Výpočet velikosti úchopných sil

4.2.1. Výpočet velikosti úchopných sil

Tato kapitola je věnována návrhu chapadla na numerické úrovni, kde je vyšetřována velikost úchopných sil efektoru především pomocí silové rovnováhy v případě obou výše zmíněných variant držení objektu. Prvním krokem je volba materiálu čelistí. Od toho se dále odvíjí vypočtené hodnoty při silovém držení dílu.

Tabulka 2 - Hodnoty koeficientu tření µ pro různé kontaktní materiály [1]

Kontaktní materiály Koeficient tření µ pro kontaktní povrch suchý čistý znečištěný/mazaný

Povrch není nikterak odmaštěný ani speciálně očištěný, koeficient tření je zvolen 0,1 pro zvýšení bezpečnosti. Vzhledem k relativně vysokým úchopným silám byl v druhé iteraci zvolen materiál čelistí ocel místo duralu z důvodu vyšších hodnot pevnosti a tvrdosti (tím pádem otěruvzdornosti).

V zásadě se výpočet úchopné síly rozděluje do dvou různých metod. První se nazývá orientační výpočet úchopné síly a používá se pouze v některých jednodušších případech (uchopení probíhá v rovině procházející těžištěm, stav povrchu manipulovaného objektu se nemění, do manipulační úlohy nezasahují rázy, pohony jsou silově stabilizované apod. Pak se do výpočtu zahrnuje pouze poloha předmětu v nejméně výhodné orientaci objektu vůči efektoru a při nejméně výhodném pohybu chapadla (viz Obrázek 37 - Situační schéma při orientačním výpočtu úchopné síly), kde je zátěžná síla vyvozena gravitačním zrychlením g odhadnutým empiricky zvoleným koeficientem bezpečnosti a zrychlením koncového bodu robotu a v nejméně příznivém směru.

43 Orientační výpočet úchopné síly pro řešenou úlohu nebude použit především z důvodu jeho přílišnému zjednodušení – zanedbána jsou všechna zrychlení kromě gravitačního.

Přitom právě zrychlení vznikající v důsledku manipulace vytvářejí dynamické síly, které mohou velmi výrazným podílem určovat minimální požadovanou sílu stisku čelistí.

Obrázek 36 - Výběr umístění ploch pro uchopení Obrázek 37 - Situační schéma při orientačním výpočtu úchopné síly [38]

Tabulka 3 - Hodnoty dílčích koeficientů bezpečnosti [37]

Dílčí dvoustranné uchopení 1,2 – 1,7

třístranné uchopení 1,15

44 Další metodou je tzv. zpřesněný výpočet úchopné síly, při které se berou v potaz skutečné zátěžné síly působící na objekt, přičemž se výsledná potřebná síla úchopu určuje v neméně příznivém momentu manipulace. Do výpočtu je dále zahrnut zpřesněný koeficient bezpečnosti vypočtený na základě Tabulka 3 - Hodnoty dílčích koeficientů bezpečnosti:

Z tabulky jsou postupně určujeny koeficienty:

k1=1,1 - byla zvolena menší rezerva při 110% maximální nosnosti.

k2=1,5 - objekt je uchopován dvoustraně.

k3=1,2 - povrch objektu je neobrobený, avšak bez větších nerovností.

k4=1,1 - není předpokládáno vysoké kolísání pracovního média (stlačený vzduch).

k5=1,1 - objekt je velmi tuhý, stejně tak uchopení i robot.

k6=1,0 - pracovní podmínky jsou běžné.

Výsledný koeficient bezpečnosti je vypočten prostým součinem dílčích koeficientů:

𝑘 = 𝑘₁ ∙ 𝑘₂∙ 𝑘₃ ∙ 𝑘₄∙ 𝑘₅ ∙ 𝑘₆ = 1,1 ∙ 1,5 ∙ 1,2 ∙ 1,1 ∙ 1,1 ∙ 1,0 = 2,3958 ≅ 2,4 [−] (4.1)

Dále je zapotřebí zjištěný koeficient bezpečnosti použít při výpočtu minimálních potřebných sil chapadla při manipulaci s objektem. Jelikož při výpočtech silových rovnováh figuruje relativně velké množství sil v různých směrech, výpočty pro jednotlivé případy uchopení jsou rozděleny do třech částí – působení gravitační a setrvačných sil v osách kartézského souřadného systému. Úchopné síly v jednotlivých osách jsou počítány pro zachycení posouvajících sil a klopných momentů. Výsledná síla úchopu je pak dána algebraickým součtem dílčích úchopných pro každou osu lokálního souřadného systému.

45

4.2.1.1. Držení objektu – první případ uchopení

Jak již bylo zmíněno výše, odebíraný díl může ležet v pracovním prostoru robotu ve dvou polohách. Prvním případem, pro který je počítána velikost úchopných sil, je ležící poloha na široké základně (viz Obrázek 34).

a) Výpočet úchopné síly zachycující síly působící v ose x

Obrázek 38 - Silové poměry pro zachycení posouvající síly

Vzhledem k symetrii zatěžování platí: 𝑁₁ = 𝑁₃ (4.2)

Limitní rovnováhy bude dosaženo, pokud: 𝑁₂ = 𝑁₄ = 0 (4.3) Statická rovnováha v ose x je získána:

𝐹_𝑧1 = 2𝑁𝑠𝑖𝑛𝛽 (4.4)

46 V ose y:

𝐹_𝑈1´ = 2𝑁𝑐𝑜𝑠𝛽 (4.5)

𝑁 = ^𝑘𝑚𝑎

2𝑠𝑖𝑛𝛽 (4.6)

Dosazením je zjištěno:

𝐹_𝑈1´ = 2^𝑘𝑚𝑎

2 𝑐𝑜𝑠𝛽

𝑠𝑖𝑛𝛽 = 𝑘𝑚𝑎 ∙ cot 𝛽 (4.7)

Obrázek 39 - Silové poměry pro zachycení klopného momentu

Zátěžný moment je dán:

𝑀_𝑧1 = 𝑘𝑚𝑎𝑙 (4.8)

Momentová rovnováha k těžišti objektu:

𝑀_𝑧1+ 2𝑁₂sin (𝑙 −^𝑏

2) − 2𝑁₂sin (𝑙 +^ℎ

2) = 0 (4.9)

𝑁₂ = ^𝑀𝑧1

2𝑏𝑠𝑖𝑛𝛽= ^{𝑘𝑚𝑎𝑙}

2𝑏𝑠𝑖𝑛𝛽 (4.10)

Statická rovnováha v ose y:

𝐹_𝑈1´´ = 2𝑁₂𝑐𝑜𝑠𝛽 = 2^{𝑘𝑚𝑎𝑙}

2𝑏 𝑐𝑜𝑠𝛽

𝑠𝑖𝑛𝛽 = 𝑘𝑚𝑎^𝑙

𝑏𝑐𝑜𝑡𝛽 (4.11)

47 Celková úchopná síla v ose x je součtem:

𝐹_𝑈1= 𝐹_𝑈1´ + 𝐹_𝑈1´´ =

= 𝑘𝑚𝑎 ∙ 𝑐𝑜𝑡𝛽 (1 +^𝑙

𝑏) = 2,4 ∙ 0,585 ∙ 5 ∙ 𝑐𝑜𝑡𝑔(30,6) (1 +^21,8

2,8) = 104,29 𝑁 (4.12)

b) Výpočet úchopné síly zachycující síly působící v ose y

Obrázek 40 - Silové poměry pro zachycení posouvající síly

Vzhledem k symetrii zatěžování platí: 𝑁₁ = 𝑁₃ (4.13)

Limitní rovnováhy bude dosaženo, pokud 𝑁₂ = 𝑁₄ = 0 (4.14) Zátěžná síla je rovna:

𝐹_𝑧2 = 𝑘𝑚𝑎 (4.15)

Statická rovnováha v ose y je získána:

𝐹_𝑈2´ = 𝑁₁cos 𝛽 + 𝑁₁𝑐𝑜𝑠𝛽 = 2𝑁₁𝑐𝑜𝑠𝛽 (4.16)

V ose x:

2𝑁₁𝑐𝑜𝑠𝛽 = 𝐹_𝑧2 (4.17)

48 Dosazením je zjištěno:

𝐹_𝑈2´ = 𝐹_𝑧2 = 𝑘𝑚𝑎 (4.18)

Obrázek 41 – Silové poměry pro zachycení klopného momentu

Ze statické rovnováhy vyplývá, že 𝑁₁ = 𝑁₂ = 𝑁₃ = 𝑁₄ (4.19) Zátěžný moment je roven:

𝑀_𝑧2 = 𝑘𝑚𝑎𝑙 (4.20)

Úchopná síla je dána:

𝐹_𝑈2´´ = 2𝑁₁𝑐𝑜𝑠𝛽 (4.21)

Momentová rovnováha k těžišti manipulovaného objektu:

𝑀_𝑧2+ 2𝑁₁𝑐𝑜𝑠𝛽 (𝑙 −^𝑏

2) − 2𝑁₁𝑐𝑜𝑠𝛽 (𝑙 +^𝑏

2) = 0, (4.22)

Z toho vyplývá:

𝑀_𝑧2 = 4𝑁₁𝑐𝑜𝑠𝛽 ∙^𝑏

2 (4.23)

Dílčí úchopná síla je zjištěna dosazením:

2𝑁₁𝑐𝑜𝑠𝛽 = 𝑘𝑚𝑎 (^𝑙

𝑏) = 𝐹_𝑈1´´ (4.24)

49 Celková úchopná síla pro zachycení sil v ose y je získána součtem dílčích sil:

𝐹_𝑈2= 𝐹_𝑈2´ + 𝐹_𝑈2´´ = 𝑘𝑚𝑎 (1 +^𝑙

ℎ) = 2,4 ∙ 0,585 ∙ 5 ∙ (1 +^21,8

2,8) = 61,67 𝑁 (4.25)

c) Výpočet úchopné síly zachycující síly působící v ose z

Obrázek 42 - Silové poměry pro zachycení posouvající síly

Opět zde platí: 𝑁₁ = 𝑁₂ = 𝑁₃ = 𝑁₄, tím pádem 𝑇1 = 𝑇₂ = 𝑇₃ = 𝑇₄ (4.26) Velikost zátěžné síly a statická rovnováha v ose z:

𝐹_𝑧3 = 𝑘𝑚(𝑎 + 𝑔) = 4𝑇 (4.27)

Třecí síla je zjištěna:

𝑇 = 𝜇𝑁 (4.28)

𝑘𝑚(𝑎 + 𝑔) = 4𝜇𝑁 (4.29)

𝑁 =^{𝑘𝑚(𝑎+𝑔)}

4𝜇 (4.30)

50 Dosazením je získáno:

𝐹_𝑈3´ = 𝐹_𝑈3= 2𝑁𝑐𝑜𝑠𝛽 =

𝑘𝑚(𝑎+𝑔)

2𝜇 𝑐𝑜𝑠𝛽 = 2,4∙0,585(5+9,81)

2∙0,1 𝑐𝑜𝑠30,6 = 103,97 𝑁 (4.31)

Jelikož zátěžná síla prochází těžištěm, nepůsobí zde žádné momenty.

Celková úchopná síla pro uchopení zevnitř je součtem dílčích sil:

𝐹_𝑈 = 𝐹_𝑈1+ 𝐹_𝑈2+ 𝐹_𝑈3 = 104,29 + 61,67 + 103,97 = 269,93 𝑁 (4.32)

4.2.1.2. Držení objektu – druhý případ uchopení

a) Výpočet úchopných sil zachycujících síly působící v ose x

Obrázek 43 - Silové poměry pro zachycení posouvající síly

Předpoklad: 𝑁₃ = 0 (4.33)

Zátěžná síla je rovna:

𝐹_𝑧1 = 𝑘𝑚𝑎 (4.34)

Statická rovnováha v ose y:

𝑁₁ = 𝑁₂𝑐𝑜𝑠𝛽 (4.35)

51 𝑁₂ = ^𝑁1

𝑐𝑜𝑠𝛽 (4.36)

𝑁₁𝑡𝑔𝛽 = 𝐹_𝑧1 → 𝑁₁ = ^𝐹𝑧1

𝑡𝑔𝛽 (4.37)

Dosazením je získána dílčí úchopná síla:

𝐹_𝑈1´ = 𝑁₁ = ^𝑘𝑚𝑎

𝑡𝑔𝛽 (4.38)

Obrázek 44 - Silové poměry pro zachycení klopného momentu

Vzhledem k symetričnosti úlohy je lze napsat:

𝑁₂ = 𝑁₃ → 𝑇₂ = 𝑇₃ (4.39)

Zátěžný moment je dán:

𝑀_𝑧1 = 𝑘𝑚𝑎𝑙 (4.40)

Silová rovnováha v ose y:

𝑁₁ = 2𝑁₂𝑐𝑜𝑠𝛽 → 𝑁₂ = ^𝑁1

2 cos 𝛽 (4.41)

Z momentové rovnováhy k těžišti objektu vyplývá:

𝑀_𝑧1 = 2𝑇₂𝑟 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝛽 (4.42)

Třecí síla je určena:

𝑇₂ = 𝜇𝑁₂ (4.43)

52 Dosazením je získáno:

𝑀_𝑧1 = 2𝜇𝑁₂𝑟 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝛽 (4.44)

𝑘𝑚𝑎𝑙 = 𝜇𝑟^{𝑁1𝑠𝑖𝑛𝛽}

𝑐𝑜𝑠𝛽 → 𝑁₁ = ^{𝑘𝑚𝑎𝑙}

𝑟𝜇∙𝑡𝑔𝛽 (4.45)

Velikost dílčí úchopné síly je tedy:

𝐹_𝑈1´´ = 𝑁₁ = ^{𝑘𝑚𝑎𝑙}

𝑟𝜇𝑡𝑔𝛽 (4.46)

Sečtením dílčích sil je zjištěno:

𝐹_𝑈1= 𝐹_𝑈1´ + 𝐹_𝑈1´´ =^𝑘𝑚𝑎

𝑡𝑔𝛽 (1 + ^𝑙

𝑟𝜇) =2,4∙0,585∙5

𝑡𝑔30,6 (1 + ^14,8

160∙0,1) = 33,83 𝑁 (4.47) b) Výpočet úchopných sil zachycujících posouvající sílu ve směru osy y

Obrázek 45 - Silové poměry pro zachycení posouvající síly

53 Limitní rovnováhy bude dosaženo, pokud 𝑁₂ = 𝑁₃ = 0 (4.48) Ze silové rovnováhy v ose y vyplývá:

𝐹_𝑧2 = 𝑘𝑚𝑎 = 𝑁 = 𝐹_𝑈2´ (4.49)

Obrázek 46 - Silové poměry pro zachycení klopného momentu

Díky osové symetrii je opět zavedeno: 𝑁₁ = 𝑁₂ → 𝑇₁= 𝑇₂ (4.50) Zátěžný moment je roven:

𝑀_𝑧2 = 𝑘𝑚𝑎𝑙 (4.51)

Rovnováha sil v ose y:

2𝑁₂𝑐𝑜𝑠𝛽 = 𝑁₁ (4.52)

Třecí síly jsou dány:

𝑇₁ = 𝜇𝑁₁ (4.53)

𝑇₂ = 𝜇𝑁₂ (4.54)

54 Momentová rovnováha k těžišti disku:

𝑀_𝑧2 = 𝑇₁𝑟 + 2𝑇₂𝑟𝑐𝑜𝑠𝛽 (4.55)

𝑀_𝑧2 = 2𝜇𝑁₂𝑟𝑐𝑜𝑠𝛽 + 2𝜇𝑁₂𝑟𝑐𝑜𝑠𝛽 = 3𝜇𝑁₂𝑟𝑐𝑜𝑠𝛽 → 𝑁₂ = ^{𝑘𝑚𝑎𝑙}

4𝜇𝑟∙𝑐𝑜𝑠𝛽 (4.56)

Dílčí úchopná síla je získána:

𝐹_𝑈2´´ = 2𝑁₂𝑐𝑜𝑠𝛽 =^{2𝑘𝑚𝑎𝑙∙𝑐𝑜𝑠𝛽}

4𝜇𝑟∙𝑐𝑜𝑠𝛽 = ^{𝑘𝑚𝑎𝑙}

2𝜇𝑟 (4.57)

Výsledná síla tedy bude:

𝐹_𝑈2= 𝐹_𝑈2´ + 𝐹_𝑈2´´ = 𝑘𝑚𝑎 (1 + 𝑙 2𝜇𝑟) =

= 2,4 ∙ 0,585 ∙ 5 ∙ (1 + ^14,8

2∙0,1∙80) = 13,02 𝑁 (4.58)

c) Výpočet úchopných sil zachycujících sílu ve směru osy z

Obrázek 47 - Silové poměry pro zachycení posouvající síly

55 Opět je zavedeno:

𝑁₂ = 𝑁₃ → 𝑇₂ = 𝑇₃ (4.59)

Zátěžná síla je dána:

𝐹_𝑧3 = 𝑘𝑚(𝑎 + 𝑔) (4.60)

Silová rovnováha v ose y je získána z rovnice:

𝑁₁ = 2𝑁₂𝑐𝑜𝑠𝛽 → 𝑁₂ = ^𝑁1

2𝑐𝑜𝑠𝛽 (4.61)

Třecí síly jsou:

𝑇₁ = 𝜇𝑁₁ (4.62)

𝑇₂ = 𝜇𝑁₂ (4.63)

Díky silové rovnováze v ose z je zjištěno:

𝐹_𝑧3 = 𝑇₁+ 2𝑇₂ = 𝜇𝑁₁+ 2𝜇𝑁₂ = 𝜇𝑁₁+ ^𝜇𝑁1

cos 𝛽→ 𝑁₁ = ^𝐹𝑧

𝜇(1+cos⁻¹𝛽) (4.64) Úchopná síla je dána:

𝐹_𝑈3´ = 𝑁₁ = ^{𝑘𝑚(𝑎+𝑔)}

𝜇(1+cos⁻¹𝛽) =2,4∙0,585(10+9,81)

0,1(1+cos⁻¹30,6) = 64,33 𝑁 (4.65)

Celková síla je opět daná součtem dílčích sil:

𝐹_𝑈 = 𝐹_𝑈1+ 𝐹_𝑈2+ 𝐹_𝑈3 = 33,83 + 13,02 + 64,33 = 111,18 𝑁 (4.66)

56

In document diplomové práce za jejich drahocenný čas a odborné rady, které mi poskytovali (Page 43-57)