Adam tar sig an problemen med stor entusiasm och deltar mycket aktivt i de gemensamma diskussionerna, han har lätt för att förstå problemen men svårt för att skriva ner sina lösningar. Både under lektionerna och intervjuerna ger han uttryck för tolkningen att problemen handlar om att hitta generella lösningar. Detta syns i hans lösning för den första deluppgiften för Stenplattor, se figur 10, där metoder, men inga svar, är angivna.
Adams förväxling av ljusa och mörka plattor vid den första deluppgiften berodde troligen
Fyra trappor och en mittstapel 4·6 + 4
Två rektanglar och en mittstapel 2 (3·4) + 4
En stor rektangel 4·7
Höjder för sig
4·1 + 4·2 + 4·3 + 1·4
Olika lager 1 + 5 + 9 + 13
Figur 9: Metoder för att beräkna antalet kuber i torn T4.
på att läraren, vid introduktion av problemet, färglade de olika sorters plattorna med grön och röd färg.
Figur 10: Adams lösning av delproblem 1 för problemet Stenplattor.
I intervjun efter den första lektionen berättar Adam att han såg ett mönster för hur de mörka plattorna växte när han skrev ner antalet mörka plattor för de tre första figurerna på uppgiftspappret. Det upptäckta mönstret, en ökning med fyra plattor per figur, använder
han sedan för att med vetskap om antalet mörka plattor i en känd figur beräkna antalet i en sökt figur. Adams lösning för F10 visas i figur 11. I lösningen beräknas antalet mörka plattor, M10, utifrån antalet steg mellan F5 och F10, ett antal som multipliceras med fyra och adderas till antalet mörka plattor i F5. Beräkningarna kan uttryckas som
M10= M5+ 4(10 − 5).
Figur 11: Adam beräknar de mörka plattorna för F10.
När de mörka plattorna för F50ska beräknas glömmer Adam troligen bort vilken figur han utgår ifrån och svaret blir fel, men i slutet av lektionen väljer han konsekvent att använda F1 som utgångsfigur. På eget initiativ beräknar Adam de mörka plattorna för F1782 på miniräknare och för andra stora figurer. En av dessa berkäningar kontrollerades och den var helt rätt. Adam är entusiastisk över de stora talen och senare i en intervju svarar han på frågan om varför han och hans kamrat räknade egna uppgifter:
”För att vi hade gjort alla uppgifter. Vi ville göra något speciellt som vi alltid gör på alla uppgifter. Vi tar alltid jättestora tal, det är mycket roligare!”
En formell tolkning av Adams metod där n och p står för numren på den sökta respektive den kända figuren, samt Adams tillvägagångssätt vid beräkning av M1782:
Mn= 4(n − p) + Mp
M1782= 4(1782 − 1) + M1 = 4 · 1781 + 8
Adam uttrycker sig med mycket energi och han och hans kamrat talar i munnen på varandra när de ska förklara sina lösningar och jämföra sina svar. Kamraten, som använder en metod som tagits upp under en gemensam genomgång, får samma svar som Adam och läraren säger att detta talar för att Adams metod fungerar men varken hon eller kamraten förstår Adams lösning under lektionen. Adam fortsätter att räkna stenplattor en bit in på rasten.
Problemet Tornet angriper Adam på liknande sätt. För tornet i den första deluppgiften, T4, ger Adam tre lösningar på papper. Han utgår från uppgiftspapprets bild och ger en lösning på symbolisk representationsform enligt metoden Höjder för sig, under denna följer en lösning med metoden Fyra trappor och en mittstapel och sedan en ikonisk representation av metoden Höjder för sig, se figur 12.
Under både lektionen och intervjun jämför Adam sina två representationer av Höjder för sig och kallar dem för två olika metoder. Han kommenterar sin ikoniska representation
”fast jag vet inte om det blir enklare” och ger på detta sätt uttryck för att han inte enbart vill variera lösningarna utan även förbättra dem. Till en början saknar denna tredje lösning
Figur 12: Adams bild av T4 sedd uppifrån, siffrorna anger hur många kuber varje ruta representerar.
texten ”siffror = kuber uppåt”, något som han lägger till som en beskrivning för hur figuren ska förstås. Figuren av tornet sett uppifrån sprider sig i klassrummet till flera elever.
När Adam ska beräkna antalet kuber i T15 väljer han inte en lösning med ikonisk representation
”Istället för att rita upp hela så bara skrev jag det istället. Så 14 gånger 4, 13 gånger 4. Men jag tror att jag slängde det pappret. För jag skrev upp så och sen plus 15. Men sen blev det alldeles för mycket på 100.”
Genom att slänga sin lösning för T15, eftersom han inte vill använda metoden för beräk-ningar av T100, visar Adam att han söker en generell metod.
När Emil och Albin presenterar sin metod Två rektanglar och en mittstapel, beskrivet i avsnitt 5.6.3, fångas Adam direkt av enkelheten i de få beräkningarna och ägnar lång tid åt att förstå hur metoden fungerar. Liksom Emil och Albin förvirras han av att talet 4 återkommer både som höjden på T4 och som antalet trappor och han vill vare sig använda multilink eller rita en figur för att undersöka metoden.
I intervjun förklarar Adam med lätthet metoden Två rektanglar och en mittstapel och använder ett torn av mulitilink som är fyra kuber högt. Det byggda tornet och avbildningen av samma torn använder Adam som representationer av ett generellt torn. Han ger en beskrivning av hur antalet kuber i T30kan beräknas, se figur 13, och arbetar här med såväl enaktiv och ikonisk som symbolisk representationsform, alltså i flera register samtidigt. I lösningen för T30 beskriver Adam både hur produkten 30 · 29 kan multipliceras med två för att direkt få antalet kuber i trapporna och hur produkten kan divideras med två, om kubantalet i en trappa söks, ett antal som sedan multipliceras med fyra, slutligen adderas höjden på mittstapeln.
På frågan om han har lätt för att tänka i tredimensionella former svarar Adam
”Ja, jag har ganska lätt för det, ... jag har väldigt lätt för det.”
Adams vetskap om att han har lätt för att tänka i tredimensionella former kan vara en orsak till att han var ovillig att undersöka metoden Två rektanglar och en mittstapel med laborativt material.
Figur 13: Adam skriver medan han beskriver två varianter av hur antalet kuber i T30kan beräknas.
5.6.2 Linda
Linda sitter långt bak i klassrummet och verkar lösa uppgifterna mestadels på egen hand, hon deltar inte mycket, om alls, i de gemensamma diskussionerna. Hon är den enda som väljer att lösa problemen med en tabell som främsta metod. Vid problemet Stenplattor undersöker hon de växande figurerna på uppgiftspappret men söker sedan ett generellt mönster i en tabell. Hon upptäcker både hur antalet ljusa och mörka plattor ökar men i förhoppningen om att effektivisera sina beräkningar hoppar hon över rader i tabellen och går direkt från F20 till F30 och vidare i steg om tio till F50. För de mörka plattorna är ökningen linjär, och Linda får korrekt ökningen till 40 plattor per steg om tio figurer. För de ljusa plattorna vet Linda att ökningen ökar med två plattor per steg, men för steget om tio figurer mellan F20 till F30 beräknar hon ökningen mellan F29 och F30 och tar endast med denna.
Ovetandes om att antalet ljusa plattor blir fel sitter hon kvar på rasten för att göra klart sin tabell. Jag frågar henne hur många ljusa plattor figur F21 har, och när hon beräknat svaret ser hon direkt att hon har bortsett från ett stort antal plattor. Hon sitter kvar större delen av rasten tills tabellen är ifylld till och med figur 50.
Linda använder en tabell även för nästa problem. Efter att inledningsvis endast skrivit in tornen som efterfrågas i de första deluppgifterna, T4, T5, T6 och T15, i sin tabell förstår hon att det är svårt att se ett mönster när tabellen innehåller få torn och dessutom hoppar över torn. Hon raderar vad hon skrivit och börjar om med start i T1. Genom att testa sig fram inser hon snart att ökningen ökar med fyra för varje torn. För att fylla i tabellen ända till T100 försöker hon återigen effektivisera sina beräkningar och ta steg om tio torn men adderar bara ökningen i det steg som föregår tiotalet; ökningen mellan T20 och T30 antas vara den faktiska ökningen mellan T29och T30. När jag under lektionen ber henne berätta om sin lösning minns hon föregående lektion och förstår på egen hand hur ökningen ska ändras för att bli rätt. Med hjälp av en fråga från en utomstående, en form av stöttning, klarar Linda att lösa uppgiften som ursprungligen blev fel.
Linda får även frågan varför ökningen ökar med fyra. Detta är något som hon enbart har sett i tabellen men inte kan förklara med hjälp av enaktiva eller ikoniska representationer av tornen. Målmedvetet bygger och undersöker Linda tornen med start i T4 och skriver utförligt om hur hon går tillväga. Hon antar att tornet växer på så sätt att varje stapel i tornet växer på höjden samt att en kub ska adderas till varje trappa, för ökningen mellan T4 och T5 skriver hon:
”Jag använde mitt test och la till en kub på alla, vi fick det till 17 kuber till.
28+17=45”
I sin lösning visar Linda på en förmåga att kunna växla mellan enaktiv och symbolisk
representation samt en förmåga att redovisa en hypotes, testa den, argumentera för den och slutligen redovisa ett svar. Hennes svar består både i antalet kuber som efterfrågas i deluppgifterna och en beskrivning av den generella ökningen.
Arbetet med tabellen avbryts när eleverna ska börja arbeta tillsammans. I det parvisa samarbetet med sin bänkkamrat, ser Linda att kamraten liksom hon själv försökt effekti-visera beräkningen av antalet kuber i T100 genom en förenklad bild, se nedre delen av figur 14. Kamraten har adderat talen 10+20+...+90 för att få antalet kuber i en trappa, något
Figur 14: Lösning för T15 i deluppgift 4 samt T100 i deluppgift 5.
som Linda förstår är fel. Linda kommenterar kamratens lösningar av T15och T100:
”Men kolla där har hon gjort så här: den är 15, det är mittenpinnen, sen är det själva trappan, 14, 13, det blir mindre och mindre. Men sen har hon försökt göra det där, men då tog hon 10, 20, 30, 40, 50, 60 och så, men då blir det väl inte rätt? För då blir det ju 10 här och 20 där och 30 där och 40 där, eller?
/.../ För vi räknade ut att 1 plus 2 plus, alltså 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 det blev 45, och eftersom det är 20 där så borde det ju bli 90. Och sen blir det 90 plus 45.”
Linda har insett att de tio lägsta lodräta staplarna i en trappa inte kan ersättas med endast en stapel med tio kuber, för dessa staplar vet hon består av sammanlagt 45 kuber. På detta sätt kom rutan med talet 10 i kamratens lösning för T100 att representera 45 kuber. Linda generaliserar sedan felaktigt detta till att gälla även de övriga rutorna i kamratens bild så att de två första rutorna sammanlagt representerar 90 kuber. Tillsammans summerar eleverna 45 kuber för varje ruta, och får 450 kuber. Detta tal multipliceras med fyra och sedan adderas 100. Svaret blir 1900, ett svar som liknar det rätta svaret, 19 900, som eleverna kan ha hört i klassrummet.
I interaktionen med sin kamrat stöttar Linda kamraten och hjälper henne att förstå varför trappans tio lägsta staplar inte kan ersättas med talet tio, samtidigt får hon inte själv den stöttning hon behöver för att korrigera sin felaktiga generalisering. Eleverna visar vid andra tillfällen under lektionen att de förstår hur tornen är uppbyggda, men när de arbetar med den diagrammatiska bilden och de symboliska matematiska uttrycken klarar
de inte att hålla båda dessa register aktiva samtidigt och de bortser därför från viktig information.
5.6.3 Emil och Albin
Tidigt under arbetet med Tornet hittar Emil och Albin en metod att beräkna antalet kuber i en trappa och tillsammans med metoden Fyra trappor och en mittstapel har de en generell metod för att lösa uppgiften. Men varken Emil eller Albin vet varför metoden fungerar. De förklarar i mun på varandra:
”Man tar så många som det är i mitten, gånger ett mindre och sen det delat på två och då får man fram hur många det är där.”
De pekar på en av tornets trappor på uppgiftspappret. Ingen av dem kan redogöra för hur de kom på metoden, möjligen multiplicerades de tre stegen ner för trappan med tornets höjd vilket gav dem ett tal som de kände igen som dubbla mängden kuber för en trappa.
Eleverna går direkt från att beräkna T4 till T100 och får rätt antal kuber. Albins entu-siasm avbryts av att han inser att de inte vet om svaret är rätt:
Albin: Men blir det rätt då? Vi vet inte om det blir rätt.
Emil: Jo, det är rätt.
Albin: Hur vet du det? (Albin skrattar).
Läraren uppmärksammar deras arbete och bekräftar att de fått rätt svar för T100 men säger att hon vill ha en förklaring av metoden. Emil och Albin arbetar med detta under resten av lektionen utan att kunna ge en förklaring. Genom att göra en tabell för antalet kuber upptäcker de ett mönster för hur tornet växer men de jämför inte beräkningar för olika torn utan koncentrerar sig på lösningen för T4. För detta torn innehåller lösningen flera fyror. Beräkningarna kan sammanfattas
T4= 4 · 3 2 · 4 + 4
där siffran fyra står för tornets höjd, antalet trappor samt antalet kuber i mittstapeln, något som tycks skapa förvirring. De ritar i figuren på uppgiftspappret men vill inte bygga med multilink.
Under en gemensam genomgång redovisar Emil och Albin sin metod för klassen och läraren uppmuntrar de andra eleverna till att försöka förstå och förklara varför metoden fungerar. Några elever antar utmaningen.
Nästa lektion fortsätter sökandet efter en förklaring och försöken får sin vändning när läraren håller upp ett flerfärgat bygge som illustrerar metoden En stor rektangel för T4, se figur 15. Läraren ber eleverna visa hur det rektangulära bygget kan göras om till ett torn med förhoppningen att det kan hjälpa dem se hur trappor kan passas ihop till rektanglar.
Fyra trappor Två rektanglar En stor rektangel en mittstapel en mittstapel
En stor trappa Höjder för sig Olika lager
Figur 15: Illustration av metoden En stor rektangel
24
Emil och Albin som tidigare varit ovilliga att bygga egna torn vill undersöka lärarens bygge. Efter att de ritat en bild upptäcker de snart hur deras metod kan förklaras. Här följer deras dialog:
Albin: Då kan man ta 7 gånger 4!
Emil: Nej!
Albin: Jo!
Emil: Jo, det får du ju, för de läggs ju där.
Albin: Ja, de ligger där uppe.
Emil: Det kan man.
Emil: Det blir ju rätt. 100 gånger 199 på figur 100, det blir rätt. Då tar man ju det här nere gånger det.
Albin: Då lägger man en etta där...
Emil: Det blir ju rätt.
Albin: Hur mycket blir det då?
Emil: 19 900. Alltså det blir ju rätt.
Albin: Om man tar bort det som är i mitten från början, så blir det 6 där nere och 4 där uppe.
Emil: 6 gånger 4 blir 24.
Albin: Och de 12 är ju...
Emil: Ja, men titta då tar man ju de 4 gånger de 3, det är ju 12.
Albin: Låt mig tänka bara lite! Jag vill ha dem på rätt håll!
Emil: Man tar 4 gånger 3, då får man ju ut den sidan.
Både Emil och Albin förstår hur metoden de använt kan förklaras genom det rektangulära bygget och de redovisar sin upptäckt vid nästa gemensamma genomgång.
5.7 Sociala och sociomatematiska normer
Arbetet och interaktionen i klassrummen påverkades av flera sociala och sociomatematiska normer varav många inte kommer att presenteras här eller tas upp i analysen. Ett exempel på en norm som kunde observeras men som utelämnas i studien är normen att en elev som vill ha ordet räcker upp handen.
5.7.1 Läraren tycker om matematik och är entusiastisk över elevernas arbete Läraren uttryckte stor entusiasm över matematikämnet och över elevernas ansträngningar och lösningar. Hon uppmärksammade matematikinnehållet i problemen och hämtade in-spiration från elevernas svar och andra yttre händelser, som ett vaktmästarbesök, för att ta upp andra matematiska begrepp. Hon uppmuntrade eleverna och använde ofta uttryck som:
”Nu har jag hört massor med smarta tankar!”
”Förstod ni deras tankar? Kunde ni krypa in i deras hjärnor?” ”Bra!”
”Spännande att få se din lösning på ditt papper sen.”
”Ska du berätta din lösning, Linda, för jag tycker den är intressant.”
Det stora flertalet elever visade stor entusiasm över arbetet och matematiken, de deltog aktivt i de gemensamma diskussionerna där de kommenterade varandras lösningar och
uttryckte uppskattning. Vid ytterst få tillfällen observerades elever sysselsatta med något som inte var relaterat till matematikproblemen.
5.7.2 Matematik ska kommuniceras
Varje lektion innehöll två moment där eleverna förväntades arbeta på egen hand, men merparten av lektionen innehöll kommunikation. Under det enskilda arbetet poängterade läraren vikten av att tänka ut en egen lösning för att senare ha något att berätta. Under det parvisa arbetet uppmuntrade hon dem till samtal:
”Nu hör jag inte att ni jobbar tillsammans! Ni får prata mer!”
Eleverna kommunicerade mycket med varandra och behövde bara vid något enstaka tillfälle påminnas om att hålla sig till matematiken.
5.7.3 Det är bra att hjälpa varandra
Eleverna gav och tog emot hjälp, de lyssnade på varandra, ställde frågor och hjälpte varand-ra att tolka skriftliga lösningar. Även om de gärna ville vavarand-ra först med att hitta en ny lösning kunde de även visa tacksamhet och uppskattning när en annan elev presenterade en lösning de tyckte om.
Utdrag från en konversation där Wilmer vill berätta för Lucas hur det totala antalet stenplattor ökade, Wilmer har markerat ett L-format mönster i sina figurer:
Wilmer: Jag ritade upp alla, och sen ... Alla de tre första visste man ju hur de såg ut.
Sen tänkte jag typ att man lägger på en ruta på varje sån [pekar på F4 och F5], typ på de mörka och de ljusa.
Lucas: En ruta bara?
Wilmer: Nej, men alltså, det är svårt att förklara hur jag tänker, jag tänker lite konstigt.
Lucas: Men ja, nu vet jag hur du tänker! Du la på liksom en där. [Lucas pekar på en ruta i figuren.]
Wilmer: Ja.
Lucas: En så och sen bara fyller man i dem. [Eleven pekar på ett ”L” av rutor till höger och ovanför det kvadratiska mönstret.]
Wilmer: Ja.
Liknande konversationer där elever hjälpte varandra att tolka en lösning förekom i flera elevpar.
5.7.4 Det är viktigt att förstå och att kunna förklara en lösning
Läraren betonade vikten av att kunna förstå och förklara sin lösning och att förstå andras lösningar, att endast kunna presentera ett svar i form av antal plattor eller antal kuber var inte tillräckligt. Under de gemensamma genomgångarna ställde hon ofta frågan ”Varför gjorde han så?” eller ”Varför gjorde hon så?” till klassen.
Vid flera tillfällen hejdade hon elever mitt i redovisningen av en lösning och bad de and-ra eleverna att förstå och förklaand-ra hur de skulle ha fortsatt lösningen, givet den redovisade starten:
Läraren: Kan ni försöka förstå Adams lösning? Förklara varför han har skrivit 4, 3, 2, 1. Prata ihop dig med din granne! Varför har han skrivit 4, 3, 2, 1?
/.../
Hur tänkte han? Nu gick vi in i Adams hjärna.
[Elev förklarar metoden Höjder för sig.]
Läraren: Stämmer det Adam?
Adam: Ja, det var min första lösning.
När Emil och Albin, se avsnitt 5.6.3, upptäckte en fungerande metod var varken de eller läraren nöjda med mindre än att metoden kunde förklaras.
5.7.5 Alla elevlösningar är välkomna och det är bra med flera lösningar Läraren uppmuntrade en mångfald lösningar och eleverna löste ofta ett och samma del-problem med flera olika metoder. Tavlan var liten och delar av lösningarna fick suddas ut men läraren försökte spara de olika lösningstyperna under lektionen. Även lösningar som läraren initialt inte förstod fick utrymme i diskussionerna.
Adam var en av eleverna som använde fler olika lösningar och även om läraren inte förstod vad han sa lät han sig inte nedslås och läraren uppmuntrade hans kreativitet.
5.7.6 Lösningar på matematisk symbolisk form är bättre än bilder och byggen Både lärare och elever ansåg att lösningar på matematisk symbolisk form var bättre än lösningar som använde bilder och byggen. Det bästa sättet att kontrollera ett svar var enligt eleverna pekräkning och en bra lösning kunde innehålla en figur som illustration,
5.7.6 Lösningar på matematisk symbolisk form är bättre än bilder och byggen Både lärare och elever ansåg att lösningar på matematisk symbolisk form var bättre än lösningar som använde bilder och byggen. Det bästa sättet att kontrollera ett svar var enligt eleverna pekräkning och en bra lösning kunde innehålla en figur som illustration,