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THÉORIE ET PROBLÈMES RÉSOLUS
D’ALGÈBRE LINÉAIRE VeCteurs, droites et Plans dans r3
54 CHAPITRE 1. VECTEURS, DROITES ET PLANS DANSR3
Figure 1.31 – Coordonn´ees de CΠ apr`es projection de ABC
Nous obtenons
−−−→CCΠ= projn−−−→CBΠ= (2,−2.2) et apr`es comparaison avec−−−→
CCΠ= (x3− 1, y3− 1, z3− 1), nous en d´eduisons CΠ: (3,−1, 3).
et avons donc d´etermin´e tous les sommets de AΠBΠCΠ.
b) R´efl´echissons ABC de sommets A : (1, 2, 2), B : (3, 1, 2) and C : (1, 1, 1) par rapport au plan Π : x− y + z = 7 et notons A∗B∗C∗ ce triangle, repr´esent´e `a la figure 1.32. Nous allons le d´ecrire en terme des coordonn´ees de ses sommets A∗, B∗ and C∗.
Supposons que les coordonn´ees des points A∗, B∗ et C∗ s’´ecrivent A∗ : (x∗1, y∗1, z1∗), B∗ : (x∗2, y∗2, z2∗), C∗ : (x∗3, y∗3, z3∗).
A partir de la question a) nous d´eduisons (voir un illustration `a la figure 1.32)
−−→AA∗ = 2−−−→AAΠ= 2(2,−2, 2) = (4, −4, 4), et, −−→
AA∗ = (x∗1− 1, y1∗− 2, z1∗− 2) = (4, −4, 4).
D’o`u x∗1 = 5, y∗1 =−2 and z1∗= 6, ainsi les coordonn´ees de A∗ sont A∗ : (5,−2, 6).
De plus,
−−→BB∗ = 2−−−→BBΠ= 2(1,−1, 1) = (x∗2− 3, y∗2− 1, z2∗− 2)
−−→CC∗ = 2−−−→
CCΠ= 2(2,−2, 2) = (x∗3− 1, y∗3− 1, z∗3− 1), qui nous fournissent les coordonn´ees de B∗ et C∗ :
B∗ : (5,−1, 4), C∗: (5,−3, 5).
D’ALGÈBRE LINÉAIRE VeCteurs, droites et Plans dans r3
1.5. SUPPL ´EMENT SUR LES DROITES ET LES PLANS 55
Figure 1.32 – Le triangle A∗B∗C∗, r´eflexion de ABC par rapport `a Π.
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D’ALGÈBRE LINÉAIRE VeCteurs, droites et Plans dans r3
56 CHAPITRE 1. VECTEURS, DROITES ET PLANS DANSR3
1.6 Exercices
1. Soient les deux vecteurs deR3 : u = (−1, 2, 3) et v = (1, −1, 2).
a) Trouver la projection orthogonale de u sur v.
[R´eponse : projvu = (1 2,−1
2, 1). ]
b) Trouver la projection orthogonale uyz de u sur le plan yz.
[R´eponse : uyz= (0, 2, 3). ]
c) Trouver le vecteur u∗, r´eflection de u par rapport `a v.
[R´eponse : u∗= (2,−3, −1). ]
d) Trouver le vecteur u∗xz, r´eflexion de u par rapport au plan xz.
[R´eponse : u∗xz = (−1, −2, 3). ]
e) Trouver le vecteur r´esultant des r´eflexions de u par rapport au plan xy puis par rapport au plan yz-plane. Ce vecteur est-il diff´erent si u est d’abord r´efl´echi par rapport au plan yz puis par rapport au plan xy ?
[R´eponse : (1, 2,−3). Ce sont les mˆemes vecteurs. ]
f) Trouver le vecteur r´esultant de la r´eflection de u par rapport au plan xy puis de la projection orthogonale du vecteur r´efl´echi sur le plan yz. Ce vecteur est-il diff´erent si u est d’abord projet´e orthogonalement sur le plan yz puis la projec-tion r´efl´echie par rapport au plan xy ?
[R´eponse : (0, 2,−3). Ce sont les mˆemes vecteurs. ]
2. Trouver toutes les valeurs de a ∈ R, telles que le volume du parall´el´epip`ede d´ecrit par les vecteurs u = (1, 1, 2), v = (−1, a, 3) et w = (2, 1, a) soit d’une unit´e.
[R´eponse : a∈ {0, 1, 2, 3}. ] 3. Soient les trois vecteurs :
u = a(1, 1, 2), v = (−1, b, −1), w = (7, 1, c), avec a, b et c des param`etres r´eels.
a) Trouver toutes les valeurs de a, b et c, telles que les vecteurs u, v et w d´efinissent un parall´el´epip`ede rectangulaire (i.e. un parall´el´epip`ede de cˆot´es perpendicu-laires) de volume ´egal `a 132 unit´es.
D’ALGÈBRE LINÉAIRE1.6. EXERCICES VeCteurs, droites et Plans dans r357
[R´eponse : a∈ {−2, 2}, b = 3, c = −4. ]
b) Trouver toutes les valeurs de a, b et c, telles que le volume du parall´el´epip`ede d´efini par les vecteurs u, v et w avec a= 0, soit de z´ero unit´e.
[R´eponse : b = 8− c
c− 14 pour tout c∈ R\{14}. ]
4. Consid´erons les trois points P1, P2 et P3 dansR3 de coordonn´ees respectives : P1 : (2,−1, 1), P2 : (3, 2,−1), P3 : (−1, 3, 2).
a) Trouver l’´equation du plan Π1 contenant ces trois points.
[R´eponse : 11x + 5y + 13z = 30. ]
b) Supposons que le vecteur normal n d’un plan Π2 soit n = (−2, 1, 4) et que Π2
contienne le point P1. Trouver l’´equation de Π2. [R´eponse : −2x + y + 4z = −1. ]
c) Trouver l’angle θ entre les deux vecteurs Π1 et Π2 d´etermin´es aux questions a) et b).
[R´eponse : θ = arccos
√15 9
. ]
5. Soit la droite dansR3 passant par les points P1 : (1,−2, −1) et P2: (3,−1, 1).
a) Trouver l’´equation param´etrique de .
[R´eponse :
:
x = 2t + 1 y = t− 2
z = 2t− 1 pour tout t∈ R. ]
b) Calculer la distance s entre l’origine (0, 0, 0) et la droite obtenue `a la question a).
[R´eponse : s = 5√ 2 3 . ]
6. Consid´erons le triangle de sommets A : (1, 0, 1), B : (2, 1,−1) et C : (2, 2, 1).
a) Trouver la distance entre le point B et la base du triangle d´efini par les sommets A et C.
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D’ALGÈBRE LINÉAIRE58 CHAPITRE 1. VECTEURS, DROITES ET PLANS DANSVeCteurs, droites et Plans dans r3R3
[R´eponse :
21 5 . ]
b) Trouver l’aire du triangle ABC en utilisant le produit vectoriel.
[R´eponse : 1 2
√21. ]
7. Soient les deux droites deR3 :
1:
x = 2t + 3 y =−4t + 1
z = 2t + 2 pour tout t∈ R,
2 :
x =−s y = s + 3
z =−s − 1 pour tout s ∈ R.
Ces droites se croisent-elles ? Si oui, d´eterminer leur point d’intersection.
[R´eponse : Leur point d’intersection est (4,−1, 3). ]
8. Soit la pyramide ABCD de sommets A : (2, 1, 0), B : (0, 2, 3), C : (1, 0, 1) et D : (1, 1, 1) comme montr´e `a la figure 1.33.
Figure 1.33 – La pyramide ABCD.
Trouver la hauteur de cette pyramide.
[R´eponse : La hauteur de cette pyramide est la distance entre le point D en le plan contenant le triangle ABC, elle est ´egale `a 1
√26. ]
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1.6. EXERCICES 59
9. Consid´erons la droite , dont l’´equation param´etrique est
:
x = kt + 2 y = t− 3
z = 3t + 4 pour tout t∈ R, et le plan Π, d’´equation
Π : 3x + 2y + 4z = 1.
a) d´eterminer pour quelle(s) valeur(s) de k∈ R, s’il y en a, est parall`ele `a Π.
[R´eponse : k =−14 3 . ]
b) Trouver la distance entre et Π pour cette(ces) valeur(s) de k.
[R´eponse : 15
√29. ]
c) D´eterminer l’intersection de avec Π pour toutes les valeurs de k telles que et Π ne sont pas parall`eles.
[R´eponse : Les coordonn´ees de l’intersection sont 1
3k + 14(−9k + 28, −9k − 57, 12k + 11) pour tout k∈ R\{−14
3 }. ]
10. Soit la droite d’´equation param´etrique
:
x =−t + 2 y = 3t
z = 5t− 1 pour tout t∈ R,
Trouver tous les points de situ´es `a une distance de 2
√3 unit´es du plan x+y−z = 2.
[R´eponse : Les points de coordonn´ees (7
3,−1, −8
3) et (1, 3, 4). ]
11. Soient le plan Π : x− 2y + 3z = 31 et la droite d’´equation param´etrique
:
x =−t + 2 y = t− 1
z =−2t + 3 pour tout t∈ R.
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60 CHAPITRE 1. VECTEURS, DROITES ET PLANS DANSR3
a) Trouver l’´equation param´etrique de la droite ˆ , telle que ˆ soit la projection orthogonale de sur Π.
[R´eponse :
b) Trouver l’´equation param´etrique de la droite ∗, r´eflexion de par rapport `a Π.
[R´eponse :
c) Trouver tous les points de , tels que la distance la plus courte entre ces points et le plan Π soit de 3/√
o`u est parall`ele `a Π. Trouver la droite ˆ , d´efinie comme la projection orthogonale de sur Π. projec-tion orthogonale de ABC sur Π.
[R´eponse : Les sommets du triangle projet´e AΠBΠCΠsont AΠ: (−1, 1, −1),
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1.6. EXERCICES 61
b) Trouver les sommets du triangle A∗B∗C∗, tel que A∗B∗C∗ soit la r´eflexion de ABC par rapport `a Π.
[R´eponse : Les sommets du triangle r´efl´echi A∗B∗C∗ sont A∗ : (−3, 2, −3), B∗: (−8
3,7 3,−5
3) et C∗ : (−5 3,7
3,−8 3). ]
14. Montrer que la distance s entre deux plans parall`eles, Π1 : ax + by + cz = d1
Π2 : ax + by + cz = d2, est donn´ee par
s = |d1− d2|
n ,
o`u n = (a, b, c) est le vecteur normal aux deux plans (voir la note th´eorique 1.5).
D’ALGÈBRE LINÉAIRE algébre matriCielle et PiVot de gauss