Malmö högskola
Lärarutbildningen
Natur, Miljö och Samhälle
Examensarbete
10 poängLaborativ matematik för gymnasiet
Laboratory mathematics for senior high school
Roia Arwand och Ofelia Jovcic
Lärarexamen 180 poäng Handledare: Helena Mühr Matematik och lärande
Sammanfattning
I slutet av Lärarutbildningen växte insikten fram om behovet av variation i
matematikundervisningen på gymnasiet. Erfarenheten ger vid handen att eleverna skolas in i ”utantillkunskap” där kvantitet, ordning och reda styr uppfattningen om vad som är kunskap och om hur man lär sig matematik. Denna uppfattning är inte i överensstämmelse med den undervisning som eleverna har rätt till enligt läroplan och styrdokument.
Avsikten med arbetet är att ge förslag på laborativa matematiska problemställningar. Laborationer samt tester och utvärderingar genomfördes under några veckor i en
gymnasieskola i nordvästra Skåne. För testningen av laborationerna valdes en NV-klass bestående av 31 elever. Denna studie visar att eleverna hade en positiv inställning till laborativa metoder och blev mer engagerade i undervisningssituationen.
Innehållsförteckning
1 Inledning 1
1.1 Syfte och frågeställningar 2
2 Teoretisk bakgrund 3
2.1 Teori 3
2.2 Förankring i styrdokument 9
2.3 Några av målen, för NV- programmet 11
3 Metod 13 3.1 Val av metod 13 3.2 Urval 15 3.3 Datainsamling 15 3.3.1 Laborationer 15 3.3.2 Test 16 3.3.3 Intervju 17 3.4 Procedur 17
3.5 Validitet och reliabilitet 18
4 Resultat 20
4.1 Resultat av laboration 1: Areor samt Analys och Kommentar 21 4.2 Resultat av laboration 2: Volymer samt Analys och Kommentar 23 4.3 Resultat av laboration 3: Avståndsbestämning samt Analys och Kommentar 27 4.4 Resultat av laboration 4: Maximal volym samt Analys och Kommentar 31 4.5 Resultat av laboration 5: Pascals triangel samt Analys och Kommentar 34 4.6 Resultat av laboration 6: Radioaktivt sönderfall samt Analys och Kommentar 38 4.7 Resultat av laboration 7: Gyllene snittet samt Analys och Kommentar 40 4.8 Resultat av laboration 8: Kägelsnittet samt Analys och Kommentar 43
4.9 Vad tyckte eleverna i samarbetsgruppen? 45
4.9.1 Resultat av Vad tyckte eleverna i samarbetsgruppen? 45 4.10 Vad tyckte eleverna som gjorde det enskilda testet? 46 4.10.1 Resultat av Vad tyckte eleverna som gjorde det enskilda testet? 47
4.11 Analys av testresultat 48
4.12 Intervju 49
4.12.1 Resultat av intervju 53
5 Diskussion och slutsats 55
1. Inledning
Matematik är inte enbart ett samhällsviktigt ämne utan även ett kreativt ämne där varje
enskild individ kan tillföra nya idéer och tillämpningsområden. Gymnasieundervisningen idag är mest av traditionellt slag där vikten läggs vid att man lär sig de ingående teoretiska
områdena. Om man betraktar matematiken som ett ämne som växer fram från dels praktiska behov och dels estetiska och kulturella värderingar är det ytterst viktigt att introducera eleverna i ett skapande arbetssätt. Kreativitet och egna lösningsstrategier är nyckeln till motivation och utveckling inom matematiken.
Under vår verksamhetsförlagda tid inom Lärarutbildningen utvecklades idéerna till varierad matematikundervisning. Man måste göra matematiken till ett levande ämne där eleverna står för aktiviteten. Vi vill få eleverna att lämna matematikböckerna och den instrumentella inlärningen för att utforska och förstå kärnan i lärandet. I diskussioner med handledaren på skolan då man utvärderat matematiklektionerna kom man till samma tankar. Eleverna är invanda från grundskolan att räkna på egen hand i sina böcker utan att reflektera över problemställningarna. Den instrumentella inlärningen gör att eleverna begränsas i sin utveckling som problemlösare. Deras kreativitet och personliga kvalitéer utnyttjas inte i lärandeprocessen. Särskilt reagerade vi på att eleverna ville räkna i sina läroböcker för att ”hinna med att räkna så många uppgifter som möjligt” .
Eleverna har rätt till undervisning enligt styrdokumentet. Undervisning är inte att eleverna ska läsa faktarutan och räkna ut alla uppgifter som finns i läroboken för att därmed klara något prov.
Det är däremot avgörande för matematikämnets utveckling att man gör sig förstådd och kan redovisa en klar tankegång. Därför är det viktigt att lära sig använda det matematiska språket korrekt när man redogör för ett matematiskt resonemang.
1.1 Syfte och frågeställningar
Ger laborativa moment i undervisningen större stimulans hos eleverna och ett ökat intresse för matematik?
För att försöka besvara frågeställningen konstruerade vi några laborationer och testade dessa i en gymnasieklass.
Vårt material avser att träna eleverna i att förstå matematiska problemställningar och
presentera lösningsmetoder. Till stor del är problemställningarna i materialet undersökande. Problemen är kopplade till olika delmoment i kursplanens och läroplanens målsättningar (Lpo94).
En del är utomhuslaborationer. Avsikten med dem är att eleverna ska arbeta med uppgifter som har anknytning till praktiska sammanhang.
Vidare är det väsentligt att eleverna får möjlighet att självständigt planera arbetet (såväl enskilt som gruppvis) samt att organisera och presentera materialet i uppgifterna.
Avsikten med klassrumsaktiviteterna är att träna elevernas analytiska förmåga. Eleverna stimuleras att upptäcka mönster och förstå samband.
2. Teoretisk bakgrund
2.1 Teori
Matematiken brukar sägas vara den äldsta av alla vetenskaper. Matematiken ”föddes” för att människan hade behov av att kunna ange antal och utföra vissa räkneoperationer med dessa antal. Parallellt med denna konkreta och vardagligt framväxande matematik fanns det många som utvecklade matematikens inre struktur och skapade lagar. Med detta fjärmades
matematiken från vardagen. Det blev ett erkänt ”svårt” ämne som krävde begåvning för att kunna tillägna sig. Man kan säga att matematiken blev en helt abstrakt vetenskap. Under de senaste åren har dock allt fler börjat tala om olika sorters matematik. Det är viktigt att man som lärare även lyfter fram och lägger tyngdpunkten på andra delar i undervisningen och låter eleverna närma sig matematiken från andra sidor än de traditionella. (Unenge, Sandahl & Wyndhamn, 1994)
Enligt Berggren och Lindroth (1998) kan man aktivera elever genom att arbeta mycket med laborativt material och egna undersökningar. Det laborativa materialet ska hjälpa eleverna att lösa en konkret situation för att sedan kunna diskutera fram generella lösningar och
lösningsmetoder. De generella lösningarna medför att man får med sig fler elever. Vidare hävdar Berggren och Lindroth hävdar att för att laborativt material ska komma in som en naturlig del i undervisningen är det viktigt att det finns tillgängligt för eleverna.
Berggren och Lindroth (2004) anser att det är viktigt att låta elevernas kreativitet bli en tillgång. För att kunna arbeta med laborativa uppgifter måste man som lärare ha kunskap om det matematiska innehållet i laborationen. Dessutom måste man ha ett mål med uppgiften. Bergren och Lindroth menar att det i en elevaktiv laboration krävs att eleverna är mentalt och språkligt engagerade. När laborativ matematik är elevaktiv tycker eleverna att det är roligt att arbeta och blir därför mer motiverade, intresserade och aktiva. Dessutom ger laborationen rika möjligheter att diskutera och fundera över problem.
Matematikämnet har hög status och förknippas ofta med teoretisk kunskap. I alltför stor utsträckning betonar man den färdiga slutprodukten – det korrekta svaret. Man ägnar alldeles för lite intresse åt den viktiga process som leder fram till resultatet. Flertalet elever har en långt större förmåga att praktiskt lösa uppgifter än de har förmåga att läsa och tyda
motsvarande textuppgift. Berggren och Lindroth (2004) tror att matematik av någon okänd anledning har en tradition som säger att ämnet ska vara teoretiskt och svårt. Är man duktig i matematik så är man allmänt intelligent.
Den senaste granskningen som gjorts av Skolverket under 2001 och 2002 visar att
matematikintresset är lågt hos elever i grundskolans senare del. Allt fler elever klarar inte kraven för godkänt i matematik. Problemet växer och utvecklingen innebär en stor
kunskapsspridning i klasserna. Att hitta undervisningsmetoder som passar samtliga elever blir allt svårare. Skolverket efterlyser bland annat variation av arbetsformer. (Skolverket, 2004)
Dagens matematikundervisning domineras inte sällan av att läraren följer en lärobok och att eleverna arbetar i sitt eget tempo. Gemensamma genomgångar av nya matematikmoment presenteras ofta med en teoretisk genomgång av läraren och därefter får eleverna fortsätta arbeta i sin egen takt. Arbetssätt och arbetsform är två viktiga medel som läraren kan använda av för att uppnår de uppsatta målen i sin matematikundervisning. Det ena medlet är en metod som läraren har för att sätta igång lärandeprocessen. Det andra medlet står för ett
organisatoriskt ändamål.
Vad avses egentligen med laborativ matematik? Ordet laborativ kommer från det latinska ordet labo´ro, som betyder arbeta. Laborativ undervisning bygger på metoder där inlärning sker med hjälp av experiment och undersökningar (National Encyklopedin, 2000). I vissa fall är det som presenteras som laboration något som eleverna ska utföra med hjälp av olika material, såsom ett experiment för att själva komma fram till lösningar. I andra fall är det som presenteras en lite svårare läsuppgift, som inte kräver mer utrustning än papper och penna, men är avsedd att utföras i grupp. Det är svårt att hitta en vedertagen definition av vad laborativ matematik innebär. Olika personer har olika definitioner, men gemensamt för de flesta är att det är praktiskt och att det är något som skiljer sig från vanligt bänkarbete. Ett laborativt arbetssätt är, enligt pedagogen Dewey (1859-1952), ett undersökande arbetssätt där eleven tillsammans med läraren får reflektera och samtala om olika sätt att tänka kring och lösa matematiska uppgifter.
Enligt Barbra Jaworski har det laborativa arbetssättet sin grund i konstruktivismen med den schweiziske psykologen och filosofen Jean Piaget (1896-1980) som framträdande gestalt. I en konstruktivistisk kunskapsteori ses kunskap som något människan konstruerar utifrån sina egna erfarenheter. Här talar man mer om lärande och kunskapande i stället för inlärning. Alla intryck tolkas genom våra tidigare kunskaper, erfarenheter och föreställningar. Den lärande konstruerar aktivt sin kunskap. Det är enbart genom våra egna erfarenheter och aktiva ordförråd som bestående begrepp och tankestrukturer kan byggas upp. Piaget menar att människan är medfött nyfiken och aktivt. Jaworski hävdar vidare att man måste ha olika strategier i sin undervisning. För en del elever räcker det att reflektera för att lära sig något nytt. Andra måste höra och se, och ytterligare en grupp måste arbeta laborativt för att förstå. Jaworski tar även upp Piagets begreppsbildningen som sker i två steg genom ett ständigt växelspel mellan dessa:
Assimilation – där vi anpassar omvärlden till det vi redan vet utan att egentligen lära oss något nytt.
Ackommodation – där vi anpassar oss själva till omgivningen, nya erfarenheter och utmaningar förändrar kunskapsstrukturerna. Först då sker det inlärning och utveckling. Begreppen förklaras av Paul Ernest i boken Matematik och reflektion.
(Engström, 1998)
Engström har förklarat vad som karakteriserar en konstruktivistisk undervisning. En konstruktivistisk undervisning:
• Utgår från en uppfattning som eleven använder sig av det han/hon redan vet för att utveckla personligt meningsbärande lösningar,
• Stimulerar eleverna till att reflektera över sina matematiska aktiviteter,
• Kännetecknas av ett stort inslag av laborativa aktiviteter som möjliggör för eleverna att konstruera sin egen matematik,
• Ger ett stort utrymme åt gruppdiskussioner, som låter eleverna bryta sina
uppfattningar mot andras, utvecklar elevernas förmåga att motivera och bestyrka sina idéer,
• Ser lärandet som en problemlösande aktivitet, där elevernas egna frågeställningar och sätt att formulera problem ges ett stort utrymme,
• Betonar kreativa aktiviteter som tillåter eleverna att utveckla sina möjligheter i stället för ett givet svar
• Presenterar problemlösande aktiviteter som är öppna, som stimulerar till att arbeta fram olika lösningar,
• Ser matematik som en kulturell och social betingning. (Engström, 1998, s 11)
Paul Ernest skriver i Matematik och reflektion om den ryske psykologen Lev Vygotsky (1896-1934) som till stor del var överens med Piaget att förutsättningen för att en individ ska förstå och påverka sin omgivning är att hon gör det på sitt eget sätt och i samverkan med andra individer. Vygotsky betonar dock den avgörande betydelse språket har för lärande. Han menar att allt tänkande har sitt ursprung och utvecklas i relationen med andra människor. Det sociala samspelet mellan människor ligger till grund för begreppsutvecklingen och skapandet av tankestruktur. All utveckling sker genom yttre stimulans från omgivningen genom ett socialt samspel. (Engström, 1998)
Gran fokuserar sin forskning på att eleven som klargör sina egna inlärningsbehov, som kommer underfund med sina egna tankeformar, sina egna sätt att tänka kring matematiska problem. Läraren tar ansvar för att arrangera inlärningssituationer, men det är eleven som tar för lärandet. Gran skriver vidare ”Det är den lärande och inte ämnet matematik som ska vara utgångspunkten. Då blir också lärandet i matematik framgångsrikt”. (Gran, B (red.), 1998, s 54) Vidare hävdar Gran att eleverna saknar motiv för sitt lärande och lär sig då inte heller något. Kunskaper inom matematiken är inget pedagogerna kan ge till eleverna utan de måste känna sig aktiva och engagerade för att själva kunna utveckla sina egna föreställningar om matematiska begrepp. Genom att reflektera över sina handlingar, skapa erfarenheter och kommunicera dessa ökar den matematiska förståelsen. Det är pedagogens puppgift att försöka förstå elevernas resonemang genom att diskutera med dem och utmana deras tänkande. Många elever behöver träna på att sätta ord till sina tankar, eftersom inlärning sker på vägen från en tankestruktur till en annan.
I boken Vägar till elevers lärande hävdar man att det är i samlärande eleverna får tillfälle att utveckla sitt matematiska språk och tankesätt. Dessutom tränas det sociala samspelet som innebär ett ömsesidigt givande och tagande. Grupparbete i sig stärker och utvecklar också den enskilda individen till att reflektera över sitt eget kunnande och ta lärdom av andra.
Genom tillfälle att undersöka, diskutera och pröva olika lösningar får eleven positiv stimulans. (Lendahl & Runesson, 1995)
Eriksson och Rydh (2003) menar att alla är överens om att elever lär sig bäst när de får använda flera sinnen och uppgifterna knyter an till deras vardag. Laborativ matematik är ett kreativt arbetssätt där alla elever får möjlighet att lyckas, samtidigt som det ger alla elever utmaningar på deras respektive nivåer. Det är ett bra sätt att använda multisensorisk inlärning för att bygga broar till matematiskt kunnande. Laborationer, som är rika matematikuppgifter, ger alla elever utmaningar, vilket gör det möjligt för såväl starka som svaga elever att
utvecklas tillsammans. Det är genom att lösa många olika problemtyper som man övar att komma på strategier och känna igen vilka strategier som passar till respektive problem.
Bäckström (2000) anser att matematiken får liv först när man genom exempel bekräftar dess satser eller försöker motbevisa dem. Som biprodukt av denna verksamhet uppnår man en bättre förståelse av ämnet, genom att den studerande måste tänka igenom vad olika satser innebär.
Att variera matematikundervisningen och ge eleverna möjligheten att arbeta kreativt är likvärdigt med att förbättra elevernas prestationer i ämnet. I flertal forskningsrapporter har man redovisat behovet och resultatet av laborativa moment i matematikundervisningen. Skolverket gav ut en rapport 2003, ”Lusten att lära – med fokus på matematik”. I rapporten framgår det att lusten att lära har starka samband med elevernas nyfikenhet, fantasi, förmåga att upptäcka och realisera lösningar på egen hand. Man påpekar särskilt i denna rapport att dessa tillfällen ska upplevas både individuellt och i grupp.
Väsentligt i rapporten är också att synen på matematik idag som något monotont, meningslöst som man lär sig utantill, undergräver intresset för matematik. Vi har försökt att förverkliga några av faktorerna som stimulerar lärandet vilket presenteras i denna rapport. Nyckelord som används är engagemang och aktivitet hos elever och lärare. I rapporten framgår det att det finns ett behov att variera undervisningen för att undvika monotont arbetssätt och för att kunna tillgodose elevernas behov. Att eleverna arbetar i grupper med problemlösning och diskuterar olika lösningsstrategier tillsammans i klassen är en väsentlig faktor som främjar lusten att lära och förstå matematik. Värdefullt är även att eleverna känner sig delaktiga och har inflytande i lärandeprocessen. I rapporten framhålls lärarens betydelse. Insikten hos lärare
att deras uppgift utöver förmedling av kunskap är att inspirera och stimulera elever som aktiva problemlösare.
Enligt Bolt (1984) finns det ett stort intresse för att lösa matematiska problem. Laborativ matematik leder till kreativitet och kan många gånger ge en motivation som rutinuppgifter i en lärobok aldrig kan ge. Aktiviteter stimulerar och uppmuntrar eleverna till förståelse av tal, att förbättra sin rumsuppfattning samt att utveckla sitt matematiska tänkande.
Gudrun Malmer (2002) hävdar att ett laborativt arbetssätt som gynnar elever med svårigheter i ämnet matematik är positivt. Malmer menar att kunskapen måste konstrueras genom att den lärande själv deltar i en aktiv och skapande process som känns meningsfull. Den längre tid en sådan process kräver, kompenseras av att kunskaperna är barnets egna och därför lättare kan omsättas i nya kombinationer. Lärare ska våga ge större utrymme åt de skapande och kreativa inslagen i undervisningen. Malmer menar att språkförståelse och logiskt tänkande i
kombination med nyfikenhet, fantasi och kreativitet är viktiga komponenter i matematikundervisningen. Hon står för ett mera elevaktiverande arbetssätt.
I en av de artiklar som vi fick läsa under vår matematikdidaktikkurs, Erlwanger (1973), presenteras bilden på den duktiga eleven i dag, en pojke, Benny, som alltid får rätt och alltid är först klar med sina uppgifter. Det visar sig att Benny förstod ingenting av matematiken utan kom bara till rätt svar.
I en annan artikel diskuterade man valet av instrumentell eller relationell undervisning, Skemp (1976). I denna artikel framgår det att man väljer ett instrumentellt inlärningssätt på grund av att det ger snabba resultat. Eleven får rätt svar i stort sett genom att kopiera ett exempel i boken. Richard Skemp menar att det finns ett flertal anledningar till att man använder sig av instrumentella inlärningsmetoder nämligen: Det är enkla lättförståeliga regler som ger omedelbara belöningseffekter i form av rätt svar.
Att arbeta med förståelsen däremot är en lång och mödosam process, men i längden ändå det enda rätta. I jämförelse så ger problemrelaterade (förståelserelaterade) inlärningsmetoder: En bredare och därmed mer användbar förståelse som kan tillämpas i andra sammanhang
(generaliseras) istället för en uppsättning regler som man i allmänhet glömmer får man ett förhållningssätt som man minns.
Det finns många pedagoger som har arbetat med och förespråkar kreativa metoder. Slutsatsen är att om eleverna är aktiva och själva upptäcker samband och drar slutsatser förbättras deras inlärningsförmåga och de får en djupare förståelse av ämnet!
2.2 Förankring i styrdokument
De styrdokument som främst gäller för skolformerna i Sverige i dag är Lpo 94, för den obligatoriska grundskolan och Lpf 94, för de frivilliga skolformerna. I vårt arbete behandlas laborativ matematikundervisning i gymnasieskolan. Därför berörs Lpf 94 samt kursplanerna för matematik.
Enligt skolverket bör matematikundervisningen i högre grad knytas an till den vardag som ligger eleverna nära dvs. kärnämnesundervisningen bör knytas till karaktärsämnen
(Skolverket 2003). Undervisningen måste vara individanpassad och det är viktigt att lärandet bygger vidare på tidigare erfarenheter och kunskaper. På detta sätt blir det lättare för eleverna att förstå vad de har lärt sig och varför. Olika arbetsmetoder bör tillämpas, både individuella former samt arbete i grupp. Skolan ska uppmuntra till samverkan och interaktion mellan elever och lärare.
Gymnasieskolan skall ge eleverna möjlighet att få överblick och sammanhang samt reflektera över sina erfarenheter och tillämpa sina kunskaper (Lpf 94).
…Utbildningen syftar även till att eleverna skall uppleva glädjen i att utveckla sin
matematiska kreativitet och förmåga att lösa problem samt få erfara något av matematikens skönhet och logik
Läraren ska ge eleverna tilltro till det egna tänkandet samt till den egna förmågan att lära sig matematik och använda matematik i olika situationer.
Läroplanen säger att undervisningen ska styras av elevernas intresse och behov. Medbestämmande är för eleverna en viktig hörnsten. Läraren har ett stort ansvar för
skall finnas och viktigt är att variera och binda samman teoretiska och praktiska
undervisningsmetoder. Undervisningsformerna, läromedlen, omgivningen mm måste ge eleverna positiva upplevelser för att föda eller förstärka intresset. Det är viktigt att eleverna upplever nyfikenhet och glädje i att utveckla sin matematiska kreativitet och förmåga att lösa problem. Gymnasieskolan ska sträva mot att varje elev kan använda sina kunskaper som redskap för att kunna lösa praktiska problem och arbetsuppgifter. (Lpf 94)
Skolverket uttrycker i kursplanen under ”Mål att sträva mot”:
Skolan ska i sin matematikundervisning sträva mot att eleverna
• Utvecklar sin förmåga att i projekt och gruppdiskussioner arbeta med sin
begreppsbildning samt formulera och motivera olika metoder för problemlösning
• Utvecklar sin förmåga att med hjälp av matematik lösa problem på egen hand och i grupp bl. a av betydelse för vald studieinriktning samt tolka och värdera lösningarna i förhållande till det ursprungliga problemet (Lpf 94)
• Utvecklar sin tilltro till den egna förmågan att lära sig mera matematik, att tänka matematiskt och att använda matematik i olika situationer.
2.3 Några av målen för NV-programmet i matematik (Skolverket 2000)
Matematik A
• kunna formulera, analysera och lösa matematiska problem av betydelse för vardagsliv och vald studieinriktning
• ha fördjupad och vidgad sin taluppfattning
• kunna tolka och hantera algebraiska uttryck, formler och funktioner som krävs för problemlösning i vardagslivet och i studieinriktningens övriga ämnen
• känna till hur matematiken påverkar vår kultur när det gäller t ex arkitektur,
formgivning, konst samt hur matematikiska modeller kan beskriva förlopp och former i naturen
• ha fördjupad kunskaperna om geometriska begrepp och kunna tillämpa dem i vardagssituationer och i studieriktningens övriga ämnen
Matematik B
• kunna beräkna sannolikheter vid enkla slumpförsök och försök i flera steg samt kunna uppskatta sannolikheter
• kunna tolka, förenkla och omforma uttryck av andragradare samt lösa andragradsekvationer och tillämpa kunskaperna vid problemlösning • kunna arbeta med räta linjens ekvation i olika former
• kunna förklara vad som kännetecknar en funktion samt ställa upp, tolka och använda några icke-linjära funktioner som modeller för verkliga förlopp och i samband därmed kunna arbeta både med och utan dator och grafritande hjälpmedel
Matematik C
• kunna dra slutsatser om en funktions derivata och uppskatta derivatans värde numeriskt då funktionen är given genom sin graf
• kunna använda sambandet mellan funktionens graf och dess derivata i olika tillämpade sammanhang med och utan grafritande hjälpmedel
Avsikten med vårt undervisningsmaterial är inriktat på att eleverna:
• genomför matematiska resonemang både muntligt och skriftligt
• använder matematiska termer, symboler och konventioner samt utför beräkningar på ett sådant sätt att det är möjligt att följa, förstå och pröva de tankar som kommer till uttryck
• skiljer gissningar och antaganden från givna fakta
• värderar och jämför olika metoder, drar slutsatser från olika typer av matematiska problem och lösningar samt bedömer slutsatsernas rimlighet och giltighet.
3 Metod
3.1 Val av metod
Det är viktigt att variera matematikundervisningen och arbeta med förståelsen för att uppfylla styrdokumentens målsättning. Därför konstruerade vi egna laborativa uppgifter som kan användas för att stimulera elevernas inlärning.
Problemställningarna är utformade så att klassen skall arbeta i grupper med en alternativt max två laborationer för att få tid att redovisa och diskutera problemställningarna.
Vi arbetade med en del av uppgifterna under den verksamhetsförlagda tiden för att känna av hur detta uppfattades av eleverna och om det bidrog till en ökad förståelse.
Laborationerna genomfördes gruppvis (2x80 min). Klassen bestående av 31 elever (tre elever var sjuka) delades in i sju laborationsgrupper. I varje grupp arbetade fyra elever.
Gruppsammansättningen var följande:
Grupp 1 två pojkar och två flickor laboration 1 och 2 Grupp 2 tre flickor och en pojke laboration 3 Grupp 3 två flickor och två pojkar laboration 4 Grupp 4 två flickor och två pojkar laboration 5 Grupp 5 tre flickor och en pojke laboration 6 Grupp 6 tre flickor och en pojke laboration 7 Grupp 7 två pojkar och två flickor laboration 8
Efter genomförda laborationer gavs tid till grupperna att planera redovisningarna (80 min). Samtliga grupper redovisade sedan sina problemställningar (2x80 min) och hur man löst dem. Vid redovisningen var två flickor sjuka (en från grupp 5 och en från grupp 6).
Redovisningarna videofilmades.
Vi utformade ett skriftligt test baserat på gruppernas redovisningar (se bil.9). Syftet med testet var att var att dels få de observerande eleverna att följa med i och delta aktivt vid
redovisningarna med frågor samt få synpunkter på arbetsmetoden. Testet var kopplat till att elevernas möjlighet att självständigt planera, organisera och presentera materialet i
Det skriftliga testet genomfördes (40 min) i en testgrupp bestående av en Samarbetsgrupp och en Enskild grupp. I den Enskilda gruppen ingick 9 elever 5 flickor och 4 pojkar (en elev var frånvarande) som gjorde testet enskilt. I samarbetsgruppen fanns det 12 elever 3 pojkar och 9 flickor (två elever var frånvarande) och de arbetade två och två. Avsikten med grupperingarna var att utröna om en del av elevreaktionerna på arbetsformen var kopplade till att man
arbetade i grupp.
Sju elever intervjuades (40 min), fyra pojkar och tre flickor (se bil.10). Vi valde ut en elev från varje grupp för intervjun. Eleverna hade möjlighet att titta på de videofilmade
redovisningarna och kommenterade dels den egna redovisningen och dels hela gruppens arbete. Förfarandet med videofilmning diskuterades och sanktionerades av eleverna vid genomgången.
Vi har använt oss av kvalitativa observationer, d v s skrivit ner och videofilmat (genomförande och redovisningar av laborationerna). För att utvärdera resultatet av laborationerna och arbetsmetoden har vi använt strukturerade intervjuer samt prov på ämnesinnehållet och en utvärderingsfråga (ingående i provet). Strukturerad intervju innebär att vi har ställt fasta frågor till alla deltagare i intervjugruppen. Enligt Johansson och Svedner (2004) är svaren vanligen öppna. Tillsammans med kvalitativa observationer har det varit den mest givande metoden. Vidare hade vi även ett prov i slutet för att se vad eleverna
tillgodogjort sig i undervisningen, vilket Johansson och Svedner (2001) föreslår. Med prov anges helt enkelt något av de ordinarie prov som används i gymnasieskolan. Om man t ex är intresserad att utvärdera en alternativ metod för att undervisa i…eller för att undersöka vad eleverna lär sig i en serie laborationer i… kan ett prov vara en möjlig metod, gärna
kompletterad med antingen enkät eller individuella intervjuer. (Johansson & Svedner ,2004, s 34)
3.2 Urval
Laborationerna genomfördes i en NV-klass med 31 elever, 12 pojkar och 19 flickor, i Skåne. Problemställningarna konstruerades för den aktuella studieinriktningen och elevernas
kunskapsnivå.
Eleverna fördelades i 7 laborationsgrupper med hänsyn till uppgiftens kunskapsnivå och elevens genus (dvs. inte enbart pojkar eller flickor i grupperna).
Eleverna redovisade i de ursprungliga laborationsgrupperna.
Till intervjugruppen valdes en elev från respektive laborationsgrupp.
I Samarbetsgruppen valdes elever med skilda kunskapsnivåer. Resterande elever fick ingå i den Enskilda gruppen.
3.3 Datainsamling
3.3.1 Laborationer
Laboration1: Areor (bil. 1)
Eleverna får undersöka och dra slutsatser om hur arean hos olika månghörningar kan påverkas av antalet hörn. (En och samma omkrets kan ge upphov till olika areor... )
Laboration 2: Volymer (bil. 2)
Eleverna får undersöka och dra slutsatser om hur volymen hos olika figurer kan påverkas av antalet hörn. (En och samma begränsningsarea kan ge upphov till olika volymer...)
Laboration 3: Avståndsbestämning (bil. 3)
Syftet med uppgiften är att koppla geometrikunskaper såväl till egna upplevelser som till konkreta situationer samt användningsområden och ursprung.
Laboration 4: Maximal volym (bil. 4)
Av ekonomiska eller miljöskäl kan det vara intressant att minimera begränsningsarean hos en förpackning alternativt maximera volymen för en given begräsningsarea. Laborationen avser att få eleverna att reflektera över detta faktum.
Laboration 5: Pascals triangel (bil. 5)
Avsikten med laborationen är att träna eleverna i mönsterkännedom och specifikt i binomutveckling som är viktigt inom algebran.
Laboration 6: Radioaktivt sönderfall (bil. 6)
I detta modellförsök skall eleverna undersöka och förhoppningsvis förstå hur ett slumpmässigt förlopp bildar ett bestämt mönster.
Laboration 7: Gyllene snittet (bil. 7)
Handlar om Gyllene snittet och hur det förekommer i olika objekt.
Laboration 8: Kägelsnitt (bil. 8)
Eleverna arbetar med ellips, parabel, hyperbel och undersöker sambandet mellan de algebraiska uttrycken och de geometriska formerna.
3.3.2 Test
Testet speglar de laborativa uppgifterna. Samtliga frågor (se bilaga 9) med undantag från den sista är kopplade till de genomförda laborationerna.
Syftet med testet var att engagera klassen i redovisningarna samt ta reda på i vilken mån man förstod redovisningarna.
3.3.3 Intervju
Avsikten med intervjuerna var att ge de olika grupprepresentanterna möjlighet att värdera sina respektive gruppers insatser samt i viss mån ge synpunkter på
frågeställningarna och arbetsformerna.
Intervjufrågorna (bilaga 10) är i huvudsak kopplade till gruppens redovisning med avsikten att få eleverna medvetna om behovet att planera, strukturera och fördela redovisningsarbetet. Intervjugruppen utvärderade med andra ord redovisningskvaliteten med avseende på
framförande och innehåll.
3.4 Procedur
Nedanstående laborationer genomfördes i en NV-klass (åk 1) i nordvästra Skåne bestående av 31 elever. Tre elever var sjuka vid laborationstillfället vilket innebar att 28 elever medverkade vid laborationstillfället. I klassen läser c: a 40 % av eleverna matematik A och 60 %
matematik B. Vi delade in eleverna i sju grupper, med fyra elever per grupp. Laborationerna fördelades med hjälp av deras lärare, som anpassade uppgifterna till elevgruppernas
kunskapsnivå. Grupperna fick arbeta mycket självständigt och fick enbart ledning och teorigenomgång vid behov. Laborationerna genomfördes under fyra lektionstimmar.
Laborationerna:
• Laboration 1: Areor • Laboration 2: Volymer
• Laboration 3: Avståndsbestämning • Laboration 4: Maximal volym • Laboration 5: Pascals triangel • Laboration 6: Radioaktivt sönderfall • Laboration 7: Gyllene snittet
• Laboration 8: Kägelsnittet (Se bilaga 1-8)
Laborationerna Areor och Volymer var tänkta att fördelas på två olika grupper. Men på grund av att det saknades elever (sjukanmälda) fick en grupp genomföra båda.
Grupperna informerades om att de skulle presentera och redovisa uppgifterna för klassen. Övriga elever i klassen uppmanades anteckna och ställa frågor till gruppen som redovisade.
Efter genomförda laborationer gavs tid till grupperna att planera redovisningarna (80 min). Grupperna redovisade sina lösningar på problemställningarna (2x80 min). Redovisningarna videofilmas (vilket diskuterades och sanktionerades av eleverna).
Vi utformade även ett skriftligt test baserat på gruppernas redovisningar. Det skriftliga testet genomfördes dels i en Samarbetsgrupp och dels i en Enskild grupp. I Samarbetsgruppen fanns det fjorton elever som arbetade två och två. Resterande tio elever (den Enskilda gruppen) skrev ett enskilt test (se bilaga 9). Sista frågan i testet var en utvärdering. I Samarbetsgruppen svarade fem grupper av totalt sju på den sista frågan. I den Enskilda gruppen svarade nio elever av totalt tio på samma fråga.
Sju elever intervjuas. Vi valde ut en elev från varje laborationsgrupp för intervjun. Eleverna hade möjlighet att titta på den videofilmade (egna gruppens) redovisning. Genom
intervjufrågor (bilaga 10)fick varje elev (i intervjugruppen) kommentera dels den egna redovisningen dels hela gruppens arbete.
3.4 Validitet och realibilitet
Genom att testa laborationerna i en gymnasieklass (NV-programmet) så hoppades vi få respons såväl på innehållet som arbetsmetoderna. Då arbetet endast genomfördes i en gymnasieklass kan man bara få indikationer på elevernas intresse. På grund av det bristande underlaget är det svårt att generalisera dvs. man kan man ifrågasätta realibiliteten. Vi anser trots det att de intervjuer och tester som eleverna genomförde i samband med redovisningarna gav möjlighet att uppskatta elevernas intresse samt respons.
Genom de enskilda respektive samarbetstesterna ville vi få fram ökad validitet m.a.p. det faktiska elevintresset.
För att ytterliggare öka validiteten i arbetet hade vi tre olika sätt att utvärdera elevresponsen. Man kan nämligen misstänka att arbetsformen kan uppfattas som mer positiv i grupparbete än i enskilt arbete och därmed vara en missvisande faktor i utvärderingen av arbetet.
4 Resultat
Avsikten var att hela klassen skulle arbeta i grupper med en alternativt två laborationer för att få tid att redovisa och diskutera problemställningarna.
Grupperna redovisar sin uppgift för klassen. Redovisningarna videofilmas dels för att eleverna själva ska kunna observera och utvärdera sin redovisning, dels för vårt examensarbetes skull.
Det är många laborationer och för att underlätta för läsaren följer en analys i anslutning till resultat av respektive laboration. Av samma anledning följer sammanfattning av intervjuerna samt utvärderingsfrågan i testerna
18 3 4 25
4.1 Resultat av laboration 1: Areor
Gruppen som hade Area och volymer började redovisa först. Gruppens bestod av två pojkar och två flickor. Ena pojken började med att introducera problemställningen. Ena flickan exemplifierar med figurer på tavlan.
Eleverna antog att omkretsen på figurerna är 50 cm. De räknade med hjälp av Pythagoras sats höjden på
triangeln och får att arean på triangeln är 27,8 2 cm .
Pojken förklara att arean på rektangeln är 150 2 cm .
Gruppen antar att samtliga sidor på femhörningen är 10 cm. De approximerar den horisontella kordan till 15 cm utan att förklara varför.
Metoden för att räkna arean för femhörningen är att dela upp det i två trianglar och en fyrhörning. De två streckade linjerna är lite missvisande i deras figur. Deras uträkning ser ut på
följande sätt: 5 , 7 102 = 75 , 43 2 = x 6 , 6 = x
Gruppen tillämpar Pythagoras sats och får 6,6 cm för höjden i trianglarna. Redovisningen av uträkningen på tavlan är inte fullständig. Eleverna är inte vana att presentera sina lösningar på tavlan. För fyrhörningen får gruppen en area på 156,5 2
cm .
15
Figuren visar uppdelningen av sexhörningen. Gruppen antar att samtliga sidor i sexhörningen är 8,3 cm. Efter frågor från klassen förklarar dem att de har beräknat arean på de två romben och summerat det med arean på de två trianglarna i figuren. Även här har de använt Pythagoras sats för att beräkna
höjden i trianglarna. Den totala arean för sexhörningen får gruppen till 177 2 cm .
Cirkelns area räknade gruppen ut på följande sätt: 50 = ⋅π x 9 , 15 = x 44 , 198 82 ⋅ = = π A cm . 2
Gruppens slutsats är att ju flera hörn, desto större area innesluts av samma omkrets.
De får frågor från klassen: Men cirkeln har inga hörn? Vilket besvarades med att cirkeln kan ses som en månghörning med oändligt massa hörn.
4.1.1 Analys av laboration 1: Area
Den viktiga slutsatsen gruppen kommer fram till är att cirkeln innesluter mest area.
Metoden gruppen använde är korrekt, men approximationerna de gjorde vid beräkningarna är grova och saknar motivering, t ex approximationerna i femhörningen.
4.2 Resultat av laboration 2: Volymer
Den andra pojken presenterar problemställningen. Flickan fortsätter att skriva på tavlan.
Gruppen antar att samtliga geometriska kroppar har arean 100 2 cm .
Uträkningen för kuben ser ut på följande sätt: 16 6 100 ≈ 4 16 = 64 43 = 3 cm
Klotets area presenteras enligt nedan:
2 4 100= πr 8 , 2 = r 94 = 3
Uträkningen för pyramiden: 20 5 100 = 400 202 = 100 102 = 5 , 115 3 20 3 , 17 300 = ⋅ = 3 cm
Den andra pojken skriver på tavlan. Konen presenteras. 2 3 3,18 9,5 100 3 cm π⋅ ⋅ =
Första pojken presenterar cylindern: - Vi antog att radien är 2cm och höjden 8 cm. 9,5
2 2 3,14 12,5⋅ ⋅ =
Slutsats: Ju fler hörn desto mindre volym.
En flicka frågar: Ni ska visa hur ni kom till svaret 94cm . 3
Grupper diskuterar för att besvara frågan. 3 3 4 94 3 r cm π =
Gruppens slutsats är att jo fler hörn desto mindre volym.
De får frågor från klassen: - När man räknar klotets volym är det inte 3 4 3
r
π
?
4.2.1 Analys av laboration 2: Volymer
Metoderna gruppen använde för att beräkna volymen var oklara förutom för kuben. Av redovisningen framgick det inte tydligt hur de resonerade. Själva uträkningarna som presenteras på tavlan är bristfälliga och i några fall felaktiga. Vid t.ex. uträkningen av cylinderns volym reder gruppen inte ut vad de gjorde. Beräkningen av pyramidens volym på tavlan är felaktig. De gjorde också ett antagande att alla begränsningsareor (fyra trianglar och en fyrhörning) har samma area. Gruppen redovisar inte heller hur de tänkte när de beräknar konens volym.
Gruppen är inte klara med avsnittet med volymer i A-kursen men de har arbetat med volymer på högstadiet..
Redovisningen tar för lång tid på grund av att eleverna inte har strukturerat problemet. De kunde visa uträkningarna på overhead och förklarat metoderna och approximationerna. I framförandet skriver flickan på tavlan medan pojken förklarar. Flickan är uppmärksam på att klasskamraterna antecknar och står vid sidan om det hon antecknar. Ena flickan och ena pojken är mest aktiv vid presentationen och ger inte tillfälle till resten av gruppen att komma till tals.
4.2.2 Kommentar till laboration 1 och 2: Areor och Volymer
Laborationerna Areor och Volymer var tänkta att fördelas på två olika grupper. Men på grund av att det saknades elever fick en grupp genomföra båda. De arbetade väldigt koncentrerat och försökte räkna, uppskatta och jämföra de olika resultaten. Gruppen kom fram till rätt slutsats förutom för sexhörningen. Det berodde på felberäkning. Arbetet med uppgifterna i
laborationen bidrog till att eleverna arbetade koncentrerat och aktivt. Aktiviteterna tydde på att eleverna intresse för ämnet ökade.
4.3 Resultat av laboration 3: Avståndsbestämning
Gruppen består av tre flickor och en pojke. Ena flickan presenterar frågeställningen. Den andra flickan exemplifierar med figurer på tavlan.
Gruppen har valt att lösa problemet med hjälp av trigonometri. Pojken förklarar metoden och visar vilka hjälpmedel som användes vid det praktiska genomförandet av uppgiften.
Hjälpmedel: Gruppen använde bräden på vilka de kunde fästa A4-papper med nålar. De mätte en baslinje vid beräkningarna och sedan uppskattade de vinklarna genom att sikta med bräden och markera med hjälp av nålarna.
En flicka berättar hur de gått till väga och en annan flicka ritar upp det på tavlan.
Uträkningen: Mätning 1: 45 tan 30 = x Mätning 2: 34 tan = x 27 = x 30 m 60 m X 0 45 K Ä R N A N x 340
40 =
x
Pojken: - Vi tog medelvärdet av mätningarna 33,5 2
67 ≈ m. Pojken påpekar att mätningen gjordes i meter.
Pojken presenterar nästa deluppgift: - Vi skulle också bedöma avståndet till Danmark. Den andra flickan exemplifierar.
Flickan: - Vi bestämde avståndet till Kronborg på samma sätt. Uträkningen: Mätning 1: 75 tan 30 = x 111 = x m Mätning 2: 77 tan 60 = x 260 = x m 30 m 60 m
Pojken: - Vid båda mätningarna gjorde vi fel, för att vi bytte öga och kontrollerade inte baslinjen. Man ska titta på baslinjen och sedan uppskatta vinkeln. Med denna metod får man stora mätfel. Vi borde ha någonting att fästa brädet på.
Gruppen vänder på uppgiften och försöker räkna ut vilken vinkel man borde ha. Avståndet till Kronborg är 4200 m. Uträkning vid 30 m: v tan 30 4200 = o 6 , 89 = v Uträkning vid 60 m: v tan 60 4200 = o 2 , 89 = v
Gruppen noterar att det krävs stor noggrannhet. De jämför vinklarna 89,2o och 89,6o. Skillnaden mellan vinklarna är 0,4o.
Gruppen får frågor från klassen: - När ni mätte avståndet stegade ni då? Pojken svarar: - Vi mätte med måttband.
4.3.1 Analys av laboration 3: Avståndsbestämning
Gruppens redovisning var mycket bra. De presenterade metoden på ett strukturerat sätt, förklarade och ritade på tavlan, vilket gjorde att klassen kunde förstå hur gruppen hade löst problemet, både teoretiskt och praktiskt. En viktig del i deras redovisning handlade om metodens lämplighet och noggrannhet. De presenterade även tänkbara felkällor, vilket är väsentligt när man arbetar med problemlösningar. De såg med kritiska ögon på sitt arbete och lämnade förslag på hur de skulle gjort för att få bättre resultat.
4.3.2 Kommentar till laboration 3: Avståndsbestämning
Gruppen som hade laborationen Avståndsbestämning bestod av tre flickor och en pojke. Till en början tyckte de att de hade fått den svåraste uppgiften. Efter teoretiskt resonemang och diskussion av praktiskt genomförande med läraren klarnade det för eleverna.
Efter genomförandet fick gruppen viktiga insikter när det gäller avståndsbestämning i praktiken. Pojken kom med idéer och resonemang, vilka visade en mycket bra förståelse av uppgiften. Han anknöt avståndsbestämningen mellan Helsingborg och Helsingör till
principerna för bestämning av positionerna för olika planeter och stjärnor. Hela gruppen fick klart för sig att för att räkna stora avstånd krävs det stort noggrannhet vid uppskattning av sidovinklarna. Eleverna testade med hjälp av sina miniräknare olika vinklar och anknöt resultatet till felmarginalen i sina bestämningar. Arbetet med laborationen bidrog till att eleverna aktivt deltog i undervisningen och medförde att elevernas insikt i tillämpad matematik ökade.
4.4 Resultat av laboration 4: Maximal volym
Gruppen består av två flickor och två pojkar.
Ena flickan presenterar problemet.
Ena pojken skriver på tavlan den totala arean för en A4-papper, vilket de hade som utgångspunkt, 662,402 2
cm .
Den andra flickan: - Vi började med en kub. Pojken exemplifierar.
Uträkningar: 7 , 103 6 402 , 662 = 18 , 10 7 , 103 = 1055 18 , 10 3 = 3 cm
Gruppens slutsats är att kuben har störst volym jämfört med andra rätblock tillverkade av ett A4-papper.
Gruppen får en fråga från en flicka i klassen: - Hur gjorde ni? Pojken förklarar metoden: - Vi klipper ut och konstaterar att kuben har maximal volym. Det får du tänka ut själv.
1055 3 cm
Pojken fortsätter att skriva: 402 , 622 14 2 = r π 55 , 49 2 = r
Pojken: - Vi har radien och då kan vi räkna ut volymen för klotet.
Klassen lyssnar koncentrerat.
5 , 1461 3 6 , 4384 3 04 , 7 4 3 = ≈ ⋅ π 3 cm Gruppens slutsats:
Klotet har maximal volym. Kuben har minimal volym. Klotet är lättare att packa.
4.4.1 Analys av laboration 4: Maximal volym
Denna grupp har missuppfattat problemställningen. Syftet med denna uppgift var att eleverna skulle tillverka olika rätblock från A4-papper samt beräkna och jämföra volymen på dem. Eleverna kom till rätt slutsats när det gäller kuben, dvs att kuben har störst volym i jämförelse med andra rätblock, men redovisar inte hur de kom fram till denna slutsats.
Gruppen trodde att de hade ungefär samma uppgift som den första gruppen och de hade löst den på ungefär samma sätt som dem. Eleverna i gruppen arbetade bra, klippte och klistrade olika rätblock, men tydligen influerades de av klasskamraterna i första gruppen. Klotets volym var inte relevant för denna laboration.
04 , 7 ≈
Redovisningen var väl genomtänkt. Ena flickan började presentera uppgiften. Ena pojken exemplifierade på tavlan. Därefter berättade den andra flickan hur de gått till väga för att lösa uppgiften. Den andra pojken avslutade redovisningen med att förklara resultatet och ge inblick i praktisk tillämpning.
4.4.2 Kommentar till laboration 4: Maximal volym
Laborationen Maximal volym togs emot med stort intresse av alla deltagare i gruppen. Det som utmärkte samarbetet mellan eleverna var att när en av dem kom med förslag till lösning ville klasskamraterna att han skulle redogöra för hur han hade tänkt. Eleven ritade upp och förklarade för resten av gruppen.
Arbetet med laborationen stimulerade eleverna i gruppen och bidrog till ett aktivt deltagande i lärandeprocessen.
4.5 Resultat av laboration 5: Pascals triangel
Gruppen består av två flickor och två pojkar. Eleverna presenterar Pascals triangel genom att berätta hur den är uppbyggd. En av flickorna konstruerar den på tavlan.
En av pojkarna fortsätter med att presentera fibonaccitalen och exemplifiera på tavlan hur man får dem. 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1
Den andra flickan fortsätter med att visa de naturliga talen i Pascals triangel. Därefter presenterar hon triangeltalen. Flickan förklarar och exemplifierar samtidigt på tavlan.
1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 Rad 0 1 2 3 4 5 6 7 1 7 21 35 35 21 7 1
1 • 3 • • • 6 • • • • • • 10 • • • • • • • • • • 15 • • • • • • • • • • • • • • •
Hon fortsätter med kvadrattalen och presenterar dem på samma sätt.
1 • 4 • • • • 9 • • • • • • • • • 16 • • • • • • • • • • • • • • • •
Flickan visar tydligt diagonalerna i Pascals triangel där man hittar de olika talserierna.
Den andra pojken presenterar binomialformeln
! )! ( ! k k n n k n − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛
. Han förklarar att det handlar om på hur många olika sätt man kan t ex välja två personer av en grupp av personer. Flickan går in och upplyser om vad fakultetsymbolen betyder också med några exempel:
7 6 5 4 3 2 1 ! 7= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 5 4 3 2 1 ! 5= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 3 2 1 ! 3= ⋅ ⋅
Pojken fortsätter med ett exempel: 10 1 2 1 2 3 1 2 3 4 5 3 5 = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ .
Flickan tydliggör med ytterligare exempel:
⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 2 4 k n = = 2 4
4 3 2 1 ! 4= ⋅ ⋅ ⋅ )! 2 4 ( 2 1 ! 2 ! 2⋅ = ⋅ − 6 2 12 1 2 4 3 2 1 2 1 4 3 2 1 2 4 = = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛
Flickan förklarar under tiden hon skriver.
Samma flicka fortsätter: - De som har jobbat med algebra vet att:
) )( ( 2 2 2 b a b a b ab a + + = + + 2 2 2 2 2 b ab a b ab ab a + + + = + +
Hon förklarar att man kan hitta koefficienterna i utvecklingen i andra raden i Pascals triangel. En svårare uppgift säger hon:
4 3 1 2 2 1 3 4 4 1 4 6 4 1 ) (a+b = a + a b + a b + a b + b
Flickan förklarar att potensen på a hela tiden minskar och att potensen på b ökar i utvecklingen och att man hittar koefficienterna i fjärde raden av Pascals triangel.
Pojken säger att man kan räkna på samma sätt som ovan men att Pascals triangel underlättar utvecklingen.
Vi tar ett exempel till säger flickan.
6 5 1 4 2 3 3 2 4 1 5 6 6 1 6 15 20 15 6 1 ) (a+b = a + a b + a b + a b + a b + a b + b Det kommer inga frågor från klassen.
4.5.1 Analys av laboration 5: Pascals triangel
Gruppens redovisning var utomordentligt bra. Framförandet var väl genomtänkt. Alla fyra elever i gruppen deltog aktivt och presenterade sin del av uppgiften. Gruppen hade mycket bra disposition på tavlan. T ex när pojken och flickan redovisade andra delen av laborationen var de noga med att gå på var sin sida av tavlan för att eleverna i klassen ska kunna se.
Innehållsmässigt var redovisningen utmärkt. Det framgick tydligt att gruppen hade förstått teorin i uppgifterna. Det är viktigt att påpeka att visa delar av denna uppgift var helt nya områden för eleverna, t ex binomialformeln.
4.5.2 Kommentar till laboration 5: Pascals triangel
Gruppen som hade Pascals triangel bestod av två pojkar och en flicka. En av pojkarna var mycket kritisk mot laborationen. Flickan och den andra pojken studerade aktivt Pascals triangel och försökte lösa uppgifterna. Flickan var mer positiv till instrumentell inlärning. T. ex. tyckte hon inte om den generaliserade formeln för binomutvecklingen, utan tyckte att det var onödigt komplicerad. Man kunde sätta in siffror i stället för generell uttryck för då kunde hon förstå, medan pojken var helt inspirerad av uppgifterna i laborationen. Han hade funderingar kring gränsvärden då han undersökte förhållandet mellan talen i fibbonacci-talföljden och kom fram till att det går mot förhållandet 1,618 (gyllene snittet). Flickan kommenterade detta: Det är precis som med sannolikheter om du upprepar försöket många gånger då kommer du till den teoretiska sannolikheten. De sista uppgifterna i Pascals triangel visade sig vara för teoretiska och svåra att förstå på grund av att eleverna inte var vana att arbeta med generella uttryck och att det är svårt att förstå kombinatoriken utan inledande laborativa övningar. Detta ledde till att vi konstruerade två nya uppgifter för att förbättra förståelsen för kombinatoriken.
Arbetet med denna laboration var en utmaning vilket gjorde att elevernas engagemang och intresse för matematiska resonemang stimulerades. Eleverna arbetade aktivt och engagerat med problemställningarna.
4.6 Resultat av laboration 6: Radioaktivt sönderfall
Gruppen består av tre flickor och en pojke (ena flickan var sjuk vid redovisningen). Ena flickan presenterar uppgiften och pojken materialet: 100 tärningar, penna och papper.
Flickan fortsätter: - Vi hade 6 - 8 tärningar kvar då vi lade in våra mätvärden i Excel.
Gruppen använder overhead för att visa resultatet.
Den andra flickan förklarar teorin: - Tärningarna är symetriska och slumpen avgör vilket tal det ska bli. Procenten vi fick stämmer inte riktigt om man jämför med de teoretiska. Ni kan se att den teoretiska kurvan inte överensstämmer med den experimentella anpassade kurvan.
- Vi tittade på halveringstiden och kom fram till följande slutsats: Om man ändrar sannolikheten förändras även halveringstiden.
Gruppen räknade också på en åttasidig tärning och kommer till slutsatsen: eftersom det är mindre chans att få en åtta är halveringstiden längre. Flickan säger. – Det tar längre tid att få åttor.
Fråga från läraren: - Ni sa att det inte stämmer med den teoretiska sannolikheten.Varför? Den ena flickan förklarar att det beror kanske på att tärningarna inte är symetriska, underlaget är ojämnt, och att man kastar från olika höjder.
En elev från klassen reagerar: - Skillnaden beror på att man måste upprepa försöket oändligt många gånger.
4.6.1 Analys av laboration 6: Radioaktivt sönderfall
Gruppens framförande var bra. De var väl förberedda och samtliga elever deltog. Dock var innehållet bristfälligt. Eleverna hade inte förstått teorin. Flickan trodde att
avvikelsen i den teoretiska kurvan och den experimentellt anpassade kurvan berodde på olika faktorer som t ex att tärningarna inte var helt symetriska, underlaget var ojämnt, och att man kastade från olika höjder.
Det vill säga att teorin inte stämmde med praktiken och då kan man fråga sig om det är någon mening att ha en modell som inte förklarar verkligheten. Ingen annan i gruppen reagerade på detta.
4.6.2 Kommentar till laboration 6: Radioaktivt sönderfall
Elevgruppen som arbetade med radioaktivt sönderfall var mycket självständig och aktiv. Eleverna genomförde också en grafisk representation av uppgiften med hjälp av dator. Laborationen gav gruppen möjlighet att arbeta självständigt vilket stimulerade intresse och engagemang.
4.7 Resultat av laboration 7: Gyllene Snittet
Gruppen består av tre flickor och en pojke. (En av flickorna var sjuk vid redovisningen)
Den första flickan presenterar uppgiften: - Gyllene snittet är ett geometriskt förhållande. Det är estetiskt tilltalande för det mänskliga ögat. Man kan hitta det gyllene snittet i byggnader från ca 2800 f Kr, bland annat i Cheopspyramiden.
Den andra flickan ritar på tavlan.
Flickan förklarar: - Om man har en rektangel och ritar en kvadrat i den och fortsätter att rita kvadrater i nya rektanglar så får man gyllene snittet. Det gyllene snittet ges av:
62 , 1 2 5 1+ ≈ = =φ φ L L
Man tar förhållandet mellan den långa sidan och den korta.
Gruppen får en fråga från klassen: - Hur får man det talet? Svar: - Man har räknat ut det.
≈ = 5961, 7 , 5 1 , 9 gyllene snittet
Fråga från klassen: - Vad betyder φ?
Svar: - φ står för gyllene snittet. Man tar förhållandet mellan den långa och korta sidan för att få gyllene snittet.
Fråga från läraren: - Har ni tittat på nya byggnader? Hur hittar ni gyllene snittet där? Svar: - Vi har tittat på nya byggnader också, men vi hittade inte dessa förhållanden där.
Flickan tilläger: - Konstnärer målar ofta efter gyllene snittet. Hon exemplifierar på tavlan.
4.7.1 Analys av laboration 7: Gyllene snittet
Gruppens framförande var bra. Alla elever i gruppen deltog i presentationen. De hade mycket bra disposition på tavlan och var väl förberedda.
Innehållsmässigt var redovisningen ofullständig. Det förtydligades inte hur man räknar ut gyllene snittet. Gruppen redovisade inte den teoretiska delen bra. De tittade på bilder av hus
5,7 cm 9,1 cm
och räknade förhållandet mellan sidorna för att se om det stämde med gyllene snittet. Där påpekade pojken att man fick stora fel om man räknade på bilderna.
Gruppen kunde ha undersökt lite mer aktivt i naturen och i miljöer runt omkring skolan. Sammanfattningsvis var det ett bra framförande men för lite innehåll.
4.7.2 Kommentar till laboration 7: Gyllene snittet
Gruppen som arbetade med Gyllene snittet var lite fundersamma i början. De visste inte riktigt vad uppgiften gick ut på, kanske på grund av uppgifternas karaktär, där man kopplade matematiken till estetiska värden och fria lösningar. Efter diskussion övervann gruppen osäkerheten i hur de skulle gå till väga för att lösa uppgifterna. De använde kreativa metoder för att skatta förhållandet mellan sidorna i olika objekt.
Laborationen stimulerade eleverna och gav dem möjlighet att undersöka alternativa lösningsmetoder och matematiska tillämpningar i den estetiska världen.
4.8 Resultat av laboration 8: Kägelsnittet
Gruppen består av två pojkar och två flickor. De har förberett redovisningen och exemplifierat på tavlan innan lektionen börjar.
En av pojkarna börjar med att förklara vad kägelsnitt betyder och visar på tavlan de olika formerna: cirkel, ellips, parabel och hyperbel. Flickan tillägger att man får cirkel när man skär en kon vinkelrät.
Gruppen fortsätter med att presentera formeln på en cirkel på overhead:
1 2 2 2 2 = + b y a x a b x y
Flickan förklarar att i en cirkel är a och b lika. På en annan overhead har gruppen ritat olika ellipser genom att variera värdet på a och b.
Pojken berättar att genom att titta på en kvadratkompleterad ekvation kan man avgöra vilken geometrisk figur den har.
Flickan säger att de även skulle undersöka kvadratiska former i omgivningen. På detta svarar den andra flickan att det är t ex Kärnan och fönster.
Den första flickan förtydligar slutsatsen att om det är en cirkel så är a och b i den presenterade ekvationen lika.
4.8.1 Analys av laboration 8: Kägelsnittet
Gruppen var förberedd, exemplifierade på tavlan innan lektionen började. De presenterade en del av arbetet på overhead. I själva framförandet var två elever aktiva, en pojke och en flicka. De övriga kom inte till tals. Innehållet var ganska ensidigt. Eleverna tittade på en liten del av laborationen. Det visade sig att de blivit av med några papper och därför kunde de inte presentera fullständigt vad de hade undersökt. Det ledde till ett upprepande av en enda deluppgift.
Gruppen hade missuppfattat vad kvadratiska former betyder och gav som exempel fönster och Kärnan.
Gruppernas redovisningar visar behovet av ett laborativt arbetssätt. Eleverna är inte vana att tänka logiskt och arbeta med öppna frågeställningar.
Redovisningarna var inte strukturerade vilket är förvånansvärt eftersom man har arbetat mycket med redovisningar i grundskolan. Eleverna menade att de inte hade fått redovisa på en hel termin och då tappar man rutinerna.
4.8.2 Kommentar till laboration 8: Kägelsnittet
Gruppen som arbetade med Kägelsnittet tänkte analytiskt till en början. Det fanns funderingar om de angivna ekvationerna för ellips och hyperbel stämde. Alla elever i gruppen arbetade ivrigt. Med lite tips lyckades dem komma fram till ekvationer för en cirkel. Gruppens förståelse för kopplingen mellan ekvation och grafisk representation ökade. Arbetet med laborationen fick eleverna att aktivt delta i lärandeprocessen.
4.9 Vad tyckte eleverna i samarbetsgruppen?
Eleverna i samarbetsgruppen (se 3.1 sidan 14) svarar på frågan:
• Hur ställer du dig till den här typen av arbete? Vad kunde förbättras i laborationerna för att tydliggöra genomförandet?
Flicka och pojke: - Vi skulle ha haft mer tid att förberedda redovisningen. Klarare frågeställning och information om områdets användningsområde.
Flicka och pojke: - Det är bra om man får jobba i par eller i grupp. Det blir roligare samtidigt som man kan jämföra varandras tänkande. Det är bra som det är.
Pojke och flicka: - Vi tycker att det var rätt rörigt när grupperna skulle redovisa. Det är bättre och klarare när de skriver på tavlan.
Flicka och flicka: - Det var kul! Inget ska ändras i själva laborationerna. Men vi måste gå tillbaka till våra anteckningar vid uppgifter som dessa. (De skriftliga uppgifterna menar de)
Flicka och flicka: - Lärorikt sätt! Lite ineffektivt och svårt att förstå.
En delgrupp hade ej besvarat frågeställningen.
4.9.1 Resultat av Vad tyckte eleverna i samarbetsgruppen?
Eleverna i samarbetsgruppen var väldigt positiva till laborationerna. De tyckte att det är bra att arbeta i par eller i grupp. Det blir roligare samtidigt som man kan jämföra varandras tänkande skrev en pojke och en flicka. Andra elever skrev: - Det var kul! Lärorikt sätt!
Eleverna hade synpunkter på själva redovisningen. En grupp ville ha mer tid till att förbereda redovisningen. En annan grupp tyckte att det är klarare när man skriver på tavlan. Några tyckte att redovisningarna var lite svåra att förstå.
4.10 Vad tyckte eleverna som gjorde det enskilda testet?
Eleverna som gjorde det enskilda testet svarade på frågan:
• Hur ställer du dig till den här typen av arbete? Vad kunde förbättras i laborationerna för att tydliggöra genomförandet?
Pojke: - Det är ganska ok men lite noggrannare koll på resultatet (lärargenomgång).
Flicka: - Det var kul att göra något annat än att bara jobba i boken. Det är kul att lära sig dessa olika teorier och samband som vi gjort. Matten blir roligare och intressantare. Dock tyckte jag att det var svårt att förstå ibland när de olika grupperna redovisade. Det hade varit bra om man kunde läsa lite om de olika gruppernas arbetsområden också – inte bara lyssna.
Kul med variation!
Flicka: - Jag tyckte inte att detta var ett bra sätt att lära säg om man bara ska lyssna på redovisningarna. Men jag jobbade inte i någon grupp. Jag var sjuk när laborationen genomfördes.
Pojke: - Laborationer är bra, men det går inte att redovisa inför klassen. Man lär sig inte lika mycket som annars.
Flicka: - Det här var inte så bra. Man kommer inte ihåg så mycket.
Flicka: - Jag tycker att det är ett bra sätt att lära sig saker på. Men jag tycker att det är onödigt att göra ett prov på det. Jag hade hellre gjort det på något annat sätt. Man lär sig det man arbetar med bra, men det som de andra arbetar med är inte så lätt att förstå genom en snabb genomgång.
Flicka: - Jag tycker inte så mycket om det för det blir ganska rörigt och ostrukturerat. Att diskutera med varandra är utvecklande. Redovisningarna känns ganska meningslösa, eftersom man inte har fått se de andra gruppernas uppgifter och själv hunnit fundera och reflektera över dem.
Pojke: - Nej, lite negativ är jag för är man borta eller sjuk så missar man rätt mycket. Men det är roligt att göra något annat än att bara sitta och räkna.
Pojke: - En del grupper hade svåra uppgifter och vissa hade lätta uppgifter. På grund av skjutsning mm fanns inte alltid hjälp att få. Men fritt grupparbete är bra!
En elev svarade ej på frågeställningen.
4.10.1 Resultat Vad tyckte eleverna som gjorde det enskilda testet?
Vi fick positiv respons även från gruppen som gjorde det enskilda testet. En flicka uttryckte det på följande sätt:
- Det var kul att göra något annat än att bara jobba i boken. Det är kul att lära sig dessa olika teorier och samband som vi gjort. Matten blir roligare och intressantare. Dock tyckte jag att det var svårt att förstå ibland när de olika grupperna redovisade. Det hade varit bra om man kunde läsa lite om de olika gruppernas arbetsområden också – inte bara lyssna.
Kul med variation!
En annan flicka tyckte att det var utvecklande att diskutera problemställningen med varandra. Pojkarna tyckte om fritt grupparbete och att det var roligt att göra något annat än att bara sitta och räkna.
En del av eleverna var kritiska till redovisningarnas kvalitéer. En pojke ville läsa och
förbereda sig samt fundera och reflektera på de andra gruppernas problemställningar innan de redovisade. En pojke ville ha noggrannare presentation av resultatet. Man lärde sig inte så mycket av att lyssna på gruppernas redovisningar tyckte en flicka.
4.11 Analys av testresultaten
Testresultaten blev bättre och mer nyanserade i samarbetsgruppen jämfört med enskilda testet. Eleverna hade en mer positiv inställning i samarbetsgruppen.
Testresultatet visar att alla eleverna har fått ut kunskap genom laborationerna och redovisningarna. Men resultatet ger också stöd för elevernas kritik för redovisningarnas kvalitet samt att de kunde haft nytta av att ha frågeställningarna tillgängliga.
4.12 Intervju
En elev i varje grupp valdes ut för intervju. Intervjugruppen bestod av fyra pojkar och tre flickor. Eleverna tittar på de videofilmade redovisningarna och kommenterar dels den egna redovisningen dels hela gruppens arbete.
Eleverna svarar på följande frågor:
• Beskriv hur ni tycker att en redovisning ska gå till?
Flicka: - Informationen ska nå fram. En redovisning ska vara tydlig.
Flicka: - En redovisning ska vara visuell så att man får fakta presenterat på annat sätt än genom öronen.
Flicka: - Det är viktigt att en redovisning är tydligt.
Pojke: - Man ska vara intresserad av ämnet och visa engagemang.
Pojke: - Tråkiga redovisningar tycker jag inte om. En redovisning ska vara genomtänkt och väcka intresse.
Pojke: - Man ska vara påläst och berätta själv. Jag tycker inte om när någon läser innantill eller har för många stödord.
Pojke: - Man ska förbereda sig själv och sedan samordna så att gruppen fungerar bra tillsammans.
• Vad tycker du om din grupps redovisning i avseende på a) Innehåll b) Fakta
Pojke: - Vi hade fakta på overhead. Jag tycker att om man skriver på tavlan så känns redovisningen mer levande.
Flicka: - Man lär ut mer om man skriver på tavlan.
Pojke: - Man måste förklara och anknyta till praktisk användning.
Pojke: - Vi kunde ha haft en längre och djupare redovisning. Jag tycker att vår redovisning var bra och vi fick ut vad vi tänkt oss.
Pojke: - Innehållet i vår redovisning var bra. Jag tycker att vi kunde ha visat mer teori. Vi bara presenterade beräkningarna utan att gå igenom teorin först.
Flicka: - Vår grupp var lite delat. Vi hade inte förberett redovisningen väl men vi samordnade sedan så att det gick bra. Vi kunde ha strukturerat redovisningen bättre. Jag tycker att vi hade för lite fakta. T ex kunde vi förklara andragradsekvationen mer.
Flicka: - Vår redovisning var spontan. Papperna försvann precis innan redovisningen och därför fick vi hoppa över en del. Vi kunde ha förklarat fakta som vi presenterade på overhead.
Flicka. – Vi hade det lite rörigt. Vi hade bra fakta men vår redovisning var inte samordnat.
• Hur var framförandet? Hade gruppen planerat redovisningen?
Flicka: - Vi hade planerat vår redovisning. Vi hade till och med mind-map men delade inte redovisningen mellan oss.
Pojke: - Vi hade manus och hade övat relativt bra. Vi planerade och delade upp redovisningen som vi hade kommit överens om.
