Representationsformer inom linjära funktioner i tre svenska matematikläromedel: -en semiotisk läromedelsanalys

NATUR-MATEMATIK-SAMHÄLLE

Examensarbete i fördjupningsämnet Matematik

15 högskolepoäng, avancerad nivå

Representationsformer inom linjära

funktioner i tre svenska

matematikläromedel

-en semiotisk läromedelsanalys

Forms of Representation in Linear Functions in Three Swedish Mathematical

Textbooks - a Semiotic Textbook Analysis

Fredrik Andersson

Johan Nordberg

Förord

Vi som författat denna läromedelsanalys har haft ett gott samarbete och skrivit tillsammans via ett gemensamt Google docs, vilket innebär att vi har kunnat skriva samtidigt i samma dokument och har därför kunnat ta del av varandras tankar och idéer. Under hela tiden har vi även varit i kontakt via Zoom-samtal för att kunna prata med varandra om allt från formalia till slutsatser. Det är därför extremt svårt för oss att avgör vem som gjort vad i denna läromedelsanalys. Till och med omöjligt att sätta fingret på vad vi gjort som enskilda individer då vi båda har gjort och skapat allt i sällskap av varandra och inte fördelat något mellan oss. Vi har således bidragit med lika mycket till alla delar av uppsatsen.

Vi vill tacka vår handledare Jöran Petersson som guidat oss genom detta examensarbete och gett oss värdefulla tipsa, råd, ovärderlig feedback och mycket givande diskussioner.

Vi vill även tacka våra kära kurskamrater Ellinor Edbladh och Emmy Käller Jens som givit oss värdefull respons och nyttiga diskussioner under examensarbetets framväxt.

Abstract

Arbetet med olika representationsformer och transformationer mellan dessa har en viktig roll i elevers lärande i matematik och eftersom en stor del av matematikundervisningen i skolan utgår från olika läromedel är det viktigt att som lärare vara medveten om vilka lärtillfällen olika läromedel erbjuder. Syftet med denna läromedelsanalys är därför att ta reda på vilka lärtillfällen olika läromedel erbjuder och hur de skiljer sig åt i representationen av olika representationsformer inom det matematiska området linjära funktioner. För att ta reda på detta gjordes en läromedelsanalys av olika läromedel i kursen Matematik 1c, där läromedlets uppgifter analyserades utifrån vilken eller vilka representationsformer som fanns med i uppgiftsbeskrivningen och svaren till dessa uppgifter. Datan analyserades sedan utifrån etablerade teorier och metoder från semiotiken. Analysen påvisade att alla tre läromedel gav möjlighet att lära genom arbetet med olika representationsformer och transformationer. Det som framförallt skiljer de olika läromedlen åt är antalet lärtillfällen som erbjuds. Det går inte att entydigt rangordna läromedlen från sämst till bäst, men som aktiv pedagog bör man vara medveten om de olika läromedlens styrkor och svagheter. Eftersom det inte enbart är läromedlet som avgör vilka lärtillfällen eleverna stöter på under sin skolgång, utan även hur den enskilda pedagogen planerar och genomför sin undervisning, går det inte heller att säga något om hur elevernas förståelse för linjära funktioner kommer att utvecklas vid användningen av ett specifikt läromedel. Läromedelsanalysen ger således pedagoger möjligheten att se styrkor och svagheter för respektive läromedel och kompensera för dessa.

Nyckelord: gymnasieskola, linjära funktioner, läroböcker, läromedelsanalys, lärtillfällen,

Innehållsförteckning

3.1 Specificering av syfte och frågeställning ... 9

3.1.1 Frågeställning ... 9

4 Metod ... 10

4.1 Urval ... 10

4.1.1 Avgränsningar ... 10

4.2 Analysmetoder ... 11

4.2.1 De fyra olika representationsformerna ... 12

4.2.2 Exempel på kategoriseringar ... 13

4.2.3 Flera representationsformer i en uppgift eller ett svar ... 14

4.3 Anpassad Lorenzkurva... 15

4.4 Diagram och Tabeller ... 16

4.4.1 Avläsa och Tolka diagram ... 16

4.5 Data för Analys ... 18

5 Etiska aspekter ... 19

6 Resultat och Analys ... 20

6.1 Matematik 5000+ 1c ... 20

6.2 Exponent 1c ... 21

6.3 Origo 1c ... 22

6.4 Andel av specifika representationsformer ... 23

6.5 Behandling och konvertering ... 24

7 Slutsats och diskussion ... 25

7.1 Matematik 5000+ 1c ... 25

7.2 Exponent 1c ... 26

7.3 Origo 1c ... 27

7.4 Jämförelse mellan olika läromedel... 28

7.5 Lärtillfällen ... 30

7.6 Didaktiska överväganden ... 31

7.7 Metodgranskning ... 31

7.7.1 Anpassade Lorenzkurvan ... 32

7.7.2 Felkällor och begränsningar ... 32

7.7.3 Transformationer, behandling i konvertering ... 32

7.8 Vidare forskning ... 33

8 Referenser ... 34

9 Bilagor ... 37

1 Inledning

Majoriteten av matematikundervisningen i skolan har sin utgångspunkt i läroboken (Johansson, 2006; Neumann, et al., 2014; Stacey & Vincent 2009; Stein & Kim 2009). Då vi under vår verksamhetsförlagda utbildning har haft möjlighet att arbeta med olika läromedel har det lagts märke till att läromedlen skiljer sig åt ganska mycket gällande hur det centrala innehållet (Skolverket, 2011) presenteras. Att läromedlen skiljer sig åt är inget unikt för svenska läromedel utan det gäller både nationellt och internationellt (Petersson, et al., 2021; Törnroos, 2005). Beroende på hur det centrala innehållet presenteras kan det innebära att olika läromedel ger olika antal, typer och fördelning av lärtillfällen för eleverna, det vill säga att beroende på vilket läromedel skolorna använder kan möjligheten att lära skilja sig från skola till skola. Ett resultat kan påverkas av flera olika faktorer, en av dessa faktorer är huruvida en elev haft möjlighet att studera ett specifikt område eller lösningsstrategier för en viss typ av uppgifter (Törnroos, 2005). För ett läromedel innebär detta hur läromedlet ifråga ger den som arbetar med det möjligheten att lära sig området som behandlas och uppgifterna i det.

En representation inom matematiken kan ses som en konfiguration av tecken, objekt, bilder eller liknande som står för något specifikt eller något som representerar något annat (Duval, 2006). Inom matematiken finns ett antal sätt att representera funktioner och i det centrala innehållet för kursen Matematik 1c lyfts fyra av dessa representationsformer fram:

“Representationer av funktioner i form av ord, funktionsuttryck, tabeller och grafer” (Skolverket, 2011).

Dessa representationsformer tas upp i olika utsträckning i de olika läromedlen som finns på marknaden. Denna läromedelsanalys kommer därför att undersöka hur olika representationsformer, inom området linjära funktioner, behandlas i tre olika läromedel.

1.1 Syfte

Syftet med denna studie är att med hjälp av en läromedelsanalys, av karaktären research on the

textbook itself (innehållsperspektiv) som beskrivs av Rezat och Sträßer (2015), ta reda på vilka

möjligheter eleverna har att arbeta med olika representationsformer i olika läromedel och hur dessa skiljer sig mellan de olika läromedlen inom funktionsområdet linjära funktioner. För

vissa preciseringar göras. I följande avsnitt preciseras vad en representation inom matematiken är, tidigare forskning inom området samt vad en semiotisk undersökning innebär.

2 Teoretiska perspektiv

Detta avsnitt tar upp olika begrepp och teorier, som använts i denna läromedelsanalys.

2.1 Representation

Som tidigare nämnts är en representation inom matematiken en konfiguration av tecken, objekt, bilder eller liknande som står för något specifikt eller något som representerar något annat (Duval, 2006). Med detta menas att till exempel en halv kan skrivas med ord just som ”en halv” men det kan även skrivas symboliskt som ½ eller ikoniskt, det vill säga att en bild ritas för att visa detta. Att ha en förståelse för olika representationsformer inom matematiken och hur de kan transformeras mellan varandra är en avgörande del i att lära sig matematik (Ainsworth, 1999; Ainsworth, 2006 & Duval, 2006).

2.2 Semiotik

Semiotik betyder läran om tecken och handlar således om hur tecken tolkas. Den moderna formen av semiotik kommer från den amerikanska filosofen Charles S. Peirce som arbetade fram en sorts teckendoktrin där tecken klassificeras utefter dess egenskaper. I doktrinen finns tre teckentyper som kallas för index, ikon och symbol. Detta blev en ram för analys av vardagliga problem och begrepp inom olika områden (Sonesson u.å.), i detta fall matematik.

Matematiken har den största samlingen av semiotiska representationsformer och dessa kommer i två huvudformer. Dels i vårt naturliga språk, dels i det specialiserade “matematiska språket”. Redan här stöter den som försöker lära sig matematik på problem då den stora variationen av representationer i både naturligt och “matematiskt språk” möjliggör för olika representationer av samma objekt. Det är identifikationen att det är samma objekt men uttryckt i olika representationsformer och “språk” som ställer till det för den som vill lära sig matematik (Duval 2006). Det gör det inte lättare heller att matematik till skillnad från fysik, kemi och biologi inte kan observeras genom fenomen som går att mäta med olika mätinstrument (mikroskop, termometer, multimeter, etc) (Sfard, 2008). All information kring

matematik måste därför komma från användandet av olika symboler och semiotiska system (Duval 2006).

2.2.1 Duvals kategorier

För att kategorisera olika uppgifter analyserar Duval (2006) matematikuppgifter enligt Figur 1.

Figur 1: Duvals semiotiska kategoriseringssystem (Duval 2006, s.110)

För att förtydliga Duvals (2006) kategoriseringssystem har Figur 1a skapats. I denna läromedelsanalys valdes, till skillnad från Duval (2006), att placera tabeller i den monofunktionella icke diskursiva kategorin (B2) då den representationsformen inom det matematiska området linjära funktioner främst används för att ställa upp korresponderande x- och y-värden. Denna typ av användning gör att representationsformen inte kan användas för att komma fram till resultat i flera mellansteg och därför inte är diskursiv.

(A) Diskursivt (B) Ickediskursivt

(1) Multifunktionellt (A1) Naturligt språk (B1) Figurer och geometriska konstruktioner

Ett register är ett semiotiskt system, det vill säga ett sätt att beskriva eller symbolisera saker på. Det första att notera är därför de två olika registren till vänster i figuren (Figur 1a): det multifunktionella registret (1) som innebär att saker inte kan göras om till algoritmer exempelvis tolka texter/uppgifter samt bilder och det monofunktionella registret (2) som innebär till exempel algoritmer som liggande stolen och korsmultiplikation av bråk. Dessa Register delas i sin tur in i två olika kategorier enligt de två översta rutorna. De två olika registerna kan vara antingen diskursiva (A), vilket innebär att resultat kan uppnås via flera mellansteg, till exempel ekvationslösning, eller icke diskursiva (B), där ovannämnda saker inte är möjliga. Detta skapar de fyra indelningarna i mitten, från vänster till höger, uppifrån och ner fås således: multifunktionella diskursiv (A1), multifunktionella icke diskursiv (B1), monofunktionell diskursiva (A2) samt monofunktionell icke diskursiva (B2) (Duval 2006).

Inom dessa fyra kategorier (Figur 1a) finns olika representationsformer och i de två översta (A1 och B1) används det som Duval (2006) väljer att kalla naturligt språk. Med detta menas det språk som talas och skrivs men här ingår även det som kan ritas som pilar, streck, mönster, etcetera. I den övre vänstra kategorin (A1) hittas representationsformen tal och skrift (betecknas ord i denna läromedelsanalys) och i den högra (B1) hittas representationsformen ikonisk (bilder, ritningar, etcetera som inte används i denna läromedelsanalys). I de två nedre kategorierna (A2 och B2) finns det symboliska språket där specifika matematiska uttrycksformer ingår. Här har tecken och symboler både betydelse och funktioner beroende på hur och var de är skrivna. I den nedre vänstra (A2) kategorin finns funktionsuttryck, olika algebraiska satser och bevis (betecknas funktionsuttryck i denna läromedelsanalys). I den nedre högra kategorin (B2) finns sedan grafer, diagram och tabeller (betecknas tabeller respektive grafer i denna läromedelsanalys). Mellan dessa kategorier kan sedan olika transformationer göras. Det går att göra byten av representationsformer men stanna i samma register, denna transformation kallar Duval för Treatment (behandling) dessa symboliseras med böjda pilar (↷) i Figur 1. Men det går även att byta representationsform där det sker ett registerbyte, denna transformation kallar Duval (2006) för Conversion (konvertering) dessa symboliseras med raka pilar i Figur 1.

3 Tidigare forskning

Det finns mycket forskning som tyder på att elever som får arbeta mycket med olika representationsformer, inom ett visst område, och kopplingen mellan dem får en större förståelse för området som undervisas. I matematik skulle det kunna vara att få arbeta med grafer, funktionsuttryck, tabeller och ord-uppgifter och kopplingen mellan dem. För att utveckla detta presenteras forskning där forskare/författarna kommit fram till att det, för att få en större förståelse för ett matematiskt begrepp, är viktigt att arbeta med multipla representationsformer och dess koppling till varandra.

Brenner, et al. (1997) menar att den vanliga undervisningen i skolan utgår mycket från läromedlet och att läromedlet fokuserar mycket på det som kallas för symbol manipulation skills (det som Duval (2006) kallar behandling (A2)) som hur ekvationer löses. Dock tar läromedlet inte hänsyn till problem representation skills (det som Duval (2006) kallar konvertering) som till exempel hur ett lästal förstås (A1). Vidare skriver Brenner, et al. (1997) att om en person har svårt för olika representationsformer kommer personen sannolikt också att ha problem med övergångar mellan dessa. Undersökningen av Brenner, et al. (1997) gjordes på tre olika skolor där två olika klasser i varje skola ingick. Dessa två klasser gick i samma årskurs och hade samma lärare. Alla tre lärare valde slumpmässigt ut en av de två klasserna som skulle undervisas med fokus på representationsformer medan den andra undervisades mer traditionellt, det vill säga att utgångspunkten ligger i läromedlet. Klassen som undervisades traditionellt kallades i undersökningen comparison group (referensgrupp) och den andra för

treatment group (experimentgrupp). Innan undersökningen skulle påbörjas fick lärarna vara

med på en workshop, detta för att de skulle veta hur de skulle undervisa experimentgruppen. Eleverna gjorde även ett förförståelsetest. Under hela undersökningen fanns en medlem från forskningsgruppen med för att stötta om det behövdes. Eleverna fick ungefär 20 dagars undervisning i algebra, ekvationer och funktioner. I slutet av undersökningen gjordes ett nytt test för att se hur de två testgrupperna utvecklats. Experimentgruppen presterade då högre i de flesta delar av testet men i den del som handlade om behandling, alltså att lösa ekvationer och liknande, presterade referensgrupp högre, vilket berodde på att största delen av deras undervisning handlade om just detta (Brenner, et al., 1997).

Detta stöds även av Ainsworth (2006) som skriver att då elever har förmågan att skifta mellan olika representationsformer har de också fått en ökad förståelse för området eller begreppet som behandlats. Ainsworth (1999, 2006) skriver också att för att stödja elevernas lärande har arbetet med flera olika representationsformer tre olika funktioner. Dessa funktioner är: en

komplementär funktion, som innebär att eleven arbetar med två, eller fler, olika

representationsformer där informationen från de olika representationsformerna skiljer sig men kompletterar varandra vilket innebär att eleverna får arbeta med det som Duval (2006) kallar för konverteringar, en begränsande funktion och en fördjupande funktion. Den begränsande funktionen innebär att en representationsform begränsar en annan och på så vis även ger ett stöd för lärande. Ett primitivt exempel på detta är om någon säger att ”gaffeln ligger bredvid tallriken” (naturligt språk), då går det inte att säga vilken sida av tallriken gaffeln ligger, om däremot en bild visas begränsas det naturliga språket och på så vis går det att säga exakt var gaffeln ligger. Den fördjupande funktionen innebär att eleverna får en djupare förståelse av begreppet genom att de lär sig att integrera olika representationsformer (även detta innebär Duvals (2006) begrepp konvertering) och tolka situationer de inte kunnat göra med endast en representationsform (Ainsworth, 2006; Ebbelind & Roos, 2011).

Två teorier inom kognitionsforskningen som också pekar på detta är Cognitive Theory of

Multimedia Learning (exempelvis, Mayer, 1997) och Cognitive Load Theory (exempelvis, Sweller,

van Merrienboer & Paas, 1998), där arbetsminnets natur ligger i fokus och hur det påverkar långtidsminnet. Här menar de att det är fördelaktigt för elever, eller människor överlag, att få information presenterat i olika representationsformer då de ska lära sig något nytt eftersom det då lättare befästs i långtidsminnet. Representationer kan delas in i två olika kategorier,

interna representationer och externa representationer. De interna representationerna handlar

om vilka bilder en elev får upp i huvudet när de till exempel läser något, dessa är svåra att beskriva då de är omöjliga att observera. De externa representationerna är de representationer eleverna ska uttrycka sig i (Ainsworth, 1999) och det är de externa representationerna som behandlas i denna läromedelsanalys, det vill säga ord (A1), funktionsuttryck (A2), tabell (B2) och graf (B2) från Skolverkets (2011) centrala innehåll.

Det är oftast i bytet mellan olika representationsformer, det som Duval (2006) kallar konvertering, som den som försöker lära sig fastnar och således blir bytet av representationsform en kritisk förmåga för att förstå innehållet (Duval 2006). Detta kan ses som ett tröskelbegrepp (threshold concept) då den som ska läras sig är helt beroende av att lära

sig att byta mellan olika representationsformer för att förstå begreppet linjära funktioner. Vidare ger bytet av representationsformer fler procedurer och tekniker för att lösa uppgifter och därmed en bättre förståelse för det ingående begreppet (Scheja & Pettersson, 2009; Steinbring, 2011; Schubring, 2011). Detta kan illustreras med hjälp av Figur 2 (Scheja & Pettersson, 2009).

Figur 2: Tröskelbegrepp och förståelse (Scheja & Pettersson, 2009, s.237)

Här illustreras hur uppfattningar av begrepp inom ett område härstammar från uppfattningar av ämnets natur (Conceptions of the nature of the discipline) och uppfattningar av teknikerna samt procedurer inom området (Conceptions of procedures and techniques). Här syns även hur uppfattningarna av tröskelbegreppen (Conceptions of threshold concepts) är länken (att göra en transformation) mellan att förstå hur dessa hänger samman och är därmed nyckeln till att få en god uppfattning av ämnets område (Conceptions of the subject area) (Scheja & Pettersson, 2009).

3.1 Specificering av syfte och frågeställning

Som tidigare nämnts är syftet med denna studie att med hjälp av en läromedelsanalys ta reda på vilka möjligheter eleverna har att arbeta med olika representationsformer i olika läromedel och hur dessa skiljer sig mellan de olika läromedlen inom funktionsområdet linjära funktioner. För att kunna ta reda på det har tre forskningsfrågor tagits fram utifrån den tidigare forskningen som finns inom området.

3.1.1 Frågeställning

Vilken/vilka representationsformer förekommer i enskilda uppgiftsformuleringar i de olika läroböckerna inom det matematiska området linjära funktioner?

Vilken/vilka representationsformer efterfrågas i enskilda uppgiftsformuleringar i de olika läroböckerna inom det matematiska området linjära funktioner?

Hur ofta sker det transformationer i de olika läroböckerna och hur skiljer sig antalet transformationer mellan de olika läroböckerna?

4 Metod

För att kunna besvara forskningsfrågorna görs en semiotisk läromedelsanalys på olika elevers läroböcker i Matematik 1c där kapitlen om linjära funktioner kommer att undersökas. I denna läromedelsanalys kommer olika uppgifters representationsformer att kategoriseras som ord, funktionsuttryck, tabeller och grafer då dessa representationer är en del av det centrala innehållet i Matematik 1c (Skolverket, 2011) och kan kategoriseras i Duvals (2006) representationsformer i Figur 1. Efter att alla uppgifter blivit kategoriserade kommer olika anpassade Lorenzkurvor likt Petersson, et al. (2021) göras baserade på andelar av respektive representationsform. Detta för att kunna undersöka och jämföra de olika läromedlen med varandra.

4.1 Urval

I denna läromedelsanalys har introduktionen till funktioner och mer specifikt linjära funktioner analyserats i läromedel från matematik 1c. Läromedlen som valts ut är Matematik

5000+ 1c (Alfredsson, et al., 2018), Exponent: [matematik för gymnasiet]. 1c (Gennow, et al.,

2011) och Origo: matematik 1c (Dufåker, et al., 2011). I fortsättningen hänvisas de till med Matematik 5000+ 1c, Exponent 1c och Origo 1c. Dessa valdes ut med hjälp av ett bekvämlighetsurval och då med fokus på dess lättillgänglighet på grund av den snäva tidsramen för denna läromedelsanalys (Denscombe, 2014 och Bryman & Bell, 2013), dessutom har medverkande arbetat med dessa tidigare. Eftersom böckerna lånats från skolor och skolbibliotek anser vi (trots bekvämlighetsurvalet) att urvalet är representativt för denna läromedelsanalys.

4.1.1 Avgränsningar

Eftersom analysens fokus varit just introduktionen av linjära funktioner har delar som till exempel exponentialfunktioner inte tagits med. I böckerna finns det också avsnitt som kallas för Tema, Aktiviteter, Diagnos, Blandade övningar och liknande, dessa delar har också valts bort då de inte är en del av det introducerande materialet. I texterna där matematikinnehållet

nedskrivna och förklarade. Dessa exempeluppgifter har även de valts bort då eleverna inte själva behöver räkna något. En uppgift som innehåller delfrågor som till exempel a), b) och c) kommer att behandlas som en fråga.

4.2 Analysmetoder

I denna läromedelsanalys kommer uppgifter att undersökas på ett liknande sätt som Törnroos (2005), det vill säga att avgöra huruvida uppgifter och deras tilltänkta svara ger eleven möjlighet att träna på och lära sig vissa färdigheter.

Ur Duvals (2006) kategoriseringssystem (Figur 1) hamnar representationsformen ord i den multifunktionella diskursiva kategorin, med andra ord vårt naturliga språk. Representationsformen funktionsuttryck hamnar i den monofunktionell diskursiva kategorin det vill säga det matematiska/symboliska språket. Det valdes även att dela upp kategorin monofunktionell icke diskursiva i två kategorier nämligen tabeller och grafer, för att anpassa det till Skolverkets (2011) framskrivning. Kategorin multifunktionella icke diskursiv, där bilder och liknande hör hemma, uteslöts i denna undersökning. Denna kategori passar bättre till exempel då ett geometriavsnitt analyseras likt Duval (2006). Vidare innebär ett byte mellan de olika representationsformer det som Duval (2006) skriver fram som en konvertering. Om uppgiften inte ger möjlighet för ett byte av representation blir det istället det som Duval (2006) kallar för behandling. Observera att ett byte mellan tabell och grafer i denna undersökning inte kommer att innebära en konvertering, Figur 3 kan vara till hjälp:

Figur 3: Bild över vad som är behandling respektive konvertering.

Forskningsfrågorna innebär att analysera uppgifterna med avseende på vilken eller vilka representationsformer som uppgiften ges i men även i vilken eller vilka representationsformer som svaren ska ges i enligt läromedlet. Om en uppgift har en specifik representationsform sätts en 1: 𝑎 (nummer) i ett kalkylblad för att indikera att den representationsformen är närvarande i uppgiften likaså i det tilltänkta svaret. Om en uppgift inte innehåller en specifik representationsform sätts istället en 0: 𝑎 likaså för det tilltänkta svaret. En uppgift som innehåller delfrågor som till exempel a), b) och c) kommer att behandlas som en fråga och om uppgiften eller dess tilltänkta svar har flera representationsformer kommer en 1: 𝑎 att skrivas in i varje förekommande kategori.

4.2.1 De fyra olika representationsformerna

Som tidigare nämnts analyseras uppgifterna med avseende på vilka representationsformer som förekommer i uppgiften. Det finns då fyra representationsformer (ord, funktionsuttryck, tabell och graf) som i sin tur delas in i två underkategorier beroende på om representationsformen är med i själva uppgiften eller svaret. Representationsformer och kategorier är följande:

● Ord (A1)

○ Ord-svar innebär att representationsformen svaret ska ges i är ord, enligt läromedlet.

● Funktionsuttryck (A2)

○ Funktionsuttryck-uppgift innebär att representationsformen som uppgiften ges i är i formen av ett funktionsuttryck

○ Funktionsuttryck-svar innebär att representationsformen som svaret ska ges i enligt läromedlet är i formen av ett funktionsuttryck

● Tabell (B2)

○ Tabell-uppgift innebär att representationsformen som uppgiften ges i är tabell.

○ tabell-svar innebär att representationsformen svaret ska ges i är en tabell, enligt läromedlet.

● Graf (B2)

○ Graf-uppgift innebär att representationsformen som uppgiften ges i är i formen av en graf

○ Graf-svar innebär att representationsformen som svaret ska ges i enligt läromedlet är i formen av en graf

4.2.2 Exempel på kategoriseringar

Ur definitionerna ovan för de olika representationsformerna kommer nu exempel på kategoriseringar ges av olika uppgifter.

1) Skriv formler efter följande beskrivningar:

a) Den beroende variabeln 𝑦 fås genom att den oberoende variabeln 𝑥 multipliceras med 4.

b) Den beroende variabeln 𝑦 fås genom att den oberoende variabeln 𝑥 divideras med 2 och sedan adderar 4.

c) Den beroende variabeln 𝑡 fås genom att den oberoende variabeln 𝑠 multipliceras med 50 och sedan subtraherar 10.

2) Rita, för hand, graferna till följande ekvationer: a) 𝑦 = 3𝑥 + 2

b) 𝑦 = 4𝑥 − 2 c) 𝑦 = 2𝑥 + 3

3) Bestäm linjernas ekvationer:

Uppgift 1) kategoriseras i representationsformen ord rörande uppgiften men svaret kategoriseras i representationsformen funktionsuttryck.

Uppgift 2) kategoriseras i representationsformen funktionsuttryck rörande uppgiften och svaret kategoriseras i representationsformen graf.

Uppgift 3) kategoriseras i representationsformen graf rörande uppgiften och kategoriseras i representationsformen funktionsuttryck gällande svaret.

4.2.3 Flera representationsformer i en uppgift eller ett svar

Ett exempel på en uppgift med flera representationsformer i uppgiften är uppgift 4): 4) Kim och Robyn ritar grafen till funktionen 𝑦 = 3𝑥 + 1.

När de jämför sina grafer inser de att något är fel. Vem har gjort fel och vilket misstag har hen förmodligen gjort?

I uppgift 4) kategoriseras uppgiften i representationsformerna funktionsuttryck och graf medan svaret kategoriseras i representationsformen ord.

Ett exempel på en uppgift med flera representationsformer i svaret är uppgift 5):

5) Charlie får 20 kr/mil i reseersättning. Charlie undrar hur stor ersättningen blir för olika sträckor.

a) Ställ upp en formel som ger ersättningen 𝑦 kr för 𝑥 mil. b) Gör en tabell för 𝑥 = 0, 10, 20, 30, 40, 50.

c) Rita grafen.

d) Vad kallas denna typ av funktion? Motiver ditt svar.

I uppgift 5) kategoriseras uppgiften i representationsformen ord medan svaret kategoriseras i representationsformerna funktionsuttryck, tabell, graf och ord (alla representationsformer) i inbördes ordning.

4.3 Anpassad Lorenzkurva

Lorenzkurvan har länge använts inom den ekonomiska sektorn för att beskriva förmögenhetsfördelningen för land, regioner eller områden. I en Lorenzkurva visas fördelningen av förmögenheten där alla som får ta del av förmögenheten är rangordnad från minst till störst. Petersson et al. (2021) hänvisar till ett antal studier de sista årtiondena, där Lorenzkurvan har använts i analyser av ett större spektrum av områden än ekonomi. Den har då använts i analyser av koldioxidutsläpp, el och energianvändning, fiskekvoter, jordbruk och skogsbruk, med mera. I denna undersökning kommer Lorenzkurvor att användas för att analysera läromedel likt Petersson, et al. (2021)

Vidare skriver Petersson, et al. (2021) att rent matematiskt visar Lorenzkurvan en kumulativ distribution över någon total ordinalt sorterad (störst till minst) data exempelvis tid eller andel av någon totalitet. Detta medför att kurvan alltid kommer att börja i punkten (0; 0) och sedan öka stadigt upp till punkten (100%; 100%). Att kurvan är kumulativ och datan är ordinalt ordnad innebär att kurvorna aldrig kommer att gå neråt utan kommer alltid att ha en lutning uppåt.

När det gäller analysen av läroböckerna är målet att visa hur ofta och hur mycket respektive representationsform uppkommer i läromedlets uppgifter och de tilltänkta svaren enligt läromedlet till dessa. Detta innebär i sin tur att dessa kurvor kommer ha samma egenskaper som en vanlig Lorenzkurva förutom att den inte behöver sluta i (100%; 100%). Av denna anledning kallar Petersson, et al. (2021) kurvorna för anpassade Lorenzkurvor. De anpassade Lorenzkurvorna i denna läromedelsanalys kommer således att plotta den kumulativa totalen i andelar över progressionen i ett visst läromedel.

4.4 Diagram och Tabeller

För analys och jämförelse av representationsformer i ett läromedel används diagram som plottar andel representationsformer mot antal uppgifter. Detta ger en tydlig bild av läromedlets exakta antal uppgifter och förekomst av representationsformer i uppgifter och svar. Att plotta andelarna (istället för antalet) medför också att det är relativt lätt att göra jämförelser över upplägget i de olika läromedlen. Tillsammans med tabeller med total kumulativ andel för respektive representationsform ger det en tydlig överblick över samtliga läromedel. Samtidigt analyserades uppgifterna och dess förväntade svar i förhållande till dess transformationer och en tabell för andelen behandlings- och konverteringstransformationer togs fram.

4.4.1 Avläsa och Tolka diagram

I Figur 4 presenteras ett exempel på en anpassad Lorenzkurva och hur tolkningen av dessa ska göras i denna undersökning. Tolkningarna av diagrammen är baserade på de som görs av Petersson, et al. (2021).

Figur 4: Exempeldiagram.

I Figur 4 är antalet uppgifter plottade kronologiskt kumulativt på den horisontella axeln, det innebär att om det gås fyra steg ut på den horisontella axeln har det gjorts fyra uppgifter i kronologisk ordning i läromedlet. På den vertikala axeln är andelen av de olika representationsformerna plottade kumulativt. Avläsning ger då att: Om avläsning av grafens värde sker fyra uppgifter in på den horisontella axeln fås den totala procentsatsen över alla uppgifter i hela läromedlet som respektive representationsform har förekommit under det antalet uppgifter som gjorts. I detta fall har: R1 förekommit i 30% (koordinaten (4; 30%) i Figur 4) av läromedlets totala uppgifter, R2 förekommit i 40% av läromedlets totala uppgifter, R3 respektive R4 förekommit 20% respektive 10% av läromedlets totala uppgifter.

Vidare kan det ur Figur 4 tolkas att när grafen stiger finns den typen av representationsform med i uppgiften i läromedlet och när grafen inte stiger finns inte den typen av representationsform med i uppgiften i läromedlet. Vidare kan det även avläsas när en viss typ av representationsform introduceras i läromedlet, exempelvis finns R4 inte med som representationsform förrän fyra uppgifter gjorts (i kronologisk ordning). Likaså kan det avläsas att när hälften av läromedlets uppgifter gjorts slutar R2 att finnas med som representationsform. Jämförelser mellan de olika representationsformerna kan också göras.

Exempelvis kan det avläsas att R1 och R2 följer varandra rätt bra vilket innebär att R1 och R2 som representationsform ofta förekommer samtidigt i uppgifterna i läromedlet.

4.5 Data för Analys

5 Etiska aspekter

Denna läromedelsanalys faller under det som kallas för tillämpad forskning med ett klart syfte och frågeställning. Läromedlen valdes utifrån lättillgängligheten för medverkande och inte av några kommersiella skäl. Eftersom detta är en läromedelsanalys är således våra forskningsobjekt läromedel. Det finns därför inga försöks/forskningspersoner att informera och fråga om samtycke (Vetenskapsrådet (VR), 2017).

För transparensens skull och för att motverka oredlighet såsom fabrikation, falsifiering och plagiering finns all data och information, som denna läromedelsanalys bygger på, refererad till i texten. Detta medför även att det är lätt för andra att kontrollera och använda resultat och slutsatser i denna läromedelsanalys (VR, 2017). Med det sagt har medverkande för denna läromedelsanalys gjort allt för att säkerställa och garantera såväl kvalitet som öppenhet och ärlighet gällande alla delar av läromedelsanalysen. Därtill är de exempeluppgifter och diagram skapade av medverkande med inspiration från läromedlen istället för att kopiera ur läroböckerna.

6 Resultat och Analys

I denna del presenteras resultaten från läromedelsanalysen där resultaten från de enskilda läromedlen först presenteras enskilt för att sedan jämföras med varandra.

6.1 Matematik 5000+ 1c

Figur 5: Graf för Matematik 5000+ 1c över respektive representationsformer.

I den anpassade Lorenzkurvan i Figur 5 kan det avläsas att den mest förekommande representationsformen som elevernas svar ska ges i är ord, följt av funktionsuttryck, graf och tabell. Det går även se att det är representationsformen funktionsuttryck som är den mest förekommande i läromedlets uppgifter, följt av ord, graf och tabell. Det är främst uppgifterna i början av området linjära funktioner som stor vikt läggs på representationsformen funktionsuttryck medan svaren till stor del ska komma i representationsformen graf. Då kurvorna för uppgifterna som innehåller representationsformen graf, ord och funktionsuttryck observeras går det att se att de stiger successivt genom hela området.

förekommer endast representationsformen tabell som svar i början av området. Representationsformen tabell är i jämförelse med de andra representationsformerna väldigt underrepresenterad. I början av området förekommer inte representationsformen funktionsuttryck som svar alls utan det är först en bit in i området som eleverna börjar ge svaren i den representationsformen för att sedan använda den genom hela den resterande delen av området. Då kurvorna för uppgifternas representationsformer jämförs med svarens representationsformer framkommer det att det ofta sker byten mellan olika representationsformer. Det vill säga att uppgifterna ges i en viss representationsform för att sedan låta eleverna svara i en annan, det blir således ett byte av representationsformer.

6.2 Exponent 1c

Figur 6: Graf för Exponent 1c över respektive representationsformer.

Av Figur 6 går det att utläsa att de allra första uppgifterna och svaren enbart sker i representationsformen funktionsuttryck. I mitten av området sker ett tydligt byte av representationsformer då enbart ord-uppgifter förekommer som representationsform och svaren till dessa uppgifter ges i representationsformerna ord och funktionsuttryck.

Väldigt få uppgifter ges i kategorierna tabell-svar och tabell-uppgift samt graf-uppgift. Dessutom dyker inte representationsformen tabell upp förrän en bra bit in i området linjära

funktioner för att sedan inte tas upp igen förrän i slutet. Vidare stiger kurvan endast svagt för kategorin funktionsuttryck-uppgift genom hela området. I Figur 6 finns även många platåer, detta innebär att representationsformerna förekommer sporadiskt. I slutet fokuseras innehållet i området enbart på representationsformerna funktionsuttryck och graf, gällande uppgift respektive svar. I övrigt syns det att graferna för kategorierna funktionsuttryck-svar och ord-svar ökar hela tiden, vilket betyder att dessa representationsformer förekommer väldigt frekvent i svaren genom hela området.

6.3 Origo 1c

Figur 7: Graf för Origo 1c över respektive representationsformer.

Det första att lägga märke till i diagrammet i Figur 7 är mängden uppgifter och att representationsformen tabell förekommer ytterst sällan. Graferna för representationsformen ord ökar successivt genom hela området. Graferna för kategorierna funktionsuttryck-uppgift samt graf-svar och ord-svar följs ofta åt, det vill säga ökar funktionsuttryck-uppgift ökar för det mesta även graf-svar och ord-svar. Majoriteten av kategorin graf-uppgifter kommer en bit in i området för att sedan nå en platå. Grafen för representationsformen funktionsuttryck ökar successivt genom hela området. I slutet fokuseras innehållet i området nästan enbart på kategorierna funktionsuttryck-uppgift och graf-svar, där är några uppgifter i kategorin

ord-6.4 Andel av specifika representationsformer

I Tabell 1 och Tabell 2 kan andelen av uppgifterna som innehåller en viss representationsform utläsas för frågor respektive svar. Där kan det utläsas att av alla uppgifter i till exempel Matematik 5000+ 1c har representationsformen ord förekommit i 47% av uppgifterna, medan den förekommit i 63% av svaren. Kolumnerna uppgift och

Totalt-svar (Tabell 1 och Tabell 2) utläses som en representationsfaktor för respektive

representationsform med avseende på både svar och uppgifter. Detta medför att av alla uppgifter i till exempel Exponent 1c förekommer det i snitt 1,14 representationsformer per uppgift i frågan, eller (med en annan formulering) att i maximalt 14% av uppgifterna förekommer mer än en representationsform per uppgift i frågan. Till exempel kan det finnas en, eller flera, uppgifter innehållande fler än två representationsformer vilket innebär att det i slutändan endast är exempelvis 5% av uppgifterna som innehåller fler än en representationsform. Det värde kurvan når längst till höger i respektive anpassad Lorenz-kurva är då slutandelar för de olika representationsformerna.

Tabell 1: Slutandelar för respektive representationsform gällande uppgifter

Andelstabell uppgift: Ord-uppgift Funktionsuttryck-uppgift Tabell-uppgift Graf-uppgift Totalt-uppgift

Matematik 5000 1c 47% 49% 14% 33% 142%

Exponent 1c 49% 35% 22% 8% 114%

Origo 1c 65% 35% 4% 14% 118%

Tabell 2: Slutandelar för respektive representationsform gällande svar

Andelstabell svar: Ord-svar Funktionsuttryck-svar Tabell-svar Graf-svar Totalt-svar

Matematik 5000 1c 63% 53% 9% 33% 158%

Exponent 1c 65% 59% 20% 31% 176%

6.5 Behandling och konvertering

I Tabell 3 visas fördelningen av andelen behandling och konvertering i de olika läromedlen för de undersökta uppgifterna.

Tabell 3: Andelar för behandling respektive konvertering mellan uppgift och svar

Andelstabell Andel behandling Andel konvertering

Matematik 5000+ 1c 12% 88%

Exponent 1c 16% 84%

Origo 1c 21% 79%

Ur Tabell 3 framgår det att samtliga läromedel ägnar majoriteten av sina uppgifter till konvertering och bara en liten andel till behandling. De olika läromedlen är även ordnade efter andelen konvertering i sjunkande ordning. Observera dock att analysen i denna läromedelsanalys inte tar hänsyn till att det i kategorin konvertering kan förekomma uppgifter där delar av uppgiften kan kategoriseras som behandling, exempelvis att förenkla ett funktionsuttryck (en behandling) innan man ritar dess graf (konvertering). Det omvända gäller dock inte; behandling kan inte förekomma i kategorin konvertering.

7 Slutsats och diskussion

Första delen i detta avsnitt behandlar diskussionen av de enskilda läromedlen och sedan följer en jämförelse mellan de olika läromedlen.

7.1 Matematik 5000+ 1c

Det finns mycket information som kan utläsas ur diagrammet i Figur 5. Förutom att det går att se saker som vilka representationsformer som förekommer flest respektive färst gånger i uppgifterna och svaren, går det även se en stor del andra intressanta saker. Att en representationsform förekommer mer än någon annan skulle kunna tyda på att läromedelsförfattarna anser att just den representationsformen fyller en större funktion för elevens lärande än de andra. Dock krävs det ofta fler än en representation för att kunna tolka en situation vilket skulle kunna tala emot att detta är anledningen (Ainsworth, 2006; Ebbelind & Roos, 2011). I detta läromedel är det representationsformerna ord och funktionsuttryck som läromedelsförfattarna låtit förekomma mest frekvent, i uppgifternas frågeställningar, följt av graf och tabell. Representationsformen tabell är dock inte alls vanligt förekommande, vilket skulle kunna tyda på att läromedelsförfattarna inte tycker att det ger lika mycket förståelse för området linjära funktioner. Det kan också vara så att representationsformen tabell är en mycket lättare representationsform att förstå sig på och därför inte får lika mycket fokus, även om det återigen kan påpekas att det är just i byten av representationsformer som eleverna utvecklar sin förståelse som mest (Ainsworth, 2006; Scheja & Pettersson, 2009; Steinbring, 2011; Schubring, 2011; Duval, 2006).

Under de första uppgifterna i området linjära funktioner ges uppgifterna nästan enbart i representationsformen funktionsuttryck samtidigt som svaren till uppgifterna ska anges i representationsformen graf. Detta innebär att det sker en konvertering (Duval, 2006) vilket i sin tur bidrar till att eleverna får en ökad förståelse för området linjära funktioner (Ainsworth, 2006). Då en kurva stiger successivt innebär det att den representationsform kurvan tillhör behandlas kontinuerligt och det är fallet för kurvorna tillhörande representationsformerna graf, ord och funktionsuttryck i både fråga och svar. Att flera representationsformer behandlas kontinuerligt gör att eleverna får en bredare förståelse än om de skulle behandla en representationsform i taget (Mayer, 1997; Sweller, van Merrienboer

& Paas, 1998). Representationsformen tabell behandlas däremot endast i början och i mitten av området, vilket leder till att kopplingen till de andra representationsformerna inte blir lika stark.

Då kurvorna för uppgifternas representationsformer jämförs med svarens representationsformer framkommer det att det ofta sker byten mellan dessa, alltså att uppgifterna ges i en viss representationsform för att sedan låta eleverna svara i en annan. Som tidigare nämnt är representationsbyten viktiga för att få en helhetsförståelse för ett begrepp och då resultaten visar att det i läromedlet Matematik 5000+ 1c sker många sådana byten i detta område tyder det på att eleverna som använder detta läromedel får en god chans att utveckla sin förståelse för linjära funktioner (Duval, 2006).

7.2 Exponent 1c

Att läromedlet i början bara har med uppgifter ur kategorin funktionsuttryck-uppgift innebär att hela området introduceras med hjälp av representationsformen funktionsuttryck. Detta i sin tur förutsätter att den som arbetar med området har bra koll på just denna representationsform. Enligt Duval, (2006), Ainsworth, (2006) med flera skulle det vara bättre att introducera begreppet linjära funktioner med flera representationsformer samtidigt, med så kallade multipla representationsformer.

En liten bit in i diagrammet stagnerar kategorin funktionsuttryck-uppgift genom det resterande området vilket betyder att det blir färre och färre uppgifter med representationsformen funktionsuttryck. Detta är något som kan tyda på att representationsformen funktionsuttryck är något som läromedlet ser som något lätt eller mindre viktigt. Dock finns funktionsuttryck-svar i nästan hela området vilket också tyder på att detta är något viktigt. Det tydliga bytet av representationsform från mitten av området och framåt skapar platåer i diagrammet i Figur 6. Det medför att de olika representationsformerna tas upp väldigt enskilt, först arbetar de med en representationsform sen nästa och så vidare. Detta syns bäst gällande kategorin ord-uppgift som är den enda förekommande kategorin i mitten av området och representationsformen tabell, både i uppgift och svar, som också förekommer väldigt enskilt. Att behandla de olika

Merrienboer & Paas, 1998). I slutet av området fokuseras det mycket på funktionsuttryck-uppgift och graf-svar. Detta kan bero på att denna transformation ses som något svårt för den som arbetar med läromedlet och därför behöver ha all tidigare information i området för att lösa dessa uppgifter. Genom hela området finns också kategorierna ord-svar och funktionsuttryck-svar med kontinuerligt, vilket ger fler ingångar till att lära sig begreppet linjära funktioner än om de behandlats enskilt (Ainsworth, 2006; Duval, 2006; Scheja & Pettersson, 2009).

7.3 Origo 1c

I Origo 1c finns ett stort antal uppgifter och en majoritet av dessa tillhör representationsformen ord. Att graferna till kategorierna ord-uppgift och ord-svar dessutom ökar successivt genom hela området medför att det alltid finns med i hela området i läromedlet. Detta kan leda till att den som arbetar med detta läromedel förmodligen kommer bli väldigt bra på att lösa tillämpade uppgifter där just representationsformen ord behandlas. Detta avviker från det som Brenner, et al. (1997) skriver, nämligen att läromedel främst innehåller uppgifter med exempelvis ekvationslösning (behandling). Vidare innebär den samtidiga ökningen av kategorierna funktionsuttryck-uppgift samt graf-svar och ord-svar att de förekommer ofta tillsammans och i och med det läggs ett stort fokus på kopplingen mellan kategorierna funktionsuttryck-uppgift, graf-svar samt ord-svar. Som ovan nämnt ger variationen av de olika representationsformerna fler vägar in till begrepp och förståelsen kring dessa (Duval, 2006). Att majoriteten av graf-uppgifterna kommer i mitten en bit in i området tyder på att detta är något som behandlas lite separat i förhållande till det andra innehållet. Något som inte är bra enligt enligt Duval (2006), Scheja & Pettersson (2009), Steinbring (2011) och Schubring (2011). Det går även att utläsa att kategorierna funktionsuttryck-uppgift och funktionsuttryck-svar är en viktig del enligt läromedlet eftersom de ständigt återkommer i området då graferna successivt ökar. Precis som i Exponent 1c avslutas området med mycket fokus på funktionsuttryck-uppgift och graf-svar. Även detta kan bero på att denna transformation ses som något svårt eller begränsande för den som arbetar med läromedlet och därför behöver ha all tidigare information i området för att lösa dessa uppgifter (Ainsworth, 2006; Ebbelind & Roos, 2011).

7.4 Jämförelse mellan olika läromedel

I Tabell 1 och Tabell 2 kan det utläsas att i Matematik 5000+ 1c och Exponent 1c är cirka 50% av uppgifterna givna i kategorin ord-uppgift och cirka 65% av uppgifterna är givna i kategorin ord-svar. Origo 1c däremot har med kategorin ord-uppgift i 65% av uppgifterna samtidigt som kategorin ord-svar förekommer i cirka 60% av uppgifterna. Detta innebär att den som arbetar med dessa läromedel får gott om exempel på hur frågor och svar kan se ut i representationsformen ord. Detta är kanske något som läromedelsförfattarna insett saknats i tidigare läromedel då dessa läromedel ofta fokuserat på exempelvis ekvationslösning (behandling) (Duval, 2006; Brenner, et al., 1997) och därmed inte tagit hänsyn till konvertering, som till exempel hur ett läsproblem förstås. Detta stämmer dock inte för läroböckerna i denna undersökning vilket kan innebära att den som arbetar med innehållet i dessa läroböcker inte får lika svårt för konvertering. Detta innebär att de får en större förståelse för byten av representationsformer och således en större förståelse för det matematiska området linjära funktioner (Brenner, et al., 1997).

När det gäller representationsformen funktionsuttryck har Exponent 1c och Origo 1c båda med funktionsuttryck i 35% av uppgifterna medan Matematik 5000+ 1c har med det i ca 50% av uppgifterna. Vidare går det se att representationsformen funktionsuttryck förekommer ungefär i 55% uppgifternas svar för Matematik 5000+ 1c och Exponent 1c samtidigt som representationsformen bara finns med i cirka 40% av uppgifterna i Origo 1c. Här syns den första tydliga skillnad i hur läromedlen väljer att lägga upp området. Där lägger Matematik 5000+ 1c stor vikt vid att den som arbetar med innehållet ska klara att hantera representationsformen både som uppgift och svar. Exponent 1c lägger lite fokus på just uppgifter med denna representationsform men en stor vikt vid att den som arbetar med läromedlet ska klara av att svara i denna representationsform, på andra sidan finns Origo 1c som inte lägger lika stor vikt i vare sig uppgift eller svar i denna representationsform. Funktionsuttryck är ändå den näst största representationsformen i alla böckerna vilket bekräftar det som Brenner, et al. (1997) skriver, nämligen att läromedlen ofta fokuserar mycket på det som Duval (2006) kallar för behandling. Vidare kan det vara på det viset att representationsformen funktionsuttryck ses som en begränsande representationsform vilket då kan ge ett stöd för lärande genom att belysa begränsningar av andra representationsformer (Ainsworth, 2006; Ebbelind & Roos, 2011).

Efter det kommer representationsformen tabell där det finns en stor variation i andelen uppgifter med denna representationsform. Exponent 1c är det läromedel som lägger störst vikt vid denna representationsform då cirka 20% av uppgifterna på området innehåller denna representationsform. Efter det kommer Matematik 5000+ 1c där cirka 10% av uppgifterna innehåller representationsformen tabell och till sist Origo 1c där enbart några få procent av uppgifterna innehåller denna representationsform. Även här syns en tydlig skillnad mellan läromedlen i hur mycket denna representationsform ska ingå i linjära funktioner. Detta kan även vara en indikator på hur svårt olika läromedelsförfattare anser att denna representationsform är för den som ska arbeta med innehållet. Samtidigt ska svårighetsgraden inte spela någon roll då Duval (2006) skriver att all information kring matematik måste komma från användandet av semiotiska system. Där de olika vägarna in är de representationsformerna som begreppet kan representeras i. Att således inte lägga fokus på en representationsform, i detta fall tabeller, är att ta bort en väg in för lärande. Det kan också vara så att läromedelsförfattarna tänker att denna representationsform ska vara en intern representationsform som den som arbetar med materialet ska få upp i huvudet som hjälp när den till exempel ska rita grafer eller finna specifika punkter på linjer (Ainsworth, 1999).

När det gäller grafer syns det att Matematik 5000+ 1c lägger stor vikt vid representationsformen graf som förekommer i 33% av uppgifterna i både själva uppgiften och svaret på området linjära funktioner. Exponent 1c innehåller samma andel i kategorin graf-svar men bara 8% av uppgifterna har med kategorin graf-uppgift. Här är det tydligt att grafer är något som den som arbetar med området får lära sig själv eller med hjälp utav en pedagog. I Origo 1c innehåller 14% av uppgifterna kategorin graf-uppgift och 25% av uppgifterna kategorin graf-svar. Upplägget kan även förklaras med att läromedelsförfattarna kanske tänker att detta ska vara en extern representationsform (Ainsworth, 1999) och därför främst har med representationsformen i svaret på uppgifterna i de flesta läromedel.

I den sista kolumnen i tabellerna (Tabell 1 och Tabell 2) kan det utläsas hur ofta en uppgift innehåller mer än en representationsform i både själva uppgiften och svaret. Till exempel har Matematik 5000+ 1c i snitt mer än en representationsform i både själva uppgiften och svaret i maximalt cirka 50% av uppgifterna. Medan Exponent 1c har ett mindre fokus på olika representationsformer i själva uppgifterna där bara maximalt 15% av uppgifterna innehåller mer än en representationsform. Samtidigt har den ett större fokus på representationsformer

i svaret där maximalt cirka 75% av uppgifterna har mer än en representationsform. Den lägsta andelen representationsformer per uppgift har Origo 1c där enbart maximalt cirka 20% av uppgifterna både i själva uppgiften och svaren innehåller mer än en representationsform. En slutsats som kan dras är att desto fler byten av representationsformer desto fler procedurer och tekniker för att lösa uppgifter kan tillägnas och därmed en bättre förståelse för det ingående begreppet (Scheja & Pettersson, 2009; Steinbring, 2011; Schubring, 2011). Med det sagt bör antingen Matematik 5000+ 1c eller Exponent 1c vara att föredra.

Det går att även titta på andelen behandling och konvertering (Tabell 3) för området linjära funktioner i de tre läromedlen och det syns då tydligt att Matematik 5000+ 1c har den största andelen konvertering av alla, följt av Exponent 1c och sedan Origo 1c. Trots att Exponent 1c har en mycket större andel representationsformer i sina svar är det ändå Matematik 5000+ 1c som har flest konvertering och därmed ger den de som arbetar med innehållet i denna bok fler ingångar att lära sig innehållet enligt Duval (2006), Scheja & Pettersson (2009), Steinbring (2011) och Schubring (2011). Enligt samma logik skulle då Origo 1c ge färst antal ingångar till lärande av linjära funktioner av dessa tre läromedel.

7.5 Lärtillfällen

Som den tidigare forskningen visar har arbetet med olika representationsformer en stor påverkan på elevers lärande. I denna undersökning har det endast tagits hänsyn till hur läromedlets uppgifter behandlar olika representationsformer. Den har således inte undersökt vilka lärtillfällen eleven kommer i kontakt med under sin skolgång. Analysen har inte heller undersökt hur läromedlet används i undervisningen eller vilken kvalitet det är på uppgifterna i läromedlet vilket också gör att det inte går att säga något om antalet lärtillfällen som eleven kommer i kontakt med och kvaliteten på dessa.

Då de olika läromedlen jämförs kan resultaten tolkas som att Matematik 5000+ 1c har flest konverteringar och byten mellan de fyra representationsformerna vilket leder till fler ingångar till det matematiska området linjära funktioner och således fler lärtillfällen (Duval, 2006; Scheja & Pettersson, 2010; Steinbring, 2011; Schubring, 2011). Detta är sant då endast andelen av uppgifterna i läromedlen tas i beaktning, men då det totala antalet uppgifter istället tas i beaktning är det Origo 1c som har flest antal konverteringar då Origo 1c innehåller en

större mängd uppgifter vilket skulle innebära att det är det läromedlet som ger flest lärtillfällen.

7.6 Didaktiska överväganden

Som tidigare nämnt har majoriteten av matematikundervisningen i skolan sin utgångspunkt i läroboken (Johansson, 2006; Neumann, et al., 2014; Stacey & Vincent 2009; Stein & Kim 2009). Att läromedlen dessutom skiljer sig åt är inget unikt för svenska läromedel utan det gäller både nationellt och internationellt (Petersson, et al., 2021; Törnroos, 2005). Detta medför att beroende på hur det centrala innehållet från Skolverket (2011) presenteras kan det innebära att olika läromedel ger olika antal, typer och fördelning av lärtillfällen för eleverna. För den praktiserande pedagogen blir därför resultatet i denna läromedelsanlys avgörande för hur denne ska planera och utföra sin matematikundervisning för att täcka in och komplettera det som läromedlen missar, inom det matematiska området linjära funktioner.

7.7 Metodgranskning

Att analysera läromedels uppgifter utifrån de representationsformerna som presenteras i denna läromedelsanalys har visat sig vara en genomförbar och lyckad granskning. Då alla uppgifter faller in inom någon eller några av representationsformerna kategoriseras således alla uppgifter. Detta eliminerar kategorier som övrigt och annat som i de flesta fall inte hade gått att analysera kategorin utan att titta djupare på datan/uppgifterna. Med det sagt finns det dock begränsningar gällande generaliseringen av metoden. Ett solklart exempel hade varit ett avsnitt i geometri där figurer i uppgifterna och deras tilltänkta svar inte hade kunnat klassificeras i någon av dessa representationsformer (ord, funktionsuttryck, tabeller och grafer). Här hade istället Duvals (2006) kategorisering av uppgifterna passat bättre då geometriuppgifterna i det fallet hade hamnat under kategorin som kallas för multifunktionella icke diskursiv (ikonisk). Ett exempel på då Duvals (2006) kategorisering inte hade fungerat alls är om någon uppgift handlar om att röra sig utefter en graf (gestikulera), då gester inte finns med i Duvals (2006) kategoriseringssystem.

7.7.1 Anpassade Lorenzkurvan

Den anpassade Lorenzkurvan från Petersson, et al. (2021) som används i deras och denna läromedelsanalys för att representera data är ett väldigt kraftfullt verktyg som hjälper en att få syn på en mängd olika saker gällande innehållet i läromedel och i detta fall läromedlets uppgifter. Några exempel som den anpassade Lorenzkurvan hjälper en att få syn på är:

1) Antalet förekommande transformationer i uppgifterna.

2) Antal uppgifter och andel av respektive representationsform förekommande i respektive läromedel.

3) Fördelning av representationsformer över ett läromedel.

4) Förekomsten av respektive representationsform i olika delar av ett läromedel. 5) Likheter och skillnader mellan olika läromedel.

6) Om respektive representationsform behandlas separat eller tillsammans med andra.

Sammanfattningsvis kan medverkande säga att den anpassade Lorenzkurvan från Petersson, et al. (2021) är ett lättarbetat och användarvänligt representations- och analysverktyg som ger en stor mängd information som ovan nämnt.

7.7.2 Felkällor och begränsningar

Då alla deluppgifter i en uppgift räknas som en uppgift går det inte att se exakt hur många konverteringar som sker totalt i något av läromedlen vilket är en brist i metoden för denna läromedelsanalys. Bristen i metoden ger dock inte någon stor påverkan för resultatet då alla tre läromedel som analyserats innehållit uppgifter innehållande deluppgifter.

7.7.3 Transformationer, behandling i konvertering

Som tidigare nämnt kan kategorin behandling förekomma i kategorin konvertering detta som följd av hur metoden och analysen av data är gjord. Uppgifter med deluppgifter som a), b) och c) räknas som en uppgift. Detta i sin tur medför att svaret till deluppgift a) kanske kategoriseras i samma kategori som frågan och därmed är av transformationen behandling. Samtidigt kan svaret/svaren till deluppgift b) och/eller c) vara av en annan kategori än

av deluppgifterna som gav vilket svar ur den insamlade datan. Detta behöver inte medföra några problem gällande resultat och slutsats då det är samma analysmetod för alla läromedlen och det betyder bara att andelen behandling är något större men det bör fortfarande vara samma relationer mellan läromedlen. Det omvända gäller dock inte, behandling kan inte förekomma i kategorin konvertering.

7.7.4 Generaliserbarhet

Denna läromedelsanalys är gjord på tre olika läromedel för matematikkursen 1c på området för linjära funktioner. Detta medför att det inte går att dra några generella slutsatser om läromedlet i sin helhet, utan enbart för det specifika området linjära funktioner (se Bilaga 1 för sidhänvisningar i respektive lärobok).

7.8 Vidare forskning

Då denna undersökning är en läromedelsanalys säger den inget om hur läraren använder sig av läromedlet och vilka lärtillfälle eleven kommer att ges i kursen utöver det som finns med i läromedlet. Därför skulle det vara intressant att komplettera denna läromedelsanalys med en undersökning av hur lärare arbetar för att utveckla elevernas förståelse för olika representationsformer och hur de hänger ihop i området linjära funktioner. Ett exempel på en forskningsfråga skulle kunna vara: Hur kan lärare använda sig av olika representationsformer för att utveckla elevernas förståelse för begreppet linjära funktioner?

Det hade även varit intressant att göra en läromedelsanalys på liknande vis men för en eller flera läromedel i sin helhet. Själva kategoriseringen hade nog fått omarbetas, då det saknas någon ikonisk kategorisering i denna analysmetod, men något liknande som Duval (2006) gör skulle kunna fungera. Observera att om en liknande undersökning ska genomföras bör deluppgifter räknas som enskilda uppgifter (istället för en uppgift) för att undvika det ovan diskuterade problemet med att transformationen behandling kan förekomma i transformationen konvertering.

8 Referenser

Ainsworth, S. (1999). The functions of multiple representations, Computers & Education, 33, 131-152.

Ainsworth, S. (2006). A conceptual framework for considering learning with multiple representations. Learning & Instruction, 16, 183-198.

Alfredsson, L., Heikne, H. & Holmström, B. (2018). Matematik 5000+ 1c. (1. uppl.). Stockholm: Natur & kultur.

Brenner, M., Mayer, R., Moseley, B., Brar, T., Durán, R., Reed, B., & Webb, D. (1997). Learning by Understanding: The Role of Multiple Representations in Learning Algebra.

American Educational Research Journal, 34(4), 663-689. doi:10.2307/1163353

Bryman, A. & Bell, E. (2013). Företagsekonomiska forskningsmetoder. Johanneshov: MTM.

Denscombe, M. (2014). The Good Research Guide: For Small-Scale Social Research Projects [Elektronisk resurs]. McGraw-Hill.

Dufåker, D., Larson, N., Marklund, M., Szabo, A., & Viklund, G. (2011). Origo: matematik.

1c. (2. uppl.). Stockholm: Bonnier Utbildning.

Duval, R. (2006). A Cognitive Analysis of Problems of Comprehension in a Learning of Mathematics. Educational Studies in Mathematics, 61, 103-131.

http://dx.doi.org/10.1007/s10649-006-0400-z

Ebbelind, A. & Roos, H. (2011). Lärande i bråk-transformationer mellan representationsformer ur ett

socialsemiotiskt multimodalt perspektiv. [Magisterarbete, Linnéuniversitetet]. DiVA.

http://www.diva-portal.org/smash/record.jsf?pid=diva2%3A397651&dswid=-9054

Johansson, M. (2006). Teaching mathematics with textbooks: A classroom and curricular perspective. [Doktorsavhandling], Luleå Tekniska Universitet.

Mayer, R. E. (1997). Multimedia learning: Are we asking the right questions? Educational

Psychologist, 32(1), 1-19.

Neuman, J., Hemmi, K., Ryve, A., & Wiberg, M. (2015). Mathematics textbooks’ impact on classroom instruction: Examining the views of 278 Swedish teachers. I Silfverberg, H., Kärki, T. & Hannula, M. (Eds.), Proceedings of the 7th Nordic Conference on Mathematics

Education, NORMA 14, Turku, June 3-6, 2014, 215-224. Turku: University of Turku.

Petersson, J., Sayers, J., Rosenqvist, E., & Andrews, P. (2021). Two novel approaches to the content analysis of school mathematics textbooks. International Journal of Research and

Method in Education. Epub ahead of print.

https://doi.org/10.1080/1743727X.2020.1766437

Rezat, S. & Sträßer, R. (2015). Methodological issues and challenges in research on mathematics textbooks. Nordic Studies in Mathematics Education, 20(3-4), 247–266.

Scheja, M., & Pettersson, K. (2010). Transformation and contextualisation : exploring students’ conceptual understandings od threshold concept in calculus. Higher Education,

59(2), 221–241. https://doi.org/10.1007/s10734-009-9244-7

Schubring, G. (2011). Conceptions for relating the evolution of mathematical concepts to mathematics learning—epistemology, history, and semiotics interacting. Educ Stud Math 77, 79–104. https://doi.org/10.1007/s10649-011-9301-x

Sfard, A. (2008). Thinking as communicating: human development, the growth of discourses, and

mathematizing. New York: Cambridge University Press.

Skolverket. (2011). Ämnesplan. Matematik.

https://www.skolverket.se/undervisning/gymnasieskolan/laroplan-program-och-amnen-i-gymnasieskolan/gymnasieprogrammen/amne?url=1530314731%2Fsyllabuscw%2Fjsp%2F subject.htm%3FsubjectCode%3DMAT%26tos%3Dgy&sv.url=12.5dfee44715d35a5cdfa92 a3

Sonesson. (u.å.). Semiotik. I Nationalencyklopedin. Hämtad 2021-05-04, från https://www-ne-se.proxy.mau.se/uppslagsverk/encyklopedi/l%C3%A5ng/semiotik

Stacey, K. & Vincent, J. (2009). “Modes of Reasoning in Explanations in Australian Eighth-Grade Mathematics Textbooks. ”Educational Studies in Mathematics 72 (3): 271–288. doi:10.1007/s10649-009-9193-1.

Stein, M. K. & Kim, G. (2009). “The Role of Mathematics Curriculum Materials in Large-Scale Urban Reform”. I Mathematics Teachers at Work: Connecting Curriculum Materials and

Classroom Instruction, (Eds.) Remillard, J., Herbel-Eisenmann, B. & Lloyd, G. 37–55. New

York: Routledge.

Steinbring, H. (1997). Epistemological Investigation of Classroom Interaction in Elementary Mathematics Teaching. Educational Studies in Mathematics, 32(1), 49–92.

Sweller, J., van Merrienboer, J. J. G., & Paas, F. G. W. C. (1998). Cognitive architecture and instructional design. Educational Psychology Review, 10(3), 251–296.

https://doi.org/10.1023/A:1022193728205

Törnroos, J. (2005). Mathematics Textbooks, Opportunity to Learn and Student Achievement. Studies in Educational Evaluation, 31(4), 315–327.

Vetenskapsrådet (VR) (2017). God forskningssed [Elektronisk resurs]. (Reviderad utgåva). Stockholm: Vetenskapsrådet.

9 Bilagor

9.1 Bilaga 1

Andersson, F. & Nordberg, J. (2021). Data för läroböcker uppgifter och svar.

https://docs.google.com/spreadsheets/d/1ILIrnr9rwTfJRxOrzZkn2PGbdzeMaCJsGOY A8ynbKF8/edit#gid=0