Design av FPGA-baserad PCM-till-PWM-modulator för klass D-audioförstärkare

Institutionen för systemteknik

Department of Electrical Engineering

Examensarbete

Design av FPGA-baserad

PCM-till-PWM-modulator för

klass D-audioförstärkare

Examensarbete utfört i elektroniksystem vid Tekniska högskolan i Linköping

av Christer Eriksson och Erik Lindahl LiTH-ISY-EX--09/4302--SE Linköping 2009

Department of Electrical Engineering Linköpings tekniska högskola

Linköpings universitet Linköpings universitet

Design av FPGA-baserad

PCM-till-PWM-modulator för

klass D-audioförstärkare

Examensarbete utfört i elektroniksystem

vid Tekniska högskolan i Linköping

av

Christer Eriksson och

Erik Lindahl

LiTH-ISY-EX--09/4302--SE

Handledare: Kent Palmkvist

isy, Linköpings universitet Pär Gunnars Risberg

Actiwave AB

Examinator: Kent Palmkvist

isy, Linköpings universitet

Avdelning, Institution Division, Department

Elektroniksystem

Department of Electrical Engineering Linköpings universitet

SE-581 83 Linköping, Sweden

Datum Date 2009-06-16 Språk Language  Svenska/Swedish  Engelska/English   Rapporttyp Report category  Licentiatavhandling  Examensarbete  C-uppsats  D-uppsats  Övrig rapport  

URL för elektronisk version

http://urn.kb.se/resolve?urn=urn:nbn:se:liu:diva-19488

ISBN — ISRN

LiTH-ISY-EX--09/4302--SE Serietitel och serienummer Title of series, numbering

ISSN —

Titel

Title Design av FPGA-baserad PCM-till-PWM-modulator för klass D-audioförstärkare_{Design of an FPGA-based PCM-to-PWM modulator for class D audio amplifier}

Författare Author

Christer Eriksson och Erik Lindahl

Sammanfattning Abstract

This thesis experiments and evaluates methods for design of an FPGA based PCM-to-PWM modulator to be used in a class D audio amplifier. By utilizing mathe-matical analysis and simulations interpolation methods, pulse width modulation, cross point derivers and sigma delta modulators are discussed. The proposed design consists of upsampling, predistortion, noise shaping and pulse width modulation. The design has been validated through model based simulation and implementa-tion in hardware.

Nyckelord

Abstract

This thesis experiments and evaluates methods for design of an FPGA based PCM-to-PWM modulator to be used in a class D audio amplifier. By utilizing mathemat-ical analysis and simulations interpolation methods, pulse width modulation, cross point derivers and sigma delta modulators are discussed. The proposed design con-sists of upsampling, predistortion, noise shaping and pulse width modulation. The design has been validated through model based simulation and implementation in hardware.

Sammanfattning

I detta examensarbete har metoder för design av en FPGA-baserad PCM-till-PWM-modulator för klass D-audioförstärkare testats och utvärderats. Rapporten diskuterar med stöd av matematisk analys och simuleringar interpoleringsmeto-der, pulsbreddsmodulering, samplingsprocesser och sigma-delta-modulatorer. Den föreslagna designen bygger på uppsampling, förkompensering, brusformning och pulsbreddsmodulering. Designens prestanda har verifierats genom simulering av modell och implementering i hårdvara.

Tack

Vi vill tacka vår handledare Pär Gunnars Risberg med personal på Actiwave AB för stöd och inspiration. Ett stort tack till våra opponenter Robert Andreasson och Emanuel Eliasson för en fenomenal opponering. Tack även till mätgurun Lennart Båvall för enastående hjälp med mätningar samt tack till korrekturläsare Johnny Lind, Emma Palmqvist och Johan Gyllensten för ihärdig granskning av rapporten. Sist men inte minst tack till vår examinator Kent Palmkvist och alla som visat stöd under kafferasterna.

Christer Eriksson och Erik Lindahl

Innehåll

1 Inledning 1 1.1 Syfte . . . 1 1.2 Bakgrund . . . 1 1.3 Metod . . . 1 1.4 Begränsningar . . . 2 1.5 Rapportens disposition . . . 2

1.6 Beteckningar och definitioner . . . 3

2 Förstärkarklasser 7 2.1 Analoga förstärkarklasser . . . 7 2.2 Klass D-förstärkare . . . 8 2.2.1 Utgångssteg . . . 8 3 Pulsbreddsmodulering - PWM 11 3.1 Enkelsidig PWM . . . 12 3.2 Dubbelsidig PWM . . . 13 3.3 AD-modulering . . . 14 3.4 BD-modulering . . . 15 3.5 Digital PWM . . . 16 4 Analys av PWM 21 4.1 Distorsion hos PWM-modulatorer . . . 21

4.2 Dubbel fourierserieutveckling . . . 22 4.2.1 NPWM . . . 25 4.2.2 UPWM . . . 25 4.3 Simuleringsresultat UPWM . . . 29 5 Samplingsprocesser 33 5.1 Linjär interpolation - LPWM . . . 35 5.2 Weighted PWM - WPWM . . . 37 5.3 Pseudo-Naturlig sampling - PNPWM . . . 38 5.4 Algoritm A och B . . . 39

5.5 Statisk och dynamisk filtrering . . . 40

5.6 Beräkningsbehov och prestanda . . . 40

5.7 Simuleringsresultat samplingsprocesser . . . 41 ix

x Innehåll 6 Sigma-delta-modulatorer 47 6.1 Kvantiseringsbrus . . . 47 6.2 Översampling . . . 50 6.3 Brusformning . . . 51 6.4 Stabilitet . . . 54 6.5 Kaskadkopplad modulator . . . 56 6.6 Högre ordningen . . . 58 6.7 Harmonisk distorsion . . . 60 6.8 Dither . . . 61 6.9 Sammanfattning av modulatorer . . . 62 7 Interpolering 69 7.1 Upprepande interpolation . . . 70

7.2 Interpolation av matematisk karaktär . . . 70

7.2.1 Linjär interpolation . . . 70 7.2.2 Lagranges interpolationspolynom . . . 71 7.2.3 Newtons interpolationspolynom . . . 71 7.2.4 Nevilles schema . . . 72 7.2.5 Runges fenomen . . . 73 7.2.6 Spline-interpolation . . . 73

7.3 Interpolation ur ett signalbehandlingsperspektiv . . . 73

7.4 Sammanfattning av interpolationsmetoder . . . 74 8 Simuleringsresultat 79 9 Implementering 87 9.1 FPGA . . . 87 9.2 DLL . . . 88 9.3 Implementering i hårdvara . . . 88 10 Resultat 89 10.1 Simuleringsresultat av implementering . . . 89

10.2 Uppmätta resultat efter modulator . . . 95

10.3 Uppmätta resultat efter utgångssteg . . . 96

10.4 Felkällor . . . 107

10.4.1 Drivsteget hos FPGA-kretsen . . . 107

10.4.2 Jitter . . . 108

11 Slutsats och framtida arbete 109

Kapitel 1

Inledning

1.1

Syfte

Examensarbetets syfte är att testa och utvärdera metoder för att konstruera en FPGA-baserad PCM-till-PWM-modulator för klass D-audioförstärkare. Placering-en av modulatorn illustreras i figur 1.1. En samling metoder utvärderas och kom-bineras till ett system som simuleras och implementeras.

Figur 1.1.Illustration av var modulatorn förekommer i en digital klass D-förstärkare.

1.2

Bakgrund

Klass D-förstärkare har blivit allt mer populära på senare tid för deras överlägsna effektivitet och potential för digital förstärkning av audiosignaler. Actiwave AB har utnyttjat detta på ett nyskapande sätt genom att bygga in förstärkaren i högtalaren och skicka signalen digitalt hela vägen till högtalaren genom exempelvis förlustfri trådlös överföring eller kedjekoppling av högtalare. Detta har motiverat en utvärdering av möjligheter till alternativa plattformar och system på chip.

1.3

Metod

Rapportens resultat grundar sig på simuleringar av det utifrån utvärderingar valda systemet samt mätningar av det implementerade systemet. I det

2 Inledning

de systemet syntetiseras en sinussignal för att trovärdigt simulera en insignal. Frekvensen hos den syntetiserade signalen har valts för att möjliggöra värdefulla mätningar och jämförelser med andra befintliga system. Framförallt görs mätning-ar för att bestämma SNR och THD orsakade av modulatorn.

1.4

Begränsningar

Rapporten begränsas till att endast undersöka metoder som i slutändan kan im-plementeras på den förutbestämda FPGA-kretsen XC3S500E från Xilinx. Insigna-len till systemet förväntas vara en 16 bits PCM-signal med en samplingsfrekvens

fs=48 kHz även om omsorg skall läggas på att göra systemet lätt anpassningsbart till samplingsfrekvenser i intervallet 44,1 kHz till 384 kHz. Utsignalen är begrän-sad av effektsteget till ett PWM-fönster med en frekvens i intervallet 200 kHz till 400 kHz, vilket illustreras i figur 1.2. I rapporten värderas lösningar med hög prestanda, främst hög SNR och låg THD, högre än hårdvarueffektiva lösningar.

Figur 1.2.Illustration av PWM-fönstret och modulation i PWM-signal.

1.5

Rapportens disposition

Kapitel 1 är en inledning till projektet där syfte, bakgrund, metod, begränsnigar

och även senare använda beteckningar och definitioner förklaras.

Kapitel 2 presenterar kort bakgrunden till klass D-förstärkare och hur dessa

funk-tionellt skiljer sig från analoga förstärkare som orientering för läsaren.

Kapitel 3 till och med kapitel 7 beskriver den valda modulatorns fyra huvudsakliga funktionsblock samt en fördjupning med analys av PWM-modulatorer.

Kapitel 3 behandlar olika typer av pulsbreddsmodulering vilket utgör

det sista funktionsblocket i modulatorn.

Kapitel 4 analyserar distorsionsfenomen som härrörs från

1.6 Beteckningar och definitioner 3 Kapitel 5 redogör för olika metoder att förbättra digital PWM-modulering

av en uniformt samplad PCM-signal. Detta utgör modulatorns andra funktionsblock.

Kapitel 6 behandlar olika typer av sigma-delta-modulatorer. Dessa

an-vänds för att reducera distorsion införd av kvantisering och utgör det näst sista funktionsblocket.

Kapitel 7 behandlar interpoleringsmetoder för att öka sampelfrekvensen

hos en signal vilket är första funktionsblocket i modulatorn.

Kapitel 8 redogör för simuleringsmodellen som implementerats i Simulink och

redovisar simuleringsresultat från denna.

Kapitel 9 behandlar kort FPGA-implementeringen av designen.

Kapitel 10 redovisar resultat från simulering av FPGA-implementeringen samt

mätningar på hårdvarumodulatorn med och utan utgångssteg.

Kapitel 11 presenterar slutsatsen samt förslag på framtida arbete.

1.6

Beteckningar och definitioner

Simulinkr

Simulink är ett tilläggspaket till matematikbehandligsprogrammet Matlab, båda skapade av The Mathworks Inc. Simulink erbjuder ett grafiskt gränssnitt och en mängd förprogrammerade block för modell-baserad simulering av dynamiska och inbyggda system.

Alla simuleringar i detta examensarbete är utförda i Simulink om inte annat anges.

Modelsimr

Modelsim från Mentor Graphics är ett program för simulering och felsökning av HDL-kod. Simuleringar av hårdvaruimplementeringen på beteendenivå och efter placering och routning är i detta examensarbete utförda i Modelsim.

Bandbredd

Systemets bandbredd, f0, även kallat ljudbandet, definieras här som frekvenser upp till och med 24 kHz.

SNR och DR

Det dynamiska omfånget, DR, hos ett system är skillnaden mellan största och minsta värde som kan representeras. Dynamiskt omfång definieras enligt

DR = 20 logVmax

4 Inledning

där Vmax och VLSB är värdet för det största respektive minsta värdet. Ett system med 16 bits ordlängd har enligt ovan t.ex. ca 96 dB dynamiskt omfång.

Signal-brus-förhållandet, SNR, är snarlikt definierat dynamiskt omfång. Skill-naden är att här jämförs istället det maximala värdet med brusgolvets nivå vilket ofta utgör en begränsande faktor för minsta värdet.

Sampel

Med ett sampel menas ett datavärde taget från en viss signal vid en viss tidpunkt. Samplet är sedan i detta examensarbete vanligen kvantiserat i både tids- och amplitudled. Om en signal exempelvis sägs ha samplats med 48 kHz 16 bit har dess värde avlästs 48000 gånger per sekund med 16 bits noggrannhet.

PCM, PDM och PWM

Vid PCM-kodning av en dataström sänds varje sampels amplitudvärde som ett numeriskt värde med en förutbestämd sampelperiods mellanrum. PDM innebär att dataströmmen kodas som en kontinuerlig serie av ettor och nollor. PDM-strömmen återskapas sedan genom lågpassfiltrering av den kodade strömmen. PWM kan ses som ett specialfall av PDM där ettor och nollor, under en viss sampelperiod, samplats för att bilda en kontinuerlig puls. Antalet ettor i rad, d.v.s. pulsens bredd, bestämmer sedan värdet av varje PWM-puls. I figur 1.3 visas förfarandet. Värdena är fingerade i illustrativt syfte.

  



                                                                          



  

3&0

3'0

3:0

  W W W                                                          

Figur 1.3.Illustration av PCM-, PDM- och PWM-modulering av en analog

referenssig-nal.

THD

När signaler passerar genom ett linjärt tidsinvariant system är förhållandet mellan insignal och utsignal, överföringsfunktionen, detsamma för alla insignaler oavsett tidpunkt och signalens utseende ([12, avsnitt 3.4]). Om en signal däremot passerar ett olinjärt system förändras överföringsfunktionen beroende på tidpunkt och sig-nalens utseende. Detta kan t.ex. ge att toner på multipla frekvenser av insigsig-nalens införs (se figur 1.4). Dessa oönskade toner utgör vad som brukar kallas harmonisk distorsion. Total harmonisk distorsion, THD, är ett mått på dessa oönskade toners effekt i förhållande till grundtonens effekt och anges i procent eller decibel. THD

1.6 Beteckningar och definitioner 5







)UHNYHQV $ P S OLW X G *UXQGWRQ )|UVWD|YHUWRQ $QGUD|YHUWRQ I I I I گ IRXULHUVHULH ’

Figur 1.4. Illustration av harmoniskt distroerad signal representerad som summa av

ingående frekvenser.

definieras vanligen enligt

THDeffekt=

P övertonernas effekter

grundtonens effekt =

P2+ P3+ · · · + Pn

P1

Inom ljudsammanhang förekommer även en annan definition där övertonernas amplituder jämförs med grundtonens. Detta enligt

THD = pV22+ V32+ · · · + Vn2

V1

där V2 · · · Vn och V1 är spänningsnivån hos övertonerna respektive grundtonen mätt i linjärskala. Denna definition är vad som genomgående använts i detta exa-mensarbete för att kunna jämföra med andras rapporterade resultat.

Modulationsindex

Modulationsindex, M, är förhållandet mellan insignalens och bärvågens amplitud. Om insignalens och bärvågens amplitud är Ainrespektive Acfås modulationsindex som:

M = Ain

Ac , M ∈ [0, 1]

I vårt fall får modulationsindex inte över- eller underskrida intervallet [0, 1] ef-tersom insignalen då ligger utanför det område som moduleras av bärvågen.

6 Inledning

Förkortningar och akronymer

Förkortning Betydelse Svensk översättning

ASIC Application-specific IC Applicationsspecifik IC BJT Bipolar junction transistor Bipolartransistor

CMOS Complementary MOS Komplementär MOS

DSP Digital signal processor Digital signalprocessor

ER Equiripple Jämnhögt rippel

f0 Band Width Bandbredd

FFT Fast Fourier transform Snabb Fourier-tansform

FIR Finite impulse response Ändlig längd på impulssvar FPGA Field-programmable gate array Programmerbar grindmatris

fs Sampling frequency Sampelfrekvens

HDL Hardware description language Hårdvarubeskrivande språk

IC Integrated circuit Integrerad krets

LP Low pass Lågpass

LPWM Linear sampling PWM Linjärt samplad PWM

LSB Least significant bit Minsta signifikanta biten

MF Max flat Maximalt plant pass-/spärrband

MOS Metal-oxide-semiconductor Metalloxidtransistor MOSFET MOS field-effect transistor MOS-fälteffekttransistor

NPWM Natural sampling PWM Naturligt samplad PWM

NS Noise shaping Brusformning

OSR Oversampling ratio Översamplingsfaktor

PCM Pulse-code modulation Pulskodad modulering

PDM Pulse-density modulation Pulsdensitetsmodulering

PNPWM Pseudo-natural PWM Pseudonaturlig PWM

PP Poly phase Flerfas

PWM Pulse-width modulation Pulsbreddsmodulering

Q Quantizer Kvantiserare

Σ∆ Sigma-Delta

SNR Signal-to-noise ratio Signal-till-brus förhållande

THD Total harmonic distortion Klirrfaktor

THD+N THD and noise Klirrfaktor och brus

UPWM Uniform sampling PWM Likformigt samplad PWM

VHDL VHSIC HDL

VHSIC Very High Speed IC IC med mycket hög hastighet

WEE Width Error Estimation Breddsfeluppskattning

Kapitel 2

Förstärkarklasser

I detta kapitel ges en kort översikt av vanligt förekommande analoga förstärkar-klasser. Även principen bakom klass D och dess utgångssteg beskrivs.

2.1

Analoga förstärkarklasser

Förstärkning av ljudsignaler från signalnivå till högtalarnivå kan ske på flera oli-ka sätt. Vanligen har denna förstärkning skett i den analoga domänen där flera välkända förstärkarklasser finns. Den enklaste av dessa är klass A-förstärkaren där endast en transistor används för förstärkning av hela signalperioden. Klass A-förstärkarens stora nackdel är dess ineffektivitet med en teoretisk maximal verk-ningsgrad på 50% då en sinusformad insignal används (beräknat i [14, s.317]). En effektivare konstruktion är klass B, där förstärkningen delats upp mellan två transistorer, varav den ena förstärker signalens positiva delar och den andra dess negativa. Detta ger en ökad verkningsgrad men på bekostnad av övergångsdistor-sion då signalen byter transistor. I klass AB, som är en kombination av A och B, har detta problem reducerats genom att båda transistorerna leder något mer än halva perioden. Principerna för klass A och B visas i figur 2.1(a) respektive 2.1(b) och finns utförligt beskrivna i [14] och [10].

(a) Klass A (b) Klass B

Figur 2.1.Principskiss över analoga klass A- och klass B-förstärkare.

8 Förstärkarklasser

2.2

Klass D-förstärkare

De analoga förstärkarnas låga verkningsgrad beror på deras konstruktion där tran-sistorn arbetar kring en statisk arbetspunkt som valts där trantran-sistorn förstärker linjärt. Området kring denna arbetspunkt brukar kallas det aktiva området. För en klass B-förstärkare fås maximal förlusteffekt 50% vid en viss kritisk utstyrning som beror av insignalen. Om en ideal klass B-förstärkare matas med fyrkantsspän-ning går ingen effekt förlorad vid full respektive ingen utstyrfyrkantsspän-ning [14, kapitel 10]. Detta är även förstärkningsprincipen för en klass D-förstärkare. Användningen av transistorn som brytare ger en betydligt högre verkningsgrad, ofta uppåt 90% i reella tillämpningar (rapporterat i [2] och [10]). Denna egenskap har gjort att klass D-förstärkarens popularitet ökat kraftigt de senaste åren inte minst i mobila tillämpningar. 3:0 PRGXODWRU 8WJnQJV VWHJ 3DVVLYW OnJSDVVILOWHU

Figur 2.2.Principskiss över klass D-förstärkare.

Ett enkelt klass D-system (presenterat i [6]) består av signalbehandling i flera led. Som kan ses i figur 2.2 moduleras den analoga insignalen först till ett digitalt pulståg, vanligen genom pulsbreddsmodulering (PWM), vilket sedan förstärks i utgångssteget. Efter förstärkningen lågpassfiltreras pulståget för att återskapa en förstärkt analog signal.

2.2.1

Utgångssteg

Den del som effektmässigt förstärker modulatorns pulstågbenämns utgångssteg. Består utgångssteget av två transistorer enligt figur 2.3(a) kallas det halvbrygga. Alternativet är fyra transistorer som bildar ett H enligt figur 2.3(b) och kallas då helbrygga eller H-brygga efter liknelsen med bokstaven. Motivationen bakom klass D-förstärkare är som tidigare nämnts effektiviteten, lägre effekt hos strömförsörj-ningen och relaxerade krav på kylning.

Pulståget är från modulatorn helt binärt och kan liknas vid en strömbrytare, antingen är brytaren ledande eller inte. I praktiken är denna förenkling inte helt korrekt eftersom transistorns stegsvar inte är idealt, utan det tillkommer falltider och stigtider. I ideala modeller räknas sällan stig- och falltiderna med. Försum-mas stigtiderna eller falltiderna i praktiken förlorar utgångssteget en stor del av sin effektivitet och därmed sin låga arbetstemperatur. Båda transistorerna som motsvarar låg respektive hög kommer då att leda samtidigt vilket i sin tur ger genomslag1_{som visas i figur 2.4(a). För att kringgå detta problem så introduceras} ett litet tidsglapp som kallas dödtid mellan hög nivå respektive låg nivå (illustreras

2.2 Klass D-förstärkare 9

i figur 2.4(b)) så att ledande transistorer inte kortsluter spänningskällan. Dödtiden ser till att upprätthålla effektiviteten, men introducerar istället distorsion. I prak-tiken handlar det om en avvägning mellan distorsion och energiförbrukning, men dödtiden får inte vara för kort eftersom systemet då överhuvudtaget inte fungerar. I tabell 2.1 tas en del av fördelarna med klass D jämfört med klass AB upp.

87 $ $ (a) Halvbrygga 87 $ $ % % (b) Helbrygga

Figur 2.3.Halv och hel H-brygga för förstärkning av PWM-signal.

(a) Illustration av genomslag. (b) Illustration av dödtid för att undvika ge-nomslag.

10 Förstärkarklasser

Kategori Fördel för Klass D Klass AB

Effektivitet Utmärkt effektivitet.

Effektiviteten förbättras med den tekniska utvecklingen av utgångssteg.

Fixerad effektivitet.

Kan driva lågimpedanslast. Extremt ineffektiv vid lågim-pedanslast.

Kan driva en reaktiv last såsom högtalare.

Extremt ineffektiv vid reaktiv last.

Energiflöde Energiflödet är dubbelriktat och reflekterad energi åter-vinns vid spänningskällan.

Reflekterad energi går förlo-rad som värme.

Drivbarhet Har mycket låg utimpedans. Kan med modifieringar ha låg utimpedans.

Små laster belastar inte spän-ningsmatningen tungt.

För en given uteffekt med minsknade last ökar förlust i slutsteg.

Bred effektbandbredd, kan driva höga frekvenser utan ansträngning.

Begränsad effektbandbredd. Linjäritet Linjär arkitektur. (NPWM) Exponentiell för BJT och

kvadratisk för MOSFET. Återkoppling nödvändig för linjarisering.

Övergångsdistorsion gäller in-te vid nollnivån.

Övergångsdistorsion vid ar-betspunkt i nollnivån.

Stabilitet Termiskt stabil. Temperaturberoende vid

ar-betspunkt. Bruskänslighet Inherent immun mot

stör-ningar.

Svag mot högfrekventa stör-ningar.

Tillförlitlighet Lägre arbetstemperatur ger bättre tillförlitlighet och mindre slitage på omgivning.

Kapitel 3

Pulsbreddsmodulering

-PWM

En pulsbreddsmodulerad signal består av ett tåg av digitala pulser med varierande bredd. Pulsernas olika bredder (utbredning i tidsled) är proportionella mot insig-nalens amplitud under varje moduleringscykel. Moduleringen kan ske genom att insignalen jämförs med en bärvåg enligt figur 3.1. PWM-signalen är hög så länge insignalen är större än bärvågen. Tsbetecknar längden av varje moduleringscykel. Varje moduleringscykel inleds med att bärvägen har sitt lägsta värde, när den når sitt toppvärde påbörjas nästa. Figur 3.2 visar en konstruktion för att realisera PWM-moduleringen i figur 3.1 med hårdvara.

3:0 LQVLJQDO

ElUYnJ

7V

Figur 3.1.PWM-modulering av analog signal genom jämförelse med bärvåg.

&203 



Figur 3.2.Konstruktion för analog realisering av moduleringen i figur 3.1.

12 Pulsbreddsmodulering - PWM

När en analog signal PWM-moduleras genom att jämföra med en analog bär-våg erhålls vad som kallas pulsbreddsmodulering med naturlig sampling, NPWM. I hela detta kapitel förutom i avsnitt 3.5 antas PWM-moduleringen ske med na-turlig sampling. Vid en helt digital implementering av PWM-modulatorn måste dock insignal och bärvåg digitaliseras1 _{vilket ger oss pulsbreddsmodulering med} likformig sampling, UPWM. UPWM diskuteras vidare i avsnitt 3.5.

PWM-signaler klassificeras vanligen utifrån tre grundläggande egenskaper. Des-sa är:

1. Samplingsprocessen. Detta beskriver hur sampligen av insignalen gått till och utgörs exempelvis av: Naturlig (N) eller likformig (U). För beskrivning se ovan respektive avsnitt 3.5.

2. Switchningsmetoden. AD- eller BD-modulering. Switchningsmetoden beskri-ver hur utgångsstegets transistorer switchas. Se avsnitt 3.3 respektive 3.4. 3. Det tredje värdet anger om moduleringen skett på PWM-pulsernas ena eller

båda flanker. Enkelsidig (S) eller dubbelsidig (D) modulering. Se avsnitt 3.1 repektive 3.2.

De tre egenskaperna sätts sedan ihop till en förkortning som beskriver PWM-signalen. En PWM-signal som skapats genom naturlig sampling, där utgångssteget switchas med BD-teknik och moduleringen endast skett på en av flankerna får exempelvis förkortningen NBDS. I tabell 3.1 visas de olika möjliga förkortningarna.

Samplingsmetod Nivåer Modulationsflank Förkortning

Naturlig sampling (NPWM)

Två (AD) Enkelsidig (S)_{Dubbelsidig (D)} NADS_NADD Tre (BD) Enkelsidig (S)_{Dubbelsidig (D)} NBDS_NBDD

Tabell 3.1.Möjliga förkortningar för NPWM-signaler.

3.1

Enkelsidig PWM

I exemplet i figur 3.1 moduleras insignalen genom att jämföras med en sågtandsfor-mad bärvåg. PWM-signalens stigande flanker återkomer då med ett fast intervall vid början av varje ny moduleringscykel. Den information insignalen bär, dess amplitud, representeras i PWM-signalen endast av när pulsens fallande flank in-träffar. Den stigande flanken återkommer med ett fast intervall. Att modulera med hjälp av sågtandsvåg kallas på grund av detta enkelsidig modulering.

Vid enkelsidig modulering samplas insignalen en gång varje moduleringscykel. För att kunna återskapa hela frekvensinnehållet i insignalen efter sampling gäller i vanliga fall att samplingsteoremet sats 3.1 (hämtad från [21]) måste vara uppfyllt.

3.2 Dubbelsidig PWM 13 Sats 3.1 Samplingsteoremet. Om en tidskontinuerlig signal x(t) är strikt

band-begränsad med bandbredden f0, så att fouriertransformen X(ω) = 0 för |ω| > 2πf0, kanx(t) fullständigt återskapas från den samplade signalen x[n] om sam-pelfrekevensenfs väljs så att

fs> 2f0

I detta fall är dock inte samplingsteoremet tillräckligt eftersom samplingen sker genom att jämföra med den tidskontinuerliga bärvågen. För att undvika att bärvågen korsar insignalen mer än en gång per moduleringscykel måste bärvågens derivata vara större än insignalens. Detta ger för sinus-formiga signaler vid en-kelsidig modulering och modulationsindex2 _{1 samplingsvillkoret f}

s= πf0, där fs och f0 är bärvågens respektive insignalens frekvens.

Bevis

ys och y0 betecknar bärvåg respektive sinusformad insignal, Ts är tiden för varje

mo-duleringscykel. Modulationsindex 1 ger sinusvågens amplitud ±0,5 eftersom bärvågens amplitud är normerad till 1.

ys= 1 Ts t= fst, 0 ≤ t ≤ Ts y0= 0, 5 sin(ω0t), ω0= 2πf0 max(d dtys) > max( d dty0) max(fs) > max(cos(2πf0t)πf0) fs> πf0 

3.2

Dubbelsidig PWM

Ett annat sätt att göra moduleringen är jämföra med en triangelformad bärvåg. När insignalen jämförs med triangelvågen moduleras PWM-pulsens både stigan-de och fallanstigan-de flank. Detta kallas därav dubbelsidig modulering och visas i figur 3.3. En av fördelarna med dubbelsidig modulering jämfört med enkelsidig är att den effektiva modulationsfrekvensen fördubblas, om samma moduleringsperiod Ts behålls, utan att switchfrekvensen hos utgångssteget ökar [15, kapitel 2]. Detta för att insignalen korsas två gånger av bärvågen per moduleringscykel så att även PWM-pulsens stigande flanker bär nyttig information om insignalens amplitud. Eftersom insignalen samplas två gånger per moduleringscykel blir samplingsvill-koret för dubbelsidig modulering:

fs>

π

2f0

14 Pulsbreddsmodulering - PWM

3:0

7V

Figur 3.3.Dubbelsidig modulering med triangelvåg.

3.3

AD-modulering

AD- och BD-modulering är scheman över hur utgångsstegets olika transistorer sluts och öppnas för att förstärka PWM-signalen. Det enklaste schemat fås vid AD-modulering där endast en PWM-signal används. Denna signal och dess in-vers kopplas till de olika transistorerna enligt tabell 3.2. Vid AD-modulering kan både halv och hel H-brygga användas. I figur 3.4 visas hur PWM-signalen ska-pas. Där visas också resulterande differentiell och common mode-spänning mellan H-bryggans utgångar3_{vilket endast är relevant då hel H-brygga används. Den} dif-ferentiella spänningen är beräknad med signalen PWM som positiv referens och PWM inv som negativ enligt:

Differens= PWM − PWMinv

Common mode-spänningen kan här sägas vara lastens medelpotential i förhål-lande till jord och beräknas som:

Common Mode= PWM− PWMinv

2

PWM PWMinv

Halv H-brygga A+

A-Hel H-brygga A+, B- A-, B+

Tabell 3.2.Inkoppling av AD-modulerad PWM-signal.

3

Den faktiska spänningen beror av utgångsstegets matningsspänning men är här, av läsbar-hetsskäl, normerad till 1.

3.4 BD-modulering 15 3:0 3:0LQY     'LIIHUHQV    &RPPRQ PRGH    Figur 3.4.AD-modulering.

3.4

BD-modulering

Ett något mer avancerat schema för att styra utgångsstegets transistorer är BD-modulering. BD-modulering kan endast användas med hel H-brygga och varje transistor styrs individuellt med varsin signal. Detta gör det möjligt att utnyttja tre olika differentiella spänningsnivåer hos utsignalen mellan utgångsstegets ut-gångar. På grund av detta kallas BD-modulerad PWM även för tre-nivåers PWM. I figur 3.5 visas hur en BD-modulerad signal skapas. En BD-modulator består av två identiska AD-modulatorer där den ena matas med en inverterad insignal. På detta sätt skapas två PWM-signaler som kopplas till vardera sida av utgångsste-get. Differentiell och common mode-signal skapas på samma sätt som i fallet med AD-modulering. På grund av att lasten kopplas differentiellt mellan utgångsstegets utgångar finns det vid BD-modulering två lägen där det inte ligger någon potenti-alskillnad över lasten. Detta är när utgångsstegets båda sidor matar samma nivå, d.v.s. när A+, B+ = 1 och A-, B- = 0 respektive när A+, B+ = 0 och A-, B- = 1. Dessa båda fall uppkommer aldig när AD-modulering används eftersom de båda sidornas PWM-signal där är varandras komplement. Ett särskilt intressant fall är då insignalen noll används. En BD-modulator ger i det läget konstant differensen noll på utgången medan en AD-modulator ger en sekvens av ettor och nollor med 50% periodtid vardera. Tabell 3.3 visar hur de olika PWM-signalerna kopplas till utgångsstegets transistorer. Ytterligare avancerade scheman med fler än tre nivåer är möjliga att realisera om utgångssteget utökas. Exempel är PSCPWM som visas

16 Pulsbreddsmodulering - PWM

i [15, avsnitt 2.5]. Ämnet ligger dock utanför detta examensarbetes omfång varför närmare studie inte gjorts.

3:0% 3:0$ 3:0_LQY% 3:0_LQY$         'LIIHUHQV    &RPPRQ PRGH    Figur 3.5.BD-modulering. PWM A PWM B PWMinv A PWMinv B Hel H-brygga A+ B+ A-

B-Tabell 3.3.Inkoppling av BD-modulerad PWM-signal.

3.5

Digital PWM

I föregående avsnitt har PWM-moduleringen av den analoga insignalen gjorts genom jämförelse med en analog bärvåg. Detta är dock inte möjligt då en PWM-modulator implementeras digitalt vilket är fallet i detta examensarbete. Vid helt digital implementering måste både insignal och bärvåg samplas och kvantiseras

3.5 Digital PWM 17

för att kunna representeras av ett antal ändliga digitala värden. De inkommande samplen till den digitala PWM-modulatorn förutsätts här vara samplade med lika långt mellanrum (konstant samplingsfrekvens). Detta är vad som kallas likformig sampling och ger oss efter PWM-modulering UPWM4_{. Den analoga signalen måste} enligt samplingsteoremet, sats 3.1, samplas med fs> 2f0. Eftersom samplen inte varierar under varje moduleringscykel räcker det vid UPWM att även bärvågens frekvens är fs > 2f0. PWM-modulering med likformigt samplad insignal visas i figur 3.6. En digital PWM-modulator kan realiseras enligt samma princip med jäm-förelse mellan bärvåg och insignal som den analoga modulatorn. Skillnaden är att här har bärvågen ersatts med en räknare och insignalen har samplats, se figur 3.7. Enkelsidig, dubbelsidig, AD- och BD-modulering är tillgängligt även för UPWM. De möjliga förkortningskombinationerna visas i tabell 3.4. Dessutom kan man för dubbelsidig UPWM använda sig av symmetrisk och osymmetrisk modulering. Vid symmetrisk dubbelsidig modulering används samma sampel för att modulera både stigande och fallande flank. Vid osymmetrisk används ett sampel för att modulera stigande flank och nästkommande för att modulera fallande. Detta visas i figur 3.8. Osymmetrisk UPWM kan därför hantera dubbla sampelhastigheten utan att switchfrekvensen hos utgångssteget ökar.

83:0

DQDORJVLJQDO ElUYnJ

VDPSODGHYlUGHQ

Figur 3.6.UPWM-modulering.

Samplingsmetod Nivåer Modulationsflank Förkortning

Likformig sampling (UPWM)

Två (AD) Enkelsidig (S)_{Dubbelsidig (D)} UADS_UADD Tre (BD) Enkelsidig (S)_{Dubbelsidig (D)} UBDS_UBDD

Tabell 3.4.Möjliga förkortningar för UPWM-signaler.

Ett grundläggande problem vid digital realisering av modulator är PWM-signalens upplösning. All kvantisering av den analoga insignalen till en ändlig

18 Pulsbreddsmodulering - PWM 6DPSOH +ROG &203





5lNQDUH FONFQW FONVDPSOH

Figur 3.7.Realisering av digital PWM-modulator.

(a) Symmetrisk (b) Osymmetrisk

Figur 3.8.Principskiss för symmetrisk och osymmetrisk dubbelsidig UPWM.

gital ordlängd ger upphov till kvantiseringsbrus (se avsnitt 6.1) och ett begränsat dynamiskt omfång. En stor ordlängd är alltså eftersträvansvärt vid digital behand-ling av signalen för att mildra dessa oönskade effekter. När PWM-modulatorn översätter ett sampels amplitud till ett värde i tidsledet hos PWM-pulsen måste detta, för att inte införa ytterligare kvantisering, ske med lika hög upplösning som samplets ordlängd. Varje diskret sampelvärde i amplitudled måste alltså kunna översättas till ett unikt diskret värde i tidsledet. I figur 3.9 visas hur PWM-pulser med olika bredd skapas hos en digital PWM-modulator med fyra bits upplösning.

Ts och TPWM är tiden för varje moduleringscykel respektive tiden då den resul-terande PWM-pulsen är hög. Som kan ses räknas bärvågen upp ett steg för varje

TLSB, som betecknar tiden för det minsta upplösningssteget hos PWM-pulsen. En fyrabits räknare ger sexton värden mellan 0 och 15 och alla värden måste genom-löpas under varje moduleringscykel innan nästa kan påbörjas. Detta ställer stora krav på räknarens och komparatorns klockfrekvens som kan ses i exempel 3.1. För att relaxera problemet med orimliga klockfrekvenser kan kvantisering med brus-formning av signalen göras före PWM-modulatorn, se kapitel 6.

Exempel 3.1

En digital PWM-modulator är inkopplad till en CD-spelare för att omvandla dess data till PWM-pulser. Sampel levereras från CD-spelaren till modulatorn med en hastighet av 44,1kHz. Ordlängden hos varje sampel är 16 bitar.

3.5 Digital PWM 19

För att PWM-modulatorn skall klara av att unikt modulera alla sampel som pulsbredder måste 216_{= 65536 olika pulsbredder kunna representeras 44100} gång-er pgång-er sekund. Den måste således arbeta med

44100 · 216

≈ 2,89 GHz vilket är orimligt i så gott som alla implementeringar.

VDPSODWYlUGH

ElUYnJ

7

V

7

3:0

7

/6%

/6%

               

3:0

Kapitel 4

Analys av PWM

Detta kapitel är en matematisk fördjupning med analys av de distorsionskompo-nenter som uppkommer vid pulsbreddsmodulering. Kapitlets syfte är att skapa en djupare förståelse av problematiken med PWM i ljudsammanhang.

4.1

Distorsion hos PWM-modulatorer

Förutom grundtonen uppkommer även oönskad distorsionen efter PWM-modulatorn. Distorsionen består i huvudsak av tre komponenter:

1. Harmonisk distorsion från insignalen på grund av sampling, gäller endast UPWM.

2. Frekvensinnehåll vid bärvågens frekvens och multipler av denna. Inklusive sidband.

3. Intermodulationsdistorsion mellan båda ovanstående komponenter samt mel-lan grundton och komponent 2.

Övertoner och sidband från bärvågen utbreder sig oändligt, om än avtagande, uti-från bärvågsfrekvensen och dess multipler. På grund av detta sträcker de sig ända ner till ljudbandet. Därav är det, enligt Karsten Nielsen [15] och Pascual m.fl. [18], allmänt accepterat att NPWM inför distorsion, om än inte harmonisk. Detta kan även ses i avsnitt 4.2.1. Problemet med distorsion från bärvågen kan reduceras genom att välja en högre bärvågsfrekvens än nödvändigt. UPWM ger dessutom även upphov till harmonisk distorsion på grund av tidskvantisering, sampling, av insignalen. Denna harmoniska distorsion är betydligt större än den distorsion som uppkommer från bärvågen vid, för denna tillämpning, realistiska bärvågsfrekven-ser. Distorsionen från bärvågen kan därför i praktiken oftast försummas (Gwee m.fl. [9]). Ett sätt att mildra problem med harmonisk distorsion vid UPWM är att använda en annan samplingsprocess än likformig (se kapitel 5).

22 Analys av PWM

4.2

Dubbel fourierserieutveckling

Som beskrivits i avsnitt 4.1 inför PWM-modulatorer olika typer av distorsion. Hur mycket av varje distorsionstyp som förekommer beror på vilket moduleringssche-ma som använts. För att kunna jämföra egenskaperna hos de olika schemoduleringssche-mana för NPWM och UPWM som sammanfattats i tabell 3.1 och 3.4 görs här en dubbel fourierserieutveckling. Dubbel på grund av att den innehåller två fundamentala frekvenser, grundtonen från insignalen och bärvågen. Detta ger oss de olika distor-sionskomponenterna som termer i en summa. Att göra en matematisk analys av distorsionen är intressant av två skäl. Dels ger det en uppfattning om hur mycket distorsion de olika schemana inför i förhållande till varandra och dels visar det oss varifrån de olika distorsionskomponenterna härstammar. Det senare är särskilt intressant eftersom det ger oss en möjlighet att optimera de parametrar som har störst inverkan på distorsionen vid implementering av ett givet moduleringssche-ma. Teorin för dubbel fourierserieutveckling är hämtad ur [15, 9, 18].

För att härleda fourierserieutveckligen för NPWM (NADS) börjar vi med att låta u(y) beteckna en sinusformad insignal så att

u(y) = π − Mπ sin(y) (4.1) där M är signalens modulationsindex mellan 0 och 1. Maximal amplitud är således

π med 2π som maximalt topp-till-topp värde. Även bärvågens amplitud går mellan

0 och 2π. För att skapa en förklarande tredimensionell bild införs ett plan, F (x, y), enligt

z = F (x, y) =



1 x − |x|2π≤ u(y)

0 annars (4.2)

där |x|2π är den multipel av 2π som är närmast mindre än x. Planet, streckat där det har värdet 1, är skissat i figur 4.1. Vi ser där att planet är sinusformat utifrån insignalen i x-led och upprepas med 2π intervall längs både x- och y-axeln.

För att kunna skapa den eftersökta PWM-signalen utifrån figur 4.1 måste ett plan införas som motsvarar bärvågen. Vi relaterar x− och y−koordinaterna till tid på följande sätt:

x = ωct (4.3)

y = ωt (4.4)

där ωc och ω är bärvågens respektive insignalens frekvens. För att med marginal uppfylla samplingsvillkoret för NPWM väljs frekvensförhållandet ωc

ω = 6. Detta ger att planet för bärvågen går mellan origo och y = π, x = 6π. Skärningen mellan bärvågens plan och planet F (x, y) ger oss PWM-signalen. Förfarandet visas i figur 4.2.

Istället för att upprepa bärvågen vid olika y-värden när den nått 2π har in-signalen upprepats tre gånger, vilket ger samma resultat. Detta eftersom om xy-planet delas in i kvadrater med sidan 2π ser man att alla sådana kvadrater är identiska eftersom både insignal och bärvåg är periodiska med 2π. En dubbel fou-rierserieutveckling inom detta område är således tillräckligt för att kunna avgöra

4.2 Dubbel fourierserieutveckling 23  ʌ ʌ ʌ ʌ ʌ ʌ ʌ ʌ ʌ [ \ ]  X\ )[\

Figur 4.1.Tredimensionell vy av insignalen över tre modulatonscykler.

Dubbel fourierserieutveckling ges av det allmänna uttrycket

F (x, y) = 1 2A00+ ∞ X n=1 [A0ncos(ny) + B0nsin(ny)] + ∞ X m=1 [A0ncos(ny) + B0nsin(ny)] + ∞ X m=1 ±∞ X n=±1

[Amncos(mx + ny) + Bmnsin(mx + ny)]

(4.5)

Genom att sedan byta ut x och y mot tidsuttrycken i (4.3) och (4.4) fås den sökta PWM-signalen. A och B i (4.5) är fourierkoefficienter och ges av

Amn+ jBmn= 1 2π2 2π Z 0 2π Z 0

F (x, y)ej(mx+ny)dxdy (4.6)

Genom att använda definitionen av F (x, y) från (4.2) kan 4.6 förenklas till

Amn+ jBmn= 1 2π2 2π Z 0 π−Mπ sin y Z 0 ej(mx+ny)dxdy (4.7)

24 Analys av PWM  ʌ ʌ ʌ ʌ ʌ ʌ ʌ ʌ ʌ [ \ ]  X\ )[\ 13:0

Figur 4.2.Tre PWM-pulser skapas genom jämförelse med bärvågen.

Den inre integralen är enkel att lösa. Den yttre är däremot klurigare och löses enklast genom användning av Bessels första integral som lyder

1 2πin 2π Z 0 eix cos(ϕ)einϕdϕ = Jn(x) (4.8)

där Jn är en första sortens besselfunktion av ordning n. Denna definieras som följer: Jn(x) = xn X (−1)mx2m 22m+n_{m!(m + n)!}  (4.9) Genom lösning av (4.7) enligt ovan fås fourierkoefficienterna:

A00 = 1 (4.10) A0n = Am0= Amn= B00= B0n,n6=1 = 0 (4.11) B01 = −₂M (4.12) Bm0 = (−1) m+1 πm J0(πmM) + 1 πm (4.13) Bmn = (−1) m+1 πm Jn(πmM) (4.14)

4.2 Dubbel fourierserieutveckling 25

Koefficienterna och tidsuttrycken sätts in i det allmänna uttrycket för fourierseri-eutvecklingen, (4.5), och vi får: FNADS(x, y) = 1 + M 2 sin(ωt) + ∞ X m=1 _sin(mω ct) + J0(πmM) πm sin(mωct − mπ)  − ∞ X m=1 ±∞ X n=±1  Jn(πmM) πm sin(mωct + nωt − mπ)  (4.15)

I härledningen ovan har moduleringsschemat NADS använts, därav namnet

FNADS, men dubbel fourierserieutveckling kan naturligtvis göras på motsvarande sätt för alla moduleringsscheman för naturlig sampling. För likformig sampling krävs dock viss modifikation, se avsnitt 4.2.2.

Den första termen i fourierserien 4.15 är en DC-nivå som kommer av att planet

F (x, y) definierats mellan 0 och 1. Denna kan bortses från om man antar att

in-och utsignal är centrerade kring 0. Den har heller ingen inverkan då utsignalen tas ut differentiellt från en hel H-brygga. Andra termen är insignalens grundton. Tredje termen beror av ωc vilket är bärvågens frekvens och beskriver således dis-torsion införd av bärvågen och dess övertoner samt sidband. Den fjärde termen beskriver intermodulationsdistorsion mellan insignalen och bärvågen med överto-ner och sidband. Värt att notera är att det inte finns någon term för insignalens övertoner. Detsamma gäller för alla typer av NPWM. Det går således att kon-statera att NPWM är ideal i termer om harmonisk distorstion [15, avsnitt 2.4.1]. Term tre och fyra beror båda av bärvågens frekvens. Genom att öka denna flyttas dessa distorsionskomponenter till högre frekvenser och kan därav filtreras bort av lågpassfiltret efter utgångssteget.

4.2.1

NPWM

Härledning av samtliga moduleringsscheman för naturlig sampling enligt metoden ovan har gjorts i bland annat [15]. Vi nöjer oss därför med att presentera resultaten utan vidare härledning i tabell 4.1. Harmonier betecknar här hela multiplar av signalen i fråga. n och m är multipelns nummer för insignal respektive bärvåg.

Som tidigare nämnts inför naturlig sampling inte någon harmonisk distorsion från insignalen vilket vi också kan se i tabellen. En annan viktig slutsats är att scheman som utnyttjar BD-modulering är helt fria från bärvågsharmonier. I ut-trycken för intermodulation hos NBDS och NBDD ser vi att denna, dess enda, typ av distorsion försvinner helt för jämna värden på n. Vi kan även se att för NADD försvinner all intermodulationsdistorsion då m + n är ett jämnt tal. Dessutom försvinner alla jämna harmonier från bärvågen.

4.2.2

UPWM

För att fourierserieutveckla en UPWM-signal krävs vissa förändringar. Eftersom UPWM är likformigt samplad är det insignalens värde vid början av varje

modu-26 Analys av PWM Harmonier från insignalen Harmonier från bärvågen

NADS 0 21 − J0(mπM) cos(mπ) mπ NADD 0 4J0 mπ M 2
mπ sin mπ 2  NBDS 0 0 NBDD 0 0

Intermodulation mellan insignal och bärvåg

NADS 2Jn(mπM) mπ NADD 4Jn mπ M 2
mπ sin  (m + n)π 2  NBDS 2Jn(mπM) mπ sin nπ 2  NBDD 4Jn mπ M 2
mπ sin  (m + n)π 2  sinnπ 2 

Tabell 4.1.Distorsionskomponenter införda av de olika schemana för naturlig sampling.

leringscykel som ger PWM-pulsens bredd. Istället för en kontinuerlig bärvåg, som i NPWM-fallet, används här en bärvåg som stegas upp för varje 2π. Detta visas i figur 4.3. De streckade linjerna utgör planet för NPWM-bärvågen och det rutade planet är den nya UPWM-bärvågen.

Planet F (x, y) beskrivs precis som förut av

z = F (x, y) =



1 x − |x|2π≤ u(y)

0 annars (4.16)

Eftersom bärvågen här utgörs av ett stegat plan som når y = π när x = ωc ωπ = 6π definieras det av x = ωct (4.17) y = ω ωc|x|2π (4.18) Även här är |x|2π den närmaste multipeln av 2π mindre än x. Nackdelen med att använda en diskontinuerlig stegad bärvåg vid analys är att xy-planet måste transformeras så att bärvågen uppträder som en rät linje. Vi låter det nya

trans-4.2 Dubbel fourierserieutveckling 27  ʌ ʌ ʌ ʌ ʌ ʌ ʌ ʌ ʌ [ \ ]  X\ )[\  _

Figur 4.3.Tre UPWM-pulser skapas genom jämförelse med bärvågen.

formerade planet heta FT(x, v). Detta görs på följande sätt. Definiera först

v = y + ω

ωc(x − |x|

2π) (4.19)

Bärvågens koordinater i det nya planet blir nu

x = ωct (4.20)

v = ωt (4.21)

och det nya planet begränsas av1

uT(x, v) = π − Mπ sin  v −_ωω c(x − |x|2π )  = π − Mπ sin  v −_ωω c x  (4.22) För att enklare hitta fourierkoefficienterna görs substitutionen

w = v −_ωω

c

x (4.23)

Detta ger att uT(x, v) kan förenklas till

uT(x, y) = π − Mπ sin(w) (4.24)

28 Analys av PWM

Fourierkoefficienterna fås precis som för NPWM genom att lösa

Amn+ jB = 1 2π2 2π Z 0 2π Z 0 F (x, v)ej(mx+nv)_{dxdv (4.25)} där enda skillnaden är att vi här infört vårt nya plan F (x, v). (4.25) förenklas sedan genom att använda att F (x, v) är begränsad, enligt 4.24, till

Amn+ jBmn= 1 2π2 2π Z 0 π−Mπ sin w Z 0 ej(mx+n(w+(ωcω)x))dxdw (4.26) Fourierkoefficienterna beräknas med hjälp av besselfunktioner som tidigare och vi får uttrycket för den dubbla fourierserieutvecklingen. Här har återigen härledning-en gjorts för UADS mhärledning-en dhärledning-en kan på liknande sätt göras för de andra UPWM-schemana. Den sökta dubbla fourierserieutvecklingen för UADS blir

FUADS(x, y) = 1 + ∞ X m=1 Jn(nπM_ωωc) nπω ωc sin(ny) + ∞ X m=1 _{sin(mx) + J} 0(πmM) πm sin(mx − mπ)  − ∞ X m=1 ±∞ X n=±1 " Jn(π(n_ωωc+ m)M) π(nω ωc + m) sin(mx + ny − mπ) # (4.27)

Precis som för serieutvecklingen av NPWM ser vi i (4.27) att första termen är en DC-nivå. Denna term är ointressant av samma anledningar som för NPWM. Andra termen däremot skiljer stort mot NPWM. Det vi ser här är en summa av grundtonen och dess övertoner. Övertonerna kommer av att en olinjäritet införts i och med att insignalen samplats vid början av varje moduleringscykel. Eftersom insignalens övertoner är multipler av insignalens frekvens förekommer de även inom det hörbara ljudbandet. Detta gör att de inte går att filtrera bort med lågpass-filtret efter utgångssteget. En lösning på problemet med övertoner från insignalen (harmonisk distorsion) är att använda en mer sofistikerad samplingsprocess (se kapitel 5). Term tre och fyra betecknar även här harmonier från bärvågen respek-tive intermodulationsdistorsion mellan insignal med harmonier och bärvåg med harmonier.

Tabell 4.2 visar distorsionskomponenterna skapade av UPWM-modulering. Som i tabell 4.1 betecknar n och m även här harmonins nummer för insignal respektive bärvåg. Vad gäller schemana där dubbelsidig modulation, UADD och UBDD, visar tabellen komponenterna för symmetrisk modulering. Komponenter-na för osymmetrisk dubbelsidig modulering fås genom att byta ut ωc mot ωc

2 och

sin((ω ωc + 1)

nπ

2 ) mot sin(nπ2 ).

Vi kan i tabellen se att alla UPWM-scheman innehåller harmonier av insigna-len. Sämst är UADS som innehåller övertoner vid samtliga multipler av grundto-nen. De övriga tre schemana har bara övertoner på udda multipler på grund av

4.3 Simuleringsresultat UPWM 29 Harmonier från insignalen Harmonier från bärvågen

UADS 2Jn(nπM ω ωc) nπ_ωcω 2 1 − J0(mπM) cos(mπ) mπ UADD 4Jn(nπ M 2 ω ωc) nπω ωc sinω ωc + 1nπ 2  4J0 mπM₂
mπ sin _mπ 2  UBDS 2Jn(nπM ω ωc) nπω ωc sinnπ 2  0 UBDD 4Jn(nπ M 2 ω ωc) nπω ωc sinω ωc+ 1 _nπ 2  sinnπ 2  0 Intermodulation mellan insignal och bärvåg

UADS 2Jn((m + n ω ωc)πM) (m + nω ωc)π UADD 4Jn (m + n ω ωc)π M 2
(m + nω ωc)π sinm+ n1 + ω ωc _π 2  UBDS 2Jn((m + n ω ωc)πM) (m + nω ωc)π sinnπ 2  UBDD 4Jn (m + n ω ωc)π M 2
(m + nω ωc)π sinm+ n1 + ω ωc _π 2  sinnπ 2 

Tabell 4.2.Distorsionskomponenter införda av de olika schemana för likformig sampling.

sin(nπ₂ )-faktorn. Detta ger en stor fördel eftersom det bland annat tar bort första övertonen (n = 2), som även är den starkaste, då övertonerna avtar i amplitud ju högre nummer de har. Insignalens harmonier beror starkt på modulatinsindex. Ju större modulationsindex desto mer distorsion. Detta beror på att vid stort modu-lationsindex blir olinjäriteten större eftersom amplitudsteget mellan samplen ökar [15, avsnitt 3.3.1]. Harmonierna från bärvågen är desamma som för NPWM och vi kan se att även här tar BD-moduleringen bort samtliga av dessa. Intermodula-tionsdistorsionen är i samma storleksordning som för NPWM.

4.3

Simuleringsresultat UPWM

Simuleringar av ett flertal olika UPWM-scheman har genomförts för att verifiera teorin. Nedan presenteras ett urval. I figur 4.5, 4.6 och 4.7 visas frekvensinne-håll för en UADS-modulator där upplösningen varierats mellan 6, 8 och 10 bitar. Insignalen är en 1 kHz sinusvåg med sampelfrekvensen 48 kHz. Således är även bärvågsfrekvensen 48 kHz. I figur 4.4 visas insignalen när den kvantiserats till 6 respektive 10 bitar för att anpassas till PWM-modulatorerna. 8 bits kvantisering

30 Analys av PWM

har utelämnats för att göra figuren överskådligare men dess värden ligger mitt emellan 6 och 10 bitar. Kvantiseringen ger upphov till övertoner och brusgolv. Vi kan tydligt se en förbättring då 10 bitar används jämfört med 6 bitar.

0 5 10 15 20 -140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0 Frequency (kHz) M a g n it u d e -s q u a re d , d B 6bit 48kHz 10bit 48kHz

Figur 4.4.Insignal till UPWM, 1 kHz sinus samplad 6 bit 48 kHz.

I spektrumen för de olika UADS-modulatorerna, figur 4.5, 4.6 och 4.7, kan vi se att betydliga mängder harmonisk distorsion införs med en första överton på ca -30 dB. Första och tredje övertonen är synliga i figurerna, de andra döljs av brusgolvet respektive läggs ihop med insignalens övertoner. Den harmoniska distorsionen är lika stor hos de tre PWM-modulatorerna. Detta leder oss till att den inte är beroende av PWM-modulatorns upplösning. Den uppkommer istället på grund av ”felaktig” sampling vilket förekommer i alla UPWM-modulatorer, se kapitel 5. Däremot påverkas brusgolvets nivå hos UADS-modulatorerna av upplösningen likt den gjorde hos insignalen i figur 4.4.

I figur 4.8 visas frekvensspektrumet för en 10 bits modulator som använder sig av BD-teknik. Som vi kan se har alla jämna övertoner av insignalen försvunnit precis som teorin förutspått. Detta ger en betydligt lägre harmonisk distorsion eftersom den första, högsta, övertonen försvinner. Ny högsta överton återfinns nu på ca -58dB.

4.3 Simuleringsresultat UPWM 31 0 5 10 15 20 -140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0 Frequency (kHz) M a g n it u d e -s q u a re d , d B 6bit PWM

Figur 4.5.6bit UADS.

0 5 10 15 20 -140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0 Frequency (kHz) M a g n it u d e -s q u a re d , d B 8bit PWM

32 Analys av PWM 0 5 10 15 20 -140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0 Frequency (kHz) M a g n it u d e -s q u a re d , d B 10bit PWM

Figur 4.7.10bit UADS.

0 5 10 15 20 -140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0 Frequency (kHz) M a g n it u d e -s q u a re d , d B 10bit DB-PWM

Kapitel 5

Samplingsprocesser

Som vi sett i avsnitt 4.2.1 och 4.2.2 finns det en markant skillnad mellan naturlig och likformig sampling när det gäller harmonisk distorsion från insignalen. Natur-ligt samplad modulering är idealt i detta avseende eftersom den inte inför någon sådan distorsion alls. Likformigt samplad modulering däremot inför en påtaglig mängd harmonisk distorsion. Vissa av UPWM-schemana erbjuder lägre THD än andra men alla är långt ifrån det ideala NPWM. En samplad och kvantiserad signal är en förutsättning då en PWM-modulator implementeras helt digitalt. NPWM är alltså där inte en möjlig lösning. Istället måste ett sätt hittas för att linjärisera UPWM, d.v.s. för att få UPWM att uppföra sig som NPWM.

83:0 DQDORJVLJQDO ElUYnJ VDPSODGHYlUGHQ 13:0 'LIIHUHQV

Figur 5.1.Skillnad mellan naturlig och likformig sampling.

34 Samplingsprocesser

I figur 5.1 visas både naturlig och likformig sampling av samma signal. Vi ser här att de resulterande PWM-signalerna skiljer sig åt. Detta beror på, som syns i bilden, att vi för UPWM jämför bärvågen med ett konstant sampelvärde som inte tillåts ändras under moduleringsperioden. Den signal som är betecknad Differens är skillnaden mellan UPWM och NPWM och beräknas

Differens= NPWM − UPWM

Figur 5.2 visar en förstoring av en moduleringscykel. S1 och S2 är två på varandra följande sampelpunkter. Vi ser här tydligt att eftersom den analoga sig-nalen tillåts variera under moduleringscykeln får vi inte samma skärningspunkt med bärvågen för likformig och naturlig sampling. Detta ger upphov till olika långa pulser, TUPWM och TNPWM, för de olika moduleringstyperna.

DQDORJVLJQDO ElUYnJ VDPSODWYlUGH 6 6 616 VNlUQLQJVSXQNW 13:0 783:0 713:0 686 VNlUQLQJVSXQNW 83:0 ElUYnJ

Figur 5.2.Förstoring av samplingsförfarandet vid NPWM och UPWM.

Mycket forskning har gjorts på att ta fram effektiva metoder för att linjärisera UPWM-modulatorer. Enligt Karsten Nielsen [15] har forskningen inriktats på i huvudsak tre olika tillvägagångssätt:

5.1 Linjär interpolation - LPWM 35

• Förkompensering.

• Återkoppling från modulatorns eller utgångsstegets utgång.

• Metoder för att emulera utsignalen från modulatorn för att på så sätt kunna bilda en intern digital återkoppling.

Vi har i detta examensarbete valt att närmare studera metoder för förkompense-ring eftersom denna inriktning är väl grundlagd i forskning och lämpar sig väl för helt digital implementering. Nedan beskrivs ett antal sådana metoder.

I figur 5.3 åskådliggörs förkompenserarens plats i signalkedjan. De streckade blocken kan i detta kapitel ses som valfria men beskrivs närmare i kapitel 7 re-spektive 6. 83:0 PRGXODWRU 8WJnQJVVWHJ /3ILOWHU ,QWHU SROHULQJ )|U NRPSHQVHULQJ 6LJPDGHOWD PRGXOHULQJ 'LJLWDO LQVLJQDO

Figur 5.3.Förkompenserarens position i signalkedjan.

5.1

Linjär interpolation - LPWM

Metoder för förkompensering arbetar med att förändra de inkommande samplen till PWM-modulatorn så att modulatorns distorsion kompenseras redan innan den uppstår. Eller snarare; förkompenseringen inför distorsion som tillsammans med modulatorns distorsion tar ut varandra.

Konkret är det vi vill göra att beräkna ett nytt bättre värde på sampelpunkten

S1 i figur 5.2. Idealt vore om S1 hade samma y-värde som skärningspunkten för naturlig sampling, SNS. Om detta kompenserade sampel sedan moduleras med en UPWM-modulator skulle den ge identisk utsignal med NPWM och alltså vara fri från harmonisk distorsion. I figur 5.4 visas principen för förkompensering med lin-jär interpolation som även beskrivs i avsnitt 7.2.1. Denna metod bygger på att två på varandra följande sampel, här S1och S2, läses in från insignalen. Det vi vet är att den analoga signalen passerar genom dessa båda punkter, men vi vet ingenting om dess utseende däremellan. Vi approximerar därför den analoga signalen med den räta linjen S1S2. Genom att beräkna skärningspunkten SLI mellan bärvågen och linjen S1S2får vi det sökta värdet y(SLI), som ger oss en bättre approxima-tion av SNS än vad S0 är. Förkompensering med linjär interpolering är utförligt beskriven av Gwee m.fl. i [9]. Nedan följer en matematisk beskrivning.

Bärvågen i figur 5.4 går mellan 0 och M, som är vårt modulationsindex, under moduleringstiden Ts. För enkelhets skull är båda dessa normerade till 1. Bärvågens ekvation under ett moduleringsintervall blir då

36 Samplingsprocesser 686 VNlUQLQJVSXQNW 83:0 DQDORJVLJQDO ElUYnJ VDPSODWYlUGH 6 6 616 VNlUQLQJVSXQNW 13:0 783:0 713:0 ElUYnJ 7/3:0 7/3:0 6/, VNlUQLQJVSXQNW /3:0 \6/, 7V 0 \616

Figur 5.4.Linjär interpolation mellan S1och S2.

där t är tiden längs x-axeln. Linjen S1S2 får ekvationen

yLI(t) = (S2− S1)t + S1

Enkel matematik ger nu att skärningspunkten mellan dessa båda linjer påträffas för

t = TLPWM= S1 1 − S2+ S1

Eftersom samplingsintervallet är normerat till 1 i både tids- och amplitudled är

TLPWMockså värdet på den sökta sampelnivån y(SLI).

Ett sätt att göra LPWM än mer effektivt är att först översampla och inter-polera insignalen och sedan bilda linjär interpolation mellan alla de nya samplen. När samplingsfrekvensen ökar p.g.a. översamplingen minskar skillnaden mellan samplen. Detta gör att ju högre översamplingen är desto bättre approximation är en rät linje. LPWM med två gångers översamplad och interpolerad insignal visas i figur 5.5.

5.2 Weighted PWM - WPWM 37 686 VNlUQLQJVSXQNW 83:0 DQDORJVLJQDO ElUYnJ VDPSODWYlUGH 6 6 616 VNlUQLQJVSXQNW 13:0 783:0 713:0 ElUYnJ 7/3:0 7/3:0 6/, VNlUQLQJVSXQNW /3:0 \6/, 0 \616 LQWHUSROHUDWYlUGH 7V

Figur 5.5.Linjär interpolation med 2x översampling.

Trots att LPWM matematiskt är mycket enkel kan divisionen innebära pro-blem vid digital implementering. Detta eftersom en division ofta kräver flera gång-er mgång-er hårdvara än en addition, subtraktion och även multiplikation av samma ordlängd. Därför har forskning inriktats på att ta fram beräkningseffektivare för-kompenseringsmetoder. Bland dessa finner vi bland annat WPWM [11], Algoritm A och Algoritm B [17]. Dessa algoritmer är patenterade av Bang & Olufsen A/S respektive Motorola Inc. men förtjänar ändå att nämnas på grund av deras beräk-ningseffektivitet.

5.2

Weighted PWM - WPWM

WPWM är en metod för att förenkla beräkningarna i LPWM. Detta genom att approximera divisionen som en summa av multiplikationer. Förutsatt att insig-nalen befinner sig i amplitudområdet från 0 till 1 börjar man med att teckna ett uttryck för skillnaden mellan två på varandra följande sampelvärden S1 och S2. Detta enligt

38 Samplingsprocesser

Sedan skapas ett viktat iterativt uttryck

tp,i+1= S1(1 − tp,i) + S2tp,i= S1+ tp,i(k)

värdet av tpblir en bättre approximation av LPWM-värdet för varje iteration. När N går mot oändligheten bildas summan

tp,N = N −1

X i=1

S1ki+ tp,0kN

som konvergerar mot LPWM. Om utgångsgissningen t0väljs till S1förenklas sum-man ytterligare och vi kan visa sambandet med LPWM.

tp,∞= ∞ X i=0 S1ki= S1 1 − k = S1 1 − S2+ S1 = TLP W M

Enligt [11] och [20] krävs 5 iterationer för att approximera ett LPWM-värde med 16 bits noggrannhet. Därtill sägs att 16 bits noggrannhet inte är realistiskt vid implementering om systemet begränsas av PWM-modulatorns upplösning och fak-tumet att LPWM i sig är en icke perfekt approximation av NPWM. Sammantaget är rekommendationen att två iterationer ger tillräcklig noggrannhet vilket ger oss ekvationen

tp,2= S1(1 + k + k2)

som kräver fem additioner/subtraktioner och fyra multiplikationer per förmedlat sampel. I [11] presenteras även ett tillägg till WPWM kallat WEE vilket står för Width Error Estimation. Tillägget bygger på att man studerat hur WPWM uppför sig jämfört med NPWM och att man sedan tagit fram en felfunktion som beskriver felet utifrån de två givna sampelvärdena. Med hjälp av detta kan man sedan kompensera WPWM ytterligare till en kostnad av en addition och två mul-tiplikationer. Som kuriosa kan nämnas att tekniken WPWM+WEE är vad som används i Bang & Olufsens berömda ICEpower-förstärkare.

5.3

Pseudo-Naturlig sampling - PNPWM

Eftersom LPWM och WPWM bara använder sig av två sampelpunkter går det inte att säga någonting om hur den analoga signalen varierar mellan dessa. Ett något mer sofistikerat sätt att göra förkompenseringen är att använda fler punkter och på så sätt få en uppskattning av hur signalen beter sig. En sådan metod är Pseudo-Naturlig sampling, PNPWM, som introducerades av Goldberg och Sandler [8] 1991. Metoden bygger på att ett polynom anpassas mellan sampelpunkterna och att sedan Newton-Rhapsons metod används för att hitta korsningen mellan polynomet och bärvågen. Linjär interpolation kan sägas vara ett specialfall av PN-PWM eftersom en rät linje beskrivs av ett polynom av första ordningen. PNPN-PWM kan implementeras med approximationspolynom av varierande ordning. Men som vi kommer se i avsnitt 7.2.5 begränsas vi av Runges fenomen till att använda lägre ordningstal. Dock bör nämnas att hårdvarukraven för PNPWM växer snabbt med

5.4 Algoritm A och B 39

approximationspolynomets ordning, vilket sannolikt blir den begränsande faktorn vid implementering. T.ex. kräver PNPWM med ett femte ordningens lagrange-polynom (6 sampelpunkter) 28 additioner, 32 multiplikationer och 2 divisioner för varje sampel som skall beräknas.

5.4

Algoritm A och B

Algoritm A och B, presenterade i [17], är två algoritmer som utnyttjar information från fyra sampelpunkter för att beräkna den mest optimala skärningspunkten. De är ett försök att efterlikna PNPWM men med effektiviserade beräkningar.

DQDORJV LJQDO     \[   \] \ _\F \[¶ 6E 6D SF 6G 6F SG SG¶ GG GF  W[ SD¶ ElUYnJ W

Figur 5.6.Illustration av Algoritm A och B.

Den enklare Algoritm A går ut på att en rät linje skapas mellan sampelpunk-terna Sa och Sb i figur 5.6. Utifrån denna linje projiceras punkterna pd och pc. Avstånden dd och dc används sedan för att beräkna den sökta skärningspunkten

yc som

yc≈ yx+ α(dc+ dd)(1 − t2x)

där α är en konstant som måste bestämmas empiriskt och beror av sampelperioden. Algoritm B är en tvåstegsversion av Algoritm A. I stora drag går den ut på att först approximera y0genom att en parabolisk korrektionsfaktor läggs till yzenligt

y0≈ yz+ β(dc+ dd)

där β bestäms empiriskt. Det andra steget i algoritmen skapar i sin tur en rät linje mellan y0 och Sb. Beroende på om t0xär positiv eller negativ (se fig. 5.6, signalen är centrerad kring 0) används sedan två olika formler för att lägga till ytterligare en parabolisk korrektionsfaktor.

40 Samplingsprocesser

5.5

Statisk och dynamisk filtrering

En annan väg att linjärisera UPWM-modulatorn är att använda filtrering. Statisk filtrering ([11, avsnitt 5.1]) bygger på att de inkommande samplen förs genom ett digitalt filter innan de kommer till PWM-modulatorn. Genom att betrakta UPWM-moduleringen som en Taylor-serie

y(k) = x(k) + c2(f)x(k)2+ · · · + cn(f)x(k)n

kan ett så kallat Hammerstein-filter, illustrerat i figur 5.7, konstrueras som gör att de oönskade termerna med c2, c3 . . . cn omintetgörs efter filtrering. Mängden distorsion som reduceras begränsas av filtrets ordning. Enligt [11] är man dock i praktiken begränsad till tredje ordningens filter på grund av att dess komplexitet ökar snabbt med ordningen. Tredje ordningens statisk filtrering ger i storleksord-ningen samma förbättring som LPWM och två iterationers WPWM. Denna teknik är även känd under namnet Equibit.

+I +I +I







; ; [N \N

Figur 5.7.Hammerstein-filter för statisk filtrering.

Dynamisk filtrering, diskuterat i [3], bygger på att förhållandet mellan en PCM-signals och motsvarande PWM-PCM-signals beteende efter lågpassfiltrering studeras. Man ser då att PCM-systemets överföringsfunktion är konstant medan PWM-systemets varierar beroende på samplets värde. PWM-systemet kan utifrån detta modelleras som ett PCM-system med tidsvariabel överföringsfunktion. För att kompensera PWM-systemet införs ett digitalt filter vars koefficienter bestäms in-dividuellt för varje modulering beroende på flera tidigare sampelvärden.

5.6

Beräkningsbehov och prestanda

I tabell 5.1 visas en sammanfattning av antalet beräkningar som går åt för att realisera de olika förkompenseringsmetoderna. Dessa data är hämtade från [17] (UPWM, LPWM, WPWM+WEE, PNPWM, Algoritm A och B) samt från [11] (Statisk filtrering). För dynamisk filtrering har det tyvärr inte gått att hitta några värden på beräkningskomplexiteten. Därför har vi valt att lämna den utanför jämförelserna.