NATURVETENSKAP–MATEMATIK–SAMHÄLLE
Examensarbete i fördjupningsämnet Matematik
och lärande
15 högskolepoäng, avancerad nivå
Lärares upplevelser av att undervisa
elever i problemlösning i matematik
Teachers' experiences of teaching students problem solving in mathematics
David Åsfält
Grundlärarexamen 4-6, 240 hp Examinator: Peter Bengtsson Handledare: Ingen handledare
Abstrakt
Denna uppsats fokuserar på matematik för elever i årskurs 4-6 med autismspektrumtillstånd. I etablerad forskning finns det något motstridiga iakttagelser exempelvis Oswald et al. (2016) som ser denna elevgrupp ha vissa svårigheter när det gäller problemlösning i matematik. Detta stämmer inte helt med Titeca et al. (2015) som ser att denna elevgrupp i vissa avseenden har fördelar när det gäller problemlösning i matematik. Frågeställningen i denna uppsats rör lärares uppfattning om elever med autismspektrumtillstånds förhållande till problemlösning inom matematik, i jämförelse med neurotypiska elever. Syftet är att ge ett bidrag till denna kunskapsutmaning genom att beskriva och förklara hur elever med autismspektrumtillstånd i jämförelse med neurotypiska elever, har förmåga att lära genom problemlösning i matematik. Oswald et al. samt Titeca et al. utgör den teoretiska utgångspunkten som operationaliseras med Taflins (2007) ramverk över representationsformer. En kvalitativ datasamling genomfördes med intervjuer av lärare, baserade på teman från Oswald et al., Titeca et al. och Taflin. Resultaten visar att elever med autismspektrumtillstånd generellt inte uppvisar styrkor, samt att endast vissa delar bekräftar Oswald et al., samma för Titeca et al.:s iakttagelser. I förlängningen ger detta att lärare med elever som har autismspektrumtillstånd bör vara medvetna om att just språkliga aspekter av problemlösning är särskilt utmanade för denna elevgrupp.
Nyckelord
Matematik, didaktik, autismspektrumtillstånd, representationsformer, problemlösning, autism
1 INLEDNING ... 5
1.1 SYFTE ... 6
1.2 FRÅGESTÄLLNING ... 7
1.3 AVGRÄNSNING ... 7
2 TEORETISKA PERSPEKTIV ... 8
2.1 TVÅ PERSPEKTIV PÅ ELEVER MED AUTISMSPEKTRUMTILLSTÅNDS FÖRMÅGOR ... 8
2.2 DIDAKTISK SYN PÅ PROBLEMLÖSNING ... 9
2.3 MATEMATISK REPRESENTATION ... 10
2.4 UNDERSÖKNINGSMODELL ... 13
3 METOD ... 15
3.1 FORSKNINGSSTRATEGI ... 15
3.2 VAL AV TEORETISKT PERSPEKTIV ... 15
3.3 VAL AV METOD FÖR INSAMLING AV DATA ... 16
3.3.1 Genomförande ... 16 3.3.2 Transkribering ... 17 3.4 URVAL AV RESPONDENTER... 17 3.4.1 Respondenterna ... 18 3.5 METODENS TILLFÖRLITLIGHET ... 19 3.5.1 Trovärdighet ... 19 3.5.2 Överförbarhet ... 19 3.5.3 Pålitlighet ... 20
3.5.4 Möjlighet att styrka och konfirmera ... 20
3.6 ETISKA ÖVERVÄGANDEN ... 20
3.7 ANALYSVERKTYGET ... 21
3.7.1 Kodning av materialet ... 21
4 RESULTAT OCH ANALYS ... 23
4.1 KONKRET REPRESENTATION ... 23
4.1.1 Fråga 1 – Bitar ... 23
4.1.2 Fråga 2 – Skolvägen ... 25
4.1.3 Fråga 3 - Tornet ... 26
4.2 LOGISK SPRÅKLIG REPRESENTATION ... 27
4.2.1 Fråga 1 – Bitar ... 27
4.2.2 Fråga 2 – Skolvägen ... 29
4.2.3 Fråga 3 - Tornet ... 30
4.3 ARITMETISK/ALGEBRAISK/ANALYS REPRESENTATION ... 31
4.3.1 Fråga 1 – Bitar ... 31
4.3.2 Fråga 2 – Skolvägen ... 32
4.3.3 Fråga 3 - Tornet ... 33
4.4 GRAFISK/GEOMETRISK ANALYS ... 34
4.4.1 Fråga 1 – Bitar ... 34
4.4.2 Fråga 2 – Skolvägen ... 35
4.4.3 Fråga 3 - Tornet ... 36
5 SLUTSATSER OCH AVSLUTANDE DISKUSSION ... 38
6 REFERENSER ... 40
1 Inledning
Allt detta har sin början i min erfarenhet från Pusselbitens skola där jag i drygt fem år arbetat som lärare till elever diagnoser inom autismspektrumtillstånd1. Min egen erfarenhet och det som delats med mina kollegor är att delar av matematikämnet, som det förväntas att läras ut enligt Skolverkets kursplan, utgör utmaningar för oss i vårat uppdrag. Uppenbarligen så lyckas vi inte som det går att se i en nyligen utförd studie som studerat föräldrar till elever med AST. Det visade sig att en stor andel av eleverna som omfattades av studien inte nådde målen för matematik (Anderson 2020; Skolverket, 2021).
Om jag då som praktiserande lärare vill finna stöd för hur jag ska gå till väga i undervisningssituationer så stöter jag på ett dilemma, detta då det finns forskning som pekar i olika riktningar. Å ena sidan förekommer det studier som vittnar om individer med AST som besitter särskild fallenhet för matematik (Iuculano et al., 2014; Jones et al., 2009; McMullen, 2000; Thioux, Stark, Klaiman, & Shultz, 2006; Ward & Alar, 2000). Å andra sidan finns det forskning som tycks peka mot att en relativt hög andel av individer med AST uppvisar inlärningssvårigheter kopplade till matematik (Wei, Lenz, & Blackorby, 2013; Mayes & Calhoun, 2006; Chiang & Lin, 2007)
Studier som fokuserat mot elever med AST och matematik har undersökt elever med ASTs förmågor i relation till problemlösningsuppgifter i matematik samt vilka faktorer som tydligast förutsåg hur framgångsrikt eleverna löste problemlösningsuppgifter. De jämförde resultaten med en testgrupp bestående av NT-ungdomar. Resultat i studien visade att en högre andel ungdomar med AST visade tecken som indikerade på inlärningssvårigheter i matematik än matematisk begåvning gällande matematikprestationer (Oswald, Beck, Iosif,
1 Elever med diagnoser inom autismspektrumtillstånd, för tydlighet fortsatt refererade till som
elever med AST. Elever utan diagnoser inom autismspektrumtillstånd refereras av samma anledning vidare som NT-elever, för neurotypiska elever. Neurotypisk är en term som kan användas för att beskriva en person som inte har en neuropsykiatrisk funktionsvariation.
McCauley, Gilhooly, Matter, & Solomon, 2016; Chen et al., 2019). En signifikant större andel av ungdomarna i studien med AST visade indikationer på inlärningssvårigheter kopplade till problemlösning än NT-ungdomarna (Oswald et al., 2016; Bullen, Lerro, Zajic, McIntyre, & Mundy, 2020; Siregar, Rosli, Maat, Alias, Toran, Mottan, & Nor, 2020). Vidare så tycks det att perceptual reasoning, verbal ability och math anxiety fungerade som faktorer som förutsåg matematikprestationer (Oswald et al. 2016; McDougal, Riby, & Hanley, 2020).
En annan studie som även den har fokuserat på elever med AST och problemlösning i matematik har undersökt huruvida grundskoleelever med ASTs provresultat i matematik skilde sig från en testgrupp med NT-elever. Fyra områden i matematik: procedural calculation,
number fact retrieval, word problems samt time related competenses undersöktes. Resultaten visade att
elever med AST i flera områden fick poäng som var högre eller motsvarade medelnivån i jämförelse med testgruppen med NT-elever (Titeca, Roeyers, Loevs, Ceulemans, & Desoete, 2015).
De båda studierna visar på resultat som skiljer sig åt och ger motstridiga indikationer.
Problemlösning utgör alltså både ett område där elever med AST presterar sämre än testgruppen
NT-elever och där de presterar bättre eller på en nivå som motsvarar genomsnittet.
1.1 Syfte
Således, som praktiserande lärare har jag svårt att ta stöd av forskningen och lite hårdraget kan man säga att det finns två motstridiga perspektiv på elever med AST och deras förmåga att arbeta med problemlösning i matematik. Således drar jag en sorts tentativ slutsats att detta inte är helt beforskat, vi har inte en entydig bild över detta. Vilket resulterar i att det är oklart vilken ansats som är bäst för elever med AST – är problemlösning ett fält där elever med AST behöver utmanas eftersom de har lättare för det än genomsnittet, eller där extra insatser krävs för att skapa förutsättningar för att lyckas, eftersom de har svårare för det än genomsnittet?
Uppenbarligen går det att se att det finns en kunskapsutmaning och syfte med denna uppsats är att ge ett bidrag till denna kunskapsutmaning genom att beskriva och förklara hur elever med AST i jämförelse med NT-elever, har förmåga att lära genom problemlösning i matematik. Ökad vetskap om detta bör även ha praktiska implikationer då det ger underlag för olika didaktiska ansatser.
1.2 Frågeställning
Min övergripande fundering leder fram till; i vilken utsträckning elever med AST behöver utmanas eller behöver insatser för att skapa förutsättningar för att lyckas gällande problemlösning i matematik.
Att undersöka detta är utmanande då två grupper ska jämföras, men det finns en källa till kunskap som kan vara möjlig, nämligen lärarna och härigenom uppstår den egentliga frågeställningen. Hur ser lärarna på individers förmåga att arbeta med problemlösning inom matematik?
1.3 Avgränsning
2 Teoretiska perspektiv
De två studier som är kärnan i denna uppsats - Oswald et al. och Titeca et al. - har fokuserats kring att undersöka elever med ASTs förmåga att lära genom problemlösning, har gjort det genom att sätta fokus på kognitiva förmågor. De presenteras i början av detta kapitel. Då dessa förmågor var svåra att studera, har Taflins (2007) ramverk som fokuserar på fyra aspekter av problemlösning: matematiska idéer, matematiska områden, strategier och representationer, där representationer applicerats som verktyg för att operationalisera det som Oswald et al. och Titeca et al. behandlar.
Poängen med att koppla ihop de kognitiva förmågor som nämns i Oswald et al. (2016) samt Titeca et al. (2015) med Taflins (2007) exempel på representationer är att operationalisera begreppen samt styra analysen mot en matematikdidaktisk diskurs.
2.1 Två perspektiv på elever med autismspektrumtillstånds
förmågor
Oswald et al. (2016) anser att ett kritiskt steg i forskningen som rör AST är att utforska faktorer som eventuellt är kopplade till matematikprestationer. De identifierar fyra områden som de menar anses viktiga då forskning som utgått från NT-barn har genomförts. De fyra områdena utgörs av perceptual reasoning, verbal ability, working memory and math anxiety.
Titeca et al. (2015) identifierar fyra stycken påverkansfaktorer som de anser verkar avgörande för matematikutveckling i en grundskolekontext. De fyra områdena är procedural calculation,
number fact retrieval, word problems and Time related competenses.
Perceptual reasoning och Time related competences bygger på icke verbala kognitiva förmågor. Att
de räknas som icke-verbala har att göra med att information som sedan bearbetas inhämtas visuellt. (Oswald et al., 2016; Titeca et al., 2015). De kan därför sägas handla om problemlösning
i förhållande till visuella uttryck. Verbal ability och Word/Language problems innefattar språkliga aspekter av problemlösning. Det kan handla om läs- och hörförståelse, förmågan att härleda
problemlösning. Studier har även visat att grundläggande färdigheter i räkning är kopplade till allmänna språkkunskaper så väl som ämnesspecifika begrepp i matematik. (Oswald et al., 2016; Titeca et al., 2015). Procedural calculation handlar förmågan att omvandla information till algoritmer och ekvationer. Number fact retrieval handlar om att grundläggande aritmetisk fakta lagras i långtidsminnet vid upprepade procedurberäkningar. Denna fakta plockas fram vid behov och skeendet kan nästan beskrivas som att det sker per automatik då strategin de använder för att lösa det aritmetiska problemet baseras på minnet. Procedural calculation och
Number fact retrieval används vid arbete med algoritmer, aritmetiska operationer samt
ekvationer för att lösa dessa problem (Titeca et al., 2015; Geary, 2000). De kan därför sägas handla om problemlösning i förhållande till metoder och beräkningar. I Oswald et al. (2016) togs
working memory bort för en andra analys då det i den första analysen inte visade sig vara en
påverkansfaktor som hade en betydande inverkan på resultatet. Av denna anledning har jag inte valt att vidare behandla arbetsminne som en möjlig påverkansfaktor i min analys. I Oswald et al.:s (2016) studie användes math anxiety som en påverkansfaktor. Då avsaknaden av elevperspektiv i empirin i det aktuella arbetet gör det svårt att samla underlag som på något sätt kan säga något om elevers ångest kopplat till matematik har jag valt att inte heller behandla det vidare.
2.2 Didaktisk syn på problemlösning
Problemlösning innehar en betydelsefull ställning i matematikundervisningen. Problemlösning i
matematik kan bidra till att problemlösaren utvecklas i att lösa problem som inte enbart är av matematisk karaktär. En viktig kompetens vid problemlösning är att avgöra vilka delar av problemet som är väsentliga för den matematiska lösningen. Det är även viktigt för den som vill lösa matematiska problem att öva på matematiska resonemang. Att föra matematiska resonemang är av centralt betydelse för att utvecklas i matematikundervisningen och i det matematiska lärandet (Taflin, 2007).
En matematikuppgift kan anses vara ett problem då personen som ska lösa uppgiften på förhand inte vet hur uppgiften ska lösas. Personen som ska lösa uppgiften behöver även vilja finna en lösning samt göra en ansträngning utöver det vanliga för att komma fram till en lösning på uppgiften för att den ska kunna betraktas som ett problem. Rutin- och standarduppgifter kan således inte räknas som problem vid problemlösning (Taflin, 2007).
I kursplanen i matematik skildras matematik med utgångspunkt från tre avseenden. Det är: centralt innehåll, förmågor och kunskapskrav. I kursplanen för matematik förekommer både problemlösning som en av förmågorna som eleverna förväntas att utveckla och som ett område i det centrala innehållet i vilket kunskapsstoffet eleverna förväntas tillägna sig ryms. Detta gör att problemlösning både är ett medel i undervisningen samt ett mål. Detta mål kan nås genom att utveckling i samtliga av läroplanens förmågor (Skolverket, 2012; Skolverket 2018).
2.3 Matematisk representation
Taflin (2007) har i sin avhandling skrivit om problemlösning. I en av avhandlingens artiklar analyseras problemlösningsuppgifter genom ett ramverk som fokuserar på fyra aspekter av problemlösning nämligen: matematiska idéer, matematiska områden, strategier och representationer. Begreppet representationsform används här med samma betydelse som uttrycksform.
Taflin (2007) skiljer på i vilka bemärkelser representationsformer kan betraktas, nämligen form, funktion och mening. Formen har att göra med hur representationen är utformad. Exempelvis kan den innehålla bilder, tabeller och diagram eller språkliga förklaringar. Funktionen har att göra med varför en väljer representationen och för vem. Funktionen består av argument, förtydningar och övertalningar. Meningen inkluderar att förstå innebörden av representationen och att vara motiverad till att använda den.
Taflin (2007) delar in representationsformerna i fyra stycken kategorier och beskriver att förhållandet mellan representationsform, matematiskt idé, matematiskt område och strategi är nära sammanflätade.
Exempelvis är att välja och använda en operation en strategi som omfattas av det matematiska området aritmetik och kan exempelvis vara baserad på den matematiska idén addition. Representationsformen i detta exempel kan vara aritmetisk representation (Taflin, 2007).
De fyra kategorier av representationsformer Taflin (Ibid.) använder sig av är Konkret
representation, Logisk/språklig representation, Aritmetik/algebra/analys och Grafisk/geometrisk representation.
Konkret representation demonstreras att eleven utgår från en verklighetsbaserad modell. Detta kan innefatta konkret material eller genom att avbilda verkliga föremål (Taflin, 2007). Nedan är ett exempel på en konkret representation av problemlösningsuppgiften bitar (Taflin, 2007).
Figur 1. Taflin 2007, sida 72
I exemplet illustreras grupperingar av tänkta bitar.
Vad gäller detta område pekar Titeca et al.:s (2015) resultat mot att elever med ASTs förmågor är i genomsnitt med NT-populationen och Oswald et al.:s (2016) resultat pekar mot att elever med ASTs förmågor är under NT-populationens förmågor.
Logisk/språklig representation demonstreras genom språket. Detta kan ske i tal så väl som i skrift (Taflin, 2007). Nedan är ett exempel på en logisk/språklig representation av problemlösningsuppgiften bitar (Taflin, 2007).
”Logisk/Språklig representation – Lösning som kan redovisas muntligt.
För 10 kr får man 32 bitar. För 20 kr får man 64 bitar. För 30 kr får man 96 bitar. Det är 16 bitar för många. Men. 16 bitar är hälften av 32 bitar. Alltså betalar man 5 kr för 16 bitar. Alltså kan man betala 25 kr om man vill ha 80 bitar” (Taflin 2007, sida 72).
Vad gäller detta område pekar Titeca et al.:s (2015) resultat mot att elever med ASTs förmågor är högre än NT-populationen och Oswald et al.:s (2016) resultat pekar mot att elever med ASTs förmågor är under NT-populationens förmågor.
Aritmetik/algebra/analys, representation uttrycks med matematiska symboler. Dessa kan innefatta bokstäver och tal (Taflin, 2007). Nedan är ett exempel på en Aritmetik/algebra/analys, representation av problemlösningsuppgiften bitar (Taflin, 2007).
Figur 2. Taflin 2007 sida 72
I exemplet redovisas svaret dels genom en aritmetiska operationer med räknesätten division och multiplikation och dels genom en algebraisk ekvation.
Vad gäller detta område pekar Titeca et al.:s (2015) resultat mot att elever med ASTs förmågor är i genomsnitt med NT- populationen och Oswald et al. (2016) undersöker inte detta område i sin studie.
• Grafisk/geometrisk representation visar hur uppgiften är löst genom en illustration. Denna redovisning kan ske genom exempelvis venndiagram, tallinje, area, koordinatsystem, tabell etc (Taflin, 2007). Nedan är ett exempel på en Aritmetik/algebra/analys, representation av problemlösningsuppgiften bitar (Taflin, 2007).
Figur 3. Taflin 2007, sida 72
I exemplet redovisas svaret dels i form av ett koordinatsystem och dels i form av en tabell. Vad gäller detta område pekar Titeca et al.:s (2015) resultat mot att elever med ASTs förmågor är i genomsnitt med NT- populationen och Oswald et al.:s (2016) resultat pekar mot att elever med ASTs förmågor är under NT- populationens förmågor.
2.4 Undersökningsmodell
Jag kommer i detta arbete således använda mig av Taflins (2007) fyra kategorier av representationsformer som har presenterats i detta avsnitt för analys av min undersökning. De fyra kategorierna av representationsformer är:
• Konkret representation – Representationsform föreställande konkret eller avbildade verkliga föremål
• Logisk/språklig representation – Representationsform illustrerad genom språk, exempelvis tal och skrift.
• Aritmetik/algebra/analys, representation – Representationsform illustrerad genom matematiska symboler
• Grafisk/geometrisk representation – Representationsform framställd genom bilder, exempelvis grafer, tabeller och diagram
3 Metod
3.1 Forskningsstrategi
Bryman (2011) menar att är det användbart att dela upp forskningen och dess metoder i antingen kvantitativa eller kvalitativa forskningsstrategier. Enligt Bryman (ibid.) är de grundläggande skillnaderna mellan dessa att en kvantitativ forskningsstrategi är deduktiv till sin natur då att det handlar om prövning av teorier och en naturvetenskaplig modell medan en kvalitativ forskningsstrategi är induktiv till sin natur då handlar om teorigenerering och rent kunskapsteoretiskt utgår ifrån ett tolkande synsätt. I min studie har jag utgått ifrån en kvalitativ forskningsstrategi då fokus för min studie är lärares upplevelser och jag utgår ifrån ett tolkande synsätt.
3.2 Val av teoretiskt perspektiv
Valet av område kommer från min egen praktik som lärare i matematik till elever med diagnoser inom AST. Jag har ibland upplevt utmaningar i att undervisa i problemlösning både som ett centralt innehåll och förmåga och ville undersöka detta vidare. Jag började genom att använda mig av Malmö universitets söktjänst Libsearch. Jag inledde min sökning genom att söka efter orden Autism spectrum disorders, mathematics education och practice or strategies
or approaches någonstans i texten. Jag avgränsade sökningen genom att omfatta peer-reviewed
artiklar i akademiska tidsskrifter och valde att de skulle tillhöra ämnet mathematics. Sökningen gav 15 stycken träffar. För att generera fler träffar valde jag att utöka sökorden till autism
spectrum disorders or autism or asd, mathematics education or mathematics or mathematics teaching och practices or strategies or approaches. Sökningen gav 45 stycken träffar. Av de 45 artiklarna hade
två stycken skrivits om elever med AST som motsvarar mellanstadieålder och deras förhållande till problemlösning i matematik. De båda studierna gav även, i några avseenden, motstridiga resultat. Eftersom att studierna har skrivits utifrån psykologiska perspektiv och undersökt avancerade kognitiva begrepps inverkan på elever med ASTs förhållande till matematik fanns det ett behov av ett verktyg genom vilket jag kunde definiera dessa begrepp ur en didaktisk diskurs. Taflins (2007) doktorsavhandling finns beskriven i flera publikationer
som handlar om problemlösning. Bland annat boken Lära och undervisa matematik: från
förskoleklass till åk 6 (2012) som jag själv har använt som kurslitteratur vid min utbildning på
grundlärarprogrammet 4-6. Den del av Taflins analysramverk som rör olika representationsformer passade att använda för att operationalisera begreppen i de båda studierna.
3.3
Val av metod för insamling av data
Deltagande observationer och kvalitativa intervjuer är troligtvis de vanligaste datainsamlingsmetoderna inom kvalitativ forskning men intervjuer är nog ändå troligtvis den metod som används allra mest i kvalitativ forskning (Bryman, 2011).
I min studie har jag använt mig av semistrukturerade intervjuer vilket innebär att jag vid min intervju har utgått från teman som har fungerat som grunden i mitt intervjuschema (se bilaga 1). Det finns fördelar och nackdelar med alla datainsamlingsmetoder. Mitt val grundar sig främst på att intervjuer passade bäst utifrån mina tidsmässiga ramar och utifrån den frågeställning jag valt. Eftersom jag använde mig av semistrukturerade intervjuer gav det mig möjligheten att hålla mig till mitt valda ämne samtidigt som jag kunde vara flexibel och ställa uppföljningsfrågor. Denna intervjuform gör det även möjligt för respondenterna att svara på mina frågor på sitt eget sätt. Detta skiljer sig från strukturerade intervjuer som fungerar mer som enkäter (Bryman, 2011).
3.3.1 Genomförande
Med anledning av coronapandemin som äger rum under tiden som denna studie genomförts har mina intervjuer genomförts via antingen Zoom eller Google Meet (digitala video- och telefontjänster), beroende på vad respondenterna föredragit. Innan intervjun har jag testat båda tjänster genom att testa ljud, inspelningsmöjligheter, delning av skärm m.m. I början av intervjun har alla mina respondenter godkänt att jag fått spela in intervjuerna och jag spelade in samtliga intervjuer med hjälp av min dators inspelningsprogram.
Inför mina intervjuer skapade jag ett intervjuschema utifrån mitt valda teoretiska perspektiv och delar av det analysverktyg som Taflin (2007) använder sig av. För att kunna hålla mig till ämnet och utgå ifrån mitt teoretiska perspektiv använde jag mig av mitt intervjuschema under
samtliga intervjuer. Vid utformningen av mitt intervjuschema har jag försökt undvika ledande frågor och samtidigt formulerat mina frågor så jag har kunnat koppla svaren till min studies frågeställning. Detta är även några råd som Bryman (2011) tar upp vid utformning av en intervjuguide.
Totalt genomförde jag sex intervjuer med sex olika lärare. Tre lärare arbetade med NT-elever och tre lärare som arbetade med elever med AST. I några fall arbetade lärarna som jag intervjuade med elever i olika skolformer och årskurser. Med anledning av detta var det angeläget att informera respondenterna att de i deras svar utgick från de elever de arbetade med som gick i årskurserna 4-6 och följde grundskolans läroplan. I några fall arbetade lärarna som intervjuades i egenskap av lärare till NT-elever även dem med elever med AST. På grund av detta blev dessa lärare tydligt informerade om att de förväntades att svara utifrån de NT-elever de undervisade.
3.3.2 Transkribering
Samtliga intervjuer hölls under samma vecka och kort efter intervjuerna transkriberades alla intervjuer, bland annat för att kunna påbörja analysen så snabbt som möjligt. När jag transkriberade mina intervjuer har jag försökt undvika talspråk och paus-ord såsom ”ehm” eller ”öh” då jag bedömt att jag i min analys inte har haft för avsikt att titta på de delarna i talspråket. I övrigt är transkripten såsom respondenterna och jag konverserade. Vid transkriberingen har jag valt att använda mig av radnummer för att enklare kunna hitta i transkripten vid min analys. Se bilaga 2-7 för utskrift av intervjuer.
3.4 Urval av respondenter
I min studie har jag använt mig av ett målinriktat urval för att säkerställa att respondenterna har kunskap om det jag vill studera. Bryman (2011) beskriver att detta urval motiveras av forskaren har som avsikt att intervjua personer som kan anses vara väsentliga i relation till forskningsfrågorna.
Jag själv arbetar på en skola där det går elever med AST. Genom mitt arbete har jag även kontakt med andra lärare på andra skolor där det också går elever med AST. I och med mitt arbete och mitt kontaktnät har jag haft möjlighet att få kontakt med lärare som undervisar
NT-elever och elever med AST. Urvalet skedde genom att jag skickade ut mail till ett antal lärare och andra personer i mitt kontaktnät och samtliga respondenter jag kontaktade svarade. Det är dessa respondenter som jag har intervjuat.
3.4.1 Respondenterna
Informant 1 Gita
Utbildad grundskolelärare f-7 i ämnena samhällsorientering, svenska, engelska och matematik. Har arbetat som lärare i drygt 10 år. Jobbar som lärare i matematik och naturorientering i tre klasser i årskurs 5 på en grundskola f-9.
Informant 2 Denver
Utbildad mellanstadielärare. Arbetat som lärare 30 år. Undervisar i alla ämnen i årskurs 4-6 förutom slöjd och musik. Arbetar i liten grupp om 6 elever med AST, varav fyra elever läser enligt grundskolans läroplan, en elev läser efter grundsärskolans läroplan med inriktning ämnen och en elev läser efter grundsärskolans läroplan med inriktning ämnesområden. Intervjuas i egenskap av lärare till elever med AST.
Informant 3 Bellamy
Utbildad ämneslärare gymnasiet i idrott & hälsa samt historia. Har jobbat som lärare i två och ett halvt år. Arbetar med en elevgrupp på sex elever där samtliga har diagnoser inom AST. En elev går årskurs två, tre elever går i årskurs tre och två elever i årskurs fyra. Intervjuas i egenskap av lärare till elever med AST.
Informant 4 Farah
Utbildad grundskolelärare 4-9 i ämnena matematik och Naturorientering.
Har arbetat som lärare i 33år. Undervisar två klasser i årskurs 4 i matematik. Det går mellan 20-21 elever i varje klass. Intervjuas i egenskap av lärare till NT-elever.
Informant 5 Ikram
Utbildad grundskolelärare 4-6. Har arbetat som lärare i fyra år. Undervisar fem elever i alla ämnen. En elev går i årskurs 2. Fyra elever går i årskurs 4. En elev arbetar enligt grundskolans läroplan fyra elever arbetar enligt grundsärskolans läroplan inriktning ämnen. Har tidigare arbetat med grundskoleelever med AST. Intervjuas i egenskap av lärare till elever med AST.
Informant 6 Dayo
Arbetat som lärare i fem år. Är utbildad gymnasielärare i matematik och filosofi. Arbetar med undervisning i matematik som resurs åt skolans förstalärare i matematik. Undervisar en grupp på 24 elever i årskurserna 4-6. Intervjuas i egenskap av lärare till NT-elever.
3.5 Metodens tillförlitlighet
Inom kvantitativ forskning används två olika begrepp som kriterier för att diskutera och få en uppfattning om kvalitén i en undersökning, reliabilitet och validitet. Det finns olika synpunkter om dessa begrepp och kriterier och huruvida dessa är applicerbara på kvalitativ forskning. Bryman (2011) tar upp två andra kriterier som ett antal forskare anser kan fungera som motsvarigheter till begreppen reliabilitet och validitet, nämligen tillförlitlighet och äkthet. Anledningen till att det finns argument för att använda sig av begreppen tillförlitlighet och äkthet är bland annat att det inom den kvalitativa forskningen inte handlar mätbarhet och replikerbarhet på samma sätt som det gör inom kvantitativ forskning. Av dessa två begrepp (tillförlitlighet och äkthet) är det främst tillförlitligheten som tar störst plats inom den kvalitativa forskningen (ibid.).
Tillförlitligheten i en studie anses i sig bestå av fyra olika kriterier; trovärdighet, överförbarhet, pålitlighet samt ”en möjlighet att styrka och konfirmera” (Bryman, 2011:354).
3.5.1 Trovärdighet
För att säkra arbetets tillförlitlighet så utarbetades intervjuguiden så att flera frågor ställdes inom samma område. Detta för att kunna jämföra svaren och på så sätt arbeta mot att säkerställa att jag tolkade respondenterna riktigt. Detta sätt att arbeta kan jämföras med vad Bryman (2011) skriver om triangulering. Triangulering är en metod som kan innebära användandet av mer än källa av data då en forskare studerar sociala fenomen.
3.5.2 Överförbarhet
Vanligtvis innebär den kvalitativa forskningen en djup undersökning av en liten grupp eller individer, det är inte bredden som forskaren letar efter till skillnad från den kvantitativa forskningen. Istället uppmanas kvalitativa forskare att arbeta med fylliga eller täta
beskrivningar av det som undersöks. På så sätt kan individer själva bedöma hur överförbara resultatet i en viss studie kan vara i en annan miljö (Bryman, 2011). I min studie har jag försökt att använda mig av så många citat som möjligt för att kunna bidra till utförliga beskrivningar.
3.5.3 Pålitlighet
Inom kvalitativ forsknings för att verka för pålitlighet ska en forskare anta ett granskande synsätt. En forskare verkar för detta genom att skapa en tillgänglig och komplett redogörelse för alla stegen i forskningsprocessen och på så sätt kan andra fungera som granskare av undersökningen (Bryman, 2011). Genom att tydligt redogöra för de val jag gjort samt de steg jag har gjort i denna studie strävar jag efter att visa på ett granskande synsätt.
3.5.4 Möjlighet att styrka och konfirmera
Kriteriet att kunna styrka och konfirmera innebär att en forskare förmedlar att en undersökning har gjorts i god tro även om det finns medvetenhet hos forskaren om att det inom samhällelig forskning inte går att nå en fullständig objektivitet. En forskare ska med detta kriterium kunna visa att forskaren inte medvetet låtit personliga värderingar påverka undersökningen (Bryman, 2011). Jag har arbetat för detta kriterium genom att endast utgå ifrån den empiri som jag har samlat in genom mina intervjuer. Samtidigt finns det en medvetenhet hos mig att jag som egenskap av lärare har en viss förförståelse för vissa moment, därför är det ännu viktigare att jag är uppmärksam på min analys så att min förförståelse inte styr mina tolkningar och i slutändan min slutsats.
3.6 Etiska överväganden
För att säkerställa att min studie följer god forskningssed har jag förhållit mig till Vetenskapsrådets publikation God forskningssed (2017). Det är viktigt att individer som medverkar i forskning i möjligaste mån ska skyddas från kränkning och skada och av den anledningen är det viktigt att förhålla sig till individskyddskravet. Det är ett komplext begrepp med många olika faktorer som spelar in men det berör bland annat att personer som medverkar i forskning får information om vad deras uppgifter används till och varför samt att de medverkande ger samtycke till sin medverkan (utifrån korrekt information om
samtycke). Det berör även att respondenterna ska kunna erhålla anonymitet och att forskaren inte ska sprida uppgifter som forskaren fått i förtroende och att obehöriga inte ska få ta del av dessa uppgifter samt att det ska vara tydligt hur uppgifterna och studiens ska nyttjas (ibid.) I min studie har jag informerat mina respondenter om vad de uppgifter de lämnar ska användas till och varför. Varje respondent har innan intervjun fått information om studien och samtyckt till medverkan. I samband med intervjun har jag skickat ut en formell blankett där respondenterna fått skriftligt fylla i en samtyckesblankett, skriva under och därefter skicka tillbaka till mig. Varje respondent har blivit anonymiserad på det sätt att namn och arbetsplats har tagits bort för att inte kunna härleda informationen till en viss individ. I samtyckesblanketten framgår det tydligt bland annat vad ändamålet med behandlingen av personuppgifterna är, att respondenten kan begära rättelse av uppgifter eller återkalla ett samtycke. Respondenterna har även fått information om att detta endast används i utbildningssyfte och att det inte kommer spridas vidare till någon annan mottagare.
3.7 Analysverktyget
I min analys har jag utgått ifrån Taflins (2007) representationsformer vilket synliggörs i tabellerna i Bilaga 2. Jag har utgått från tre uppgifter och varje uppgift har jag analyserat utifrån alla fyra representationsformer.
3.7.1 Kodning av materialet
Som det går att se av figurerna och den högra kolumnen i analysverktyget i Bilaga 2, har jag kodat mitt material utifrån vilken representation jag kunnat identifiera och därefter även i vilken grad lärarna trodde att eleverna skulle använda sig av respektive representationsform.
Figur 4. Fotot visar hur jag använt mig av mina koder vid analys av mitt transkriberade material
När jag var klar med kodningen av mitt material likt bilden ovan valde jag att även gruppera den insamlade informationen utifrån de olika representationsformerna och beroende på om det var lärare till elever med AST eller lärare till NT-elever. Det gjorde jag för att kunna få en bättre överblick av mitt resultat och ha möjlighet att på ett mer systematiskt sätt tolka resultatet. Jag vill poängtera att det inte handlar om att kvantifiera mina resultat (likt en kvantitativ metod) utan för att enklare kunna tolka och se mönster i mitt resultat.
Figur 5. Fotot ovan är ett exempel på hur jag efter min analys har kategoriserat de olika representationsformerna utifrån resultatet.
4 Resultat och analys
I detta avsnitt presenteras resultaten grupperade efter representationsformer. I samband görs även en analys och diskussion över resultaten.
4.1 Konkret representation
4.1.1 Fråga 1 – Bitar
Alla lärare utom en svarade att de trodde att det var troligt att deras elever skulle använda sig av konkreta representationer för att redovisa sina svar. En av lärarna svarar att hen inte trodde att det var troligt då hen inte kunde föreställa sig att eleverna över huvud taget skulle lösa uppgiften.
Alla lärare som ser konkret representation som en möjlig representationsform nämner konkreta material. Exempel på konkreta material som förekom i svaren var centikuber, räknebönor, kulram samt sedlar och mynt. Flera av lärarna svarade också att de trodde att eleverna hade ritat för att illustrera bitarna i uppgiften. En av lärarna beskriver att några av lärarens elever förmodligen hade skrivit ut en aritmetisk operation med addition. Av lärarens svar tolkar jag det som att läraren hade tänkt att eleverna skrev upp den aritmetiska operationen utan att rita. Detta bör då räknas som aritmetisk/algebraisk/ analys representation enligt Taflins (2007) kategorisering. Abstraktionen som sker då eleven räknar ihop talen i huvudet och skriver ner i en operation snarare än att räkna ritade prickar eller konkret material skapar skillnaden mellan representationstyp. Detta blir intressant i de exempel där det konkreta materialet som nämns är i form av mynt vilket hade lett till att eleverna hade genomfört samma operation men genom huvudräkning och inte i form av nedskriven matematisk uträkning. Frågan väcks om det är fler av lärarna som har tolkat exemplet på representationer som att det motsvarar räkneoperationen 32+32+16 även utan konkret material eller att rita?
En av lärarna till elever med AST beskriver att vanan vid att arbeta med fysiskt material skulle kunna vara orsaken till att hen trodde att eleverna skulle välja denna typen av representation. Intervju 3, rad 277-281
BELLAMY: Nej, precis men att man delar upp sina alltså de enkla nu blir det ju tiokronorna så har vi så gör alla så fort vi har sådana uppgifter och slänger fram ja men 25 popcorn så delar de upp dem i femmor direkt om fem stycken kostar 10 och sedan så räknar de tio plus tio. Tio, tjugo, tjugofem alltså på det sättet mer än vad de räknar bitar de lägger först ihop bitarna så att det jag tror absolut den första
DAVID: Ja
BELLAMY: Sedan om det är att vi har försökt lära dem på det sättet men det känns ändå som att de gör det på det sättet
DAVID: Ja, precis
BELLAMY: Själva ganska.
En annan av lärarna till elever med AST beskriver att hens elever har vana av att arbeta med en ”fyrfältare”, alltså att arbeta med uppgifter med hjälp av representationer. Läraren beskriver vidare detta som ett led för eleven att komma in på representationsformen konkret representation.
En av lärarna beskriver utmaningen i att få eleverna att visa hur de har tänkt då de har löst uppgifter. En strategi som läraren har försökt att förmedla till eleverna är att redovisa genom att rita för att förmedla hur de har gått till väga.
Intervju 1, rad 122-127
GITA: Det är ju någonting som vi ett steg som många elever som vad ska vi säga de skippar det gärna för de ser inte riktigt poängen med att göra det de tycker att de är någonting som bara är i vägen och de ser inte den här kopplingen att kunna rita upp det eller att på att kunna på ett annat sätt kunna visa med materialen. Det är någonstans det är där jag får min bedömning och det här ju det gäller i synnerhet kanske dem som vissa av elever vissa elever ser ju en lösning ganska omgående
4.1.2 Fråga 2 – Skolvägen
Av de lärare som undervisar NT-elever svarade en att hen trodde att eleverna skulle välja en konkret representation och då förmodligen hade valt att rita en tänkt skolväg. En svarade att det fanns en eventuell möjlighet att någon enstaka eller några elever skulle välja denna representationsform. En svarade att de absolut inte trodde att någon skulle använda sig av denna typen av representation. Av lärarna som undervisar elever med AST svarade två att de absolut kunde tänka sig att deras elever skulle välja denna typen av representationsform och en svarade att hen absolut inte trodde att någon skulle välja denna typen av representation då uppgiften helt enkelt var för svår för dennes elever att lösa. Av de tre lärare som absolut skulle kunna tänka sig att deras elever skulle kunna redovisa svaren på frågan genom denna representationstypen gav alla samma exempel som handlade om att rita en tänkt väg till skolan. En av lärarna till elever med AST svarade också att hen kunde föreställa sig att eleverna skulle använda sig av klossar för att representera bråktalen. Rita gav också läraren som exempel som eventuellt eller i enstaka fall skulle kunna tänka sig att representationen förekom. Läraren trodde även att eleverna skulle kunna redovisa sina svar i en kombination mellan konkret representation och logisk språklig representation.
Intervju 6, rad 295 – 297
DAYO: Nä jag sade, alltså jag tänka mig att de hade ju försökt prata om det. Språklig representation. Och en konkret representation.
DAVID: Ja.
DAYO: Eller en blandning mellan konkret och grafisk.. men..
Av detta svar väcks en fråga huruvida detta svar bör tolkas som en kombination av representationer eller om det är ett uttryck för antingen eller. Den konkreta representationsformen karakteriseras av att redovisningen presenteras i form av konkret material eller en illustration av något verkligt. Den logiskt språkliga representationsformen karakteriseras av att svaret uttrycks språkligt antingen med text eller muntligt (Taflin, 2007). Jag tolkar det som att om det finns en konkret representation att utgå ifrån så bör det betraktas som att eleven har använt sig av en konkret representationsform.
En av lärarna som inte trodde att eleverna skulle använda sig av representationsformen trodde att uppgiften var för svår för eleverna i lärarens grupp att lösa. Den andra läraren som
inte trodde att representationsformen skulle förekomma trodde även att eleverna skulle rita men drog slutsatsen att det då var fråga om grafisk/geometrisk representationsform. Jag för ett resonemang om skillnaden mellan konkret representation och grafisk/geometrisk representation under rubriken grafisk/geometrisk representation.
4.1.3 Fråga 3 - Tornet
Alla lärare utom en svarade att det var troligt att deras elever skulle svara med konkret representationsform. En lärare till elever med AST svarade att generellt sett så kunde hen inte se att hennes elever skulle klara uppgiften men att någon enstaka elev hade kunnat klara något delmål och då hade använt sig av konkret representationsform. Flera av lärarna nämner att de tror att deras elever gärna hade redovisat sina svar på uppgiften med hjälp av konkret material. Flera nämner också att de tror att deras elever hade använt sig av bilden på tornet i själva uppgiften för att visa hur de hade tänkt.
Intervju 5, rad: 311-318
DAVID: Hur hade han visat hur han löste uppgiften?
IKRAM: På ettan så hade han tagit ett papper och så hade han räknat ett och så hade han dragit ett streck och så två och så dragit ett streck till och så hade han hållit på så
DAVID: Ja
IKRAM: På tvåan hade han bara byggt den och ställt den bredvid bilden i princip och så skrivit liksom i där man ska skriva rätt antal kuber
DAVID: I text då eller? IKRAM: I text ja. Ja.
Oswald et al.:s (2016) studie visade resultat som syftade till att mäta ickeverbalt IQ på tydliga skillnader mellan elever med AST och en testgrupp NT-elever. Eleverna med AST fick resultat som motsvarade en lägre nivå än medel. Enligt Oswald et al. (Ibid.) borde elever med AST uppleva svårigheter med problemlösning kopplat till visuella uttrycksformer i jämförelse med NT-elever. I Titeca et al. (2015) testades även elever med diagnoser inom AST och en testgrupp NT-elever i ickeverbalt IQ. Resultaten i
studien visade att eleverna med AST fick resultat som motsvarade medelnivån i testgruppen med NT-elever. Svaren pekar mot att det inte finns några uppenbara skillnader i förutsättningar för elever med AST att ta till sig problemlösning kopplat till visuella uttrycksformer. Resultaten i aktuell undersökning visar inte på några tydliga skillnader i svaren mellan lärare till elever med AST och lärare till NT-elever vilket pekar mot en liknande slutsats som i Titeca et al. (Ibid.).
4.2 Logisk språklig representation
4.2.1 Fråga 1 – Bitar
Undersökningen resulterade i spridda svar gällande Logisk- språklig representation på problemet Bitar. En lärare till NT-elever svarade att hen absolut skulle kunde se att eleverna skulle kunna använda sig av denna typ av representationsform. Två av lärarna till NT-elever svarade att de kunde se att eleverna möjligtvis eller i något fall skulle använda sig av sig av denna typ av representationsform. Av lärarna till elever med AST svarade en att de kunde se att eleverna möjligtvis skulle kunna använda sig av denna representationsform och två av lärarna svarade att de inte trodde att någon av deras elever skulle använda sig av representationsformen. Två av lärarna till elever med AST svarade att de har elever som vanligtvis väljer att försöka svara muntligt om hur de tänker kring uppgifter. Den av lärarna till elev med AST som svarade att det eventuellt skulle vara en förekommande representationsform nämner de höga talen i uppgiften som ett hinder för att denna typ av representation skulle förekomma bland eleverna till denna uppgift. En annan lärare till elever med AST svarar att en av lärarens elever nästan alltid väljer att försöka svara och förklara muntligt men ofta gör detta utan att ha tänkt igenom sina svar och gissar sig fram under tiden eleven förklarar. Metoden fungerar nästan hindrande för eleven. Samma lärare beskriver behovet att hjälpa eleverna att strukturera sina muntliga förklaringar i redovisandet av en lösning till en uppgift som innehåller flera steg.
Intervju 3, rad 265-267
DAVID: Ja precis. Hade de haft det lättare att berätta hur de hade gjort då? Alltså förklara muntligt eller det hade varit svårt det också?
BELLAMY: Nä. Eller jo det är lättare att förklara kanske än att skriva ner det alltså om man ber dem eller om man hjälper alltså jag vet inte alltså hur mycket hjälp det är men om man sitter med dem och så här ”nu har du förklarat det här” och sedan så skriver man ner det åt dem ”och sedan har du förklarat det här” och skriver ner alltså att man får hjälpa dem att bena i deras förklaringar också
DAVID: Ja, precis och det kanske är några som hade haft det svårt att förklara muntligt
BELLAMY: Förklara ja. Exakt aldrig så att det hänger samman utan då kanske om man ber dem att jag tror inte det är någon som alltså om man bara säger så förklara hur du tänkte så får du ingenting tillbaka
En av lärarna till elever med AST beskriver också att läraren upplever språket som ett hinder i flera avseenden, både muntligt och skriftligt.
Intervju 2, rad: 65-71
DENVER: Fast skriftliga redogörelser och sånt, det tycker jag att det är det som de i princip ja oftast har väldigt väldigt svårt för.
DAVID: Ja, och för nästa fråga handlar om hur eleverna hade visat hur de hade löst uppgiften. Gäller det samma där att det hade varit muntligt.
DENVER: Ja, fast kanske möjligtvis kunnat försöka svara muntligt men det är.. även det är svårt att förklara hur man löser en uppgift, tycker jag är väldigt svårt för dem som har det här, de här diagnoserna.
Vidare beskriver en av lärarna till NT-elever att hens elever inte redovisar några skriftliga redovisningar utan att läraren ber om det.
Intervju 4, rad 114
FARAH: Att skriva så mycket, det gör de inte om de inte måste.
Många reagerade på att språket i själva uppgiften förmodligen hade gjort att logisk språklig representationsform inte skulle förekomma bland redovisningarna. Språket som används i uppgiften behöver per automatik inte relatera till varken matematisk idé, matematiskt område
eller strategi men det går att hävda att förmågan att förstå begrepp tillhör det matematiska området begreppsförståelse. Då matematisk idé, matematiskt område, strategi och representationsform är nära förbundet så kan uppgiftens utformning få konsekvenser för vilka representationsformer som väljs (Taflin, 2007).
4.2.2 Fråga 2 – Skolvägen
Ingen av lärarna trodde att deras elever skulle använda sig av logisk/språklig representation för att redovisa uppgiften skolvägen. Två av lärarna, en med NT-elever och en till elever med AST, svarade att de möjligtvis eller i enstaka fall skulle kunna se att någon av eleverna använde sig av logisk språklig representation. Båda lärarna trodde i så fall att eleverna skulle försökt att redovisa uppgiften muntligt. Fyra av lärarna svarade att de inte trodde att någon av deras elever skulle redovisa sina uppgifter med logisk språklig representation. Alla lärare upplevde att språket i själva uppgiften var för avancerat för deras elever och upplevde att detta skulle innebära ett hinder för eleverna att redovisa sina svar. Flera lärare poängterade att begreppen i uppgiften hade varit svåra för eleverna att förstå.
Intervju 5 rad 232 - 236
IKRAM: Ja. Då säger jag plus igen på konkret representation där hade man den hade nog varit det första man hade gjort om man hade försökt sig på det på det sättet och sedan noll också på den här logisk och språkliga
DAVID: Ja
IKRAM: Man gör det ibland man försöker och sedan minus på de två sista Intervju 2, rad 245-250
DAVID: Ja, precis. Och logiska språkliga representationerna, det är muntligt då eller skriftligt?
DENVER: Muntligt. Tror jag..
DAVID: Är det minus eller noll eller plus tror du?
DENVER: Jaa att de skulle reda ut den typen uppgift på ett korrekt sätt det ligger (…ohörbart) på minus tyvärr.
Något som eventuellt inte har någon betydelse för analysen men som jag ändå anser vara intressant i sammanhanget var att två av lärarna till elever med AST beskriver att det ofta kan innebära ett hinder för eleverna att arbeta med uppgifter med fingerade namn då det blir förvirrande för eleverna.
4.2.3 Fråga 3 - Tornet
Här svarade för första gången en av lärarna till elever med AST att det var troligt att lärarens elever skulle svara med logisk språklig representation. Alla lärare verkade tycka att uppgiften passade deras elever bättre än de två tidigare uppgifterna. Detta kan vara en möjlig orsak till att det var lättare för läraren att föreställa sig att eleven skulle använda sig av representationsformen. En annan aspekt av uppgiften är att konkret stöd ges i själva uppgiften i form av illustrationen av Tornet. Kan då representationen tolkas som logisk språklig i den mening Taflin (2007) avser? Min tolkning är att detta bör tas med i beaktande. Intervju 5, rad: 324-325
IKRAM: Jaja. Men nej här sätter jag en etta på konkret representation etta på logiskt och språklig för att han hade nog kunnat lösa alltså att han hade pratat ihop lösningen liksom
Två av lärarna till NT-elever svarade att det var troligt representationen skulle förekomma vid redovisning.
Intervju 1, rad 415-417
GITA: Ja, lösning med konkret material. Jag tror att rätt många hade kunnat göra det. En lösning som hade fått redovisas muntligt man hade förklarat med ord hur man hade gått tillväga ja, det hade nog varit där de hade varit de flesta En av lärarna till elever utan diagnos svarade att det möjligtvis eller i enstaka fall kunde förekomma och två av lärarna till elever med diagnoser svarade att de absolut inte trodde att deras elever skulle redovisa uppgiften på detta sätt.
I fråga ett och tre skiljer sig svaren åt mellan lärare till elever med AST och lärare till NT-elever. Majoriteten av lärarna till elever med AST svarade att det inte var troligt att deras elever skulle använda sig av logisk/språklig representation på alla frågor. I fråga
ett och två svarade alla lärare till NT-elever att det var troligt eller att det eventuellt skulle förekomma logisk/språklig representation i redovisningarna. Undantaget var fråga två där svaren stämde överens. I Oswald et al.:s (2016) studie visade resultatet att elever med AST fick provresultat som var lägre än genomsnittet på frågor som rörde verbalt IQ. I Titeca et al.:s (2015) studie fick elever med AST provresultat som översteg genomsnittet i årskurs fyra. Resultatet pekar mot det som Oswald et al. (Ibid.) studie visar. Att elever med AST eventuellt behöver stöttas i språkliga aspekter av problemlösning.
4.3 Aritmetisk/algebraisk/analys representation
4.3.1 Fråga 1 – Bitar
Gällande Aritmetisk/algebraisk/analys representation svarade en av lärarna till NT-elever att läraren kunde se att några av lärarens elever eventuellt skulle presenterat en lösning på uppgiften med aritmetiskt representation men inte algebraiskt. Resten av lärarna trodde inte att någon av deras elever skulle presentera en lösning genom denna representationsform. En av lärarna till NT-elever svarade dock att hen kunde se att dennes elever skulle svara i en aritmetisk operation i form av addition vilket medför att lärarens svar borde räknas som att hen kan tänka sig att eleverna redovisar svaret på detta sätt eller att det fanns en möjlighet eller att enskilda elever skulle kunna tänkas redovisa sitt svar på detta sätt snarare än svaret som läraren gav, att läraren inte alls kunde tänka sig detta som en möjlig redovisningsform bland eleverna.
Intervju 4 rad 63
DAVID: Ja. Och vilka strategier hade dina elever använt för att lösa den här uppgiften? Om vi tänker den ursprungliga uppgiften igen.
FARAH: Den ursprungliga uppgiften så tror jag att de flesta hade tagit 32+32+16. Det är nog den strategin som jag också hade liksom snackat om att de ska göra.
Intervju 4, rad 80-83
FARAH: Eh, det är lite olika från elev till elev. Några som räknar bara i huvudet, de skriver ju bara svar. Jag försöker tala om för dem att det inte är svaret jag är intresserad av utan jag vill gärna att ni talar om hur ni tänker.
Några utmaningar till att använda representationsformen som diskuteras är multiplicering med decimaltal, division, algebra.
Två av tre lärare med elever med AST lyfter att uppgiften är i flera led och att det kan ställa till det för eleverna.
4.3.2 Fråga 2 – Skolvägen
En av lärarna till NT-elever kan tänka sig att några av eleverna skulle kunna visa hur de löst uppgiften aritmetiskt men inte algebraiskt och operationerna hade inneburit att räkna om bråktal till procent.
Intervju 1, rad 299-301
DAVID: Är det så de hade visat att de hade löst uppgiften också?
GITA: Jag tror att de hade använt strategin också att de hade tänkt om bråket i procentform utan att jag hade behövt berätta det för dem
Intervju 1, rad 306 – 308 DAVID: Ja
GITA: De hade kunnat lösa det aritmetiskt de hade inte gjort det algebraiskt DAVID: Nä
Ingen av de övriga lärarna trodde att deras elever skulle använda aritmetisk/algebraisk/ analys representation för att visa hur de hade löst uppgiften skolvägen. En majoritet av lärarna beskriver att en möjlig förklaring till att de inte tror att eleverna skulle redovisa sina svar på detta sätt har att göra med utmaningar i att räkna med bråktal.
Intervju 4, rad 123-125
FARAH: Ja du, just än så länge har vi ju inte kommit in på bråkräkning och det innebär ju att de inte hade fixat den.
4.3.3 Fråga 3 - Tornet
Ingen av lärarna svarade att det var troligt att deras elever skulle redovisa uppgiften på detta sätt. En av lärarna svarade att det möjligtvis var troligt eller skulle kunna ske i enstaka fall att eleverna redovisade svaret genom denna representation.
Intervju 1 rad 422 – 428
GITA: Men ja det är nog plus på de översta två möjligtvis att de hade kunnat skriva nej jag tror alltså ja möjligtvis den längst den aritmetiska
DAVID: Ja, precis GITA: Möjligtvis den DAVID: Ja
GITA: Att någon hade försökt sig på och sedan velat att och sen hade de själva velat kontrollera sig själva genom att de hade gjort det konkret
Fem av lärarna svarade att de inte trodde att någon av deras elever skulle redovisa svaret på denna uppgift med aritmetisk/algebraisk/analys representation. Flera av lärarna svarade att de upplevde förförståelse för algebra som ett hinder för att klara av uppgiften.
Intervju 5, rad 284-291
DAVID: Hade denna anpassningen passat din elev bättre? IKRAM: Ja det tror jag att den hade gjort faktiskt
DAVID: På vilket sätt hade den passat den bättre?
IKRAM: Ja men jag tror att alltså ifall man ser på förra uppgiften att just att det börjar liksom som en liten ja på väg mot en ekvation
IKRAM: Där man vill ha det tydligt där ska vara liksom en siffra där det är svårt när man inte ser det framför sig
Svaren mellan lärare till elever med AST och lärare till NT-elever skiljde sig inte mycket åt. Titeca et al. (2015) testade i sin studie elever med AST med uppgifter som syftade till att representera procedural calculation och number fact retrieval. Något som kan benämnas som
problemlösning i relation till metoder och beräkningar. Resultaten visade att eleverna med AST fick
provresultat som motsvarade genomsnittet då de jämförde med testgruppen som bestod av NT-elever.
4.4 Grafisk/geometrisk analys
4.4.1 Fråga 1 – Bitar
Gällande grafisk/geometrisk representationsform var det återigen en av lärarna till NT-elever som svarade att de kunde se någon enstaka elev använda sig av en tabell då de redovisade sina svar. Resten av lärarna trodde inte att någon av deras elever skulle använda sig av denna typen av representationsformen. Läraren trodde inte att eleverna själva skulle ta initiativ att redovisa svaret i en tabell men hade eventuellt haft förmågan att göra det.
Intervju 1, rad 196-204
GITA: Möjligtvis att någon enstaka hade gjort det i form av tabellen inte i form av diagrammet. De hade använt en tabell. Jag hade kunnat se att vissa hade gjort det.
DAVID: Skulle man kunna säga att tabellen är 0 då att den är mitten på den här skalan
GITA: Ja det kan man göra men de hade inte visat den i form av en graf DAVID: Nä
GITA: Det kan jag inte se att någon hade gjort. Tabellen enstaka uppgifter eventuellt om de hade sett. Om jag hade bett dem att. Om jag hade sagt till dem att de skulle göra den som en tabell då hade dem förmodligen också gjort det vissa av dem men inte att de hade använt tabellen självmant.
En annan av lärarna, en till elever med AST vill poängtera att hen uppfattar att hens elever verkar uppskatta att arbeta med diagram och att det verkar tilltala eleverna men att hen inte tror att de skulle välja att redovisa uppgiften genom denna representationstyp.
Intervju 3, rad: 322-325
DAVID: Och grafisk/geometrisk? En tabell eller ett koordinatsystem som i detta fallet.
BELLAMY: Jag har väldigt svårt att se det men bara snabbt också lägga till att vi har precis jobbat lite med det alltså med diagram och sådant och det känns som att det tilltalar dem lite med linjer och sånt men det är ingen som använder det själv
4.4.2 Fråga 2 – Skolvägen
Två lärare till lärare med NT-elever svarade att de klart kunde tänka sig att deras elever hade använt grafisk/geometrisk representation för att redovisa sina svar på uppgift två. En av lärarna till NT-elever svarade att de möjligtvis eller i enstaka fall skulle kunna se att eleverna skulle använda representationsformen. Ingen av lärarna till elever med AST kunde tänka sig att deras elever skulle redovisa sina svar genom denna representationstyp. En majoritet av lärarna beskriver att de tror att deras elever hade valt att rita för att redovisa hur de hade löst sina svar. Det verkar som att lärarna till NT-elever har tolkat detta som att eleverna skulle rita i skala och att två av lärarna till elever med AST har tolkat det som att inte tror att eleverna skulle ha ritat i skala och att det istället skulle vara frågan om konkret representation. Intervju 6, rad 297-301
DAYO: Eller en blandning mellan konkret och grafisk.. men.. DAVID: Ja.
DAYO: Aritmetisk.. tror jag inte på.. Möjligen om man sätter.. Ja det blir ju jättesvårt.. det är noll på konkret representation. Minus på algebraisk och noll logisk och rita hade varit det bästa för dem, så plus där då.
BELLAMY: Så tänker. Jag tänker inte att sträckorna är avbildade i skala… DAVID: Nej
BELLAMY: Jag tänker att den ena är kanske lite längre om man nu har fått för sig att alltså men om de visar men inte rätt alltså bråkdel när de har delat upp det och sånt utan att
DAVID: Nä men det är så jag har tolkat dig också att som att det mer är en konkret representation än vad det är liksom en grafisk
BELLAMY: Nej, precis. För det är ja för att göra det tydligt att det inte är som på sista
Taflin (2007) ger exemplet att en ritad lösning som exempel på en grafisk/geometrisk representation är skalenlig och uppmätt därefter. Skillnader i svar mellan lärare med AST och lärare till NT-elever skulle kunna tala för att några av lärarna skulle kunna ha tolkat detta exempel olika. Det kan självklart också tyda på att det är en fråga om skillnad i förväntan hos lärarna till elever med AST och de till NT-elever och att svaren speglar det frågorna avser gällande representationsformerna.
4.4.3 Fråga 3 - Tornet
Alla tre lärare till elever med AST svarade att de inte trodde att grafisk/geometrisk representation skulle förekomma bland redovisningarna till fråga 3. En av lärarna till NT-elever svarade att det var troligt, en svarade att det var möjligt eller i enstaka fall och en svarade att det inte alls var troligt.
Intervju 6, rad 392-394
DAYO: Ja.. konkret representation kan jag säga är plus direkt. Logisk språklig representation det måste vara.. noll får vi sätta där. Grafisk är också en positiv alltså om dem ritar upp det. Tabell hade dem inte klarat av men…. Men aritmetiken hade dem inte klarat av.
Intervju 4, rad 272-279
FARAH: Ja area begreppet. Där hade de ju kunnat om de tänker att om de tar ena och lägger ovanpå.
DAVID: Ja.
FARAH: På. Så att de bygger ihop rektanglar. Så hade de kunnat lösa det så. DAVID: Ja precis.
FARAH: Men den är ju ingen som dem hade direkt.. Så jag skulle sätta nolla på grafisk, en minus på aritmetik och ett.. eller plus på dem andra.
Lärare till elever med AST svarade konsekvent att de inte trodde att deras elever skulle använda sig av grafisk/geometrisk representationsform på någon av uppgifterna. Bland lärarna till NT-elever var svaren mer utspridda bland frågorna. Störst skillnad var det på fråga två där alla lärare till NT-elever svarade att det var troligt att deras elever skulle använda sig av representationsformen eller att några av eleverna eventuellt skulle göra det. Oswald et al.:s (2016) studie visade på stora skillnader i provresultat som mätte ickeverbalt IQ mellan elever med AST och en testgrupp NT-elever. Eleverna med AST fick provresultat som understeg genomsnittsnivån. I Titeca et al.:s (2015) studie fick eleverna med AST provresultat på frågorna som syftade till att mäta ickeverbalt IQ som motsvarade genomsnittsnivån som fastslogs av testgruppen NT-elever. Av lärarnas svar kan man tolka att eleverna med AST skulle behöva stöd i högre utsträckning då det gäller problemlösning och visuella uttrycksformer.
5 Slutsatser och avslutande diskussion
Syfte med denna uppsats är att ge ett bidrag till denna kunskapsutmaning genom att beskriva och förklara hur elever med AST i jämförelse med NT-elever, har förmåga att lära genom problemlösning i matematik. Jag ville svara på frågan: Hur ser lärarna på elevers förmåga att arbeta med problemlösning inom matematik?
Analysen visade inga stora skillnader mellan svaren som lärare till elever med AST och de lärare som undervisade NT-elever gav gällande konkreta representationsformer. Inte heller i svaren som rörde grafisk/geometrisk representationsform visades några betydande skillnader då svaren från lärarna till NT-elever var så pass varierade. Anmärkningsvärt var att lärarna till elever med AST konsekvent svarade att de enligt dem inte var troligt att deras elever skulle använda sig av representationsformen för någon av uppgifterna. En slutsats blir då att undersökningen pekar mot att elever med AST varken behöver utmanas i någon större utsträckning eller är i behov av särskilda anpassningar vid arbete med problemlösning i förhållande till visuella uttryck. Analysen visade störst skillnader i svar mellan lärare till elever med AST
och lärare till NT-elever gällande den logiskt/språkliga representationsformen. Av detta kan en slutsats dras att resultaten pekar mot att elever med AST är i behov av särskilda stödinsatser vid arbetet med språkliga aspekter av problemlösning. Inga tydliga skillnader i svar mellan lärare till elever med AST och lärare till NT-elever visade sig i analysen då det gällde aritmetisk/algebraisk/analys representation. Av detta kan en slutsats dras att undersökningen inte pekar mot att elever med AST är i behov av att särskilt utmanas eller av stödinsatser i arbete med problemlösning i förhållande till metoder och beräkningar.
Arbetet stödjer Oswald et al.:s (2016) tes att elever med AST uppvisar svårigheter i relation till de språkliga aspekterna av problemlösning. Vidare stödjer arbetet Titeca et al.:s (2015) tes att elever med AST inte uppvisar några särskilda svårigheter i förhållande till problemlösning i
relation till metoder och beräkningar eller problemlösning i förhållande till visuella uttryck. Således bidrar
Det ger implikationer för lärare som undervisar elever med AST i problemlösning i matematik årskurserna 4-6 att ha i åtanke att de språkliga aspekterna av problemlösning kan innebära utmaningar för dessa elever.
En begränsning i undersökningen var att det var limiterat hur mycket lärares svar om representationsformer kunde säga om elevernas förhållande till flera aspekterna av problemlösning. Det föreslår undersökningar som använder sig av samtliga delar av Taflins (2007) ramverk för analys. En annan begränsning är att arbetet, på grund av dess tidsram, baseras på få intervjuer och hade kunnat utökas för att ge slutsatserna större validitet. Fortsättningsvis bör elevperspektivet utforskas vidare. Math anxiety var exempelvis en faktor som i hög grad påverkade resultatet i Oswalds et al.:s (2016) studie. Fortsättningsvis hade studier som överbryggar psykologiska och didaktiska begrepp skapat förutsättningar för analytiska verktyg som hade kunnat vara adekvata för att använda vid analys i framtida forskning.
