LÄRARPROGRAMMET
Hur tänkte du?
Elevers tänkande när de löser textuppgifter i matematik
Mathilda Johansson & Emma Persson
Examensarbete 15 hp
HÖGSKOLAN I KALMAR
Humanvetenskapliga Institutionen
Arbetets art:
Examensarbete, 15 hp
Lärarprogrammet
Titel:
Hur tänkte du?
Elevers tänkande när de löser textuppgifter i matematikFörfattare:
Mathilda Johansson & Emma Persson
Handledare:
Constanta Olteanu
SAMMANFATTNING
Denna studie handlar om elevers strategier för att lösa matematiska textuppgifter i årskurs 1. Undersökningen har gjorts genom intervjuer och observationer. Tjugo elever har deltagit i undersökningen, de kommer från två olika skolor i Kalmar kommun. Första analysen var intervjuer, som spelades in med hjälp av en diktafon. Genom denna analys kunde vi dela in textuppgifterna i två olika kategorier, problem eller rutinuppgift. I resultatet visade det sig att det fanns de elever som hade svårt med förståelsen av textuppgifterna och ansåg att uppgiften var ett problem. Dock fanns det de elever som lätt kunde ange ett svar och sedan på ett utförligt sätt förklara sitt genomförande under intervjun. Andra fasen av intervjuanalysen var att identifiera vilka strategier eleverna använde för att lösa textuppgifterna. Det visade sig att eleverna använde sig av tre av de fyra räknesätten som strategier för att lösa textuppgifterna. Andra analysen fokuserades på observationerna som gjordes vid intervjutillfällena. Vid observationen användes ingen teknisk utrustning, utan allt skrevs ner under intervjutillfället. När vi analyserade observationen visade det sig att eleverna använde andra strategier, som fingerräkning och gester, utöver räknesätten för att lösa textuppgifterna. I undersökningen ansåg vi att det var elever som hade svårt för olika begrepp, exempelvis hel och halv. Detta kan bero på att de inte gått igenom detta i sin matematik undervisning. Användningen av textuppgifter i matematik visade sig vara nästan helt osynliga enligt en av lärarna som vi samtalade med.
Nyckelord: matematik, textuppgift, lösningsprocess, strategier
ABSTRACT
This study deals with pupils in first grade and how they solve text tasks in mathematics and which strategies they are using. To find out about this we have performed interviews and observations. We interviewed twenty pupils from two different schools in Kalmar municipality, Sweden. Firstly we analyzed the interviews; these were recorded with a dictaphone. Thanks to the analysis we could divide answer from the tasks into two categories, problem or routine task. The result showed that there were pupils who had problems understanding the text tasks and
therefore found them to be problems. However there were pupils that gave a correct answer and a good explanation of how they solved the tasks during the interviews. Then we looked at the answers from the pupils when they solved the tasks. We could see that the pupils used three of the four rules of arithmetic. The second analysis focused on the observations that were done during the interviews. We did not use any technical device. When we looked at the observations we could see that the pupils were using other strategies besides the rules of arithmetic’s to solve the tasks. In the study we found that some pupils had difficulties with some concepts such as whole and half. This might be because they had not gone through those concepts in their math education. The use of text tasks in math was almost completely invisible according to one of the teachers we spoke to.
INNEHÅLL
1 INTRODUKTION...1
2 BAKGRUND ...2
2.1 Textuppgift som problem eller rutinuppgift ... 2
2.2 Problemlösningsprocess ... 3
2.3 Strategier vid problemlösning... 4
2.4 Problemlösningens vikt i skolans värld ... 6
3 UNDERSÖKNINGENS SYFTE OCH FRÅGESTÄLLNING ...8
3.1 Syfte... 8 3.2 Frågeställning ... 8 4 METOD ...9 4.1 Undersökningsgrupp ... 9 4.2 Intervjumetod... 9 4.3 Observationsmetod... 10 4.4 Genomförande ... 10 4.5 Databearbetning ... 11
4.6 Validitet och reliabilitet... 11
5 RESULTAT...12 5.1 Bullar ... 12 5.2 Äpplen... 13 5.3 Målarfärg... 13 5.4 Kakor ... 16 5.5 Lärarsamtal ... 17 6 DISKUSSION...18
6.1 Process och lösningsstrategier... 18
6.2 Textuppgifter som problem... 18
6.3 Egna åsikter ... 19
6.4 Fortsatt forskning... 20
7 TACK ...21
8 REFERENSLISTA ...22 BILAGA
1
INTRODUKTION
Hur tänkte du? Det är en fråga som är väldigt öppen för många olika svarsalternativ och det är detta vi vill undersöka i vårt examensarbete, alltså vad elever tänker när de arbetar med textuppgifter i matematik. Undersökningens huvudtanke är att analysera och försöka förstå elevernas tankegångar. Analysen har som utgångspunkt elevernas samtal när de löser sådana uppgifter. I dessa samtal har eleverna möjlighet att dela sina tankegångar med oss.
Efter kursen matematikutveckling fick vi ett intresse för matematikdidaktik. Vi funderade mycket på om textuppgifter verkligen används ute i verksamheten. När vi var ute på vår sista VFU märkte vi till vår besvikelse att de var nästan helt osynliga. Om textuppgifter i matematiken användes så var det som en extrauppgift för de som räknat klart det som huvudsakligen skulle göras.
Det kan finnas många orsaker till varför lärarna inte använder textuppgifter i matematiken eller vad dessa uppgifter har för funktion i en undervisningssituation, men det vi är intresserade av är: Hur tänkte eleven när han/hon löste textuppgifterna? Vi anser att det är viktigt för pedagoger att veta hur deras elever gör och tänker för att lösa en textuppgift i matematik. Det är även viktigt att tänka på att det kan finnas många olika lösningar beroende på textuppgiften. Vi anser att kloka tankar om lösningar av textuppgifter kan ha lika stor betydelse som att ange lösningens korrekta svar. Därför har vi valt att göra intervjuer med elever i årskurs 1 för att ta reda på detta.
2
BAKGRUND
I detta kapitel kommer vi att redogöra för vad forskningen avser med begreppen problem eller rutinuppgift, samt vilka lösningsstrategier som kan användas för att lösa problem inom matematiken. Vi kommer även att koppla detta till vad som står i läroplanen och kursplanen om matematiska problemlösningar i skolan. Dessutom kommer vi att tydliggöra hur dessa begrepp används i vårt arbete.
2.1
Textuppgift som problem eller rutinuppgift
Utgångspunkten i vårt arbete är begreppet textuppgift. Forskare (Hagland, Hedrén & Taflin, 2005) definierar en textuppgift som en uppgift som innehåller en given text utöver eventuella matematiska symboler. Vi använder i vårt arbete ordet textuppgift med den ovan beskrivna meningen.
Begreppet problem är svårt att definiera och det pågår just nu många debatter om hur begreppet kan definieras bland forskare inom matematikdidaktik (t.ex. Ahlberg, 1995; Hagland, Hedrén & Taflin, 2005; Mouwitz, 2007). Om man tittar i Svenska Akademins Ordlista (1998/2005) har ordet problem många betydelser: en fråga, en uppgift eller en svårighet. I matematikdidaktik används detta begrepp som exempelvis en uppgift som kräver tankearbete och analytisk förmåga (Ahlberg, 1995). Hagland, Hedrén och Taflin (2005) menar att en textuppgift är en tillämpning av matematik som kan leda till att utveckla en matematisk modell. En sådan uppgift kan vara ett problem, om den uppfyller tre villkor. Dessa är:
• En person som vill eller behöver lösa ett problem.
• Problem som antas av en person där problemet på förhand inte har en given procedur för att lösa uppgiften.
• Det krävs en viss ansträngning av henne/honom för att lösa problemet. En problemuppgift är enligt Gy07-undersökningen en uppgift där det inte räcker att tillämpa de standardmetoder man har lärt sig för att lösa det (Mouwitz, 2007). Enligt Malmer (1990) är ett problem en frågeställning som man vill lösa med olika matematiska modeller, som inte är givna på förhand. Hon menar att det finns både mycket enkla modeller och även mer komplicerade modeller. Hon vill förtydliga att en frågeställning kan vara problem för vissa elever men för andra kan det bara vara en automatiserad rutinuppgift.
Enligt Hagland m.fl. (2005) är en rutin- eller standaruppgift en övning som inte ställer några svårigheter för den som ska lösa uppgiften. De menar att det är en uppgift som eleven är bekant med och som bara innebär en ren färdighetsträning för eleven.
Det visade sig i Gy07-undersökningen att man var tvungen att göra en skillnad mellan problem och rutinuppgift. En rutinuppgift är en uppgift som kan lösas med hjälp av standardmetoder man lärt sig tidigare. Lösning av en rutinuppgift betraktas som ett exempel på procedurförmåga och inte en problemlösningsförmåga (Mouwitz, 2007).
2.2
Problemlösningsprocess
Ahlberg (1995) anser att problemlösningens karaktär är relativ, alltså att det är relationen mellan eleven och uppgiften som avgör om uppgiften är ett genuint problem. Ett sätt att bestämma vad matematisk problemlösning är i skolan är att beskriva problem som en frågeställning som ska lösas med en matematisk modell som inte är given på förhand. Forskaren Mouwitz (2007) beskriver ordet problemlösning som svårt att definiera. Han menar att det används på en mängd olika sätt och det är hopplöst att diskutera ordets fulla innebörd. Mouwitz anser att det är bättre att definiera uttryckligen vad man själv menar med ordet för att minska missförstånd.
Forskare (t.ex. Dahlgren m.fl. 1991; Eriksson, 1991; Polya, 1945/2004) presenterar hur problemlösningsprocessen går till.
Polya (1945/2004) kunde identifiera fyra steg i denna process. För att kunna lösa problemet måste man förstå det. Det som man måste ta reda på är: vad är det som är okänt? vad finns det för data? vad är det för ett slags problem? och så vidare. Det går även att rita figurer, introducera passande teckensystem (som exempel x och y) för att förstå och kunna lösa problemet. Därefter ska man göra upp en plan för att lösa problemet och hitta kopplingen mellan vad som är data och det som är okänt. Frågor som man kan ställa sig kan vara: har du sett det förut? Har du sett liknande problem? och så vidare. Enligt Polya kan man även försöka se om man kan lösa delar av problemet och titta tillbaka för att se om all data använts. När man har förstått problemet och gjort upp en plan är det dags för att genomföra det. Det första som görs är att se om varje steg finns med och sedan kontrollera att varje steg är korrekt besvarat. När problemet är löst ska man enligt Polya gå tillbaka och granska resultatet, därefter kan man se om det går att använda resultatet eller metoden till ett annat problem.
Eriksson (1991) beskriver sin problemlösningsprocess med hjälp av fyra olika steg. Han menar att dessa är viktiga att bearbeta var för sig och i en följd under hela processen. Dessa fyra steg är: förståelse, planering, genomförande och utvärdering. Förståelse handlar om att alltid veta vad som ska besvaras eller göras, alltså veta vad slutprodukten är. Om man inte använder tid för att uppnå förståelse för problemet, är det risk att undervisningstillfället går förlorat. Han anser dock att det är svårt att konkret visa på hur förståelsen ska nås och att det beror mycket på lärarens egen intuition och tålamod.
Med planering menas att eleverna själva gör en plan över hur uppgiften ska lösas. I ett problem behöver det inte finnas all information för att lösa uppgiften utan eleverna kan själva försöka komma på vad som behövs ta reda på. Att eleverna har förstått problemet och gjort upp en plan visar det sig om eleverna kan ställa relevanta frågor. Han menar även att de elever som inte ställer några frågor inte heller har den kunskapen och färdigheten att behärska ett sådant problem. Följande citat är en beskrivning av hur Eriksson definierar en plan:
För att kunna planera, behövs tekniker och arbetssätt, som är användbara och utvecklingsbara. Det är därför viktigt, att eleverna har tillgång till ett antal
strategier. Utan dem kan man inte planera ett målmedvetet problemlösningsarbete. (Eriksson, 1991, s.104)
Under genomförandeprocessen ska elevernas kunskaper utnyttjas och de ska även kombineras på ett bra sätt såsom räknefärdigheter, begrepp, språk och strategier. Detta ska bli en gemensam helhet.
Erikssons (1991) fjärde steg är utvärdering. Första fasen är att eleverna presenterar de strategier de använt för att sedan diskutera för och nackdelar om de olika strategiernas styrka för att lösa uppgiften.
De fyra stegen Eriksson (1991) använder sig av betonas även av Dahlgren, Fritzén, Sjöström och Wallebäck (1991). De menar att den första förutsättningen för att hitta en lösning är att förstå problemet, man måste kanske formulera det med egna ord för att förstå det. Efter förståelse av textuppgiften ska eleverna börja planera sitt upplägg för att lösa problemet. Frågor eleven kan ställa sig kan vara: Är alla delfrågor ställda? Har jag alla fakta/data som behövs? och så vidare. Författarna betonar vikten av att avsluta problemet med att värdera resultatet. För att kunna göra detta måste eleverna ställa sig frågor såsom: Är svaret rimligt? Har jag gjort rimliga antaganden? Deras problemlösningsprocess blir då att: Förstå – planera – genomföra – värdera. Lesters (1985) forskning visar att elever i år tre, fyra och fem gjorde, som han uttrycker det, en ”crunch the numbers”, det vill säga knäck koden, för att kunna lösa en textuppgift. Studien visar också att det var få elever som mötte problemet med felbedömningar, uppskattning eller liknande strategier. Han anser att det finns några principer som leder till elevernas problemlösningsbeteende. Några av dessa är:
• Problemets svårighet är beroende på storleken av talen och hur många tal det finns i uppgiften.
• Alla matematiska problem kan lösas direkt av en eller flera algoritmetiska uppställningar.
• Vilken uppställning som ska användas är beroende av vad det är för nyckelord i problemet. Nyckelordet i ett problem hittar man oftast i sista meningen eller i frågan.
2.3
Strategier vid problemlösning
När vi löser ett problem i matematik, använder vi olika strategier. Taflin (2003) påstår att ordet Strategi inte finns i det matematiska lexikonet. Enligt Svenska Akademins Ordlista (1998/2005), betyder ordet strategi tillvägagångssätt.
Lester (1996) definierar ordet strategi som en metod vilket vi använder vid problemlösning i matematik, medan Taflin (2003) refererar till Schoenfeld (1983) som anser att ordet strategi har en annan betydelse, han använder strategier i undervisningen. Han menar att det finns två olika val eleverna kan göra, antingen ett strategiskt beslut eller ett taktiskt beslut. Vilket beslut eleverna väljer menar han har en avgörande roll för hur framgångsrika de blir i att arbeta med problemlösning. Ett taktiskt beslut betyder att välja en metod som endast löser det enskilda problemet som eleverna har framför sig just nu. Han (dvs. Schoenfeld, 1983) menar att ett strategiskt val är mer omfattande och innehåller den kognitiva delen av
problemlösningsprocessen. Ett strategiskt val har även en större betydelse i längre perspektiv eftersom dessa kan tillämpas på kommande problem. Enligt Polya (1945/2004) är målet med heuristik att studera metoder och lagar av upptäckande och uppfinnande lösningar till problemet.
Eriksson (1991) anser att strategier ska vara en del av matematikundervisningen och det får inte bli som en sport att klara av att använda många strategier utan använda de som man känner till. I forskningen som Eriksson (1991) gjort använde klassen, som han undersökte, sig av sex olika strategier och det är vad han anser som det maximala antalet som man kan bli skicklig på. Några av dessa är: (1) gissa och pröva, (2) rita en bild, (3) söka mönster och (4) logiskt resonemang. Eriksson påpekar att logiskt resonemang inte är en egen strategi i sig utan den används med tankens hjälp och tillsammans med de andra strategierna.
Malmer (1990) påpekar att det viktigaste målet i undervisningen om problemlösning är att göra eleverna medvetna och förtrogna med enkla, men generella problemlösningsstrategier. Hon beskriver tre olika nivåer för att lösa ett matematiskt problem beroende på elevers förmåga att praktiskt lösa uppgiften. Malmers tre nivåer är följande:
1. Göra-Pröva. I den här nivån använder eleverna sig av praktiska föremål för att lösa det matematiska problemet.
2. Tänka-Tala. Vid den här nivån använder eleverna sig av muntlig redogörelse av svaret på uppgiften. Malmer anser att med hjälp av muntlig redogörelse kan eleverna gå från praktiskt handlande till att med ord beskriva vad de upplevt. 3. Förstå-Formulera är den tredje och sista lösningsnivån. När eleverna befinner sig
på denna nivå ska de kunna behärska att muntligt berätta och beskriva en räknehändelse. På denna nivå används huvudräkning och fingerräkning.
Enligt Malmer (1991) betraktas huvudräkning som en ”konst”, eftersom den ger möjlighet till kreativitet och fantasi. Skulle man fråga eleverna hur de uppfattar huvudräkning, skulle många faktiskt tro att det handlar om att ”ställa upp talen i huvudet” alltså som en typ av snabbalgoritm utan papper och penna. Hon pekar på olika effektiva förutsättningar för huvudräkning. Några av dessa är:
• gedigen taluppfattning
• förmåga att tillämpa räknelagar • fantasi och kreativitet
Enligt Unenge, Sandahl och Wyndhamn (1994) är taluppfattningen en förutsättning för att klara av att arbeta med matematik, bland annat med textuppgifter. De visar att det är brister i taluppfattningen som är den grundläggande orsaken till många elevers svårigheter med olika delar av matematiken. Fingerräkning används ofta i räkning. Eleverna har händerna på bordet eller i knäet med handflatorna eller handryggarna uppåtvända. Det finns även de elever som inte vill visa att de räknar på fingrarna och gömmer därför dem under bordet (Ahlberg, 1995). Enligt Neuman (1991) föredrar barn att använda fingrarna istället för konkreta material. Hon menar att barnen ersätter räkneorden med fingrarna för att kunna räkna ut en uppgift.
Lester (1996) anser att det finns olika strategier för att lösa ett matematiskt problem. Exempel på dessa strategier är att: (1) eleverna själva kan välja en eller flera operationer att arbeta med, (2) rita bilder, (3) söka mönster.
Enligt Hagland m.fl. (2005) kan man, istället för Malmers tre nivåer, dela upp en matematisk lösning i fyra olika uttrycksformer där eleverna använder sig av en eller några av uttrycksformerna. Några uttrycksformer är beskrivna på följande sätt:
• Konkreta uttrycksformer. Det innebär att eleven sorterar materialet för att kunna lösa problemet. Denna sortering skulle sen även kunna avbildas till en figur.
• Logisk/språklig uttrycksform innebär att eleven helt och hållet förklarar lösningen med hjälp av det talande språket. Eleven använder heller inga förkortade beskrivningar med matematiska symboler.
I vårt arbete kommer vi att betrakta en skriven matematisk uppgift som problem om eleverna inte förstår texten i respektive uppgift, eftersom då kommer lösningen att vara ett problem för eleven. En rutinuppgift är en textuppgift i vilken eleverna förstår texten och kan därefter använda olika strategier för att lösa denna uppgift.
2.4
Problemlösningens vikt i skolans värld
Johansson och Ryding (1996) anser att problemlösning är viktigt för att man som en aktiv medborgare i ett komplex samhälle inte ska bli lurad i vardagslivet. De menar att genom problemlösning kan man utveckla tankar, idéer, självförtroende, kreativitet och tålamod. Dessutom blir man bättre på att lära sig planera, upptäcka samband, få ett bättre logiskt tänkande och skaffa sig beredskap för situationer i vardagslivet. Enligt Emanuelsson, Johansson, Olsson, Nilsson, Rosén och Ryding (1995) bör det förekomma flera olika typer av problem i undervisningen och för att utvärdera elevernas kunskaper med exempelvis prov. Som lärare är det viktigt att man har en tanke bakom de problem eleverna får, så det inte blir som ett intelligenstest. Författarna menar att dessa typer av problem skulle förstöra mer än att bygga upp elevernas självförtroende. När man konstruerar problemuppgifter bör man tänka på de tankebanor och metoder som eleverna tillägnat sig i undervisningen så att eleverna kan lösa uppgiften med hjälp av dessa. Läraren bör dock se till att problemuppgiften inte blir en rutinuppgift för eleverna.
I Kursplanen för matematik (Skolverket, 1996) står det att eleverna ska få uppleva den glädje och tillfredställelse att kunna förstå och lösa ett problem. Målen som skolan ska sträva efter att eleverna uppnår är:
• utvecklar sin förmåga att förstå, föra och använda logiska resonemang, dra slutsatser och generalisera samt muntligt och skriftligt förklara och argumentera för sitt tänkande,
• utvecklar sin förmåga att formulera, gestalta och lösa problem med hjälp av matematik, samt tolka, jämföra och värdera lösningarna i förhållande till den ursprungliga problemsituationen (a.a.).
I tredje skolåret ska eleverna ha kunskap om att undersöka elevnära matematiska problem och kunna pröva olika lösningsstrategier och räknesätt (Skolverket, 1996). Eleverna ska även kunna uppskatta och reflektera över lösningar och deras rimlighet.
Enligt Lpo94 ska eleverna få möjlighet att ta initiativ och ansvar. De ska ges förutsättningar att utveckla sin förmåga att lösa problem. Eleverna ska även ha fått redskap för att kunna formulera och pröva antaganden och lösa problem och behärska ett grundläggande matematiskt tänkande och kunna använda det i vardagslivet (Skolverket, 1994).
3
UNDERSÖKNINGENS SYFTE OCH FRÅGESTÄLLNING
3.1
Syfte
Syftet med vår studie är att ta reda på hur elever tänker när de löser textuppgifter i matematik. I vår undersökning kommer vi att intervjua elever i årskurs 1, för att se vilka strategier de använder när de löser olika textuppgifter och om dessa textuppgifter orsakar problem eller om det bara är en rutinuppgift för eleverna.
3.2
Frågeställning
Vi bygger vår kvalitativa undersökning på följande frågeställningar:
- Vilka lösningsstrategier använder eleverna för att lösa ett matematiskt problem i årskurs 1?
- Vad är det som gör att en textuppgift blir ett problem eller en rutinuppgift för eleverna i årskurs 1?
4
METOD
Vi har gjort en empirisk, kvalitativ undersökning med elever i år 1, där vi valde att använda intervjuer och observationer som metoder för att undersöka våra frågeställningar.
4.1
Undersökningsgrupp
I vår undersökningsgrupp finns två klasser i årskurs 1, på två olika skolor i Kalmar. Vi kommer att i fortsättningen benämna skolorna som Skola A och Skola B, då vi anser att skolornas riktiga namn inte är relevanta för vår undersökning.
Skola A ligger i södra delen av Kalmar. Det är en stor skola där man bedriver verksamhet från F-klass till årskurs 9. Det finns många elever som går på Skola A där det finns två parallella klasser i varje år upp till årskurs 6, medan på årskurs 7-9 finns det tre parallella klasser. I skola A finns det 17 elever och av dessa elever har klassläraren valt ut de vi ska intervjua.(se Tabell 1).
Tabell 1. Presentation av informanterna
Den andra skolan, som vi kallar Skola B, ligger i nordvästra delen av Kalmar. Här går eleverna från F-klass till årskurs 6. Det finns bara en klass per årskurs. Skola B har ändå många elever då det går cirka 30 elever i varje klass. I skola B finns det 31 elever och vi kommer att intervjua tio stycken av dessa (se Tabell 1).
Sammanlagt har vi gjort intervjuer med 20 elever i årskurs 1. Vid intervjutillfällena var det elever som inte orkade genomföra alla textuppgifter och därför visar resultatet inte på 20 lösningar per textuppgift (se Kapitel 5).
4.2
Intervjumetod
Vår huvudfråga i intervjun är ”Hur tänkte du när du löste uppgiften?”. Anledningen är att denna fråga ger oss svar på vad eleven gjorde för att få fram svaret på uppgiften. Vi kommer även att ställa följdfrågor utifrån hur eleven svarar, detta kan vara både förskrivna frågor eller frågor som kommer upp under intervjuns gång. Vi använder oss av vad Patel och Davidson (2003) kallar för en ostandardiserad och ostrukturerad intervjuform. Detta för att få fram så mycket som möjligt om hur eleven med egna ord löser uppgiften. Därför är det viktigt att eleverna får ett stort talutrymme så att de kan svara på frågorna som ställs.
Vi valde intervju som metod i vår undersökning för att ha möjlighet att samla in information, som kan göra det möjligt att besvara våra frågor. Att intervjun är en
Skola Kön Antal elever Ålder Flickor 5 7-8 år A Pojkar 5 7-8 år Flickor 4 7-8 år B Pojkar 6 7-8 år
lämplig metod påpekas även av Gordon (1971). Patel och Davidson (2003) anser att intervju är en teknikmetod som samlar in information genom frågor. De menar att intervjuerna oftast är personliga. De skriver att en intervju bör genomföras i olika steg, där uppbyggnad, formulering och anonymitet är viktiga huvudgrupper (a.a.). Gordon (1971) menar att informationens tillförlitlighet ökar om man använder sig av öppna frågor. Han anser att vid öppna frågor får den intervjuade möjlighet att spontant berätta om det som ligger inom ramen för intervjuns syfte. Enligt Trost (2005) är en kvalitativ intervju en intervju där man ställer enkla och raka frågor och svaren man får är innehållsrika och komplexa. Enligt Patel och Davidson (2003) är:
syftet med en kvalitativ intervju att upptäcka och identifiera egenskaper hos den intervjuades uppfattning om uppgiften. Detta innebär att man aldrig i förväg kan formulera svarsalternativ för respondenten eller avgöra vad som är det sanna svaret på en fråga. (s. 78)
4.3
Observationsmetod
Vi valde att vid intervjutillfället även göra observationer. Det som vi främst ville observera var om eleverna använde sig av fingerräkning eller bordet som hjälpmedel för att lösa textuppgiften. Samtidigt som en av oss intervjuade satt den andra bredvid som en deltagande observatör. Enligt Patel och Davidson (2003) är vår observation en ostrukturerad observation. Vid denna observationsform används inget observationsschema utan allt det som sker ska registreras. Denna observationsform används ofta till ett utforskande syfte för att kunna inhämta tillräckligt med information.
4.4
Genomförande
Inför intervjutillfället kontaktade vi klasslärarna på de skolor vi ville göra undersökningen på. Mathilda har haft VFU på skola B medan Emma har haft det på Skola A, vi är därför kända för eleverna på varsin skola. Vi har även skrivit ett informationsbrev (se Bilaga 1) som skickats till de föräldrar vars barn kommer vara med i vår undersökning. Anledningen till att vi skickade ut ett informationsbrev till föräldrarna var att det är ett krav inom de forskningsetiska principerna. Med dem menas att man måste informera deltagarna om projektets uppgift och vilka villkor elevernas deltagande är. Man ska även berätta att det är frivilligt att delta och att deltagarna har rätt att avbryta (Vetenskapsrådet, 2002).
Vi bestämde oss för att använda oss av tio elever i 2 olika klasser, alltså sammanlagt 20 elever som blev intervjuade. Alla elever går andra terminen i årskurs 1. Innan intervjutillfället samtalade vi med läraren och visade textuppgifterna vi skulle använda och vi fick veta hur mycket eleverna hade arbetat med textuppgifter i matematiken. Vi bestämde oss inför intervjun att den av oss som kände eleverna mest intervjuade och den andra förde anteckningar och observerade eleverna. Vid intervjutillfällena erbjöds inget laborativt material, exempelvis klossar och stavar med mera.
Innan vi träffade eleverna hade vi ett samtal med läraren för respektive klass. Vi visade våra textuppgifter och fick deras synpunkter. Vi fick även veta genom detta samtal hur mycket lärarna använde textuppgifter i sin undervisning.
På Skola A och B hade läraren bokat en avskild plats där vi kunde sitta och göra intervjuerna. Det var läraren som gjorde urvalet av vilka elever vi fick intervjua. Vid varje intervju berättade vi vad vi gjorde där, alltså att vi skrev examensarbete och snart är färdiga lärare. Eleverna fick även förklarat hur intervjun skulle gå tillväga och att de fick avbryta när de ville, om de kände ett behov att göra det. Vi berättade att de var anonyma och att det bara var vi som skulle lyssna på inspelningen. Varje intervju började med att eleven fick läsa de givna textuppgifterna (en i taget) och sedan lösa uppgifterna. När svar kom, frågade vi: Hur tänkte du? för att få det mer förklarat. Vi ställde även följdfrågor till deras svar. Alla elever fick tre stycken textuppgifter som de skulle lösa i samtal med oss. Intervjuernas längd varierade mellan 2,5 minut till cirka 6 minuter på skola A, medan skola B:s intervjuer varade ungefär 5 minuter vardera. Detta var beroende på hur länge varje elev funderade på textuppgifterna. Vid avslutningen av varje intervju tackade vi för hjälpen och frågade om allt hade känts bra.
4.5
Databearbetning
Vi använde oss av diktafon vid intervjutillfällena. Dessa har vi sedan transkriberat. När vi hade analyserat intervjuerna valde vi att kategorisera eleverna utifrån om textuppgifterna var ett problem eller rutinuppgift. Kriterierna för kategorin problem var att eleven missuppfattade textuppgiften på grund av begrepp såsom tal, division, antal och så vidare. Eleverna som hamnade i kategorin rutinuppgift förstod textuppgiften och gav en korrekt lösning.
När eleverna var indelade i de två kategorierna började vi analysera intervjuerna på nytt med strategier som utgångspunkt. I vår observation kunde vi se vilka strategier eleverna använde. Här kunde vi bland annat se att de använde fingerräkning och gester för att förklara lösningen. Genom intervjun fick vi en muntlig redogörelse för textuppgiftens lösning och där förklarade eleverna uträkningen med hjälp av addition, subtraktion och division.
4.6
Validitet och reliabilitet
Validitet innebär att det som undersöks är det som man verkligen vill undersöka. Med reliabilitet menar Patel och Davidson (2003) att det verktyg som används för undersökningen är tillförlitligt. Eftersom vår undersökning är kvalitativ är det svårare att avgöra reliabiliteten då validiteten utgör en större del i undersökningen. Vi använde intervju som metod där vi hade formulerat frågor som vi sedan använde för att skaffa oss information. Detta kallas för innehållsvaliditet (Patel & Davidson, 2003).
5
RESULTAT
I undersökningen har vi använt oss av sex olika textuppgifter när vi intervjuade eleverna (se Bilaga 2). Vid varje intervju valde vi ut tre textuppgifter till varje elev, men det var inte alltid samma frågor till alla informanter, därför har vi inte 20 lösningar på varje textuppgift. Det visade sig att textuppgifterna ”Tomt” och ”Frukt” var för svåra för eleverna att förstå på grund av att eleverna inte hade gått igenom vikt och mått i skolan. I samtalen med lärarna i varje klass antydde de inte att dessa uppgifter var några problem för eleverna, men det visade sig att det var det, därför valde vi att sålla bort dessa textuppgifter när vi sammanställde vårt resultat för att få resultatet så trovärdigt som möjligt.
Sammanställningen av resultatet har vi valt att redovisa med hjälp av diagram för att lättare få en blick över elevernas tänkande. Varje diagram visar hur många elever som hade textuppgiften som en rutinuppgift eller som ett problem. När vi har analyserat svaren i de två grupperna, rutinuppgift och problem, har vi ansett att om eleverna inte förstår textuppgiften blir lösningen ett problem för eleven och om det är en rutinuppgift visar eleverna ett korrekt svar och förklaring på vad de använt för strategier. Vi har valt ut de svar som var mest utmärkande för varje textuppgift. Vi intervjuade både pojkar och flickor och när vi transkriberade dessa valde vi att benämna P= pojkar och F= Flickor, numret som står efter är vilken intervju vi var på.
5.1
Bullar
Den första textuppgiften (se Bilaga 2) var:
Du och två kamrater vill ha bullar. Det finns bara två bullar. Hur kan ni dela dem? (PRIM-gruppen, 2008)
Textuppgiften kommer från studiematerialet ”Matematik från början”. Vi valde den för att vi tyckte det var intressant att pröva en uppgift som PRIM-gruppen har använt i tidigare undersökningar. Det var arton elever som besvarade denna textuppgift. I analysen visade det sig att det var ett problem för alla.
Alla elevers svar på frågan var att varje person fick varsin bulle. Eleverna trodde nämligen att det bara var två kamrater som skulle dela på bullarna. Denna fråga visade sig vara svår på grund av att eleverna hade svårt att förstå att du och två kamrater är lika med tre personer, men när vi betonade du och två kamrater kunde de flesta eleverna lösa textuppgiften. Nedanstående transkript visar på hur en elev tänkte för att lösa textuppgiften ”Bullar”.
P3: Du och två kamrater vill ha bullar. Det finns bara två bullar. Hur kan ni dela dem?
P3: En får en bulle och en får den andra. M: Hur tänker du då?
P3: Eh … dom är två, osså e det två bullar. Så får den ena en och den andra en. Den var lätt.
M: Om vi tittar på det första. Du och två kamrater… P3: Åh! Två kamrater! Eh …
M: Hur många är ni då? P3: Fyra, eh, nej, tre. M: Visst.
P3: Eh …, man får en hel också delar man på den andra. M: Bra!
P3: Eller så delar man på en och den andra bullen så är eh, så pappa får den ena biten. Pojken använde sig av huvudräkningsprocessen. I denna process använde han sig av division, när han delade upp bullarna. Han beskrev tillvägagångssättet genom att med hjälp av händer och bord demonstrera hur han delade upp bullarna.
5.2
Äpplen
Den andra textuppgiften (se Bilaga 2) var:
Erik har fyra äpplen, Eva har två äpplen. Erik äter upp ett av sina äpplen. Hur många har de tillsammans då?
Äpplen delas och äts i skolan varje dag och därför valde vi den här textuppgiften för att eleverna lättare ska kunna relatera till den.
Det var sexton elever som fick textuppgiften ”Äpplen”, varav fem svar kunde kategoriseras som problem. Resterande 11 svar var enbart en rutinuppgift. Det visade sig i sammanställningen att det var många elever som kunde relatera uppgiften till verkligheten och därför blev det en rutinuppgift för dessa. Följande transkript visar att denna textuppgift är en automatiserad rutinuppgift för eleven.
P9: Erik har fyra äpple och Eva har två äpplen. Erik äter upp ett av sina äpplen. Hur många har de tillsammans då?
P9: Fem.
E: Fem stycken? Hur tänkte du när du räkna ut det då?
P9: Först hade dom sex, jag tog två plus fyra så det blir sex, så äter han upp ett äpple och då har dom ett mindre, så sex minus ett, då är det fem.
Pojken använde sig av huvudräkning som uträkningsprocess. De strategier han använde sig av var addition och subtraktion, han visade även på ett logiskt tänkande. Det fanns elever som uppfattade uppgiften som ett problem. Orsaken till detta är att eleven inte har förstått textuppgiften. Följande transkript är ett exempel på detta.
F9: Erik har fyra äpplen och Eva har två äpplen. Erik äter upp ett av sina äpplen. Hur många har de tillsammans då?… okej, han hade två och hon hade två, sen tar man upp en, tre E: tre, ja, hur tänkte du?
F9: För att man har ju först fyra för att två och två är ju fyra E: Ja
F9: för han har ju två äpplen å hon har också två äpplen, sen äter han upp ett så finns det bara tre kvar.
Flickan använder sig inte av de givna talen i uppgiften och kan därför inte ange ett korrekt svar. Flickans strategier för att lösa uppgiften var att använda sig av addition och subtraktion. Hon visade även ett logiskt tänkande på hur uppgiften skulle lösas men problemet låg i förståelsen av uppgiftens nyckelord.
5.3
Målarfärg
Den tredje textuppgiften (se Bilaga 2) som användes i vår undersökning var:
Ebba ska köpa målarfärg. En burk färg räcker till en halv vägg. Ebba ska måla fyra väggar, hur många burkar färg måste hon köpa?
Den här textuppgiften har vi konstruerat för att se om eleverna förstår begreppen hel och halv. Det var sjutton elever som fick denna uppgift. Utav dessa var det tio stycken som visade att de hade problem att lösa uppgiften, för de andra var det inget problem utan mer en rutinuppgift.
Första transkriptet visar på hur en pojke redogör för lösningen av textuppgiften ”Målarfärg”.
P8: Ebba ska köpa målarfärg. En burk färg räcker till en halv vägg. Ebba ska måla fyra väggar, hur många burkar färg måste hon köpa?
P8: Puh… åtta.
E: Hur tänkte du då? Hur räknar du ut det? P8: Eh… mm… hon skulle ju måla fyra väggar…
E: Aa…
P8: fyra burkar…så e d en halv vägg. E: Aaa…
P8: Sen så målar hon en halv vägg först… E: Mmm.
P8: Sen målar hon den andra halvan med den andra burken…
E: Mmm… P8: Så är den klar…
E: Hur många burkar har du använt då?
P8: Två. E. Mmm.
P8: Så har jag sex kvar. Så målar hon den andra väggen… eller den andra halvan ... den andra väggen ... målar väggen ... har hon användit fyra burkar ...
E: Mmm…
P8: Så tar hon den väggen… där … en annan vägg … där … med en halva … en burk … sen tar hon en till burk ... eh ... med målarfärg ... de va tre va? Jo, nä, jo det e det. Tre. E. Ja, tre väggar då.
P8: Åsså tar hon en till på en halva på en vägg och den väggen… och sen en till halva på den väggen ...
E: Ja, och då blev det ... P8: Åtta burkar. E: Jättebra. Kanon!
Pojkens förklaring till denna uppgift var väldigt välformulerad. Eleven använde fingrarna som hjälp för att beskriva hur hans tankegångar var kring uppgiften. Han tänkte att varje finger var en halv vägg och när han satte ihop två fingrar så var det en hel vägg och då hade han använt två burkar färg och så vidare. Detta visade pojken för oss under tiden han förklarade processen med ord. Pojkens strategier i lösningen av denna textuppgift var fingerräkning, addition och logiskt tänkande.
Andra transkriptet visar att pojken har problem med att lösa textuppgiften. Begreppen hel och halv kan vara orsaken till att textuppgiften blir ett problem för honom.
M: Ska vi läsa tillsammans?
P4 & M: Ebba ska köpa målarfärg. En burk färg räcker till en halv vägg. Ebba ska måla fyra väggar. Hur många burkar färg måste hon köpa?
Paus P4: Två.
M: Två burkar färg? Hur tänkte du då? P4: Ehh, jag bara tänkte.
M: Bara tänkte? Vill du försöka förklara? Kan du det? P4: Nej, jag bara tänkte.
M: Du bara tänkte? P4: Mmm.
I detta transkript har eleven svårt att uppfatta textuppgiften rätt. Pojken visar inte på några speciella strategier, utan bara ett tänkande. Han klarar inte heller av att förklara sin tankegång. Pojken har inte uppfattat antalet burkar och väggar och kan därför inte sätta det i relation till varandra.
5.4
Kakor
Den sista textuppgiften (se Bilaga 2) var:
Mia, Klara och Gustav har köpt en påse med kakor. I påsen finns det 8 stycken kakor. Hur ska de göra för att alla ska få lika många kakor? Textuppgiften är konstruerad så att eleverna får prova att dela upp kakorna i lika många delar. Med denna textuppgift ville vi se om det var någon skillnad om man delar ett större antal till skillnad från textuppgiften ”Bullar”. Det var 9 elever som fick textuppgiften. Det visade sig att textuppgiften var i hög grad ett problem då det var endast en elev som löste uppgiften på rutin. Problemet för de flesta eleverna visade sig vara uppgiftens fråga. Hur ska de göra för att alla ska få lika många? En del av eleverna gav jämnt antal kakor till de tre personer i uppgiften, men istället för att dela på de sista två valde eleverna andra alternativ, exempelvis ge bort, kasta och så vidare. Vi anser att eleverna missuppfattade uppgiften för att det var meningen att de skulle dela kakorna lika till alla.
Till denna textuppgift har vi valt ut att redovisa tre stycken utmärkande lösningar. Första transkriptet visar eleven sin förmåga att lösa uppgiften.
F5: Mia, Klara och Gustav… E: Ja…
F5: Hur många påsar köpte dom? E: En påse köpte dom. Och åtta stycken i. F5: Tre och så ska dom dela.
E: Mm, hur tänker du då?
F5: Det är tre som ska dela på åtta. Tre plus tre blir sex. Sen så måste man ju dela dom två sista. Då blir det fyra.
E: Bra, du är på rätt väg. Hur många fick dom vars som var hela kakor?
F5: sex… vänta…
E. Hur många var det var det till varje person? F5: Nä, det var bara två.
E: Då har du använt sex kakor som du säger. Vad ska du göra med dom sista kakorna då?
F5: Tre plus åtta blir fem. två till. De första kan, kan bli tre. O då blir det sex men då behöver man en till.
E: Ja, hur ska man göra då? Har du nån idé på hur man kan göra?
F5: Eh… Jag tror … måste dela nån av dom. E: Mm.
F5: Typ om man testar o dela en då? E: Ja.
F5: Då blir det alltså så här. Eh, då blir det… fem osså… en och så blir det sex. Det blir tre o fyra. Åh, hm. Det här var svårt.
E: Kommer du på nånting eller? F5: Nej inte en enda sak. E: Nä, då kan vi stoppa där.
Flickan klarar av att dela upp så att alla tre personer får lika många hela kakor. Hon vet även att hon måste dela de sista två kakorna för att det ska bli jämnt men hon kommer inte vidare till en slutlig lösning. Addition och division är de strategier som hon använder. Hon räknade mycket i huvudet och kunde sedan göra en muntlig redogörelse för tillvägagångssättet.
I transkriptet nedan visas ett exempel på hur eleven kunde lösa uppdelningen av kakorna. Det visar dock inte på att alla får lika många kakor.
P10: Mia, Klara och Gustav har köpt en påse… E: Mm, förstod du det?
P10: Ja, lite.
E: Det är ju Mia, Klara och Gustav, hur många är dom? P10: Tre
E: Tre stycken och så har du åtta stycken kakor och så vill du dela dom så att alla ska få lika många.
P10: Då, tre tre, E: Tre tre
P10: Nej, tre tre… nej tre tre två
Pojken klarade inte av att dela på de sista kakorna, utan ger tre till två och två till den sista. Han använde huvudräkning som process och i denna process använder han division som strategi för att lösa uppgiften, genom att han gör en uppdelning av kakorna.
Följande svar visar på att flickan, i det här fallet, kan relatera till verkligheten. I Lpo 94 (Skolverket, 1994) står det att varje elev ska kunna behärska ett grundläggande matematiskt tänkande och kunna använda det i vardagslivet. Flickan relaterade namnet Gustav som hennes kusin heter och för henne blev uppgiften en verklighet. Hon insåg problemet med uppdelningen när det fanns två kakor kvar och de var tre som skulle dela. Hon uttrycker sig med ”– det finns ju bara två och dom e tre, oj, oj…”, men kommer sedan på att man kan ge bort resterande kakor.
F8: Gustav, min kusin, ja. Mia, Klara och Gustav har köp…
E: Mm …
F8: Det är åtta, och dom är tre. E: Mm …
F8: Ja, jag vet inte. Åtta, åtta och dom är tre. E: Ja
F8: Då, Gustav får en, Mia får en och Klara får en.
E: Ja
F8: Gustav får en till, Mia får en till och Klara får en till.
E: Ja
F8: (skratt)
E: Hur många kakor är det? F8: Sex
E: Mm, hur många har du kvar? F8: Två
E: Ja, kan vi göra något med dom då? F8: Nej, jag vet inte
E: Du vet inte, du har inte idé vad man kan göra med dom?
F8: Det finns ju bara två och dom e tre, oj, oj E: ojoj
E & F8: (skratt)
F8: Man kan ge till mamma och pappa. Flickan använder sig av division, detta när hon delar ut kakorna och även addition när hon var tvungen att addera ihop hur många kakor som hade delats ut. När flickan skulle förklara för oss hur hon gav kakorna till personerna gjorde hon det genom att gestikulera med händer och armar. Detta visade sig i observationen som skedde under intervjutillfället.
5.5
Lärarsamtal
Vid samtalet med lärarna på de olika skolorna användes ingen diktafon på grund av att vi såg det mer som ett samtal och inte som en intervju. I samtalet lät vi lärarna berätta hur mycket textuppgifter används i matematikundervisningen. Läraren på Skola B ansåg att det inte fanns tid till att sitta ner med barnen och diskutera problemlösning och en del av eleverna hade fortfarande svårt att läsa. Läraren visade små bilder med kända sagor som hon brukar använda när de arbetar med problemlösning. Ett exempel på en uppgift kunde vara enligt läraren: ”Fem björnar ligger i sängen och det kommer en till. Hur många är de då?” Skola A:s lärare använde
problemlösning i undervisningen på grund av att det fanns med i det läromedelspaket som läraren använda sig av. Båda lärarna på skolorna visade inga tecken på att någon av textuppgifterna skulle vara svåra. Detta visade sig dock vara fallet när vi gjorde intervjuerna med informanterna.
6
DISKUSSION
6.1
Process och lösningsstrategier
Enligt resultatet visade det sig att eleverna hade många tankar kring lösningarna på textuppgifterna. Det kom även fram i undersökningen att eleverna använde sig av olika strategier såsom fingerräkning och huvudräkning, detta på grund av att det inte gavs möjlighet till laborativt material. När eleverna skulle lösa textuppgifterna som handlade om att dela upp, använde de flesta eleverna handen som hjälp för att dela upp kakor och bullar.
Elevernas första steg i problemlösningsprocessen var att få en förståelse över textuppgiften, antingen på egen hand eller med hjälp från oss. Förståelse är det första steget i Polyas (1945/2004) problemlösningsprocess. Därefter beskrev eleverna muntligt genomförandet av textuppgiftens lösning, detta är vad Eriksson (1991) beskriver i sitt tredje steg i problemlösningsprocessen.
Det fanns dock de elever vars läsförståelse inte var tillräckligt god för att förstå textuppgiftens innehåll. Dessa elever följde därför inte problemlösningsprocessen fullt ut. Det var intressant att se att ingen av eleverna gjorde upp en plan (se Polya, 1945/2004 Eriksson, 1991) för att kunna lösa textuppgifterna, utan eleverna gick direkt till genomförandet.
I elevernas problemlösningsprocess kunde vi identifiera att eleverna använder sig av sju strategier. Dessa är:
• Huvudräkning; addition, subtraktion, division och fingerräkning • Logiskt tänkande/resonemang
• Gester, för beskrivning av textuppgiften
Dessa sju strategier användes ofta tillsammans med varandra. De flesta eleverna kombinerade minst två strategier med varandra för att lösa de olika textuppgifterna. När eleverna använde strategin logiskt tänkande/resonemang befann de sig i Haglands m.fl. (2005) logisk/språklig uttrycksform, det vill säga att eleverna helt och hållet förklarar lösningen muntligt. Detta kan även kopplas till Malmers (1990) nivå Tänka-Tala. Eleverna använde sig av tre räknesätt för att lösa textuppgifterna. Detta kan vi koppla till Malmer (1991) som anser att förmågan att tillämpa räknelagarna har betydelse för huvudräkningsprocessen. Utöver användningen av huvudräkning såg vi att många elever använde sig av fingerräkning. Neuman (1991) menar att barn gärna använder fingrarna istället för konkreta material. I vår undersökning kunde vi observera att eleverna använde sig av fingerräkning för att lättare kunna lösa textuppgifterna.
6.2
Textuppgifter som problem
Under arbetets gång har vi insett, precis som forskarna (Mouwitz, 2007; Ahlberg, 1995 & Hagland m.fl. 2005), att definiera ordet problem är väldigt knepigt. Ett problem kan vara olika beroende på elevernas erfarenheter, situationen som de ställs framför och så vidare. Mouwitz (2007) menar att det är lämpligt att definiera ordet problem för annars kan det lätt bli missförstånd. Det har även visat sig i vår
undersökning att en textuppgift kan vara problem för vissa elever, men för andra var det bara en vanlig automatiserad rutinuppgift.
Vi ansåg att det var intressant att ta upp PRIM-gruppens (2008) textuppgift ”Bullar” med tanke på att den är gjord för tidigare undersökningar. Skulle vi använda oss av denna fråga igen har vi funderat på om vi skulle omformulera ”du och två kamrater” för att eleverna inte förstod hur många personer de var. Genom tips och idéer från exempelvis grundböckerna Mästerkatten (Öreberg, 2002), och Talriket (Andersson, 1991) kunde vi själva konstruera fyra av textuppgifterna. Textuppgiften ”Äpplen” föddes fram när vi läste House (2000) avhandling, där hon bland annat använde följande uppgift i sin undersökning:
Wendy had 13 cookies. She ate 6 of them. How many cookies does Wendy have left? (s. 59, Bilaga B)
Vi kunde även se att en del av eleverna kunde relatera till sin vardagliga omgivning, till exempel ge de resterande kakorna till mamma och pappa eller döpa om personerna i texten så att det blev mer personligt. Vi anser att eleverna som kunde relatera uppgifterna till verkligheten löste dessa med glädje.
En elev (F9) hade problem med att lösa textuppgiften ”Äpplen” och detta kan bero på att hon inte såg nyckelorden i textuppgiften, vilka är antalet äpplen varje person hade och hur många som åts upp. Enligt Lester (1985) finns nyckelordet i en textuppgift oftast i sista meningen eller frågan. Han anser att för att veta vilken uppställning som ska användas är eleven beroende av att veta vad det är för nyckelord i problemet.
Enligt Lester (1985) kan det vara problem för eleverna om det är för många tal eller för stora tal i en uppgift. Just detta problem visade sig i transkripten av eleverna F8, P10 och F5. Enligt Unenge, Sandahl och Wyndhamn (1994) är taluppfattningen en förutsättning för att klara av att arbeta med matematik. De vill understryka att det finns studier som visar att det brister i taluppfattningen och det är den grundläggande orsaken till många elevers svårigheter med olika delar av matematiken. Detta är vad vi anser kan vara orsaken till att textuppgiften ”Kakor” visade sig vara svår. Resultatet tyder på att tre personer som ska dela på åtta kakor skapar större osäkerhet än att dela två bullar på tre personer.
En elev (F5) kunde muntligt redogöra för sina tankegångar när hon berättade sin lösning till textuppgiften ”Kakor”. Enligt Malmers (1990) inlärningsnivå är ”Tänka-Tala”, den nivå som flickan befinner sig på. Enligt Malmer är samtal, ordförråd och erfarenhet grunden för att kunna göra en muntlig redogörelse av en matematisk lösning.
6.3
Egna åsikter
I undersökningen vi har gjort visade det sig att eleverna hade väldigt bra tankar om hur en textuppgift ska lösas. Det har varit väldigt intressant att få höra alla deras sätt att lösa de givna textuppgifterna. Ibland har det varit härliga förklaringar som visar på att eleverna verkligen har tänkt efter hur de skulle lösa textuppgiften, men ibland har det visat sig att eleverna har haft problem att förstå några av de givna textuppgifterna. Detta kan bero på att eleverna inte förstår alla begrepp, till exempel
att de inte har diskuterat halv och hel och detta kan försvåra textuppgiften. Det som hela tiden är återkommande är erfarenheten som eleverna har, ju mer erfarenhet de har desto lättare är det att lösa textuppgiften. Vi anser att erfarenheten inom de olika räknesätten har stor betydelse för att klara av att lösa liknande textuppgifter som vi gav eleverna. En annan orsak till att textuppgifterna var ett problem kan vara att eleverna inte såg uppställningen konkret, alltså att de inte såg exempelvis talen 5+4=__, nedskrivet såsom i deras läroböcker.
Under intervjutillfällena var det många elever som uttryckte hur roligt det var med matematik och någon elev ville till och med ha en extra textuppgift. I och med att eleverna kände så här var det lätt att samarbeta med dem och vi fick väldigt givande förklaringar på lösningar, oavsett om det var eller inte var ett korrekt svar. I samtalet med lärarna verkade det som att de tyckte att vår undersökning var intressant och hoppades på goda resultat.
När vi läste om Polyas (1945/2004) forskning blev vi förvånade. Han kom nämligen fram till att lärarna redan på 1940-talet inte gav relevanta, erfarenhetsbaserade problem till eleverna. Detta är något som fortfarande är ett problem idag anser vi, eftersom vi sett det när vi varit ute på vår VFU. När vi samtalade med en av lärarna kom det fram att textuppgifter i matematik inte används speciellt ofta. Hon ansåg att tiden inte räckte till och det var en del elever som inte kunde läsa tillräckligt bra för att förstå textuppgiften. I några av intervjuerna förstod vi att när eleven läste textuppgiften själv så kunde han/hon inte koppla till innehållet, utan när vi erbjöd att läsa textuppgiften för eleven kunde han/hon lösa uppgiften.
Avslutningsvis kan vi se att de senaste 70 årens tillämpning av forskningen om problem och problemlösning inte har utvecklats i den grad det kunde ha gjort. Vi säger inte att alla skolor inte har kommit långt med problemlösning i undervisningen, utan att detta är något vi bara har sett i just vår undersökning.
Vi ville med denna undersökning visa att textuppgifter måste vara en större del i matematikundervisningen och att ta del av elevernas underbara tankar skapar större förståelse för deras kunskaper. Detta kan leda till att eleverna skapar bra förutsättningar för att så småningom kunna lösa olika problem.
6.4
Fortsatt forskning
För att forska vidare inom detta ämne kan eleverna bli erbjudna laborativt material, exempelvis klossar eller stavar för att lösa textuppgifterna. Detta kan ge en större möjlighet för eleverna att lösa textuppgifterna på ett korrekt sätt. För att få en bättre förståelse för hur lärarna arbetar med problemlösning i undervisningen kan mer innehållsrika intervjuer göras.
7
TACK
Vi vill tacka lärarna och de deltagande eleverna för all hjälp så att vår undersökning blev givande.
Ett stort tack till vår handledare, Constanta Olteanu, för all hjälp och stöd under arbetets gång.
8
REFERENSLISTA
Ahlberg, A. (1995). Barn och matematik. Lund: Studentlitteratur. 162 s. Andersson, K. (1991). Talriket. Malmö: Gleerup.
Dahlgren, L-O. & Fritzén, L. & Sjöström, B. & Wallebäck, M. (1991). Problemlösning som mål och medel. I: Emanuelsson, G. & Johansson, B. & Ryding, R. (red). Problemlösning (s. 67-84). Lund: Studentlitteratur.
Emanuelsson, G. & Johansson, B. & Nilsson, M. & Olsson, G. & Rosén, B. & Ryding, R. (1995). Matematik – ett kärnämne. Göteborg: Nämnaren Tema. Göteborgs universitet. 170 s.
Eriksson, R. (1991). Från min klass. I: Emanuelsson, G. & Johansson, B. & Ryding, R. (red). Problemlösning (s. 101-112). Lund: Studentlitteratur.
Gordon, H. (1971). Intervjumetodik. Stockholm: Almqvist & Wiksell AB. 134 s. Hagland, K. & Hedrén, R. & Taflin, E. (2005). Rika matematiska problem –
inspiration till variation. Stockholm. Liber AB. 236 s.
House, K. (2000). Mathematical problem solving in a grade 2 classroom: A report of an internship. Newfoundland: Memorial University.
Johansson, B. & Ryding R. & Emanuelsson, G. & Wallby, K. (1996). Matematik – ett kommunikationsämne. Göteborg: Göteborgs universitet. 211 s.
Lester, F. K. (1985). Methodological Considerations in research on mathematical problem-solving instruction. I: Silver, E. A. (Ed.). Teaching and learning mathematical problem solving: multiple research perspectives (s.41-69). Hillsdale, New Jersey: Lawrence Erlbaum Associates.
Lester, F. K. (1996). Problemlösningens natur. I: Ahlström, R (red). Matematik – ett kommunikationsämne(s.85-91). Göteborg: Göteborgs Universitet, Nämnaren. Malmer, G. (1990). Kreativ matematik. Solna: Ekelunds förlag AB. 158 s.
Malmer, G. (1991). Huvudräkning – mer än en konst. I: Emanuelsson, G & Johansson, B. & Ryding, R. (red). Tal och räkning 2 (s. 25-34). Lund: Studentlitteratur.
Mouwitz, L. (2007). Vad är problemlösning? Nämnarens tidskrift. 34:(1)61.
Neuman, D. (1991). Nybörjares uppfattningar av tal och subtraktion. I: Emanuelsson, G. & Johansson, B. & Ryding, R. (red). Tal och räkning 1 (s. 71-89). Lund: Studentlitteratur.
Patel, R. & Davidson, B. (2003). Forskningsmetodikens grunder – att planera, genomföra och rapportera en undersökning. Lund: Studentlitteratur. 127 s. Polya, G. (1945/2004). How to solve it – a new aspect of mathematical method. Princeton:
Princeton University Press.
PRIM-gruppen. (2008). Matematik från början – ett studiematerial. Stockholm: Stockholms universitet.
Online:http://www.prim.su.se/matematik/pdf/studiematerial_ma_fr_bo.pdf
Sökdatum: 2009-04-15
Skolverket. (1996). Kursplanen för matematik. Stockholm: Skolverket och CE Fritzes AB.
Skolverket. (1994). Läroplanen för det obligatoriska skolväsendet, förskoleklassen och fritidshemmet. Västerås: Skolverket och CE Fritzes AB. 19 s.
Svenska akademien. (1998/2005). Svenska akademins ordlista. Stockholm: Norstedts ordbok [distributör].
Taflin, E. (2003). Problemlösning och analys av rika matematiska problem. Umeå: Umeå universitet. 67 s.
Trost, J. (2005) Kvalitativa intervjuer. Lund: Studentlitteratur. 146 s.
Unenge, J. & Sandahl, A. & Wyndhamn, J. (1994). Lära matematik- om grundskolans matematikundervisning.. Lund: Studentlitteratur. 231 s.
Vetenskapsrådet. (2002). Forskningsetiska principer inom humanistisk-samhällsvetenskaplig forskning. Elanders Gotab.
BILAGA 1
Hej föräldrar!
Vi är två lärarstudenter som heter Emma och Mathilda. Vi läser till lärare för grundskolans tidigare år och vi skriver just nu vårt examensarbete. Arbetet handlar om elever i ettan och matematik och vi har intervjuat en del av klassens elever . Vi vill veta hur elever tänker kring matematiska textuppgifter och spelar därför in intervjun. Vi har berättat för barnen att de är anonyma och att inga namn nämns i vårt arbete. Vi har även berättat att om det skulle vara en jobbig situation för dem så får de säga att de inte vill fortsätta intervjun. Det är endast vi två lärarstudenter som kommer att lyssna på och transkribera intervjun, ingen annan.
Om ni har några frågor:
Mathilda: mj22jd@student.hik.se Emma: ep22cz@student.hik.se
Med vänliga hälsningar
BILAGA 2
Textuppgifterna
Bullar: ”Du och två kamrater vill ha bullar. Det finns bara två bullar. Hur kan ni dela dem?”
Studiematerial - Matematik från början. PRIM-gruppen.
Äpplen: Erik har fyra äpplen, Eva har två äpplen. Erik äter upp ett av sina äpplen. Hur många har de tillsammans då?
Målarfärg: Ebba ska köpa målarfärg. En burk färg räcker till en halv vägg. Ebba ska måla fyra väggar, hur många burkar färg måste hon köpa?
Frukt: Gunnar har vägt tre frukter. Bananen vägde 180 gram, äpplet vägde 210 gram och päronet vägde 203 gram. Hur mycket tyngre är äpplet än bananen? Är frukten som är minst den som är tyngst?
Tomt: Svens tomt ser ut som en rektangel. Den är 30 meter lång och 20 meter bred. Han ska göra ett staket runt tomten. Hur långt blir staketet?
Kakor: Mia, Klara och Gustav har köpt en påse med kakor. I påsen finns det 8 stycken kakor. Hur ska de göra för att alla ska få lika många kakor?
