4. Teoretisk referensram
4.3.3 Värdering av optioner med hjälp av Black-Scholes modell
Under början av 1970-talet gjorde Fischer Black, Myron Scholes och Robert Merton ett stort genombrott inom området för värdering av optioner. Tillsammans presenterade de en värde- ringsmodell som kunde användas på europeiska aktieoptioner. Denna modell har senare kommit att bli mer känd som Black-Scholes modell. (Hull, 2012)
Black-Scholes modell bygger på en idé om att man kan skapa en portfölj som innehåller den underliggande tillgången tillsammans med en riskfri tillgång och därigenom återskapa samma kassaflöden som en option skulle ge (Damodaran, 2012). Rent teoretiskt borde portföljen där- med ha samma värde som själva optionen, och genom att värdera portföljen får man även fram värdet på optionen. Viktigt att påpeka är att den ursprungliga versionen av formen inte kan användas för att värdera optioner med underliggande tillgångar som betalar ut utdelning- ar, och inte heller för att värdera indexoptioner. För att klara av att värdera dessa behöver Black-Scholes formel modifieras, vilket vi kommer återkomma till i avsnitt 4.3.4 Värdering av
indexoptioner samt optioner med utdelning.
Bakom Black-Scholes modell finns ett antal antaganden kring rådande marknadsförhållanden: (Black & Scholes, 1973, s. 640-641)
a) aktörer kan låna och investera till den riskfria räntan, samtidigt som räntan är konstant under hela optionens löptid
b) den underliggande tillgångens pris följer en random walk12
c) under optionens löptid sker ingen utdelning från den underliggande tillgången (exem- pelvis en aktie)
d) optionen är en europeisk option som endast kan utnyttjas på slutdagen
e) inga transaktionskostnader förekommer för handel med optionen eller den underlig- gande tillgången
f) blankning är tillåtet
Under dessa antaganden kommer optionsvärdet att endast bero på den underliggande till- gångens marknadsvärde och tid kvar till lösendagen. Resterande variabler antas vara konstanta (Black & Scholes, 1973, s. 641). Nedan följer Black-Scholes formel för att räkna ut optionspriset på köp- och säljoptioner utan utdelning (Hull, 2012, s.313).
12
Random walk är ett begrepp som härrör från teorin med samma namn. Kortfattat säger denna teori att priset på exempelvis en aktie tar en slumpmässig och oförutsägbar väg, och att det därmed är omöj- ligt att förutsäga morgondagens pris.
TEORETISK REFERENSRAM
34
Formel 4.5 - Köpoption utan utdelning
Formel 4.6 - Säljoption utan utdelning
där därEftersom modellen värderar europeiska optioner som inte kan utnyttjas före lösendagen an- vänds som står för nuvärdet av lösenpriset. I formeln står för den kumulativa normalfördelningen eftersom modellen bygger på normalfördelade variabler. står ex- empelvis för sannolikheten för en positiv utveckling i den underliggande tillgången fram till lösendagen (det vill säga S > K för en köpoption och K > S för en säljoption) (Damodaran, 2012). Enligt Black-Scholes formel ges tillexempel värdet på en köpoption genom skillnaden mellan det förväntade framtida värdet på den underliggande tillgången och den förväntade kostnaden om optionen utnyttjas.
TEORETISK REFERENSRAM
35
Normalfördelning och Lognormalfördelning
Black-Scholes modell antar att de procentuella förändringarna i den underliggande tillgångens pris under en kort tidsperiod är normalfördelad (Hull, 2012).
För att studera en kontinuerlig slumpvariabel är normalfördelningen den bästa sannolikhets- modellen. Normalfördelning är beroende av två parametrar, nämligen väntevärde (medelvär- de, ) och standardavvikelsen (). För en slupvariabel (x) som är normalfördelad med para- metrarna och kan formeln för normalfördelning skrivas som: (Körner & Wahlgren, 2006, s.114-115)
Formel 4.7
där
: Vilket innebär att utfallsrummet utgörs av hela talaxeln
I figuren nedan visas en normalfördelningskurva över den standardiserade normalfördelningen där väntevärdet är 0 och standardavvikelsen är 1. Som framgår av figuren är normalfördel- ningen symmetrisk kring sitt väntevärde, vilket betyder att halva kurvan till vänster om vänte- värdet är en spegelbild av den andra halvan till höger. Kullen visar att den slumpmässiga varia- bel mer ofta antar värden som hamnar nära variabelns väntevärde eftersom det är vid varia- belns väntevärde som kullen är som högst.
TEORETISK REFERENSRAM
36
Figur 4.1 Illustration av en normalfördelningskurva för en slumpvariabel med ett väntevärde () på 0 och en standardavvikelse () på 1
För att senare kunna beräkna den underliggande tillgångens volatilitet antar vi att kursföränd- ringarna är lognormalfördelade. Till skillnad från en normalfördelning kan en lognormalfördel- ning endast anta positiva värden (se figur nedan). Anledningen till lognormalfördelade kursför- ändringar används är att de leder till en normalfördelad avkastning. Genom att logaritmera en lognormalfördelningskurva får man fram en normalfördelningskurva.
Figur 4.2 Illustration av en lognormalfördelningskurva för en slumpvariabel med ett väntevärde på 0 och en stan- dardavvikelse på 1
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
TEORETISK REFERENSRAM
37
Volatilitet och standardavvikelse
För att värdera optioner med hjälp av Black-Scholes formel behöver volatiliteten (σ) i den un- derliggande tillgången vara känd. Volatilitet är ett vanligt mått för marknadsrisken hos finansi- ella tillgångar och mäts som standardavvikelsen hos en tillgångs avkastning (Oxenstierna, 2012). Volatiliteten beskriver exempelvis prisrörligheten hos en aktie och mäter därmed hur mycket aktiepriset varierar över tiden. Skulle en aktiekurs svänga mycket uppåt och nedåt, så har aktien en hög volatilitet och kan därmed anses som en riskfylld tillgång.
När man räknar fram standardavvikelsen innebär det att man räknar fram hur den faktiska aktiekursen under en tidsperiod genomsnittligen avviker från sitt medelvärde. En hög stan- dardavvikelse innebär stora svängningar i aktiekursen och betyder att aktiekursen varierar kraftigt från medelvärdet vilket är förknippat med en hög risk. Små variationer i aktiekursen betyder däremot en lägre risk. (Oxenstierna, 2012)
Volatiliteten hos en aktie kan definieras som standardavvikelsen hos aktiens avkastning under ett år när avkastningen ges som kontinuerlig ränta. Den historiska standardavvikelsen hos ex- empelvis en aktie kan uppskattas på följande sätt: (Hull, 2012, s.304-305)
Formel 4.8
därTEORETISK REFERENSRAM 38
Formel 4.9
därFormlerna ovan skiljer sig från hur man vanligtvis brukar definierar standardavvikelsen efter- som vi här jobbar med antagandet om att kursförändringar i den underliggande tillgången är lognormalfördelade.
Eftersom de ingående variablerna i Black-Scholes formel är uttryckta på årsbasis måste även standardavvikelsen uttryckas på årsbasis när den skall sättas in i formeln. Beroende på vad för data som används i beräkningen kan justeringen ske på olika sätt. När man räknar om stan- dardavvikelsen från dagsbasis till årsbasis kan man antingen använda sig av det totala antalet dagar (365 dagar) på ett år eller endast antalet handelsdagar på som börsen är öppen för han- del, vilket är omkring 252 dagar under ett år för aktier (Hull, 2012, s.306).
Som framgår ur formeln nedan kan standardavvikelsen på årsbasis beräknas som standardav- vikelsen på dagsbasis multiplicerat med roten ur antalet handelsdagar (Hull, 2012, s.306).
Formel 4.10
Medan det allra vanligaste fortfarande är att beräkna volatiliteten genom historisk data så kan optionspriset när man använder sig av historisk volatilitet skilja sig från marknadspriset på samma option. En lösning skulle kunna vara att använda sig utav den implicita volatiliteten istället för den historiska, eftersom att man då får fram samma optionspris som optionens marknadspris (Damodaran, 2012). Den implicita volatiliteten är den volatilitet som ger optio-
TEORETISK REFERENSRAM
39
nen man försöker värdera samma värde som marknadsvärdet. Med andra ord skulle man kun- na säga att man går baklänges och beräknar volatiliteten utifrån hur det ser ut på marknaden för tillfället. Med hjälp av Black-Scholes formel indirekt kan man räkna ut vilken standardavvi- kelse som gör att formeln genererar samma värde som optionspriset på marknaden.
Den riskfria räntan
Den ränta som används av Black-Scholes modell för att värdera optioner är den riskfria räntan. Med riskfri ränta menas en ränta, eller avkastning, som kan erhållas från en riskfri investering. Vanligtvis uttrycks den riskfria räntan som en årsränta på en obligation, oftast en statsobliga- tion med samma löptid som optionen.
Vidare är den ränta som används i Black-Scholes modell en kontinuerlig ränta. Därmed måste den riskfria räntan justeras till kontinuerlig ränta innan den kan sättas in i formeln för att vär- dera optioner.