AKADEMIN FÖR TEKNIK OCH MILJÖ
Avdelningen för elektroteknik, matematik och naturvetenskap
Learning Study med multiplikation
Att befästa olika strategier för att räkna ut högre multiplikationstal – En Learning Study i årskurs 5 och 6
Sofie Enander 2020
Examensarbete, avancerad nivå, 30hp Matematik
Grundlärarprogrammet med inriktning mot arbete i grundskolans årskurs 4-6
Handledare: Yukiko Asami Johansson Examinator: Olov Viirman
Sammanfattning: Syftet med denna undersökning är att studera utlärning av vissa strategier för multiplikation med hjälp av modellen Learning Study. Syftet är även att undersöka vilken strategi som är mest effektiv för elever att använda då flersiffriga tal ska multipliceras. Det gjordes en Learning Study i fyra klasser på en mellanstadieskola i Dalarna, två klasser från årskurs fem var med samt två klasser från årskurs sex. Resultatet visar att uppställning är den strategi elever föredrar att använda för att lösa uppgifter med två- eller tresiffriga multiplikationstal. Resultatet visar också att många elever får fler rätt när de väljer att inte använda någon strategi. Majoriteten av eleverna förstår själva algoritmen uppställning, men misslyckas att få rätt svar med den på grund av bristande kunskaper i multiplikationstabellerna 1-10.
Nyckelord: Learning Study, Multiplikation, Strategi, Variationsteori
Innehållsförteckning
1 INLEDNING ... 1
1.1 Bakgrund ... 2
1.2 Litteraturgenomgång ... 2
1.2.1 Multiplikation – upprepad addition ... 2
1.2.2 Minne och automatisering ... 3
1.2.3 Strategier vid multiplikation ... 4
1.3 Teoretiskt ramverk ... 7
1.3.1 Variationsteori ... 7
1.3.2 Learning Study ... 8
1.4 Syfte och frågeställning ... 9
2 METOD ... 10
2.1 Urval ... 10
2.2 Datainsamlingsmetoder ... 10
2.3 Procedur ... 11
2.3.1 Förtest ... 11
2.3.2 Genomgång av strategier ... 11
2.3.3 Eftertest ... 13
2.4 Databearbetning/Analysmetoder ... 14
2.5 Etiska aspekter ... 15
3 RESULTAT ... 17
3.1 Vilken av de tre strategierna föredrog eleverna att använda? ... 17
3.1.1 Fördjupning i användningen av strategier vid eftertest ... 19
3.2 På vilket sätt påverkar elevernas val av strategi deras resultat, i synnerhet i uppgifter där två- eller tresiffriga tal ska multipliceras? ... 20
3.2.1 Fördjupning i andelen rätt mellan för- och eftertest ... 21
4 DISKUSSION ... 24
4.1 Sammanfattning ... 24
4.1.1 Vilken av de tre strategierna föredrog eleverna att använda? ... 24
4.1.2 På vilket sätt påverkar elevernas val av strategi deras resultat, i synnerhet i uppgifter där två- eller tresiffriga tal ska multipliceras? ... 25
4.2 Tillförlitlighet ... 26
4.3 Teoretisk tolkning ... 26
4.3.1 Vilken av de tre strategierna föredrog eleverna att använda? ... 27
4.3.2 På vilket sätt påverkar elevernas val av strategi deras resultat, i synnerhet i uppgifter där två- eller tresiffriga tal ska multipliceras? ... 28
4.3.3 Analys av variationsteori ... 29
4.4 Praktisk tillämpning ... 30
REFERENSER ... 32
BILAGOR ... 34
Bilaga 1: Information och underskrifter från vårdnadshavare – årskurs 5 ... 34
Bilaga 2: Information och underskrifter från vårdnadshavare – årskurs 6 ... 35
Bilaga 3: För- och eftertest ... 36
1 INLEDNING
Undersökningar om multiplikationer i svenska skolor har visat att ungefär 55% av elever från årskurs sex inte klarar av multiplikationer så som 46 · 47 (Löwing, 2017). Detta bekräftar även min egen erfarenhet från klassrummet där den övervägande delen av elever har svårt med högre tal som exempelvis 8 · 12. Löwing (2017) påstår att enligt Lgr 69 ska elever behärska multiplikationsuppgifter som 46 · 47 redan i årskurs fyra men att orsaken till att de misslyckas, är på grund av att de inte kan multiplikationstabellerna och dess strategier. Under Lgr 80 inträffade en diskussion om de matematiska baskunskaperna, vilket ledde till att elever med matematiska svårigheter endast skulle kunna behärska multiplikationer där den ena faktorn var ensiffrig. I dagens läroplan finns det inga direkta direktiv om hur utvecklingen ska ligga i aritmetik och om eleverna ska lära sig multiplicera med två flersiffriga tal (Löwing, 2017), men enligt läroplanen ska eleven ”välja och använda i huvudsak fungerande matematiska metoder med viss anpassning till sammanhanget för att göra enkla beräkningar och lösa enkla rutinuppgifter inom aritmetik …” (Skolverket, 2018, s.60).
En förändring håller på att ske inom skolans matematik. Förr var det viktigt att elever både kände till samt kunde använda de matematiska begreppen och dess färdigheter så som räknesätten, procent, bråk etcetera. Behärskningen av sådana begrepp och metoder är en grundläggande del av matematikens identitet. Under de senaste kursplanerna i matematik ligger fokus mer på att elever ska kunna undersöka, förklara och förutsäga samband och mönster.
Alltså, dagens skolmatematik fokuserar mer på ämnets processer än ämnets produkter (Skott, Jess, Hansen & Lundin, 2017). Ny forskning har även visat att svenska elever saknar grundläggande kunskaper om de matematiska räknesätten (Rennstam, 2016).
För att kunna vara delaktig i samhället är det viktigt att ha de grundläggande matematikkunskaperna. Baskunskaper i matematik är de lägsta möjliga av kunskaper en elev behöver skaffa sig i ämnet för att kunna hantera situationer samt lösa problem i det vardagliga samhället. I dagens moderna samhälle möter människan dagligen situationer som kräver att hen kan tyda numerisk information och därför är det viktigt att människor redan från skolgången blir förberedda för detta (Löwing & Kilborn, 2018; Skolverket, 2018). Viktigt att komma ihåg är att de grundläggande baskunskaperna i matematik inte endast är i relation till dagens moderna samhälle, utan de tränger sig även in i våra hem samt i vår fritid. ”Vi måste ta ställning till hur vi skall placera våra pensionspengar, vilken elleverantör eller vilken telefonoperatör som är förmånligast etx. (Löwing & Kilborn, 2018, s.18). Matematiken är även relevant när vi exempelvis ska planera för vad vi ska handla för veckan, när vi planerar en resa eller när vi ska tapetsera ett rum (Löwing & Kilborn, 2018). Även Baker och Cuevas (2018) syftar på att matematikfärdigheter är viktiga för elever att lära sig då det är det grundläggande för deras framgång i sin utbildning och yrkeskarriär.
För att kunna lösa svåra matematiska uppgifter, så som multiplikation av två- eller tresiffriga tal, krävs goda baskunskaper och färdigheter i matematik, multiplikation samt huvudräkning och automatisering. Automatisering vid multiplikationstabellerna har visats frigöra arbetsminne hos elever och har bidragit till ett bättre flyt vid skriftlig och huvudräkning (Löwing, 2017).
Huvudräkning har, enligt Löwing och Kilborn (2018), fått större uppmärksamhet i matematikundervisningen.
Anledningen till att jag som blivande matematiklärare har intresserat mig av att skriva och genomföra detta arbete, är för att jag tydligt ser behovet hos eleverna av att befästa strategier för att räkna ut högre multiplikationstal. Detta ledde till att jag ville göra en Learning Study
(beskrivning presenteras i kapitel 1.3.2) i två klasser från årskurs sex samt i två klasser från årskurs fem för att se skillnader mellan för- och eftertest, samt se vilken av strategierna som eleverna fastnade för och tyckte var lättast att använda sig av. Jag ville också se skillnader mellan årskurs sex som jobbat med högre multiplikationstal gentemot årskurs fem som endast jobbat upp till 10:ans tabell.
1.1 Bakgrund
Läroplanen beskriver att ”matematisk verksamhet är till sin art en kreativ, reflekterande och problemlösande aktivitet som är nära kopplad till den samhälleliga, sociala, tekniska och digitala utvecklingen. Kunskaper i matematik ger människor förutsättningar att fatta välgrundade beslut i vardagslivets många valsituationer och ökar möjligheterna att delta i samhällets beslutprocesser” (Skolverket, 2018, s.54). Med detta menas att kunskaper i matematik är viktiga för att kunna vara delaktig i samhället och dess utveckling. Detta stämmer överens med Löwing (2017) som menar att om man ska vara delaktig i dagens samhälle behöver alla människor ha grundläggande kunskaper i matematik. Exempelvis, saknas grundläggande kunskaper i multiplikation finns det ingen vidareutveckling i problemlösningsförmåga när det gäller volym- och areaberäkning (Löwing, 2017). Multiplikation har visats sig vara ett grundläggande område där många elever uppvisar inlärningssvårigheter (Zhang, Ding, Lee &
Chen, 2017). Även Caron (2007) tar upp hur elever beskriver att de inte kan multiplikation med misslyckande miner och dålig självkänsla.
Det är viktigt vid inlärning av multiplikation, även all matematik överlag, att koppla det till verkligheten. När eleverna lär sig multiplikation genom matematisering, med vilket man menar den mänskliga aktiviteten för att organisera och tolka verkligheten matematiskt, blir elevernas verklighet viktig. När eleverna lär sig aritmetik är det viktigt att de inte bara lär sig talfakta (så som multiplikationstabeller) och algoritmer, utan också utvecklar en konceptuell förståelse av relevanta underliggande matematiska principer (Tasman, Hertog, Zulkardi & Hartano, 2011).
1.2 Litteraturgenomgång
Vid inlärning av multiplikationsräkning blir elever först introducerade till multiplikation som upprepad addition, vilket till en början är bra då elever kan börja bygga upp en förståelse kring multiplikation. Vid vidareutveckling av multiplikationsfärdigheten krävs strategier för att få flyt i både huvudräkning samt skriftlig räkning. Ett sådant flyt kan exempelvis vara att automatisera multiplikationstabellerna (Löwing, 2017). Automatisering är inget som tas upp i läroplanen att elever ska kunna, dock poängterar den att elever ska ”välja och använda lämpliga matematiska metoder för att göra beräkningar och lösa rutinuppgifter” (Skolverket, 2018, s.
55). Att automatisera multiplikationstabellerna är en metod för att räkna och få ett flyt i sin egen matematiska förmåga. Även Caron (2007), tar upp vikten av att multiplikation inte bara ska läras och behärskas, utan också automatiseras. Dock vid uträkning av högre multiplikationstal fungerar inte automatiseringen, utan där blir strategier nödvändiga.
1.2.1 Multiplikation – upprepad addition
När lärare introducera elever till multiplikation ser det oftast ut på följande vis: ”Anna, Nova och Felix har fyra kulor var. Hur många kulor har de tillsammans?” (Löwing, 2017, s.166). Det man gör är att förklara att multiplikation är upprepad addition med vilket man menar att ett uttryck som 3 · 4 egentligen betyder 4 + 4 + 4 (Löwing & Kilborn, 2018; Löwing, 2017). Ett problem av typen som citerades, kan introduceras till eleverna på följande vis: eleverna får börja med att räkna antalet kulor en och en och komma fram till 12 stycken kulor. Vid nästa steg får eleverna räkna kulorna 4 och 4 (4,8,12). Denna typ av strategi kan vidare beskrivas på tallinjen som en uppräkning med fyra steg i taget, ett så kallat fyraskutt. Genom denna typ av övning får
eleverna bygga upp en förståelse kring multiplikation som därav bygger på upprepad addition.
För att få eleverna att känna igen och lära sig de olika stegen, är det vanligt att låta dem läsa upp ramsor som exempelvis 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21 och så vidare (Löwing, 2017). Andra sätt som blivit mer populära på senare tid är att lära sig dessa ramsor genom musik (Kunskapshubben, 2009). Viktigt att komma ihåg vid utlärning av dessa steg är att dessa metoder endast speglar upprepad addition samt ej visar de viktigaste egenskaperna som karaktäriserar multiplikation (Löwing, 2017). Även Löwing och Kilborn (2018) tar upp att en naturlig strategi vid inlärning av multiplikation är att använda fingrarna för att hålla reda på antalet steg i multiplikationen, dock kan detta medföra stora problem för de elever som fortsätter använda dessa typer av strategier senare i livet. Att använda fingrarna kan medföra att eleverna blockerar delar av arbetsminnet som krävs för att utföra mer komplicerade operationer, alltså multiplikation med större tal och problemlösning.
1.2.2 Minne och automatisering
Dynamiken i det mänskliga minnet är komplex och oftast icke-intuitiv (Kornell & Bjork, 2009).
Inom den matematikdidaktiska forskningen har intresset för arbetsminnets funktion spelat en central roll över 25 år. Vi vet att den mänskliga hjärnans roll är att skapa samt lagra minnen, dock brukar man skilja på arbetsminne (även kallad korttidsminne) och långtidsminne. I långtidsminnet lagrar vi det vi har varit med om, medan arbetsminnet är det vi använder när vi behöver komma ihåg något temporärt. Arbetsminnet är det som är intressant vid matematikinlärning då det har olika funktionella delar och dessa spelar en stor roll vid all typ av inlärning (Bentley & Bentley, 2016). Detta styrks även av Peng, Barnes, Namkung och Sun (2015) som poängterar att arbetsminnet hänvisar till kapaciteten att lagra information under en kortare period. De framhäver också att arbetsminnet spelar en central roll i matematikutvecklingen då många matematikuppgifter samtidigt involverar informationsbehandling som lagring.
När elever använder problemlösningstekniker litar de på sitt arbetsminne som ett hjälpmedel.
Arbetsminnet definieras som en behandlingsresurs med begränsad kapacitet involverad i att bevara information och samtidigt bearbeta samma eller annan information (Knowles, 2010).
Bentley och Bentley (2016) skriver att arbetsminnet har en viktig roll vid inlärning och att den består av fyra funktionella delar: den fonologiska loopen, den visuellt spatiala funktionen, den exekutiva funktionen samt den episodiska bufferten. Den fonologiska loopen är aktiv så länge data uppfattas och kan endast behållas en kort stund. I den fonologiska loopen lagras skriven och talad data som skapas vid ljudavkodning av ord och meningar. Introduceras skriftlig data vågrätt bearbetas den i den fonologiska loopen, medan introduceras skriftlig data lodrätt, bearbetas den normalt i den visuellt spatiala funktionen. Den exekutiva funktionen fungerar som en samordnare och övervakar arbetsminnet samt styr vår uppmärksamhet med att svara för hur och vad vi riktar vår uppmärksamhet på. Då uppmärksamheten är avgörande vid inlärning, spelar den exekutiva funktionen en viktig roll i inlärningsprocessen. Genom att belasta den exekutiva funktionen med flera beräkningar, minskas arbetsminnets kapacitet (Bentley &
Bentley, 2016). Ett dilemma är att arbetsminnets kapacitet är begränsat. Behärskar exempelvis elever inte de grundläggande matematikkunskaperna, kommer arbetsminnet få för mycket data att hantera samtidigt, vilket kommer leda till att elevernas arbetsminne överbelastas och som i sin tur gör att eleven begår misstag (Löwing, 2017). För att inte belasta både arbetsminnet och den exekutiva funktionen bör data hämtas från långtidsminnet. Slutligen, i den episodiska bufferten lagras en händelse (episod) som precis skett. För att överföra denna händelse till långtidsminnet behövs ett känslotillstånd i samband med detta (Bentley & Bentley, 2016).
”Vid inlärning hamnar informationen först i arbetsminnet” (Bentley & Bentley, 2016, s.12).
För att inlärningen ska bevaras måste den informationen överföras till långtidsminnet för att sedan plockas fram när den är relevant att använda (Bentley & Bentley, 2016). Likaså gäller det när något ska automatiseras. Ska exempelvis multiplikationstabellen automatiseras, behöver den hamna i långtidsminnet. Med automatiserad räknefärdighet menas att man inte behöver anstränga sig för att hitta den kunskap som krävs för att lösa en uppgift, utan kunskapen finns redan lagrad. För att få över information från arbetsminnet till långtidsminnet krävs repetition.
Därför är det viktigt att automatisera multiplikationstabellerna för att det ska gå snabbare att lösa en uppgift (Specialpedagogiska skolmyndigheten, 2018), samt för att avlasta hjärnan som istället ska kunna lägga all sin kraft på att utföra större operationer som kräver mer komplexa matematiska strategier (Lärarnas riksförbund, 2016).
När en färdighet kan utföras exakt flyttas fokus till att utveckla hastigheten för exakt svar, även känd som flyt eller automatisering. Automatisering inom matematik används för att beskriva elevernas förmåga att svara på ett specifikt faktum snabbt, exakt och med minimala ansträngningar eller kognitiva resurser (Parkhurst, m.fl., 2010). Som tidigare nämnts har människan begränsat med kognitiv kapacitet (Parkhurst, m.fl., 2010; Kornell & Bjork, 2009;
Knowles, 2010), och eftersom automatisering anses kräva färre kognitiva resurser, belastar automatiseringen inte arbetsminnet. Då många komplexa matematikuppgifter kräver att elever utför grundläggande beräkningar, är det bra om elever kan genomföra dessa grundläggande matematiska beräkningar med snabbhet (automatisering) för att istället lägga mer tid på det komplexa i uppgiften (Parkhurst, m.fl., 2010).
Parkhurst m.fl. (2010) menar att elever som automatiserar de grundläggande fyra räknesätten (addition, subtraktion, multiplikation och division) är mer benägna att erfara framgång samt behärska mer avancerade matematiska mål och uppgifter än de som inte automatiserar. Bland annat beskriver de att forskning antyder att elever med matematiska svårigheter är i behov av en uppbyggnad av automatisering (Parkhurst, m.fl., 2010). Avslutningsvis har forskning visat att automatisering i matematik är grundläggande för framgång i områden med högre matematik.
Finns inte förmågan att hämta fakta direkt eller automatiskt, kommer eleven erfara en hög kognitiv belastning eftersom de utför en rad komplexa uppgifter (Woodward, 2006). Detta styrks även av Löwing (2017) som poängterar att elever som exempelvis automatiserar multiplikationstabellerna kommer kunna utföra mer komplexa uträkningar.
1.2.3 Strategier vid multiplikation
Det finns en rad olika multiplikationsstrategier som dubblering och halvering, runda tal och överslagsräkning, distributiva lagen, associativa lagen, kommutativa lagen, konjugatregeln och första kvadreringsregeln. I detta arbete kommer vi att fokusera på den distributiva lagen. Den distributiva lagen går ut på att binda samman addition och multiplikation samt är nyckeln till både huvudräkning och skriftlig räkning. Distributiva lagen lyder som följande
a · (b + c) = a · b + a · c (Löwing, 2017). Med fokus på den distributiva lagen kommer uppställning och förenkling vara två av de tre strategierna som ska läras ut. Sedan kommer även cartesisk produkt vara en tredje strategi som ska läras ut men där strategin inte bygger på den distributiva lagen. Så sammanfattningsvis är det uppställning, förenkling och cartesisk produkt som ska läras ut till eleverna och dessa strategier (även kallad algoritmer) kommer jag att beskriva nedan.
Uppställning
Uppställning kan utföras på en mängd olika vis men den vanligaste varianten är lång algoritm.
Exempelvis för att räkna ut 25 · 4 (se figur 1) börjar man med att multiplicera 4 · 5 = 20. Då
”bokför” man 0 och håller tiotalet 2 kvar i minnet genom att göra en mindre tiotalstvåa samt placerar den bredvid 4:an. Denna minnessiffra kan naturligtvis placeras var som helst då den endast är till för att komma ihåg. Löwing (2017) anser bland annat att den ska sitta snett ovanför 5:an. I nästa steg multiplicerar man 4 · 2 (2:an är här ett tiotal) = 8 tiotal, men då det redan finns två tiotal som minnessiffra så måste man addera 8 + 2 = 10. Bokför 10 och stryk över 2:an. Det här är en av flera strategier och det som har förklarats är hur du räknar ut en multiplikation med hjälp av en algoritm samt bokför deloperationerna. Vilken strategi eleverna än väljer att använda sig av är det viktigt att konkretisera räkneoperationerna på ett sätt så att de förstår vad som faktiskt sker. Denna typ av algoritm för multiplikation har använts under de senaste hundra åren och är så väl genomtänkt som utprövat att det inte finns någon anledning till att försöka hitta på nya varianter (Löwing, 2017).
Figur 1
Förenkling
Likväl som att använda den distributiva lagen i uppställning, går det bra att använda den vid förenkling av en multiplikation mellan två tal. Exempelvis för att räkna ut 5 · 15 skrivs 5 · 15 = 5 · (10 + 5) = 5 · 10 + 5 · 5 = 50 + 25 = 75. Innan eleverna får lära sig detta ska de veta att multiplikation alltid räknas före addition (Löwing, 2017). Det som händer är att talet 15 delas upp (förenklas) till 10 + 5 och där 5 både multipliceras med 10 och 5 (istället för att multiplicera 5 med 15). När operationerna är utförda ska de slutligen adderas ihop (Löwing, 2017). Förenklingen är den distributiva lagens modell där ett tal i början förenklas först för att man sedan ska kunna använda den distributiva lagen vid uträkningen.
Cartesisk produkt
Cartesisk produkt (uppkallad efter Cartesius eller Descartes) är en strategi där man varken använder multiplikation eller den distributiva lagen. I denna strategi använder man sig av linjer vilka räknas ihop för att få det slutgiltiga svaret (Löwing, 2017). Exempelvis: för att illustrera 4 · 2 ritar man upp 4 lodräta linjer och 2 vågräta linjer (se figur 2). Som man kan se blir det 8 skärningar mellan linjerna och detta ger alltså resultatet 4 · 2 = 8. För att försvåra det kan man exempelvis ta 4 · 25 (se figur 3). Man ritar upp 4 vågräta linjer och 25 lodräta linjer. De 25 lodräta linjerna grupperas med 10 linjer i varje samling och sedan 5 enstaka linjer. Man får nu 8 skärningar mellan 4 enstaka linjer och 2 tiogrupper av linjer och dessa skärningar representerar 8 tiotal (80). Man får även 20 skärningar mellan de enstaka linjerna. Dessa tal adderar man sedan ihop, alltså 80 + 20 = 100 (Löwing, 2017). Detta trick har inget med den distributiva lagen att göra men är ett enkelt sätt att räkna ut höga multiplikationstal som även kan vara intressant och roligt för eleverna att kunna. Denna strategi påminner om en annan variant som finns på Youtube och bloggar med namnen matte med linjer eller japanskt mattetrick (Shah, 2014, 14 september). Det som skiljer Löwing (2017) och Shah (2014, 14 september) åt är att Löwing ritar upp alla tiotal som streck, medan Saha endast ritar upp enskilda streck som ett tiotal. Exempelvis se figur 4 som ska representera 11 · 24. Talet 11 ritas upp med
två vågräta streck där tiotalet är ett streck och entalet ett annat streck. Talet 24 är det lodräta strecket där de två tiotalen representerar två streck och fyra entalen representerar fyra streck.
För att lösa uppgiften ringar man först in ”boxarna” där det finns skärningar mellan linjerna och ringar då in dem i en diagonal. Sedan räknar man alla skärningar i respektive box. Strategin som Shah (2014, 14 september) visar kommer vara den strategi som lärs ut till eleverna i undersökningen.
Figur 2
Figur 3
Figur 4
1.3 Teoretiskt ramverk
Här beskrivs variationsteori och Learning Study som kommer användas i min analys av empirisk data.
1.3.1 Variationsteori
Variationsteori är en teori som ger ett relativt unikt perspektiv på lärande och undervisning (Pang & Ling, 2011). Royea och Nicol (2019) och Bergqvist och Echevarría (2011) framhäver variationsteori som ett viktigt redskap inom Learning Study (se kapitlet 1.3.2). Variationsteori för lärande används som vägledning för lärare i deras planering, utformande av lektion, lektionsanalys samt utvärdering (Pang & Ling, 2011; Royea & Nicol, 2019; Bergqvist &
Echevarría, 2011). En lärare använder alltid variation i sin undervisning, om variationen är medveten, riktad och systematisk är dock en annan sak (Magnusson & Maunula, 2011). Teorin bygger på att kunskapsinhämtningen sker genom att upptäcka nya aspekter (Bergqvist &
Echevarría, 2011). Magnusson och Maunula (2011) påpekar att det är viktigt att separera det vi betraktar och detta gör vi genom variationsmönstret kontrast. Med kontrast menas det på att visa vad något är samtidigt som vi visar vad det inte är. I vissa fall fungerar det dock inte att endast visa vad något inte är och då behöver vi generalisera det. Generalisering är ett annat variationsmönster. Exempelvis det skånska ordet mög som betyder smuts. Att visa upp ”mögiga händer” kan uppfattas som om det endast går att ha mögiga händer. Kommer någon och säger
”vad mögigt det är här” kommer den andra personen leta efter mögiga händer på golvet. För att kunna generalisera detta kan man visa upp mög på olika föremål. Fler variationsmönster är separation och fusion. Med separationsmönster menas det med att en aspekt separeras och annat hålls konstant, medan ”i fusion kombineras variation av flera aspekter för att betraktaren ska erfara samtidig variation” (Magnusson & Maunula, 2011, s.42).
Lärande är ett resultat av en förändring i de kritiska aspekterna av ett fenomen som bedöms.
Med andra ord: efter att ett lärande har skett kan elever urskilja de kritiska aspekterna som de tidigare inte kunde (Pang & Ling, 2011). Magnusson och Maunula (2011) beskriver de kritiska aspekterna ”som ett verktyg att använda för att få syn på vad vi själva tar för givet och som ett innehåll att skapa variationsmönster kring” (Magnusson & Maunula, 2011, s.38). Exempelvis för att kunna urskilja aspekten färg måste en människa ha upplevt minst två olika färger. Skulle det hypotetiskt endast finnas en kommer begreppsfärgen inte att urskiljas. När en viss aspekt varierar kommer elever att uppleva variation i de olika aspekterna och kommer därmed att urskilja den aspekten. Exempelvis: visar en lärare elever tre bollar av samma storlek, form och material men där var och en har olika färg, är sannolikheten stor att elevers uppmärksamhet kommer att dras till färgen på bollarna då detta är den enda aspekten som varierar (Pang &
Ling, 2011). Den variationsteoretiska utgångspunkten ger lärare ett stöd att rikta innehållet som de vill undervisa kring samt även rikta den förmåga lärare vill att elever ska utveckla (Bergqvist
& Echevarría, 2011). Forskning har visat att Learning Study med variationsteori förbättrar teoribaserad lektionsplaneringsförmåga, kunskap för undervisning och mer avancerade föreställningar om vad undervisning är. Alltså Learning Study med variationsteori kan hjälpa till att överbygga klyftan mellan teori och praktik (Royea & Nicol, 2019).
Det vanligaste misstaget en lärare gör när en elev inte förstår en förklaring av ett räkneproblem vid matematik är att hen säger samma förklaring en gång till. Genom att variera något får lärare möjlighet att urskilja problemet och detta sker genom att skapa olika variationsmönster kring det som är ett problem för elevers inlärning. Om elevernas lärande bygger på att urskilja något är det viktig att synliggöra detta för eleverna. Ett av de mest centrala begreppen i variationsteori är lärandeobjekt (Magnusson & Maunula, 2011). Med variationsteori beror lärande på hur ett lärandeobjekt differentieras och integreras (Royea & Nicol, 2019). En sekundärkälla som
Magnusson och Maunula (2011) refererar till är Wernberg (2009) som beskriver skillnader mellan lärandeobjekt och kunskapsmål genom att hänvisa till några centrala faktorer.
Exempelvis mål är övergripande att nå för alla elever i en viss ålder medan lärandeobjekt väljs ut specifikt till en viss grupp av elever. Mål är oftast stora, övergripande beskrivningar och i förväg formulerade i styrdokument medan lärandeobjekt har en tendens att förändras genom en Learning Study. I Learning Study är det också detaljerade beskrivningar för att utveckla eleverna efter deras egna förmågor. Sällan ställer lärare sig den frågan om vad eleverna ska utveckla och där lärare istället går efter vad styrdokumentet säger vad eleverna ska kunna.
Självklart är detta viktigt att gå efter, men reflektioner kring vad elever bör utveckla är viktigt att tänka på för att elever slutligen ska komma till de grundläggande målen i styrdokumentet (Magnusson & Maunula, 2011).
1.3.2 Learning Study
TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study) och PISA (The Programme for International Students Assessment) har visat att asiatiska elever presterar bättre i matematik.
Forskning har också bevisat att många japanska lärare är mer framgångsrika i att hjälpa sina elever att utveckla en djupare ämnesinlärning än lärare i de västerländska länderna (Pang &
Ling, 2011). De japanska lärarna använder en så kallad ”Lesson Study”-modell. Modellen har som syfte att lärare ständigt ska engagera varandra för att utveckla sina pedagogiska kunskaper och ämneskompetens för att vidareutveckla sina egna lektioner (Bergqvist & Echevarría, 2011;
Pang & Ling, 2011). Då läraren spelar en stor roll i att utforma elevers lärande, ses denna japanska Lesson Study-modell som en professionell utvecklingsmodell för bättre inlärning hos eleverna. I den japanska Lesson Study-modellen planerar lärare lektioner och i samarbete utvärderar klassrumspraxis noggrant för att förbättra sin egen undervisning och därmed även elevernas lärande (Pang & Ling, 2011). Denna modell har sedan 1999 spridits snabbt på grund av Stigler och Heiberts best seller book The Teaching Gap (1999). Modellen har också spridits omfattande runt om i världen samt betraktats som en metod för att producera professionell kunskap om undervisning (Pang & Ling, 2011). Detta ledde till en utvecklig av Lesson Study som skulle komma att kallas för Learning Study. En definitiv skillnad mellan de två olika modellerna är att variationsteori är ett viktigt redskap i en Learning Study (Bergqvist &
Echevarría, 2011).
Learning Studys huvudsyfte är att få eleverna att lära sig med om det lärandeobjekt som lärs ut och för att nå ut till eleverna behöver lärare skapa bättre undervisning. Med variationsmönster handlar det om att variera innehållet av lärandeobjektet. För att veta hur elever har uppfattat och ser på lärandeobjektet (som vidare ska leda till att eleverna når målen), behöver lärare testa eleverna för att ta reda på och upptäcka hur eleverna ligger till (Magnusson & Maunula, 2011).
Detta stämmer överens med Royea och Nicol (2019) som poängterar att för- och eftertestning är en viktig aspekt för att utvärdera elevers lärande. Vad tar lärarna för givet innan de ser hur testerna har gått? Oftast visar dessa tester lärarna att eleverna saknar förkunskaper som de troligtvis redan trodde att eleverna hade, och andra gånger visar testerna att eleverna redan kan något som däremot lärarna inte trodde att de kunde. Från testresultaten kan lärare se hur elevgruppernas lärande skiljer sig åt mellan varandra och där lärare vidare kan få en hint om hur behandlandet av innehållet har påverkats under lektionerna (Magnusson & Maunula, 2011).
Den snabbt växande forskningen om Learning Study har kommit att användas mycket i grundutbildningen för lärare. Learning Study har också inriktat sig på lärarstudenternas förmåga att använda variationsteori för att utforma och implementera lektioner samt utvärdera elevers lärande. Även om Learning Study inte uttryckligen handlar om den inlärningsteori som används, är variationsteori den mest använda som teoretisk ram. Learning Study med
variationsteori ger lärarstudenter utrymme att utforska och förbättra deras förståelse för innehåll och undervisning, för att vidare uppfylla dessa undervisningsförväntningar inom en ram som leder deras långvariga reflektion och professionella teoretisering (Royea & Nicol, 2019).
1.4 Syfte och frågeställning
Syftet med mitt arbete är att studera egenskaper av tre olika multiplikationsstrategier (uppställning, förenkling samt cartesisk produkt) med hjälp av en modell av Learning Study.
Huvudsyftet är att undersöka vilken strategi som är effektiv för att hjälpa elevers kunskap om uträkning av högre multiplikationstal.
Denna undersökning vill ge svar på följande frågeställningar:
1) Vilken av de tre strategierna föredrog eleverna att använda?
2) På vilket sätt påverkar elevernas val av strategi deras resultat, i synnerhet i uppgifter där två- eller tresiffriga tal ska multipliceras?
2 METOD
Detta metodavsnitt inleds med en beskrivning om hur urvalet till undersökningen gick till väga.
Efter det framförs datainsamlingsmetoden som använts samt hur multiplikationstestet konstruerades. Därefter redovisas proceduren om hur multiplikationstestet har förvaltats samt genomförts. Avslutningsvis redovisas databearbetning/analysmetoder om hur insamlad data har bearbetats samt vilka analysmetoder som har använts.
2.1 Urval
Undersökningen genomfördes på en mellanstadieskola i Dalarna där totalt 51 elever deltog.
Från början skulle undersökningen endast genomföras i två klasser från årskurs sex men då hälften av elever från ena klassen inte ville delta, ledde detta till att undersökningen även genomfördes i två klasser från årskurs fem. Från årskurs sex var det totalt 31 elever som deltog, 14 flickor och 17 pojkar. Från årskurs fem var det totalt 20 elever som deltog, 10 flickor och 10 pojkar. På grund av Covid-19 var det bland annat många elever som stannade hemma under denna period, vilket ledde till att datainsamlingen påverkades. Förtestet genomfördes totalt av 44 elever, 16 elever från årskurs fem och 28 elever från årskurs sex. Eftertestet genomfördes av totalt 42 elever, 16 elever från årskurs fem och 26 elever från årskurs sex. Detta hade också till följd av att en del elever endast gjorde förtestet, medan vissa elever endast gjorde eftertestet och inte fick möjligheten att delta på alla lektioner. Detta betyder att några av de eleverna som gjorde eftertestet aldrig hade möjlighet att delta under alla lektioner där de fick lära sig alla strategier, vilket medför att resultatet kan påverkas vid antal rätt vid eftertestet.
Urvalet baserades på hur de matematiska resultatet såg ut i kommunen. Många källor har pekat på att resultaten inom matematik är låga överlag i kommunen. Detta stämmer överens med kommunens delårsrapport från augusti 2019 där de beskriver att de matematiska resultaten är låga över hela kommunen. Mer specifikt har statistik kontrollerats över hur resultaten har sett ut i slutbetyg samt från de nationella proven från årskurs sex under vårterminen 2019 från denna specifika skola.
En av orsakerna till att undersökningen endast genomfördes på den skolan var främst för att det är till fördel om eleverna känner mig som lärare. Då jag arbetar på skolan känner både elever och vårdnadshavare mig som ska genomföra undersökningen, vilket leder till att eleverna känner sig trygga under genomförandet av undersökningen. Däremot den övervägande orsaken till att undersökningen skedde på endast en skola var på grund av Covid-19 som satte press på att hinna genomföra undersökningarna på fler skolor. Det fanns ingen klarhet hur länge skolorna skulle vara öppna och då jag känner de lärare som arbetar på skolan där undersökningen skedde, så samarbetade vi för att jag skulle få tid till min undersökning för samtliga klasser. Jag ansåg att tiden inte skulle finnas för att både få godkänt från vårdnadshavare samt få tid från andra lärare från de andra skolorna för att genomföra mina för- och eftertestet samt lektioner.
2.2 Datainsamlingsmetoder
En kvantitativ metod användes för att samla in data där en Learning Study utfördes i två klasser i årskurs sex samt två klasser i årskurs fem. Data samlades in genom svar från för- och eftertester där sedan varje elevs svar sammanställdes i ett Excel-ark. Excel-arket användes sedan till att analysera resultatet genom att använda en så kallad pivottabell.
För- och eftertest (se bilaga 3) var samma test som eleverna genomförde. Testets framsida hade en rubrik ”Multiplikationstest” samt två kryssalternativ om eleven var en pojke eller en flicka.
Sedan följde det med tre sidor av tio multiplikationsuppgifter som eleverna skulle lösa.
2.3 Procedur 2.3.1 Förtest
Syftet med Learning Study är att ha ett förtest för att mäta elevernas kunskap i det särskilda lärandeobjektet för att vidare kunna planera och konstruera lektioner efter elevernas behov.
Avslutningsvis blir det sedan ett eftertest för att där mäta effekten av lektionerna som bidragit till elevernas lärande (Magnusson & Maunula, 2011; Royea & Nicol, 2019)
Ett multiplikationstest konstruerades med tio multiplikationstal från 2 · 6 upp till 123 · 112 (se bilaga 3). Detta förtest genomfördes i fyra klasser, två klasser från årskurs fem med totalt 16 elever och två klasser från årskurs sex med totalt 28 elever. På förtestet satt alla elever vid varsin bänk med ett mellanrum mellan varje bänk. Testet delades ut till alla i klassen och alla elever fick börja med att fylla i information om deras kön men utan namn. Ingen elev fick vända och börja testet innan jag sa till. När eleverna var klara med testet fick de vika ihop det så att endast framsidan syntes för att sedan lägga det i hörnet på sin bänk som jag sedan hämtade. Eleverna fick vidare läsa bänkbok tills alla hade lämnat in. Varför jag valde att eleverna skulle lämna testet på bänken för att sedan börja läsa bänkbok, var för att minska oro och stress hos de elever som inte var klara med att se de elever som lämnar in. Under förtestet vaktade jag och den ordinarie lärare som fanns med i klassrummet. Alla klasser fick 60 minuter på sig att genomföra förtestet.
Innan förtestet blev eleverna informerade om att testet innehöll 10 multiplikationsuppgifter som började lätt men som gradvis ökade i svårighet. I multiplikationstestet var det stora ytor mellan varje uppgift för att eleverna skulle ha möjlighet att visa hur de löste varje uppgift och därav fick ingen elev använda sig av något kladdpapper. Eleverna blev även informerade om att syftet med förtestet var att samla in deras kunskap om multiplikation med två- och tresiffriga tal. Som vidare skulle hjälpa mig att konstruera tre lektioner där eleverna ska få lära sig tre olika strategier, som i sin tur ska hjälpa dem att lösa två- till tresiffriga multiplikationsuppgifter.
Syftet med Learning Study är att se i förtestet vad eleverna behöver utveckla för att sedan i eftertestet se om eleven har tagit in den kunskap som hen saknade.
Då jag tidigare hade blivit informerad om hur eleverna låg till i matematik och beräkningen av multiplikation, hade jag en uppskattning av hur förtestet skulle mottagas av de flesta eleverna.
Därför skapades multiplikationstestet med vissa uppgifter som eleverna troligtvis kunde lösa genom huvudräkning utan någon form av strategi, som exempelvis 2 · 6 och 20 · 20. Tanken med testet som helhet var också att se om eleverna kunde lösa uppgifterna med någon form av strategi eller om de skulle lämna de blankt om de inte kunde svara. Efter förtestet rättades alla multiplikationstester för att kunna konstruera lektionerna efter elevernas behov.
2.3.2 Genomgång av strategier
Upplägget för genomgång av strategierna var på samma sätt för alla fyra klasser. Alla fyra klasser fick tre stycken 60-minuters lektioner var där de fick lära sig en strategi per lektion (uppställning, förenkling och cartesisk produkt). Upplägget såg ut som följande:
Lektion 1 – Uppställning
Lektionen började med att introducera eleverna om uppställning genom ett kort videoklipp1 där de fick se cirka 1 minut och 40 sekunder in i filmen. Filmen handlade om hur vi ska räkna ut ensiffrigt tal multiplicerat med ett tvåsiffrigt tal genom uppställning. Eleverna tillsammans med mig kollade igenom videoklippet två gånger och där vi andra gången pausade videoklippet för
1 https://www.youtube.com/watch?v=enX8tPT4fCs
att stanna till, reflektera samt gå igenom långsammare för att alla elever skulle ha möjlighet att förstå. Lektionen fortsatte med en genomgång på tavlan med lättare uppgifter som 12 · 2 och 15 · 2 för att sedan låta eleverna sitta i mindre grupper, två till tre elever per grupp, för att tillsammans lösa en ny liknande uppgift på en mindre whiteboard. Medan eleverna försökte lösa uppgiften gick jag samt deras ordinarie läraren omkring och hjälpte till om det behövdes.
Efter att alla elever hade löst sin uppgift, gick vi tillsammans igenom dem på tavlan och där eleverna fick visa mig hur de har löst uppgiften. Detta för att kontrollera att de har förstått strategin.
Uppgifterna ökar gradvis under lektionens gång till 15 · 13, 45 · 35, 123 · 12 och slutligen tal som 111 · 121. Målet med dessa högre multiplikationsuppgifter är att få eleverna att förstå tanken med en samt fler minnessiffror och dess betydelse. Eleverna fick alltid en genomgång på tavlan vid ny svårighetsgrad för att sedan sitta i sina mindre grupper med en whiteboard för att lösa en ny uppgift. När alla elever var klara gick vi tillsammans igenom uppgiften på tavlan och där eleverna fick visa mig hur de hade löst uppgiften. Avslutningsvis, fanns det tid över fick en elev komma på en ny uppgift som hen skrev på tavlan och där de resterande eleverna fick visa hur de hade löst den uppgiften. Jag och den ordinarie läraren hjälpte då till om eleverna behövde vägledning i processen samt lyssnade på hur de resonerade när de skulle lösa uppgiften.
Sammanfattningsvis, av 60 minuters lektion blev det cirka 25 minuters genomgång fördelat vid olika tillfällen och cirka 35 minuters arbete för eleverna uppdelat vid olika tillfällen.
Lektion 2 – Förenkling
Lektionen började med en genomgång av föregående lektion för att låta eleverna tänka tillbaka om strategin och dess algoritm av uppställning. Därefter fortsatte en ny genomgång men av strategin förenkling. Denna genomgång skedde endast på tavlan då det inte fanns något videoklipp. Jag gick stegvis genom processen av en uppgift som exempelvis:
6 · 12 = 6 · (10 + 2) = 6 · 10 + 6 · 2 = 60 + 12 = 72.
Att förstå hur talet 6 ska multipliceras in i parentesen, behövdes detta diskuteras med eleverna.
Här fanns mycket stöd från både mig och deras ordinarie lärare där vi tillsammans diskuterade och reflekterade över parentesernas betydelse och varför multiplikation går före addition.
Årskurs sex hade mer koll på varför multiplikation går före addition då detta är det första som de introduceras till i årskurs sex första lärobok. I diskussionen med parenteserna visade jag också vad som händer med uppgiften om vi inte hade med dem:
6 · 12 = 6 · 10 + 2 = 60 + 2 = 62.
Med denna typ av exempel förstod eleverna tydligt parentesernas betydelse och efter denna genomgång fick eleverna sätta sig i sina mindre grupper med varsin mindre whiteboard för att lösa en ny uppgift som jag gav dem. Medan eleverna försökte lösa uppgiften i sina grupper, gick jag och den ordinarie läraren runt och kollade samt hjälpte till om någon grupp behövde vägledning. Efter att alla grupper hade löst uppgiften, gick vi tillsammans igenom den på tavlan och där eleverna fick visa mig hur de hade löst uppgiften. Sedan upprepades detta fast med nya uppgifter som jag gav dem.
Sammanlagt av 60 minuters lektion blev det cirka 30 minuters genomgång samt diskussion fördelat vid olika tillfällen och cirka 30 minuters arbete för eleverna uppdelat vid olika tillfällen.
Lektion 3 – Cartesisk produkt
Som tidigare lektion började den tredje lektionen med genomgång av föregående strategier (uppställning och förenkling) för att påminna eleverna om de tidigare inlärda strategierna.
Därefter fortsatte lektionen med att introducera eleverna till cartesisk produkt med hjälp av ett videoklipp.2 Jag tillsammans med elever för en diskussion om vad de sett på videoklippet och går sedan stegvis igenom cartesisk produkt och hur eleverna ska använda strategin. Först blir det lättare tal som 3 · 5 för att sedan öka svårighetsgraden till 12 · 12. Efter en noggrann genomgång på tavlan där elever tillsammans med mig går igenom de olika stegen får eleverna slutligen sitta i sina mindre grupper för att lösa några uppgifter på egen hand medan jag går runt och hjälper till om det behövs, lyssnar och iakttar elevernas samarbete. När alla elever har löst uppgifterna går vi tillsammans igenom dem på tavlan och eleverna får visa mig hur de har löst de olika uppgifterna. Detta för att jag ska kunna kontrollera att de förstått strategin.
Svårighetgraden ökar ju längre in på lektionen vi kommer då det blir tal som 45 · 35 och 145 · 214. Detta kommer leda till minnessiffror som eleverna får lära sig att hantera genom en genomgång av att visa hur. Lika som innan får eleverna sedan en uppgift på tavlan som de ska lösa i sina grupper, jag går runt och lyssnar samt hjälper till, för att sedan lösa uppgiften tillsammans med eleverna på tavlan där eleverna visar mig hur de har löst uppgiften.
Vid denna sista lektion avrundas det hela med att diskutera de olika strategierna, bland annat:
• Vilken/vilka de ansåg var lättare/svårare att förstå
• Vad var det som var speciellt med varje strategi?
Med en mycket positiv atmosfär i klassrummet fanns känslan av att eleverna hade tagit till sig de olika strategierna.
Sammanfattningsvis, innehöll denna lektion cirka 35 minuter genomgång och diskussion vid olika tillfällen och cirka 25 minuter arbete för eleverna. Cirka 5-10 minuter tilldelades diskussionen i slutet av lektionen för att höra elevernas tankar om det de har varit med om.
2.3.3 Eftertest
Eftertestet gjordes i alla fyra klasser, två klasser från årskurs fem med totalt 16 elever och två klasser från årskurs sex med totalt 26 elever, efter att alla klasser hade haft sina tre lektioner.
Innan testen delades ut till eleverna hade vi först en genomgång i cirka 20 minuter av alla strategier för att påminna eleverna om dem samt att de elever som hade varit sjuka skulle få möjlighet att känna igen dem innan eftertestet. Eftertestet var identiskt som förtestet med 10 olika multiplikationsuppgifter (se bilaga 3) och eleverna fick även denna gång sitta vid varsin bänk med ett mellanrum mellan varje bänkbord. Som på förtestet fick ingen elev använda sig av något kladdpapper, utan skulle använda de större ytorna vid varje uppgift för att visa hur de löste uppgiften. Eftertestet delades ut till alla elever i klassen och där alla fick börja med samma process som tidigare. När eleverna var klara med eftertestet följde eleverna samma rutin som vid förtestet. Eleverna fortsatte sedan med att läsa bänkbok tills alla elever var klara.
Under eftertestet vaktade jag eleverna samt den ordinarie lärare som fanns med i klassrummet.
Eleverna fick sedan 40 minuter på sig att genomföra testet där samtliga elever dock blev klara efter cirka 20 – 25 minuter. Den tid som blev över diskuterade jag, den ordinarie läraren samt eleverna hur dessa lektioner har gått, vad som varit intressant, om vad eleverna har lärt sig, vad har varit kul kontra tråkigt och vad har varit spännande.
2 https://www.youtube.com/watch?v=rk_FdcjuMm0&t=1s
2.4 Databearbetning/Analysmetoder
Resultatet från för- och eftertestet analyserades efter att jag har rättat alla för- och eftertester.
Jag markerade först om eleven hade svarat rätt eller fel, sedan satte jag ett plus i kanten om jag såg om eleven hade valt att använda någon strategi. För att se om eleverna hade använt någon strategi, granskades uppgifterna genom att kontrollera hur de stegvis har gått tillväga för att lösa uppgiften, samt vilken strategi de då har använt. Då vissa elever inte var bekanta med någon av strategierna vid förtestet, gavs ändå ett plus i kanten om någon valde att använda en egen strategi för att lösa uppgiften. Efter att alla elevers svar från både för- och eftertestet hade granskats, samannfattades svaren i ett Excel-ark. I detta Excel-ark fylldes det i hur många elever som hade svarat rätt kontra fel per fråga, om eleven hade svarat på alla frågor eller om hen hade lämnat någon fråga blank, samt om och vilken strategi eleven hade valt att använda. Strategierna namngavs som följande: uppställning (vid uppställning), förenkla (vid förenkling), linjer (vid cartesisk produkt) och egen lösning (där eleven har eller har försökt löst uppgiften genom egen strategi). Sammanlagt kom 86 test in med 860 svar. Detta analyserades sedan genom ett Excel- ark. I Excel-arket går det att skapa ett passande diagram för att på ett visuellt sätt kunna visa den tydliga skillnaden av resultatet av för- och eftertest samt få se ett tydligare svar till forskningsfrågorna.
Variationsteorins syfte är bland annat att fylla det teoretiska glappet av kunskap, liksom klyftan mellan teori och praktik (Royea & Nicol, 2019). I denna undersökning användes variationsteorin bland annat genom att visa olika strategier av multiplikation, alltså olika aspekter. I variationsteorin är det lika viktigt att visa vad någonting är som att visa vad någonting inte är (Magnusson & Maunula, 2011) genom att visa eleverna olika kontraster.
Variationsmönstret kontrast användes bland annat vid förenkling med ett tal som exempelvis 6 · 14, då såg det ut så här:
§ 6 · 14 = 6 · (10 + 4) = 6 · 10 + 6 · 4 = 60 + 24 = 84
§ 6 · 14 = 6 · 10 + 4 = 60 + 4 = 64
I detta exempel visar vi vilken betydelse parenteserna har. Ta vi bort parenteserna och inte förstår dess syfte blir svaret fel och med detta sagt har en kontrast visats för eleverna.
Mer kontraster är hur vi använder minnessiffran i bland annat uppställning. Många gånger har elever svårigheter att förstå minnessiffrans betydelse och värde. Se figur 5 och 6.
Figur 5
Figur 6
I figur 5 kan vi tydligt se att något är fel med svaret och detta är något som är ganska vanligt hos eleverna innan de förstår värdet av minnessiffran. Eleverna vet att 4 · 5 = 20, men istället för att lägga tiotalssiffran 2 i minnet (på sidan) så skriver eleverna ut hela talet 20 och sedan fortsätter räkna 4 · 2 = 8 och skriver åttan bredvid tvåan. De eleverna inte har förstått här är att både åttan och tvåan är tiotal men att i detta fall blir åttan ett hundratal. Därför är det viktigt att visa dessa kontraster mellan figur 5 och 6, för att vidare visa eleverna hur fel ett tal blir beroende på hur vi behandlar minnessiffran.
Ett annat sätta att variera uppställning är också att använda variationsmönstret generalisering.
Vi kan fortfarande visa som i figur 6 om hur uppställning fungerar med minnessiffra. Sedan kan vi generalisera uppgiften 4 · 25 genom att visa en lång algoritm av talet och där vi inte använder någon minnessiffra, se figur 7.
I figur 7 har vi en algoritm där vi inte ska behöva komma ihåg alla minnessiffror, däremot behöver vi istället ha bra koll på siffrornas värde, tiotal, ental etcetera. Som vanligt börjar vi med att räkna ut 4 · 5 = 20, vi skriver ut 20 från början. Sedan fortsätter vi med att ta 4 · 20.
Här kan det vara vanligt att många elever väljer att tänka 4 · 2 för att lättare räkna ut talet, men det de måste komma ihåg då är att de tar 4 · 2 tiotal = 8 tiotal = 80. Sedan skriver de ut 80 under 20 och adderar ihop alla. Denna algoritm har också fokus på den distributiva lagen. Kollar vi nu på både figur 6 och 7, kan vi se att det är samma strategi (uppställning) men att vi har generaliserat dem och får samma svar.
Figur 7
2.5 Etiska aspekter
Enligt vetenskapsrådet (2017) är det viktigt att följa de etiska aspekter när det gäller att göra en undersökning med människor. Principen med de forskningsetiska metoderna är att den person
som forskningen gäller, måste vara informerad om hen är föremål för forskning samt skicka in skriftligt samtycke. Gäller forskningen barn under 15 år, krävs samtycke från båda vårdnadshavare att deras barn får vara med. Det är forskarens ansvar att elevernas identitet inte kommer att röjas, vilket går under anonymisering samt konfidentiellt. Viktigt är att vårdnadshavare och elever ska bli informerade om att insamlad data kommer att dokumenteras, varför och vart.
Deltagandet var frivilligt och denna undersökning följer de forskningsetiska normerna som är skrivna av Vetenskapsrådet (2017). Vid denna studie har vårdnadshavare och elever blivit informerade om anonymisering där elevernas identitet ej kommer att röjas. Vårdnadshavare och elever har även blivit informerad om konfidentialitet där elevernas uppgifter från för- och eftertester ej kommer spridas ut till allmänheten. Vårdnadshavare och elever har även blivit informerad om att materialet som kommer in (resultat från för- och eftertester) kommer att arkiveras (dokumenteras) på Högskolan i Gävle för att senare kasseras på högskolan.
Vårdnadshavare och elever har också blivit informerad om att vårdnadshavare måste ge sitt samtycke om att deras barn får vara med i undersökningen (Vetenskapsrådet, 2017). För att uppfylla dessa krav som ställs, konstruerades ett informationsblad till vårdnadshavare (se bilaga 1 och 2), där de informerades om syftet med undersökningen, att deras barn förblir anonyma samt vart de kan vända sig om de önskar mer information. Eleverna har även fått läsa igenom detta informationsbrev samt blivit informerade en extra gång vid utlämning av informationsbrevet. Vid det extra informationstillfället blev eleverna informerade om samma information som i brevet till vårdnadshavare men där eleverna även fick möjlighet att ställa egna frågor. Vårdnadshavare har skrivit under på att deras barn får vara med i undersökningen.
På grund av att årskurs fem valdes att vara med i undersökningen vid ett senare tillfälle, fick informationsbladet till vårdnadshavare revideras så att datum samt information stämde.
3 RESULTAT
Resultatet presenteras nedan och med en frågeställning i taget. Då undersökningen skedde under Covid-19-perioden var det många deltagare som var borta under delar av undersökningen, vilket påverkade resultatdelen med antal deltagande elever per test och lektion.
Vissa elever var endast med på någon av lektionerna och eftertestet, vilket ledde till att de inte fick den grundliga genomgången av alla strategier innan eftertestet.
Första frågeställningen: ”Vilken av de tre strategierna föredrog eleverna att använda?”
besvaras utifrån valda strategier vid varje fråga samt andel rätt av varje vald strategi vid varje fråga. Vidare presenteras fördelningen mellan svar med och utan strategier, andelen av den mest valda strategin i varje klass samt andelen rätt för den mest använda strategin för varje klass. All data redovisas i olika stapeldiagram.
Andra frågeställningen: ”På vilket sätt påverkar elevernas val av strategi deras resultat, i synnerhet i uppgifter där två- eller tresiffriga tal ska multipliceras?” besvaras utifrån de resultat som kommit in från frågeställning ett, samt genom att jämföra andelen rätt på för- och eftertest samt jämföra andel rätt vid användning av strategi och ingen användning av strategi. Detta redovisas också med hjälp av olika stapeldiagram.
I diagrammen nedan är strategierna nämnda som egen lösning (vid egen lösning), förenkla (vid förenkling), linjer (vid cartesisk produkt), uppställning (vid uppställning) och ingen strategi använd (där det finns ett svar utan synlig använd strategi). I detta resultat kommer linjer att namnges som cartesisk produkt i texten och i diagrammen som linjer.
3.1 Vilken av de tre strategierna föredrog eleverna att använda?
Då eftertestet visar elevernas utveckling i användandet av strategier, är det eftertestet vi kommer att fokusera på när det gäller att se vilken strategi eleverna har valt att använda per fråga.
Förtestet blir inte relevant att kolla på då detta test skulle vara vägledande för min planering av framtida lektioner för undervisning av strategier.
I tabell 1 nedan presenteras själva uppgifterna med sin typ av tal vilka användes i både för- och eftertest. I tabellen kan vi tydligt se att det finns fyra varianter av tal (ensiffrigt, jämna tiotal, etcetera) men att de flesta uppgifterna är tvåsiffriga tal multiplicerat med ett annat tvåsiffrigt tal. På två av dessa uppgifter är det två jämna tiotal som ska multipliceras med varandra.
Uppgift Typ av uppgift
1 2 · 6 Ensiffrigt tal · ensiffrigt tal
2 9 · 21 Ensiffrigt tal · tvåsiffrigt tal
3 11 · 23 Tvåsiffrigt tal · tvåsiffrigt tal
4 13 · 16 Tvåsiffrigt tal · tvåsiffrigt tal
5 20 · 20 Jämnt tiotal · jämnt tiotal
6 21 · 33 Tvåsiffrigt tal · tvåsiffrigt tal
7 30 · 40 Jämnt tiotal · jämnt tiotal
8 35 · 40 Tvåsiffrigt tal · tvåsiffrigt tal
9 45 · 45 Tvåsiffrigt tal · tvåsiffrigt tal
10 123 · 112 Tresiffrigt tal · tresiffrigt tal
Tabell 1
