Utvärdering av Transportstyrelsens flygtrafiksmodeller

(1)

Kandidatuppsats i Statistik

Utvärdering av Transportstyrelsens

flygtrafiksmodeller

(2)

(3)

Abstract

The Swedish Transport Agency has for a long time collected data on a monthly basis for different variables that are used to make predictions, short

projections as well as longer projections. They have used SAS for producing statistical models in air transport. The model with the largest value of

coefficient of determination is the method that has been used for a long time. The Swedish Transport Agency felt it was time for an evaluation of their models and methods of how projections is estimated, they would also explore the possibilities to use different, completely new models for forecasting air travel. This Bachelor thesis examines how the Holt-Winters method does compare with SARIMA, error terms such as RMSE, MAPE, R2, AIC and BIC will be compared between the methods.

The results which have been produced showing that there may be a risk that the Winters models adepts a bit too well in a few variables in which Holt-Winters method has been adapted. But overall the Holt-Holt-Winters method generates better forecasts .

(4)

(5)

Sammanfattning

Transportstyrelsen har under lång tid lagrat data månadsvis för olika variabler som används för att göra prognoser, korta prognoser som långa. De använder sig av SAS för att ta fram modeller inom flygtrafiken. Vid användandet av SAS tas den modellen med det högsta R2-värdet fram och denna metod har används länge. Transportstyrelsen kände att det var dags för en utvärdering av deras modeller och metoder av hur prognoser skattas, de vill även undersöka möjligheterna till att använda sig av andra, helt nya modeller för att prognostisera flygtrafiken. Denna kandidatuppsats undersöker hur Holt-Winters metoder ställer sig jämfört med SARIMA, där felmått som RMSE, MAPE, R2, AIC och BIC granskas mellan metoderna.

De resultat som har tagits fram visar på att det kan finnas risker för

överanpassning inom några variabler där Holt-Winters metod har anpassats. Men sett överlag är det bättre att använda Holt-Winters-modellering för att göra prognoser.

(6)

(7)

Förord

Uppsatsen är skriven inom ämnet statistik och har dess inriktning mot tidsserier och dess modellering. Arbetet är en kandidatuppsats som är skriven på

programmet Statistik och dataanalys på Linköpings universitet. Uppdragsgivare är Helen Axelsson och Håkan Brobeck på Transportstyrelsen i Norrköping. Vi vill tacka Helen Axelsson och Håkan Brobeck samt Transportstyrelsen som gett oss möjligheten att skriva denna uppsats. De har varit mycket hjälpsamma då de kommer till att tillhandahålla data och besvara de frågor som dykt upp på vägen. Vi vill även tacka Karl Wahlin som varit vår handledare under skrivandet av kandidatuppsatsen och guidat oss i rätt riktning.

Arvid Odencrants & Dennis Dahl Linköpings universitet VT 2013

(8)

(9)

Innehållsförteckning

1 Inledning ... 1 1.1 Bakgrund ... 1 1.2 Syfte ... 2 1.3 Avgränsningar ... 2 1.4 Datamaterial ... 2 1.4.1 Variabelförklaring ... 3 1.4.2 Tidsserier ... 5 2 Metod: ... 7 2.1 Klassisk komponentuppdelning(multiplikativ) ... 7 2.1.1 Beräkning ... 8

2.2 Holt-Winters och exponentiell säsongsutjämning metod ... 11

2.2.1 Modell ... 11

2.2.2 Beräkningar ... 12

2.2.3 Utjämningskonstanter ... 12

2.2.4 Prognoser ... 13

2.2.5 Simpel exponentiell utjämning(SES) ... 15

2.3 Box-Jenkins (ARIMA) ... 16 2.3.1 Airline modell ... 17 2.3.2 SARIMA ... 17 2.4 Transformation ... 19 2.5 Mått på prognosers noggrannhet ... 19 2.5.1 Roten ut medelkvadratavvikelsen(RMSE) ... 19

2.5.2 Genomsnittliga absoluta procentavvikelsen(MAPE): ... 19

2.5.3 Determinationskoefficienten (R2) ... 20

2.5.4 AIC och BIC ... 20

2.6 SAS forecasting ... 21

(10)

3.1 Komponentuppdelning – Multiplikativ ... 22 3.2 Trend ... 22 3.2.1 Säsong ... 23 3.2.2 Cykler: ... 27 3.3 Holt-Winters ... 31 3.3.1 Parameterskattning ... 33

3.4 Felmått SARIMA mot Holt-winters och exponentiell säsongsutjämning 35 3.5 Prognoser ... 41

4 Slutsats och diskussion ... 46

5 Bilagor ... 48

(11)

Figur 1 – Passagerare inrikes linjefart, utrikes linjefart samt utrikes chartertrafik

... 5

Figur 2 - Landningar inrikes linjefart, utrikes linjefart samt utrikes chartertrafik 5 Figur 3 – IFR-rörelser och överflygare... 6

Figur 4 - Service units ... 6

Figur 5 – Komponentuppdelning säsonger: Inrikes-, Utrikes linjefart och chartertrafik PAX ... 23

Figur 6– Komponentuppdelning säsonger: IFR-rörelser Överflygningar Service units ... 24

Figur 7– Komponentuppdelning säsonger: Inrikes-, Utrikes linjefart och chartertrafik landningar ... 25

Figur 8– Komponentuppdelning säsonger: Starter, Landningar och TSU Arlanda ... 25

Figur 9– Komponentuppdelning säsonger: Starter, Landningar och TSU Landvetter ... 26

Figur 10– Cykliska komponenten: Inrikes-, utrikes linjefart och chartertrafik PAX ... 27

Figur 11– Cykliska komponenten: Inrikes-, Utrikes linjefart och chartertrafik PAX ... 28

Figur 12– Cykliska komponenten: IFR-rörelser och överflygningar ... 28

Figur 13– Cykliska komponenten: Service units ... 29

Figur 14 – Cykliska komponenten: Starter, Landningar och TSU Arlanda ... 30

Figur 15 – Cykliska komponenten: Starter, Landningar och TSU Landvetter ... 30

Figur 16 - Inrikes linjefart – pax ... 42

Figur 17 - Utrikes Linjefart – pax ... 42

Figur 18 - Utrikes charter – pax ... 43

Figur 19 - Inrikes linjetrafik – flygplan ... 43

Figur 20 - Utrikes linjefart – flygplan ... 44

Figur 21 - Utrikes charter – flygplan ... 44

Figur 22 - Överflygare – flygplan... 45

(12)

Tabell 1– Trendkomponent ... 22

Tabell 2 – Modeller Holt-Winters och exponentiell säsongsutjämning ... 32

Tabell 3 – Parameterskattning Holt-Winters och säsongsbetonad exponentiell utjämning ... 34

Tabell 5 - Modellval med BIC som kriteriet ... 36

Tabell 6 - Modellval med AIC som kriteriet ... 38

Tabell 7 - Modellval med MAPE som kriteriet ... 39

Tabell 8 - Modellval med R2 som kriteriet ... 41

Tabell 9 – Prognoser Inrikes linjefart PAX ... 48

Tabell 10 – PrognoserUtrikes linjefart PAX ... 49

Tabell 11 – PrognoserUtrikescharter PAX ... 50

Tabell 12 – PrognoserInrikes linjefart landningar ... 51

Tabell 13 – PrognoserUtrikes linjefart landningar ... 52

Tabell 14 – Prognoserutrikes charter landningar ... 53

Tabell 15 – Prognoser Överflygare ... 54

Tabell 16 – Prognoser IFR inkl. Överflygare ... 55

(13)

1 Inledning

Transportstyrelsen är uppdragsgivare för denna kandidatuppsats. De arbetar med att uppnå hög kvalitet, en god tillgänglighet och säkra transporter inom järnväg, luftfart, sjöfart och väg. De tar fram regler, ger tillstånd och bevakar sedan hur de följs. Transportstyrelsen består av fyra avdelningar, väg, järnväg, luftfart och sjöfart som har 1650 anställda och deras huvudkontor ligger i Norrköping. Luftfartsavdelningen försöker hålla en effektiv flygmarknad med en bra konkurrens. De för även statistik över olyckor, tillbud och den civila trafikutvecklingen.

1.1 Bakgrund

Transportstyrelsen använder sig i dagsläget av mjukvaruprogrammet SAS för att prognostisera flygplanstrafiken inom Sveriges gränser. Transportstyrelsen är inte missnöjd med de modeller som tas fram av SAS men de känner att arbetet kring detta ämne skulle kunna förbättras, alternativt bytas mot en eller flera andra modeller.Transportstyrelsen gör i dagsläget två prognoser per år, en på våren och en på hösten, som prognostiserar hur flygtrafiken kommer att se ut för de kommande fem åren. Andra prognoser tas också fram på kort (12 månader), medellång (2 till 5 år) och lång sikt (upp till 30 år). För det kortare perspektivet används tidsseriemodeller och i de längre olika ekonometriskt skattade efterfrågefunktioner. Transportstyrelsen har tidigare inte ifrågasatt sina modeller och därför har heller ingen tidigare studie gjorts på detta specifika område.

(14)

2

1.2 Syfte

Holt-Winters är den metod som Transportstyrelsen använder sig av för att göra prognoser. Syftet med denna kandidatuppsats är dels att se hur Holt-Winters-metod förhåller sig till andra modeller för att göra prognoser över flygtrafik. Samt hur flygtrafiken inom Sveriges gränser kommer att utvecklas för de kommande två åren.

 Hur förhåller sig Holt-Winters-metoder i jämförelse mot andra metoder för att prognostisera flygtrafiken?

 Hur kommer flygtrafiken i Sverige att se ut under de kommande två åren?

 Hur skiljer sig Holt-Winters prognoser åt från andra modeller?

1.3 Avgränsningar

Det skulle gå att fördjupa sig i saker som påverkar flygtrafiken, saker som naturkatastrofer, finansiella kriser och uppgångar, strejker osv. Det är svårt att ta hänsyn till alla händelser och gör det svårt att skatta dessa händelser då de ger unika utfall. Nämnvärt att säga är också att några prognoser för start respektive landningar för Arlanda samt Landvetter är ej gjorda. Detta då hela uppsatsen handlar om flygtrafiken i hela Sverige och inte specifikt till lokala flygplatser.

1.4 Datamaterial

Datamaterialet som har behandlats i denna rapport kommer från Transportstyrelsens egna mätningar. Datamaterialet innehåller 17

variabler(tidsserier) och observationerna är mätta månadsvis. För de allra flesta variabler finns det data från januari 1992 till och med december 2012, totalt 252 observationer. För variablerna Överflygare, IFR-rörelser(inkl. Överflygare),

(15)

3

Inrikes landningar, Utrikes linjefart och Utrikes charter sträckers sig tidsserien mellan januari 1996 och december 2012 samt för variabeln Service units finns det data mellan januari 1999 och december 2012. Visas även i tabell 17 i bilaga.

1.4.1 Variabelförklaring

Avresande PAX (inrikes linjefart): Antal avresande passagerare, resa inom

landet, se figur 1.

Avresande PAX (utrikes linjefart): Antal avresande passagerare, resa utrikes ,

se figur 1.

Avresande PAX (utrikes chatertrafik): Antal avresande passagerare, resa

utrikes, se figur 1.

Landningar (inrikes linjefart): Totala antal landningar, flyg inom Sverige, se

figur 2.

Landningar (utrikes linjefart): Totala antal landningar, flyg från utrikes, se figur

2.

Landningar (utrikes chartertrafik): Totala antal landningar för utrikes

charterflyg, se figur 2.

IFR-rörelser (Transportstyrelsen, 2014): (Instrument Flight Rules)

instrumentflygregler, regler och procedurer som ska följas när ett luftfartyg huvudsakligen flygs med hjälp av instrument för att möjliggöra kontroll av luftfartygets attityd, navigering och separation till hinder, terräng samt i viss utsträckning andra luftfartyg. Rörelser, luftfartygs start och landning på flygplats, se figur 3.

Överflygare: Överflygningar är en delmängd av det totala antalet IFR rörelser,

flygplan i luftrum över ett område eller land(Sverige i detta fall), se figur 3.

IFR-rörelser(inkl. Överflygare): IFR-rörelser + Överflygare.

Terminaltjänsteeheter(TSU): Används för beräkning av terminalavgift för en

(16)

4

gemensamt avgiftssystem för flygtrafiktjänster, se figur 4.

Service Units (Transportstyrelsen, Trafikprognos luftfart, 2014): Tjänsteenheter

används för beräkning av flygtrafikledningstjänst.

Start: Antal starter, flyg som startar på respektive flygplats.

(17)

5

1.4.2 Tidsserier

Här presenteras tidsserierna som används i rapporten. Detta för att ge en överskådlig blick över hur tidsserierna beter sig.

Figur 1 – Passagerare inrikes linjefart, utrikes linjefart samt utrikes chartertrafik

Figur 2 - Landningar inrikes linjefart, utrikes linjefart samt utrikes chartertrafik 0 200 000 400 000 600 000 800 000 1 000 000 1 200 000 ja n -92 d ec -92 n o v-93 o kt -9 4 se p -9 5 au g-9 6 ju l-9 7 ju n -98 m aj -99 ap r-0 0 m ar -01 fe b -02 ja n -03 d ec -03 n o v-04 o kt -0 5 se p -0 6 au g-0 7 ju l-0 8 ju n -09 m aj -10 ap r-1 1 m ar -12

Passagerare Utrikes linjefart Utrikes chartertrafik Inrikes linjefart

0 2 000 4 000 6 000 8 000 10 000 12 000 14 000 16 000 18 000 20 000 jan -96 s ep -96 ma j-97 jan -98 s ep -98 ma j-99 jan -00 s ep -00 ma j-01 jan -02 s ep -02 ma j-03 jan -04 s ep -04 ma j-05 jan -06 s ep -06 ma j-07 jan -08 s ep -08 ma j-09 jan -10 s ep -10 ma j-11 jan -12 s ep -12

(18)

6

Figur 3 – IFR-rörelser och överflygare

Figur 4 - Service units 0 10 000 20 000 30 000 40 000 50 000 60 000 70 000

Rörelser Överflygare IFR-rörelser (inkl. Överflygare)

0 50 000 100 000 150 000 200 000 250 000 300 000 350 000 jan -99 jan -00 jan -01 ja n -0 2 jan -03 jan -04 jan -05 jan -06 jan -07 jan -08 jan -09 jan -10 ja n -1 1 jan -12

(19)

7

2 Metod:

I denna del kommer de metoder som används i uppsatsen presenteras,

beskrivas och förklaras. Klassisk komponentuppdelning kommer att användas främst för att hitta och urskilja cykler och trender. Holt-Winters metod och Box-Jenkins används för att göra modeller över tidsserierna för att sedan göra prognoser.

2.1 Klassisk komponentuppdelning(multiplikativ)

Komponentuppdelning är en metod som delar upp tidsserien i fyra olika

komponenter, metoden är inte byggt på någon teoretisk grund utan är helt och hållet en intuitiv metod för att förklara komponenter som inte förändras allt för mycket över tid, Komponenterna kan även kallas faktorer (Bowerman,

O'Connell, & Koehler, 2005).

Trendkomponenten skattas till en linjär variabel som skattar den trend som finns i tidsserien.

Säsongskomponenten skattar den säsong som återkommer varje år, vanligtvis tolv olika säsonger då observationerna sker månadsvis, men kan även vara till exempel kvartalsdata.

(20)

8

Cykliska komponenten skattar de cykler som finns i tidsserien och rör sig upp och ner runt trendnivån. Längden på en cykel mäts från topp till topp och kan finnas med i serien under en längre eller kortare tid. Oregelbundna

komponenten är den komponent som skattar slumpen i modellen.

2.1.1 Beräkning

När komponenterna för klassisk komponentuppdelning tas fram görs det i en stegvis process. För att få fram säsongskomponenten( används ett

centrerat glidande medelvärd, även kallat CMA(centered moving average). För att beräkna CMA måste först ett glidande medelvärde kallat MA(moving

average) skapas. Som beräknas genom att addera antalet säsongers, L, värden och sen dela med L.

Nästa MA-värde skapas genom att den första säsongens observation utesluts och istället läggs nästa observation i tidsserien till.

Då alla MA-värden är beräknade kan CMA beräknas. Detta beräknas genom att ett antal MA-värden adderas och se divideras med dess antal.

Detta är nödvändigt för tidsserier med jämnt antal säsonger. När CMA har tagits fram läggs alla CMA ihop för sin respektive säsong och tar därefter tas ett medelvärde fram på den specifika säsongen

(21)

9 = .

Därefter normaliseras medelvärdet, detta görs genom att ta antalet säsonger genom summan av säsongerna samt att gångra med medelvärdet för

säsongerna.

∑ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅

När säsongskomponenterna har tagits fram ska modellen säsongsrensas för att lättare ta fram trendkomponenten.

När detta har gjorts skattas med hjälp av minsta kvadratmetoden.

Nu när trenden och säsongerna är framtagna kan den cykliska- och oregelbundna komponenten tas fram.

För att få fram den cykliska komponenten behöver vi jämna ut den oregelbundna komponenten detta görs genom att ett CMA skapas över i detta exempel används ett CMA på tre.

När nu detta är gjort kan den oregelbundna komponenten tas fram och modellen är klar.

(22)

10

2.1.1.1 Prognos

Efter att de fyra komponenterna har skattats undersöks den oregelbundna komponenten efter mönster. Upptäcks det inget mönster i den oregelbundna faktorn sätts till ett för att inte påverka prognosen. Cykliska faktorn

undersöks även efter mönster men då den faktorn om det skulle upptäckas att det inte finns något ordentligt mönster i denna faktor sätts även den till ett i modellen. Efter det sätts de skattade värden som har tagits fram för modellen i ekvationen under för att få fram en prognos för tidpunkt t.

̂

Dock finns det ingen teoretisk korrekt metod för att skapa ett

prediktionsintervall för ̂ . Men en metod som kan användas för att

approximera prognosintervall är [ ̂ [ ( ]] som anses vara rimligt att använda (Bowerman, O'Connell, & Koehler, 2005)där [ ( ] är felmarginalen i ett ( intervall.

(23)

11

2.2 Holt-Winters och exponentiell säsongsutjämning metod

Holt-Winters är en modellanpassning som lämpar sig till tidsserier som har en trend som ligger på en linjär nivå lokalt om inte i hela tidsserien. Det finns två varianter av modellen där den ena är en additiv modell som används ifall säsongs har en konstant variation. Den andra varianten är den multiplikativ som används ifall tidsserien innehåller en ökande säsongsvariation. Det finns även varianter av modellen där ingen hänsyn tas till trenden, exponentiell säsongsutjämning, modellens parametrar skattas likadant som i Holt-Winters (Bowerman, O'Connell, & Koehler, 2005).

2.2.1 Modell Multiplikativ Holt-Winters: ( Additiv Holt-Winters: Exponentiell säsongsutjämning:

(24)

12

2.2.2 Beräkningar

För att beräkna skattningarna för Holt-Winters metod används följande formler:

2.2.3 Utjämningskonstanter

I Holt-Winters metod används tre olika konstanter för att jämna ut modellen. Dessa konstanter har ett värde mellan 0 och 1 som avser hur stor vikt som ska läggas i observation Om konstanten får ett värde nära 1 läggs det större vikt i den nuvarande observationen än den observation som var

tidsperioden innan. Även samma sak görs för trenden och säsonger där den lägger vikten för föregående säsong året innan eller trendpunkten innan. För att bestämma värdet på utjämningskonstanterna körs ett flertal iterationer där olika värden av utjämningskonstanterna testas tills en modell som förklarar tidsserien bäst väljs. Utjämningskonstanterna är som är

utjämningskonstanten för nivån, för trend och för säsonger. (

) ( (

( ( (

( ) (

( ( Skattningen av nivån i tidpunkt ( :

Skattningen av nivån i tidpunkt ( :

Skattningen av trend i tidpunkt :

( ( Skattningen av säsongsfaktorn i tidpunkt ( :

(25)

13 (nivå)

Skattningen är nivån i tidpunkten och betecknar skattningen för den senaste säsongsmässiga faktor för motsvarande säsongen i tidspunkten .

(multiplikativ), (additiv) är den säsongsrensade observationen i tidpunkt som gångras med utjämningskonstanten som ligger mellan 0 och 1. är det observerade värdet i tidpunkten , är 12 då det är antalet säsonger på ett år och är tidpunkt.

(trend)

och är skattningen i tidpunkten för tillväxttakten och nivån.

Utjämningskonstanten som ligger mellan 0 och 1. (Säsongskomponent)

För att beräkna säsongsfaktorn gångras utjämningskonstanten (som ligger mellan 0 och 1) med (multiplikativ) (additiv) som är en skattning av den nuvarande säsongsobservationen.

2.2.4 Prognoser

Då alla skattningar är gjorda kan punktprognoser och prediktionsintervall skattas.

Punktprognos, ̂(

Punktprognos för den multiplikativa modellen i tidpunkt blir då: ̂( ( + , där

I den additiva modellen läggs alla komponenter till och följande modell skapas: ̂( + .

(26)

14

Vid uträkningen av punktprognosen används som är den senaste skattningen av den säsongsmässiga faktorn för motsvarande säsong i tidspunkten . Prediktionsintervall Multiplikativ: ̂( (√ ( Additiv: ̂( √

För att beräkna prediktionsintervall i tidpunkt för ̂ krävs en ytterligare beräkning, de relativa standardfelen i tidpunkten :

( √∑ [ ̂ ( ̂ ( ] ( √∑ [ ̂ ( ]

Prediktionsintervall som beräknas på följande sätt: För multiplikativ: ̂( (√ ( Om = 1 är ( . Om = 2 är ( ( ( . Om = 3 är ( ( ( ( +( .

(27)

15

Om ligger mellan 2 och är ∑ ( [ ] ( ( För additiv: ̂( √ Om = 1 är . Om = 2 ≤ τ ≤ L är [ ∑ ( ]. Om = 3 är ∑ [ ( ( ] .

Där är 1 om är ett heltal multiplicerat med L annars sätts den som 0.

2.2.5 Simpel exponentiell utjämning(SES)

Denna metod är användbar när tidsserier har en tendens att inte visa någon trend eller säsongsvariation.

Då skattas för nivån eller medelvärdet för tidsperioden T som är given av utjämningsekvationen.

(

är en utjämningskonstant som kan ta ett värde mellan 0 och 1 är den skattade nivån I T-1-

̂( där

Ger en punktprognos I tidsperioden T, för att skatta ett prediktionsintervall används olika metoder beroende hur långt fram det skapas.

Om Om √ Där s räknas ut genom S=√ √ ∑[ _̂( ] √ ∑[ _]

(28)

16

2.3 Box-Jenkins (ARIMA)

En tidsserie med n antal observationer, kan modelleras med hjälp av metoden ARMA för att beskriva tidsserien. För att kunna använda ARMA-modeller måste några grundkrav uppfyllas. Först ska tidsserien avgöras om den är stationär eller inte. Är tidsserien inte stationär måste någon form av

transformation av tidsserien utföras. För att avgöra om tidsserien är stationär betraktas oftast dess medelvärde och varians. Är dessa konstanta kan

tidsserien anses vara stationär. Vidare om tidsserien inte skulle vara stationär kan en differentiering (I) göras. Då kallas modellen istället ARIMA(p, d, q), som består av tre delar, en autoregressiv(AR) del, en del som består av ett antal differentieringar, integreringar (I) och en del som består av glidande

medelvärde(MA) (Bowerman, O'Connell, & Koehler, 2005).

Om tidsserien inte är stationär kan en differentiering (I) göras dvs.

där . Skulle tidsserien fortfarande inte vara stationär efter den

första differentiering kan en ytterligare, en andra, differentiering göras som ser ut. där t = 3,4, ...,n.

Den autoregressiva(AR) modellen är av ordningen p och skrivs på följande sätt:

Där är en konstant, , ,…, är okända vikter som relaterar till

, ,…, . Den autoregressiva delen hänvisar till att denna modell

beräknar med funktionen av tidigare värden( , ,…, ) den aktuella tiden i tidsserien. Feltermen antas vara normalfördelad med medelvärde 0 och varians σ2.

(29)

17 Glidande medelvärde(MA) av ordningen q:

, ,…, . Det glidande medelvärdes-delen visar att denna modell

använder sig förutom av den aktuella feltermen , och dessutom den föregående feltermen

, ,…, o

( o r an onn o h r .

2.3.1 Airline modell

Denna modell hänvisar till en ARIMA(0,1,1)(0,1,1) modellering som är användbar för säsongsdata med en linjär trend.

2.3.2 SARIMA

Är det istället en säsongsbaserad tidsserie används SARIMA som tar hänsyn till säsonger i dess ekvationer, som ger oss en modell av ordning SARIMA(p, d, q)x(P, D, Q).

För att för nk a användand t av S R M används n ”backshift op ratör” so skrivs som B.

B skiftar indexet av en observation i tidsserien med en period vilket ger (Bowerman, O'Connell, & Koehler, 2005):

Nästa B är vilket skiftar indexet av observationen med k perioder:

Även här som i ARIMA behöver tidsserien vara stationär. För att göra detta behövs den icke säsongsbetonade operatören definieras vilket blir:

(30)

18 Och den säsongsbetonade operatören till:

Vilket ger den allmänna stationärhetsomvandling till:

Där d är vilken nivå av icke säsongsbetonad differenseringen som har används och D är differenseringen på den säsongsbetonade nivån.

Den säsongbaserade autoregressiva(AR)s, där s står för säsong, modellen är av ordningen P och skriv på följande sätt:

, ,…, . . L bestämmer antalet säsonger, till exempel tolv som är

antalet säsonger på ett år.

Det säsongsbaserade glidande medelvärdet(MA)s, där s står för säsong, av ordningen Q:

, ,…,

(31)

19

2.4 Transformation

Om det finns en antydning till att variansen i en tidsserie ökar samtidigt som seriens värden ökar, kan en transformering av variabeln vara nödvändig. I denna uppsats används logaritmering av vissa tidsserier.

2.5 Mått på prognosers noggrannhet

I denna uppsats jämnförs alla de olika felmått, RMSE, MAPE, R2, AIC och BIC. För att få en djupare inblick och kanske hitta något felmått som är något bättre de andra. Transportstyrelsen använder sig enbart av R2.

2.5.1 Roten ut medelkvadratavvikelsen(RMSE)

RMSE är roten ur residualsumman dividerat med antalet observationer. RMSE är ett vanligt felmått för att undersöka modeller.

√∑ ( ̂

2.5.2 Genomsnittliga absoluta procentavvikelsen(MAPE):

Ett mått som kan användas för att jämföra olika modeller av tidsserier är MAPE. Detta mått ska vara så nära noll som möjligt, som är ett perfekt MAPE-värde. Ju lägre MAPE-värde desto bättre är modellen då den mäter det

genomsnittliga absoluta procentavvikelsen. Formeln lägger mindre vikt på de stora residualerna och kan användas vid jämförelser mellan olika tidsserier, men kan ge problem om tidsserien varierar kraftigt eller ligger nära noll.

Tolkning av detta mått är enkel eftersom summan i varje term är motsvarande tidspunkts procentuella prognosfel (SAS), (Bowerman, O'Connell, & Koehler, 2005).

(32)

20 ∑ | ̂ |

2.5.3 Determinationskoefficienten (R2)

Determinationskoefficienten är ett mått på hur väl en modell förklarar och replikerar data. Den är även kallad förklaringsgraden. Förklaringsgraden ligger mellan noll och ett, ett säger att det är en perfekt modell (SAS).

∑( ̂ ∑( ̅

2.5.4 AIC och BIC

AIC, Akaike Information Criterion används som selektionskriterium och ges av formeln (SAS):

(

Den första delen av formeln består av antalet observationer(n) multiplicerat med den naturliga logaritmen multiplicerat med MSE medan den andra delen av formeln är en bestraffning för hur många parametrar som används då k är antalet parametrar i den skattade modellen som multipliceras med 2.

BIC, Bayesian Information Criterion är ett annat selectionskriterium som är relaterat till AIC (SAS):

( (

Formelns första del är precis likadan som i AIC men den andra delen bestraffar BIC-värdet hårdare än i AIC-formeln. Här är det istället antal parametrar

multiplicerat med den naturliga logaritmen multiplicerat med antalet observationer.

(33)

21

Låga AIC och BIC värden är att föredra då en modell ska väljas. Eftersom BIC straffar extra parametrar hårdare än AIC, kommer BIC alltid att välja en modell med lika eller färre parametrar än AIC, som därför kan användas när en modell undersöks om den är överanpassad.

2.6 SAS forecasting

För att ta fram skattningarna av modellerna i denna uppsats har (SAS, 2014) forecasting används. Forecasting använder sig av en algoritm som kallas STEPAR som består av 5 olika steg.

1. Anpassar en trend till modellen med minsta kvadratmetoden.

2. Tar residualerna från steg 1 och beräknar autokovariansen och laggar dem.

3. Återger de nuvarande värdena mot lag, använder sig autokovariansen från steg 2.

4. Hittar den autoregressiva parameter som är minst signifikant och fortsätter processen tills enbart signifikant parametrar finns kvar. 5. Genererar prognosen med hjälp av den skattade modellen.

(34)

22

3 Resultat och analys

I denna del av rapporten kommer resultaten att presenteras genom olika former via tabeller, diagram och analytisk text. För varje variabels tidsserie skattas modeller för de olika metoderna från modellavsnittet dvs.

komponentuppdelning, Holt-Winters och SARIMA. Modellerna är framtagna främst med hjälp av SAS som beräknar fram den bästa modellen. Val av intervention har lagts till och lett till en förbättring av vissa modeller. De kriterier som avgjort vilken modell som har tagits fram har varit MAPE samt BIC.

3.1 Komponentuppdelning – Multiplikativ 3.2 Trend

Trendfunktionerna är framtagna där MA(moving average) valts till 3 för att det gav det bästa utfallet för komponentuppdelningen. Dessa funktioner är bara en skattning av en trendlinje, en linjär linje.

Tidsserie: Trendfunktion:

Utrikes linjefart = 223751 + 2351*t

Utrikes charter = 139716 + 87,2*t

Inrikes linjefart = 599662 - 152,421*t

Överflygare = 11549,4 + 73,4*t

IFR-rörelser (Inkl. överflygare) = 51541,9 + 32,4*t

Service units = 186424 + 511*t

Landningar inrikes linjefart = 15362,0 - 25,7731*t

Landningar utrikes linjefart = 7903,83 + 3,09*t

Landningar inrikes charter = 1386,78 - 0,375943*t

Landningar Landvetter = 2492,71 + 1,16*t

Starter Landvetter = 2486,96 + 1,19*t

Terminal tjänsteenheter Landvetter = 2209,49 + 2,41*t

Landningar Arlanda = 10648,9 - 6,78519*t

Starter Arlanda = 10646,0 - 6,77952*t

Terminal tjänsteenheter Arlanda = 9654,79 + 2,05*t

(35)

23

3.2.1 Säsong

Säsongerna är framtagna med hänsyn till tidsserierna där antalet säsonger är 12 som är antalet månader. Detta görs för att se om det finns några säsonger i datamaterialet. Samtliga diagram under denna sektion visar värden som

jämförs med trendlinjen.

3.2.1.1 Inrikes- utrikes linjefart och utrikes chartertrafik passagerare:

Det som visas i figur 5 är en väldigt tydlig säsong för de olika variablerna. Avresandes inrikespassagerare har sin lågsäsong i juli medan avresande

charterpassagerare pikar under just denna tidpunkt. Det kan givetvis förklaras med att de flesta personer har sin semester under denna månad och väljer kanske att åka iväg på en chaterresa. För variabeln avresande

utrikeslinjefartpassagerare råder lågsäsongen runt månaderna december – januari och har sin högsta punkt precis innan semestermånaden juli.

Figur 5 – Komponentuppdelning säsonger: Inrikes-, Utrikes linjefart och chartertrafik PAX 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5

(36)

24

3.2.1.2 IFR-rörelser, Service units och överflygare:

För variablerna Överflygare, IFR-rörelser(inkl. Överflygare) och

Terminaltjänsteenheter ses en tydlig säsong i figur 6. Då alla följs åt i en lågsäsong efter oktober och börjar återhämta sig i februari. Alla variablerna följs åt under nästan hela året förutom i juli då överflygare har en topp samtidigt som IRF-rörelser och terminaltjänsteenheter avtar ganska mycket.

Figur 6– Komponentuppdelning säsonger: IFR-rörelser Överflygningar Service units

3.2.1.3 Landningar:

Då det är en stark korrelation mellan variablerna avresande passagerare och antal landningar följs säsongerna åt på samma sätt som i figur 7. En tydlig lågsäsong för inrikes landningar sker i juli och chartertrafiken når sin topp under säsongen under juni.

0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5

(37)

25

Figur 7– Komponentuppdelning säsonger: Inrikes-, Utrikes linjefart och chartertrafik landningar

3.2.1.4 Arlanda:

I figur 8 följs säsongerna åt under hela året och säsongerna är näst intill identiska, om ett flygplan landar på Arlanda är det mycket troligt att det

flygplanet också startar där. Säsonger syns tydligt och den har sin lägsta punkt i juli för samtliga tre variabler men även runt december och januari råder det en viss lågsäsong.

Figur 8– Komponentuppdelning säsonger: Starter, Landningar och TSU Arlanda 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3

Procent Inrikes Utrikes linjefart Utrikes charter

0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2

(38)

26

3.2.1.5 Landvetter:

Samma sak i figur 9 som i figuren för Arlanda. De tre variablerna följs åt under hela perioden och har sina tydliga lågsäsonger i juli samt runt december och januari.

Figur 9– Komponentuppdelning säsonger: Starter, Landningar och TSU Landvetter 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2

(39)

27

3.2.2 Cykler:

Låg- och högkonjunkturer i samhället går i cykler. Sen finns det andra saker som naturkatastrofer, krig, terrorism och strejker är händelser som påverkar

tidsserierna.

3.2.2.1 Inrikes- utrikes linjefart och utrikes chartertrafik passagerare:

Vad som kan urskiljas är att fram till 2001 var att antalet passagerare för samtliga tre tidsserier i figur 10 antingen, aningen växande eller stabila men sedan avtar alla efter 2001. Detta kan förklaras med kapningarna av flygplanen som flögs in i World Trade Center. Något år efter den tragedin håller sig utrikes- och inrikes linjefart passagerare mer eller mindre stabila fram till 2008 då

finanskrisen slog till. Då sjunker antalet avresande passagerare igen för samtliga avgångssätt för att sedan återhämta sig något fram mot 2012.

Figur 10– Cykliska komponenten: Inrikes-, utrikes linjefart och chartertrafik PAX

3.2.2.2 Inrikes- utrikes linjefart och utrikes chartertrafik landningar:

Antalet landningar ökade ganska kraftigt från 1996 fram till 2001 och därefter avtog antalet landningar för samtliga variabler. Samma sak händer igen runt

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 Jan 1 992 Jan 1 993 Jan 1 994 Jan 1 995 Jan 1 996 Jan 1 99 7 Jan 1 998 Jan 1 999 Jan 2 000 Jan 2 001 Jan 2 002 Jan 2 003 Jan 2 004 Jan 2 005 Jan 2 006 Jan 2 007 Jan 2 008 Jan 2 009 Jan 2 010 Jan 2 011 Jan 2 012

(40)

28

2008 i och med att finanskrisen slår till. Efter det hämtar sig och ökar både inrikes och utrikes linjefart igen medan utrikes charter faller än en gång efter 2010 som visas i figur 11.

Figur 11– Cykliska komponenten: Inrikes-, Utrikes linjefart och chartertrafik PAX

3.2.2.3 IFR-rörelser och överflygare:

Cykler som ses i figur 12 beror på, som beskrivits tidigare, främst på 9/11 och finanskrisen 2008. Topparna sker precis innan dessa händelser inträffar.

Figur 12– Cykliska komponenten: IFR-rörelser och överflygningar 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 Jan 1 996 Jan 1 997 Jan 1 998 Jan 1 999 Jan 2 000 Jan 2 001 Jan 2 002 Jan 2 003 Jan 2 004 Jan 2 005 Jan 2 006 Jan 2 007 Jan 2 008 Jan 2 009 Jan 2 010 Jan 2 011 Jan 2 012

Procent Inrikes linjefart Utrikes linjefart Utrikes charter

0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 Jan 1 996 Jan 1 997 Jan 1 998 Jan 1 999 Jan 2 000 Jan 2 001 Jan 2 002 Jan 2 003 Jan 2 004 Jan 2 005 Jan 2 006 Jan 2 007 Jan 2 008 Jan 2 009 Jan 2 010 Jan 2 01 1 Jan 2 012

(41)

29

3.2.2.4 Service units

Två tydliga lågpunkter ses i figur 13 och en topp. Toppen är precis innan

finanskrisen och efterföljande avtagande kurva beror på just krisen. Den andra lågpunkten kom efter attentaten på World Trade Center som skedde i

september 2001.

Figur 13– Cykliska komponenten: Service units

3.2.2.5 Arlanda:

Alla cyklerna för variablerna i figur 15 och 16 följs åt genom hela tidsserien och har samma cykliska toppar och dalar. Dalarna är efter 9/11 och efter

finanskrisen 2008 samt att toppar som sticker ut är precis innan dessa händelser. 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 Jan 1 999 Jan 2 000 Jan 2 001 Jan 2 002 Jan 2 003 Jan 2 004 Jan 2 00 5 Jan 2 006 Jan 2 007 Jan 2 008 Jan 2 009 Jan 2 010 Jan 2 011 Jan 2 012

(42)

30

Figur 14 – Cykliska komponenten: Starter, Landningar och TSU Arlanda

3.2.2.6 Landvetter:

Figur 15 – Cykliska komponenten: Starter, Landningar och TSU Landvetter 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 Jan 1 992 Jan 1 993 Jan 1 994 Jan 1 995 Jan 1 996 Jan 1 997 Jan 1 998 Jan 1 999 Jan 2 000 Jan 2 001 Jan 2 002 Jan 2 003 Jan 2 004 Jan 2 005 Jan 2 006 Jan 2 007 Jan 2 00 8 Jan 2 009 Jan 2 010 Jan 2 011 Jan 2 012

Procent Landningar Starter TSU

0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 Jan 1 992 Jan 1 993 Jan 1 99 4 Jan 1 995 Jan 1 996 Jan 1 997 Jan 1 998 Jan 1 999 Jan 2 00 0 Jan 2 001 Jan 2 002 Jan 2 003 Jan 2 004 Jan 2 005 Jan 2 006 Jan 2 007 Jan 2 008 Jan 2 009 Jan 2 010 Jan 2 011 Jan 2 012

(43)

31

3.3 Holt-Winters

I den här delen av analyskapitlet undersöks de metoder som används av Transportstyrelsen. Dessa modeller är framtagna med hjälp av SAS som även transportstyrelsen använder sig av när de skapar sina modeller. De modeller som har tagits fram är inte de exakta modeller som Transportstyrelsen har, utan skiljer sig då data som analyseras har ett år mer data än deras modeller.

Modeller

Det selektiva kriterium som har valts för att få fram de bästa Holt-Wintersmodellerna i SAS är MAPE.

Variabel Modell MAPE RMSE BIC

Inrikes

linjefart pax Additiv Holt-Winters

3.89288 29212 0.894 5198.9

Utrikes

linjefart pax Multiplikativ

Holt-Winters

6.16288 11057 0.943 5127.7

Utrikes

charter pax Seasonal exponential smoothing 2.862093 25362 0.982 4703.7 Inrikes linjefart landningar Log Additiv Holt-Winters 3.88746 638 0.941 2650.81 Utrikes linjefart landningar Log Seasonal exponential smoothing 3.15649 340 0.868 2389.04 Utrikes charter landningar Seasonal exponential smoothing 4.60024 75 0.911 1773.52

Överflygare Log Additiv

Holt-Winters 1.94076 566 0.987 2601.75 IFR-rörelser (inkl. Överflygare) Seasonal exponential smoothing 2.51743 1842 0.892 3078.26

(44)

32

Service Units Additiv

Holt-Winters 2.39494 7613 0.943 3018.4 Terminal tjänsteenheter Arlanda Log Additiv Holt-Winters 2.71132 355 0.915 2976.0 Landningar

Arlanda Log Additiv

Holt-Winters

2.880282 366 0.929 2991.5

Start Arlanda Log Additiv

Holt-Winters 2.88044 366 0.929 2991.0 Terminal tjänsteenheter Landvetter Log Additiv Holt-Winters 3.14203 107 0.919 2369.4 Landningar

Landvetter Log Additiv

Holt-Winters

3.483468 120 0.885 2429.0

Start

Landvetter Log Additiv

Holt-Winters

3.46515 119 0.886 4703.7

Tabell 2 – Modeller Holt-Winters och exponentiell säsongsutjämning

Det som tydligt visas är de samband som finns hos de två flygplatserna där variablerna:

Landningar, Terminaltjänsteenheter och starter hos Arlanda respektive Landvetter får samma modell (Log additiv Holt-Winters modell).

Vad som kan ses på samtliga modeller är förklaringsgraden ( ) som ligger över 85 procent. Vilket kan anses som ett bra resultat för modellerna.

(45)

33

3.3.1 Parameterskattning

Tidsserierna som visas i tabell 3 har modellerats med hjälp av Holt-Winters finns det en gemensam skattning av i samtliga modeller där den skattas

väldigt nära noll vilket betyder att samtliga Holt-Winters lägger stor vikt vid den föregående skattningen av ( ) än i den nivåskillnad som uppkommer i nästa tidpunkt. Samma skattning av utjämningskonstant förekommer även i säsongsutjämningen där det läggs väldigt stor vikt i säsongen året innan förutom i utrikes chartertrafik och passagerare för utrikes charter.

Nivån, , skattas till en relativt neutral utjämningskonstant vilket ligger nära 0,5 i de flesta modeller vilket tyder på att skattningen av nivån tar hänsyn till både föregående nivå samt nivån för observationstidpunkten.

Variabel Inrikes linjefart pax 568878 -132.9469 0.37677 0.00100 0.26714 Utrikes linjefart pax 833528 2286 0.35553 0.00100 0.50474 Utrikes charter pax 151768 --- 0.44092 --- 0.99900 Inrikes linjefart landningar 9.25868 -0.00192 0.23621 0.00100 0.00100 Utrikes linjefart landningar 9.01643 --- 0.58524 --- 0.00100 Utrikes charter landningar 1152 --- 0.60947 --- 0.93101 Överflygare 10.07272 0.00380 0.65860 0.00100 0.00100 IFR-rörelser (inkl. Överflygare) 55898 --- 0.47781 --- 0.00100 Service Units 252299 456.97997 0.60860 0.00100 0.00100 Terminal tjänsteenheter Arlanda 9.18811 0.0001879 0.57475 0.00100 0.00100 Landningar Arlanda 9.05015 0.0006999 0.49820 0.00100 0.00100 Start Arlanda 9.04956 0.0007035 0.49999 0.00100 0.00100 Terminal 7.85542 0.0009195 0.56067 0.00100 0.00100

(46)

34 tjänsteenheter Landvetter Landningar Landvetter 7.79928 0.0003313 0.50239 0.00100 0.00100 Start Landvetter 7.79855 0.0003597 0.50672 0.00100 0.00100

(47)

35

3.4 Felmått SARIMA mot Holt-winters och exponentiell säsongsutjämning

Här presenteras de olika modellerna som valts ut efter de olika

felmåttskriterierna BIC, AIC, och MAPE. Modellernas felmått jämförs mot varandra. Samtliga Holt-Winters och exponentiell säsongsutjämning får bättre värden på R2 vilket ses i tabell 5.

BIC MODEL RMSE MAPE AIC BIC R2

Avresande passagerare (Inrikes linjefart) HW - Additive Airline Model 29212 30796 3,9 4,2 5188 4944 5199 4951 0,894 0,886 Avresande passagerare(Utrikes linjefart) SES ARIMA(0,1,1)s NOINT 11057 20588 6,2 11,6 4697 4770 4704 4773 0,943 0,800 Avresande passagerare(Utrikes chartertrafik) HW - Multiplicative Log Airline Model*

25362 26341 2,9 3,0 5117 4870 5128 4876 0,982 0,979 Landningar (Landvetter) Log HW - Additive Log Airline Model

120 131 3,5 3,8 2418 2334 2429 2340 0,885 0,859

Start (Landvetter) Log HW - Additive

Log Airline Model

119 130 3,5 3,8 2417 2332 2427 2339 0,886 0,860 Terminaltjänsteenheter (Landvetter) Log HW - Additive Log Airline Model

107 116 3,1 3,4 2359 2277 2369 2284 0,919 0,897

Landningar(Arlanda) Log HW - Additive

Log ARIMA(2,1,0)(0,1,1)s NOINT 366 383 2,9 2,9 2981 2849 2992 2859 0,929 0,925

Start (Arlanda) Log HW - Additive

Log ARIMA(2,1,0)(0,1,1)s NOINT 366 383 2,9 3,0 2980 2849 2991 2859 0,929 0,925 Terminaltjänsteenheter (Arlanda) Log HW - Additive Log ARIMA(2,1,0)(0,1,1)s NOINT 355 373 2,7 2,7 2965 2837 2976 2847 0,915 0,906

Överflygare Log HW - Additive

ARIMA(0,2,2)(0,1,1)s NOINT 566 659 1,9 2,3 2592 2472 2602 2482 0,987 0,980 IFR-rörelser(inkl. Överflygare) SES ARIMA(0,1,1)s 1842 3879 2,5 5,7 3072 3175 3078 3178 0,892 0,479

(48)

36 NOINT Landningar(Inrikes linjefart) Log HW - Additive Log ARIMA(2,1,0)(0,1,1)s NOINT 638 685 3,9 4,3 2641 2500 2651 2510 0,941 0,932 Landningar(Utrikes linjefart) Log SES ARIMA(2,0,0)(1,0,0)s 340 445 3,2 4,0 2382 2496 2389 2509 0,868 0,774 Landningar(Utrikes chartertrafik) SES ARIMA(2,0,0)(1,0,0)s 75 89 4,6 5,3 1767 1838 1774 1851 0,911 0,877

Service Units HW - Additive

Airline Model* 7613 8480 2,4 2,6 3009 2808 3018 2814 0,943 0,925 * SARIMA-modellen är stationär, SES(exponentiell säsongsutjämning)

(49)

37

AIC MODEL RMSE MAPE AIC BIC R2

Avresande passagerare (Inrikes linjefart) HW - Additive Airline Model 29212 30796 3,9 4,2 5188 4944 5199 4951 0,894 0,886 Avresande passagerare(Utrikes linjefart) SES ARIMA(0,1,1)s NOINT 11057 20588 6,2 11,6 4697 4770 4704 4773 0,943 0,800 Avresande passagerare(Utrikes chartertrafik) HW - Multiplicative Log Airline Model*

25362 26341 2,9 3,0 5117 4870 5128 4877 0,982 0,979 Landningar (Landvetter) Log HW - Additive Log ARIMA(2,1,0)(0,1,1)s NOINT 120 130 3,5 3,8 2419 2332 2429 2342 0,885 0,861

Log ARIMA(2,1,0)(0,1,1)s NOINT 120 129 3,5 3,8 2417 2331 2427 2341 0,886 0,861 Terminaltjänsteenheter (Landvetter) Log HW - Additive Log ARIMA(2,1,0)(0,1,1)s NOINT 107 115 3,1 3,4 2359 2275 2369 2285 0,919 0,898

Log ARIMA(2,1,0)(0,1,1)s NOINT 366 383 2,9 2,9 2981 2849 2992 2859 0,929 0,925

ARIMA(0,2,2)(0,1,1)s NOINT* 566 659 1,9 2,3 2592 2472 2602 2482 0,987 0,980 IFR-rörelser(inkl. Överflygare) SES ARIMA(0,1,1)s NOINT 1842 3879 2,5 5,7 3072 3175 3078 3178 0,892 0,479

(50)

38 Landningar(Inrikes linjefart) Log HW - Additive Log ARIMA(2,1,0)(0,1,1)s NOINT 638 685 3,9 4,3 2641 2500 2651 2510 0,941 0,932 Landningar(Utrikes linjefart) Log SES ARIMA(2,0,0)(1,0,0)s 340 445 3,2 4,0 2382 2496 2389 2510 0,868 0,774 Landningar(Utrikes chartertrafik) SES ARIMA(2,0,0)(1,0,0)s 75 89 4,6 5,3 1767 1838 1774 1851 0,911 0,877

ARIMA(2,1,0)(0,1,1)s NOINT* 7613 8410 2,4 2,6 3009 2808 3018 2817 0,943 0,926 * SARIMA-modellen är stationär, SES(exponentiell säsongsutjämning)

Tabell 5 - Modellval med AIC som kriteriet

När AIC används som modellkriterium syns det tydligt i tabell 6 att Holt-Winters och exponentiell säsongsutjämning har bättre R2-värden på samtliga tidsserier. Holt-Winters och exponentiell säsongsutjämning får även bättre värden på MAPE och RMSE i samtliga fall. SARIMA modellerna får bäst AIC- och BIC-värden i alla tidsserier förutom där SES har anpassats som modell.

MAPE MODEL RMSE MAPE AIC BIC R2

Avresande passagerare (Inrikes linjefart) HW - Multiplicative Airline Model 29421 30796 3,9 4,2 5192 4944 5202 4951 0,893 0,886 Avresande passagerare(Utrikes linjefart) Log SES Log ARIMA(2,0,0)(1,0,0)s 11300 12910 5,8 6,7 4708 4779 4715 4793 0,940 0,922 Avresande passagerare(Utrikes chartertrafik) HW - Multiplicative Log Airline Model*

Log ARIMA(2,1,0)(0,1,1)s NOINT 119 129 3,5 3,8 2417 2331 2427 2341 0,886 0,861

(51)

39 Terminaltjänsteenheter (Landvetter) Log HW - Additive Log ARIMA(2,1,2)(0,1,1)s NOINT 107 115 3,1 3,4 2359 2280 2369 2297 0,919 0,898

Log ARIMA(2,1,0)(0,1,1)s NOINT 366 383 2,9 2,9 2981 2849 2992 2859 0,929 0,925

Log ARIMA(2,1,0)(0,1,1)s NOINT 366 383 2,9 3,0 2980 2849 2991 2859 0,929 0,925 Terminaltjänsteenheter (Arlanda) HW - Multiplicative Log ARIMA(2,1,0)(0,1,1)s NOINT 366 373 2,7 2,7 2981 2837 2992 2847 0,910 0,906

Airline Model* 566 649 1,9 2,3 2592 2478 2602 2484 0,987 0,981 IFR-rörelser(inkl. Överflygare) SES ARIMA(2,0,0)(1,0,0)s 1842 2636 2,5 3,4 3072 3222 3078 3235 0,892 0,778 Landningar(Inrikes linjefart) Log HW - Additive Log ARIMA(0,1,2)(0,1,1)s NOINT 638 699 3,9 4,3 2641 2508 2651 2517 0,941 0,929 Landningar(Utrikes linjefart) Log SES ARIMA(2,0,0)(1,0,0)s 340 445 3,2 4,0 2382 2496 2389 2509 0,868 0,774 Landningar(Utrikes chartertrafik) SES ARIMA(2,0,0)(1,0,0)s 75 89 4,6 5,3 1767 1838 1774 1851 0,911 0,877

Tabell 6 - Modellval med MAPE som kriteriet

Tre SARIMA modeller uppnår stationäritet, samtliga Holt-Winters och

exponentiell säsongsutjämning uppnår bättre värden på MAPE, RMSE och R2 jämfört med SARIMA modellerna vilket visas i tabell 7.

(52)

40

R2 MODEL RMSE MAPE AIC BIC R2

Avresande passagerare (Inrikes linjefart) HW - Additive ARIMA(2,1,0)(0,1,1)s NOINT 29212 30790 3,9 4,2 5188 4946 5199 4957 0,894 0,886 Avresande passagerare(Utrikes linjefart) SES ARIMA(2,0,0)(1,0,0)s 11057 12771 6,2 6,9 4697 4773 4704 4787 0,943 0,924 Avresande passagerare(Utrikes chartertrafik) HW - Multiplicative Log Airline Model*

Log ARIMA(2,1,0)(0,1,1)s NOINT 119 129 3,5 3,8 2417 2331 2427 2341 0,886 0,861 Terminaltjänsteenheter (Landvetter) Log HW - Additive Log ARIMA(2,1,0)(0,1,1)s NOINT 107 115 3,1 3,4 2359 2275 2369 2285 0,919 0,898

Log ARIMA(2,1,0)(0,1,1)s NOINT 366 383 2,9 2,9 2981 2849 2992 2859 0,929 0,925

ARIMA(2,1,2)(0,1,1)s NOINT 566 645 1,9 2,3 2592 2481 2602 2498 0,987 0,981 IFR-rörelser(inkl. Överflygare) SES ARIMA(2,0,0)(1,0,0)s 1842 2636 2,5 3,4 3072 3222 3078 3235 0,892 0,778

(53)

41 Landningar(Inrikes linjefart) Log HW - Additive Log ARIMA(2,1,0)(0,1,1)s NOINT 638 685 3,9 4,3 2641 2500 2651 2510 0,941 0,932 Landningar(Utrikes linjefart) Log SES ARIMA(2,0,0)(1,0,0)s 340 445 3,2 4,0 2382 2496 2389 2509 0,868 0,774 Landningar(Utrikes chartertrafik) SES ARIMA(2,0,0)(1,0,0)s 75 89 4,6 5,3 1767 1838 1774 1851 0,911 0,877

Tabell 7 - Modellval med R2 som kriteriet

Med R2 som kriterium får samtliga Holt-Winters och exponentiell

säsongsutjämning bättre värden. Det som kan tas i hänsyn är att vissa modeller får samma MAPE värden.

3.5 Prognoser

Utifrån resultat och analysdelen framgick det att Holt-Winters modeller är den mest framgångsrika metoden att göra prognoser med. I denna del presenteras två-åriga prognoser med ett 80-procentigt konfidensintervall i diagramform, exakta nummer för varje prognos finns i tabeller under bilaga. Anledningen till att ett 80-procentigt konfidensintervall valdes grundar sig i att när

Transportstyrelsens gör sina egna prognoser använder de just 80-procentigt konfidensintervall.

(54)

42

Det finns en liten skillnad mellan de två prognostiserade åren. Dock tyder prognosen på en negativ trend i figur 16.

Figur 16 - Inrikes linjefart – pax

Under året 2014 ses en ökning vad det gäller passagerare för utrikes linjefart jämfört med prognosen för 2013. Den ökningen är stabil året genom, se tabell 10 i bilaga.

Figur 17 - Utrikes Linjefart – pax 200000 300000 400000 500000 600000 700000 800000 Jan 2 01 3 Ma r20 13 Ma y201 3 Ju l2013 Se p 2013 N o v2 013 Jan 2 014 Ma r20 14 Ma y201 4 Ju l2014 Se p 2014 N o v2 014 Passagerare Prognos 80% K.I 500000 600000 700000 800000 900000 1000000 1100000 1200000 Jan 2 013 Mar20 13 Ma y201 3 Ju l2013 Se p 2013 N o v2 013 Jan 2 014 Ma r20 14 Ma y201 4 Ju l2014 Se p 2014 N o v2 014 Passagerare Prognos 80% K.I

(55)

43

I figur 18 visar prognosen att det inte kommer vara någon skillnad mellan 2013 och 2014 vad det gäller passagerare på charterplan.

Figur 18 - Utrikes charter – pax

En negativ trend prognostiseras för flygplan inom inrikes linjefart se tabell 12 i bilaga.

Figur 19 - Inrikes linjetrafik – flygplan

För det första året som prognostiseras råder det en negativ trend jämfört med föregående år. Som sedan under 2014 vänds till en positiv trend som håller i sig

0 50000 100000 150000 200000 250000 300000 Jan 2 013 Ma r20 13 Ma y201 3 Ju l2013 Se p 2013 N o v2 013 Jan 2 014 Ma r20 14 Ma y201 4 Ju l2014 Se p 2014 N o v2 014 Passagerare Prognos 80% K.I 5000 6000 7000 8000 9000 10000 11000 12000 13000 14000 Jan 2 013 Ma r20 13 Ma y201 3 Ju l2013 Se p 2013 N ov 2 01 3 Jan 2 014 Ma r20 14 Ma y201 4 Ju l2014 Se p 2014 N o v2 014 Landningar Prognos 80% K.I

(56)

44 hela året i figur 20.

Figur 20 - Utrikes linjefart – flygplan

Under 2013 sjunker antalet landningar av charterplan jämfört med 2012 som sedan under 2014 ökar se tabell 14 i bilaga.

Figur 21 - Utrikes charter – flygplan 5000 6000 7000 8000 9000 10000 11000 Jan 2 013 Ma r20 13 Ma y201 3 Ju l2013 Se p 2013 N o v2 013 Jan 2 014 Mar20 14 Ma y201 4 Ju l20 14 Se p 2014 N o v2 014 Landningar Prognos 80% K.I 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 Jan 2 013 Ma r20 13 Ma y201 3 Ju l2013 Se p 2013 N o v2 013 Jan 2 014 Ma r20 14 Ma y201 4 Ju l2014 Se p 2014 N o v2 014 Landningar Prognos 80% K.I

(57)

45

Vad det gäller överflygare kommer det till antalet att öka för varje månad efter juni 2013 jämfört med föregående års månad se figur 22.

Figur 22 - Överflygare – flygplan

IFR-rörelser samt överflygare håller sig på en konstant nivå, vad det gäller från år 2013 till år 2014 se tabell 16 i bilaga.

Figur 23 - IFR-rörelser + överflygare – flygplan 15000 17000 19000 21000 23000 25000 27000 29000 31000 33000 Jan 2 013 Ma r20 13 Ma y201 3 Ju l2013 Se p 2013 N o v2 013 Jan 2 014 Mar20 14 Ma y201 4 Ju l2014 Se p 2014 N o v2 014 Landningar Prognos 80% K.I 40000 45000 50000 55000 60000 65000 70000 Jan 2 013 Ma r20 13 Ma y201 3 Ju l2013 Se p 2013 N o v2 013 Jan 2 014 Mar20 14 Ma y201 4 Ju l2014 Se p 2014 N o v2 014 Landningar Prognos 80% K.I

(58)

46

4 Slutsats och diskussion

Denna uppsats har handlat om att skatta modeller och ta fram prognoser för variabler som Transportstyrelsen använder sig av. Tanken var att förbättra de befintliga modellerna. För att sedan ge förslag på nya modeller och helt enkelt byta ut de befintliga modeller som Transportstyrelsen använder sig av, för att göra sina prognoser. Transportstyrelsen använder sig genomgående av Holt-Winters modeller för att prognostisera flygtrafiken och dess tillhörande

faktorer. Efter genomgång av data och skapandet av olika modeller efter olika felmått kan man konstatera att Holt-Winters modeller fungerar bättre än SARIMA modellerna för dessa tidsserier i nästan samtliga fall.

 Hur förhåller sig Holt-Winters-metoder i jämförelse mot andra metoder för att prognostisera flygtrafiken?

Holt-Winters modeller ger en bra förklaring av data och ger bra prognoser, överlag är det den bättre metoden att använda jämfört med SARIMA-modeller. Detta baserat på att dess R2-värden är genomgående bättre för samtliga

tidsserier. Andra felmått skiljer sig åt mellan tidsserierna.

 Hur kommer flygtrafiken i Sverige att se ut under de kommande två åren?

När två-åriga prognoser skapas visar de flesta modellerna på en negativ trend det första året, det andra året ses en positiv ökning i prognoserna. Det finns en generell minskning i chartertrafiken.

 Hur skiljer sig Holt-Winters prognoser åt från andra modeller?

I och med att Holt-Winters hade bättre värden då modeller skapades, fanns det ingen anledning till att skapa prognoser för SARIMA-modellerna.

(59)

(60)

48

5 Bilagor

5.1 Prognoser Inrikes linjefart

pax Holt-Winter

Tidpunkt Prognos Procentuell

förändring från föregående år Jan2013 499355 -4,4% Feb2013 553308 -4,4% Mar2013 647752 -3,9% Apr2013 575673 -4,6% May2013 650326 -5,3% Jun2013 560533 -0,3% Jul2013 373824 -6,9% Aug2013 516236 -2,8% Sep2013 632672 -1,5% Oct2013 659103 -4,3% Nov2013 641418 -5,1% Dec2013 520983 6,0% Jan2014 497759 -0,3% Feb2014 551713 -0,3% Mar2014 646156 -0,2% Apr2014 574078 -0,3% May2014 648731 -0,2% Jun2014 558938 -0,3% Jul2014 372229 -0,4% Aug2014 514641 -0,3% Sep2014 631077 -0,3% Oct2014 657508 -0,2% Nov2014 639823 -0,2% Dec2014 519387 -0,3% Genomsnittlig månadsförändring -1,7%

(61)

49

Utrikes linjefart

förändring från föregående år Jan2013 635103 3,5% Feb2013 678454 4,0% Mar2013 796810 5,2% Apr2013 846572 -0,8% May2013 926415 3,1% Jun2013 1052320 4,0% Jul2013 964536 0,3% Aug2013 891002 1,8% Sep2013 948310 2,6% Oct2013 956422 0,6% Nov2013 756092 3,3% Dec2013 744947 4,2% Jan2014 655948 3,5% Feb2014 700661 3,3% Mar2014 822820 3,3% Apr2014 874131 3,3% May2014 956492 3,2% Jun2014 1086392 3,2% Jul2014 995682 3,2% Aug2014 919697 3,2% Sep2014 978769 3,2% Oct2014 987059 3,2% Nov2014 780248 3,2% Dec2014 768683 3,2% Genomsnittlig månadsförändring 2,9%

(62)

50

Utrikes charter

förändring från föregående år Jan2013 145001 2,2% Feb2013 134150 -2,1% Mar2013 135308 -1,1% Apr2013 94506 2,6% May2013 172215 2,8% Jun2013 212822 -2,9% Jul2013 204952 -1,0% Aug2013 198949 -3,3% Sep2013 191011 -4,5% Oct2013 123674 -1,1% Nov2013 114948 1,2% Dec2013 141187 0,0% Jan2014 145001 0,0% Feb2014 134150 0,0% Mar2014 135308 0,0% Apr2014 94506 0,0% May2014 172215 0,0% Jun2014 212822 0,0% Jul2014 204952 0,0% Aug2014 198949 0,0% Sep2014 191011 0,0% Oct2014 123674 0,0% Nov2014 114948 0,0% Dec2014 141187 0,0% Genomsnittlig månadsförändring -0,3%

(63)

51

Inrikes linjefart

landningar Holt-Winter

förändring från föregående år Jan2013 10058 -1,9% Feb2013 10811 -6,3% Mar2013 12104 -6,6% Apr2013 10719 -1,2% May2013 11289 -5,9% Jun2013 10143 4,3% Jul2013 6013 -5,8% Aug2013 9747 0,1% Sep2013 11907 -1,5% Oct2013 12226 -6,5% Nov2013 11771 -6,1% Dec2013 9687 4,4% Jan2014 9838 -1,9% Feb2014 10575 -2,2% Mar2014 11839 -2,2% Apr2014 10485 -2,2% May2014 11042 -2,2% Jun2014 9921 -2,2% Jul2014 5881 -2,2% Aug2014 9534 -2,2% Sep2014 11647 -2,2% Oct2014 11959 -2,2% Nov2014 11513 -2,2% Dec2014 9475 -2,2% Genomsnittlig månadsförändring -2,5%

(64)

52

Utrikes linjefart

förändring från föregående år Jan2013 7729 -2,4% Feb2013 7550 -5,3% Mar2013 8439 -6,2% Apr2013 8221 -9,8% May2013 8818 -8,9% Jun2013 8690 -5,2% Jul2013 7497 -8,7% Aug2013 8470 -4,0% Sep2013 8950 -4,5% Oct2013 9098 -8,5% Nov2013 8520 -2,3% Dec2013 7367 3,9% Jan2014 7757 -2,4% Feb2014 7577 0,4% Mar2014 8470 0,4% Apr2014 8251 0,4% May2014 8850 0,4% Jun2014 8722 0,4% Jul2014 7525 0,4% Aug2014 8501 0,4% Sep2014 8983 0,4% Oct2014 9131 0,4% Nov2014 8551 0,4% Dec2014 7393 0,4% Genomsnittlig månadsförändring -2,5%

(65)

53

Utrikes charter

förändring från föregående år Jan2013 873 -2,4% Feb2013 872 -5,3% Mar2013 1025 -6,2% Apr2013 827 -9,8% May2013 1197 -8,9% Jun2013 1525 -5,2% Jul2013 1465 -8,7% Aug2013 1476 -4,0% Sep2013 1454 -4,5% Oct2013 1167 -8,5% Nov2013 940 -2,3% Dec2013 959 3,9% Jan2014 873 0,4% Feb2014 872 0,4% Mar2014 1025 0,4% Apr2014 827 0,4% May2014 1197 0,4% Jun2014 1525 0,4% Jul2014 1465 0,4% Aug2014 1476 0,4% Sep2014 1454 0,4% Oct2014 1167 0,4% Nov2014 940 0,4% Dec2014 959 0,4% Genomsnittlig månadsförändring -2,5%