Figure 1: Gerolamo Cardano: 1501-1576
Föreläsning 8 i Intromatematik för Automation och
mekatronik/Teknisk design. Komplexa tal.
Komplexa tal var introducerade av Gerolamo Cardano - italjensk matematiker och fysiker då han …ck en allmän förmel för rötter av tredjedgarspolynom (eller kubiska polynom).
Han upptäckte att en vissa rötter behöver för sin framställning ett tal som läser ekvationen.
x2 = 1
Lösningen till den ekvationen kallas imaginera enheten i: i2 = 1
Man kan också betrakta andra imaginära tal 2i, 3i o.s.v. Termen imaginära tal infördes först av Rene Descartes som tyckte add sådana tal inte existerar i verk-ligheten.
De…nition
Ett komplext tal de…nieras formelt som uttrycket a + bi
eller
a + ib där a och b är godtyckliga reella tal.
1
Reela delen och imaginära delen i ett komplext
tal
Om z = x + yi (där x och y är reella tal) så kallas x = Re z för reella delen av z. Talet
y = Im z kallas för imaginära delan av z:
2
Gra…sk framställning av komplexa tal.
Man framställer ett komplext tal z = x+yi som en punkt i planet med kartesiskt ko-ordinatsystem som har koordinater (x; y). (Den framställning kallas ibland Agrand diagram.)
Mängden av alla komplexa tal betecknas med C och på samma sätt som reela tal identi…eras med reella linjen, identi…eras mängden C av komplexa tal med planet av punkter med kartesiska koordinater (x; y). Det planet kallas för komplexa planet C.
Punkterna på x - axeln - med andra ord - reella axeln, svarar mot reella tal. Punkter på y - axeln, med andra ord - imaginära axeln, svarar mot imaginära tal.
Avståndet i komplexa planet från origo till punkten (a; b) som skildrar komplexa talet z = a + bi kallas för absolutbeloppet av z:
jzj = ja + bij =pa2 + b2 0
av talet z. Exempel.
j2 3ij =p22+ ( 3)2 =p4 + 9 =p13
Om linjen mellan origo och talet z i komplexa planet utgör vinkeln , så kallas den vinkeln argument av z och betecknas med
Argumentet = arg(z)är inte entydigt eftersom man kan addera ett godtyckligt antal varv k(2 ) med hela talet k och få samma punkt i planet. Argumentet som väljes inom vinkeln ( ; ]kallas för principala argumentet till z och betecknas med Arg(z).
< Arg(z)
3
Polär framställning av komplexa tal.
Med förutsättning att absolutbelopp jzj = r och argument arg(z) = är givna, kan komplexa talet z framställas i polära formen:
z = r cos( ) + i r sin( ) = r (cos( ) + i sin( ))
4
Konjugat till ett komplext tal
Speglingen av ett komplext tal w i reella axeln x i planet C ger en konjugat w till talet w.
Exempel. Om w = 3 + 4i, blir komplex konjugat w = 3 4i.
5
Algebra av komplexa tal
Man de…nierar addition av två komplexa tal på samma sätt som addition av vektorer i planet. För w = a + bi och z = x + yi summa w + z de…nieras som:
w + z = (a + x) + (b + y)i
w z = (a + ( x)) + (b + ( y))i = (a x) + (b y)i
Addition de…nierad på det viset är kommutativ och associativ: w1+ w2 = w2 + w1
Produkt av två komplexa tal de…nieras formelt lätt med dess egenskaper är inte alls självklara. Fär två komplexa tal w = a + bi och z = x + yi produkten wz de…nieras som formell produkt av två summor med förutsättningen att
i i = 1 ai = ia a (yi) = (ay)i De…nition
wz = (a + bi) (x + yi) = ax + ayi + bxi + byi2 = ax + ayi + bxi + by( 1)
= (ax by) + (ay + bx)i = = Re(wz) + Im(wz)i = (xa yb) + (ya + xb)i
::::Ber•akna_ det ta_sj•alv!::::: = ::: (x + yi) (a + bi) =
= (xa yb) + (ya + xb)i = zw
Man kan se härifrån att produkten av komplexa tal är kommutativ!!!!!!!!!!!!!!!!!!! wz = zw
associativ:
(wz) p = w(zp) och har distributiv egenskap med addition:
Alla dessa egenskaper måste testas och följer inte från någon intuition. Det fanns försök att bilda talsystem av högre dimension än två, som har lik-nande egenskaper. Men det …nns bara två högredimensionella exempel (speciellt kvaternioner) som har en del av "naturliga" egenskaper för multiplikation.
Exempel 4 med multiplikation
(2 + 3i) (1 2i) = 8 i
6
Konjugat och absolut belopp
produkt av ett komplext tal och dess konjugat är lika med dess absolutbelopp i kvadrat.
w w =jwj2 Man ser det från följande direkt beräkning:
(x + yi)(x yi) = x2 (xy) i + (yx) i y2 i2 = x2 (xy) i + (xy) i y2( 1) = x2+ y2 =jwj2
Man kan testa genom direkt beräkning formeln för konjugat av produkt av två komplexa tal.
w z = w z
7
Absolut belopp och argument för produkt av
två komplexa tal. (Mest fascinerande
matema-tiska resultat i hela gymnasiematematik!!!)
Betrakta två komplexa tal skrivna i polär form och försök framställa produkt av dessa tal i polär form.
w = r(cos( ) + i sin ( )); z = s (cos( ) + i sin( )) är r = jwj, = arg(w); s = jzj, = arg(z).
Vi gör direkt beräkning först: w z = r(cos( ) + i sin ( )) | {z } w s (cos( ) + i sin( )) | {z } z
= rs(cos( ) + i sin ( )) (cos( ) + i sin( )) = jwj jzj (cos( ) + i sin ( )) (cos( ) + i sin( ))
= rs 2 6
4(cos( ) cos( ) sin ( ) sin( ))
| {z }
cos( + )
+ i(sin ( ) cos( ) + sin( ) cos( ))
| {z } sin( + ) 3 7 5 = jwj jzj (cos( + ) + i sin( + ))
Vi observerar då ¨ en av vackraste satser i gymnasiematematik: jwzj = jwj jzj
arg(wz) = arg(w) + arg(z)
Den satsen medför att z = jzj (cos( ) + i sin( )) beräkningen av graden n ger zn=jzjn(cos(n ) + i sin(n ))
Exempel.
z2 = jzj (cos( ) + i sin ( )) jzj (cos( ) + i sin ( )) = jzj jzj (cos( + ) + i sin ( + ))
= jzj2(cos(2 ) + i sin (2 ))
Och speciellt deMoivre’s sats (för komplexa tal på enhetscirkeln) (cos( ) + i sin( ))n = cos(n ) + i sin(n )
Exempel.5
Beräkna z5 för z = (1 + i).
Vi kommer att använda formeln för komplexa tal i polära formen.
jzj2 = 12 + 12 = 2 jzj = p2 = arg(z) =??? Re z = Im z = 1 =) arg(z) = 4 (45grader) Observera att cos( ) = p1
2 = cos( =4).
Vi kommer att tillämpa allmänna formeln
(1 + i)5 = hp2 (cos( =4) + i sin( =4))i5 = p2 5h cos 5 4 + i sin 54 i = p2 4p2hcos + 4 + i sin + 4 i cos + 4 = sin + 4 = 1 p 2 p 2 4 = p2 2 2 = 22 = 4 = 4p2 p1 2 i 1 p 2
8
Reciprok av ett komplext tal
1
w kallas för reciprok av w.
Vi undviker använda beteckningen w 1 för att inte blanda ihop senare med ett
helt annat begrep som har samma beteckning.
Vi använder konjugatregeln för att beräkna reella och imaginära delar av reciprok. 1 w = 1 a + bi = a bi (a + bi) (a bi) = a bi a2 (bi)2 = a bi a2 b2i2 = a bi a2 b2( 1) = a bi a2 + b2 Re 1 w = 1 a2+ b2 a; Im 1 w = 1 a2+ b2 ( b) 1 w = w w w = w jwj2 Exempel 6.
Förenkla. (Bestäm reella och imaginära delar av givna uttryck) (a) 2 + 3i 4 i = (2 + 3i) (4 + i) (4 i) (4 + i) = (2 4 3 1) + i (3 4 + 2 1) 42+ 12 = (8 3) + i (12 + 2) 17 = 5 + 14i 17 = 5 17+ 14 17i
9
Kvadratiska roten av ett komplext tal
z = r (cos ( ) + i sin ( )) Talet
p
z =pr (cos ( =2) + i sin ( =2)) satis…erar likheten w2 = r och kallas principal kvadratisk rot.
Bevisa!
p
r (cos ( =2) + i sin ( =2)) pr (cos ( =2) + i sin ( =2)) = pr 2(cos ( =2 + =2) + i sin ( =2 + =2))
= r (cos ( ) + i sin ( ))
Andra talet som satis…erar den ekvationen är w : ( w)2 = r. Exempel 7.
Beräkna kvadratiska rötter (bestäm reella och imaginära delen
(d) s 1 2 + i p 3 2
Komplexa talet z = 12+ip23 har absolut belopp jzj2 = 12 2+ p23 2 = 14+34 = 1.
arg(z) = =2 + =6(90 grader plus 30 grader) 1
2 + i p
3
2 = cos ( =2 + =6) + i sin ( =2 + =6) Detta medför enligt allmänna formeln att
s 1 2 + i p 3 2 = cos =2 + =6 2 + i sin =2 + =6 2 = cos 4 2 6 + i sin 4 2 6 = cos 1 3 + i sin 1 3 = + 1 2+ i p 3 2
Godtyckliga rötter av grad n beräknas på ett liknande sätt med hjälp av polära formen av komplexa tal. Varje komplext tal z har exakt n olika rötter av grad n: Dessa rötter ligger på hörnpunkter i en regulär polygon med n hörn och med centrum i origo, så att principala roten är en av dessa hörnpunkter.
10
Övningar med komplexa tal.
Adams, AI: 14, 42, 52.
Exercise 14. Framställ komplexa talet i polär form. z = p3 3i jzj2 = 3 + 9 = 12 jzj = p12 = 2p3 Betrakta z =jzj (cos( ) + i sin )) = 2p3 p 3 2p3 3 2p3i ! = 2p3 1 2 p 3 2 i !
Detta medför att = =3(180 grader minus 60 grader). arg p3 3i = 2
3 Exercise 42.
Förenkla uttrycket. Det menas i det fallet att beräkna reella och imaginära delar av givna uttryck.
1 + i i (2 + 3i)
Vi uppnår målet med att multiplicera täljaren och nämnaren med konjugatet av nämnaren
Vi använder också formeln för konjugat av produkten av två komplexa tal: w z = w z 1 + i i (2 + 3i) = (1 + i) ( i (2 3i)) (i (2 + 3i)) ( i (2 3i)) = (1 + i) ( i (2 3i)) (22+ 32) = (1 + i) ( i2 3) (22+ 32) = ( 3 + 2 + i ( 2 3)) 13 = 1 13 i 5 13 Exercise 52.
Bestäm alla tre värden av kubiska roten av 8i: z = 8i = 8 (cos( =2) + i sin( =2))
Principala värdet av p3 8iär: w1 = 3 p 8i = p3 8 (cos( =2) + i sin( =2)) = p3 8 cos =2 3 + i sin =2 3 = 2 cos 6 + i sin( 6 = 2 p 3 2 + i 1 2 ! =p3 i
Alla tre värden av kubiska roten ligger i komplexa planet på hörn av en rätvinklig triangel med centrum i origo, sådan att ett av dessa hörn ligger på principala roten w1
som var just beräknat. Två andra kubiska rötter fås med att adddera 2 , respektive 4 till principala argumentet =2 i polära formen för z och med att genomföra sedan samma beräkning som vi gjorde ovan för w1.
w2 = 3 p 8 cos =2 + 2 3 + i sin =2 + 2 3 = = 2 (cos( =2) + i sin ( =2)) = 2i w1 = 3 p 8 cos =2 + 4 3 + i sin( =2 + 4 3 = 2 cos 7 6 + i sin 7 6 = 2 cos + 1 6 + i sin + 1 6 = 2 p 3 2 + i 1 2 !
