Elevers förståelse av likhetstecknet

Malmö högskola

Fakulteten för lärande och samhälle Matematik och lärande

Examensarbete

15 högskolepoäng på grundnivå

Elevers förståelse av likhetstecknet

Children’s understanding of the equal sign

Jaqueline Oskarsson

Camilla Nilsson

Lärarexamen 210hp Handledare: Ange handledare

Matematik och lärande 2012-12-12

Examinator: Troels Lange

3

Förord

Denna empiriska studie har utförts av två studenter från Malmö Högskola. Vi har tillsammans i ett nära sammarbete utformat den under september och oktober månad höstterminen 2012. Under arbetets gång har vi tagit stort ansvar och fattat gemensamma beslut vad gäller litteratur som skulle ingå i studien. Gjordes någon del enskilt granskades den av den andre för att kunna förstå och ha en överblick i hela studien. Testet samt intervjuerna gjordes tillsammans eftersom vi ansåg att det är till fördel när resultaten skulle analyseras och transkriberas. Under examensarbetets gång har vi tillsammans med vår handledare lagt upp delmoment varje vecka som vi sedan diskuterat och reflekterat över. På detta arbetssätt har examensarbetets struktur tagit sin form och influerats av Backman (2008) med arbetets referenshänvisningar.

Vi vill tacka vår handledare Anna Wernberg för god handledning samt ett stort tack till klassläraren och eleverna som hjälpt oss att genomföra denna studie.

5

Sammanfattning

Syftet med denna undersökning var att undersöka elevers förståelse för likhetstecknets betydelse i skolår 3. I undersökningen använder vi oss utav ett test för att se hur eleverna uppfattar likhetstecknet när de löser matematiska utsagor skriftligt som involverar likhetstecknet. Vidare kategoriserades eleverna utifrån deras förståelse för likhetstecknet för att sedan se om de intervjuade eleverna bearbetar och angriper en matematisk utsaga som involverar likhetstecknet på ett sätt som stämde överens med vad det skriftliga resultatet visade. Vår undersökning visar att majoriteten av elever i denna klass har en operationell förståelse för likhetstecknet vid skriftlig behandling men beskriver det muntligt som om de hade en relationell förståelse. Det kan bero på att pedagogers framställning beskriver symbolen som en relation mellan tal ”det skall vara lika mycket på varje sida” men använder likhetstecknet operativt t.ex. 4 + 6 = 10 utan variation på placeringen av likhetstecknet t.ex. 4 + 6 = 5 + 5. Som bakgrund för undersökningen använder vi tidigare internationell forskning vilken behandlar elevers förståelse för likhetstecknet. Denna information har berikat oss och detta är vad vi som blivande matematiklärare kommer att ta med oss ut i verksamheten.

Nyckelord:

7

Innehåll

  1. Inledning ... 9   2. Syfte ... 11   2.1 Frågeställningar ... 11  

3 Tdigare forskning kring likhetstecknet ... 12  

4. Metod ... 16 4.1 Kvantitativ undersökning ... 16 4.2 Kvalitativa intervjuer ... 17   5. Urval ... 19   5.1 Kvantitativa undersökningen ... 19   5.2 Kvalitativa undersökningen ... 19 5.3 Forskningsetik ... 20 6. Genomförande ... 21   6.1 Kvantitativ undersökning ... 21                6.2 Kvalitativa intervjuer ... 21  

7. Resultat och Analys ... 22  

7.1 Spridningen i klassen vad gäller förståelsen för likhetstecknet ... 22  

7.2 Hur elever skriftligt löser matematiskautsagor ... 23  

7.3 Analys av hur elever skriftligt löser matematikutsagor. ... 26  

7.4 Hur elever muntligt beskriver och bearbetar likhetstecknet ... 28

7.5 Analys av hur elever muntligt beskriver och berabetar likhetstecknet ... 30  

8

8.1 Avslutande diskussion ... 34   Referenser ... 35   Bilagor ... 38  

9

1 Inledning

Som blivande matematiklärare är vi i stort engagemang av vetskapen om hur elever lär och vilka tolkningar de gör under matematikinlärningens gång. Vi har under vår verksamhetsförlagda tid uppmärksammat att elever har svårigheter gällande likhetstecknets betydelse. Den forskning och litteratur vi studerat påvisar att många elever i skolan saknar en relationell förståelse för likhetstecknet innebörd (Kieran, 1981; Knuth, Stephens, McNeil & Alibali, 2006). Relationell förståelse är när eleven förstår att det skall vara lika mycket på vardera sida om likhetstecknet1 och kan relatera till uppgifter av olika form (Behr, Erlwanger & Nichols, 1980; Bergsten, Häggström & Lindberg, 1997; Hattikudur & Alibali, 2010). Forskare säger att missförståndet av likhetstecknet beror på att matematikundervisningen ofta behandlar uppgifter som stärker den operationella förståelsen av likhetstecknet, som t.ex. 6 + 9 = __, dvs. likvärdigheter där svaret formuleras till höger om likhetstecknet (Knuth et al., 2008).

Vi har valt att göra en undersökning för att få en insikt över hur elever i årskurs 3 tänker kring likhetstecknets betydelse. Vi är intresserade av hur elever tolkar olika uppgifter där likhetstecknet har en central roll. Vår hypotes utifrån vår verksamhetsförlagda tid är att många elever saknar den relationella förståelsen för likhetstecknet. Vill vi se om de tidigare forskningsresultaten stämmer överens med vad elever i skolår 3 idag har för förståelse av likhetstecknet.

En viktig faktor som pedagog är att inte ta för givet att eleverna förstår likhetstecknets innebörd. Elever som har uppnått den relationella förståelsen för likhetstecknet förstår att det skall vara lika mycket på båda sidor om likhetstecknet. Eleven kan då relatera till uppgifter av olika form t.ex. a + b = c + d, c = a + b (Behr, Erlwanger & Nichols, 1980; Bergsten, Häggström & Lindberg, 1997; Hattikudur & Alibali, 2010).

Vår undersökning ligger i linje med Lgr 11 centrala innehåll för årskurs 1-3 inom algebra där det står att eleverna skall utveckla sin förmåga för,

1 _{Likhetstecknet används för att ange att två uttryck betecknar samma sak, eventuellt efter en uträckning. Det}

10

matematiska likheter och likhetstecknets betydelse (Skolverket, 2011, s 63). Det ligger även i linje med vad Lgr 11 kursplanen i matematik säger;

Genom undervisningen i ämnet matematik ska eleverna sammanfattningsvis ges förutsättningar att utveckla sin förmåga att använda matematikens uttrycksformer för att samtala om, argumentera och redogöra för frågeställningar, beräkningar och slutsatser (Skolverket, 2011, s. 63)

samt

Syftet med undervisningen i matematik är att eleverna skall utveckla ett intresse för ämnet samt få en förståelse för hur de kan använda matematiken i olika sammanhang. Undervisningen i matematiken skall ge eleverna en inblick i hur eleverna använder matematiken i vardagliga situationer samt hur de skall beskriva och formulera sig med olika uttrycksformer (Skolverket, 2011, s. 62).

Med ovanämda anledning skulle denna studie kunna påverka hur vår undervisning i framtiden inom matematiken kan se ut för att fördjupa elevers förståelse för likhetstecknet.

11

2 Syfte

Syftet med denna undersökning är att belysa elevers förståelse gällande likhetstecknets betydelse av elever i skolår 3. Vidare vill vi undersöka om elever har en relationell förståelse när de bearbetar matematiska utsagor som involverar likhetstecknet. Vi vill även undersöka om eleven vid en muntlig beskrivning av symbolen syftar på att det skall vara lika mycket på vardera sida om likhetstecknet. Vi är intresserade av om den muntliga förklaringen skiljer sig gentemot när likhetstecknets praktiseras i en matematisk utsaga.

2.1 Frågeställningar

1 Har elever i skolår 3 en operationell eller en relationell förståelse för likhetstecknet? 2 Hur uppfattar elever skriftligt likhetstecknet när de löser matematiska utsagor i standard

samt icke standard form som behandlar likhetstecket/nen?

3 Hur tolkar och bearbetar de intervjuade eleverna muntligt en matematisk utsaga i standard samt icke standard form som behandlar likhetstecket/nen?

12

3 Tidigare forskning kring likhetstecknets

betydelse

Flertalet av elever i grundskolans tidigare år visar sig ha svårigheter med förståelsen för likhetstecknets innebörd (Kieran, 1981). Detta väcker ett intresse att undersöka om det stämmer överens med hur elevers förståelse för likhetstecknet är idag gentemot vad tidigare forskning säger.

Forskningsstudier som gjorts på 1970- och 1980-talet visar enligt Kieran (2004) att elever som påbörjat algebrastudier har bl.a. svårigheter med uttryck i icke-standard format, c = a + b. Forskaren menar att aritmetikundervisningen oftast är svarsorienterad t.ex. a + b = c och då inte är inriktad på processer och relationer. Vidare menar Falkner, Levi och Carpenter (1999) att barn i förskolan redan har en informell matematisk kunskap vid skolstarten och tolkar likhetstecknet utifrån den instinktiva kunskapen om aritmetik som etablerat sig i stort sätt på aktiva handlingar och räkneschema. Utöver Kieran (2004) har även andra forskare (Feiman & Lee, 2004; Knuth et al., 2006) fått resultat som visar att många elever saknar relationell förståelsen för likhetstecknet. Eleverna uppfattar likhetstecknet som operationellt vilket innebär att symbolen ses som ett förfarande till uträkning av något, att någonting ”blir” (Behr, Erlwanger & Nichols, 1980). Det är avgörande för eleverna att ha en grundläggande kunskap om likhetstecknet som en indikator på matematisk jämlikhet för att kunna lösa ekvationer (Bergsten, Häggström & Lindberg, 1997). Denna kunskap är grundläggande för elevers matematiska utveckling och en viktig länk mellan aritmetik och algebra (Bergsten, Häggströ & Lindberg, 1997; Percival, Rittle-Johnson, McEldoon & Taylor, 2012). Elever som uppnått den relationella förståelsen för likhetstecknet förstår att det skall vara lika mycket på båda sidor om likhetstecknet och kan relatera till uppgifter av olika form (Behr, Erlwanger & Nichols, 1980; Bergsten, Häggström & Lindberg, 1997; Hattikudur & Alibali, 2010 ). Detta ligger i linje med vad Skemp (1976) betecknar relationell förståelse. Relationell förståelse är

13

benämning på den uppfattning som en individ har då denne är mycket väl förtrogen med en matematisk utsaga och dess lösning i en given kontext. En elev har en relationell förståelse om denne vet vilken/vilka regler som skall tillämpas och varför. Operationell förståelse är motsatsen till relationell förståelse. Eleven vet vilken regel som skall tillämpas men inte varför (Skemp, 1976).

En förklaring till varför elever i ett senare skede utvecklar den operationella förståelsen för likhetstecknet menar Carpenter, Frank och Levi (2003) att de kontinuerligt möter uppgifter i läroböcker samt att missförståndet av likhetstecknet beror på att matematikundervisningen och pedagoger ofta behandlar uppgifter som stärker den operationella förståelsen av likhetstecknet, som t.ex. 6 + 9 = __, dvs. likvärdigheter där svaret formuleras till höger om likhetstecknet (Knut et al., 2008). Konsekvensen utav detta är att eleverna uppfattar likhetstecknet som en uppmaning att räkna ut något först och sen skriva svaret (Bergsten, Häggström & Lindberg, 1997; Carpenter, Frank & Levi, 2003). Vidare menar Kronqvist och Malmer (1993) att likhetstecknet oftast introduceras i samband med dynamisk addition, a + b = c (Andersson, 2009). Detta stärker elevens uppfattning av likhetstecknet som ett resultattecken.

Falkner, Levi och Carpenter (1999) har implementerat en studie i USA gällande grundskoleelevers förståelse för likhetstecknets betydelse. I studien medverkade över 700 elever i år 1-6. Eleverna fick en matematisk utsaga som löd på detta vis, 8 + 4 = __ + 5. Resultatet av undersökningen visade att knappt 10 % av eleverna i respektive år kunde ge en korrekt lösning. De felsvar som var mest frekventa var 12 eller 17 istället för det korrekta svaret 7. Elevernas svar visar tydligt på att likhetstecknet tolkas som en uppmaning att göra någonting, dvs. operationellt (Bergsten, Häggströn & Lindberg, 1997; Kieran, 1981). Enligt Malmer (1990) kan det uppfattas som ett ”resultattecken”. Det finns 3 typiska lösningsstrategier som Falkner, Levi & Carpenter (1999) identifierade som visar på hur eleverna tolkar likhetstecknet:

1) Utföra additionen och skriva svaret 12 efter likhetstecknet, 8 + 4 = 12 + 5 2) Addera samtliga tal och skriva in 17 i den tomma luckan, 8 + 4 = 17 + 5 3) Utveckla uppgiften, 8 + 4 = 12 + 5 = 17

14

Percival et al. (2012) implementerade en empirisk studie utifrån en psykometrisk modell de utarbetat. Syftet med studien var att undersöka elevers förståelse för likhetstecknet. Studien grundade sig på data som samlats in från 13 klasser från två olika skolor i Tennessee, USA mellan skolår 2 och 6. Totalt medverkade 224 elever. Eleverna fick genomgå ett matematiskt test där utsagorna kategoriserats i olika nivåer (1, 2, 3, 4) beroende på utsagornas struktur och strategilösningar. De matematiska utsagornas struktur i nivå 1 innebar operation på vänster sida om likhetstecknet, a + b = c och det inkluderar även att det obekanta talet kan står i vänsterledet. Nivå 2:s struktur på utsagorna utformades så att operationen utförs på höger sida om likhetstecknet, c = a + b samt ingen operation alls, a = a. De matematiska utsagorna i nivå 3 behandlar operation på båda sidor om likhetstecknet, a + b = c + d samt a + b - c = d + e. Nivå 4:s struktur är ett påstående utformade så att de effektivt kan lösas genom att förenkla transformationer, t.ex. är påståendet 76 + 86 = 68 + 85 sann eller falsk. Denna transformation skall göras utan att eleven skall behöva summera vänsterled och sedan högerled. De olika nivåerna behandlar olika lösningsmetoder som är kopplade till om eleven har en relationell eller operationell förståelse. Nivå 1 kräver en grundläggande strategi för lösning som involverar den operationella förståelsen. Nivå 2 kräver en flexibel strategi för lösning som involverar den operationella förståelsen. Nivå 3 kräver en grundläggande strategi för lösning som involverar det relationella förståelsen. Nivå 4 kräver en jämförande relationell förståelse. Resultatet av studien visar att elever har större svårigheter med utsagor där verksamheten sker på höger sida än på vänster sida om likhetstecknet, vilket är skillnaden på nivå 1 och 2. Verksamhet på båda sidor var i allmänhet svårare än verksamhet på en sida, vilket är skillnaden på nivå 2 och 3. Nivå 4 följde samma mönster som nivå 2 och 3 vilket innebar att svårigheterna visade sig när verksamheten ej befann sig på vänster sida om likhetstecknet. Percival et al. (2012) konkluderade även att elever är osäkra när utsagorna skrivs i icke standardformat, 3 + __ = 8.

Hattikudur och Alibali (2010) har undersökt i en studie om likhetstecknets betydelse befäster bättre om man i undervisningen samtidigt introducerar andra relationssymboler som indikerar olikheter. I studien medverkade 112 elever som gick år 3 och år 4 i grundskolan. Eleverna delades in i tre grupper. Grupp 1 behandlade relationssymbolerna minde än (<), större än (>) samt likhetstecknet (=) i lärandesekvensen. Elever i grupp 2

15

behandlade endast likhetstecknet i lärandesekvensen. Grupp 3 var en kontrollgrupp där de arbetade med relationer muntligt utan användning av symboler. Ett förtest och ett eftertest användes för att få ett resultat av studien. Analysen av resultatet från efter testen visade att de elever som i lärandesekvensen behandlat flera relationstecken visar bättre relationell förståelse för likhetstecknet.

Den senaste Trends in International Mathematics and Science Study (TIMSS, 2007) undersökningen där resultatet har färdigställts visar att majoriteten av elever i år 8 presterar sämre än majoriteten av andra elever i andra medverkande länder i algebra. Testuppgifterna eleverna har utfärdat visar att majoriteten av eleverna i år 8 saknar den relationella förståelsen av likhetstecknet, vilket är en bidragande faktor till misslyckandet med ekvationslösning (Skolverket, 2008).

16

4 Metod

Vi valde att göra en flermetodsundersökning som inbegriper både en kvantitativ och kvalitativ metod för att besvara undersökningens frågeställningar. För att samla in data och undersöka elevers förståelse av likhetstecknet i skolår 3 fick 21 elever genomföra ett test som sedan låg till grund för urvalet av de kvalitativa intervjuerna. Ett test låg till grund för att kunna klassificera elevers förståelse för likhetstecknets betydelse. Uppgifterna på testet varierade i svårighetsgrad vilket gör att eleverna kan kategoriseras i olika nivåer. Testets uppgifter var slumpmässigt ordnade för att inte få en stegrande svårighetsgrad för att undvika att eleverna ger upp för tidigt. Nackdelen med en kvantitativ undersökning i form av ett matematiskt test kan vara att respondenten inte kan få något svar på deras undringar (Bryman, 2008). Fördelarna med ett kvantitativt skriftligt test minimerar administrationen om man jämför med kvalitativa intervjuer (Bryman, 2008) där transkriberingstiden utgör en tidsmässig belastning. Anledningen till att använda intervjuer i undersökningen är för att få en djupare inblick (Bryman, 2008) kring hur respondenterna tänker kring de matematiska utsagorna. Vidare medför detta en mer kvalitativ undersökning (Bryman, 2008). Transkriberingen av intervjuerna har en viss fördel då man bevarar respondentens ord och uttryck, men leder också till att textmassan som skall analyseras växer och blir väldigt tidskrävande (Bryman, 2008).

4.1 Kvantitativ undersökning

Förtestet är utformat vad Bryman (2008) beskriver som en kvantitativ undersökning. Författaren menar att en kvantitativ undersökningsmetod kan användas som ett sätt att mäta. Vidare menar författaren (2008) att mätning utgör grunden för mer exakta skattningar eller beräkningar av vilken relation som finns mellan begrepp till exempel relationerna mellan nivå 1, 2, 3 och 4. För att få en uppfattning av elevernas förståelse fick de lösa matematiska utsagor som behandlar likhetstecknet (bilaga 2). Elevernas resultat

17

analyserades utifrån den modell som beskrivs i kapitel 3 (Percival et al., 2012). Resultatet av utsagorna användes sedan som underlag till intervjuerna. Sex elever valdes ut beroende på vilken förståelse den hade. Strukturen för utsagorna av det skriftliga testet var inspirerad från en internationell studie (Percival et al., 2012). De matematiska utsagorna var kategoriserade i olika nivåer. Nivå 1 utsagornas struktur behandlade verksamhet på vänster sida om likhetstecknet, 7 + 5 = __. Nivå 2 utsagornas struktur behandlade verksamhet på högersida om likhetstecknet, 18 = 6 + __ samt ingen verksamhet alls, 34 = __. Nivå 3 utsagornas struktur behandlar verksamhet på båda sidorna, 12 + 5 = __+ 7 samt 15 -__ = 7 + __. Avslutningsvis en likhetsorm som behandlar verksamhet på båda sidorna, 4 + 6 = __ + 5 = 17 - __ - __ = 7 + 2 + __ = 9 – 1 + __. Inspirationen för likhetsormen är hämtad från en artikel ur nämnaren, tidsskrift för matematikundervisning (Brorsson, 2012). Spridningen av elevers förståelse för likhetstecknet i klassen redovisas i diagram och felsvaren av utsagorna redovisar vi i 2 tabeller som ligger som bilaga (bilaga 4).

4.2 Kvalitativa intervjuer

Kvalitativa enskilda intervjuer ger oss en insikt i hur intervjupersonerna upplever vad som är relevant för dem ifråga (Bryman, 2008).

En intervjuguide (bilaga 3) som till viss del var fastställd användes i de kvalitativa intervjuerna. Bryman (2008) menar att en intervjuguide är anpassad till kvalitativa intervjuer då man kan se det som en kort minneslista inom vilket område som skall beröras i en intervju. Vidare skriver han att kvalitativa intervjuer innehåller två typer av intervjuer, ostrukturerad- samt semistrukturerad intervju (Bryman, 2008). Vår undersökning lämpar sig bäst för semistrukturerad då våra intervjuer innehåller en intervjuguide som består av samma frågor och följdfrågor till alla respondenter. Frågorna har öppna svars möjligheter vilket ger respondenterna stor frihet att utforma svaren på sitt sätt vilket ger oss möjligheten till en fördjupad analys. Frågorna är utformade och bearbetade på ett sätt så de anpassar våra respondenter.

Intervjuerna ägde rum på skolan där eleverna har sin verksamhet. Anledningen till det var för att skapa en miljö där eleverna känner sig trygga (Doverberg & Pramling, 1998). Sex elever valdes ut utifrån deras resultat på testet. Två elever från vardera nivån 1, 2 och 3.

18

Intervjuerna antecknades och spelades in på ljudfil vilket hjälper så att speciella fraser och uttryck inte går förlorade (Bryman, 2008). Intervjuerna analyseras utifrån vad tidigare forskning säger om förståelsen av likhetstecknet.

19

5 Urval

5.1 Kvantitativa undersökningen

Vår undersökning genomfördes på 21 elever i skolår 3. Urvalet av klassen har skett av det Bryman (2008) kallar för målstyrda urval vilket innebär att vårt undersökningsområde har koppling till undersökningens syfte och frågeställning. Undersökningen utfördes på en skola i södra Sverige. De mest frekventa uppgifterna eleverna hade fel på användes sedan som underlag för diskussion i intervjuerna.

5.2 Kvalitativa undersökningen

Våra intervjuer baserades på resultatet av det skriftliga testet. Eleverna i klassen kategoriserats om hur deras förståelse för likhetstecknet befästs. Elevernas förståelse har analyserades på följade vis. Har eleven 50 % eller mindre korrekta svar på utsagorna i nivå 2 klassas den som nivå 1. Har eleven 50 % eller fler korrekta svar på utsagor i nivå 2 samt 50 % eller mindre korrekta svar på utsagor i nivå 3 klassas den som nivå 2. Har eleven 50 % eller fler korrekta svar på utsagor i nivå 3 samt minst 75 % korrekta svar från de andra nivåerna klassas denne som en nivå 3. Två från vardera kategorin skulle medverka vilket Bryman (2008) menar är ett målinriktat urval vilket innebär att deltagarna väljs ut på ett strategiskt sätt utifrån relevansen i undersökningen.

Av undersökningsgruppen genomförde alla 21 eleverna den kvantitativa undersökningen. Det var endast 19 elever som deltog i den kvalitativa intervju delen vilket innebär att det blev ett bortfall på 2 elever totalt. Detta var på grund av föräldrarnas misstycke till att deras barn skulle medverka i en intervju.

Skolan valdes vi för att en av oss har utfört sin verksamhetsförlagda tid på skolan vilket vi styrker med vad Bryman (2008) menar är viktiga detaljer vid en intervju. Vidare menar

20

författaren att om man är bekant med miljön underlättar det tolkningen och förståelsen av respondenterna ifråga berättar (Bryman, 2008).

5.3 Forskningsetik

Inför vår undersökning kontaktade vi personligen klassens mentor för att få ett godkännande att genomföra undersökningen i klassen. Detta gjordes för att mentorn skulle vara väl medveten om vilka vi var och hur undersökningen skulle gå till. Det skedde även ett överlämnande av den skriftliga informationen som föräldrarna skulle ta del av. Vidare informerade vi elevernas föräldrar via ett informationsbrev (bilaga 1) där de fick ta ställning till om deras barn fick lov att medverka i undersökningen (Bryman, 2008; Johansson & Svedner, 2006). I brevet stod det information om vår undersökning samt etisk information, d.v.s. test, inspelning samt att materialet endast används till forskningsstudien och att alla namn som används är fingerade. Detta är vad Bryman (2008) menar med sina etiska punkter, konfidentialitetskrav samt nyttjandekrav. Eleverna blev väl informerade inför varje moment att det var frivilligt att medverka och att de när som helst kunde avbryta sitt deltagande (Bryman, 2008; Johansson & Svedner, 2006).

21

6 Genomförande

6.1 Kvantitativ undersökning

Vi berättade för eleverna att vi läser vår sista termin på högskolan och att vi skriver vårt examensarbete. Vi informerade eleverna om tester de skulle utföra och att vi behövde samla in data till vår empiriska undersökning. Data samlades in för att kunna se likheter och skillnader med den litteratur som vi läst. Med det sagt fick eleverna ut varsitt test. Testet utfördes i eleverna klassrum och de fick den tid de behövde för att utföra testet. Testet bestod av 13 matematiska utsagor där eleverna testades på om de hade en operationell eller relationell förståelse för likhetstecknet. När eleven kände sig färdig lämnades testet in och elevernas resultat analyserades och kategoriserades sedan efter en modell som Percival et al. (2012) arbetat fram.

6.2 Kvalitativa intervjuer

För att hindra möjliga störningsmoment utfördes intervjuerna i ett grupprum i anslutning till elevernas klassrum. Vi intervjuade eleverna en och en, totalt sex elever. Efter varje intervju bearbetade vi materialet för att få ner alla detaljer vi uppmärksammat under själva intervjun. Bryman (2008) menar att det är viktigt att direkt sammanställa all information man tagit del av så fort som möjligt. De kvalitativa intervjuerna var utformade som en semistrukturerad intervju vilket innebar att vi höll oss till ett förhållandevis specifikt tema, likhetstecknets betydelse. Beroende på elevernas svar ställdes relevanta följdfrågor för att få en djupare kvalité av resultatet. Samtliga deltagare fick förklara muntligt hur deras tankebanor kring de specifika matematiska utsagorna som var mest frekventa, det vill säga vilka utsagor det fanns flest felsvar på. Samtliga intervjuer spelades in på ljudfil och transkriberades för att förhindra att missa relevant information (Bryman, 2012).

22

7 Resultat och analys

Vår undersökning av elevers förståelse kring likhetstecknets betydelse innebar två olika data insamlingsmetoder: en kvantitativ undersökning samt kvalitativa intervjuer. I följande kapitel redovisas resultaten och analysen av den insamlade data av vår empiriska undersökning. Samtliga resultat av den kvantitativa samt den kvalitativa undersökningen finns representerad. I diagrammen finns spridningen av elevers förståelse representerat på de olika utsagorna samt en procentuell översikt inom de olika nivåerna. Kapitlet inleds med resultat och analys av spridningen i klassen av förståelsen för likhetstecknet följt av resultat och analys utav de mest frekventa utsagorna och procentuella spridningen av nivå 1, 2, 3. Slutligen resultat och analys av de kvalitativa intervjuerna.

7.1 Spridningen i klassen vad gäller förståelsen för

likhetstecknet

Tio av 21 elever föll inom kategorin nivå 1 vilket krävde en grundläggande strategilösning som behandlar den operationella förståelsen. Nio av 21 elever föll inom kategorin nivå 2 vilket krävde en flexibel strategilösning som behandlar den operationella förståelsen. Två av 21 elever föll inom kategorin nivå 3 vilket krävde en grundläggande strategilösning som behandlar det relationella förståelsen. I diagrammet nedan visas den procentuella spridningen i klassen av förståelsen av likhetstecknet.

23 Figur 1

Resultatet visar att 47 % samt 43 % vilket representerar majoriteten har en grundläggande samt flexibel strategilösning av operationell typ. Vilket innebär att dessa elever vet vilken regel som skall tillämpas men inte varför (Skemp, 1976). Resterande 10 % visar att de uppnått den relationella förståelsen för likhetstecknet och förstår att det skall vara lika mycket på båda sidor om likhetstecknet och kan relatera till uppgifter av olika form (Behr, Erlwanger & Nichols, 1980; Bergsten, Häggström & Lundberg, 1997; Hattikudur & Alibali, 2010 ).

7.2 Hur elever skriftligt löser matematiskautsagor

Av eleverna svarade 88 % korrekt på de utsagor som var kategoriserade som nivå 1. Figur 1 visar spridningen i antal och figur 2 visar spridningen procentuellt av nivå 1 utsagorna. Utsagor som behandlar nivå 1:

1) 7 + 5 = ___ 2) 40 – 8 = ___ 7) 12 + 11 = ___ 11) 18 – 5 = ___

I diagrammen nedan visas spridningen utav utsaga 1, 2, 7 och 11 (figur 2) samt den procentuella spridningen i klassen av nivå 1 (figur 3).

Nivå 1 Nivå 2 Nivå 3

24

Figur 2 Figur 3

På utsaga 1 svarade 95 % av eleverna korrekt, utsaga 2 svarade 95 % av eleverna korrekt och på utsaga 7 svarade 90 % av eleverna korrekt och på utsaga 11 svarade 71 % av eleverna korrekt.

Felsvaren blir mer påtagligta när utsagor var utformade av annan struktur där operationen utförs på höger sida om likhetstecknet (c = a + b) samt där ingen operation utfördes (a = a). Av eleverna svarade 68 % korrekt på nivå 2 utsagorna. Figur 4 visar spridningen i antal per utsaga och figur 5 visar spridningen procentuellt av nivå 2 utsagorna.

Utsagor som behandlar nivå 2: 3) 18 = 6 + ___

4) 34 = ___ 8) 18 = ___ + ___

I diagrammen nedan visas spridningen utav utsaga 3, 4 och 8 (figur 4) samt den procentuella spridningen i klassen av nivå 2 (figur 5).

Figur 4 Figur 5

Nivå 1 Nivå 1

25

På utsaga 3 svarade 81 % av eleverna korrekt, utsaga 4 svarade 43 % av eleverna korrekt och på utsaga 8 svarade 81 % av eleverna korrekt. Beskrivning av generella fel av utsagor som ligger inom ramen för nivå 2 redovisas i tabell A i bilaga 4.

De matematiska utsagorna i nivå 3 behandlar operation på båda sidorna om likhetstecknet (a + b = c + d samt a + b - c = d + e). Av eleverna svarade 21 % korrekt på de utsagor som var kategoriserade som nivå 3. Figur 6 visar spridningen i antal per utsaga och figur 7 visar spridningen procentuellt av nivå 3 utsagorna.

Utsagor som behandlar nivå 3: 5) 12 + 5 = __ + 7 6) __ + 13 – 5 = 5 + __ 9) 9. 7 + 5 = __ + 8 10) 10. 15 -__ = 7 + __ 12) 12. 24 – 7 + __ = __ - __ 13) 13. 4 +6 = __ + 5 = 17 - __ - __ = 7 + 2 + __ = 9 – 1 + __

I diagrammen nedan visas spridningen utav utsaga 5, 6, 9, 10, 11 och 13 (figur 6) samt den procentuella spridningen i klassen av nivå 3 (figur 7).

Figur 6 Figur 7

På uppgift 5 svarade 29 % av eleverna korrekt, uppgift 6 svarade 33 % av eleverna korrekt, uppgift 9 svarade 24 % av eleverna korrekt, uppgift 10 svarade 24 % korrekt, uppgift 12 svarade 10 % av eleverna korrekt och på uppgift 13 svarade 10 % av eleverna korrekt.

Nivå 3 Nivå 3

26

Beskrivning av generella fel av utsagor som ligger inom ramen för nivå 3 redovisas i tabell B i bilaga 4.

7.3 Analys av hur elever skriftligt löser matematiskautsagor

Analysen huvuddel grundar sig på de tre mest frekventa felsvaren som eleverna gjorde på testet. Vidare beskrivs även andra felsvar eleverna gjorde som endast var återkommande enstaka gånger.

På uppgift 5 (12 + 5 = __ + 7) som kategoriserats som en nivå 3 utsaga skriver eleverna 17 eller 24 på det tomma strecket och ignorerar + 7 på den högra sidan om likhetstecknet eller summerar det tre givna talen. Eleverna uppmanas att utföra en operation på vardera sida om likhetstecknet där resultatet visas efter likhetstecknet. Eleverna adderar vänsterled och tar ej hänsyn till det fjärde talet samt adderar de samman vänsterled och skriver summan till höger om likhetstecknet. Detta förekom även i uppgift 9 (7 + 5 = __ + 8) som ligger som en nivå 3 utsaga. Detta ligger i linje med vad Falkner, Levi och Carpenter (1999) identifierar som de mest typiska lösningsstrategier att utföra additionen och skriva svaret efter likhetstecknet eller addera samtliga tal och skriver in den totala summan i den tomma luckan. Detta kan bero på att likhetstecknet framställs som ett operationstecken på matematikundervisningen som t.ex. 6 + 9 = __, vilket innebär att eleverna uppfattar likhetstecknet som en uppmaning att göra något och därefter skriva ner svaret (Bergsten, Häggström & Lindberg, 1997; Carpenter, Frank & Levi, 2003). En annan uppgift eleverna hade svårt att lösa var uppgift 10 (15 - __ = 7 + __). 24 % av eleverna löste denna. De tolkningar vi gör utifrån hur vi ser att eleverna tyder denna uppgift är vad Percival et al. (2012) menar med att elever inte accepterar uttryck i icke-standard format. Eleverna känner sig inte bekväma med fler än ett operativtecken samt flera obekanta tal i samma uppgift. Felsvar där elever lägger till ett operationstecken inträffade på uppgift 4 (34 = __) som är en nivå 2 utsaga. Percival et al. (2012) beskriver detta som en vanlig lösning från elever då de anser att utryck utan operationstecken inte förekommer. Andra felsvar som endast förekom enstaka gånger av eleverna är att de tolkar likhetstecknet som att de skall,

27 • göra ett tiotal/entalshopp/division, • adderat samman de yttersta talen,

• ser de två tomma fälten som det vore resultatet av de närliggande talen, • yttersta talen adderades samman,

• vänsterledet subtraheras och resultatet skrivs på de tomma fälten,

• subtraherat vänsterled och skrivet svar i det högra tomma fältet samt adderat samman högerledet för att få svaret att stämma överens med det första givna talet, • utgått från det tal höger om likhetstecknet och balanserat talen om vardera sida om

likhetstecknet,

• adderat samman de två tal vid likhetstecknet och angivit resultatet i det andra tomma fältet,

• de två första talen har subtraherats och differensen angivits i det första tomma fältet utan att tagit hänsyn till likhetstecknets placering,

• adderat samman två tal och gjort talet negativt,

• subtraherat högerled och angivit differensen i det andra tomma fältet,

• räknat samman vänsterledet så att resultatet stämmer överens med talet höger om likhetstecknet,

• adderat istället för subtraherat,

• inte tagit hänsyn till tal inom likheten.

Dessa enstaka felsvar kan bero på vad som redan har beskrivs tidigare i analysen. En översikt av felsvaren finns representerade i tabeller (bilaga 4) där utsagorna finns utskrivna. Resultatet visar att eleverna har godtycklig förståelse när det gäller utsagor där verksamheten befinner sig på höger sida om likhetstecknet vilket kräver en grundläggande strategilösning för en operationell förstelse, nivå 1. Resultatet av undersökningen visar att elever har större svårigheter med utsagor där verksamheten sker på höger sida än på vänster sida om likhetstecknet vilket kräver en flexibel strategilösning för en operationell förståelse, vilket är skillnaden på nivå 1 och 2. Verksamhet på båda sidor var i allmänhet svårare än verksamhet på en sida vilket kräver en grundläggande strategilösning som behandlar den relationella förståelsen, vilket är skillnaden på nivå 2 och 3.

28

7.4 Hur

elever

muntigt

beskriver

och

bearbetar

likhetstecknet

Hur bearbetar och angriper de intervjuade eleverna en matematisk utsaga som involverar likhetstecknets betydelse samt vilka tolkningar gör elever vid muntlig beskrivning av likhetstecknet.

De två elever vi bedömer ha en operationell förståelse (nivå 1) när de löser uppgifter som behandlar likhetstecknet beskriver likhetstecknets betydelse på följande vis;

Hannes: Att det skall vara lika mycket på båda sidorna Anna: Att det skall vara lika mycket

Både Anna och Hannes visar en tendens till en relationell förståelse vid muntlig beskrivning genom uttalandet om att ”det skall vara lika mycket” samt ”att det skall vara lika mycket på båda sidorna” vilket inte stämmer överens med hur de använder relationstecknet skriftligt.

Detta blir mer påtagligt att Anna inte har en relationell förståelse vidare i intervjun då hon ger en förklaring på hur hon bearbetade och tänkte kring uppgift 4 (34 = __), vilket framgår av nedan utdrag.

Anna: Alltså 34 = __, jag förstod inte. För ibland brukar det stå 2 + 10 =, alltså jag förstod inte.

Intervjuare: Så det var konstigt att det stod ett tal och inte två? Anna: Ja

Hannes visar att han saknar en relationell förståelse när han vidare i intervjun förklarar på hur han bearbetade och tänkte kring uppgift 12 (12 + 5 = __ + 7 ), vilket framgår av nedan utdrag.

Intervjuare: När du ser uppgift 12. 12 + 5 = någonting + 7. Hur tänker du? Hannes: Jag tänker att 12 + 5 = 17, sen förstod jag inte +7

De två elever vi bedömer ha en operationell förståelse, nivå 2 när de löser uppgifter som behandlar likhetstecknet beskriver likhetstecknets betydelse på följande vis:

Maria: Hur mycket det blir Albin: Samma tal på samma sida

29

Maria beskriver sin tankegång vid matematiska uträkningar på ett relationellt sätt när det gäller uppgift 5, vilket framgår av nedan utdrag.

Intervjuare: Vill du förklara hur du tänkte när du löste uppgift 5?

Maria: 12 + 5 är 17, sen skulle jag ha lika mycket på båda sidorna och där fanns redan 7 så då fick jag lägga till 10.

Testet i helhet visar att hon har en operationell förståelse då hon endast klarade av denna uppgift som kategoriseras som nivå 3.

Albin beskriver indirekt likhetstecknets betydelse som om han har en relationell förståelse ”samma tal på samma sida” men hans matematiska tankegångar visar att han har en operationell förståelse. Albin hade svårt att muntligt uttrycka sig matematiskt och svaren relaterade oftast likt denna, vilket framgår av nedan utdrag.

Intervjuare: Hur tänkte du här? 12 + 5 = 8 + 7 Albin: Nej, jag kommer inte ihåg

Albins resultat från testet visar att han har en operationell förståelse för matematiska utsagor som behandlar likhetstecknet.

De två elever vi bedömer ha en relationell förståelse, nivå 3 när de löser uppgifter som behandlar likhetstecknet beskriver likhetstecknets betydelse på följande vis;

Markus: Står det ett tal på en sida så skall de vara likadant tal på andra sidan Åsa: Det skall vara lika mycket på varje sida

Markus har en relationell förståelse när han beskriver sina tankegångar gällande sina matematiska utsagor, vilket framgår av nedan utdrag.

Intervjuare: Vi hoppar ner till uppgift 12 om vi tittar på den. Jag vill att du förklarar hur du tänkte där?

Markus: 24 – 7 och det är 19 tror jag eller 18 Intervjuare: Det är 17

Markus: Så då tänkte jag plus 2 och då blir det 19. För där var ett likhetstecken och då skall det vara lika mycket på andra sidan och då tänkte jag 20 – 1 som också är 19.

Markus var även en av de två som klarade likhetsormen och han visade god relationell förståelse.

30

Åsas beskrivning muntligt av likhetstecknets betydelse stämmer överens med vad resultatet av testet visade. Följande utdrag av intervjun visar god förståelse för likhetstecknets betydelse;

Intervjuare: Hur tänkte du på uppgift 5 (12 + 5 = __ + 7)?

Åsa: Först så räknar man ut vad 12 + 5 blir och det blir 17, sen går man vidare till nästa och då står där 7 och då kan man räkna ut att det blir 10 för att det skall bli lika mycket.

7.5 Analys av hur elever muntigt beskriver och bearbetar

likhetstecknet

Den mest frekventa muntliga beskrivningen av likhetstecknet är en tolkning av vad flera forskare (Behr, Erlwanger & Nichols, 1980; Bergsten, Häggströ & Lindberg, 1997; Hattikudur & Alibali, 2010) hävdar är en relationell förståelse för likhetstecknet. Eleven förstår då att det skall vara lika mycket på båda sidor om likhetstecknet och kan då relatera till uppgifter av olik struktur. Resultatet från de sex elever som efter testet blev intervjuade stämmer till viss del överens med vad deras resultat av vad testet visade. Joworski (1998) hävdar att varje elev konstruerar sin matematiska förståelse utifrån sina erfarenheter och för att kunskapen skall utvidgas och utmanas är det viktigt att elevernas idéer introduceras, delges, diskuteras och förhandlas fram i undervisning. Pedagogen beskriver ofta att symbolen betyder att det skall vara lika mycket på båda sidorna, men synliggörs inte relationen och sambandet på ett meningsfullt sätt för eleven knyts ingen djupare förståelse för likhetstecknets betydelse.

31

8 Diskussion

I följande kapitel diskuteras tidigare forskning och resultat tillsammans med våra resonemang. Kapitlet inleds med en diskussion kring vad tidigare forskning säger och vad våra resultat visade samt koppling till läroplanen. Vidare beskrivs undervisningens roll för att skapa en djupare förståelse för likhetstecknet. Avslutningsvis följer resonemang kring valditeten och didaktiska konsekvenser utav vår undersökning samt egna tolkningar och erfarenheter vi mött.

Resultatet från vår undersökning visar att elever har en operationell förståelse för likhetstecknets betydelse i den klass undersökningen utfördes. Det stämmer överens med vad tidigare forskning visar.

Under intervjuerna indikerar eleverna på att dem har en relationell förståelse för likhetstecknet vilket inte stämmer överens med resultatet av det kvantitativa testet. Fem av sex elever beskriver tecknet muntligt, ” skall vara lika mycket på varje sida om likhetstecknet”. En av eleverna jämförde likhetstecknet som att eleven har förståelse för att tecknet står för likhet. Denna jämförelse kan bero på att eleven har förstått och utvecklat denna förståelse genom matematikundervisningen, och det tyder på att de intervjuade eleverna fått likhetstecknet introducerat i en operationell kontext tillsammans med addition då flertalet av eleverna muntligt kan beskriva tecknet som relationellt. Det intressanta med detta är att eleverna visar på en operationell förståelse och inte den relationella när de löser skriftliga utsagor som involverar likhetstecknet.

De mest frekventa felsvar var att elever adderar samman vänsterled och skrev summan till höger om likhetstecknet ex. 12 + 5 = __ + 7. Majoriteten svarade 17 i det tomma fältet. Detta är en relativt vanlig lösning elever gör och ligger i linje med vad Falkner, Levi och Carpenter (1999) identifierar som typiska lösningstrategier som de efter en studie konstaterat (utföra additionen och skriva svaret 12 efter likhetstecknet, 8 + 4 = 12 + 5, addera samtliga tal och skriva in 17 i den tomma luckan, 8 + 4 = 17 + 5). Antalet lösningar av denna form kan även bero på vad Freiman och Lees (2004) studie visar, att öppna

32

utsagor med operationer på höger sida av likhetstecknet genererar problematik för eleverna. Problematik i form av att elever inte accepterar utsagor utöver standardformat (Percival et al., 2012).

Studier visar (Carpenter, Frank & Levi, 2003; Falkner, Levi & Carpenter, 1999) att elever har svårt att acceptera utsagor utan operationstecknen som t.ex. 34 = __ . Utsagor som denna tolkar elever som felaktiga då de inte är bekanta med denna struktur och eleverna tenderar till att hitta egna lösningar. Lösningar som vi uppmärksammade var t.ex. att de lade till ett operationstecken 34 = 34 + 0, ental/tiotalhopp 34 = 35, 34 = 24 samt ser likhetstecknet som division 34 = 17. Elevernas svar visar tydligt på att likhetstecknet tolkas som en uppmaning att göra någonting, dvs. operationellt (Bergsten, Häggströ & Lindberg, 1997; Kieran, 1981). Malmer (1990) anser att det uppfattas av eleverna som ett ”resultattecken”.

Majoriteten av klassen har en förståelse av operationell typ vilket innebär att eleverna har en grundläggande/flexibel strategilösning av operationell typ när de löser matematiska utsagor som involverar likhetstecknet (Percival et al., 2012). En förklaring till varför elever utvecklar den operationella förståelsen för likhetstecknet menar Carpenter, Frank & Levi (2003) att de kontinuerligt möter uppgifter i läroböcker som är av denna struktur. Detta kan även bero på att pedagogen presenterar likhetstecknet i uppgifter där svaret skrivs till höger om tecknet (Carpenter, Frank & Levi, 2003) samt genom att likhetstecknet introduceras i samband med dynamisk addition vilket stärker elevens uppfattningar som ett resultattecken istället för ett relationstecken (Kronqvist & Malmer, 1993). Detta ligger även i linje med vad Kieran (2004) antyder att aritmetikundervisningen oftast är svarsorienterad och är då inte inriktad på processer och relationer. Vidare menar Falkner, Levi och Carpenter (1999) att barn i förskolan redan har en informell matematisk kunskap vid skolstarten och tolkar likhetstecknet utifrån den instinktiva kunskapen om aritmetik som etablerat sig i stort sätt på aktiva handlingar och räkneschema.

Man kan på många olika sätt stärka elevers relationella förståelse. Hattikudur och Alibali (2010) har undersökt i en studie om likhetstecknets betydelse befäster bättre om man i undervisningen samtidigt introducerar andra relationssymboler som indikerar olikheter. Att resonera och samtala kring begreppet likhetstecknet genom ett undersökande arbetssätt och synliggöra detta med visuella bilder kan med fördel förstärka elevers förståelse (Bergsten,

33

Häggströ & Lindberg 1997) samt kan vågen vara ett effektivt hjälpmedel för att introducera likhetstecknet (Kronqvist & Malmer, 1993). För att elever ska få en djupare förståelse för likhetstecknets betydelse måste pre/algebra introduceras i tidig ålder (Bergsten, Häggström & Lindberg, 2007) då likhetstecknet står som en relationell symbol och inte som ett operativt tecken.

8.1 Avslutande diskussion

En undersökning av denna omfattning går inte att generalisera då det är för få medverkande deltagare. De medverkande är inte representativa för en hel population, i detta fall alla elever i skolår 3 samt att respondenterna valts på ett strategiskt sätt utifrån relevansen av undersökningen. Däremot säger det något om denna klass.

Resultatet stämmer överens med vad vi själva upplevt under vår verksamhetsförlagda tid. Det som förvånade oss var elevernas muntliga beskrivning som indikerar på en relationell förståelse och inte stämmer överrens med hur deras sätt var att bearbeta matematiska utsagor vilket tyder på den operativa förståelsen för likhetstecknet. Fem av sex elever beskriver likhetstecknet som en relationell symbol men endast två av de fem har en relationell förståelse baserat på deras skriftliga resultat. Vad är det som gör att vi fått detta resultat? Utifrån våra egna erfarenheter finns där en bristande faktor hur pedagogers framställning är av likhetstecknet. Att pedagogen beskriver symbolen som en relation mellan tal ” det skall vara lika mycket på varje sida” men använder likhetstecknet operativt t.ex. 4 + 6 = 10 utan variation på placeringen av likhetstecknet t.ex. 4 + 6 = 5 + 5. En framställning på ett operativt sätt skapar ingen djupare förståelse för relationstecknet. Framställningen ovan är ett exempel på hur vi upplevt vår introduktion av likhetstecknet. Det är först nu under vår tid på högskolan som vi fick vår aha upplevelse gällande likhetstecknets betydelse. Vi som blivande matematiklärare kommer att ta med oss denna erfarenhet ut i verksamheten.

34

Referenser

Andersson, L. (2009). Fyra räknesätt - Den monografiska metoden. Tillgänglig på internet:

http://www.mah.se/pages/103579/fyra_raknesatt_akvarium.pdf (15.11.2012) Backman, J. (2008). Rapporter och uppsatser. Lund: Studentlitteratur.

Behr, M., Erlwanger, S. & Nichols, E. (1980). How children view the equals sign. Mathematics teaching, (92), 13-15.

Bergsten, C. Häggström, J. & Lindberg, L. (1997). Algebra för alla. Göteborg: Göteborgs Universitet.

Brorsson, Å. (2012). Algebra för lågstadiet. Nämnaren,(3), 3-7

Bryman, A. (2012). Samhällsvetenskapliga metoder. Malmö: Liber AB.

Carpenter, T. P., Frank, M. L. & Levi, L. (2003). Thinking mathematically: Integrating arithmetic and algebra in elementary school. Portsmouth, NH: Heinemann.

Doverberg, E. & Pramling, I. (1998). Att förstå barns tankar. Göteborg: Almqvist & Wiksell

Dysthe, O. (2003). Dialog, samspel och lärande. Lund: Studentlitteratur

Engström, A. (1998). Matematik och reflektion en introduktion till konstruktivismen inom matematikdidaktiken. Lund: Studentlitteratur.

Ernest, P. (1998). Vad är konstruktivism? I Engström, A. (red), Matematik och reflektion (s. 21-33). Lund: Studentlitteratur.

Falkner, K. P., Levi, L. & Carpenter, T. P. (1999) . Children’s Understanding of Equality: A Foundation for Algebra. Teaching Children Mathematics, (6)4, 232-236

Freiman, V. & Lee, L. (2004). Tracking primary students´ understanding of the equality sign. Proceedings of the 28th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education (vol. 2, pp. 415-422)

Hattikudur, S. & Alibali, M. W. (2010). Learning about the equal sign: Does comparing with inequal symbols help? Journal of Experimental Child Psychology 107(1), 15-30

35

Jaworski, B. (1998). Att undervisa i matematik: ett social-konstruktivistiskt perspektiv. I Engström, A. (red). Matematik och reflektion en introduktion till konstruktivismen inom matematikdidaktiken. Lund: Studentlitteratur.

Johansson, B. & Svedner, P. O. (2006). Examensarbetet i lärarutbildningen. Uppsala: Kunskapsföretaget.

Kieran, C. (2004). Algebraic Thinking in the Early Grades: What Is It? The Mathematics Educator, 8(1), 139-151

Kieran, C. (1981). Concepts associated with the equality symbol. Educational Studies in Mathematics, 12, 317-326

Kiselman, C. & Mouwitz, L. (2008). Matematiktermer för skolan (uppl. 1:2). Göteborg: Göteborgs universitet.

Knut, E., Stephens, A., McNeil, N. & Albali, M. (2006). Does Understanding the Equal Sign Matter? Evidence from Solving Equations. Journal for Research in Mathematics Education, 37, 297-312

Knut, E. J., Alibali, M. W., Hattikudur, S., McNeil, N. M. & Stephens, A. C. (2008). The importance of Equal Sign Understanding: In middle grades. Mathematics Teaching in the Middle School, 13(9), 514-519

Kronqvist, K. & Malmer, G. (1993). Räkna med barn. Solna: Ekelunds Förlag AB. Malmer, G. (1990). Kreativ matematik. Solna: Ekelunds Förlag AB.

Percival, M., Rittle-Johnson, B., McEldoon, K. & Taylor, R. (2012). Measure for Measure: What Combinding Diverse Measures Reveals About Children Understands of the Equal Sign as an Indicator of Mathematical Equality. Journal for Research in Mathematics Education 2012, 43(3), 220-254

Skemp, R. R. (1976). Relational and instrumental understanding. Mathematics Teaching, Bulletin of the Association of Teachers of Mathematics, 77, 20-26

Skolverket (2008). Svenska elevers matematikkunskaper i TIMSS 2007 - En djupanalys av hur eleverna förstår centrala matematiska begrepp och tillämpar beräkningsprocedurer.

Skolverkets rapport nr 323. Tillgänglig på internet:

http://www.skolverket.se/2.3894/publicerat/2.5006?_xurl_=http%3A%2F%2Fwww4.sk olverket.se%3A8080%2Fwtpub%2Fws%2Fskolbok%2Fwpubext%2Ftrycksak%2FReco rd%3Fk%3D2126 (31.05.2012)

36

Skolverket (2011). Läroplan för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet 2011. Stockholm: Fritzes.

37

Bilaga 1

Hej!

Vi är två lärarstudenter som går sista terminen på lärarhögskolan i Malmö och skall nu påbörja vårt examensarbete. Vårt examensarbete skall belysa vad elever har för förståelse för likhetstecknet. Vi har valt att göra en klinisk studie i form av en kvantitativ undersökning där eleverna svarar skriftligt på matematiska utsagor som kommer ligga till grund för den kvalitativa undersökningen i form av en intervju. Intervjuerna kommer att spelas in på ljudfil och detta kommer endast att användas i vårt examensarbete. Resultatet av undersökningen kommer vi sedan att analysera och reflektera över i vårt examensarbete samt sätta i relation till vad tidigare forskning säger om detta. Resultaten av utsagorna samt intervjuerna kommer finnas med i examensarbetet men under fingerat namn. Vår fråga är då till er som förälder om ert barn får medverka i denna studie? Kryssa i nedan vad som gäller för ert barn.

Tack på förhand

Jaqueline Oskarsson och Camilla Nilsson

Elevens namn:_______________________________ Datum:_____________

Mitt barn får medverka i studien Ja Nej

Jag godkänner ljudupptagning Ja Nej

Förälderns/as

38

Bilaga 2 Likhetstecknets betydelse

Lös likheterna och lämna in stencilen när du är klar. Lycka till.

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. Lös likhetsormen

39

Bilaga 3

Intervju guide

1) Vad har likhetstecknet för betydelse? Vad symoliserad det? 2) Skulle du kunna beskriva hur du uppfattar likhetstecknet?

Intervjun går över till att ställa frågor angående de mest frekventa inkorrekta uppgifterna eleverna svarat.

1) Hur tänkte du här? 2) Varför?

40

Bilaga 4 Tabellerna nedan visar en sammanfattning av de felsvar som förekom av eleverna.

Tabell A visar lösningar av felssvar av elever vid utsagorna som ligger inom ramen för nivå 1. Utsaga Felsvar 3) 18 = 6 + __ 18 = 6 + 24 4) 34 = __ 34 = 24 34 = 35 34 = 17 8) 18 = __ + __ 18 = 19 + 9

Tabell B visar lösningar av felssvar av eleverna vid utsagorna som ligger inom ramen för nivå 3. Utsaga Feldspar 5) 12 +5 = __ + 7 12 + 5 = 17 + 7 12 + 5 = 8 + 7 12 + 5 = 24 + 7 6) __ + 13 – 5 = 5 + __ 8 + 13 – 5 = 5 + 0 8 + 13 – 5 = 5 + 10 9) 7 + 5 = __ + 8 7 + 5 = 12 + 8 7 + 5 = 20 + 8 7 + 5 = 15 + 8 10) 15 -__ = 7 + __ 15 – 8 = 7 + 1 15 - 8 = 7 + 8 15 - 7 = 7 + 8 15 – 7 = 7 + 7 15 – 8 = 7 + 15 15 – 7 = 7 + 9 12) 24 – 7 + __ = __ - __ 24 – 7 + 17 = 24 – 4

41 24 – 7 + 17 = 20 - 3 24 – 7 + 5 = 12 - 5 24 – 7 + 7 = 24 - 7 24 – 7 + 8 = 10 - 2 24 – 7 + 1 = 8 - 10 24 – 7 + 17 = __ - __ 24 – 7 + 17 = 34 - 6 24 – 7 + 19 = 8 - 1 24 – 7 + 17 = 24 - __ Utsaga Felsvar 13) 4 +6 = __ + 5 = 17 - __ - __ = 7 + 2 + __ = 9 – 1 + __ 4 +6 = 10 + 5 = 17 - 7 - 3 = 7 + 2 + 0 = 9 – 1 + 8 4 +6 = 10 + 5 = 17 - 3 - 1 = 7 + 2 + 1 = 9 – 1 + 2 4 +6 = 10 + 5 = 17 - __ - __ = 7 + 2 + 9 = 9 – 1 + 8 4 +6 = 10 + 5 = 17 - __ - __ = 7 + 2 + __ = 9 – 1 + __ 4 +6 = 10 + 5 = 17 - 5 - 5 = 7 + 2 + 9 = 9 – 1 + 10 4 +6 = 10 + 5 = 17 - 12 - 10 = 7 + 2 + 19 = 9 – 1 + 10 4 +6 = 10 + 5 = 17 - 5 - 12 = 7 + 2 + 9 = 9 – 1 + 9 4 +6 = 10 + 5 = 17 - 34 - 17 = 7 + 2 + __ = 9 – 1 + __ 4 +6 = 10 + 5 = 17 - 3 - 4 = 7 + 2 + 1 = 9 – 1 + 1 4 +6 = 10 + 5 = 17 - 7 - 3 = 7 + 2 + 8 = 9 – 1 + 9 4 +6 = 10 + 5 = 17 - 1 - 1 = 7 + 2 + 0 = 9 – 1 + 8 4 +6 = 10 + 5 = 17 - 15 - 2 = 7 + 2 + 9 = 9 – 1 + 8