Analys av en keramisk skiva

Analys av en keramisk

skiva

Asad Ali och Danay Michael

Examensarbete på grundnivå i hållfasthetslära KTH Hållfasthetslära Handledare: Artem Kulachenko

Sammanfattning

På uppdrag av företaget Kanthal analyserades en keramisk skiva gjord av kalciumsilikat som används som en värmeisolator samt för att bära upp vikten av värmeelementet. Under drift utsätts skivan för både termiska och mekaniska belastningar. Skivan klarar dessa belastningar men hur bra den klarar samt med vilka marginaler var en obesvarad fråga. Syftet med detta projekt var att ta reda på hur stora spänningar dessa belastningar gav upphov till och därefter beräkna säkerhetsfaktorn för skivan. Denna säkerhetsfaktor ska ligga till grund för eventuella ersättningsmaterial. Vidare undersöktes hur stora spänningsavvikelser som kunde uppstå om den mekaniska lasten inte var centrerad och om de andra hålen i skivan förflyttades.

Projektet genomfördes på så sätt att först utvärderades materialets böjhållfasthet med hjälp av tre-punkts böjprov. Därefter skapades en förenklad CAD modell av relevanta komponenter av värmekassetten och sedan analyserades modellen för belastningar vid uppvärmning, nedkylning och stationärt tillstånd.

Den maximala spänningen uppstod under stationära tillståndet och den beräknades till 19,8 MPa vilken blev mindre än den genomsnittliga böjhållfastheten som beräknades till 26,6 MPa. Sammanfattningsvis indikerar resultatet från denna studie att skivan klarar belastningarna med en säkerhetsfaktor på 1,34. Även att parametrarna icke-centrad last och ändring av hålplaceringar inte påverkade säkerhetsfaktorn märkvärdigt.

Abstract

At the request of the company Kanthal, a ceramic disc made of calcium silicate which is used as a heat insulator and a load carrier for the weight of a heating element was analyzed. During operation, the disc is subjected to both mechanical and thermal loads. The disc can handle the loads but how well and with what margin was an answered question. The purpose of these project was to find out how much stresses these loads give rise to and then calculate the safety factor for the disc. This safety factor is going to be used as a basis for any possible replacement of the material. Furthermore, it was also examined how much stress deviations could occur if the mechanical load were uncentered and if the other holes in the disc were displaced. The project was implemented so that the flexural strength of the material was evaluated first by using three-point bending method. Thereafter, a CAD model of the relevant components of the heat element was created. The model was then analyzed for loads during heating, cooling and under steady state.

The maximum stress occurred during steady state and it was calculated to be 19.8 MPa which was less than the average flexural strength which was 26.6 MPa. In summary, the results of this study indicate that the disc can handle the loads with a safety factor of 1.34. Moreover, having an uncentered load and changing the hole positions did not affect the safety factor significantly.

Förord

Vi vill rikta ett stort tack till uppdragsgivaren för detta projekt Rickard Shen för hans värdefulla insikter. Vidare vill vi även tacka vår handledare Artem Kulachenko för hans hjälp och förslag under projektets gång.

Innehållsförteckning

1 Inledning ... 1

1.1 Syfte ... 2

1.2 Avgränsningar och antaganden ... 2

2 Bakgrund ... 2 2.1 Teori ... 2 2.2 Material ... 5 2.3 Lastfall ... 6 2.3.1 Mekanisk last ... 6 2.3.2 Termisk last ... 6 3 Metod... 7 3.1 CAD-modellering ... 7 3.2 Tre-punkts böjprov ... 8 3.2 FEM-modell ... 9 3.2.1 Modellering i Ansys ... 9 3.2.2 Meshstudie ... 12 4 Resultat ... 12 5 Diskussion ... 16 References ... 18 Bilagor ... 19

Bilaga 1-Materialdata för Kalciumsilikat ... 19

Bilaga 2-Materialdata för stål ... 20

Bilaga 3-Värmeövergångstalet ... 21

Bilaga 4-Spänningar ... 22

Bilaga 5-Skiss av skivan ... 24

Bilaga 6-Spridning av mätdata ... 25

Bilaga 7-Weibull plot ... 26

1

1 Inledning

Företaget Kanthal som är med i Sandvik-koncernen tillverkar värmekomponenter för industriella tillämpningar. Denna rapport behandlar en typ av deras värmekassett, nämligen Tubothal. I figur 1 nedan illustreras Tubothaler som är avlånga cylindrar som antingen kan användas hängandes vertikalt, eller liggande horisontellt. I de vertikala tubothaler har man en keram skiva upptill som sitter på ett rörformat metallhölje. Under skivan hänger det tunga värme komponenten. I skivan finns det 4 hål, ett i centrum där själv paketet är monterat, två för strömtillförseln respektive ett hål för att mäta temperaturen.

Figur 1: Horisontala och vertikala tubothaler (Image courtesy of Kanthal AB).

Skivan stödjs av ett metallrör från undersidan. Metallrörets funktion är att värmas upp av värmeelementet på insidan och sedan sprida värme i ugnen genom framförallt IR-strålning. Den metalliska centrumstången bär upp vikten av all elementråden. Värmepaketet har inte inget stöd från botten då vid höga temperaturer förväntas värmeelementet expandera. Elementråden som är en lång metalltråd med en hög resistivitet värms upp av tilledaren genom att leda ström igenom den. Tilledaren är samma som elementråden men lite tjockare så att det blir ett lågt elektriskt motstånd och därmed inte bli lika varmt. Vad gäller både hållfasthet och säkerhetsfaktor så finns det inga kända problem med denna konstruktion men, man vet heller inte vilka marginaler man har. Därav anses det viktigt att analysera den befintliga konstruktionen för att kunna svara på frågan om hur överdimensionerad denna konstruktion egentligen är.

2 1.1 Syfte

Syftet med den analysen som beskrivs i denna rapport var att veta om hur överdimensionerad konstruktionen är. Då skivan under drift utsätts för både en mekanisk och termisk last låg således huvudfokusen på att analysera skivans spänningar och temperaturer. Vidare skulle man titta på hur säkerhetsfaktorn påverkas av parametrar såsom icke-centrerad last och hålplaceringar.

1.2 Avgränsningar och antaganden

Projektet avgränsades till att endast undersöka skivan. Fokus för arbetet var att analysera skivan och därav har metallhöljet inte modellerats till dimension då det bedömdes vara mindre relevant för analysen. I simuleringen angavs metallhöljet som standardmaterialet stål. Ytterligare en viktig faktor var värmeövergångstalet som är temperaturberoende. Värmeövergångstalet har antagits vara en och densamma för alla ytor av skivan. Dessutom antogs den vara konstant, oberoende av temperatur under uppvärmning och nedkylning. Vidare har vid analysen antagits att materialegenskaperna inte beror på temperaturen.

2 Bakgrund

En stel kropp som utsätts för en inre kraft b och spänningsvektorn t ger upphov till förskjutningar u, töjningar 𝝐, och spänningar 𝝈. Tillståndsekvationerna som behövs vid finita elementmetoden kan beskrivas med Cauchys ekvation enligt:

∇𝝈 + 𝒃 = 𝜌𝒖̈ (1)

Allmänt är det svårt att hitta en exakt lösning till ekvationen ovan för det mesta ingenjörstillämpningar och därav approximeras lösningen genom att formulera om PDE:n (stark form) på en integralform (svag form). Den svaga formen av ekvation 1 erhålls genom att multiplicera integralen med viktfunktionen W i vektorform [1].

∫ 𝑾𝑇𝜌𝒖̈ 𝒅𝑽 𝐕 = ∫ 𝑾𝑻 ∇𝑇𝝈 𝒅𝑽 𝐕 + ∫ 𝑾𝑇𝒃 𝒅𝑽 𝐕 (2)

För ett Quasi-statiskt fall (𝒖̈ = 𝟎) och utan inre kraft (b=0) kan ekvation 2 med hjälp av Gauss divergenssats förenklas enligt:

∫ 𝑾𝑻 ∇T𝝈 𝒅𝑽 𝐕 = ∫(𝑾𝛁)𝑻𝝈 𝒅𝑽 − 𝐕 ∫ 𝑾𝑻 𝒕 𝒅𝑺 𝐒 = 𝟎 ₍₃₎

3

För datorbaserad analys av hållfasthetsproblemet används finita elementmetoden som bygger på att geometrin delas upp i mindre element. FEM approximationen nedan används:

𝑾 = 𝑵𝝎, 𝛁𝑵 = 𝑩 och 𝑼 = 𝑵𝒅 (4)

där 𝝎 och d är förskjutningar och 𝑵 är formfunktioner. Ekvation 4 insatt i ekvation 3 fås första termen i högerledet till

∫(𝑾𝛁)𝑻𝝈 𝒅𝑽 = 𝐕 𝝎𝑻∫(𝛁𝑵)𝑻𝝈 𝒅𝑽 = 𝐕 𝝎𝑻∫ 𝑩𝑻𝝈 𝒅𝑽 𝐕 (5)

och andra termen i högerledet av ekvation 3 blir: 𝝎𝑻∫ 𝑵𝑻𝒕 𝒅𝑺 =

𝐒

𝝎𝑻𝒇_𝒔+ 𝝎𝑻𝒇_{𝒓 (6)}

där 𝒇𝒔 och 𝒇𝒓 är applicerad kraft respektive reaktionskraft.

Slutligen kan ekvation 3 skrivas enligt: 𝝎𝑻_{∫ 𝑩}𝑻_{𝝈 𝒅𝑽} 𝐕 = 𝝎𝑻_(𝒇 𝒔+ 𝒇𝒓) ↔ ∫ 𝑩𝑻𝝈 𝒅𝑽 𝐕 = 𝒇 _(𝟕)

där 𝒇 är den totala lastvektorn.

Med hjälp av Hookes lag och konstitutiva sambandet kan tillståndsekvationerna som behövs vid finita elementmetoden beskrivas enligt:

𝒇 = 𝒌𝒅 (8)

där k är styvhetsmatrisen, d är förskjutningsvektorn [2].

För tre-dimensionella problem finns det tre obekanta förskjutningar i varje nod och sex obekanta spänningar och töjningar i varje element. Vidare kan det linjära sambandet mellan spänningen och töjningen för ett tredimensionellt fall beskrivas med Hookes lag enligt:

4

där σ är en spänningsvektor, C är en styvhetsmatris och 𝝐 är en töjningsvektor. För ett isotropt material kan styvhetsmatrisen uttryckas som:

𝝈 = 𝐸 (1 + 𝑣)(1 − 𝑣) [ 1 − 𝑣 𝑣 𝑣 0 0 0 𝑣 1 − 𝑣 𝑣 0 0 0 𝑣 𝑣 1 − 𝑣 0 0 0 0 0 0 1 2(1 − 2𝑣) 0 0 0 0 0 0 1 2(1 − 2𝑣) 0 0 0 0 0 0 1 2(1 − 2𝑣)] 𝝐 (10)

Finita elementekvationen för transienta analysen kan beskrivas med hjälp av energiekvationen enligt: 𝜌. 𝑐𝑝. 𝜕𝑇 𝜕𝑡 − 𝜆 ( 𝜕2𝑇 𝜕𝑥2+ 𝜕2𝑇 𝜕𝑦2 + 𝜕2𝑇 𝜕𝑧2) = 𝑞 (11)

där 𝜌 är densiteten, 𝑐𝑝 är värmekapaciteten, T är temperaturen och q är värmeflödet

[3].

Transformationen för ekvation 11 från stark form till svag form härleds på liknande sätt som för ekvation 1.

Vidare är keram ett sprött material som spricker och går sönder till skillnad från metaller och andra duktila material och därav används maximala huvudspänningskriteriet. Enligt maximala huvudspänningskriteriet, spricker ett material sönder om åtminstone en av huvudspänningarna blir större än materialets brottgräns. Matematiskt sätt kan detta kriterium skrivas som

𝜎₁ > 𝜎_𝑢 (12) där 𝜎₁ är den maximala huvudspänningen och 𝜎_𝑢 är materialets brottgräns [4].

5 2.2 Material

Skivan som är gjord av keram är tillverkad av det isotropa materialet kalciumsilikat. Materialet klarar en maximal arbetstemperatur på 1000 ℃. Keramer kännetecknas oftast som ett material med en god isoleringsförmåga såväl termiskt som elektriskt. Materialet har en låg utvidgningskoefficient, hög hårdhet, bearbetbarhet och en god högtemperaturhållfasthet. Vidare är keramer spröda material, dvs. de uppvisar ingen eller liten plastisk deformation innan brott [5].

När keramer utsätts för en abrupt temperaturändring uppstår en temperaturgradient i materialet och om temperaturgradienterna är stora kan de rent av ge rätt stora inre spänningar som orsakar att materialet spricker. Den keramiska skivan måste därför kunna klara spänningar som genereras av temperaturskillnader mellan olika delar av skivan samt spänningar från lasten. Dessa spänningar som beror på lasten, differenser i avsvalningshastigheten samt den termiska kontraktionen mellan ytan på skivan och dess inre måste vara lägre än den spänningen som krävs för att skivan ska gå av. Då skivan är under nedkylning vill dess yta dra ihop sig men dess inre som har en högre temperatur förbli expanderad och detta leder till att ytan utsätts för dragspänningar vilket för ett sprött material som keram kan vara ödeläggande [6].

För att bestämma den maximala spänningen skivan klarar innan den går av görs ett kvalitetstest för konstruktionsmaterialet och det utförs som 3-punkts böjprov i rumstemperatur.

Materialegenskaperna för skivan i denna analys antogs vara icke-temperaturberoende. Keramer har vanligtvis höga smälttemperaturer och därmed är de temperaturer vi jobba med inte så mycket. De mekaniska egenskaperna bör inte påverkas alls. Men givetvis kommer det att bli en mycket liten termisk utvidgning och en minimal ändring av E-modulen men detta bör inte påverka resultaten avsevärt [7].

Rena keramer har sin atomkonfiguration intäkt upp till smälttemperaturen och sålunda påverkas inte dess egenskaper avsevärt då materialet åldras till skillnad från polymera material som tvärbinder när de åldras och därmed blir hårdare/sprödare. För icke-rena keramer som kalciumsilikat som är en blandning av kalciumoxid ock kiseloxid är det möjligt med fasomvandlingar vid vissa temperaturer men vi de temperaturerna vi jobbar med ska detta material vara stabilt.

Keramens materialegenskaper som erhålls från uppdragsgivaren redovisas i tabell 1 nedan. För den fullständiga materialdatablad, se bilaga 1. Materialets elasticitetsmodul och poissons tal bestämdes dock med hjälp av digitala litteratur [8]. Även materialets specifika värmekapacitet bestämdes med hjälp av digitala litteratur [9]. För röret har vid analysen materialet standardstål använts och dess materialdata vid inmatning i Ansys återfås i bilaga 2.

6

Tabell 1: Skivans materialdata

Parameter Värde Enhet Elasticitetsmodul 120 GPa Densitet 1400 kg/m3 Värmeledningsförmåga 0,49 W/mK Värmeutvidgningskoefficient 6,6 × 10−6 _K−1 Poissons tal 0,29 2.3 Lastfall

Har nedan redovisas de olika lastfallen som skivan utsätts för. Skivan utsätts först för en mekanisk last och därefter läggs på en termisk last.

2.3.1 Mekanisk last

Den metalliska stången i mitten bar upp vikten av all elementråden och den fästes med skivan med hjälp av en mutter. Att stödja värmepaketet från botten var inte önskvärt eftersom vid höga temperaturer förväntades elementråden bli längre och därav måste de kunna expandera fritt. Den mekaniska lasten som skivan bär ligger enligt uppdragsgivaren på 50 kg.

2.3.2 Termisk last

För den termiska analysen överförs värme från luften på insidan men även från centrumstången och de metalliska tillederna. Detta medför att värmetransporten kommer huvudsakligen att ske genom konvektion. Konvektion är då värme transporteras mellan en fast yta och en fluid. För konvektionen behövdes det värmeövergångstalet och för att beräkna detta tal uppskattades skivan som en vertikal cylinder. Men eftersom yttemperaturen inte var känt, itererades fram värmeövergångstalet. Iterationen gick på att dra till med någon vettig startgissning på yttemperaturen och därmed simulerades den för att se vad yttemperaturen blev i simuleringen och därefter justerades gissningen till nästa iteration. Värmeövergångstalet konvergerade till 9,91 W/m2 _{C och för fortsatta analys används}

detta tal, se bilaga 3 för konvergensen av konvektionstalet.

Analysen för den termiska lasten utfördes i tre steg. Dessa var vid uppvärmning, stabilt tillstånd samt nedklyning. Under både uppvärmningen och nedkylningen ändrades temperaturen med tid till skillnad från vid stabilt tillstånd som inte är beroende av tiden. För temperaturer för de olika delarna av värmekomponenten, se bilaga 5.

7

Hastigheten med vilken temperaturen ökar i kroppen bestäms av materialparametrarna värmekapacitet 𝑐_𝑝 , värmeledningsförmågan k och temperaturgradienten.

Under uppvärmningen uppskattades det ta cirka 30 minuter tills temperaturen började uppnå till den stabila temperaturen. Därför analyserades försöket med transienta förlopp i Ansys för lite mer än en halvtimme med omgivningstemperaturen som utgångstemperatur på hela skivan. Analysen för nedkylning utfördes på liknande sätt. Skillnaden är att det tog längre tid vid nedkylning och utgångstemperatur var den som erhölls under det stabila tillståndet. Nedkylningen uppskattades ta ungefär upp till 4 - 6 timmar.

Denna analys upprepades ett flertal gånger där vid varje försök förflyttades den centrerade mekaniska lasten både radiellt och tangentiellt. Även resterande hålen i skivan förflyttades. Förflyttningen av hållen och den mekaniska lasten gjordes för att undersöka om skivans hållfasthet påverkades av en icke centrerad last.

3 Metod

3.1 CAD-modellering

En CAD-modell av konstruktionen tas fram i Solid Edge 2019. Trots att det var skivan som skulle analyseras för både termisk och mekanisk last så var det även nödvändigt att ta med vissa andra komponenter av värmekassetten. Således gjordes en modell av värmekassetten med tillhörande komponenter som ansågs vara relevant för denna analys, se figur 2. Skivan modellerades med den exakta dimensionen och även rätt material användes. Metallhöljet ersättes dock med ett rör med 150 mm som inrediameter och skivans diameter som ytterdiameter, se figur 2. Anledningen till att metalhöljet ersättes med ett rör var för att metalhöljets beteende under drift ansågs vara mindre relevant och därmed inte viktig för denna analys. Dessutom kunde analysen utföras snabbare i datorsimulation genom att ta med mindre och enklare konstruktion.

8

Figur 2: En förenklad CAD modell av värmekassetten

3.2 Tre-punkts böjprov

Keram är ett material där tryck- och draghållfastheten är olika. Detta innebär att sambandet mellan spänning och töjning inte kan fastställas med hjälp av ett dragprov för tre anledningar. För det första kan draghållfastheten vara svår att mäta med den geometrin man har. För det andra försvagas spröda material lätt av sprickor och därav kan det vara svårt att greppa dem utan att sprickbildning sker. För det tredje går keramer av efter endast cirka 0,1 % töjning, vilket kräver att dragproverna justeras för att undvika böjspänningar, som i sig inte är lätt att beräkna [10].

Däremot, ett sätt att bestämma den lasten i rent drag keramskivan klarar är att ta fram böjhållfastheten. Böjhållfastheten är den belastningen skivan klarar av vid böjning exempelvis, genom att applicera en last som ger upphov till böjning. För att bestämma böjhållfastheten har Kanthal gjort ett kvalitetstest för konstruktionsmaterialet i ett så kallat tre-punkts böjprov. Skivan står på två rätblock med ett avstånd på 80 mm mellan de och kraften appliceras med en kniv längs den grönalinjen på skivan, se figur 3.

9

Figur 3: Tre-punkts böjprov

Ytan precis under lasten kommer att vara i kompression medan bottenytan kommer att vara i drag. Således uppstår den maximala spänningen på bottenytan av skivan precis under lasten eftersom keramer tål 10 gånger mer i kompression än drag [10]. Sammanlagt testade Kanthal 40 skivor och med hjälp av 3-punkts böjprov beräknade Kanthal de maximala krafterna med vilken skivorna gick av. Spridningen av de mäta krafterna blev stor och för att representera denna spridning på ett kvantitativt sätt så att materialet kan användas på ett säkert sätt användes Weibullteorin. För spridningen av mätvärden, se bilaga 6. Weibulls kumulativa fördelningsfunktion som ger sannolikheten till brott F då spänningen är 𝜎 kan beskrivas enligt:

𝐹 = 1 − 𝑒−( 𝜎 𝜎𝑜) 𝑚 (13)

där m och 𝜎𝑜är formparameter respektive skalningsparameter. Formparametern är ett

mått på spridningen av mätdata, ju högre m desto mindre spridning [11].

3.2 FEM-modell

3.2.1 Modellering i Ansys

Simuleringarna genomfördes i Ansys där geometrin delas i ett ändligt antal element som består av flera noder. I Ansys har olika randvillkor använts för att göra en representativ modell av hur värmekomponenten fungerar i verkligheten. På grund av de termiska effekterna får både röret och skivan expandera fritt från varandra och

10

därav har kontakten mellan de modellerats som en friktionskontakt med en låg friktionskoefficient som ligger på 0,01, se figur 4 för kontaktvillkoren.

Figur 4: kontaktvillkoren mellan skivan och röret

För 3-punkts böjprovet har samma kontaktvillkor som ovan använts för kontakten mellan skivan och de två rätblocken. Vidare applicerades kraften 8705 N på linjen i ovansidan av skivan och ”Fixed Support” applicerades på bottenytan av de två rätblocken, se figur 5.

Figur 5: Randvillkoren för tre-punkts böjprov

Rörets undersida fästs med ”Frictionless support” då deformation i radiell riktning kan och är tillåten att förekomma, se figur 6. Även tyngdkraften från centrumstången har istället applicerats i den röda ytan ovanpå skivan som det syns i figur 6.

11

Figur 6: Frictionless support på skivans undersida samt kraften från centrumstången

Som det syns i figur 7 nedan så användes 5 randvillkor, nämligen 4 konvektion och en strålning. Skivans yttre yta förlorar värme till sin omgivning där omgivningstemperaturen var 20℃ . Värme överförs från den värma luften på insidan av värmekassetten till skivan genom konvektion. Vidare tillförs värme till skivan från termoelement, centrumstången och även tillederna och dessa ersättes med randvillkoren B, C respektive D som är konvektion.

Som det syns i den högra bilden i figur 7 nedan användes även randvillkoret stålning då kroppen förlorar värme genom strålning och emissionstalet ansattes till 0,95. För vita kroppar ligger emissionstalet mellan 0,9 och 0,95 [12].

12

3.2.2 Meshstudie

I grunden går FEM ut på att dela en modell som är definierad av partiella differentialekvationer i små delar som kallas för element och sedan lösa dessa element för sig själva med enkla linjära ekvationer. Då man approximerar spänningarna i elementen utifrån nodernas försjukting är inte spänningarna mellan elementen nödvändigt kontinuerliga och därmed uppstår det diskretiseringsfel. Detta fel går mot noll då elementens storlek går mot noll [13].

Därför måste en meshstudie utföras för att säkerställa att resultatet inte kommer ändras med ännu mer förfinad diskrestisering (meshning). Detta görs lättast genom att kontrollera att det erhållna resultatet är konvergerande.

Konvergenstestet utförs genom att minska elementets storlek systematisk tills resultatet konvergerat, dvs tills skillnaden mellan två olika mesh storlek blir tillfredställande liten. Resultatet, spänningen mer specifikt, sägs vara konvergerande om

|𝜎𝑓− 𝜎𝑚| |𝜎𝑓|

< e̅_s (14) där 𝜎_𝑚 och 𝜎_𝑓 står för spänningen från medium mesh respektive fin mesh och e̅_s står för relativa felet. I verkligheten, anses ett relativt fel mindre än 0,01 vara tillförlitligt och är felet mindre än 0,1 anses det vara tillfredställande [14].

4 Resultat

Resultat för simuleringen av tre-punkts böjprov presenteras i figur 8 nedan. Figuren visar högsta huvudspänningarna vid varje punkt på skivan. Det är därför övre halvan av skivan är grön (~0). Det finns tre huvudspänningar och övre halvan av skivan har en stor huvudspänning i tryck men ungefär spänningsfritt i de andra två riktningarna. Eftersom 0 är större än negativa tal så blir allt på övre halvan grönt. Vidare innebär negativa värdena att huvudspänningen är en tryckspännig medan de positiva motsvarar dragspänning. Den maximala dragspänningen och därmed materialets styrka som används för att beräkna säkerhetsfaktorn uppstod på botten sidan av skivan och den erhölls till 26,6 MPa och det relativa felet enligt ekvation 14 blev 1,5 %. För konvergens av resultatet för tre-punkts böjprov och resterande analys hittas i bilaga 8.

13

Figur 8: Drag och tryckspänningar för tre-punkts böjprov

Spänningsfördelningen under stabilt tillstånd på ovansidan av skivan redovisas i figur 9 nedan. Figuren visar den maximala huvudspänningen vid varje punkt i skivan. De röda områdena illustrerar de områden med högst dragspänning. För spänningsfördelningen motsvara de positiva värdena att området är i drag medan de negativa motsvarar att området är i tryck. Ytan som har en lägre temperatur vill dra ihop sig men det inre som har en högre temperatur kan inte kontrahera och detta leder till att dragspänningar uppstår i ytan. Den högsta maximala dragspänningen blev 19,8 MPa med ett relativt fel på 0,1 %.

14

Under uppvärmning var spänningen beroende av tid och detta kan ses i figur 10 nedan. Figuren visar största, medel och minsta värde av maximala huvudspänningen. Y-axeln är maximal huvudspänning, Pa och x-axeln är tid,s. Den gröna grafen anger den maximala dragspänningen vid olika tidpunkter under uppvärmning. Den maximala dragspänningen erhölls vid slutet av uppvärmning då den gröna grafen växer hela tiden fram till lite mer än 30 minuter innan den når stabilt tillstånd. Den maximala spänningen beräknades till 20,122 MPa och ett relativt fel på 0,2 %. Vidare kan det från figuren läsas att det användes 30 steg för analysen under uppvärmning.

Figur 10:Graf över det termiska förloppet för skivan under uppvärmning

På samma sätt som figur 10 presenteras spänningarna som uppstod vid nedkylning presenteras i figur 11 nedan. Den gröna grafen i figuren har ett lokalt minvärde vid 14 500 sekunder annars är den en avtagande kurva och den högsta dragspänningen erhölls i början. I figuren kan det även ses att det behövdes 67 steg för analysen under nedkylning.

15

Figur 11: Graf över det termiska förloppet för skivan under nedkylning.

För den icke-centrerade lasten har fyra analyser gjorts under stabilt tillstånd och endast de som gav högst respektive lägsta värden av dem redovisas i figur 12 nedan. De två andra analyserna hittas i bilaga 4. Figur 12 visar den maximala

huvudspänningen på skivan sett ovanifrån. I bilden till vänster är centrumhållet förflyttad 10 mm radiellt till vänster mot termoelements håll medan i bilden till höger skedde förflyttningen i motsats riktning. Den maximala och den minsta

dragspänningen erhålls till 22,4 MPa respektive 19 MPa. Det relativa felet blev 0,05 % respektive 0,2 %.

16

5 Diskussion

Med hjälp av maximala huvudspänningskriteriet kunde maximala dragspänningar beräknas för konstruktionsmaterialet. Anledningen till att endast maximala dragspänning söktes var för att normalt tål keramer cirka 10 gånger större belastning vid tryck än drag [10]. Därav drogs slutsatsen att det var spänningen i drag som orsakade sprickan och sålunda bestämdes den genomsnittliga böjhållfastheten till 26,6 MPa. Detta värde blev lite större än den angivna materialstyrkan i databladet som kan ses i bilaga 1. Att värdet avvek lite var något förväntad då leverantören av skivan uppmanar sina kunder att göra tester på skivorna själva för att få ett mer noggrannare värde. Detta värde kan dock förbättras ytterligare då brottestet är beroende av både formen och dimensionen av skivan. I experimentet som Kanthal utförde användes en skiva med 150 mm i diameter medan den som har analyserats har diametern 170 mm. Dessutom hade skivan som använts för böjprovs testet bara tre håll till skillnad från den verkliga modellen som används i värmepaketet. För att få ett mer noggrannare värde bör en skiva med exakta mått användas.

Det kan ses i figur 10 och figur 11 att den maximala dragspänningen ökar respektive minskar utan att spika vid enskilda punkter bortsett från de två enskilda fall, vid början av uppvärmning och i slutet av nedkylning. Dessa kunde bortses för lokala max respektive mini värdet är litet jämfört med den globala. Under uppvärmningen ökar den maximala dragspänningen till sitt högsta värde vid slutet av simulationen. Detta beror på att ju varmare skivan blev desto större temperaturgradienten blev. Detta tyder på att den maximala dragspänningen uppstår under stabilt tillstånd och där förändras ej temperaturen vilken i sin tur innebär att spänningsfördelningen heller inte ändras med tiden. Från resultaten ser man också att maximala dragspänningen vid slutet av uppvärmning blev lite större än den under stabila tillståndet och detta antogs bero på de antaganden som har gjorts för just uppvärmning och nedkylnings analysen. Denna slutsats kan förstärkas om man ser figur 11, där vid början av nedkylning har kurvan sitt högsta värde sen avtar den till det som var vid början av uppvärmning. I analysen som utfördes för eventuella icke-centriska mekaniska belastning som kan förekomma till följd av fel vid monteringen, som illustrerades i figur 12 kunde man se att en icke- centrerad belastning inte gav upphov till stora avvikelser. Detta berodde på att en stor andel av spänningen uppstod på grund av den termiska lasten. Den maximala dragspänningen utan inverkan av temperaturen blev endast 2,24 MPa, se figur 16 i bilaga 4. Vidare kan man även dra slutsatsen att förflyttade hålplaceringar på skivan inte heller ändrade resultatet märkvärdigt och återigen för att de termiska spänningarna är stora. En sak som kan vara värt att notera är att beroende på vilken riktning hållen förflyttas kunde den maximala dragspänningen bli lite större eller mindre än vid då lasten är centrerad.I den högra bilden i figur 12 kan man konstatera att då centrumhållet förflyttades 10 mm radiellt till höger mot termoelements håll fås den maximala dragspänningen till 19 MPa vilket anses vara liten. Men i verkligheten är denna uppställning inte önskvärt eftersom då skulle metallröret värmas ojämnt vilket skulle dels vara dåligt för uppvärmningen och dels göra att röret kan böjas med tiden.

17

Huruvida den icke-centrerade lasten påverkar resultatet då temperaturen ändras med tid har inte undersökts i denna analys, men det skulle kunna vara föremål för vidare studier.

En viktig faktor som i denna analys antogs vara konstant var värmeövergångstalet och för vidare arbete bör en ytterligare studie och en mer noggrannare analys genomföras. Förslagsvis genom att använda temperaturmätare. Därefter kan värmeövergångstalet beräknas för olika ytor av skivan såsom undersidan, ovansidan och även vid randen av skivan genom att iterera fram tills temperatursfördelningen i simulationen ser någorlunda liknade med den uppmäta yttemperaturen.

Ett medelvärde på den maximala spänningen från tre-punkts böjprov blev 26,6 MPa vilket gav en säkerhetsfaktor på 1,34. Däremot gav den minsta brottkraften som erhölls från kvalitetstestet en maximal dragspänning som låg på 21 MPa och denna gav en säkerhetsfaktor på 1,06. Emellertid testades endast 40 skivor men eftersom det är ett sprött material är 40 inte tillräckligt många tester och därav kan man inte ta det minsta värdet och försäkra sig att alla skivor kommer att klara sig utan att man ta hänsyn till spridning av materialstyrkan.

Med antagandet att de 40 mätvärden följer Weibullfördelning och med hjälp av ekvation 13 kunde sannolikheten till brott beräknas till 0,048. Denna antagande kan förstärkas om man ser på Weibulls grafen i bilaga 7. Där ses att mätvärdena följer Weibullfördelning bortsett från de minsta och högsta mätvärdena. Sannolikheten 0,048 betyder att 4,8 % av alla skivor som testas kommer gå av innan eller vid den minsta brottkraften från testet. I och med att den svagaste skivan från testet klarade belastningen som uppstod vid drift så går det att försäkra att minst 95 % av alla skivor kommer klara belastningen vid drift och därav kan slutsatsen dras att säkerhetsfaktorn 1,34 är tillfredställande. Vid vidare arbete skulle ett sätt att minska denna sannolikhet till brott vara att förbättra skivans dimension alternativt att tillverkningen av skivan förbättras. Ett annat sätt att få mindre spridning vilket i sin tur minskar sannolikheten till brott skulle kunna vara att testa ännu mer skivor när tre-punkts böjprov utförs och sedan kolla om den minsta materialstyrkan klarar belastningen och om den gör det behövs inte skivans dimension ändras.

18

References

[1] G. R. Liu & S.S. Quek (2003) The finite element method—A practical course. ButterworthHeinemann, Oxford, UK.

[2] Jonas Faleskog. FEM FÖR INGENJÖRSTILLÄMPNINGAR OH-MATERIAL KTH Hållfasthetslära, januari 2013.

[3] Taler, Jan & Ocłoń, Paweł. (2013). ‘Finite Element Method in Steady-State and Transient Heat Conduction’.

[4] E.J. Hearn. Mechanics of Materials 1, tredje upplagan. Butterworth-Heinemann, juli 1997.

[5] Bill Bergman och Malin Selleby. kompendium i Materiallära (KTM).

[6] N. Johnsson, ‘Analys och utredning av värmebeständiga keramer för användning i hybriddrivlinor för fasta bränslen’, examensarbete, Karlstads universitet, 2015. [online]:http://www.diva-portal.org/smash/get/diva2:846025/FULLTEXT01

[7] A. Eliasson, studierektor för Materialvetenskap. Diskussion om keramer (juni 2020).

[8] R. Gaillac, P. Pullumbi and F. Coudert (2006) Elate: an open-source online application for analysis and visualization of elastic tensors. Journal of Physics:

Condensed Matter vol.28. nu.27.

[Online]:http://progs.coudert.name/elate/mp?query=mp-5733

[9] Bechtel SAIC Company, LLC (2004), ‘Heat Capacity Analysis Report’

[online]:https://pdfs.semanticscholar.org/455d/f117984ca891ede93498188666a 3f03e4550.pdf

[10] Callister W. D., Rethwisch D. G., Materials Science and Engineering, 8th edition, SI Version. John Wiley & sons, 2010.

[11] Ćurković, Lidija & Bakić, A. & Kodvanj, Janos & Haramina, Tatjana. (2010). ‘Flexural strength of alumina ceramics: Weibull analysis’. Transactions of FAMENA. 34. 13-19.

[12] Cengel, Y.A. and Ghajar, A.J. (2015) Heat and Mass Transfer Fundamentals & Applications. 5th Edition, Grawhil Education, Stillwater.

[13] Pointer, J. (n.d.), ‘Understanding accuracy and discretization error in an fea model’, Woodward Governor Company.

[14] Sinclair, G., J.R, B. & S., S. (2006), ‘Practical convergence-divergence checks for stresses from fea’, Department of Mechanical Engineering, Louisiana State

19

Bilagor

20 Bilaga 2-Materialdata för stål

Denna bilaga innehåller rörets materialdata som använts i Ansys. Materialdata redovisas i tabell 2.

Tabell 2:Materialdata för structural steel

Parameter Värde Enhet Density 7860 Kg/m2 Tensile Yield Strength 250 MPa Compressive Yield Strength 250 MPa Tensile Ultimate Strength 460 MPa Compressive Ultimate Strength 0 MPa Coefficient of Thermal expansion 1,2 ∙ 10−6 _K−1

Young’s Modulus 200 GPa

Poissons ratio 0,3

Specific Heat 434 J/kg ℃ Isotropic Thermal Conductivity 60,5 W/m ℃

21 Bilaga 3-Värmeövergångstalet

I denna bilaga redovisas konvergensen av konvektionstalet, h. I figur 13 kan de ses att h konvergerar till 9,91 W/m2 C.

22 Bilaga 4-Spänningar

Denna bilaga innehåller bilder på spänningar som erhållits i Ansys. Figur 14–15 illustreras spänningsfördelningen för två fall då lasten var icke-centrerad och i figur 16 redovisas spänningsfördelningen för skivan utan effekt av temperaturen.

Figur 14: Maximala huvudspänningar för icke-centrerad last

23

24 Bilaga 5-Skiss av skivan

I denna bilaga redovisas en skiss på skivan med dess tillhörande komponenter samt temperaturen på dessa komponenter under drift.

25 Bilaga 6-Spridning av mätdata

26 Bilaga 7-Weibull plot

27 Bilaga 8-Meshstudie

Denna bilaga innehåller bilder på samtliga meshstudie som har gjorts. Figur 20–23 nedan visar hur resultatet konvergerar med ökade antal element för samtliga analyser.

Figur 20: Konvergensstudie för tre-punkts böjprov

28

Figur 22: Konvergensstudie för uppvärmning