Strömningen i och över en skog: utvärdering av en 'mixing-layer' hypotes

Examensarbete vid institutionen för geovetenskaper ISSN 1650-6533 Nr 177

Luftens strömning i och över en skog –

Utvärdering av en ’mixing-layer’ hypotes

Copyright © Johan Arnqvist och Institutionen för geovetenskaper, Luft-, vatten- och landskapslära Uppsala universitet.

Tryckt hos Institutionen för geovetenskaper Geotryckeriet, Uppsala universitet, Uppsala, 2009

i

Referat

Luftens strömning i och över en skog – Utvärdering av en

’mixing-layer’ hypotes

Johan Arnqvist

En ny teori för att bestämma vindprofilen över skog har utvärderats. Den nya teorin beskrevs först av Harman och Finnigan (2007). Teorin bygger på att ett mixing-layer utvecklas över skogen på grund av olika medelvindshastighet i skogen och ovanför. Både karakteristik från mixing-layer och Monin Obukhovs similaritetsteori har använts för att utveckla uttrycken som ger vindprofilen. Den nya teorin har använts för att ta fram vindprofiler för sex olika stabilitetsintervall. För att utvärdera teorin har vindprofiler från den jämförts med vindprofiler från mätningar som gjordes över en barrskog i Jädraås, Sverige. Jämförelse har också gjorts med profiler som beräknats med Monin Obukhovs similaritetsteori.

Överlag ger mixing-layer-teorin bättre resultat än de profiler som beräknats genom Monin

Obukhovs similaritetsteori. Överensstämmelsen med mätningarna är bra vid neutrala förhållanden men blir sämre när stabiliteten ändras, framför allt vid instabila förhållanden. Det kan bero på att skogen som mätningarna utförts vid inte är tillräckligt tät. Vindhastigheten inom skogen

underskattas konsekvent och även det kan bero på att skogen inte är tillräckligt tät. En korrigering för detta beteende föreslås. Med korrigeringen ger de beräknade vindprofilerna för instabila förhållanden högre värden på vinden och stämmer då bättre med mätvärden.

Nyckelord: Mixing-layer, Canopy, Vindprofil, Skog, Kelvin-Helmoltz-vågor, Roughness sublayer

ii

Abstract

Flow above a canopy – Evaluation of a mixing-layer

hypothesis

Johan Arnqvist

A new theory for predicting the windprofile over a canopy has been evaluated. The theory was first presented by Harman and Finnigan (2007). The theory relies on the forming of a mixing-layer above the canopy, due to different mean wind in and above the canopy. Characteristics from both mixing-layer and Monin Obukhov similarity theory have been used to develop the governing equations that give the wind profile. The theory has been used to calculate wind profiles for six different atmospheric stabilities. In order to evaluate the theory, profiles from the theory have been compared to measurements from Jädraås forest, Sweden. Profiles from Monin Obukhov similarity theory were also used for comparison.

In general the mixing-layer theory gives better results than Monin Obukhov similarity theory. Agreement with measurements is good in neutral conditions, but fails when the atmospheric stability is altered, especially in convective conditions. This is believed to be due to the canopy lacking in thickness. The mean wind speed is systematically underestimated and this is also believed to be caused by insufficient thickness of the canopy. A correction for this behaviour is proposed. The theory gives higher values of the mean wind speed in convective conditions with the correction and the calculated values of mean wind speed are closer to the measurements.

Keywords: Mixing-layer, Canopy, Wind profile, Kelvin-Helmholtz waves, Roughness sublayer

iii

Innehållsförteckning

1 Inledning

2 Teori och Data ………....2

2.1 Monin-Obukhovs similaritetsteori

2.2 Mixing-Layer

2.3 Mätplatsen

2.4 Vindprofiler genom den nya teorin

6

2.4.1 Del I ………7

2.4.2 Del II ………...8

2.4.3 Del III ………..………...9

2.4.4 Sammansättning av de tre delarna ………..………..10

3 Beräkningar och Resultat ………13

3.1 Trädhöjden

3.2 Inflektionspunkten

3.3 Vindriktningen

3.4 Formen på L

och β

3.5 Stabiliteten

3.6 Vindprofiler

4 Slutsatser ………....22

5 Tack………...23

Appendix A: En formulering för densitetsberoende hos β………...24

1

1 Inledning

Flödet av rörelsemängd och värme mellan jordytan och den fria atmosfären är kanske den viktigaste komponenten för utvecklingen av vädret. Solens uppvärmning av marken under dagen och markens utstrålning under natten överstiger vida den strålning som atmosfären självt tar upp respektive sänder ut. Gränsskiktet, där flödet mellan marken och den fria atmosfären sker är därför oerhört viktigt ur meteorologisk synpunkt. Man har sedan sjuttiotalet använt sig av Monin-Obukhovs similaritetsteori (härefter MOST) för att beräkna flöden i gränsskiktets ytskikt, den nedersta delen, där flödena antas konstanta för en viss tidpunkt (Högström och Smedman, 1989). Denna teori fungerar väl för homogena och stationära förhållanden, när marken är tillräckligt slät. Man har dock länge vetat att ett skikt allra närmast marken, roughness sublayer, är stört från sin

MOST-motsvarighet och att detta skikt är ungefär 3 gånger skrovlighetselementens höjd högt, från marken räknat (Harman och Finnigan, 2007). Om denna höjd är liten, t.ex. över en åker, utgör inte detta något problem, men över en skog där roughness sublayer kan utgöra en mycket stor del av ytskiktet och sträcka sig hundra meter upp i luften, stöter man på problem när man beräknar flöden med MOST. För att komma tillrätta med problemet har det under de senaste tjugo åren utvecklats teorier (Mölder et al. 1999, Poggi et al. 2004, Harman och Finnigan 2007) för att beräkna flöden och profiler över skog. I den här uppsatsen utvärderas teorin av Harman och Finnigan. Orsaken till att den har valts är att den bygger på ett rimligt fysikaliskt resonemang och att den kan användas för flera olika stabiliteter. Teorin har där en fördel mot den som framförts av Poggi et al., eftersom denna framtagits i vindtunnel och således bara behandlar ett neutralt fall och den av Mölder et al. som inte har någon stark förankring i en fysikalisk beskrivning av processerna som leder till

uppkomsten av roughness sublayer. Teorin av Harman och Finnigan bygger på ett resonemang som framförts av Finnigan 2000, som går ut på att det i skogstoppen bildas en gräns mellan snabb luft (ovanför skogen) och långsam luft (i skogen) och att det i denna gräns bildas ett så kallat mixing-layer, med Kelvin-Helmholtz-vågor (Finnigan 2000). Ett mixing-layer mellan de två skikten förklarar förekomsten av de stora ordnade strukturer med växelvis stigande och sjunkande, svepande luft som rapporterats av bland andra Bergström och Högström 1989.

De mätdata som utvärderingen bygger på kommer från två mätkampanjer i Jädraåsskogen 1985 och 1987. Både profildata och turbulensdata finns från de två kampanjerna, och har använts i beräkningar. Data kommer från en 50 meter hög mast som sattes upp i samband med ett

forskningsprojekt i Jädraås. Endast profiler av vind har studerats, då teorin av Harman och Finnigan endast behandlar vindprofiler och flöde av impuls. Beräkningar och figurer är gjorda i MATLAB

2

2 Teori och Data

2.1 Monin-Obukhovs similaritetsteori

De sätt att beräkna flöden i gränsskiktet som används idag bygger på den similaritetsteori som framfördes av Monin och Obukhov. Den säger att allt som händer i gränsskiktet beror på ett bestämt antal parametrar och genom att bilda grupper av dessa parametrar kan man få fram universella samband.

Centralt i teorin är Obukhovlängden (L), som är en sådan gruppering, där alla parametrar utom höjden (z) ingår,

𝐿 = − 𝑇0𝑢∗3

𝑔𝜅 𝑤′θ (1)

där u*2 =u'w', u' och w' kommer från Reynolds medelvärdesbildning av vinden, i w-riktning (uppåt)

och u-riktning (medelvindens riktning) T0 är den potentiella temperaturen i Kelvin, g är

tyngdaccelerationen, κ är von Karmans konstant (κ=0.4) och θ är den turbulenta variationen av temperatur (Reynolds medelvärdesbildning).

Genom att använda 𝜙 (z/L), där 𝜙 är en funktion av det dimensionslösa uttrycket z/L, har man skapat en funktion som kan användas för dimensionslösa samband med avseende på luftens stabilitet. Uttrycket z/L är nämligen ett mått på stabilitet (Högström och Smedman 1989).

𝜕𝑈 𝜕𝑧

𝜅(𝑧−𝑑)

𝑢∗ = 𝜙((𝑧 − 𝑑)/𝐿) (2)

U är här vinden på höjden z och d är nollförskjutningslängden som är den höjd där Monin-Obukhov-vindprofilen virtuellt börjar gälla.

Genom att använda olika funktioner av z/L för instabil och stabil skiktning har man funnit en form att bestämma vindprofilen som är allmänt accepterad och fungerar väl på öppna ytor (Högström 1996). Ekvation 2 är ett effektivt verktyg eftersom den ger ett samband mellan det vertikala flödet av impuls, u'w'=-u*2, och vindprofilen U(z). Detta är särskilt viktigt i prognosmodeller eftersom i

stort sett all drivkraft för vädret utvecklas vid jordytan men där de styrande Ekvationerna återfinns i fria atmosfären. Man kan genom att använda Ekvation 2 anta ett visst utseende på vindprofilen och då få fram flödet mellan marken och luften ovan.

2.2 Mixing-Layer

Ett stort antal undersökningar har gjort gällande att Ekvation 2 inte fungerar särskilt väl över skog (Thom et al 1975, Högström 1989 Ch. V, Xuhui 1997). Detta har förklarats med att träden skapar en störning som gör att flöden och profiler avviker från MOST. Det skikt där denna störning

uppkommer kallas för roughness sub-layer och har visat sig sträcka ungefär 3h från marken, där h är trädhöjden (Harman och Finnigan, 2007). Ett antal undersökningar har gjorts för att ta reda på hur strömningen ser ut i roughess sub-layer, och varför den avviker från MOST. Vad man har funnit är att det över skog finns stora strukturer i vinden, i storleksordningen flera hundra meter, med omväxlande snabb sjunkande luft och långsam stigande luft (Bergström och Högström 1989). Snabb och långsam syftar här till hastigheten i medelvindens riktning. I en sammanfattande artikel presenterar J. Finnigan en teori som förklaring för den avvikande strömningen. Han utgår från

3

Figur 1. Ett mixing-layer bildas i gränsskiktet mellan snabb och långsam luft

mätdata både från vindtunnlar och skogar och menar att det skikt som är stört från MOST-beteende är ett så kallat mixing-layer. (Finnigan 2000). Lite förenklat är ett mixing-layer ett gränsskikt

mellan två olika snabba flöden där det bildas virvlar (se fig.1). Man kan se exempel på mixing-layer även i toppen på gränsskiktet där det ibland bildas så kallade Kelvin-Helmholtz moln. Det är alltså vågor som bildas när det blir skjuvspänning mellan det övre snabba, och det undre långsamma skiktet. I vågdalarna förs snabb luft från ovanför skogen ner och i vågtopparna förs långsam från luft från skogen upp. Detta stämmer överens med det som observerats av Bergström och Högström från samma mätkampanj som den här rapportens data kommer ifrån (Bergström och Högström 1989) se Figur 2.

4

Figur 2. Efter Bergström och Högström 1989. Stigande luft har lägre medelhastighet än sjunkande luft.

I den övre bilden är regioner med stigande luft skuggade. I den undre bilden är områden med högre hastighet än normalt skuggade. Man kan tydligt se att den sjunkande luften har högre hastighet än medel och att den stigande luften har lägre hastighet än medel.

x-axeln visar en modifierad längdskala. Reynolds hypotes har antagits stämma (dvs turbulenselementen advekteras med medelvinden)

5

Kriteriet för bildning och tillväxt av Kelvin-Helmholtz-vågor ser ut så här: g(ρ2 2- ρ1 2)<k ρ2 ρ1(U1-U2)

För en tät skog är det normalt sett stor skillnad på vinden ovanför och i skogen, så den sista termen i ekvationen blir stor. För att det överhuvudtaget skall uppkomma vågor behöver det enligt kriteriet vara stabilt skiktat, dvs. ρ1<ρ2. I rapporten om organiserade strukturer som gjordes av Bergström

och Högström (1989) finner de dock ”rampliknande strukturer” även under konvektiva förhållanden då det inte kan vara stabilt skiktat. I en skog absorberas mycket av solstrålningen i löven hos olika träd och växter och man når därför sällan samma konvektiva situationer som man gör på bar mark, där solstrålningen får värma marken som i sin tur värmer de undre luftlagren. Detta kan vara orsaken till att mixing-layer-beteende observeras även då skiktningen är instabil.

2.3 Mätplatsen

Figur 3. Mätplatsen. Efter Högström et al 1989. Krysset visar platsen för mättornet. Tallskog

Tall- och granskog Gles och ung barrskog

Lövskog Myrmark Vatten

6

Jädraås forskningsstation ligger i östra Sverige (60°49' N, 16°30' E). Skogen är en tallskog där träden var 135 år vid insamlande av data. Medelhöjden på träden var 16 m och det stod i medeltal 350 träd per hektar. De dominerande träden var dock upp till 20 m höga och det diskuteras senare vilken höjd som lämpligast anses vara trädtoppen i beräkningarna. En karta över området visas i Figur 3. Som man ser i Figur 3 kan skogen knappast kallas homogen. Ca 500 m nordöst om tornet ligger ett stort myrområde. Sydväst om tornet ligger en skarp sluttning om 20 meter ner till en älv och bortom älven ligger blandad gran och tallskog som reser sig ca 60 m på en kilometer. Även nordväst om tornet skiftar terrängen karaktär, se Figur 3 (Högström et al 1989). Även om MOST gäller med restriktion för homogenitet och stationaritet, av vilket det första inte är uppfyllt här och det andra knappast är uppfyllt någonstans under längre perioder, är det ändå en bra idé att utvärdera teorier här eftersom skogen kan anses vara representativ för en stor del av Sveriges yta.

Den instrumentering som har givit data till den här uppsatsen kommer från två olika system. Dels ett system som gav profildata av vilket har använts data för medelvind, vindriktning och potentiell temperatur. 1985 användes ett system för insamling av profildata inom skogen och ett system utanför. Dessa två system har satts ihop till en datafil och den ger värden på 2.80, 7.23, 11.67, 16.99, 19.98, 26.4, 30.0, 34.9, 40.0, 48.9 och 50 m höjd. De rådata från 1985 som använts för profiler i den här studien är minutmedelvärden som sedan har medelvärdesbildats för att skapa timmedelvärden. Under medelvärdesbildningen har uppenbara mätfel plockats bort och vissa timmedelvärden innehåller därför färre än sextio ursprungsdata. 1987 gavs profildata av ett system med mätutrustning på 2.5, 10.1, 18.5, 20.9 23.4, 27.9, 32.4, 37.4, 42.0 och 48.7m. Vinden mättes 37 cm högre än dessa nivåer och gavs av vindtunnel-kalibrerade Casella anemometers. (Högström et al. 1989). Ursprungsdata här är timmedelvärden.

Turbulensdata kommer från MIUU turbulensinstrument, som har varmtrådsgivare som sitter i tre riktningar, och har visat sig mycket tillförlitligt (Högström et al.). Mätutrustningen har suttit på tre höjder i flera olika konstellationer, t.ex. 28, 36 och 50 m, 21, 24 och 28 m eller 4.4, 12 och 28 m. För 1985 har dock bara turbulensdata för 28 m och för 1987 bara turbulensdata för 29 m använts. Orsaken till det är dels att 28 respektive 29 m har funnits med i alla olika höjdkonstellationerna och dels att MOST bara gäller i ytskiktet och därmed bara gäller för antagandet att de turbulenta

transporterna är höjdkonstanta. Detta är ingen idealt antagande och det hade varit bättre för den här undersökningen om turbulensdata hade funnits från trädtopparna, men av anledningen att kunna få så bra statistiskt underlag som möjligt har ändå 28 respektive 29 m använts eftersom det genererar betydligt fler användbara mätvärden. Även turbulensdata har tim-medelvärdesbildats, för att kunna användas tillsammans med profildata.

2.4 Vindprofiler genom den nya teorin

Den teori om vindprofil och turbulenta flöden som har utvärderats beskrivs i en artikel av Harman och Finnigan 2007. Den utgår från att det ideala MOST beteendet är stört av ett mixing-layer vid trädtopparna. Därför skapar man en korrigering för mixing-layer-beteendet som gradvis avtar med höjden. Den tekniken är inte ny och har tidigare använts (Mölder et al 1999). Modellen av Harman och Finnigan använder dock sig av karakteristik från mixing-layer för att skapa

korrektionsfunktionen och det är tilltalande eftersom man funnit att stora organiserade strukturer i vinden finns över Jädraås runt 90% av tiden (Högström och Bergström 1989). Proceduren som för att ta fram vindprofilen följer Hartman och Finnigan (2007) till stor del, men med andra

7 Strömningen delas upp i tre delar (se Figur 4).

Figur 4. Efter Poggi et al (2004) Strömningen i ytskiktet delas upp i tre delar. Den första delen representerar ett normalt MOST-beteende. Den andra delen karakteriseras av mycket småskalig turbulens och befinner sig nedanför trädtopparna Den tredje delen är ett mixing-layer mellan den långsamma luften i skogen och den snabbare luften ovanför.

2.4.1 Del I

Den första delen är ett normalt MOST-beteende och beskrivs av Ekvation 2 där 𝜙 (z/L) ges av Ekvation 3 och 4 (Högström 1996)

(1- 16 ζ)-1/4 Om z/L<0 (3)

1+5 ζ Om z/L>=0 (4)

Där ζ=z/L. För att anpassa Ekvation 2 till mixing-layer-hypotesen byter man koordinatsystem. Eftersom påverkan av ett mixing-layer är centralt i teorin så sätts z=0 vid trädtopparna, som ju är gränsskiktet mellan den snabba och den långsamma strömningen, se Figur 5 Nu definieras dt=h-d,

där h är höjden till trädtopparna, så att transformationen av Ekvation 2 blir:

𝑑𝑈 𝑑𝑧 =

𝑢∗

8

Figur 5. Koordinatsystemet som används för härledningar och beräkningar. Den heldragna linjen representerar vindprofilen över en tät skog. Den streckade linjen är profilen som ges av MOST.

2.4.2 Del II

Den andra delen är den som enbart befinner sig i skogen. För att skapa en längdskala som är relevant för situationen definieras

Lc=(cd a) (5)

där cd är en drag coefficient och a är lövytan per volymenhet (Harman och Finnigan 2007).

Om man antar mixing-length-modellen för turbulent impulstransport (t.ex. Garrat 1992, Ch. 3, Poggi et al 2004) och sätter, som tidigare, x-axeln i medelvindriktningen kan man sätta upp en ekvation för skjuvspänningen (τ) i x-riktning.

0 = −_𝜌1𝜕𝜏_𝜕𝑧 − 𝐹_𝐷 ≡ _𝑑𝑧𝑑 𝑙_𝑚2 𝑑𝑈 𝑑𝑧

2

−𝑈_𝐿2

𝑐 (6)

Där Fd =U2/Lc är luftmotståndet från skogen. Ekvation 6 innebär att man i medelvärdesbildingen av

U(z) och τ antingen medelvärdesbildar över ett plan som ligger parallellt med marken eller tar volymsmedelvärde över ett tunt skikt som ligger parallellt med marken. För en utförlig genomgång av denna procedur, se Finnigan 2000 sektion 2. För att komma vidare och kunna lösa

differentialekvationen (Ekvation 6) för U sätter man Lc konstant och lm=l (mixing length) konstant.

Enligt Poggi et al 2004 kan man sätta lm konstant utan att den totala transporten av impuls påverkas

nämnvärt. Att man kan sätta Lc konstant är en approximation som kommer av ekvation 5. Man antar

att där a=a(z) är som högst mot toppen av träden (mer löv där) och cd=cd(u) är som högst närmare

marken eftersom det viskuösa motståndet ökar med minskad hastighet. För att komma vidare ansätter man en lösning:

U(z) = Uh exp{βz/l}, (7)

z=z*

z=0 -dt+z0m

9 genom att utföra deriveringarna får man

0 =𝑈ℎ2𝛽3𝑙2 𝑙3 exp 2𝛽𝑧 𝑙 − 𝑈_ℎ2 exp {2𝛽𝑧/𝑙} 𝐿c (8)

Det innebär att

l=2 β3Lc (9)

β spelar en central roll och definieras genom

𝛽 = 𝑢∗

𝑈ℎ (10)

där u*=(τ(z=0)/ρ)1/2 och Uh=U(z=o), så att genom att derivera Ekvation 7 får man 𝑑𝑈

𝑑𝑧 = 𝑢∗

𝑈ℎ𝑙𝑈 (11)

Det som ger ett stabilitetsberoende här är β som utöver Ekvation 11 skapar ett stabiletsberoende hos andra parametrar genom Ekvation 9.

2.4.3 Del III

Enligt tidigare argumentation ges vindprofilen ovanför skogen av MOST men med en korrektionsfunktion (𝜙 ) som tillägg.

𝜕𝑈 𝜕𝑧

𝑧−𝑑

𝑢∗ = 𝜙𝜙 (12)

Eftersom 𝜙 = 𝜙 (z/L) behövs en dimensionslös längd också för 𝜙 . Denna längd är virveltjockleken U/(dU/dz), vid trädtopparna. Genom att använda Ekvation 7, Ekvation 10 och Ekvation 11 har vi U/(dU/dz)=l/β, eller 𝜙 =𝜙 (β(z+dt)/l). Med andra ord antar vi att allt som händer pga. roughness

sublayer beror på l/β, eller att roughness sublayer skalas med β/l. För att hitta formen på 𝜙 följer Harman och Finnigan ett resonemang från Garratt (1980), nämligen att djupet på roughness sublayer är proportionellt mot storleken av ändringen på 𝜙 .

𝜙

𝑑𝜙 𝑑𝑧

= 𝑐𝑧∗ (13)

När z går mot z* ska 𝜙 gå mot ett och det medför att magnituden på 𝜙 inte egentligen är 𝜙 som i

ekvation 13 utan snarare 1-𝜙 . Detta medför

1−𝜙

𝜙 𝑑𝑧

= 𝑐𝑧_∗ (14)

Genom att vända på Ekvation 14 och använda oss av att längdskalan för roughness sublayer är l/β har vi:

𝑑𝑙𝑛(1 − 𝜙 )/𝑑𝑧 =𝑐2𝛽

10 Integrering av Ekvation 15 från -dt till z ger

𝜙 (𝑧) = 1 − 𝑐₁exp −𝛽𝑐2 𝑧+𝑑𝑡

𝑙 (16)

Här är c1=1-𝜙 (z=-dt) och c2 är en konstant som relaterar tjockleken på roughness sublayer till

virveltjockleken. För att förenkla ekvationen för c1 uttrycks dt i β och l genom att dt beräknas på

standardsätt 𝑑𝑡 = − 𝑧𝑈(𝑧) 2_/𝐿 𝑐𝑑𝑧 0 −∞ 𝑈(𝑧)2_/𝐿𝑐 0 −∞ 𝑑𝑧 = _2𝛽𝑙 = 𝛽2_𝐿 𝑐 (17)

Eftersom beräkningen av dt sker nedanför trädkronorna kan man använda ekvation 7 för U(z). Då

fås:

dt=𝑙/2𝛽 = β2Lc (18)

Ekvation 18 kan användas för att uttrycka c1

c1=(1- 𝜙 (z=0))exp( c2/2 ) (19)

Ekvation 16 med c1 från Ekvation 19 ger den form på 𝜙 som har använts i beräkningarna. Den går

asymptotiskt mot ett i takt med att höjden blir högre och det är enlighet med teorin eftersom den säger att roughness sublayer existerar och påverkar ungefär till tre gånger trädhöjden. För att få profiler krävs det att en integrerad form av Ekvation 16 existerar och eftersom en analytisk sådan är svår att finna har numerisk integrering använts i beräkningarna.

2.4.4 Sammansättning av de tre delarna

Figur 6. Efter Poggi et al (2004). Den sammansatta bilden av ett ytskikt, så som det kommer att behandlas av teorin. I skogen domineras strömningen av den småskaliga turbulensen, närmare trädtopparna, vid z=-dt+z0m kommer en MOST-profil att ta över och störningen från mixing-layer kommer gradvis att avta upp till z=z*

11

Den övre funktionen, som består av DEL I och DEL III, är alltså standardfunktionen av MOST för impuls, dock med litet annat utseende på grund av koordinatsystemet med z=0 vid trädtopparna och med tilläggsfunktionen 𝜙 , som korrigerar för inverkan av mixing-layer.

𝑑𝑈 𝑑𝑧 =

𝑢∗

𝜅(𝑧+𝑑𝑡)𝜙𝜙 (20)

För att få profiler för vinden integreras ekvation 20 med avseende på z från -dt +z0m till z.

𝜅 𝑢∗ 𝑈 𝑧 − 𝑈(−𝑑𝑡 + 𝑧0𝑚) = ln 𝑧+𝑑𝑡 𝑧0𝑚 − 𝜓 𝑧+𝑑𝑡 𝐿 + 𝜓 𝑧0𝑚 𝐿 − 𝜙 𝑧′_𝐿 1−𝜙 𝑧′_𝑙 𝛽 𝑧′ 𝑧+𝑑𝑡 𝑧0𝑚 𝑑𝑧′ (21)

z0m är skrovlighetslängden, se t.ex. Högström och Smedman (1989 Kap. III avsnitt 1) och 𝜓 är den

integrerade Ekvation 5 (Garrett 1992, Kap 3). Man kan eliminera U(-dt+z0m) ur vänsterledet genom

att använda sig av att U(z→∞) är samma oavsett om man använder sig av korrektionsfunktion eller inte. Dvs. om man integrerar ekvation 20 men istället för övre gränsen z använder sig av övre gränsen z→∞ och sedan subtraherar den övre integrationsdelen med U(z→∞) utan

korrektionsfunktion så får man 𝜅 𝑢∗ 𝑈 𝑧 → ∞ − 𝑈 −𝑑𝑡+ 𝑧0𝑚 − 𝑈 𝑧 → ∞ = lim 𝑧→∞ ln 𝑧 + 𝑑_𝑡 𝑧_0𝑚 − 𝜓 𝑧 + 𝑑_𝑡 𝐿 + 𝜓 𝑧_0𝑚 𝐿 − 𝜙 𝑧_{𝐿 1 − 𝜙}′ 𝑧_𝑙′ 𝛽 𝑧′_𝑑𝑧′ 𝑧+𝑑𝑡 𝑧0𝑚 − ln 𝑧 + 𝑑𝑡 𝑧0𝑚 − 𝜓 𝑧 + 𝑑_𝑡 𝐿 + 𝜓 𝑧_0𝑚 𝐿 (22) vilket leder till

𝜅 𝑢∗𝑈 −𝑑𝑡+ 𝑧0𝑚 = 𝜙 𝑧′_𝐿 1−𝜙 𝑧′_𝑙 𝛽 𝑧′ ∞ 𝑧0𝑚 𝑑𝑧′ (23)

Om man flyttar U(-dt+z0m) till högerledet i ekvation 20 (där den blir ett positivt tillskott) ser man att

12

ekvation 20 elimineras. Detta ger (Harman och Finnigan 2007)

𝜅 𝑢∗𝑈 𝑧 = ln 𝑧+𝑑𝑡 𝑧0𝑚 − 𝜓 𝑧+𝑑𝑡 𝐿 + 𝜓 𝑧0𝑚 𝐿 +𝜓 𝑧 (24) där 𝜓 𝑧 = 𝜙 𝑧′_𝐿 1−𝜙 𝑧′_𝑙 𝛽 𝑧′ ∞ 𝑧+𝑑𝑡 𝑑𝑧′ (25)

Notera att den sista termen i Ekvation 24 nu alltså har integrationsgränserna z+dt och z→∞ i enighet

med det som diskuterats ovan.

För att koppla ihop profilen i skogen, som ges av Ekvation 16, och profilen utanför skogen, som ges av Ekvation 24 gäller det att gradienterna är lika (Harman och Finnigan 2007) Om man sätter dU/dz i skogen lika med dU/dz utanför skogen och löser för z0m (som ju saknas för ekvationen i skogen)

så får man (Harman och Finnigan 2007) 𝑧_0𝑚 = 𝑑_𝑡exp −𝜅_𝛽 exp −𝜓 𝑑𝑡

𝐿 + 𝜓 𝑧0𝑚

𝐿 exp 𝜓 𝑧 = 0 (26)

Ekvation 26 är implicit och i beräkningarna har den behållits implicit eftersom det numeriskt inte innebär något större problem. En konsekvens av att gradienten i profilen är kontinuerlig blir att man kan uttrycka 𝜙𝜙 med dt eller β. Om man sätter Ekvation 11 och Ekvation 12 lika och löser för 𝜙𝜙

så får man (med hjälp av Ekvation 9) 𝜙 𝑧 = 0 𝜙 𝑧 = 0 =𝜅𝑑𝑡

𝑙 =

𝜅

2𝛽 (27)

Ekvation 27 och 26 visar att varken nollplansförskjutningen eller skrovlighetslängden är konstant utan beror på värdet av β, och genom Ekvation 9 värdet på Lc. Det är således synnerligen viktigt för

att modellen skall fungera optimalt att ett bra värde på Lc används och att β kan beräknas för olika

13

3 Beräkningar och Resultat

3.1 Trädhöjden

Eftersom det är centralt i beräkningarna att nollplanet förflyttas till trädtopparna är det också viktigt att bestämma vilken höjd detta verkligen är. Högström et al (1989) anger medelhöjden för träden vid mätplatsen på Jädraås till 16 m och höjden på de dominerande träden till 20 m. Efter att ha gjort beräkningar med trädhöjden varierande mellan 16 och 22 meter bestämdes det att ett värde på 18.87 m skulle användas. Detta eftersom höjden 18.87 m är en av höjderna med vindprofilsmätningar och det är värdefullt vid beräkningar av β=u*/Uh att veta medelvinden vid trädhöjden. Det uppskattades

att felet som uppkommer genom att sätta trädhöjden till 18.89 är mindre än felet som uppkommer om vinden som ligger till grund för β-beräkningar är på fel höjd.

3.2 Inflektionspunkten

För att teorin om mixing-layer skall gälla så krävs att en inflektionspunkt där det kan uppkomma skjuvning mellan snabb och långsam luft existerar. Visserligen fann Bergström och Högström (1989) att rampliknande strukturer förekom runt 90% av tiden över Jädraås och det tyder på ett mixing-layer beteende med Kelvin-Helmoltz-liknande vågor. Men för att verifiera att en

inflektionspunkt verkligen existerar uppritades medelvärdet av vinden på alla nivåer mot höjden.

Figur 7. Vindprofilen över Jädraås. Här har ingen hänsyn tagits till vindriktning eller stabilitet. Figuren visar

medelvindsprofilen från mätningarna som gjorde 1987. Den streckade linjen är dragen mellan mätpunkterna och den heldragna linjen är den ekvation som användes för att beräkna dt i ekvation 17.

14

Som man kan utläsa av Figur 7 är Jädraåsskogen inte en tät skog i den meningen att all impuls absorberas i trädkronorna, dvs. innan marken. Man kan tydligt se att den nedersta delen har en logaritmliknande profil mot marken och att vinden inte går mot noll någonstans i trädkronorna, som den skulle ha gjort i ett idealt fall. Man kan heller inte se någon tydlig inflektionspunkt vid z=0. Det finns emellertid teckenbyte hos gradienten även om inflektionen inte är stark och dessutom ligger några meter högre än den höjd som används i beräkningarna som trädhöjden.

3.3 Vindriktningen

Eftersom skogen runt mätplatsen är ganska heterogen till sin natur kan man misstänka att

vindprofilen ser olika ut för olika riktningar. I Figur 8 visas medelvärden på vinden från 1987 års mätningar och som man kan se uppvisar vinden mycket riktigt olika beteende beroende på

riktningen. De olika vinklarna visar prov på olika mycket inflektion i vindprofilen. I NE och SE kan man knappast säga att det finns en inflektionspunkt överhuvudtaget. Om det existerar en

inflektionspunkt eller inte beror med största säkerhet också på hur mycket det blåser och det kan tillsammans med heterogeniteten var anledning till att det ser olika ut i olika riktningar. I

beräkningarna har trots det ingen hänsyn tagits till vindriktningen. Anledningarna till det är att ett så stort statistiskt underlag som möjligt har velat behållas och att det är en utvärderande undersökning och därmed vore det fel att bara ta med de ideala fallen.

Figur 8. Medelvindsprofiler för åtta olika vindriktningar. Som man kan se är inflektionspunkten tydligare i vissa riktningar än andra.

15

3.4 Formen på L

och β

För beräkningar av β har Harmans och Finnigans (2007) förslag β = 𝛽𝑁

𝜙 𝑧=0 (28)

utvärderats mot beräkningar av β från turbulensmätningar. I ekvationen är βN värdet på β i neutrala

förhållanden. I beräkningar har det rekommenderade värdet på βN=0.3 använts och det stämmer

relativt bra överens med det värde på βN som ges av turbulensmätningarna. För längdskalan Lc har

det utnyttjats att flertalet undersökningar visar på att höjden av roughness-sublayer är ca 3 gånger trädhöjden från marken räknat (Harman och Finnigan 2007) och eftersom det innebär 2 gånger trädhöjden över nollplanet så har ett värde på Lc som är 2 gånger trädhöjden plus

nollplansförskjutningen använts. Nollplansförskjutningen har beräknats som ett medelvärde för alla mätdata genom att använda Ekvation 17. Det värdet på Lc visade sig ge bra resultat vid jämförelse

med andra värden.

3.5 Stabiliteten

I Figur 9 visas vindprofilen för mätdata från 1987 där indelning har gjorts efter stabilitet.

Stabiliteten är beräknad genom Lc/L. Anledningen till att stabiliteten delas in efter Lc/L istället för

mer konventionella z/L är att Lc är den skalande längden för roughness sublayer. Som man kan se i

Figur 9 finns det skillnader i vindprofilen även mellan olika stabiliteter I de mest neutrala fallen är inflektionspunkten minst tydlig, men det kan vara eftersom det ofta är neutralt skiktat när

vindhastigheten är hög och det får de två mest neutrala profilerna i Figur 9 att se utsträckta ut.

Figur 9. Medelvindsprofilen för olika stabiliteter. Första bilden från övre vänster är nära neutralt på den instabila sidan andra bilden nära neutralt på den stabila sidan. Tredje, fjärde är ökande instabilitet, fjärde och femte är ökande stabilitet.

16

Eftersom det förekommer skillnader mellan olika stabiliteter är det viktigt att formen på β fångar stabilitetsberoendet. Det verkar dock, om man tittar på Figur 9, som om det är graden av neutralitet som är avgörande för hur profilen ser ut. Det vill säga, det spelar ingen roll om det är instabilt eller stabilt, det verkar snarare vara avgörande hur nära neutralt det är. Eftersom det är β som står för stabilitetsberoendet i korrektionsfunktionen visar Figur 10 samtliga värden på β, där β har beräknats från turbulensmätningar och plottats mot stabiliteten. Figur 10 visar även formen på β som ges av Ekvation 28 som en heldragen linje. Om Ekvation 28 fångar ett eventuellt stabilitetsberoende hos β i mätningarna från Jädraås är svårt att säga med utgångspunkt från Figur 10 eftersom mätdata har så stor spridning och det finns väldigt få mätningar med starkt instabila förhållanden. För stabila förhållanden verkar Ekvation 28 dock fånga beteendet bra, även om spridningen på mätdata är stor.

Figur 10. Värden på β, beräknade från turbulensmätningar, plottade mot stabiliteten. Den heldragna linjen representerar parameteriserigen av β så som den ges av Ekvation 28. På den stabila sidan finns en möjlig överenskommelse men på den instabila sidan finns inga mätpunkter som speciellt stödjer parameteriseringen. Dock finns där väldigt få

17

Figur 11 visar β från turbulensmätningar mot stabiliteten, uppdelade för olika stora impulsflöden. För högre värden på impulsflödet finns det nästan bara mätningar i mycket nära neutral skiktning. Det beror på att det är höga vindhastigheter som ger upphov till mycket turbulens och stora impulsflöden. Den stora turbulensen skapar då neutral skiktning. För neutral skiktning samlar sig mätpunkterna bra kring den streckade linjen som representerar βN=0.3. Men även för lägre värden

på impulsflödet, då det finns mätpunkter med mer stabil och instabil skiktning är det svårt att se något tydligt samband mellan β och Lc/L, se övre vänstra delen av Figur 11. Klart är att för stabil

skiktning så är värdet på β mindre än 0.3 och ser ut att följa Ekvation 28 bra. På den instabila sidan är det dock oklart eftersom det finns så få mätpunkter, men faktum är ändå att man inte kan urskilja någon ökning överhuvudtaget hos β på den instabila sidan. Därför har även ett konstant värde på β=0.3 testats i beräkningarna.

Figur 11. Samma som figur 10, men här har hänsyn tagits till storleken på u*. Den streckade linjen visar β= βN=0.3

Figuren visar β för ökande u*-värden. För högre u*-värden finns nästan bara mätningar i neutrala förhållande och det beror förmodligen på att den höga vindhastighet som förknippas med höga u*-värden skapar mycket turbulens som blandar om luften i ytskiktet och får skiktningen att bli neutral. Noterbart är att inga värden finns som stödjer teorin att β skall öka i värde för instabil skiktning. Se slutsatser för en möjlig förklaring

18

3.6 Vindprofiler

För att skapa profiler har Ekvation 7 och Ekvation 24 använts. Mätdata delades in i grupper efter stabilitet. För värdet på L har ett medelvärde på det beräknade L-värdet för varje grupp använts. Vindmätningarna har normaliserats med u*. Figur 12 visar mätningar från Jädraås i jämförelse med

profiler från det teoretiska uttrycket. +-kurvorna kommer från 1987 och x-kurvorna från 1985. MOST-profilen för vind visas som streckad. β är i Figur 12 uträknat från turbulensmätningar. Som man kan se i Figur 12 följer den, genom teorin, beräknade vindprofilen mätningarna bra för stabila förhållanden och även för nära neutralt på den instabila sidan. Figur 13 visar samma sak som Figur 12 men här ges β av Ekvation 28.

Figur 12. Vindprofiler beräknade från den nya teorin (heldragen linje) och MOST (streckad linje) För beräkning av β har turbulensmätningar använts. Punkterna markerade med + kommer från 1987 år mätningar och punkterna markerade med x kommer från 1985 års mätningar. Första bilden från övre vänster är nära neutralt på den instabila sidan andra bilden nära neutralt på den stabila sidan. Tredje och fjärde är ökande instabilitet och fjärde och femte är ökande stabilitet.

19

Figur 13. Vindprofiler beräknade från den nya teorin (heldragen linje) och MOST (streckad linje) För beräkning av β har Ekvation 28 använts. Punkterna markerade med + kommer från 1987 år mätningar och punkterna markerade med x kommer från 1985 års mätningar. Första bilden från övre vänster är nära neutralt på den instabila sidan andra bilden nära neutralt på den stabila sidan. Tredje och fjärde är ökande instabilitet och fjärde och femte är ökande stabilitet.

Överensstämmelsen är ganska bra, även om teorin underskattar vindhastigheten ovanför

trädgränsen i de instabila fallen. Figur 14 visar återigen samma sak, men den här gången med β=βN

konstant. Som väntat skiljer Figur 13 och 14 inte sig åt speciellt mycket för nära neutral skiktning eftersom β nära neutralt inte skiljer sig mycket från βN.. För de instabila fallen stämmer profilen som

fåtts genom β=βN bättre, men för de stabila fallen stämmer profilen som fåtts genom β från

Ekvation 28 bättre. När det blir för stabilt kollapsar teorin eftersom Ekvation 25 växer obegränsat. Harman och Finnigan (2007) diskuterar gränserna för när teorin ger en väldefinierad vindprofil. Klart är att när stabiliteten blir för stor växer den vänstra termen av produkten i Ekvation 25 snabbare än den högra minskar när z→∞. När detta sker beror på hur β och L förhåller sig till varandra.

20

Figur 14. Vindprofiler beräknade från den nya teorin (heldragen linje) och MOST (streckad linje) β har hållits

konstant=0.3. Punkterna markerade med + kommer från 1987 år mätningar och punkterna markerade med x kommer från 1985 års mätningar. Första bilden från övre vänster är nära neutralt på den instabila sidan andra bilden nära neutralt på den stabila sidan. Tredje och fjärde är ökande instabilitet och fjärde och femte är ökande stabilitet. Teorin kollapsar för alltför stabila skiktningar när β hålls konstant och det är orsaken till utseendet på den heldragna linjen i de två nedersta, högra bilderna

Ett annat sätt att åskådliggöra hur väl teorin fungerar är att jämföra varje enskild vindmätning med vad teorin förutsäger för de då rådande förhållandena och sedan plotta dem mot varandra. Det ideala är då ett ett-till-ett förhållande. Figur 15, 16 och 17 visar detta för β från turbulensmätningar, från Ekvation 28 och från β=βN. Eftersom teorin ger normaliserade vindprofiler har u* från

turbulensmätningar använts för att skapa U(z) från Ekvation 24. genom att multiplicera det teorin förutsäger i varje enskilt fall. I praktiken handlar det bara om att u* i Figur 12, 13 och 14 hamnar i

nämnaren i högerledet (x-axeln) och i Figur 15, 16 och 17 i täljaren på vänsterledet (y-axeln). Endast två stabila grupper visas i Figur 17 på grund av att ett konstant β-värde gör att teorin kollapsar för alltför stabila förhållanden. Som tidigare visar det sig att teorin fångar beteendet hos vindprofilen bra så länge det är nära neutralt. Men även för andra stabiliteter visar Figur 15 att teorin fungerar bra. Det är i och för sig inte förvånande eftersom β här är beräknat genom mätningar. Figur 16 visar dock att även för β från ekvation 28 ger teorin bra värden på

vindberäkningarna. I de mest instabila fallen underskattar dock teorin vindhastigheten systematiskt. För β=βN ser det mycket bättre ut för den mest instabila skiktningen. Detta ska givetvis stå i

21

Figur 15. Överensstämmelse mellan teorin och vindmätningarna. Den heldragna linjen representerar ett idealt förhållande. Turbulensmätningar har använts för beräkning av β. Punkter till vänster om den heldragna linjen betyder

att den beräknade vinden är överskattad jämfört med mätningen. På samma sätt betyder punkter till höger om den heldragna linjen att den beräknade vinden har blivit för låg jämfört med mätningen. Första bilden från övre vänster är nära neutralt på den instabila sidan andra bilden nära neutralt på den stabila sidan. Tredje och fjärde är ökande

instabilitet och fjärde och femte är ökande stabilitet. Teorin kollapsar för alltför stabila skiktningar när β hålls konstant och det är orsaken till utseendet på den heldragna linjen i de två nedersta, högra bilderna

Figur 16 Figuren visar beräknad och uppmätt vind på samma sätt som Figur 15. Här kommer dock värden på β från Ekvation 28.

22

Figur 17. Figuren visar beräknad och uppmätt vind på samma sätt som Figur 15. β har i beräkningarna som ledde fram till Figur 17 hållits konstant på β=βN=0. Det medför att teorin kollapsar när det blir för stabilt (se avsnitt 3.6) och

därför finns ingen bild som visar överensstämmelse mellan mätningar och beräknad vind för Lc/L>1.

4 Slutsatser

Den teori från Harman och Finnigan (2007) som utvärderats i rapporten ger bra resultat i neutrala förhållanden. För instabila förhållanden ger teorin systematiskt för låga värden på vindhastigheten. Detta gäller för det sätt att ta fram β som Harman och Finnigan (2007) föreslår och som visas i Ekvation 28. För ett konstant β=0.3 finns inte någon undervärdering av vindhastighet för mycket instabila förhållanden (se Figur 17). När β har beräknats genom turbulensmätningar ger teorin ett bra resultat utom när det blir mycket instabilt. För mycket instabila skiktningar verkar det som om ett konstant värde på β fungerar bättre än ett uppmätt. Det resultatet tyder på ett fel i teorin då turbulensmätningarna från Jädraås är av mycket hög kvalité och ett genom dem beräknat β-värde mycket bra speglar de faktiska förhållanden som rådde under mätningarna. I Harmans och

Finnigans artikel stämmer dock teorin mycket bra även under stark instabilitet. Anledningen till det kan sökas i det grundresonemang som teorin bygger på. Teorin härleds för en tät, homogen skog och det är också i täta skogar som den har utvärderats av Harman och Finnigan. Jädraåsskogen kan dock inte betecknas som tät, eftersom all impuls inte absorberas innan marken (se Figur 7). En konsekvens av att skogen inte är tät är att det inte blir lika stor skillnad på vindhastigheten i skiktet ovanför och skiktet i skogen som det skulle bli om den var tätare. Kriteriet för bildandet av Kelvin-Helmholtz-vågor säger att det måste finnas en skillnad i vindhastighet mellan skiktet i skogen och skiktet ovanför (för att skjuvning skall uppkomma).

23

Men kriteriet gör också gällande att det måste finnas en densitetsskillnad mellan skikten. För att det ska uppkomma vågor måste det undre skiktet väga mer, dvs. det måste var stabilt skiktat. Annars skulle det övre snabba skiktet borra sig ner i det undre, som i sin tur skulle flyta upp och en situation där vågor utvecklades skulle aldrig hinna uppkomma. Orsaken till att det trots det finns Kelvin-Helmholtz liknande vågor över skog vid instabil skiktning torde vara att det är skogen som dämpar det undre skiktets hastighet och skogen står still oavsett atmosfärisk stabilitet. Det gör att det trots instabil skiktning kan uppkomma en situation där det undre skiktet konsekvent behåller lägre medelhastighet än det övre så att vågbildningen kan uppkomma. Om skogen inte är tillräckligt tät blir det inte lika stora skillnader på vindhastigheten i de två skikten och det gör att störningen inte kan fortplanta sig lika lätt och att mixing-layer-beteendet blir ändrat. Om man studerar Figur 11 ser man att mätpunkterna ligger för lågt i jämförelse med teorin på den instabila sidan. Det skulle kunna förklaras med att den relativt öppna skogen vid Jädraås gör att den termiska produktionen av turbulens motverkar den mekaniska produktionen av impulstransport så att u* får ett lågt värde.

Teorin underskattar vinden under trädtopparna för alla stabiliteter. Detta gäller för alla sätt att få fram β. Sannolikt beror det på att skogen inte är tillräckligt tät och att medelvinden under trädtopparna därför blir jämförelsevis hög.

För att beräkna vindprofilen genom den nya teorin används Obukhovlängden L som en av parametrarna Vid beräkningar av L har ett medelvärde för mätningarna inom stabilitetsområdet använts. Om det finns en skev fördelning av värdet på L inom mätgruppen är det möjligt att det ger upphov till felaktiga profiler. Det skulle i så fall kunna var orsaken till att när β har beräknats från turbulensmätningar underskattar teorin vindhastigheten i den första stabila gruppen och överskattar den i den andra för att sedan träffa rätt i den tredje. En utförligare studie av de olika

stabilitetsgruppernas mätvärden skulle kunna ge svaret på den frågan.

Någon sorts korrektion för skogens densitet skulle behövas för att få fram optimala profiler för Jädraåsskogen. Till exempel skulle man kunna använda en annan parameterisering av Lc=(cd a) där

cd är beroende av densiteten på skogen. Ett annat alternativ skulle vara att parameterisera β så att på

den instabila sidan en korrektion för densiteten gör att β får lägre värden där eftersom β=0.3 visade sig fungera bra vid mycket instabila förhållanden (se Appendix A). För att skapa ett

densitetsberoende behövs dock mer mätdata från skogar med varierande densitet så att eventuella samband med densiteten kan fastställas.

Trots att överensstämmelsen med mätdata inte är helt bra för alla stabiliteter har vindprofiler som beräknats genom teorin fungerat bättre eller lika bra som de konventionella MOST-profilerna. En särkilt stor förbättring är att vindprofilen förlängts till skiktet mellan trädtopparna och marken. Visserligen underskattas vinden konsekvent där, men MOST ger ingen vind överhuvudtaget under nollplansförskjutningen, det vill säga höjden h-dt.

5 Tack

Tack till Ann-Sofi Smedman som har varit min handledare. Tack också till Hans Bergström som har hjälpt mig med flertalet data-set och Cecilia Johansson för värdefull hjälp med mat-lab.

24

Appendix A: En formulering för densitetsberoende hos β

Eftersom tätheten på skogen misstänkas ligga bakom en underskattning av vinden i instabila förhållanden behövs någon sorts korrigering för detta beteende. För att få ytterligare lite bättre profiler genom teorin föreslås ett densitetsberoende hos β. Både Poggi et al (2004) och Raupach (1994) finner att β har ett densitetsberoende. För att korrigera för detta beroende används ett värde a – ”element area index”. Poggi et al (1994) finner att β varierar med a. De resultaten visar dock bara β i neutrala förhållanden. I undersökningen som gjorts för den här rapporten visade sig teorin stämma bra i neutrala förhållanden med β=0.3. Det uppmätta medelvärdet för β i neutrala

förhållanden för mätningar över Jädraås var 28.57 och ligger således lite under det värde på 0.3 som har använts i beräkningarna. Skillnaden mellan profiler beräknade med 𝛽_𝑁=0.3 och 𝛽_𝑁=28.57 är dock liten. Enligt Poggi et al varierar β från mindre än 0.1 för a=0 upp till värdet 0.3 för ett värde på a=5 och är därefter konstant för alla a>5. För att kunna utvidga de resultaten till olika stabiliteter har Figur 10 använts. Figur 10 visar att β inte följer den hypotes som ges av Ekvation 28, och som ursprungligen formulerades av Harman och Finnigan, för instabila förhållanden. För instabila förhållanden verkar β ligga mycket lägre än vad ekvation 28 föreslår. För att korrigera för det ansätts en korrigeringsfaktor så att ekvationen för β blir:

𝛽 = 𝛽𝑁 𝜙 𝑧=0 − 𝑧𝐿 10 2 − 𝑧 𝐿 10 4.5+𝑎 (30)

Här förutsätts även 𝛽𝑁bero på a på något sätt. Figur 18 visar β som ges av Ekvation 30 för att antal

olika värden på a som sträcker sig mellan 0 och 50 men också β som ges av Ekvation 28

Figur 18. β för olika värden på a. Heldragna linjen är från ekvation 28 och ekvation 30 med a→ ∞, uppåtpekande

25

Som man kan se av Figur 18 gör formuleringen av β som ges av Ekvation 30 så att β håller sig inom värden mellan 𝛽_𝑁och β som ges av Ekvation 28. Eftersom Ekvation 28 visade sig stämma bra för stabila förhållanden har Ekvation 30 gjorts så att den blir asymptotisk med Ekvation 28 för z/L>0. För att se hur väl den nya formuleringen stämmer med mätvärden från Jädraås visar Figur 19 värden på β som kommer från turbulensmätningar för alla olika stabiliteter och med alla storlekar på

impulsflödet, β från Ekvation 28 och β från Ekvation 30, med a=1.5.

Ekvation 30 visar en bättre överensstämmelse med mätningarna än Ekvation 28.

Figur 19. Samma som Figur 10 men dessutom med Ekvation 30 (Streckade linjen).

För att visa att ekvation 30 verkligen ger bättre vindprofiler har beräkningar av vindprofilen gjorts för två olika instabiliteter, med Lc/L, = -0.64 och Lc/L, = -1.75. De stabila fallen är inte intressanta

eftersom profilen där är samma som i Figur 13. Resultatet av de beräkningarna visas i Figur 20 och 21. För a har värden på 50, 10, 2 och 0 använts. Figurerna inkluderar även profiler som gjorts β från Ekvation 28, vilket är samma som β från Ekvation 30, med a som går mot oändligheten

26

Figur 20. Vindprofiler som är korrigerade för otillräcklig täthet på skogen under instabila förhållanden. Heldragen linje bygger på beräkningar med β från Ekvation 28, övriga från Ekvation 30 med a=50 (ringar), a=10 (punkter), a=2 (punkter) och a=0 (streckad). Lc/L, = -0.64

Figur 20 och 21 visar att för minskande värde på a ger beräkningarna högre värden på vinden under instabila förhållanden vilket är önskvärt då en tidigare underskattning har funnits för de

förutsättningarna.

En beräkning av vindprofilerna med β från Ekvation 28 och med a=1.5 (samma som i figur 19) visas i figur 22. Vindprofilen ligger nu närmare mätvärdena i instabila förhållanden, jämför med Figur 13.

27

Figur 21 Figur 20. Vindprofiler som är korrigerade för otillräcklig täthet på skogen under instabila förhållanden. Heldragen linje bygger på beräkningar med β från Ekvation 28, övriga från Ekvation 30 med a=50 (ringar), a=10 (punkter), a=2 (punkter) och a=0 (streckad). Lc/L, = -1.75

28 Figur 22. Samma som Figur 13 men med β som ges av Ekvation 30.

29

Referenser

Bergström H, Högström U , 1989, Turbulent exchange above a pine forest II. Organized structures. Boundary-Layer Meteorolocy 49: 231-263

Finnigan JJ (2000) Turbulence in plant canopies. Annu Rev Fluid Mech 32:519–571

Garrett JR, 1980, Surface influence on vertical profiles in the atmospheric near-surface layer. Quart J Roy Meteorol Soc 106:803–819

Harman I N, Finnigan J J. 2007. A simple unified theory for flow in the canopy and roughness layer sublayer, Boundary-Layer Meteorol 123:339–363

Högström U, 1996, Review of some basic characteristics of the atmospheric surface layer. Boundary-

Layer Meteorol 78:215–246

Högström U, Bergström H, Smedman A-S, Halldin S, 1989, Lindroth A Turbulent exchange over a pine forest I. Fluxes and gradients. Boundary layer meteorology 49:197-217

Högström U, Smedman A-S. 1989. Kompendium i atmosfärens gränsskikt. Del 1 Turbulensteori och skikten närmast marken Chapt. I pp 10-11, Chapt III pp 50-57 Chapt V pp 98-99

Mölder M, Grelle A, Lindroth A, Halldin S. 1999. Flux-profile relationships over a boreal forest— roughness sublayer corrections. Agric For Meteorol 98–99:645–658

Poggi D, Porporato A, Ridolfi L, Albertson JD, Katul GG. 2004. The effect of vegetation density on canopy sub-layer influence. Boundary-Layer Meteorol 111:565–587

Raupach M. R. 1994 Simplified Expressions for Vegitation Roughness Length and Zero-Plane Displacement as Function of Canopy Height and Area Index. Boundary-Layer Meteorol 71: 211– 216

Thom, A. S., Stewart, J. B., Oliver, H. R och Gash, J. H. C. 1975 Comparison of an aerodunamic energy budget estimates of Fluxes over a Pine Forest. Quart J. R. Meteorol Soc. 101:93-105

Xuhui Lee. 1997 Gravity Waves in a Forest: A Linear Analysis. Journal of the atmosperic sciences

Tidigare utgivna publikationer i serien ISSN 1650-6553

Nr 1 Geomorphological mapping and hazard assessment of alpine areas in Vorarlberg, Austria, Marcus Gustavsson

Nr 2 Verification of the Turbulence Index used at SMHI, Stefan Bergman

Nr 3 Forecasting the next day’s maximum and minimum temperature in Vancouver, Canada by using artificial neural network models, Magnus Nilsson

Nr 4 The tectonic history of the Skyttorp-Vattholma fault zone, south-central Sweden,

Anna Victoria Engström

Nr 5 Investigation on Surface energy fluxes and their relationship to synoptic weather patterns on Storglaciären, northern Sweden, Yvonne Kramer

Nr 6 Förekomst och utlakning av bly från Tudors industriområde i Nol, Anna Bohlin

Nr 7 Partial Melting in Granulite Gneisses from Hornslandet, SE Central Sweden,

Sofia Carlsson

Nr 8 Högupplösande processering av seismiska data insamlade nära Gardermoens flygplats, Marie Larsson

Nr 9 Sedimentundersökning i Lillsjön och Vikern Gyttorp, Jan Sävås Nr 10 Integrering av MIFO och Grundvattenmodeller, Marit Brandt

Nr 11 GIS-baserad förstudie till MKB för behandling av förorenade jordmassor i

Stockholms respektive Södermanlands län, Borka Medjed-Hedlund

Nr 12 Groundwater Chemistry in the Area East of the Dead Sea, Jordan, Alice Nassar Nr 13 Bly i morän och vatten i delar av Småland, naturligt eller antropogent?,

Karin Luthbom

Nr 14 Metanflöde mellan väldränerad, subarktisk tundra och atmosfären -betydelsen av

markens vattenhalt och kemiska egenskaper, Gunilla Nordenmark

Nr 15 Effects of isothermal versus fluctuating temperature regimes on CO₂ efflux from sub-arctic soils, Pär Eriksson

Nr 16 En dagvattenmodell för beräkning av avrinning och transport av kväve och fosfor i

Flatendiket i södra Stockholm, Sara-Sofia Hellström

Nr 17 Långsiktiga effekter av odlingsinriktning på förändringar i markens humusförråd

- en fallstudie, Helena Näslund

Nr 18 Dynutveckling längs kusten utanför Halmstad, under senare hälften av 1900-talet. Ingrid Engvall

Nr 19 Humidity Structures in the Marine Atmospheric Boundary Layer, Andreas Svensson Nr 20 The Influence of Waves on the Heat Exchange over Sea, Erik Sahlée

Nr 21 Åska längs Sveriges kuster, Ulrika Andersson

Nr 22 En enkel modell för beräkning av tjäldjup, Johan Hansson

Nr 23 Modelling the Wind Climate in Mountain Valleys Using the MIUU Mesoscale

Model, Nikolaus Juuso

Nr 24 Evaluation of a New Lateral Boundary Condition in the MIUU Meso-Scale Model, Anna Jansson

Nr 25 Statistisk studie av sambandet mellan geostrofisk vind och temperatur i södra

Sverige, Jonas Höglund

Nr 26 A comparison of the temperature climate at two urban sites in Uppsala, Paulina Larsson

Nr 27 Optiska djupet för atmosfäriska aerosolpartiklar över södra Sverige, Jonas Lilja Nr 28 The wind field in coastal areas, Niklas Sondell

Nr 29 A Receiver Function Analysis of the Swedish Crust, David Mawdsley Nr 30 Tjäldjupsberäkningar med temperatursummor, Malin Knutsson

Nr 31 Processing and Interpretation of Line 4 Seismic Reflection Data from Siljan

Ring Area, Daniela Justiniano Romero

Nr 32 Turning Ray Tomography along deep Reflection Seismic Line 4 from the Siljan

Ring Area, Anmar C. Dávila Chacón

Nr 33 Comparison of two small catchments in the Nopex research area by water balance

and modelling approaches, Ulrike Kummer

Nr 34 High resolution data processing of EnviroMT data, Tobias Donner

Nr 35 Paleoclimatic conditions during late Triassic to early Jurassic, northern North Sea:

evidence from clay mineralogy, Victoria Adestål

Nr 36 Controlled Source Magnetotellurics - The transition from near-field to far-field Hermann Walch

Nr 37 Soil respiration in sub-arctic soils – controlling factors and influence of global

change, Evelina Selander

Nr 38 Miljöeffekter av Triorganiska tennföreningar från antifoulingfärg – med avseende

Nr 39 Depth distribution of methanotroph activity at a mountain birch forest-tundra ecotone,

northern Sweden, Erik Melander

Nr 40 Methyl tert-Butyl Ether Contamination in Groundwater, Linda Ahlström

Nr 41 Geokemisk undersökning av vattnet i Västerhavet Med avseende på metallhalter och

129_{I, Anette Bergström}

Nr 42 Fracture filling minerals and the extent of associated alteration into adjacent granitic

host rock, Erik Ogenhall

Nr 43 Bi-Se minerals from the Falun Copper mine, Helena Karlsson

Nr 44 Structures and Metamorphism in the Heidal-Glittertindarea, Scandinavian

Caledonides, Erik Malmqvist

Nr 45 Structure and isotope-age studies in Faddey Bay region of central Taymyr,

northern Siberia, Robert Eriksson

Nr 46 Stabilitetsindex – en stabil prognosmetod för åska?, Johan Sohlberg Nr 47 Stadsklimateffekter i Uppsala, Andreas Karelid

Nr 48 Snow or rain? - A matter of wet-bulb temperature, Arvid Olsen

Nr 49 Beräkning av turbulenta flöden enligt inertial dissipationsmetoden med mätdata från

en specialkonstruerad lättviktsanemometer samt jämförelse med turbulenta utbytesmetoden, Charlotta Nilsson

Nr 50 Inverkan av det interna gränsskiktets höjd på turbulensstrukturen i ytskiktet, Ulrika Hansson

Nr 51 Evaluation of the Inertial Dissipation Method over Land, Björn Carlsson

Nr 52 Lower Ordovician Acritarchs from Jilin Province, Northeast China, Sebastian Willman Nr 53 Methods for Estimating the Wind Climate Using the MIUU-model, Magnus Lindholm Nr 54 Mineralogical Evolution of Kaolinite Coated Blast Furnace Pellets, Kristine Zarins Nr 55 Crooked line first arrival refraction tomography near the Archean-Proterozoic in

Northern Sweden, Valentina Villoria

Nr 56 Processing and AVO Analyses of Marine Reflection Seismic Data from Vestfjorden,

Norway, Octavio García Moreno

Nr 57 Pre-stack migration of seismic data from the IBERSEIS seismic profile to image the

upper crust, Carlos Eduardo Jiménez Valencia

Nr 58 Spatial and Temporal Distribution of Diagenetic Alterations in the Grés de la Créche

Nr 59 Tektoniskt kontrollerade mineraliseringar i Oldenfönstret, Jämtlands län, Gunnar Rauséus

Nr 60 Neoproterozoic Radiation of Acritarchs and Environmental Perturbations around the

Acraman Impact in Southern Australia, Mikael Axelsson

Nr 61 Chlorite weathering kinetics as a function of pH and grain size, Magdalena Lerczak and Karol Bajer

Nr 62 H₂S Production and Sulphur Isotope Fractionation in Column Experiments with Sulphate - Reducing Bacteria, Stephan Wagner

Nr 63 Magnetotelluric Measurements in the Swedish Caledonides, Maria Jansdotter Carlsäter Nr 64 Identification of Potential Miombo Woodlands by Remote Sensing Analysis,

Ann Thorén

Nr 65 Modeling Phosphorus Transport and Retention in River Networks, Jörgen Rosberg Nr 66 The Importance of Gravity for Integrated Geophysical Studies of Aquifers,

Johan Jönberger

Nr 67 Studying the effect of climate change on the design of water supply reservoir, Gitte Berglöv

Nr 68 Source identification of nitrate in a Tertiary aquifer, western Spain: a stable-isotope

ap-proach, Anna Kjellin

Nr 69 Kartläggning av bly vid Hagelgruvan, Gyttorp, Ida Florberger

Nr 70 Morphometry and environmental controls of solifluction landforms in the Abisko area, northern

Sweden, Hanna Ridefelt

Nr 71 Trilobite biostratigraphy of the Tremadoc Bjørkåsholmen Formation on Öland, Sweden, Åsa Frisk

Nr 72 Skyddsområden för grundvattentäkter - granskning av hur de upprättats, Jill Fernqvist Nr 73 Ultramafic diatremes in middle Sweden, Johan Sjöberg

Nr 74 The effect of tannery waste on soil and groundwater in Erode district, Tamil Nadu, India A Minor Field Study, Janette Jönsson

Nr 75 Impact of copper- and zinc contamination in groundwater and soil, Coimbatore urban

areas, Tamil Nadu, South India A Minor Field Study, Sofia Gröhn

Nr 76 Klassificering av Low Level Jets och analys av den termiska vinden över Östergarnsholm , Lisa Frost

Nr 78 Low-level jets - observationer från Näsudden på Gotland, Petra Johansson

Nr 79 Sprite observations over France in relation to their parent thunderstorm system, Lars Knutsson

Nr 80 Influence of fog on stratification and turbulent fluxes over the ocean, Linda Lennartsson Nr 81 Statistisk undersökning av prognosmetod för stratus efter snöfall, Elisabeth Grunditz Nr 82 An investigation of the surface fluxes and other parameters in the regional climate

model RCA1during ice conditions, Camilla Tisell

Nr 83 An investigation of the accuracy and long term trends of ERA-40 over the

Baltic Sea, Gabriella Nilsson

Nr 84 Sensitivity of conceptual hydrological models to precipitation data errors – a regional

study, Liselotte Tunemar

Nr 85 Spatial and temporal distribution of diagenetic modifications in Upper Paleocene

deep-water marine, turbiditic sandstones of the Faeroe/Shetland basin of the North Sea,

Marcos Axelsson

Nr 86 Crooked line first arrival refraction tomography in the Skellefte ore field, Northern

Sweden, Enrique Pedraza

Nr 87 Tektoniken som skulptör - en strukturgeologisk tolkning av Stockholmsområdet och

dess skärgård, Peter Dahlin

Nr 88 Predicting the fate of fertilisers and pesticides applied to a golf course in central

Sweden, using a GIS Tool, Cecilia Reinestam

Nr 89 Formation of Potassium Slag in Blast Furnace Pellets, Elin Eliasson

Nr 90 - Syns den globala uppvärmningen i den svenska snöstatistiken?Mattias Larsson Nr 91 Acid neutralization reactions in mine tailings from Kristineberg, Michal Petlicki och Ewa Teklinska

Nr 92 Ravinbildning i Naris ekologiska reservat, Costa Rica, Axel Lauridsen Vang Nr 93 Temporal variations in surface velocity and elevation of Nordenskiöldbreen,

Svalbard, Ann-Marie Berggren

Nr 94 Beskrivning av naturgeografin i tre av Uppsala läns naturreservat, Emelie Nilsson Nr 95 Water resources and water management in Mauritius, Per Berg

Nr 96 Past and future of Nordenskiöldbreen, Svalbard, Peter Kuipers Munneke

Nr 97 Micropaleontology of the Upper Bajocian Ostrea acuminata marls of Champfromier

Nr 98 Calymenid trilobites (Arthropoda) from the Silurian of Gotland, Lena Söderkvist Nr 99 Development and validation of a new mass-consistent model using terrain-influenced

coordinates, Linus Magnusson

Nr 100 The Formation of Stratus in Rain, Wiebke Frey Nr 101 Estimation of gusty winds in RCA, Maria Nordström

Nr 102 Vädermärken och andra påståenden om vädret - sant eller falskt?, Erica Thiderström Nr 103 A comparison between Sharp Boundary inversion and Reduced Basis OCCAM

inversion for a 2-D RMT+CSTMT survey at Skediga, Sweden, Adriana Berbesi

Nr 104 Space and time evolution of crustal stress in the South Iceland Seismic Zone using

microearthquake focal mechanics, Mimmi Arvidsson

Nr 105 Carbon dioxide in the atmosphere: A study of mean levels and air-sea fluxes over the

Baltic Sea, Cristoffer Wittskog

Nr 106 Polarized Raman Spectroscopy on Minerals, María Ángeles Benito Saz

Nr 107 Faunal changes across the Ordovician – Silurian boundary beds, Osmundsberget

Quarry, Siljan District, Dalarna, Cecilia Larsson

Nr 108 Shrews (Soricidae: Mammalia) from the Pliocene of Hambach, NW Germany, Sandra Pettersson

Nr 109 Waveform Tomography in Small Scale Near Surface Investigations, Joseph Doetsch

Nr 110 Vegetation Classification and Mapping of Glacial Erosional and Depositional Features Northeastern part of Isla Santa Inés, 530_{S and 72}0_{W, Chile, Jenny Ampiala}

Nr 111 Recent berm ridge development inside a mesotidal estuary The Guadalquivir River mouth case, Ulrika Åberg

Nr 112 Metodutveckling för extrahering av jod ur fasta material, Staffan Petré Nr 113 Släntstabilitet längs Ångermanälvens dalgång, Mia Eriksson

Nr 114 Validation of remote sensing snow cover analysis, Anna Geidne

Nr 115 The Silver Mineralogy of the Garpenberg Volcanogenic Sulphide Deposit, Bergslagen,

Central Sweden, Camilla Berggren

Nr 116 Satellite interferometry (InSAR) as a tool for detection of strain along

End-Glacial faults in Sweden, Anders Högrelius

Nr 118 Metamorphism in the Hornslandet Area, South - East Central Sweden, Karl-Johan Mattsson

Nr 119 Contaminated Land database - GIS as a tool for Contaminated Land Investigations, Robert Elfving

Nr 120 Geofysik vid miljöteknisk markundersökning, Andreas Leander

Nr 121 Precipitation of Metal Ions in a Reactive Barrier with the Help of Sulphate - Reducing

Bacteria, Andreas Karlhager

Nr 122 Sensitivity Analysis of the Mesoscale Air Pollution Model TAPM, David Hirdman Nr 123 Effects of Upwelling Events on the Atmosphere, Susanna Hagelin

Nr 124 The Accuracy of the Wind Stress over Ocean of the Rossby Centre Atmospheric

Model (RCA), Alexandra Ohlsson

Nr 125 Statistical Characteristics of Convective Storms in Darwin, Northern Australia, Andreas Vallgren

Nr 126 An Extrapolation Technique of Cloud Characteristics Using Tropical Cloud Regimes, Salomon Eliasson

Nr 127 Downscaling of Wind Fields Using NCEP-NCAR-Reanalysis Data and the Mesoscale

MIUU-Model, Mattias Larsson

Nr 128 Utveckling och Utvärdering av en Stokastisk Vädergenerator för Simulering av

Korrelerade Temperatur- och Nederbördsserier, för Tillämpningar på den Nordiska Elmarknaden, Johanna Svensson

Nr 129 Reprocessing of Reflection Seismic Data from the Skåne Area, Southern Sweden, Pedro Alfonzo Roque

Nr 130 Validation of the dynamical core of the Portable University Model of the Atmosphere

(PUMA), Johan Liakka

Nr 131 Links between ENSO and particulate matter pollution for the city of Christchurch, Anna Derneryd

Nr 132 Testing of a new geomorphologic legend in the Vattholma area, Uppland, Sweden,

Niels Nygaard

Nr 133 Återställandet av en utdikad våtmark, förstudie Skävresjön,

Lena Eriksson, Mattias Karlsson

Nr 134 A laboratory study on the diffusion rates of stable isotopes of water in

unventilated firn, Vasileios Gkinis

Nr 135 Reprocessing of Reflection Seismic Data from the Skåne Area, Southern Sweden Wedissa Abdelrahman