Malmö högskola
Lärarutbildningen
Natur, miljö, samhälle
Examensarbete
15 högskolepoäng
Matematik i konstruktivistisk anda
Konstruktivistiska tankar i styrdokumenten och i arbetssättet Matematik på talets grundsamt i några matematiklärares klassrum.
The constructivism and mathematics
Eva Bärring
Veronica Landström
Lärarexamen 210 högskolepoäng Matematik och lärande
Slutseminarium ex. 2008-01-15
Examinator: Per Jönsson Handledare: Mats Areskoug
3
Sammanfattning
Vi har undersökt hur konstruktivistiska tankar synliggörs i styrdokumenten och i arbetssättet Matematik på talets grund (MTG) samt i några matematiklärares
klassrum.
De metoder vi använt oss av för att få svar på vårt syfte och frågeställningar är komparativ textanalys och kvalitativa intervjuer. Vårt resultat visar att i
styrdokumenten syns konstruktivistiska tankar om kunskap och lärande tydligt. Vi kan också konstatera att MTG är ett konstruktivistiskt arbetssätt. När det gäller konstruktivismen i skolans verklighet, så visade vår undersökning att bl.a. tidsbrist och kollegors inställning försvårar den nyexaminerade matematiklärarens ambitioner att arbeta konstruktivistiskt. Läroboken tar allt för stor plats i deras undervisning, vilket hämmar ett konstruktivistiskt arbete.
Nyckelord:
Erfarenheter, förståelse, kommunikation, konstruktion, konstruktivism, konstruktivistisk undervisning, läroboken, språk.
5
Innehållsförteckning
1 Inledning... 7
2 Syfte och frågeställningar... 9
2.1 Syfte... 9
2.2 Frågeställningar ... 9
3 Metod... 10
3.1 Urval ... 11
3.2 Datainsamlingsmetoder och databearbetning ... 12
3.2.1 Textanalys... 12
3.2.2 Intervju... 14
3.3 Reliabilitet, validitet och generaliserbarhet ... 14
4 Litteraturgenomgång... 16
4.1 Konstruktivism ... 16
4.1.1 Historik/bakgrund ... 16
4.1.2. Kunskap och lärande... 17
4.1.3 Kommunikation – samtal – språk ... 18
4.1.4 Lärarrollen ... 19
4.1.5 Undervisning... 19
4.2 MTG - Matematik på talets grund ... 21
4.2.1 Bakgrund... 21 4.2.2 Inspiratörer/historik ... 22 4.2.3 Mål ... 23 4.2.4 Grundtankar ... 24 4.2.5 Planering ... 25 4.2.6 Klassrumsutrustning ... 25 4.2.7 Beskrivning av arbetssättet ... 25 4.3 Styrdokument... 27 4.3.1 Lpo94 ... 28 4.3.2 Kursplanen i matematik ... 29 5 Resultat... 32 5.1 Resultat textanalys ... 32
5.1.1 Grundtankarna i MTG och konstruktivism... 32
5.1.2 Processkedjorna ... 32
5.1.3 MTG – konstruktivistiska forskare ... 33
5.1.4 Sambanden mellan konstruktivistisk syn – Styrdokument – MTG ... 34
5.1.5 Sammanfattning ... 36
5.2 Resultat intervju... 37
5.2.1 Syn på undervisning... 38
5.2.2 Arbetssätt och planering ... 40
5.2.3 Förutsättningar och svårigheter - lärobokens roll ... 42
5.2.4 Kompletterande frågor ... 44
5.2.5 Sammanfattning ... 44
6 Diskussion och slutsatser... 48
7 Avslutning... 51
8 Referenslista... 52
7
1 Inledning
Konstruktivismen är, enligt Engström (1998) ett dominerande paradigm för hur man ser på lärande och undervisning och det är också det synsätt som vi fått med oss i vår utbildning. Vi vill i vårt examensarbete undersöka hur konstruktivistiska tankar kommer till uttryck i olika sammanhang: i skolans styrdokument, i arbetssättet MTG - Matematik
på talets grund, samt i några matematiklärares klassrum, där vi fokuserar på skolans tidigare del i grundskolan.
För att kunna arbeta konstruktivistiskt krävs det att läraren har en djup förståelse för den matematik som undervisningen gäller. Den konstruktivistiske läraren vet hur
matematiken kan presenteras på olika sätt och också att elever lär sig på olika sätt (Engström 1998).
Under vår utbildning har vi fått insikt i hur viktigt det är att eleverna får arbeta kreativt och samtala om matematiken för att få en djup förståelse, vilket också överensstämmer med ett konstruktivistiskt synsätt. Kursplanen i matematik pekar också på att
kommunikation och kreativitet är viktiga inslag i ämnet:
”Utbildningen i matematik skall ge eleven möjlighet att utöva och kommunicera matematik i meningsfulla och relevanta situationer i ett aktivt sökande efter förståelse, nya insikter och lösningar på problem…För att framgångsrikt kunna utöva matematik krävs en balans mellan kreativa, problemlösande aktiviteter och kunskaper om matematikens begrepp, metoder och uttrycksformer.”
(Skolverket, 2002:26)
Vår erfarenhet av undervisningen på våra partnerskolor stämmer inte överens med de tankar som präglar lärarutbildningen. Vi har inte mött något rent konstruktivistiskt sätt att arbeta på, utan oftast har vi sett den traditionella undervisningen där läroboken dominerar. Det är märkligt att man inte ser konstruktivistiska arbetssätt i praktiken, när dessa tankar funnits länge.
MTG är ett arbetssätt som utarbetades av Gudrun Malmer i början av 1980-talet. MTG bygger på en undervisning utan lärobok. Vi uppfattar MTG som ett inspirerande sätt att arbeta på, men frågan är om det motsvarar de konstruktivistiska tankarna om lärande
8
och om det stämmer överens med Lpo94 samt kursplanen i matematik? Från
lärarutbildningen examineras matematiklärare som får med sig ett konstruktivistiskt synsätt i bagaget. Vad kan det vara som gör att många av dem låter läroboken dominera och inte praktiserar den undervisning som de har fått i sin utbildning? Våra tankar och funderingar mynnade ut i en undersökning där konstruktivismen är central. Vi vill fördjupa oss i konstruktivismen och undersöka om ett läroboksobundet arbetssätt som MTG kan vara underlag i en konstruktivistisk undervisning och jämföra detta med styrdokumenten. Vi vill också se hur den konstruktivistiska undervisningen fungerar i verkligheten. Därför har vi valt att ta reda på, vad det är för faktorer som påverkar den konstruktivistiske matematikläraren när hon/han planerar sin undervisning. Resultatet kommer att visa olika perspektiv på konstruktivistisk undervisning med insikt om vilka förutsättningar och svårigheter det kan innebära att arbeta på detta sätt. Vårt arbete kommer också att ge oss goda förutsättningar för att kunna verka i en konstruktivistisk anda. Examensarbetets främsta syfte är just att fördjupa den egna kunskapen i läraryrket (Johansson & Svedner 2006).
9
2 Syfte och frågeställningar
2.1 Syfte
Syftet med föreliggande studie är att fördjupa oss i konstruktivismen och framförallt konstruktivistisk undervisning. Vi vill ta reda på hur konstruktivistiska tankar synliggörs på olika sätt när det gäller matematikundervisning. Därför har vi valt att undersöka hur konstruktivismen kommer till uttryck i styrdokumenten och i ett
läroboksobundet arbetssätt som MTG. Då vi av egna erfarenheter vet att det är svårt att få till stånd en konstruktivistisk undervisning, vill vi också skaffa oss kunskap om vad det är för faktorer som kan påverka upplägget i några nyexaminerade lärares
undervisning. Vi vill utreda hur lärarna uttrycker sitt konstruktivistiska synsätt, hur de arbetar och hur de planerar sin undervisning. Vi kommer också att undersöka deras inställning till läroboken och hur de arbetar med den.
2.2 Frågeställningar
Frågeställningarna lyder:
• Hur förhåller sig grundtankarna inom MTG, till den konstruktivistiska synen på kunskap och lärande som kommer till uttryck i styrdokumenten? • Vilka faktorer kan påverka några matematiklärare med konstruktivistiskt
10
3 Metod
För att kunna få svar på våra frågeställningar har vi valt att arbeta med textanalys och kvalitativa intervjuer som metoder.
Vi anser att textanalys är den metod som lämpar sig bäst och den enda metod som kan komma på fråga för att få svar på vår första frågeställning. Möjligen skulle metoden kunna kompletteras med intervjuer av författarna till litteraturen, men det blir svårt på ett så tidsbegränsat arbete. Vi kommer dock att försöka få kontakt med Malmer för att be henne kommentera resultatet av textanalysen som avser MTG. Genom att fördjupa oss i litteratur som rör konstruktivismen, MTG, samt styrdokumenten, kommer vi genom komparativ textanalys kunna finna samband och likheter.
Till vår andra frågeställning valde vi att göra kvalitativa intervjuer. I dessa intervjuer utgick vi ifrån fasta frågeområden. Frågorna var friare formulerade och varierades under intervjuerna utifrån de svar informanten gav (Johansson & Svedner 2006). Vi valde att utföra ett pilotfall samt att göra ljudupptagningar. Vår intervjurespondent till pilotfallet är utvald efter samma kriterier som övriga i undersökningsgruppen. Pilotfallet ledde till att vi gjorde några förändringar av våra frågor samt utökade antalet följdfrågor. Under intervjun upptäckte vi att det är viktigt att ge informanten tid för att kunna ge djupare svar.
Genom kvalitativa intervjuer kunde vi erhålla utförligare svar vilket var vår avsikt. Vi valde bort enkätmetoden eftersom informantens möjlighet till förklaringar begränsas. Med denna metod utvinns oftast korta och ytliga svar och den passar bättre vid kvantitativa undersökningar (Johansson & Svedner 2006). Varför vi inte valde
observationer som komplement till vår metod, var att vi ansåg att enstaka observationer av undervisningssituationer kan tillrättaläggas av läraren. Vi skulle heller inte få svar på deras tanke bakom undervisningen.
11
3.1 Urval
För att fördjupa oss i konstruktivismen har vi valt: Matematik och reflektion, Engström (1998) och Lära och undervisa i matematik, Boesen m.fl. (2006). Anledningen till att vi valde dessa källor är att de innehåller bidrag från många olika konstruktivistiska
forskare, vilket gav oss olika perspektiv. För att kunna granska styrdokumenten valde vi
Läroplanen, Skolverket (2004) samt Grundskolans kursplan i matematik, Skolverket (2002).
Till textanalysen av arbetssättet MTG föll det sig naturligt att välja litteratur som beskriver arbetssättet och författat av Gudrun Malmer. Textanalys innebär en noggrann närläsning, därför begränsades antalet böcker. Vi valde följande litteratur: Matematik på
talets grund, GUMA-projektet, rapport 6 Malmer (1984), Räkna med barn, Kronqvist & Malmer (1993). Vi har dock kompletterat med avsnitt från annan litteratur.
Eftersom syftet med vårt arbete bl.a. behandlar hur konstruktivismen kommer till uttryck i undervisningen, var det viktigt att i urvalet av informanter, hitta
matematiklärare som kan tänkas ha ett konstruktivistiskt synsätt. Vi ville finna
respondenter som hade en profil som liknande vår egen, för att få en inblick i vad som väntar oss som nyexaminerade matematiklärare. Därför ställde vi följande kriterier: Informanterna skall ha matematik och lärande som huvudämne, vara examinerade från lärarutbildningen på Malmö högskola tidigast HT-05, ha en konstruktivistisk syn på kunskap och lärande som synliggjorts i deras examensarbete, samt berört
läroboksoberoende matematikundervisning.Dessutom skall respondenterna ha undervisat i matematik i grundskolan efter sin examen. Efter att ha rådgjort med vår handledare kom vi fram till att fyra respondenter borde ge en mättnad i variation av svar, eftersom informanternas bakgrund var så lika. Vi förde en diskussion över att kunna göra generaliseringar beträffande innehållet i informanternas examensarbeten. Vi menade att om informanterna i sina examensarbeten uttryckt konstruktivistiska tankar, torde detta intressera dem och också vilja arbeta konstruktivistiskt. Således skulle de också kunna svara på vår sista frågeställning. Genom att söka i Malmö högskolas databas MUEP, fann vi 32 möjliga intervjupersoner. Studieadministrativa avdelningen
12
på Malmö högskola tillhandahöll telefonnummer till examensförfattarna, vilket gjorde att vi kunde kontakta dessa, för att utröna om de uppfyllde våra kriterier som
informanter.Vi fick ett stort bortfall p.g.a. olika orsaker som arbetsbrist, kortare vikariat eller föräldraledighet, vilket innebar att de inte uppfyllde kriterierna. De personer som var lämpade utifrån våra kriterier informerades om vårt syfte, samt om deras anonymitet i undersökningen. De personer som sedan blev utvalda fick intervjufrågorna sända till sig.
3.2 Datainsamlingsmetoder och databearbetning
3.2.1 Textanalys
Vi gjorde en komparativ textanalys som innebär kritisk närläsning av litteraturen, där vi strök under, antecknade, diskuterade och formulerade frågor till texterna (Bil. 1). Den komparativa textanalysens syfte var att jämföra olika texter för att undersöka likheter och skillnader (Hellspong 2001).
För att kunna svara på vår första frågeställning gick vi tillväga enligt följande:
1. Analys av vad som kännetecknar konstruktivistisk syn på kunskap och lärande. 2. Analys av styrdokumenten för att reda ut vad som är konstruktivistiskt uttryckt i
dem.
3. Analys av MTG för att reda ut vilka grundtankarna är.
4. Analys för att reda ut sambanden mellan grundtankarna i MTG och konstruktivistisk syn på kunskap och lärande, som kommer till uttryck i styrdokumenten.
13 MTG
Konstruktivism Styrdokument Figur 1: Samband mellan begrepp som analyseras under frågeställning 1.
Då syftet är att undersöka konstruktivistisk undervisning, måste vi utreda förhållandet mellan konstruktivismen och styrdokumenten. Dessutom måste vi utreda huruvida MTG är ett konstruktivistiskt arbetssätt och hur grundtankarna stämmer överens med styrdokumenten.
Resultaten av de tre första analyserna är redovisade i form av sammanfattningar och resonemang kring ämnena. Vi har valt att redovisa dem i litteraturgenomgången för att läsaren ska få en inblick i vad som kännetecknar konstruktivismen, MTG och vad i styrdokumenten som är konstruktivistiska tankar. Denna förförståelse behövs för att kunna sätta sig in i själva frågeställningen: Hur förhåller sig grundtankarna inom MTG, till den konstruktivistiska synen på kunskap och lärande som kommer till uttryck i styrdokumenten?
Resultaten går att finna på följande ställen i arbetet: analyserna i punkt 1 – 3 finner man i litteraturgenomgången och resultatet av punkt 4 redovisar vi i resultatavsnittet under rubriken 5.1 Resultat textanalys.
14
3.2.2 Intervju
Våra intervjufrågor (se bil. 2) är kopplade till vår andra frågeställning. Vi har valt att presentera de frågor som är direkt kopplade till frågeställningen under resultatavsnittet. Som komplement till dessa har vi även följdfrågor(se bil. 3). Vi har valt att gruppera frågorna på följande vis:
• Syn på undervisning • Arbetssätt och planering
• Förutsättningar och svårigheter - lärobokens roll • Kompletterande frågor
Intervjuerna inleddes med en kort presentation av oss. Vi gav information om, att vi har läst delar av deras examensarbete, vårt syfte, vår roll som intervjuare samt etiska
aspekter (se bil. 4). Varje intervjutillfälle varade ca 45 minuter, varav 30 minuter till själva intervjun. Under intervjuerna ämnade vi förhålla oss opartiska och inneha en objektiv roll. För att vara säkra på att vi uppfattat informanternas svar rätt, behövde vi vid ett par tillfällen kommentera eller återberätta det som respondenten sagt. Vi valde att låta samma person intervjua samtliga informanter, samtidigt antecknade den andra av oss ned svaren på en dator (Rehn 2007). Vi gjorde även bandupptagningar via en MP3-spelare. Efter hand transkriberades bandinspelningarna och härifrån valde vi ut de svar och citat som var relevanta för undersökningen. Därefter läste vi åter igenom svaren, analyserade, grupperade samt bestämde oss för hur vi skulle presentera resultatet.
3.3 Reliabilitet, validitet och generaliserbarhet
I vårt arbete är textanalysen och intervjuerna våra instrument (Johansson & Svedner 2006). Det finns olika faktorer som kan påverka tillförlitligheten. Vi är medvetna om att det kan vara svårt att förhålla sig helt objektiv i undersökningarna. Förväntningar och värderingar på svaret samt på vilket sätt en fråga ställs, kan påverka och styra, men också hur vi tolkar svaren och texterna i vår textanalys. Under våra intervjuer valde vi därför att låta samma person av oss ställa samtliga frågor under intervjuerna och kunde
15
studera informanten och därmed lättare göra tolkningar gällande ärlighet i svaren (Johansson & Svedner 2006). För att öka reliabiliteten jämförde vi anteckningar med ljudupptagningarna.
Efter noga övervägande valde vi att skicka intervjufrågorna till informanterna innan intervjutillfället. Fördelen var att de kunde tänka igenom sina svar i lugn och ro. Nackdelen var att vi kunde få svar som var tillrättalagda. Vi ansåg att i just vårt fall hade intervjupersonerna en klar åsikt om ämnet redan innan vi kontaktade dem. Vi är även medvetna om att informanternas uttalade uppfattningar inte alltid behöver stämma överens med deras egentliga sätt att undervisa (Pehkonen 2001). En svaghet med kvalitativa intervjuer är, att resultaten från få individer inte behöver vara representativt.
16
4 Litteraturgenomgång
4.1 Konstruktivism
4.1.1 Historik/bakgrund
Enligt Engström (1998) är det genom Piagets inflytande som konstruktivismen har blivit den dominerande teoretiska strömningen inom matematikdidaktiken, både som
forskningsfält och kunskapsområde. Konstruktivismen är dock bara ett sätt att se på kunskap, lärande och undervisning och kan inte representera det enda korrekta perspektivet. Matematikdidaktiska frågor har fått stort förklaringsvärde genom konstruktivistiska forskares idéer och teorier. Den konstruktivism som har vuxit fram under de senaste 20 åren har en del gemensamt med 1960-talets reformrörelse. Denna reformrörelse hämtade bl.a. idéer från Piagets utvecklingspsykologi men också från Jerome Bruner, William Kilpatrickk och John Dewey som ville introducera eleverna i vetenskapens värld. Man ville förändra den föråldrade undervisningen mot en mer förståelseinriktad. För skolmatematikens del hörde mängdläran till de mest
uppmärksammade förändringarna.
Engström (1998) skriver att reformrörelsens ”nya matematik” med bl.a. mängdläran gjorde sitt intåg i Sverige på 1970-talet. I vårt arbete är det värt att notera att det var också då som Leimar (1974) utarbetade sitt nya arbetssätt för läsinlärning: LTG. 1980 fick svenska elever nedslående resultat på Second International Mathematics Study, SIMS och det startades en intensiv diskussion bland svenska lärare och lärarutbildare kring innehållet i våra kursplaner i matematik (Engström 1998). Året efter påbörjades GUMA-projektet vars arbetssätt kom att kallas MTG, matematik på talets grund.
Piaget presenterade på 1970-talet sina framtidsvisioner för undervisningen i
grundskolan och i lärarutbildningen. Han ville att skolan skulle låta eleverna aktivt få utforska och upptäcka på egen hand. Läraren borde sluta att vara föreläsare och istället bli en inspiratör och handledare (Kärre 1976).
17
Tanken bakom 1960-talets reformrörelse var god men ”den nya matematiken” utsattes för omfattande kritik för en överdriven formalisering. På 1980-talet börjar de
konstruktivistiska tankarna formas utifrån en kunskapsteoretisk position som framförallt riktat kritik åt inlärningen som en förmedling av given kunskap. Konstruktivismens kunskapsteoretiska antagande bygger på hur människor konstruerar vår värld. Det finns olika konstruktivistiska riktningar såsom exempelvis radikal konstruktivism eller social konstruktivism. Skillnaden mellan den radikala och den sociala riktningen kan förenklat beskrivas som att ansatsen tar utgångspunkt i Piagets teorier som är begränsade till ett individuellt perspektiv, eller med sociala och kulturella perspektiv som i Vygotskijs teorier (Engström 1998).
4.1.2. Kunskap och lärande
I detta avsnitt redovisar vi grundtankarna bakom konstruktivistisk syn på kunskap och lärande. Konstruktivismen är det centrala i vår undersökning och därför har vi
analyserat de två begreppen: kunskap och lärande i ett konstruktivistiskt perspektiv. Våra begreppsförklaringar utgår från konstruktivistiska forskare som Bauerfeld (1998), Engström (1998), Ernest (1998) och Carolyn Maher (1998). Vi har analyserat artiklar där de redogör för sin och andras syn på konstruktivism och vad som kan kallas konstruktivistisk undervisning.
Ernest (1998) skriver att konstruktivismens ledande företrädare Ernst von Glaserfeld uttrycker konstruktivismens första princip som att kunskap inte mottas passivt utan konstrueras aktivt av det lärande subjektet. Han menar att erfarenheter blir begripliga genom meningsskapande och tolkningar. Förståelsens byggstenar är produkter av tidigare konstruktioner. Förståelsen blir därför individuellt och personligt.Maher (1998) uttrycker sig på liknande sätt nämligen att kunskap är som en byggnadsprocess där råmaterialet är individens tidigare erfarenheter.
Bauersfeld (1998) skriver om lärande att vi inte kan överta någon annans kunnande utan inlärning är en individuell konstruktion som utformas i mötet med omgivningen.
18
klassrumskulturen måste stimulera det personliga konstruerandet och förmå eleverna till uppgörelser, anpassning och korrigering.
En konstruktivistisk syn på lärandet, en syn som bygger på att barn utvecklar kunskap genom erfarenheter och genom att handskas med kunskap, ligger i linje med läroplanen. Eleven är aktivt involverad i sin egen lärandeprocess och läraren uppmuntrar samtal, diskussioner, samarbete och experiment där man angriper problem på olika sätt Engström (1998). Vi kan konstatera att Bauersfeld (1998) inte nämner elevernas erfarenheter men indirekt gör han det genom att uttrycka lärandet som en individuell konstruktion som utformas i mötet med omgivningen. Maher (1998) däremot menar att den nya kunskapen måste bygga på de erfarenheter som redan finns. Engström (1998) formulerar sig som att förståelse bäst byggs upp genom en matematisering av konkreta situationer, utifrån gemensamma sociala erfarenheter.
Som en sammanfattning av dessa konstruktivistiska forskares syn på kunskap och
lärande, har vi samlat fyra nyckelord: ERFARENHETER – KONSTRUKTION – KOMMUNIKATION - FÖRSTÅELSE. De här nyckelorden kan sägas vara en koncentrerad form av konstruktivistisk syn på kunskap och lärande. Man kan också tänka sig orden som i en processkedja. Vi menar att ERFARENHETERNA används till KONSTRUKTIONEN, d.v.s. då eleven konstruerar sin kunskap. Eleven måste
KOMMUNICERA om sina upptäckter för att skapa sig FÖRSTÅELSE. Med en
processkedja menar vi att begreppen är beroende av varandra och går hand i hand för att nå till det sista begreppet: förståelse. Nyckelorden/processkedjan kommer att ha stor betydelse i resten av vårt arbete, då vi kommer att använda den för att göra jämförelser.
4.1.3 Kommunikation – samtal – språk
Maher (1998) har varit delaktig i en tioårig studie över barns tänkande grundat på en viss filosofi om hur barn skapar sig matematiska idéer. Stor uppmärksamhet har ägnats åt hur barnen talar till varandra och till läraren. Hon betonar vikten av kommunikation, klassrumsmiljö och utvecklandet av idéer i undervisningen. Maher menar att centralt i konstruktivistisk undervisning är att uppmuntra barnen att utveckla sina idéer och att sörja för att de kommunicerar om dem. Klassrumskommunikation kan vara ett effektivt
19
instrument för att väcka elevernas intresse för matematik. Det kräver att eleverna lyssnar på andras idéer och inbjuder andra i diskussionen. Den konstruktivistiske lärarens utmaning är att ta reda på vad som underlättar konversationen och att organisera verksamheten så att detta blir möjligt. Engström (1998) uttrycker det på följande vis: ”Genom språket gör eleverna sina erfarenheter begripliga och lärandet sker när de formulerar sina tankar för andra.”
4.1.4 Lärarrollen
Maher (1998) har efter att ha analyserat lärarens beteende, redogjort för vad som kännetecknar den konstruktivistiske läraren. Det är en lärare som tillhandahåller erfarenheter utifrån vilka eleverna kan bygga upp mentala bilder som kan användas för att bygga upp matematiska idéer. Den konstruktivistiske läraren uppmuntrar eleverna att understödja idéer med lämpliga argument, såväl värderar som bedömer elevernas idéer och lyssnar på hur de förklaras. Atmosfären i klassrummet ska främja utbytet av idéer och grupparbeten måste vara lätta att organisera. Andra uppgifter för läraren är att uppmuntra till jämförelser av olika föreställningar mellan elever och elever och därtill även mellan elever och lärare, genom att ställa frågor som leder till en djupare förståelse för likheter och olikheter. Läraren måste också hålla diskussionen öppen för inlägg och kunna gå tillbaka till olika idéer under ihållande perioder. Eleverna ska också
uppmuntras till att göra generaliseringar och utvidgningar om ämnet.
4.1.5 Undervisning
Maher (1998) betonar vikten av god klassrumsmiljö och utvecklandet av idéer i undervisningen. Även Bauersfeld (1998) anser att inlärningsmiljön och
klassrumskulturen måste stimulera det personliga konstruerandet och förmå eleverna till uppgörelser, anpassning och korrigering.
Boaler (1993) redogör för betydelsen av kontexten i matematikundervisningen. Hon definierar kontext som själva innehållet i situationen. Boaler menar att eleverna har svårt att relatera verkligheten till matematikundervisningen. Ett problem är att ”verkligheten” oftast är hämtad från de vuxnas vardag. I de fallen blir den vardagliga kontexten istället
20
ett hinder. Om kontexten kopplas till elevernas sociala och kulturella värderingar, finner de en erfarenhet som de lättare kan översätta och på så sätt koppla skolmatematiken till verkligheten. Författaren ger exempel som att introducera med en öppen fråga och låta eleverna vara med och påverka innehållet. Ett annat exempel är fokusera på elevernas aktiviteter.
För att kunna utöva en konstruktivistisk undervisning krävs att läraren har en djup förståelse för den matematik som undervisningen gäller, en förståelse för vilka
svårigheter eleverna kan ha, hur matematiken kan presenteras på olika sätt och att elever lär sig på olika sätt Engström (1998).
Vi har gjort ett urval av Engströms (1998) sammanfattning på vad som kännetecknar en konstruktivistisk undervisning utifrån olika författares åsikter. Dessa författare
representerar ett brett spektrum av konstruktivistiska forskare och deras uppfattning om undervisning är återgivna som följer:
En konstruktivistisk undervisning
• utgår från en uppfattning att eleven använder det hon redan vet för att utveckla egna hållfasta lösningar
• Stimulerar eleverna till att reflektera över sina matematiska upptäckter
• Ger ett stort utrymme åt matematiska laborationer som ger eleverna möjlighet att konstruera sin egen matematik
• Kännetecknas av ett stort inslag av gruppdiskussioner där eleverna utvecklar sin förmåga att motivera och argumentera för sina tankar men också bryta sina uppfattningar mot andras
• Elevernas egna frågeställningar och sätt att formulera problem uppmärksammas och man ser lärandet som en problemlösande aktivitet
• Förankras i elevernas verklighet
• Ger stort utrymme åt kreativa aktiviteter där processen är viktigare än att leta efter ett givet svar
• Lägger fram problemlösande aktiviteter som är öppna • Ser matematik som kulturell och social yttring
21
• Ger eleverna möjlighet att bygga upp sin egen matematik. Symboler och algoritmer byggs upp efterhand allteftersom eleverna spontant finner lösningar och formaliseras därefter.
4.2 MTG - Matematik på talets grund
4.2.1 Bakgrund
Malmer (1984) har under många år ägnat ett stort intresse åt innehållet i och utformningen av matematikundervisningen. Hon har också varit med om olika
läroplaner som avlöst varandra och ställt sig frågan: varför det inte sker någon verklig förnyelse av arbetssättet i matematik?
Malmer (1993) menar att i samband med Lgr 69 skedde det en överintellektualisering i och med Matematiksupplementets detaljreglering av stoffet. Det blev experternas läroplan och många lärare kände sig inkompetenta, vilket medförde åtskilliga negativa konsekvenser för matematikundervisningen. Läroboken tog allt mer över rollen som styrinstrument. Malmer hävdar att det inte går att följa ett och samma läromedel i en klass med en normal spridning om man ska tillämpa ett elevcentrerat arbetssätt.
Med Lgr 80 kom riktlinjer att:
”undervisningen i matematik skall utgå från elevernas erfarenheter och behov och förbereda dem för rollen som vuxna medborgare. Eleverna skall därför i första hand skaffa sig god förmåga att lösa sådana matematiska problem som vanligen förekommer i vardagslivet.” (Lgr 80 s.98)
Malmer (1993) skriver att det var märkligt med hänsyn till den nya läroplanen att matematikundervisningen snarare var på väg mot en mer traditionell undervisning där färdighetsträningen dominerade.
Under våren 1981 fick Malmer (1993) kontakt med en grupp lärare på Gullviksskolan i Malmö, som sedan några år tillbaka arbetat enligt Leimars LTG-metod som innebär en
22
läsinlärningsmetod där man utgår ifrån elevernas erfarenheter. Lärarna ville arbeta på ett mer elevcentrerat sätt även i matematik. Malmer hade länge önskat att få tillämpa alternativa arbetsformer i matematik och praktiskt få omsätta teorin om matematik på
talets grund. Hon föreslog lärarna att de tillsammans skulle starta ett projekt där man skulle planera en matematikundervisning utan lärobok och efter ett omfattande planeringsarbete startades GUMA-projektet som varade i tre år. I projektet deltog tre parallellklasser som under år 1-3 tillämpade ett LTG inspirerat arbetssätt som kom att rubriceras som Matematik på talets grund – MTG. Projektet utfördes på
GUllviksskolan i Malmö, därav namnet. Tre parallellklasser, år 1 med deras lärare samt speciallärare och modersmålslärare deltog i projektet. De lärare som redan arbetade med LTG menade att det fanns flera fördelar med att vara förtrogna med ett liknande
arbetssätt, dels för egen räkning men också för eleverna som skulle komma att känna igen sig och känna sig tryggare.
4.2.2 Inspiratörer/historik
En person som Malmer (1993) tagit starkt intryck av är Anna Kruse. Hon är författare till Åskådningsmatematik som utkom 1914. Malmer skriver att hon fascineras av den helhetssyn som Kruse ger uttryck för och Malmer har citerat Kruse i flera av sina
böcker. Kruse påpekar att eleverna måste göra sina egna upptäckter, bilda egna mönster, ritningar och problem för att bli rustade för framtidens självständiga arbete. Hon menar också att läraren ska inte bara ge barnet kunskap utan ge barnet medel till förvärvande av logiskt tänkande. Dessa tankar menar Malmer skulle kunna vara dagsaktuella och jämför dem med läroplanen.
Malmer (1990) menar att både Vygotskij och Piaget bildat skola inom
utvecklingspsykologin. De har olika sätt att se på språkets utveckling. Språkets stora betydelse för matematiken kan inte nog framhållas. Piaget hävdar att tänkandet föregår språket medan Vygotskij uttrycker sig som att språket är ett kommunikationsmedel och bärare av den kunskap och de erfarenheter som mänskligheten utvecklat. Han menar att förhållandet mellan tanke och ord är en levande process. En tanke som omsätts i ett språk omstruktureras och förändras. Malmer ställer sig frågan om termen ”tänkande” har olika innebörd för de båda forskarna.
23
Leimar (1974) utvecklade på 1970-talet en läsinlärningsmetod som kallas LTG –
läsinlärning på talets grund. Leimars tankar och idéer ligger till stor del grund för MTG. Malmer (1990) skriver att de tankar som de presenterade i samband med MTG uppfattas idag som nya och progressiva när de i själva verket redan hade presenterats på 1970-talet. Hon menar att det är intressant att fråga sig varför tankarna inte beaktats i större omfattning.
4.2.3 Mål med GUMA-projektet
Två av huvudfrågorna bakom GUMA-projektet var:
• Hur ska vi kunna medverka till att eleverna tillägnar sig matematiska kunskaper i relation till deras individuella förutsättningar?
• Hur ska skolan skapa undervisningssituationer så att barnens erfarenheter och kreativitet utnyttjas?
Dessa frågor anknöt till den då helt nya läroplanen Lgr 80. I likhet med arbetssättet LTG, Leimar (1974)som är ett analytiskt arbetssätt, ville man bygga upp den matematiska begreppsbildningen på de erfarenheter som barnen hade med sig till skolan. Viktigt i arbetssättet är att innehållet prioriteras före formen. Projektet var ett försök att pröva ett mer elevcentrerat arbetssätt i matematik.
En viktig målsättning skriver Malmer (1993), var att bryta det starka beroendet av en gemensam lärobok, då hon ansåg att den skulle ha alltför styrande effekt på stoff och ordningsföljd. Författaren menar också att läroböckerna passiviserar läraren eftersom lärarhandledningen påverkar hela den metodiska framställningen. Det går inte heller att ha en gemensam lärobok om man ska ta hänsyn till alla elevernas olika förutsättningar. Däremot anser hon, att läroboken kan används för färdighetsträning.
24
4.2.4 Grundtankar
I detta avsnitt redovisar vi resultatet av textanalysen rörande grundtankarna bakom MTG. I vår analys har det framkommit att den kunskapssyn som Malmer (1993) och deltagarna i projektet företrädde, beskrivs som ett analytiskt synsätt där man fäste stor vikt vid helheten, innehållet och processen. Malmer skriver att med ett analytiskt synsätt blir matematiken naturligt en integrerad färdighet och ingår som en del i ”processen omvärldsorientering”.
Resultatet av textanalysen visar att grundtankarna bakom arbetssättet kan sammanfattas i den processkedjan som beskrivs nedan. I ett samtal med Malmer (2007), bekräftade hon att vi har kommit fram till rätt resultat men ville komplettera med begreppet
förståelse som ett femte nyckelord i grundtankarna. Hon menade att det elementära är att eleverna, speciellt i de första åren i skolan, utvecklar en förståelse för vad de gör. Skemp (1976) redogör för vad det innebär att förstå matematik. Han delar in begreppet
förståelse i två kategorier: instrumentell och relationell förståelse. Han beskriver den instrumentella förståelsen som något man lär sig utantill, utan att förstå varför och
relationell förståelse, då man vet vad man gör, hur man gör och varför.
Malmer (1993) skriver att det föregick ett omfattande planeringsarbete innan de formulerade en projektbeskrivning. Projektbeskrivningen blev till en processkedja där nyckelorden är: TANKE – HANDLING – SPRÅK – SYMBOLER. (Efter samtal 2007-12-17 kompletterar Malmer med ett femte nyckelord) – FÖRSTÅELSE.
• TANKE. Elevernas erfarenheter tas fram och utnyttjas. Undervisningen måste formas så att nya erfarenheter görs.
• HANDLING. Man utgår från verkligheten i möjligaste mån och utnyttjar barnens kreativitet.
• SPRÅK. Den verbala kommunikationen utnyttjas för att beskriva den verklighet som barnen redan bearbetat. Eleverna måste utveckla sin språkliga
uttrycksförmåga.
• SYMBOLER. Det matematiska symbolspråket införs efter att begreppen blivit förankrade.
25 • FÖRSTÅELSE. Målet med processkedjan.
Begreppen i processkedjan har givit namn åt de fyra steg som återkommer i
arbetsbeskrivningen. Processkedjan är en parallell till tankarna bakom LTG, menar Kronqvist (1993) som deltog i projektet. Då processkedjan är en sammanfattning av grundtankarna kommer vi att använda den i resultatavsnittet då vi ska analysera hur grundtankarna förhåller sig till styrdokumenten.
4.2.5 Planering
Om uppdraget i matematik kan man läsa i skollagen och i läroplanen och det är utifrån dessa styrdokument som man måste utgå ifrån i sin planering. Kronqvist (1993) skriver att han ville visa att det går att lägga upp sin planering direkt efter styrdokumenten. Då man hade bestämt sig för att inte använda någon lärobok i GUMA-projektet, krävdes ett omfattande planeringsarbete men också en hel del prefabricerat material. Kronkvist (1993) menar att i arbete utan lärobok är det mycket viktigt att skapa en helhet för upplägget av undervisningen med en strukturerar planering. Han betonar starkt att en planering måste ses som preliminär och när helst kunna justeras.
4.2.6 Klassrumsutrustning
Till klassrumsutrustningen hör en mängd laborativa hjälpmedel som plockmaterial, vardagsmaterial, skolans laborativa materiel, egentillverkade hjälpmedel och olika spel. Kronqvist (1993) har också det han kallar bänkböcker d.v.s. läromedelsböcker av olika slag som han samlat på sig och låter eleverna arbeta i ibland efter behov.
4.2.7 Beskrivning av arbetssättet
Malmer (1993) beskriver arbetssättet som elevcentrerat, undersökande och laborativt samt problemorienterat. Hon ser matematiken som ett språk. För att kunna
kommunicera behövs ordförråd och grammatiska kunskaper. Talen i olika valörer blir som ett slags ordförråd och räknelagarna som styr de matematiska relationerna hänför hon till grammatiken.
26
Hon skriver att upplägget med processkedjan TANKE – HANDLING – SPRÅK - SYMBOLER –FÖRSTÅELSE syftar till att barnen från skolstarten ska stimuleras att utnyttja gjorda erfarenheter för att bygga upp den matematiska begreppsbildningen.
1. TANKE
Gemensamma upplevelser blir utgångspunkt för inlärning. Det kan vara att samlas kring en bild eller att undersöka något i naturen. Barnen får med ord, bild eller handling möjlighet att förmedla sina erfarenheter. De barn som inte har någon erfarenhet av de aktuella begreppen måste få tillfälle att erövra dem.
Elevernas gemensamma ordförråd med eventuellt tillskott ifrån läraren ger övning i deras förmåga att verbalt kategorisera samt utveckla begreppsbildning. Eleverna får här möjlighet att tänka, tala och lyssna. Gruppdynamiken ger gynnsamma inlärningseffekter i form av språkutveckling. Samtalet som är den inledande fasen i ett arbetsområde är lagom i grupper om 7 – 12 elever.
2. HANDLING
I denna fas får barnen möjlighet att undersöka och upptäcka. Här nyttjas barnens kreativitet och utgår i mesta möjliga mån från verkligheten, men i utvecklingen mot abstraktion behövs också bild- och laborationsmaterial. I detta steg är det viktigt att bygga på det barnen redan kan och vidareutveckla det. Det är pedagogens uppgift att stimulera eleverna till matematiska samtal och se till att de erövrar ny kunskap. Det är viktigt är att känna till elevernas individuella möjligheter så att man kan dela in dem i grupper eller i par där diskussionerna kan bli så givande som möjligt.
3. SPRÅK
En god språkutveckling är en förutsättning för en matematisk begreppsbildning. Har eleverna ett alltför begränsat ordförråd utgör det ett hinder för att bygga upp nya matematiska begrepp. Det tredje steget innehåller den verbala kommunikationen och används för att beskriva den verklighet som barnen redan bearbetat.
27 4. SYMBOLER
I det sista steget kan eleverna med hjälp av siffror och symboler skriva ner det de vill berätta om. Det blir en översättning av hela berättelsen till sifferexempel. Malmer (1993) nämner återkommande att det är viktigt att begreppen blivit väl förankrade innan den formella matematiken införs. I denna fas kan arbetet vara helt individuellt eller i små grupper. Det kan vara att redovisa i bild, skrift, genom drama eller på det
matematiska symbolspråket. Det kan också vara att arbeta med prefabricerat material i form av kvalitativa eller kvantitativa uppgifter eller stenciler som i viss mån kom att utgöra ett diagnostiskt hjälpmedel.
5. FÖRSTÅELSE
Detta är inte ett steg i arbetsgången utan bara ett begrepp som Malmer (2007) ville lägga till processkedjan.
4.3 Styrdokument
I en av våra frågeställningar ska vi undersöka hur MTG förhåller sig till den konstruktivistiska synen på kunskap och lärande som kommer till uttryck i
styrdokumenten. Som en del i denna frågeställning måste vi undersöka vad det är i styrdokumenten som kan sägas vara konstruktivistiska tankar. Engström (1998) menar att den konstruktivistiska synen på lärandet ligger i linje med läroplanen. Också Stedøy, (2006) konstaterar att det konstruktivistiska synsättet genomsyrar de nationella
kursplanerna i matematik i de nordiska länderna. Utifrån vår tolkning av hur
konstruktivismen blir synlig i styrdokumenten, har vi valt att göra utdrag av läroplanen och kursplanen i matematik. Nedan följer en redovisning av den komparativa
textanalysen där vi motiverar vad som kan anses vara konstruktivistiska synen på undervisning. Vi har också valt att nämna de nyckelord vi fann i konstruktivistisk syn på kunskap och lärande när de återkommer i styrdokumenten: ERFARENHETER – KONSTRUKTION – KOMMUNIKATION - FÖRSTÅELSE.
28
4.3.1 Lpo94
I avsnittet om skolans uppdrag kan man läsa att:
”Gemensamma erfarenheter och den sociala och kulturella värld som skolan utgör skapar utrymme och förutsättningar för ett lärande och utveckling där olika
kunskapsformer är delar av en helhet.” – Denna mening överensstämmer med en av Engströms (1998) sammanfattade punkter på vad som kännetecknar konstruktivistisk undervisning där han ser matematik som kulturell och social yttring. Nyckelord: Erfarenheter.
Ett annat avsnitt är ”Kunskaper”, där står det:
”Utforskande, nyfikenhet och lust att lära skall utgöra en grund för undervisningen.” – Denna punkt överensstämmer också med Engströms (1998) sammanfattade punkter på vad som kännetecknar konstruktivistisk undervisning, där en av dem innehåller vikten av att ge ett stort utrymme åt matematiska laborationer, läraren bör ge eleverna
möjlighet att konstruera sin egen matematik samt se till att undervisningen förankras i elevernas verklighet. Nyckelord: Konstruktion.
I ”Mål att sträva mot” kan man läsa:
”Skolan skall sträva efter att varje elev
• utvecklar nyfikenhet och lust att lära”, se ovan.
• ”utvecklar sitt eget sätt att lära,” – sammankopplas med Engström (1998) som menar att en konstruktivistisk undervisning kännetecknas av att den utgår från en uppfattning att eleven använder det hon redan vet för att utveckla egna hållfasta lösningar
• ”utvecklar tillit till sin egen förmåga,” - se föregående punkt som leder till tilltro till den egna förmågan.
• ”lär sig att utforska, lära och arbeta både självständigt och tillsammans med
29
– sammankopplas med Engström (1998) som menar att den konstruktivistiska undervisningen ger stort utrymme åt matematiska laborationer och grupparbeten. Nyckelord: Erfarenheter och konstruktion.
• ”lär sig lyssna, diskutera, argumentera och använda sina kunskaper som
redskap för att
- formulera och pröva antaganden och problem,
reflektera över erfarenheter” - se Maher (1998) i punkten ovan som också deklarerar att den konstruktivistiska läraren uppmuntrar till diskussioner och reflektioner samt
tillhandahåller erfarenheter. Nyckelord: Erfarenheter och kommunikation.
4.3.2 Kursplanen i matematik
I avsnittet ”ämnets syfte och roll i utbildningen” står det att läsa:
”Utbildningen syftar till att utveckla elevens intresse för matematik och möjligheter att kommunicera med matematikens språk och uttrycksformer.” - Detta överensstämmer med Mahers (1998) tankar då hon menar att centralt i konstruktivistisk undervisning är kommunikationen. Engström (1998) uttrycker det på följande vis: ”Genom språket gör eleverna sina erfarenheter begripliga och lärandet sker när de formulerar sina tankar för andra.” Nyckelord: kommunikation.
”Utbildningen i matematik skall ge eleven möjlighet att utöva och kommunicera matematik i meningsfulla och relevanta situationer i ett aktivt och öppet sökande efter förståelse, nya insikter och lösningar på olika problem.” - Maher (1998) menar förutom att kommunikationen är centralt i konstruktivistisk undervisning, så uppmuntrar den konstruktivistiska läraren till diskussioner och reflektioner samt tillhandahåller erfarenheter. Nyckelord: kommunikation.
”Ämnets karaktär och uppbyggnad” är ett annat avsnitt, där står det:
”För att framgångsrikt kunna utöva matematik krävs en balans mellan kreativa, problemlösande aktiviteter och kunskaper om matematikens begrepp, metoder och uttrycksformer. Detta gäller alla elever, såväl de som är i behov av särskilt stöd
30
som elever i behov av särskilda utmaningar.” - Denna punkt överensstämmer
också med Engströms (1998) sammanfattade punkter på vad som kännetecknar konstruktivistisk undervisning, där en av dem innehåller vikten av att ge ett stort utrymme åt matematiska laborationer, vidare att läraren ger eleverna möjlighet att konstruera sin egen matematik samt se till att undervisningen förankras i elevernas verklighet. Nyckelord: Konstruktion och kommunikation.
Under avsnittet ”Mål att sträva mot” fann vi:
”Skolan skall i sin undervisning i matematik sträva efter att eleven – utvecklar intresse för matematik samt tilltro till det egna tänkandet och den egna förmågan att lära sig matematik och att använda matematik i olika situationer,
– utvecklar sin förmåga att förstå, föra och använda logiska resonemang, dra slutsatser och generalisera samt muntligt och skriftligt förklara och argumentera för sitt tänkande,
– utvecklar sin förmåga att formulera, gestalta och lösa problem med hjälp av matematik, samt tolka, jämföra och värdera lösningarna i förhållande till den ursprungliga problemsituationen,”
Dessa mål överensstämmer med Engströms (1998) sammanfattade punkter på vad som kännetecknar konstruktivistisk undervisning, där han förklarar att undervisningen måste utgå från elevernas förkunskaper och låta dem utveckla och reflektera över sina egna matematiska upptäckter, idéer och lösningar. En konstruktivistisk undervisning kännetecknas också av ett stort inslag av gruppdiskussioner där eleverna får argumentera för sina tankar men också bryta sina uppfattningar mot andras uppfattningar. Man ser lärandet som en problemlösande aktivitet. Nyckelord: Erfarenheter, konstruktion och kommunikation.
Som sammanfattning av analysen ovan, där vi gjort utdrag ur styrdokumenten och kopplat samman med olika konstruktivistiska forskares åsikter, samt med de
31
konstruktivistiska nyckelorden, kan vi konstatera att det finns åtskilliga konstruktivistiska uttryck i både Lpo94 och i kursplanen i matematik.
32
5 Resultat
5.1 Resultat textanalys
5.1.1 Grundtankarna i MTG och konstruktivism
För att utreda om MTG kan kallas för ett konstruktivistiskt arbetssätt, måste vi undersöka sambanden mellan grundtankarna och en konstruktivistisk syn på kunskap och lärande. Processkedjan innehåller begreppen som är centrala i MTG och som är grundtankarna bakom arbetssättet. Begreppet förståelse har vi lagt till i efterhand, efter att ha samtalat med Malmer (2007). Nedan följer en redovisning av sambanden mellan grundtankarna i MTG och den konstruktivistiska synen på kunskap och lärande som vi har funnit i analysen:
5.1.2 Processkedjorna
Vi börjar med att jämföra nyckelorden i MTG.s grundtankar med de konstruktivistiska nyckelorden.
MTG:s nyckelord: TANKE (erfarenheterna)– HANDLING (verkligheten, kreativiteten)– SPRÅK (kommunikationen) – SYMBOLER – FÖRSTÅELSE
Konstruktivistiska nyckelord: ERFARENHETER – KONSTRUKTION – KOMMUNIKATION – FÖRSTÅELSE
Som synes är dessa kedjor i stort sett identiska med samma tankegång om hur man når FÖRSTÅELSE. Malmer (1993) harockså begreppet SYMBOLER i sin processkedja, vilket är ett viktigt steg i hennes arbetsbeskrivning. Om man ser på processkedjorna skulle symboler kunna ingå i begreppet språk eftersom det är en uttrycksform.
33
5.1.3 MTG – konstruktivistiska forskare
Nedan jämför vi nyckelorden i MTG med konstruktivistiska forskares uppfattningar kring kunskap och lärande.
TANKE (erfarenheterna):
I vår analys fann vi att Engström (1998) menar att en konstruktivistisk undervisning utgår från en uppfattning att eleven använder det hon redan vet för att utveckla hållfasta lösningar. Maher (1998) skriver att den konstruktivistiske läraren tillhandahåller
erfarenheter utifrån vilka eleverna kan bygga upp mentala bilder som kan användas för att bygga upp matematiska idéer. Även Boaler (1993) uttrycker samma tankar som Malmer när hon beskriver ett förslag på hur läraren kan introducera med en öppen fråga och sedan låta eleverna vara med och påverka innehållet. Det är ett synnerligen bra exempel på hur man kan starta upp ett arbetsområde i MTG och fas 1 .
HANDLING (verkligheten, kreativiteten):
En konstruktivistisk lärare ser till att eleven är aktivt involverad i sin egen
lärandeprocess. Läraren ger också ett stort utrymme åt matematiska laborationer som ger eleverna möjlighet att konstruera sin egen matematik (Engström 1998). Enligt Ernests (1998) beskrivning av konstruktivismen, kan kunskap inte mottas passivt utan konstrueras aktivt av det lärande subjektet.
SPRÅK (kommunikationen):
Maher (1993) menar att centralt i konstruktivistisk undervisning är kommunikation. Genom språket gör eleverna sina erfarenheter begripliga och lärandet sker när de
formulerar sina tankar för andra (Engström 1998). Här finns det anledning att påpeka att Malmer (1990) skriver att språkets stora betydelse för matematik inte nog kan
framhållas. Arbetssättets beteckning: matematik på talets grund talar för sig själv.
SYMBOLER (matematiska symbolspråket):
När det gäller den sista fasen SYMBOLER, så uttrycker Malmer (1993) att man måste vara säker på att begreppen blivit väl förankrade innan den formella matematiken införs.
34
Engström (1998) påpekar att eleverna måste ges möjlighet att bygga upp sin egen matematik. Symboler och algoritmer byggs upp efterhand allteftersom eleverna spontant finner lösningar och formaliseras därefter.
FÖRSTÅELSE:
Engström (1998) menar att förståelse bäst byggs upp genom en matematisering av konkreta situationer. Von Glaserfeld (1998) anser att förståelsens byggstenar är produkter av tidigare konstruktioner. Malmers tankegång med de fyra stegen visar att MTG är ett konstruktivistiskt sätt att arbeta, där eleverna får arbeta med konkreta situationer, formade utifrån deras egna erfarenheter, för att nå förståelse.
Som synes går Malmers grundtankar hand i hand med konstruktivismens syn på kunskap och lärande. Resultatet visar hur väl Malmers tankar stämmer med konstruktivismens.
5.1.4 Sambanden mellan konstruktivistisk syn – Styrdokument – MTG
Efter att ha granskat Lpo94 och kursplanen i matematik visar resultatet att det finns en tydlig konstruktivistisk syn på kunskap och lärande i våra styrdokument (se avsnitt 4.3).
I den sista analysen studerar vi de konstruktivistiska tankarna som vi funnit i
styrdokumenten, jämfört med grundtankarna i MTG, vilket ger oss svaret på vår första frågeställning. Vi har valt att visa några av de samband vi funnit i vårt resultat:
• Lpo94, Mål att sträva mot: ”Skolan skall sträva efter att varje elev lär sig lyssna,
diskutera, argumentera och använda sina kunskaper som redskap för att
o formulera och pröva antaganden och problem, o reflektera över erfarenheter
o utvecklar ett rikt och nyanserat språk”
Detta mål kan vi sammankoppla med MTG.s processkedja, fas 1, TANKE där man utnyttjar gjorda erfarenheter som man samtalar kring för att bygga upp den matematiska begreppsbildningen.
35
• Lpo94, Mål att sträva mot: ”Skolan skall sträva efter att varje elev lär sig att
utforska, lära och arbeta både självständigt och tillsammans med andra” – Detta mål sammankopplar vi med MTG.s processkedja, fas 2– HANDLING där barnen får möjlighet att undersöka och upptäcka. Här delar man in eleverna i grupper eller i par så att diskussionerna blir så givande som möjligt. I den sista fasen erbjuds också individuellt arbete.
• Kursplan – matematik: ”Utbildningen i matematik skall ge eleven möjlighet att
utöva och kommunicera matematik i meningsfulla och relevanta situationer i ett aktivt och öppet sökande efter förståelse, nya insikter och lösningar på olika problem” – Detta överensstämmer med MTG.s fas 2 HANDLING och 3 - SPRÅK. I den andra fasen utgår man i möjligaste mån från verkligheten i laborativt grupparbete. Pedagogens uppgift blir att stimulera eleverna till
matematiska samtal för erövrandet av ny kunskap. En god språkutveckling är en förutsättning för en matematisk begreppsbildning, menar Malmer (1993). Det tredje steget innehåller den verbala kommunikationen och används för att beskriva den verklighet som barnen redan bearbetat. Här tas också begreppet
förståelse upp.
• Kursplan – matematik: ”Utbildningen syftar till att utveckla elevens intresse för
matematik och möjligheter att kommunicera med matematikens språk och uttrycksformer. För att framgångsrikt kunna utöva matematik krävs en balans mellan kreativa, problemlösande aktiviteter och kunskaper om matematikens begrepp, metoder och uttrycksformer.” Vi tolkar matematikens språk och
uttrycksformer som bl.a. att kunna gälla symbolerna. Där finner vi samband med processkedjans näst sista steg – SYMBOLER men citatet kan faktiskt gälla för alla faserna tillsammans just för att illustrera balansen mellan kreativa,
problemlösande aktiviteter och kunskaper om matematikens begrepp, metoder och uttrycksformer. Vi menar att i första steget utvecklar vi elevens intresse för matematik. I det andra, finns de kreativa problemlösande aktiviteterna. I det tredje, kommunicerar man för att förankra den nyvunna kunskapen om
matematikens begrepp. I det fjärde steget kan eleverna med hjälp av siffror och symboler skriva ner det de vill berätta om, men det kan också vara i form av en
36
skriftlig berättelse eller i en bild vilket får stå för olika uttrycksformer i matematiken. FÖRSTÅELSE är processkedjans mål.
5.1.5 Sammanfattning
Vår första frågeställning lyder: Hur förhåller sig grundtankarna inom MTG till den konstruktivistiska synen på kunskap och lärande som kommer till uttryck i
styrdokumenten? Resultatet av vår undersökning visar att Malmers analytiska synsätt med helheten, processen och innehållet som bärande tankar tillsammans med
processkedjan TANKE (erfarenheterna)– HANDLING (verkligheten, kreativiteten)– SPRÅK (kommunikationen) – SYMBOLER (matematiska, skrift, bild) -
FÖRSTÅELSE speglar styrdokumentens konstruktivistiska syn på kunskap och lärande. Grundtankarna bakom MTG fångar på ett uttömmande sätt upp de centrala
konstruktivistiska tankarna, som är synliga i styrdokumenten. Det sista exemplet vi tar upp från kursplan - matematik, är ett utmärkt exempel på hur väl helheten i MTG, innehåller det väsentliga i matematikämnets syfte och roll.
Ett syfte med vårt examensarbete var att undersöka om MTG är ett konstruktivistiskt arbetssätt och om grundtankarna överensstämmer med styrdokumenten. Resultatet visar att det finns tydliga samband mellan MTG, styrdokumenten och konstruktivismen.
37
5.2 Resultat intervju
Våra informanter som här har fått fingerade namn.
Lärare: Ingela
Ingela är 25 år och tog examen i januari 2007. Hon arbetar just nu i en förskoleklass på en mångkulturell skola i Malmö. Hon har haft ett längre vikariat i år två, där hon
undervisade i bl.a. matematik. Hon upplevde det som om hon hade för lite erfarenhet för att kunna svara utförligare på våra frågor.
Lärare: Adam
Adam är 25 år och tog examen i januari 2007. Han arbetar sedan höstterminen 2006 som klasslärare i år fem på en mångkulturell skola utanför Malmö. Adam delade med sig av erfarenheter och berättade gärna om sitt arbete på ett engagerat sätt.
Lärare: Olivia
Olivia är 37 år och tog examen i januari 2005. Hon arbetar för närvarande på en skola i en större stad i Skåne. I sin tjänst undervisar hon i matematik och NO i senare delen i grundskolan. Tidigare har hon har haft några längre vikariat. Olivia delade gärna med sig av sina erfarenheter och berättade öppet om sitt arbete.
Lärare: Lisa
Lisa är 35 år och tog sin examen i januari 2006. Just nu arbetar hon på en förskola i en större stad i Skåne. Hon har tidigare arbetat som personlig assistent men skolade om sig och fick omgående arbete på en mindre skola där hon blev klasslärare i år fyra-fem. Inom arbetslaget blev hon ansvarig för matematik och NO och planerade och bedrev undervisning i dessa ämnen. Svarade mycket villigt och utförligt på våra frågor.
38
5.2.1 Syn på undervisning
Vilka är dina viktigaste uppgifter som matematiklärare? Hur ser bra matematikundervisning ut enligt dig?
Med dessa frågor vill vi undersöka om informanten har en konstruktivistisk syn på matematikundervisning. Vi jämför med de fyra nyckelorden som vi sammanfattat konstruktivismen med från avsnitt 4.1.2 Kunskap och lärande: ERFARENHETER – KONSTRUKTION – KOMMUNIKATION - FÖRSTÅELSE. De fyra nyckelorden bör ses som en processkedja, varför informanternas svar skulle kunna passa in under flera rubriker. Vi har dock valt att placera informantens svar under endast en rubrik.
KONSTRUKTIVISTISK SYN
ERFARENHET:
Samtliga informanter menade att bra matematikundervisning är då läraren
individualiserar och utgår från eleverna. Bra matematikundervisning ansåg Adam också är att göra verklighetsanknytningar. Genom att utgå från eleverna och deras intressen, stärker han deras självförtroende. När eleverna känner igen sig i situationerna, känner de sig tryggare. Oliva är den enda av informanterna som inte direkt uttrycker att variation är viktigt, men utifrån hennes svar under intervjun, berättar hon vid ett par tillfällen att eleverna lär på olika sätt och det tar olika lång tid och därför måste man anpassa undervisningen utifrån vad som passar den enskilda individen. ”Det måste få ta
tid. Behöver ungarna klippa med bråkremsor, så måste de få göra det. Andra ungar kanske bara vill räkna sida upp och sida ned för att känna sig duktiga.”
KONSTRUKTION:
Enligt de fyra informanterna är det viktigt att låta eleverna arbeta praktiskt. De menade att eleverna lär på olika sätt varför en variation i undervisningen också är viktig. Lisa, Adam och Olivia ansåg att en av de viktigaste uppgifterna de har är att ge eleverna en positiv syn på ämnet. Lisa berättade om ett besök hon gjort på en skola där eleverna arbetade helt utan lärobok. Hon beskrev en händelse där eleverna fick färgglada sjalar vars färger symboliserade ental, tiotal och hundratal. Eleverna lade olika antal sjalar av
39
varierade färger på golvet och skulle berätta vilket tal de skapat. ”Det låter så klyschigt,
men det var ett sån´t lustfyllt lärande.” Lisa menade också att det är viktigt att låta barnen få vara aktiva med hela kroppen. ”Räkna kan jag, bara jag får hoppa tio
gånger.” ”Ingela: ”Barnen måste få testa på olika sätt. Ibland med hela kroppen.”
KOMMUNIKATION:
Ingela och Olivia nämnde också som en viktig faktor i bra matematikundervisning, att få ”prata matematik”. Olivia: ”Det är häftigt att se när ungarna verkligen diskuterar i
grupp kring en matteuppgift och för olika resonemang. Man nästan ser hur förståelsen utvecklas och tillslut fattar de verkligen.” Adam och Olivia nämnde att det är viktigt att skapa ett tryggt klassrumsklimat. Olivia sa så här: ”Du kan inte bygga kunskap om du
har oroliga barn som inte fungerar tillsammans i gruppen, det går inte.”
FÖRSTÅELSE:
Samtliga lärare nämnde betydelsen av att utveckla en förståelse hos eleven som en av lärarens viktigaste uppgifter. Adam: ”Inställningen och självförtroendet är viktigt att
jobba med för att eleverna skall kunna utveckla en verklig förståelse för det de gör.”
Vidare ansåg han att om eleverna förstår hur användbar matematiken är, skapar man också en positivare inställning till matematiken. Bra matematikundervisning är också att göra matematiken begriplig och synlig. Detta grundar för förståelse av det praktiska i användandet av ämnet. ”Ungarna ser matten ur ett nytt perspektiv och inte bara
skolmatte där de räknar sida upp och sida ner.”
ICKE KONSTRUKTIVISTISK SYN
Adam, Lisa och Olivia menade att en bra matematikundervisning också måste innehålla momentet färdighetsträning. Med detta syftar de på att låta eleverna träna på den
nyvunna kunskapen och befästa detta genom att arbeta med lärobok. De menar att den formella matematiken är mycket viktig. Lisa menade också att utantillinlärning kan vara bra. ”Barnen måste faktiskt kunna multiplikationstabellen och hur tråkigt det än är att
rabbla, så är det ett ont måste för att underlätta för barnen längre fram.” Hon poängterade dock att den verkliga förståelsen fortfarande är mycket viktig.
40
5.2.2 Arbetssätt och planering
Berätta om hur du planerar din matematikundervisning. Berätta om hur din matematikundervisning ser ut.
Med dessa frågor vill vi undersöka om informanten arbetar konstruktivistiskt. Vi vill också veta vilka faktorer som påverkar deras planering och undervisning samt i vilken utsträckning de använder läroboken. Frågorna behandlar vår andra frågeställning och genom uppföljningsfrågor rörande vad informanten anser som viktigt att tänka på i sin planering av matematikundervisningen, motivering av sin planering samt om planering sker enskilt eller i arbetslag fick vi fylliga svar.
KONSTRUKTIVISTISK UNDERVISNING:
ERFARENHET:
Samtliga menar att vi måste utgå från eleverna och deras behov. Behöver eleverna mer tid för att förstå, måste de få den tiden. Samtliga hävdar att de varierar och försöker individanpassa undervisningen. Olivia berättade att hon tidigare arbetat med en lärobok som skolan under många år arbetat med, men efter ett prov i bråkräkning var resultaten så dåliga att hon bestämde sig för att arbeta mer utifrån elevernas intresse och knyta an till vardagshändelser. Vidare berättade hon om hur hon utgick från elevernas interesse och förkunskaper genom att visa en bild på en ”läcker” bil. ”Är det någon skulle vilja
ha en så´n?” Utifrån bilden pratade de bl.a. kring kostnader och räntor på lån.
KONSTRUKTION:
Alla säger att de stryker vissa moment i läroboken, där de istället kompletterar med bl.a. egna idéer, idéer från www.lektion.se, samt problemlösningsuppgifter. Lisa studerar igenom hela kapitlet i läroboken, för att se vad kapitlet behandlar. Utifrån detta tänker hon igenom vad det är hon vill att barnen skall lära sig och planerar varje nytt moment med praktiska övningar där eleverna gärna får arbeta med hela kroppen. Hon betonar elevernas aktiva deltagande.
41 KOMMUNIKATION:
Under intervjuerna framkom också att det matematiska samtalet är viktigt i deras undervisning. Två av dem poängterade vikten av samtalet, medan de andra två gav exempel på undervisningssituationer. Olivia menar att det är angeläget att låta eleverna uppleva och diskutera matematik. Detta skall grunda för arbetet med den formella matematiken som tillsammans skapar en relationell förståelse.
FÖRSTÅELSE:
Informanterna anser att det är vägen fram till kunskapen som är det viktiga inte antalet räknade uppgifter. Genom att knyta matematiken till vardagshändelser och deras intressen görs matematiken roligare och mer begriplig för barnen. Adam berättade om ett projekt helt utan lärobok. Eleverna skall planera och bygga en skola i miniformat. Idén kom upp när eleverna ville köpa in nya fotbollar, men av ekonomiska skäl fick nej.
FAKTORER SOM PÅVERKAR
Samtliga intervjuade utgår från läroboken i sin planering men ser till att komplettera med egna idéer för att få in samtal och laborativt arbete. Tid och kollegor är en annan aspekt som de alla nämner som påverkar dem både i planering och i undervisning. Ingela berättade att det kan vara svårt att hinna planera nya roliga lektioner och att det därför lätt blir mycket arbete med läroboken. ”Som ny har man inte lika mycket
erfarenheter som de lärare som har jobbat länge. ” Hon menar att det kan kännas tryggt att ha erfarna kollegor med i arbetslaget, men att det också finns nackdelar med detta. Kollegornas arbetssätt och inställning kan påverka valet att arbeta. Olivia uttrycker sig så här: ”Jag är ny här och vill inte vara för annorlunda i början.”
Lisa utgår endast från läroboken och är den enda av informanterna som inte nämner styrdokumenten i sin planering. De övriga menar att de jämför innehållet i läroboken med styrdokumenten, som de sedan utgår från i planeringen. Olivia resonerade mycket kring att tolka styrdokumenten. ”Vad innebär det egentligen att ha insikt i eller
kunskaper om? Lägger vi inte ibland för stor vikt på vissa moment?” När Olivia planerar sin undervisning tolkar hon styrdokumenten och bl.a. utifrån dessa planerar hon sin undervisning.
42
Ingela, Adam och Olivia som har varit/är klassföreståndare/ämneslärare i år två, år fem respektive år nio nämnde de nationella proven, som en faktor som påverkar dem. Ingela refererade till år två, där hon vikarierat under några månader. ”Vi såg att eleverna hade
stora brister i vissa delar i de nationella proven och då arbetade vi mycket med dessa under en period.” Hon berättade att det inte fanns tid till annat än färdighetsträning även om hon ibland försökte lägga in laborativa inslag. Samtliga såg till att ha
laborativa inslag i undervisningen och att försöka utgå från eleverna när de planerade. Även om de utgick från läroboken så kompletterade de med egna idéer och samlade material från Internet m.m. Adam och Olivia framhöll att man måste se till hela
elevgruppen i undervisningen. Olivia sade så här: ”Har man lite stökigare elever, så kan
man inte lägga fram massa saxar framför näsan på dem. Det kan hända lite för mycket då.”
5.2.3 Förutsättningar och svårigheter - lärobokens roll
Om du tänker tillbaka på din tid på lärarutbildningen, så kan du säkert minnas hur du ville att din framtida matematikundervisning skulle se ut? Arbetar du på detta sätt idag?
- Om ja: Vilka olika faktorer stödjer ditt arbetssätt?
- Om nej: Vilka olika faktorer har påverkat dig att inte arbeta på detta sätt?
Utifrån dina erfarenheter, kan och/eller vågar man som nyexaminerad lärare arbeta utan lärobok?
Känner du att du fått tillräckligt med ämneskunskaper i matematik, för att kunna undervisa utan lärobok?
Känner du att du fått tillräckligt med didaktiska kunskaper i matematik för att kunna undervisa utan lärobok?
Frågan om lärobokens vara eller inte vara, har en tämligen stor funktion i vårt arbete eftersom vi undersöker MTG - ett läroboksobundet arbetssätt. Vad har de
konstruktivistiska matematiklärarna för inställning till läroboken och vad spelar den för roll i deras planering av undervisningen? Om läroboken styr undervisningen hämmas det konstruktivistiska arbetet.
