) 4-9-13-20-21-29-31 eller lika sannolikt för A och B att vinna. Ingen av LS väljer
alternativ A med lottoserien som har en ordningsföljd från 1 till 7. Av alla LS väljer 25% alternativ B som innefattas av begreppet heuristiska representativitet då den tolkas som mer representativ för en slumphändelse. Majoriteten av LS svarar att det inte spelar någon roll vilken av lottoserierna som väljs då de är lika stor sannolikhet för båda. De flesta LS resonerar som deltagare 46, ”eftersom slumpen avgör borde det inte vara någon skillnad” och därav att sannolikheten för slumpade händelser, i detta exempel inte påverkar utfallets resultat för lottoserien.
I uppgift 5 får de välja ett av tre alternativ mellan två händelser av en sexsidig tärnings exakta utfall: A) 1111111111, B) 6125563152 eller lika stor sannolikhet för båda händelserna. Av de tillfrågade är det 40% som anser den senare kombination B), är mer sannolik för en sexsidig tärnings exakta utfall, medan 58% svarar att det är lika stor sannolikhet. I LS redogörelser för 5b svarar deltagare 21, ”eftersom det finns 6 olika sidor så minskar chansen att det fortsätter
vara samma som visas kast efter kast ju fler kast det blir, dvs olika siffror är mer troligt”. Denna
generella tolkning visar på heuristisk representativitet och utgörs av 50% för LS24 medan 35% av LS68 gör denna tolkning. Det är en skillnad på 15 procentenheter mellan första och andra
24 halvan av lärarutbildningen. Resultatet är signifikant, men visar ändå på att heuristisk tolkning är beständig även för LS68.
Båda uppgifterna 2 och 5 innefattas av begreppet representativitet. När LS väljer den serien som är oordnad benämns det för heuristisk representativitet. Deltagare 3 skriver, ”Känslan
säger att det är lika stor sannolikhet” på uppgift 5b. Ytterligare 23 stycken LS redogör för
liknande tolkning på uppgift 5b. Vidare visar resultatet att 15 stycken LS har denna uppfattning på uppgift 2b. Även om uppgifternas resultat visar skillnader för heuristisk representativitet är det intressant att intuitionen eller känslan av vad som anses mer trolig tydligt redogörs av flera LS på båda uppgifterna.
5.2.3 Beroende och sammansatt händelse för kombinationer av utfallsrum
Den frågan som LS har lägsta genomsnittlig rätt svarsfrekvens på är fråga 4a där endast 9% av alla 55 deltagare svarade korrekt. Frågan undersöker området beroende slumpmässig händelse för kombinationer av utfallsrum. Den innebar att tolka hur sannolikheten påverkas av att plocka ett av tre kort med en specifik färg (blå) som bidrar till mer eller mindre sannolika utfall av utfallsrum (se figur 4).
Figur 4: [Färg]. Figuren visar en beroende händelse när den blå sida först visas och hur
utfallsrummet förändras nästkommande försök.
Ett kort var blått på båda sidor, ett kort var grönt på båda sidor och ett kort var grönt på ena sidan och blått på andra sidan. Några få LS redogör i uppgift 4b att det går utesluta det kortet som är grönt på båda sidorna då en blå sida framträder, men svarar ändå felaktigt, att det är lika stor sannolikhet för blå som grön på andra sidan kortet. Vissa LS resonerar även att baksidan av kortet med stor sannolikhet är grön då den blå sidan visas, som också är ett felaktigt resonemang. Att helt utesluta det gröna kortet för att sedan förklara att sannolikheten är mer trolig för den blå sidan redogörs endast av tre LS där samtliga går sista halvan av lärarutbildningen. Vad som är intressant med denna uppgift är att den har likheter med uppgift 1 och 6 som majoriteten av LS svarade korrekt på. Likheterna med frågorna 1 och 6 är att proportionerna till en början i uppgift 4 är 50% lika stor sannolikhet att plocka en blå sida som grön. Utfallsrummet förändras när den blå sidan visas och är en beroende händelse som påverkar sannolikheten för att den andra sidan är blå eller grön.
25 Uppgift 4 har likheter med uppgift 3 som innefattas av en sammansatt händelse med två tärningar och visade sig vara problematiskt för LS. Intressant för uppgift 3 är att det är enda uppgiften på enkäten som LS24 (25%) visar ett starkare genomsnitt än LS68 (19%). Totalt antal rätt för alla LS på uppgift 3a är genomsnittet 22%. Likheterna mellan uppgift 3 och 4 är att kunna föreställa sig ett sammansatt utfallsrum med möjliga kombinationer. I uppgift 3a frågas det efter: Om två tärningar kastas samtidigt under två upprepade försök, är det mer sannolikt
för kastet 6–6 eller mer sannolikt för kastet 5–6 eller lika stor sannolikhet för båda kasten? (se
figur 5).
Figur 5: Sammansatt händelse för kombinationer av utfallsrum.
Majoriteten (78%) av LS svarade lika stor sannolikhet och endast 22% av alla LS svarade att det är mer sannolikt för kastet 5–6. Liknande problematik som i uppgift 4 blir synlig för att intuitivt veta kombinationer för en händelse av möjliga utfallsrum. Equiprobability-bias kan även i denna uppgift tolkas som en faktor för hur LS redogör och reflekterar. Majoriteten av LS redogör på uppgift 3b likt deltagare 11. ”Det är 1/6 chans att tärningen landar på 1 av de 6
nummer som finns på tärningen. Chansen att tärningen landar på 5 är lika stor som om den skulle landa på 6”. Denna deltagare lyckas inte urskilja att kombinationerna av de två
utfallsrummen genererar ett nytt utfallsrum där varje siffersumma inte är lika sannolik. Medan deltagare 26 redogör för den nivå som gav högst poäng i sammanställningen. ”Möjliga utfall
för kasten är 36 stycken. Det finns bara ett utfall för att båda tärningarna ska visa 6–6. För 5– 6 finns det två utfall”. Denna deltagare tolkar uppgiften på ett korrekt sätt och använder sig av
ett matematiskt resonemang (se figur 6) för att beskriva kombinationer av utfallsrum.
26 5.2.4 Problematiska områden
Avslutningsvis är det framförallt representativitet, sammansatt händelse, kombinatorik för utfallsrum och relativa frekvensens stabilisering som utmärker sig. Dessa områden inom sannolikhetslära innefattas av alla tre domäner som beskrivs i bakgrunden, den klassisk definitionen, frekvensdefinitionen och intuitiva definitionen. Resultatet visar att LS24 har begränsade ämneskunskaper i sannolikhetslära vilket också uppmärksammas för hur de väljer att redogöra sina uppfattningar. Genomgående visar resultatet att LS68 besitter utvecklade kunskaper i sannolikhetslära och vid jämförelser mellan grupperna av redogörelser på b-frågorna framkommer kvalitativa skillnader mellan LS24 och LS68. De sistnämnda redogör i större utsträckning för hur de uppfattar ett slumpfenomen. De beskriver och förklarar genom ett utvecklat matematiskt språk och kan tolkas som ett metaspråk ju längre in i utbildningen lärarstudenter befinner sig. Det är ett förväntat resultat eftersom LS68 har genomgått en lärarutbildning under en längre tid. Men det visar sig också att de felaktiga resonemangen är beständiga. Det uppmärksammas särskilt i frågorna 2 och 5 som riktar sig till att undersöka representativitet vid exakta utfall av en lottorad och en tärning. Samma fenomen men skilda uppfattningar för vad som anses mer sannolik, alltså samexisterar fler förklaringsmodeller hos alla LS.
27
6. Diskussion
6.1 metoddiskussion
Genom kvalitativ och kvantitativ metod har studiens syfte och frågeställningar besvarats. Validiteten för om den elektroniska enkäten med frågor verkligen mätte det som var menat att mäta kan bekräftas då resultat stämmer väl överens med tidigare forskning inom området. Den teoretiska ramen som arbetet utgått från har visat sig vara positiv för studiens resultat för att få syn på olika lärarkunskaper inom sannolikhetslära. Denna teori har erhållits genom bakgrundsundersökning bland forskning som också undersöker sannolikhetslärans framställning för olika aspekter. Syftet med studien var att undersöka lärarstudenters kunskaper och uppfattningar av slumpmässiga händelser. Tillsammans med frågeställningar gavs ett nyanserat resultat för hur lärarstudenter uppfattar olika aspekter av sannolikhetslära, vilken problematik som framkommer och hur en lärarutbildning påverkar förmågan att resonera, som bidrog till att dra slutsatser mellan första och andra halvan av lärarutbildningen.
Arbetet kändes till en början övermäktigt och jag insåg snabbt att både kvantitativ och kvalitativ metod innebar en hög grad av ansträngning. Det krävande arbetet tillsammans med begränsad tidsomfattning har påverkat studiens resultat. Därav har studien inte det djup som jag själv önskar att den hade. Jag anser ändå att arbetet med studien håller en hög nivå med tanke på den tidsram och de förutsättningar som ligger till grund för arbetet. Denna kvantitativa och kvalitativa studie är genomförd av mig som enskild person. Reliabiliteten för studiens tillförlitlighet hade kunnat öka om fler personer varit delaktiga i arbetet. Enligt Dimenäs (2016) är det gynnsamt om två eller fler observatörer tolkar samma sak, för att sedan diskutera arbetets olika faser av genomföranden gemensamt. Jag är ändå positiv till slutresultatet, då jag med hjälp av handledare och handledningsgrupp har fått tillräckligt med stöd i arbetsprocessen. Specifika fall har diskuterats tillsammans med handledare som sedan kunnat analyserats och jämförts mot liknande fall. Handledningsgruppen tillsammans med handledare har förbättrat analysarbetet. Jag har kunnat sätta min egen prägel på studien med relevant metod, forskning och litteratur till en helhet.
Enkäten var konstruerad av mig med stöd av tidigare forskning. Majoriteten av frågorna är översatta från engelska till svenska, vilket betyder att jag har gjort en tolkning som baserats på mina språkkunskaper vid översättningen av frågorna. En av frågorna förändrades för att bättre passa hela enkätens utformning, som alla innehöll tre stängda flervalsalternativ och
28 fritextutrymme. Jag anser att de rätta frågorna har ställts för att få syn på olika aspekter i sannolikhetslära, vilket Bryman (2018) belyser kan vara problematiskt vid utformandet av frågor av ett specifikt innehåll.
Kategoriseringstabellen som användes för att analysera lärarstudenternas skriftliga svar har i så stor utsträckning som möjligt efterliknats av Nilsson och Lindströms (2013) studie. Svaren som erhållits från lärarstudenterna har tolkats enskilt av mig. Om liknande studie görs kan jag inte garantera att liknande tolkningar görs vid sammanställning av resultat. Det är av vikt att vara precis och noggrann vid kvantitativa studier när det kommer till analys av material (Larsen, 2007). Processen för att tolka elevernas svar har upprepats av mig för att säkerställa att all data stämmer. Det handlar om reliabilitet och denna noggrannhet genomsyrar hela arbetsprocessen.
Av totalt 390 tillfrågade lärarstudenter svarade 55 stycken på enkäten. Det är en svarsfrekvens på 14% och i relation till hela antalet lärarstudenter som tillfrågades kan det anses vara en låg svarsfrekvens. Det kan troligtvis ha påverkat resultatet, då ett tänkt scenario är att de som svarat är mer bekanta kring området, vilket å andra sidan innebär att bortfallet som är 86% inte svarade på grund av osäkerhet inför detta matematiska område. Indelningen i grupper av första och andra halvan av lärarutbildningen bestod av 24 i första gruppen och 31 i andra gruppen. För att kunna generalisera är det enligt forskning en tumregel att det ska finnas 30 individer i varje grupp (Larsen, 2007). Första gruppens 24 deltagare ligger under denna tumregel, det går ändå att anta att svaren är ungefär normalfördelade och representativa för populationen. Kvantitativ metod innebär att göra generalisering, att dra slutsatser av en hel population. Framförallt anser jag att de 55 analysenheterna är av vikt för studiens trovärdighet.
I så stor utsträckning som möjligt har jag har valt att fokusera på resultat där skillnader mellan grupperna var stor. En regel som speglar resultatet var att om det skiljde 10 procentenheter eller mer skrevs resultatet för den specifika företeelsen fram. För att få en helhetsbild av studien var det i vissa fall viktigt att skriva fram resultat där skillnader låg under denna regel.
