Matematik i förskolan-Förskolebarns matematiska problemlösningsförmåga-En undersökning på en förskola i Malmö

Malmö högskola

Lärarutbildningen

SÄL

Lek Fritid Hälsa

Examensarbete

10 poäng

Matematik i förskolan

Förskolebarns matematiska

problemlösningsförmåga-En undersökning på en förskola i Malmö.

Mathematic in preschool

Preschool childrens´capabili ty of mathematical

problem solving -a study in a preschool in Malmö.

Ewa Holmgren

Lärarexamen 140 poäng Handledare: Ange handledare

Matematik och lärande Vårterminen 2006

Examinator: Lars Lagergren

Abstract

Arbetets art: C-uppsats i Barndoms – och ungdomsvetenskap Sidantal: 44

Titel: Matematik i förskolan-Förskolebarns matematiska problemlösningsförmåga-En undersökning på en förskola i Malmö.

Författare: Ewa Holmgren Handledare: Ann-Sofi Råstam Datum: 2006-05-27

Bakgrund: Förskolans läroplan (Lpfö-98) och Läroplan för Grundskolan (Lpo-94)

betonar att barn förankrar matematikinlärningen i de vardagliga situationerna och tar vara på vardagsproblemens möjligheter. Problemlösningsförmågan i matematik utvecklas i samtal om vardagsproblem och där barnen är aktiva. Eftersom barnens förhållningssätt till kunskap och lärande formas i förskolan är det viktigt att deras möte med matematiken fokuserar på problemlösningar som har anknytning till deras kunskaper och erfarenheter.

Syfte: Med denna undersökning försöker jag beskriva hur några barn i förskolan

uppfattar vardagsmatematik och hur de löser problem med matematiskt tänkande.

Metod: Jag valde att använda mig av intervjuer med barn (5-6 år gamla) samt

observationer på förskolan. Konkreta föremål, barnens teckningar och berättande kring problemlösningar har varit till stor hjälp. Undersökningen varade i fem veckor där barnen, i en grupp på sex, deltog i arrangerade inlärningstillfällen i matematik. Under tiden genomfördes också intervjuerna då de svarade på tre frågor kring matematik.

Resultat: Analysen av insamlade data visade att barnen var fantasifulla och kreativa

och löste matematiska problem på olika sätt. I problemlösningarna användes de fyra räknesätten som division, multiplikation, addition och subtraktion fast barnen inte var medvetna om detta. Min undersökning visar att barn tänker matematiskt långt innan de börjar skolan fast Piaget menar att de utvecklar ett systematiskt och logiskt tänkande i åldrarna sju till elva . Barnen som deltog i undersökningen var 5-6 år gamla.

Innehållsförteckning

1. Introduktion ... 6

1.1 Syfte... 7

2. Kunskapsbakgrund... 8

2.1 Definition av begreppet matematik ... 8

2.2 Styrdokument för förskolan ... 8

2.3 Barns matematiska tänkande ... 9

2.3.1. Informell matematik i barns vardag ... 9

2.3.2. Bishops sex fundamentala matematiska aktiviteter ... 10

2.3.3. Pedagogens roll/förhållningssätt till matematik ... 12

2.3.4. Problem och problemlösning... 13

2.3.5. Att rita och berätta - problemlösning ... 14

2.3.6. Barnets matematiska utveckling... 15

2.4 Teorier kring barns utveckling och lärande ... 16

2.4.1. Tankeutvecklingens fyra stadier... 16

2.4.2. Socialkulturell syn på den kognitiva utvecklingen ... 17

2.5 Centrala begrepp... 18 3. Problemprecisering ... 19 4. Metodbeskrivning ... 20 4.1 Metodval ... 20 4.2 Undersökningsgrupp ... 21 4.3 Genomförande ... 21 4.4 Forskningsetiska överväganden... 22 4.5 Analystankar ... 23 5. Resultat ... 24

5.1 Undersökningsgruppens svar på frågor kring räknande... 24

5.2 Undersökningsgruppens uppfattning om antal ... 25

5.3 Undersökningsgruppen löser problem utan hjälp av symboler och siffror... 28

5.4 Undersökningsgruppen löser problem med hjälp av symboler och siffror... 32

5.5 Sammanfattning av undersökningen ... 36

6. Diskussion ... 37

1. Introduktion

Förskolans utbildning är ett led i det livslånga lärandet och lärandet i förskolan handlar om att förstå världen och att erhålla kunskaper och färdigheter som är nödvändiga för dagen samt att utveckla en beredskap att lära för morgondagen. I det pedagogiska arbetet i förskolan betonas barnets allsidiga utveckling. Leken ses som en nödvändig aktivitet för att lära och för att utvecklas. Barnet utforskar och försöker förstå sig själv och sin omvärld genom lek. Lek och lärande går hand i hand.

Barn träder in i ” matematikens värld” i tidig ålder, långt innan de börjar skolan. Under min tid på förskolan har jag uppmärksammat att barn har ett naturligt intresse för att räkna, jämföra, sortera och mäta föremål i sin vardag. Barn söker aktivt själva efter förståelse och ägnar sig på så sätt åt problemlösning.

I vardagen använder barn den informella (förnumeriska) matematiken och enligt Karl-Åke Kronqvist (2003) utgör detta barnens resonemang och tankesätt innan de börjar använda matematikens symboler och siffror i skolan.

Informell matematik kan handla om att jämföra om något är stort eller litet, att peka på föremål och räkna antal eller att dela något. Det är att se, uppfatta mönster, strukturer och att kunna tänka logiskt. Denna tidiga informella matematik utvecklas så småningom till förståelse av den formella matematiken (Ahlberg, 1994).

Den matematiska förståelsen hos förskolebarn bör ske med hjälp av de pedagoger som dagligen arbetar med barn i förskolan. Men vi får inte glömma hemmet, där föräldrar förhoppningsvis också, genom den informella matematiken, hjälper barnet att så småningom utveckla förståelse av den formella matematiken.

De som arbetar i förskoleverksamhet bör vara lyhörda för barns frågor och göra dem uppmärksamma på deras matematisk tänkande och därmed väcka intresset för olika matematiska fenomen. Det är bra om barn gradvis får uppleva olika aspekter av matematiskt tänkande och även bekanta sig med de matematiska begreppen.

Pedagogerna i förskolan kan på detta sätt försöka hjälpa barn och sätta ord på sitt matematiska begreppstänkande.

1.1 Syfte

Under observationer vid mitt arbete på förskolan märkte jag att barn i förskoleåldern utvecklar olika strategier i form av att använda grundläggande färdigheter och kunskaper för att kunna lösa, för dem, relevanta matematiska problem.

Barn tycker att det är roligt, spännande och lustfyllt att arbeta med matematik i vardagen (den informella matematiken). Om pedagoger i förskolan också tycker att det är roligt att arbeta med matematik tillsammans med barnen tror jag att man på det sättet kan utveckla ett positivt förhållningssätt till barns matematiska tänkande. Det första mötet med den informella matematiken är betydelsefullt, eftersom det kan påverka barnens framtida förhållningssätt och möjligheter att lära sig tänka matematiskt.

Syftet med denna undersökning är att försöka beskriva hur några barn i förskolan uppfattar vardagsmatematik och hur de löser problem med hjälp av logiskt tänkande.

2. Kunskapsbakgrund

2.1 Definition av begreppet matematik

Ordet matematik definieras på följande sätt i Nationalencyklopedin:

Matematik är en abstrakt och generell vetenskap för problemlösning och metodutveckling. Definitionen kan kommenteras på följande sätt. Matematiken är abstrakt, den har frigjort sig från det konkreta ursprunget hos problemen, vilket är en förutsättning för att den skall kunna vara generell, d.v.s. tillämpbar i mångfald situationer ( Nationalencyklopedin, 1994, s.142, Band 13).

Ovanstående definition kan hänföras till begreppet formell matematik.

Informell matematik ( vardagsmatematik) är sådan matematik som barn lär sig på egen

hand genom dagliga aktiviteter och samspel mellan människor och andra barn. De lär sig detta utan att bli tillsagda på vilket sätt de skall lära sig det. Denna form av

matematik är utan siffror och symboler (Kronqvist, 2003).

2.2 Styrdokument för förskolan

Socialstyrelsens råd har tidigare varit vägledande för förskoleverksamheten och de har nu ersatts med Läroplan för förskolan (Lpfö 98). I dessa båda dokument finns samma syn på barns utveckling och lärande. Lek och lekfullhet är en viktig dimension i barns lärande. Genom leken utforskar barn sin omgivning och försöker att förstå sig själva och sin omvärld (Doverborg & Samuelsson, 1999).

I läroplanen för förskolan (Lpfö, 98) formuleras ”mål att sträva mot” inom olika områden. Inom området utveckling och lärande uttrycks att förskolan skall sträva efter att varje barn:

· Utvecklar sin förmåga att bygga, skapa och konstruera med hjälp av olika material och tekniker

· Utvecklar sin förmåga att upptäcka och använda matematik i meningsfulla situationer

· Utvecklar sin förståelse för grundläggande egenskaper i begreppen tal, mätning och form samt sin förmåga att orientera sig i tid och rum (Lpfö, 98 s 13).

Uppdraget för förskolan är mycket ansvarsfullt och förskolans barn har rätt till en pedagogisk verksamhet som är anpassad till varje barns behov.

Läroplanen för förskolan (Lpfö, 98) stämmer överens med grundskolans läroplan (Lpo, 94). Det betyder att hela utbildningssystemet som omfattar barn från 1 års ålder upp till 16 bygger på att alla barn och ungdomar skall utveckla likvärdig kunskap – men på olika nivåer (Doverborg & Samuelsson, 1999). Med det menas att barn i förskolan och skolan ska utveckla samma värden, normer och färdigheter d.v.s. samarbete, kritiskt tänkande, ansvarstagande, initiativförmåga, kreativitet, problemlösningsförmåga och andra kunskapsområden

(a.a.,s.1).

2.3 Barns matematiska tänkande

2.3.1. Informell matematik i barns vardag

Barn träder in i ”matematikens värld” i tidig ålder, långt innan de börjar skolan. Redan små barn blir genom egna upplevelser medvetna om matematiska aspekter i omvärlden genom egna fysiska och språkliga aktiviteter, som de utför i olika situationer i vardagslivet.

Doverborg (1987) har undersökt hur man arbetar med matematik i förskolan. Hon visar på de möjligheter som finns i den dagliga verksamheten med barn på förskolan. Att i olika sammanhang genom att till exempel prata med barn kan dessa utveckla både formuppfattning och förståelse för olika begrepp såsom volym, vikt, förmåga att bedöma storlek, längd och avstånd. Det är således i den dagliga verksamheten som barnens förståelse för de matematiska begreppen grundläggs.

Utgångspunkten i den informella matematiken ligger i flödet av idéer och handskandet med föremålen. Barn intresserar sig för olika föremål och har också olika idéer kring dessa. De leker med dem, jämför, ordnar, sorterar, jämför form, storlek och mängd (Annika Claesdotter, 2004, s.46).

Genom att sortera olika föremål blir barnet medvetet om skillnader och likheter. Leksaker i förskolan såsom klossar, bilar, djur ligger ofta i olika backar med tydliga symboler på. Detta är grunden för barns kategorisering utan att de är medvetna om det. Klossar, lego finns i olika storlekar och former. Dessa bjuder på många sätt att närma sig och förstå de olika matematiska begreppen såsom längd, höjd , eller hur många klossar som exempelvis behövs för att bygga ett hus eller ett garage.

När vi vuxna vid måltider hjälper barnen att dela maten i bitar till exempel av frukt eller kött lär sig barnen att uppfatta tidiga former av så kallade matematiska operationer såsom minskning, ökning och delning.

I förskolan finns det i den dagliga verksamheten många möjligheter att prata matematik . Detta kan ske vid dukning, bakning eller när man delar mat och frukt. Ett exempel på detta är när barnen bakar. Då kan pedagogerna prata om hur man mäter upp olika ingredienser till degen eller hur många bullar det finns i varje rad på plåten.

Barnens målningar och teckningar speglar ofta de geometriska figurer de ser omkring sig. Genom att leka med olika material och former skaffar sig barnen erfarenheter av hur en form kan omvandlas till en annan form.

Barn upplever dagligen en mängd av olika matematiska begrepp såsom ett par av olika slag till exempel av skor, stövlar och vantar. Det är viktigt att pedagogerna på förskolan uppmärksammar alla de möjligheter som ges för att träna barnens matematiska tänkande.

2.3.2. Bishops sex fundamentala matematiska aktiviteter

Alan Bishop (1991) har formulerat sex fundamentala matematikaktiviteter. Genom dessa grundläggande aktiviteter får vi en bredare och mer mångsidig uppfattning om vad matematik är och hur den kan framstå för barn.

Förklaring och argumentation

Barn tänker och diskuterar. Deras tankar uttrycker de med hjälp av ord.

Lokalisering

Barn behöver lära sig att kunna hitta vägar till exempelvis förskola och hem. De bör också lära sig om placering, när till exempel ett visst föremål ligger på hyllan eller under bordet.

Design

Form hjälper barn att skilja mellan olika saker. Formen är viktig när de bygger en koja eller ett hus, oavsett om den byggs på mark eller uppe i något träd. Design och konsthantverk ger ett stort antal exempel på former och mönster som är uppbyggda enligt matematiska symmetrier.

Räkning

Barn räknar på fingrarna och visar hur gamla de är. De läser upp tal, spelar spel med moment innehållandes räkning och tal.

Mätning

Barn mäter varandra; vem som är längst och vem som är kortast. De får en uppfattning om vad volym är, när de till exempel leker med hinkar i sandlådan. Barn funderar kring tid; ”när är det dags för middag?” eller ”när blir jag hämtad på förskolan?”. Vid bakning är det viktigt att kunna läsa av decilitermåttet när man skall följa receptet.

Lekar och spel

Beroende på ålder, leker barn på olika sätt. Dessutom beror det på i vilken situation de befinner sig. Spel kräver ibland att barn måste kunna argumentera och förklara sitt handlande.. Detta är en viktig del av matematiken.

2.3.3. Pedagogens roll/förhållningssätt till matematik

Krav ställs på pedagoger att i sitt arbete synliggöra matematik i vardagen. Det krävs en medveten, seende pedagog som reflekterar över all den matematik som finns runtomkring dem. Genom att ”peka på” och göra barn uppmärksamma på olika företeelser kan deras matematiska tänkande utvecklas vidare. Genom att vara intresserad av och ta reda på hur barnen tänker exempelvis genom att prata med dem och låta dem genomföra matematiska övningar får också pedagogen syn på mångfalden och de variationer, som finns hos barnen i deras logiska tänkande. På det sättet kan pedagogen hjälpa barnen att utveckla deras matematiska tänkande (Doverborg & Pramling, 1995). Detta är bra grund att bygga en pedagogisk verksamhet på.

I ett flertal undersökningar framkommer att förskollärarna har olika syn på hur matematik kommer in i förskolans verksamhet. Vissa lärare fångar matematik i vardagen medan andra organiserar situationer för lärande (Ahlberg, m.fl., 2000).

Doverborg (1987) har genomfört en intervju- och enkätstudie av förskolepersonalens sätt att tänka om matematik i förskolan. I studien framkommer att pedagoger har tre skilda sätt att se på hur/om man kan arbeta med matematik i förskolan och hur barn skaffar sig matematiska kunskaper:

· Matematik är inte någonting för förskolan – matematik i förskolan uppmärksammas inte av lärarna och de tycker att matematiken tillhör skolan, då måste barn lära sig räkna.

· Matematik ses som aktivitet i sig – dessa lärare tycker att matematik är en skolförberedande aktivitet som startar året innan barnen börjar skolan. Barns aktiviteter i förskolan läggs på en enklare nivå.

· Matematiken kommer in som en naturlig del i alla situationer – lärarna planerar inte speciella situationer för barns inlärning utan tror att de för in matematiska begrepp i verksamheten när barnen dukar, spelar spel etc.

En intressant undersökning gjordes av Elisabeth Doverborg och Ingrid Pramling Samuelsson (1999). I denna undersökning ställdes frågor till pedagoger som arbetade i

förskolan, förskoleklass och i första klass. Frågorna löd: ”Vad är matematik i förskolan, förskoleklass och i första klass och hur skall man arbeta med detta innehåll?”. Man kan säga att det finns likheter och skillnader mellan Doverborgs tidigare studie (1987) och denna aktuella studie. Likheter mellan studierna är sådana att när det gäller förskolans pedagogik så skiljer sig inte i pedagogernas utsagor om matematik idag från vad som framkom för tio år sedan. Däremot finns skillnad mellan förskolan och skolan och matematik är inget definierat självklart och utvecklat innehåll i förskolan.

2.3.4. Problem och problemlösning

I vardagen använder vi ofta ordet problem, när vi ställs inför olika svårigheter av personlig karaktär. I Norstedts: Svensk Ordbok (1999) definieras ordet problem på två olika sätt: Det är en svårighet som kräver ansträngning för att komma till rätta med. Men det är också en uppgift som kräver tankearbete och analytisk förmåga (s. 934).

Magne (2002) menar att problemlösning betyder att man resonerar logiskt genom att använda sig av språket, där man gör sina tankar hörbara och synliga. På detta sätt hör språket och problemlösningen samman. Det är språkets logiska användning som har en avgörande betydelse i problemlösning.

Ahlberg (1994) anser att förmågan att lösa problem har alltid betraktas som ett måste i samhället. Vidare påpekar Ahlberg att under det sista decenniet finns ett stort intresse för problemlösning inom forskningen om inlärning och undervisning i matematik. Matematik är, enligt Ahlberg, ett medel för att lösa problem och matematiska problem är en del av en mängd problem som vi alla ställs inför i livet. Det är viktigt att barn får förståelse för detta. Ju förr desto bättre.

Dagligen träffar barn på olika problem som de försöker lösa på olika sätt med hjälp av olika informella strategier. Barn har en naturlig problemlösningsförmåga och denna skall de få hjälp att utveckla (Ahlberg, 2000).

I barnens och förskolans värld betyder problemlösning så enkla handlingar som exempelvis matbordets dukning, lägga leksaker i rätt skåp eller dela upp frukten.

Barnen förankrar matematikinlärningen i de vardagliga situationerna och utnyttjar vardagsproblemens möjligheter. När barnen är aktiva i samtal om vardagsproblem, utvecklas deras problemlösningsförmåga (Magne, 2002).

Att lösa en uppgift betyder det att man inte direkt vet lösningen utan tvingas ta sig förbi något ”hinder” och ofta menas med det att det inte är uppenbart för hur man skall gå tillväga. Eftersom barn har olika erfarenheter är problemlösning en relation mellan barnet och problemet (Ahlberg, 2000). Det betyder att de barn som har mer erfarenhet av problemlösning ser detta som rutin, medan andra har svårigheter och är tvungna att anstränga sig mer.

Många förskolebarn kan lösa problem men de kan inte uttrycka räkneoperationen med skriftliga matematiska symboler. De problemlösningar som barn ägnar sig åt i förskolan, utan att vara medvetna om att det är ”matematik”, är mycket betydelsefulla för att barnen skall utveckla förståelse för innebörden i tal och räkning. Det är bra att barnen i det tidiga mötet med matematiken kan förebygga de svårigheter som de eventuellt möter senare i skolan. De borde då arbeta med varierande problemlösningar och på det sättet utveckla sina problemlösningsstrategier. De måste också vänja sig vid att det kan ta tid att lösa en problemuppgift och inte ge upp om de inte direkt vet hur de skall hantera den (a.a.).

2.3.5. Att rita och berätta - problemlösning

”Att möta matematiken i förskolan” av Ann Ahlberg (1994) är en studie där lärarna arrangerar inlärningstillfällen i matematik och på ett naturligt sätt uppmärksammar matematiken i det dagliga arbetet och involverar barnen i problemlösande aktiviteter. Studien beskriver hur sexåringar upplever tal och räkning samt hur de löser problem med hjälp av matematiskt tänkande. Tre förskolegrupper med totalt 50 sexåringar uppdelade i små grupper arbetade med problemlösning en gång i veckan under 20 veckor. Under denna tid löste barnen problem med innehåll som hade anknytning till deras erfarenheter och föreställningsvärld. Med hjälp av att rita och berätta får barnen

möjligheter att lära sig tänka matematiskt. Barnen upplever att de kan att lösa problem på olika sätt och de får också tillfälle att uppmärksamma sitt egna tänkande och lärande. Undersökningsresultatet visar att sexåringarnas problemlösningsförmåga förbättras vid lösning av problem när lärarna problematiserar undervisningen och låter barnen använda bild och berättande. När barnen får utrymme för lärandet genom att de ritar och berättar om sina olika lösningssätt i gruppen får de möjlighet att se problem ur olika perspektiv.

2.3.6. Barnets matematiska utveckling

Enligt Kronqvist (2003) genomgår ett barn olika stadier i utvecklingen av sitt matematiska tänkande. Här nedan presenteras de olika benämningarna på utvecklingsstadierna och vad dessa innebär:

Magikern - om rabbling

Barn roar sig med att räkna olika föremål de träffar på. Spontant sorteras sakerna efter färg eller annan egenskap och räknas. Redan barn i 3 – årsåldern brukar räkna antal föremål i olika högar och tycker det att det är roligt. Barn leker med räkneord. Yngre barn lyssnar gärna på äldre barn som är deras förebilder och lär sig räkneramsor av dem. I räkneramsan ger barnen varje föremål ett räkneord, ett två, tre. Det är inte viktigt om räkneorden inte kommer i ordning eller upprepas. När ”magikern” illustrerar antal och översätter det till en bild, så ritas den av, exempelvis är det tre dockor som skall översättas till en bild så ritar magikern av tre dockor på papper som liknar verkligheten .

Ordina ltalstänkaren - om parbildning

Fingrarna fungerar som hjälp när barnet befinner sig i detta stadium och varje föremål motsvarar en siffra. Barnet parar ihop föremål med siffror och använder räkneorden ordinalt. Detta betyder att när barnet säger tre, då menar det inte antalet tre, utan den tredje i ordningen.

Kardinaltalstänkaren - om antalsförståelse

I detta stadium ger barnet varje föremål ett räkneord (siffra) som anger antal och är fortfarande i behov av det konkreta för att räkna. Barnet har fått en antalsuppfattning

och förstår att det sist sagda räkneordet säger om hur många föremål är totalt. Räkneordet har fått kardinalitet i stället för att bara ordinalt beteckna det sista föremålet (Kronqvist, 2003, s.21). Kardinaltal är det samma som grundtal.

Talanvändaren

Barnet har utvecklat taluppfattning och behöver inte det konkreta för att räkna. Barnet kan tänka abstrakt och genomför sina uträkningar i huvudet och kan skriva ned antalet av något.

2.4 Teorier kring barns utveckling och lärande

2.4.1. Tankeutvecklingens fyra stadier

Piaget (1969) delar in barnets utveckling i fyra stadier, vilka är åldersrelaterade och uppbyggda på ett sätt som gör att barnens tänkande i en viss fas delvis skiljer sig från tänkandet under en annan fas.

· Det sensomotoriska stadiet (0 -2år) - barnet använder sina sinnen och sina

motoriska färdigheter för att förstå omvärlden. Barnet lär sig att ett föremål finns även om det inte syns. Barnet börjar minnas och kan i fantasin ta fram olika erfarenheter.

· Det preoperationella st adiet (2 -7år) – barnet använder symboliskt tänkande

inklusive språk för att uppfatta och förstå världen. Barnet ser omvärlden ur sitt eget perspektiv dvs. egocentriskt.

· Det konkret operationella stadiet (7 -11år ) - barnet har utvecklat ett systematiskt

och logiskt tänkande. Detta sker bara i samband med konkreta faktorer dvs. operationerna är alltid knutna till den konkreta föremål och uppgifter. Barn som har de konkreta föremålen framför ögonen kan de t ex. ställa upp i ordningsföljd, klassificera dem, jämföra och dra slutsatser.

· Det formellt operationella stadiet (från cirka 11 år) – barnet kan tänka över abstrakta saker och hypotetiska begrepp.

Enligt Piaget (1969) går alla barn igenom dessa fyra stadier i tur och ordning.

Utvecklingsstadier anses vara svåra att tillämpa i undervisningen. Det är svårt att åtskilja utveckling och inlärning eftersom de är ömsesidigt beroende av varandra. Piaget teorier har fått kritik på grund av de förbiser individens känslomässiga och sociala utveckling.

Enligt Piagets teori tänker barn logiskt i det konkreta operationella stadiet (7-11 år) och abstrakt tänkande förekommer i det formella operationella stadiet (från ca 11 år). Barnen i min undersökning är mellan 5-6 år gamla och enligt Piagets teori om barnets utvecklingsstadier befinner de sig i det preoperationella stadiet det vill säga de använder sig av symboliskt tänkande och använder sig av språket för att förstå omvärlden.

2.4.2. Socialkulturell syn på den kognitiva utvecklingen

Lärandet kan ses som ett samspel mellan individen och den sociala omgivning som individen befinner sig i. På detta sätt blir individens utveckling ett resultat av en interaktion mellan individen och sin sociala miljö (Vygotsky 1962; 1978). Det sociala samspelet mellan människor är grunden för begreppsbildning och för förmågan att skapa tankestrukturer.

Den proximala utvecklingszonen i Vygotskijs teori betonar att när barnet får hjälp och vägledning från andra och mer erfarna personer, det kan vara vuxna eller kamrater, kan barnet prestera mer än vad det kan åstadkomma på egen hand. På så sätt kan barn också hjälpa varandra och använda mer avancerade ansatser i exempelvis problemlösningssituationer. De får de tillfälle att öva i en social kontext (Pramling & Sheridan, 1999).

Språket har stor betydelse för all inlärning och menar att allt tänkande har sitt ursprung och utvecklas i relationen med andra människor. Språket leder barns utveckling framåt och språket utvecklas i ständigt pågående dialektik (Vygotsky 1962; 1978).

I min undersökning arbetar barn i en grupp med problemlösning och i det sociala samspelet mellan dem skapar de grunden för begreppsbildning och tankestrukturer. De lär sig av varandra och deras språk utvecklas kontinuerligt.

2.5 Centrala begrepp

I min undersökning använder jag mig av följande begrepp:

Undersökningsgruppen: Fem - och sexåringar – dessa barn är mellan fem och sex år

gamla som deltar i förskoleverksamhet under perioden 2005/2006 i Malmö Stad.

Problemlösning – Att möta en svårighet som kräver ansträngning för att komma till

rätta med. Det kan vara en uppgift som kräver tankearbete. Det är ofta inte uppenbart för barnet hur det skall gå tillväga. Eftersom barn har olika erfarenheter blir problemlösningsförmågan hos det enskilda barnet ”en relation mellan barnen och problemet”. För vissa barn är problemlösning en stor ansträngning och för andra bara en rutin.

Problemlösning med matematiskt tänkande – Med detta menar jag att barn löser

problem med hjälp av matematiska symboler och siffror.

Problemlösn ing utan matematiskt tänkande – Med detta menar jag att barn hittar någon

lösning på problemet utan att använda sig av matematiska symboler och siffror.

3. Problemprecisering

Syftet med detta arbete är att beskriva hur en grupp barn i åldern 5-6 år, som går på en förskola i Malmö, uppfattar vardagsmatematik (informell matematik) och hur de löser problem med hjälp av matematiskt tänkande.

Med denna undersökning vill jag hitta svar på följande frågeställningar:

· Hur tänker barnen när de löser vardagsproblem med hjälp av räknande?

· Hur uppfattar barnen begreppet antal?

· Hur löser barnen problem utan hjälp av symboler och siffror?

4. Metodbeskrivning

4.1 Metodval

Min undersökning är en beskrivning av hur barn de tänker kring räknandet, hur de uppfattar antal och hur de löser problem med eller utan hjälp av symboler och siffror. Undersökningen kan betecknas som en fallstudie. Enligt Repstad (1999) är fallstudie (”case study”) en situation eller ett fall som studeras. I detta arbete studerar jag barn som befinner sig i flera situationer (arrangerade situationer) när de svarar på frågor och löser problem med hjälp av matematiskt tänkande.

I denna undersökning har jag använt mig av metod som innefattar intervjuer med barn och öppna observationer. Intervjun bygger på olika typer av frågor, som kräver villighet av individen att svara på. Lika viktigt är att skapa bra kontakt med den man intervjuar under intervjun (Patel & Davidson, 2003).

Barnintervjun kännetecknas av en bra kontakt med barnen, eftersom man utan deras samarbetsvilja inte får bra eller tillräckligt med information. Dessutom måste barnintervjun få karaktär av ett samtal och inte av ett förhör. Ju mer intervjun får karaktär av att vara samtal, desto mer villiga blir barnen att dela med sig av sina tankar (Doverborg & Samuelsson, 2003, s. 34). Intervjufrågorna ställda till barnen har jag utarbetat med hjälp av Doverborgs (1987) tankar om barnintervjuer och varje fråga ställdes på samma sätt till varje barn.

Observation är den andra metod jag använde mig av i denna undersökning och den är vårt främsta medel för att få fram information om någonting som händer runt oss eller hur människor beter sig i olika situationer. Enligt Repstad (1999) finns det öppen eller dold observation. I en dold observation berättar man inte för aktörerna att man är forskare och att man gör observationer däremot i en öppen observation berättar man vad man gör (s. 28). I min undersökning valde jag en öppen observation och i praktiken innebar detta att ”aktörerna” det vill säga min undersökningsgrupp visste om att jag gjorde mina observationer och skrev ned anteckningar. Ingen av barnen undrade varför jag gjorde detta.

Analysen av det insamlade materialet baseras på tolkning och förståelse av insamlade data. Att jag valde min undersökningsmetod berodde på mina formulerade frågeställningar som i mitt fall handlar om hur barn tänker kring räknande och antal och hur de löste problem med eller utan hjälp av symboler och siffror. Metoden handlar om att tolka och förstå barnens tänkande och upplevelser i samband med att de löste matematiska problemen.

4.2 Undersökningsgrupp

Till undersökningen valde jag sex barn som ingår i min ordinarie barngrupp på den förskola, där jag arbetar dagligen. Förskolan är belägen i stadsdelen Limhamn – Bunkeflo. Förskolan består av två hus med sammanlagt sex avdelningar; fyra avdelningar med barn i åldrarna 1-3 år och två avdelningar med barn i åldrarna 4-5 år. De senaste åren fördjupade sig förskolan i Reggio Emilia pedagogiken vems främsta mål är att stimulera barnen och att träna alla deras sinnen.

Jag valde tre flickor och tre pojkar i åldrarna 5-6 år. De sex barnen har fått en ny identitet i det här arbetet; Pojkarna benämns barn A, B och C och flickorna heter barn D, E och F. Denna fördelning tyckte jag var bra, nämligen att jag fick samma antal representanter från båda könen. Med denna grupp bestod av svenska barn utom ett som har invandrarbakgrund (fött i Sverige, med icke svenska föräldrar), arbetade jag 1 gång/vecka under fem veckors tid. Alla barn hade ett positiv inställning till våra arrangerade träffar för att prata kring matematik och lösa problem med matematiskt innehåll.

Dessa barn känner varandra mycket väl och har gått i samma förskola i flera år. Barnen bor nära förskolan och de flesta har äldre syskon som går i skolan. Alla dessa barn kommer att börja i förskoleklass till hösten.

4.3 Genomförande

Den utvalda gruppen har deltog i intervjun och svarade på tre frågor kring räknande. Intervjuernas längd varierade mellan 10 – 15 minuter och under tiden använde jag mig av block och penna för att skriva ned barnens svar. Samtliga intervjuer samt övningarna som illustrerar antal genomfördes individuellt däremot problemlösningsuppgifterna genomfördes i grupp . Övningar som visar hur barn illustrerar antal har jag utarbetat med hjälp av Doverborg (1987) däremot problemlösningsuppgifterna utgick från Ahlbergs (1994) tankar om hur barn löser problem.

Problemlösningsuppgifterna var uppdelade i två kategorier. I första kategorin fanns två uppgifter som barnen löste utan symboler och siffror och i andra kategorin finns fyra uppgifter och barnen löste med hjälp av symboler och siffror. Barnen fick tillgång till papper och pennor för att utföra sina uppgifter. Därefter lästes problemet upp. Efter uppläsningen av problemet samtalade jag med barnen om probleminnehållet så att alla barn visste vad problemet handlade om. Varje barn ritade sin problemlösning på papper och sedan presenterade och berättade de om den för de andra barnen. Under tiden fick barnen samtala med varandra och titta på varandras teckningar.

4.4 Forskningsetiska överväganden

Vetenskapsrådet (1991) betonar att forskning är viktigt och nödvändigt för både individernas och samhällets utveckling. När man genomför forskning skall man tänka på att det finns krav man måste uppfylla för att skydda individer som medverkar i forskningen. Det grundläggande individskyddskravet kan enligt Vetenskapsrådet konkretiseras i fyra allmänna huvudkrav på forskningen: informationskravet, samtyckeskravet, konfidentialitetskravet och nyttjandekravet.

Före undersökningen tillfrågades barnen och deras föräldrar om deras barn får delta i undersökningen. Föräldrarnas inställning till den planerade undersökningen var positiv likaså barnens. Allt material som jag samlade ifrån observationer och intervjuer är konfidentiell och det betyder att jag vet vem som deltagit och bidragit i undersökningen

4.5 Analystankar

När jag har gjort alla mina intervjuer och observationer var det dags att bearbeta allt material jag fått in. Det första jag gjorde var att jag läste barnens svar på frågorna. Svar på varje fråga behandlade jag separat, och letade efter likheter och skillnader i barnens svar. Utifrån dessa svar tolkade jag barnens tankar, citerade vissa barns svar på

frågorna och drog slutsatser.

Barnens uppfattning kring antal (övning) är tolkat utifrån deras teckningar och med utgångspunkt av Karl-Åke Kronqvists (2003) beskrivning av barns matematiska utveckling.

Mina observationer skrev jag ner i form av anteckningar som tillsammans med barnens teckningar blev ett bra underlag för att tolka barnens upplevelser kring problemlösning. Varje problemlösning tolkade jag separat och drog slutsatser.

Under tiden som jag tolkade och drog slutsatser av barnens svar på uppgifterna använde jag mig av litteratur i kunskapsbakgrunden och jämförde med min empiri, för att lättare förstå det material som jag samlat in.

Slutprodukten av min bearbetning är en del av mitt arbete under rubriken: Resultat . Det är en text som innehåller valda citat från intervjuer, observationsanteckningar, barns teckningar, egna kommentarer och tolkningar.

5. Resultat

I denna del kommer jag att redovisa hur min undersökningsgrupp, som består av barn mellan 5-6 år, löser vardagsproblem med hjälp av matematiskt tänkande. Jag utgår från mina frågeställningar i syftet:

· undersökningsgruppens svar på frågor kring räknande – intervjuer

· undersökningsgruppens uppfattning om antal - observation

· undersökningsgruppen löser problem med hjälp av symboler och siffror - observation

· undersökningsgruppen löser problem utan hjälp av symboler och siffror - observation

5.1 Undersökningsgruppens svar på frågor kring räknande

Syftet med barnintervjuer har varit att få veta barnens egna tankar kring ämnet.

Barn fick svara på tre frågor kring matematik:

1. Berätta, varför är det bra att kunna räkna? 2. Kan du förklara hur gör du när du räknar? 3. Berätta för mig när brukar du räkna?

Alla intervjuade barn räknade både i förskolan och hemma. Min tolkning är att dessa barn är medvetna om att räkning i vardagen har praktisk innebörd, de anknyter till situationer där de har praktisk nytta av räkning. De ger exempel på nyttan av räkning, bl. a. så vet man hur många saker man har, hur mycket pengar man har i sin plånbok, hur många gosedjur man har eller så vet man hur många veckodagar en vecka har. Barnen förstår att räkning är viktigt ämne som de borde kunna när de senare går i skolan.

Alla intervjuade barn kunde tydligt svara på frågan ”hur gör du när du räknar?” Barnen svarade bl. a. när de räknar så säger de ett, två, tre, räknar sina fingrar, räknar i huvudet, ritar siffror och cirklar (nollor).

Något barn svarade på frågan: ”varför är det bra att kunna räkna” på följande sätt:

Det är bra att man kan räkna, då lär man sig alfabetet och läser bokstäver, jag kan räkna upp till tio

(barn E).

Det är enligt flera forskare inte ovanligt att barn blandar ihop siffror med bokstäver (Doverborg, 1987). När man räknar lär man sig mycket och det är nyttigt svarade något av barnen (barn C). Barnen tycker om att räkna, det är roligt.

De svaren jag fått av intervjuade barn stämmer överens med Solem & Reikerås (2004). Där beskriver författarna varför barn räknar på följande sätt:

· För de har användning för det

· När det är meningsfullt för dem

· För att det är roligt

· För att alla andra omkring dem gör det

5.2 Undersökningsgruppens uppfattning om antal

Jag placerade fyra legogubbar på bordet. Till förfogande hade barnen papper och penna. Varje barn skulle svara på frågor i samband med denna övning:

· Berätta vad du ser?

· Kan du skriva eller rita antalet gubbar, så att vi inte glömmer bort det?

Syftet med den övningen är att kunna illustrera antal . I den analysen använde jag barns matematiska utveckling utifrån Karl-Åke Kronqvist beskrivning (2003).

Alla sex barnen kunde ange rätt antal föremål efter det att de har räknat dem. Två barn sade att de inte kunde skriva och ville rita istället. Fyra av barnen kunde skriva siffror.

Jag kan konstatera att två barn befinner sig i fasen magikern, avbildar verkligheten och översätter den till bild, antalet gubbar redovisas och alla fyra gubbarna ritas av. Dessa barn illustrerar i bild ett antal, de avbildar utan att symbolisera. Dessa barn behöver utgå från konkreta handlingar för att förstå sin omvärld.

Ett av barn befinner sig i fasen kardinaltänkare. Detta barn (E) döper de föremål (gubbar) som de illustrerar med en siffra för varje föremål genom att skriva 1, 2, 3, 4, och det vet att sista siffran fyra inkluderar de tre föregående och svarar att det är fyra legogubbar på bordet. Detta barn är på väg mot det abstrakta tänkandet.

Tre barn B, C, och F befinner sig fasen talanvändaren. De skriver ned antalet gubbar på papper (skriver siffran fyra ). Dessa barn har utvecklat sin taluppfattnig och behöver ej längre verkligheten till hjälp för att göra sina uträkningar. De barnen har utvecklat ett abstrakt tänkande och kan skriva ned antalet av något.

I denna övning kan jag se hur barns tankar utvecklas. Vissa barn ritar av föremål och andra använder vårt numeriska system. Barns bilder visar att barnen har en idé om hur man kan illustrera antal långt innan de har en antalsuppfattning och denna förväntas man att ha när man börjar räkna i skolan.

I denna övning ”Att illustrera antal” hierarkiseras barns sätt att tänka det vill säga från det primitiva - att rita föremål - till det abstrakta nämligen att använda sig av vårt numeriska system (Doverborg, 1987).

Min slutsats är att man ser tydligt i vilken matematisk utvecklingsfas de intervjuade barnen befinner sig i.

Jag tycker också att beskrivningen av olika faser i barns matematiska utveckling av Karl-Åke Kronqvist (2003) är mycket bra och lätt att använda i praktiken.

5.3 Undersökningsgruppen löser problem utan hjälp av

symboler och siffror

Problem 1 och 2 skall de sex barnen tillsammans i en grupp vid två tillfällen, lösa utan att använda matematiska symboler och siffror. Mötena arrangerar jag själv på förskolan. Problemen har inte något matematiskt innehåll och har anknytning till barnens verklighet och föreställningsvärld. Syftet med dessa uppgifter är att utmana barnens kreativitet och fantasi.

Problem1

”Kalle och Lisa är på stranden och plockar stenar. När ryggsäcken är full med stenarna tänker de gå hem. Hemma delar upp barnen stenarna. Hur tror du att barnen delade upp stenarna, hur många stenar fick Lisa och hur många fick Kalle?”

För att komma ihåg sin lösning får varje barn papper och penna för att presentera sin lösning för sina kamrater.

Det första problemet, som barnen fick arbeta med, var att tänka ut lösningen på hur två barn, Kalle och Lisa, skulle dela ett antal stenar. Detta problem kunde lösas med ett matematiskt innehåll, som även kunde lösas utan beräkningar. Barnen ritar teckningar och berättar om sina lösningar. De flesta barn väljer att lösa detta problem med att ange antal stenar (utom två barn som hade problem med räkningen).

Fem av barnen förstår problemets innebörd som att ”dela lika” utom ett barn som delade stenarna ”olika”. Variationen är mycket stor när det gäller barnens problemlösningsförmåga. Analysen av barnens bilder visar mångfalden i deras tänkande. Vissa barn skriver siffror, andra ritar stenar. Vissa barn gör beräkning (uppskattar) d.v.s. de nämner ett antal stenar utan att de gör någon beräkning. Två barn hade problem med räkningen och nämnde inte antal stenar. Ett av barnen nämnde stora tal (24 och 27).

Figur 2 Exempel på bilder som barn ritat vid övningen: ”Problemlösning utan matematiskt

innehåll”, ”Att dela stenar mellan Lisa och Kalle”.

Förskolebarn har erfarenheter både från hemmet och förskolan när det gäller ”att dela” och orden har ofta en social innebörd (a.a.). När man utgår ifrån barnens erfarenheter innebär ”att dela” att något skall fördelas rättvist, och det är rättvist att varje barn får lika många eller lika mycket var och en.

Jag kan konstatera att fyra av de sex barnen har använt matematiskt tänkande i denna problemlösning och gav ett tal som svar på problemlösning. De två barnen hade problem med att räkna antal, angav inga siffror och delade lika.

Problem 2

”Det är en varm och solig sommardag. Kalle och Lisa är på stranden och tänker sig ta ett dopp i havet. Det är verkligen varmt. Kalle tar av sig sin blå tröja och byxor och Lisa tar av sig sin blommiga sommarklänning. Kläderna lägger barnen på handdukarna och springer till vattnet. Efter en lång stund känner Lisa och Kalle att det börjar bli kallt i vattnet och de fryser. När de kommer tillbaka till handdukarna, upptäcker de att deras kläder är borta. Vi måste försöka ta reda på vad som hänt med dem. Vad tror du som hände med Lisas och Kalles kläder?”

Barnen instrueras att rita sin egen lösning på ett papper och sedan presentera vad de ritat för hela gruppen.

Det andra problemet som barnen fick arbeta med var att tänka ut en lösning till vad som hände med Lisas och Kalles kläder medan de badade i havet. Alla barnen ritade en lösning på problemet och berättade om den. Barnens teckningar visar på stor variation i deras tänkande.

Figur 3 Exempel på bilder som barn ritat vid ”Problemlösning utan matematiskt innehåll”,

”Vem tog Lisas och Kalles kläder?”. Barn refererar till människor (tjuv), naturfenomen (vind) och djur (ko).

Barnen refererar i sina lösningar på problemet till djur, människor, fiskar och naturfenomen.

Det finns stort intresse för olika slags djur hos förskolebarn. De älskar djur och önskar sig något djur att ha hemma. Detta framkommer i barnens teckningar. Det är en kanin, en katt, en ko eller en bläckfisk som tog barnens kläder. Något av barnen refererar sin lösning till naturfenomen och uppfattar att det var en vind som orsakade att barnens kläder försvann. Något av barnen refererar sin problemlösning till människor och sa att det var en tjuv som tog barnens kläder.

De stora variationerna i barnens lösningar på problemet tyder på att de hade olika sätt att lösa problem. När barnen presenterade sina lösningar för varandra kom de fram att varje barn hade sin egen lösning på problemet, och konstaterade att det blev sex olika lösningar på samma problem.

5.4 Undersökningsgruppen löser problem med hjälp av

symboler och siffror

I dessa fyra problemlösningar skall barn lösa problem med hjälp av siffror och matematiska symboler. Även dessa problem har en anknytning till barnens erfarenheter och föreställningsvärld.

Problem 1

Första problemet handlar om 10 klossar som skall fördelas och läggas i tre högar. Fyra barn fördelar klossarna olika, medan två barn fördelar lika och de slänger den tionde klossen med förklaring att det inte går att dela på annat sätt.

Min tolkning är att alla sex barn förstod problemets innebörd ”att dela”. De barn som delade lika hade utgått ifrån rättviseprincipen och för dessa barn var det socialt och inte matematiskt problem att lösa. Dessa barn förstod inte riktigt begreppet ”dela” som det

De fyra barn som delade olika förstod att man kan dela olika utifrån andra principer och inte enbart utifrån rättviseprincipen. I detta exempel hade barnen en strategi för att räkna ut problemet. Faktum var att de hade något konkret som de kunde flytta och lägga i tre högar och det konkreta (klossar) blev en hjälp vid räkningen.

Problem 2

I andra problemlösningen skall sju äpplen fördelas på sex barn. Barnen tänkte och delade på samma sätt som i föregående uppgift. Barnen handskades med konkret föremål, ett äpple som de delade i bitar och räknade.

Fyra barn delade äpplen lika. Två barn delade äpplen olika. Min tolkning är att alla barn förstod problemets innebörd ”dela”. Fyra barn hade delat lika och tänkte utifrån rättviseprincipen, de andra två barn delade olika och förstod att man kan dela också på annat sätt. Barn som delade lika ifrågasatte inte de andras uppdelning utan accepterade det. De barn som delade olika hade inga invändningar mot de andra.

I dessa två problemlösningar ser vi tydligt att barnen gjorde en uträkning, även om de inte gjorde det genom att använda de skriftliga formella talsymbolerna. Alla barnen löste en divisionsuppgift , först med klossar, sedan med äpplen.

Problem 3

Barnen skall få sex kakor, men får först bara två, vilka läggs upp på bordet. Sedan får de en fråga: - ”Hur många kakor skall du ha till så att det blir sex?"

Den tredje problemlösningen är ett subtraktionsproblem och barnen löste det problemet genom att räkna sig fram till hur många som fattas. I denna problemlösning deltar fem barn, det sjätte barnet deltog ej.

Två barn löste uppgiften i huvudet och ett av dem berättar att han först löste uppgiften i huvudet och sedan ritade svaret på papper och svarade att det fattades fyra kakor. Det

andra barnet löste också uppgiften i huvudet och sedan skrev siffror två och fyra och svarade att det fattades fyra kakor. Det tredje barnet använde sig av fingrarna och räknade framåt bara de kakorna som fattades, räknade från tre upp till sex och svarade att det fattades fyra kakor. Det fjärde barnet hade svårt att lösa uppgiften, härmade kompisarna och svarade rätt på uppgiften. Det femte barnet gav inte det rätta svaret på uppgiften utan svarade att det fattades sex kakor. Under räkneoperationen brydde sig inte barnet om de två kakorna som det fått innan, utan svarade att det fattas sex stycken kakor.

Detta tolkar jag på följande sätt: barnet uppfattade inte den matematiska strukturen i problemet som innefattade två aspekter, det första var två kakor som låg på bordet och den andra att man måste räkna fram de kakorna som fattades. Barnet uppfattade bara en del av uppgiften och var inte moget att lösa problemet.

Slutsatsen är att barn använder olika strategier för att ta reda på ”hur många” och ofta är räkning ett centralt moment. Barnen löste uppgiften på olika sätt. De använde sig av det konkreta exempelvis använde sig av sina fingrar, ritade, tittade på sina kompisar eller löste det själv i huvudet.

Problem 4

”I ett rum finns det två bord. Vid varje bord sitter fyra barn. Hur många barn finns det i rummet?”

Det fjärde problemet är multiplikationsuppgift och i denna uppgift deltog fem barn (ett av barnen deltog inte). För att lösa detta problem måste barnen uppfatta den matematiska strukturen i problemet som innefattar två aspekter. Den första är att det finns två bord, och den andra att det sitter barn vid varje bord. Barnen måsta också uppmärksamma talen som är relaterade till varje aspekt.

Figur 4 Exempel på bilder som barn ritat vid ”Problemlösning med matematiskt innehåll”, ”Hur

Tre barn löste problemet korrekt, och det var samma barn som använder siffror. Det första barnet ritade två bord och fyra barn vid varje bord. Han skrev på teckningen hela operationen i form av en addition: 4 + 4 = 8.

Det är vanligt att barnen skriver siffror och gör uträkningar på sina bilder enligt Ahlberg (1994). Det andra barnet ritade två bord och fyra streck vid varje bord, förklarade att streck det är samma som ett barn, och vid sidan om skrev han siffran åtta och sa att det är åtta barn som sitter i rummet. Det barnet förstod också att varje streck han ritade på teckningen som representerade antalet barn, symboliserade något annat än det som han ritade på bilden. Tredje barnet ritade ett bord och åtta barn och svarade att det åtta barn i rummet.

Min slutsats är att en del av barnen (tre av fem) förstod den matematiska strukturen i problemet och andra barn hade svårt att förstå och ritade två bord och fem barn eller ritade ett bord och tre barn. Det var bara tre av barnen som var mogna att lösa en sådan uppgift. De andra uppfattade bara en del av uppgiften.

5.5 Sammanfattning av undersökningen

· Alla intervjuade barn räknade i förskolan och hemma, de var medvetna om att räkning i vardagen har praktisk innebörd. Barnen kunde tydligt svara på hur de gjorde när de räknade.

· När alla sex barn illustrerade antal kunde de ange rätt antal föremål efter att de har räknat dem. Två av barnen befann sig i fasen magikern och det betydde att de illustrerade föremål i bild, de avbildade utan att symbolisera. Ett av barnen befann sig i fasen kardinaltänkaren , det döpte föremål och illustrerade dem med en siffra för varje föremål, genom att skriva 1, 2, 3, 4 och det visste att sista siffran fyra inkluderade de tre föregående. Detta barn är på väg mot det abstrakta tänkandet. Tre av barnen befann sig i fasen talanvändaren, de skrev ned antalet på papper i form av siffror. Dessa barn utvecklade abstrakt tänkandet.

· De sex barnen löste problem på olika sätt. Det visade sig i att deras lösningar var fantasifulla och kreativa. Det framkom en mängd av olika förslag på hur

· De förstod innebörden ”att dela” och de flesta delade lika och utgick ifrån rättviseprincipen. En del av barnen delade olika och upptäckte att de också kunde dela på annat sätt.

· De refererade i sina teckningar till djur och sällan till människor.

· När de räknade använde de sig av fingrar, konkreta föremål som klossar, äpplen.

· Några av barnen kunde räkna i huvudet utan att använda konkreta föremål.

· En del av barnen upptäckte den matematiska strukturen i problemen.

· Några av barnen skrev siffror eller hela uträkningar på sina teckningar.

· I samband med problemlösning använde alla barnen de fyra räknesätten såsom subtraktion, addition, multiplikation och division utan att vara medvetna om det.

· Barnen visade att de har en viss matematisk kompetens även om variationen var mycket stor.

6. Diskussion

Med hjälp av de genomförda barnintervjuerna och observationerna fick jag svar på mina frågeställningar. Genom undersökningen har jag försökt visa hur några barn i åldrarna 5 och 6 år i en förskola i Malmö, tänker kring räknande, att uppfatta antal och vilka strategier de använder när de löser olika problem med och utan hjälp av symboler och siffror.

För att få reda på hur barnen tänkte kring räknandet och hur de uppfattade antal, föredrog jag i min undersökning att använda mig av en enskild intervju . Min erfarenhet är att barnen tycker att det är roligt och spännande att gå ifrån gruppen och bli intervjuade en och en. Syftet med barnintervjuer är ju att få reda på hur barn tänker och uppfattar sina erfarenheter och jag tycker att jag fick svar på det.

Den andra metoden jag använde i min undersökning var öppna observationer . Observationerna var planerade och den insamlade informationen registrerades systematiskt. I de arrangerade inlärningssituationerna i skrev jag ner barnens resultat när de löste problem och dessutom mina tankar kring detta. Det var ett bra sätt att ta reda på hur barn tänker när de arbetar med problemlösning.

Barn tänker olika, har olika erfarenheter och kunskaper och uttrycker sina kunskaper på olika sätt. Jag konstaterade att barn har vissa kompetenser i det matematiska tänkande när de löste problem. De visade stor kreativitet och var mycket fantasifulla när de löste problemen som verkligen inte var enkla för barn i förskoleåldern.

Jag anser att barnen svarade och löste problemen utifrån sina erfarenheter och sin egen förmåga och att inget svar på frågan eller på problemlösning var ”fel” utan ett logiskt och naturligt handlande utifrån den utvecklingsfas barnet befann sig i för tillfället.

Barn tänker och löser problem på olika sätt och det är omöjligt att dela in barn i tydligt åldersbundna faser. Detta stämmer inte riktigt med Piaget teori (1969) om barns utveckling där barnen är indelade i regelbundna faser.

Enligt Piaget kan barnet inte tänka logiskt, förstå grunderna för antal, klassificera och tolka konkreta erfarenheter förrän det är mellan 7-11 år (det konkreta operationernas stadium). Tänka abstrakt och utföra hypoteser kan barn inte förrän vid ca 12 år ålder (de formella operationernas stadium). Piaget var biolog, vilket kan förklara hans naturvetenskapliga indelning i stadier. Min undersökning visar att en del av barn var mer kompetenta och mogna än andra och använde matematiskt tänkande i problemlösningar i lägre åldrar än vad Piaget påstod.

Gardner (1998) kritiserar Piagets sätt att dela in barns logisk – matematiska utveckling i klart regelbundna och indelade trappsteg. Han anser att övergången mellan olika nivåer är mer flytande och helhetsbilden mycket mer komplicerad än vad Piaget påstod. Barn visar tecken på operationell intelligens i betydligt lägre ålder. Jag instämmer med Gardner.

Enligt Ahlberg (1994) lär sig barn tänka matematisk när de ritar, berättar och presenterar sina lösningar på problem för varandra och samtidigt har de möjligheter att uppmärksamma sitt tänkande och lärande. Jag instämmer med Ahlberg (1994).

eget språk och genom att rita bilder. De hade nytta av att rita problemlösningar på papper och bilderna fungerade som stöd för deras tänkande. Jag anser att det är bra sätt att lära sig matematik.

Det samspelet mellan människor är enligt Vygotsky (1962; 1978) en avgörande faktor för begreppsbildning och arbete i en grupp gör det möjligt. Barnen får tillfälle att samtala om sina problemlösningar och ta del av sina kamraters lösningar, barn lär sig av varandra och blir mer kompetenta inom ett område. De tillägnar sig den kunskap som ligger inom den närmaste utveckligszonen med hjälp av andra människor. På följande sätt tolkar Alhberg (1994) Vygotskys teori: De internaliserar då kunskapen, d.v.s. gör den till sin egen, behärskar själva det som de vid ett tidigare tillfälle behövde hjälp för att klara (s. 141). I min undersökning upplevde jag att när barn löste problem för varje gång, blev de mer säkra och trygga i det de gjorde och var inte nervösa när de presenterade sina lösningar för varandra, även om svaren på lösningar var ibland olika. Jag märkte också att vissa barn hade tagit kamraternas lösningsmetoder och använt dessa vid nästa tillfälle när de löste problem.

Doverborg (1987) poängterar i sin undersökning att det finns möjligheter i det dagliga arbetet med barn på förskolan, att i olika sammanhang genom att prata med barn, kan dessa utveckla både form, uppfattning och förståelse för begrepp som volym, vikt, förmåga att bedöma storlek, längd och avstånd. Grunden för förståelse av de matematiska begreppen läggs i det vardagliga arbetet med barn. Jag håller med Doverborg.

Även Ahlberg (1994) betonar att det är oerhört viktigt att barn i tidig ålder lär sig både räkna och lösa problem. Sådana färdigheter måste man kunna i dagens samhälle. Eftersom problemlösning är en viktig del av matematiken borde barn träna och lösa olika problem redan i förskoleåldern. Med hjälp av att rita och berätta, får barnen möjligheter att lära att tänka matematiskt. Ahlbergs (1994) studieresultat visar att sexåringarnas förmåga förbättrades vid problemlösning när lärarna problematiserar undervisningen och låter barnen använda bild och berättande. Hennes resultat kunde jag bekräfta i denna undersökning.

Pedagogens roll, dess förhållningssätt till matematiken, är viktig. Det finns rika möjligheter att träna matematiska begrepp och lösa problem i det vardagliga arbetet på förskolan. Om pedagogen skapar medvetna situationer för matematisk problemlösning, ges barnen möjlighet att upptäcka den matematik som är tillgänglig i deras närmaste omgivning och utveckla sin matematiska kompetens. Detta innebär inte att pedagogen skall undervisa barnen i matematik, på det sätt som man gör i skolan. Syftet är istället att pedagogen på ett naturligt sätt skall föra in matematiken i det dagliga arbetet. Det är när barnen löser problem som de kan förstå matematikens funktion och innebörd.

Eftersom pedagogens roll och förhållningssätt till matematiken är viktig, tänker jag då på om varje pedagog verkligen är ”redo” att arbeta med matematik i förskolan och följa upp läroplanen. Enligt Karl-Åke Kronqvist (2003) måste pedagogen själv kunna de matematiska begreppen för att se hur barnet använder dem på sitt eget sätt. Annars kan hon/han inte - låta varje barn utveckla sin förmåga att upptäcka och använda matematik i meningsfulla sammanhang (Annika Claesdotter, 2004, s. 47).

Pedagogerna i förskolan borde kunna den informella matematiken. Det är en förutsättning att barn får bra vägledning i deras lärande. När man själv som pedagog kan definiera de matematiska begreppen, då kan pedagogen utveckla dem i arbete med förskolebarn och har den möjlighet att upptäcka och uppmuntra den informella matematiken som finns i barnens sätt att tänka.

När barn arbetar i en grupp med problemlösning kan det ha en positiv påverkan på individen. Problemlösningen kan vara ett medel för att:

· Utveckla social kompetens – arbetet i gruppen flöt för varje gång barnen träffades. Jag märkte att gruppen trivdes mycket bra tillsammans och tyckte om att arbeta med de problem som presenterades. Varje problemlösning gav ett tillfälle att pröva sig fram, utforska möjligheter att lösa problem och att se hur kamraterna löste problem. På det sättet kunde barnen också lära sig av varandra. Det sociala samspelet mellan människor är grunden för begreppsbildning och för förmågan att skapa tankestrukturer (Vygotsky, 1962; 1978).

· Utveckla sitt språk genom kommunikation - arbete med problemlösningar är ett tillfälle för barn att utveckla sitt språk. I detta fall genom att barnen ritade sina problemlösningar och berättade om dem för varandra. Enligt Vygotskys teori (1962; 1978) utvecklas språket i ständigt pågående dialektik (argumentationsteknik). I sin tur leder språket barns utveckling framåt.

· Det kreativa och logiska tänkandet utvecklas – varje problemlösning var ett tillfälle att tänka logiskt och vara kreativ. Att lösa problemen betydde för barn att de inte visste svaret eller lösningen direkt utan de var tvungna att ta sig förbi olika hinder och detta krävde deras logiska tänkande och kreativitet.

· Att få barn att reflektera och kommunicera genom att berätta om sina lösningar för varandra, att argumentera för sina lösningar samt att lyssna på andras tolkningar.

Barns tidiga möte med den informella matematiken (vardagsmatematiken) och problemlösning kan vara bra förberedelse inför skolan, anser jag, därför är det viktigt att arbeta med detta ämnesområde redan i förskolan. På så sätt finns det kanske möjligheter att förebygga de svårigheter som barnen kan få med bl.a. problemlösning i senare skolår.

När jag analyserar barns aktiviteter på förskolan, där jag speciellt har engagerat mig i hur barn löser problem ur ett matematiskt perspektiv upptäcker jag att de tillämpar Bishops (1991) sex fundamentala matematikaktiviteter. Sådana aktiviteter genomförs dagligen när barnen spelar spel, leker kurragömma på gården, använder tärningsspel, lägger pussel, räknar, ritar, bygger med klossar. Varje dag är full med matematik det vill säga problem som skall lösas på bästa möjliga sätt och barn är ofta duktiga på det.

6.1 Fortsatt forskning

Matematisk problemlösningsförmåga hos barn är mycket ett viktigt och intressant område som behövs utforskas ytterligare. Under arbetsgången i min undersökning, när jag tolkade och analyserade allt insamlad material dök dessa frågor upp:

· Är det någon skillnad på flickors och pojkars matematiska problemlösningsförmåga?

· Får förskolebarn som visar tecken på en god problemlösningsförmåga det lättare med matematik i senare skolår?

7. Referenslista

Ahlberg, Ann (1994). Att möta matematiken i förskolan: Rita, tala och räkna

metematik . (Rapporter från institutionen för pedagogik). Göteborg: Institutionen för

pedagogik, Göteborgs Universitet.

Ahlberg, Ann m.fl. (2000). Matematik från början. Göteborg: NCM, Göteborgs Universitet.

Bishop, Allan (1991) mathematical Enculturation. Klower:Dodrect.

Claesdotter, Annika (2004). Upptäck själv mattens magiska makt. Förskolan, (7), 46-48.

Davidson, Bo & Patel, Runa (1994). Forskningsmetodikens grunder . Lund:

Studentlitteratur.

Doveborg, Elisabet (1987). Matematik i förskolan? (Publikationer från institutionen för pedagogik). Göteborg: Institutionen för pedagogik, Göteborgs universitet.

Doverborg, Elisabet & Samuelson Pramling, Ingrid (2000). Att förstå barns tankar. Stockholm: Liber.

Doverborg, Elisabet & Samuelson Pramling, Ingrid (1999). Förskolebarn i matematikens värld. Stockholm: Liber.

Forsknin gsetiska principer inom humanistisk -samhällsvetenskaplig forskning (1991).

Stockholm: Vetenskapsrådet

Heiberg Solem, Ida & Kirsti Lie Rei Reikerås, Elin (2004). Det matematiska barnet . Stockholm: Natur och Kultur.

Howard, Gardner (1998). De sju intelligens erna . Jönköping: Brain Books.

Kronqvist, Karl-Åke (2003). Matematik på väg i förskola och skola. Malmö: Team Offset

Lpfö 98, Läroplan för förskolan (1998). Stockholm: CE Fritzes AB.

Mange, Olof (2002). Barn uptäcker matematik. Aktiviteter för barn i försko la och skola.

Umeå:Tryckeri City.

Nationalencyklopedin (1994). Höganäs:Bra Böcker.

Norstedts Svensk ordbok (1999). AIT Gjøvik AS, Norge: Norstedts Akademiska Förlag

Piaget, Jean (1969). Psykologi og pædagogik. Köpenhamn:Hans Reitzel. Svensk

översättning: Psykologi och pedagogik.

Samuelsson, Pramling, Ingrid & Sheridan, Sonja (1999). Lärandets grogrund. Lund:Studentlitteratur.

Vygotsky, Lev (1962). Thought and Language: The development of highe r psychological processes. Cambridge, Mass:M.I.T Press.