Matematikundervisning med variation ger ökad inspiration

Malmö högskola

Matematikundervisning med variation ger ökad inspiration.

gymnasieskola.

Marie Skedinger-Jacobson

Magisterkurs i utbildningsvetenskap Handledare: Tine Wedege med inriktning mot praktisk pedagogik Examinator: Sven Persson

SAMMANFATTNING

Matematikundervisning med variation ger ökad inspiration.

gymnasieskola.

Denna studies avsikt är att identifiera problem och söka möjligheter, vid genomförandet av matematikkurs B vid samhällsvetenskapsprogrammet på en gymnasieskola. Vidare prövas och ges förslag till åtgärder av identifierade problem. Rektor och matematiklärarna på den skola studien genomfördes önskade att någon med utifrånperspektiv skulle hjälpa till med att hitta förklaringar till varför elevernas studieresultat på samhällsvetenskapsprogrammet sjönk markant mellan de två

obligatoriska matematikkurserna A och B. Skolans förslag var att jag skulle vara med på lektioner och försöka identifiera faktorer, något som jag kom att kalla

”bromsfaktorer”, och utifrån dem föreslå åtgärder. Jag följde undervisningen under ett läsår i 7 klasser och hade seminarieträffar med de undervisande lärarna var sjätte vecka.

Som matematiklärare och lärarutbildare har jag många kontaktytor med andra gymnasieskolor vars lärare också gett signaler om frustration över B-kursens problematik. Man tycker att det är mycket märkligt att inte genomströmningen är högre på samhällsvetenskapliga programmet som ju är ett teoretiskt inriktat program. En allmän uppfattning i den informella diskussionen är att lusten avtar i B-kursen eftersom språnget är för stort mellan A och B-kurs. Med språng menas då en ökad abstraktionsnivå mellan kurserna p g a av att innehållet är mera fokuserat på algebra. Denna hypotes anser jag är rimlig med stöd av Vygotskijs teori kring hur progression för individen sker via proximala utvecklingzoner (Vygotskij, 1978). Men kan det verkligen få så stor betydelse för ett teoretiskt inriktat program? Varför kan inte motivation för kunskaper i algebra finnas för dessa elever, som utbildar sig för att kunna göra generella samhällsprognoser mm? Algebra är ju en grundläggande kunskap, för att kunna göra matematiska modeller. Finns det andra anledningar som bromsar? Nyfikenheten och frågorna växte inför uppdraget. Kanske skulle man också kunna dra generella slutsatser av resultaten från en studie på denna skola som kunde komma lärare och elever på andra skolor till del.

Studien på skolan visar på många intressanta resultat om elevers föreställningar om matematik, och att elever och lärare inte alltid har samma uppfattning om vad som sker i klassrummet.

En central avsikt med projektet var att undersöka om en varierad undervisning, i form av att vi t ex införde undersökande aktiviteter, ökade lusten att lära matematik. Resultatet av den delen pekar mot att så är fallet för många elever. Som observatör kunde jag skönja ett mycket större engangemang och glädje hos många elever vid lektionsavsnitt när ett varierat arbetssätt användes. Man kan förstås inte med säkerhet

påstå att det leder till ett bättre resultat i matematikförståelse, eftersom ett sådant jämförelsematerial inte var med i undersökningen. Men detta var heller inte syftet. Ett annat resultat av värde är att projektet gett inspiration till att lärarna vill fortsätta och utveckla matematikundervisningen enligt japanskt modell (TIMSS, 1996). Denna innebär i stora drag att eleverna arbetar med ett större problem under en lektion. Problemet är ”rikt”, d v s innehåller många kunskapsnivåer som möjliggör utmaningar för alla elever. Eleverna arbetar både enskilt och i grupp för att lösa problemet. Lärare och elever avslutar lektionen med att tillsammans göra en grundlig analys av de olika lösningsförslag som presenteras.

Ytterligare resultat av projektet är att det visar betydelsen av att lärarna får tid avsatt i tjänsten för reflektion och analys av deras undervisning. Då ges möjlighet att ventilera och upptäcka att man har gemensamma problem. Det är inte bara fler hjärnor som ökat det laterala tänkandet för att finna kreativa lösningar. Det har också skett ett systematiskt arbete med att utveckla matematikundervisningen. Mitt utifrånperspektiv kunde också vara till glädje när man ”kört fast” i vissa rutiner. Vi identifierade många påverkansfaktorer (bromsfaktorer) för att få en gynnsammare undervisning, men konstaterade också att allt inte kunde lösas i ett svep. Ett positivt resultat av projektet var att skolan fått hjälp med att sätta igång en process mot en förbättrad undervisning av B-kursen i matematik på samhällsvetenskapsprogrammet. Den centrala

framgångsfaktorn som vi bekräftade var att införa en mera varierad undervisning innehållande undersökande aktiviteter.

FÖRORD

Tillkomsten av denna uppsats hade inte kunnat genomföras utan hjälp från många håll. Jag vill därför inleda med att rikta ett stort tack till dem som haft särskild stor betydelse för att uppsatsen kunnat färdigställas.

Först och främst vill jag rikta ett varmt tack till de elever, lärare, lärarstudenter och rektor som deltagit i det projekt som gett underlag för att kunna besvara mina frågeställningar.

Nästa stora tack vill jag ägna jag åt min tålmodiga, vänliga och kunniga handledare, Tine Wedege. Utan hennes fantastiska konstruktiva stöd, i så väl samtal som via mail, hade denna uppsats aldrig kommit till. Hon kom in i ett sent skede, när jag redan hade gjort min empiri under ett helt år utan handledning. All dokumentation i form av enkäter, minnesanteckningar, bandinspelningar mm gjorde jag ”för säkerhets skull” om jag vid ett senare tillfälle skulle vilja skriva en uppsats om projektet. När det nu blev så, innebar det att jag hade ett mycket stor dokumenterat material som behövde struktureras, avgränsas och bearbetas, för att få till stånd en relevant rapport från mitt skolprojekt med titeln: ”Hur kan matematikundervisningen på B-kursen i matematik utvecklas så att lusten att lära ökar och språnget från A - kursen inte upplevs som så stort? ”

Jag vill också tacka Gunilla Svingby och Harriet Axelsson som gett mig uppmuntran och viss tid för skrivande så att rapporten kunnat genomföras.

Slutligen vill jag också ge många kramar till min stöttande och härliga familj. De har tålmodigt accepterat mina djupdykningar i böckerna och datorn i stället för att jag tillbringat tiden med dem.

Malmö den 14 juni 2005 Marie Skedinger - Jacobson

INNEHÅLLSFÖRTECKNING

1. INLEDNING

.

1.1 Bakgrund

1.2 Syfte och frågeställningar

1.3 Disposition av rapportens olika kapitel

2. CENTRALA BEGREPP OCH DOKUMENT

2.1 Definition av begrepp

2.1.1 Vad säger styrdokumenten? 13

2.1.2 Arbetssätt och arbetsformer 13

2.1.3 Matematik 14

2.1.4 Lust (att lära matematik) 16

2.2 Nationella styrdokument

2.1 Gymnasiets kurs B i matematik 17

2.3 Nationella provresultat

3. TEORI OCH FORSKNINGSBAKGRUND

3.1 Attityder, lust och motivation

3.1.1 Ungdomars inställning till matematik ur ett kultursociologiskt perspektiv 21 3.1.2 Vad berättar PISA om motivation? 24

3.2 Teori kring lärande

3.2.1 Vygotskij 25

3.2.2 Konstruktivismen 25

3.2.3 Förståelse 27

3.3 Arbetssätt och arbetsformer

3.3.1 Matematik i särställning 27

3.3.2 Att utveckla arbetssätt och arbetsformer 28

3.4 Klassrumsforskning

3.4.1 TIMSS Video Studies 29

3.4.2 Nationell kvalitetsgranskning ”Lust att lära – med fokus på matematik” 31 3.4.3 Fröken Flinck 33

3.4.4 Undervisningstriaden 34

4.1 Urval

4.2 Datainsamlingsmetoder 36

4.3 Aktionsforskning

4.4 Vägen genom projektet

4.4.1 Kalendarium 41

4.4.2 Lärarträffarna 42

5. RESULTAT

5.1 Hur ofta används olika arbetsformer?

5.2 Vilken bild av, attityd och motivation till matematik har eleverna?

5.2.2 Sammanfattning av arbetsformer som använts 53

5.3 Lärarnas uppfattning om matematik och matematikundervisning

5.4 Lektionsbesök

5.4.1 Normallektion 70

5.4.2 Lektioner med gruppuppgiften ”Finn funktionen” 74

5.4.3 Lektionsbesök med gruppuppgift i algebra 79

5.4.4 Sammanfattande intryck och resultat av lektionsbesöken 83

5.5 Matematik i särställning? En jämförelse med annat ämne

5.6 Kritiska händelser

5.7 Projektets slutenkät

6. DISKUSSION OCH PERSPEKTIV

6.1 Vilka är elevernas uppfattningar om varför man skall läsa matematik?

6.2 Vilka är elevernas och lärarnas uppfattningar om vad matte är?

6.3 Vilka är lärarnas uppfattningar om hur matematikundervisning ska

bedrivas?

6.4 Vilken betydelse har arbetssätt och arbetsformer för lusten att lära?

6.5 Sammanfattande slutsatser

6.6 Avslutning

7. REFERENSER

8. BILAGOR

Bilaga 1. Attitydundersökningsenkät med redovisning av varje enskild klass 109 Bilaga 2. Enkät efter ”Dagens lektion” 154

Bilaga 3. Ex på minnesanteckningar från lärarträffar 159

Bilaga 4. Projektbeskrivning 163

1. INLEDNING

Sommaren 2003 blev jag uppringd av rektor på en stor gymnasieskola (ca 1000 elever). Att jag blev kontaktad berodde nog på att jag sedan tidigare var känd på skolan och gjort lektionsbesök i egenskap av metodiklärare.

Rektorn berättade att elever och lärare inte var nöjda med de studieresultat som eleverna på samhällsprogrammet presterade i matematikkurs B. Man ville ha hjälp med att hitta orsakerna till varför elevernas studieresultat sjönk markant mellan de två obligatoriska matematikkurserna A och B. Skolan hade gott rykte, studiemotiverade elever och höga intagningspoäng. Varför skulle då studieresultaten och intresset för att läsa matematik behöva sjunka mellan de båda kurserna?

Under kommande läsårs B-kursstudier ville skolan att någon med utifrånperspektiv skulle hjälpa till med att söka förklaringar till den beskrivna studiesituationen och bad mig därför att göra det. Rektors och de berörda lärarnas förslag var att jag skulle vara med på lektioner och försöka identifiera faktorer, något som jag kom att kalla

”bromsfaktorer”, och utifrån dem föreslå åtgärder. De frågor vi ställde oss var:

Vad är det för ”fel” på gymnasiets B-kurs i matematik? Varför uppnår inte eleverna på samhällsprogrammet det intresse och resultat man kan förvänta sig? Varför känner inte lärare och elever lust att arbeta med matematiken i denna kurs? Eftersom kursen är obligatorisk för nämnda grupp av gymnasieelever kändes det viktigt att försöka få svar på bl a dessa frågor. Detta vill jag påstå utgjorde drivkraften för att genomföra den ”aktionsforskning” som redovisas i detta dokument.

Studiens avsikt är att identifiera problem och söka möjligheter, vid genomförandet av matematikkurs B vid samhällsvetenskapsprogrammet på en gymnasieskola. Vidare prövas och ges förslag till åtgärder av identifierade problem. Resultatet kan i många delar generaliseras till nationell nivå.

Jag blev mycket intresserad av rektors förfrågan eftersom jag själv redan funderat över varför elever på ett studieförberedande program inte skulle kunna klara av B-kursen nöjaktigt. Jag kände också till att detta var intressant ur ett nationellt perspektiv eftersom 34 % av eleverna på samhällsprogrammet inte fick godkänt resultat på det nationella provet våren 2003 enligt skolverkets rapport

(Gymnasieskolans kursprov läsåret 2002/2003 sid 39). Detta procenttal säger mer om man tillägger att i motsvarande elevkull var 9 % underkända på A-kursen.

(Skolverksrapporten 02:783). 1.1 Bakgrund

Varför är det viktigt att studera B-kursundervisningen?

Som matematiklärare och lärarutbildare har jag många kontaktytor med andra gymnasieskolor vars lärare också gett signaler om frustration över B-kursens problematik. Man tycker att det är mycket märkligt att inte genomströmningen är högre på samhällsvetenskapliga programmet som ju är ett teoretiskt inriktat program. En allmän uppfattning i den informella diskussionen är att lusten avtar i B-kursen eftersom språnget är för stort mellan A och B-kurs. Med språng menas då en ökad abstraktionsnivå mellan kurserna p g a av att innehållet är mera fokuserat på algebra.

Denna hypotes anser jag är rimlig med stöd av Vygotskijs teori kring hur progression för individen sker via proximala utvecklingzoner.(Vygotskij, 1978). Men kan det verkligen få så stor betydelse för ett teoretiskt inriktat program? Varför kan inte motivation för kunskaper i algebra finnas för dessa elever, som utbildar sig för att kunna göra generella samhällsprognoser mm? Algebra är ju en grundläggande kunskap, för att kunna göra matematiska modeller. Finns det andra anledningar som bromsar? Nyfikenheten och frågorna växte inför uppdraget. Kanske skulle man också kunna dra generella slutsatser av resultaten från en studie på denna skola som kunde komma lärare och elever på andra skolor till del.

Jag antog alltså uppdraget men föreslog att vi även skulle ha regelbundna lärarträffar med de fem lärare som undervisade de berörda klasserna. Detta skulle då bli en arena för gemensamma reflektioner om hur arbetet på lektionerna fortskred. Mitt förslag mottogs positivt av rektor som också förankrade det hos lärarna. För att ytterligare understryka betydelsen av vårt gemensamma projekt var rektor med vid första lärarträffen då vi drog upp riktlinjerna för hur vi skulle arbeta framöver.

Min avsikt var att i görligaste mån genomföra studien utan för många förutfattade meningar, vilket naturligtvis är svårt att renodla med en 30-årig bakgrund som matematiklärare. Men utifrån min egen undervisningserfarenhet och efter att ha läst skolverkets kvalitetsgranskningsrapport ”Lusten att lära med fokus på matematik” (Skolverket, rapport nr 221, 2003) och TIMSS internationellt forskningsprojekt (Stiegler och Hiebert, 1999), vilka beskrivs på sid 26 ff , ställde jag arbetshypotesen att en mera undersökande och varierad undervisning skulle minska språnget mellan A- och B-kursen samt därmed öka elevernas intresse för att läsa B-kursen. Denna inriktning kände jag stor lust inför att få pröva. Variationen skulle bl a innebära förutom inslag av undersökande elevaktiviteter, gärna med konkret material (matematiklaborationer), också att eleverna skulle få hjälp med att se sammanhang genom att man startar nya avsnitt med exempel, som ger ett holistiskt perspektiv för eleverna. Lärarna tyckte idén lät fruktbar, varför vi valde att försöka arbeta i den andan. Min uppgift skulle vara att ge förslag på aktiviteter, stimulera, vara bollplank mm.

Innan vi började med att genomföra en mera varierad undervisning, upptäckte jag att det fanns behov av att veta vilka arbetssätt som hittills använts i A-kursen, och i början av B-kursen, samt vilka attityder som eleverna i berörda klasser hade till matematik. Att få denna bakgrundskunskap såg jag som betydelsefull för att förstå det komplexa problem, som det innebär att uppnå kursplanens mål, bl. a. utgör det ett samspel mellan olika människor och därmed många dilemmor. Alla aspekter går förstås inte att undersöka, men eftersom jag tidigare fått insikt i svenska ungdomars föreställningar om matematikämnet, bl a genom egna erfarenheter och från en sociologisk studie, ”Unga vuxna. Kulturmönster och livschanser” (Trondman, 2003), ansåg jag det som viktigt att även ha denna bakgrundskunskap om de elever som ingick i studien. Skolan är en del av samhället och då måste den vara lyhörd för den förändrade ungdomskultur som pågår. En lärares uppdrag innebär att arbeta med ämnet, didaktik samt socialisationsfrågor. Det senare perspektivet får därför utgöra en del av min undersökning, och bli ett stöd i att hitta svar på frågeställningarna.

Min vistelse på skolan fortlöpte under ett läsår eftersom B-kursen var schemalagd så. Jag följde undervisningen i samtliga sju klasser på samhällsvetenskapsprogrammet,

och hade träffar med de fem undervisande lärarna var sjätte vecka. På dessa deltog någon gång även lärarstuderande och skolans rektor, vilket gav ytterligare perspektiv på studien. Innehållet i träffarna varierade, men så gott som varje gång diskuterade vi kritiska händelser, som lärarna hämtade från sina lektioner. Jag valde denna metod ”critical incidents” som definierats av Bell, eftersom den ofta är framgångsrik då skrivandet inte behöver blir så pretentiöst och betungande (Bell, 1995).

Andra aktiviteter på träffarna var att vi diskuterade matematikdidaktiska artiklar och planerade undervisningssekvenser. Då jag ibland såg diskrepanser mellan vad som hände på lektionerna och lärarens intentioner, kändes det viktigt att också utröna vilka uppfattningar lärarna hade om matematik och matematikundervisning (Pehkonen och Törner, 2004; Skott, 2000).

Som framgår av min beskrivning uppstod efterhand som projektet fortskred nya frågor. Därför kom undersökningen och därmed uppsatsen att delas in i olika faser, såsom att identifiera problemet, få kunskap om elever och lärarnas föreställningar om matematik och matematikundervisning, lektionsobservationer, lärarträffar, utformning av undersökande aktiviteter och lektionsplanering.

Mina tankar om matematikundervisning som en ytterligare drivkraft för min studie.

Rapporten ”Lusten att lära - med fokus på matematik”, pekar på ett antal faktorer i matematikundervisningen som gör att många elever känner olust inför ämnet. En av dessa faktorer var avsaknaden av en varierad undervisning, vilket vi därför valde att fokusera i studien. Men även andra faktorer i rapporten, såsom att upplevda

svårigheter i matematik beror på att självförtroendet har knäckts på vägen, kändes också angeläget att undersöka. Min inledande attitydundersökning bekräftade att detta fenomen även fanns i denna elevgrupp, varför min drivkraft att genomföra projektet ökade. Elevernas uppfattning var att matematik är att räkna. Det är det förvisso till en del, men huvudsakligen är det ett sätt att tänka, ett hjälpmedel att sortera sina tankar (Cole, 1999). Varför har inte alla elever fått erfara det efter 10 års

matematikundervisning i skolan? Att deras tanke duger, och att matematik inte är regler som trillat ner från himlen, och som skall tas emot oreflekterat. Varför har inte alla elever fått se att matematik är mer än så - roligt, vackert, ett internationellt språk, spännande och användbart i många sammanhang? Att goda kunskaper i matematik är en demokratisk rättighet för att inte bli vilseförd i vårt komplexa samhälle, som det står skrivet i svenska styrdokument genom åren, och som också uttrycks i en studie av Skovsmose och Valero (Skovsmose och Valero, 2002).

1.2 Syfte och frågeställningar

Undersökningens syfte var att tillsammans med elever och lärare på en gymnasieskola försöka förstå, och hitta orsaker till varför många av eleverna på ett teoretiskt inriktat program, samhällsvetenskapsprogrammet, inte blir godkända på nationella provet för matematikkurs B.

Utgångspunkten är att elevers prestationer i matematik är relaterade till deras

uppfattningar om matematikämnet, men även lärarnas uppfattningar och hur väl dessa stämmer överens med den undervisning som faktiskt bedrivs. Med denna

• Vilka är elevernas uppfattningar om varför man ska läsa matematik? • Vilka är elevernas och lärarnas uppfattningar om vad matematik är?

• Vilka är lärarnas uppfattningar om hur matematikundervisning ska bedrivas? Överensstämmer den med vad som händer i klassrummet?

Vidare vill jag pröva om lusten att läsa matematik B ökar för eleverna, och lusten för lärarna att undervisa motsvarande kurs, om man inför varierade arbetssätt och arbetsformer och regelbundna lärarträffar. Detta leder till ytterligare några frågor:

• _{Ökar lusten att läsa matematik för eleverna om arbetssätt och arbetsformer är} mera varierade?

Vilka arbetssätt och arbetsformer har använts i föregående kurs och i början av B-kursen? Har lärare och elever samma uppfattning om detta?

Har ämnets karaktär betydelse för lärarens val av arbetssätt? Undervisar läraren i samhällskunskap annorlunda på matematiklektionerna jämfört med på samhällskunskapslektionerna?

1.3 Disposition av rapporten.

Under denna rubrik definieras centrala begrepp i uppsatsen. Även vissa av

matematikundervisningens styrdokument som det finns behov hänvisa till finns med. Kapitel 3. Teori och forskningsbakgrund

I detta kapitel redovisas litteratur och forskningsresultat som ger en relevant ram och bakgrund till min studie.

Jag startar med skrivningar kring attityder, lust och motivation.

Därefter har jag valt att fördjupa mig kring Vygotskijs tankar kring lärande och konstruktivismens idéer i samma fråga. Eftersom elever ofta uttrycker behov av förståelse i samband med matematik, finns också teorier kring detta begrepp redovisat.

Kapitel 4. Metod och genomförande

I detta kapitel redovisas mina överväganden och inspirationskällor vid val av metoder som använts såväl i projektet som i uppsatsen. Bl a beskrivs vad aktionsforskning innebär eftersom den metoden använts i en modierad form.

Kapitel 5. Resultat

De svar på mina frågor som framkommit under projektets gång presenteras i detta kapitel. I några fall finner jag det lämpligt att förutom presentation av ”fakta” också diskutera resultatet i direkt anslutning. En mera fördjupad och bredare diskussion av resultaten görs i kapitel 6.

Här förs en diskussion sett ur olika perspektiv, kring de resultat som framkommit av min studie, och som kan ge förklaringar som kan öka förståelsen kring det

övergripande syftet. För att få någorlunda struktur på alla de infallsvinklar kring på problemet som samlats in, har jag valt att behandla frågeställningarna först var för sig. Därefter kommer en avslutande reflektion och sammanfattning kring vad jag lärt av skolprojektet, och av att sedan dokumentera större delen av detta i en uppsats.

2. CENTRALA BEGREPP OCH DOKUMENT

Under denna rubrik redovisar jag begrepp, litteratur och forskningsresultat som ger en relevant ram och bakgrund till min studie.

2.1 . Definition av begrepp

I min beskrivning av undersökningen använder jag mig ibland av termer och begrepp som kan tolkas på mer en ett sätt. Jag väljer därför att presentera några begrepp och texter som är av vikt för min fortsatta redovisning

2.1.1 Vad säger styrdokumenten?

Då Sverige 1994 frångick ett linjesystem och övergick till ett kursutformat gymnasium infördes kursbetyg i stället för ämnesbetyg. Detta innebär att man i avgångsbetyget kan få mer än ett betyg i ett ämne. Från början tilldelade man ämnet matematik fem kurser men utvidgade detta år 2000 till sju kurser, ”Matematik A-E”, som bygger på varandra samt ”Matematik – diskret” och ”Matematik – breddning”. Matematik A är en kärnämneskurs och är obligatorisk för alla program. Den bygger vidare på grundskolans matematik med viss breddning och fördjupning.

B-kursens innehåll som utgör fokus i min studie förklaras nedan med hjälp av citat från den del i kursplanen där ämnets karaktär och uppbyggnad beskrivs:

Matematik B bygger vidare på kunskaper motsvarande grundskolans sannolikhetslära och på Matematik A inom områdena geometri, statistik, algebra och funktionslära. Kursen ger sådana insikter i matematiska begrepp och metoder som möjliggör för eleven att med hjälp av matematiska modeller kunna lösa problem inom olika områden, särskilt med anknytning till utbildningens karaktärsämnen. Dessutom behandlar kursen hur en statistisk undersökning genomförs och värderas. Matematik B är gemensam kurs på estetiska programmet, naturvetenskapsprogrammet,

samhällsvetenskapsprogrammet och på teknikprogrammet. (SKOLFS 2000:5) .

Den svenska gymnasieskolan innehåller 17 nationella program varav två,

naturvetenskaps- och samhällsvetenskapsprogrammet, är direkt studieförberedande. Elever på yrkesförberedande program läser endast kurs A. Medan det i

samhällsvetenskapsprogrammet tillsammans med några andra program ingår även kurs B. Anledningen till det är att kursen är betydelsefull för vidare studier. För naturvetenskapsprogrammet är t o m kurs D obligatoriskt. Det är sedan elevernas fria val att läsa fler kurser om detta krävs för deras eftergymnasiala studier.

2.1.2 Arbetssätt och arbetsformer

Projektet går till stor del ut på att studera följderna av ett förändrat arbetssätt och i viss mån arbetsformer. Jag har valt att definiera dessa begrepp med hjälp av citat ur

läroplanen för grundskola och frivillig skolform. Ur Lgr 80:

Arbetsformer handlar om olika sätt att organisera undervisningen. Eleverna kan arbeta med gemensamma uppgifter i klass eller i mindre grupper, i par eller helt individuellt. Läraren kan vända sig till hela klassen, handleda gruppvis eller individuellt. En variation av stoffets art bör eftersträvas.

Arbetssätt är den metod med vilken man försöker uppnå ett mål, t ex tillägna sig eller lära ut olika kunskaper och färdigheter. I vissa fall är arbetssättet givet. Det går inte att lära sig att samarbeta om man inte får praktisera, man kan inte lära sig disponera en uppgift och redovisa den klart och åskådligt, om man inte tillämpar arbetssätt som kräver detta. Hemuppgifter utgör en del av skolans arbetssätt (Lgr 80 s 42 ff) Ur Lpo 94:

Läraren skall

• se till att alla elever oavsett kön och social och kulturell bakgrund får ett reellt inflytande på arbetssätt, arbetsformer och undervisningens innehåll samt att detta inflytande ökar med stigande ålder och mognad

• svara för att eleverna får pröva olika arbetssätt och arbetsformer (Lpo s 20) 2.1.3 Matematik

Det känns angeläget att definiera vad matematik är eftersom min egen erfarenhet visar att människor har mycket skilda uppfattningar om detta. Frågan om vad matematik är ställs också i en enkät till elever och lärare som ingår i undersökningen. Deras uppfattningar redovisas i kapitel 5.

Vem äger rätten att definiera vad matematik är? Efter att ha studerat en del litteratur kring frågan (se nedan) har jag kommit fram till att någon bestämd person eller något bestämt dokument inte finns som ger ett slutgiltigt svar på det. Det florerar många olika förslag på vad matematik innebär, så väl inom akademin som inom skolan och som i vardagen. Jag har därför valt att redogöra för några vanligt förekommande uppfattningar, som jag kan förhålla mig till i fortsättningen.

Enligt Keith Devlin skulle man vid en undersökning av frågan om vad matematik är på slumpmässigt utvalda personer, få svaret ”Mathematics is the study of numbers”. Om man frågade vidare vilken sorts studier man menar, skulle svaret bli ”the science of numbers” (Devlin, 2002). Människor i allmänhet har alltså enligt honom ett synsätt på matematik som har sitt ursprung i den uppfattning som härrör 2500 år bakåt i tiden. Ca 500 f Kr utvecklade grekerna definitionen till att bli en studie av tal och former. Allteftersom utökades sedan definitionen för att i slutet av 1800-talet ses som studier av tal, former, rörelse, förändringar, rymd och de matematiska verktyg som används vid studierna (Devlin, 2002).

Som kommentar till detta vill jag nämna att Devlin påstår i sitt förord i boken ”The Language of Mathematics” att matematik är en rik och levande del av den mänskliga kulturen.

Synen på vad matematik är har alltså växlat från tid till annan genom historien (Wyndham 1990, Devlin 2002). Under de senaste trettio åren har man kommit fram till en definition som de flesta matematiker instämmer i. Den säger att matematik är ”science of patterns” (Devlin 2002). Alltså en vetenskap som finner mönster

(samband) i vår omvärld. Devlin exemplifierar med att matematiken som vetenskaplig disciplin finner mönster för tal, geometriska föremål, rörelse, beteende,

En annan beskrivning av matematik gjord av en kvinnlig vetenskapsjournalist, Kristin Dahl lyder så här:

Matematik är vetenskap, konst, hantverk, språk, hjälpmedel, verktyg, fantasi. Vi är alla matematiker, fast vi inte vet om det. (Dahl, 1999 s 9)

Hon tog tag i sin ångestfyllda inställning till matematik genom att åka runt till olika matematikinstitutioner i Sverige och intervjuade professorerna där.

Bl a ställde hon frågan till dem vad matematik egentligen är. Hennes projekt resulterade i en bok, ”Den fantastiska matematiken”. I den har hon lyckats ge en överskådlig bild av matematikämnet. Boken ger också en bra beskrivning av hur hon bemästrat sin hatkärlek till matematiken.

I en utredning från utbildningsdepartementet om matematikundervisningen,

”Matematik i skolan”, finns samma beskrivning som Dahls men den sista punkten är annorlunda formulerad:

Matematik är en del av vår kultur och har spelat stor roll i den historiska utvecklingen inom många områden, inte enbart inom naturvetenskap och teknik utan också inom handel och ekonomi (Ds U, 1986.)

Min personliga uppfattning är att matematik finns överallt. Det är ett sätt att tänka som hjälper till att klargöra otydliga samband. Den sistnämnda tolkningen delar jag med vetenskapsjournalisten K.C.Cole (Cole, 1999). Hon säger också att matematiken är en fantastisk uppfinning som vidgar vår förmåga att undersöka och förstå vår värld. I styrdokumentet för matematikundervisningen i den svenska gymnasieskolan finns en utförlig beskrivning av matematikens karaktär och uppbyggnad. I den texten känner man igen tidigare nämnda definitioner och beskrivningar om vad som menas med matematik. Några axplock ifrån den inledande texten i dokumentet visas nedan för att belysa detta:

Matematiken har genom en mångtusenårig utveckling bidragit till det kulturella arvet. Matematiken är en förutsättning för stora delar av samhällets utveckling och den genomsyrar hela samhället, ofta på ett sätt som är osynligt för den ovane betraktaren. Matematik är en livaktig internationell vetenskap.

I matematik arbetar man med väldefinierade begrepp och bygger upp teorier genom att logiskt och strikt bevisa att formulerade hypoteser är giltiga.

Matematik är en mänsklig tankekonstruktion.

Tillgången till tekniska hjälpmedel har delvis förändrat matematikämnet. (SKOLFS 1994:10)

Den andra meningen i citatet som berättar om att matematiken ofta är osynlig för den ovane betraktaren bekräftas i min enkätundersökning ( mer om det i avsnitt 5.2) samt av Tine Wedeges studie ”Matematik - det er det jag ikke kan” (Wedege, 2003). Det finns en avgrund mellan den matematikkunskap som belönas i skolan och den

anledningarna till att självförtroendet för matematik är lågt hos många individer. Det finns en informell matematik i vardagen och en särskild skolmatematik. (Wedege, 2003).

Ovanstående beskrivningar från vetenskapsmän, journalister, styrdokument m fl klargör att matematik är ett mångfacetterat ämne och öppnar därför möjligheter för en varierad undervisning, både vad gäller innehåll och arbetssätt.

2.1.4 Lust (att lära matematik)

Inom skolans värld har det på senare tid blivit allt vanligare att uttrycka elevers intresse för skolan med ordet lust. Då ordet är vagt lämnar det öppet för många olika tolkningar. I rapporten ”Lust att lära med fokus på matematik” var man därför

tvungen att definiera vad man menar med lust i matematikundervisningssammanhang, varför jag väljer att redovisa den tolkningen i detta avsnitt

Lust definierar granskningsinspektörsgruppen på följande sätt i rapporten:

Den lärande har en inre positiv drivkraft och känner tillit till sin förmåga att på egen hand och tillsammans med andra söka ny kunskap, som är betydelsefull både för individens utveckling och för samhällets behov ” (Kullberg, 2003, s 9).

I slutrapporten ”Lust att lära med fokus på matematik”, definierar man lust med hjälp av vad som har vaskats fram genom elevintervjuer.

När barn, ungdomar och vuxna har blivit ombedda att beskriva ett tillfälle då de verkligen känt lust att lära, har många berättat om tillfällen då både kropp och själ har engagerats. Andra har talat om aha-upplevelser, då de förstått samband eller äntligen begripit ett matematikproblem. Gemensamt för alla är att de både känt och tänkt. Lusten beskrivs som en nästan sinnlig glädje som involverar hela individens utveckling, både emotionellt, intellektuellt och socialt (Skolverksrapport 221, 2003, s).

I samband med att lust diskuteras i rapporten finns också begreppet ”flow” beskrivet. Man refererar då till en studie om vad som händer när elever blir helt absorberade av vad de gör sk ”flow” (Csikszentmihályi, 1990). Den studien visar att ”flow” väger tyngre än elevernas förutsättningar framtagna ur psykologiska test, för att goda prestationer i studierna skall uppnås.

Motivation är också ett begrepp som betydelsemässigt ligger nära det således

definierade begreppet lust. Det vågar jag påstå utifrån artikeln ”Regulating Motivation in Mathematics” (Hannula, 2004) där olika forskares syn på innebörden av motivation gås igenom och Hannula kommer fram till följande sammanfattade slutsats:

Motivation is a potential to direct behaviour that is built into the system that controls emotion. This potential may be manifested in cognition, emotion and/or behaviour. (Hannula, 2004, s 3).

Orden kognition, känsla och beteende som nämns i slutet ligger mycket nära

beskrivningen för lust i skolverksrapporten. Begreppen lust och motivation är således mycket snarlika.

En annan intressant aspekt på motivation och även motstånd för att läsa matematik tas upp i artikeln ”Motivation and resistance to learning mathematics in a lifelong

perspective” (Evans och Wedege, 2004). Där diskuterar man utifrån Kud Illeris teori (2003) att det i den lärandes inre psykologiska process alltid finns tre aspekter

involverade, de kognitiva, affektiva och sociala. Diskussion mynnar ut i att Evans och Wedege väljer att studera motivation och motstånd som två sammanhängande

fenomen utifrån tre olika perspektiv. Detta med anledning av att de också funnit så många olika tolkningar av orden i sin forskning. Deras tre förslag på perspektiv som utgångspunkt i sin fortsatta forskning är psykologiska, sociala och sociokulturella. De olika synsätt som framkommit ovan på vad lust innebär som ett

matematikdidaktiskt begrepp får räcka som bakgrund i min rapport. Jag finner en gemensam kärna i tolkningarna som jag tror läsaren och jag kan förhålla oss till och ”känna in” när det i fortsättningen talas om lust i rapporten.

2.2 Nationella styrdokument

All matematikundervisning i gymnasieskolan skall utgå från nationella styrdokument. Aktuellt för denna studie är då ”Läroplanen för frivilliga skolformer” ( Lpf 94) och kursplanerna kopplade till den.

2.2.1 Gymnasiets Kurs B i matematik

Då denna uppsats beskriver en studie ur olika perspektiv av undervisningen av kurs B på gymnasiet vill jag inviga läsaren i kursens innehåll och mål. Endast de delar som är av intresse för frågeställningarna citeras.

Ur kursplanen Lpf 94:

Ämnets syfte

Gymnasieskolans utbildning i matematik bygger vidare på kunskaper motsvarande de eleverna uppnår i grundskolan och innebär breddning och fördjupning av ämnet. Utbildningen syftar till att ge kunskaper i matematik för studier inom vald studieinriktning och för fortsatta studier. Utbildningen skall leda till förmåga att kommunicera med matematikens språk och symboler, som är likartade över hela världen.

Utbildningen i matematik i gymnasieskolan syftar också till att eleverna skall kunna analysera, kritiskt bedöma och lösa problem för att självständigt kunna ta ställning i frågor, som är viktiga både för dem själva och samhället, som t.ex. etiska frågor och miljöfrågor.

Utbildningen syftar även till att eleverna skall uppleva glädjen i att utveckla sin matematiska kreativitet och förmåga att lösa problem samt få erfara något av matematikens skönhet och logik.

Ämnets karaktär och uppbyggnad

Matematik är en mänsklig tankekonstruktion och matematisk problemlösning är en skapande aktivitet. Samtidigt kräver matematiken uthållighet i tankeverksamheten och förståelse för att problemlösning är en process som kräver tid. Denna process skall kunna utvecklas i en grupp men även genom att individer reflekterar över sin egen kunskap och inlärning. Detta gäller även matematikämnet i skolan.

Problemlösning, kommunikation, användning av matematiska modeller och

matematikens idéhistoria är fyra viktiga aspekter av ämnet matematik som genomsyrar undervisningen

Mål

Mål som eleverna skall ha uppnått efter avslutad kurs

Eleven skall

kunna formulera, analysera och lösa matematiska problem av betydelse för

tillämpningar och vald studieinriktning med fördjupad kunskap om sådana begrepp och metoder som ingår i tidigare kurser

kunna förklara, bevisa och vid problemlösning använda några viktiga satser från klassisk geometri

kunna beräkna sannolikheter vid enkla slumpförsök och slumpförsök i flera steg samt kunna uppskatta sannolikheter genom att studera relativa frekvenser

med omdöme använda olika lägesmått för statistiska material och kunna förklara skillnaden mellan dem samt känna till och tolka några spridningsmått

kunna planera, genomföra och rapportera en statistisk undersökning och i detta sammanhang kunna diskutera olika typer av fel samt värdera resultatet

kunna tolka, förenkla och omforma uttryck av andra graden samt lösa andragradsekvationer och tillämpa kunskaperna vid problemlösning

kunna arbeta med räta linjens ekvation i olika former samt lösa linjära olikheter och ekvationssystem med grafiska och algebraiska metoder

kunna förklara vad som kännetecknar en funktion samt kunna ställa upp, tolka och använda några icke-linjära funktioner som modeller för verkliga förlopp och i samband därmed kunna arbeta både med och utan dator och grafritande hjälpmedel.

I styrdokumenten framgår att matematikämnet syftar till att ge kunskaper som behövs för att läsa samhällsprogrammet samt för fortsatta studier. Lärarna utgår förstås ifrån att de inommatematiska mål som beskrivs under rubriken ”Mål” är noggrant valda så att detta syfte kan uppnås. I undervisningen gäller sedan att ”färga in” dessa mål mot programmålen.

Jag vill gärna också ur texterna ovan lyfta ut några viktiga ord och begrepp som belyser vad eleverna skall få ta del av i sin matematikundervisning. Dessa är glädje, kreativitet, skönhet, logik, självständighet, analysera, lösa problem, kommunicera. Under rubriken ämnets karaktär vill jag gärna fokusera uthållighet, process, reflektion och utvecklas i grupp.

Sammanfattningsvis kan man konstatera att det är högt ställda förväntningar från myndigheternas sida på vad som skall åstadkommas i B-kursen. Det är syfte och mål som relaterar både till affektiva och kognitiva faktorer hos eleverna.

2.3 Nationella provresultat

Om man studerar provresultat för samhällsprogrammet några år bakåt i tiden kan man skönja ett statiskt tillstånd. Nedan finns en sammanställning av provbetygen för både kurs A och B för att möjliga göra jämförelser. De betygsgrader som ges är Mycket väl godkänd (MVG), Väl godkänd (VG), Godkänd (G) samt Icke godkänd (IG). A-kursprov ges två gånger om året. Detta sker vid slutet av höstterminen (ht) och

vårterminen (vt). Min sammanställning av resultaten ger en motiverande bakgrund till att forska kring B-kursproblematiken.

Tabell 1

Betygsfördelning (%) på kursproven i Matematik kurs A, ht 01- vt 032

Tid Gymnasieprogram IG G VG MVG Antal elever

Ht 01 Samhällsvetenskap 5 51 33 10 213

S.a nationella program (ovägt) 12 40 32 16 2411

Vt 02 Samhällsvetenskap 9 46 34 11 2829

S.a nationella program (ovägt) 18 45 26 11 8323

Ht 02 Samhällsvetenskap 5 48 36 11 139

S.a nationella program (ovägt) 15 41 29 14 1930

Vt 03 Samhällsvetenskap 14 56 26 4 2793

S.a nationella program (ovägt) 25 49 20 6 8322 ( Källor: Skolverksrapporter. Gymnasieskolans kursprov, läsåret 2001/2002, en resultatredovisning. Tabell 3.1.1 och 3.1.2. ISBN 91-85009-23-7, Best. nr 02:783

Gymnasieskolans kursprov, läsåret 2002/2003, en resultatredovisning, .Tabell 3.1.1 och 3.1.2)

Resultaten för S-programmet vilket jag har markerat med fet stil ligger hela tiden klart under resultaten från samtliga program. När kurs B redovisas faller alla yrkesprogram ifrån vilket naturligtvis är en anledning till att andelen godkända på B-kursen blir färre.

Tabell 2

Betygsfördelning (%) på kursproven i Matematik kurs B, ht 01- vt 033

Tid Gymnasieprogram IG G VG MVG Antal elever

Ht 01 Samhällsvetenskap 30 45 18 7 409

S.a nationella program (ovägt) 29 46 17 8 647

Vt 02 Samhällsvetenskap 38 42 15 5 1468

S.a nationella program (ovägt) 25 38 22 15 4142

Ht 02 Samhällsvetenskap 29 45 21 5 676

S.a nationella program (ovägt) 28 45 21 6 784

Vt 03 Samhällsvetenskap 34 43 19 4 1755

S.a nationella program (ovägt) 27 38 23 13 4361 ( Källor: Skolverksrapporter. Gymnasieskolans kursprov, läsåret 2001/2002, en resultatredovisning. Tabell 3.3.1 och 3.3.2. ISBN 91-85009-23-7, Best. nr 02:783

Gymnasieskolans kursprov, läsåret 2002/2003, en resultatredovisning, .Tabell 3.3.1 och 3.3.2)

Eleverna på samhällsvetenskapsprogrammet skriver i allmänhet B-kursprovet på våren. Av tabellen framgår att mer än tredjedel av eleverna inte blir godkända på provet. Detta föranleder mig att ställa frågor. Kan man inte förvänta sig av ett teoretiskt program som samhällsprogrammet att mer än två tredjedelar ska bli godkända? Är det inte dessa elever som skall göra samhällsplaneringar i framtiden? Tänkvärt är att alla ekonominriktade program tillhör samhällsvetenskapsprogrammet. Är det fel på kursinnehållet, hur det presenteras, tidsfaktorn eller något annat?

I skolverkets resultatsammanställning för B-kursprovet vårterminen 2001 blev lärarna tillfrågade om provet speglade ämnessynen i kursplanen och i vilken utsträckning

provet påverkar de arbetsformer läraren använder i undervisningen. 92% av lärarna ansåg att provet speglade ämnessynen i kursplanen.

Huruvida det påverkar arbetsformerna svarade 3 % i mycket stor utsträckning, 28 % i ganska stor utsträckning, 56 % i ganska liten utsträckning och 12 % ingen alls. Det är alltså 68 % av lärarna som säger att de inte påverkas av detta. Vilka arbetsformer som används blir man självklart nyfiken på.

3. TEORI OCH FORSKNINGSBAKGRUND

I detta kapitel redovisar jag litteratur och forskningsresultat som ger en relevant ram och bakgrund till min studie.

Jag startar med skrivningar kring attityder, lust och motivation. Att detta har en central betydelse för lärande bekräftas av Novak:

”Feelings, or what psychologists call affect, are always a concomitant to any learning experience and can enhance or impair learning” (Novak 1998, s 31)

Därefter har jag valt att fördjupa mig kring Vygotskijs tankar kring lärande och konstruktivismens idéer i samma fråga. Eftersom elever ofta uttrycker behov av förståelse i samband med matematik (se framgångsfaktorer 3.4.2) har jag också valt att studera teorier om detta begrepp.

3.1 Attityder, lust och motivation

Att intresset för matematik bland ungdomar minskar framgår t ex i Nationella utvärderingen, NU-03. Mats Trondman som är professor i sociologi menar att den ungdomskultur som vi har idag speglar förändringen i vårt samhälle. Detta kan därför ha betydelse för att matematikintresset hos ungdomar i Sverige visar en nedåtgående trend. Hur förändringen gestaltar sig väljer jag först att redogöra för med hjälp av Mats Trondmans sociologiska studier. Kanske kan hans forskning och tolkningar ge uppslag och idéer kring hur matematikundervisningen bättre kan anpassas till elevernas subkultur, önskningar och behov idag, utan att vi behöver ge avkall på kvalitén.

Efter litteratur- och intervjustudien kring attityder följer texter som belyser teorier kring lärande, arbetssätt och arbetsformer samt klassrumsforskning.

3.1.1 Ungdomars inställning till matematik ur ett kultursociologiskt perspektiv Hösten 2003 ingick jag i matematikdelegationens arbetsgrupp för lärarutbildning och kompetensutveckling. I arbetet med att ta fram underlag för en förbättrad

matematikundervisning och öka elevers intresse för densamma gjorde jag tillsammans med gruppens ordförande en intervju med Mats Trondman, f.d. lärare men numera professor i kultursociologi Han har även arbetat som lärare. Eftersom jag undersökt vad som kan påverka elevers lust att lära matematik har jag valt att redogöra för valda delar från den intervjun. Trondmans forskning och personliga synpunkter kan då tjäna som bakgrund och ge sociokulturella förklaringar till några resultat från attitydundersökningsdelen i min studie. Eftersom Trondman inte är matematiker ser jag hans utifrånperspektiv som en tillgång för studien. Vid intervjun delade han in attitydproblematiken till matematik i sex avdelningar.

1. Föreställningar om matematikämnet

Inför vår intervju hade Trondman vid ett tillfälle i samband med en föreläsning i sociologi ställt några frågor till en grupp på 400 lärarstudenter om deras inställning till matematik. De dominerande åsikterna var att matematik är viktigt, tråkigt och att det framställs som svårt av många lärare. Matematik är också något som man antingen klarar eller inte klarar. Antingen har man förmågan eller så har men den inte.

Studentgruppen tillfrågades också om vad som karakteriserade en god

matematiklärare. Viktigast var att ”Man skall inte vara rädd för henne/honom” och därefter ”Hon/han skall kunna förklara på olika sätt.” En dålig lärare är en som ständigt upprepar ”Detta skall ni kunna.”

2. Matematikämnets karaktär

Trondman, själv samhällsvetare, menar att samhällsvetenskapliga och humanistiska ämnen ofta är additiva dvs det är fullt möjligt att sätta sig in i del av ämnet utan att behärska de delar som man tidigare gått igenom. Naturligtvis finns samband mellan olika delar men dessa är inte speciellt starka och har inte några pedagogiska

konsekvenser.

Inom matematiken eller inom ett område av matematiken har emellertid de olika delarna ett starkt inre samband. Man kan inte hoppa över vissa delar utan att få svårigheter i fortsättningen. Vidare krävs vissa grundläggande kunskaper. Detta medför att det är viktigt med kontinuerlig läxläsning och närvaro på lektionerna vilket står i motsatsförhållande till Trondmans forskning som visar behovet av ”quick fix” hos ungdomar idag (se även punkt 6.)

3. Förändring över tid

Trondman hänvisade till studien ”Medelsta-matematik” (Engström och Magne, 2003), där man konstaterat att differentieringen ökat och att det finns en grupp elever som har sämre kunskaper i årskurs 9 än i årskurs 4. Liknande resultat , att kunskap ”försvinner”, vad gäller förmågan att lösa matematikproblem bekräftas i

doktorsavhandlingen ” Problemlösning i matematik” (Möllehed, 2003). Trondman är inte förvånad över denna utveckling. Orsakerna till detta finner han dels i

samhällsutvecklingen, dels i skolans matematikundervisning.

4. Arbetsformer

I diskussionen kring arbetsformer hänvisade Trondman till resultat ur hans enkätundersökning av gymnasieungdomar i 30 kommuner i södra Sverige. Man konstaterar där att skolket är omfattande. Ungefär 80 % av alla gymnasister har skolkat någon gång. Denna tendens ger konsekvenser för matematikämnet där närvaro är särskilt viktigt. Anledningar till skolk kan vara att man har det kämpigt i allmänhet, att man är skoltrött eller att man behöver tid för att läsa inför prov.

Som kommentar till Trondman kan nämnas att det i senaste PISA undersökningen (PISA, 2003) framgår att svenska 15-åriga elever (grundskoleelever) trivs i skolan men oftare kommer för sent till lektionerna jämfört med eleverna i andra OECD-länder.

Var tredje elev läser inte läxorna. Endast 30- 40% läser alltid läxor. Föräldrar kan vara en resurs vid läxläsning och Trondman pekar på fyra möjliga föräldrakategorier: De som kan och vill hjälpa till, de som kan men inte vill, de som vill men inte kan samt de som varken vill eller kan. Enligt undersökningen tillhör 40 % av föräldrarna den kategori som vill men inte kan. Det måste rimligen innebära ökade svårigheter för matematikundervisningen att många överhuvudtaget inte läser läxor och att många har svårt att få hjälp med läxläsning.

Ovanstående utgår från att läxa är en arbetsform som behövs och stärker lärandet. Jag vill därför referera till den amerikanska skolforskaren Harris Coopers (Cooper, 1994) vars slutsats är att läxor är effektiva ur pedagogisk synvinkel. Korrelationen läxa och bättre resultat är större ju högre upp i åldrarna man kommer. Högst är den alltså för skolår 9-12 (High school).

Fria arbetsformer kan ibland komma i konflikt med den enskilde individens krav. Utbildningen har två uppdrag: Individens utveckling och samhällets krav på medborgarfostran. Konflikten mellan dessa båda krav kan bli särskild tydlig i matematik. Enligt Trondman har varje pedagogisk metod både sociala konsekvenser och socialt ursprung. De är inte neutrala redskap. Alternativa pedagogiska teorier kan vara bohemiska lösningar. Många lärare menar att det är elevens eget ansvar att göra matematikläxorna efterhand. Svaga elever tar inte detta ansvar! Svaga och

omotiverade eleverna behöver ständig feedback och uppmuntran (läxkontroll). Resultatet av diskussionen ovan blir att de fria arbetsformerna kombinerade med krav på hög närvaro, koncentration och läxläsning leder till en ökad marginalisering för vissa utsatta grupper.

5 Elevernas hemförhållanden

En fråga som ofta diskuteras är hur stor vikt man ska lägga på hemförhållandena? Är eleverna mest hjälpta av att vi i skolan tar hänsyn till och anpassar oss efter dem eller bör vi utgå från allas lika möjligheter? Här finns det olika synsätt.

Som parentes vill jag i detta sammanhang referera till en föreläsning av

etnologforskaren Jonas Frykman som jag lyssnade på 2003. Han tog då också upp denna problematik som har ökat i modern tid. Han jämförde med vad Harry Martinsson beskriver i boken ”Nässlorna blommar”. Där lovsjunger fosterbarnet Harry skolan där han är kung över tje-ljudet och pennans möjligheter. I en skola där eleverna behandlas lika av läraren är man inte belastad av sin sociala bakgrund och fostran.

I detta sammanhang bör nämnas att PISA-undersökningen 2003 visar att elevernas socioekonomiska bakgrund är den viktigaste faktorn för hur man lyckas i skolan. Det är viktigt att understryka att det på de nationella programmen endast är 3-4 % som aldrig har trivts i skolan och att de flesta har en mycket positiv bild av lärarna. Många lärare anstränger sig oerhört för att hjälpa eleverna och det är elevernas önskningar som står i centrum. Eleverna vittnar själva om detta enligt Trondman. Motsvarande resultat stärks också av PISA 2003 (se punkt 4)

6 Elevernas tankar om framtiden

Trondman delar i sin sociologiska studie in eleverna i fyra kategorier: 1. Eliten som är i skolan för att hämta ut sin skolprestationer 2. En grupp som vill klara G

3. En grupp som har svårt att klara sig 4. En grupp som blir marginaliserad.

Elitgruppen har inte förändrats och den marginaliserade gruppen har alltid funnits. Man kan emellertid i de stora mellangrupperna se ett mönster som innebär

ökad informalisering dvs man hanterar vardagen informellt och ostrukturerat. En ökad subjektivism ( man gör det man känner för) finns också i denna grupp av ungdomar. Det är här och nu som gäller, ”quick fix”. Argument som ”detta kan du behöva senare” duger inte! Matematik nog är det ämne som svarar sämst mot dessa trender enligt Trondman.

Enligt Trondmans undersökning vill 72 % av gymnasisterna gå vidare och studera på universitet eller högskola. De som är mest benägna till det är flickor där båda

föräldrarna är akademiker (90 %) och de som är minst benägna är pojkar där ingen av föräldrarna är akademiker (50 %). För flickor där båda föräldrarna är ”arbetare” är andelen drygt 70 %. Det är emellertid endast 13 % som vill börja högskolestudier direkt efter gymnasiet. De flesta vill först resa och/eller arbeta och många (30-40 %) vill först gå på Komvux för att komplettera sin gymnasieutbildning.

3.1.2 Vad berättar PISA om motivation?

I Pisa undersökningen 2000 definierar man inte motivation i termer av yttre och inre som annars är vanligt förekommande (se 2.1.4). I stället har man valt att definiera två andra typer, den intressebaserade och den instrumentella, som indikerar olika grad av självreglering. Instrumentell motivation är knuten till att lära för att uppnå ett externt mål. Den svarar på påståenden som t ex ”jag arbetar med matematik för att öka mina jobbmöjligheter eller för att få en trygg ekonomisk framtid”. Intressebaserad

motivation mäts med hjälp av påståenden såsom ”Matematik är viktigt för mig personligen”. ”När jag arbetar med matematik blir jag någon gång helt uppslukad”. I svar på detta påstående visar Sverige det lägsta genomsnittsvärdet för alla elever i samtliga deltagande länder.

Svenska elever utmärker sig däremot med ett mycket högt genomsnittsvärde gentemot övriga nordiska elever vad gäller den instrumentella motivationen.

Undersökningen visar också klara samband mellan intressebaserad motivation för matematik och prestationer i ämnet i ett internationellt perspektiv. (Norges rapport s 238-242)

I en annan aktuell undersökning gjord bland 10 000 elever på 196 skolor i Sverige, nationella utvärderingen (NU 2003), framkommer att pojkar har högre grad av bristande motivation än flickorna att nå kunskapsmålen i grundskolan. Jag ser därför en anledning att diskutera mina resultat även ur ett genusperspektiv.

3.2 Teori kring lärande

Då B-kursen i matematik innehåller ett större mått av abstraktioner, i form av algebra, än A-kursen, finns det anledning att studera någon teori kring lärande som belyser det. De transferproblem som uppkommer för eleven då man skall ta sig från konkreta företeelser till generella symboler och resonemang för att få ett tankeredskap (Mellin-Olsen, 1989) kan man se förklaringar till i Vygotskijs teori om utvecklingszoner. Att transfern inte sker automatiskt utan kräver arbete och transformationer med olika representationsformer visar också Stacey och MacGregors undersökning (Stacey och McGregor, 2001). Janvier (1987) har en bra förklaringsmodell för hur eleven skall

klara av övergångarna mellan olika uttrycksformer inom funktionsläran. Denna del inom B-kursen visar sig utgöra en stor tröskel för många elever.

3.2.1 Vygotskij

Enligt Vygotskij är lusten att lära den främsta motorn för utveckling av kunskap/ Hans teorier är grunden till den pedagogik som förordas i svensk skola och som bygger på elevaktivitet. Undervisning och lärande utgör själva sinnebilden för den sociokulturella aktiviteten enligt Vygotskij. Han menar också att människans högre mentala funktioner utvecklas i ett socialt sammanhang vilket har format en särskild gren av konstruktivismen, socialkonstruktivismen, (mer om detta i avsnitt 3.2.2). Han menar att lärande är en förutsättning för utveckling (se nedan) och definierade en modell över hur progression sker via den närmaste utvecklingszonen (the zone of proximal development). Denna zon motsvarar skillnaden av vad en elev kan göra på egen hand och vad denne kan göra med hjälp av en mer erfaren person tex läraren eller en kamrat. (Vygotskij, 1978)

Standardiserade prov ger bara information om elevens nuvarande utvecklingsnivå och inte dess utvecklingspotential. Vygotskij anser att individvärderingen börjar från produkt och normer till process, kriterier och kvalitet (Bråten 1998). Att kartlägga elevens utvecklingspotential i form av den närmaste utvecklingszon blir därför extra viktigt. Zonen innebär att barnet först utför aktiviteter tillsammans med läraren. Denne kartlägger djupet av elevens närmaste utvecklingszon och lägger upp

aktiviteterna på ett sådant sätt att de utförs med gradvis mindre insats från den vuxne. Bruner beskriver detta uppbyggnadsarbete som eleven genomgår med hjälp av begreppet ”scaffolding” (Bruner, 1985). ” Stöttningen” kan i

matematikundervisningen t ex bestå i att läraren strukturerar arbetet och ämnesinnehåll samt ger ledtrådar så att eleven utvecklar sitt tänkande.

Vygotskij menade att utvecklingsprocessen släpar efter inlärningsprocessen. All psykologisk utveckling går inte framför och skapar förutsättning för undervisning och lärande, utan utveckling kommer efter lärandet och är beroende av detta.

Vidare menar Vygotski att i en god undervisningssituation ligger svårighetsgraden lite över den utvecklingsnivå eleven redan uppnått. I symbolspråk kan det skrivas som input +1. Det finns enligt min mening anledning att fundera över om undervisningen ligger på input +2 eller input +3 för de flesta elever?

I en undersökning i den svenska gymnasieskolan (1970, Dahllöf och Lundgren) visade det sig att undervisningen styrdes av ca 10- 25 procent av klassens elever. Denna grupp kallades ”the steering group”. Lärarna anpassar undervisningen i huvudsak efter de medelduktiga eleverna. Lärostoffet i skolämnena representeras av språkligt kodade ord, begrepp, uttryck och satser. Att lära sig detta förutsätter att man förstår. Det är alltså viktigt att det skapas ett stödjande klimat för detta i klassen. (Özerk, 1998)

3.2.2 Konstruktivismen

Enligt Vygotskij kan man få elever att lyckas i ämnet om läraren har en positiv människosyn. Människor kan lära av varandra och utvecklas språkligt och i ämnessubstansen om man organiserar undervisningsaktiviteter väl som stödjer positiva sociala kontakter. Att kulturen är verktyg för förändringar anser däremot inte Piaget som är pedagogikens och konstruktivismens andre läromästare som verkade

samtidigt. Han menade att barnet passerar olika utvecklingsstadier där inget kan hoppas över.

Arne Engström har gjort följande beskrivning:

”Inom den internationella matematikdidaktiken, både som forskningsfält och

kunskapsområde är konstruktivismen ett bärande element för hur man ser på lärande och undervisning”(Engström, 1998, s 11).

Flera olika former av konstruktivism har sedan utformats såsom den radikala konstruktivismen vilken är frekvent inom matematikdidaktiken. En tolkning av den formen av konstruktivismen gör Ernest enligt följande:

Den radikala konstruktivismen tänker sig att det lärande subjektet befinner sig i en verklig omgivning som gör motstånd mot och begränsar dess handlingar, men som inte är känd utöver eller ”ovanför” de sätt på vilka dess scheman passar eller inte passar världen (Ernest, 1998, s 24)

Denna del av konstruktivismen betonar individualitet vilket inte

socialkonstruktivismen gör. Den senare betonar att kunskapen utvecklas i ett socialt sammanhang vilket härrör från Vygotskijs tankar. Socialkonstruktivismen som grund för matematikundervisning är beskrivet av Björkkvist (1993).

Den sammanfattade tolkning av konstruktivism som jag kommer att hänvisa till i min uppsats, och som också speglar min egen kunskapssyn är hämtad från Arne Engström. Han har sammanfattat teorin i punktform enligt nedan (Engström, 1998, s 11):

• _{den studerande använder sig av det han/hon redan vet för att utveckla personligt} meningsbärande lösningar

• _{de studerande stimuleras till att reflektera över sina matematiska aktiviteter} • _{stort inslag av laborativa aktiviteter som möjliggör för eleverna att konstruera sin}

egen matematik

• stort utrymme åt gruppdiskussioner som låter eleverna byta sina uppfattningar mot andras, utvecklar studenternas förmåga att motivera och bestyrka sina idéer • ser lärandet som en problemlösande aktivitet, där den studerandes egna

frågeställningar och sätt att formulera problem ges ett stort utrymme • _{förankring i den studerandes verklighet, inte påhittade situationer}

• _{ger de studerande möjligheter att bygga upp sin egen matematik; matematiska} symboler och algoritmer bygger på de som studenterna spontant utvecklar och formaliserar efterhand.

• _{Betonar kreativa aktiviteter som tillåter den studerande att utveckla sina möjligheter i} stället för att producera ett givet svar

• Presenterar problemlösande aktiviteter som är öppna, som stimulerar till att arbeta fram olika lösningar

• _{Ser matematik som en kulturelloch social yttring}.

Genom att vi börjar införa undersökande aktiviteter i undervisningen ökar möjligheten för att ovanstående punkter beaktas och därmed en mera förståelseinriktad

undervisning. Begreppet förståelse liksom översättningsproblematiken för eleverna utreder Janvier på ett utmärkt sätt enligt min mening varför jag väljer att redogöra för det i nästa avsnitt.

3.2.3 Förståelse

Att förstå, t ex funktionsbegreppet inom matematiken, innebär till stor del att man kan överföra från en representationsform till en annan utan problem. Detta kan liknas vid ett stjärnliknande isberg. (Janvier, 1978). En form i taget ligger uppe över vattenytan. Överföringen består i att gå från en stjärnudd till en annan. Om man tex vill

visualisera olika representationsformer inom funktionsbegreppet kan det göras med hjälp av en stjärna (se bild nedan hämtad från Janvier, 1987, s 69).

Janvier anger fyra egenskaper för att beskriva relationen mellan förståelse och representation:

1. Understanding can be checked by the realization of definite mental acts. It implies a series of complex activities.

2. It presupposes automatic (or automatized) actions monitored by reflexion and planning mental processes. Therefore, understanding cannot be exclusively identified with reflected mental activities on concepts

3. Understanding is an ongoing process. The construction of a ramified system of concepts in the brain is what brings in understanding. Mathematics concepts do not start building up from the moment they are introduced in the class by the teacher. This well-known tenet is not easily nor often put into practice in day-to-day teaching. 4. Several reachers attempt to determine stages in understanding. We incline to belive

that understanding is a cumulative process mainly based upon the capacity of dealing with an “ever-enriching” set of representations. The idea of stages involves a

unidimensional ordering contrary to observations. (Janvier,1987, s 67) Punkt 3 och 4 kommer jag att ha särskilt stor anledning att återkomma till i min diskussion kring lektionsobservationerna.

3.3 Arbetssätt och arbetsformer

Ett av mina initiativ i studien var att försöka få undervisningen mera varierad genom att införa mera elevaktiva arbetssätt. Nedan följer en redovisning av vad jag läst inom detta område.

3.3.1 Matematik i särställning

Matematikundervisningen är i särställning när det gäller att sakna variation i undervisningen. Detta framkom tydligt i rapporten ”Lust att lära - med fokus på matematik.” (Skolverket, 2003). De flesta lektioner är förutsägbara. Vanligt är att lektionen startar med en kort genomgång av läraren där ”typexempel” demonstreras.

objekt

värdetabell

graf

Därefter följer enskild ”tyst” räkning. Undervisningen är också starkt styrd av en lärobok.

Det är mycket vanligare att det sker variation i övriga skolämnen. Varför? Redan i en lärobok i matematik från 1868 kan man läsa följande i förordet som påtalar att läromedlet inte skall vara styrande och att lärarens betydelse är stor vilket också framkom i nämnda rapport ovan.

”Läraren har företräde framför den undervisning som läroboken ensam för sig kan meddela. Denna kan nämligen ej lämpas efter olika elevers uppfattningsförmåga; en framställning, som är passande och fullt begriplig för en, är för knapphändig och obegriplig för en annan och mer än nödigt omständlig för en tredje.

……

Då ändamålet med undervisningen icke får anses vara att låta lärljungen på möjligast korta tid genomgå ett visst antal exempel, utan i första rummet att utbilda hans förmåga att af eget tankearbete, att väcka hans intresse för den vetenskap, hvari han undervisas, meddela honom lust och förmåga att på egen hand gå fram i densamma, och använda den på lösningen af frågor ur naturen och lifvet, så bör ej kunna ifrågakomma att uppställa läroboken i form av korta regler, uttryckta i ord eller formler.” (Cederblom.,1868, s 1). En orsak till att matematik är så traditionsbundet tycker jag mig finna i att det ofta är ett andraämne för lärare i de senare skolåren. Laborativa aktiviteter planeras bara för förstahandsämnet. Detta rimmar illa med Gardners teori om de många intelligenserna som berättar om lärandeprocessens komplexitet. Han menar att det inte kan finnas ett enhetligt sätt att undervisa och bedöma när vi människor är så olika (Gardner, 1983). Eleven måste alltså ha rätt till att olika förklaringsmodeller används i undervisningen. 3.3.2 Att utveckla arbetssätt och arbetsformer

Ur boken ”Matematik- ett kommunikationsämne” (Nämnaren TEMA, 1996), väljer jag att citera följande stycke som väl belyser mina personliga tankar inom detta område:

”För att man skall kunna anknyta till elevers kunskaper, erfarenheter, nyfikenhet och se matematikens värde, möjligheter och sociala sammanhang så behöver man söka matematiska aktiviteter utanför läromedel och stenciler.

…………

Elevernas känslomässiga inställning till matematik har stor betydelse för hur de lär sig och använder sin kunskap. Läraren är naturligtvis nyckelfiguren när det gäller att utveckla synen på matematik och lusten att lära matematik

………

Lärande i matematik är en process där målet är att få insikt i abstrakta strukturer och relationer. För att nå dit måste eleven få möjlighet att arbeta med olika

representationsformer såsom konkreta modeller, skriftspråk och matematiska symboler. (Matematik- ett kommunikationsämne , 1996 sid 14-15)

Bilden på nästa sida är också hämtad från MEK (sid 15). Den ger en överskådlig beskrivning av transformationer mellan olika representationsformer.

Ordningsföljden i undervisningen mellan de olika formerna kan växla beroende på eleverna, begrepp och erfarenheter. Figuren kan ge vägledning för läraren hur arbetssättet kan varieras. Att tillägna sig förståelse i matematik är en kumulativ och transformativ process, där man stegvis får tillgång till allt fler och mer avancerade representationer. (se även 3.2.3.)

3.4 Klassrumsforskning

Eftersom jag använder mig av observationer i klassrummet för att få svar på några av mina frågeställningar kommer jag i detta avsnitt att redovisa några andra studier som använt denna metod. Mitt urval anser jag ger bredd, djup och variation eftersom det finns en internationell, en nationell (svensk) och två fallstudier i enstaka klasser. 3.4.1 TIMSS Video Studies

TIMSS är ett forskningsprojekt som genomförts i två omgångar. Första gången var 1996. Anledningen var att vid TIMSS testet 1995, som är ett internationellt

matematiktest, fick de amerikanska eleverna ett mycket dåligt resultat. Bäst fick elever från Japan. I USA ställde man sig då frågan vad orsaken till detta var. För att få svar startade forskningsprojektet TIMSS Video Study. Metoden som användes var att man videofilmade 100 slumpmässigt utvalda matematiklektioner i USA, Japan och Tyskland. Syftet var att undersöka om det fanns några karaktäristiska nationella trender i matematikundervisningen och vad som egentligen sker under matematiklektionerna. Vilken effektivitet råder? Hur mycket av lektionstiden används till lärande?

Resultatet av forskningsprojektet blev att ”genomsnittslektionernas gestaltning” skilde sig markant mellan USA och Japan. I USA betonades ”vad har vi gjort?” medan man i Japan fokuserade ”vad har vi lärt?” Detta vittnar alltså om en stor skillnad i vilket mål läraren har med matematikundervisningen i de båda länderna. Eftersom ”göra” ligger på en lägre kognitiv nivå jämfört med ”vad har vi lärt?” (Stigler & Hiebert, 1997)