Théorie et Problémes Résolus d'Algèbre Linéaire: Volume 1: Espaces Euclidiens

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MARIANNA EULER ET NORBERT EULER

THÉORIE ET PROBLÈMES RÉSOLUS D’ALGÈBRE

LINÉAIRE

VOLUME 1 ESPACES EUCLIDIENS

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Théorie et Problèmes Résolus d’Algèbre Linéaire: Volume 1 Espaces Euclidiens 1e édition

Evaluation par : Professor Adrian Constantin, Universität Wien, Österreich/King’s College London, UK and Professor Denis Blackmore, New Jersey Institute of Technology, USA Traduit de l’anglais par Benoit Mahault

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D’ALGÈBRE LINÉAIRE Contenu

CONTENU

1 Vecteurs, droites et plans dans R³ 9

1.1 Opérations sur les vecteurs et le produit scalaire 9

1.2 Le produit vectoriel 17

1.3 Les plans et leurs équations 22

1.4 Les droites et leur paramétrisation 29

1.5 Supplément sur les droites et les plans 39

1.6 Exercices 56

2 Algèbre matricielle et pivot de Gauss 63

2.1 L’addition et la multiplication de matrices 63

2.2 Le déterminant de matrices carrées 70

2.3 Les matrices carrées inversibles 76

2.4 La méthode du pivot de Gauss pour les systémes d’équations linéaires 81

2.5 Les systèmes d’équations linéaires carrés 86

2.6 Les systèmes d’équations linéaires dans R³ 94

2.7 Intersection des droites dans R³ 107

2.8 Exercises 111

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THÉORIE ET PROBLÈMES RÉSOLUS

D’ALGÈBRE LINÉAIRE Contenu

3 Familles génératrices et familles libres 121

3.1 Combinaisons linéaires de vecteurs 121

3.2 Familles génératrices 128

3.3 Les familles libres et liées 133

3.4 Exercices 142

4 Applications linéaires entre espaces euclidiens 147 4.1 Applications linéaires : ensemble de dénition et ensemble image 147

4.2 Matrices canoniques et applications composées 154

4.3 Les applications linéaires inversibles 183

4.4 Exercices 192

A Le calcul matriciel avec Maple 205

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D’ALGÈBRE LINÉAIRE PréfaCe

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Pr´eface

Ce livre est le premier d’une série de trois ouvrages intitulés Théorie et Problèmes Résolus d’algèbre linéaire. Cette première partie traite des vecteurs en espace euclidien, des matrices ainsi que de leur algèbre, et des systèmes d’équations linéaires. Nous résolvons des systèmes linéaires en utilisant, entre autres, la méthode du pivot de Gauss et étudions les propriétés de ces systèmes à l’aide des vecteurs et des matrices. De plus, nous nous intéressons aux applications linéaires de la forme T : Rⁿ → R^m et calculons la matrices canonique les décrivant.

La seconde partie de cette série est intitulée Espaces Vectoriels (pas encore disponible en fran¸cais). Dans celle-ci nous définissons les concepts d’espace vectoriel, de base, de dimension et de coordonnées dans ces espaces. Ce qui nous amène aux applications linéaires entre espaces vectoriels et euclidiens. Nous étudions aussi plusieurs espaces euclidiens, par exemple l’espace nul, l’espace colonne ainsi que l’espace propre des matrices. Nous utilisons ensuite les vecteurs propres et des transformations similaires afin de diagonaliser les matrices carrées.

Dans la troisième partie, intitulée Espaces préhilbertiens (pas encore disponible en fran¸cais), nous incluons le produit scalaire de deux vecteurs aux espaces vectoriels. Ceci rend possible les définitions des bases orthogonales et orthonormées, des espaces orthogonaux ainsi que des projections orthogonales des vecteurs sur des sous espaces de dimension finie. La méthode dite des moindres carrés est introduite comme la meilleure approxima- tion des systèmes linéaires incompatibles Ax = b.

Le but de cette série est de fournir aux étudiants un ensemble structuré de problèmes résolus soigneusement choisis ainsi qu’une opportunité d’approfondir leurs connaissances acquises en cours d’algèbre linéaire. Chaque chapitre comporte un bref résumé des notions théoriques importantes dans les Notes théoriques. Elles sont suivies par une sélection de Problèmes en rapport avec ces concepts, puis pour chacun une Solution détaillée est fournie. Enfin, à la fin de chaque chapitre se trouve une liste d’exercices liés aux problèmes (avec solutions). Cette structure est commune à tous les ouvrages de la série.

Cette architecture particulière fait que ces livres ne sont pas des manuels traditionnels d’un cours d’algèbre linéaire. Nous pensons au contraire qu’il peuvent être utiles en tant que support à un manuel classique. Nous cherchons à guider les étudiants, en particulier ceux venant des filières techniques et scientifiques, en leur fournissant les outils afin qu’ils acquièrent une meilleure compréhension des notions abstraites d’algèbre linéaire. Cette série peut aussi servir au développement et à l’amélioration des techniques de résolution de problèmes. Nous prévoyons que les étudiants trouveront ici des méthodes alternatives, ainsi que des exercices allant au delà de ce qui est classiquement proposé en algèbre linéaire, et nous espérons que ceci augmentera leur intérêt pour le sujet.

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D’ALGÈBRE LINÉAIRE note aux etudiants

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Note aux ´etudiants

Nous suggérons que vous vous attaquiez d’abord aux Problèmes par vous même, avec l’aide fournie par les Notes théoriques ci nécessaire, avant de lire les Solutions pro- posées. Nous pensons que cette fa¸con d’étudier l’algèbre linéaire vous sera utile car elle devrait vous permettre de faire de nouvelles connexions entre les différents concepts et possiblement d’apprendre des méthodes alternatives à la résolution de problèmes.

Chaque sous partie de chaque chapitre de ce livre (qui constitue la première partie de cette série sur l’algèbre linéaire) est généralement auto consistante, vous devriez donc pouvoir travailler sur les problèmes dans l’ordre que vous préférez. Par conséquent si vous voulez

étudier le dernier chapitre, vous n’avez pas besoin de traiter tous les chapitres précédents.

Afin de faciliter la lecture du livre nous avons, en plus de la table des matières et de l’index présents au début et à la fin, utilisé les couleurs pour indiquer les Notes théoriques, Problèmes et Solutions.

Ce livre comprend plus de 100 probl`emes r´esolus et plus de 100 exercices avec solutions. Bonne lecture !

Marianna Euler et Norbert Euler Lule˚a, avril 2016

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D’ALGÈBRE LINÉAIRE notations

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Notations

R : L’ensemble des nombres r´eels.

Rⁿ: L’espace euclidien contenant les vecteurs `a n composantes v = (v1, v2, . . . , vn) pour tout vj∈ R.

v : La norme (ou longueur) du vecteur v.

v :ˆ Le vecteur unitaire orient´e selon v ; ˆv = v

v.

−−−→P1P2: Le vecteur deR³ pointant de P1 `a P2.

u· v : Le produit scalaire des vecteurs u et v dans Rⁿ. u× v : Le produit vectoriel des vecteurs u et v dansR³. u· (v × w) : Le produit mixte des vecteurs u, v et w dansR³.

projvu : La projection orthogonale du vecteur u sur le vecteur v.

{e¹, e2, · · · , eⁿ} : La base canonique de Rⁿ.

A = [a1 a2 · · · an] = [aij] : Une matrice m× n form´ee des colonnes aj∈ R^m, j = 1, 2, . . . , n.

In= [e1 e2 · · · en] : La matrice identité n× n avec ej les vecteurs de la base canonique deRⁿ. det A or|A| : Le déterminant de la matrice carrée A.

A⁻¹: La matrice inverse de la matrice carr´ee A.

A∼ B :^l Les matrices A et B sont l-´equivalentes (ligne-´equivalentes).

[A b] : La matrice augment´ee correspondant `a l’´equation Ax = b.

Vect{u1, u2, · · · , up} : Le sous-espace vectoriel engendr´e par les vecteurs {u1, u2, · · · , up}.

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D’ALGÈBRE LINÉAIRE notations (suite)

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Notations (suite)

T : Rⁿ→ R^m: Une application des vecteurs de Rⁿ dans R^m.

C_T : Le codomaine (ou ensemble d’arriv´ee) de l’application T . DT : L’ensemble de d´efinition de l’application T .

R_T : L’ensemble image de l’application T .

T : x→ T (x) : Une application T associant T (x) `a un vecteur x.

T : x→ T (x) = Ax : Une application lin´eaire T associant au vecteur x le vecteur Ax.

T2◦ T1: Une application compos´ee.

T⁻¹: L’application r´eciproque de T .

Remerciements

Nous tenons à remercier chaleureusement nos collègues Dr. Stefan Ericsson et Dr. Johan Byström pour leur lecture de la Première Edition et leurs remarques précieuses. Nous remercions aussi Dr. Ove Edlund pour ses remarques utiles concernant l’annexe de cette Seconde Edition.

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D’ALGÈBRE LINÉAIRE VeCteurs, droites et Plans dans r3

Chapitre 1

Vecteurs, droites et plans dans R ³

Le but de ce chapitre :

Nous considérons les vecteurs de l’espace euclidien R³ et utilisons les opérations usuelles de l’addition de vecteurs, la multiplication de vecteurs par des scalaires (nombres réels), le produit scalaire, et le produit vectoriel de deux vecteurs afin de calculer des longueurs, des aires, des volumes et les projections orthogonales d’un vecteur sur un autre vecteur (ou sur une droite). Nous nous servons de ces vecteurs pour paramétrer les droites et trouver les équations de plan dans R³. Nous montrons comment calculer les distances entre un point et une droite, un point et un plan, entre deux plans, une droite et un plan, mais aussi entre deux droites dansR³.

1.1 Op´erations sur les vecteurs et le produit scalaire

Dans ce sous-chapitre nous étudions les opérations usuelles sur les vecteurs deR³, dont le produit scalaire. Nous appliquons ces connaissances au calcul de la longueur (ou norme) d’un vecteur, la distance et l’angle entre deux vecteurs, ainsi que la projection orthogonale d’un vecteur sur un autre et la réflexion d’un vecteur par rapport à un autre.

Note th´eorique ^1.1.

Consid´erons les trois vecteurs u, v et w dans R³. Supposons qu’ils aient pour origine (0, 0, 0) et se terminent respectivement aux points (u1, u2, u3), (v1, v2, v3) et (w1, w2, w3).

On appelle ces derniers coordonn´ees des vecteurs, réciproquement u, v et w sont nommés les vecteurs position associés. Nous écrivons donc

u = (u₁, u₂, u₃), v = (v₁, v₂, v₃), w = (w₁, w₂, w₃).

Le vecteur position u associé au point P ayant pour coordonnées (u₁, u₂, u₃) est montré à la figure 1.1. Afin d’alléger les notations, nous désignerons par P : (u1, u2, u3) les coordonnées du point P . L’addition de deux vecteurs u et v, notée u + v, est le vecteur deR³s’écrivant

u + v = (u₁+ v₁, u₂+ v₂, u₃+ v₃).

9

(11)

10 CHAPITRE 1. VECTEURS, DROITES ET PLANS DANSR³

Figure 1.1 – Vecteur position u associ´e au point P de coordonn´ees (u₁, u₂, u₂).

Une illustration est donnée figure 1.2. Considérant un troisième vecteur w ∈ R³ la pro- priété suivante est satisfaite

(u + v) + w = u + (v + w).

La multiplication de u par un nombre réel (ou scalaire), notée ru, est le vecteur de R³ défini par

ru = (ru₁, ru₂, ru₃).

Le vecteur ru est aussi appelé dilatation de u. Nous avons Propriétés :

0u = 0 = (0, 0, 0) le vecteur nul

−u = (−1)u = (−u1,−u2,−u3) est appel´e l’oppos´e du vecteur u u− v = u + (−1)v = (u1− v1, u₂− v2, u₃− v3)

u− u = 0.

Le produit scalaire de u et v, noté u· v, est le nombre réel donné par : u· v = u1v₁+ u₂v₂+ u₃v₃∈ R.

La norme de u, not´eeu, est la longueur de u d´efinie selon

u =√

u· u ≥ 0.

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D’ALGÈBRE LINÉAIRE1.1. OP ´ERATIONS SUR LES VECTEURS ET LE PRODUIT SCALAIREVeCteurs, droites et Plans dans r311

Figure 1.2 – Addition des vecteurs u et v, ainsi que quelques dilatations du vecteur u.

La distance entre deux points P1 and P2 de vecteurs position respectivement u = (u₁, u₂, u₃) and v = (v₁, v₂, v₃), est donn´ee par la norme du vecteur −−−→P₁P₂ (voir la figure 1.3), i.e.

−−−→

P1P2 = v − u ≥ 0.

Un vecteur unitaire et un vecteur de norme 1. Tout vecteur non nul u∈ R³ peut être normalisé en un unique vecteur unitaire, noté û, de même direction que u. Nous avons donc, û = 1. ˆu est appelé vecteur directeur de u, d’où la relation u =u ˆu.

L’ensemble de vecteurs unitaires

{e1, e2, e3}, avec e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1)

est dénommé base canonique deR³. Le vecteur u = (u₁, u₂, u₃) peut donc s’écrire sous la forme

u = u1e1+ u2e2+ u3e3.

Notons θ l’angle entre u et v. La d´efinition du produit scalaire et la loi des cosinus impliquent que

u· v = u v cos θ ∈ R.

Ce qui signifie que les vecteurs u et v sont orthogonaux (ou perpendiculaires) si et seulement si

u· v = 0.

La projection orthogonale de w sur u, notée proj_uw, est le vecteur proj_uw = (w· û)û∈ R³,

(13)

D’ALGÈBRE LINÉAIRE12 CHAPITRE 1. VECTEURS, DROITES ET PLANS DANSVeCteurs, droites et Plans dans r3R³

Figure 1.3 – La distance entre P1 et P2.

où û est le vecteur directeur de proj_uw et |w · ˆu| est la longueur de projuw (| | indique la valeur absolue). Une illustration est donnée à la figure 1.4.

Figure 1.4 – La projection orthogonale de w sur u.

(14)

1.1. OP ´ERATIONS SUR LES VECTEURS ET LE PRODUIT SCALAIRE 13

Probl`eme ^1.1.1.

Consid´erons les vecteurs suivants dans R³ : u = (1, 2, 3), v = (2, 0, 1), w = (3, 1, 0).

a) Trouver la longueur du vecteur u, ainsi que le vecteur unitaire donnant sa direction.

b) Trouver l’angle entre u et v.

c) Projeter orthogonalement w sur le vecteur v.

d) Trouver le vecteur qui est la r´eflexion de w par rapport `a v.

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Solution ^1.1.1.

a) La longueur de u = (1, 2, 3) est u = √

1²+ 2²+ 3² = √

14. La direction de u = (1, 2, 3) est donn´ee par le vecteur unitaire ˆu, d´efini par

ˆ u = u

u = (1, 2, 3)

√14 = ( 1

√14, 2

√14, 3

√14).

On remarquera que ˆu = 1.

b) L’angle θ entre u = (1, 2, 3) et v = (2, 0, 1) (Voir figure 1.5) et calcul´e `a l’aide du produit scalaire

u· v = u v cos θ, qui donne

cos θ = (1)(2) + (2)(0) + (3)(1)

√14√

5 =

√5

√14. D’o`u

θ = cos⁻¹

 √5

√14

.

Figure 1.5 – Angle θ entre les vecteurs u et v

c) La projection orthogonale du vecteur w = (3, 1, 0) sur le vecteur v = (2, 0, 1), notée proj_vw ou w_v, donne les coordonnées de w dans la direction de v. Elle est donnée par

proj_vw = (w· ˆv) ˆv =w · v v· v

v = (3)(2) + (1)(0) + (0)(1)

2²+ 0²+ 1² (2, 0, 1) = (12 5 , 0,6

5) = w_v. d) La réflexion de w par rapport à v est donnée par le vecteur w^∗ (voir la figure 1.6),

avec

w^∗=−−→OB +−−→BC.

Comme nous avons

−−→OB = proj_vw, −−→BC =−−→AB et −−→AB = proj_vw− w, nous en d´eduisons

w^∗= proj_vw + (proj_vw− w) = 2 projvw− w.

(16)

D’ALGÈBRE LINÉAIRE1.1. OP ´ERATIONS SUR LES VECTEURS ET LE PRODUIT SCALAIREVeCteurs, droites et Plans dans r315

Figure 1.6 – Le vecteur w est réfléchi par rapport à v Calculons,

proj_vw = (12 5 , 0,6

5) w^∗ = 2(12

5 , 0,6

5)− (3, 1, 0) = (9

5,−1,12 5 ).

Probl`eme ^1.1.2.

Consid´erons les deux vecteurs deR³ : u = (u₁, u₂, u₃) et v = (v₁, v₂, v₃).

a) Trouver la projection orthogonale de u dans le plan xy.

b) Trouver la projection orthogonale de u dans le plan yz.

c) Trouver le vecteur correspondant `a la r´eflexion de u par rapport au plan xz.

d) Trouver le vecteur r´esultant le la r´eflexion de u par rapport aux plans xy puis xz.

Solution ^1.1.2.

a) La projection orthogonale de u = (u₁, u₂, u₃) dans le plan xy est le vecteur u_xy dont la coordonnée suivant z est nulle et les coordonnées suivant x et y sont les mêmes que celles de u. Donc (voir la figure 1.7)

u_xy = (u₁, u₂, 0).

b) La projection orthogonale de u = (u₁, u₂, u₃) dans le plan yz est le vecteur u_yz donn´e par

u_yz = (0, u₂, u₃).

c) Le vecteur u^∗_xz, qui est la réflexion de u = (u₁, u₂, u₃) par rapport au plan xz, a les mêmes coordonnées que u suivant x et z, mais une coordonnée suivant y opposée `a

(17)

Figure 1.7 – La projection orthogonale de u dans le plan xy.

celle de u. D’o`u

u^∗_xz = (u₁,−u2, u₃).

d) Le vecteur u = (u1, u2, u3) est d’abord réfléchi par rapport au plan xy afin d’obtenir u^∗_xy = (u₁, u₂,−u3), celui-ci est ensuite réfléchi par rapport au plan xz, ce qui donne (u₁,−u2,−u3).

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1.2. LE PRODUIT VECTORIEL 17

1.2 Le produit vectoriel

Ce sous-chapitre introduit le produit vectoriel de deux vecteurs ainsi que le produit mixte de trois vecteurs de R³. Nous allons montrer comment utiliser le produit vectoriel afin de trouver un vecteur orthogonal à deux vecteurs de R³. Nous allons aussi nous servir de ces deux produits pour les calculs d’aire d’un parallélogramme et de volume d’un parallélépipède.

Consid´erons les trois vecteurs u = (u₁, u₂, u₃), v = (v₁, v₂, v₃) et w = (w₁, w₂, w₃), dansR³.

1) Le produit vectoriel de u et v, noté u× v, est lui-même un vecteur de R³, défini comme suit :

u× v = (u v sin θ) ˆe ∈ R³.

Le vecteur u× v est orthogonal à la fois à u et à v. Nous avons noté ê le vecteur directeur de u× v, de telle fa¸con que ||ê|| = 1. La direction de ê est donnée par la

”r`egle de la main droite” et θ est l’angle entre u et v. La figure 1.8 repr´esente ce produit.

Figure 1.8 – Le produit vectoriel u× v.

Le produit vectoriel possède les propriétés suivantes : Propriétés :

a) u× v = −v × u.

b) La normeu × v est l’aire du parall´elogramme d´efini par u et v.

(19)

c) En terme de coordonnées, le produit vectoriel de deux vecteurs peut être évalué selon la règle de calcul du déterminant d’une matrice 3× 3 (voir le sous chapitre 2.2.), c’est à dire

u× v = det





e₁ e₂ e₃ u₁ u₂ u₃ v1 v2 v3





= e₁det

u2 u3

v₂ v₃

− e2det

u1 u3

v₁ v₃

+ e₃det

u1 u2

v₁ v₂

= (u₂v₃− u3v₂)e₁+ (u₃v₁− u1v₃)e₂+ (u₁v₂− u2v₁)e₃

= (u₂v₃− u3v₂, u₃v₁− u1v₃, u₁v₂− u2v₁).

O`u

{e1, e2, e3}, e1= (1, 0, 0), e2= (0, 1, 0), e3= (0, 0, 1),

est la base canonique de R³. On note “det A” le d´eterminant de la matrice carrée A. La notation |A| est parfois utilisée pour le déterminant de A, i.e.

det A≡ |A|.

Remarque : Le déterminant d’une matrice n× n est présenté au Chapitre 2.

d) (u× v) · u = 0, (u × v) · v = 0.

e) Deux vecteurs non nuls u et v deR³sont parall`eles si et seulement si u× v = 0.

2) Le produit u·(v×w) ∈ R est appelé produit mixte et peut être calculé en s’aidant du déterminant selon :

u· (v × w) = det



 u₁ u₂ u₃ v₁ v₂ v₃ w1 w2 w3





= (v2w3− v3w2)u1+ (v3w1− v1w3)u2+ (v1w2− v2w1)u3. Alors

u· (v × w) = v · (w × u) = w · (u × v).

Considérons le parallélépipède défini par u, v et w comme illustré à la figure 1.9.

Figure 1.9 – Le parallélépipède défini par u, v et w.

(20)

1.2. LE PRODUIT VECTORIEL 19

Le volume du parallélépipède correspond à la valeur absolue du produit mixte de ces trois vecteurs :

Volume du parallélépipède =|u · (v × w)| unités.

Si les trois vecteurs u, v et w appartiennent au mˆeme plan de R³, alors u· (v × w) = 0.

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Probl`eme ^1.2.1.

Consid´erons les trois vecteurs suivants dansR³ : u = (1, 2, 3), v = (2, 0, 1), w = (3, 1, 0).

a) Trouver un vecteur orthogonal `a la fois `a u et v.

b) Trouver l’aire du parall´elogramme d´efini par u et v.

c) Trouver le volume du parallélépipède défini par u, v et w.

Solution ^1.2.1.

a) Le vecteur q = u× v est orthogonal `a u = (1, 2, 3) et v = (2, 0, 1) (voir la figure 1.10) et ce produit vectoriel peut s’exprimer selon le d´eterminant

q =

e₁ e₂ e₃

1 2 3

2 0 1

= 2e₁+ 5e₂− 4e3= (2, 5,−4).

Avec {e1, e₂, e₃} la base canonique de R³.

Figure 1.10 – Le vecteur q est orthogonal `a la fois `a u et v .

b) L’aire du parallélogramme ABCD défini par les vecteurs u et v est égale à u × v

(voir la figure 1.11). Nous avons déjà calculé u× v = (2, 5, −4) à la question a), d’où

u × v =

2²+ 5²+ (−4)² = 3√

5 unit´es.

c) Le volume du parallélépipède défini par les vecteurs u, v et w est donné par la valeur absolue de leur produit mixte, i.e.

|u · (v × w)| = |

u₁ u₂ u₃ v₁ v₂ v₃ w₁ w₂ w₃

|,

avec u = (u1, u2, u3), v = (v1, v2, v3) et w = (w1, w2, w3).

Nous obtenons donc pour les vecteurs u, v et w, |u · (v × w)| = |11| = 11 unit´es.

(22)

D’ALGÈBRE LINÉAIRE1.2. LE PRODUIT VECTORIEL VeCteurs, droites et Plans dans r321

Figure 1.11 – Parall´elogramme ABCD d´efini par les vecteurs u et v

Probl`eme ^1.2.2.

Consid´erons les trois vecteurs de R³ :

u₁ = (a, 2,−1), u2 = (4, 1, 0), u₃ = (1, 5,−2), o`u a est un nombre r´eel arbitraire.

a) Trouver la(les) valeur(s) de a, telle(s) que le volume du parallélépipède défini par u₁, u₂ et u₃ soit égal à une unité.

b) Calculer l’aire de chaque face du parallélépipède défini par les trois vecteurs ci-dessus u1, u2 et u3, pour a = 0.

Solution ^1.2.2.

a) Le volume du parallélépipède est V =|u1· (u2× u3)| et nous imposons V = 1. D’où V =|

a 2 −1

4 1 0

1 5 −2

| = | − 2a − 3| = 1, nous en d´eduisons a =−1 ou a = −2.

b) L’aire de chaque face du parallélépipède peut être calculée comme suit (voir la figure 1.12) :

Aire face 1 = u¹× u3, Aire face 2 = u²× u3, Aire face 3 = u¹× u2, unit´es.

Avec

u₁× u3=

e1 e2 e3

0 2 −1

1 5 −2

= e₁− e2− 2e3

u2× u3=

e₁ e₂ e₃

4 1 0

1 5 −2

=−2e1+ 8e2+ 19e3

u₁× u2=

e₁ e₂ e₃

0 2 −1

4 1 0

= e₁− 4e2− 8e3,

(23)

Figure 1.12 – Le parallélépipède défini par u₁, u₂ et u₃. tels que

Aire face 1 =

1²+ (−1)²+ (−2)²=√

6 unit´es Aire face 2 =

(−2)²+ 8²+ 19² =√

429 unit´es Aire face 3 =

1²+ (−4)²+ (−8)²= 9 unit´es.

1.3 Les plans et leurs ´equations

Ce sous-chapitre traite des plans dans R³ et montre comment d´eriver leurs ´equations.

1) L’équation d’un plan dansR³ s’écrit de manière générale ax + by + cz = d,

o`u a, b, c et d sont des nombres r´eels donn´es. Tous les points (x, y, z) appartenant

`

a ce plan doivent satisfaire son ´equation, i.e. ax + by + cz = d.

2) Le vecteur n de coordonn´ees (a, b, c), i.e.

n = (a, b, c),

est un vecteur orthogonal au plan ax + by + cz = d. On appelle n vecteur normal du plan.

3) L’équation d’un plan peut être dérivée si trois points de ce plan n’appartenant pas

`

a la mˆeme droite sont connus, ou si le vecteur normal et un point appartenant au plan sont donn´es.

(24)

1.3. LES PLANS ET LEURS ´EQUATIONS 23

Probl`eme ^1.3.1.

Consid´erons les trois points suivants dans R³ : (1, 2, 3), (2, 0, 1), (3, 1, 0).

Trouver l’´equation du plan Π contenant ces trois points.

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(25)

Solution ^1.3.1.

Notons A, B et C les points de coordonn´ees respectives (1, 2, 3), (2, 0, 1) and (3, 1, 0).

Supposons que ces points appartiennent au plan Π et notons P : (x, y, z, ) un point arbitraire du plan. Consid´erons maintenant les vecteurs

−−→AB = (1,−2, −2), −→

AC = (2,−1, −3), −→

AP = (x− 1, y − 2, z − 3).

Appelons n le vecteur normal au plan Π comme illustr´e figure 1.13.

Figure 1.13 – Le plan Π de vecteur normal n

Alors n =−→

AC×−−→

AB et n·−→

AP = 0, donc

n =

e₁ e₂ e₃ 2 −1 −3 1 −2 −2

=−4e1+ e₂− 3e3 = (−4, 1, −3).

L’´equation du plan peut alors s’exprimer comme 0 = n·−→AP =−4(x − 1) + 1(y − 2) − 3(z − 3), ou encore 4x− y + 3z = 11.

Probl`eme ^1.3.2.

Consid´erons quatre points deR³ de coordonn´ees respectives (1, 1, 1), (0, 1, k), (2,−1, −1) and (−2, −1, 1),

avec k un nombre r´eel arbitraire. Trouver la(les) valeur(s) de k, telle(s) que ces quatre points appartiennent au mˆeme plan.

(26)

Solution ^1.3.2.

Supposons que les quatre points

A : (1, 1, 1), B : (0, 1, k), C : (2,−1, −1), D : (−2, −1, 1)

appartiennent au même plan de R³ comme illustré à la figure 1.14. Comme ces points

Figure 1.14 – Un plan contenant les points A, B, C et D.

appartiennent au mˆeme plan nous avons

−−→AD· (−→AC×−−→AB) = 0 avec

−−→AD = (−3, −2, 0), −→AC = (1,−2, −2), −−→AB = (−1, 0, k − 1) et

−−→AD· (−→

AC×−−→

AB) =

−3 −2 0

1 −2 −2

−1 0 k− 1

= 0.

Le calcul de ce d´eterminant nous fournit la relation 8k− 12 = 0, donc l’unique valeur de k telle que les quatre points appartiennent au mˆeme plan est

k = 3 2.

Probl`eme ^1.3.3.

Trouver l’équation du plan de R³ passant par le point (1, 3, 1) et parallèle au plan défini par

x + y− z = 1.

(27)

Solution ^1.3.3.

Notons ce plan Π₁, i.e.

Π₁ : x + y− z = 1,

et Π₂ le plan dont nous cherchons l’´equation. La figure 1.15 montre ces deux plans. Un vecteur normal de Π₁ est

n₁ = (1, 1,−1)

et, comme Π₂ est parallèle à Π₁, leurs vecteurs normaux doivent être parallèles. C’est pourquoi nous pouvons définir n2, un vecteur normal de Π2, comme le même que celui de Π₁,

n₂ = (1, 1,−1).

Figure 1.15 – Les deux plans parall`eles Π1 et Π2

Nous connaissons un point appartenant au plan Π₂, not´e A : (1, 3, 1). Consid´erons un autre point arbitraire de Π₂,

B : (x, y, z).

Alors le vecteur −−→

AB s’´ecrit

−−→AB = (x− 1, y − 3, z − 1) et est orthogonal au vecteur n2. D’o`u

−−→AB· n2= 0.

(28)

Apr`es calcul du produit scalaire−−→

AB· n2, nous obtenons 1(x− 1) + 1(y − 3) − 1(z − 1) = 0.

L’´equation de Π₂ est donc Π₂ : x + y− z = 3.

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(29)

Probl`eme ^1.3.4.

Trouver l’´equation du plan deR³ passant par les points (1, 3, 1) et (−1, 0, 4) et orthogonal au plan

x− y + 2z = 3.

Solution ^1.3.4.

Notons Π₁ le plan

Π₁ : x− y + 2z = 3 de vecteur normal

n₁ = (1,−1, 2)

et Π₂ le plan que nous recherchons. Ces deux plans sont repr´esent´es en figure 1.16. Nous connaissons deux points de Π2,

A : (1, 3, 1), B : (−1, 0, 4).

Pour trouver l’équation de Π₂nous avons besoin de déterminer d’abord son vecteur normal n₂. Comme Π₁ et Π₂ sont orthogonaux, le vecteur normal n₂ de Π₂ est orthogonal à n’importe quel vecteur parallèle à Π2, par exemple−−→

AB, et n2 est orthogonal `a n1. Donc n2 = n1×−−→

AB, avec

−−→AB = (−2, −3, 3).

D’o`u n2 =

e₁ e₂ e₃

1 −1 2

−2 −3 3

= 3e1− 7e2− 5e3 = (3,−7, −5).

Notons C un point quelconque de Π₂, i.e.

C : (x, y, z).

Le vecteur−→AC est orthogonal au vecteur normal n₂, donc n₂·−→

AC = 0, avec

−→AC = (x− 1, y − 3, z − 1).

Le calcul du produit scalaire n2·−→

AC nous donne 3(x− 1) − 7(y − 3) − 5(z − 1) = 0,

et nous en d´eduisons l’´equation du plan Π₂ 3x− 7y − 5z = −23.

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