Grundläggande
Taluppfattning
En litteraturstudie om elevers taluppfattning och undervisning i
förskoleklass och grundskolans årskurs 1-6
KURS:Självständigt arbete för grundlärare F-3 / 4-6, 15 hp
PROGRAM: Grundlärarprogrammet med inriktning mot arbete i årskurs F-3/ 4-6
FÖRFATTARE: Bim Svensson, Saga Johansson
EXAMINATOR: Anna- Lena Ekdahl
JÖNKÖPING UNIVERSITY
School of Education and Communication
Självständigt arbete för grundlärare F-3 respektive 4-6, 15hp
Grundlärarprogrammet med inriktning mot arbete i förskoleklass och grundskolans årskurs 1-3 respektive årskurs 4-6 Vårterminen 2020
Sammanfattning
Namn: Bim Svensson och Saga Johansson
Grundläggande Taluppfattning - En litteraturstudie om elevers taluppfattning och undervisning i förskoleklass och grundskolans årskurs 1-6
Foundational Number sense - A literature study about pupils’ number sense and teaching in preschool class to grade 6.
Antal sidor: 25
Taluppfattning innebär att förstå tals betydelse, relation och storlek. Taluppfattning ses som en grundläggande förutsättning för att elever ska kunna tillgodogöra sig
matematikundervisningen i skolan. Litteraturstudiens syfte är att ta reda på hur forskning beskriver begreppet grundläggande taluppfattning och hur undervisning kan möjliggöra för elever att utveckla en god taluppfattning. I studien undersöks vad kurslitteratur, Skolverket samt internationell och svensk forskning framhåller om området. Materialet har inhämtats via litteratur och genom databassökningar. Taluppfattning och tals användning är en del av det centrala innehållet i kursplanen i matematik. Trots detta visar internationella undersökningar att de kunskaper som krävs för att utveckla en grundläggande taluppfattning är otillräckliga hos svenska elever i årkurs 4. Resultatet visar att forskare i stort sätt är överens om vad taluppfattning innebär men de väljer att beskriva begreppet på delvis olika sätt och med varierande fokus på vad som är viktigt. Enligt artiklarna som har studerats innebär det att elever har utvecklat en grundläggande taluppfattning när de har kunskap om
positionssystemet, uppdelning av tal, uppskattningsförmåga, de fyra räknesätten och olika beräkningsmetoder samt symboler för tal och samband. Användandet av tallinje och konkret material kan utveckla elevers grundläggande taluppfattning. I diskussionen framkommer varför denna studie är viktig för vårt framtida yrke som lärare och det konstateras att studien har gett en bred inblick i ämnesområdet. Det är viktigt att lärare är medvetna om elevers taluppfattning och hur undervisning kan planeras för att stötta elever så att de utvecklar en god taluppfattning.
Innehåll
1. Inledning 1
2. Syfte och frågeställningar 2
3. Bakgrund 3
3.1 Taluppfattning 3
3.2 Undervisning 4
3.3 Styrdokument 5
4. Material och metod 7
4.1 Litteratursökning 7
4.2 Materialanalys 11
5. Resultat 12
5.1 Grundläggande taluppfattning 12
5.1.1 Likheter och skillnader mellan olika definitioner av begreppet grundläggande taluppfattning 13 5.1.2 Faktorer som påverkar elevers utveckling av taluppfattning 14 5.2 Undervisning som utvecklar elevers grundläggande taluppfattning 15
5.2.1 Kontextbaserade uppgifter 16
5.2.2 Att arbeta med tallinjer 17
6. Diskussion 20
6.1 Metoddiskussion 20
6.2 Resultatdiskussion 21
6.2.1 Hur beskrivs elevers grundläggande taluppfattning? 21 6.2.2 Undervisning som utvecklar elevers taluppfattning 23
6.3 Slutdiskussion och förslag på framtida forskning 25
Referenslista 26
Bilaga 1
1
1. Inledning
Taluppfattning är en förutsättning för att elever ska kunna göra beräkningar och det är därför ett viktigt område för lärare att ha kunskap om (Löwing, 2008, s. 39f). Taluppfattning handlar enligt Skolverket (2017, s. 12) om att elever ska ges möjlighet att utveckla förståelse för tals betydelse, relation och storlek. Denna förmåga är högst väsentlig för att elever ska
uppnå kunskapskraven i matematikämnet.
Under vår verksamhetsförlagda utbildning (VFU) har vi uppmärksammat att elever har svårt med talmönster, uppskattning och rimlighetsbedömning och vill därför undersöka vad detta kan bero på. Exempel på en svårighet inom talmönster som vi har uppmärksammat är när elever ska göra talföljder där de exempelvis bara ska skriva vartannat tal, hoppa flera steg i talraden eller fylla i tal som saknas i en talföljd. Efter att ha sökt forskning inom områdena talmönster, uppskattning och rimlighetsbedömning upptäckte vi att taluppfattning var
grundläggande för dessa förmågor. Då taluppfattning har visat sig vara avgörande för elevers framtida matematikprestationer (Andrews, Sayers & Marschall, 2015, s. 1681) har vi valt att studera hur forskning belyser betydelsen av att elever utvecklar taluppfattning. Vi kommer även att studera vad lärare behöver veta för att i undervisningen stötta elever att bygga upp en god taluppfattning.
Svenska elever har visat sig prestera sämre i matematik än genomsnittet jämfört med länder i
Europeiska Unionen (EU) och Organisationen för ekonomiskt samarbete och utveckling (OE
CD) enligt den internationellt jämförande studien Trends in International Mathematics and Science Study (TIMSS). I årskurs 4 är taluppfattning ett av ämnesområdena som elever presterar sämst i (Skolverket, 2016, s. 32f). TIMSS testar elevers taluppfattning under rubriken taluppfattning och aritmetik. I årskurs 4 handlar området om att avrunda tal,
förståelse för positionssystemet, problemlösning, öppna utsagor samt talmönster. Det området som elever hade svårast med inom taluppfattning och aritmetik var problemlösning där elever förväntades resonera fram det rätta svaret. Den frågan som elever visade sig kunna bäst var förståelsen för positionssystemet (Skolverket, 2015, s. 6ff). Resultatet från denna
undersökning stärker den erfarenhet vi har från vår VFU, om vad svenska elever har svårt med. Detta är därför ytterligare en anledning till att vi valt att undersöka området.
2
2. Syfte och frågeställningar
Syftet med studien är att identifiera hur forskning beskriver grundläggande taluppfattning och att studera hur undervisning kan utveckla elevers grundläggande taluppfattning i förskoleklass och årskurs 1-6.
Följande frågeställningar kommer att besvaras i studien: Hur beskrivs elevers grundläggande taluppfattning?
Hur kan undervisningen ge elever möjlighet att utveckla grundläggande taluppfattning?
3
3. Bakgrund
När elever börjar skolan har de med sig varierad kunskap inom området taluppfattning (Andrews et al., 2015, s. 1681). I detta avsnitt anges olika definitioner av hur taluppfattning beskrivs och varför det är viktigt för elever att ha en god taluppfattning. I bakgrunden
beskrivs även undervisning som rör grundläggande taluppfattning samt hur kunskapsområdet beskrivs i styrdokumenten.
3.1 Taluppfattning
Barn har en förmåga att bygga upp taluppfattning redan i tidig ålder (Löwing, 2008, s. 39). För att bygga upp en god taluppfattning krävs att barn förstår antalsprinciperna. Gelman och Galistel (i Löwing & Kilborn. 2010, s.40ff) listar fem olika antalsprinciper som behövs för att bygga upp en god taluppfattning. Den första är abstraktionsprincipen som innebär att kunna bestämma antal föremål i avgränsad mängd. Att behärska Ett-till-ett principen innebär att ett barn till exempel kan ordna föremål parvis och även avgöra om två mängder innehåller lika eller olika många föremål. Att ha kunskap om principen om godtycklig ordning innebär att veta att oavsett vilken ordning föremålen räknas så är det ändå lika stor mängd. Den fjärde principen om talens stabila ordning innebär att barnet behärskar både ett-till-ett principen och talraden, det vill säga att barn ska ha vetskap om talens namn i rätt ordning. Om barnet missar ett tal i talraden innebär det att hela räkningsprocessen blir fel. Den
femte antalsprincipen innebär att barnet kan ange antal föremål i den uppräknade mängden. Dessa fem principer anses vara en nödvändig grund för att kunna bygga upp en
grundläggande taluppfattning. De tre första principerna är enligt Löwing och Kilborn (2010, s. 40ff) genetiskt bundna. För att elever ska kunna använda dessa principer krävs praktiska vardagserfarenhet redan i de tidiga skolåren. De två sista principerna utvecklas istället i sociala sammanhang och genom undervisning. Elever behöver en kombination av dessa principer för att kunna utveckla nya kunskaper och se helheter inom matematiken. Svårigheter inom något av dessa områden kan resultera i att elever i skolan får svårigheter i att
tillgodogöra sig matematikundervisningen och att uppfatta och förstå nya begrepp (Kilborn & Löwing, 2010, s. 40ff).
Enligt Löwing (2008, s. 39) är taluppfattning en förutsättning för att lära sig matematik. Det handlar om att ha en känsla för hur talen är uppbyggda och kunna operera med tal utan att behöva reflektera kring det. Löwings (2008, s. 39) syn på taluppfattning är att elever ska
4
kunna behärska: talens ordning och dess grannar, positionssystemet med basen 10 samt 10- och 100-övergångar, kunna tillämpa de grundläggande räknelagarna såsom de kommutativa-, associativa - och distributiva räknelagarna. Vidare ska elever behärska tals uppdelning, kunna avgöra tals storleksordning samt avrunda tal och arbeta med runda tal (Löwing, 2008, s. 39f).
3.2 Undervisning
Elever bygger inte upp taluppfattning automatiskt utan detta är något som enligt Löwing, (2008, s. 40f) ska praktiseras under en lång tid med väl genomarbetad planering av lärare. Kunskapen inom området måste sedan följas upp och fördjupas under hela skoltiden (Löwing, 2008, s. 40f). Genom aktiviteter i undervisningen där elever får fundera över numeriska samband och göra kopplingar till omvärlden ges elever möjlighet att utveckla taluppfattning (Reys & Reys, 1995, s. 29). Beskrivningar om undervisning som rör grundläggande
taluppfattning och hur elever utvecklar sin taluppfattning förekommer frekvent i den matematikdidaktiska litteraturen (Häggblom, 2013, s. 57ff; Heiberg Solem, Alseth, &
Nordberg, 2012, s.25 ff). Nedan följer en beskrivning av hur undervisning kan bedrivas för att möjliggöra elevers utveckling av grundläggande taluppfattning.
Reys och Reys (1995, s. 29) är en av flera forskargrupper som beskriver vad lärare kan tänka på när de planerar undervisning som syftar till att utveckla elevers taluppfattning. I första punkten beskrivs vikten av att ställa utmanande frågor som rör förståelse för tal och dess egenskaper. Dessa frågor ska uppmana till diskussion och leda till att elever får resonera och motivera sina tankar. Bra frågor leder till att elever utmanas och kan hitta bevis och motbevis för sina tankar. Vidare menar Reys och Reys (1995, s. 30) att elever bör uppmuntras att göra anteckningar i samband med matematikundervisningen. Att skriva ner sina tankar kan vara en effektiv metod för att få elever att undersöka och utveckla sin taluppfattning. Nya
frågeställningar och funderingar kan uppkomma när de får skriva ner sina tankar. Dessa anteckningar kan senare jämföras för att se hur tankarna har utvecklats.
Nästa punkt handlar om att låta elever upptäcka och göra egna metoder för att lösa
matematikuppgifter. Det är ett effektivt sätt att utveckla en god taluppfattning som elever ser mening med (Reys & Reys, 1995, s. 29f). Att använda olika sätt att göra beräkningar är också ett sätt som kan utveckla taluppfattningen. Beräkningar kan göras med huvudräkning,
5
beräkningsmetoder stimulerar olika färdigheter och genom att bemästra alla metoder gynnas taluppfattningen.
Reys och Reys (1995, s. 30ff) beskriver uppskattning eller ungefärlig beräkning som ett viktigt verktyg för att koppla tidigare kunskaper till nya numeriska situationer. Genom att elever utvecklar och använder de tidigare kunskaperna kan deras begreppsmässiga förståelse för tal i bråkform, decimaltal och procent utvecklas.
Ett annat redskap för att utveckla en god taluppfattning är att hjälpa elever formulera frågor innan, under tiden och efter de löser ett problem. Genom att ställa egna frågor kan elever uppmärksamma fel samt undvika att göra samma misstag flera gånger. Den sista punkten som Reys och Reys (1995, s. 32) beskriver som viktig för att utveckla taluppfattning är valet av aktiviteter. Det är viktigt att välja aktiviteter som väcker tankar och diskussioner. Uppgifterna bör även tillåta olika lösningsstrategier och inbjuda till kreativa och undersökande arbetssätt. Aktiviteterna ska hjälpa elever att förstå vilken typ av beräkningsmetod som är lämplig samt hjälpa dem förstå samband mellan matematik och det vardagliga livet (Reys & Reys, 1995, s. 32).
3.3 Styrdokument
Kunskapsområdet taluppfattning och tals användning beskrivs i Skolverkets (2017, s. 12) kommentarmaterial och ska omfatta kunskaper om och hantering av tal samt olika
beräkningsmetoder och hur kunskaperna kan tillämpas i matematiken och i vardagen.
Taluppfattning är enligt Skolverket (2017, s. 12) nödvändigt för att elever ska kunna utveckla kunskaper i matematik och handlar om att förstå tals betydelse, relation och storlek. För att förankra kunskapen hos elever är det viktigt att de stegvis får möta tal och beräkningar i ett utvidgat talområde. Skolverket (2017, s. 12) redogör för fem områden inom kunskapsområdet
taluppfattning och tals användning som undervisningen ska innehålla enligt det centrala
innehållet. Dessa områden är naturliga, rationella och reella tal, positionssystemet och dess historiska utveckling, att uttrycka och använda ta, de fyra räknesätten och metoder för beräkningar samt rimlighetsbedömning. (Skolverket 2017, s. 12ff)
Det centrala innehållet i läroplanen delas in i olika kunskapsområden och anger vad som ska finnas med i undervisningen. Varje kunskapsområde är uppdelat i olika punkter där innehållet
6
följer en progression, vidgas och fördjupas upp i årskurserna (Skolverket, 2017, s. 11). I det centrala innehållet i matematik för årskurs 1-6 ska undervisning i taluppfattning och tals användning handla om olika naturliga och rationella tals egenskaper, positionssystemet, tal i bråk och decimalform, tal i procentform och det binära talsystemet. Undervisningen ska också ta upp de fyra räknesätten och hur de används, centrala metoder för beräkningar samt
rimlighetsbedömning (Skolverket, 2019, s. 55f).
7
4. Material och metod
I detta avsnitt presenteras den systematiska processen för hur vi har gått tillväga när material har samlats in till litteraturstudien. Inledningsvis beskrivs vår sökprocess, avgränsningar och urval inom området. Därefter beskrivs hur materialanalysen genomfördes.
Vi utgick ifrån Nilholms (2017, s. 42) kartläggningssteg i vår studie. Dessa steg innebär att först välja lämpliga arbeten utifrån olika söktjänster sedan sammanfatta data, kartlägga materialet, analysera materialet och till sist identifiera styrkor och svagheter i forskningen (Nilholm, 2017, s. 42).
4.1 Litteratursökning
För att få fram material till vår litteraturstudie använde vi oss av söktjänsterna
ERIC, SwePub, DiVA och PsycINFO. 1Dessa söktjänster valdes för att de erbjuder ett stort
antal forskningsbaserade texter som vi sedan kunde använda i studien.
Vi inledde sökningen iERIC, en databas som ger tillgång till bland annat internationell och
svensk utbildningslitteratur. De första sökorden som användes var mathematic* AND
“number sense” AND education AND difficulty, dessa gav oss 99 träffar. Genom att
använda”*” efter ordstammen breddas sökresultatet och sökningen sker på alla tänkbara ändelser samtidigt. Sökningen mathematic* gav till exempel träff på både mathemathics och mathematical. För att begränsa sökresultatet till endast vetenskapligt granskade artiklar valde vi att kryssa i peer reviewed. Detta gjorde att vi istället fick 66 träffar. För att avgränsa vår sökning ytterligare till ett åldersspann som passar vår undersökning, valde vi att ändra eller lägga till ytterligare sökord. Exempel på sökord vi lade till för att begränsa träffarna till vår ålderskategori var “elementary school” och ”primary school”. När vi sökte på begrepp som har fler än ett ord användes frassökning där båda begreppen skrivs inom citationstecken (””) som till exempel ”number sense”.
Vidare använde vi oss av SwePub, en databas som gör det möjligt att söka bland annat artiklar, konferenshandlingar och avhandlingar publicerade vid svenska universitet. SwePub gav oss färre men mer relevanta träffar. Sökord vi använde var “number sense"
AND mathematic* AND education AND school, dessa gav oss 12 träffar.
8
DiVA är en söktjänst som samlar forskningspublikationer och studentuppsatser som är gjorda på lärosäten och forskningsinstitutioner. När vi sökte i DiVA via Jönköping
University library på sökorden taluppfattning och ”number sense” fick vi 8 respektive 47 träffar inom området. Utifrån dessa uppsatser gjorde vi kedjesökningar på artiklar vi fann relevanta för att besvara våra frågeställningar. Kedjesökning innebär att hitta källor genom att studera referenser som har använts i texter som liknar vårt område.
Sökningarna i PsycINFO gjordes på samma sätt som ERIC och SwePub. Dessa söktjänster gav oss dock inte lika många relevanta träffar. Efter att ha sökt på “number sense” upptäckte vi att begreppet ”foundational number sense” användes mycket i artiklarna vi läste så det gav oss ett till relevant sökord. De vanligaste sökorden vi använde oss av var education, diffi*
“primary school”, “elementary school”, “number sense”, ”foundational number sense”
och taluppfattning. Anledningen till att vi valde att söka på svårigheter (difficulties) var att vi skulle ha fokus på svårigheter i början av arbetet med vår litteraturstudie. Vi ändrade sedan syfte och frågeställningar men ansåg att de två artiklar som vi hade hittat med sökorden diffi* gick att använda till vårt nya syfte med studien.
Figur 1 visar hur en av sökningarna som gjordes på söktjänsten ERIC gick till. Det redovisas vilka sökord som användes, antal träffar samt hur vi preciserade sökträffarna. Utifrån denna sökning bedömdes två artiklar uppfylla våra urvalskriterier och användes därmed i arbetet. De urvalskriterierna vi hade var att artiklarna skulle beröra grundläggande taluppfattning eller undervisning kring grundläggande taluppfattning i förskoleklass och årskurs 1-6.
9 Figur 1: Informationssökning
Anledningen till att vi i sista steget ändrade diff* till diffi* var att diff* gav oss träffar på exempelvis difference alltså skillnader. Vi var ute efter att söka på svårigheter, alltså difficulties och difficult därför gav diffi* oss mer relevanta sökningar.
För att bedöma om artiklarna var relevanta för vårt ämnesområde undersökte vi om artiklarna berörde ämnet grundläggande taluppfattning och definition av begreppet samt undervisning inom grundläggande taluppfattning. Vi exkluderade de artiklar som inte besvarade vårt syfte, det vill säga att de inte berörde taluppfattning eller undervisning som gynnar elevers förståelse för taluppfattning. Alla artiklar utom en behandlade den ålderskategori vår litteraturstudie fokuserar på. Denna artikel valde vi ändå att ha kvar då den beskrev en undervisning som vi anser går att anpassa till vår ålderskategori.
Övervägande del av artiklarna var mindre än 15 år gamla, men vi hittade även artiklar som var runt 20 år gamla. Artiklarna som hittades är mestadels skrivna av internationella forskare, men även några skrivna av svenska forskare. Vi fann flera återkommande referenser i artiklarna, några av dem var McIntosh, Reys och Reys, Gersten och Andrews.
"number sense" AND (elementary OR primary) AND (School OR pupil* OR child* OR student*)
Antal träffar: 458
Ändrar sökningen till att bara söka på vetenskapliga texter genom att klicka i peer reviewed
Antal träffar: 259
Lade till AND diff* i sökningen Antal träffar: 79
Ändrade diff* till diffi* i sökningen.
10
Tabell 1: Översikt över artiklar som har används i litteraturstudien
Författare
År Publikationstyp Titel
Andrews P. & Sayers S.
2015 Tidningsartikel Identifying Opportunities for Grade One Childre
n to Acquire Foundational Number Sense: Developing a Framework for
Cross Cultural Classroom Analyses Andrews,
P. Sayers, J., Marschall, G.
2015 Tidningsartikel Developing foundational number sense: Number
line examples from Poland and Russia
Barrera-Moraa, F., & Reyes-Rodriguez, A.
2019 Tidningsartikel Fostering Middle School Students’ Number
Sense Through Contextualized
Bruce, C. D., Fluynn, T. C., & Bennett.
2016 Tidningsartikel A focus on exploratory tasks in lesson study:
The Canadian ‘Math for Young Children’ project.
Gersten, R., & Chard, D.
1999 Tidningsartikel Number Sense: Rethinking Arithmetic
Instruction for Students with Mathematical Disabilities
Gersten, R., B. Clarke,
K. Haymond, & N. Jordan.
2011 Forskningsrapport Screening for Mathematics Difficulties in K–3 Students.
Gersten, R., Jordan, N.C., & Flojo, J.R.
2005 Tidningsartikel Early Identification and Interventions for
Students With Mathematics Difficulties
Jiménez-Fernández, G.
2016 Tidningsartikel How Can I Help my
Students with Learning Disabilities in Mathemat ics?
McIntosh, A., Reys, B. J., & Reys, R. E
1992 Tidningsartikel A proposed Framework for Examining Basic Nu
mber Sense. Robinson, C.S., Menchetti, B.M., & Torgesen, J.K.
2002 Tidningsartikel Toward a
Two-Factor Theory of One Type of Mathematics Disa bilities
Witzel, B. S., Ferguson, C. J., & Deborah V. Mink.
2012 Tidningsartikel Number Sense: Strategies for Helping Preschool
through Grade 3 Children Develop Math Skills.
11
4.2 Materialanalys
När artiklarna valdes tittade vi först igenom rubrikerna och valde sedan att fokusera på abstract på de artiklar som framkom med hjälp av sökorden. Vi läste sedan mer noggrant igenom de artiklar som vi trodde kunde besvara våra frågeställningar. Ett tjugotal relevanta artiklar valdes ut och sparades i ett gemensamt dokument som vi sedan granskade
tillsammans.
Sammanställningen av resultatet grundar sig i en genomläsning av artiklarnas abstract och inledning. I enighet med Nilholm (2017, s. 65) lade vi stor vikt vid artiklarnas
forskningsöversikter. Efter att ha läst forskningsöversikterna valdes cirka tjugo artiklar ut som vi ansåg vara relevanta för vårt ämnesområde. Efter en mer noggrann läsning av dessa artiklar valde vi sedan ut elva artiklar som besvarade våra frågeställningar.
För att kunna jämföra artiklarna med varandra började vi med att sammanfatta artiklarnas resultat. När vi sedan analyserade artiklarna använde vi oss av två olika kriterier. Dessa kriterier var: hur artiklarna beskrev begreppet taluppfattning och hur artiklarna beskrev undervisning som kan möjliggöra elevers förståelse för taluppfattning. För att urskilja
artiklarnas resultat användes överstrykningsmetoden med färgpennor. För att ytterligare få en översikt över vad artiklarna handlade om sammanställde vi en tabell där artiklarnas syfte, urval och resultat presenterades (se bilaga 1). Vi analyserade materialet genom att titta på likheter och skillnader mellan hur forskare definierar begreppet grundläggande taluppfattning. Vi analyserade även hur artiklarna beskrev olika sätt att undervisa för att möjliggöra elevers utveckling av grundläggande taluppfattning. Dessa kategorier valdes för hjälpa oss att strukturera informationen och på så vis besvara våra frågeställningar.
12
5. Resultat
I resultatet jämförs de artiklar som har studerats utifrån vårt syfte och frågeställningar. I resultatavsnittet beskrivs vad grundläggande taluppfattning innebär för elever samt hur undervisning kan utveckla elevers taluppfattning.
5.1 Grundläggande taluppfattning
Nedan följer exempel på hur två forskargrupper definierar begreppet grundläggande taluppfattning.
Andrews och Sayers (2015, s. 262) är en av flera forskargrupper som har definierat vad grundläggande taluppfattning innebär. Författarna har sammanställt en lista med förmågor som enligt dem kännetecknar en god taluppfattning. Den första förmågan är att elever har kunskap om symboler för tal. Detta innebär att känna igen numeriska symboler samt vad symbolen heter och vad den betyder. Den andra förmågan är systematisk räkning och innebär att kunna räkna uppåt och nedåt från ett givet tal samt veta att varje tal har en fast plats i ordningen av alla tal. Att ha kunskap om sambandet mellan tal och mängd innebär dels att ha förståelse för ett-till-ett principen och att talet representerar antalet samt att det sista räknade antalet representerar det totala antalet. Förmågan om att ha kunskap om åtskillnad mellan
mängder innebär medvetenhet om storlek och jämförelse av olika storlekar samt använda
begrepp som “större än” och “mindre än”. Att förstå olika representationer av tal innebär förståelse för att tal kan representeras på olika sätt som exempelvis med siffror eller med fingrar. Uppskattningsförmågan är viktig för att elever exempelvis ska kunna uppskatta antal objekt i en mängd eller storleken på ett objekt. Nästa förmåga är att ha kunskap
om grundläggande aritmetik. Detta innebär exempelvis att kunna göra enkla aritmetiska operationer med addition och subtraktion. Den sista förmågan i Andrews och Sayers (2015, s. 262) lista är att behärska mönster i talföljder. Detta innebär att elever till exempel ska kunna identifiera vilket tal som saknas i en talföljd (Andrews & Sayers, 2015, s. 262).
McIntosh, Reys och Reys (1992, s. 4ff) listar istället tre olika kategorier som beskriver viktiga kunskaper som kännetecknar en god grundläggande taluppfattning. Den första kategorin är kunskap om och ordning av tal. Detta område innefattar bland annat känsla för tals ordning, olika representationsformer av tal, känsla för den relativa och absoluta storleken på tal samt ett referenssystem för tal. Detta referenssystem ska vara riktmärken som elever känner till och kan använda för att jämföra olika storheter. Det kan exempelvis vara att en elev vet att det är 2
13
km till skolan eller att ett mjölkpaket väger 1 kg. Genom att ha kunskap om dessa riktmärken kan de bedöma andra sträckor eller vikter utifrån deras egna erfarenheter. Nästa kategori handlar om att ha kunskap om att utföra operationer och innebär att elever ska vara medvetna om matematiska egenskaper hos operationer samt ha kunskap om hur olika operationer förhåller sig till varandra.
Den sista kategorin är att kunna tillämpa kunskap om tal och operationer till beräkningar med
beräkningsverktyg och algoritmer. Denna kategori innefattar förståelse för vilken
beräkningsmetod som ska användas i förhållande till problemkontexten, medvetenhet om att olika strategier finns och hur de kan användas samt känsla för att använda den mest effektiva representationsformen (McIntosh, et al., 1992, s. 5ff).
5.1.1 Likheter och skillnader mellan olika definitioner av begreppet grundläggande taluppfattning
Andrews och Sayers (2015, s. 262) och McIntosh et al. (1992 s. 4ff) har många punkter som överensstämmer med varandra. De båda betonar att det är viktigt för elevers taluppfattning att förstå positionssystemet och att ha kunskap om tal. Det är även viktigt att ha kunskap om symboler för tal och att kunna räkna systematiskt (Andrews & Sayers, 2015, s. 262) samt ha
känsla för siffrors ordning (McIntosh et al., 1992 s. 6). McIntosh et al. (1992 s. 6) talar om att
elever måste ha ett referenssystem för tal då elever måste ha kunskap att förhålla sig till när de gör uppskattningar. Referenssystemet är viktigt för att kunna jämföra och avrunda svar. Andrews och Sayers (2015, s. 262) beskriver uppskattning som en viktig kompetens inom taluppfattning och detta kan liknas med referenssystemet som McIntosh et al. (1992, s. 6)
beskriver.McIntosh et al. (1992, s. 6) beskriver känsla för den relativa och absoluta storleken
på tal och förmågan att känna igen antal, kvantitet och storlek i förhållande till andra värden som viktig för att skapa en god taluppfattning hos elever. Andrews och Sayers (2015, s. 262) beskrivning om sambandet mellan tal och mängd kan liknas med det McIntosh et al. (1992, s. 6) ovannämnda beskrivning.
Andrews och Sayers (2015, s. 262) och McIntosh et al. (1992, s. 6) nämner båda att det är viktigt att elever förstår att tal kan representeras på olika sätt, exempelvis med hjälp av en tallinje, konkret material eller sina egna fingrar. De nämner också kunskap om och ordning av tal (McIntosh et al., 1992, s. 6) samt mönster i talföljder (Andrews och Sayers, 2015, s. 262). Dessa beskrivningar handlar båda om att kunna urskilja och identifiera mönster i talraden.
14
När författarna beskriver vad som kännetecknar grundläggande taluppfattning beskriver McIntosh et al. (1992, s. 6ff) betydligt mer utförligt än Andrews och Sayers (2015, s. 262) angående att ha kunskap om operationer samt vikten av att tillämpa sina kunskaper. Andrews och Sayers (2015, s. 262) nämner att elever ska utveckla en grundläggande aritmetisk förmåga medan McIntosh et al. (1992, s. 6ff) poängterar att elever ska ha en medvetenhet om hur operationer förhåller sig till varandra, förstå vilken metod och representation som är bäst lämpad för uppgiften samt förmågan att granska resultat och data. McIntosh et al. (1992, s. 6ff) fokuserar mer på att eleven ska kunna använda sina kunskaper och värdera dem medan Andrews och Sayers (2015, s. 262) koncentrerar sig på kunskaper som behövs för en god taluppfattning.
5.1.2 Faktorer som påverkar elevers utveckling av taluppfattning
Gersten et al. (2005, s. 295) betonar att det inte finns något ultimat sätt att utveckla taluppfattning utan att det sker individuellt. Då matematikämnet är ett så komplext ämne innebär det enligt Jiménez-Fernández, (2016, s. 65) att lärare måste veta varje elevs specifika svårighet för att kunna anpassa undervisningen efter eleven. Gersten et al. (2005, s. 295) anser också att lärare måste vara medvetna om vilka elever som har svårigheter och ge dem mer tid att förstå begrepp och operationer kopplade till grundläggande taluppfattning.
Elevers utveckling av taluppfattning påverkas enligt Robinson, Menchetti och Torgsen (2002, s. 86) både av elevens tidigare erfarenheter av taluppfattning och den fonologiska
medvetenheten. Att ha fonologisk medvetenhet innebär enligt Wolff (2017 s. 1ff) att förstå
språkets form och bortse från ordens innehållsmässiga betydelse (Wolff, 2017, s. 1ff).Den
fonologiska medvetenhet som är kopplad till siffror och tal kan ställa till det för elever med svag fonologisk medvetenhet. Detta i sin tur kan leda till svårigheter med att plocka fram
kunskap om tal ur minnet.De påpekar dock att svag fonologisk medvetenhet inte ger lika
allvarliga svårigheter i matematiken jämfört med om elever har svag taluppfattning
(Robinson, Menchetti & Torgesen, 2002, s. 86). Även Gersten et al. (2005, s. 293) nämner att lässvårigheter kan vara relaterade till långsammare framsteg inom matematiken. Gersten och Chard (1999, s. 25) har också studerat sambandet mellan fonologisk medvetenhet och taluppfattning. Genom att vara medveten om att det finns en koppling mellan fonologiska medvetenheten och taluppfattning hoppas Gersten och Chard (1999, s. 25) att lärare ska
15
uppmärksamma betydande och nödvändiga förändringar i hur matematik lärs ut till små barn som har en begränsad kännedom om aritmetiska begrepp.
5.2 Undervisning som utvecklar elevers grundläggande taluppfattning
Elever börjar skolan med olika förståelser för tal och dess användning, vilket i sin tur kan leda till senare skillnader i elevers utveckling i matematiken. Det är därför viktigt som lärare att reflektera kring vilka tal-relaterade erfarenheter inom matematiken som är nödvändiga för elever under de första skolåren (Andrews et al., 2015, s. 1681).
Gersten et al. (2005, s. 295) beskriver att taluppfattning innebär att elever ska kunna utföra enkla beräkningar samt ha en känsla för tal. Ett bra sätt att lära sig detta kan vara genom att utveckla elevers mentala tallinjer. En mental tallinje är en inre bild av de reella talens ordning. Ett sätt att utveckla den mentala tallinjen kan vara genom att använda tabeller med siffror och linjer som är lätt tillgängliga i klassrummet (Gersten et al., 2005, s. 295). Det är också viktigt att använda föremål och erfarenheter som elever kan relatera till i sina vardagliga liv som till exempel klasslistor, resultat av röstningar eller spelpjäser för att utveckla elevers
grundläggande taluppfattning (Jiménez-Fernández, 2016, s. 66).
Gersten, Clarke, Haymond och Jordan (2011, s. 7ff) har beskrivit fem förmågor som elever bör ges möjlighet utveckla i undervisningen för att skapa en god taluppfattning. Den första förmågan handlar om att kunna jämföra storlekar. När elever blir duktigare på att förstå tal och mängd, kan de göra allt mer komplexa bedömningar av tals storlek. Ett exempel är att en elev har kunskap om att 9 är större än 3 medan en annan elev vet att 9 är 6 större än
3. Förmågan att kunna räkna strategiskt handlar om betydelsen av att använda räkning för att lösa problem. Detta är grundläggande för att utveckla matematisk förståelse bör därför utvecklas i matematikundervisningen. Att vara en bra räknare innebär till exempel att kunna räkna upp eller ner från ett givet tal. Den tredje förmågan är att ha kunskaper om
grundläggande aritmetik, detta är väsentligt för att elever senare ska kunna lösa problem utan
att använda fingrarna. Den fjärde förmågan handlar om att använda språket för att förklara matematik. Att undervisa med hjälp av muntliga uppgifter beskrivs som viktigt för att bygga upp en god taluppfattning eftersom yngre barn löser muntliga uppgifter med addition och subtraktion lättare än uppgifter med siffror och symboler. Den sista och femte förmågan
16
koppla samman ett abstrakt tal med dess namn, exempelvis, sammankoppla talet 5 med dess symbol (Berch 2005, i Gersten et al., 2011 s. 7ff).
Witzel, Ferguson och Deborah (2012, s. 91ff) beskriver tre aspekter av undervisning som gynnar utvecklingen av taluppfattning. Den första aspekten författarna nämner handlar om att det är viktigt att undervisningen erbjuder konkreta erfarenheter för att utveckla elevers taluppfattning och deras förmåga att göra beräkningar. I detta sätt att undervisa är det viktigt att använda olika typer av material. Författarna beskriver att materialet till exempel kan vara plastbjörnar, kuber, 10-block, pinnar eller bönor (Witzel et al., 2012, s. 91f). Den andra aspekten som beskrivs som viktigt innebär att undervisa från färdighet till förtrogenhet. Det handlar om att det är viktigt att elever behärskar ett moment fullt ut innan de kan tillägna sig ytterligare ny kunskap och att inlärningen sker från konkret till abstract lärande. När elever lär sig ett nytt moment inom matematiken är det som lärare viktigt att påpeka vad som är korrekt och inte. Att upprepa misstag kan göra att matematiken tillämpas på ett felaktigt sätt. (Witzel et al. 2012, s. 93). Den tredje och sista aspekten som Witzel et al. (2012, s. 93) beskriver som viktigt i undervisningen är att göra språkkopplingar Det matematiska språket är en av de viktigaste delarna i matematikundervisningen menar Witzel et al. (2012, s. 93f). Det är till exempel nödvändigt för elever att förstå betydelsen av matematiska termer och olika symboler. I undervisningen behöver elever uppmuntras att sätta ord på sina matematiska
resonemang exempelvis genom att tänka högt (Witzel et al. 2012, s. 93f). Att undervisa på
detta sätt går i linje med Gersten et al. (2011, s. 7ff) beskrivning av förmågan som handlar om att använda sig av muntliga uppgifter för att utveckla en god taluppfattning. Författarna betonar båda vikten av att elever använder språket för att förklara matematik.
5.2.1 Kontextbaserade uppgifter
Det finns olika faktorer som påverkar elevers utveckling av taluppfattning. Lärande sker främst informellt men kan även påverkas av personliga eller miljömässiga faktorer (Jiménez-Fernández, 2016, s. 58). Taluppfattning är något som är bundet till olika sammanhang vilket betyder att en elev använder en viss kunskap i skolan och en annan när den till exempel är i butiken och ska handla. Matematikundervisningen behöver därför ge elever kunskaper som de kan använda sig av både i det vardagliga livet och i skolan (McIntosh et al., 1992, s. 3).
Barrera-Moraa och Reyes-Rodriguez (2019, s. 75) har gjort en undersökning om hur
17
visar sin taluppfattning i en köp- och säljsituation. En av uppgifterna gick ut på att eleverna blev uppdelade i olika lag där ena laget var kassörer och andra laget var kunder. Lagen fick sedan pengar att dela på. Läraren ställde sedan frågor under uppgiftens gång som
uppmuntrade eleverna att reflektera och att muntligt motivera hur de har kommit fram till sina lösningar. Exempel på frågor kunde vara: Hur mycket pengar har du kvar? Vad är
positionsvärdet 5 i talet 575,50? Om du har 42 pesos, hur mycket behöver du för att få 100 pesos? I resultatet har läraren identifierat den taluppfattningsförmåga eleverna visat i uppgiften och sedan utvärderat detta. Resultatet visade att kontextbaserade uppgifter kan hjälpa elever att utveckla sin taluppfattning (Barrera-Moraa & Reyes-Rodriguez, 2019, s. 78ff).
I en annan studie från Canada (Bruce, Fluynn, & Bennett, 2016, s. 544) studerades hur elever lär sig matematik i lekfulla vardagssituationer. Undersökningen bestod av tre lekfulla
uppgifter där ett av momenten innehöll mätning. I samband med undersökningen samlades elever med varierande matematikkunskaper från varje klassrum för bedömning genom ett test, både före och efter lektionen. Testet innehöll frågor om att identifiera tal, representera antal, jämföra tal, avrunda tal, positionssystemet samt decimaltal. I en jämförelse mellan för- och eftertestet samt lärarens observationer visade det sig att eleverna inte enbart utvecklats i förmågan att mäta, utan också i taluppfattning efter att ha gjort de lekfulla uppgifterna (Bruce et al., 2016, s. 544ff). Även Jiménez-Fernández (2016, s. 64) beskriver i sin artikel, vikten av att jobba med just kontextbaserade uppgifter som är relevanta för elevens vardagliga liv. Jiménez-Fernández (2016, s. 64) menar också att elevers förmåga att bedöma exempelvis avstånd, ordning och storlek kan utvecklas med hjälp av konkreta material (Jiménez-Fernández, 2016, s. 64ff). Som nämnts tidigare behandlar även Witzel et al. (2012, s. 91ff) betydelsen av att undervisa med hjälp av konkreta erfarenheter för att utveckla elevers
taluppfattning. Författarna beskriver även att det kan vara bra att undervisa elever utomhus för att visa hur räkning kan kopplas till deras vardagsliv (Witzel et al. 2012, s. 91ff).
5.2.2 Att arbeta med tallinjer
En viktig kunskap inom grundläggande taluppfattning som McIntosh et al. (s. 3, 1992) tar upp i sina listade kategorier handlar om att ha kunskap om och ordning av tal. Ett sätt som visat sig vara effektivt att använda sig av för att utveckla denna förmåga är att arbeta med tallinjen. (McIntosh et al., s. 3, 1992). Andrews et al., (2015, s. 1681) har gjort en analys baserad på två
18
av sina tidigare studier om grundläggande taluppfattning. Denna studie visade hur de olika förmågorna listade av Andrews och Sayers (2015, s. 262) används i två olika
undervisningssituationer. Undervisningen utfördes av en rysk och en polsk lärare där fysiska tallinjer används (Andrews et al., 2015, s. 1681). I denna studie används en ritad tallinje på tavlan som fysisk tallinje. Den ryska lärarens undervisning berörde fler förmågor än den polska lärarens undervisning. Hur den ryska läraren jobbar med den fysiska tallinjen samt hur metoderna kopplas till Andrews och Sayers (2015, s. 262) listade förmågor som beskrivs i kapitel 5.1 redovisas nedan.
Den ryska läraren började sin lektion med att rita upp en horisontal linje på tavlan och
fortsatte sedan med att rita en pil åt höger precis under tallinjen. Detta för att visa att tallinjen är obegränsad. Vidare ritade läraren en liten flagga på linjens vänstra sida, för att peka ut var talet noll ligger. Sedan fortsatte läraren med att rita ut sektioner med lika lång sträcka mellan varje sektion, för att visa heltalens plats. I denna aktivitet utvecklades tre förmågor inom taluppfattning. Aktiviteten gav eleverna möjlighet att se samband mellan tal och mängd. Att se samband mellan tal och mängd innebär att elever vet att ett tal representerar ett visst antal samt att det sista räknade antalet representerar det totala antalet. Processen när läraren
numrerar talen på tallinjen betonar placeringen av talen vilket gav eleverna i studien kunskap om symboler för tal och systematisk räkning (Andrews et al., 2015, s. 1683).
I nästa aktivitet fick eleverna komma fram till tavlan och peka ut olika tal, exempelvis talet 3. På samma gång som läraren bad eleven att peka på talet 3 skulle eleven också peka på talet 0 med andra handen. Eleven bads sedan att peka på talet 5 för att sedan visa hur hen skulle gå från 3 till 5 Detta gjorde eleven genom att räkna två enheter. I en aktivitet som denna ges även här flera av Andrews och Sayers (2015, s. 262) förmågor chans att utvecklas. Undervisningen erbjuder inte bara möjligheter till att lära sig symboler för tal, utan också samband mellan tal
och mängd och åtskillnad mellan mängder. Aktiviteten erbjuder även elever att upptäcka olika representationer av tal (Andrews & Sayers, 2015, s. 262).
I den tredje delen av aktiviteten ombads en elev att starta på 7 och subtrahera med 3. Eleven fick först hålla pekfingret vid 7 och sedan det vänstra pekfingret vid flaggan (0). Sedan bads eleven räkna bakåt tre steg från 7. När läraren sedan frågade resten av klassen vad eleven hade gjort, svarade de att eleven hade subtraherat 3 från 7 för att sedan få 4. I denna del av
19 mängd. Eleverna förväntades också behärska att räkna systematiskt, arbeta med olika
representationer av tal och ha kunskap om grundläggande aritmetik. (Andrews et al., 2015, s.
1683). Att arbeta med tallinjen på detta sätt i undervisningen, kan även kopplas till flera av Gersten et al. (2011, s. 7ff) förmågor som beskrivs i kapitel 5.2, bland annat att jämföra
20
6. Diskussion
I diskussionsavsnittet presenteras reflektioner kring metod och resultat. I metoddiskussionen resonerar vi hur informationssökningen och materialanalysen har gått till och i
resultatdiskussionen behandlar vi det resultatet som har framkommit i relation till studiens bakgrund, syfte och frågeställningar. I detta avsnitt presenteras slutligen förslag till vidare forskning inom ämnesområdet.
6.1 Metoddiskussion
Vi inledde informationssökningen genom att söka på svenska sökord men vi upptäckte snabbt att urvalet av vetenskapliga artiklar var begränsat. Vi fortsatte därför med att söka på engelska och försökte hitta engelska synonymer till taluppfattning. Number sense är den engelska motsvarigheten till taluppfattning och den gav betydligt fler sökträffar än de svenska. Den sökdatabasen som främst användes var ERIC och den gav många sökträffar inom vårt
ämnesområde. Genom thesaurusen kunde synonymer hittas till våra sökord vilket gav oss fler och mer relevanta sökningar som kunde kopplas till vårt syfte och frågeställningar. I
söktjänsten Primo sökte vi i första hand på artiklar som vi hade hittat genom kedjesökningar.
I urvalet tog vi ställning till om artiklarna var relevanta i förhållande till studiens syfte. Det som granskades var publikationsår, publikationsland och om artikeln behandlade studiens syfte. Vi valde att inte avgränsa artiklarna efter årtal utan fokuserade på innehållet. Det kan ses som en svaghet i studien att några av artiklarna som användes är över 20 år gamla. Anledningen till att vi inte avgränsade efter årtal var att taluppfattning är ett ämne som länge har studerats och vi fann material som vi ansåg var relevant även idag. En studie inom till exempel digitala verktyg hade förmodligen behövt senare forskning då teknik är ett område som snabbt uppdateras. Sökningarna begränsades heller inte av vilket land artikeln var publicerad i. Taluppfattning är en av grunderna för att utveckla kunskaper i matematik (Skolverket, 2017, s. 12) och då matematik finns i hela världen anser vi att även
internationella studier kan appliceras på svenska skolan. Det kan dock ses som en kritisk aspekt då mycket av artiklarnas forskning har bedrivits i olika länder där läroplanerna är utformade på annat sätt än i Sverige.
För att hitta material om undervisning visade det sig att några av artiklarna fokuserade på elever med svårigheter. Syftet med studien var inte att rikta in arbetet på elever med
21
riktar in sig på elever med svårigheter på grund av att vi fann innehållet relevant även för att stötta utvecklingen av taluppfattning hos elever utan svårigheter. En av artiklarna som vi valde att ta med i studien är inriktad på undervisning från förskolan och en artikel hade studerat undervisning i årskurs 7-9. Vi ansåg dock att dessa artiklar kunde appliceras på förskoleklass och årskurs 1-6 och valde därför att inkludera dem.
För att ta reda på om texterna svarade på våra frågeställningar diskuterades innehållet tillsammans för att se om vi uppfattade det på samma sätt. Trots detta kan det finnas risk för feltolkningar och felöversättningar av materialet på grund av bristfälliga språkkunskaper. Många av artiklarna som syftade till att besvara vår första frågeställning Hur beskrivs elevers
grundläggande taluppfattning? är forskningsöversikter som har resulterat i en
sammanställning av hur författarna tolkar begreppet taluppfattning medan de artiklar som besvarade den andra frågeställningen Hur kan undervisningen ge elever möjlighet att utveckla
grundläggande taluppfattning? var empiriska undersökningar som testade olika metoder och
arbetssätt.
När vi efterforskade om ämnet fanns det många beskrivningar och definitioner av vad taluppfattning är. Vi har i resultatet valt att endast ta med två av dessa beskrivningar vilket kan ses som en svaghet då andra forskares beskrivningar av taluppfattning hade gett en mer nyanserad bild av begreppet. De artiklar vi valde att inkludera är skrivna av forskare som är refererade eller skribenter i flera av artiklarna som vi valde att exkludera vilket gör att vi anser att de är trovärdiga och kunniga inom ämnet. Vi har använt flera referenser med samma författare vilket kan ses både som en styrka och svaghet. De referenser vi använt med samma författare anser vi vara trovärdiga källor men risken finns att synen på vad taluppfattning är
och hur undervisning bör bedrivas blir subjektiv.
6.2 Resultatdiskussion
I detta avsnitt diskuteras resultatet och bakgrunden utifrån de frågeställningar som denna studie är baserad på, hur elevers grundläggande taluppfattning beskrivs och hur undervisning kan bedrivas för att utveckla elevers taluppfattning.
6.2.1 Hur beskrivs elevers grundläggande taluppfattning?
Studien visar att forskare verkar ha en likartad bild av vad taluppfattning innebär men de beskriver delvis begreppet på olika sätt och med varierande fokus på vad som är viktigt
22
(Andrews & Sayers, 2015, s. 262; McIntosh et al., 1992, s. 6; Löwing, 2008, s. 39; Löwing & Kilborn, 2010, s. 40ff). Skolverket (2017, s. 12) poängterar att elever behöver utveckla en grundläggande taluppfattning för att utveckla kunskaper i matematik vilket stämmer överens med det forskarna Andrews & Sayers, 2015, s. 262; McIntosh et al., 1992, s. 6; Löwing, 2008, s. 39 och Löwing & Kilborn, 2010, s. 40ff beskriver.
Enligt Löwing (2008, s. 40f) bygger elever inte automtiskt upp en taluppfattning, hon menar att det måste praktiseras under en lång tid med väl genomarbetad planering av
lärare. Gersten et al. (2005, s. 295) uppfattning om hur taluppfattning utvecklas går i linje med Löwing (2008 s. 40f), de menar att taluppfattning sker både genom formell och informell undervisning redan innan barn börjar skolan (Gersten et al., 2005, s. 295; Löwing, 2008 s. 40f).
Skolverket beskriver fem områden inom taluppfattning och tals användning som
undervisningen ska innehålla enligt det centrala innehållet (Skolverket, 2017, s. 12). Dessa områden är naturliga, rationella och reella tal, positionssystemet och historisk utveckling, att uttrycka och använda tal, de fyra räknesätten och metoder för beräkningar samt
rimlighetsbedömning. Det område från det centrala innehållet som inte framkommer i de artiklar vi har studerat är undervisning av historisk utveckling av positionssystemet. Då detta är en central del i läroplanen (2019, s. 55f) kan vi ställa oss frågan om varför det inte har fått en större del i den forskning som behandlar ämnesområdet taluppfattning. De andra områdena som Skolverket (2017, s. 12) tar upp beskrivs i den forskning vi har studerat.
Gersten et al. (2005, s. 295) och Jiménes-Fernándes (2016, s. 65) menar att det inte finns något ultimat sätt att utveckla taluppfattning utan att det sker individuellt och därför måste lärare veta varje elevs specifika svårighet för att kunna anpassa efter individens förmåga. Gersten et al. (2005, s. 295) och Jiménes-Fernándes (2016, s. 65) menar att lärare ska utgå från elevers svårigheter när de planerar undervisning. Vi ställer oss frågan om varför undervisningen inte istället ska utgå från de möjligheter som finns att utforma undervisning som främjar elevers lärande inom matematik? Det gör att synen på lärandet utgår från undervisningens möjligheter till lärande istället för elevers svårigheter.
23
6.2.2 Undervisning som utvecklar elevers taluppfattning
Utifrån studiens resultat kan vi tolka att undervisning av taluppfattning bör bedrivas med varierad undervisning (Andrews et al., 2015, s. 1681). För att utveckla taluppfattning bör undervisningen inom detta område bedrivas i tidig ålder, redan innan elever börjar
grundskolan (Gersten et al., 2005 s. 295; Jiménez-Fernández, 2016, s. 66: Löwing & Kilborn 2010, s. 40ff).
I flera av artiklarna beskriver författarna att kontextbaserade och konkreta uppgifter som utgår ifrån elevers vardag kan användas för att utveckla en god taluppfattning. Det är viktigt att dessa uppgifter känns relevanta för elever (Barrera-Morra et al. 2019, s. 78; Bruce et al., 2016, s. 544ff; Jiménez-Fernández, 2016 s. 64). Att arbeta med uppskattningar och beräkningar i vardagliga situationer beskriver även Skolverket som en viktig del av läroplanens centrala innehåll (Skolverket, 2019, s. 55). Förmågor som kan utvecklas i samband med att elever använder konkret material är till exempel känsla för kvantitet, avstånd, ordning, storlek och rymd. Efter att elever har förankrat denna kunskap kan undervisningen utvecklas till att stärka deras förståelse av tal och dess betydelse (Jimenez-Fernandez, 2016, s. 64ff). Vi har utifrån studiens resultat förstått att det är viktigt att ställa utmanande frågor till elever som får dem att resonera kring tal. Många artiklar lyfter fram vikten av att använda det matematiska språket i undervisningen för att utveckla elevers taluppfattning (Barrera-Moraa., &
Reyes-Rodriguez 2019, s. 78; Gersten et al. 2005, s.7ff; Reys & Reys, 1995, s. 30; Witzel et al. 2012, s. 91ff).
Resultatet visar också att både mentala och fysiska tallinjer är representationsformer som gynnar flera av förmågorna som krävs för att kunna bygga upp en god
taluppfattning (Andrews & Sayers 2015, s. 1681; Gersten et al. 2005, s. 7ff; McIntosh et al. 1992, s .3). För att utveckla en god taluppfattning har det visat sig vara framgångsrik är att rita en tallinje på tavlan. Undervisning med tallinjen som representationsform kan hjälpa elever att utveckla känsla för positionssystemet, olika representationsformer av tal, känsla för storlek och referenssystem för tal och att kunna koppla samman talet till dess symbol (Andrews & Sayers 2015, s. 1681, Gersten et al. 2005, s. 7ff). Detta resultat indikerar att elever skulle gynnas av att redan i förskoleklass bekanta sig med tallinjen.
För att utveckla Gersten et al. (2011, s. 7ff) förmågor som beskrivs i kapitel 5.2 handlar om att jämföra storlekar, räkna strategiskt, grundläggande aritmetikkunskaper och
24
taligenkänning skulle Witzel et al., (2012, s. 91ff) tre aspekter av undervisning kunna tillämpas. Att ge elever konkreta erfarenheter, göra språkkopplingar och att undervisa från färdigheter till förtrogenhet kan vara lämpliga aspekter att ta hänsyn till i undervisningen när det gäller att utveckla elever förmåga att jämföra storlekar, räkna strategiskt, grundläggande aritmetikkunskaper och taligenkänning.
Witzel et al. (2012, s. 91ff) beskriver vikten av att undervisa färdigheter till förtrogenhet. Det går ut på att elever ska behärska ett område inom matematiken innan de börjar lära sig något nytt. Med andra ord är det viktigt att elever behärskar grunderna i ett matematiskt
ämnesområde ordentligt innan elever kan ta till sig ny kunskap. Vi undrar hur detta kan fungera i klassrummet. Hur ska lärare säkerställa att elever behärskar ämnesområdet innan ett nytt moment påbörjas? Och hur ska lärare hantera den variation av tidigare erfarenheter och inlärningsförmåga som finns bland elever?
Skolverket (2017, s. 14) skriver ”Att kunna göra en rimlighetsbedömning är väsentligt för att utveckla en känsla för resultatet vid beräkningar och uppskattningar, både i vardagliga och matematiska situationer” (Skolverket, 2017, s. 14). Undervisning om “rimlighetsbedömning” beskrivs i mycket liten omfattning i artiklarna som vi har studerat. Detta är underligt då det beskrivs som en viktig del inom området taluppfattning både i Skolverket (2017, s. 14) och av McIntosh et al. (1992, s. 4). Då vi såg att detta var en svårighet hos elever under vår VFU funderar vi över om detta är något som kanske skulle behöva beforskas ytterligare?
25
6.3 Slutdiskussion och förslag på framtida forskning
Innan studien startade var vår kunskap om ämnet taluppfattning begränsad. Vårt fokus låg på att se vad forskning säger om hur grundläggande taluppfattning beskrivs samt hur
undervisning kan främja elevers taluppfattning. Efter att ha studerat området har vi insett hur viktigt det är och vad som krävs för att elever ska utveckla en god taluppfattning. För vårt kommande arbete som lärare har denna studie varit till nytta då vi har upptäckt hur undervisning kan utformas för att gynna elevers taluppfattning. Viktigt i undervisning av taluppfattning är att ge elever flera möjligheter till att utforska tal och kartlägga elevers taluppfattning under hela skolgången (Löwing, 2008 s. 39f). Eftersom vi utgått från förskoleklass upp till årskurs 6 har vi utifrån resultatet uppfattat att samma typ av undervisning går att applicera under alla grundskolans tidiga årskurser.
Framtida forskning inom området taluppfattning kan innefatta en granskning av läromedel
som används i matematikundervisningen för årskurs 1-6 för att se hur de stödjer elevers utveckling av taluppfattning. Granskningen kan ske genom att studera matematikböcker som är vanligt förekommande i svenska skolan och se om de stödjer de förmågor inom
taluppfattning som denna studie har kommit fram till. Det kan också vara intressant att studera hur digitala hjälpmedel kan utveckla elevers taluppfattning. För att ta reda på detta kan en fältstudie göras för att se om de digitala verktygen kan vara till hjälp i undervisning inom taluppfattning.
26
Referenslista
Andrews P. & Sayers S. (2015). Identifying Opportunities for Grade One Children to Acquire Foundational Number Sense: Developing a Framework for Cross Cultural Classroom
Analyses. Early Childhood Education Journal, 43(4), 257–267. doi:10.1007/s10643-
Andrews, P., Sayers, J., & Marschall, G. (2015). Developing foundational number sense: Number line examples from Poland and Russia. Cerme 9 (Congress of the European Society
for Research in Mathematics Education), 9, 1681-1686. doi: hal-01287990
Barrera-Moraa, F., & Reyes-Rodriguezb, A. (2019) Fostering Middle School Students’ Number Sense Through Contextualized Tasks. Iejee (International Electronic Journal of
Elementary Education), 12, 75-85. doi:10.26822/iejee.2019155339
Bruce, C. D., Fluynn, T. C., & Bennett, S. (2016). A focus on exploratory tasks in lesson study: The Canadian ‘Math for Young Children’ project. ZDM Mathematics Education, 48, 541–554. doi:10.1007/s11858-015-0747-7
Gersten, R., B. Clarke, K. Haymond, & N. Jordan. (2011). Screening for
Mathematics Diffi culties in K–3 Students. Portsmouth, NH: RMC Research Corporation,
Center on Instruction.
Gersten, R., & Chard, D. (1999). Number sense: Rethinking arithmetic instruction for students with mathematical disabilities. The Journal of Special Education, 33(1), 18-28. doi:10.1177/002246699903300102
Gersten, R., Jordan, N.C., & Flojo, J.R. (2005). Early Identification and Interventions for Students With Mathematics Difficulties. Journal of Learning Disabilities, 38(4). 293-304. Hämtad 02-11- 2020 från
https://search.proquest.com/docview/194226200?accountid=11754
Häggblom, L. (2013). Med matematiska förmågor som kompass. Lund: Sverige: Studentlitteratur
27
Jiménez-Fernández, G. (2016). How Can I Help my Students with Learning Disabilities in Mathematics? Journal of research in mathematics education, 5(1), 56- 73. Hämtad 02-03-2020 från https://hipatiapress.com/hpjournals/index.php/redimat/article/view/1469/pdf
Löwing, M. (2008). Grundläggande aritmetik matematikdidaktik för lärare. Lund, Sverige: Studentlitteratur.
Löwing, M, Kilborn, W. (2010). Kulturmöten i matematikundervisninge: Exempel från 41
olika språk. Lund, Sverige: Studentlitteratur AB.
McIntosh, A., Reys, B. J., & Reys, R. E. (1992). A proposed Framework for Examining Basic Number Sense. For the Learning of Mathematics, 12(3). 2-8. Hämtad
07-02-2020 från https://eric.ed.gov/?id=EJ466000
Reys, B. J. & Reys, R. E. (1995). Perspektiv på Number sense och taluppfattning. Nämnaren, (1), 28-33. Hämtad
07-02-2020 från http://kollegieblocket.ncm.gu.se/media/stravorna/2/a/2a_reys.pdf
Robinson, C.S., Menchetti, B.M., & Torgesen, J.K. (2002). Toward a Two-Factor Theory of One Type of Mathematics Disabilities. Learning Disabilities Research & Practice, 17(2), 81– 89. Hämtad 02-11-2020 från
https://onlinelibrary.wiley.com/doi/epdf/10.1111/1540-5826.00035
Skolverket. (2016). TIMSS 2015. Svenska grundskoleelevers kunskaper i matematik och
naturvetenskap i ett internationellt perspektiv. Stockholm, Sverige: Skolverket. Hämtad
28-01-2020 från: https://www.skolverket.se/publikationsserier/rapporter/2016/timss-2015.- svenska-grundskoleelevers-kunskaper-i-matematik-och-naturvetenskap-i-ett-internationellt-perspektiv?id=3707
Skolverket. (2017). Kommentarmaterial till kunskapskraven i matematik. Stockholm, Sverige: Skolverket. Hämtad
28-01-2020 från https://www.skolverket.se/publikationsserier/kommentarmaterial/2017/kommentar material-till-kursplanen-i-matematik-reviderad-2017
28
Skolverket. (2015). TIMSS 2015. Frisläppta uppgifter: Uppgifter i matematik, årskurs 4 och
8. Stockholm, Sverige: Skolverket. Hämtad
10-02-2020 från https://www.skolverket.se/download/18.5dfee44715d35a5cdfa9f29/1516017596571 /Frisl%C3%A4ppta%20uppgifter%20matematik%20%C3%A5k%204%20och%20%C3%A5 k%208.pdf
Skolverket. (2011). Läroplan för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet
2011, (reviderad 2019). Stockholm, Sverige: Skolverket. Hämtad
10-02-2020 från https://www.skolverket.se/undervisning/grundskolan/laroplan-och-kursplaner-for-grundskolan/laroplan-lgr11-for-grundskolan-samt-for-forskoleklassen-och-fritidshemmet
Solem Heiberg, I., Alseth, B., & Nordberg, G. (2012) Tal och tanke- matematikundervisning
från förskoleklass till årskurs 3. Lund, Sverige: Studentlitteratur
Witzel, B. S., Ferguson, C. J., & Deborah V. Mink. (2012). Number Sense:
Strategies for Helping Preschool through Grade 3 Children Develop Math Skills. Young
Children, 67,(3), 89-94. Hämtad 02-11-2020 från
https://search.proquest.com/docview/1019288596?accountid=11754
Wolff, U. (2017). Fonologisk medvetenhet. Stockholm, Sverige: Skolverket.
Bilaga 1
Översikt över analyserad litteratur
Författare
Titel
Tidskrift
Publikationsår och land
Syfte:
Urval/ datainsamling:
Resultat:
Författare Paul Andrews & Judy Sayers Titel Identifying opportunities for grade on e children to acquire foundational number sense: Developing a framework for cross cultural classroom analyses TidskriftEarly Childhood Education Journal vol 43
Publikationsår och land 2015, Sverige
Syfte:
Syftet med studien är att redogöra för ett åtta dimensionellt ramverk som gynnar elevers
taluppfattning.
Urval/ datainsamling:
Jämförelse analys av forskning inom ämnet. Empiriskt tillämpning av ramverket på tre kulturellt varierande lektioner.
Resultat:
Studien resulterade i en kortfattad beskrivning av begreppet Foundational number sense samt en
utvärdering av ramverket. Utvärderingen skedde genom att skribenterna tillämpade ramverket på tre kulturellt varierande europeiska lektioner. Undervisningen visade sig ge samma resultat oberoende av vilken kulturell bakgrund elever hade.
Författare
McIntosh, A., Reys, B. J., & Reys, R. E
Titel
A Proposed Framework for Examinin g Basic Number Sense
Tidskrift
For the Learning of Mathematics vol 12 (3)
Syfte:
Syftet med studien är att Identifiera och organisera viktiga förmågor som krävs för att uppnå en god taluppfattning.
Urval/ datainsamling:
Forskningsöversyn av allmänt överensstämmande komponenter inom taluppfattning.
Publikationsår och land 1992, Kanada
Resultat:
3 kategorier som beskriver taluppfattning samt 42 underkategorier som ytterligare definierar begreppet. De tre huvudkategorierna är:
*kunskap om och ordning av tal. *Kunskap om att utföra operationer.
*Applicera kunskap om och anordning av tal och operationer till data inställningar.
Författare Gracia Jiménez-Fernández Titel How Can I Help my Students with Learning Disabilities in Mathematics? Tidskrift REDIMAT, vol 5 (1) Publikationsår och land 2016, Spanien
Syfte:
Syftet är att föreslå ett ramverk
och konkreta riktilinjer som hjälper elever men inlärningssvårigheter att förbättra sina färdigheter i matematik. Studien fokuserar på taluppfattning och problemlösning.
Urval/ datainsamling:
Forskningsöversyn.Resultat:
Redogör olika stadier som
utvecklingen av taluppfattning sker i och hur taluppfattning utvecklas hos elever.
Författaren ger exempel på hur undervisningen kan se ut för att utveckla följande punkter:
- Förstärka begreppet sifferkänsla och grundläggande begrepp.
-Undervisningen ska gå från konkreta till abstrakta begrepp.
Författare
Witzel, Bradley S; Ferguson, Christine J; Mink, Deborah V Titel
Number Sense: Strategies for Helping Preschool through Grade 3
Children Develop Math Skills Tidskrift
YC Young Children; Washington vol 67 (3)
Publikationsår och land: 2012, USA
Syfte:
Syftet är att diskutera strategier som kan hjälpa elever med matematiksvårigheter att utveckla en god
taluppfattning.
Urval/ datainsamling:
Forskningsöversyn.Resultat:
Tre strategier för att hjälpa små barn som kämpar i matematik att utveckla talkänsla är: (1) använda konkreta erfarenheter för att utveckla talkänsla och nummer, (2) undervisningsförmåga till färdighet och (3) införliva språkupplevelser. För att förklara varje metod används exempel inom ramen för avancerade former av numerisk mening enligt ovan.
Författare
Andrews, P. Sayers, J., Marschall, G. Titel Developing foundational number sens e: “Number line examples from Poland and Russia” Tidskrift CERME vol 9 (Ninth Congress of the European Soci ety for Research in Mathematics Education) Publikationsår och land: 2015, Tjeckien
Syfte:
Syftet med studien är att studera vilka matematiska erfarenheter som är nödvändiga i det första skolåret för att förbereda eleven för ett fortsatt lärande av
matematik
I artikeln studeras inlärningsuppgifter inom grundläggande taluppfattning
Urval/ datainsamling:
Två årskurs 1 klasser i en rysk och en polsk klass. Kvantitativa observationer av lektion och
videoinspelning av minst två av tre författare.
Resultat:
I denna artikel sammanfattas ett ramverk som beskriver grundläggande taluppfattning. Ramverket består av åtta komponenter. Studien kan användas som grund i undervisningen för att skapa en grundläggande taluppfattning.
Det gör även en utvärdering genom att pröva ramverket empiriskt på två lektioner, en polsk och en rysk, med användning av tallinje.
Resultatet visade att elever utvecklade sin
grundläggande taluppfattning med hjälp av fysiska tallinjer i båda lektionerna.
Författare
Fernando Barrera-Moraa, Aaron Reyes-Rodriguez Titel Fostering Middle School Students’ N umber Sense Through Contextualized Tasks Tidskrift Iejee (International electronic journal of elemantary education) vol 12 Publikationsår 2019, Mexico
Syfte:
Studiens syfte är att identifiera genom en undersökning hur elever i åk. 7-9 kan förbättra sin taluppfattning genom en kontext baserad uppgift.
Urval/ datainsamling:
24 elever, åk 7-9Kvalitativa observationer
Resultat:
I artikeln kom de fram till att situationsbundna uppgifter kan hjälpa elever att utveckla sin taluppfattning.
Författare
Gersten, R., B. Clarke, K. Haymond, & N. Jordan. Titel: Screening for Mathematics Difficulties in K–3 Students. Tidskrift Rapport från Center on instruction Publikationsår och land
2011, USA
Syfte:
Syftet är att identifiera elever F-3 som kämpar för att lära sig matematik under deras första skolåren och att utveckla tillförlitliga screeningåtgärder för dessa elever
