Teori om strålar - för vägledning vid utformning av lockvatten

(1)

Teori om strålar – för vägledning vid

utformning av lockvatten

(2)

(3)

Teori om strålar – för vägledning vid

utformning av lockvatten

Patrik Andreasson

Luleå tekniska universitet

Institutionen för teknikvetenskap och matematik Avdelningen för Strömningslära och experimentell mekanik

(4)

ISSN 1402-1536

ISBN 978-91-7790-512-7 (pdf)

Luleå 2019

(5)

RAPPORT 2(13)

Ansvarig enhet Datum Dnr

Strömningslära 2019-12-06

Handläggare Process Version

Patrik Andreasson 1.0

Luleå tekniska universitet 971 87 Luleå 0920-49 10 00 www.ltu.se

Innehållsförteckning

SAMMANFATTNING ... 3 INLEDNING ... 3 BAKGRUND ... 3 SYFTE ... 4 ENKLA STRÅLAR ... 5

STRÅLAR I ETT TVÄRFLÖDE... 7

KÄLLFÖRTECKNING ... 10

ENKLA STRÅLAR OCH GENERELL TEORI OM STRÅLAR ... 10

STRÅLAR I TVÄRFLÖDEN ... 11

(6)

RAPPORT 3(13)

Sammanfattning

Fiskvandring uppströms förbi dammanläggningar fordrar normalt mer vatten än vad som krävs för själva fiskpassagen. För att attrahera vandrande fisk tillförs oftast därför s.k. lockvatten som ger ett mer märkbart flöde för vandrande fisk. I denna rapport synliggörs den rätt omfattande teoribildning kring s.k. turbulenta strålar som redan finns tillgänglig i litteraturen för teknisk design och utformning för olika tillämpningar, t.ex. inom recipienthydrauliken. Med relativt enkla och lättanvända samband presenteras hur klassisk teori för turbulenta strålar kan användas för att uppskatta lockvattens spridning i nedströmsområdet i anslutning till turbin-utlopp och eventuell avbördning via utskov. Även om användningen av teorin på just denna tillämpning är relativt oprövad och egentliga ”case studies” saknas (vad författaren vet) bedöms strålteorin vara ett verktyg för att mer effektivt prediktera lockvattnets penetration och omblandning i nedströmsområdet.

Inledning

Lockvatten används för att förstärka attraktionen för vandrande fisk i sitt sökande efter en fortsatt passage uppströms förbi olika hinder, ofta dammbyggnader. Lockvatten konkurrerar med turbinvattenföringen och ibland också med spill via utskov. Att hushålla med vattnet för lockvatten kräver att det introduceras det på rätt plats, i rätt mängd och med rätt egenskaper (hastighet, turbulens, fördelning, m.m.). Med hjälp av teori om s.k. ”turbulent jets” eller turbulenta strålar kan värdefull vägledning erhållas om och hur detta kan åstadkommas. Avsikten med detta dokument är att ge exempel på hur strålar kan användas i tillämpningen lockvatten. Då teorin bygger på idealiserade förhållanden för strålar och erfarenheterna av att applicera strålteori på tillämpningen lockvatten är begränsad, kan man förvänta sig att de mer komplicerade förhållandena i en verklig tillämpning påverkar resultaten. Viss försiktighet bör därför iakttas vid i tolkningen i ett designarbete. Det är dock bedömningen att teoribildningen tillför ett underlag som är värdefullt som guide i designen av lockvatten.

Bakgrund

En stråle (”jet”) är ett sammanhängande flöde som penetrerar in i en större volym vätska och bildar en plym som gradvis blandar sig med omgivningen. Strålens hastighet avtar och dess blandning med omgivande vätska ökar med avståndet från strålens mynning. Vätskorna kan ha olika densitet (t.ex. vatten med olika temperatur) men i vårt fall (lockvatten) kan detta bortses ifrån. Med ”sammanhängande flöde” avses att strålen tillförs via ett enda munstycke. Teorin här bygger också på att med ”större volym” avses en volym där strålen inte märkbart ”krockar” med någon begränsningsyta för strålens rörelse.

Tillämpningen lockvatten innebär ofta interaktion mellan strålen och vattenytan respektive vattendragets botten. Detta påverkar strålen. Försiktighet bör därför iakttas i att tolka

(7)

RAPPORT 4(13)

av ett biflöde i ett sammanflöde med huvudflödet, finns det i avsnitt 7referenser till viss teori kring biflöden (”junction flow”).

Teorin kring strålar är hittills sällan använd för lockvatten och några fallstudier med denna tillämpning hade varit värdefull. Som en grov men enkel metod för att prediktera lockvattnets penetration och spridning i kraftverks nedströmsområden ger teorierna dock värdefull

vägledning. För snarlika tillämpningar och flödesförhållanden inom recipienthydraulik, har teorierna använt med framgång för utsläpp och omblandning i vattendrag.

I detta dokument särskiljs två sorters strålar:

 Enkla strålar som penetrerar ut från en vägg vinkelrätt mot densamma. Detta är en teoribildning som för lockvatten främst skall användas för att attrahera fisk som befinner sig i en skyddad, läad del av nedströmsområdet.

 Strålar i ett tvärflöde som likt enkla strålar penetrerar ut från en vägg men in i ett huvudflöde med riktning parallellt med väggen. Detta är relevant för lockvatten som tillförs delar av nedströmsområdet påverkat av det större flödet från turbinerna. Merparten av teorin kring strålar baserar sig på strålar vars munstycken är cirkulära. I vår tillämpning lockvatten är detta långt ifrån alltid fallet. Strålar från ett rektangulärt tvärsnitt vars form inte avviker allt för mycket från det kvadratiska kallas i litteraturen för ”bluff jets”. För dessa kan approximativt användas ekvationer för cirkulära strålar om inloppsdiametern 𝐷 ersätts med 2𝜋 . _{√𝐴 ≈ 1.13√𝐴 där 𝐴 är tvärsnittsarean (Rajaratnam, 1976). Längdskalan √𝐴}

kan förstås också fås ur uttrycket √𝐴 = 𝑄 𝑈⁄ om detta är mer relevant. Här är 𝑄 och 𝑈 flöde respektive medelhastighet i strålens mynning. Denna transformation till √𝐴 kan göras om utloppet för lockvattnet inte har alltför komplicerad eller långsmal form. För det senare fallet finns mycket publicerat kring s.k. plana strålar (”plane jets”). Dessa skiljer sig från cirkulära strålar något. Plana strålar berörs ej ytterligare i denna rapport då de inte bedöms utgöra den normala situationen för lockvatten. De beskrivs dock väl i t.ex. Fisher m.fl. (1979) eller Rajaratnam (1976).

Syfte

Syftet med denna rapport är att utgöra en guide hur teori om strålar kan användas som ett underlag för design av lockvatten, i de fall då inte en mer fullvärdig strömningssimulering (t.ex. CFD) kan motiveras. Denna rapport är inte en komplett genomgång av all teori och alla modeller utan har fokus på att presentera ett fåtal modeller som bedöms ge acceptabla

prediktioner av medelströmmens utbredning i strålar relevanta för tillämpningen lockvatten. Här har valts ut ekvationer som är relativt enkla, har utbredd acceptans (refereras till och används av många forskare) och inte minst har en förankring i strömningsförhållanden som är relevanta för lockvattentillämpningen (höga Reynoldstal, måttliga hastighetskvoter, icke densitetsdrivet, etc). Mångfalden av modeller är dock stor och den intresserade läsaren uppmanas att läsa vidare av valda delar av referenslistan. Några bra lästips ur denna för att komma in i området är:

(8)

RAPPORT 5(13)

 Fisher et al. (1979): en översikt ur ett recepienthydrauliskt perspektiv  Rajaratnam (1976): En grundlig genomgång av teori kring strålar  List (1982): En sammanställning av teori för enkla strålar

 Mahesh (2013): Grunderna för strålar i ett tvärflöde

 Pope, S. (2000): Enkla strålar, teori för medelström och turbulens

Enkla strålar

Den teoribildning som finns på enkla strålar är relativt samstämmig i teorin, om än något varierande vad gäller koefficienternas värden och hur modeller används. De flesta bygger på en cirkulär stråle som penetrerar ut i en stillastående vätska. Efter en etableringsfas kommer formen av strålen bli konisk, d.v.s. strålens yttre gränser expanderar med en linjärt ökande diameter. En del referenser har använt infärgning av strålen för sina experiment. Då spridningen av ett ämne skiljer sig från spridningen av momentum (manifesterat som

hastighetsprofilens utveckling) har en del tidiga referenser överskattat strålens spridning (m.a.p. flödet). T.ex. är strålens utbredning av värme (”temperatur”) 10-40% större än motsvarande för rörelsemängd (”momentum”). Notera att s.k. turbulenta Prandtl-tal som används i de flesta spridningsmodeller för värme, med ett värde på 0.7-0.9, korresponderar mot detta. För en enkel stråle som penetrerar in i en stillastående volym så kan man särskilja två skeden i strålens utveckling:

 Under ungefär 6-10 initiala stråldiameterar nedströms eroderar sidorna på strålens uniforma mittdel successivt ner till att i slutet av denna sträcka bilda en gaussisk formad (normalfördelad) profil. Fram till dess detta sker behåller strålen samma maxhastighet som vid mynningen. Denna zon benämns ibland ”zone of flow establishment” (ZFE) eller “near-field”.

 Nedströms ZFE utvecklas strömningen till att bli s.k. ”self-similar”, d.v.s. rätt skalad är den dimensionslösa strömningsprofilen den samma oavsett avstånd från strålens

mynning. Denna region benämns ibland ”zone of estatblished flow” (ZEF) eller ” far-field”.

Här har valts att använda textboken Fisher m.fl. (1979) som huvudreferens, även om dess underlag hämtats ur ett flertal andra referenser. Med koefficient enligt rekommendation av Fisher m.fl. (1979) kan man uttrycka strålens mitt- eller maxhastighet 𝑈 som:

𝑈 (𝑥) 𝑈 = 7

√𝐴

𝑥 𝑥 ≫ √𝐴

där 𝑥 är avstånd från mynningen och 𝑈 mynningshastigheten. Som framgår av uttrycket så är detta ett uttryck för ZEF. Notera att för 𝑈 (𝑥) = 𝑈 är 𝑥 = 7√𝐴. Uppströms detta avstånd

(9)

RAPPORT 6(13)

från mynningen är maxhastigheten som nämnts tidigare 𝑈 = 𝑈 . Den kompletta modellen för strålens hastighet blir alltså:

𝑈 (𝑥) 𝑈 = 1 𝑥 ≤ 7√𝐴 𝑈 (𝑥) 𝑈 = 7 √𝐴 𝑥 𝑥 > 7√𝐴

Som nämnt är hastighetsprofilen tvärs rörelseriktningen gaussisk i ZEF: 𝑢(𝑟, 𝑥) = 𝑈 (𝑥) × exp − 𝑟

𝑟.

där 𝑟_. är den s.k. halvvärdesbredden, där strålradien 𝑟 där 𝑢(𝑟, 𝑥) har halva värdet av 𝑈 (𝑥). Eftersom strålen expanderar koniskt i ZEF måste sambandet mellan radien och avstånd från mynningen vara linjärt. Med konstant från Fisher m.fl. (1979) uttrycks detta som:

𝑟. = 0.107𝑥

Strålen river med sig omgivande vatten (”entrainment”) vilket gör att flödet kontinuerligt ökar från mynningsflödet med avståndet 𝑥. Flödet 𝑄(𝑥) ges av integralen:

𝑄(𝑥) = 𝑢(𝑥) × 2𝜋𝑟 d𝑟 = 𝜋𝑟 _. 𝑈 (𝑥) = 7𝜋(0.107) 𝑥 √𝐴 𝑥 𝑈 ≈ 0.25𝑥 𝑄 √𝐴 eller 𝑄(𝑥) 𝑄 ≈ 0.25 𝑥 √𝐴

Här bör nämnas att det finns en viss spridning i konstanten i uttrycket bland alla de studier som gjorts på enkla strålar. Värdet 0.25 från Fisher m.fl. (1979) är ett medelvärde av ett 15-tal olika studier, de flesta med mindre än ±10% avvikelse. Ett tidigt arbete av Albertson m.fl. (1950) är en av dem, De visas nedan då de också ger en profil för ZFE (”near-field”):

𝑄 𝑄 = 1 + 0.074 𝑥 √𝐴+ 0.0101 𝑥 √𝐴 𝑥 ≤ 7√𝐴

(10)

RAPPORT 7(13)

𝑄

𝑄 = 0.28 𝑥

√𝐴 𝑥 > 7√𝐴

Figur 1 nedan illustrerar en enkel stråle med arean 𝐴 = 2 m och 𝑈 = 2 m/s.

Figur 1. Enkel stråle: 𝐴 = 2 m2_{och 𝑈 = 2 m/s. Strålens form (streckade och heldragna blå linjer) är för 𝑟}

. ,

d.v.s. den radie där hastigheten har reducerats till hälften av det i strålens centrum. Ljusblå områden illustrerar hastighetsprofilens variation i 𝑟-riktningen. Måtten på axlarna är i meter. Strålens form i ZFE är interpolerad mellan munstycket med 𝑟 = 𝐴 𝜋⁄ (d.v.s. 𝐷 2⁄ ) och 𝑟 = 0.107 × 7√𝐴 som satisfierar ovan ekvationer.

Strålar i ett tvärflöde

I Litteraturen finns ett flertal arbeten rapporterade om strålar i ett tvärflöde (”jets in a cross flow” eller ”transverse jets”). För en enkel stråle som beskrivits ovan är längd och hastighets-skalor i allt väsentligt givet av några få parametrar hos strålen. Det underlättar teoribildningen och innebär att enkla och skalbara samband kan skapas och experimentella studier ger

likartade resultat så länge villkoren för skalningen är uppfyllda.

Den enklaste strålen i tvärflöde liknar den i avsnitt 5, med skillnaden att den omgivande fluiden inte är stillastående utan rör sig med en jämn (uniform och stationär) hastighet parallellt med väggen där strålen mynnar. Komplexiteten i strömningen blir dock mycket större med introduktionen av tvärflödet. Entydiga och universella längd- och hastighetsskalor som ger ”self similarity” (skalbara ”uniforma” profiler) existerar inte för detta fall. Spridningen i resultaten från gjorda studier spretar också mycket mer än för den enkla strålen (avsnitt 5), även för det mest studerade fallet med en cirkulär stråle i rät vinkel (anfallsvinkeln 𝛼 = 𝜋 2⁄ ) mot och mynning i plan med en vägg. Tre dimensionslösa tal formulerar dock

fråge-ställningen i de flesta fall (tillsammans med anfallsvinkeln 𝛼):

 Kvoten av rörelsemängdsflux hos strålens flöde och tvärflödet (”momentum flux”: rörelsemängd per ytenhet), d.v.s. 𝐽 = 𝜌 𝑈 (𝜌 𝑈 )⁄ . Notera att 𝐽 också är kvoten av dynamiska tryck mellan flödena. Eftersom vi i tillämpningen lockvatten har samma

(11)

RAPPORT 8(13)

densitet i bägge flödena, reduceras uttrycket till kvadraten av hastighetskvoten 𝐽 = 𝑈 ⁄𝑈 . Här är 𝑈 hastigheten hos tvärflödet.

 Avståndet från mynningen på strålen, vinkelrätt mot väggen, normaliserat med roten ur mynningsarean (se avsnitt 3): 𝑥/√𝐴. I de flesta fall skalas också 𝑥 med

hastighetskvoten 𝐽 också, dock på lite olika sätt.

 Motsvarande avstånd från mynningen men i riktning parallellt med vägg och tvärflöde: 𝑧/√𝐴.

Ett av de mer refererade arbetena är av Pratte & Baines (1967) vad gäller trajektorier för en stråle i ett tvärflöde. Den längdskala de föreslog ( 𝐽𝐴) är en av de vanligaste i senare arbeten, även om det finns en mindre spridning i vilka koefficienter man använder. Deras trajektorier för 𝛼 = 𝜋 2⁄ kan beskrivas med

𝑧 𝐽𝐴= 𝑐

𝑥 𝐽𝐴

där 𝑏 = 0.28 och 𝑐 = [1.47 2.24 2.87] för nedre gräns, centrumlinjen respektive övre gräns för strålen. Enligt Margason (1993) är spridningen är 1 < 𝑐 < 2.3 respektive 0.28 < 𝑏 < 0.34 för centrumlinjen, baserat på ett stort antal studier. I Figur 2 illustreras Pratte & Baines (1967) ekvation.

Figur 2. Vattenstråle i tvärflöde enligt Pratte & Baines (1967). Strålen har arean 𝐴 = 2 m2_{, hastigheten 𝑈 = 2}

m/s och vinkeln 𝛼 = 𝜋 2⁄ . Tvärflödet har hastigheten 𝑈 = 1 m/s och längdkoordinaterna har enheten meter.

Här kan vara värt att reflektera lite över hastighetskvoten 𝐽 utifrån experimentella

observationer. För 𝐽 = 0.5 utbildas ingen ”fri” stråle alls, utan den trycks ner mot väggen enligt Andreopoulos & Rodi (1984). Fortsatt vid 𝐽 < 2 släpper inte strålen väggzonen helt (Gopalan m.fl., 2004) och fram till 𝐽 = 5 rapporterar Smith & Mungal (1998) en viss fortsatt interaktion med väggen. Då tillämpningen lockvatten normalt görs vid betydligt högre Reynoldstal än många av försöken, är det bedömningen att väggeffekterna är mindre uttalade

(12)

RAPPORT 9(13)

än i många av de refererade försöken. En extra stor försiktighet i tolkningen av resultaten bör dock iakttas om 𝐽 är nära 1 eller mindre.

För tillämpningen lockvatten är det, i de flesta fall, inte naturligt att introducera lockvatten-strålen i en rät vinkel mot turbinvattenföringen. För strålteorin innebär det alltså att vi behöver ett verktyg för att uppskatta strålen avböjning för alla 𝛼-vinklar, inte bara den räta. För en lutande stråle i ett tvärflöde (””inclined” eller ”obliquejet in a cross flow”) finns det flera olika ekvationer, vilka har olika formuleringsgrund och uppvisar en spridning i

resultaten. Många är relativt komplicerade med många parametrar och inte sällan

”sektionerade” med olika uttryck för beroende på sträckor eller vinklar. Rajaratnam (1976) beskriver fyra olika metoder. Här har dock valts en metod från Margason (1993) av tre skäl: den är relativt enkel att använda, den är kontinuerlig för alla vinklar och den kan med viss modifiering av konstanterna fås att harmoniera med tidigare använda Pratte & Baines (1967) för 𝛼 = 𝜋 2⁄ . Margason (1993) ”vänder på uttrycket” och gör 𝑥 till den beroende

koordinaten av den longitudinella koordinaten 𝑧. Med lite justering av uttrycket för centrumlinjens trajektorie blir Margasons modifierade ekvation:

𝑥 √𝐴= 𝛾 𝐽 . 𝑧 √𝐴 . + 𝛾 𝑧 √𝐴 Här blir 𝛾 = 0.056 sin 𝛼 och 𝛾 = cot 𝛼.

Anpassningen av Margason (1993) för att bli identiskt med Pratte & Baines (1967) vid 𝛼 = 𝜋 2⁄ innebär justeringar av koefficienten i 𝛾 samt i exponenterna.

Uttrycket för strålen riktad 30° snett mot tvärströmmen (𝛼 = 5𝜋 6⁄ ) och 30° snett med strömmen (𝛼 = 𝜋 6⁄ ) illustreras tillsammans med en rät vinkel från väggen (𝛼 = 𝜋 2⁄ ) i figur 3 nedan.

Figur 3. Stråle i en tvärström med olika anfallsvinklar 𝛼. Förhållandena är de samma som i figur 2: 𝐴 = 2 m2_,

(13)

RAPPORT 10(13)

Ovan har alltså getts en rekommendation hur man med enkla ekvationer kan få en ungefärlig bild hur lockvatten sprider sig i en nedströms vattenmassa. Även om ”case studies” saknas för just lockvatten (vad författaren känner till) så torde detta utgöra en guide för att effektivisera användandet av lockvatten i de fall då en fullständig strömningsmodellering inte genomförs. I vissa fall liknar lockvattenmynningen mer ett biflöde till nedströmsområdet. Teori för strålar är sämre anpassade för sådana fall. I avsnitt 7.3 nedan hänvisas till litteratur bättre lämpade för sådana lockvattenflöden (”junction flow”).

Källförteckning

Nedan anges de källor som refererats till i denna rapport. Förteckningen innehåller dock också källor som inte refererats till men som bedöms som intressanta för läsaren att införskaffa ytterligare information ur om innehållet i denna rapport inte ger det underlag som efterfrågas.

Enkla strålar och generell teori om strålar

Albertson M. L. , Y. B. Dai, R. A. Jensen & H. Rouse, 1950, Diffusion of Submerged Jets, Transactions of the American Society of Civil Engineers, 115(1): 639-664.

Ball, C.G., H. Fellouah & A. Pollard, 2012, The flow field in turbulent round free jets, Progress in Aerospace Sciences, 50:1–26.

Carazzo, G., E. Kaminski & S. Tait, 2006, The route to self-similarity in turbulent jets and plumes, Journal of Fluid Mechanics, 547:137-148.

Dimotakis, P.E., 2005, Turbulent Mixing, Annual Review of Fluid Mechanics, 37:329–356. Fischer, H.B., J.E. List, C.R. Koh, J. Imberger, N.H. Brooks, 1979, Mixing in Inland and Coastal Waters; Elsevier Inc., New York, NY, USA.

List, E.J., 1982, Turbulent Jets and Plumes, Annual Review of Fluid Mechanics, 14:189-212. Pope, S.B., 2000, Turbulent Flows, Cambridge University Press, Cambridge, U.K.

Rajaratnam, N., 1976, Turbulent Jets, Developments in Water Science, Volume 5, Elsevier Science, Amsterdam.

(14)

RAPPORT 11(13)

Strålar i tvärflöden

Abdelwahed, M.S.T., 1981, Surface jets and surface plumes in cross-flows, Ph.D. thesis, Department of Clvil Engineering and Applied Mechanics, McGill University, Montreal, Canada.

Andreaopoulos, J. & W. Rodi, 1984, Experimental investigation of jets in a crossflow, Journal of Fluid Mechanics, 138:93-127.

Andreaopoulos, J., 1985, On the structure of jets in a crossflow, Journal of Fluid Mechanics, 157:163-197.

Chu, V.H., 1985, Oblique Turbulent Jets in a Crossflow, Journal of Engineering Mechanics, 111(11): 1343-1360.

Coletti, F., M.J. Benson, J. Ling, C.J. Elkins, J.K. Eaton, 2013, Turbulent transport in an inclined jet in crossflow, International Journal of Heat and Fluid Flow, 43: 149-160. Dai C., L. Jia, J. Zhang, Z. Shu & J. Mi, 2016, On the flow structure of an inclined jet in crossflow at low velocity ratios, International Journal of Heat and Fluid Flow, 58: 11-18. Davidson, M.J. & K. L. Pun, 1999, Weakly Advected Jets in Cross-Flow, Journal of Hydraulic Engineering, 125(1):47-58.

Fearn, R.L., R.P. Weston, 1979, Velocity field of a round jet in a cross flow for various jet injection angles and velocity ratios, NASA Technical Paper, NASA TP-1506,

https://ntrs.nasa.gov/archive/nasa/casi.ntrs.nasa.gov/19790024329.pdf.

Feng, Y.-Y., Y.-P. Song & R.E. Breidenthal, 1998, Model of the Trajectory of an Inclined Jet in Incompressible Crossflow, AIAA Journal, 56(2): 458-464.

Fric, T.F. & R. Roshko, 1991, Structure in the Near Field of the Transverse Jet, Turbulent Shear Flows 7, pp. 225-237. Springer-Verlag, Berlin.

Gopalan, S., B.M. Abraham & J Katz, 2004, The structure of a jet in cross flow at low velocity ratios, Physics of Fluids, 16(6):2067-2087.

Klotz, L., K. Gumowski & J. E. Wesfreid, 2019, Experiments on a jet in a crossflow in the low-velocity-ratio regime, Journal of Fluid Mechanics, 863:386-406.

Krausche, D., R. L. Fearnt, R.P. Weston, 1978, Round Jet in a Cross Flow: Influence of Injection Angle on Vortex Properties, AIAA Journal, 16(6): 636-637.

(15)

RAPPORT 12(13)

Mahesh, K, 2013, The Interaction of Jets with Crossflow, Annual Review of Fluid Mechanics, 45:379–407.

Margason, R.J., 1993, Fifty years of jet in cross flow research, Proceedings of the AGARD symposium on computational and experimental assessment of jets in crossflow. AGARD-CP-534. London, United Kingdom, pp. 1.1-1.41.

Needham, D.J., N. Riley & J.H.B. Smith, 1988, A jet in crossflow, Journal of Fluid Mechanics, 188:159-184.

Needham, D.J., N. Riley, C.C. Lytton & J.H.B. Smith, 1990, A jet in crossflow. Part 2, Journal of Fluid Mechanics, 211:515-528.

Pratte, B.D. & W.D. Baines, 1967, Profiles of the Round Turbulent Jet in a Cross Flow, Journal of the Hydraulics Division, 93(6):53-64.

Rajaratnam, N. & T. Gangadhariah, 1981, Axis of a Circular Jet in a Cross-Flow, Water, Air and Soil Pollution, 15:317-321.

Rajaratnam, N. & T. Gangadhariah, 1982, Entrainment by Circular Jets in Cross-Flow, Water, Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics, 9:251—255.

Smith, S.H. & M.G. Mungal, 1998, Mixing, structure and scaling of the jet in crossflow, Journal of Fluid Mechanics, 357:83-122.

Zhang, L. & V. Yang, 2017, Flow Dynamics and Mixing of a Transverse Jet in Crossflow - Part I: Steady Crossflow, Journal of Engineering for Gas Turbines and Power, 139:082601.

Biflöde som mynnar i ett huvudflöde

Biswal, S.K., P. Mohapatra & K. Muralidhar, 2016, Hydraulics of combining flow in a right angled compound open channel junction, Sadhana, 41(1):97-110.

Chipongo, K. & M. Khiadani, 2017, Spatially Varied Open-Channel Flow with Increasing Discharge Equation, Journal of Hydraulic Engineering, 143(3):04016089.

Ghostine R., J. Vazquez, A. Terfous, R. Mose & A. Ghenaim, 2012, Comparative study of 1D and 2D flow simulations at open-channel junctions, Journal of Hydraulic Research, 50:2:164-170.

Gurram, S.K, K.S. Karki & W.H. Hager, 1997, Subcritical Junction Flow, Journal of Hydraulic Engineering, 123(5):447-455.

(16)

RAPPORT 13(13)

Hsu C.-C., W.-J. Lee & C.-H. Chang, 1998, Subcritical Open-Channel Junction Flow, Journal of Hydraulic Engineering, 124(8):847-855.

Huang, J., L.J. Weber & Y.G. Lai, 2002, Three-Dimensional Numerical Study of Flows in Open-Channel Junctions, Journal of Hydraulic Engineering, 128(3):268-280.

Luo, H., D.K. Fytanidis, A.R. Schmidt & M.H. García, 2018, Comparative 1D and 3D numerical investigation of open-channel junction flows and energy losses, Advances in Water Resources, 117:120-139.

Pandey A.K. & R. Mishra, 2012, Comparison of Flow Characteristics at Rectangular and Trapezoidal Channel Junctions, Journal of Physics, 364: 012141.

Penna, N., M. de Marchis, O.B. Canelas, E. Napoli, A. H. Cardoso & R. Gaudio, 2018,

Effect of the Junction Angle on Turbulent Flow ata Hydraulic Confluence, Water, 10:469. Ramamurthy, A.S., L.B. Carballada & D. M. Tran, 1988, Combining Open Channel Flow at Right Angled Junctions, Journal of Hydraulic Engineering, 114(12):1449-1460.

Shabayek, S., P. Steffler & F. Hicks, 2002, Dynamic Model for Subcritical Combining Flows in Channel Junctions, Journal of Hydraulic Engineering, 128(9):821-828.