Kan läromedelsuppgifter bråka?: En empirisk studie om elever kan ges möjlighet till förståelse i analoga läromedelsuppgifter vid addition och subtraktion av bråk med gemensam nämnare.

Kan läromedelsuppgifter

bråka?

En empirisk studie om elever kan ges möjlighet till

förståelse i analoga läromedelsuppgifter vid

addition och subtraktion av bråk med gemensam

nämnare.

Författare: Fanny Andersson & Evelina Clason Handledare: Berit Roos Johansson

Abstrakt

Analoga läromedel används av många lärare, men hur påverkas elevernas förståelse gällande addition och subtraktion av bråk med gemensam nämnare beroende på vilket val av analogt läromedel lärare arbetar med? Genom en empirisk undersökning kommer två analoga läromedel granskas med syfte att undersöka hur utvalda uppgifter kan skapa förståelse hos elever vid beräkning av det matematiska området. Syftet är även att tydliggöra hur val mellan dessa läromedel skulle kunna påverka elevernas förståelse för det matematiska området. Vid analys av resultatet har studien använt sig av Heddens teori, vilket inkluderar begreppen konkret-, semikonkret-, semiabstrakt- och abstrakt

nivå (Heddens, 1986). När urval av läromedel samt uppgifter genomfördes

användes metoden strategiskt urval (Eriksson Barajas, Forsberg & Wengström, 2013). Studiens resultat påvisar att läromedelsuppgifterna berör majoriteten av nivåerna i Heddens teori (1986), vilket i sin tur avgör huruvida eleverna får förståelse för det matematiska området. I studien fastslås det att eleverna bör få arbeta från den konkreta- till den abstrakta nivån med en systematisk progressionsprocess för ett optimalt lärande inom det matematiska området. Detta resultat skulle kunna värdesättas av lärare när de står inför val av undervisningsmetoder.

Nyckelord

Abstrakt nivå, analoga läromedel, bråk, bråkräkning, fallgrop, laborativa material, semiabstrakt nivå, semikonkret nivå, konkret nivå.

Tack

Tack till våra studievänner som opponerat på vårt arbeta och gett oss feedback samt tips för fortsatt utveckling av arbetet. Vi vill även tacka vår handledare Berit Roos Johansson som funnits till hands under hela arbetsprocessen. Tack även till Gleerups och Studentlitteratur som gett oss godkännande till användning av deras läromedel.

Innehållsförteckning

1 Inledning 1

2 Syfte och frågeställning 3

2.1 Syfte 3 2.2 Frågeställning 3 3 Litteraturbakgrund 4 3.1 Bråk 4 3.2 Addition 4 3.3 Subtraktion 5 3.4 Laborativa material 5 3.4.1 Tallinje 5

3.5 Kända svårigheter elever kan stöta på vid bråkräkning 6

3.6 Analoga läromedel 7 4 Teori 9 4.1 Heddens teori 9 5 Metod 11 5.1 Urval av läromedel 11 5.1.1 Prima matematik 12 5.1.2 Favorit matematik 12 5.2 Urval av uppgifter 13 5.3 Analysmetod 13 5.4 Etiska riktlinjer 14 5.5 Tillförlitlighet 15

6 Resultat och analys 16

6.1 Hur kan eleverna ges möjlighet till att skapa förståelse utifrån utvalda

uppgifter inom det matematiska området? 16

6.1.1 Prima matematik 3B 16

6.1.2 Mera Favorit matematik 3B 18

6.2 Vilken förståelse kan elever ges gällande det matematiska området utifrån

val av det ena eller det andra läromedlet? 20

6.2.1 Prima matematik 3B 21

6.2.2 Mera Favorit matematik 3B 21

7 Diskussion 23

7.1 Metoddiskussion 23

7.2 Resultatdiskussion 25

7.3 Slutsats och förslag till forskning 26

8 Referenser 28

9 Bilagor 31

9.1 Bilaga 1 – exempel på laborativt material 31

1 Inledning

Genom observationer som gjorts under lärarutbildningen har det gått att konstatera att skolor satsar allt mer på användandet av digitala läromedel. Usiskin (2018) menar att vissa lärare anser att analoga läromedel är föråldrade och blir även överflödiga i klassrummen då digitala läromedel tar mer plats. Vidare belyser författaren dock att digitala- och analoga läromedel behöver kombineras. En kombination mellan dessa två läromedel är det mest optimala för elevers lärande i området matematik (Usiskin, 2018). När observationer gjorts har det däremot visats sig att de lärare som observerats använder analoga läromedel i större utsträckning än digitala läromedel i sin undervisning. Detta innebär att det är stor sannolikhet att även nyutexaminerade lärare kommer stöta på analoga läromedel i deras kommande profession.

Enligt det centrala innehållet för årskurs 1–3 ska läraren undervisa om bråk, det benämns däremot som del av helhet samt del av antal i läroplanen (Skolverket, 2019). Ett godtagbart kunskapskrav för matematik i slutet av årskurs 3 är att eleverna ska visa grundläggande kännedom om tal i bråkform. Detta ska visas genom att eleverna ska kunna jämföra och namnge olika delar som enkla bråk efter att de delat upp helheter i olika antal delar. I grundskolan ska eleverna även, enligt Skolverket (2019), utveckla kunskaper om matematikens användning i vardagen samt börja bekanta sig med rationella tal där en del är bråkräkning. Vardagliga situationer där bråk används är exempelvis vid matlagning och bakning. Bråkräkning kan då innebära att eleverna behöver ha förståelse för addition och subtraktion av bråk med gemensam nämnare. Det kan vara exempelvis när de ska utöka eller förminska recept. Flera forskare (Lunde, 2011; Tian & Siegler, 2017) har dock kommit fram till att elever har svårigheter inom det här området. Tian och Siegler (2017) samt Sveider (2016) menar att tal i bråkform är ett av de mer betydelsefulla innehållen i matematikundervisningen och därför bör lärare fokusera mer på bråkinlärning. Tal i bråkform är en grund för elevers utveckling inom de områden i matematiken som fokuserar på de senare delområdena algebra, sannolikhet och matematik på en mer avancerad nivå. Under våra praktikperioder har även vi observerat att elever upplever bråkräkning som problematisk. Utifrån dessa observationer samt vad resultatet från vår föregående studie Nu ska vi bråka elever (Andersson & Clason, 2019) visar är det av stort intresse att forska vidare i vad eleverna möter för uppgifter när de ska addera och subtrahera bråk med gemensam nämnare. Forskningen sker i de två analoga läromedlen Prima matematik 3B (Brorsson, 2013) och Mera Favorit matematik 3B (Asikainen, Nyrhinen, Vehmas & Rokka, 2018), då vi upplever att lärare använder sig av analogt material i större utsträckning än digitalt material. I den här studien kommer vi därför analysera olika

uppgifter i analoga läromedel samt hur eleverna kan ges möjlighet till förståelse när de ska addera och subtrahera bråk med gemensam nämnare. Vi kommer även granska för hur val av de olika läromedlen kan bidra till elevernas förståelse gällande det matematiska området.

2 Syfte och frågeställning

2.1 Syfte

Syftet med studien är att kartlägga hur uppgifter i Prima matematik 3B (Brorsson, 2013) och Mera Favorit matematik 3B (Asikainen m.fl., 2018) kan ge elever förståelse gällande addition och subtraktion av bråk med gemensamma nämnare. Studiens syfte är även att tydliggöra hur val mellan dessa läromedel skulle kunna påverka elevernas förståelse för det matematiska området.

2.2 Frågeställning

• Hur kan elever ges möjlighet till att skapa förståelse utifrån uppgifterna i Prima matematik 3B och Mera Favorit matematik 3B när de ska addera och subtrahera bråk med gemensam nämnare?

• Vilken förståelse kan elever ges gällande addition och subtraktion av bråk med gemensam nämnare utifrån de två valda läromedlen?

3 Litteraturbakgrund

I litteraturbakgrunden definieras relevanta begrepp som anses vara centrala för studien. Utifrån resultatet från författarnas tidigare litteraturstudie Nu ska vi

bråka elever (Andersson & Clason, 2019) presenteras delarna bråk, laborativa material, tallinjen samt kända svårigheter elever kan stöta på vid bråkräkning.

Nya begrepp för den aktuella studien presenteras i delarna addition,

subtraktion samt analoga läromedel.

Kapitlet inleds med att definiera matematiska begrepp som bland annat bråk, addition och subtraktion. Därefter presenteras delen kända svårigheter elever kan stöta på vid bråkräkning. Utifrån resultatet som presenterades i den tidigare litteraturstudien kom författarna fram till att elever bland annat har svårigheter gällande bråk då det oftast krävs nya räkneregler. Ytterligare en utmaning för elever är att förstå bråkets uppbyggnad (Andersson & Clason, 2019). Sveider (2016) menar att bråk oftast presenteras som del av helhet samt del av antal men det är av stor vikt att läraren inte endast arbetar med dessa områden. Om eleverna enbart får arbeta med dessa områden kan det bli problematiskt för dem när de ska arbeta med andra begreppsmodeller inom bråk. Slutligen presenteras analoga läromedel då det anses vara ett väsentligt begrepp eftersom syftet med studien är att analyser uppgifter i analoga läromedel.

3.1 Bråk

Ett bråk består av täljare och nämnare, dessa två skiljs åt av ett bråkstreck och är ett uttryck av formen 𝐴

𝐵. A representerar täljarens position medan B visar

nämnarens placering (Siegler & Lortie-Forgues, 2017; Engström, 1997). Täljaren och nämnaren i bråket måste bestå av heltal, utöver detta får inte nämnaren vara lika med noll. Syftet med att använda bråk är för att representera en andel av en helhet, exempelvis 3

4 representerar tre av fyra delar

(Sollervall, 2015). Tal i bråkform kan uppfattas på olika sätt och kan uttryckas med hjälp av begreppsmodeller som exempelvis del av helhet och del av antal. Bråkdelar som ingår i samma helhet måste vara lika stora. Del av antal påminner om del av helhet men det som skiljer begreppsmodellerna åt är att vid del av antal delas delarna upp. Vid del av antal består helheten av ett antal föremål och fokus läggs på antalet delar samt att jämföra dem (Sveider, 2016; Nagy, 2017; Basturk, 2016).

3.2 Addition

vilket kan uttryckas i formerna a + b = c eller b + a = c. Exempelvis 4 + 3 = 7 eller 3 + 4 = 7, termerna byter plats men summan är densamma (Canobi, 2005; Mode, 1945).

3.3 Subtraktion

Vid användning av subtraktion subtraherar eller minskar den första termen utifrån vad den eller de andra termerna består av för tal. Termerna skiljs åt med ett subtraktionstecken (-). Subtraktion kan uttryckas i formerna a - b = c eller a - c = b, till exempel 8 - 3 = 5 eller 8 - 5 = 3. I subtraktion tillämpas inte den

kommutativa lagen då differensen kan bli ett negativt tal och det är inte alltid

det som efterfrågas (Canobi, 2005; Mode, 1945).

3.4 Laborativa material

Laborativa material anses vara hjälpmedel för att eleverna ska kunna lösa matematikuppgifter. Det ska helst bestå av fysiska föremål eller tryckta bilder av olika föremål. Detta skulle exempelvis kunna vara låtsaspengar, klossar eller en tallinje (Sveider, 2016). Eleverna ska kunna ta på, flytta och undersöka de fysiska objekten (Rystedt & Trygg, 2010). Laborativa material kan även delas in i två huvudgrupper; vardagliga föremål och pedagogiska material. Vardagliga föremål definieras som verktyg eller föremål i vardagen, arbetslivet eller naturen. Detta är exempelvis snäckor, kottar och stenar. Det pedagogiska materialet beskrivs som speciellt tillverkade för matematikundervisningen och kan användas antingen kommersiellt eller av lärare och elever. Exempel på pedagogiskt material är tärningar, lego och multilinks. För bilder på olika förslag av laborativt material se bilaga 1 – exempel på laborativt material. Det kan anses vara enkelt att särskilja på föremålen och materialen men gränsen mellan dem två är inte självklar. Då ett vardagligt föremål som stenar kan användas i pedagogiskt syfte och det pedagogiska materialet kubikdecimetermodellen kan användas som blomkanna är det inte alltid enkelt att veta vilken huvudgrupp föremålet tillhör (Rystedt & Trygg, 2013).

3.4.1 Tallinje

Tallinjen är ett redskap för att få förståelse för matematiska tal i ordningsföljd. Den illustrerar ordningen och storleken på nummer dessutom relateras den till aritmetiskt lärande. Elever kan även få förståelse att siffrorna representerar ett avstånd från noll. Vanligtvis börjar tallinjen på noll men med hjälp av pilar som placerats på ändarna av linjen illustrerar det att sifferraden är oändlig (Woods, Ketterlin Geller & Basaraba, 2018). Varje bråktal kan dessutom representeras som en punkt på en tallinje (Sveider, 2016). Exempelvis mellan siffrorna noll och ett finns bråktalen 1

4, 2 4 och

3 4 som

representeras av tre skilda punkter med lika avstånd på en tallinje, där siffran ett representerar 4

4. För förtydligande av bråktal på en tallinje se figur 1 nedan.

0 1 4 2 4 3 4 1 2 3

3.5 Kända svårigheter elever kan stöta på vid bråkräkning

Många elever har svårigheter med tal i bråkform på grund av att operationer med bråktal kräver nya räkneregler (Sveider, 2016). Siegler och Lortie-Forgues (2017) menar att en ny räkneregel kan vara när eleverna ska addera och subtrahera bråktal med gemensam nämnare, vilket då innebär att nämnaren blir orörd. Detta kan dock vara svårbegripligt för eleverna. En strategi som eleverna använder när de adderar och subtraherar bråk med gemensam nämnare är att de adderar och subtraherar i både täljare och nämnare då de ser bråktalet som två separata siffror istället för ett gemensamt tal. Den här strategin är felaktig vid beräkning av addition och subtraktion av bråk men är korrekt vid beräkning av multiplikation och division av bråk (Braithwaite, Leib, Siegler & Mcmullen, 2019; Tian & Siegler, 2017; Sveider, 2016). Figur 2 visar hur den här felaktiga strategin kan se ut vid addition samt den rätta strategin. Figur 3 demonstrerar hur den felaktiga strategin ser ut vid subtraktion samt hur den rätta beräkningen ska ske.

Exempel på felaktig strategi: 2 4 + 1 4 = 2 + 1 4 + 4

=

=

Figur 2 illustrerar fel och rätt strategi vid addition och är skapad av Fanny Andersson och Evelina Clason.

Figur 1 visar hur en tallinje ser ut. Skapad av Fanny Andersson och Evelina Clason med inspiration av Sveider (2016).

En utmaning elever kan stöta på inom bråkräkning är bråkets uppbyggnad. Hur bråket är uppbyggt kan vara svårbegripligt för eleverna, speciellt i de tidigare skolåren. Elever kan läsa bråket som två siffror, exempelvis 1

2 blir 1 och 2 som

liknar det matematiska uttrycket 1 + 2 eller talet 12 (Lortie-Forgues, Tian & Siegler, 2015). En annan svårighet som eleverna kan uppleva är bråktalens representation på en tallinje, då tallinjen anses vara abstrakt samt att lärarna inte ger tillräckligt med stöd gällande tallinjen (Gersten, Schumacher & Jordan, 2017; Sveider, 2016). Gersten m.fl. (2017) menar att tallinjen är användbar vid bråkräkning men fungerar dock bara om eleverna har förståelse för bråkets storlek. Detta innebär då att eleverna först måste ha förståelse för bråkets storlek innan de kan beräkna bråktal med hjälp av tallinjen. Utifrån en undersökning av Basturk (2016) anser dock lärare att det elever har svårast med att förstå gällande bråk är när de ska ordna bråk i storleksordning.

3.6 Analoga läromedel

Analoga läromedel eller läroböcker har en viktig roll i undervisningen och för lärandet, speciellt i matematiken. Läroböckerna ska förmedla olika strategier till eleverna samt vara utformade för att ”översätta” det abstrakta från läroplanen till verksamheten. Läroböcker ska även fungera som medlare från läroplanen till lärarna. Lärarna ska sedan ge instruktioner till eleverna i klassrummet (Fan, Zhu & Miao, 2013). En matematisk lärobok måste innehålla förklaringar till de matematiska områdena för att eleverna ska kunna lösa uppgifterna. Läroboken måste dessutom vara anpassad till en kurs, organiserad av ett ämne samt innehålla en innehållsförteckning. Flera matematiska analoga läromedel har även börjat innehålla mycket färg, då färg hjälper elever förstå samt skapar förståelse när nya matematiska begrepp introduceras som exempelvis algebra och geometri. Analoga läromedel har ofta en lärarhandledning som tillkommer. Detta för att ge lärare många och varierande uppgifter till innehållet samt redskap för att kunna utforma gynnsamma matematiska uppgifter till eleverna (Usiskin, 2018). Matematiska

Exempel på felaktig strategi: 4 5

–

=

= 3

–

=

=

Figur 3 illustrerar fel och rätt strategi vid subtraktion och är skapad av Fanny Andersson och Evelina Clason.

läroböcker har en central roll när lärare planerar lektioner. Enligt en studie av Alajmi (2012) som analyserat presentation av bråk i läroböcker utformade för grundläggande betyg i Kuwait, Japan och USA visar att läroböcker påverkar vad lärare lär ut, hur de lär ut innehållet samt vilka läxor och aktiviteter de ger till eleverna. Om ett område inte presenteras i läroboken är det osannolikt att det kommer presenteras i klassrummet. Det är således väsentligt hur det matematiska området presenteras i matematikboken då det främjar hur det pedagogiska tillvägagångssättet blir samt för elevers olika möjligheter för lärande. Resultat har även visat att lärare använder matematikboken som sin huvudsakliga resurs när de väljer undervisningsmetoder (Alajmi, 2012).

4 Teori

Heddens teori bygger på att eleverna ska få förståelse för ett matematiskt innehåll genom att ta sig från konkret- till abstrakt nivå. Mellan dessa två nivåer finns semikonkret- och semiabstrakt nivå som även benämns som fallgropen. Genom att ta sig igenom de fyra nivåerna ska elevernas förståelse för matematik utvecklas. Nivåernas ordningsföljd är konkret-, semikonkret-,

semiabstrakt- och abstrakt nivå (Heddens, 1986).

4.1 Heddens teori

Många elever har, enligt Heddens (1986), problem med förståelse för matematik speciellt när de ska förstå det konkreta genom det abstrakta. Målet med att jobba utifrån Heddens teori är att nå den abstrakta nivån. Detta sker genom att börja på den konkreta nivån för att sedan successivt ta sig till den abstrakta nivån. Mellan dessa två nivåer finns semikonkret- och semiabstrakt nivå som även benämns fallgropen (Heddens, 1986). Heddens (1986) menar att elever kan fastna i fallgropen om de inte får tillräckligt med kunskap när de befinner sig i dessa nivåer. Eleverna måste då skaffa sig ny kunskap från den konkreta nivån och sedan ha en systematisk progression under alla de olika nivåerna för att kunna ta sig till den avslutande nivån. Många elever har dock problem att ta sig vidare från fallgropen utan lärarens hjälp. Två processer för interaktion mellan verklighet och sinne är assimilation och ackommodation, det vill säga att eleverna behöver lära sig ny kunskap samt ompröva redan befintlig kunskap. Vissa elever tar till sig ny kunskap väldigt snabbt medan andra elever behöver mer tid då de behöver omorganisera deras mentala struktur för att assimilera ny kunskap. Alla elever måste däremot få tid på sig för att ta sig till den abstrakta nivån eftersom alla elever behöver olika mycket tid för att ta sig förbi fallgropen (Heddens, 1986). Det är vanligt att lärare ofta går vidare i undervisningen och presenterar ytterligare nytt material medan vissa elever fortfarande behöver tid för att assimilera den redan nya kunskapen. Således hamnar eleverna efter i undervisningen. För att eleverna ska kunna ta sig förbi fallgropen kan läraren ställa frågor som hjälper eleverna att ta sig från konkret till abstrakt nivå. Allt för många frågor i matematikundervisningen kräver specifika svar och uppmuntrar eleverna att endast memorera fakta. Elevernas tankeprocesser kommer inte till användning när frågor av den här karaktären ställs. Lärare bör ställa “hur”- och “varför”- frågor istället för “vad”- frågor. Genom systematiska frågor av läraren kan eleverna börja utveckla sina egna tankeprocesser och använda dessa tekniker i sitt eget tänkande. Läraren måste vägleda eleverna att utveckla färdigheter i att tänka. Frågor som läraren ställer kan skapa nya tankevägar, uppmuntra elever att fortsätta tänka i sina banor eller ge ledtrådar som stimulerar tänkandet när tankeprocessen tillfälligt har låst sig (Heddens, 1986). Figur 4 presenterar de olika nivåerna i Heddens teori på ett övergripande sätt.

Konkret nivå

Fallgropen

Semikonkret nivå Semiabstrakt nivå Abstrakt nivå

Figur 4 visar Heddens teori och är skapad av Fanny Andersson och Evelina Clason med utgångspunkt i Heddens teori (1986).

Vid arbete med Heddens olika nivåer sker arbete med material på olika sätt för att få eleverna att förstå matematik på ett begripligt vis på den nivån de befinner sig i. Eleverna måste få uttrycka sina tankar i ord och interagera verbalt med andra elever då det hjälper dem att klargöra sitt eget tänkande. När lärare arbetar med eleverna på konkret nivå används verkliga objekt för att förstå matematik, eleverna får arbeta med laborativt material som till exempel papperstallrikar liknande en pizza som är uppdelad i lika stora bitar. Eleverna arbetar med de laborativa materialen tills dess att läraren anser att eleverna har tillräckligt med kunskap från den konkreta nivån. Nästa steg är den

semikonkreta nivån där eleverna får arbeta med bilder på de laborativa

materialen istället, vilket då skulle kunna vara bilder på en pizza som är uppdelad i lika stora bitar. När eleverna tagit sig till den semiabstrakta nivån används symboler som representerar konkreta objekt men symbolerna ser inte ut som objekt. Cirklar som är uppdelade i lika stora delar kan till exempel användas istället för bilder på pizzan. Sedan när läraren anser att eleverna har tillräckligt med kunskap från de tidigare nivåerna arbetar de i den abstrakta

nivån där siffror eller matematiska symboler tillämpas. I figur 5 synliggörs hur

lärare kan arbeta med de fyra olika nivåerna i praktiken.

Konkret nivå Semikonkret nivå Semiabstrakt nivå Abstrakt nivå

𝟑

𝟒

Figur 5 visar hur lärare kan arbeta med Heddens teori (1986) i praktiken och är skapad av Fanny Andersson och Evelina Clason.

5 Metod

Den metod som använts i studien kan benämnas tillämpad forskning. Detta innebär att de som tagit initiativ till forskningen ska kunna dra nytta av resultatet (Vetenskapsrådet, 2017). Genom att ha forskat i ämnet har kunskap getts om hur lärare bör arbeta med elever för att de ska lyckas få förståelse för bråkräkning, vilket vi kan tillämpa i vår kommande roll som lärare. Att forska innebär ett systematiskt sökande efter ny kunskap och inte bara en sammansättning av redan känt resultat, till skillnad från annat kunskapssökande (Vetenskapsrådet, 2017).

Vid skrivandet av det självständiga arbetet undersöktes vetenskapliga artiklar samt avhandlingar som gav mer förståelse gällande addition och subtraktion av bråk med gemensam nämnare. Studien bygger på en textanalys som har sin bakgrund i hermeneutiken. Detta innebär att skaffa sig en förståelse på ett djupare plan (Johansson & Svedner, 2010; Widén, 2019). De bråkuppgifter som fanns i läromedlen har beskrivits och förklarats men även analyserats utifrån Heddens teori (1986). När uppgifter från läromedel valts ut har de noggrant samlats in utifrån studiens matematiska område. Studien präglas då av en systematisk och kritisk analys som består av noggrann insamlad data. Genom att ha utgått ifrån Linnéuniversitetets formalia och layout har studien presenterats med klarhet, ordning och struktur (Johansson & Svedner, 2010; Vetenskapsrådet, 2017).

I metodavsnittet kommer fyra kriterier presenteras som studien utgick ifrån vid val av läromedel. Läromedlen kommer även presenteras utifrån förlagens egna ord. Urval av uppgifter från dessa läromedel kommer även presenteras. Vidare redovisas den analysmetod som använts för studien samt etiska riktlinjer där utgångspunkterna som studien utgick ifrån för att uppnå god forskningssed presenteras.

5.1 Urval av läromedel

Fyra kriterier sattes upp i början av studien för att kunna göra ett urval av olika läromedel. Eriksson Barajas m.fl. (2013) menar att detta är ett strategiskt

urval. Genom att studien hade kriterier skapades riktlinjer för vilka läromedel

som kunde tillämpas i studien. De kriterier som urvalet baserades på var följande:

• läromedlet ska vara utgivet efter 2011 eftersom att läromedlet måste grunda sig på den nuvarande läroplanen, Lgr 11,

• läromedlet ska utgå från de nationella målen i matematik, • läromedlen ska vara utgivet av olika förlag samt

Vidare gjordes ett manuellt urval av ett flertal olika läromedel. Studiens författare utgick från ovanstående fyra kriterier samt om läromedlet framställde addition och subtraktion av bråk med gemensam nämnare. Till en början granskades ett flertal matematikböcker dock upptäcktes det att böckerna utgick ifrån den tidigare läroplanen, Lpo 94, vilket innebar att dessa uteslöts. Flera av de läromedel som analyserades utgick från Lgr 11 men innehöll inte beräkning av bråk utan utgick endast från bråkområdet del av helhet samt del av antal. Somliga läromedel behandlade inte området bråk överhuvudtaget. Dessa läromedel var inte aktuella för den här studien och sovrades därför bort, vilket innebar att de sorterades bort (Strömqvist, 2019). Studiens fokus var på läromedel avsedda för årskurs 3 samt läroboken B, då det var störst sannolikhet att beräkning av bråk togs upp där. Efter gallring av flera olika läromedel valdes slutligen två ut, Prima matematik 3B (Brorsson, 2013) och Mera Favorit matematik 3B (Asikainen m.fl., 2018). Dessa läromedel uppfyllde de fyra kriterierna och innehöll addition eller subtraktion av bråk med gemensam nämnare. En kort redogörelse kommer ges om respektive läromedel. Beskrivningarna bygger på förlagens egna uttryck om materialen.

5.1.1 Prima matematik

Prima matematik serien är ett basläromedel för årskurs 1 - 3. Materialet har förankring i Lgr 11. Varje kapitel i Prima matematik börjar med målbeskrivning och en samtalsbild följt av mattelabbet. I mattelabbet arbetar eleverna konkret med laborativ problemlösning. Därefter arbetar eleverna med

grundspåret och återkopplar till målen från startuppslaget. Grundspåret

avslutas med en diagnos, kopplad till målbeskrivningen och därefter följer

repetition samt utmaning till varje kapitel. I slutet av boken finns sidorna tänk till och träna mer där eleverna ges möjlighet att använda och befästa sina

kunskaper. Elevböckerna är strukturerad i två upplagor, A respektive B. I A-boken arbetar eleverna med kapitel 1–5 medan B-A-boken bygger vidare med kapitel 6–10. I B-boken får eleverna befästa och fördjupa sina kunskaper om tal och positionssystemet, huvudräkningsstrategier, skriftliga räknemetoder, bråk, multiplikation, division, uppskattning och mätning. Eleverna får i boken träffa karaktärerna Milton, Polly och musen Primus. Prima matematik finns som analogt- och digitalt läromedel samt en ny version av materialet som har tillkommit för förskoleklass. Lärarhandledning finns att tillgå. Detta läromedel är utgivet av förlaget Gleerups (Brorsson, 2013).

5.1.2 Favorit matematik

Favorit matematikserien är ett basläromedel som är beprövat och förankrat i Lgr 11. Grundarna av detta material kommer ursprungligen från Finland men

Favorit Matematik som är den första versionen samt Mera Favorit matematik

som är den andra versionen och är tänkt att utmana eleverna ytterligare. Varje elevbok är uppdelad som A- respektive B-bok. Syftet är att hinna med A-boken första terminen och B-boken andra terminen. Läromedlet finns tillgängligt som ett analogt- samt digitalt läromedel. Till läromedlet finns även en lärarhandledning. Varje elevbok är uppdelad i fem kapitel som inleds med basuppgifter sedan tillkommer extrauppgifter i Öva och Pröva till respektive kapitel. I varje kapitel finns även Favoritsidor, Vad har jag lärt mig? och

Sallys hinderbana. Under favoritsidorna får eleverna lära sig matematik

genom spel och aktiviteter där problemlösning och matematiska resonemang övas. Aktiviteterna stödjer en mångsidig matematikinlärning. ”Vad har jag lärt mig?” är en diagnos där eleverna och lärarna har möjlighet att formativt utvärdera arbetet. Sist i kapitlet finns ”Sallys hinderbana” där eleverna repeterar de begrepp och moment som kapitlet handlat om. I boken får eleverna träffa karaktärerna Charlie, Isa, skatan Sally och ekorren Kurre. Favorit matematik serien är utgiven av förlaget Studentlitteratur i Sverige (Asikainen m.fl., 2018).

5.2 Urval av uppgifter

Efter att läromedel valts ut påbörjades granskning av dess uppgifter. För att uppgifterna skulle lämpa sig för studien var de tvungna att innefatta addition eller subtraktion av bråk med gemensam nämnare. Detta benämns som ett

strategiskt urval (Eriksson Barajas m.fl., 2013). Om uppgifterna endast

fokuserade på del av helhet eller del av antal uteslöts de från granskning. Studiens syfte togs i beaktning när uppgifterna valdes i Prima Matematik 3B (Brorsson, 2013). Boken innehöll främst del av helhet samt del av antal inom det matematiska området bråk. Fem uppgifter bestod av addition av bråk med gemensam nämnare, däremot påträffades inga subtraktionsuppgifter inom området. Alla de fem additionsuppgifterna valdes att granskas och analyseras. Vidare när uppgifter i Favorit Matematik 3B (Asikainen m.fl., 2018) skulle väljas utgick urvalet från det matematiska området. Bokens första kapitel behandlade tal i bråkform, där eleverna skulle skriva, jämföra samt addera och subtrahera bråk. Kapitlen innefattade 129 uppgifter gällande addition och subtraktion av bråk med gemensam nämnare. Av dessa uppgifter valdes 17 stycken ut för att undersökas och analyseras. Uppgifterna valdes då de bestod av tre olika representationer, det vill säga tre olika sätt att befästa kunskapen på.

5.3 Analysmetod

Studiens resultat analyserades utifrån Heddens fyra nivåer konkret-,

semikonkret-, semiabstrakt- och abstrakt nivå (Heddens, 1986). Uppgifterna

(Asikainen m.fl., 2018) granskades utifrån hur eleverna kan ges förståelse när de ska addera och subtrahera bråk med gemensam nämnare genom att placera in uppgifterna i lämplig nivå (Heddens, 1986). Dessutom analyserades vilken förståelse läromedlen kan bidra med för det matematiska området. Resultat- och analyskapitlet är strukturerat efter studiens två frågeställningar. I varje frågeställning analyserades läromedlen och dess utvalda uppgifter. Studiens resultat och analys sammanvävdes med varandra.

Vid analys av studiens första frågeställning placerades varje uppgift som innehöll addition eller subtraktion av bråk med gemensam nämnare in i den passande nivån av Heddens teori (1986). Det blev då tydligt hur läromedlet har valt att arbeta med det matematiska området. Under den andra frågeställningen analyserades vilken förståelse elever kan ges gällande det matematiska området utifrån de två valda läromedlen beroende på huruvida uppgifterna befann sig i Heddens nivåer (1986). Det vill säga ges eleverna tillräckligt med kunskap från uppgifterna för att de ska klara av att enbart arbeta med de matematiska symbolerna, vilket representerar den abstrakta nivån (Heddens, 1986).

Då studien är en kvalitativ textanalys var det ett ofrånkomligt krav att använda en eller flera av de tre analysdimensionerna. Studien bygger på en av dessa tre, vilket är den andra dimensionen då den innefattar att fokusera på läromedlens innehåll och uppbyggnad. Då studiens författare analyserade hur uppgifterna är utformade var det läromedlens språkliga beteckningar som undersöktes. Läromedel går även att beskrivas som skol- och utbildningstexter då de är producerade av enskilda personer och företrädare som befinner sig inom utbildnings- och skolsektorn (Widén, 2019).

5.4 Etiska riktlinjer

Studien har ägnat sig åt att analysera bråkuppgifter i två olika läromedel som är aktuella i verksamheten. För att genomföra den här typ av forskning har det krävts tillstånd från förlagen (Vetenskapsrådet, 2017). Kontakt med förlagen har tagits för att få tillämpa material i studien, enligt Gleerups (personlig kommunikation, 23 april 2020) samt Studentlitteratur (personlig kommunikation, 4 maj 2020) har godkännande getts.

Vetenskapsrådet (2017) belyser att forskningen har en viktig position och det ställs stora förväntningar på den. Det är av stort intresse att ny kunskap framhålls. Studien har tagit fram forskning av hög kvalité genom att ha förhållit sig till några allmänna regler. En regel som studien har förhållit sig till är att medvetet granskat och redovisat utgångspunkterna samt öppet redovisat de metoder som använts och det resultat som framkommit.

innehåller inget stulet forskningsresultat. Anledning till god dokumentation och arkivering för den data som samlats in, även kallad källdata, krävs då det inte är forskarnas personliga egendom då forskningen sker på Linnéuniversitetet. Källdatan tillhör myndigheten där forskningen utförs. Vetenskapsrådet (2017) beskriver för att ha god forskningssed kan forskare även utgå från CUDOS-kraven (tillgänglighet, vetenskaplighet, kreativitet och källkritik). Tillgänglighet innebär att forskarsamhället eller samhället har rätt till att ta del av forskningsresultatet, det ska inte hemlighållas eller döljas. Vetenskaplighet betyder att arbetet ska bedömas rent vetenskapligt och inte utifrån några andra kriterier som exempelvis forskarens kön eller ursprung. Med kreativitet menas att forskarens motiv ska vara att bidra med ny kunskap. Källkritik innebär att forskaren ständigt ska ifrågasätta och granska källdata samt egen forskning (Vetenskapsrådet, 2017).

5.5 Tillförlitlighet

Vid skrivandet av studien har vi utgått från de etiska principer som bland annat är ärlighet, tillförlitlighet samt objektivitet (Vetenskapsrådet, 2017). Flera författare (Allwood & Erikson, 2017; Johansson & Svedner, 2010) menar att det är positivt att vara objektiv vid skrivprocessen i forskningen, det vill säga fri från värderingar, vilket kan vara svårt att uppnå till 100%. Studien har präglats av objektivitet. Genom att inte ha vinklat källdatan har studien uppnått trovärdighet.

Då studien har präglats av olika tolkningar för hur bråkuppgifterna ska placeras i Heddens teori (1986) kan studien få ett annat resultat om liknande studie genomförs på nytt av andra forskare. Eftersom resultatet i studien endast innefattade granskning av analoga läromedel hade resultatet kunnat tolkas annorlunda om instruktioner och information från lärarhandledningarna hade undersökts. Bråkuppgifterna hade då eventuellt kunnat placerats i andra nivåer (Heddens, 1986).

Studien har genomsyrats av en korrekt referenshantering genom att vi sammanfattat eller skrivit om med egna ord från originaltexterna. Genom studiens referenslista och sökschema (se bilaga 2 – sökschema), som baseras på källor som angetts i den löpande texten, kan läsare kontrollera källorna på ett enkelt sätt. Då studien granskats av Urkund har den genomgått en kontroll gällande plagiering. Urkund är ett plagiatupptäckarsystem som används för att jämföra uppsatser med texter från internet samt andra uppsatser och examensarbeten. Med plagiering innebär det att författaren framställer andras verk som sitt eget (Blekinge Tekniska Högskola & Linnéuniversitetet, 2015).

6 Resultat och analys

I följande kapitel kommer studiens två frågeställningar att besvaras. Detta sker genom att presentera hur eleverna kan ges möjlighet till att skapa förståelse utifrån uppgifterna när de ska addera och subtrahera bråk med gemensam nämnare, samt vilken förståelse elever kan ges gällande det matematiska området utifrån de två valda läromedlen. Under respektive läromedel sammanvävs resultatet och analysen. Resultatet består av en presentation av de utvalda uppgifterna. Analysen består av att uppgifterna placeras in i Heddens fyra nivåer; konkret-, semikonkret-, semiabstrakt- och abstrakt nivå (Heddens, 1986). I första frågeställningen redogörs i vilken av Heddens fyra nivåer uppgifterna befinner sig. Vidare i den andra frågeställningen presenteras hur val av läromedel kan bidra till elevernas förståelse för det matematiska området.

6.1 Hur kan eleverna ges möjlighet till att skapa förståelse utifrån utvalda uppgifter inom det matematiska området?

Nedan kommer de utvalda uppgifterna i Prima matematik 3B (Brorsson, 2013) samt Mera Favorit matematik 3B (Asikainen m.fl., 2018) att presenteras. Uppgifterna som kommer att analyseras bygger på addition eller subtraktion av bråk med gemensam nämnare, det är beroende på huruvida uppgifterna är utformade som de placeras in i någon av Heddens nivåer (1986). Det vill säga vad för representation uppgifterna innehåller är avgörande för vilken nivå de ska placeras i.

6.1.1 Prima matematik 3B

Det finns fem uppgifter som handlar om att addera bråk med gemensam nämnare. Alla uppgifter finns på samma sida i bokens andra kapitel (kapitel 7 - Tidningsbesöket) i det så kallade grundspåret (Brorsson, 2013). Samtliga uppgifter kommer att presenteras och analyseras.

Överst på sidan finns en blå ruta (se bild 1) som introducerar eleverna till hur addition av bråk med gemensam nämnare utförs. I rutan finns även ett exempel på hur detta ser ut med matematiska symboler samt skrivet i text.

Vidare på sidan ska eleverna sedan addera bråk. Eleverna ska på de fyra första uppgifterna måla och skriva summan av de bråk som uppgifterna presenterar. Uppgifterna består i att eleverna först ska räkna ut summan av bråk som presenteras som cirklar och är uppdelade i lika stora delar där ett visst antal av delarna är färglagda. Eleverna ska själva färglägga summan i en tom cirkel med lika många delar. Den här typ av uppgift befinner sig, enligt Heddens teori (1986), i den semiabstrakta nivån eftersom cirklarna är symboler som representerar konkreta objekt. Därefter ska eleverna beräkna summan av samma uppgifter som tidigare, skillnaden är att uppgifterna istället består av matematiska symboler. Eleverna behöver endast skriva summan av täljaren då uppgifternas nämnare redan är utskriven. Uppgifterna visar då att nämnaren förblir orörd. Då eleverna enbart får arbeta med matematiska symboler placeras uppgifterna i den abstrakta nivån (Heddens, 1986). Se bild 2 för förtydligande av uppgifterna.

Bild 2 är tagen från Prima Matematik 3B (Brorsson, 2013, s. 40).

Den femte uppgiften är en textuppgift, där det inte står skrivet vilket räknesätt eleverna ska tillämpa. Under texten finns en svarsruta där eleverna alternativt kan visa med bild hur de löser uppgiften. Se bild 3 för förtydligande av uppgift. Eftersom uppgiften inte nämner konkret material, använder sig av bilder på konkret material eller symboler som representerar konkret material anses uppgiften hamna i den abstrakta nivån (Heddens, 1986).

6.1.2 Mera Favorit matematik 3B

Uppgifterna i läromedlet bygger på både addition och subtraktion av bråk med gemensam nämnare och finns i bokens första kapitel (kapitel 1 - Tal i bråkform). Totalt finns det 129 uppgifter som bygger på det matematiska området. Uppgifterna finns som basuppgifter i avsnitten 7 ”Addera bråk med lika stor nämnare” och 8 ”Subtrahera bråk med lika stor nämnare”. De finns även på sidorna Öva, Pröva, Vad har jag lärt mig? samt Sallys hinderbana (Asikainen m.fl., 2018). 17 uppgifter har valts ut för analys, dessa 17 uppgifter är av tre olika karaktärer.

Avsnitten där eleverna ska addera och subtrahera bråk har en liknande uppbyggnad. De inleds med en introducerande ruta med bilder och text om respektive område. Första uppgiften inleds med att eleverna får ett exempel på hur de ska addera eller subtrahera bråk med gemensam nämnare, för att sedan utföra beräkningen själva. Över varje ny beräkning finns det en sorts ”del av helhetsmodell”, där varje del representeras av en fyrhörning. Vid addition visar modellen hur många delar det finns totalt, vilket skrivs i nämnaren. Den visar även hur många delar eleverna ska utgå ifrån i täljaren (visas med blå färg) samt hur många delar som de ska lägga till i täljaren (visas med gul färg). Om det är någon del kvar av helheten visas den i vitt. Eleverna ska vid varje ny beräkning skriva hela bråktal med term och summa. Se bild 4 för förtydligande av uppgift.

Bild 4 är tagen från Mera Favorit matematik 3B (Asikainen m.fl., 2018, s. 30).

Vid subtraktion ska eleverna istället stryka fyrhörningar från modellen utifrån vad uttrycket säger, för att få fram differensen. Fyrhörningarna har färgen blå för att visa hur stor del av helheten som eleverna ska utgå ifrån, om det finns någon del kvar av helheten visas den i vitt. Dessa uppgifter med addition och subtraktion av bråk med gemensam nämnare befinner sig i semiabstrakt- och abstrakt nivå (Heddens, 1986). Då den ena delen av uppgifterna visar vad eleverna ska utgå ifrån för att genomföra sin beräkning med hjälp av en modell som även innehåller olika färger anses den här delen befinna sig i den semiabstrakta nivån. Den andra delen av uppgifterna när eleverna ska utföra själva beräkningen anses vara i den abstrakta nivån då eleverna arbetar med matematiska symboler (Heddens, 1986).

När eleverna ska beräkna subtraktion av bråk med gemensam nämnare får de arbeta med uppgifter där de ska tillämpa tallinjen. Vid första uppgiften visar ekorren Kurre med hjälp av en röd punkt var på tallinjen eleverna ska utgå ifrån när de ska utföra sin beräkning. För att tydliggöra hur eleverna ska lösa uppgiften används en pil som visar i vilken riktning Kurre hoppar samt hur många hopp Kurre gör, det vill säga hur eleverna ska utföra sin beräkning. Under varje tallinje utför eleverna sina beräkningar. Termerna står utskrivna, vilket innebär att eleverna ska utföra beräkningar för att ta reda på differensen. Nämnaren som visas i termerna under varje ny tallinje gestaltas som streck utöver siffran noll på tallinjen. Om exempelvis nämnaren är fem återfinns fem streck efter siffran noll. Vid den andra uppgiften visas endast Kurre och den röda punkten på utgångstalet. Här visas inte längre pilen, vilket innebär att eleverna själva ska visa hur många hopp Kurre ska ta utifrån vad som står skrivet i den andra termen. När eleverna sedan ska arbeta med uppgift tre och fyra är det endast den röda pricken som syns och visar var eleverna ska utgå ifrån när de ska göra beräkningarna. Här ska eleverna visa hur många steg de ska minska på tallinjen utan Kurre. På de två sista uppgifterna har eleverna varken Kurre, pilen eller den röda pricken till hjälp för att visa var de ska starta på tallinjen. De ska då utgå ifrån vad som står i den första termen för att visa var utgångspunkten är. Med hjälp av den andra termen ska eleverna visa på tallinjen hur många steg de ska minska för att få fram differensen. Se bild 5 för förtydligande av uppgifterna. Uppgifterna med tallinjen samt tillhörande bråkuttryck befinner sig i semikonkret- och abstrakt nivå (Heddens, 1986). Tallinjen kan betraktats som semikonkret i Heddens teori (1986) då det anses vara ett laborativt material. Då tallinjen är en bild på ett verkligt objekt och eleverna inte kan ta på eller flytta den befinner sig därför uppgifterna i semikonkret nivå. Bråkuttrycken där eleverna ska ta reda på differensen anses vara abstrakt nivå då uttrycken enbart består av matematiska symboler (Heddens, 1986).

I de sista uppgifterna som analyseras ska eleverna rita summan och differensen. Eleverna ska börja med att addera termerna för att få fram summan. Termerna består inte av matematiska symboler utan eleverna får istället arbeta med bilder på konkreta objekt. Första termen visar vad eleverna ska utgå ifrån när de sedan ska addera det som visas i den andra termen. Det är endast täljaren som visar olika objekt, nämnaren är konstant för varje uppgift. Eleverna skriver ut summan genom att rita det färdiga objektet. När de sedan ska subtrahera är det fortfarande bilder på konkreta objekt. Den första termen visar vad eleverna ska utgå ifrån och den andra termen visar vad som ska subtraheras från objektet för att få fram differensen. Likt additionen är det endast täljaren som visar olika objekt medan nämnaren är oföränderlig för varje uppgift. För förtydligande av uppgift se bild 6 nedan. Dessa uppgifter befinner sig i den semikonkreta nivån (Heddens, 1986) då de endast består av bilder på verkliga objekt. Om eleverna inte har befäst kunskap från den konkreta nivån finns det risk för dem att fastna vid dessa typer av uppgifter då de befinner sig i den semikonkreta nivån, vilket är en del av fallgropen (Heddens, 1986).

Bild 6 är tagen från Mera Favorit matematik 3B (Asikainen m.fl., 2018, s. 36).

6.2 Vilken förståelse kan elever ges gällande det matematiska området utifrån val av det ena eller det andra läromedlet?

Läromedelsuppgifterna kommer nedan att analyseras utifrån vilken förståelse elever kan ges möjlighet att utveckla inom addition och subtraktion av bråk med gemensam nämnare. Genom att uppgifterna tidigare placerats in i Heddens nivåer (1986) blir det tydligt vilken förståelse eleverna kan ges utifrån val av läromedel. Avsnittet presenterar de olika läromedlen i två avskilda delar. Varje del avlutas med en sammanfattning av resultatet för vilken förståelse läromedlet kan ge.

6.2.1 Prima matematik 3B

Efter kapitlets startuppslag ska eleverna arbeta med mattelabbet. Uppgifterna på dessa sidor är konstruerade för att eleverna ska arbeta med laborativt material. Mattelabbet 7 innehåller endast uppgifter som är kopplade till del av helhet. Inga instruktioner ges gällande att eleverna ska arbeta laborativt med varken addition eller subtraktion av bråk. Detta innebär att när eleverna sedan ska addera bråken (se bild 2) har de inte gått från konkret- till abstrakt nivå. Enligt uppgifterna i boken hoppar de över de två första nivåerna och arbetar direkt med semiabstrakt- samt abstrakt nivå. Eftersom eleverna börjar arbeta i den semiabstrakta nivån finns det enligt Heddens (1986) risk att eleverna kan fastna i fallgropen, då de inte har fått tillräckligt med kunskap med sig från de tidigare nivåerna. Om eleverna fastnar måste de skaffa sig ny kunskap från den konkreta nivån och sedan ha en systematisk progression för att ta sig till den abstrakta nivån (Heddens, 1986). Heddens (1986) menar att eleverna då ska använda sig av assimilation för att kunna ta sig vidare från fallgropen, vilket innebär att eleverna behöver lära sig ny kunskap. Vidare menar han att många elever behöver även hjälp och stöd av lärare för att komma vidare från fallgropen då flera elever har problem att ta sig vidare själva.

Prima matematik 3B (Brorsson, 2013) ger således inte elever full förståelse för addition av bråk med gemensam nämnare. Eleverna får i läromedlet arbeta med uppgifter som befinner sig i semiabstrakt- och abstrakt nivå och eleverna får inte stöta på uppgifter som innefattar den konkreta- eller semikonkreta nivån (Heddens, 1986).

6.2.2 Mera Favorit matematik 3B

I avsnitt 7 ”Addera bråk med lika stor nämnare” samt avsnitt 8 ”Subtrahera bråk med lika stor nämnare” (Asikainen m.fl., 2018) från det första kapitlet, där de 17 utvalda uppgifterna förekommer, är inga uppgifter konstruerade för att eleverna ska kunna arbeta laborativt. Eleverna får således inte arbeta konkretmed addition eller subtraktion av bråk med gemensam nämnare. Detta innebär att eleverna inte går från konkret- till abstrakt nivå i Heddens teori (1986) eftersom den första nivån inte förekommer i elevboken. Enligt uppgifterna i Mera Favorit matematik 3B (Asikainen m.fl., 2018) tar de inte med den första nivån utan arbetar endast med semikonkret-, semiabstrakt- och abstrakt nivå inom det matematiska området. Då eleverna inte får arbeta i den första nivån utan arbetar i någon av de tre senare nivåerna finns risk för att eleverna kan hamna i fallgropen (Heddens, 1986). Eleverna kan hamna i fallgropen om de inte får tillräckligt med kunskap när de befinner sig i semikonkreta- eller semiabstrakta nivån och måste då befästa ny kunskap från den konkreta nivån samt ha en systematisk progression under de senare nivåerna för att kunna ta sig till den sista nivån. Genom att använda sig av assimilation, vilket innebär att eleverna behöver ta till sig ny kunskap, kan de

ta sig ur fallgropen. Många elever behöver dock lärarens hjälp för att ta sig vidare från fallgropen (Heddens, 1986).

Mera Favorit matematik 3B (Asikainen m.fl., 2018) ger inte eleverna full förståelse för addition och subtraktion av bråk med gemensam nämnare. Eleverna får i läromedlet arbeta med uppgifter som befinner sig i semikonkret-, semiabstrakt- och abstrakt nivå men eleverna får inte stöta på uppgifter som innefattar den konkreta nivån (Heddens, 1986).

7 Diskussion

Diskussionen inleds med diskussion kring val av metod. Bland annat sker en diskussion kring hur utfallet hade kunnat bli om annan teori valts samt att utfallet hade blivit annorlunda utan det strategiska urvalet. Vidare i resultatdiskussionen redogörs att inget av läromedlen behandlar den konkreta nivån (Heddens, 1986), vilket leder till att läraren måste ta ett ansvar för att denna nivå behandlas ifall eleverna fastnar i fallgropen. Det diskuteras även huruvida tallinjen kan placeras olika i Heddens teori (1986) beroende på vilket ställningstagande som tas i beaktning. Detta hade kunnat påverka resultatet och analysen. Slutligen presenteras slutsats av studien samt förslag på vidare forskning inom det matematiska området.

7.1 Metoddiskussion

Vid val av olika läromedel skapades riktlinjer för att begränsa studiens utgång. Om dessa riktlinjer inte tagits i beaktning hade studien kunnat få en annan utgång samt inte varit inriktad på studiens syfte. Det resulterade i ett strategiskt urval genom att fyra kriterier tillämpades. Ett av dessa kriterier var ”läromedlet ska vara utgivet efter 2011 eftersom läromedlet måste grunda sig på den nuvarande läroplanen, Lgr 11” då urvalet av läromedel framförallt hade blivit större om kriteriet inte hade tillämpats. Om inte kriteriet hade tagits i beaktning hade det bidragit till svårigheter gällande att läromedlen hade utgått ifrån olika nationella mål. Detta är dessutom ett av studiens fyra kriterier ”läromedlet ska utgå från de nationella målen i matematik”. I och med att läromedlen utgår ifrån Lgr 11 gör att studien får ett mer applicerbart resultat för professionen. Ett annat kriterium är att läromedlen ska vara aktiv i verksamheten, vilket samverkar med kriteriet gällande Lgr 11. Om ett läromedel används aktivt inom professionen utgår det troligtvis från den nuvarande läroplanen. Ytterligare ett kriterium var “läromedlet ska vara utgivet av olika förlag” då det var av stort intresse att se hur olika förlag framställer addition och subtraktion av bråk med gemensam nämnare. Utöver dessa fyra kriterier var det även relevant om läromedlet framställde det matematiska området eftersom det visade sig att flertal läromedel inte behandlade bråkräkning. Utifrån egna erfarenheter har vi sett att skolverksamheten arbetar med beräkning av bråk under vårterminen i årskurs 3 vilket innefattar att skolorna arbetar med B-boken. Därför utgick vi ifrån att addition och subtraktion av bråk med gemensam nämnare benämns i B-boken i matematik för årskurs 3. Om inte ett manuellt urval tillämpats hade studiens omfattning ökat då studien hade kunnat utgå från fler läromedel, vilket troligtvis hade bidragit till sämre kvalité av studien då vi bland annat var tvungna att ta hänsyn till den tidsbegränsning som fanns. Läromedlen samt dess uppgifter hade då inte hunnit granskas. Detta resulterade i att endast två läromedel valdes ut. Till följd av att studien begränsades till analys av endast två läromedel minskades dess omfattning samt att validiteten för studien ökade. För att föra studiens

resultat framåt gjordes ytterligare en begränsning genom att helt utesluta läromedlens lärarhandledning.

När val av läromedel gjorts valdes därefter uppgifter från böckerna ut för vidare analys. Genom att även här använda ett strategiskt urval av uppgifter begränsades uppgifterna till studiens syfte, då uppgifter gällande del av helhet samt del av antal sovrades bort. Då Prima matematik 3B (Brorsson, 2013) endast innehöll fem uppgifter gällande addition av bråk med gemensam nämnare valdes alla dessa uppgifter ut för analys. Om färre uppgifter valts ut hade resultatet varit tunt, vilket således gjort det svårt vid analys av uppgifterna. Detta hade också inneburit att resultatet hade blivit av sämre kvalité. Mera Favorit matematik 3B (Asikainen m.fl., 2018) innehöll desto fler uppgifter med både addition och subtraktion av bråk med gemensam nämnare, boken innefattade 129 uppgifter. De 17 uppgifter som valdes ut bestod av tre olika representationer, det vill säga att uppgifterna innehöll bilder, symboler och siffror. Uppgifterna valdes ut då vi ville visa på hur elevboken behandlar både addition och subtraktion av bråk med gemensam nämnare. Samtliga uppgifter från de båda böckerna valdes ut med omsorg efter hur de kunde placeras in i Heddens fyra nivåer (1986) för att kunna visa på hur val av läromedel kan bidra med förståelse för det matematiska området.

Utifrån studiens två frågeställningar ansågs Heddens teori (1986) vara lämpligast, då den bygger på att eleverna ska få förståelse för ett matematiskt innehåll genom att ta sig från konkret- till abstrakt nivå. Eftersom den nuvarande studien bygger på författarnas tidigare systematiska litteraturstudie

Nu ska vi bråka elever (Andersson & Clason, 2019) användes Heddens teori

(1986) återigen då den även lämpar sig för att besvara den nuvarande studiens frågeställningar. Skulle en annan teori eller metod använts hade studien tagit en annan riktning och även fått ett annat resultat.

Då det har krävts tillstånd för att kunna genomföra den här typ av forskning har kontakt med de berörda förlagen (Gleerups och Studentlitteratur) tagits. Förlagen har gett godkännande för användning av deras material. Utan godkännande från förlagen hade studien försvårats genom att bilder från elevböckerna inte kunnat användas samt att uppgifterna inte kunnat analyserats. Vid kontakt med Gleerups gällande godkännande av användning av materialet efterfrågades även ett exemplar av elevboken. Gleerups skickade då ett elevexemplar av Mera Favorit matematik 3B (Asikainen m.fl., 2018), medan Prima matematik 3B (Brorsson, 2013) lånades av Linnéuniversitetet. Eftersom studien har förhållit sig till de allmänna reglerna samt etiska principer (Vetenskapsrådet, 2017) är studien tillförlitlig. Om dessa regler inte hade tillämpats hade studiens tillförlitlighet minskat. Studien har präglats av

undvika plagiering har studien använts sig en korrekt referenshantering genom att alla källor som angivits i den löpande texten finns angivna i referenslistan. Även ett sökschema har använts för att tydligt visa på hur de vetenskapliga artiklarna samt avhandlingar har hittats. Om inte studien tillämpat en korrekt referenshantering hade risk för plagiering kunnat inträffa. Studien har även gått igenom plagiatupptäckarsystemet Urkund för att säkerhetsställa att forskningen har genomförts på ett korrekt sätt.

7.2 Resultatdiskussion

Analoga läromedel används för att förmedla strategier samt förmedla det abstrakta från läroplanen till verksamheten (Fan m.fl., 2013). Detta är något båda läromedlen gör, då de hänvisar till det centrala innehållet samt kunskapskraven i Lgr 11. I Prima matematik 3B (Brorsson, 2013) presenteras nya mål för varje nytt kapitel medan i Mera Favorit matematik 3B (Asikainen m.fl., 2018) anges det centrala innehållet samt kunskapskraven längst ner på sidorna för basuppgifterna.

Efter analys av Prima matematik 3B (Brorsson, 2013) konstaterades det att elevboken endast innehöll fem uppgifter som behandlade addition av bråk med gemensam nämnare. Dessa uppgifter gick att placera in i den semiabstrakta- och abstrakta nivån (Heddens, 1986). Det fanns således inga uppgifter i detta läromedel som befann sig i den konkreta- eller semikonkreta nivån (Heddens, 1986). Enligt elevboken får därför eleverna inte arbeta med laborativt material eller använda sig av bilder som illustrerar konkreta objekt. I och med att eleverna inte arbetar med de två första nivåerna i elevboken finns det risk att de fastnar i fallgropen då de inte får med sig tillräckligt med kunskap från de första nivåerna. Det är därför viktigt att lärarna arbetar konkret med eleverna innan de påbörjar det matematiska området i elevboken. Lärarens roll är även väsentlig för om eleverna fastnar i fallgropen då många elever behöver hjälp med att ta sig från konkret- till abstrakt nivå (Heddens, 1986). Utifrån egna erfarenheter har vi sett att elever behöver hjälp från lärare om de fastnar vid matematiska uppgifter som behandlar den abstrakta nivån. De kan då behöva stöd i form av laborativt material, såsom multilinks eller låtsaspengar, för att förstå och klara av uppgiften. Eleverna kan dock ha svårt att inse att de behöver de laborativa materialen, vilket resulterar i att de inte kommer framåt när de ska göra sina beräkningar. Det är därför viktigt för eleverna att läraren finns till hands för att kunna hjälpa dem framåt i sin matematiska utveckling. I Prima matematik 3B (Brorsson, 2013) förekommer inte subtraktion av bråk med gemensam nämnare och enligt Alajmi (2012) påverkar läromedlet vilka områden i matematik som eleverna kan få förståelse för. Alajmi (2012) hävdar att om ett område inte presenteras i läromedlet är det osannolikt att det kommer introduceras i klassrummet. Därav är det av stor vikt att läraren behandlar subtraktion av det matematiska området för att eleverna inte ska gå miste om den förståelsen.

I Mera favorit matematik 3B (Asikainen m.fl., 2018) fastställdes det att matematikboken behandlade 129 uppgifter som riktade in sig på addition och subtraktion av bråk med gemensam nämnare. Av dessa uppgifter analyserades 17 stycken som gick att placera in i semikonkret-, semiabstrakt- och abstrakt nivå (Heddens, 1986). Läromedlet behandlade således inte den konkreta nivån i Heddens teori (1986), vilket innebär att eleverna enligt läromedlet inte får arbeta med laborativa material som består av fysiska föremål. Vid resultatets första uppgift i Mera Favorit matematik 3B, där eleverna ska utgå från “del av helhets modeller” när de ska addera eller subtrahera bråk, får eleverna börja med att arbeta i semiabstrakt- och abstrakt nivå, vilket innebär att det finns risk för att eleverna fastnar i fallgropen. Om detta skulle inträffa behöver eleverna gå tillbaka till att arbeta med den konkreta nivån för att sedan få en systematisk utveckling vidare till den abstrakta nivån (Heddens, 1986). Det är även av stor vikt att lärare finns till hands för eleverna då många elever behöver hjälp av lärare för att ta sig vidare från fallgropen. Ett alternativt arbetssätt där eleverna kan arbeta konkret med dessa uppgifter är att använda sig av klossar som representerar modellerna. Klossarna ska då vara av samma färg som modellens fyrhörningar i elevboken för att det ska bli tydligare för eleverna att klossarna verkligen representerar modellen. Som tidigare nämnt kan eleverna dock ha svårt med att inse att de behöver använda sig av laborativt material för att lättare förstå sig på uppgifter, därför är lärarens roll väsentlig för att eleverna ska kunna ta sig vidare i sin matematiska utveckling. Eleverna får sedan arbeta med tallinjer, vilket anses vara ett laborativt material. Dessa tallinjer går dock inte att ta eller flytta på utan är istället bilder på det konkreta objektet, det vill säga att dessa uppgifter befinner sig i semikonkret nivå. Gersten m.fl. (2017) samt Sveider (2016) menar att tallinjen anses vara abstrakt eftersom att eleverna kan uppleva det problematiskt med bråktalens representation på en tallinje samt inte ger tillräckligt stöd i elevers lärande. Gersten m.fl. (2017) hävdar att tallinjen endast är användbar vid bråkräkning om eleverna har förståelse för bråkets storlek. Med detta i åtanke skulle uppgifterna med tallinjen även kunna befinna sig i den abstrakta nivån men enligt Heddens teori (1986) består den abstrakta nivån av enbart matematiska symboler.

7.3 Slutsats och förslag till forskning

Sammanfattningsvis går det att fastslå att en uppgift som placeras i konkret nivå ger eleverna större potential för att lösa de kommande uppgifterna. Om en uppgift däremot befinner sig i semikonkret- eller semiabstrakt nivå har eleven större risk att hamna i fallgropen. Målet är att eleverna ska kunna arbeta med uppgifter som är på abstrakt nivå men om detta tillämpas utan att eleverna har tillräckligt med kunskap sedan tidigare kommer de inte klara av uppgiften.

konkreta nivån i Heddens teori (1986). Detta innebär således att eleverna kan riskera att inte få med sig tillräckligt med förståelse för det matematiska området och löper då större risk att hamna i fallgropen. Hamnar eleverna i fallgropen kan de behöva lärarens hjälp för att ta sig vidare. Det är då läraren som behöver hjälpa eleverna med att assimilera ny kunskap från den konkreta nivån så att de kan få en systematisk progression till den abstrakta nivån (Heddens, 1986). Då elevböckerna inte behandlar den konkreta nivån är det möjligt att den tillhörande lärarhandledningen berör nivån. Vi har däremot valt att avstå från att granska lärarhandledningarna då vårt syfte har varit att endast fokusera på analoga läromedel. Studien belyser för lärare i verksamheten vikten av att börja arbeta med konkret material för att sedan successivt arbeta mot det abstrakta. Detta för att eleverna ska få full förståelse för det matematiska område som ska läras. Lärare behöver därför ta detta i beaktning vid val av undervisningsmetoder i matematikundervisningen.

Studien har sin utgångspunkt i en empirisk undersökning om hur elever kan ges möjlighet till förståelse utifrån läromedelsuppgifter vid addition och subtraktion av bråk med gemensam nämnare. Som studien tidigare nämnt är det av stor betydelse att beräkna bråk då det är grunden för de senare delområdena algebra, sannolikhet och matematik på en mer avancerad nivå. En möjlig fortsättning på denna forskning skulle kunna vara att granska hur lärare i professionen arbetar med addition och subtraktion av bråk med gemensam nämnare utifrån analoga läromedel. Använder sig lärare av matematikboken som sin huvudsakliga resurs när de väljer undervisningsmetoder (Alajmi, 2012) eller arbetar de från konkret- till abstrakt nivå (Heddens, 1986).

8 Referenser

Alajmi, Amal Hussain. (2012). How do elementary textbooks address fractions? A review of mathematics textbooks in the USA, Japan, and Kuwait.

Educational Studies in Mathematics, 79(2), 239-261.

Allwood, C.M. & Erikson, M.G. (2017). Grundläggande vetenskapsteori: för

psykologi och andra beteendevetenskaper. (Andra upplagan). Lund:

Studentlitteratur.

Andersson, F. & Clason, E. (2019). Nu ska vi bråka elever: En systematisk

litteraturstudie om svårigheter med att addera och subtrahera bråk med gemensam nämnare samt hur lärare kan undervisa i detta område.

http://www.diva-portal.org/smash/record.jsf?dswid=5819&pid=diva2%3A1388009&c=1&se archType=SIMPLE&language=en&query=nu+ska+vi+br%C3%A5ka+elev er&af=%5B%5D&aq=%5B%5B%5D%5D&aq2=%5B%5B%5D%5D&aqe =%5B%5D&noOfRows=50&sortOrder=author_sort_asc&sortOrder2=title _sort_asc&onlyFullText=false&sf=all

Asikainen, K., Nyrhinen, K., Vehmas, P. & Rokka, P. (2018). Mera favorit

matematik 3B. (Upplaga 2). Lund: Studentlitteratur.

Basturk, S. (2016). Primary student teachers' perspectives of the teaching of fractions. Acta Didactica Napocensia, 9(1), 35-44. Retrieved from

http://proxy.lnu.se/login?url=https://search.proquest.com/docview/18265446 60?accountid=14827

Blekinge Tekniska Högskola & Linnéuniversitetet. (2015). Refero -

antiplagieringsguiden. Hämtad 2020-05-15, från https://refero.lnu.se/

Braithwaite, D., Leib, E., Siegler, R., & Mcmullen, J. (2019). Individual differences in fraction arithmetic learning. Cognitive Psychology, 112, 81-98.

Brorsson, Å. (2013). Prima Matematik 3B. (2.,[utök.] uppl.) Malmö: Gleerup. Canobi, K. H. (2005). Children's profiles of addition and subtraction understanding. Journal of Experimental Child Psychology, 92(3), 220-246. doi:http://dx.doi.org.proxy.lnu.se/10.1016/j.jecp.2005.06.001

Engström, A. (1997). Reflektivt tänkande i matematik: om elevers

konstruktioner av bråk. Diss. Lund : Univ.. Stockholm.

Eriksson Barajas, K., Forsberg, C. & Wengström, Y. (2013). Systematiska

litteraturstudier i utbildningsvetenskap: vägledning vid examensarbeten och vetenskapliga artiklar. (1. utg.) Stockholm: Natur & Kultur.

Fan, L., Zhu, Y., & Miao, Z. (2013). Textbook research in mathematics education: Development status and directions. ZDM, 45(5), 633-646.

Gersten, R., Schumacher, R., & Jordan, N. (2017). Life on the Number Line: Routes to Understanding Fraction Magnitude for Students With Difficulties Learning Mathematics. Journal of Learning Disabilities, 50(6), 655-657. Heddens, J. (1986). Bridging the Gap between the Concrete and the Abstract.

The Arithmetic Teacher, 33(6), 14-17.

Johansson, B. & Svedner, P.O. (2010). Examensarbetet i lärarutbildningen. (5. uppl.) Uppsala: Kunskapsföretaget.

Lortie-Forgues, H., Tian, J., & Siegler, R. (2015). Why is learning fraction and decimal arithmetic so difficult? Developmental Review, 38(C), 201-221. Lunde, O. (2011). När siffrorna skapar kaos: matematiksvårigheter ur ett

specialpedagogiskt perspektiv. (1. uppl.) Stockholm: Liber.

Mode, E. (1945). The Commutative Law. The Mathematics Teacher, 38(3), 108-111.

Nagy, C. (2017). Fler bråk i matematikundervisning. En aktionsforskningsstudie där lärare lär om progression Teaching about fractions in mathematics. Professional learning about progression with an action research approach. Göteborgs universitet.

Rystedt, E. & Trygg, L. (2010). Laborativ matematikundervisning: vad vet vi? 1. uppl. Göteborg: Nationellt centrum för matematikutbildning, Göteborgs universitet. http://ncm.gu.se/media/ncm/dokument/laborativ_mat_und.pdf (05-05-2020).