Tillförlitlighet och generaliserbarhetsanalys

För att diskutera tillförlitlighet i detta arbete måste man ta hänsyn till två grund aspekter i undersökningen, nämligen validitet och reliabilitet. Validitet innebär om mätningen kan ge en sann bild av det som undersöks, medan reliabilitet handlar om mätnoggrannhet i en undersökning (se t.ex. Bryman, 2011; Johansson & Svedner, 2006). Validiteten bedöms vara hög i det speciellt utformade algebratestet. Testfrågorna var formulerade efter den tidigare forskning som har utförts inom området, och som användes till denna undersökning. Frågorna mätte elevernas tolkning av algebraiska bokstavssymbolerna, och mätte elevers missuppfattningar som förkommer i deras svar i algebrauppgifter. Alla utvalda frågor liknade tidigare forsknings ställda frågor. Många av deluppgifterna var identiska med Küchemanns (1981) och/eller Perssons (2005; 2010). Därför var mätning av resultatet inte så komplicerat och ganska lätt att jämföra med tidigare resultat inom samma problemområde. Kategorierna kunde lätt placeras och genomföras med dessa studier. Även om denna studie inte handlade om alla områden som algebra kan användas inom, hade kategorierna i stort sett samma användning i resultatet (se resultatavsnittet). Resultaten i denna studie stämde med resultaten av tidigare genomförd forskning (se t.ex. Persson, 2005; 2010; Demby, 1997; Küchemanns. 1981). Därför bedöms validiteten i detta arbete ganska hög. Däremot kan validiteten i enkätundersökningen anses vara ganska låg, eftersom det förekom några termer som eleverna inte kände till, såsom ordet modellering. Enkätundersökningen påverkade inte validiteten för testet, eftersom dess innehåll fokuserade på att få elevernas allmänna åsikt för algebra som helhet och inte på hur de uppfattade symbolerna, dvs. i alla matematiska områden som hade med algebra att göra t.ex. inom ekvation, funktion, och uttrycken.

Det skriftiga algebratestet mätte elevernas uppfattning och deras kunskapsfärdigheter därför anses den ge god reliabilitet för just detta syfte. Säkerheten i reliabilitet kom av att studien tog upp två eller tre frågor som handlade om samma frågeställning, vilket avslöjade till vilken kategori eller nivå eleven skall tillhöra. Självklart mätte testet en del mängd av elevens kunskaper, men det finns inte ett test som mäter kunskaperna i helhet. Även skriftiga tester som användes i tidigare forskning mätte inte hela uppfattningen eleven hade för algebra. Vidare för att man ska ha en mycket god reliabilitet i sitt arbete måste man

37

utföra undersökningen flera gånger och under längre tid. Möjlighet att utföra en längre studie saknas på grund av tidsbrist. Därför bedöms reliabiliteten god men inte hög.

Antalet elever i detta arbete är mindre än tidigare forskning inom området, men man kan ändå studera generaliserbarheten i arbetet. En stor del av materialet som används i denna studie är baserade på den tidigare forskningen som behandlade liknande frågeställningar. Många av testuppgifterna är hämtade från tidigare forskning. Vid jämförelse med tidigare resultat som forskarna fått fram, så visar resultatet av detta arbete inte stor skillnad från vad andra forskare fått fram (se teoretisk bakgrund). Eleverna visade samma uppfattningar för bokstavssymbolerna som tidigare forskning hävdat, och eleverna visade samma svårigheter som tidigare forskning presenterat. Man kan säga att om denna studie utförs på nytt så få man sannolikt samma eller mycket nära samma resultat som denna studie. En annan tråd som visar generaliserbarheten i denna studie är jämförelsen mellan de tre programmen som deltog i arbetet. När man jämfört resultaten med varandra visade alla elever att de har samma bokstavssymboluppfattning och de hade samma missuppfattningar. Jag menar att eleverna uppvisar samma typ av missuppfattningar i stora delar av algebratestet. Av förutnämnda skälet kan man säga att arbetat kan generaliseras för alla elever som har börjat läsa i gymnasium och har första kursen i Matematik 1a, 1b resp.1c.

Arbetets syfte var att kartlägga elevernas uppfattning av de algebraiska symbolerna, samt studera vilka svårigheter de har när de arbetar med olika variationer av övningar som innehåller bokstavsymboler. Eleverna som deltog i denna undersökning kommer från tre olika program från två olika skolor, totalt är antal eleverna 105. Skolorna ligger i en stad i södra Sverige. Även om studien inte täcker hela landet, så är generaliserbarheten ganska viktigt att diskuteras här. Studiet utfördes under en vecka i mitten av september månad i alla tre program i sex olika klasser. Eleverna hade inte hunnit med algebraavsnitten, vilket betyder att elevernas förkunskap var vad de hade med sig från grundskolan, med hänsyn taget till att eleverna kom från olika skolor. Detta utgör ett bra urval för ett stickprov för denna undersökning. Deltagande elever i studiet bär med sig varierande kunskaper om algebra från sin grundskola även om det bygger på samma kursplaner.

38

7 Diskussion och slutsats

Syftet med denna uppsats har varit att undersöka algebraiska bokstavssymbolers olika betydelser och att kartlägga de svårigheter eleverna träffar på när de arbetar med algebraiska uppgifter som innehåller olika bokstavssymboler. Denna typ av undersökning är ganska bred, därför var viktigt att utnyttja Küchemanns (1981) och Quinlans (1992) forskningsresultat. Deras resultat hjälpte mig att placera elevernas uppfattningar av bokstavssymbolerna i olika kategorier respektive olika nivåer. Svårigheten med att använda Quinlans (1992) tabell var att användningen av tabellen är ganska begränsad. Denna kom endast i uppgiften som handlar om mönstergeneralisering där eleverna skriver en formel för mönsterutveckling. Medan Küchemanns (1981) kategori i stort sett behandlar elevernas uppfattning om bokstäver i särskilda uppgifter och inte tar det i allmänhet. På grund av dessa svårigheter som båda kategorierna och nivåerna illustrerade, kunde elever med ett speciellt processtänkande inte placeras i en tillämplig grupp utan inplacerades utifrån sina svar som helhet.

I allmänhet hade många elever svag förståelse för bokstavssymbolerna. I min studie har eleverna hela tiden fastnat i samma kategorier. Största delen hamnade i objekttänkande och kunde inte flytta till en högre kategori. Vidare visade elever sin objektsuppfattning nästan i alla andra uppgifter i testet. Grunden för denna uppfattning är att många av övningarna i läroböcker bygger på detta koncept, samt att många lärare utnyttjar sig av objekttänkande när de arbetar med algebraiska övningar i undervisningen (Dooren, Verschaffel & Onghena, 2003). Lärarna måste förklara vilka betydelser symbolerna har när de kommer i olika sammanhang. Vidare är det viktigt att lärarna tänker igenom sina utvalda exempel som skall användas i undervisningen i algebra, så att objektsuppfattningen inte blir den enda uppfattningen som skall finnas i elevernas minne. Istället måste han förklara för eleverna att symbolerna kan anta olika betydelser och att deras användning skiljer från varandra i de olika kategorierna som Küchemanns (1981) anger.

På grund av att eleverna inte riktigt vet vad symbolen symboliserar har de uppvisat olika typer av svårigheter. Den viktigaste av dessa har uppstått vid förenklingsuppgifter. Cirka 80 % svarade fel på förenklingsuppgifter. Eleverna såg i denna uppgift inte bokstavssymbolen som ett generellt tal. Många av dem behandlade bokstäverna som objekt, att bokstaven

39

presenterar ett objekt saknar mening måste läraren lägga lite tid på att åtgärda. Bland de svårigheter som förekommit i arbetet var att ett stort antal elever inte kunde skilja mellan tre kategorier; objekt, okänt tal och generellt tal. Vidare visade eleverna mycket svag förståelse för algebrasymbolen som ett generellt tal. I de flesta fallen betraktade eleverna en hel klass av tal som ett okänt tal istället. Många elever är tvungna att lära sig regler utan att förstå vad reglerna innebär, bara för att klara prov uppgifter. Andra skapar däremot nya regler, vilket de konstaterade själva, bara för att lösa uppgifter med bokstäver som inte kan lösas med t.ex. vanliga aritmetiska regler. Det som utmärkte sig i mitt arbete var att eleverna i två av utvalda undersökningsprogrammen, nämligen naturkunskaps- och teknikprogrammen visade många missuppfattningar kring bokstavssymbolerna, trots att de har bättre förståelse för ämnet algebra än elever från andra program, eftersom de använder matematik i andra ämnen såsom i fysik eller i kemi.

40