Identifiering av stelkroppsmodell för industrirobot

Full text

(1)Identifiering av stelkroppsmodell f¨ or industrirobot Examensarbete utf¨ ort i Reglerteknik vid Tekniska H¨ ogskolan i Linköping av Rasmus Olsson Reg nr: LiTH-ISY-EX–05/3625–SE Link¨ oping 2005.

(2)

(3) Identifiering av stelkroppsmodell fo ¨r industrirobot Examensarbete utf¨ ort i Reglerteknik vid Tekniska H¨ ogskolan i Linköping av Rasmus Olsson Reg nr: LiTH-ISY-EX–05/3625–SE. Handledare: Sven Hanssen Jonas Larsson Erik Wernholt Examinator: Svante Gunnarsson Linköping 19 december 2005..

(4)

(5) Sammanfattning Denna rapport behandlar en metod f¨ or experimentell identifiering av en stelkroppsmodell för en industrirobot. Metoden anv¨ ander sig av uppmätta moment och armvinklar för att identifiera parametrarna i en dynamikmodell för robotens tre huvudaxlar. För att erh˚ alla bra identifieringsresultat ¨ ar det viktigt att välja en lämplig identifieringsbana och i detta arbete har en metod för generering av banor använts och utvärderats för tv˚ a olika designkriterier. Experiment har utförts p˚ a en industrirobot fr˚ an ABB och vi har erh˚ allit goda identifieringsresultat med ett av designkriterierna. Nyckelord: identifiering, stelkroppsmodell, robotdynamik, optimering. i.

(6)

(7) Abstract In this masters thesis we consider a method for experimental identification of the inertial parameters of an industrial robot, using measured torques and joint angles. A dynamic model of the first three joints of the robot has been identified. To achieve good identification results, it is important to carefully choose the trajectory for the experimental identification. A method to generate trajectories using two suggested design criteria has been used and evaluated using an ABB industrial robot, and one of them yields good identification results. Keywords: identification, robot dynamics, optimal excitation. iii.

(8) iv.

(9) Tackord Jag vill framföra ett stort tack till mina handledare p˚ a ABB Robotics, Sven Hanssen och Jonas Larsson, f¨ or all tid, hj¨ alp och st¨ od som de bidragit med under arbetet. Jag vill ocks˚ a tacka Svante Gunnarsson, examinator p˚ a LiTH, och handledare Erik Wernholt för all v¨ agledning, tips och feedback som jag f˚ att fr˚ an dem. Slutligen vill jag tacka alla andra medarbetare p˚ a ABB Robotics som p˚ a olika sätt bidragit med hjälp under arbetets genomf¨ orande, d¨ aribland Stig Moberg, Torgny Brog˚ ardh och Jesper Bergsjö.. v.

(10) vi.

(11) Notation Symboler X τ = (τ1 , τ2 , . . . , τn )T q = (q1 , q2 , . . . , qn )T K(q, q) ˙ P (q) m(i) (i) (i) mS(i) = (mS (i) x , mS y , mS z ) (i). lj. H(q, q, ˙ q ¨) h(q, q) ˙ N  τ1   τ =  ...   τN  H(q1 , q˙ 1 , q ¨N )   .. H=  . H(qN , q˙ N , q ¨N ) r. Baseparametervektor Vektor med armmoment för axel 1 till n Vektor med armvinklar för axel 1 till n Robotens kinetiska energi Robotens potentiella energi (gravitationsenergi) Massan f¨ or länk i Vektor fr˚ an axel i till masscentrum hos länk i multiplicerad med massan hos länk i Avst˚ and fr˚ an led i till led i + 1 i j-riktning (x, y eller z). ¨ Overf¨ oringsmatris fr˚ an baseparametrar till armmoment ¨ Overf¨ oringsmatris fr˚ an baseparametrar till robotens totala energi Antal samplingspunkter som används för identifieringen. . Moment i N st samplingspunkter. H(q, q, ˙ q ¨) i N st samplingspunkter Matris med utväxlingen p˚ a robotens växlar. vii.

(12) viii.

(13) Inneh˚ all 1 Introduktion 1.1 Introduktion till industrirobotar 1.2 Bakgrund till problemst¨ allningen 1.3 M˚ al och omf˚ ang . . . . . . . . . . 1.4 Disposition av rapporten . . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. 1 1 1 3 3. 2 Robotmodellering 2.1 Introduktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Mekanisk struktur . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Motorer, v¨ axell˚ ada och sensorer . . . . . . . . 2.4 Kinematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Stelkroppsdynamik . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1 Modell med fysikaliska parametrar . . 2.5.2 Reducering till baseparametermodellen 2.5.3 Friktionsmodell . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. 5 5 5 5 6 7 7 9 9. 3 Identifiering 3.1 Bakgrund och litteratur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Felkällor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 St¨ orningar och brus . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Elastiska effekter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3 Filtrering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.4 Identifiering av fourierserie och analytisk derivering 3.2.5 Ej modellerade effekter . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Bestämning av en bana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. 11 11 12 13 13 17 17 17 17. 4 Genomf¨ orande 4.1 Robotmodell . . . . . . . 4.2 Vald identifieringsmetod . 4.3 Parametrisering av banor 4.4 Optimeringsproblemet . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. 21 21 21 22 22. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. ix. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . ..

(14) x. Inneh˚ all 4.4.1 4.4.2. Samplingstid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Erfarenheter fr˚ an optimeringen . . . . . . . . . . . . . . . . . 24. 5 Experiment 5.1 Introduktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Att utv¨ ardera identifierade parametrar . . . . . . . . 5.3 Utvärdering av konditionstalet som m˚ alfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Utvärdering av determinantfunktionen som m˚ alfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.1 J¨ amf¨ orelse av moment¨ overensstämmelse . . . 5.4.2 Analys av identifierade baseparametrar . . . 5.4.3 Analys av identifierade friktionsparametrar . 5.5 Identifieringens beroende av filtrering . . . . . . . . . 5.6 Variation i identifiering f¨ or olika k¨ orningar av samma 6 Diskussion och slutsatser 6.1 Val av m˚ alfunktion . . . . . . . . . . . 6.2 Momentfiltrering . . . . . . . . . . . . 6.3 Stokastiska respektive deterministiska störningar . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Identifiering av friktionsparametrar . .. 27 . . . . . . . . . 27 . . . . . . . . . 27 . . . . . . . . . 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . bana. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. 36 41 41 45 45 45. 51 . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 . . . . . . . . . . . . . . . . . 52. Litteraturf¨ orteckning. 53. A Baseparameterformulering. 55. B Optimeringsresultat B.1 Banor optimerade B.2 Banor optimerade B.3 Banor optimerade B.4 Banor optimerade. till till till till. m˚ alfunktionsvärde m˚ alfunktionsv¨ arde m˚ alfunktionsv¨ arde optimalitet . . . .. −75 . −90 . −100 . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. 61 61 64 67 70.

(15) Inneh˚ all. xi. Figurer 1.1 1.2. ABB:s robotfamilj och styrsk˚ ap. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Punktsvetsning av bilkarosser med ABB-robotar av typ IRB 6400. .. 2 2. 2.1 2.2 2.3. ABB IRB 6600, en industrirobot med seriell struktur. . . . . . . . . ABB IRB 340 (FlexPicker), en industrirobot med parallell struktur. Robotens sex axlar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 6 6 8. 3.1 3.2. Modell av vekheten i en axel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Numeriskt ber¨ aknad acceleration f¨ or axel 1–3 fr˚ an en ofiltrerad positionssignal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Numeriskt ber¨ aknad acceleration f¨ or axel 1–3 efter l˚ agpassfiltrering av positionssignalen med ett l˚ agpassfilter med gränsfrekvens 25 Hz och matlabproceduren filtfilt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Ofiltrerad momentsignal f¨ or axel 1–3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Momentsignal f¨ or axel 1–3 filtrerad med ett l˚ agpassfilter med gränsfrekvens 25 Hz och matlabproceduren filtfilt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Robot med dresspack. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20. 3.3. 3.4 3.5 3.6 5.1. Motorvinklar p˚ a axel 1–3 vid en k¨ orning av en dryg period av en optimerad bana d¨ ar roboten d¨ arefter ˚ aterg˚ ar till banans startpunkt med ett anpassat tredjegradspolynom. . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Armvinklar samt hastigheter och accelerationer för valideringsbanan. 5.3 Armmoment f¨ or valideringsbanan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Armvinklar samt hastigheter och accelerationer för en bana optimerad med konditionstalskriteriet samt valideringsbanan. . . . . . . . . 5.5 Filtrerat uppm¨ att moment respektive moment fr˚ an identifierad modell p˚ a en identifieringsbana optimerad med konditionstalskriteriet, axel 1–3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6 Filtrerat uppm¨ att moment respektive moment fr˚ an modell identifierad p˚ a en identifieringsbana optimerad med konditionstalskriteriet, för valideringsbanan, axel 1–3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7 Armvinklar samt hastigheter och accelerationer för en bana optimerad till ett m˚ alfunktionsv¨ arde p˚ a −75. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.8 Armvinklar samt hastigheter och accelerationer för en bana optimerad till ett m˚ alfunktionsv¨ arde p˚ a −90. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.9 Armvinklar samt hastigheter och accelerationer för en bana optimerad till ett m˚ alfunktionsv¨ arde p˚ a −100. . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.10 Armvinklar samt hastigheter och accelerationer för en bana optimerad till ett m˚ alfunktionsv¨ arde p˚ a −103,07. . . . . . . . . . . . . . . .. 28 30 31 33. 34. 35 37 37 38 38.

(16) xii. Inneh˚ all 5.11 Filtrerat uppm¨ att moment respektive moment fr˚ an identifierad modell p˚ a en identifieringsbana optimerad till ett m˚ alfunktionsvärde p˚ a −103,07, axel 1–3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 5.12 Filtrerat uppm¨ att moment respektive moment fr˚ an modell identifierad p˚ a en identifieringsbana optimerad till ett m˚ alfunktionsvärde p˚ a −103,07, f¨ or valideringsbanan, axel 1–3. . . . . . . . . . . . . . . 40 5.13 RMS-värden av skillnaden mellan filtrerat uppmätt moment och moment givet av baseparametermodellen p˚ a valideringsbanan, för axel 1–3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 5.14 Absolut differens mellan identifierade parametrar och teoretiska parameterv¨ arden f¨ or fem olika identifieringsbanor med m˚ alfunktionsvärdet −75. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 5.15 Absolut differens mellan identifierade parametrar och teoretiska parameterv¨ arden f¨ or fem olika identifieringsbanor med m˚ alfunktionsvärdet −90. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 5.16 Absolut differens mellan identifierade parametrar och teoretiska parameterv¨ arden f¨ or fem olika identifieringsbanor med m˚ alfunktionsvärdet −100. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 5.17 Absolut differens mellan identifierade parametrar och teoretiska parameterv¨ arden f¨ or fem olika identifieringsbanor optimerade till ett lokalt optimum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 5.18 Identifierade friktionsparametrar f¨ or fem olika identifieringsbanor med m˚ alfunktionsv¨ ardet −75. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 5.19 Identifierade friktionsparametrar f¨ or fem olika identifieringsbanor med m˚ alfunktionsv¨ ardet −90. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 5.20 Identifierade friktionsparametrar f¨ or fem olika identifieringsbanor med m˚ alfunktionsv¨ ardet −100. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 5.21 Identifierade friktionsparametrar f¨ or fem olika identifieringsbanor optimerade till ett lokalt optimum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 5.22 Absolut differens mellan identifierade parametrar och teoretiska parameterv¨ arden med respektive utan filtrering av momentsignalen. . . 48 5.23 Identifierade friktionsparametrar med respektive utan filtrering av momentsignalen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 5.24 Absolut differens mellan identifierade parametrar och teoretiska parameterv¨ arden vid tre olika k¨ orningar av samma bana. . . . . . . . . 49 5.25 Identifierade friktionsparametrar vid tre olika körningar av samma bana. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 B.1 B.2 B.3 B.4 B.5. Bana Bana Bana Bana Bana. optimerad optimerad optimerad optimerad optimerad. till till till till till. ett ett ett ett ett. m˚ alfunktionsvärde m˚ alfunktionsvärde m˚ alfunktionsvärde m˚ alfunktionsvärde m˚ alfunktionsvärde. p˚ a −75. p˚ a −75. p˚ a −75. p˚ a −75. p˚ a −75.. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. 61 62 62 63 63.

(17) Inneh˚ all B.6 B.7 B.8 B.9 B.10 B.11 B.12 B.13 B.14 B.15 B.16 B.17 B.18 B.19. Bana Bana Bana Bana Bana Bana Bana Bana Bana Bana Bana Bana Bana Bana. xiii optimerad optimerad optimerad optimerad optimerad optimerad optimerad optimerad optimerad optimerad optimerad optimerad optimerad optimerad. till till till till till till till till till till till till till till. ett ett ett ett ett ett ett ett ett ett ett ett ett ett. m˚ alfunktionsvärde m˚ alfunktionsvärde m˚ alfunktionsvärde m˚ alfunktionsvärde m˚ alfunktionsvärde m˚ alfunktionsvärde m˚ alfunktionsvärde m˚ alfunktionsvärde m˚ alfunktionsvärde m˚ alfunktionsvärde m˚ alfunktionsvärde m˚ alfunktionsvärde m˚ alfunktionsvärde m˚ alfunktionsvärde. p˚ a −90. . . p˚ a −90. . . p˚ a −90. . . p˚ a −90. . . p˚ a −90. . . p˚ a −100. . p˚ a −100. . p˚ a −100. . p˚ a −100. . p˚ a −100. . p˚ a −103,07. p˚ a −104,48. p˚ a −104,73. p˚ a −104,88.. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. 64 65 65 66 66 67 68 68 69 69 70 71 71 72.

(18) xiv. Inneh˚ all.

(19) Kapitel 1. Introduktion 1.1. Introduktion till industrirobotar. En industrirobot best˚ ar av ett antal stela kroppar, s˚ a kallade länkar, som är sammankopplade i ett antal leder, ¨ aven kallade axlar, som styrs med elektriska motorer. P˚ a den yttersta l¨ anken f¨ asts n˚ agon form av verktyg som roboten d˚ a kan hantera. Vanligast är robotar med sex axlar, vilket ger roboten de sex frihetsgrader som krävs för att fritt kunna kontrollera b˚ ade position och orientering hos verktyget. Position s˚ aväl som orientering kan varieras i tre dimensioner vilket ger totalt sex frihetsgrader. För att kunna k¨ ora roboten beh¨ ovs ocks˚ a ett styrsk˚ ap, vilket fungerar som robotens ”hjärna” och inneh˚ aller n¨ odv¨ andig h˚ ardvara och mjukvara för att styra och o¨vervaka roboten. I figur 1.1 visas ABB:s robotfamilj och styrsk˚ ap. Industrirobotar spelar idag en viktig roll f¨ or automatisering inom bland annat tillverkningsindustrin. De har en m¨ angd olika användningsomr˚ aden, till exempel b˚ ag- och punktsvetsning (se figur 1.2), materialhantering, maskinbetjäning, m˚ alning, limning och nya anv¨ andningsomr˚ aden tillkommer hela tiden. En stor del av robotarna g˚ ar till bilindustrin, och i livsmedelsindustrin a¨r användningen av industrirobotar p˚ a stark frammarsch. Utm¨ arkande för industrirobotar a¨r att de a¨r flexibla och programmerbara. De flesta robottyper a¨r inte specialiserade p˚ a en enda uppgift utan kan utf¨ ora flera olika uppgifter.. 1.2. Bakgrund till problemst¨ allningen. För att kunna styra en industrirobot effektivt behövs en bra dynamikmodell, som beskriver vilka moment som uppst˚ ar i axlarna d˚ a roboten utför en viss rörelse. Olika typer av modeller kan anv¨ andas f¨ or detta. Den kan inkludera robotens elastiska 1.

(20) 2. Introduktion. Figur 1.1. ABB:s robotfamilj och styrsk˚ ap.. Figur 1.2. Punktsvetsning av bilkarosser med ABB-robotar av typ IRB 6400.. egenskaper eller enbart det stela uppf¨ orandet. Den kan gälla enbart lokalt, dvs enbart i närheten av n˚ agon viss konfiguration hos roboten, eller globalt i hela robotens arbetsomr˚ ade. Utg˚ angspunkten f¨ or detta arbete a¨r en stelkroppsmodell av roboten som gäller i hela arbetsomr˚ adet. I denna modell ing˚ ar ett antal parametrar som beror av robotens stelkroppsdata (massor, tyngdpunkter, etc.), vilka man inte alltid har tillg˚ ang till f¨ or en viss robot. D¨ arför finns det ett behov av att kunna bestämma dessa parametrar experimentellt..

(21) 1.3 M˚ al och omf˚ ang. 1.3. 3. M˚ al och omf˚ ang. Syftet med detta arbete har varit att p˚ a experimentell väg identifiera parametrarna i en stelkroppsmodell f¨ or roboten och att utvärdera resultatet av denna identifiering. De experimentella data som finns till f¨ orfogande för denna identifiering är mätningar av motorernas position och moment. Framför allt har vi intresserat oss f¨ or problemet att utforma ett experiment som ger en s˚ a bra identifiering som m¨ ojligt, dvs att köra roboten utmed en bana som ger bra identifiering. Robottypen som anv¨ ants för experiment är ABB IRB 6600 och den modell som identifierats ¨ ar en modell för dess tre huvudaxlar. I arbetet har en studie av publicerad litteratur i ämnet gjorts, och därefter valdes en identifieringsmetod och en viss typ av parametrisering av robotens bana. Olika designkriterier har utv¨ arderats f¨ or optimering av en s˚ adan bana.. 1.4. Disposition av rapporten. I denna rapport inleder vi med att diskutera allmänna principer för modellering av robotar, och den stelkroppsmodell som använts i arbetet. Därefter diskuteras förutsättningar och metoder f¨ or identifiering av denna stelkroppsmodell och den identifieringsmetod som valts f¨ or denna studie. Vi g˚ ar sen igenom den metod som använts för att optimera fram identifieringsbanor och avslutningsvis presenteras de resultat som erh˚ allits med dessa..

(22) 4. Introduktion.

(23) Kapitel 2. Robotmodellering 2.1. Introduktion. I detta kapitel g˚ ar vi ¨ oversiktligt igenom de allmänna principerna för robotmodellering och därefter mer i detalj de bitar som används vid stelkroppsidentifiering. För en mer fullst¨ andig genomg˚ ang, se exempelvis John J. Craig, Introduction to robotics [3] eller Lung-Wen Tsai, Robot analysis [11].. 2.2. Mekanisk struktur. Robotens struktur och r¨ orelsebegr¨ ansningarna i robotens axlar avgör p˚ a vilket sätt och inom vilket arbetsomr˚ ade roboten kan arbeta. Olika typer av strukturer kan f˚ as beroende p˚ a hur l¨ ankarna p˚ a industriroboten är sammankopplade. Lederna kan vara roterande eller translaterande och kombineras p˚ a olika vis, och sammankopplingen av länkarna kan vara seriell (se figur 2.1) eller parallell (se figur 2.2). Den robottyp (IRB 6600) som vi intresserar oss för i detta arbete har seriellt sammankopplade länkar och roterande leder, vilket är den vanliga strukturen hos industrirobotar.. 2.3. Motorer, v¨ axell˚ ada och sensorer. P˚ a varje axel sitter en elektrisk motor som driver axelns rörelse via en växell˚ ada. Växell˚ adan omvandlar det h¨ oga varvtal och l˚ aga moment som motorn genererar till den l˚ angsammare r¨ orelse med stort moment som robotarmen behöver. Utväxlingen ligger i allmänhet i intervallet 100–400. F¨ or att man skall veta hur roboten rör sig s˚ a mäter man motorvinkeln. Detta g¨ ors p˚ a ABB:s robotar med en resolver som 5.

(24) 6. Robotmodellering. Figur 2.1. ABB IRB 6600, en industrirobot med seriell struktur.. Figur 2.2. ABB IRB 340 (FlexPicker), en industrirobot med parallell struktur.. mäter vinkeln p˚ a elektromagnetisk v¨ ag. Ett alternativ till denna typ av givare är en optisk s.k. enkoder som m¨ ater vinkeln digitalt.. 2.4. Kinematik. Robotkinematik handlar om att best¨ amma relationen mellan ledernas rörelse och rörelsen hos det verktyg som roboten hanterar. Verktygets position anges vanligen i kartesiska koordinater i n˚ agot fast referenssystem. Problemet att uttrycka verktygets position som en funktion av ledernas vinklar kallas för fram˚ atkinematikproblemet. Man s¨ oker allts˚ a funktionen x(q) X= = f (q) (2.1) r(q) där q = (q1 , q2 , . . . , qn )T a aller ledernas vinklar och x och ¨r en vektor som inneh˚ r a¨r verktygets position respektive orientering. För en seriell robotstruktur a¨r det relativt okomplicerat att h¨ arleda denna funktion genom att man först tittar p˚ a den första länkens position relativt referenssystemet, därefter den andra länkens position relativt den f¨ orsta, och s˚ a vidare tills man har en funktion för verktygets position och orientering relativt referenssystemet. Det inversa problemet, att best¨ amma q som en funktion av x och r, a¨r sv˚ arare och den funktionen kan inte alltid skrivas p˚ a en sluten form. Det finns dock en l¨ osning p˚ a sluten form f¨ or en seriell robot med s.k. sfärisk handled, vilket innebär att rotationsaxlarna f¨ or axel 4–6 sk¨ ar varandra i en enda punkt..

(25) 2.5 Stelkroppsdynamik. 7. F¨ or en robot med parallell struktur ¨ ar det ist¨ allet det inversa kinematikproblemet som är lätt att l¨ osa och fram˚ atkinematiken som är sv˚ ar.. 2.5 2.5.1. Stelkroppsdynamik Modell med fysikaliska parametrar. Robotens dynamikmodell beskriver sambandet mellan robotens rörelse och de drivande momenten τ = (τ1 , τ2 , . . . , τn )T i robotens axlar. För att härleda en s˚ adan modell kan man anv¨ anda lagrangefunktionen L(q, q) ˙ som definieras som L(q, q) ˙ = K(q, q) ˙ − P (q). (2.2). där K(q, q) ˙ a¨r den kinetiska energin och P (q) den potentiella energin hos roboten. Med antagandet om en stel robot best˚ ar den potentiella energin enbart av gravitationsenergi. D˚ a beskrivs robotens dynamik av Lagranges ekvationer d ∂L ∂L − = Γi , i = 1, . . . , n dt ∂ q˙i ∂qi. (2.3). där Γi är momentet i axel i d˚ a man bortser fr˚ an friktion. Genom att sätta in uttrycken f¨ or den kinetiska och potentiella energin i (2.2) kan ekvationerna (2.3) skrivas om som M (q)¨ q + C(q, q) ˙ q˙ + g(q) = Γ där M (q) är en tr¨ oghetsmatris, C(q, q) ˙ q˙ beskriver hastighetsberoende trögheter som coriolis- och centripetalkrafter, och g(q) ¨ ar gravitationens bidrag. För detaljer kring hur denna omskrivning g¨ ors, se [3] eller [11]. Med ett speciellt val av parametrar kan man göra en omskrivning p˚ a en linjär form, ˙ q ¨) X Γ = H(q, q, (1). (2). (n). (2.4). (i). där X = (X , X , . . . , X )T och X ¨ ar en 10-dimensionell vektor som inneh˚ aller fysikaliska stelkroppsparametrar f¨ or länk i. Nödvändigt för att modellen skall kunna formuleras p˚ a denna linj¨ ara form ¨ ar att man använder stelkroppsparametrar med tröghetsmomenten f¨ or l¨ ank i med avseende p˚ a den drivande axeln i och inte p˚ a länkens masscentrum. Se figur 2.3 för en illustration av robotens axlar. (i) Parametrarna definieras som X = (m(i) , mS(i) , I(i) ), där m(i) är länk i:s massa, (i) (i) mS(i) = (mS (i) ar en vektor fr˚ an axel i till masscentrum hos länk x , mS y , mS z ) ¨ (i). (i). (i). (i). (i). (i). i multiplicerad med massan hos l¨ ank i, och I(i) = (Ixx , Iyy , Izz , Ixy , Ixz , Iyz ) a¨r tröghetsmomenten f¨ or l¨ ank i med avseende p˚ a axel i..

(26) 8. Robotmodellering. H(q, q, ˙ q ¨) är en matris vars utseende best¨ ams av robotens struktur, och beror olinjärt p˚ a armvinklarna och dess hastigheter och accelerationer (q, q, ˙ q ¨). Ekvationen (2.4) är intressant ur identifieringssynpunkt, eftersom man utifr˚ an experi˙ q ¨) och momentvektorn Γ och därmed mentella data kan ber¨ akna matrisen H(q, q, erh˚ alla ett antal ekvationer som ¨ ar linj¨ ara i stelkroppsparametrarna. Med samma parametervektor kan man ocks˚ a formulera en modell för systemets totala energi E, E = K(q, q) ˙ + P (q) = h(q, q) ˙ X (2.5) Denna form är ocks˚ a intressant f¨ or identifieringsändam˚ al, d˚ a förändringen i den totala energin är lika med arbetet som roboten uträttar, och detta arbete kan beräknas utifr˚ an uppm¨ atta experimentella data. (Se t.ex. [6].) Skillnaden mellan (2.5) och (2.2) är att vi f˚ ar den totala energin genom att addera potentiell energi till kinetisk energi medan lagrangefunktionen definieras som kinetisk energi minus potentiell energi. Lagrangianen kan inte p˚ a ett liknande sätt beräknas utifr˚ an experimentella data och d¨ arf¨ or ¨ ar den totala energin bättre lämpad för identifiering. Vi har allts˚ a tv˚ a olika formuleringar som kan användas som grund för identifiering av stelkroppsparametrarna, (2.4) respektive (2.5), och dessa formuleringar kallar vi för momentformen respektive energiformen.. Figur 2.3. Robotens sex axlar..

(27) 2.5 Stelkroppsdynamik. 2.5.2. 9. Reducering till baseparametermodellen. De kinematiska begr¨ ansningarna p˚ a l¨ ankarnas rörelse leder till att det inte är nödvändigt att k¨ anna alla fysikaliska stelkroppsparametrar i X för att beräkna de drivande momenten, utan det r¨ acker att känna vissa linjärkombinationer av dem. Detta visar sig som att matrisen   H(q1 , q˙ 1 , q ¨1 )   ..   . H(qN , q˙ N , q ¨N ) aldrig f˚ ar full rang (dvs 10n som ¨ ar antalet kolumner i matrisen), utan det finns alltid linjära beroenden mellan kolumnerna i denna matris. Analogt för matrisen h(q, q). ˙ (Fr˚ an Lagranges ekvationer inses att dessa matriser uppvisar samma linjära beroenden.) D˚ ah¨ ar l¨ attare att analysera, eftersom den endast inneh˚ aller en rad, anda denna f¨ or att analysera de linjära beroendena. är det lämpligt att anv¨ Detta innebär att det inte finns en entydig uppsättning stelkroppsparametrar som ger ett visst moment, och man kan d¨ armed inte experimentellt identifiera parametrarna entydigt. L¨ osningen p˚ a detta problem är att reducera antalet parametrar till en minimal upps¨ attning, s˚ a kallade baseparametrar, och formulera modellen p˚ a den minimala formen ˆ ˆ Γ = H(q, q, ˙ q ¨) X (2.6) En metod för att genomf¨ ora denna reduktion numeriskt med hjälp av singulärvärdesfaktorisering har beskrivits av Sheu och Walker, [9]. Ekvation (2.6) ¨ ar baseparametermodellen p˚ a momentform. Med samma basepaˆ kan man ocks˚ rametervektor X a formulera modellen för systemets totala energi E. ˆ q) ˆ E = h(q, ˙ X (2.7) ˆ och X samt utseendet av matrisen H(q, ˆ Relationen mellan X q, ˙ q ¨) för ett visst val av baseparametrar f¨ or en treaxlig robotmodell redovisas i Bilaga A.. 2.5.3. Friktionsmodell. Friktion i robotens leder ger ett v¨ asentligt bidrag till momentet och är nödvändig att ta hänsyn till vid modelleringen av roboten. Den modell som används är att friktionsmomentet τF,i i led i ¨ ar en summa av Coulumbfriktion och viskös friktion τF,i =. q˙i C F + q˙i Fiv |q˙i | i. där FiC och Fiv a¨r friktionskonstanter. Detta anses vara en bra modell för friktionen och har använts i bl.a. [4]. Denna modell tar dock inte hänsyn till att friktionen kan vara momentberoende, och beroende av robotens konfiguration..

(28) 10. Robotmodellering. Friktionen kan d¨ arefter inkluderas i baseparametermodellen genom att baseparaˆ ut¨ a att dessa kan metervektorn X okas med friktionsparametrarna {FiC , Fiv }ni=1 s˚ identifieras samtidigt med de andra baseparametrarna. P˚ a momentform:   ˆ X     q˙   C  1  F1v  0 0 |q˙1 | , q˙1        F1   ..    ˆ H(q, q, ˙ q ¨ ) τ = Γ+τ F =  = H(q, q, ˙ q ¨) X    . . 0   .    0 .  q˙n    0 0 |q˙n | , q˙n F C  n Fnv Det visar sig vid en numerisk analys att inf¨ orandet av de nya kolumnerna i matrisen H(q, q, ˙ q ¨) inte ger n˚ agra linj¨ ara beroenden mellan kolumnerna (som vi hade i modellen (2.4)) och friktionsparametrarna ¨ ar därmed identifierbara..

(29) Kapitel 3. Identifiering 3.1. Bakgrund och litteratur. Identifieringsproblemet inneb¨ ar att k¨ ora roboten utmed n˚ agon bana och skatta parametervektorn X utifr˚ an data uppm¨ atta i ett antal samplingspunkter. Givna förutsättningar ¨ ar att enbart motormoment och motorposition kan mätas, dvs inga mätningar kan g¨ oras p˚ a sj¨ alva robotarmen. I litteraturen har olika identifieringsmetoder presenterats, där vissa använder sig av momentformen (se t.ex. [10], [2]) och andra av energiformen (se t.ex. [4]). Olika för- och nackdelar har diskuterats med de tv˚ a olika varianterna i exempelvis [8] och [6]. En fördel med att anv¨ anda energiformen är att accelerationer inte behöver användas, vilket ¨ ar bra eftersom att det kan vara sv˚ art att ta fram accelerationsdata med bra kvalitet. ˚ A andra sidan inneh˚ aller energiformen mindre information, eftersom man i varje m¨ atpunkt bara anv¨ ander en ekvation för den totala energin istället för en ekvation f¨ or varje axels moment. Det faktum att modellens syfte a f¨ or att använda momentformen, eftersom är att modellera momentet talar ocks˚ identifieringen d˚ a kan g¨ oras s˚ a att man f˚ ar parametrar som ger bästa möjliga momentöverensstämmelse. Momentformen har ocks˚ a fördelen att momentvärdena i princip kan tas direkt fr˚ an roboten medan energin m˚ aste integreras fram. Vi har därför valt att inom ramen f¨ or detta arbete enbart arbeta med momentformen. Med N samplingspunkter och momentformen har vi:     τ (1) H(q(t1 ), q(t ˙ 1 ), q ¨(t1 ))     .. .. τ = , H =   . . τ (N ). H(q(tN ), q(t ˙ N ), q ¨(tN )). Det gäller att τ = H X, men fel i m¨ atdata gör att vi bara känner skattningar τe e av τ och H. och H D˚ a fel i q, q˙ och q ¨ p˚ averkar matrisen H p˚ a ett komplicerat och olinjärt sätt, ger det 11.

(30) 12. Identifiering. en väsentlig förenkling att betrakta dessa som brusfria vid identifieringen. Om man gör detta antagande, samt antar att den observerade vektorn τe är normalfördelad a blir (se Swevers et. al [10]) med väntevärdet τ = H X och kovariansmatrisen Σ s˚ den s.k. ML-skattningen av X lika med l¨ osningen till det viktade minstakvadratproblemet T T −1 T e Σ−1 H eX eX = H e e τe Σ−1 τe − H XM L = arg min τe − H (3.1) H X. ML-metoden inneb¨ ar att man v¨ aljer den parametervektor som maximerar sannolikhetstäthetsfunktionen f¨ or de moment som man mätt upp, dvs man väljer den parametervektor som i n˚ agon mening maximerar sannolikheten för den observation som man gjort. Vi ser att denna metod ger de parametrar som p˚ a identifieringsbanan ger bäst moment¨ overensst¨ ammelse i en viktad minstakvadratmening, vilket är en bra egenskap hos identifieringen eftersom själva syftet med den identifierade modellen är att den skall modellera momentet p˚ a ett bra sätt. En metod för att inkludera en modell f¨ or bruset i positionsdata i en ML-skattning har diskuteras av Olsen et al. i [7]. Skattningen blir tyvärr mycket sv˚ arare att beräkna med denna metod, och detta har inte behandlats i detta arbete.. 3.2. Felk¨ allor. En av de viktigaste felk¨ allorna att beakta vid identifieringen är det brus och mätfel som finns i moment- och positionssignaler. Man vill göra identifieringen p˚ a ett s˚ adant vis att bruset p˚ averkar identifieringen av parametrarna s˚ a lite som möjligt. Detta involverar dels att behandla signalerna p˚ a lämpligt sätt, vad gäller filtrering och derivering, men det handlar ocks˚ a till stor del om att välja en bana där brus och mätfel p˚ averkar identifieringen s˚ a lite som möjligt. Ett annat problem ¨ ar robotens elastiska egenskaper. Eftersom dessa inte ing˚ ar i baseparametermodellen m˚ aste deras inverkan p˚ a momentet minimeras för att identifieringen skall bli bra. Man m˚ aste allts˚ a k¨ ora en bana där man undviker att excitera elastiska effekter. Egenskaper hos regressionsmatrisen H kommer att avgöra hur moment- och positionsfel inverkar p˚ a de identifierade parametrarna, s˚ a för att kunna identifiera parametrarna s˚ a bra som m¨ ojligt m˚ aste en bana väljas som ger goda egenskaper hos regressionsmatrisen. I litteraturen (exempelvis [1], [10] och [2]) har olika optimeringskriterier f¨ or generering av en bana diskuterats och utvärderats. Ett av dem a¨r konditionstalet p˚ a matrisen HT Σ−1 H, eller en normaliserad version av denna. Ett l˚ agt konditionstal minskar k¨ ansligheten i parameterskattningen (3.1) för dels fel i momentvärdena, och dels fel i regressionsmatrisen själv. Ett annat kriterium som föreslagits a ¨r − log det(HT Σ−1 H). Att minimera denna funktion svarar mot att minimera determinanten av kovariansmatrisen av parameterskattningen (3.1), när vi antar att vi enbart har brus i momentdata. (Logaritmfunktionen används.

(31) 3.2 Felk¨ allor. 13. bara för att f˚ a ner storleksordningen p˚ a funktionen.) Denna m˚ alfunktion svarar mot att minimera varians i parameterskattningen orsakad av varians i momentdata.. 3.2.1. St¨ orningar och brus. I motorn uppkommer st¨ orningar, s˚ a kallat rippel, vilket är en störning p˚ a motormomentet som varierar med rotorns position. Detta rippel är periodiskt med avseende p˚ a rotorns position och best˚ ar av b˚ ade str¨ omberoende och strömoberoende delar och kan modelleras som NA X. An sin(nq + ΦA,n ) + τc. NB X. Bn sin(nq + ΦB,n ). (3.2). n=1. n=1. där τc är begärt moment. Detta ¨ ar en deterministisk störning p˚ a motormomentet. Störningar uppst˚ ar ocks˚ a i den av resolvern uppmätta motorpositionen, och dessa kan modelleras som NC X Cn sin(nq + ΦC,n ) + e (3.3) n=1. där summan beskriver en deterministisk st¨ orning och e är ett stokastiskt brus.. 3.2.2. Elastiska effekter. Den dynamikmodell som identifieras modellerar bara robotens stela uppförande och utg˚ ar allts˚ a ifr˚ an att robotarmen uppf¨ or sig som en stel kropp. I verkligheten finns dock även elastiska effekter, och f¨ or att identifieringen av stelkroppsmodellen ska bli s˚ a bra som m¨ ojligt g¨ aller det att dessa elastiska effekter minimeras. För att f˚ a vägledning till hur detta b¨ or g¨ oras studerar vi en enkel elastisk modell för en av robotens axlar och unders¨ oker hur den avviker fr˚ an den stela modellen vid en harmonisk svängningsr¨ orelse. Vekheten i en av robotens axlar kan modelleras som ett tv˚ amassesystem med en fj¨ ader och en dämpare enligt figur 3.1, och det elastiska systemet kan d˚ a beskrivas med differentialekvationerna Jm 0 q¨m c −c q˙m k −k qm τ + + = m (3.4) 0 Ja qä −c c q˙a −k k qa 0 Jm och Ja a¨r tr¨ oghetsmomenten f¨ or motorn respektive robotarmen och dessa a¨r sammankopplade via en v¨ axell˚ ada som modelleras som en fjäder med en dämpare. För denna diskussion kan vi utel¨ amna v¨ axell˚ adans utväxling fr˚ an v˚ ar modell d˚ a denna enbart transformerar Ja och qa med en konstant. Vi ansätter en harmonisk sv¨ angningsr¨ orelse för motorpositionen, qm (t) = qˆm ejωt.

(32) 14. Identifiering. Figur 3.1. Modell av vekheten i en axel.. och löser ekvationen f¨ or denna. Andra raden i (3.4) ger Ja qä − cjω qˆm ejωt + cq˙a − k qˆm ejωt + kqa Ja qä + cq˙a + kqa c k qä + q˙a + qa Ja Ja. = 0 = cjω qˆm ejωt + k qˆm ejωt c k = jω qˆm ejωt + qˆm ejωt Ja Ja. Vi sätter c , ω0 = 2ξ = √ kJa och har att. r. k Ja. c = 2ξω0 Ja. Vi kan d˚ a skriva ekvationen som qä + 2ξω0 q˙a + ω0 2 qa = 2jξω0 ω qˆm ejωt + ω0 2 qˆm ejωt. (3.5). För att lösa denna differentialekvation s¨ oker vi först lösningarna till den homogena ekvationen där h¨ ogerledet ¨ ar lika med noll. qä + 2ξω0 q˙a + ω0 2 qa = 0. (3.6). Den karakteristiska ekvationen blir r2 + 2ξω0 r + ω0 2 = 0 Vi f˚ ar olika typer av l¨ osningar beroende p˚ a värdet av ξ. Om ξ > 1 s˚ a är p r = −(ξ ± ξ 2 − 1)ω0 och systemet är ¨ overd¨ ampat. Om ξ = 1 s˚ a är r = −ξω0. (3.7).

(33) 3.2 Felk¨ allor. 15. och system är kritiskt d¨ ampat. Om ξ < 1 s˚ a är. r = −(ξ ± j. p. 1 − ξ 2 )ω0. och systemet är underd¨ ampat. Det ¨ ar ocks˚ a detta fall som gäller för v˚ ar robot. D˚ a alla rötter till den karakteristiska ekvationen har realdel mindre än noll kommer l¨ osningarna till den homogena ekvationen, samt alla dess derivator, att g˚ a mot noll d˚ a t → ∞. Dessa l¨ osningar ¨ ar allts˚ a transienter som dör ut efter en viss tid, och därmed kan man undvika effekter fr˚ an dessa genom att vänta p˚ a att de dör ut. Vi letar nu efter en partikul¨ arl¨ osning och ans¨ atter. qap = qâp ejωt. och sätter in detta i (3.5).. −ω 2 qâp ejωt + 2ξω0 jω qâp ejωt + ω0 2 qâp ejωt −ω 2 qâp + 2ξω0 jω qâp + ω0 2 qâp (−ω 2 + 2ξω0 jω + ω0 2 )ˆ qap qâp. = 2jξω0 ω qˆm ejωt + ω0 2 qˆm ejωt = 2jξω0 ω qˆm + ω0 2 qˆm = (2jξω0 ω + ω0 2 )ˆ qm =. 2jξω0 ω + ω0 2 qˆm −ω 2 + 2ξω0 jω + ω0 2. Motormomentet f¨ or det elastiska systemet ges av (första raden i 3.4). τm = Jm q¨m + cq˙m − cq˙a + kqm − kqa. och motormomentet enligt den stela modellen, där vi ersätter fjädern och dämparen i 3.1 av en stel koppling, ges av. τ˜m = (Jm + Ja )¨ qm.

(34) 16. Identifiering. Vi undersöker nu differensen mellan dessa tv˚ a modellers moment. τm − τ˜m. = c(q˙m − q˙a ) + k(qm − qa ) − Ja q¨m = cjω(ˆ qm − qâp )ejωt + k(ˆ qm − qâp )ejωt + Ja ω 2 qˆm ejωt 2jξω0 ω + ω0 2 2 = (cjω + k) 1 − + J ω qˆm ejωt a −ω 2 + 2ξω0 jω + ω0 2 −ω 2 2 = (cjω + k) + Ja ω qˆm ejωt −ω 2 + 2ξω0 jω + ω0 2 −1 + Ja ω 2 qˆm ejωt = (cjω + k) −ω 2 + 2ξω0 jω + ω0 2 Ja (−ω 2 + 2ξω0 jω + ω0 2 ) −1 + ω 2 qˆm ejωt = (cjω + k) −ω 2 + 2ξω0 jω + ω0 2 −ω 2 + 2ξω0 jω + ω0 2 −Ja ω 2 + cjω + k −1 + ω 2 qˆm ejωt = (cjω + k) −ω 2 + 2ξω0 jω + ω0 2 −ω 2 + 2ξω0 jω + ω0 2 −Ja ω 2 = ω 2 qˆm ejωt −ω 2 + 2ξω0 jω + ω0 2 −Ja ω 4 qˆm ejωt = −ω 2 + 2ξω0 jω + ω0 2. För sm˚ a ω kan vi g¨ ora approximationen τm − τ˜m ≈ −ω 4. Ja qˆm ejωt ω0 2. D˚ a τ˜m = −(Jm + Ja )ω 2 qˆm ejωt har vi. τm − τ˜m Ja ≈ ω2 τ˜m (Jm + Ja )ω0 2 τm − τ˜m τ˜m τm − τ˜m τ˜m Ja = ≈ ω2 τm τm τ˜m τm (Jm + Ja )ω0 2. s˚ a om det gäller att. τ˜m τm. ≈ 1 f¨ or sm˚ a w har vi att τm − τ˜m ∝ ω2 τm. för sm˚ a ω, dvs det relativa momentfelet i den stela approximationen av den elastiska modellen g˚ ar kvadratiskt mot noll d˚ a ω → 0. Detta leder oss till slutsatsen att den stela modellen ger en bra approximation för sm˚ a ω, och robotens r¨ orelse d¨ arf¨ or skall best˚ a av l˚ aga frekvenser för att de elastiska effekterna skall inverka s˚ a lite som m¨ ojligt p˚ a identifieringen..

(35) 3.3 Best¨ amning av en bana. 3.2.3. 17. Filtrering. Vid numerisk derivering av positionssignalen förstärks det högfrekventa bruset i signalen. Om numerisk differentiering anv¨ ands utan föreg˚ aende behandling av signalen, blir resultatet en v¨ aldigt brusig och helt oanvändbar accelerationssignal. Se figur 3.2. För att kunna anv¨ anda sig av numerisk differentiering behöver man allts˚ a först filtrera positionssignalen p˚ a n˚ agot s¨ att. Detta görs med proceduren filtfilt i Matlab, vilket ger icke-kausal filtrering utan fasf¨ orlust. Med l˚ agpassfiltrering av positionssignalen med ett butterworthfilter med gr¨ ansfrekvens p˚ a 25 Hz f˚ ar accelerationen ett bättre utseende, se figur 3.3. Tittar vi p˚ a momentsignalen ser vi att denna ocks˚ a inneh˚ aller brus och högfrekvent rippel, se figur 3.4. Med filtrering med samma filter som för positionssignalen försvinner de högfrekventa st¨ orningarna och vi f˚ ar utseendet enligt figur 3.5.. 3.2.4. Identifiering av fourierserie och analytisk derivering. Ett alternativ till att utf¨ ora numerisk derivering med filtrering är att fouriertransformera den uppm¨ atta positionssignalen och sedan beräkna hastigheter och accelerationer genom att analytiskt derivera den fourierserie som identifierats. Om man har kännedom om vilka frekvenser som ing˚ ar i positionssignalen kan man l˚ ata enbart dessa frekvenser ing˚ a i fourierserien och man gör p˚ a s˚ a vis en filtrering av signalen. P˚ a detta s¨ att slipper man problemet med att högfrekvent brus förstärks. Ett problem är dock att banan inte kan f¨ oljas perfekt vid körningen och högre frekvenser kommer oundvikligen att introduceras i banan. Om man d˚ a bara tar med de frekvenskomponenter som den ursprungliga banan innehöll s˚ a kommer man att missa dessa h¨ ogre frekvenser.. 3.2.5. Ej modellerade effekter. Det kan finnas omodellerade egenskaper hos roboten som p˚ averkar momentet. Ett exempel är om ett s.k. dresspack ¨ ar monterat p˚ a roboten. Detta ger omodellerade krafter och moment p˚ a roboten. I figur 3.6 ser vi en robot med dresspack för punktsvetsning. Vid axel tre finns en fj¨ ader som spänner upp kablaget och ger en omodellerad fjäderkraft p˚ a axel tre. N¨ ar roboten rör sig omfördelas ocks˚ a vikten fr˚ an dresspacket p˚ a ett omodellerat vis.. 3.3. Best¨ amning av en bana. När det gäller att s¨ oka efter en optimal bana s˚ a a¨r det mest generella angreppssättet att anta godtyckliga v¨ arden p˚ a position, hastighet och acceleration i ett antal samplingspunkter och optimera med avseende p˚ a dessa värden, och därefter interpolera mellan dessa punkter p˚ a l¨ ampligt s¨ att. Detta görs t.ex. av Gautier och Khalil.

(36) 18. Identifiering. Figur 3.2. Numeriskt ber¨ aknad acceleration f¨ or axel 1–3 fr˚ an en ofiltrerad positionssignal.. Figur 3.3. Numeriskt ber¨ aknad acceleration f¨ or axel 1–3 efter l˚ agpassfiltrering av positionssignalen med ett l˚ agpassfilter med gr¨ ansfrekvens 25 Hz och matlabproceduren filtfilt..

(37) 3.3 Best¨ amning av en bana. 19. Figur 3.4. Ofiltrerad momentsignal f¨ or axel 1–3.. Figur 3.5. Momentsignal f¨ or axel 1–3 filtrerad med ett l˚ agpassfilter med gr¨ ansfrekvens 25 Hz och matlabproceduren filtfilt..

(38) 20. Identifiering. Figur 3.6. Robot med dresspack.. i samband med anv¨ andandet av energiformen [5]. En sv˚ arighet med detta är att det leder till ett antal punkter d¨ ar robotens konfiguration och rörelse i en samplingspunkt inte p˚ a n˚ agot vis anpassas f¨ or att ligga i närheten av den föreg˚ aende och den nästkommande samplingspunkten, och det blir därför en l˚ ang och komplicerad rörelse att ta sig fr˚ an en samplingspunkt till nästa. Det kan ocks˚ a vara problematiskt att kontrollera frekvensinneh˚ allet i banan d˚ a den kompletta banan blir en summa av orelaterade interpolerande rörelser mellan samplingspunkterna. Swevers et al, ”Optimal Robot Excitation and Identification” [10], presenterar en metod där man ist¨ allet anv¨ ander en trunkerad fourierserie för att parametrisera banan. Denna ansats ger en bandbreddsbegr¨ ansad bana och bestämmer p˚ a förhand vilka frekvenser som skall ing˚ a i banan. Det a r en f¨ o rdel n¨ a r det g¨ a ller att undvika ¨ att excitera flexibiliteter hos roboten, och det har ocks˚ a fördelar vid beräkningar av hastigheter och accelerationer vid identifieringen, se avsnitt 3.2.4. Med denna parametrisering reducerar man ocks˚ a antalet frihetsgrader i optimeringsproblemet. Detta har beräkningsm¨ assiga f¨ ordelar vid optimeringen, men det medför naturligtvis ocks˚ a nackdelen att s¨ okningen efter en optimal bana begränsas till de banor som denna parametrisering kan ˚ astadkomma. Det är sv˚ art att veta hur nära man med denna parametrisering kan komma det som vore en optimal bana om man hade kunnat välja banan fritt..

(39) Kapitel 4. Genomfo ¨rande 4.1. Robotmodell. Den robotmodell som identifieras a ¨r en treaxlig modell av ABB-roboten IRB 6600. Att inte en fullst¨ andig sexaxlig modell anv¨ ants är för att förenkla problemet och begränsa beräkningsb¨ ordan. Detta val av robotmodell bestämmer utseendet av matrisen H(q, q, ˙ q ¨).. 4.2. Vald identifieringsmetod. Vid körningen av roboten m¨ ats moment och position upp p˚ a motorsidan, τ m och qm . För att transformera moment och position mellan motor- och armsida används en stel modell av v¨ axell˚ adan, qm = rq rτ m = τ där matrisen.  r11 r= 0 0. 0 r22 0.  0 0 r33. beskriver växlarnas utv¨ axling. P˚ a axel 2 sitter en s.k. balanseringsenhet, vilket är en fjädrande cylinder som har till uppgift att avlasta axelns motor. Denna verkar med ett moment τ bal p˚ a axel 2 som a en känd tröghet som inte ing˚ ar är beroende av dess position. Motorerna har ocks˚ i baseparametermodellen utan m˚ aste dras bort fr˚ an det uppmätta motormomentet innan identifieringen. Det totala momentet p˚ a robotarmen kan skrivas som τ = r(τ m − Jm q ¨m ) + τ bal (q) 21. (4.1).

(40) 22. Genomf¨ orande. där Jm är en matris som inneh˚ aller motorernas tröghetsmoment (angivna p˚ a motorsidan). Sedan identifieras parametrarna enligt (3.1) i avsnitt 3.1, dvs som −1 T T T e e τe eX eX = H e Σ−1 H XM L = arg min τe − H H Σ−1 τe − H X. där. .  τe (1)   .. τe =   . τe (N ). beräknas enligt (4.1) utifr˚ an experimentellt uppmätta värden τe m av motormoe ber¨ mentet, och där regressionsmatrisen H aknas utifr˚ an uppmätta positionsdata.. 4.3. Parametrisering av banor. Jag har valt att optimera banor parametriserade med sinus/cosinus-funktioner p˚ a det sätt som presenteras av Svewers et al. [10]. M n X ai bn qi (t) = sin(ωf nt) − i cos(ωf nt) + qi0 (4.2) ωf n ωf n n=1 q˙i (t). =. M X. (ani cos(ωf nt) + bni sin(ωf nt)). (4.3). (−ani ωf n sin(ωf nt) + bni ωf n cos(ωf nt)). (4.4). n=1. qï (t). =. M X n=1. Här är ωf vinkelfrekvensen f¨ or den l¨ agsta frekvenskomponenten och M är antalet frekvenskomponenter. ani , bni och qi0 ¨ ar de parametrar som varieras för att bestämma banans utseende. Vi kan samla dessa parametrar i matrisen   0 b11 b21 . . . bM q1 a11 a21 . . . aM 1 1  b12 b22 . . . bM (4.5) A = q20 a12 a22 . . . aM 2 2 2 M 1 0 q3 a3 a3 . . . a3 b13 b23 . . . bM 3. 4.4. Optimeringsproblemet. Optimeringsproblemet g˚ ar ut p˚ a att optimera en m˚ alfunktion f (H) av regressionsmatrisen   H(q(t1 ), q(t ˙ 1 ), q ¨(t1 ))   .. H= (4.6)  . H(q(tN ), q(t ˙ N ), q ¨(tN )).

(41) 4.4 Optimeringsproblemet. 23. där tn = nts och ts ¨ ar samplingstiden. De m˚ alfunktioner som studerats i detta arbete a¨r konditionstalet av en normaliserad version av matrisen Σ−0.5 H, fc (H) = cond(normal(Σ−0.5 H)) där. normal ((A1 A2 . . . An )) =. A1 A2 An ... ||A1 ||2 ||A2 ||2 ||An ||2. (4.7) (4.8). samt fd (H) = − log det(HT Σ−1 H). (4.9). Se diskussion i avsnitt 3.2. Matrisen Σ har dock i detta arbete alltid valts som enhetsmatrisen, vilket inneb¨ ar att momenten p˚ a de tre axlarna viktas lika vid identifieringen. Begränsningar m˚ aste l¨ aggas p˚ a robotens position, hastighet och acceleration för att roboten skall h˚ alla sig inom det till˚ atna arbetsomr˚ adet, och inte belastas för h˚ art. Ett problem i detta sammanhang ¨ ar att se till att det maximala momentet inte överskrids. F¨ or att ber¨ akna momentet behöver man värdena p˚ a de parametrar som i problemställningen ¨ ar ok¨ anda och skall identifieras. För att lösa detta har jag använt teoretiska stelkroppsdata, samt identifierade värden p˚ a friktionen, för att beräkna ett moment som sedan begr¨ ansas i optimeringen. I en praktisk implementation där man ej k¨ anner n˚ agra stelkroppsdata, kan man tänka sig en iterativ procedur, där man f¨ orst identifierar en upps¨ attning parametrar med en ”snäll” bana som man vet att roboten klarar. Med dessa identifierade parametrar kan man d˚ a införa en momentbegr¨ ansning, men begr¨ ansningen bör göras konservativ d˚ a man inte vet hur nära det verkliga momentet man hamnar med dessa första identifierade parametrar. Med en bana som man tar fram med denna momentbegränsning kan man sedan beräkna en ny och f¨ orhoppningsvis bättre uppsättning parametrar, och uppdatera momentbegr¨ ansningen med dessa. Detta kan d˚ a upprepas tills man har en uppsättning parametrar som ger ett bra moment. Vi kan formulera optimeringsproblemet som minA f (H) qmin ≤ q(t) ≤ qmax ˙ ≤ q˙ max q˙ min ≤ q(t) min q ¨ ≤q ¨(t) ≤ q ¨max x(q(t), q(t), ˙ q ¨(t)) ∈ K där x(q(t), q(t), ˙ q ¨(t)) ∈ K inneh˚ aller momentbegränsningarna och begränsningar p˚ a verktygets position. F¨ or optimeringen har Matlab och funktionen fmincon i Optimization Toolbox anv¨ ants. Denna funktion använder s.k. ”Sekventiell kvadratisk programmering”. En begr¨ ansning hos denna metod a¨r att man bara kan hitta lokala optima, och det kan vara sv˚ art att veta hur l˚ angt bort man a¨r ifr˚ an ett globalt optimum. D¨ arf¨ or b¨ or man unders¨ oka resultatet av optimeringen för olika.

(42) 24. Genomf¨ orande. startvärden, för att se om de genererar likartade banor och lika bra slutvärden p˚ a m˚ alfunktionen. Matlabfunktionen fgoalattain har ocks˚ a använts för att generera banor med ett visst ¨ onskat v¨ arde p˚ a m˚ alfunktionen, för att kunna jämföra banor med olika m˚ alfunktionsv¨ arden. En praktisk detalj vid optimeringen i Matlab är att man inte kan kontrollera att bivillkoren är uppfyllda kontinuerligt f¨ or alla tidpunkter, utan man f˚ ar nöja sig med att lägga p˚ a bivillkoren i samplingspunkterna. Det innebär dock inget större problem i praktiken, s˚ a l¨ ange samplingspunkterna vid optimeringen ligger s˚ apass tätt att inga stora f¨ or¨ andringar i position, hastighet, acceleration respektive moment uppst˚ ar i intervallet mellan tv˚ a samplingspunkter.. 4.4.1. Samplingstid. De data som anv¨ ands vid k¨ orning av roboten är en samplad version av den kontinuerliga banan som ges av de koeffecienter som optimeras fram. Samplingstiden som används i robotsystemet ¨ ar ts = 4, 032 ms. Med denna samplingstid blir det väldigt m˚ anga samplingspunkter med de l¨ angder p˚ a banan som krävs (15 sekunder ger 3720 samplingspunkter) och detta g¨ or utv¨ arderingen av matrisen H och m˚ alfunktionen angsam optimering. Därför har en längre f (H) tidsödande vilket leder till mycket l˚ samplingstid anv¨ ants vid ber¨ akning av H vid optimeringen. För att kunna försvara användandet av olika samplingstid vid optimering respektive identifiering vill vi veta att om vi tar fram en bana genom att optimera m˚ alfunktionsvärdet för en viss samplingstakt s˚ a optimeras m˚ alfunktionsvärdet även för en annan samplingstid. För att verifiera detta har vi med hjälp av fgoalattain i Matlab optimerat fram banor till olika m˚ alfunktionsv¨ arden f¨ or en längre samplingstid, och därefter undersökt m˚ alfunktionsv¨ ardena f¨ or dessa banor när vi använder samplingstiden ts = 4, 032 ms som robotsystemet anv¨ ander, se tabell 4.1 och 4.2. Vi ser d˚ a att konditionstalet inte p˚ averkas n¨ amnv¨ art av en förändring i samplingstakten. Det enda som händer med fd (H) ¨ ar att v¨ ardena skiljer sig ˚ at med en konstant, vilket beror p˚ a att man tar determinanten av olika stora matriser. Detta ger en skillnad i storleksordning p˚ a determinanten, som blir en konstant skillnad efter logaritmering. Vi kan dra slutsatsen att optimering med en längre samplingstid kommer att optimera banan ¨ aven f¨ or en kortare samplingstid.. 4.4.2. Erfarenheter fr˚ an optimeringen. Vid ig˚ angkörning av optimeringen har slumpmässiga värden använts som initialv¨ arden p˚ a elementen i matrisen A (se (4.5)). Sannolikhetsfördelningen som använts till dessa a¨r en likformig f¨ ordelning p˚ a intervallet [−0,1;0,1]. Anledningen till att använda slumpade startv¨ arden a r att vi bara kan hitta lokala optima med op¨ timeringen i Matlab, och vilket optimum vi hittar beror p˚ a vilken startpunkt som valts. Därf¨ or kan det vara intressant att jämföra banor optimerade fr˚ an olika startvärden f¨ or att se om det blir stor variation mellan de banor som opti-.

(43) 4.4 Optimeringsproblemet. 25. meras fram, i de m˚ alfunktionsv¨ arden som uppn˚ as, samt de identifieringsresultat som erh˚ alls. I bilaga B redovisas utseende f¨ or olika banor d˚ a m˚ alfunktionen fd (H) har använts. Dels har fgoalattain anv¨ ants f¨ or att uppn˚ a ett visst givet m˚ alfunktionsvärde, och dels har fmincon anv¨ ants f¨ or att optimera till ett lokalt optimum. Vi kan observera att utseendet p˚ a banor med samma m˚ alfunktionsvärde är likartat, och att man f˚ ar banor som inneh˚ aller mer r¨ orelse n¨ ar m˚ alfunktionsvärdet minskar. Vi ser ocks˚ a att olika startvärden f¨ or optimeringen resulterar i ungefär samma slutvärde p˚ a m˚ alfunktionen vid lokalt optimum, de optimala värden vi erh˚ aller ligger i intervallet [-105,-103]. Optimeringen med fc (H) som m˚ alfunktion har inte varit lika stabil, och optimeringsrutinen fastnar ofta i l¨ agen d¨ ar den b¨ orjar ta väldigt sm˚ a steg, eller ibland stannar helt, och man tvingas d˚ a f¨ ors¨ oka med ett nytt startvärde. Dessa banor har ocks˚ a givit d˚ aliga identifieringsresultat.. Tabell 4.1. M˚ alfunktionsv¨ arden fc (H) f¨ or banor d¨ ar v¨ ardet till v¨ anster ¨ ar m˚ alfunktionsv¨ ardet f¨ or banan d˚ a antalet samplingspunkter reducerats med en faktor 32 och v¨ ardet till h¨ oger ar m˚ alfunktionsv¨ ardet f¨ or samma bana ¨ med fullt antal samplingspunkter.. 5 5 5 5 5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4 4 4 4 4. 4,9941 5,0034 4,9459 4,9681 5,0531 4,4832 4,5234 4,5094 4,4909 4,5640 4,0216 4,0076 4,0057 4,0128 3,9912. Tabell 4.2. M˚ alfunktionsv¨ arden fd (H) f¨ or banor d¨ ar v¨ ardet till v¨ anster ¨ ar m˚ alfunktionsv¨ ardet f¨ or banan d˚ a antalet samplingspunkter reducerats med en faktor 32 och v¨ ardet till h¨ oger ar m˚ alfunktionsv¨ ardet f¨ or samma bana ¨ med fullt antal samplingspunkter.. −75 −75 −75 −75 −75 −90 −90 −90 −90 −90 −100 −100 −100 −100 −100. −147,78 −147,78 −147,80 −147,80 −147,79 −162,79 −162,78 −162,75 −162,78 −162,78 −172,79 −172,80 −172,80 −172,81 −172,80.

(44) 26. Genomf¨ orande.

(45) Kapitel 5. Experiment 5.1. Introduktion. Vid den experimentella identifieringen har en robot av modell IRB 6600 använts. De signaler som loggas fr˚ an roboten ¨ ar motorposition och motormoment för axel 1–3. Den bana som man ¨ onskar k¨ ora roboten utmed ges i form av en datafil som inneh˚ aller den önskade motorpositionen samplad med samplingstiden 4,032 ms. Detta kallas för en offlinegenererad bana. För att undvika transienta effekter som uppst˚ ar vid ig˚ angkörningen av roboten används inte de f¨ orsta sekunderna av k¨ orningen för identifiering. För att f˚ a en hel period av den optimerade banan att anv¨ anda till identifieringen körs därför lite mer a¨n en period av denna (periodiska) bana, och en period av mätdata med början ett par sekunder in i k¨ orningen anv¨ ands. Vid k¨ orning av offlinegenererade banor krävs av tekniska skäl att denna bana har samma start- och stopposition, och för att ordna detta anpassas ett tredjegradspolynom fr˚ an slutpunkten p˚ a den extra del av en period som k¨ ors av banan, till banans startpunkt. I figur 5.1 illustreras detta, samt vilka mätdata som sedan anv¨ ands f¨ or identifieringen. Att observera a¨r att de begränsningar som anv¨ ants vid optimeringen ej applicerats p˚ a detta polynom, s˚ a försiktighet bör iakttas s˚ a att inte roboten g˚ ar utanför det till˚ atna arbetsomr˚ adet. Vid optimeringen har det heller ej lagts begr¨ ansningar p˚ a banan för att garantera att kollision ej intr¨ affar mellan lasten och robotarmen, s˚ a man bör kontrollera att detta inte inträffar innan banan k¨ ors.. 5.2. Att utv¨ ardera identifierade parametrar. När en identifiering har gjorts och en uppsättning identifierade baseparametrar erh˚ allits finns det olika m¨ ojligheter f¨ or att utvärdera identifieringen. Man kan studera de identifierade parametrarnas v¨ arden och se hur de avviker fr˚ an de teoretiska 27.

(46) 28. Experiment 1000. 800. 600. Motorvinklar. 400. 200. 0. −200. −400. −600. −800. 0. 5. 10. 15 t [s]. 20. 25. 30. Figur 5.1. Motorvinklar p˚ a axel 1–3 vid en k¨ orning av en dryg period av en optimerad bana d¨ ar roboten d¨ arefter ˚ aterg˚ ar till banans startpunkt med ett anpassat tredjegradspolynom. Linjerna markerar de m¨ atdata som sedan anv¨ ands vid identifieringen.. v¨ arden som f˚ atts fr˚ an fysikaliska data p˚ a roboten. För att f˚ a ett begrepp om hur mycket en viss f¨ or¨ andring i parametrarna ¨ andrar p˚ a momentet redovisas i tabell 5.1 medelvärdet av den p˚ a valideringsbanan genomsnittliga momentförändringen för axel 1–3 d˚ a var och en av parametrarna förändras med en enhet. Man kan ocks˚ a studera skillnaden mellan det moment som loggats vid körningen och det moment som f˚ as fr˚ an baseparametermodellen med loggade positionsdata och de identifierade parametrarna. Eftersom identifieringen ger de parametrar som p˚ a identifieringsbanan ger b¨ ast moment¨ overensstämmelse i en (viktad) minstakvadratmening, kan man f¨ orv¨ anta sig en mycket bra momentöverensstämmelse p˚ a denna bana. Därf¨ or s¨ ager momentavvikelsen p˚ a just denna bana inte s˚ a mycket om hur väl baseparametermodellen med dessa parametrar kommer att prediktera momentet d˚ a roboten k¨ ors utmed en annan bana. Därför a¨r det intressant att köra roboten utmed en valideringsbana f¨ or att se hur bra momentöverensstämmelse modellen ger där. En s¨ arskild bana har utsetts för detta a¨ndam˚ al, och detta a¨r en 16,5 s l˚ ang bana som inneh˚ aller fem frekvenskomponenter och f˚ atts genom op-.

(47) 5.2 Att utv¨ ardera identifierade parametrar. 29. timering med fd (H) som m˚ alfunktion. Vi ser i figur 5.2 att denna bana antar maximalt till˚ atna v¨ arden p˚ a position, hastighet och acceleration p˚ a armvinklarna, med undantag f¨ or position och hastighet för axel 2. I figur 5.3 ser vi att vi uppn˚ ar maximalt till˚ atna moment p˚ a axel 2 och 3, dock ej p˚ a axel 1. Eftersom roboten, utmed denna bana, k¨ or igenom en stor del av arbetsomr˚ adet, och med stora variationer p˚ a hastighet och acceleration samt höga momentniv˚ aer, bör bra momentöverensst¨ ammelse p˚ a denna bana tyda p˚ a att parametrarna är bra identifierade och att modellen ¨ ar giltig globalt.. Tabell 5.1. Genomsnittlig absolut momentf¨ or¨ andring i Nm f¨ or axel 1–3 p˚ a valideringsbanan d˚ a var och en av parametrarna f¨ or¨ andras med en enhet.. Parameter 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21. Axel 1 0,6017 0,2132 0 0,2342 0,6147 0,5030 0,4840 0 0,8111 0,8634 0,7747 0,3514 0,2830 0,6874 0,5694 0,8254 1,0000 0 0 0 0. Axel 2 0 0,2807 0,5302 0,1827 0,6508 0,5566 0,3666 0,7300 0,3768 0,5442 0,4184 9,0283 3,1494 7,6273 7,5694 0 0 0,3313 1,0000 0 0. Axel 3 0 0 0 0 0 0 0,3666 0,7300 0,3768 0,5442 0,4184 0 0 6,5143 6,4280 0 0 0 0 0,7552 1,0000.

(48) 30. Experiment. Axel 1. Axel 2. Axel 3. Position (rad). 1 2. 1. 0. 0.5 0. −1. 0. −2. −0.5. −2. −1. Hastighet (rad/s). 0. 10. 15. −3 0. 5. 10. 15. 1. 1. 1. 0. 0. 0. −1. −1. −1. 0 Acceleration (rad/s2). 5. 5. 10. 15. 0. 5. 10. 15. 1. 1. 1. 0.5. 0.5. 0.5. 0. 0. 0. −0.5. −0.5. −0.5. −1. 0. 5. 10 t [s]. 15. −1. 0. 5. 10 t [s]. 15. −1. 0. 5. 10. 15. 0. 5. 10. 15. 0. 5. 10 t [s]. 15. Figur 5.2. Armvinklar samt hastigheter och accelerationer f¨ or valideringsbanan..

(49) 5.2 Att utv¨ ardera identifierade parametrar. 31. Axel 1 Filtrerat uppmätt moment 3000. 2000. τ [Nm]. 1000. 0. −1000. −2000. −3000. 0. 2. 4. 6. 8 t [s]. 10. 12. 14. 16. 10. 12. 14. 16. 10. 12. 14. 16. Axel 2 Filtrerat uppmätt moment. 6000. 4000. τ [Nm]. 2000. 0. −2000. −4000. −6000 0. 2. 4. 6. 8 t [s] Axel 3. Filtrerat uppmätt moment. 5000 4000 3000 2000. τ [Nm]. 1000 0 −1000 −2000 −3000 −4000 −5000 0. 2. 4. 6. 8 t [s]. Figur 5.3. Armmoment f¨ or valideringsbanan..

(50) 32. 5.3. Experiment. Utv¨ ardering av konditionstalet som m˚ alfunktion. I de experiment vi gjort har det har visat sig att de banor som optimerats fram med konditionstalet som m˚ alfunktion inte gett n˚ agon bra identifiering. Detta tycks ha att göra med att de banor som vi optimerat fram p˚ a detta vis inneh˚ aller för lite rörelse. I figur 5.4 visas en bana med l¨ angd 16,5 s och sex frekvenskomponenter som optimerats till ett konditionstal p˚ a 3,5662. (Minimum och maximum p˚ a axlarna motsvarar maximalt till˚ atna v¨ arden f¨ or roboten.) Vi ser att hastigheterna p˚ a axel 1 och 2 är l˚ aga, och dessa axlar r¨ or sig ocks˚ a bara i en liten del av sitt arbetsomr˚ ade. I figur 5.5 ser vi momenten f¨ or denna bana och kan notera att momentet p˚ a axel 1 är förh˚ allandevis l˚ agt. Vi f˚ ar som f¨ orv¨ antat bra momentöverensstämmelse med baseparametermodellen och de parametrar som är identifierad p˚ a denna bana, men när vi använder dessa parametrar p˚ a valideringsbanan, ser vi (figur 5.6) att modellen ger väldigt d˚ alig moment¨ overensst¨ ammelse p˚ a axel 1, och även p˚ a axel 2. Det har heller inte fungerat b¨ attre att anv¨ anda fgoalattain för att ta fram banor med ett suboptimalt v¨ arde p˚ a konditionstalet, eftersom identifieringen med dessa banor blir ännu sämre..

(51) 5.3 Utv¨ ardering av konditionstaletsom m˚ alfunktion. Axel 1. 33. Axel 2. Axel 3 1. Position. 2. 1. 0. 0.5 0. −1. 0. −2. −0.5. −2. −1. Hastighet. 0. 10. 15. −3 0. 5. 10. 15. 1. 1. 1. 0. 0. 0. −1. −1. −1. 0. Acceleration. 5. 5. 10. 15. 0. 5. 10. 15. 1. 1. 1. 0.5. 0.5. 0.5. 0. 0. 0. −0.5. −0.5. −0.5. −1. 0. 5. 10 t [s]. 15. −1. 0. 5. 10 t [s]. 15. −1. 0. 5. 10. 15. 0. 5. 10. 15. 0. 5. 10 t [s]. 15. Figur 5.4. Armvinklar samt hastigheter och accelerationer f¨ or en bana optimerad med konditionstalskriteriet (heldragen linje) samt valideringsbanan (prickad linje)..

(52) 34. Experiment Axel 1 Filtrerat uppmätt moment Moment från identifierade parametrar 3000. 2000. τ [Nm]. 1000. 0. −1000. −2000. −3000. 0. 2. 4. 6. 8 t [s]. 10. 12. 14. 16. Axel 2 Filtrerat uppmätt moment Moment från identifierade parametrar. 6000. 4000. τ [Nm]. 2000. 0. −2000. −4000. −6000 0. 2. 4. 6. 8 t [s]. 10. 12. 14. 16. Axel 3 Filtrerat uppmätt moment Moment från identifierade parametrar. 5000 4000 3000 2000. τ [Nm]. 1000 0 −1000 −2000 −3000 −4000 −5000 0. 2. 4. 6. 8 t [s]. 10. 12. 14. 16. Figur 5.5. Filtrerat uppm¨ att moment respektive moment fr˚ an identifierad modell p˚ a en identifieringsbana optimerad med konditionstalskriteriet, axel 1–3..

(53) 5.3 Utv¨ ardering av konditionstaletsom m˚ alfunktion. 35. Axel 1, valideringsbana Filtrerat uppmätt moment Moment från identifierade parametrar 3000. 2000. τ [Nm]. 1000. 0. −1000. −2000. −3000. 0. 2. 4. 6. 8 t [s]. 10. 12. 14. 16. 12. 14. 16. 12. 14. 16. Axel 2, valideringsbana Filtrerat uppmätt moment Moment från identifierade parametrar. 6000. 4000. τ [Nm]. 2000. 0. −2000. −4000. −6000 0. 2. 4. 6. 8 t [s]. 10. Axel 3, valideringsbana Filtrerat uppmätt moment Moment från identifierade parametrar. 5000 4000 3000 2000. τ [Nm]. 1000 0 −1000 −2000 −3000 −4000 −5000 0. 2. 4. 6. 8 t [s]. 10. Figur 5.6. Filtrerat uppm¨ att moment respektive moment fr˚ an modell identifierad p˚ a en identifieringsbana optimerad med konditionstalskriteriet, f¨ or valideringsbanan, axel 1–3..

(54) 36. 5.4. Experiment. Utv¨ ardering av determinantfunktionen som m˚ alfunktion. F¨ or att utvärdera determinanten av kovariansmatrisen, dvs − log det(HT H), som m˚ alfunktion vid optimeringen, har ett antal banor med längd 16,5 s (4096 samplingar), fem frekvenskomponenter och olika v¨ arden p˚ a denna m˚ alfunktion tagits fram och använts för identifiering. Vid optimeringen har antalet samplingar reducerats en faktor 32 (se avsnitt 4.4.1). Vid optimering till lokalt minimum med funktionen fmincon har m˚ alfunktionsv¨ arden p˚ a mellan −103 och −105 uppn˚ atts, och fgoalattain har använts f¨ or att optimera fram banor med m˚ alfunktionsvärdena −75, −90 och −100. Parametrarna har identifierats med dessa olika banor för att undersöka om banor optimerade med denna m˚ alfunktion ger bra identifieringar, och om ett bättre värde p˚ a m˚ alfunktionen inneb¨ ar b¨ attre identifiering av baseparametrarna. Vid identifieringen har l˚ agpassfiltrering med gränsfrekvens 25 Hz använts p˚ a position och moment. Figur 5.7 till 5.10 visar exempel p˚ a utseende p˚ a banor med olika m˚ alfunktionsv¨ arden. En komplett redovisning av de banor som använts ˚ aterfinns i Appendix B. Figur 5.11 visar momenten d˚ a den optimala banan i figur 5.10 används som identifieringsbana, och momenten fr˚ an baseparametermodellen med de identifierade parametrarna fr˚ an denna identifieringsbana. I figur 5.12 ser vi att vi har god momentöverensst¨ ammelse d˚ a den identifierade modellen fr˚ an denna identifieringsbana används p˚ a valideringsbanan. Modellen fungerar mycket bättre än den som identifierats med en konditionstalsoptimerad bana som identifieringsbana..

(55) 5.4 Utv¨ ardering av determinantfunktionensom m˚ alfunktion. Axel 1. Axel 2. 37. Axel 3. Position [rad]. 1 2. 1. 0. 0.5 0. −1. 0. −2. −0.5. −2. −1. Hastighet [rad/s]. 0. 10. 15. −3 0. 5. 10. 15. 1. 1. 1. 0. 0. 0. −1. −1 0. Acceleration [rad/s2]. 5. 5. 10. 15. 5. 10. 15. 1. 1. 0.5. 0.5. 0.5. 0. 0. 0. −0.5. −0.5. −0.5. 0. 5. 10 t [s]. 15. −1. 5. 10. 15. 0. 5. 10. 15. 0. 5. 10 t [s]. 15. −1 0. 1. −1. 0. 0. 5. 10 t [s]. 15. −1. Figur 5.7. Armvinklar samt hastigheter och accelerationer f¨ or en bana optimerad till ett m˚ alfunktionsv¨ arde p˚ a −75 samt valideringsbanan (prickad linje).. Axel 1. Axel 2. Axel 3. Position [rad]. 1 2. 1. 0. 0.5 0. −1. 0. −2. −0.5. −2. −1. Hastighet [rad/s]. 0. 10. 15. −3 0. 5. 10. 15. 1. 1. 1. 0. 0. 0. −1. −1 0. Acceleration [rad/s2]. 5. 5. 10. 15. 5. 10. 15. 1. 1. 0.5. 0.5. 0.5. 0. 0. 0. −0.5. −0.5. −0.5. 0. 5. 10 t [s]. 15. −1. 5. 10. 15. 0. 5. 10. 15. 0. 5. 10 t [s]. 15. −1 0. 1. −1. 0. 0. 5. 10 t [s]. 15. −1. Figur 5.8. Armvinklar samt hastigheter och accelerationer f¨ or en bana optimerad till ett m˚ alfunktionsv¨ arde p˚ a −90 samt valideringsbanan (prickad linje)..

(56) 38. Experiment. Axel 1. Axel 2. Axel 3. Position [rad]. 1 2. 1. 0. 0.5 0. −1. 0. −2. −0.5. −2. −1. Hastighet [rad/s]. 0. 10. 15. −3 0. 5. 10. 15. 1. 1. 1. 0. 0. 0. −1. −1 0. Acceleration [rad/s2]. 5. 5. 10. 15. 5. 10. 15. 1. 1. 0.5. 0.5. 0.5. 0. 0. 0. −0.5. −0.5. −0.5. 0. 5. 10 t [s]. 15. −1. 5. 10. 15. 0. 5. 10. 15. 0. 5. 10 t [s]. 15. −1 0. 1. −1. 0. 0. 5. 10 t [s]. 15. −1. Figur 5.9. Armvinklar samt hastigheter och accelerationer f¨ or en bana optimerad till ett m˚ alfunktionsv¨ arde p˚ a −100 samt valideringsbanan (prickad linje).. Axel 1. Axel 2. Axel 3 1. Position [rad]. 2. 1. 0. 0.5 0. −1. 0. −2. −0.5. −2. −1. Hastighet [rad/s]. 0. 10. 15. −3 0. 5. 10. 15. 1. 1. 1. 0. 0. 0. −1. −1 0. Acceleration [rad/s2]. 5. 5. 10. 15. 5. 10. 15. 1. 1. 0.5. 0.5. 0.5. 0. 0. 0. −0.5. −0.5. −0.5. 0. 5. 10 t [s]. 15. −1. 5. 10. 15. 0. 5. 10. 15. 0. 5. 10 t [s]. 15. −1 0. 1. −1. 0. 0. 5. 10 t [s]. 15. −1. Figur 5.10. Armvinklar samt hastigheter och accelerationer f¨ or en bana optimerad till ett m˚ alfunktionsv¨ arde p˚ a −103,07 samt valideringsbanan (prickad linje)..

(57) 5.4 Utv¨ ardering av determinantfunktionensom m˚ alfunktion. 39. Axel 1 Filtrerat uppmätt moment Moment från identifierade parametrar 3000. 2000. τ [Nm]. 1000. 0. −1000. −2000. −3000. 0. 2. 4. 6. 8 t [s]. 10. 12. 14. 16. Axel 2 Filtrerat uppmätt moment Moment från identifierade parametrar. 6000. 4000. τ [Nm]. 2000. 0. −2000. −4000. −6000 0. 2. 4. 6. 8 t [s]. 10. 12. 14. 16. Axel 3 Filtrerat uppmätt moment Moment från identifierade parametrar. 5000 4000 3000 2000. τ [Nm]. 1000 0 −1000 −2000 −3000 −4000 −5000 0. 2. 4. 6. 8 t [s]. 10. 12. 14. 16. Figur 5.11. Filtrerat uppm¨ att moment respektive moment fr˚ an identifierad modell p˚ a en identifieringsbana optimerad till ett m˚ alfunktionsv¨ arde p˚ a −103,07, axel 1–3..

No results found