Islastens inverkan på brottsannolikheten för glidning
och stjälpning av betongdammar
Emma Adolfi & Josefine Eriksson
Examensarbete 13/01 Avd. jord- och bergmekanik Kungliga Tekniska högskolan
© Emma Adolfi & Josefine Eriksson Examensarbete 13/01
Avd. jord- och bergmekanik Kungliga Tekniska högskolan Stockholm, 2013
Detta examensarbete utfördes på Avdelningen för jord- och bergmekanik vid KTH. Rapporten är avsedd att fungera som ett underlag för fortsatt forskning inom is och islastens inverkan på betongdammar i Sverige.
Vi vill tacka Dr. Fredrik Johansson som har handlett oss på ett tydligt och synnerligen moti-verande sätt. Han har med stort engagemang väglett oss genom hela arbetet. Vi vill även rikta ett tack till doktorand Johan Spross som har funnits tillgänglig när motivationen inte räckt till och bidragit med nya infallsvinklar. Hans kunskap om vetenskapligt skrivande och förmåga att ge konkreta råd har hjälpt oss i strävan att uppnå en tydlig struktur.
Ett sista tack till våra studiekamrater på KTH som tillsammans med oss har genomlevt våren med examensarbetet. Utan er hade vi inte haft hälften så kul!
Stockholm, juni 2013
Det finns många äldre dammar i Sverige och eftersom få dammar konstrueras idag ligger fokus i huvudsak på att bedöma säkerheten för det befintliga dammbeståndet och minska risken för dammbrott. RIDAS (Riktlinjer för dammsäkerhet) används vid dimensionering av dammar. Där anges rekommendationer för dimensionering av dammar med stabilitets-krav för olika brottmoder, bland annat stjälpning och glidning Stabilitetsstabilitets-kraven innebär att effekten från lasterna på en damm, till exempel upptryck och islast, ska vara mindre än de mothållande krafterna eller momenten. I RIDAS anges islasten med ett deterministiskt värde beroende på var i landet dammen är belägen. Forskning har länge pågått inom is och islast men fortfarande saknas kunskap om islastens verkliga storlek och hur islasten påver-kar brottsannolikheten för dammar. Om kunskapen om islastens verkliga storlek ökade, skulle den beräknade brottsannolikheten för lägre dammar bli mindre vilket således skulle kunna utnyttjas för att bygga slankare konstruktioner eller undvika onödiga förstärkningar av befintliga konstruktioner.
Utvärdering av dammarnas stabilitet görs ofta med deterministiska metoder, där beräk-ningar görs med säkerhetsfaktorer. Under 2000-talet har forskning pågått avseende användningen av probabilistiska metoder, exempelvis tillförlitlighetanalys, vid dimension-ering av dammar. Metoden har en fördel jämfört med deterministiska metoder vid utvärde-ring av befintliga konstruktioner eftersom den kan ge svar på vilka parametrar som har störst inverkan på dammens stabilitet samt tar hänsyn till parametrarnas variationer. I den här rapporten har en statistisk fördelning tagits fram för hur den årliga islasten varie-rar, sett ur ett globalt perspektiv. Fördelningen har sedan använts vid probabilistisk beräk-ning av brottsannolikheten för två olika typer av betongdammar, massiv- och lamell-dammar. Värden på brottsannolikheten har tagits fram för varierande dammdimensioner i stjälpnings- och glidningsfallet med tre olika lastfall; utan islast, med trunkerad islastfördel-ning och med otrunkerad islastfördelislastfördel-ning. Resultaten ger en indikation på vilka damm-storlekar islasten har störst inverkan på samt vilken effekt höga värden på islasten har på dammens brottsannolikhet. Den sannolikhetsbaserade analysen har utförts i programvaran Comrel med islasten som av de stokastiska variablerna.
Resultaten visar att islasten har en stor inverkan på risken för stjälpning och glidning för dammar lägre än ungefär 15 m. Dessutom minskar brottsannolikheten för alla dammtyper, i synnerhet för dammar lägre än 15 m, när de extrema värdena på islasten har tagits bort. I flera fall innebär trunkering av islastfördelningen skillnaden mellan en accepterad och icke-accepterad nivå på den beräknade brottsannolikheten. Resultaten visar även att minskad variationskoefficient för islasten leder till lägre brottsannolikhet. Från detta dras slutsatsen att massiv- och lamelldammar med hög konsekvensklass och som är lägre än ungefär 15 m bör riskbedömas med islasten som stokastisk variabel. Osäkerheten kring islastens statist-iska fördelning är fortfarande stor. Den statiststatist-iska fördelning som tagits fram i detta arbete bör inte användas som en global fördelning av islasten. Den bör snarare användas i
områ-den vars klimat liknar det i norra Sverige. Orsaken till detta är att de mätningar som utförts och som ligger till grund för den framtagna fördelningen i huvudsak har genomförts i för-hållanden som motsvarar de i norra Sverige.
Det rekommenderas att fortsatt forskning fokuserar på att bestämma statistiska fördel-ningar för islasten för södra, mellersta och norra Sverige. Ett alternativ är att använda olika islastfördelningar för de olika områdena. Ett annat alternativ skulle kunna vara att använda samma statistiska fördelning för södra, mellersta och norra Sverige, men med olika max-värden där islastfördelningen trunkeras, beroende på istjockleken i området. En ytterligare rekommendation är att utveckla en tillförlitlig metod för mätning av islast. Utöver detta bör försök göras att utröna om extremvärden verkligen existerar eller om de är effekter av mät-fel.
There are many old dams in Sweden and, since few dams are constructed today, the main task in risk assessment on the existing dams is often to reduce the risk of failure. RIDAS (Swedish Guidelines on Dam Safety) is used when designing new dams and assess the existing ones. The guidelines include stability requirements for different failure modes, e.g. overturning and sliding, which imply that the load effect from e.g. uplift and ice load need to be less than the resisting loads or moments. The ice load in RIDAS is given as a deter-ministic value depending on where in Sweden the dam is located. For many years, ice and ice load have been researched, but there is still a lack of knowledge regarding the magni-tude of the ice load and how it affects the probability of failure for dams. More knowledge about the actual ice load would result in a lower calculated probability of failure for the dam which could be used to design slender dams or avoid unnecessary reinforcement of existing dams.
Dam safety evaluation is often performed with deterministic methods based on safety factors. In recent years, the use of probabilistic methods in dam design has increased. The method has an advantage compared to deterministic methods in safety evaluations of existing dams, since probabilistic methods provide an answer to which parameters that have the greatest impact on the stability of the dam and take into account the variations in each parameter.
I this master thesis, a statistical distribution for the variation of the ice load’s annual maxi-mum value was calculated. This was used in the analysis of the probability of failure for solid gravity concrete dams and buttress concrete dams. The probability of failure was cal-culated for dams of different sizes for overturning and sliding failure modes, and also for three different load cases; without ice load, with a truncated ice load distribution and with an ice load distribution that has not been truncated. The probabilistic stability analysis was conducted in Comrel with ice load as one of the stochastic variables. It was found which sizes of the dams that have the largest impact from the ice load; also what effect extreme values on the ice load has on the failure probability of the dam.
The results indicated that the probability of failure for dams lower than 15 m is more affected by the ice load, for both failure modes analyzed. The probability of failure is reduced for all dam types when eliminating extreme values of the ice load, particularly for dams lower than 15 m. In several cases, truncation of the ice load distribution is the differ-ence between an accepted and a non-accepted level of the probability of failure. It is also shown that reduced coefficient of variance for the ice load results in a decreased probability of failure. The conclusion is that solid gravity dams and buttress dams lower than 15 m, with a high consequence class, should be risk assessed with the ice load as a stochastic vari-able. The statistical distribution of the ice load is still uncertain and the distribution used in this report should not be used globally, rather in areas with a climate similar to northern Sweden. The reason for this is that the measurements that were used to derive the global
distribution were mainly performed in areas with conditions similar to those in northern Sweden.
A recommendation for further research is to focus on determining statistical distributions for the ice load for southern, central and northern Sweden. An alternative is to use differ-ent ice load distributions for the differdiffer-ent areas. Another alternative could be to use the same statistical distribution for southern, central and northern Sweden but with different values for where the ice load distribution is truncated, depending on the maximal ice thick-ness in each area. The recommendation is also to develop a reliable method for measuring the ice load. In addition, attempts should be made to determine whether extreme values on the ice load really exist or if they are effects of measurement errors.
1 Inledning... 1 1.1 Bakgrund ... 1 1.2 Syfte och mål ... 2 1.3 Avgränsningar ... 2 1.4 Disposition av examensarbetet ... 2 2 Teori ... 5 2.1 Dammkonstruktioner ... 5 2.1.1 Massivdammar ... 5 2.1.2 Lamelldammar ... 6 2.2 Brottmoder ... 7 2.3 Grundläggande om is ... 7
2.3.1 Isläggning och istillväxt ... 7
2.3.2 Isens egenskaper ... 8
2.4 Dimensioneringskrav enligt RIDAS ... 9
2.4.1 Stabilitetsvillkor ... 9
2.4.2 Konsekvensklassificering ... 11
2.5 Islaster ... 12
2.5.1 Termisk islast ... 12
2.5.2 Islast vid vattenståndsförändringar ... 13
2.5.3 Maximal islast ... 13
2.5.4 Fältmätning av islast ... 14
2.6 Risk och osäkerhet ... 14
2.7 Tillförlitlighetsteori ... 15
2.7.1 Tillförlitlighetsanalys ... 17
2.7.2 FORM ... 18
2.7.3 Riktvärden för säkerhetsindex β i Eurokod ... 20
3 Metod ... 21
3.1 Bestämning av islastens fördelning ... 21
3.1.1 Bakgrund till val av mätdata ... 21
3.1.2 Anpassning till kurva i MATLAB ... 22
3.2.1 Val av dammdimensioner ... 23
3.2.2 Laster ... 25
3.2.3 Brottgränsfunktioner för analys i Comrel ... 26
3.2.4 Analys i Comrel ... 27
3.2.5 Indata ... 28
4 Resultat ... 31
4.1 Islastfördelning ... 31
4.2 Sannolikhetsbaserad stabilitetsanalys i Comrel ... 32
4.2.1 Stjälpning ... 33
4.2.2 Glidning... 35
4.2.3 Sensitivitetsfaktorn α för trunkerad islast ... 36
4.3 Förändrad variationskoefficient för islast ... 38
5 Diskussion ... 39
6 Slutsats ... 43
7 Källförteckning ... 45
7.1 Bildkällor ... 47
Appendix A – Bestämning av islastens statistiska fördelning ... 49
A.1 Mätdata för bestämning av islastfördelning ... 49
A.2 Beräkning av islastfördelning i MATLAB ... 50
Appendix B – Underlag för analys i Comrel ... 51
B.1 Beräkning av dammdimensioner ... 51
B.2 Stabilitetsberäkning – Resultat från MATLAB ... 54
B.3 Stabilitetsberäkning med linjärt approximerade bottenlängder ... 57
B.4 Stabilitetsberäkning med maximal bottenlängd efter linjär approximation ... 60
Förkortningar
BKR Boverkets Konstruktionsregler – regelsamling med de viktigaste
för-fattningarna för bärande konstruktioner i byggnader och andra anläggningar.
FORM First-order reliability method – en semi-probabilistisk tillförlitlig-hetsmetod för att analysera tillförlitligheten i ett system.
ICOLD International Commission on Large Dams – leder bland annat arbetet med att sätta upp riktlinjer för dammsäkerhet på ett säkert, ekonomiskt, miljömässigt och socialt hållbart sätt.
RIDAS Riktlinjer för dammsäkerhet – ett webbaserat arbetsverktyg som innehåller rapporter, anvisningar och rekommendationer i syfte att stödja företagens dammsäkerhetsarbete.
SORM Second-order reliability method – samma principer som för FORM men brottytan expanderas till andra ordningen i den givna punkten.
Definitioner
Brottgräns Gränsen som anger hur mycket last en konstruktion klarar innan den går till brott.
Brottgränsfunktion Funktion som beskriver en viss brottgräns för en viss konstruktion.
Brottmod Ett sätt som brott kan ske för en konstruktion, brott-mekanism.
Deterministiska metoder Metod som inte tar hänsyn till parametrarnas spridning, till exempel metod baserad på beräkningar med
säkerhetsfaktorer.
Dimensioneringspunkt Punkt på brottgränsfunktionen som ger säkerhetsindex. Probabilistiska metoder Tar hänsyn till parametrarnas spridning, ger resultat i
brottsannolikhet istället för säkerhetsfaktorer.
Risk Produkten av sannolikheten för att en oönskad händelse inträffar och konsekvensen av dess negativa effekt på liv, hälsa, egendom eller miljö.
Sannolikhetsbaserad
stabilitetsanalys Analys av en konstruktions stabilitet med hjälp av pro-babilistiska metoder. Tillförlitlighetsanalys Se sannolikhetsbaserad stabilitetsanalys.
Täthetsfunktion En funktion som beskriver den relativa sannolikheten att en slumpvariabel antar ett givet värde.
Medelvärde Summan av värdena i den aktuella serien dividerat med antal värden.
Standardavvikelse Genomsnittlig avvikelse från medelvärdet i en serie värden.
Variationskoefficient Spridningsmått som uttrycker standardavvikelsen som en procentandel av medelvärdet.
Grekiska symboler Förklaring Enhet
α Sensitivitetsfaktor -
β Säkerhetsindex -
θ Friktionsvinkel °
μ Medelvärde -
μaccept Tillåten friktionskoefficient -
μf Friktionskoefficient -
μlog Medelvärde i lognormalplanet -
𝜌 Densitet kg/m3
σ Standardavvikelse -
σlog Standardavvikelse i lognormalplanet -
φ Täthetsfunktion -
Φ Fördelningsfunktion -
Latinska symboler Förklaring Enhet
a Vinkel på dammens nedströmssida °
bm Dammonolitens bredd m
C Modellosäkerhetsvariabel %
fb Betongens hållfasthet MPa
g Brottgränsfunktion -
G Dammens tyngd kN/m
h Dammhöjd m
hG Hävarm dammens tyngd m
hH Hävarm hydrostatiskt tryck m
his Istjocklek m hI Hävarm islast m hU Hävarm upptryck m H Hydrostatiskt tryck kN/m H1 Last i horisontalled kN/m I Islast kN/m k Krönbredd m l Dammens bottenlängd m MU Moment för upptryck kNm/m pf Brottsannolikhet - R Mothållande kraftresultant - s Stjälpningsfaktor - S Pådrivande kraftresultant - tf Tjocklek frontplatta m
tpel Tjocklek pelare m
U Kraft från upptryck kN/m
X Stokastisk variabel -
1 Inledning
1.1 BakgrundI Sverige finns många äldre dammar och beståndet är relativt konstant eftersom få nya dammar konstrueras. Idag ligger fokus snarare på att utföra kontroller på det befintliga beståndet för att utvärdera dammarnas säkerhet och minska risken för haveri än att bygga nya dammar (Bartsch & Engström Meyer, 2011). De dammar som byggs och har byggts i Sverige efter 1997 dimensioneras enligt RIDAS (2011) (Riktlinjer för dammsäkerhet) normer, vilka uppdateras kontinuerligt. RIDAS rekommenderar dimensionering med säkerhetsfaktorer och anger stabilitetskrav för olika brottmoder, bland annat stjälpning och glidning. Lasteffekten på dammen på grund av bland annat upptryck, islast och hydrosta-tiskt tryck måste vara mindre än de mothållande lasterna i glidningsfallet och mindre än de mothållande momenten i stjälpningsfallet.
Idag är dammar i Sverige dimensionerade enligt RIDAS (2011) för islaster med deter-ministiska värden; 50 kN/m, 100 kN/m och 200 kN/m, vilka beror på geografiskt läge. Det finns idag ingen information om hur dessa värden har tagits fram (Jeppsson, 2003) vilket skapar osäkerhet kring hur den beräknade säkerhetsnivån förhåller sig till den faktiska säkerhetsnivån vid dimensionering och utvärdering av dammar. Även beräkning av upp-trycket och friktionsvinkeln innefattar stor osäkerhet, enligt Westberg och Johansson (2013). På senare år har det forskats om is och islast för att utreda islastens verkliga storlek, ta fram användbara teoretiska modeller samt förbättra fältmätningsmetoder (se exempelvis Fransson, 1988; Carter et al, 1998; Comfort et al, 2003, 2012; Côté et al, 2012). Det saknas emellertid fortfarande kunskap om islastens faktiska storlek och dess påverkan på brott-sannolikheten för dammar.
Stabiliteten hos låga dammar bör påverkas mer av islasten jämfört med höga dammar, eftersom islasten för låga dammar utgör en påtagligt stor del av den totala kraften i hori-sontalled, då vattentrycket blir förhållandevis litet vid små dammhöjder. Ett problem som uppstår till följd av detta i kombination med den låga kunskapen om islastens verkliga storlek är att små dammar riskerar att bli överdimensionerade, både vid nybyggnation och vid förstärkning efter en dammsäkerhetsutvärdering.
För att utvärdera dammsäkerheten används ofta en deterministisk metod där säkerhets-faktorer jämförs med uppsatta krav på tillåten säkerhetsfaktor och kan ange huruvida en förändring gör dammen mer eller mindre säker. Probabilistiska metoder, exempelvis tillför-litlighetsanalys, används mer sällan vid dimensionering av dammar. Denna metod har emellertid en fördel vid utvärdering av befintliga konstruktioner eftersom den kan ge svar på vilka parametrar som har störst inverkan på dammens stabilitet samt tar hänsyn till parametrarnas variationer (Jeppsson, 2003). Under senare tid har forskning avseende
pro-babilistiska metoder vid dimensionering av dammar utförts (Jeppsson, 2003; Carvajal et al, 2007; Westberg, 2010; Altarejos-García et al, 2012; Westberg & Johansson, 2013).
Om kunskapen om islastens verkliga storlek ökade, skulle den beräknade brottsannolik-heten för lägre dammar bli mindre, vilket således skulle kunna utnyttjas för att bygga slankare konstruktioner eller undvika onödiga förstärkningar av befintliga konstruktioner.
1.2 Syfte och mål
Syftet med examensarbetet är att belysa ett eventuellt behov av vidare utredning av islastens påverkan på betongdammar. Examensarbetet är en del av en förstudie för fortsatt
forskning på islast och glidstabilitet för betongdammar inom ramen för Svenskt vatten-kraftcentrum (SVC).
Ett mål är att ta fram en modell för hur den årliga islasten varierar, det vill säga en global sannolikhetsfördelning för probabilistisk beräkning av sannolikheten för brott. Vidare är målet att finna hur stabiliteten för olika typer av betongdammar förändras med varierande dammdimensioner och bestämma för vilken brottmod och för vilka dimensioner islasten har störst inverkan på brottsannolikheten, samt att utreda vilken effekt extremt höga värden på islasten har på dammens brottsannolikhet.
1.3 Avgränsningar
För att avgränsa undersökningen har två typer av betongdammar (lamell- och massiv-dammar) studerats. Olika geometrier på dammarna har undersökts med fokus på höjden, övriga parametrar ändrades proportionerligt mot höjden så att dammarna skulle uppfylla stabilitetskraven med avseende på glidning och stjälpning i enlighet med RIDAS. Bärig-hetsbrott har inte tagits i beaktande. Endast vanliga lastfall (enligt RIDAS definition) har behandlats, exceptionella lastfall och olyckslastfall beaktades inte då de inte inkluderar islast.
Det görs ingen skillnad på islaster till följd av enbart termiska krafter och islaster uppkomna på grund av en kombination av termiska krafter och vattenfluktuationer.
1.4 Disposition av examensarbetet
I kapitel två presenteras teorin som ligger till grund för detta examensarbete. Det redogörs för olika dammtyper, en bakgrund till is och islast ges samt till de stabilitetskrav som ställs i RIDAS (2011). En kort beskrivning av begreppen risk och osäkerhet leder vidare till teorin bakom tillförlitlighetsanalys och First-order reliability method (FORM).
Kapitel tre behandlar den metod som används vid bestämning av islasten; en kort bakgrund till val av indata samt en beskrivning av varför en lognormalfördelad
sannolikhets-fördelning valdes. Dessutom beskrivs hur dammarnas storlek har beräknats och antagits samt hur tillförlitlighetsberäkningen i programmet Comrel (RCP Consult, 2011) har gått till. Avslutningsvis presenteras tabeller för att sammanfatta vilka indata som har valts.
Resultaten av analyserna presenteras i kapitel fyra, vilket inkluderar vald islastfördelning, brottsannolikhet för massiv- och lamelldammar avseende stjälpning och glidning med inverkan av trunkerad och otrunkerad islast (se närmare förklaring av trunkering i kapitel 3.2.2) samt sensitivitetsfaktorn α för islasten. Dessutom presenteras resultatet av hur brott-sannolikheten påverkas av islasten med varierande variationskoefficient.
I kapitel fem diskuteras huruvida antagen islastfördelning är applicerbar för brott-sannolikhetsberäkningar på betongdammar i Sverige, vad ökad kunskap om islastens verkliga storlek bidrar till samt vilken inverkan extrema värden på islasten har på brott-sannolikheten. Dessutom redogörs för islastens inverkan på brottsannolikheten för betongdammar.
Slutsatserna presenteras i kapitel sex med en kort sammanfattning av studiens syfte följt av förslag på områden för framtida forskning.
2 Teori
I det här kapitlet presenteras en grundläggande genomgång om bakomliggande teori för att förenkla
förståelsen för is och islast samt tillförlitlighetsanalys. Typer av dammar och deras konstruktion presenteras, isens egenskaper vid läggning och tillväxt och vidare dess påverkan på konstruktionen genom sin last behandlas. De stabilitetskrav för dammar som är givna från RIDAS redovisas samt den grundläggande principen bakom tillförlitlighetsanalys.
2.1 Dammkonstruktioner
Dammar delas in i gravitationsdammar eller valvdammar beroende på det sätt som de verkar mot vattnet. Även utskov och intag räknas in i begreppet dammar enligt RIDAS (2011) normer. I denna rapport ligger fokus på gravitationsdammar och de olika typer som ingår i den typen av dammar.
Gravitationsdammar uppnår stabilitet genom att ha storlek och massa som kan motverka kraften från vattnet och undvika glidnings- eller stjälpningsbrott. Dammens egenvikt hindrar den från stjälpning och friktionen som uppstår mellan dammen och underliggande material, på grund av dammens tyngd, motverkar att dammen börjar glida. Gravitations-dammar delas in i olika typer där de vanligaste är massiv- och lamellGravitations-dammar (Figur 1) (Bergh, 2004).
2.1.1 Massivdammar
En massivdamm karaktäriseras av ett homogent tvärsnitt med en bred bas över hela konstruktionen och med dess egenvikt som stabilisering (Figur 2). Konstruktionen gjuts i enskilda delar, monoliter, som är stabila var för sig och som sammanfogas med vertikala fogar som enbart upptar rörelser resulterande från bland annat temperaturförändringar och sättningar. Nackdelen med dessa dammar är att det krävs en väldigt stor mängd betong för att uppnå stabilitetsvillkoren och vid ojämn berggrund kan sättningar uppstå som kan resultera i sprickor och läckage vilket i sin tur kan leda till försämrad hållfasthet för betongen (Bergh, 2004).
Figur 1. Bilder på gravitationsdammar; massivdamm Grand Coulee Dam i USA (t.h.) (Erickson, 2013) och lamelldamm vid Rätan (t.v.) (Kuhlin, 2013).
Figur 2. Tvärsektion av massivdamm (efter Alsén Farell & Holmberg, 2007).
2.1.2 Lamelldammar
Lamelldammar är konstruerade av en frontplatta som kan vara vertikal eller lutande och som tar upp lasterna och överför dem till lameller eller betongpelare. Då frontplattan är lutande är det både egentyngden och vattentrycket som verkar stabiliserande genom den vertikala komposanten från vattentrycket. Från frontplattan överförs sedan lasten genom pelarna och vidare ner i grunden. Även denna typ av damm gjuts i monoliter som är enskilt stabila och där en monolit vanligtvis består av en lamell och en halv frontplatta på varje sida som kan ses som fast inspänd i lamellen (Figur 3) (Bergh, 2004). Dessa enheter kan ofta användas som övergångsdel mellan en fyllningsdamm och ett utskov (RIDAS, 2011).
Figur 3. Sektion sedd från sidan (ovan) samt sektion sedd ovanifrån (nedan) av monolit av lamelldamm med vertikal frontplatta, lamelltyp 1 (t.v.) och med lutande frontplatta, lamelltyp 2 (t.h.) (efter Alsén Farell & Holmberg, 2007).
2.2 Brottmoder
Ett dammbrott kan resultera i att ett vattenmagasin släpps ut okontrollerat vilket kan leda till mycket omfattande skador med många berörda aktörer. Enbart ett litet antal brott har skett i Sverige som har nått rikskänd nivå. I Elforsk (2006) presenteras internationell statistik från ICOLD som visar på att färre än 0,5 % av alla dammar byggda efter 1951 har gått till brott, vilket dessutom är en siffra som förbättras när utvecklingen av dammkon-struktioner fortgår.
När en damm går till brott kan det ske på flera olika sätt: genom brott i betongkon-struktionen, brott i kontaktytan mellan berget och betongen eller genom brott i berget (Westberg & Johansson, 2013). Enligt ICOLD:s internationella statistik (Elforsk, 2006) sker cirka en tredjedel av brotten på grund av höga vattenflöden, en tredjedel beror på svagheter i grundläggningen och i byggmetoden och den sista tredjedelen beror på extrema händelser och strukturella svagheter. En stor andel av brotten sker närmast i tiden runt konstruktionen av dammen, till exempel under byggtiden eller vid dämningsupptagningen.
2.3 Grundläggande om is
Is och dess effekter på konstruktioner har länge varit ett område som forskning länge har pågått inom (Bergdahl, 1977; Ashton, 1986; Löfquist, 1987; Carter et al, 1998). Isen kan ge upphov till flera negativa effekter på dammar; isstockning på grund av isflak och issörja kan leda till förhöjd risk för blockering och översvämning, isflak och issörja som fastnar vid utskov stoppar funktionen, statiska och dynamiska laster på konstruktionen uppstår på grund av isens rörelser, etcetera (Ashton, 1986).
2.3.1 Isläggning och istillväxt
Under hösten när vattnet i en sjö eller en reservoar kyls ner är det ytvattnet som först kyls. När ytvattnet blir kallare blir det tyngre, sjunker ner och skapar en cirkulation i vattnet. Detta pågår tills all vattenmassa i sjön har kylts till en temperatur på +4°C. När vattnet har antagit denna temperatur har det som störst densitet och det kallare vattnet hamnar över det fyragradiga vattnet; nu kan isläggningen börja. Isläggningen på en sjö startar vanligtvis en kall och vindstilla natt och när ytvattnet är nollgradigt lägger sig isen. Vattnet precis vid isens underkant håller sig nollgradigt under isens tillväxt men djupare ner varierar vattnet från nollgradigt precis under isen till +4°C på botten (Eklund, 1998).
När isen lägger sig kan den bildas på flera olika sätt, till exempel som kärnis eller stöpis. Den första isen som bildas i lugna vatten är ofta kärnis. Den bildas neråt och växer i pelar-formade kristaller och har i allmänhet en bra bärighet. På denna is kan sedan stöpis bildas, vilken består av snö och vatten som blandas och fryser till is. Denna is har inte lika bra bärighet som kärnisen. När isen fortsätter att växa transporteras värmen från isens under-sida, genom isen och ut i luften, isens undersida blir avkyld och vattnet närmast fryser till is (Eklund, 1998). I strömmande vatten bildas is av underkylt vatten som träffar stränder och bildar en issörja. Denna växer sedan ut från stränderna och bildar ett istäcke. Hur isens tillväxt fortgår påverkas av flera förhållanden, men lufttemperatur, luftfuktighet,
vind-hastighet, mängden snö på isen och isens tjocklek är några av de viktigaste faktorerna (Ekström, 2002).
I Sverige varierar istjockleken stort mellan de södra och norra delarna av landet (Figur 4). I södra delarna av landet uppgår den största istjockleken till cirka 60 cm, i de mellersta delarna cirka 70 cm och i de allra nordligaste delarna av landet kan isen bli upp emot 1 m tjock (Eklund, 1998).
2.3.2 Isens egenskaper
Vatten som fryser utvidgas i samma riktning som värmeflödet, vilket innebär att trycket i horisontalled inte ökar eftersom värmeflödet går vertikalt genom isen. Sprickor som fylls med vatten och fryser till is expanderar i horisontalled och ger upphov till horisontellt tryck. Isens mekaniska egenskaper beror delvis på istemperaturen vilken sin tur beror av flera faktorer; vindhastighet, lufttemperatur, istjocklek, snömängd ovanpå isen, etcetera. Is har stor förmåga att utvidgas när den värms upp; värmeutvidgningen är 5 gånger större än för stål. Liknande gäller för nedkylning då isen krymper med 5 cm per 100 m om isens medeltemperatur sjunker med 10°C (Löfquist, 1987).
Att ta reda på hållfastheten hos is är svårt eftersom hållfastheten är beroende av hur testet genomförs, provkroppens utseende samt typ av brottmod. Värdena på hållfastheten beror i sin tur på temperatur, istyp, kornstorlek, etcetera (Ekström, 2002). Isens mekaniska egen-
skaper kan variera kraftigt på olika ställen i istäcket på grund av att iskristallerna är stora och orienterade i olika riktningar. Därför menar Fransson (1988) att fältförsök och modelltester ger ett mer rättvisande resultat än spännings-töjningsförsök med små prov-kroppar, även om provkropparna är uttagna nära varandra.
2.4 Dimensioneringskrav enligt RIDAS
För att öka dammsäkerheten har en sammanställning gjorts av branschens rekommen-dationer och anvisningar för att skapa mer heltäckande riktlinjer, Kraftföretagens riktlinjer för dammsäkerhet, ofta benämnt RIDAS (2011). Dessa ska användas som tillämpnings-vägledning vid nybyggnad av dammar och vid kontroll och ombyggnad av befintligt dammbestånd. Riktlinjerna utgår ifrån Boverkets konstruktionsregler, BKR, med specifik anpassning för betongdammar.
RIDAS (2011) behandlar laster som påverkar en betongdamm; egentyngd, vattentryck, upptryck, jordtryck och islast. De stora koncentrerade islasterna uppstår vid stora
öppningar och vid upp- och nerströms lutningsförändringar i konstruktionen. Det finns enligt RIDAS definition två typer av laster; stabiliserande och stjälpande. Exempel på stabi-liserande last är dammens massa och stjälpande laster är vattentryck, upptryck och istryck. Alla laster uppnår inte sina maximala värden samtidigt, trots detta antas den minst fördel-aktiga kombinationen av möjliga laster vid dimensionering (Sæther, 2012).
2.4.1 Stabilitetsvillkor
Laster delas enligt RIDAS (2011) in i vanliga lastfall, exceptionella lastfall och olyckslastfall. I denna rapport kommer enbart vanliga lastfall att behandlas då de exceptionella lastfallen ofta innebär att konstruktionen inte påverkas av något islast. Det vanliga lastfallet kan beskrivas som en lastkombination när dammens vattenyta är vid dämningsgränsen, maxi-mal islast verkar och luckorna är stängda.
Enligt RIDAS (2011) finns det tre stabilitetsvillkor som ska uppfyllas för en betongdamm: A. Dammen ska vara säker mot stjälpning
B. Dammen ska vara säker mot glidning
C. Betongens och grundens hållfasthet får inte överskridas.
Dessa villkor ska vara uppfyllda för vanliga lastfall och kontroller ska utföras för både monoliter och sammanhängande konstruktioner. Här behandlas endast stabilitet avseende stjälpning och glidning för monoliter.
2.4.1.1 Säkerhet mot stjälpning enligt RIDAS
Säkerhetskravet för stjälpning definieras i RIDAS som förhållandet mellan det stabilise-rande och stjälpande momentet vilket inte får underskrida givna minimivärden för säker-hetsfaktorn för stjälpning. För att uppfylla stabilitetsvillkoret ska resultanten av alla påver-
Figur 5. Kärnarean för en monolit med rektangulär bottenarea (efter RIDAS, 2011).
kande krafter i lastfallet falla inom kärngränsen, detta krav kan enskilt dock inte betraktas som en säkerhet mot stjälpning. Kärnarean för en kontinuerlig massivdamm innebär den mellersta tredjedelen av bottenarean (Figur 5).
För att bestämma stjälpningsaxelns läge tas hänsyn till betongens och undergrundens styvhet och hållfasthet. Normalt placeras stjälpningsaxeln vid dammpelarens nedströms-kant då dammen är grundlagd på bra berg. Stjälpningsfaktorn s används för att bestämma säkerheten mot stjälpning
𝑠 = 𝑠𝑡𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑠𝑒𝑟𝑎𝑛𝑑𝑒 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑠𝑡𝑗ä𝑙𝑝𝑎𝑛𝑑𝑒 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡 (2.1)
där s > 1.5 används i Sverige för vanligt lastfall. Stjälpningsaxelns läge har i denna rapport
alltid ansatts vid dammpelarens nedströmskant.
2.4.1.2 Säkerhet mot glidning enligt RIDAS
För att bestämma säkerheten mot glidning kontrolleras att de horisontella krafterna kan överföras från konstruktionen till grunden. För att tillgodose detta och för att bestämma säkerheten mot glidning för en damm används glidvillkoret µf ≤ µaccept där µf är förhållandet mellan resulterande krafter parallellt respektive vinkelrätt mot glidplanet. Glidvillkoret är alltså uppfyllt då friktionskoefficienten µf inte överskrider tillåtna värden för µaccept vilka ses i Tabell 1.
𝜇𝑓 =𝑅𝑅𝐻𝑉 ≤ 𝜇𝑎𝑐𝑐𝑒𝑝𝑡 =𝑡𝑎𝑛𝛿𝑠𝑔𝑔 (2.2)
RH = resultant av krafter parallellt planet RV = resultant av krafter vinkelrätt planet
tanδg = brottvärde för friktionskoefficienten i glidytan sg = säkerhetsfaktor enligt Tabell 2.
Tabell 1. Tillåten friktionskoefficient μaccept (efter RIDAS, 2011).
Grundläggning Normalt lastfall Brottvärde för tanδg
Berg 0,75 1,00
Morän, grus, sand 0,50 0,75
Grovsilt 0,40 0,60
Tabell 2. Säkerhetsfaktor sg för beräkning av μaccept (efter RIDAS, 2011).
Grundläggning Normalt lastfall
Berg 1,35
Morän, grus, sand 1,50
Grovsilt 1,50
2.4.2 Konsekvensklassificering
I RIDAS (2000) anges att samtliga dammar i Sverige ska klassificeras efter ett system som utgår från konsekvenser som kan följa om ett dammbrott skulle uppstå. Dammarna utvär-deras för de konsekvenser som kan uppstå vad gäller risk för:
• Förlust av människoliv eller allvarlig personskada
• Förlust av sociala, miljömässiga och ekonomiska värden
Klassificeringssystemet består av fyra steg; 1A, 1B, 2 och 3, där 1A är allvarligast. Systemet delas upp i två tabeller där Tabell 3 tar hänsyn till förlust av människoliv eller allvarlig personskada och Tabell 4 kompletterar Tabell 3 genom att ta hänsyn till sociala, miljö-mässiga och ekonomiska värden. Den tabell som ger allvarligast konsekvensklassning avgör vilken klasstillhörighet dammen får.
Tabell 3. Klassificering med avseende på risk för förlust av människoliv eller allvarliga personskador (efter RIDAS, 2000).
Konsekvensklass Konsekvens
1A Uppenbar risk för förlust av människoliv
1B Icke försumbar risk för förlust av människoliv eller allvarlig personskada
Tabell 4. Klassificering med avseende på risk för förlust av sociala miljömässiga ekonomiska värden (efter RIDAS, 2000).
Konsekvensklass Konsekvens
1A Uppenbar risk för:
Allvarlig skada på viktig trafikled, viktig dammbyggnad eller jäm-förlig anläggning eller på betydande miljövärde samt uppenbar risk för stor ekonomisk skadegörelse
1B Beaktansvärd risk för:
Allvarlig skada på viktig trafikled, viktig dammbyggnad eller jäm-förlig anläggning eller på betydande miljövärde eller uppenbar risk för stor ekonomisk skada
2 Icke försumbar risk för:
Beaktansvärd skada på trafikled, dammbyggnad eller därmed jäm-förlig anläggning, miljövärde eller annans egendom
Tabell 5. Sannolikheter för hjälpmedel vid bedömningar av klassificering (efter RIDAS, 2000).
Risknivå Sannolikhet för skadeutfall och/eller förlust Uppenbar risk > 90 %
Beaktansvärd risk 10-90 % Icke försumbar risk 1-10 % Försumbar risk < 1 %
Fyra risknivåer för att en skada ska inträffa i samband med ett dammbrott används i klassi-ficeringssystemet: Uppenbar, Beaktansvärd, Icke försumbar och Försumbar. Dessa svarar mot sannolikheter som har tagits fram för att användas som hjälpmedel för att nå enhetlighet i bedömningarna som alltså inte ska verifieras genom beräkningar (Tabell 5).
2.5 Islaster
Den islastdimensionering som RIDAS (2011) rekommenderar är en horisontell islast på 50-200 kN/m dammlängd. Detta värde är baserat på geografiskt läge för dammen, höjd över havet och lokala förhållanden. Vid vissa specifika förhållanden kan islasten vara större än det som RIDAS (2011) förordar, exempelvis för dammar där termisk volymändring ger upphov till större tryck mot dammkonstruktionen på grund av mothåll från brant sluttande stränder.
På grund av svårigheten att mäta hur stort tryck isen ger upphov till mot en dammkon-struktion behandlas islasten som en linjelast vid stabilitetsdimensionering. Islast kan uppstå genom olika typer av mekanismer och enligt Löfquist (1987) kan påverkan från isen kate-goriseras i några specifika huvudtyper:
• Horisontell last från temperaturförändringar (termisk islast).
• Vertikala krafter från stabilt islager utsatt för vattenståndsförändringar. • Horisontell last från rörande isflak (dynamisk islast).
Dessa mekanismer påverkar dammkonstruktionen medan islastens storlek påverkas av konstruktionens utseende och isförhållandena på den specifika platsen. I denna rapport behandlas inte dynamiska laster.
2.5.1 Termisk islast
Termisk islast uppkommer på grund av isens värmeutvidgningsförmåga. Undersidan av isen har ständigt temperaturen noll grader medan temperaturen på isens ovansida förändras med lufttemperatur, snötäckes tjocklek, etcetera. Dragspänningar bildas i isen när den växer eller när det sker en snabb temperaturminskning; temperaturen på isens ovansida sjunker vilket resulterar i krympning (Figur 6). Dessa dragspänningar kan tas upp av istäcket, men om spänningarna blir för stora kommer isen så småningom att spricka. Då isen flyter på en horisontell vattenyta kan den inte böjas nedåtnär spänningarna uppstår. Inte heller kan böjning ske uppåt eftersom isen hålls emot av böjmoment och av sin egen tyngd, varför isen är att betrakta som fast inspänd. Eftersom spänningarna inte kan tas ut genom böjning kommer isen att spricka, varvid vatten kommer upp i dessa sprickor, fryser till is och leder
Figur 6. Krympning, böjning och sprickning av istäcket vid snabb temperatursänkning (efter Ashton, 1986).
till att istäcket växer. När temperaturen sedan ökar expanderar isen och bucklar sig om den inte har möjlighet att krypa upp på stränder (Bergdahl 2002; Ekström 2002; Sæther 2012). Om temperaturförändringen sker ojämnt över isen kommer den uppvärmda delen att expandera och vilja dra med sig den ännu inte uppvärmda delen som håller emot. Detta ger upphov till spänningar som avlastas genom att det blir sprickor i isen. Den termiska islasten är svår att beräkna eftersom isens volymändring är olinjär, för att kunna göra en uppskatt-ning av lasten behövs tillgång till mycket data, såsom skillnader i is- och snötäcke samt väderinformation (Ekström, 2002).
2.5.2 Islast vid vattenståndsförändringar
Vattenståndsförändringar i en damm medför spänningsförändringar i istäcket, bland annat böjspänningar och dragning till följd av nedhängning när vattennivån sänks. I isen uppstår sprickor, vilka fylls med vatten och fryser igen helt eller delvis. När vattennivån höjs upp-står vertikala krafter på grund av istillväxten i sprickan (Löfquist, 1987).
Côté et al (2012) beskriver gångjärnseffekter som uppstår nära dammväggen och karaktä-riseras av sprickor i isen parallella med dammväggen. För stora vattenfluktuationer skapas en rundad kontakt mellan isen på båda sidorna om sprickan, som ett gångjärn, vilket ger en lindrig påverkan på lasten i vertikalled. När förändringarna i vattennivån är måttliga eller små skapas raka, vertikala sprickor vilka enligt Comfort et al (2003) kan associeras till högre värde på islasten.
2.5.3 Maximal islast
Johansson et al (2013) resonerar kring extremt höga islaster och menar att det finns studier (exempelvis Carter et al, 1998) som hävdar att uppmätta extremvärden bör betraktas med viss skepsis. Extremvärden uppkommer sällan eftersom ofördelaktiga kombinationer av händelser som påverkar islasten måste inträffa. Om mätningar görs under längre tid fås en bättre uppfattning om hur stora de största islasterna kan bli. Dessutom är extrema islaster som uppmätts lokalt i isen inte intressanta för bedömning av dammens stabilitet. Johansson et al (2013) konstaterar att islastens effekt på en konstruktion bör bedömas utifrån ett medelvärde över hela belastningsytan och inte med utgångspunkt i en punktlast. Även mätmetoden påverkar den uppmätta islasten; värden från mätningar gjorda långt från dammväggen är inte relevanta som indikation på islasten.
Enligt Carter et al (1998) kan buckling av isen begränsa storleken på islasten på dammar. Fältmätningar på dammarna vid La Gabelle och vid LG Un jämförs med teoretiskt beräk-nade värden med slutsatsen att dessa stämmer väl överens. Den maximala beräkberäk-nade islasten för en vertikal damm med istjocklek 0,70 m uppgår därför till 148 kN/m, vilket kommer av Carter et al (1998)
𝐻1 = 253ℎ1,5 (2.3)
där H1 är lasten i horisontalled och h är isens tjocklek. 2.5.4 Fältmätning av islast
Isens påverkan på en betongdamm är mycket svår att mäta. Johansson et al (2013) menar att det krävs förbättrade metoder för mätning av islastens storlek i fält. När islastmätningar utförs är det ofta isens in-situ-tryck en bit från dammväggen som mäts. Eftersom isens termiska expansion sker ojämnt resulterar denna typ av mätningar sällan i relevanta värden avseende islastens storlek på dammväggen. Även att mäta direkt på dammväggen innebär problem, eftersom det finns risk att mätutrustningen lossnar när isen spricker på grund av vattenståndsvariationer och till följd av detta visar felaktiga värden.
Extremt höga värden på islasten har ofta uppmätts lokalt och kan eventuellt anses som punktlaster. För en betongdamm är en punktlast inte relevant vid bedömning av stabilitet, eftersom det finns skäl att anta att lasten på andra ställen på dammen är betydligt
mindre(Johansson et al, 2013). Dessutom förväntas islasten anta extrema värden relativt sällan och med lång återkomsttid, varför mätning under lång tid kan ge bättre mätvärden.
2.6 Risk och osäkerhet
Westberg (2010) hävdar att begreppet riskhantering har blivit allt vanligare inom damm-byggnad och att systematisk riskhantering, vilken innefattar riskanalys, riskvärdering och riskreducering, används allt mer inom området dammsäkerhet. En del i riskhanteringen är sannolikhetsbaserad stabilitetsanalys, en probabilistisk metod som bland annat använts vid bedömning av dammars brottsannolikhet samt för utvärdering av hur stor inverkan en viss parameter har på brottsannolikheten.
I tekniska sammanhang definieras risk ofta som produkten av sannolikheten för att en oönskad händelse inträffar och dess konsekvens (Spancold, 2012). Westberg (2010) menar att risk är ett resultat av osäkerhet; om osäkerheten elimineras finns ingen risk att ta hänsyn till. Att uppnå absolut säkerhet är en omöjlighet och heller ingenting som eftersträvas eftersom det skulle krävas oändliga resurser för att åstadkomma detta. Osäkerhet kommer alltid att existera, likaså risk, av vilket skäl riskhantering är en viktig process.
Osäkerhet kan delas in i epistemisk och aleatorisk osäkerhet (Der Kiureghian & Ditlevsen, 2009). Epistemisk osäkerhet beror på bristande kunskap och kan reduceras genom inhäm-tande av ytterligare kunskap från exempelvis mätningar. Aleatorisk osäkerhet är slump-mässig, den kan beskrivas men inte reduceras. Eftersom aleatorisk osäkerhet inte går att
mässig, den kan beskrivas men inte reduceras. Eftersom aleatorisk osäkerhet inte går att beräkna bidrar ytterligare mätvärden inte till att minska osäkerheten. Hållfastheten på betong är ett exempel på epistemisk osäkerhet; fler tester och mätningar leder till minskad osäkerhet på hållfasthetens storlek. Exempel på aleatorisk osäkerhet är vindlast, den är slumpmässig och trots mätningar går det inte att förutse hur stor lasten kommer att vara i nästa stund (Spross et al, 2013).
Minskad osäkerhet hos parametrarna leder till en säkrare konstruktion konstaterar Jeppsson (2003) och menar att probabilistiska metoder, såsom tillförlitlighetsanalys, ofta är mer användbara som beslutsunderlag vid riskhantering än deterministiska metoder. Spross et al (2013) anser att probabilistiska metoder lämpar sig bättre för tillståndsbedömning av befintliga dammar, om mätningar ska användas till att minska osäkerheter, eftersom deter-ministiska metoder inte tar hänsyn till parametrarnas spridning. Kirchsteiger (1999) kon-staterar att för probabilistiska metoder kan parametrar som har stor inverkan på resultatet identifieras med hjälp av sensitivitetsanalys. Om osäkerheten kring den givna parametern är stor görs ytterligare analyser vilket således kan reducera osäkerheten kring specifika para-metrar för att förbättra precisionen vid beräkning av exempelvis brottsannolikheten för en konstruktion.
I nästa avsnitt ges en kort sammanfattning av tillförlitlighetsteori samt definitioner av vissa centrala begrepp.
2.7 Tillförlitlighetsteori
Det har skrivits mycket om tillförlitlighetsteori och FORM (First-order reliability method). Det här kapitlet är en kort introduktion till teorin bakom tillförlitlighetsanalys baserad på Hasofer och Lind (1974), Melchers (1999), Sørensen (2004), Der Kiureghian (2005) och Thoft-Christensen (2005). Tillförlitlighetsbaserade metoder har tillämpats vid analys av betongdammar av bland andra Jeppsson (2003), Carvajal et al (2007), Bernstone et al (2009), Westberg (2010), Ardiles et al (2011), Altarejos-García et al (2012), Westberg och Johansson (2013) och Su et al (2013).
När probabilistiska metoder används för utvärdering av hur säker en befintlig damm är utgår man från en gränsfunktion, g, vilken definierar gränsen mellan säkert och osäkert beteende för en konstruktion. Detta är ett centralt begrepp inom tillförlitlighetsteori och kan i det tvådimensionella fallet uttryckas som
𝑔(𝑅, 𝑆) = 𝑅 − 𝑆 (2.4)
där R representerar konstruktionens bärförmåga och S är lasteffekten på konstruktionen.
I Figur 7syns en illustration av hur gränstillståndet, g(R,S)=0, delar in det tvådimensionella rummet i ett säkert område, g(R,S)>0, och ett osäkert område, g(R,S)<0.
Figur 7. Illustration av gränstillståndet (efter Alsén Farell & Holmberg, 2007).
När gränsfunktionen är definierad finns det flera olika metoder för att beräkna systemets tillförlitlighet; bland andra FORM (First-order reliability method) och SORM (Second-order reliability method). I denna rapport behandlas endast FORM, en metod som innebär att gränsfunktionen linjäriseras för att på ett enklare sätt kunna beräkna tillförlitligheten (Figur 8).
2.7.1 Tillförlitlighetsanalys
Tillförlitlighetsanalys är en probabilistisk metod för dimensionering och bedömning av dammkonstruktioner. Brottgränstillståndet g(R,S) kallas även för konstruktionens säker-hetsmarginal.
Det går att bestämma brottsannolikheten exakt i de fall som R och S är normalfördelade, oberoende stokastiska variabler och gränsfunktionen g(R,S) är linjär. Eftersom R och S är normalfördelade och g är en linjärkombination av de två innebär det att
säkerhets-marginalen g också är normalfördelad. Dess medelvärde, μg, beräknas med
𝜇𝑔 = 𝜇𝑅− 𝜇𝑆 (2.5)
vilket således är differensen mellan medelvärdena för R och S. Standardavvikelsen, σg, fås enligt
𝜎𝑔 = �𝜎𝑅2− 𝜎𝑆2 (2.6)
Säkerhetsindex β är kvoten av medelvärdet och standardavvikelsen för säkerhetsmarginal g, vilket beräknas med
𝛽 = 𝜇𝜎𝑔
𝑔 (2.7)
Definitionen av säkerhetindex β är antalet standardavvikelser, σg, som skiljer medelvärdet, μg, från origo, vilket visas i Figur 9. I samma figur illustreras även hur sannolikheten för brott, pf, är arean under funktionen på negativa sidan om origo.
2.7.2 FORM
En svårighet med ovan beskrivda metod är att resultatet förändras beroende på hur gräns-funktionen är definierad. Ekvation 2.8 och 2.9 ger inte alltid samma värde på säkerhets-index β, vilket betyder att beskrivningen inte är invariant.
𝑔(𝑅, 𝑆) = 𝑅 − 𝑆 (2.8)
𝑔(𝑅, 𝑆) = 𝑅𝑆 − 1 (2.9)
För att komma från problemet med invarians kan Hasofer-Lind-transformationen
användas (Hasofer & Lind, 1974). Här omvandlas de stokastiska variablerna till standardi-serade normalfördelade variabler, N(0,1). Efter transformationen bestäms det kortaste avståndet mellan gränsfunktionen och origo för att erhålla ett värde på säkerhetsindex β. Figur 8 transformeras till standardiserad normalfördelning och linjäriseras i
dimensioneringspunkten, vilket visas i Figur 10.
Formlerna som används för normalisering av variablerna ges hädanefter av 𝑅′ = 𝑅−𝜇𝑅
𝜎𝑅 (2.10)
𝑆′ = 𝑆−𝜇𝑆
𝜎𝑆 (2.11)
Gränsfunktionen, som beskrivs mer generellt i ekvation 2.4, uttrycks
𝑔(𝑅, 𝑆) = (𝜎𝑅 ∙ 𝑅′) − (𝜎𝑆 ∙ 𝑆′) + (𝜇𝑅 + 𝜇𝑆) (2.12)
Punkten som ger värdet på säkerhetsindex β kallas dimensioneringspunkt, här kallad y. Sen-sitivitetsfaktorn α beskriver hur stor inverkan olika parametrar har på ett visst problem. I Figur 11 illustreras hur sensitivitetsfaktorerna α är komponenter av riktningen för β. Värdet på dimensioneringspunkten y fås av
𝑦𝑖 = −𝛼𝑖𝛽 (2.13)
I många fall är brottgränsfunktionen icke-linjär, vilket också är fallet i den här rapporten. För beräkning av säkerhetsindex β och sensitivitetsfaktorn α krävs då en iterativ process. Först transformeras variablerna till standardiserad normalfördelning. Ett värde på
dimensioneringspunkten antas, brottgränsfunktionen och dess gradient beräknas, varefter ett förbättrat värde på dimensioneringspunkten kan bestämmas. Motsvarande
säkerhetsindex β beräknas och när detta konvergerar har dimensioneringspunkten hittats. För ytterligare läsning om tillförlitlighetsanalys med icke-linjära brottgränsfunktioner rekommenderas bland andra Melchers (1999) och Sørensen (2004).
2.7.3 Riktvärden för säkerhetsindex β i Eurokod
För konstruktioner i Sverige och EU finns riktvärden för säkerhetsindex β, vilka presen-teras i Eurokod (2002). Dock är dessa inte direkt applicerbara på dammkonstruktioner, vilket enligt Westberg (2010) är ett argument emot användandet av probabilistiska metoder inom dammområdet.
Förhållandet mellan säkerhetsindex β och brottsannolikhet pf anges i Eurokod (2002) som
𝑝𝑓 = Φ(−𝛽) (2.14)
där Φ är fördelningsfunktionen för den standardiserade normalfördelningen. Tabell 6 visar
relationen mellan säkerhetsindex och brottsannolikhet.
Tabell 6. Förhållandet mellan säkerhetsindex β och brottsannolikheten pf(efter Eurokod, 2002).
pf 10-1 10-2 10-3 10-4 10-5 10-6 10-7
β 1,28 2,32 3,09 3,72 4,27 4,75 5,20
I Eurokod (2002) definieras olika säkerhetsklasser med värden på säkerhetsindex β för 1 år respektive 50 år. Säkerhetsklassificeringen baseras på tre olika konsekvensklasser som tar hänsyn till risken för dödsfall samt risken för samhällelig, miljömässig och ekonomisk konsekvens. Dessa delas in i tre kategorier: hög risk, normal risk eller liten risk, vilka sedan kopplas till säkerhetsklasserna i Tabell 7.
Tabell 7. Rekommenderade värden för säkerhetsindex β (efter Eurokod, 2002).
Säkerhetsklass Referensperiod 1 år Minimivärden för Referensperiod 50 år β
RC3 5,2 4,3
RC2 4,7 3,8
RC1 4,2 3,3
När ett rekommenderat värde på β har valts från Tabell 7 jämförs det mot värdena i Tabell 6 för att få den accepterade brottsannolikheten pf.
3 Metod
I det här kapitlet presenteras den metod som använts för bestämning av islast, val av dammdimensioner samt vid tillförlitlighetsberäkning i Comrel. Det redogörs för vilka antaganden som har gjorts och varför vissa värden inte är lämpliga att ta med vid bestämning av islastens storlek. Resonemang kring variationen av dammarnas geometri presenteras, därefter en beskrivning av hur tillförlitlighetsberäkningen har gått till och avslutningsvis en tabell med det indata som har använts i analysen.
3.1 Bestämning av islastens fördelning 3.1.1 Bakgrund till val av mätdata
Syftet med rapporten är bland annat att bestämma en global fördelning av islasten. Detta innebär en fördelning som representerar islastens storlek och variation i hela världen. För att bestämma en global fördelning för islasten gjordes en litteraturstudie för att undersöka vilka fältmätningar av islasten som gjorts och av vilken kvalitet mätdata var. Faktorer som undersöktes var om det fanns beskrivet hur mätningarna var gjorda, för att minimera risken att inkludera punktlaster, samt under hur lång tid data hade insamlats. Litteraturstudien resulterade i mätdata från Monfore (1949, 1951, i Ekström, 2002), Comfort et al (2003, 2012) och Côté et al (2012), vilka presenteras i Appendix A.1.
Enligt Johansson et al (2013) presenterar Comfort et al (2003, 2012) och Côté et al (2012) en av 2000-talets mest omfattande studier av islast och dess påverkan på betongdammar. De genomförde fältmätningar från år 1992 till år 2011. Timco et al (1996) konstaterar att mätningar gjorda före år 1984 inte är tillförlitliga på grund av dålig mätutrustning. Detta resonemang ledde till att mätdata inhämtad innan år 1984 inte togs med vid bestämning av islastens storlek och fördelning, och följaktligen uteslöts mätdata från Monfore (1949, 1951, i Ekström, 2002).
Comfort et al (2003, 2012) och Côté et al (2012) studerade islasten och dess påverkan på betongdammar i Kanada.In-situ-spänningar i isen mättes med sensorer och 5-10 m från dammen placerades sensorer ut i två grupper för att mäta spänningarna vinkelrätt mot dammen. Genom att integrera de uppmätta spänningarna över isens tjocklek beräknades linjelasten.
Största delen av de mätdata som användes i den här rapporten är årsmaximum; maxvärden uppmätta under en vintersäsong. Detta gäller dock inte för Otto Holden Dam East, Otto Holden Dam Main samt Arnprior Dam vilka representeras av två-, tre-, respektive fyraårs-maximum under mätperioden åren 1992-1996. Då övriga mätvärden från dessa dammar understiger maximumvärdena bidrar dessa till att islastfördelningen ger höga värden med för stor sannolikhet. Trots detta gjordes bedömningen att de inte skulle väljas bort eftersom användandet av dessa värden resulterar i en mer konservativ islastfördelning. Ytterligare mätdata uteslöts ur analysen mot bakgrund av det resonemang som förs av Carter et al (1998) och presenteras i kapitel 2.5.3. Carter et al (1998) hävdar att den verkliga
islasten har ett maxvärde och att islastens storlek begränsas av buckling av isen (se ekvation 2.3). Värdet på istjockleken h sattes till 1 m, eftersom största uppmätta istjocklek i norra Sverige är av den storleksordningen (Eklund, 1998).
Maxlasten beräknades med ekvation 2.3 𝐻1 = 253 ∗ 11,5
𝐻1 = 253 𝑘𝑁/𝑚
vilket gav det maximala värdet för indata. Detta resulterade i att två mätvärden från Seven Sisters Dam, 324 kN/m och 374 kN/m (Comfort et al, 2003) togs bort vid beräkning av islastens fördelning.
3.1.2 Anpassning till kurva i MATLAB
I MATLAB (MathWorks, 2012) anpassades mätdata till en lognormalfördelad kurva. Detta antagande gjordes efter att ha analyserat ett histogram av mätdata (Figur 12). Eftersom extrema islaster uppkommer avsevärt mer sällan än lägre laster samt att inga negativa islaster kan uppkomma valdes att anpassa mätdata till en lognormalfördelning.
Lognormalfördelning är asymmetrisk kring sitt medelvärde; en majoritet av de värden som fördelningen sannolikt kan anta är större än medelvärdet. Dessutom kan fördelningen inte anta negativa värden. För lognormalfördelning är värt att notera att medelvärdet skiljer sig från det troligaste värdet. Medelvärdet är det värde som delar arean under
täthets-funktionen mitt itu, det troligaste värdet är där täthetstäthets-funktionen har sin topp.
För att anpassa mätdata till en lognormalfördelning användes kommandot lognfit, vilket
gav värdena på sökta parametrar μ och σ. Koden finns presenterad i Appendix A.2.
Figur 12. Histogram som beskriver indata för beräkning av islastens fördelning.
Dessa staplar representerar de värden som inte togs med i beräkningen av islasten (324 och 374 kN/m uppmätta vid Seven Sisters Dam, se Appendix A.1).
För att ta reda på hur stor sannolikheten är att den statistiska fördelningen ger ett värde på islasten större än beräknat maximum, trots att mätdata över detta värde uteslutits, trans-formerades den lognormalfördelade islasten till standardiserad normalfördelning i logplanet i MATLAB (MathWorks, 2012) med kommandot normfit. Eftersom
𝑋 ∈ 𝑙𝑜𝑔(𝜇, 𝜎) (3.1)
där X är islasten blev resultatet att medelvärdet i lognormalplanet μlog = 4,00 och
standard-avvikelsen i lognormalplanet σlog = 0,875. För att bedöma sannolikheten att islasten blir större än 253 kN/m
𝑃(𝑋 ≥ 253𝑘𝑁/𝑚) = Φ𝑋(𝑥) (3.2)
beräknades arean under täthetsfunktionen för x > ln(253)
Φ𝑋(𝑥) = 1 − φ �𝑥−𝜇𝜎 � = 1 − φ �ln (253)−4,000,875 � = 0,04 (3.3)
Resultatet, en sannolikhet på 4 %, skulle innebära att islasten antar värden över 253 kN/m en gång varje 25 år. Mot bakgrund av resonemang som förs i kapitel 2.5.3. om maximal islast ansågs detta orimligt, varför islasten trunkerades i Comrel (RCP Consult, 2011) vid värdet 253 kN/m. För att påvisa den effekt extrema men osannolika värden tros ha på brottsannolikheten genomfördes analysen i Comrel för både trunkerad och otrunkerad islast (se närmare förklaring av trunkering i kapitel 3.2.2).
3.2 Sannolikhetsbaserad stabilitetsanalys 3.2.1 Val av dammdimensioner
I det här avsnittet presenteras antagna dammdimensioner baserat på antaganden gjorda av Alsén Farell och Holmberg (2007) om inget annat anges.
Tre olika dammtyper har analyserats; en massivdamm och två typer av lamelldammar där lamell 1 har en vertikal frontplatta och lamell 2 har en lutande frontplatta. För dessa tre typer av dammar har lämpliga dimensioner bestämts. Dammarnas höjd har varierats från 3-21 m med ett höjdsteg på 1,5 m med två kompletterande höjder på 25 m och 28 m. Detta har resulterat i 15 olika dammdimensioner för varje dammtyp. De lägre dammhöjderna har valts för att tydliggöraislastens påverkan på dammens stabilitet för låga dammar. Den högre höjden på 21 m har antagits vara en medelhöjd på Vattenfalls dammaroch genom att lägga till höjderna 25 m och 28 m har utvärdering av islastens påverkan på högre dammar möjliggjorts. Dammens övriga dimensioner, fribord, krönbredd och lutningen på dammens nedströmssida, har ansatts för att motsvara verkliga dimensioner.
Dammens fribord, avståndet från dammens övre kant till vattennivån, har valts enligt Tabell 8, vilken är baserad på en sammanställning gjord av Alsén Farell och Holmberg (2007) av Vattenfalls dammbestånd.
Tabell 8. Valda fribord (efter Alsén Farell & Holmberg, 2007).
Dammhöjd (m) Medel fribord (m) Baserat på antal dammar
0-5 0,591 46
5-10 1,206 30
10-20 1,289 30
20-45 1,675 7
Krönbredden för dammarna har varierats med dammhöjden från 3-4,5 m med 0,5 m längdsteg. Lutningen på massivdammarnas nerströmssida har valts till 50° vilket är vanlig lutning på nerströmssidan.
Specifika dimensionsvariationer för lamelldammarna är monolitbredd och tjocklek på pelare och frontplatta (Figur 3).För att få konstanta förhållanden mellan lamelldammarnas dimensioner används dammens monolitbredd för att beräkna pelarnas och frontplattans tjocklek:
𝑡𝑓 = 𝑏𝑚 ∗ 0,1 (3.4)
𝑡𝑝𝑒𝑙 = 𝑏𝑚 ∗ 0,2 (3.5)
där tf är frontplattans tjocklek, tpel är pelarens tjocklek och bm är monolitens bredd. Lamell-dammarna med lutande frontplatta har ansatts med en lutning på 70° mot dammens upp-ströms sida.
Dammarnas dimensioner har bestämts för att uppfylla RIDAS (2011) krav på stabilitet med hänsyn till glidning och stjälpning. Dammens bottenlängd, den enda okända parametern då övriga redan bestämts ovan, har beräknats för varje dammhöjd med lasteffekter av
dammens massa, upptryck, hydrostatiska tryck samt deterministiskt värde på islasten (200 kN/m) så att säkerhetsfaktorn i RIDAS uppfylls, se Appendix B.1 och B.2. Från de två värdena på bottenlängden för varje höjd som fås från RIDAS (2011) krav antogs längderna variera linjärt mellan de två värsta fallen, se Tabell 9 för lamelldammar typ 2. Utifrån de värdena som fås från den linjära approximationen har det maximala värdet för botten-längden valts ut från fallen glidning eller stjälpning för varje höjd. Dessa maximala värden för bottenlängden har sedan använts i stabilitetsanalysen i Comrel (RCP Consult, 2011) och presenteras i Figur 13. Bottenlängder för alla dammtyper finns i Appendix B.4.
Vid den linjära approximationen av lamelldammar typ 1 och 2 har bottenlängderna för låga dammar, 3-4,5 m, vid glidningsfallet inte tagits med då dessa värden ger orealistiskt höga värden för en damms bottenlängd. Dessa höga värden uppstår på grund av att det höga värdet på islasten utgör en väldigt stor andel av lasterna och för att stabilisera detta så krävs väldigt stora dimensioner. Detta innebär således att de två minsta dammarna blir under-dimensionerade enligt RIDAS.
Figur 13. De bottenlängder som används för varje dammtyp är det maximala värdet för varje höjd som resulterat efter den linjära approximationen.
Tabell 9. Nya beräknade bottenlängder efter antagna linjära värden för lamelldamm typ 2.
Höjd
(m) Glidning (m) Stjälpning (m) Dimensionerande bottenlängd (m)
3 13,3 8,0 13,3 4,5 13,8 8,3 13,8 6 14,4 8,7 14,4 7,5 14,9 9,0 14,9 9 15,5 9,4 15,5 10,5 16,1 9,7 16,1 12 16,6 10,1 16,6 13,5 17,2 10,4 17,2 15 17,7 10,8 17,7 16,5 18,3 11,1 18,3 18 18,8 11,5 18,8 19,5 19,4 11,8 19,4 21 20,0 12,2 20,0 25 21,4 13,1 21,4 28 22,6 13,8 22,6 3.2.2 Laster
I det här avsnittet presenteras indata där samma antaganden har använts som de som til-lämpats av Bernstone et al (2009) om inget annat anges.
Dammarnas egentyngd har beräknats med hållfastheten för betong fb = 20 MPa och dess tunghet som normalfördelad med ett medelvärdepå 23 kN/m3 och standardavvikelse på
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 3 4,5 6 7,5 9 10,5 12 13,5 15 16,5 18 19,5 21 22,5 24 25,5 27 28,5 Da mmhöj d [m] Bottenlängd [m] Dammarnas bottenlängd Massivdamm Lamelldamm 1 Lamelldamm 2
0,92 kN/m3 (JCSS, 2001; Bernstone et al, 2009). Vattnets egentyngd har ansatts med ett deterministiskt värde (Tabell 10).
Eftersom det inte finns tillräckligt med underlag för hur en statistisk fördelning ser ut för upptryck och friktion, har osäkerheten behandlatsför dessa variabler genom att ansätta konservativa värden med en stor standardavvikelse. Friktionskoefficienten har ansatts med ett medelvärde på 1,18 och en standardavvikelse på 0,12. Förhållandet mellan friktions-vinkeln och friktionskoefficienten presenteras i kapitel 2.4.1.2 i ekvation 2.2. Värden för upptrycket har valts att behandlas med en modellosäkerhetsvariabel, C med ett medelvärd på 1 och variationskoefficient på 15 %. Upptrycket har beräknats på samma sätt som vid deterministisk analys, men med modellosäkerhetsvariabeln C tillagd i ekvationerna:
𝑈 = 𝜌∗𝑔∗ℎ∗𝑙2 ∗ 𝐶 (3.6)
𝑀𝑈 =𝜌∗𝑔∗ℎ∗𝑙
2
3 ∗ 𝐶 (3.7)
där U är upptrycket, MU är momentet för upptrycket, 𝜌 är betongens densitet, g är
tyngd-accelerationen, h är dammhöjden och l är dammbredden.
Islasten har ansatts på tre olika sätt för att utreda vilken inverkan islasten har på brott-sannolikheten, samt hur extremt höga värden på islasten påverkar dammens sannolikhet för brott. Islasten hanteras som följer:
• Ingen islast.
• Islastens fördelning. Trunkeras vid beräknat teoretiskt maxvärde 253 kN/m. • Islastens fördelning trunkeras ej.
Trunkering innebär att alla värden större än beräknat maxvärde på 253 kN/m tas bort, vilket i sin tur innebär att sannolikheten elimineras för den statistiska fördelningen att anta ett värde på islasten som är större än beräknat maximum.Den trunkerade fördelningen justeras så att den totala summan av sannolikheten under grafen fortfarande förblir 1.
3.2.3 Brottgränsfunktioner för analys i Comrel
RIDAS (2011) stabilitetskrav utgör grunden vid beräkningarna för brottsannolikheten och jämviktsekvationer har satts upp (Figur 14). Brottgränsfunktionen för stjälpning har
definierats i ekvation 3.8 som R-S, där R är konstruktionens mothållande moment och S är det pådrivande momentet som påverkar konstruktionen. För stjälpning gäller
𝑔(𝑅, 𝑆) = 𝑀𝑅− 𝑀𝑆 (3.8)
där
MR = Mothållande moment, 𝑀𝑅 = 𝐺 ∗ ℎ𝐺
Figur 14. Laster som påverkar dammens stabilitet.
där G är dammens tyngd och hG dess hävarm, U är upptryck med hävarmen hU, H är
hyd-rostatiskt tryck och hH är dess hävarm och I är islast med hävarmen hI.
I fallet med glidning har hänsyn tagits till friktionen men inte till kohesion då RIDAS rekommenderar att enbart friktion medräknas vilket innebär ett konservativt antagande att kontakten mellan berg och betong är bruten. Vid uppsättning av brottgränsfunktionen har Mohr-Coulomb-kriterierna använts för gravitationsdammar. För glidning gäller
𝑔(𝑅, 𝑆) = 𝑁 ∗ 𝑡𝑎𝑛𝜃 − 𝑇 (3.9)
där
N = Resultanten för krafter vinkelrätt glidplanet, 𝑁 = 𝐺 − 𝑈 T = Resultanten för krafter parallellt glidplanet, 𝑇 = 𝐻 + 𝐼 θ = Friktionsvinkel (°)
3.2.4 Analys i Comrel
I Comrel (RCP Consult, 2011) har en sannolikhetsbaserad stabilitetsanalys utförts. Comrel använder sig av FORM(First-order reliability method) för utvärdering av brottsannolik-heten vilken har använts då den behandlar icke-linjära brottgränsfunktioner vilket är appli-cerbart på de analyser som utförts här, se även kapitel 2.6. En inbyggd funktion har använts i Comrel för att trunkera islasten i analysen vilken tar hänsyn till att skala om funktionen så att den totala arean under grafen förblir 1.
Figur 15. Schematisk bild över modeller och lastfall som analyserats.
Resultatet av beräkningarna har bearbetats i Excel för att skapa grafer som visar på skill-naden i brottsannolikheten för dammen när islasten tas med i analysen jämfört med när dammen inte utsätts för någon islast. Den beräknade brottsannolikheten jämfördes mot accepterad brottsannolikhet, antagen från Eurokod (2002). I den här rapporten antogs säkerhetsklass RC2 som ett medelvärde för alla dammar. Den årliga brottsannolikheten har beräknats, varför referensperiod 1 år har använts (Tabell 7). Detta gav ett riktvärde på säkerhetsindex β = 4,7 vilket resulterade i en accepterad brottsannolikhet pf ≤ 10-6 (Tabell 6).
3.2.5 Indata
Följande indata har använts i analysen för beräkning av sannolikheten för att dammen ska gå till brott. I Tabell 10 anges de konstanter som använts i beräkningarna och i Tabell 11 visas de stokastiska variablerna med vald fördelning. Tabell 12 visar hur indata har varierats för islasten med olika variationskoefficienter. Variationskoefficienten för islasten har varie-rats, med syfte att utreda vilken effekt höga värden på islasten har på sannolikheten för brott.
För dammarnas bottenlängder och höjder, se Figur 13 i kapitel 3.2.1.
Tabell 10. Indata för konstanter.
Konstanter Värde Enhet
Fribord Tas från beräkningar, se Appendix B.2. m Hydrostatiskt tryck kN/m2 Krönbredd m Monolitbredd m Tjocklek pelare m Tjocklek frontplatta m Upptryck kN/m2 Vinkel nedströms 50/70 ° Vattnets densitet 10 kN/m3 Gravitationsdammar i betong Glidning
Massivdamm Lamelldamm 1 Lamelldamm 2
Stjälpning
