Institutionen för systemteknik
Department of Electrical Engineering
Examensarbete
Reglering av vridbord
Examensarbete utfört i Reglerteknik vid Tekniska högskolan vid Linköpings universitet
av
Dino Kapidžić LITH-ISY-EX--12/4117--SE
Linköping 2012
Department of Electrical Engineering Linköpings tekniska högskola
Linköpings universitet Linköpings universitet
Reglering av vridbord
Examensarbete utfört i Reglerteknik
vid Tekniska högskolan i Linköping
av
Dino Kapidžić LITH-ISY-EX--12/4117--SE
Handledare: Henrik Tidefelt
isy, Linköpings universitet
Peter Rosander
isy, Linköpings universitet
Jonny Georgsson
Saab
Examinator: Martin Enqvist
isy, Linköpings universitet
Avdelning, Institution
Division, Department
Division of Automatic Control Department of Electrical Engineering Linköpings universitet
SE-581 83 Linköping, Sweden
Datum Date 2012-03-08 Språk Language Svenska/Swedish Engelska/English Rapporttyp Report category Licentiatavhandling Examensarbete C-uppsats D-uppsats Övrig rapport
URL för elektronisk version
http://www.control.isy.liu.se http://urn.kb.se/resolve?urn=urn:nbn:se:liu:diva-ZZZZ ISBN — ISRN LITH-ISY-EX--12/4117--SE
Serietitel och serienummer
Title of series, numbering
ISSN — Titel Title Reglering av vridbord Control of a turntable Författare Author Dino Kapidžić Sammanfattning Abstract
This report describes a master thesis performed at Saab in Arboga. The main purpose was to build a controller for a system containing a turn table and an antenna beam. The idea is to use this system on a boat where it will be exposed to position disturbances due to waves. The desired behaviour is that antennas placed on the antenna beam should point towards the same target all the time. To solve this problem the system has been modeled and simulated in Matlab and Simulink. An LQR controller has been developed to control both electrical engines turning the turn table and the antenna beam. This report contains an analysis of the model and the controller. The conclusion from this project is that the turn table and the antenna beam can be controlled to fulfill the requirements for the system.
Nyckelord
Abstract
This report describes a master thesis performed at Saab in Arboga. The main purpose was to build a controller for a system containing a turn table and an antenna beam. The idea is to use this system on a boat where it will be exposed to position disturbances due to waves. The desired behaviour is that antennas placed on the antenna beam should point towards the same target all the time. To solve this problem the system has been modeled and simulated in Matlab and Simulink. An LQR controller has been developed to control both electrical engines turning the turn table and the antenna beam. This report contains an analysis of the model and the controller. The conclusion from this project is that the turn table and the antenna beam can be controlled to fulfill the requirements for the system.
Sammanfattning
Denna rapport beskriver ett exjobb som har genomförts på Saab i Arboga. Uppgift-en var att bygga Uppgift-en regulator för ett system som består av ett vridbord och Uppgift-en antennbom. Systemet är tänkt att användas på en båt där det kommer att vara utsatt för positionsstörningar från vågor. Önskemålet är att antenner, som sitter på antennbommen, ska peka mot samma mål hela tiden oavsett störningarna. För att lösa problemet modellerades och simulerades systemet i Matlab och Simulink. En LQR-regulator byggdes för att styra båda elmotorer som styr vridbordet och antennbommen. Rapporten innehåller simuleringar av det modellerade systemet samt en analys av regulatorn. Slutsatsen är att vridbordet och antennbommen kan regleras så att ställda krav uppnås.
Tack
Jag vill tacka alla inblandade på Saab för att jag fick möjligheten att göra detta spännande examensarbete. Det har inte varit en lätt uppgift men jag har lärt mig mycket på vägen. Därför vill jag rikta ett stort tack till mina handledare, både på Saab och på universitetet, som har stöttat mig under resans gång. Till sist vill jag tacka min examinator som har bemött mig väl och visat stor förståelse för eventuella förseningar och planändringar.
Innehåll
1 Introduktion 3 1.1 Bakgrund . . . 3 1.2 Systembeskrivning . . . 3 1.3 Problem . . . 4 1.4 Syfte . . . 4 1.5 Metod . . . 4 1.6 Avgränsningar . . . 5 1.7 Rapportens upplägg . . . 5 2 Modellering 7 2.1 Introduktion . . . 7 2.2 Koordinatsystem . . . 7 2.3 Transformationer . . . 9 2.4 Mätdata . . . 10 2.5 Vågmodell . . . 10 2.5.1 Infallsvinkel . . . 102.5.2 Periodtid och amplitud . . . 11
2.6 Operativa tillståndet . . . 12
2.6.1 Vågmodell driven av vitt brus . . . 12
2.6.2 Begränsningar . . . 12 2.7 Båtmodell . . . 13 2.7.1 Modellstruktur . . . 13 2.7.2 Roll . . . 14 2.7.3 Tipp . . . 14 2.7.4 Gir . . . 14 2.7.5 X-, Y- och Z-koordinaterna . . . 15 2.7.6 Begränsningar . . . 15 2.8 Vridbordsmodell . . . 15 2.9 Antennmodell . . . 16 3 Reglering 19 3.1 Insignal . . . 19 3.2 LQR . . . 20 3.3 Linjärisering . . . 20 ix
x Innehåll 3.4 Tillståndsbeskrivning . . . 22 3.5 Beräkning av regulatorn . . . 24 4 Resultat 27 4.1 Vågmodell . . . 27 4.2 Båtmodell . . . 28 4.3 Vridbords- och antennmodell . . . 34
5 Slutsatser 39
5.1 Vidareutveckling . . . 39
Notation
Nedan ges en förklaring till de beteckningar som används i rapporten.
θa azimuthvinkel
θe elevationsvinkel
β vågens infallsvinkel mot båten (motsjö vid 0◦)
h våghöjd (dal till topp)
T vågens periodtid v båtens hastighet s1 mastens ˆx1 koordinat s2 mastens ˆz1 koordinat s3 antennbommens ˆx2koordinat ψ rollvinkel θ tippvinkel φ girvinkel
Alla parametrar anges i SI-enheter. Vektorer anges med fet stil (a) medan basvek-torer dessutom betecknas med en hatt (ˆx). Skalärprodukten mellan två vektorer a = axx + aˆ yy + aˆ zz och b = bˆ xx + bˆ yy + bˆ zz är definerad somˆ
a · b = axbx+ ayby+ azbz
och kryssprodukten som
a × b = (axby− aybx)ˆz + (azbx− axbz) ˆy + (aybz− azby)ˆx
Kapitel 1
Introduktion
1.1
Bakgrund
Saab AB är ett företag som tillhandahåller försvarsmateriel och säkerhetslösningar inom både det militära och det civila området (se [5]). Saab i Arboga ansvarar för underhållslösningar för många olika system som till exempel flygplan och radarsta-tioner. Utveckling av nya produkter sker oftast i små volymer och för att tillgodose specifika behov. Systemet som beskrivs i denna rapport är ett exempel på detta.
På Saab utvecklas en enhet som kommer att användas för kommunicering med olika signalkällor som till exempel en markradar. Ursprungligen är systemet kon-struerat för att stå på marken men önskemålet är att kunna använda det också på en båt. Därför har enhetens konstruktion anpassats för detta ändamål. Sam-tidigt har detta lett till nya frågor kring styrning och stabilisering av systemet och ett behov av att undersöka dess egenskaper uppstod. Uppgiften är intressant och utmanande av flera skäl. Dels existerar systemet, än så länge, bara på pappret och dels beror dess egenskaper också på båtens och vågornas egenskaper. De två sistnämnda finns utvärderade, till en viss del, i trossbåtsrapporten [7]. Detta exa-mensarbete bygger på resultat från denna rapport samt de mätningar som hör till den.
1.2
Systembeskrivning
Vridbordssystemet består av en plattform (vridbord), en låda som innehåller elek-tronik samt en antennbom. Vridbordet kan vridas kring en lodrät axel (azimuth) medan antennbommen kan vridas kring sin egen axel (elevation). Antenner kan fästas på antennbommen. Önskat vinkelläge ställs in med hjälp av två elektriska motorer som har var sin vinkelgivare. Styrningen sker via kommandon till styrda-torn i lådan. Systemets utseende visas i figur 1.1. Antennbommen går igenom främre delen av lådan som är monterad på vridbordet. Denna är i sin tur monter-ad på toppen av en mast. Antennerna sitter på var sin sida av lådan.
4 Introduktion
Figur 1.1. Systemet består av ett vridbord, en låda med elektronik, en antennbom
och flera antenner. Alla antenner sitter på antennbommen. (Bilden publiceras här med tillstånd från Saab och är gjord av systemkonstruktören.)
1.3
Problem
Antennerna ska peka mot målet tills riktningen ändras avsiktligt av en operatör. Eftersom systemet är monterat på en båt kommer dock pekriktningen att störas av båtrörelser orsakade av vågor och båten själv. Detta medför, i sin tur, att antennerna hela tiden tappar kontakten med enheten som den kommunicerar med. Signalkällan måste befinna sig inom antennloben om kommunikationen ska bli lyckad vilket innebär att pekriktningen inte får variera för mycket. Problemet är alltså att styra systemet så att antennerna pekar mot målet hela tiden trots störningarnas inverkan.
1.4
Syfte
Uppgiften är att utveckla ett system som ska stabilisera antennerna. Det är främst nedanstående tre frågor som detta examensarbete ska ge svar på:
1. Vilka vinkelaccelerationer och vinkelhastigheter utsätts vridbordet för?
2. Hur ska ett reglersystem, som kompenserar för vågornas störningar, kon-strueras?
3. Hur ska motorerna dimensioneras?
1.5
Metod
Den bästa lösningen vore att mäta de intressanta storheterna ombord på båten. Detta skulle ge noggranna och pålitliga mätvärden samtidigt som modellering av en ganska komplicerad miljö undviks. Sådana mätningar är dock kostsamma att
1.6 Avgränsningar 5
genomföra och kräver speciell mätutrustning. Det har också varit ett problem att få tag på en sådan båt som systemet är tänkt att användas på. Därför kommer problemet att lösas med hjälp av modellering då tillgång till dator, simuleringsmiljö och viss mätdata från båten finns. Alla delsystem kommer att representeras med matematiska modeller och implementeras i Matlab och Simulink. Därefter ska en regulator designas för att styra motorerna på önskat sätt.
1.6
Avgränsningar
Att ta fram avancerade modeller tar lång tid och kräver mer resurser än de som finns tillgängliga för denna uppgift. Därför begränsas modellernas komplexitet så att alla delsystem beskrivs med så enkla modeller som möjligt. Detta kommer också att göra beräkningarna enklare. Modellerna ska, trots dessa begränsningar, kunna beskriva delsystemen någorlunda verklighetstroget.
1.7
Rapportens upplägg
I första kapitlet finns bakgrunden till detta projekt samt en överblick av systemet. Här definieras också problemet tillsammans med de krav och avgränsningar som projektet startade med. Kapitel två innehåller beskrivningar av hur modellerna har tagits fram samt deras funktion. Tredje kapitlet behandlar reglering av sys-temet och regulatordesignen. Där förklaras närmare bland annat vilka signaler som mäts och vilka som ska styras. I fjärde kapitlet presenteras de resultat som har erhållits vid simulering av modellen. I femte kapitlet finns slutsatserna som baseras på simuleringsresultaten men också några förslag på hur projektet kan utvecklas vidare i framtiden.
Kapitel 2
Modellering
2.1
Introduktion
För att kunna simulera vridbordets och antennbommens rörelser krävs modellering av följande delsystem: vågorna, båten, vridbordet och antennbommen. Regulatorn, som beskrivs senare i rapporten, bygger också på dessa modeller. Därför ägnas det-ta kapitel åt att beskriva vilka modeller som har använts i simuleringen. Figur 2.1 visar en schematisk bild av de ingående delsystemen. Vågmodellen genererar vågor som påverkar båtmodellen. Denna, i sin tur, påverkar vridbordet och antennbom-men. Regulatorn mäter systemets tillstånd och styr motorerna så att antennerna pekar rätt.
Vågmodell Båtmodell Vridbords- och antennmodell
Regulator
Figur 2.1. Schematisk bild av ingående delsystem.
2.2
Koordinatsystem
För att kunna studera antennsystemet ansätts ett fixt koordinatsystem i varje kropp numrerad enligt följande: K0(jorden), K1(båt), K2 (vridbord) och K3
(an-tennbom). Figur 2.2 visar relationen mellan de olika kropparna. Antennriktningen sammanfaller till exempel med ˆx3.
Vridbordets och antennbommens vinklar är definierade i figur 2.3.
8 Modellering K1 K3 K2 x1 z1 y1 s1 s2 s3 z2 y2 x2 y3x 3 z3
Figur 2.2. Koordinatsystemen för båten (x1y1z1), vridbordet (x2y2z2) och
antennbom-men (x3y3z3). 3 ˆ x 2 ˆ x e θ − 1 ˆ x 2 ˆ x a θ 1 ˆ z
2.3 Transformationer 9
2.3
Transformationer
Eftersom de olika kropparna rör sig på ett speciellt sätt relativt varandra måste transformationsmatriser användas för att beskriva detta förhållande. Dessa trans-formerar en vektor ri/j fix i kropp i till basen j. Matriserna Tij är rotationsdelen
av transformationerna och s1, s2 och s3 är förskjutningar som måste tas med då
koordinatsystemens origon inte sammanfaller med varandra. Ekvationen (2.1) ut-trycker en vektor fix i kropp K3 i basen K2 medan (2.2) uttrycker en vektor fix i
kropp K2 i basen K1. r3/2= cos θe 0 sin θe 0 1 0 − sin θe 0 cos θe | {z } T32 r3/3+ s3 0 0 (2.1) r2/1= cos θa − sin θa 0 sin θa cos θa 0 0 0 1 | {z } T21 r2/2+ −s1 0 s2 (2.2)
Båtens vinkelorientering ges med hjälp av eulervinklarna där ψ, θ, och φ är roll-, tipp- och girvinkel. Rotationsdelen av transformationerna har beteckningen
Tp, Tr och Ty (se (2.3)-(2.5)). Eulervinklarna tipp, roll och gir (se [4]) ger
rota-tionsmatriserna Tp= cos θ 0 sin θ 0 1 0 − sin θ 0 cos θ (2.3) Tr= 1 0 0 0 cos ψ − sin ψ 0 sin ψ cos ψ (2.4) Ty= cos φ − sin φ 0 sin φ cos φ 0 0 0 1 (2.5)
Nu kan man teckna transformationen av en båtfix vektor i jordens koordinater som r1/0= TyTpTr | {z } T10 r1/1+ x y z (2.6)
Transformationen av en godtycklig vektor fix i kropp 3, r3/3, blir i jordens
koordinatsystem r3/0= T10T21T32r3/3+ T10T21 s3 0 0 + T10 −s1 0 s2 + x y z (2.7)
10 Modellering
Om r3/3 väljs som (1 0 0) fås riktningen i vilken antennerna pekar.
2.4
Mätdata
Det finns tillgång till data om hur den specifika båten, som antennen ska stå på, rör sig i vågor. Det är vinklarna roll, tipp och gir som finns uppmätta då vågorna infaller mot båten på flera olika sätt (från 0◦ till 180◦). Genom derivering av dessa signaler en och två gånger fås vinkelhastighet respektive vinkelacceleration för dessa frihetsgrader. Dessutom har man också samlat data från en vågboj under den tiden som mätningarna gjordes på båten. Därmed är även sjötillståndet som rådde under mätningstillfället känt. Hela mätningsproceduren finns beskriven i [7] där en utförlig analys av båtens egenskaper finns.
2.5
Vågmodell
Vågorna har modellerats genom överlagring av flera olika periodiska komponenter enligt u(t) = k X n=1 ansin (k · vt − wnt + δn) (2.8)
där an, wn och δn är amplitud, frekvens och fasförskjutning för komponenten n.
Vektorerna k och v är vågtalet respektive båtens hastighet och u(t) är vågens amplitud vid båten.
Signalens spektrum är definierat som S(ω) = |U (ω)|2. I [7] finns en uppskat-tning av vågmäuppskat-tningarnas spektrum samt en kurva anpassad till skatuppskat-tningen. Våg-funktionen
S(ω) = 0.4295 ω5 e
−1.0165/ω4
(2.9)
är alltså en modell av de uppmätta vågornas spektrum. Vågornas verkliga form är komplex och svår att modellera. För att få någorlunda verklighetstrogen våg-modell har antalet frekvenskomponenter för vågvåg-modellen valts till k = 10. Dessa frekvenser väljs slumpmässigt i intervallet [0.1 0.5 ] Hz eftersom signalen har sin största del av energin där. Även komponenternas förskjutningar slumpas mellan [0 2π ] rad för att modellera vågens slumpmässiga natur så bra som möjligt. Enligt teorin för fourierserier, se [10], associeras |U (ω)| med amplituden av frekvens-bidraget vid frekvens ω. Amplituderna kan därför beräknas som an =pS(ωn).
Vågens energiinnehåll visas i figur 2.4.
2.5.1
Infallsvinkel
En våg som infaller mot båten kan komma från vilket håll som helst. Kommer den rakt framifrån svänger båten kring tippaxeln och kommer den rakt från sidan sker svängningen kring rollaxeln. Ofta infaller vågorna snett mot båten och därför är
2.5 Vågmodell 11 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2x 10 4 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.60 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18
Figur 2.4. Den uppmätta vågens spektrum (streckad linje) och ett exempel på den
modellerade vågens spektrum (heldragen linje). Frekvenserna visas i enheten Hz.
det intressant att kunna beskriva hur båten rör sig då. För att modellera hur dess rörelser beror av vågornas infallsvinkel kan man tänka sig att vågen
u(t) = A sin ((kv cos β − ω)t + δ) (2.10) infaller mot båten under vinkeln β. Liksom tidigare är k = 2πλ vågtalet där λ är våglängden. Vågorna kommer då emot båten med den totala frekvensen
ωTOT= kv cos β − ω (2.11)
Den första termen indikerar hur snabbt båten rör sig mot nya vågtoppar medan den andra indikerar hur ofta vågorna kommer emot båten.
2.5.2
Periodtid och amplitud
För att kunna simulera de ingående modellerna i önskade sjöegenskaper finns det behov av att kunna skapa en våg med en viss medelperiod samt medelamplitud
Tönskat respektive aönskat. Vågen (2.8) ger slumpmässiga värden på medelperiod
samt medelamplitud Tmätt respektive amätt. Därför justeras Tn samt an (n =
1, ..., 10) för att ge en våg som överensstämmer med de önskade sjöegenskaperna. Resultatet blir en ny uppsättning av perioder och amplituder, Tnskaladsamt anskalad
(n = 1, ..., 10), som ska användas i vågen.
Tnskalad = Tn Tm¨att T¨onskad anskalad = an am¨att aonskad¨ (2.12)
Den nya vågen blir (utan korrigeringen för vågornas infallsvinkel)
u(t) =
k
X
n=1
12 Modellering
2.6
Operativa tillståndet
Systemet ska klara av att användas under vanligt förekommande förhållanden på Östersjön. För att ta reda på hur sådana ser ut har kontakt tagits med försvarsmak-tens vädertjänst metocc. Den inhämtade informationen visar att både våghöj-den och vågperiovåghöj-den varierar en hel del. Dock är det så att hmedel = 0.5 m och
Tmedel= 5 s kan användas som ungefärliga medelvärden. För det uppmätta
sjötill-ståndet från [7] är motsvarande värden 0.75 m och 4 s. Här används definitionen
h = 2A. För att kunna återskapa det för Östersjön typiska sjötillståndet kommer
den genererade vågens medelperiodtid och medelvåghöjd att väljas enligt
hmedel= 0.75 m Tmedel= 4 s (2.14)
I fortsättningen kommer denna våg att användas vid simulering om ingenting annat står i texten. Vågornas våglängd i Östersjön varierar i intervallet 10 -50 m enligt metocc. För denna modell har våglängden valts till 40 m.
Sammanfattningsvis modelleras vågorna enligt (2.13) så att u(t) får en medel-periodtid på 4 s samt en medelvåghöjd på 0.75 m
2.6.1
Vågmodell driven av vitt brus
Vågmodellen som har presenterats i avsnittet ovan kommer att användas i Matlab-Simulink för simulering av vågorna. Vid beräkning av regulatorer är det däremot önskvärt att modellen är uttryckt som ett system som drivs av vitt brus d.v.s.
σ = H(s)e. Här betecknar H(s) systemets överföringsfunktion och e vitt brus.
Därför modelleras vågen som en AR-modell av andra ordningen. Eftersom andra delsystem beskrivs med tidskontinuerliga modeller konverteras AR-modellen till tidskontinuerlig form i Matlab vilket ger en ARMA-modell med
H(s) = b0s 2+ b 1s + b2 a0s2+ a1s + a2 (2.15) där a0= 1 b0= 1 a1= 0.000064587164524 b1= 1.499966530954032 a2= 0.000306107305051 b2= 1.000057804086196
Figur 2.5 visar en jämförelse mellan AR-modellens spektrum och vågens upp-mätta spektrum från [7].
2.6.2
Begränsningar
Detta är en förenklad vågmodell där frekvensinnehållet representeras med ett begränsat antal frekvenskomponenter. Komplicerade effekter som uppstår p.g.a. vind, havsströmmar eller andra krafter modelleras inte. Mätningarna som har an-vänts för att få fram modellen är också behäftade med olika osäkerheter rörande vågens riktning och form. Denna vågmodell är dock tillräcklig för att användas
2.7 Båtmodell 13 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 −80 −60 −40 −20 0 20 40 60 80 [dB] Frekvens [Hz] Spektrum från AR−modell Uppmätt spektrum
Figur 2.5. AR-modellens spektrum och vågens uppmätta spektrum.
som en insignal till den tänkta båtmodellen. Detta då frekvensinnehållet i den slumpade vågen stämmer ganska bra med den uppmätta.
2.7
Båtmodell
Hur bra båtmodellen ska vara beror på vad den ska användas till. Om båtens rörelser ska kunna beskrivas på ett bra sätt (eller kanske predikteras) krävs en avancerad modell. En sådan kräver både mer tid och mer resurser än det finns tillgång till under detta examensarbete. Modellens syfte här är att beskriva båtens rörelser vid konstant kurs och hastighet och därmed skapa en verklighetstrogen insignal till regulatorn. Därför räcker det här med en enklare båtmodell. På grund av detta begränsade scenario görs därför följande antaganden och avgränsningar:
• Eventuella kopplingar mellan frihetsgraderna försummas
• Båten antas vara ett linjärt system
• Båten längd antas vara något mindre än vågornas våglängd
2.7.1
Modellstruktur
För att modellera rörelser hos en kropp i allmänhet kan man utgå ifrån Newton’s andra lag
F = ma (2.16) där m och a är massan respektive accelerationen för kroppen och F är den totala kraften som verkar på kroppen. Båten kan modelleras som en massa kopplad till en fjäder och en dämpare. Dessa komponenter utbyter energi med massan precis som vattnet och båten utbyter energi med varandra. Detta samspel beskrivs av differentialekvationen
14 Modellering
där A¨η är kraften som accelererar båten och är proportionell mot accelerationen, B ˙η är friktionskraften från vattnet, Cη är flytkraften och F0u(t) är vågkraften.
A, B, C och F0 är konstanter som måste bestämmas, u(t) är vågen som utgör
insignal till systemet och η betecknar avvikelsen från jämviktsläget för båtens masscentrum. Konstanterna bestäms vanligen genom att påverka systemet och mäta dess respons. Under detta examensarbete fanns det dock ingen möjlighet till att utföra sådana tester varför konstanterna anpassades så att modellens utsignal stämmer så bra som möjligt med den uppmätta. Alla delar av båtmodellen har formen (2.17). Ovanstående ekvation brukar skrivas om som
¨ η + 2δ ˙η + ω02η = F1u(t) (2.18) där δ =2AB, ω0= q C A och F1= F0 A.
2.7.2
Roll
Rullningsrörelsen modelleras med differentialekvationen (2.18) med egensväng-ningsfrekvensen ω0 och dämpningskoefficienten δ. Från [7] tas det uppskattade
värdet på båtens egenrullningsperiod 3.6 s. Detta ger att ω0= 3.62π Enligt samma
källa varierar dämpningen med båtens hastighet v såsom
δ(v) = 0.154 + 0.017v (2.19)
Kraften som vågen utövar på båten antas vara en konstant (F1) gånger vågens
am-plitud. Konstantens värde har satts till 10 för att den simulerade rullningsvinkelns storlek ska motsvara den uppmätta. Modellen blir då
¨
ψ + 2δ(v) ˙ψ + 3.1ψ = 20uy(t) (2.20)
2.7.3
Tipp
För att simulera tippvinkeln har ekvation (2.20) valts som utgångspunkt under an-tagandet att tipprörelsen borde likna rollrörelsen. Det visade sig att den uppmätta signalen är ganska lik den simulerade. Här har förstärkningen satts till 14 så att den skattade tippvinkeln ligger på samma nivå som den uppmätta. Tippvinkelns beroende av hastigheten antas vara samma som för rullning. Modellen blir då
¨
θ + 2δ(v) ˙θ + 3.1θ = 14ux(t) (2.21)
2.7.4
Gir
Även girmodellen är av samma struktur som de föregående. Egensvängningsfrek-vensen, dämpningsfrekvensen samt förstärkningen har anpassats så att utsignalen stämmer med den uppmätta. Varje gång en våg träffar båten uppstår en störning kring z-axeln (kompasskurs). Denna modell simulerar just dessa svängningar. An-ledningen till att denna modell behövs är för att kunna inkludera de krafter som uppstår på båten när en sådan störning kring z-axeln sker.
¨
2.8 Vridbordsmodell 15
2.7.5
X-, Y- och Z-koordinaterna
Båtens position relativt det jordfixa koordinatsystemet fås genom integration av båtens rörelser i x- och y-led. Det enda som behövs är kännedom om båtens hastighet samt girvinkeln i varje ögonblick. Z-koordinaten följer vågytan här vilket är en grov approximation av verkligheten. Vid båthastigheten v fås xyz-koordi-naterna enligt x(t) = Z v cos φ dt (2.23) y(t) = Z v sin φ dt (2.24) z(t) = u(t) (2.25)
2.7.6
Begränsningar
Det finns för lite data för att kunna validera modellens giltighet vid annan hastig-het, våghöjd eller vågperiod än den som presenterades ovan. Eftersom denna mod-ell inte är validerad vid andra värden på dessa parametrar så kan den inte hmod-eller användas till prediktering av båtens rörelser. I [7] framkommer det också att själva mätningarna har en viss osäkerhet i sig. Bland annat har det ibland varit svårt att bedöma hur vågorna infaller mot båten samt vilken form de har. Sammanfatt-ningsvis kan man säga att modellen beskriver båtens rörelser på ett bra sätt för det tillstånd som mätningarna är gjorda i och skapar därmed en bra insignal till resten av systemet. I och med detta så är modellens syfte för detta examensarbete uppnådd.
Det ska nämnas att det finns andra metoder som skulle kunna användas för att skapa ovanstående modeller. Ett exempel är skattning av parametermodeller där insignalerna utgörs av vitt brus. Fysikalisk modellering är också en metod som skulle kunna användas. Tillgänglig tid, data, verktyg och modellernas tillämpning har styrt valet av arbetsmetod vid framtagning av modellerna.
2.8
Vridbordsmodell
Rörelseekvationen för vridbordet kan modelleras med hjälp av momentlagen (se ekvation 5.6 i [2]). Momentet för en kropp, med accelerationen aG1 och massan
mv, kring en godtycklig punkt, A, i rummet blir
MA= IG1ω˙1z+ rG1/A× mvaG1 (2.26)
där högerledet betecknar lådans totala moment och aG1 vridbordets acceleration.
Punkten G1 betecknar vridbordets masscentrum. Ekvationen (2.26) betecknar ett samband mellan alla externa krafter som verkar på vridbordet och vridbordets rörelser.
Punkten G betecknar lådans masscentrum medan punkten A väljs som toppen av masten dvs. vridbordets rotationscentrum när båten är still. Vänsterledet rep-resenterar det totala externa momentet kring A som orsakas av båtens rörelser,
16 Modellering
gravitationen och azimuthmotorn dvs.
MA= Mgravitation+ Mmotor (2.27)
Mgravitation= rG1/A× mvG (2.28)
där G är jordens gravitation.
Momentet kring z-axeln (masten) blir
IG1zzω˙z+m1rG1/Ax(aG1y−Gy)−m1rG1/Ay(aG1x−Gx) = Mmotor−a−20 ˙θa (2.29)
˙
ω1z är z-komponenten av vridbordets vinkelacceleration ˙ω1.
Vridbordets masströghet med avseende på z2-axeln IG1zzhar tagits fram m.h.a.
en CAD-program av systemets konstruktör. Värdet på denna har uppskattats till 75 kgm2.
Tröghetsmatrisen antas vara diagonal samt IG1yy = IG1xx vilket ger lite
en-klare beräkningar. Azimuthmotorns dynamik har ej modellerats. Eftersom vrid-bordet inte är framtaget än är det svårt att uppskatta dess dämpning. Därför har dämpningen tilldelats värdet −20 ˙θa vilket anses ge ett rimligt stegsvar som visas
i figur 2.6. 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 0 20 40 60 80 100 120 Tid [s] θa [°]
Figur 2.6. Simulerat stegsvar för vridbordsmodellen.
2.9
Antennmodell
I likhet med vridbordsmodellen fås rörelseekvationerna för antennerna med hjälp av (2.26). Momentet ska beräknas i punkten O det vill säga mitt på bommen och uttrycket blir:
IG2yyω˙y+ m2rG2/Ox(Gz− aG2z) = Mmotor−e− 10 ˙θe (2.30)
Antennerna har modellerats som en punktmassa som sitter på en viss vinkelrät avstånd från antennbommen. Dess masströghet med avseende på y3-axeln IG2yy
2.9 Antennmodell 17
har tagits fram med hjälp av en CAD-program av systemets konstruktör. Värdet på denna har uppskattats till 6 kgm2.
Tröghetsmatrisen antas vara diagonal samt IG2xx = IG2zz vilket ger lite
en-klare beräkningar. Elevationmotorns dynamik har ej modellerats. Eftersom vrid-bordet inte är framtaget än är det svårt att uppskatta dess dämpning. Därför har dämpningen tilldelats värdet −10 ˙θe vilket anses ge ett rimligt stegsvar som visas
i figur 2.7. 0 5 10 15 0 20 40 60 80 100 120 140 Tid [s] θe [°]
Kapitel 3
Reglering
I förra kapitlet beräknades det totala momentet som verkar på vridbordet och antennerna. Om systemet ska stabiliseras så att pekriktningen hålls konstant rel-ativt båten måste ett lika stort och motriktat moment skapas av motorerna kon-tinuerligt. Det önskade beteendet är att vinkeln mellan målets riktning och anten-nernas pekriktning inte överstiger 1.5◦. Det är regulatorns uppgift att se till att detta krav är uppfyllt.
3.1
Insignal
Regulatorns insignal utgörs av en referenssignal och en signal som mäts (vanligen den som ska styras). I detta fall är det vinkeln θdevmellan antennernas pekriktning
och vektorn som går från vridbordets rotationscentrum till målet som mäts. Kravet är att den inte får överstiga 1.5◦. För att veta hur vridbordet och antennerna ska styras för att uppfylla det kravet måste denna vinkeln projeceras på vridbordets respektive antennernas rotationsplan. Då fås två vinklar θadev och θedevsom anger
pekfelet i azimuth respektive elevation. Detta innebär att om vridbordet vrids en vinkel −θadevoch antennerna en vinkel −θedevvid en viss tidpunkt så blir pekfelet
noll. Pekfelet i azimuth respektive elevation definieras som
θadev = arctan y2m x2m (3.1) θedev= arctan z3m x3m (3.2) där x2m y2m z2m = T21−1T10−1 xm− x ym− y zm− z x3m y3m z3m = T −1 32 T −1 21 T −1 10 xm− x ym− y zm− z 19
20 Reglering
(x2m,y2m,z2m) och (x3m,y3m,z3m) betecknar målets koordinater i basen K2
respektive K3.
Referensvärdet utgörs av det värde som den mätta signalen bör ha. I detta fall mäter vi θadev respektive θedev och önskemålet är att dessa (d.v.s. felet) ska vara
noll. Referensvärden blir därför Ra = 0 och Re= 0.
3.2
LQR
För att reglera systemet kommer två LQ-regulatorer att implementeras, en för azimuth och en för elevation. Detta är en avancerad regulatorprincip som används mycket inom reglertekniken (några exempel finns i [3] och [6]). Regulatorparame-trarna beräknas genom att minimera integralen av kvadrerade signaler (se [9]). Eftersom systemet som ska regleras är olinjärt sker framtagningen av regulatorn i två steg:
1. systemet linjäriseras kring ett visst tillstånd (se avsnitt 3 i [8]) 2. regulatorn beräknas
Precis som tidigare antas de två frihetsgraderna (azimuth och elevation) vara frikopplade ifrån varandra och en regulator beräknas för varje.
3.3
Linjärisering
Vektorn Π innehåller alla variabler som momentekvationerna beror av. Dessa är
Π = [ψ, θ, θa, θe, φ, x, y, z, ˙ψ, ˙θ, ˙θa, ˙θe, ˙φ, ˙x, ˙y, ˙z, ¨ψ, ¨θ, ¨θa, ¨θe, ¨φ, ¨x, ¨y, ¨z] (3.3)
Tillståndet kring vilken funktionerna ska linjäriseras väljs som
Π0= [ 0 0
π
4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ] (3.4) Först betraktas rörelserna i azimuth som ges av ekvationen (2.29). Här är det accelerationerna som är olinjära och den linjäriserade momentfunktionen i azimuth blir A1θ¨a+ B1ψ + C1ψ + D¨ 1θ + E1θ + F¨ 1φ + 20 ˙¨ θa = Mmotor−a (3.5) där A1= mvr2G/Ax+ mvr 2 G/Ay+ IG1zz B1= Gmv√rG/Ax 2 − GmvrG/Ay √ 2 C1= mvrG/AyrG/Az √ 2 − mvrG/A√xrG/Az 2 + s2 √ 2 D1= Gmv√rG/Ax 2 + GmvrG/Ay √ 2
3.3 Linjärisering 21 E1= −mvrG/A√ xrG/Az 2 − mvrG/AyrG/Az √ 2 + s2 √ 2 F1= IG1zz+ mvrG/Ax(rG/Ax− s1 √ 2) + mvrG/Ay(rG/Ay + s1 √ 2)
På samma sätt linjäriseras det externa momentet i elevation från ekvationen (2.30) som då blir
A2θ¨e+ B2ψ + C¨ 2θ + D¨ 2¨z + 10 ˙θe= Mmotor−e (3.6)
där
A2= mar2G/Ox+ IG2yy
B2=
−IG2yy− marG/Ox(rG/Ox+ s3)
√ 2
C2=
IG2yy+ marG/Ox(rG/Ox+ s3)
√
2 − marG/Oxs1
D2= −marG/Ox
Pekfelet i azimuth och elevation linjäriseras också d.v.s. θadev samt θedevvilket
resulterar i följande uttryck
θadev≈ A3θa+ B3ψ + C3θ + D3φ (3.7) där A3= −1 B3= xmzm x2 m+ ym2 C3= ymzm x2 m+ y2m D3= −1 θedev≈ A4θa+ B4θ + C4ψ + D3θe+ E4ψ (3.8) där A4= √ 2zm(xm− ym) (x2 m+ 2xmym+ ym2 + 2zm2) B4= √ 2(x2m+ ymxm+ zm2) (x2 m+ 2xmym+ ym2 + 2zm2) C4= −√2(y2m+ xmym+ zm2) (x2 m+ 2xmym+ y2m+ 2zm2) D4= 1 E4= √ 2zm(xm− ym) (x2 m+ 2xmym+ ym2 + 2zm2)
22 Reglering
3.4
Tillståndsbeskrivning
Innan regulatorn kan beräknas måste systemet beskrivas på tillståndsform. Till-stånden för azimuth väljs enligt
xa1 = θa xa2= ˙θa xa3 = ψ xa4= ˙ψ xa5 = θ xa6 = ˙θ xa7 = φ xa8= ˙φ (3.9) xa9 = w xa10= ˙w xa11 = θadev ua = Mmotor−a
vilket ger tillståndsmodellen ˙ xa= Aaxa+ Baua (3.10) med Aa= 0 a12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 a22 a23 a24 a25 a26 a27 a28 a29 0 0 0 0 0 a34 0 0 0 0 0 0 0 0 0 a43 a44 0 0 0 0 a49 0 0 0 0 0 0 0 a56 0 0 0 0 0 0 0 0 0 a65 a66 0 0 a69 0 0 0 0 0 0 0 0 0 a78 0 0 0 0 0 0 0 0 0 a87 a88 a89 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 a910 0 0 0 0 0 0 0 0 0 a109 a1010 0 0 a112 0 a114 0 a116 0 a118 0 0 0 BaT = 0 b12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 där a12= 1 a44= −0.239 a109=−aa2 0 a22=−20A1 a49= 20 a1010=−aa01 a23=−B1+CA113.1328 a56= 1 a112= A3 a24=C1A0.2391 a65= −3.1328 a114= B3 a25=−D1+EA13.1328 1 a66= −0.239 a116= C3 a26=E1A0.239 1 a69= 14 a118= D4 a27=F1A0.02 1 a78= 1 b12= 1 A1 a28=F1A0.02 1 a87= −0.02 a29=−C120−EA114−F16 1 a88= −0.02 a34= 1 a89= 6 a43= −3.1328 a910= 1
3.4 Tillståndsbeskrivning 23
Tillståndsbeskrivningen för elevation väljs som
xe1= θa xe2= ˙θa xe3= ψ xe4= ˙ψ xe5= θ xe6= ˙θ xe7= φ xe8= ˙φ xe9= w xe10= ˙w (3.11) xe11= θadev xe12= θe xe13= ˙θe xe14= θedev ue= Mmotor−e
vilket ger tillståndsmodellen
˙ xe= Aexe+ Beue (3.12) med Ae= 0 a12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 a22 a23 a24 a25 a26 a27 a28 a29 0 0 0 0 0 0 0 0 a34 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 a43 a44 0 0 0 0 a49 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 a56 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 a65 a66 0 0 a69 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 a78 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 a87 a88 a89 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 a910 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 a109 a1010 0 0 0 0 0 a112 0 a114 0 a116 0 a118 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 a1213 0 0 0 a133 a134 a135 a136 0 0 a139 a1310 0 0 a1313 0 0 a142 0 a144 0 a146 0 a148 0 0 0 0 a1413 0 BTe = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 b113 0 där a1213= 1 a139= −20B2−14CA2+a2D1/a0 2 a146= B4 a133=3.1328BA2 2 a1310= a1D2/a0 A2 a148= E4 a134=0.239BA2 2 a1313= −10A2 a1413= D4 a135=3.1328CA2 2 a142= A4 b113= 1 A2 a136=0.239CA2 2 a144= C4
24 Reglering
3.5
Beräkning av regulatorn
Den optimala återkopplingen beräknas i Matlab genom att minimera uttrycket
∞
Z
0
xTQx + uTRu dt (3.13)
Genom att välja olika straffmatriser Q och R kommer signaler att straffas olika mycket vilket ger olika lösningar. I detta fall ska felet d.v.s. θadev straffas så
my-cket som behövs för att systemet ska få önskad prestanda. Lösningen kommer att ha formen u = −Kx det vill säga regulatorn är en viktning av alla tillgängliga tillstånd. Följande straffmatriser har använts för regulatorn i azimuth
Qa = 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 · 106 Ra= 1 (3.14)
vilket resulterade i följande regulator
Ka =
0 587 84 5 179 13 0 607 −1099 −45 −2449
Eftersom de externa krafterna som påverkar vridbordet är modellerade i (2.29) ska dessa ingå i regulatorn. På så sätt får regulatorn informationen om hur stora krafter som verkar på vridbordet och hinner därför reagera snabbare än utan denna information. Detta bidrar också till att styrsignalerna hålls så låga som möjligt. Då får regulatorn följande uttryck
3.5 Beräkning av regulatorn 25
Följande straffmatriser har använts för regulatorn i elevation
Qe= 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 · 106 Re= 1 (3.16)
vilket resulterade i följande regulator
Ke=
0 0 −6 −100 −147 86 0 0 698 11 0 0 131 1000
Eftersom de externa krafterna som påverkar antennbommen är modellerade i (2.30) ska dessa ingå i regulatorn. På så sätt får regulatorn informationen om hur stora krafter som verkar på antennbommen och hinner därför reagera snab-bare än utan denna information. Detta bidrar också till att styrsignalerna hålls så låga som möjligt. Då får regulatorn följande uttryck
ue= −Kex + m2rG2/Ox(Gz− aG2z) + 10 ˙θe (3.17)
Styrning av vridbordet och antennbommen sker alltså via styrlagarna (3.15) respektive (3.17). Dessa talar om hur mycket moment vridbordsmotorn respektive elevationsmotorn ska ställa ut vid varje tidpunkt för att minimera pekfelet.
Kapitel 4
Resultat
Efter att hela systemet sattes ihop i Matlab-Simulink simulerades modellen var-efter intressanta värden lästes av. Här följer en presentation av de intressanta resultaten. Sjötillståndet för simuleringen har varit enligt (2.14). För varje simu-lering finns det angivet från vilket håll vågorna närmade sig båten.
4.1
Vågmodell
Vågen som genereras av vågmodellen kan återskapa sjötillståndet (2.14) samt har största delen av sin energi i frekvensintervallet [0.1 0.5 ]Hz. Detta kan ses i figur 4.1 som visar hur en simulerad våg ser ut samt dess energiinnehåll. Denna modell är tillräckligt bra för att skapa en acceptabel insignal till båtmodellen eftersom den uppfyller de ställda kraven.
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 −1 −0.5 0 0.5 1 tid [s] [m] 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0 2000 4000 6000 8000 10000 [Hz]
Figur 4.1. Den simulerade vågen (över bilden) samt dess spektrum (nedre bilden).
28 Resultat
4.2
Båtmodell
Båtmodellen ska generera insignaler till regulatorn och det är därför viktigt att de är så verklighetstrogna som möjligt. Nedan presenteras modellens egenskaper samt dess förmåga att framställa sådana.
Vinkeln, vinkelhastigheten och vinkelaccelerationen för roll stämmer bra öv-erens vilket kan ses i figurerna 4.2, 4.3 och 4.4. Det verkar därför som om modellen klarar av att beskriva den verkliga signalen för tillståndet (2.14) vid båthastighet
v = 5 knop det vill säga v ≈ 2.6 m/s. Mätningar som skattningarna jämförs med
är gjorda vid en ganska låg fart då vågorna infaller rakt från sidan mot båten (β = 90◦). Enligt trossbåtsrapporten [7] ger detta tillstånd de största vinkelutsla-gen i rolled. 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 −15 −10 −5 0 5 10 15 tid [s] [grader]
Uppmätt rollvinkel : v=5 [knop] : infallsvinkel=90 [grader]
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 −15 −10 −5 0 5 10 15
Skattat rollvinkel : v=5 [knop] : infallsvinkel=90 [grader]
tid [s]
[grader]
Figur 4.2. Skattat och uppmätt rollvinkel.
Vinkel, vinkelhastighet och vinkelacceleration för tipp syns i figurerna 4.5-4.7. Man kan se att signalerna stämmer ganska bra överens med varandra både nivå-och frekvensmässigt. Denna modell skapar tydligen en verklighetstrogen insignal till regulatorn och bedöms därför som tillräcklig. Tillståndet för simuleringen är (2.14) vid båthastighet v = 10 knop.
Girvinkel, girvinkelhastighet och girvinkelacceleration visas i figurerna 4.8-4.10. Signalnivån hos skattningen ligger på en acceptabel nivå jämfört med den uppmät-ta signalen. Dock skiljer sig skattningens utseende jämfört med den uppmätuppmät-ta sig-nalen något. Det viktigaste här är ändå att accelerationens skattning stämmer nå-gorlunda bra, nivå- och frekvensmässigt, med den uppmätta eftersom girvinkelac-celerationen modellerar krafter som uppstår vid girrörelsen. Därför bedöms denna modell vara tillräckligt för ändamålet.
X-, y- och z-koordinaten är modellerade enligt ekvationerna (2.23)-(2.25). Det har inte funnits tillgång till några mätningar av z-koordinaten från den intressanta
4.2 Båtmodell 29 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 −15 −10 −5 0 5 10 15 tid [s] [grader/s]
Uppmätt rollvinkelhastighet : v=5 [knop] : infallsvinkel=90 [grader]
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 −15 −10 −5 0 5 10 15
Skattat rollvinkelhastighet : v=5 [knop] : infallsvinkel=90 [grader]
tid [s]
[grader/s]
Figur 4.3. Skattad och uppmätt rollvinkelhastighet.
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 −20 −10 0 10 20 tid [s] [grader/s 2]
Uppmätt rollvinkelacceleration : v=5 [knop] : infallsvinkel=90 [grader]
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 −20 −10 0 10 20
Skattat rollvinkelacceleration : v=5 [knop] : infallsvinkel=90 [grader]
tid [s]
[grader/s
2]
30 Resultat 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 −6 −4 −2 0 2 4 6 tid [s] [grader]
Uppmätt pitchvinkel : v=10 [knop] : infallsvinkel=0 [grader]
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 −6 −4 −2 0 2 4 6
Skattat pitchvinkel : v=10 [knop] : infallsvinkel=0 [grader]
tid [s]
[grader]
Figur 4.5. Skattad och uppmätt tippvinkel.
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 −10 −5 0 5 10 tid [s] [grader/s]
Uppmätt pitchvinkelhastighet : v=10 [knop] : infallsvinkel=0 [grader]
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 −10 −5 0 5 10
Skattat pitchvinkelhastighet : v=10 [knop] : infallsvinkel=0 [grader]
tid [s]
[grader/s]
4.2 Båtmodell 31 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 −20 −10 0 10 20 tid [s] [grader/s 2]
Uppmätt pitchvinkelacceleration : v=10 [knop] : infallsvinkel=0 [grader]
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 −20 −10 0 10 20
Skattat pitchvinkelacceleration : v=10 [knop] : infallsvinkel=0 [grader]
tid [s]
[grader/s
2]
Figur 4.7. Skattad och uppmätt tippvinkelacceleration.
250 300 350 400 450
−5 0 5
tid [s]
Uppmätt yawvinkel : v=10 [knop] : infallsvinkel=0 [grader]
[grader] 250 300 350 400 450 −2 −1 0 1 2 tid [s] [grader]
Skattat yawvinkel : v=10 [knop] : infallsvinkel=0 [grader]
32 Resultat 250 300 350 400 450 −3 −2 −1 0 1 2 3 tid [s]
Uppmätt yawvinkelhastighet : v=10 [knop] : infallsvinkel=0 [grader]
[grader/s] 250 300 350 400 450 −3 −2 −1 0 1 2 3 tid [s] [grader/s]
Skattat yawvinkelhastighet : v=10 [knop] : infallsvinkel=0 [grader]
Figur 4.9. Skattad och uppmätt girvinkelhastighet.
250 300 350 400 450 −6 −4 −2 0 2 4 6 tid [s]
Uppmätt yawvinkelacceleration : v=10 [knop] : infallsvinkel=0 [grader]
[grader/s 2] 250 300 350 400 450 −6 −4 −2 0 2 4 6 tid [s] [grader/s 2]
Skattat yawvinkelacceleration : v=10 [knop] : infallsvinkel=0 [grader]
4.2 Båtmodell 33
båten. Istället grundas modellen på informationen från [7] om att största upp-mätta accelerationen i z-led är 10 m/s2 vid sjötillståndet (2.14) och hastigheten
v = 25 knop. Dessutom görs antagandet att båthöjden sammanfaller med
våghöj-den. Detta är inte helt sant eftersom båten planar vid höga hastigheter och snarare studsar på vågtopparna än följer vågytan. Den modellerade vertikala acceleratio-nen som båten upplever visas i figur 4.12. Figur 4.11 visar alla tre koordinater som behövs för att modellera båtens translationsrörelser.
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0 50 100 tid [s] [m] Båtens x−koordinat 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 −1 0 1 Båtens y−koordinat tid [s] [m] 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 −2 0 2 Båtens z−koordinat tid [s] [m]
Figur 4.11. Båtens läge i jordens koordinatsystem.
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 Tid [s] [m/s 2]
Båtens acceleration i z−riktningen
34 Resultat
4.3
Vridbords- och antennmodell
Modellen har simulerats med båthastigheten v = 5 knop. Detta gjordes med vågor som kommer mot båten snett framifrån under 45◦ vinkel. Målet mot vilket antennerna pekar i denna simulering är placerat ca 1400 m snett framför båten på koordinaterna (x, y, z) = [1000, 1000, 10]. Här följer en presentation av resultaten från simuleringen.
Figur 4.13 visar hur vridbordet uppför sig när regulatorn är urkopplad. Beroen-de på läget av vridborBeroen-dets masscentrum samt vågorna vid Beroen-det aktuella tillfället kommer θadev att svänga in sig kring ett visst läge. Utöver det ändrar sig pekfelet
i figuren eftersom båten rör sig och åker förbi målet i denna simulering. I samma figur visas också hur antennerna svänger in sig kring 90◦ då dessa kommer att peka nedåt mot båten på grund av tyngdkraften.
0 50 100 150 200 −80 −60 −40 −20 0 20 Tid [s] θadev [°] 0 10 20 30 40 50 −100 −50 0 50 100 Tid [s] θedev [°]
Figur 4.13. Pekfelet i azimuth (ö.b.) samt elevation (n.b.) då regulatorn är avstängd.
Med regulatorn inkopplad kommer pekfelet att minimeras vilket visas i fig-ur 4.14. Regulatorn tar hänsyn både till de externa krafterna som påverkar sys-temet (från vågorna och gravitationen) samt båtens läge. Enligt dessa simuleringar klarar regulatorn oftast av att hålla pekfelet mindre än 1.5◦ vilket är önskemålet. För azimuth ligger maximala vinkelhastigheten kring 6◦/s och 10◦/s2för vinkel-accelerationen (se figur 4.15). Dessa gränser är uppfyllda vid regleringen det vill säga vridbordet roterar inte fritt utan styrs av azimuthmotorn.
För elevation ligger maximala vinkelhastigheten kring 9◦/s och 15◦/s2 för
vinkelaccelerationen (se figur 4.16). Dessa gränser är uppfyllda vid regleringen det vill säga antennerna roterar inte fritt utan styrs av elevationsmotorn.
Det simulerade momentet som motorerna utvecklar vid regleringen visas i fig-ur 4.17. För azimuthmotorn är det ca 40 Nm och för elevation ca 130 Nm. Den stora skillnaden mellan dessa två motorer förklaras av att masscentrumet för antenner-na ligger längre ut från bommens rotationscentrum än vad vridbordets masscen-trum ligger från vridbordets rotationscenmasscen-trum. Dessutom måste elevationsmotorn motverka tyngdkraften hela tiden vilket azimuthmotorn slipper nästan helt.
4.3 Vridbords- och antennmodell 35 0 50 100 150 200 −2 −1 0 1 2 Tid [s] θadev [°] 0 50 100 150 200 −2 −1 0 1 2 Tid [s] θedev [°]
Figur 4.14. Pekfelet i azimuth (ö.b.) samt elevation (n.b.) vid reglering.
0 50 100 150 200 −5 0 5 Tid [s] °/s d/dt(θa) 0 50 100 150 200 −10 −5 0 5 10 Tid [s] °/s 2 d2/dt2(θa)
Figur 4.15. Vinkelhastighet samt vinkelacceleration för azimuth.
Det maximala simulerade effekten för azimuthmotorn och elevationsmotorn är 3 watt respektive 20 watt. Effekten för vridbordets motor beräknades med
Pa = Maθ˙a respektive Pe = Meθ˙e för elevationsmotorn (se ekvationen 3.56 i
[2]). Motorernas beräknade effekter visas i figur 4.18.
Den totala vinkeln mellan antennernas pekriktning och målriktningen visas i figur 4.19 både med och utan reglering. När systemet regleras minskar pekfelet markant.
Det som begränsar regulatorns prestanda är motorernas storlek. Ju starkare motorerna är desto svårare störningar kan regleras ut. Därför är det intressant att se hur systemet kommer att bete sig vid reglering med begränsad motorstyrka. I ett par simuleringar har azimuthmotorn begränsats till 25 Nm och elevationsmotorn till 110 Nm. I figur 4.20 kan man se att en del störningar slår igenom ganska mycket. Figur 4.21 visar de moment som motorerna ställer ut för att styra signalen
36 Resultat 0 50 100 150 200 −5 0 5 Tid [s] °/s d/dt(θe) 0 50 100 150 200 −10 −5 0 5 10 Tid [s] °/s 2 d2/dt2(θ e)
Figur 4.16. Vinkelhastighet samt vinkelacceleration för elevationsvinkeln.
0 50 100 150 200 −40 −20 0 20 40 Tid [s] M motor−a [Nm] 0 50 100 150 200 −140 −120 −100 −80 −60 −40 Tid [s] M motor−e [Nm]
Figur 4.17. Azimuth- och elevationsmotorns moment.
i figur 4.20.
Det kan konstateras att azimuthmotorn slår i både övre och nedre moment-gränsen ofta. Pekfelet i azimuth håller sig för det mesta inom kravgränserna men då störningarna blir för stora växer pekfelet till 25◦. Elevationsmotorn slår i den nedre momentbegränsningen nästan hela tiden. Pekfelet i elevation hålls i det-ta exempel inom kravgränserna mesdet-tadels. Som mest växer pekfelet i elevation till 35◦ beroende på störningen. Slutsatsen är att även måttliga begränsningar i motorstyrkan kan medföra stora pekfel.
Pekfelets storlek vid motorbegränsningar beror också på regulatorns prestanda. Om den är alltför aggressiv kan pekfelet bli större än om regulatorn är mindre aggressiv. För att prestera så bra som möjligt med motorbegränsningar närvarande har därför regulatorn anpassats så att den presterar på gränsen till vad som krävs för att hålla pekfelet under 1.5◦. Därför händer det ibland att kravet på pekfelet
4.3 Vridbords- och antennmodell 37 0 50 100 150 200 −1 0 1 2 Tid [s] [W] Motoreffekt i azimuth 0 50 100 150 200 −20 −10 0 10 20 Tid [s] [W] Motoreffekt i elevation
Figur 4.18. Azimuth- och elevationsmotorns effekt.
0 50 100 150 200 0 50 100 150 Tid [s] θdev [°] 0 50 100 150 200 0 0.5 1 1.5 2 Tid [s] θdev [°]
Figur 4.19. Den totala pekfelet utan reglering (ö.b.) samt med reglering (n.b.).
38 Resultat 0 50 100 150 200 −20 −10 0 10 20 Tid [s] θadev [°] 0 50 100 150 200 0 10 20 30 Tid [s] θedev [°]
Figur 4.20. Pekfelet i azimuth (ö.b.) samt elevation (n.b.) vid reglering med begränsat
motormoment. 0 50 100 150 200 −20 0 20 Tid [s] M motor−a [Nm] 0 50 100 150 200 −100 −50 0 Tid [s] M motor−e [Nm]
Kapitel 5
Slutsatser
De resultat som har presenterats hittills visar både att en stabilisering behövs och att den kan åstadkommas med två servomotorer enligt kapitel 1.2. Azimuthmotorn måste kunna utveckla minst 3 W och elevationsmotor 20 W för att uppfylla kravet på maximalt 1.5◦fel. Dessutom måste motorerna kunna uppnå en vinkelhastighet på 6◦/s och 9◦/s för azimuth respektive elevation. De maximala simulerade
motor-momenten för azimuth och elevation är 40 Nm respektive 130 Nm.
Implementering av regulatorn på styrdatorn har inte berörts på grund av tids-brist men detta skulle medföra fördröjningar i styrsystemet. Resultatet blir i så fall ett ännu större krav på motorernas vridmoment och vinkelhastighet. Elektriska motorer brukar ge en snabb respons men eftersom dessa inte har modellerats här bidrar det med en viss osäkerhet i simulerad prestanda. Därför är det önskvärt att välja motorer med lite bättre prestanda än den som uträkningarna ger.
Simuleringen visar att det krävs mycket starkare elevationsmotor än azimuth-motor. Anledningen till detta är främst att masscentrumet för elevation befinner sig betydligt längre ut från rotationsaxeln än för azimuth. Utöver det måste eleva-tionsmotorn motverka tyngdkraften hela tiden. Slutligen är det viktigt att påpe-ka att reglersystemet är anpassat så att den klarar av stabilisering vid normalt förekommande sjötillstånd på Östersjön enligt (2.14). Systemet är ej anpassat för exempelvis storm. Alla resultat från denna simulering förväntas beskriva det verk-liga förloppet någorlunda verklighetstroget om samma förutsättningar finns vid en verklig utprovning.
5.1
Vidareutveckling
Här kommer några idéer och förslag på en fortsättning av detta projekt.
• Undersökning av hur regulatorn fungerar i realtid. Ett sätt är att koppla ihop två datorer där man har hela modellen på den ena och regulatorn på den andra.
• Förbättring av regulatorn genom att ta fram ännu bättre parametrar eller genom användning av andra regulatortyper.
40 Slutsatser • Utredning av hur en implementering av regleralgoritmen på styrdatorn, som
ska sitta i lådan, inverkar på regleringen.
• Undersökning av hur stora krafter det uppstår på systemet ombord på båtar med annan kroppsform som t.ex. V-form eller en katamaran.
• Modellbaserad prediktionsreglering som lösning på problemet med begrän-sade motormoment.
Litteraturförteckning
[1] Karl Gustav Andersson. Lineär algebra. Studentlitteratur. andra upplagan, 2000.
[2] Peter Christensen. Kompendium i stelkroppsmekanik. Linköpings Tekniska Högskola. Utgivningsår okänt.
[3] Jian-Bo Hea, Qing-Guo Wangb, and Tong-Heng Leeb. PI/PID controller tuning via LQR approach. Chemical Engineering Science Volume 55, Issue 13, July 2000.
[4] http://mathworld.wolfram.com/EulerAngles.html. [5] http://www.saabgroup.com.
[6] Magnus Nordenborg. Modellbaserad drivlinereglering. Examensarbete utfört inom ämnesområdet Fordonssystem, Linköpings Tekniska Högskola, Reg nr: LiTH-ISY-EX-3642-2005, 29 april 2005.
[7] Jakob Kuttenkeuler och Karl Garme. Rörelserespons i vågor för lätt trossbåt. Kungliga Tekniska Högskolan, Stockholm. tredje upplagan, 2005.
[8] Arne Persson och Lars-Christer Böiers. Analys i flera variabler. Studentlit-teratur. andra upplagan, 1996.
[9] Torkel Glad och Lennart Ljung. Reglerteori. Studentlitteratur. andra uppla-gan, 2003.
[10] Fredrik Gustafsson och Lennart Ljung och Mille Millnert. Signalbehandling. Studentlitteratur. andra upplagan, 2001.
