Undersökningens resultat ska nu diskuteras med tidigare forskning och litteratur. Diskussionen är uppdelad efter frågeställningarna.
4.3.1 Vilken av de tre strategierna föredrog eleverna att använda?
Resultatmässigt vet vi att uppställning är den enda strategin som används vid samtliga frågor samt har en hög procentuell andel rätt vid användandet. Vi vet också att uppställning är den strategin som används mest under hela eftertestet med en andel på 58%. Detta bevisar att uppställning är den strategi majoriteten av elever föredrar att använda, vilket stämmer överens med Löwing (2017) som poängterar att uppställningens algoritm är så väl genomtänkt och utprövad att det inte finns någon anledning till att försöka hitta på någon ny variant. Med andra ord, uppställning är en strategi som elever tar till sig för att använda vid uträkning av två- eller tresiffriga multiplikationstal.
Trots detta är fördelningen mellan klasserna ojämna, där klass 6A använder uppställning mest med en andel på 52% av alla klasserna gentemot där motsvarande andel ligger mellan 13–21%
fördelat mellan de resterande tre klasserna. Vi kan tydligt se att fördelningen på antal rätt vid användandet av strategin ligger jämnare fördelat mellan alla klasser (se figur 11). Något jag upptäckte under rättningen av alla tester var att många elever använde strategin rätt men att det brast vid uträkningen. Många elever multiplicerade fel från början och andra adderade ihop fel på slutet av uppställningen. Detta medför att de eleverna saknar automatiseringen av multiplikationstabellerna som gör att det brister i uträkningen utav mer komplexa uppgifter.
Löwing (2017) poängterar att goda baskunskaper och färdigheter behövs i multiplikation.
Genom att exempelvis använda automatisering vid multiplikation, exempelvis automatisering av multiplikationstabellerna, frigörs arbetsminnet hos eleverna vilket leder till bättre flyt vid skriftlig och huvudräkning (Bentley & Bentley, 2016; Caron, 2007; Knowles, 2010; Löwing, 2017; Peng, Barnes, Namkung & Sun, 2015). Vi människor har begränsat med kognitiv kapacitet (Kornell & Bjork, 2009; Löwing, 2017; Parkhurts m.fl., 2010) och forskning har bevisat att automatisering kräver färre kognitiva resurser. Det betyder att de elever som automatiserar vid multiplikation är mer villiga att kunna hantera mer avancerade matematiska uppgifter (Parkhurts, m.fl., 2010; Woodward, 2006), vilket eventuellt kan ses i figur 8, där andelen elever som valde egen strategi i uppgift ett (förmodligen automatiserad uträkning) storleksmässigt motsvarar andelen elever som valde att använda uppställning på den senare uppgiften. Det framgår inte av resultatdelen, men man kan misstänka att det var samma elever som kunde räkna ut uppgift ett i huvudet som senare antog utmaningen att använda uppställning på svårare uppgifter.
Parkhurts m.fl. (2010), beskriver också att de elever som har svårigheter i matematik är i behov av automatisering. Detta stämmer överens med min egen erfarenhet från klassrummet där många elever från årskurs sex har svårt med uppgifter som 7 · 8 och 6 · 8. Detta i sig leder till svårigheter i uppställning med flersiffriga multiplikationsuppgifter, vilket också betyder att även om eleverna förstår hur algoritmen av uppställning fungerar, så brister det om de inte kan multiplikationstabellerna som ska hjälpa dem till att få rätt svar. Då eleverna brister i baskunskaperna har de troligtvis inte förstått de viktiga underliggande principerna av multiplikation, vilket Tasman, Hertog, Zulkardi och Hartano (2011) anser är viktigt.
Sammanfattningsvis, efter att jag har rättat alla eftertester anser jag att majoriteten av eleverna använder strategin uppställning rätt och förstår dess upplägg, men att det brister vid uträkningen. Det går inte att bevisa genom andelen rätt om eleverna har befäst uppställning som strategi. För även om de använder strategin på rätt sätt kan de fortfarande räkna fel i själva uppställningen om de multiplicerar entalen fel med varandra som sedan ger dem fel svar. Alla elever hade under eftertestet tre strategier att välja mellan, samt möjligheten att inte använda någon strategi för att lösa uppgifterna, och då valde majoriteten av elever att använda den som
passade dem bäst, vilket var uppställning. Dessa tre olika strategier hade som syfte att ge möjligheten att välja den strategi som passade dem bäst.
4.3.2 På vilket sätt påverkar elevernas val av strategi deras resultat, i synnerhet i uppgifter där två- eller tresiffriga tal ska multipliceras?
Kollar vi generellt mellan för- och eftertest kan vi se att många elever har lärt sig att multiplicera flersiffriga tal med varandra. När vi däremot kollar på hur många rätt eleverna har fått med eller utan användning av någon strategi, kan vi tydligt se att fler elever får rätt när de inte använde någon strategi på eftertestet gentemot förtestet där majoriteten av elever fick fler rätt när de använde någon strategi. Enligt Caron (2007) krävs strategier för att räkna ut högre multiplikationsuppgifter, emellertid går detta delvis emot vad eleverna precis hade gjort i undersökningen. Enligt läroplanen ska eleven ”välja och använda lämpliga matematiska metoder för att göra beräkningar och lösa rutinuppgifter” (Skolverket, 2018, s.55). Detta har egentligen alla elever gjort eftersom vissa elever har använt någon strategi för att lösa uppgifterna, medan andra har valt att inte använda någon strategi i sin uträkning. Båda räknas självklart in som användning av lämplig metod. Sannolikt har de elever som inte valt att använda någon strategi en form av tillvägagångssätt i huvudet men som de inte skriver ner på papperet och därmed går det inte att se hur eller vad de använder för strategi för att räkna ut de flersiffriga multiplikationsuppgifterna. Med hänvisning tillbaka till kapitel 2.3 hade eleverna ingen tillgång till ett kladdpapper på varken för- eller eftertestet eftersom multiplikationstestet var utformat på så sätt att det fanns plats vid varje uppgift där eleverna kunde visa hur de hade löst uppgiften. Därför kan jag vara säker på att eleverna räknade med huvudet. Dock är det viktigt att poängtera att uppgift ett, fem och sju är uppgifter som kan räknas ut genom att multiplicera ental med ental (se tabell 1). Detta kan ha påverkat resultatet eftersom dessa uppgifter inte behöver användas av någon strategi utan kan räknas ut genom huvudräkning.
Då många elever får fler rätt på eftertestet när de inte använder någon strategi vid uträkning av högre multiplikationsuppgifter, har de eleverna troligtvis goda matematiska färdigheter samt besitter automatisering av de grundläggande fyra räknesätten. Som tidigare forskning och litteratur säger (Löwing, 2017; Parkhurst m.fl., 2010; Specialpedagogiska myndigheten, 2018
& Woodward, 2006) krävs goda baskunskaper i matematik samt automatisering av de grundläggande fyra räknesätten för framgång av mer avancerade matematiska mål och uppgifter. Det är dock viktigt att poängtera att trots att andelen rätt ökade mellan för- och eftertest samt att elever fick fler rätt när de valde att inte använda någon strategi, anser jag att 36% av andelen fel lösningar (vid fel uträkning av med eller utan strategi samt blanka svar är inräknade) av eftertestet av alla elever som deltog fortfarande är en relativ hög andel fel. Jag och andra forskare (Caron, 2017; Rennstam, 2016; Zhang, Ding, Lee & Chen, 2017) är överens kring min första frågeställning (kapitel 4.3.1) om att elever idag visar inlärningssvårigheter av multiplikation. Därefter är det viktigt att elever utvecklar sina färdigheter i de matematiska baskunskaperna samt förbättrar sin automatisering av de fyra räknesätten. Precis som Tasman, Hertog, Zulkardi och Hartano (2011), anser jag att elever även bör koppla multiplikation till sin verklighet.
Som tidigare nämnts har undersökningar om multiplikationer i svenska skolor visat att 55% av elever från årskurs sex inte klarar av multiplikationsuppgifter som 45 · 47 (Löwing, 2017).
Detta kan vi jämföra med en liknande uppgift från mitt multiplikationstest där tvåsiffriga udda tal multipliceras med varandra, exempelvis uppgift sex med uttrycket 21 · 33. Figur 9 visar att cirka 92% av eleverna har rätt när de använder cartesisk produkt (linjer), cirka 87% av eleverna har rätt när de använder uppställning och cirka 50% av eleverna har rätt på uppgiften när de inte använder någon strategi. Detta medför att oavsett vilken strategi eleverna väljer att använda så
gick det bättre än vad Löwing (2017) påpekar. Dock kan detta goda resultat också bero på att strategierna var färska inför eftertestet.
Sammanfattningsvis handlar det om att ha goda baskunskaper i matematik samt god automatiserad räknefärdighet i de grundläggande fyra räknesätten. Som tidigare forskning syftar på (Kornell & Bjork, 2009; Löwing, 2017; Parkhurts m.fl., 2010) har människans arbetsminne begränsat med kapacitet och därför lär elever vid multiplikation, även annan matematik överlag, automatisera de grundläggande fyra räknesätten för att kunna utföra större räkneoperationer. Vid inlärning hamnar först all information i arbetsminnet och för att informationen ska bevaras lär den sedan överföras till långtidsminnet. Likaså gäller det när något ska automatiseras, det lär hamna i långtidsminnet (Bentley & Bentley, 2016). Om vi bortser från andelen fel på eftertestet överlagt (36% och där både alla felaktiga uträkningar samt blanka svar är inräknade) som innefattar alla elever från alla klasser och istället tittar på resultatet av andelen rätt vid använd strategi eller inte använd strategi (se figur 14), ser vi att andelen rätt är hög vid båda delarna med 81% respektive 69%. Majoriteten av elever klarade av att lösa uppgifterna med hjälp av strategier samt utan någon strategi, vilket jag tolkar som att eleverna har en god automatisering av multiplikationstabellerna. Detta betyder också att eleverna har fört över sina automatiserade matematikkunskaper till långtidsminnet och som därmed har hjälpt dem att lösa mer komplexa multiplikationsuppgifter. Denna undersökning bekräftar dock inte om eleverna har befäst de olika strategierna, alltså att de olika metoderna för att kunna lösa komplexare multiplikationsuppgifter. Eftersom både för- och eftertest samt de tre lektionerna skedde under samma vecka, var de tre utlärda strategierna så pass färska i huvudet hos eleverna så att de lättare kunde minnas hur de skulle använda de olika strategierna.
Med andra ord: eleverna har automatiserat multiplikationstabellerna som hjälper dem att lösa större komplexa multiplikationsuppgifter, men det går inte att bevisa om eleverna har befäst metoderna för att veta hur de ska lösa de mer komplexa multiplikationsuppgifterna.
Helt hypotetiskt skulle vi i denna undersökning kunna säga att det inte spelar någon roll om eleverna använder någon strategi eller inte vid uträkning av två- eller tresiffriga multiplikationstal då majoriteten av elever får fler rätt när de inte använder någon strategi. Men enligt skolverket (2018) ska elever beskriva tillvägagångssätt på ett i huvudsak fungerande sätt vid uträkning, vilket menas med att det är viktigt att elever visar hur de har räknat ut en uppgift med hjälp av exempelvis en strategi och i detta fall en strategi som uppställning. Eleverna behöver först få goda baskunskaper i matematik (som de fyra räknesätten) för att få över dem till långtidsminnet. Sedan är det viktigt att automatisera de fyra räknesätten och även där föra över dem till långtidsminnet. Slutligen är det viktigt att eleverna förstår, i detta fall, algoritmens upplägg för att visa hur de har räknat ut en multiplikationsuppgift.
4.3.3 Analys av variationsteori
Nedan kommer jag att diskutera hur variationsteori användes i analysen av resultaten.
Som tidigare nämnts bygger variationsteori på att inhämtningen av kunskap sker genom att upptäcka nya aspekter (Bergqvist & Echevarria, 2011). Det menas med att man separera det man betraktar genom, som tidigare nämnts, exempelvis kontrast och generalisering (Magnusson & Maunula, 2011; Pang & Ling, 2011). Som Magnusson och Maunula (2011) beskriver så använder alltid lärare variation i sin undervisning men variationen är kanske inte alltid medveten, riktad eller systematisk. I tidigare kapitel (kapitel 2.4) har jag beskrivit hur jag har använt variationsteori i min undervisning med olika kontraster och generalisering. I multiplikationstestet har jag också generaliserat testet där variationen är medveten och riktad mot att se hur eleverna väljer att hantera de olika multiplikationstalen. Exempelvis har jag
konstruerat uppgifterna i multiplikationstestet med kontrast i åtanke. I uppgift fem och sju ska ett jämnt tiotal multipliceras med ett annat jämnt tiotal. I dessa uppgifter kan eleverna välja att ta bort nollorna, multiplicera entalen som är kvar för att sedan lägga på nollorna igen. Detta i sig betyder att eleverna inte behöver använda någon större metod (som uppställning eller cartesisk produkt) om de inte vill då det räcker med att ha automatiserat multiplikationstabellerna 1-10 tidigare för att lösa dessa typer av uppgifter.
Viktigt att poängtera är att kontrast och generalisering även kan användas av eleverna utan att de är medvetna om det. I detta multiplikationstest är eleverna omedvetna om hur de generaliserar de olika uppgifterna som leder till vilken typ av metod de använder för att lösa dem. Eleverna ser karaktären av uppgifterna och varierar sin användning av de olika metoderna.
Detta är även något vi lärare bör bli medvetna om när vi exempelvis rättar olika tester och prov som eleverna gör.
I multiplikationstestet finns olika multiplikationsuppgifter där samtliga går att räkna ut med hjälp av olika strategier. Multiplikationstestets uppgifter förändras under hela testet med större tal ju längre in på testet eleverna kommer. Talen i de olika uppgifterna har olika egenskaper, där vissa uppgifter kan ställas mot varandra för att påvisa kontrast: till exempel uppgift ett använder endast ensiffriga tal, medan uppgift fem och sju använder jämna tiotal. Det som kontrasterar är endast att man förändrar att det ska vara tiotal, medan resten lämnas oberört.
Som en del av resultatet har majoriteten av eleverna värderat uppgifterna som så att ju högre och svårare multiplikationstal det blir, desto mer använder eleverna strategin uppställning.
Exempelvis i figur 8 kan vi se att i de tre sista uppgifterna är andelen av användningen av strategin uppställning högst i jämförelse med hur det är på andra uppgifter och dessa tre uppgifter har multiplikationerna: 35 · 40, 45 · 45 och 123 · 112. Antagligen uppfattas de tre sista uppgifterna som en och samma sorts uppgift av eleverna och som de ser som multiplikationer av ”stora tal”. Detta kan betyda att eleverna ger sig på att multiplikationer med stora tal på ett och samma sätt och med det sättet som fungerat bäst för dem hittills, vilket har varit uppställning. Och detta är varför de inte varierar strategier.