Modellering och simulering av hovrande helikopter

Modellering och simulering av hovrande helikopter

Examensarbete utfört i Reglerteknik

av

Katrin Karlsson

Reg nr: LITH-ISY-EX-3226-2002

Modellering och simulering av hovrande helikopter

Examensarbete utfört i Reglerteknik

vid Tekniska Högskolan i Linköping av

Katrin Karlsson

Reg nr: LITH-ISY-EX-3226-2002

Handledare: Mattias Verona Niclas Appleby Johan Löfberg

Examinator: Svante Gunnarsson

Avdelning, Institution Division, Department Institutionen för Systemteknik 581 83 LINKÖPING Datum Date 2002-02-28 Språk Language Rapporttyp Report category ISBN X Svenska/Swedish Engelska/English Licentiatavhandling

X Examensarbete ISRN LITH-ISY-EX-3226-2002

C-uppsats

D-uppsats Serietitel och serienummer_{Title of series, numbering} ISSN Övrig rapport

____

URL för elektronisk version

http://www.ep.liu.se/exjobb/isy/2002/3226/

Titel

Title

Modellering och simulering av hovrande helikopter Modelling and simulation of an hovering helicpoter

Författare

Author

Katrin Karlsson

Sammanfattning

Abstract

At the department of Electronic Warfare Assessments at the Swedish Defence Research Agency in Linköping one of the activities is modelling and simulation of the duel between a robot and a target. The aim with this Master's thesis is to develop a simulation model of an hovering helicopter.

First a theoretical description of the forces and moments acting on an helicopter is given. Then the equations of motion are derived. These equations are simplified to be valid only for a hovering helicopter and the result is a mathematical model.

The mathematical model is the basis for the design of a regulator, whos task is to bring the helicpoter to equilibrium and keep it hovering. Two different regulators are implemented and tested for several cases when different disturbances are acting on the helicopter.

The matemathical model and one of the regulators are implemented in a simulation program and the results of the simulations are visualized in a graphical interface.

Nyckelord

Keyword

Sammanfattning

Inom projektet Teknisk Hotsystemanalys som drivs på institutionen Telekrigvärdering på Totalförsvarets Forskningsinstitut, FOI, är en av verksamheterna modellering och simulering av duellen mellan mål- och robotsystem. Syftet med detta examensarbete är att ta fram en simuleringsmodell av en hovrande helikopter.

Först ges en teoretisk beskrivning av de krafter och moment som verkar på en helikopter. Därefter härleds de rörelse- och momentekvationer som bestämmer helikopterns rörelse. Dessa ekvationer förenklas till att enbart gälla för en hovrande helikopter.

Den matematiska modellen av en hovrande helikopter ligger till grund för beräkningen av en regulator. Regulatorns uppgift är att föra helikoptern till sitt jämviktsläge och hålla den hov-rande. Två olika regulatorer testades och de gav likvärdiga resultat.

Helikoptermodellen och en av regulatorerna implementeras i simuleringsprogrammet ACSL/GM och resultatet av simuleringen visualiseras i ett grafiskt användargränssnitt.

Abstract

At the department of Electronic Warfare Assessments at the Swedish Defence Research Agency in Linköping one of the activities is modelling and simulation of the duel between a robot and a target. The aim with this Master’s thesis is to develop a simulation model of a hovering helicopter.

First a theoretical description of the forces and moments acting on an helicopter is given. Then the equations of motion are derived. These equations are simplified to be valid only for a hovering helicopter and the result is a mathematical model.

The mathematical model is the basis for the design of a regulator, whos task is to bring the helicpoter to equilibrium and keep it hovering. Two different regulators are implemented and tested for several cases when different disturbances are acting on the helicopter.

The matemathical model and one of the regulators are implemented in a simulation program and the results of the simulations are visualized in a graphical interface.

Förord

Examensarbetet är utfört på Totalförsvarets Forskningsinstitut, FOI, i Linköping vid institu-tionen för Telekrigvärdering. Ett stort tack till mina handledare Niclas Appleby och Mattias Verona för all hjälp och allt stöd jag fått.

Tack till min handledare på universitetet Johan Löfberg för hjälpen med det som rört regler-designen.

Slutligen vill jag tacka försvarsmaktsingenjör/major Johan Ölund vid helikopterflottiljen i Malmslätt för att han förklarat hur en helikopter fungerar samt svarat på alla frågor jag haft.

Notation

Alla storheter i rapporten anges i SI-enheter.

GW G[

[ =& Prick anger tidsderivata

0

[, fet stil anger vektor eller matris Övriga beteckningar finns i appendix A.

Innehåll

,1/('1,1*  1.1 BAKGRUND...1 1.2 PROBLEMBESKRIVNING...1 1.3 RAPPORTSTRUKTUR...1 +(/,.237(57(25, 2.1 KOORDINATSYSTEM...3 2.2 HELIKOPTERDYNAMIK...5 6W\USULQFLSHU .UDIWHU  5|UHOVHRFKPRPHQWHNYDWLRQHU  5(*/(57(25, 3.1 LINJÄR MODELL...19 7LOOVWnQGVPRGHOO  -lPYLNWVSXQNW 6NDOQLQJ /LQMlULVHULQJ 3.2 REGLERPROBLEMET...20 3.3 LQ-REGLERING...21

3.4 EGENSKAPER FÖR DET SLUTNA SYSTEMET...22

)|UVWlUNQLQJ .lQVOLJKHWRFKUREXVWKHW gQVNHPnORPGHWVOXWQDV\VWHPHW (JHQVNDSHUI|U/4UHJXODWRU 02'(//$9+295$1'(+(/,.237(5  4.1 LYFTKRAFTEN SOM FUNKTION AV BLADENS VINKLAR...27

4.2 HÄRLEDNING AV VRIDMOMENTET...28

4.3 KRAFT- OCH MOMENTEKVATIONER...29

4.4 LINJÄR MODELL...30 7LOOVWnQGVPRGHOO  -lPYLNWVSXQNWRFKOLQMlULVHULQJ  5(*/(5'(6,*1  5.1 KRAVSPECIFIKATION...33 5.2 REGULATOR...33 'HWVOXWQDV\VWHPHWVHJHQVNDSHU  5.3 SEPARAT REGULATOR FÖR GIRVINKLEN...36

'HWVOXWQDV\VWHPHWVHJHQVNDSHU  6,08/(5,1*2&+9,68$/,6(5,1*  6.1 IMPLEMENTERAD SIMULERINGSMODELL...41 ,QLWLDOYlUGH 5HIHUHQVVLJQDO  6W\UQLQJ  '\QDPLN  .LQHPDWLN 

6.2 VISUALISERING I AFE...44 6/876$76(5  7.1 RESULTAT...47 7.2 FORTSATT ARBETE...47 5()(5(16(5 $33(1',;$%(7(&.1,1*$5 $33(1',;%.2()),&,(17(5  $33(1',;&+(/,.237(5 $33(1',;&02'(//)g5+(/,.237(5 $33(1',;'5(*8/$725 $33(1',;'5(*8/$725)g5*,59,1.(/1 $33(1',;(%2'(',$*5$0 $33(1',;(%2'(',$*5$0 $33(1',;)0-8.9$5$

1

1 Inledning

%DNJUXQG

Då ett flygplan eller en helikopter beskjuts med en robot kan piloten använda sig av motmedel och/eller undanmanöver för att förhindra att roboten träffar. Inom projektet 7HNQLVN

+RWV\VWHPDQDO\V som drivs på institutionen Telekrigvärdering på Totalförsvarets

Forskningsinstitut FOI, är en av verksamheterna modellering och simulering av duellen mel-lan mål- och robotsystem. Modellerna används för att värdera missil- och motmedelssyste-mens prestanda, så som räckvidd, störkänslighet och följeförmåga.

3UREOHPEHVNULYQLQJ

Målet med examensarbetet är att ta fram en simuleringsmodell av en hovrande helikopter. Arbetet kan delas upp i tre delmoment. Det första består av modellering, det vill säga att utifrån fysikaliska samband ta fram de kraft-, moment- och rörelseekvationer som karaktärise-rar en helikopters uppträdande. Dessa används senare till att beräkna en modell av en hov-rande helikopter. Den andra delen utgörs av utformning av ett reglersystem som håller heli-koptern hovrande och kompenserar för avvikelser i position och attityd. Den tredje delen be-står av implementering av modell och reglersystem i en simuleringsmiljö samt visualisering i 3D-grafik. Den första och andra delen är mest omfattande.

5DSSRUWVWUXNWXU

En kort beskrivning av rapportens struktur och de olika kapitlens innehåll.

.DSLWHO+HOLNRSWHUWHRUL

I kapitlet definieras två koordinatsystem samt de vinklar och vektorer som bestämmer heli-kopterns position och attityd. Helikopterdynamik presenteras och rörelse- och momentekva-tioner härleds.

.DSLWHO5HJOHUWHRUL

Teori för linjärisering av olinjära system och regulatordesign presenteras. Egenskaper för det reglerade systemet diskuteras.

.DSLWHO0RGHOODYKRYUDQGHKHOLNRSWHU

De samband som gäller för en hovrande helikopter härleds och rörelse- och momentekvatio-nerna från kapitel 2 förenklas.

.DSLWHO5HJOHUGHVLJQ

,QOHGQLQJ .DSLWHO6LPXOHULQJRFKYLVXDOLVHULQJ

Kapitlet beskriver implementationen av simuleringsmodellen för helikoptern och visualise-ringen av simuleringsresultatet.

.DSLWHO5HVXOWDW

Sammanfattning av resultaten och förslag på fortsatt arbete.

$SSHQGL[$

Definition av ingående variabler

$SSHQGL[%

Uttryck för de koefficienter som ingår i modellen för en hovrande helikopter.

$SSHQGL[&

Numeriska värden och modell för Helikopter 9.

$SSHQGL['

Beskrivning av de beräknade regulatorerna

$SSHQGL[(

Figurer över de reglerade systemens egenskaper

$SSHQGL[)

3

2 Helikopterteori

I detta kapitel definieras de koordinatsystem som har använts, och grunderna i helikopterdynamik förklaras. All teori i detta avsnitt är generell för helikoptrar.

.RRUGLQDWV\VWHP

Det koordinatsystem som använts i beräkningarna är ett kroppsfast koordinatsystem, med index E (body), där koordinataxlarna lagts så att origo ligger i helikopterns tyngdpunkt. ]-axeln pekar nedåt. [-axeln pekar framåt i nosens riktning och \-axeln åt höger, se figur 2.1. Koordinatsystemet är valt så att tröghetsprodukterna blir noll.

Även ett lokalt jordfast koordinatsystem, betecknat med index H (earth), har använts. Axlarna är valda så att [-axeln pekar åt norr, \-axeln åt öster och ]-axeln nedåt, se figur 2.2.

Girvinkeln Ψ, tippvinkeln Θ och rollvinkeln Φ definieras enligt figur 2.2.

)LJXU.URSSVIDVWNRRUGLQDWV\VWHP[6];D[HOQSHNDULQRVHQVULNWQLQJ\ D[HOQnWVLGDQRFK]D[HOQQHGnW

+HOLNRSWHUWHRUL

Helikopterns hastighet relativt en jordfast punkt beskrivs av hastighetskomposanterna )

, ,

(X Y Z i det kroppsfasta koordinatsystemet. Summan av krafterna som verkar på helikopter-kroppen betecknas med komposanterna (;,<,=) i det kroppsfasta koordinatsystemet. Det totala momentet som verkar på helikopterkroppen beskrivs av tre momentkomposanter

) , ,

(/ 0 1 , vilka anger momentet kring respektive koordinataxel. Momentkomposanterna benämns roll-, tipp- respektive girmoment. Vinkelhastigheterna benämns roll-, tipp respektive girvinkelhastighet och betecknas (S,T,U), se figur 2.1.

)LJXU  -RUGIDVW RFK NURSSVIDVW NRRUGLQDWV\VWHP 'HW MRUGIDVWD

NRRUGLQDWV\VWHPHWKDULQGH[HRFKGHWNURSSVIDVWDLQGH[E[HD[HOQSHNDUnW

QRUU\HD[HOQnW|VWHURFK]HD[HOQQHGnW

Transformationen mellan det kroppsfasta och det jordfasta koordinatsystemet görs genom att först omvandla helikopterns gir, tipp och rollvinkel till Eulervinklar. Eulervinklarnas derivator beräknas med hjälp av Coriolis sats enligt [7]:

Θ Φ + Θ Φ + =

Φ&_H S Tsin tan Ucos tan (2.1)

Φ −

Φ =

Θ&_H Tsin Usin (2.2)

Θ Φ + Θ Φ = Ψ cos cos cos sin U T H & (2.3)

+HOLNRSWHUWHRUL

Genom att integrera derivatorna får man Eulervinklarna. Ekvation (2.3) blir singulär för

° ± =

Θ 90 . Eftersom tippvinkeln för en helikopter inte kommer vara i närheten av 90° kan man använda dessa ekvationer utan att en singulärfri representation behöver införas.

Transformation mellan kroppsfast till jordfast koordinatsystem görs av matrisen

          Θ Φ Θ Φ Θ − Ψ Φ − Ψ Θ Φ Ψ Φ + Ψ Θ Φ Ψ Θ Ψ Φ + Ψ Θ Φ Ψ Φ − Ψ Θ Φ Ψ Θ = cos cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos sin sin sin sin cos sin sin cos sin cos sin cos cos sin sin cos cos H E & (2.4)

En vektor ; i det kroppsfasta koordinatsystemet transformeras till _E ; genom_H

E H E H & ;

; = (2.5)

I simuleringarna har helikopterns position integrerats fram ur hastigheterna i det jordfasta koordinatsystemet.

+HOLNRSWHUG\QDPLN

Här förklaras styrprinciperna för en helikopter och hur de olika krafter som verkar på en heli-kopter uppkommer. De rörelse och momentekvationer som bestämmer en heliheli-kopters bete-ende härleds.

2.2.1 Styrprinciper

Detta avsnitt behandlar huvudrotorns och stjärtrotorns funktion samt styrsystemets principi-ella utformning.

+XYXGURWRUQ

I en helikopter genereras lyftkraften av roterande “vingar”, dvs rotorbladen. Lyftkraften beror av rotorbladets utseende, yta och anfallsvinkel samt luftens täthet och lufthastigheten [2]. För att variera lyftkraften kan antingen rotorns vinkelhastighet, dvs rotorvarvtalet, eller rotorbla-dens anfallsvinkel ändras. Eftersom det av olika anledningar är opraktiskt att ändra rotorvarv-talet alltför mycket varieras lyftkraften genom att rotorbladens anfallsvinkel ändras. Dock gäller för RC-helikoptrar (radiostyrda minihelikoptrar) att även rotorvarvtalet kan varieras. Ökad anfallsvinkel ger ökad lyftkraft. De flesta helikoptrar har ett stigkontrollsystem med vars hjälp alla rotorbladens anfallsvinklar kan ändras lika mycket .

För att generera en kraft framåt eller åt sidan måste rotordisken lutas så att lyftkraften får en horisontell komposant i önskad riktning. De krafter som krävs för att luta rotordisken erhålls genom att rotorbladen ges olika anfallsvinklar, och därmed olika lyftkraft, under rotationen. Eftersom rotorn har ett högt varvtal och stor svängmassa uppför den sig som en gyrosnurra. Rotorn bjuder motstånd mot lägesändringar, och då den påverkas av en kraft reagerar den enligt lagarna för den gyroskopiska precessionen [2].

Då en gyrosnurra påverkas av en kraft uppkommer en precessionskraft som vill kantra snurran. Gyrosnurran motsätter sig denna kantring, men precessionskraften kantrar snurran i en riktning som ligger ett kvarts varv senare i rotationsriktningen. Detta innebär att alla vinkelförändringar måste tillföras rotorbladet ett kvarts varv före läget för det önskade

+HOLNRSWHUWHRUL

styrutslaget. För att få den önskade effekten måste varje rotorblad ha sin minsta anfallsvinkel i ett visst läge och sin högsta ett halvt varv senare [A]. Under ett varvs rotation varierar därför ett rotorblads anfallsvinkel periodiskt, d.v.s. cykliskt, och variationen styrs av ett cykliskt kontrollsystem, ett slags mekaniskt reglersystem.

6WMlUWURWRUQ

Då huvudrotorn vrids runt av en motor överförs ett vridande moment från motorinstallationen till rotorn samtidigt som ett motriktat moment uppstår som vill vrida flygkroppen åt andra hållet. För att helikoptern inte ska rotera okontrollerat måste moment motverkas. Detta sker med hjälp av en stjärtrotor som roterar i vertikalplanet. Stjärtrotorbladen ges sådana anfalls-vinklar att den genererade kraften i sidled multiplicerat med momentarmen till rotationscent-rum upphäver det vridande momentet från huvudrotorn, se figur 2.3.

)LJXU 9ULGDQGHPRPHQWIUnQKXYXGUHVSHNWLYHVWMlUWURURUQ[2]0RPHQWHW IUnQKXYXGURWRUQYLOOYULGDNURSSHQPHGXUVRFKPRPHQWHWIUnQVWMlUWURWRUQV VNMXWNUDIWYLOOYULGDNURSSHQPRWXUV

Stjärtrotorns kraft vill förflytta helikoptern i sidled. För att kompensera för detta lutas huvud-rotordisken lutas något åt motsatt håll till dess att den genererade kraften blir lika stor och motriktad den skjutande kraften.

Sidokrafterna från huvudrotorn och stjärtrotorn ger ett kantrande moment eftersom de inte verkar på samma höjd. Helikopterkroppen kommer därför att pendla utåt tills jämvikt råder mellan tyngdkraften och rollmomentet. Flygkroppen hänger därför något snett under flygning och en helikopter med en rotor som roterar motsols lutar då något åt vänster, sett bakifrån.

6W\UV\VWHP

I en helikopter finns två spakar och två fotpedaler med vilka piloten styr helikoptern. Med hjälp av stigspaken påverkar piloten helikopterns förflyttning i vertikalled. Den andra spaken används till att påverka förflyttningen i horisontalled. Med fotpedalerna reglerar piloten mo-toreffekten till stjärtrotorn och stjärtrotorbladens anfallsvinklar och styr därmed helikoptern i girled.

+HOLNRSWHUWHRUL

Styrsystemet består av tre delar:

• Stigkontrollsystemet kontrollerar rotorbladens medelanfallsvinkel och därmed rotorns lyftkraft.

• Cykliska kontrollsystemet kontrollerar rotorbladens periodiska anfallsvinkeländringar och därmed rotordiskens lutning.

• Girkontrollsystemet kontrollerar vridmomentskompensationen och styr helikoptern i gir-led.

Anfallsvinkeln för varje blad kontrolleras med hjälp av en s.k. omställarlänk vars rörelse be-stäms av läget på en styrplatta. Styrplattan består av en roterande del och en icke roterande del som är förenade med kullager så att de följs åt vid lägesförändringar. Styrplattan kan förflyt-tas vertikalt samt luförflyt-tas åt olika håll. Omställarlänkarna från varje rotorblad är anslutna till styrplattans roterande del, se figur 2.4.

)LJXU6W\USODWWDQVXWIRUPQLQJ[2]6W\USODWWDQEHVWnUDYHQURWHUDQGHGHO RFK HQ LFNH URWHUDQGH GHO 3n GHQ URWHUDQGH GHOHQ VLWWHU Vn NDOODGH RPVWlOODUOlQNDUVRPNRQWUROOHUDUURWRUEODGHQVDQIDOOVYLQNODU

Då den icke roterande delen skjuts uppåt eller nedåt kommer även den roterande styrplattans läge att ändras och därmed förskjuts alla omställarlänkar lika mycket uppåt eller nedåt. Bla-dens anfallsvinklar ändras och därmed även lyftkraften.

Om styrplattans icke roterande del lutas i förhållande till rotormasten kommer en del av den roterande styrplattan och den därpå anslutna omställarlänken under rotationen omväxlande befinna sig på den höga respektive låga delen av den fasta styrplattan, se figur 2.5.

+HOLNRSWHUWHRUL

)LJXU  5RWRUEODGHWV YLQNHO EHURHQGH Sn VW\USODWWDQV OlJH [2] 'n VW\USODWWDQV LFNH URWHUDQGH GHO VNMXWV XSSnW HOOHU QHGnW lQGUDV DOOD EODGHQV DQIDOOVYLQNODUOLNDP\FNHW'nVW\USODWWDQVURWHUDQGHGHOOXWDVLI|UKnOODQGHWLOO URWRUPDVWHQlQGUDVURWRUEODGHWVDQIDOOVYLQNHOF\NOLVNW

Girkontrollsystemet påverkar stjärtrotorbladens anfallsvinklar. För att styra helikoptern i girplanet ökas eller minskas anfallsvinklarna så att kraften multiplicerat med hävarmen till rotationscentrum blir större eller mindre än huvudrotorns vridmoment och kroppen vrids runt i girplanet, se figur 2.6.

)LJXU  6W\UQLQJ L JLUSODQHW [2] 'n PRPHQWHQ IUnQ KXYXGURWRUQ RFK VWMlUWURWRUQlUOLNDVWRUD IO\JHU KHOLNRSWHUQ UDNW IUDP )|U HQ KHOLNRSWHU GlU KXYXGURWRUQ URWHUDU PHGXUV VYlQJHU KHOLNRSWHUQ nW K|JHU Gn PRPHQWHW IUnQ VWMlUWURWRUQ VW|UUH lQ PRPHQWHW IUnQ KXYXGURWRUQ RFK nW YlQVWHU Gn VWMlUWURWRUPRPHQWHWlUPLQGUH

+HOLNRSWHUWHRUL

2.2.2. Krafter

Här härleds huvudrotorns och stjärtrotorns krafter.

+XYXGURWRUQ

Huvudrotorn genererar två krafter, en lyftkraft och en horisontell kraft.

/\IWNUDIW

Varje punkt på rotorbladet har en tangentiell hastighet 9 =Ω_PU, vid bladspetsen är hastigheten 9_VSHWV =Ω_P5_P, där 5 är rotordiskens radie. Rotorns lyftkraft _P 7 (thrust) är_P proportionell mot hastigheten i kvadrat [2]. Detta skulle då innebära att lyftkraften ökar med radien i kvadrat och skulle därmed bli mycket stor vid bladspetsen. Eftersom det inte är fördelaktigt ur hållfasthetssynpunkt att ha lyftkraften koncentrerad till bladspetsen är rotorbladen torderade (vridna) så att bladets anfallsvinkel blir mindre vid bladspetsen [2]. Lyftkraften blir därmed jämnare fördelad längs bladet och lyftkraftcentrum ligger på avståndet 325_P/ .

Genom att rotorbladet roterar verkar en centrifugalkraft ) på bladet som strävar efter att dra_F det utåt. Centrifugalkraften växer proportionellt mot radien och den resulterande kraften verkar också i en punkt på avståndet 325_P/ från rotorcentrum. De krafter som verkar på ro-torbladet är därmed lyftkraften och centrifugalkraften, bladets massa är försumbar. Eftersom det måste råda jämvikt mellan krafternas moment kommer lyftkraften lyfta rotorbladet så att centrifugalkraften får ett lika stort nedåtriktat moment. Den resulterade kraften ) verkar där-_U för i bladets längdriktning, se figur 2.7.

)LJXU.UDIWHUYHUNDQGHSnURWRUEODGHW[2]5RWRUEODGHWVHWWIUnQVLGDQ7

lUO\IWNUDIWHQ) FHQWULIXJDONUDIWHQRFKF ) GHQUHVXOWHUDQGHNUDIWHQU

Rotorbladets möjlighet att röra sig upp och ned i lyftkraftens riktning kallas flappning. Flapp-ningsvinkeln är den vinkel som rotorbladet bildar mot ett plan vinkelrätt mot rotoraxeln, se figur 2.8.

+HOLNRSWHUWHRUL

)LJXU)ODSSQLQJVYLQNHOQ[2].)ODSSQLQJlUURWRUEODGHWVI|UPnJDDWWU|UD VLJ XSS RFK QHG L O\IWNUDIWHQV ULNWQLQJ )ODSSQLQJVYLQNHOQ lU YLQNHOQ PHOODQ URWRUEODGHWRFKHWWSODQYLQNHOUlWWPRWURWRUD[HOQ

Den resulterande kraften i längdriktningen överförs till rotornavet där centrifugalkraften upp-hävs av motsvarande kraft från motstående rotorblad. Resultatet blir en total lyftkraft som verkar i navets centrum, se figur 2.9. Då en kraft alltid uppstår tillsammans med en motriktad reaktionskraft uppkommer samtidigt med lyftkraften en nedåtriktad kraft som pressar luften ner bakom rotorbladet.

)LJXU  5HVXOWHUDQGH O\IWNUDIW [2]. .UDIWHUQD IUnQ YDUMH URWRUEODG |YHUI|UV WLOOURWRUQDYHW&HQWULIXJDONUDIWHUQD) IUnQWYnPRWVWnHQGHURWRUEODGWDUXWF

YDUDQGUDRFKO\IWNUDIWHUQD7IUnQYDUMHEODGDGGHUDVWLOOHQWRWDOO\IWNUDIW

Newtons andra lag ger ) =PD. För hovrande helikopter med en rotor som accelererar en luftmassa gäller att lyftkraften är lika med den nedsvepta luftmassan per sekund multiplicerat med hastighetsökningen, ∆Y, nedåt som luftmassan fått, vilket ger lyftkraften

Y VHN OXIWPDVVD

7_P =( / )⋅∆ , där index P står för huvudrotorn. Den hastighetsökning som luf-ten får när den passerar rotordisken kallas inducerad hastighet och betecknasY . I flödesfältet i₁ figur 2.10 betecknar 0 en region högt ovanför rotorn, 1 området vid rotorn och 2 en region långt nedanför rotorn. Massflödet kan då beräknas som (PDVVD/VHN)= ρY₁$ NJ/VHNdär $ är rotordiskens area och ρ luftens densitet [6].

+HOLNRSWHUWHRUL

)LJXU  0DVVIO|GHVRPUnGHQ [6].  EHWHFNQDU HWW RPUnGH K|JW RYDQI|U URWRUQ  RPUnGHW YLG URWRUQ RFK  HWW RPUnGH OnQJW QHGDQI|U URWRUQ Y1

EHWHFNQDUGHQLQGXFHUDGHKDVWLJKHWHQGHWYLOOVlJDGHQKDVWLJKHWV|NQLQJVRP OXIWHQInUGnGHQSDVVHUDUURWRUGLVNHQY RFK0 Y EHWHFNQDUOXIWKDVWLJKHWHQL2

RPUnGHUHVSHNWLYH

Den totala hastighetsändringen mellan region 0 och 2 är ∆Y=Y2 −Y0 P/V. Eftersom 0

0 =

Y högt ovanför rotordisken blir∆Y =Y2. Detta ger att kraften 2

1$Y

Y

7P =ρ (2.6)

Om rotordisken betraktas som en skiva som har egenskapen att den ger luften ett hastighets-tillskott nedåt gäller att luften får en tryckökning ∆S när den passerar skivan. Tryckökningen utjämnas längre ned i luftströmmen och ger enligt Bernoullis lag ytterligare en hastighetsök-ning [2].

+HOLNRSWHUWHRUL

Ovanför disken gäller

2 2 1 0 Y S S = + ρ (2.7)

där S är lufttrycket strax ovanför rotordisken. Under disken gäller 2 2 2 2 0 2 1 _S Y Y S S+∆ + ρ = + ρ 2 2 2 0 0 Y S S S+ = + ρ ∆ 2 2 2 Y S ρ= ∆ (2.8)

Tryck multiplicerat med area blir en kraft vilket ger 7_P =∆S$. Men enligt (2.6) är7_P =ρY₁$Y₂. Tillsammans ger detta

2 1$Y Y S$= ρ ∆ 2 1Y Y S= ρ ∆ (2.9) (2.8) och (2.9) ger då 2 1 2 2 2 YY Y _ρ ρ ₌ 1 2 2Y Y = (2.10)

Lyftkraften blir därmed

2 1

2 $Y

7_P = ρ (2.11)

Den inducerade hastigheten kan därmed uttryckas i lyftkraften

) / ( 2 1 P V $ 7 Y P ρ = (2.12) +RULVRQWHOONUDIW

För en framåtflygande helikopter måste huvudrotorkraften dels upphäva tyngdkraften, dels den horisontella dragkraften på rotorbladen. Det härledda uttrycken för lyftkraften gäller då luften strömmar mot rotorn rakt uppifrån, dvs för en hovrande helikopter [2]. För en framåt-flygande helikopter tillkommer luftströmmingen som orsakas av horisontalhastigheten. Luft-massan har anströmningshastigheten, Y_S, mot rotorn i horisontell riktning och får en inducerad hastighet, Y , nedåt, vinkelrätt mot rotordisken, då den passerar genom rotordisken.₁ Luften får därmed den resulterande hastigheten 9. Den erhållna lyftkraften blir då

1 1 2 $9Y

/ = ρ . Lyftkraften är alltid vinkelrät mot rotordisken och eftersom disken lutar vid framåtflygning är kraften lutad något framåt. Den kan därför delas upp i en vertikalkomposant som motsvarar den verkliga lyftkraften och en horisontell komposant som motsvarar rotorns dragkraft framåt.

För framåtflygande helikoptrar finns också en så kallad H-kraft. Då denna inte kommer att användas i beräkningarna för en hovrande helikopter förklaras den inte närmare, för den in-tresserade hänvisas till [6].

+HOLNRSWHUWHRUL 6WMlUWURWRUQ

Man kan man anta att kraften från stjärtrotorn, 7 , kan beräknas på samma sätt som för hu-_W vudrotorn. Detta ger

2 1

2 _{W W}

W $Y

7 = ρ (2.13)

2.2.3 Rörelse- och momentekvationer

Här härleds rörelse- och momentekvationerna för en helikopter och de analytiska uttrycken för de ingående krafterna och momenten tas fram.

Ekvationerna för en kropp i rörelse kan härledas med hjälp av Newtons andra rörelselag. I det jordfasta koordinatsystemet formuleras dessa som [7]:

H H Y ) GW G P = (2.14) H H , 0 GW G = (2.15) där

), 0 är verkande krafter och moment på helikopterkroppen

P, ,är helikopterkroppens massa och tröghetsmoment

Y, ω helikopterns hastighet och vinkelhastighet

Med hjälp av Coriolis sats kan följande samband ställas upp för det kroppsfasta koordinat-systemet [7]:

(

E

)

E

(

E

)

E _GWG PY PY ) = + × (2.16)

( )

E E

( )

E E _GWG , , 0 = + × (2.17) där

(

)

7 E = ; < = )

(

)

7 E = X Y Z Y

(

)

7 E = S T U

(

)

7 E = / 0 1 0           = ]] ]\ ][ \] \\ \[ [] [\ [[ , -, -, ,

definierades i avsnitt 2. Helikopterns tröghetsmoment utgörs av , och _LL -_LM och definieras enligt

∫

+ = \ ] GP ,_[[ 2 2

∫

= []GP -_[]

+HOLNRSWHUWHRUL

Integrationen sker över hela helikopterkroppen med origo i tyngdpunkten. Koordinatsystemet är valt så att tröghetsprodukterna -_LM blir noll.

Om kryssprodukten beräknas och Y deriveras ger (2.16)_E ) (X YU ZT P ; = &− + (2.19a) ) (Y XU ZS P < = &+ − (2.19b) ) (Z XT YS P = = & − + (2.19c)

Om _E deriveras och kryssprodukten beräknas ger (2.17):

TU , , S , /= _[[ &+( _]] − _\\) (2.20a) US , , T , 0 = _\\&+( _[[ − _]]) (2.20b) ST , , U , 1 = ]]&+( \\ − [[) (2.20c) )LJXU.UDIWHURFKPRPHQWYHUNDQGHSnHQKHOLNRSWHU[6]

+HOLNRSWHUWHRUL

Tillsammans med dessa ekvationer kan man utifrån figur 2.11 teckna följande rörelse- och momentekvationer för en helikopter: ) ( sin P X YU ZT PJ ; ; ; ; ;P + W + K + Y + I = Θ+ &− + (2.21) ) ( sin P Y XU ZS PJ < < < <_P+ _W + _Y + _I =− Φ+ &+ − (2.22) ) ( cos P Z XT YS PJ = = = = =P + W + K + Y + I =− Θ+ &− + (2.23) = + + + + + + P P P P W W Y Y I I I P < K = \ <K < K < K / / ) ( _{\\ ]]} [[S ST , , , & − − (2.24) + − + − + + − _{P P P P W W W W W K K} P ; K = O 0 ; K = O ; K 0 = − + + − Y Y I I I I I K KO ; K 0 = O ; K = ) ( _{]] [[} \\T SU , , , &− − (2.25) = − + − − − _{P P W W Y Y I I I} P < O <O < O 1 < O 1 ) ( _{[[ \\} ]]U ST , , , &− − (2.26)

där index P står för huvudrotorn, W för stjärtrotor, Y för vertikal stabilisator, K för horisontell stabilisator och I för flygkroppen. Stabilisatorerna är delar på helikoptern som är till för att stabilisera helikoptern under flygning.

För en helikopter vars rotor roterar motsols fås följande uttryck för krafter och moment från huvudrotorn [6]: ) sin( ) cos( _{P P P} P P + L 7 L ; =− α + + α + (2.27) γ sin sin _{1 P} P P 7 E + < = _P − (2.28) ) cos( _P P P 7 L = =− α + (2.29) ) sin( _P P P _GG/ 4 L / =_ _β + α + β (2.30) β α α Psin P G0_G 4 0  −      = (2.31) β α )cos cos( _P P P 4 L 1 = + (2.32) P

7 är huvudrotorns lyftkraft, 4 huvudrotorns vridmoment, α och β är rotorbladens flapp-_P

ningsvinklar definierade enligt figur 2.12 och som regleras med det cykliska kontrollsystemet.

P

L är huvudrotoraxelns fixa lutning. + är en horisontell kraft som uppkommer vid

+HOLNRSWHUWHRUL

)LJXU+XYXGURWRUQVNUDIWHURFKPRPHQW[6]7EHWHFNQDUKXYXGURWRUQV_P

O\IWNUDIW 0  WLSSPRPHQWHW RFK_P /  UROOPRPHQWHW 4P lU GHW YULGDQGH_P

PRPHQWHWIUnQKXYXGURWRUQα EHWHFNQDUIODSSQLQJVYLQNHOQGnEODGHWEHILQQHU

+HOLNRSWHUWHRUL För stjärtrotorn gäller: W W + ; =− (2.33) W W 7 < = (2.34) W W W 7 = =β (2.35) W W 4 0 =− (2.36)

där 7 är stjärtrotorns kraft och _W 4 dess vridmoment. _W β är stjärtrotorbladens flappningsvin-_W kel, se figur 2.13.

)LJXU  6WMlUWURWRUQV NUDIWHU RFK PRPHQW [6] 7 EHWHFNQDUW

VWMlUWURWRUNUDIWHQ RFK 4  YULGPRPHQWHWW 4  lU YULGPRPHQWHW IUnQP

KXYXGURWRUQ 0  lU WLSSPRPHQWHW IUnQ VWMlUWURWRUQW β  lU VWMlUWURWRUEODGHWVW

19

3 Reglerteori

I detta kapitel beskrivs teori för att linjärisera ett olinjärt system samt teori för utformandet av reglersystem. De egenskaper som karaktäriserar det reglerade systemet beskrivs också.

/LQMlUPRGHOO

För att i ett senare skede kunna använda linjär reglerteori måste modellen linjäriseras. Linjäri-seringen sker kring en jämviktspunkt.

3.1.1 Tillståndsmodell

I ett dynamiskt system beror utsignalens värde, \(W), inte bara på insignalens värde, X(W), utan även på insignalens värde för tiden s<t. För att förutsäga effekten av en vald insignal behövs information om systemet vid tiden W. Med ett systems tillstånd vid tiden W menas en informationsmängd som gör det möjligt att entydigt bestämma framtida utsignaler om fram-tida insignaler är kända [4]. För tidskontinuerliga system fås en tillståndsform om sambandet mellan in- och utsignaler ges av ett system av differentialekvationer:

) , ([ X I [ =& (3.1a) ) ([ K \ = (3.1b)

där [(W)är tillståndsvektorn, X(W) är insignalvektorn och \(W) är utsignalvektorn.

3.1.2 Jämviktspunkt

Då alla tillståndsvariabler är konstanta befinner sig systemet i en jämviktspunkt. Den mate-matiska innebörden av en jämviktspunkt är att konstanta insignaler X0 och tillhörande tillstånd

[0 ger

(

[ X

)



I 0, 0 = (3.2)

3.1.3 Skalning

Om det är olika storleksordning på insignalerna kan dessa skalas om för att undvika nume-riska problem. Genom att göra varialbelbytena X~_L =η_LX_L,

0 1 L L = _X η och [~_L =γ_L[_L, γ_L = 1 ∀L får man ekvationen ) ~ , ~ ( ~_{[ =}& _I [ X _(3.3)

5HJOHUWHRUL

3.1.4 Linjärisering

Om I har kontinuerliga partiella derivator i en omgivning till punkten ([0,X0)får man för

Q N =1,K, ) ( ) )( , ( ) )( , ( ) )( , ( ) )( , ( ) , ( 0 0 0 0 0 10 1 0 0 1 0 0 0 10 1 0 0 1 0 0 X X [ [ X X X [ X I X X X [ X I [ [ X [ [ I [ [ X [ [ I X [ I I P P P N N Q Q Q N N N N − + − + − ∂ ∂ + + − ∂ ∂ + − ∂ ∂ + + − ∂ ∂ + = ο K K (3.4) Med               ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ =               ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = P P P P Q Q Q Q X I X I X I X I % [ I [ I [ I [ I $ L M O M L L M O M L 1 1 1 1 1 1 1 1 och

där de partiella derivatorna utvärderats i [ = och [0 X = . Den linjäriserade modellen blirX0

) ( ) ([ [₀ % X X₀ $ [& = − + − (3.5b) ) ( ₀ 0 & [ [ \ \− = − (3.5b) där               ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = Q Q Q Q [ K [ K [ K [ K L M O M L 1 1 1 1

& med de partiella derivatorna utvärderade i [ = .[₀

5HJOHUSUREOHPHW

Reglerproblemet kan definieras som att “bestämma med ledning av utsignalerna, en insignal sådan att systemets syfte uppnås” [3]. Ofta är systemets syfte att utsignalen ska kunna följa en given signal, referenssignal, så exakt som möjligt. Detta kallas servoproblem. Om utsigna-lerna inte är tillgängliga för den som skall bestämma insignalen krävs exakt kunskap om hur insignalen påverkar insignalen.

5HJOHUWHRUL

Om utsignalerna, genom återkoppling, används för att bestämma insignalerna krävs endast ungefärlig kunskap om systemets dynamik. Man kan då hela tiden göra finjusteringar av insignalen genom att notera utsignalens avvikelse från referenssignalen. Det återkopplade systemet får principutseendet enligt figur 3.1. Ett annat namn för det återkopplade systemet är slutet system.

/4UHJOHULQJ

Det är naturligt att låta insignalerna bestämmas av tillstånden genom tillståndsåterkoppling. Linjär tillståndsåterkoppling ges av X=−/[+Z där Z är utifrån kommande extra insignaler. Om Z=/_UU där U är referenssignaler får man X=−/[+/_UU. För systemet

) ( ) ([ [₀ % X X₀ $ [& = − + − (3.6a) ) ( ₀ 0 & [ [ \ \− = − (3.6b) ger detta ) ( ) )( ($ %/ [ [0 %/ U U0 [& = − − + U − (3.7a) ) ( 0 0 & [ [ \ \− = − (3.7b)

Då alla tillstånden kan mätas kan man använda ren tillståndsåterkoppling. Återkopplingen / kan beräknas med linjärkvadratisk optimering [4]. För ett system

%X $[ [& = + (3.8a) 0[ ] = (3.8b) &[ \ = (3.8c)

där ] är de reglerade signalerna och \ de uppmätta utsignalerna, ska en tillståndsåterkopp-ling, /, väljas så att kriteriet

(

)

∫

] 4 ]+X74_X GW



7 _(3.9)

minimeras. 4 är en positivt definit matris och 2 4 en positivt semidefinit matris. Den linjära1

återkopplingen ges då av 6 % 4 /  7  − = (3.10)

där 6 är den entydiga, positivt definita och symmetriska lösningen till matrisekvationen

 6 % 6%4 0 4 0 6$ 6 $7 + + 7 − −1 7 = 2 1 (3.11)

Förkompenseringen / beräknas så att den statiska förstärkningen blir 1. I stationäritet är_U



[ =& och man vill att ]=U=0[. Genom att lösa ut / ur_U

U %/ [ %/ $ =( − ) + _U (3.12) får man 1 1 ) ) ( (− − − − = 0 $ %/ % /U (3.13)

5HJOHUWHRUL

om % och 0 är inverterbara. Då detta ej är fallet får man använda pseudoinverser istället. Straffmatriserna 4 och 1 4 är designvariabler som via (3.9) ger goda regulator-kandidater.2

För varje beräknad regulator måste man testa de relevanta egenskaperna för det återkopplade systemet. Om en insignal är oacceptabelt stor ökas motsvarande straff i 4 -matrisen. Är re-2

sponsen för långsam hos en tillståndsvariabel ökas dess straff i 4 -matrisen.₁

(JHQVNDSHUI|UGHWVOXWQDV\VWHPHW

Det slutna systemet karaktäriseras av dess förstärkning och dess känslighet och robusthet mot störningar och modellfel. Dessa begrepp förklaras närmare i detta avsnitt.

3.4.1 Förstärkning

I det envariabla fallet används Bodediagram [3] för att tolka systemets egenskaper. Särskilt viktig är amplitudkurvan eller förstärkningen, dvs absolutbeloppet *(Lω) ritat som en funk-tion av frekvensen. I det flervariabla fallet kan man studera olika insignal/utsignal-kombina-tioner var för sig, vilket skulle innebära att man ritar upp Bodediagram för var och ett av ele-menten i *(Lω). På detta sätt kan dock inte kopplingar mellan olika delsystem hanteras. Ett sätt att beräkna systemets förstärkning är att beräkna frekvensfunktionen*(Lω):s singulära värden.

Singulära värden definieras enligt följande [4]:

Givet en matris $ definieras dess singulära värden σ som

L L λ

σ = (3.14)

där λ är egenvärdena till $_L $∗ . $ erhålls genom att transponera ∗ $ och komplexkonjugera

dess element. Det största singulära värdet till $ betecknas σ($) och det minsta σˆ($). Om

[ \ $= så gäller att ) ( ) ( ˆ $ [ \ $ σ σ ≤ ≤ (3.15)

Förstärkningen hos matrisen A ligger alltså mellan dess största och minsta singulära värde. För ett stabilt system med överföringsfunktion *(V) gäller att systemets förstärkning vid fre-kvensen ω ligger mellan det största och det minsta singulära värdet för frekvensfunktionen

) (Lω

* . Den faktiska förstärkningen beror på ”riktningen” hos insignalvektorn. Är denna vektor parallell med den egenvektor till *∗(Lω)*(Lω) som ger det största egenvärdet gäller den övre gränsen i olikheten 3.15

3.4.2 Känslighet och robusthet

Ofta representerar inte den processmodell G(s) som använts vid beräkningen av regulatorn hela sanningen om systemet. Det sanna systemet är oftast betydligt mer komplicerat än den modell som används och det påverkas av olika slags störningar. Det är därför viktigt att re-glersystemet kan fullfölja sin uppgift även då systemet påverkas av störningar och då

5HJOHUWHRUL

systemet skiljer sig från den modell som användes till regulatorberäkningen. Begreppen känslighet och robusthet används för att beskriva dessa egenskaper hos reglersystemet.

.lQVOLJKHW

Reglersystemet ska vara okänsligt för modellfel och störningar. I det återkopplade slutna sy-stemet i figur 3.2 är Z och Z systemstörningar som påverkar reglerstorheten _X ]men styrs inte av användaren. Q är en mätstörning som påverkar den uppmätta utsignalen men inte re-glerstorheten. u z y r G Fy Fr 4 n 3 w 2 w_u 1 r )LJXU 'HWVOXWQDV\VWHPHWUlUUHIHUHQVVLJQDOXVW\UVLJQDO]UHJOHUVWRUKHW

RFK \ GHQ XSSPlWWD XWVLJQDOHQ Z  RFK Z  lU V\VWHPVW|UQLQJDU RFKX Q

PlWVW|UQLQJ* lUV\VWHPHW)\UHJXODWRUQRFK) I|UNRPSHQVHULQJU

Den förstärkning man får då man går runt kretsen kallas kretsförstärkning och betecknas *)_\ eller )_\* beroende på var man börjar. Överföringsfunktionen från störningen Z till den upp-mätta utsignalen \ betecknas 6 och ges av

1

)

( + −

= , *)_\

6 (3.16)

6 kallas känslighetsfunktion och beskriver hur störningar undertrycks och den spelar stor roll för att beskriva hur modellfel hanteras [3].

I praktiken känner man inte till systemet exakt utan olika modellfel gör att man i själva verket får ett annat slutet system än vad man tror. Antag att det sanna öppna systemet ges av * och0

att det skiljer sig från den använda modellen på följande sätt:

* ,

5HJOHUWHRUL

I det flervariabla fallet är det skillnad på att låta modellfelet vara en multiplikativ faktor på utgången och att låta den verka på ingången enligt

) (

0 * , *

* = +∆ (3.18)

I det senare fallet ska insignal-känslighetsfunktionen

1 ) ( + − = , ) * 6_{X \} (3.19) användas istället för 6.

Om man bortser från störningar kommer den verkliga utsignalen bli

U ) * ) * , ] \ 0 U 1 0 0 ( ) − + = (3.20) i stället för U *) *) , ] _\ 1 _U ) ( + − = (3.21)

som modellen * hade lett till. Skillnaden mellan ]och ] ger₀

] , ]0 =( +∆_]) (3.22a) * ] =6 ∆ ∆ 0 (3.22b) 1 0 0 ( ) − + = , * )_\ 6 (3.22c)

Känslighetsfunktionen, svarande mot det sanna systemet beskriver hur det relativa modellfelet

*

∆ omformas till ett relativt utsignalfel. Det slutna systemet är alltså inte så känsligt med

avseende på modellfel i frekvensband där känslighetsfunktionen är liten [4].

5REXVWKHW

En viktig fråga är hur robust, dvs hur stora modellfel ∆ man kan ha utan att stabiliteten i det_* slutna systemet äventyras. Man kan anta att ∆ är en stabil överföringsfunktion och därmed_* får * och * samma stabilitetsegenskaper. Överföringsfunktionen0

\ \ *) *) , 7 1 ) ( + − = (3.23)

kallas den komplementära känslighetsfunktionen och antas vara stabil. Eftersom både ∆ och_*

7 är stabila överföringsfunktioner kan lågförstärkningssatsen [4] användas för att dra slutsat-sen att det sanna slutna systemet är stabilt om ∆_*7 _∞ <1, dvs

ω ω ω ∀ ∆ < , ) ( 1 ) ( L L 7 * (3.24)

5HJOHUWHRUL

3.4.3 Önskemål om det slutna systemet

Det finns ett antal grundläggande önskemål [4]:

• Det slutna systemet skall vara nära I för att reglerstorheten skall följa referenssignalen.

• Känslighetsfunktionen 6 skall vara så liten så att systemstörningar och modellfel har liten inverkan på utsignalen.

• Den komplementära känslighetsfunktionen 7 skall vara så liten att mätstörningar har liten inverkan på utsignalen och så att modellfel inte äventyrar systemstabiliteten.

Ofta eftersträvar man att 6 ska vara liten vid låga frekvenser och 7 liten vid höga frekvenser.

3.4.4 Egenskaper för LQ-regulator

Kretsförstärkingen för det återkopplade systemet blir

(

, $

)

% / * 1 ) (V = V − − N (3.25)

Då / valts genom linjärkvadratisk optimering kommer, i det skalära fallet, nyquist-kurvan

) (Lω

N

* alltid ligga utanför en cirkel med radie 1 och mittpunkt i –1 i det komplexa talplanet. Detta innebär att det återkopplade systemet får mycket goda robust- och känslighetsegenskaper [4].

27

4 Modell av hovrande helikopter

I detta kapitel görs förenklingar av de generella samband för en helikopter från föregående kapitel för att få en modell av en hovrande helikopter. Detta utgör den första delen av exa-mensarbetet. I detta examensarbete valdes, efter förslag från försvarsmaktsingenjör/major Johan Ölund, att modellera försvarets Helikopter 9, se appendix C1 och C2.

/\IWNUDIWHQVRPIXQNWLRQDYEODGHQVYLQNODU

Enligt beskrivningen av en helikopters funktion i avsnitt 2.2.1 kan piloten påverka rotorbla-dens cykliskt varierande anfallsvinklar (cyclic pitch) samt rotorblarotorbla-dens medelanfallsvinkel

0

Θ (collective pitch) för huvud- och stjärtrotorn. Medelanfallsvinkeln är det medelvärde

kring vilket rotorbladens vinklar varierar cykliskt och den styr lyftkraften respektive stjärtrotorkraften. Då piloten drar i spakarna och trampar på pedalerna påverkar han medelanfallsvinklarna samt de cykliskt varierande anfallsvinklarna vilket får tillföljd att lyft-och stjärtrotorkraften ändras. För att efterlikna detta är det önskvärt att uttrycka lyftkraften

P

7 , stjärtrotorkraften 7 samt vridmomenten _W 4 och _P 4 i dessa vinklar._W

Lyftkraften 7 kan skrivas på följande dimensionslösa form [6]:_P

2 ) ( _{P P} P P 7 _{$ 5} 7 & Ω = ρ (4.1)

Sambandet mellan bladets vinkel och lyftkraften ges av [6]:

) ( 4 VP VP P P 7 D & _φ σ = Θ − (4.2)

där φ är den inducerade vinkeln vid bladspetsen och _VP D är rotorbladens_P

stigningskoefficient. Θ är rotorbladens ideala tordering. _VP σ betecknar soliditeten och är ett_P mått på hur stor del av rotordisken som utgörs av bladens area. Den inducerade vinkeln kan uttryckas i den inducerade hastigheten

P P VP ₅ Y Ω = 1 φ (4.3) Då man sätter in (2.12) i (4.3) fås P P P P VP ₅ 7 Ω Ω = 2 2ρ φ (4.4)

0RGHOODYKRYUDQGHKHOLNRSWHU

Sambandet mellan bladets ideala tordering och dess medelanfallsvinkel, Θ , ges av_0P

VP P = Θ Θ 2 3 0 (4.5) Ekvation (4.1) ger 2 ) ( _{P P} P P P P 7 5 $ 7 & Ω = ρσ σ (4.6)

Ekvationerna (4.1), (4.4), (4.5) och (4.6) ger

) 2 3 2 ( 4 ) ( 2 0 _{P P} P P P P P P P P 5 $ 7 D 5 $ 7 Ω − Θ = Ω ρ ρσ (4.7)

Lösningen till ekvation (4.7), som kan beräknas med t.ex. Maple blir

5 0 4 3 2 0 1 N N N N N 7_P = Θ _P − + Θ _P + (4.8) där 6 ) ( 2 1 P P P P5 D $ N =σ Ω ρ 384 ) ( 2 2 2 P P P P P5 D $ N = Ω ρσ 2 2 3 18 PDP N = σ P PD N4 =384σ 64 ) ( 2 2 2 5 P P P P P $ D 5 N = Ω σ ρ

Ekvation (4.7) har två rötter och det är naturligt att välja den som ger 7_P =0då Θ_0P =0. För stjärtrotorn beräknas 7 på samma sätt. För att senare kunna använda linjär reglerteori för_W att styra systemet måste uttrycket linjäriseras. Med de numeriska värdena för Helikopter 9, se appendix C.1, insatta i (4.8) kan uttrycket linjäriseras genom Taylorutveckling kring det Θ -_0P värde för vilken tyngdkraften upphävs. Det visade sig vara svårt att få en linjärisering som gav tillfredsställande överensstämmelse i ett intervall kring linjäriseringspunkten. En mycket liten ändring av vinkeln gav en mycket stor kraftändring, skillnaden mellan det verkliga och det linjäriserade uttrycket var av storleksordningen en tiopotens. För att komma runt proble-met gjordes antagandet att helikoptern styrs direkt av krafterna 7 och _P 7 [A]._W

+lUOHGQLQJDYYULGPRPHQWHW

Det dimensionslösa uttrycket för lyftkraften, (4.1), kan användas för att beräkna vridmomen-tet 4 . Ett dimensionslöst uttryck för _P 4 är_P

P P P P P 4 _$ 4_{5 5} & 2 ) (Ω = ρ (4.9)

0RGHOODYKRYUDQGHKHOLNRSWHU

Sambandet mellan lyftkraften och vridmomentet är [6]:

8 2 σ G 7 7 4 & & F & = + (4.10)

där den andra termen beskriver den friktionskraft som uppstår då rotorbladet sveper genom luften och där F är en luftmotståndskoefficient. σ betecknar soliditeten. Om man sätter in_G (4.1) och (4.9) i (4.10) och förenklar får man:

8 ) ( 2 2 2 2 / 3 P P P P P G P P P P F $ 5 5 $ 7 4 + Ω Ω = σ ρ ρ (4.11)

Man kan anta att kraften från stjärtrotorn, 7 , och dess vridmoment, _W 4 , kan beräknas på_W samma sätt som för huvudrotorn. Man får då:

8 ) ( 2 2 2 2 / 3 W W W W W G W W W W 5 5 $ F $ 7 4 + Ω Ω = σ ρ ρ (4.12)

.UDIWRFKPRPHQWHNYDWLRQHU

En kropp som verkar i en luftström har ett aerodynamiskt vridningscentrum, som definieras som den punkt kring vilken alla vridningar sker då kroppen rör sig i luftflödet.

Genom att placera en stor yta, den horisontella stabilisatorn, långt bak på flygkroppen kom-mer vridningscentrum att hamna bakom masscentrum. Detta gör att helikoptern blir stabilare då den flyger framåt. Eftersom helikoptern i första hand ska hovra och det inte finns luft-strömmar med i modellen kan inverkan av stabilisatorerna approximeras bort. Flygkroppens krafter och moment kommer till största delen från luftmotstånd, därmed kan även dessa ap-proximeras bort.

Helikopterns tyngdpunkt förflyttas under flygning. Läget bestäms av mängden bränsle, be-sättning, antal passagerare, last samt robotar och lavetter. I [-led ligger det tillåtna tyngd-punktsområdet mellan två decimeter framför rotormasten till en decimeter bakom rotormasten [A]. För en hovrande helikopter kan tyngdpunkten anses ligga still och vara belägen rakt un-der rotormasten. Detta innebär att avstånden O och _P \ i figur (2.11) blir noll._P

Stjärtrotorns inverkan på hastigheten i [- och ]-led är liten kan approximeras bort. Sammanta-get ger dessa förenklingar av ekvationerna (2.21) – (2.26) följande ekvationer

) ( sin P X YU ZT PJ ;P = Θ+ &− + (4.13) ) ( sin P Y XU ZS PJ < <P+ W =− Φ+ &+ − (4.14) ) ( cos P Z XT YS PJ =P =− Θ+ &− + (4.15)

0RGHOODYKRYUDQGHKHOLNRSWHU ) ( _{\\ ]]} [[ W W P P P < K <K , S ST , , 5 + + = & − − (4.16) ) ( _{]] [[} \\ W W W W W P P P ; K 0 ; K =O , T SU , , 0 − + − + = &− − (4.17) ) ( _{[[ \\} ]] W W P <O , U ST , , 1 − = &− − (4.18)

För en hovrande helikopter och en helikopter som rör sig vertikalt gäller att helikopterns roll-, tipp- och girvinklar samt flappningsvinklar är små. Detta medför att man kan approximera sinus-termerna med vinklarna och cosinus-termerna med 1. De horisontella H-krafterna exi-sterar endast för framåtflygande helikoptrar, se avsnitt 2.2.2, och därför kan + och + sättas_W till noll. (2.27) – (2.36) kan därmed förenklas enligt

) ( _P P P 7 L ; = α + (4.19) β P P 7 < = (4.20) P P 7 = =− (4.21) ) ( _P P P _GG5 4 L 5 _ + +      = β α β (4.22) β α α P P G0_G 4 0  −      = (4.23) P P 4 1 = (4.24) 0 = − = W W + ; (4.25) W W 7 < = (4.26) W W W 7 = =β (4.27) W W 4 0 =− (4.28)

Med 4.19-4.28 insatta i 4.13-4.18 får man följande modell för en hovrande helikopter

1 6 2 / 3 5 4 2 / 3 3 2 1 1TU E E E 7 E 7 E7 E7 F D S& = + α + β + α _P + β _P + _P + _W + (4.29) 2 2 / 3 12 2 / 3 11 10 9 8 7 2SU E E E7 E 7 E 7 E 7 F D T& = + α − β − P − α P− β P − W − (4.30) 3 14 2 / 3 13 3ST E 7 E 7 F D U&= + _P − _W + (4.31) P P E 7 7 E D TZ UY X&= − − 4Θ+ 15 + 16α (4.32) W P E 7 7 E D SZ XU Y&= − + 5Φ+ 17β + 18 (4.33) 4 197 F E YS XT Z& = − − _P+ (4.34)

där koefficienterna D , _L E och _L F ges av uttrycken i appendix B. I appendix C.2 finns en mo-_L dell för försvarets Helikopter 9.

/LQMlUPRGHOO

För att senare kunna tillämpa linjär reglerteori och därmed lättare kunna reglera systemet måste modellen linjäriseras kring en jämviktspunkt.

0RGHOODYKRYUDQGHKHOLNRSWHU

4.4.1Tillståndsmodell

Genom att införa tillstånden

Z [ Y [ X [ U [ [ T [ [ S [ [1 =Φ 2 = 3 =Θ 4 = 5 =Ψ 6 = 7 = 8 = 9 =

enligt avsnitt 3.1.1 och insignalerna

α = 1

X X2 =β X =3 7P X =4 7W

kan systemet 4.29 – 4.34 skrivas på formen

) , ([ X I [ =& (4.35a) ) ([ K \ = (4.35b)

där \ är de uppmätta utsignalerna från systemet och i detta fall är\ = ._L [_L

2 1 [ [ =& (4.36a) 1 4 6 2 / 3 3 5 3 2 4 2 / 3 3 1 3 2 2 1 1 6 4 1 2 D [ [ EX E X EX X E X X EX E X F [& = + + + + + + + (4.36b) 4 3 [ [ =& (4.36c) 2 2 / 3 4 12 2 / 3 3 2 11 3 1 10 3 9 2 8 1 7 6 2 2 4 D [ [ E X EX E X E XX E X X E X F [& = + − − − − − − (4.36d) 6 5 [ [ =& (4.36e) 3 4 14 2 / 3 3 13 4 2 3 6 D [ [ E X E X F [& = + − + (4.36f) 3 1 16 3 15 3 4 9 4 8 6 7 [ [ [ [ D [ E X E XX [& = − − + + (4.36g) 4 18 3 2 17 1 5 7 6 9 2 8 [ [ [ [ D [ E X X E X [& = − + + + (4.36h) 4 3 19 8 2 7 4 9 [ [ [ [ E X F [& = − − + (4.36i)

4.4.2 Jämviktspunkt och linjärisering

För en hovrande helikopter är alla hastigheter noll, dvs X=Y=Z=0. Eftersom attityden ska bibehållas under hovring ska även gir-, tipp- och rollvinkelhastigheterna, S, T och U vara noll. Jämviktspunkten fås genom att lösa jämviktsekvationerna

1 4 6 2 / 3 3 5 3 2 4 2 / 3 3 1 3 2 2 1 1 0=EX +E X +EXX +EX X +EX +E X +F (4.37a) 2 2 / 3 4 12 2 / 3 3 2 11 3 1 10 3 9 2 8 1 7 0=E X −E X −E X −E X X −E X X −E X −F (4.37b) 3 4 14 2 / 3 3 13 0=E X −E X +F (4.37c) 3 1 16 3 15 3 4 0=−D [ +E X +E XX (4.37d) 4 18 3 2 17 1 5 0=D [ +E X X +E X (4.37e) 4 3 19 0=−E X +F (4.37f)

med hjälp av t.ex. Maple.

Tillståndsmodellen i avsnitt 4.4.1 skalas och linjäriseras kring jämviktspunkten enligt avsnitt 3.4.2 och avsnitt 3.4.3. En linjäriserad modell av Helikopter 9 finns beskriven i appendix C.2

33

5 Reglerdesign

Examensarbetets andra del består av att utforma ett reglersystem som håller helikoptern hov-rande. I detta kapitel används en linjäriserad modell av Helikopter 9, beskriven i appendix C.2, till att implementera en regulator som reglerar helikopterns position och attityd. Olika regulatorkandidater beräknades med hjälp av Matlab’s Control System Toolbox. Imple-mentation och utvärdering på den olinjära modellen skedde i SIMULINK, se appendix E.

.UDYVSHFLILNDWLRQ

Kravet på den implementerade simuleringsmodellen av helikoptern är att den ska ge ett si-mulerat uppförande som är så helikopterlikt som möjligt. Det finns inte några givna prestan-dakrav. Reglersystemet ska dock kunna kompensera för avvikelser i attityden. Förändringar i roll- och tippvinklarna uppstår som sekundär inverkan av andra åtgärder och är inget som påverkas direkt av piloten. Därför går det inte att reglera dessa så att de följer en given refe-renssignal. Eftersom det finns fysikaliska begränsningar för hur stor lyftkraft och stjärtrotorkraft som kan genereras samt att huvudrotorbladens möjliga flappningsvinklar ligger inom ett begränsat intervall måste styrsignalbegränsningar införas.

5HJXODWRU

Olika LQ-regulatorer som reglerade girvinkeln samt hastigheterna i [-, \- och ]-led testades. Det olinjära systemet och regulatorn implementerades i Simulink, se appendix D.1. Ett bra resultat, då helikoptern givits ett initialt läge skilt från jämviktspunkten, uppnåddes med regulatorn i appendix D.1. Regulatorn testades för ett antal olika fall då helikoptern initialt hade hastighet i x-, y- och z-led samt vinkelhastigheter skilda från noll. Regulatorn klarade att föra helikoptern till jämviktsläget och hålla den hovrande även då störningarna var ganska stora. Regulatorn klarade även att kompensera för störningar i form av brus som adderats till tillstånden.

Roll-, tipp- och girvinklarna når relativt snabbt sina jämviktslägen i det kroppsfasta koordinat-systemet. I figur 5.1 visas Eulervinklarna, det vill säga roll-, tipp- och girvinklarna i det jordfasta koordinatsystemet, och man kan se att i just detta fall så blir girvinkeln ganska stor, men den håller sig konstant efter ca 10 s. Helikoptern får initialt en hastighet i både [-, \- och

]-led, se figur 5.2. Hastigheterna avtar dock snabbt mot noll och en förflyttning på någon

5HJOHUGHVLJQ 0 10 20 30 40 50 60 −0.12 −0.1 −0.08 −0.06 −0.04 −0.02 0 0.02 0.04 0.06 Roll Tipp Gir )LJXU(XOHUYLQNODUGHWYLOOVlJDKHOLNRSWHUQVUROOWLSSRFKJLUYLQNHOLGHW MRUGIDVWDNRRUGLQDWV\VWHPHW 0 10 20 30 40 50 60 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 u, hastighet i x−led v, hastighet i y−led w, hastighet i z−led )LJXU+DVWLJKHWHULGHWMRUGIDVWDNRRUGLQDWV\VWHPHW

5HJOHUGHVLJQ

5.2.1 Det slutna systemets egenskaper

Singular Values Frequency (rad/sec) Singular Values (dB) 10−1 100 101 102 −45 −40 −35 −30 −25 −20 −15 −10 −5 0 5 )LJXU6LQJXOlUDYlUGHQI|UGHWVOXWQDV\VWHPHW

Det slutna systemets singulära värden, som definierades i avsnitt 3.4.1, visas i figur 5.3. Systemets bandbredd är ungefär 10 rad/s.

De störningar man kan vänta sig ligger i det lågfrekventa området. De singulära värdena för känslighetsfunktionen visas i figur 5.4. Lågfrekventa störningar undertrycks väldigt mycket eller förstärks. Om man studerar bodediagrammen för känslighetsfunktionen, se appendix E.2 ser man att lågfrekventa störningar i tippvinkeln och tippvinkelhastigheten förstärks väldigt mycket för hastigheten i [-led samt att störningar i rollvinkeln och rollvinkelhastigheten för-stärks för hastigheten i \-led.

För en verklig helikopter påverkas hastigheten i x-led till största delen av rotordiskens lutning och helikopterns tippvinkel. Då rotordisken lutas framåt och nosen tippas nedåt kommer lyft-kraften få en komposant i [-led och helikoptern flyger framåt. På samma sätt fås en lyftkrafts-komposant i y-led då rotordisken lutas åt sidan och helikoptern rollar. Således beror hastig-heten i \-led till viss del på rollvinkeln. Detta kan förklara varför störningar i roll- och tippvinkeln får så stark effekt på hastigheten i [- och \-led.