Ämnesplaner i matematik - En jämförande innehållsanalys för Sverige, Finland och Singapore

Examensarbete i fördjupningsämnet matematik

15 högskolepoäng, avancerad nivå

Ämnesplaner i matematik

En jämförande innehållsanalys för Sverige, Finland och Singapore

Mathematics curricula

A comparative subject content analysis for Sweden, Finland and Singapore

Karin Engdahl

Kompletterande pedagogisk utbildning:

Ämneslärare gymnasieskolan, två undervisningsämnen Handledare: Ange handledare

Datum för slutseminarium: 2017-01-12

Examinator: Leif Karlsson

Handledare: Per-Eskil Persson

3

Förord

Denna studie genomfördes i form av ett examensarbete på avancerad nivå under kom-pletterande pedagogisk utbildning till ämneslärare för gymnasieskolan. Arbetet utfördes under perioden november 2016 till januari 2017.

Under denna tid, i december 2016, offentliggjordes Skolverkets (2016b) och OECD:s (2016d), (2016d) rapporter angående PISA-undersökningen 2015, vilken har inkluderats i arbetet i görligaste mån.

5

Sammanfattning

Detta arbete syftar till att studera progressionen inom matematikämnet i Sverige och hur den förhåller sig i ett internationellt perspektiv. Progressionen undersöks genom en analys av valda delar av ämnesplanerna i matematik. Närmare bestämt studeras när ett urval av innehållsrelaterade komponenter introduceras enligt ämnesplanerna. En jäm-förelse görs mellan ämnesplanerna i Sverige och dem i Finland och Singapore. Vidare korreleras resultaten av jämförelsen med respektive länders resultat i några utvalda PISA- och TIMSS-undersökningar.

För en majoritet av det studerade innehållet i ämnesplanerna kan konstateras att intro-duktion av innehållsrelaterade komponenter sker senare i Sverige än i Finland och Singapore. Särskilt framträdande är detta resultat för de innehållsrelaterade komponen-ter som kan betraktas som avancerade. I de valda inkomponen-ternationella undersökningarna har Singapore och Finland ett medelresultat som är högre än Sveriges, vilket var en para-meter i urvalet av länder. Det tycks alltså finnas stöd för en teori om korrelation mellan tidig introduktion av innehåll enligt ämnesplan och högt medelresultat i internationella undersökningar.

Nyckelord

7

Innehållsförteckning

2. Syfte och frågeställning 10

3. Teori och tidigare forskning 11

3.1. Begrepp, definitioner och förkortningar 11

3.2. Läroplansteori 11

3.3. Internationella studier 12

3.4. Tidigare forskning 13

4. Metod och genomförande 17

4.1. Urval av länder och internationella undersökningar 18

4.1.1. Skolsystemen i de valda länderna 24

4.1.2. Antaganden och kursurval för jämförelse mellan länderna 26

4.2. Urval av innehållsrelaterade komponenter 28

4.3. Genomförande 29

4.3.1. Algebra 30

4.3.2. Geometri 31

8

5. Analys och resultat 33

5.1. Algebra 34

5.2. Geometri 36

5.3. Korrelation med internationella undersökningar 38

5.3.1. Medelresultat 38

5.3.2. Uppdelning i innehållskategorier 38

6. Diskussion och slutsats 42

6.1. Konsekvenser av metod och genomförande 42

6.2. Slutsats 44

6.3. Förslag för fortsatt forskning 45

Referenser 46

Bilaga 1 – Sverige, grundskolan 50

Bilaga 2 – Sverige, gymnasiet 52

Bilaga 3 – Finland, grundskolan 53

Bilaga 4 – Finland, gymnasiet 55

Bilaga 5 – Singapore, primary 56

9

1. Inledning

Sveriges resultat i internationella undersökningar – såsom PISA och TIMSS – har inom matematik ett medelvärde som är signifikant lägre än många andra länders (Skolverket, 2016a). Även om de senaste undersökningarna för PISA (Skolverket, 2016b), (OECD, 2016d) och TIMSS (Skolverket, 2016d) tyder på att Sveriges tidigare negativa trend är bruten är det fortfarande ett stort antal länder som presterar avsevärt högre resultat än Sverige. Skolverket (2012) noterar även att progressionen under senare delen av grund-skolan tycks vara svag; “Analysen visar att svenska elever lär sig mindre mellan årskurs 4 och 8 än elever i andra länder.”

Matematik anses generellt vara ett ämnesområde som är viktigt för individens del-tagande i ett demokratiskt samhälle. Som exempel på detta kan man i ämnesplanen i matematik för grundskolan (Skolverket, 2011) läsa att ”Kunskaper i matematik ger människor förutsättningar att fatta välgrundade beslut i vardagslivets många val-situationer och ökar möjligheterna att delta i samhällets beslutsprocesser.” Sveriges relativt låga resultat i internationella undersökningar kan, mot denna bakgrund, anses vara bekymmersamt; inte bara för den enskilde eleven utan även för det svenska sam-hället.

Med utgångspunkt i ett antagande om att svenska elevers individuella grundförutsätt-ningar att bygga kunskap i matematik i genomsnitt inte skiljer sig från dem som elever i andra länder har, bör skillnaderna i resultat mellan länder bero på yttre faktorer såsom, till exempel, hur ämnesplanerna är uppbyggda och hur undervisningen bedrivs i ämnet. Därför är det av intresse att undersöka hur progressionen inom matematikämnet är upp-byggd i Sverige enligt ämnesplanerna, och hur den ser ut i jämförelse med andra länder. Det kan också vara givande att analysera eventuell korrelation mellan skillnader i ämnesplanerna för olika länder och motsvarande resultat i internationella under-sökningar, samt att diskutera kausalitet.

Min förutfattade mening är att jag tror att de länder som har en ämnesplan med stark progression i åldersspannet som motsvarar svensk grundskola också uppvisar goda resultat i de internationella undersökningarna.

10

2. Syfte och frågeställning

På ett övergripande plan anser jag att denna undersökning kan bidra till en problemati-sering av synen på i vilken takt elever kan tillägna sig centralt innehåll i matematik-ämnet, och därmed utmana fördomar hos dem som på olika sätt deltar i svensk mate-matikundervisning. Min förhoppning är att mina resultat kan stödja en syn på kun-skapsinhämtning där lärande driver elevens utveckling i kontrast till stadieteorin enligt vilken lärandet måste anpassas till det stadium elevens tänkande befinner sig på (Lundgren, Säljö, & Liberg, 2012). Därmed hoppas jag att bidra till en minskad ängslig-het i professionen kring hur avancerat innehåll man kan låta elever möta vid olika åld-rar.

På ett mer konkret plan syftar min undersökning till att placera svensk ämnesplan i matematik (Skolverket, 2011) i ett internationellt sammanhang genom att jämföra den med några andra länders ämnesplaner. Jag syftar även till att problematisera pro-gressionen i de svenska ämnesplanerna i ljuset av eventuell korrelation mellan jämförel-sen av ämnesplanerna och motsvarande jämförelse av resultat i internationella studier. En aspekt av begreppet progression skulle kunna studeras genom undersökning av vid vilken tidpunkt olika typer av innehåll introduceras i ämnesplanerna.

Utifrån dessa syften har jag avgränsat min frågeställning till:

• När introduceras ett urval av innehållsrelaterade komponenter inom matematiken i svensk ämnesplan, och hur förhåller sig dessa tidpunkter till några utvalda andra länders ämnesplaner?

• Finns det någon korrelation mellan de utvalda ländernas respektive resultat inom matematik i ett urval av internationella undersökningar och skillnader mellan länderna angående introduktion av de innehållsrelaterade komponenterna?

Svaren på den första frågans ”när” kommer att redovisas i form av motsvarighet till svensk årskurs (eller årskursintervall, beroende på hur detta är uttryckt i ämnes-planerna). Mitt urval av innehållsrelaterade komponenter, länder, och internationella undersökningar kommer att behandlas i kapitel 4.

11

3. Teori och tidigare forskning

3.1. Begrepp, definitioner och förkortningar

I min redovisning använder jag främst begreppet ämnesplan. Detta begrepp (som det används här) inbegriper myndighetsdokument som stipulerar centralt innehåll för matematikundervisning (läroplan, ämnesplan, kursplan, samt syllabus och curriculum på engelska).

I kapitel 4 definierar jag hur jag tolkar de innehållsrelaterade komponenter som studeras i relation till beskrivningen av det centrala innehållet i respektive ämnesplaner.

Tabell 1 redovisar de förkortningar som förekommer i detta arbete och deras respektive betydelse.

Tabell 1: Förkortningar och deras respektive betydelse.

Förkortning Betydelse

FI Finland

ICT Information and Communication Technology

IEA International Association for the Evaluation of Educational Achievement NCM Nationellt Centrum för Matematikutbildning

OECD Organization for Economic Co-operation and Development

PISA Program for International Student Assessment SE Sverige

SG Singapore

TIMSS Trends in International Mathematics and Science Study

3.2. Läroplansteori

När undervisning äger rum i utbildningsinstitutioner (skolor) blir det nödvändigt att in-föra någon form av styrning av innehåll och mål (Lundgren, Säljö, & Liberg, 2012). Denna styrning innefattar typiskt styrdokument såsom läroplaner i olika form (inklusive ämnesplaner/kursplaner) som gäller för skolsystemet i ett visst land (eller annat orga-nisatoriskt område). Dessa utarbetas och revideras ofta av någon myndighet som är centralt tillsatt för området i fråga, till exempel Skolverket (2011) i Sverige.

12

En läroplan är ett juridiskt och ideologiskt styrinstrument (Forssell, 2011) som definie-rar urval och organiserande av innehåll för undervisningen (Lundgren, Säljö, & Liberg, 2012). Eftersom en läroplan är ett juridiskt styrinstrument är den överordnad de andra tre typerna av styrinstrument: ekonomiska styrinstrument, ideologiska styrinstrument och styrinstrument för utvärdering och kontroll (Forssell, 2011). Därmed står det klart att innehållet i ett lands läroplan (inklusive ämnesplaner och kursplaner) har mycket stor betydelse för undervisningens innehåll, och därmed (indirekt) för vilket innehåll eleverna tillägnar sig.

Urval och organisation av innehåll i läroplaner styrs till viss del av läroplanskoden (Lundgren, Säljö, & Liberg, 2012), eller kombinationen av läroplanskoder, som tilläm-pas vid utarbetandet av läroplanen. Många demokratier (däribland Sverige) tillämpar en medborgerlig/demokratisk läroplanskod (Englund, 1980) som syftar till att utbilda och uppfostra ansvarstagande och ifrågasättande demokratiska samhällsmedborgare. I kom-bination med denna läroplanskod tillämpas ofta även en rationell/realistisk läroplanskod som syftar till att eleverna ska tillägna sig kunskap och förmågor som de har nytta av och som stöttar dem i deras förståelse av tillvaron.

I utarbetande av läroplaner spelar typiskt även ramfaktorteorin (Lundgren, Säljö, & Liberg, 2012), som kan ses som en delmängd av läroplansteori, en stor roll. Detta kan, till exempel, ta sig uttryck i huruvida – och i vilken grad – en läroplan stipulerar nivå-grupperad undervisning.

3.3. Internationella studier

I takt med att tillvaron för människor och länder förs i ett allt mer globalt sammanhang har internationella studier som jämför olika aspekter av elevers kunskaper och förmågor tilldragit sig allt större intresse, och det anses på många håll viktigt för ett land att dess elever uppnår höga resultat i dessa studier.

Det finns troligen ett ömsesidigt förhållande mellan läroplaner och internationella stu-dier eftersom de internationella stustu-diernas uppgifter kan komma att bli styrande för läroplansutveckling (Forssell, 2011) och eftersom innehållet i ämnesplanerna kan antas ha inverkan på vilka resultat eleverna uppnår i de internationella studierna.

13

IEA, som administrerar TIMSS, bildades 1958 och genomförde sin första undersökning för matematik 1960; the Pilot Twelve-Country Study (IEA, 2016). OECD, som admini-strerar PISA, har rötter i efterkrigstidens Europa (OECD, 2016b) och genomförde sin första undersökning 2000 (OECD, 2016a).

Det bör noteras att internationella undersökningar normalt är baserade på ett (om än stort) stickprov av elevpopulationen, och därmed inte ger en helt uttömmande bild av hela populationen vilket kan användas som argument i en reliabilitetsdiskussion. Vidare kan man naturligtvis också diskutera validiteten av de internationella undersökningarna, till exempel problematisera kring vilken typ av frågor som ställs (innehåll, förmågor, textmängd, o.s.v.). Detta faller dock utanför ramen för detta arbete.

3.4. Tidigare forskning

Min problemställning handlar generellt om en jämförelse mellan olika länder av inne-hållet i ämnet matematik, och mer specifikt om hur detta tar sitt uttryck i ländernas ämnesplaner. Min problemställning handlar också om eventuell korrelation mellan nämnda innehåll och respektive lands resultat i internationella studier.

Det generella området, som innefattar jämförelser mellan olika länder av olika aspekter av matematikundervisningen, tycks ha intresserat andra inom den pedagogiska forsk-ningen. Till exempel gör Delice och Roper (2006) en jämförande studie för matematik-resultat i England och Turkiet. De noterar att ”det finns en tendens att tro att matematik är i stort sett detsamma i vilket land som helst” och lyfter sedan fram en studie (Kawanaka, Stigler, & Hiebart, 1999) som visar på motsatsen; att matematik undervisas och lärs in på olika sätt i olika länder. Den senare studien anlägger ett perspektiv med utgångspunkt i internationella studier, då de använder videoinspelningar gjorda i sam-band med TIMSS 1995.

Studien av Delice och Roper (2006) jämför hur några elever i respektive land presterar på ett antal prov inom området trigonometri (förenkling av trigonometriska uttryck, för-enkling av algebraiska uttryck med samma struktur som de trigonometriska, lösning av textproblem, beräkning av värdet för okända parametrar i rätvinkliga trianglar med samma struktur som ingick i textproblemen). Turkiska elever presterade markant bättre

14

inom förenkling av algebraiska och trigonometriska uttryck, medan engelska elever pre-sterade bäst för textproblemen. Studien jämför sedan ämnesplanerna för länderna för att leta efter förklaringar till skillnader i prestation. Aspekter som lyfts fram i relation till detta innefattar användandet av realistiska data, ICT, och formelblad i England.

Redovisningen av studien brister något eftersom man inte tydligt redovisar varför man undersöker just aspekten trigonometri, och huruvida man anser att denna aspekt är representativ för hela matematikämnet eller representerar någon särskilt viktig syn-vinkel. Vidare nämner man att eleverna som genomför testen är ”comparable in age and experience of the curriculum, equivalent to year 12” och att man gjorde undersökningen med avseende på ”A-level standards”, medan det är oklart om det är frågorna i proven eller eleverna som utgjorde ”A-level standards”. Jag anser att det kunde redovisats tyd-ligare hur eleverna som jämfördes relaterade till varandra i ålder och skolerfarenhet. Detta är något som jag tar i beaktande i min egen metodframställning där jag försöker vara tydlig i vilka årskurser som jämförs mellan de olika länderna och vilket innehåll jag studerar i de fall det finns nivå-gruppering av elevpopulationen.

Några exempel på arbeten som mer specifikt syftar till att jämföra innehåll mellan olika ämnesplaner i matematik innefattar dem som presenteras av Ruddock och Sainsbury (2008) och av Graeme, Wilson och Zbar (2011).

Ruddock och Sainsbury (2008) jämför engelsk ämnesplan inom matematik med ämnes-planer från Taiwan (Chinese Taipei), Hong Kong, Singapore, Nederländerna, Kanada (Ontario) och Lettland. Urvalet av länder som används baserar sig på resultat i inter-nationella undersökningar (TIMSS 2003 för matematik), och man har valt länder utifrån ”factors such as average performance, improved performance to a high standard and narrow spread of achievement at high level”.

De noterar att ämnesplanerna i England, Taiwan (Chinese Taipei), Hong Kong, Singa-pore och Kanada (Ontario) innefattar detaljerade mål för eleverna, medan Neder-ländernas ämnesplan saknar detaljerade mål, och Lettlands ämnesplan ligger någonstans däremellan. Vidare finner de att alla studerade ämnesplaner, undantaget Lettlands, är strukturerade utifrån innehåll och att innehållet till stora delar liknar varandra för de

15

olika länderna. De noterar även att progression betonas överlag i de olika ämnes-planerna.

I jämförelsen mellan England och Singapore noterar Ruddock och Sainsbury (2008) att Englands ämnesplan lägger vikt vid matematiska processer, användande och appli-cerande av matematik, och användande av räknare och ICT, medan Singapores ämnes-plan betonar procedurskicklighet. Introduktion av enkel algebra (till exempel, mönster) sker tidigare i England än i Singapore, medan Singapores ämnesplan har ett mer avan-cerat innehåll avseende kategorin ”form, rum och mått”.

Ruddock och Sainsbury (2008) framför att Englands ämnesplan inte framstår som ovan-lig i sammanhanget. Samtidigt noterar de att för kategorin ”number” bedöms flera av de andra ländernas ämnesplaner som både mer avancerade än Englands, och med större bredd. De länder som bedömdes ha ett bredare och mer avancerat innehåll för denna kategori noterades också ha höga resultat i TIMSS. Överlag kan man framföra kritik mot att studien gör denna typen av motsägelsefulla uttalanden; att Englands ämnesplan presenteras som lika de andra ländernas samtidigt som stora olikheter lyfts fram. Jag anser inte att man framför någon ordentlig slutsats, vilket gör att jag själv kommer att sträva efter att vara tydlig i min.

I förordet framhålls studiens opartiskhet utan någon problematisering. Detta anser jag vara märkligt eftersom denna typen av jämförelser med nödvändighet innehåller ett mått av tolkning och därmed subjektivitet, och subjektivitet kan ses som en form av partisk-het. Det hade, enligt min åsikt, varit rimligt att redovisa de svårigheter man upplevde gällande tolkningar och andra aspekter som står i relation till subjektivitet, något som jag själv försöker göra för min studie.

Graeme, Wilson och Zbar (2011) jämför ämnesplaner i matematik mellan Australien, Singapore och Finland. Enligt deras redovisning tycks processen för urval av länder vara tämligen komplex, men en av aspekterna är – även i denna studie – ländernas resultat i internationella undersökningar; ”It would also be desirable for comparisons to be made with nations that have had a degree of success in international assessment pro-grams”.

16

De finner att de tre ländernas ämnesplaner uppvisar en överensstämmelse som är mått-lig till hög. För Finlands del fann man att både geometri och algebra hade starkare när-varo i ämnesplanen än i Australien. Även i denna studie utmärkte sig Singapores ämnesplan på så sätt att den har stort fokus på geometri från skolstarten medan ett alge-braiskt fokus kom senare än i Australien. Figur 1 illustrerar, för Australien och Singa-pore, hur stor del av innehållet i ämnesplanerna som kan hänföras till olika innehålls-kategorier i motsvarande årskurs 8 enligt Graeme, Wilson och Zbar (2011). Man kan notera att Singapore har en mycket större tonvikt på algebra (21,28% + 6,91%) och geometri (14,36%) än Australien (15,20% + 0,00% respektive 11,85%).

Figur 1: Jämförelse av innehåll i matematik mellan Australien ”Year 8” och Singapore ”Secondary 2” (Graeme, Wilson, & Zbar, 2011), delvis beskuren.

I ljuset av min problemställning kan jag konstatera att några studier redan finns som jämför innehåll mellan olika länders ämnesplaner i matematik. Dock tycks det finnas en avsaknad av arbeten som jämför svensk ämnesplan i matematik med andra länders ämnesplaner, och som ställer eventuella skillnader och likheter i relation till respektive länders resultat i internationella undersökningar.

Analyser av svenska elevers resultat i internationella undersökningar presenteras natur-ligtvis av Skolverket (2016a). Även andra har bidragit med olika perspektiv på Sveriges resultat i internationella studier såsom Davidsson, Karlsson och Oskarsson (2013), som studerar trender i de svenska elevernas resultat i jämförelse med några andra länder, och Jakobsson (2013), som problematiserar kring svårigheter i att dra slutsatser gällande kunskapstrender utifrån internationella undersökningar, vilket knyter an till validitets-problematiken som nämnts tidigare, i avsnitt 3.3.

17

4. Metod och genomförande

Som nämnts ovan är det av intresse att undersöka hur progressionen inom matematik-ämnet är uppbyggd i Sverige enligt ämnesplanerna, och hur den ser ut i jämförelse med andra länder, samt att analysera eventuell korrelation mellan skillnader i ämnesplanerna för olika länder och ländernas resultat i internationella undersökningar. Ett sätt att genomföra en sådan undersökning om progression kan utgå från olika länders ämnes-planer i matematik och studera när centrala element inom matematiken introduceras.

Det vore naturligtvis intressant att göra en uttömmande analys av hela innehållet i ämnesplaner för så många länder som möjligt och relatera resultatet av analysen till respektive länders resultat i så många internationella undersökningar som möjligt, och helst studera utvecklingen av dessa aspekter över tid. Dock medger tidsramarna för detta arbete inte en så vidlyftig ambition, utan avgränsningar måste göras gällande vilka länder, vilken del av innehållet, och vilka internationella undersökningar som studeras. De avgränsningar som urvalen inför i studien påverkar naturligtvis validiteten (Jönsson, 2013), (Bryman, 2011) hos eventuella generella slutsatser av studien, vilket diskuteras vidare i kapitel 6.

Alltså tillämpar jag ett urval (Bryman, 2011) för att åstadkomma ovanstående avgräns-ningar. Jag väljer ut några specifika innehållsrelaterade komponenter att studera. Vidare görs min jämförelse mellan Sverige och ett urval andra länder, och eventuell korrelation undersöks i förhållande till ett urval internationella undersökningar. Mina kriterier vid urval, vilka redovisas i detta kapitel, är sprungna dels ur praktiska överväganden (uti-från ramfaktorer såsom tillgänglig tid och språkkunskaper), dels ur överväganden an-gående reliabilitet (utifrån strävan att minimera utrymmet för felkällor och subjektivitet) och validitet (utifrån strävan att studera länder och innehåll som är relevanta för min frågeställning).

I detta kapitel redovisar jag även tolkningar som jag har tillämpat i genomförandet av studien. Tolkningar har generellt en inverkan på reliabiliteten av en studie eftersom tolkningar med nödvändighet har ett element av subjektivitet. Detta behöver inte ses

18

som en nackdel eftersom tolkande forskning kan anses ”utveckla vårt sätt att betrakta vår omvärld och bidra med en mer nyanserad förståelse av den” (Alvehus, 2013).

Eftersom min undersökning är en form av textanalys där inga personer är direkt in-blandade i forskningen behöver jag inte lägga stor vikt vid att behandla de forsknings-etiska principerna angående frivillighet, integritet, konfidentialitet och anonymitet (Bryman, 2011). För de personer som varit indirekt inblandade i min forskning, såsom deltagarna i de internationella undersökningarna, antar jag att de forskningsetiska prin-ciperna har beaktats av dem som är ansvariga för framställningen av det material jag har använt.

4.1. Urval av länder och internationella undersökningar

En faktor som styr urvalet av länder är den språkliga, eftersom jag – på grund av be-gränsningar i mina egna språkkunskaper – behöver ha material att tillgå på engelska eller svenska för att kunna genomföra en tillförlitlig studie. För att hitta material i form av ämnesplaner har jag har utgått från Nationellt Centrum för Matematikutbildning (2014), som tillhandahåller information om, och hänvisning till, ämnesplaner i mate-matik för några olika länder (vissa i översättning till engelska). Då tillförlitligheten (reliabiliteten) för en studie är beroende av att man strävar efter att minimera antalet felkällor (Jönsson, 2013) är det önskvärt att kunna studera materialet på originalspråk, varför jag har uteslutit länder som inte har engelska eller svenska som officiellt språk.

En annan faktor som styr valet av länder är den tänkta jämförelsen med resultat i inter-nationella undersökningar. Länderna vars ämnesplan studeras kan, för ökad validitet, lämpligen vara länder som uppvisar resultat i de internationella undersökningarna med tydliga skillnader sinsemellan; till exempel några länder med höga eller mycket höga medelresultat, några länder med medelresultat som ligger i närheten av ett medelvärde av de deltagande ländernas medelresultat, och några länder med låga eller mycket låga medelresultat. Ett sådant urval blir dock för stort i relation till tidsramarna för denna studie. Eftersom utgångspunkten för arbetet är Sveriges otillfredsställande resultat i internationella undersökningar anser jag – i analogi med Ruddock och Sainsbury (2008) och Graeme, Wilson och Zbar (2011) – att det kan vara intressant att, i urvalet av länder

19

att jämföra med, fokusera på länder vars resultat i motsvarande undersökningar har ett högre medelvärde än Sverige.

De internationella undersökningar jag har valt att titta på är PISA 2012, PISA 2015 och TIMSS 2015, och jag har använt Skolverkets rapporter gällande resultaten (Skolverket, 2013), (Skolverket, 2016b) och (Skolverket, 2016d) som underlag. Figur 2 visar medel-värdet för resultaten i matematik i PISA 2012, Figur 3 visar medelvärde och fördelning för resultaten i matematik i PISA 2015, medan Figur 4 och Figur 5 visar genomsnittliga resultat och fördelning i matematik för årskurs 4 respektive årskurs 8 i TIMSS 2015.

De länder med engelska som officiellt språk som har högre medelresultat än Sverige i samtliga dessa internationella undersökningar är Irland, Storbritannien/England, Singa-pore och HongKong-Kina, där SingaSinga-pore utmärker sig med ett utomordentligt högt medelvärde i samtliga fall. Detta gör att jag anser att Singapore är ett mycket intressant studieobjekt för mig.

Finland visar på ett medelvärde som är högre än Sveriges i PISA 2012, PISA 2015 och för årskurs 4 i TIMSS 2015, medan resultat saknas i Finlands fall för årskurs 8 i TIMMS 2015. Eftersom Finland har svenska som ett av sina officiella språk och dess-utom har ett skolsystem som till sin struktur liknar det svenska anser jag att även Fin-land vore intressant som studieobjekt.

Utifrån dessa ramfaktorer har jag valt att jämföra ämnesplaner och resultat i inter-nationella undersökningar mellan Sverige, Finland och Singapore. Naturligtvis ger detta begränsade urval inte en komplett bild av eventuell korrelation mellan innehållet i ländernas ämnesplaner och resultat i internationella undersökningar. Den eventuella korrelation som noteras i denna studie bör ställas i relation till det begränsade urvalet av länder, och ses som en del i ett större (ännu ej undersökt) sammanhang. Vidare är det sannolikt att ett lands medelresultat i internationella undersökningar samvarierar med en stor mängd olika parametrar, där denna studie endast undersöker en parameter (intro-duktionstidpunkt enligt ämnesplanerna för några utvalda innehållsrelaterade kom-ponenter) i relation till det begränsade urvalet av länder. Det bör också nämnas att en samvariation inte nödvändigtvis innebär ett orsakssamband (kausalitet) mellan intro-duktionstidpunkten enligt ämnesplanerna och ländernas respektive resultat i

inter-

20

nationella undersökningar. Med andra ord är det viktigt att notera att skillnaderna mellan de undersökta ländernas resultat i internationella undersökningar naturligtvis påverkas av en mängd faktorer, varav innehållet i ämnesplanerna – som det studeras i denna undersökning – eventuellt är en.

Figur 2: Medelvärde i matematik för länder som deltog i PISA 2012, i jämförelse med det svenska resultatet (Skolverket, 2013).

21

Figur 3: Resultat i matematik för PISA 2015 (Skolverket, 2016b), delvis beskuren. Län-derna är rangordnade efter sitt medelvärde.

22

Figur 4: Genomsnittliga resultat och fördelning i matematik årskurs 4 för TIMSS 2015 (Skolverket, 2016d), delvis beskuren.

23

Figur 5: Genomsnittliga resultat och fördelning i matematik årskurs 8 för TIMSS 2015 (Skolverket, 2016d), delvis beskuren.

24

4.1.1.

Skolsystemen i de valda länderna

Skolverket (2016c) beskriver det svenska skolsystemets uppbyggnad. Den svenska grundskolan består av nio obligatoriska årskurser (1-9) och en frivillig årskurs (F-klass) som föregår årskurs 1. Normalt påbörjar barn årskurs 1 det år då de fyller 7 år. Grund-skolan kompletteras med en frivillig treårig gymnasieutbildning (Gy1, Gy2, Gy3). Inom gymnasieutbildningen finns en mängd olika program som kan indelas i kategorierna yrkesprogram och högskoleförberedande program.

Matematikundervisningens uppbyggnad beskrivs i Skolverkets (2011) ämnes- och kurs-planer. Undervisningen i matematik är homogen under hela grundskolan såtillvida att alla elever följer samma ämnesplan. I gymnasieskolan förekommer kurserna Matematik 1a, 2a, 3a, 1b, 2b, 3b, 1c, 2c, 3c, 4 och 5, samt Matematik specialisering. Inom varje gymnasieprogram specificeras vilka av ovanstående kurser som är obligatoriska och vilka som är valbara.

Utbildningsstyrelsen (2016) och Undervisnings- och kulturministeriet (2016) i Finland beskriver det finska skolsystemets uppbyggnad. I likhet med det svenska skolsystemet består den grundläggande utbildningen i Finland av nio obligatoriska årskurser (1-9) och en frivillig årskurs som föregår årskurs 1. Även här påbörjar barn normalt årskurs 1 året då de fyller 7 år. Grundskolan kompletteras med en frivillig treårig gymnasie-utbildning (Gy1, Gy2, Gy3) eller med en yrkesinriktad examen, vilka kan jämföras med de högskoleförberedande programmen respektive yrkesprogrammen i det svenska systemet. Figur 6 visar en översikt över skolsystemet i Finland.

Matematikundervisningen i Finland är homogen under hela grundskolan såtillvida att alla elever följer samma ämnesplan (Utbildningsstyrelsen (Finland), 2004). I gymnasie-skolan förekommer ”den långa lärokursen i matematik” och ”den korta lärokursen i matematik”, vilka båda innehåller obligatoriska kurser och fördjupande kurser (Utbildningsstyrelsen (Finland), 2003).

Finlands nu gällande läroplaner är daterade 2015, men eftersom jag vill undersöka korrelation med internationella undersökningar som genomfördes 2012 och 2015 väljer jag att studera föregående läroplaner från Utbildningsstyrelsen (2004), (2003).

25

Figur 6: Utbildningssystemet i Finland (Utbildningsstyrelsen (Finland), 2016), delvis beskuren.

Enligt Ministry of Education (2016) i Singapore innehåller skolsystemet i Singapore en obligatorisk sexårig utbildning (Primary, med årskurserna P1-P6). Normalt påbörjar barn P1 det år då de fyller 7 år. Primary kompletteras med en påbyggnadsutbildning som är fyra till fem år lång (Secondary, med årskurserna S1-S5).

Matematikundervisningen i Singapore är homogen under de första fyra åren (P1-P4) såtillvida att alla elever följer samma ämnesplan (Ministry of education (Singapore), 2012). Därefter delas matematikundervisningen upp i ett flertal spår med olika avance-rat innehåll. Figur 7 illustrerar de olika matematikkurserna i Singapores skolsystem.

Då jag vill undersöka korrelation med internationella undersökningar som genomfördes 2012 och 2015 väljer jag att studera de ämnesplaner från Ministry of education (2006a), (2006b) som har 2007 som ”year of implementation” och inte senare ämnesplaner, för vilka gäller ”implementation starting with 2013 primary/secondary one cohort”.

26

Figur 7: Kurser i matematik i Singapore (Ministry of education (Singapore), 2012).

4.1.2.

Antaganden och kursurval för jämförelse mellan länderna

För att kunna genomföra en jämförelse mellan länderna behöver jag göra några an-taganden om vad som ska jämföras. Jag behöver bestämma vilka årskurser jag ska anta motsvarar varandra i de olika länderna och jag behöver också bestämma vilka av mate-matikkurserna som jag ska jämföra i de fall eleverna kan välja mellan flera olika kurser. Dessa urval inför ett element av tolkning i min jämförelse, vilket har inverkan på relia-biliteten av min studie.

27

Jag bedömer att skolsystemen i Sverige och Finland har stora grundläggande likheter, medan skolsystemet i Singapore skiljer sig en del från dem i Sverige och Finland. Eftersom eleverna i alla tre länderna normalt påbörjar den första obligatoriska årskursen det år då de fyller 7 har jag valt detta som utgångspunkt för min jämförelse, vilket resulterar i ett antagande om de efterföljande årskursernas motsvarighet mellan de olika länderna. Denna motsvarighet mellan årskurser illustreras i Tabell 2.

Tabell 2: Antagande om motsvarighet mellan årskurser (Åk 1-12) för Sverige (SE), Fin-land (FI) och Singapore (SG).

Åk: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

SE: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Gy1 Gy2 Gy3

FI: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Gy1 Gy2 Gy3

SG: P1 P2 P3 P4 P5 P6 S1 S2 S3 S4 - -

Den motsvarighet mellan årskurser som redovisas i Tabell 2 skiljer sig något från den som används av Graeme, Wilson och Zbar (2011). I deras studie motsvaras Finlands årskursintervall 1-2, 3-5 och 6-9 av Singapores P1-P3, P4-P6 och S1-S4. Möjligen beror deras indelning på att de tar hänsyn till det frivilliga året innan årskurs 1 i Finland (de som går i årskurs 2 i Finland går faktiskt sitt tredje år i skolan om de även har gått det frivilliga året). Jag anser dock att det är mer naturligt att jämföra antalet år i den obli-gatoriska skolan, varför jag har valt ovanstående indelning.

En betydande skillnad mellan Singapore och Sverige/Finland är att en nivågruppering görs inom matematiken betydligt tidigare i Singapore. I Singapore sker en uppdelning redan i P5 (motsvarande årskurs 5 i Sverige/Finland) medan uppdelningen i Sve-rige/Finland inträffar när man påbörjar gymnasiet (motsvarande S4 i Singapore). I de fall där det för en årskurs finns flera olika svårighetsnivåer i kursutbudet har jag valt att försöka jämföra innehållet för de kurser jag bedömer representerar en medelnivå.

Detta leder till att jag för Sveriges del studerar innehållet i kurserna Matematik 1b, 2b och 3b för gymnasiet och antar att respektive kurs läses över ett läsår, alltså att Mate-matik 1b läses under Gy1, MateMate-matik 2b under Gy2 och MateMate-matik 3b under Gy3.

För bedömning av vad som kan anses vara medelnivån i Finland har jag antagit att Fin-lands gymnasieskola går att jämföra med de högskoleförberedande programmen i

Sve-

28

rige och att den yrkesinriktade examen i Finland går att jämföra med yrkesprogrammen i Sverige. I valet mellan ”den långa lärokursen i matematik” och ”den korta lärokursen i matematik” har jag därför bedömt att ”den korta lärokursen i matematik” är jämförbar med Matematik 1b, 2b, 3b i det svenska systemet. På dessa grunder har jag valt att, för Finlands del, studera innehållet i ”den korta lärokursen i matematik”.

Valet av vilka kurser jag ska studera i Singapores fall har inte varit lika enkelt, eftersom det inte finns en lika tydlig likhet med det svenska systemet som i Finlands fall. Enligt Ministry of education (2012) är ”Standard Mathematics” den kurs som flest elever följer i P5-6, och för eleverna i S1-S4 representerar ”Mathematics N(A)” en medelväg då den i svårighetsgrad ligger mellan ”Mathematics N(T)” och ”Mathematics O”. Utifrån strä-van att hitta ett kursurval som representerar en medelnivå, har jag därför valt att studera ”Standard Mathematics” för P5-6 och ”Mathematics N(A)” för S1-4.

4.2. Urval av innehållsrelaterade komponenter

Eftersom tidsutrymmet för min studie är begränsat kan jag, som nämnts ovan, inte göra en uttömmande studie av ämnesplanerna vad gäller innehåll. Därför gör jag ett urval av innehållsrelaterade komponenter som jag ska studera och jämföra länderna emellan.

Urvalet baserar jag dels på vilken typ av innehåll som jag anser vara särskilt viktigt för den matematiska utvecklingen, vilket naturligtvis är en subjektiv komponent, dels på vilka komponenter som framstår som tydligt jämförbara mellan de olika ämnesplanerna. Det senare villkoret har sitt ursprung i både praktiska överväganden och i till-förlitlighetssträvan, då ett val av komponenter som är tydligt jämförbara mellan de olika ämnesplanerna gör att färre tolkningar behövs. Jag har också inspirerats av Delice och Roper (2006) som bland annat undersökte algebra (i trigonometrisk kontext) och rät-vinkliga trianglar.

Algebra är ett mycket centralt område inom matematiken eftersom algebraisk förståelse och algebraiska verktyg är avgörande för att kunna tillägna sig andra områden inom matematiken. Därför är algebra en innehållsaspekt som jag har valt att studera i detta arbete, och de attribut (innehållsrelaterade komponenter) inom algebra som studerats är:

29 • Ekvationslösning

o Linjära ekvationer (enkla och generella) o Ekvationssystem

o Andragradsekvationer (ofullständiga och generella)

Geometri är ett område inom matematiken som ofta anses särskilt lätt att visualisera. Geometrin kan därför anses som lämplig att använda för att exemplifiera andra områden inom matematiken, till exempel bevisföring. Därför har jag valt geometri som en annan innehållsaspekt att studera i detta arbete, och de attribut (innehållsrelaterade kompo-nenter) som studerats inom geometrin är:

• Symmetrier (enkla och generella) • Likformighet och kongruens

• Beräkning av omkrets, area och volym • Pythagoras’ sats

• Sinus och cosinus

4.3. Genomförande

I matematiken införs ofta innehåll successivt, vilket jag har försökt spegla genom att låta mitt urval av innehållsrelaterade komponenter representera progression inom några olika områden (till exempel ekvationslösning). Vidare har jag förhållit mig till det successiva införandet av innehåll genom att i mina kodningsscheman endast redovisa när ett attribut introduceras i ämnesplanen, och utelämna eventuella upprepningar av attributet i senare årskurser.

Studien är huvudsakligen kvantitativ och genomfördes så att jag gick igenom ämnes-planerna för de valda länderna och kurserna och noterade när de valda innehålls-relaterade komponenterna nämndes. I Bilaga 1 – Bilaga 6 återges ett relevant urval av innehåll från de ämnesplaner jag har studerat. Under iterationen av denna process kräv-des en del tolkningar eftersom de olika ämnesplanerna inte använder exakt samma terminologi. Dessa tolkningar redogörs för under avsnitten 4.3.1 och 4.3.2 nedan.

30

4.3.1.

Algebra

Det valda innehållet, ekvationslösning, kom till ganska klart uttryck i de olika ämnes-planerna och progressionen var förhållandevis tydlig att följa och jämföra mellan län-derna. Följande innehållsbeskrivningar har jag tolkat in i de olika attributen för algebra:

o Enkla linjära ekvationer:

§ Sverige: Enkla ekvationer, metoder för enkel ekvationslösning § Finland: Söka lösningar till ekvationer genom slutledning § Singapore: Solving linear equations in one unknown o Generella linjära ekvationer:

§ Sverige: Algebraiska ekvationer, metoder för ekvationslösning § Finland: Lösning av förstagradsekvationer

§ Singapore: Solving linear equations in one unknown o Ekvationssystem:

§ Sverige: Begreppet linjärt ekvationssystem, metoder för att lösa linjära ekvationssystem

§ Finland: Ekvationssystem samt lösningar av dem

§ Singapore: Solving simultaneous linear equations in two unknowns o Ofullständiga andragradsekvationer:

§ Sverige: Metoder för att lösa potensekvationer

§ Finland: Lösning av ofullständiga andragradsekvationer

§ Singapore: Solving quadratic equations in one unknown by factorization, use of formula, or completing the square

o Generella andragradsekvationer:

§ Sverige: Metoder för att lösa andragradsekvationer § Finland: Andragradsekvationer

§ Singapore: Solving quadratic equations in one unknown by factorization, use of formula, or completing the square

31

4.3.2.

Geometri

Inom detta område var det valda innehållet något mer svårtolkat och progressionen (i form av vilken ordning de olika attributen introduceras i ämnesplanerna) skiljde sig åt mer mellan de olika länderna, vilket gjorde jämförelsen svårare. Följande innehålls-beskrivningar har jag tolkat in i de olika attributen för geometri:

o Enkla symmetrier:

§ Sverige: Symmetri och hur symmetri kan konstrueras § Finland: Enkla speglingar

§ Singapore: Identifying symmetric figures, line of symmetry o Generella symmetrier:

§ Sverige: Begreppet symmetri och olika typer av symmetriska trans-formationer

§ Finland: Kongruensavbildningar i planet: spegling, rotation och förskjut-ning

§ Singapore: Tessellation o Kongruens:

§ Sverige: Kongruens § Finland: Kongruens

§ Singapore: Congruent figures o Likformighet:

§ Sverige: Likformighet § Finland: Likformighet § Singapore: Similar figures o Pythagoras’ sats:

§ Sverige: Pythagoras’ sats § Finland: Pythagoras’ sats § Singapore: Pythagoras’ theorem o Sinus och cosinus:

§ Sverige: [Förekommer inte explicit de studerade ämnesplanerna] § Finland: Trigonometriska funktioner med hjälp av enhetscirkeln § Singapore: Trigonometric ratios (sine, cosine)

32

o Beräkning av omkrets och area: § Sverige: Omkrets och area

§ Finland: Beräkna omkretsen och arean för figurer i planet § Singapore: Calculation of perimeter and area (rectangle, square) o Beräkning av volym:

§ Sverige: Metoder för beräkning av volym § Finland: Beräkna volymen för kroppar

§ Singapore: Calculation of volume (cube, cuboid)

4.3.3.

Internationella undersökningar

För att korrelera resultaten från min analys av ämnesplanerna med respektive lands resultat i internationella undersökningar använde jag medelvärdet för respektive land i de olika undersökningar jag valt att studera (se Figur 2 - Figur 5). Vidare gick jag igenom relevanta delar av Skolverkets rapporter (2013), (2016b) och (2016d) för de ut-valda internationella undersökningarna, samt OECD:s (2016d) noteringar angående Sveriges resultat i PISA 2015, för att se om de gjorde några uttalanden om resultat upp-delat utifrån innehållsparameterar som motsvarar eller liknar mitt urval av innehålls-relaterade komponenter. Mina observationer redovisas i kapitel 5.

33

5. Analys och resultat

I detta kapitel redovisar jag när de innehållsrelaterade komponenterna, uppdelade på algebra och geometri, introduceras enligt ämnesplanerna för det olika länderna. Därmed utgör materialet i avsnitten 5.1 och 5.2 ett svar på min första delfråga:

• När introduceras ett urval av innehållsrelaterade komponenter inom matematiken i svensk ämnesplan, och hur förhåller sig dessa tidpunkter till några utvalda andra länders ämnesplaner?

I många fall fann jag att ämnesplanerna inte specificerade exakt under vilken årskurs som respektive innehåll skulle behandlas, utan snarare angavs ett årskursintervall. När så var fallet har jag i min resultatredovisning angett nämnda intervall i form av en undre intervallgräns (min) och en övre intervallgräns (max). I resultatredovisningen pendlar jag alltså mellan att ange en specifik årskurs och ett årskursintervall, i enlighet med den bestämning jag kunde göra utifrån ämnesplanerna.

För ämnesplanerna i Sverige används följande intervaller för grundskolan: årskurs 1-3, 4-6, 7-9. Som nämnts ovan antar jag att kurserna Matematik 1b, 2b och 3b i gymnasie-skolan läses under var sitt år; Gy1, Gy2 och Gy3.

För ämnesplanerna i Finland används följande intervaller för den grundläggande ut-bildningen: 1-2, 3-5, 6-9. I läroplanen från Utbildningsstyrelsen (2003) i Finland speci-ficeras inte vilka av delkurserna i ”den korta lärokursen i matematik” som studeras under vilket år på gymnasieutbildningen, varför jag har behandlat gymnasietiden som ett enda tidsintervall för Finlands del, och benämnt detta som ”Gy” i tabellerna nedan. För de innehållsrelaterade komponenter som introduceras under detta intervall exempli-fierar jag dock under vilken årskurs det kan ske med hjälp av den kursplan som tilläm-pades av Katedralskolan i Åbo (2017).

I Singapores ämnesplaner är ämnesinnehållet specificerat per årskurs (P1, P2, P3, P4, P5, P6, S1, S2) med undantag för Secondary Three och Secondary Four (S3/4) som be-handlas som en enhet i ämnesplanen.

34

5.1. Algebra

Introduktion av de utvalda attributen för algebra presenteras i Tabell 3 och en grafisk framställning ges i Figur 8. För Finlands del introduceras generella andragrads-ekvationer under gymnasietiden (under kurs 1 i den korta lärokursen i matematik), vilken behandlas som ett enda intervall i presentationen medan exemplet med Katedral-skolan i Åbo (2017) indikerar att denna introduktion troligen sker under första året av gymnasiestudierna.

Man kan notera att för samtliga attribut ligger den undre intervallgränsen för Finland lägre än den undre intervallgränsen för Sverige. På liknande sätt ligger den övre inter-vallgränsen för Finland lägre än den övre interinter-vallgränsen för Sverige för alla attribut utom generella linjära ekvationer (då de sammanfaller) och generella andragrads-ekvationer (då Sveriges övre intervallgräns ligger lägre än Finlands, vilket troligen är irrelevant om man beaktar exemplet med Katedralskolan i Åbo). Det tycks alltså vara så att algebraiskt innehåll i många fall introduceras tidigare i Finland än i Sverige, enligt ämnesplanerna. För vissa av attributen (till exempel ekvationssystem och ofullständiga andragradsekvationer) är skillnaden mellan när de introduceras anmärkningsvärt stor.

Vid en jämförelse mellan ämnesplanerna i Sverige och Singapore är det intressant att notera att enkla linjära ekvationer introduceras mycket tidigare i Sverige än i Singapore (i likhet med vad Ruddock och Sainsbury (2008) fann i sin jämförelse mellan England och Singapore) och generella linjära ekvationer introduceras ungefär samtidigt i de båda länderna. Övriga attribut introduceras tidigare i Singapore än i Sverige (möjligtvis sam-tidigt för ofullständiga andragradsekvationer där den övre intervallgränsen för Singa-pore sammanfaller med introduktionen i Sverige). SingaSinga-pore sticker också ut på så sätt att samtliga studerade attribut för ekvationslösning introduceras under ett mycket kortare årskursintervall (2-3 årskurser) jämfört med Sverige (6-8 årskurser) och Finland (6-12 årskurser). Därmed uppvisar Singapore en betydande progression gällande ekvationslösning under de aktuella årskurserna.

Överlag tycks avancerat material rörande ekvationslösning (ekvationssystem och andra-gradsekvationer) introduceras senare i Sverige än i Finland och Singapore, medan enkla

35

linjära ekvationer introduceras ungefär samtidigt i Sverige som i Finland och tidigare än i Singapore. Generella linjära ekvationer tycks introduceras ungefär samtidigt i de tre studerade ländernas ämnesplaner.

Tabell 3: Algebra – årskurs/årskursintervall för introduktion av några innehålls-relaterade komponenter i ämnesplanerna för Sverige (SE), Finland (FI) och Singapore (SG).

SE FI SG

Linjära ekvationer (enkla) 4-6 3-5 S2

Linjära ekvationer (generella) 7-9 6-9 S2

Ekvationssystem Gy2 6-9 S2

Andragradsekvationer (ofullständiga) Gy1 6-9 S3/4

Andragradsekvationer (generella) Gy2 Gy S3/4

Figur 8: Algebra – årskurs/årskursintervall för introduktion av några innehålls-relaterade komponenter i ämnesplanerna för Sverige, Finland och Singapore.

36

5.2. Geometri

Introduktion av de utvalda attributen för algebra presenteras i Tabell 4 och en grafisk framställning ges i Figur 9. Attributet ”sinus och cosinus” förekom inte explicit i de svenska ämnesplanerna, varför data har utelämnats för Sverige gällande detta attribut. För Finlands del introduceras sinus och cosinus under gymnasietiden (under den valbara kurs 8 i den korta lärokursen i matematik), vilken behandlas som ett enda intervall i presentationen medan exemplet med Katedralskolan i Åbo (2017) indikerar att denna introduktion troligen sker under andra året av gymnasiestudierna.

Man kan notera att, även för detta ämnesinnehåll, ligger den undre intervallgränsen för samtliga attribut för Finland lägre än den undre intervallgränsen för Sverige utom för enkla symmetrier (då de sammanfaller). På liknande sätt ligger den övre intervall-gränsen för Finland lägre än den övre intervallintervall-gränsen för Sverige för alla attribut utom beräkning av volym (då de sammanfaller). Det tycks alltså vara så att geometriskt inne-håll i många fall introduceras tidigare i Finland än i Sverige, enligt ämnesplanerna. För vissa av attributen (till exempel kongruens) är skillnaden mellan när de introduceras anmärkningsvärt stor.

Vid en jämförelse mellan ämnesplanerna i Sverige och Singapore är det intressant att notera att enkla symmetrier introduceras tidigare i Sverige än i Singapore och Pythagoras’ sats introduceras ungefär samtidigt i de båda länderna. För likformighet sammanfaller den övre intervallgränsen för Sverige med den undre intervallgränsen för Singapore. Övriga attribut introduceras tidigare i Singapore än i Sverige (i likhet med vad Ruddock och Sainsbury (2008) fann i sin jämförelse mellan England och Singa-pore). För vissa av attributen (till exempel generella symmetrier) är skillnaden mellan när de introduceras anmärkningsvärt stor.

Överlag tycks en majoritet av de studerade attributen inom geometri introduceras senare i Sverige än i Finland och Singapore.

37

Tabell 4: Geometri – årskurs/årskursintervall för introduktion av några innehålls-relaterade komponenter i ämnesplanerna för Sverige (SE), Finland (FI) och Singapore (SG).

SE FI SG

Symmetrier (enkla) 1-3 1-2 P4

Beräkning av omkrets och area 4-6 3-5 P3

Likformighet 7-9 3-5 S3/4

Beräkning av volym 7-9 6-9 P5

Pythagoras’ sats Gy1 6-9 S3/4

Kongruens Gy2 3-5 S2

Symmetrier (generella) Gy1 6-9 P4

Sinus och cosinus - Gy S3/4

Figur 9: Geometri – årskurs/årskursintervall för introduktion av några innehålls-relaterade komponenter i ämnesplanerna för Sverige, Finland och Singapore.

38

5.3. Korrelation med internationella undersökningar

I detta avsnitt redogör jag för resultaten av mina undersökningar av den andra delfrågan:

• Finns det någon korrelation mellan de utvalda ländernas respektive resultat inom matematik i ett urval av internationella undersökningar och skillnader mellan länderna angående introduktion av de innehållsrelaterade komponenterna?

5.3.1.

Medelresultat

Som nämnts tidigare har Singapore utomordentligt högt medelresultat i de inter-nationella undersökningar som jag har studerat (Skolverket, 2013), (Skolverket, 2016b), (Skolverket, 2016d), och Finland har i förekommande fall högre medelresultat än Sve-rige. Enligt OECD (2016c), (2016d) är Sveriges medelresultat i PISA 2015 jämförbart med det genomsnittliga medelresultatet för OECD, medan Finland har ett högre medel-resultat än Sverige, och Singapore uppvisar det högsta medelmedel-resultatet.

Enligt min tolkning av ämnesplanerna tycks en majoritet av de studerade attributen inom geometri och algebra introduceras senare i Sverige än i Finland och Singapore. Därmed kan man skönja en korrelation mellan hur tidigt eleverna möter de attribut som studerats och motsvarande medelresultat för landet i de internationella undersökningar som studerats. Det tycks finnas särskilt stark korrelation i relation till hur tidigt eleverna möter innehåll som kan anses avancerat.

5.3.2.

Uppdelning i innehållskategorier

För PISA 2012 redovisas resultat uppdelat på fyra olika innehållskategorier: förändring och samband, rum och form, kvantitet, samt osäkerhet, där förändring och samband innefattar algebra, och rum och form innefattar geometri (Skolverket, 2013).

Figur 10 illustrerar svenska elevers medelresultat uppdelat i de olika innehålls-kategorierna, i jämförelse med medelresultat för deltagande OECD-länder. Man kan notera att det svenska resultatet ligger betydligt lägre än OECD-medelresultatet för de båda innehållskategorierna som är intressanta i relation till denna studie: förändring och samband (innefattande algebra) och rum och form (innefattande geometri).

39

Man kan också notera att de svenska eleverna har något bättre medelresultat i kate-gorierna kvantitet och osäkerhet, men fortfarande under OECD-ländernas medelvärde. OECD-landet Finland har enligt Skolverkets rapport signifikant högre resultat än Sve-rige för både förändring och samband, och rum och form. Singapore är inte ett OECD-land och återfinns inte i denna delen av Skolverkets rapport.

Figur 10: PISA 2012 – Medelvärde för matematikresultat i de olika innehålls-kategorierna för Sverige jämfört med OECD-medel (Skolverket, 2013), delvis beskuren. Även för TIMSS 2015 redovisas resultat uppdelat på innehållsområden (Skolverket, 2016d): taluppfattning och aritmetik, geometriska former och mått, samt data-presentation för årskurs 4; taluppfattning och aritmetik, algebra, geometri, samt statistik och sannolikhet för årskurs 8.

Figur 11 illustrerar svenska elevers genomsnittliga resultat i årskurs 4 uppdelat i de olika innehållsområdena, i jämförelse med Danmark, Finland och Norge. Man kan notera att det svenska resultatet är lägre än Finlands för innehållsområdet geometriska former och mått som är intressant i relation till denna studie för geometri. Singapores resultat redovisas inte i denna del av Skolverkets rapport.

Figur 11: TIMSS 2015 – Genomsnittligt resultat i årskurs 4 uppdelat på innehålls-områden (Skolverket, 2016d).

40

Figur 12 illustrerar svenska elevers genomsnittliga resultat i årskurs 8 uppdelat i de olika innehållsområdena, i jämförelse med Norge. Singapores resultat redovisas inte i denna del av Skolverkets rapport och Finland tycks inte ha deltagit i undersökningen för årskurs 8, varför denna jämförelse inte direkt kan lämna något bidrag till svaret på min frågeställning. Dock kan man notera att de innehållsområden där svenska elever är för-hållandevis svagast (i jämförelse med övriga innehållsområden) är algebra och geo-metri.

Figur 12: TIMSS 2015 – Genomsnittligt resultat i årskurs 8 uppdelat på innehålls-områden (Skolverket, 2016d).

I rapporten för PISA 2012 från Skolverket (2013) redovisas även en del resultat baserat på enkätfrågor till eleverna, av vilka några delar kan vara relevanta att nämna i detta sammanhang. Svaren på enkätfrågorna anges i en 5-gradig skala (0-4), där ett högt värde betyder att elevens förtrogenhet med frågans ämne är stor, och vice versa.

Sverige har lägst medelvärde bland samtliga OECD-länder för indexet som betecknar hur ofta eleverna mött uppgifter med formell matematik. Figur 13 illustrerar svaren på frågan om hur väl eleverna känner till vissa begrepp, vilket var en parameter i beräk-ningen av index för formell matematik.

Man kan notera att Sverige har låga värden för många av begreppen. Begrepp som kan anses relevanta för min studie i relation till algebra innefattar andragradsfunktion, linjär ekvation, och komplexa tal. Begrepp som kan anses relevanta för min studie i relation till geometri innefattar kongruent figur och cosinus. För samtliga dessa begrepp har Sverige relativt lågt värde. Begreppen andragradsfunktion, kongruent figur och cosinus uppvisar särskilt låga värden; Sverige representerar minimivärden för dessa begrepp.

41

I rapporten från Skolverket (2013) konstateras att ”svenska elever ligger under OECD-genomsnittet för samtliga redovisade begrepp utom begreppet sannolikhet. I den svenska kursplanen nämns endast ett fåtal av dessa begrepp.”

Figur 13: PISA 2012 – Svar på frågan om hur väl eleverna känner till vissa begrepp: Sverige, OECD-genomsnitt och extremvärden (Skolverket, 2013).

Alltså kan man, även när man fokuserar på det specifika innehåll som är relevant för denna studie, skönja en korrelation mellan hur tidigt eleverna möter de attribut som studerats och motsvarande resultat för landet i de internationella undersökningar som studerats. Det tycks i själva verket som om korrelationen är starkare när man gör en innehållsmässig fokusering.

42

6. Diskussion och slutsats

6.1. Konsekvenser av metod och genomförande

Alla avgränsningar som görs i en studie inverkar, naturligtvis, på generaliserbarheten (och därmed på validiteten (Jönsson, 2013), (Bryman, 2011)) av studien; så även i detta fall. Till att börja med kan man reflektera över att jag endast studerar innehållet i ämnesplanerna och inte i vilken grad de studerade ämnesplanerna (och ämnesplaner i allmänhet) stämmer överens med den undervisning som faktiskt bedrivs. Ämnes-planerna kan endast sägas vara relevanta för elevernas resultat, till exempel i inter-nationella undersökningar, i den mån de faktiskt har genomslag i undervisningen. Naturligtvis kan det vara så att innehåll som stipuleras för en viss årskurs av ämnes-planen kan introduceras tidigare, senare, eller helt uteslutas från den faktiska under-visningen. Dessa aspekter skulle kunna undersökas, till exempel, via studium av läro-böcker, undervisningssituationer, o.s.v. Sådana undersökningar faller dock utanför om-fånget hos denna studie.

Urvalet av länder och innehåll påverkar naturligtvis också allmängiltigheten hos min studie, varför jag föreslår en utökning av urvalet av länder och/eller urvalet av innehåll för framtida studier i avsnitt 6.3. På liknande sätt är min avgränsning angående inter-nationella studier ett hinder för generaliserbarhet, vilket jag också berör i avsnitt 6.3 genom att reflektera kring möjligheterna att följa resultat i internationella under-sökningar över tid och korrelera med motsvarande ämnesplaners utveckling.

En annan avgränsning som jag har gjort är att jag enbart har studerat när respektive innehållsrelaterade komponent introduceras enligt ämnesplanerna. Genom detta angreppssätt osynliggör jag en del andra aspekter som kan vara intressanta, till exempel hur avancerad introduktionen är. Detta kan illustreras av att jag tolkar både ”volume of cube and cuboid” i Singapores ämnesplan och ”metoder för beräkning av volym hos geometriska objekt” i Sveriges ämnesplan som introduktion av volymberäkning, trots att geometriska objekt är en mer generell term än kub/kuboid och därmed kan anses representera introduktion på en mer avancerad nivå. Här hade ytterligare bidrag kunnat

43

uppnås via ett kvalitativt förhållningssätt till ämnesplanerna, läroboksstudium, klass-rumsundersökningar, o.s.v. Även sådana undersökningar faller dock utanför omfånget hos denna studie.

Generellt kan jag konstatera att Singapores ämnesplan är mycket mer detaljerad än Sve-riges och Finlands när det gäller specificering av innehåll. En detaljerad innehålls-specificering innebär en hårdare styrning av lärarrollen och en likriktning av undervis-ningen. I förlängningen kan detta möjligen tolkas som ett uttryck för medborgerlig läro-planskod eftersom en sådan likriktning bidrar till att garantera att alla elever möter samma innehåll och därmed bidrar till likvärdighet i utbildningen. Eftersom innehållet i ämnesplanerna är otydligare specificerat för Sveriges och Finlands del, är det väldigt lätt att tolka in antingen mer eller mindre avancerat innehåll i Finlands och Sveriges ämnesplaner än vad som kommer till uttryck i den faktiska implementeringen av respektive ämnesplan. Att genomföra en opartisk jämförelse av innehållet har, i ljuset av denna skillnad i detaljnivå, därför utgjort en utmaning.

En ytterligare osäkerhet i förhållande till studiet av när en komponent introduceras utgörs av att ämnesplanerna i många fall anger ett årskursintervall i stället för en års-kurs, vilket har diskuterats tidigare. Detta har inverkan på slutsatsens reliabilitet, dels eftersom vissa intervall är så långa som fyra årskurser, dels eftersom det blir omöjligt att med säkerhet uttala sig om vilket land som genomför introduktion först i de fall där intervallen för länderna överlappar varandra. Denna problematik har jag hanterat genom att jämföra undre och övre gränser för intervallen (vilket kan ses som analogt med en jämförelse av intervallens mittpunkt) när jag drar mina slutsatser.

Som konstaterats tidigare skiljer skolsystemet i Singapore sig från dem i Finland och Sverige utifrån en ramfaktorteoretisk aspekt, nämligen genom att Singapore har en av-sevärt tidigare nivågruppering inom matematik. Detta har jag hanterat genom att välja de kurser som jag bedömer representerar en medelnivå i respektive land för min jäm-förelse. Den generella tillförlitligheten av min studie blir därför beroende av att min bedömning härvidlag är korrekt. Validiteten för noterade korrelationer med inter-nationella undersökningar försvagas även något eftersom jag inte har undersökt hur

44

eleverna som deltar i undersökningarna från Singapore är fördelade över nivå-grupperingarna.

6.2. Slutsats

I avsnitt 5.1 och 5.2 redovisas när ett urval av innehållsrelaterade komponenter inom matematiken introduceras enligt svensk ämnesplan och enligt ämnesplanerna för Fin-land och Singapore. För en majoritet av de innehållsrelaterade komponenterna sker introduktionen senare i Sverige än i Finland och Singapore. En del undantag finns, framför allt för de mest grundläggande komponenterna, såsom enkla symmetrier och linjära ekvationer, där Sverige har en introduktionstidpunkt som är jämförbar med Fin-lands och tidigare än Singapores.

Även Ruddock och Sainsbury (2008) och Graeme, Wilson och Zbar (2011) konsta-terade att Singapores ämnesplan introducerar enkel algebra relativt sent. Dock är progressionen inom algebra, när den väl introduceras, anmärkningsvärt hög enligt min undersökning; något som också indikeras av Graeme, Wilson och Zbar (2011).

Det kan vara värt att nämna att om den motsvarighet mellan årskurser som används av Graeme, Wilson och Zbar (2011) hade tillämpats i stället, hade Singapore utmärkt sig ännu mer gällande introduktionstidpunkt för avancerat innehåll inom både algebra och geometri.

I avsnitt 5.3 diskuteras korrelation mellan ovanstående skillnader mellan ämnesplanerna i Sverige, Finland och Singapore och respektive lands resultat inom matematik i PISA 2012 och 2015, samt TIMSS 2015. I samtliga dessa internationella undersökningar har Singapore och Finland ett medelresultat som är högre än Sveriges (mycket högre för Singapores fall). Det tycks alltså finnas en korrelation mellan när de studerade inne-hållsrelaterade komponenterna introduceras i ämnesplanen och det medelresultat som uppnås i internationella undersökningar, såtillvida att en tidig introduktion (framför allt av avancerat innehåll) samvarierar med ett högt medelresultat.

I ljuset av den konstaterade korrelationen kan det vara frestande att dra slutsatsen att det finns en kausalitet mellan tidig introduktion av (avancerat) innehåll enligt ämnesplanen

45

och medelresultat i internationella undersökningar. I det sammanhanget är det viktigt att notera att korrelation inte nödvändigtvis behöver indikera kausalitet. Dock kan man uti-från resultaten av min studie konstatera att en hypotes om sådan kausalitet inte har falsi-fierats. Vidare kan man tolka mina resultat som ett argument som kan stärka en teori om kausalitet.

6.3. Förslag för fortsatt forskning

Vidare forskning på detta området skulle kunna utöka någon eller några av de urval som gjorts; länder, innehållsrelaterade komponenter, internationella undersökningar. En intressant angreppsvinkel vore att genomföra motsvarande studie för något eller några länder som, i internationella undersökningar, har lägre medelresultat än Sverige.

En annan aspekt som vore intressant att studera är vilka resultat som hade noterats om motsvarande undersökning hade genomförts där man, i stället för att studera en medel-nivå i kursutbudet och motsvarande medelvärde för resultaten i de internationella under-sökningarna, studerar den mest och/eller minst avancerade nivån i kursutbudet och resultat för gruppen hög- och/eller lågpresterande elever i de internationella under-sökningarna.

Slutligen vill jag nämna ett uppslag som jag övervägde när jag preciserade min fråge-ställning och som jag anser vore värd att studera; att följa utvecklingen av svensk ämnesplan genom modern historia och sätta den i ett internationellt perspektiv, till exempel genom korrelation med resultat i internationella undersökningar. En be-gränsning i detta sammanhang är dock att internationella undersökningar av den typ som PISA och TIMSS representerar är en relativt ny företeelse, varför en sådan studie kan vara svårgenomförd (men inte mindre intressant).