Malmö högskola
Lärarutbildningen
Natur, miljö, samhälle
Examensarbete
10 poäng
Vem är bäst på procenträkning?
- elever i årskurs sex eller elever i årskurs ett på gymnasiet
Who masters percent best?
- students in sixth grade or in grade one in the upper secondary
school in Sweden
Charlotte Elvstam
Christer Månsson
Lärarexamen 60 poäng Matematik och lärande Höstterminen 2006
Examinator: Mats Areskoug Handledare: Annica Andersson
SAMMANFATTNING
Syftet med arbetet var att undersöka om elever studerande A-kursen i matematik på gymnasiets första år var bättre på att lösa procentuppgifter än elever i årskurs sex på grundskolans senare år. Vidare ville vi undersöka om elever i årskurs sex klarade att räkna procentuppgifter som finns i läromedlen för skolår nio samt om det är någon skillnad i svårighetsgraden på procentuppgifterna i läroböckerna? För detta användes en diagnos med nio uppgifter tagna ur matematikläromedel för årskurs sex och årskurs nio på grundskolans senare år. Vi har i enlighet med Möllehed (2001) försökt hitta uppgifter i vår diagnos med en varierande svårighetsgrad på problemen.
Vid vår analys av valda läromedel såg vi att svårighetsgraden på uppgifterna inte har förändrats markant. Vi ser dock ett avsevärt bättre resultat på elevernas förmåga att lösa uppgifter högre upp i årskurserna. Analysen baserades på Malmö högskola tre
perspektivområden, genus, miljö och etnicitet.
Viktiga slutsatser är att för att eleven ska nå framgång krävs det att pedagogen strävar efter att uppgifterna blir så verklighetstrogna och knutna till elevens vardag så långt som det är möjligt. Läraren måste sätta sig in i elevens sätt att tänka och förstå dennes
bakgrund till svårigheten enligt vår teorianalys.
INNEHÅLLSFÖRTECKNING
1 INLEDNING ... 6 2 SYFTE... 9 2.1 Bakgrund ... 9 2.1.1 Läroplanen Lpo/Lpf 94... 9 2.2 Elevens mål... 10 3 TEORETISK BAKGRUND... 11 3.1 Begreppsdefinitioner ... 20 4 FRÅGESTÄLLNINGAR ... 22 5 METOD... 23 5.1 Urval ... 23 5.2 Datainsamlingsmetoder ... 24 5.3 Procedur... 24 5.4 Bearbetning... 255.5 Validitet och reliabilitet ... 25
6 RESULTAT... 27
6.1 Vad är skillnaden mellan elevernas kunskaper i procenträkning? ... 27
6.2 Är det någon skillnad i svårighetsgraden på procentuppgifterna i läroböckerna? 28 6.2.1 Har uppgifterna relevans för eleverna? ... 29
6.2.2 Hur är kontexten i läroböckerna? ... 29
6.2.3 Vilka moment läggs till i läroböckerna? ... 31
7 DISKUSSION OCH SLUTSATSER ... 32
7.1 Diskussion av generaliserbarheten ... 35
8 LITTERATURFÖRTECKNING ... 36
APPENDIX I ... 39
1 INLEDNING
Procent är ett av de matematiska begrepp som människor ofta kommer i kontakt med i det dagliga livet. En förståelse för vad begreppet innebär påverkar oss väldigt mycket. Mycket av dagens informationsflöde bygger på procent, jämförelser av priser, lån, förändringar av valutor och BNP. Malmer (1999) och Stake (1989) talar om uppgifter i tidningar eller från radio/TV där man vill räkna ut vad informationen innebär för egen del, t.ex. dricks eller reapriser i en affär. Procent används i flera olika sammanhang, dels i situationer där procentsatsen är känd och dels i situationer där procentsatsen inte är känd från början, men där den kan fastställas med de fakta som finns. Malmer (1999) menar att procentbegreppet är ett av de mest elementära matematiska begreppen, beroende på att det har en sådan utbredd användning. Att inte behärska procentbegreppet innebär ett stort handikapp för gemene man. Vårt perspektiv på detta examensarbete är utifrån våra arbeten som matematiklärare och lärarkandidater på grundskolans senare skolår och gymnasiet. Vi har funnit att många elever har väldigt svårt, långt upp i åldrarna, med procenträkning och vi är intresserade av att försöka ta reda på mer om varför det förhåller sig så. Vygotskijs grundläggande teori om att eleverna ska utmanas i sin potentiella utvecklingszon genomsyrar hela Lpo/Lpf 94 (Skolverket, 1994). De läromedel vi utgått från används på våra respektive partnerskolor och arbetsplatser och borde spegla dagens läroplaner. Ett första intryck av matematikläromedlen vi använt är att det inte förhåller sig så och utmaningen för eleverna är liten eller obefintlig.
Kursplanerna och betygskriterierna betonar att skolans uppgift är att utveckla elevens kunskaper i matematik för att eleven skall lära sig att ta rätt beslut i de situationer som finns i vårt samhälle. Här spelar procentbegreppet en stor roll.
Engström (red.) (1998) tar upp undervisningens motsägelser. Den traditionella undervisningen struktureras utifrån en uppfattning om vilka delar av området som är lätta respektive svåra. I sin vardag möter eleverna däremot begreppet procent i ett komplext samband där lätta och svåra delar blandas. Eftersom denna typ av komplexa uppgifter inte bearbetats ställs eleverna ibland inför omöjliga förslag där de inte kan bedöma rimligheten av sina svar. Även Emanuelsson, Johansson och Ryding (red.) (1991) reflekterar kring dessa konstruktivismens grundläggande utgångspunkter. Utgångspunkten för vår diagnos är Anderbergs (1992) definition av de två olika
huvudproblemtyperna när det gäller procenträkning. I den ena typen är procenttalet och det hela känt och man skall beräkna delen, i den andra problemtypen är delen och det hela känt och man skall beräkna procenttalet.
Procent är ett begrepp som tas upp från grundskolans femte årskurs till Matematik A på gymnasiet. I de tidiga årskurserna behandlas enkla procentberäkningar och längre upp i årskurserna införs termer som procentenhet och ränta på ränta.
Mölleheds (2001) undersökning resulterade i sexton faktorer som påverkar problemlösningen för de olika årskurserna. Den faktor som dominerade i alla årskurser, utom i de klasser där eleverna lärt sig ha en dialog med läraren, var Textförståelse. Visuell förståelse, Verklighetsuppfattning, Separation, Relationer mellan helheten och dess delar, Kombinationsförmåga, Logik, Proportionell förståelse och Konstans varierade i styrka mellan årskurserna. I de högre årskurserna fanns flera uppgifter, där eleverna hade svårt att tolka den bakomliggande verkligheten, medan det i de tidigare årskurserna fanns få uppgifter där detta krävdes.
Vi har valt att referera till de olika matematikläromedlen med namnet på böckerna inte författare och årtal. Läromedelsförfattarna till respektive bok är:
Årskurs 6
Alma C: Undvall, Lennart, Forsberg, Svante, Olofsson, Karl-Gerhard, Wallin,
Frank, Bjarneskans och Johansson, Eivor
Matematikboken 6: Undvall, Lennart, Forsberg, Svante och Olofsson, Karl-Gerhard. Matteboken Grundbok 6B: Rockström, Birgitta
Matte Direkt Borgen 6B: Carlsson, Synnöve, Hake, Karl-Bertil, Liljegren, Gunilla och
Picetti, Margareta.
Talriket 6b: Johansson, Birgitta, Jonasson, Marianne, Måsbäck, Per, Svensson, Leif
och Öberg, Curt
Årskurs 9
Beta Röd Högstadiets matematik åk 9: Mårtensson, Gert, Svensson, Leif Matematikboken Z grön: Undvall, Lennart, Forsberg, Svante och Olofsson, Matte Direkt år 9: Carlsson, Synnöve, Hake, Karl-Bertil och Öberg, Birgitta.
Karl-Gerhard
MEGA-matematik Grundbok år 9: Alvin, Inga, Anderberg, Bengt, Karlsson, Sören
Matematik Kurs A
Exponent A röd: Gennow, Susanne, Gustavsson, Ing-Marie, Johansson, Bengt A och
Silborn, Bo.
Matematik 3000 Kurs A: Björk, Lars-Eric, Borg, Kenneth, Brolin, Hans, Ekstig,
Kerstin, Heikne, Hans och Larsson, Krister
NOVA A: Gustafsson, Ing-Mari, Mouwitz, Lars och Svensson, Reinhold
Optima A: Axelsson, Rolf, Bratt, Helge, Jakobsson, Gunilla, Jakobsson, Lars och
2 SYFTE
Syftet med arbetet var att undersöka om elever studerande A-kursen i matematik på gymnasiets första år var bättre på att lösa procentuppgifter än elever i årskurs sex på grundskolans senare år. Vidare ville vi undersöka om elever i årskurs sex klarade att räkna procentuppgifter som finns i läromedlen för skolår nio. Vi var även intresserade av att studera om det är någon större skillnad i svårighetsgraden på procentuppgifterna i läroböckerna från årskurs sex till nio.
2.1 Bakgrund
Vi har valt att studera begreppet procent sedan vi under våra respektive praktikperioder uppmärksammats på hur svårt eleverna har att räkna procent och hur liten skillnad det är i svårighetsgrader i läromedlen för årskurs sex jämfört med årskurs nio.
2.1.1 Läroplanen Lpo/Lpf 94
Skolverket (1994) talar om följande mål att sträva mot:
• Eleven ska ta till sig goda kunskaper inom skolans ämnen, för att utbilda sig och få beredskap för livet
• Eleven ska lära sig att lyssna, samtala, resonera och använda kunskaperna som verktyg för att:
o uttrycka och undersöka antaganden och lösa problem o reflektera över erfarenheter
o kritiskt analysera och bedöma påståenden och förhållanden Mål som eleverna skall ha uppnått i slutet av det nionde skolåret:
• Eleven ska behärska elementär matematik och kunna tillämpa den i vardagslivet • Eleven skall ha förvärvat sådana kunskaper som behövs i matematik som behövs
för att kunna beskriva situationer samt lösa problem som förekommer vardagslivet och som behövs som grund för fortsatt utbildning
• Eleverna ska ha goda färdigheter i och kunna använda överslagsräkning och räkning med naturliga tal och tal i decimalform samt procent och proportionalitet i huvudet, med hjälp av skriftliga räknemetoder och med tekniska hjälpmedel
Vidare skall läraren arbeta för att eleven:
• skall uppleva att kunskap är viktig och att den egna kunskapen utvecklas
• strävar mot att utvecklar sin tal- och rumsuppfattning samt sin förmåga att förstå och använda matematiska grundläggande begrepp
Kursplaner för grundskolans senare år anger att matematikämnet har till uppgift att hos eleven utveckla sådana kunskaper i matematik som behövs för att fatta välgrundade beslut i vardagslivets många valsituationer, för att kunna tolka och använda det ökande flödet av information och för att kunna följa och delta i beslutsprocesser i samhället. Utbildningen skall ge en god grund för studier i andra ämnen, fortsatt utbildning och ett livslångt lärande (Skolverket, 1994). Målen i kursplanen relateras till kunskapsområden ur de nationella proven i en bedömningsmatris. Eleven ska ha goda färdigheter i och kunna använda överslagsräkning och räkning med naturliga tal och tal i decimal-form samt procent och proportionalitet i huvudet, med hjälp av skriftliga räknemetoder och med tekniska hjälpmedel.
Gymnasiets kursplaner bygger vidare på de kunskaper som eleverna uppnår i grundskolan och innebär breddning och fördjupning av ämnet. Begreppet procent står inte omnämnt explicit i syftet på gymnasiet. Detta trots att liknande tal återkommer i flertalet av all Matematik A litteratur oavsett program (Skolverket, 2000).
2.2 Elevens mål
Den enda läroboken som specificerar vilka mål som skall vara uppnådda efter genomgånget avsnitt är Matte Direkt Borgen 6B:
• Kunna skriva 50 %, 25 % 10 % och 1 % som bråk
• Beräkna hur mycket 50 %, 25 % 10 % och 1 % är med huvudräkning • Räkna ut hur mycket en viss procent av något är, t.ex. 15 % av 120 kr • Ha lärt sig hur de tre olika typerna av procentberäkningar görs
o Räkna ut delen av en helhet
o Räkna ut hur många procent något är o Räkna ut det hela
• Använda procentberäkningar i olika verkliga sammanhang, t.ex. vid ränteberäkningar och vid jämförelser
3 TEORETISK BAKGRUND
Redan under kejsar Augustus tid beskattades de ockuperade områdena med skattesatsen centesima rerum venalium, 1/100 (en hundradel). Det blev bekvämare att räkna med hundradelar. Under 1400-talet tog användningen av procentbegreppet verkligen fart i samband med handelns utbredning över större delar av världen. 20 p100, motsvarade dagens 20 %, xp cento som motsvarade 10 % samt vi pco 6 %. På 1600-talet försvann
p-et och ringen skrevs ihop med c-p-et. Kvar blev vår nuvarande bp-eteckning för procent (%) (Smith, 1958).
Den rådande inställningen till procenträkning på högstadiet kan sammanfattas såsom Stake (1989) gör. Han uppehåller sig kring att procent kan betraktas från två helt olika infallsvinklar. Den ena är situationer där procentsatsen är känd och den andra i situationer där procentsatsen inte är känd från början, men där den kan fastställas med de fakta som finns. Det senare uppfattas av många elever som svårare och bör enligt Stake (1989) anstå till grundskolans senare år. När eleverna möter procentbegreppet har de oftast en oklar uppfattning om vad det innebär. Här skiljer sig procenträkning från många andra moment i matematiken. Enbart kunskapen om att realisationspriset innebär billigare varor har föga med procentbegreppet att göra. Det är först när begreppet ”del-av-helheten” klarnar som eleven kan bygga sin förståelse. Därför bör den första undervisningen inriktas på ett så konkret sätt som möjligt förklara vad procenträkning är bra för och vad man kan använda den till. Senare i undervisningen måste alla elever få ett riktigt procentbegrepp, det vill säga få helt klart för sig att procentsatsen anger en viss del av det hela. Denna del kan vara antingen mindre än eller större än det hela. Får eleverna inte detta klart för sig kan följden annars bli att de får helt felaktiga begrepp. De metoder som återfinns i läromedel för senare skolår kan enligt Stake (1989) sammanfattas i följande:
1. Anknytning till förhållandet och bråk. Jämförelse mellan delen och det hela. För och nackdelar med denna metod:
• Är visuellt bra när man vill visa eleverna att olika procent av samma sak är olika mycket och även att det omvända.
• Är bra, som inledning till att beräkna hur många procent a är av b. Detta moment uppfattas av många elever som svårt.
• Är svår när kvoten inte blir ett heltal. 2. Anknytning till decimalformen.
För och nackdelar med denna metod:
• Använder betydelsen av ordet procent.
• Är lätt i det avseendet att decimalformen vållar eleverna relativt få svårigheter. Många elever är i regel förtrogna med att två decimaler innebär hundradelar. Detta kan ändå bli problem om vi skriver t.ex. 0.8 i stället för 0.80.
• Bra som inledning till uppgifter av typen ”hur mycket är a % av b”. • Bra med tanke på procentuella förändringar.
• Är inte konkret och införandet av procentbegreppet blir därför en aritmetisk operation, även om tallinjen används.
3. Utgångspunkt i 100 enheter. För och nackdelar med denna metod:
• Går direkt och konkret på betydelsen av ordet procent (”en på hundra”). • Är bra som inledning till uppgifter av typen ”hur mycket är a % av b” • Medför ej sällan att elever sätter delen lika med procentsatsen, t.ex. 15 %
av 200 m är 15 cm, eller 15 m.
• Är inledningsvis bevärlig att arbeta med, eftersom 100 enheter är otympligt många att rita och räkna.
Enligt Löwing och Kilborn (2002) är procentbegreppet en metod att enkelt beskriva och jämföra stora tal. Enkelheten ligger i att procentsatsen anger en bråkdel av något och detta har standardiserats så att det alltid jämförs med 100. Med hjälp av procent kan man göra jämförelser utan att veta storlek, antal mm. Utifrån detta resonemang finner författarna det anmärkningsvärt att det finns uppgifter i matematikböckerna av typen: Hur mycket är 7 av 24? 7 av 24 visar ett tydligare besked än ca 29 %. Dessa typer av uppgifter ger inte eleverna en bra uppfattning av hur man använder procent. Även uppgifter som: Skriv 42 % som decimaltal. På en sådan uppgift vill läraren att eleven skall svara 0,42. Detta är ett sätt att hoppa över procentbegreppet, då det inte ger dem en fördjupad kunskap i vad procentbegreppet innebär. Löwing och Kilborn (2002) tar upp tre olika exempel på hur man skall introducera och konkretisera procentbegreppet:
1 Koppla begreppet till en kvadrat som har 100 rutor
3 Använda en procentskiva, en komplettering till pizzabitar.
Löwing och Kilborn (2003) menar att man i tidiga årskurser kan påbörja en långsiktig process med syfte att hjälpa eleverna bli duktiga i huvudräkning genom att utnyttja finesserna i olika räknelagar och räkneregler. Detta menar författarna kan utgöra en god grund för förståelse av begrepp som procent. Författarna uppehåller sig kring den viktiga distinktionen att t.ex. 30 % av 400 innebär 30/100 av 400 och inte 0,30*400 även om denna multiplikation ger rätt svar och givetvis kan användas som beräkningsmodell av den elev som förstår operationen. 1/100 av 400 innebär att man skall dela 400 i 100 delar och sedan välja en av dem, alltså hundradelen av 400 (som ju är 4). Om man sedan ska ha 30/100 av 400 så tar man 30 stycken av hundradelarna och får svaret 30*4. Det är alltså i grunden frågan om att bestämma en andel av ursprunget, inte att utföra en multiplikation med 0,30 även om multiplikationen 0,30 *400 ger samma svar. Författarna resonerar vidare kring det mindre lämpliga i att skriva 30 % i decimalform 0,30 vilket sker i de flesta läromedel för att undvika att förklara procenträkningens egentliga innebörd. 30 % är inte något tal utan en proportion som inte får någon numerisk betydelse förrän man tagit proportionen (andelen) av något. På motsvarande sätt bör man skilja mellan talen 4/5 som tal, alltså i betydelsen är lika med 0,8 och 4/5 av 400 där 4/5 betyder 4 andelar av 5, alltså en proportion och som inte har något värde förrän man tagit den andelen av 400.
I enlighet med Vygotskijs teorier betonar Löwing och Kilborn (2003) det viktiga med att föra samtal med eleverna om procentbegreppet och klargöra dess betydelser. Vygotskijs utvecklingspsykologi innebär en process där individen går från att vara beroende av omgivningen till att med hjälp av språket öka sin egen medvetenhet och sitt sätt att tänka. Språket underlättar medvetenheten om själva inlärningsprocessen.
Vygotskijs definitionsmetod:
Definitionsmetoden opererar nästan uteslutande med ordet, och bortser från begrepp, i synnerhet för barnet, är förbundet med det sensoriska material som genom att förnimmas och bearbetas legat till grund för dess uppkomst. Både det sensoriska materialet och ordet är oundgängliga moment i den begreppsbildande processen. Men om ordet lösrycks från detta material överförs hela processen till ett rent verbalt plan, som inte är typiskt för barnet. Därför lyckas man nästan aldrig med hjälp av denna metod fastställa den relation som finns mellan den betydelse som barnet tilldelar ett ord vid en rent verbal bestämning och den verkliga och reella betydelse som ordet motsvarar i sin levande relation till den objektiva verklighet som det betecknar. Det viktigaste för begreppet - dess förhållande till verkligheten - förblir därmed outforskat. Vi försöker nå fram till ordets betydelse genom
att använda oss av ett annat ord, och det som vi upptäcker med hjälp av denna operation har snarare att göra med relationer som finns mellan enskilda ordgrupper som barnet tillägnat sig än med en verklig avspegling av barnets begrepp. Vygotskijs (2005, s. 168)
Löwing och Kilborn (2003) menar att denna process ligger till grund för de svårigheter som en del elever har med procentberäkningar och då främst med lästal. Eleverna måste få klart för sig att det i grunden handlar om att bestämma en andel och inte utföra en multiplikation med en faktor. Här bidrar många läromedel till elevernas svårigheter genom att inte förklara procenträkningens egentliga innebörd. Procent är en proportion och får ingen egentlig betydelse förrän en andel är tagen (en proportion). Vygotskijs (2005) åsikt är att inlärningen går före utveckling och han kallar det den potentiella utvecklingszonen. Denna kunskapssyn, där eleverna utmanas att konstruera sin kunskap utifrån sina egna behov och intressen, bygger på socialkulturella teorier. Samspelet med omgivningen gör att eleven kan lära sig begrepp och handlingar som eleven i en självständig situation inte skulle ha funderat över. För att eleven ska kunna lyftas till en högre nivå måste den dock ha en beredskap och mognad för att kunna möta och ta till sig de begrepp och handlingar som omgivningen bidrar med. Vi skapar mening och betydelse med hjälp av medierande redskap (artefakter) som vi tillägnar oss genom kulturella erfarenheter. Dessa medierande redskap hjälper oss att konstruera omvärlden enligt specifika mönster. Att redan i grundskolans tidiga år ge eleverna redskap för att förstå matematiska begrepp och samband gör att de får en första introduktion till ett matematiskt språk. Detta utvidgas sedan och deras förståelse av dessa begrepp ökar. Eleverna är själva med och bygger upp sin kunskap. Språket är ett av det viktigaste redskapen och gör det möjligt för oss att kommunicera kunskaper och insikter till varandra. Detta är viktigt för att kunskaper och färdigheter ska kunna byggas upp och föras vidare mellan människor och generationer. Kunskap och lärande sker inte enbart inom individen utan det sociala sammanhanget påverkar hur vi inhämtar kunskap. Genom att införa begrepp och ge förklaringar till de matematiska ord som eleverna kan uppleva och sätta dem i ett sammanhang nära deras vardag kan inlärning ske om utmaningen ligger inom deras potentiella utvecklingszon. Dialog kring hur man använder sig av matematiska redskap möjliggör för eleverna att konstruera sina egna bilder av de olika begreppen. Därför är det av stor betydelse att tvåspråkiga elever kan överföra sin begreppsförståelse på hemspråket till begreppsförståelsen på andraspråket. Dialog mellan eleverna är troligen ett av de viktigaste hjälpmedel för att överföringen ska ske. Även inom eleven har språket en stor betydelse för den kognitiva utvecklingen.
När en elev ställs inför ett svårt problem pratar ofta eleven med sig själv. Detta minskar med åren, men försvinner dock aldrig helt utan utvecklas till ett inre tal.
Malmer och Adler (1996) menar, att elever med aktivt och kreativt arbete i konkreta sammanhang, måste få tillfälle att upptäcka matematiska samband som eleven sen omvandlar till matematiskt symbolspråk. Författarna betonar också vikten av att ”tala matematik”. Eleven skall lära sig att formulera tankarna i ord, muntligt och skriftligt. Detta i sin tur har stor betydelse i utvecklandet av tankeprocessen.
Löwing och Kilborn (2003) betonar att det även i procenträkning är viktigt att göra en enkel överslagslagsräkning för att kontrollera att svaret har rätt storleksordning. En metod som brukar fungera väl är att lära sig några enkla procentsatser.
• 50 % av 680 = hälften av 680 =340
• 25 % av 680 = ¼ av 680 = hälften av hälften av 680 = 170 • 10 % av 680 = 680/10 = 68
• 1 % av 680 = 680/100 = 6,8
Samma grundläggande metodik som för procenträkning kan i princip användas för räkning med decimaltal. Även för detta begrepp gäller det att eleven i det första steget förstår innebörden, alltså att det handlar om en andel av något uttryckt i delar. Själva beräkningarna följer sedan samma aritmetiska regler.
Emanuelsson et al (red.) (1991) bekräftar att det har skrivits många artiklar om elevers svårigheter och bristande förståelse när det gäller procentbegreppet. Författaren menar att det skrivits mycket lite om hur en förändrad matematikundervisning skulle kunna förbättra denna situation. Debatten handlar mest om olika lösningsmodeller som grund för procentförståelsen och inte hur man bygger upp begreppsförståelsen utifrån elevernas erfarenheter och från vardagliga situationer som innehåller procent. Anderberg (1992) menar att eleverna måste fördjupa sina kunskaper genom att arbeta med procentbegreppet utifrån flera olika perspektiv och sammanhang. Procenträkning bör knytas till praktiska vardagliga problem. Detta skall dock vägas mot att undervisningen inte helt centreras mot de numeriska beräkningarna utan även att den analyserande delen av problemlösningarna får utrymme. Numeriska beräkningarna kan gärna utföras med hjälp av miniräknare så att de principiella frågeställningarna hamnar i fokus och inte eleven fastnar på räknetekniska svårigheter. Skemps (1979) teori är inte bara en modell för att lösa en viss uppgift, utan kan ses mer generellmetod, ett slags schema som åskådliggör alla möjliga sätt att komma till lösningen, så relationen inom
en teori blir dess matematiska samband. En sak är att ha förståelse för det matematiska begreppet procent en annan är att verkligen kunna tillämpa begreppet i olika sammanhang.
Elever skapar och utvecklar nya strukturer i mötet med nya situationer genom förändring av de gamla. I takt med att elevens erfarenhet utvidgas och kunskaper ökas uppgraderas elevens gamla scheman. Ibland när eleven ställs inför en svår uppgift går denne dock tillbaka till tidigare scheman (Engström, 1997).
Resultat på diagnoser inom procentområdet kan vara goda även om det inte finns någon stark bakomliggande förståelse. Härigenom kan slutsatser om kunskapsnivån bli missvisande:
Det står klart för alla att god förståelse för proportionalitet och procent är viktig. Vad kan man göra för de elever som trots allt inte tillägnat sig begreppen? Här följer några förslag:
- att man gör ”en förändring i taget” när man börjar med procent.
- att man arbetar med begreppet ”del av” och med förhållandet mellan olika storheter i olika sammanhang.
- att eleverna ritar schematiska bilder med markering av delen och helheten. Bilderna underlättar förståelsen av beräkningarna.
- att procentbegreppet belyses samtidigt från olika sidor. Hur mycket är 20 % av 200 kr? Hur många procent är 40 kr av 200 kr?
- att övergången från att räkna via 1 % till decimalform särskilt beaktas.” (Nämnaren TEMA, 1995 s 28)
Enligt Engström (1997) är många matematiklärare fast i en formaliserad sekvens av introduktion – övning - tillämpning. Detta kan leda till att matematiken blir ett färdighetsämne, där själva räknandet får en central roll och inte innebörden av olika matematiska begrepp.
Det är här vi måste satsa på att utveckla nya och bättre didaktiska övningar och laborationer (Rydstedt och Trygg, 2005). Författarna menar att lärarens roll är central och har betydelse för hur laborationerna genomförs och hur utmanande de blir för
eleverna. Det gäller att skapa en länk mellan det konkreta och det abstrakta, där laborativa aktiviteter blir länken. Eleven kan genom att arbeta med en aktivitet, få förståelse för det abstrakta matematiska begreppet eller sambandet. När utmaningsnivån ökar kan eleven gå tillbaka till det laborativa arbetet för att få djupare förståelse. Det laborativa materialet blir ett redskap för läraren att konkretisera innebörden av ett abstrakt begrepp.
Unenge et al (1994) skriver att eleverna måste vara förtrogna med begreppet procent för att kunna gå vidare och använda sina resultat. Förtrogenheten och förståelsen måste finnas, det författarna kallar ”den tysta kunskapen” måste ges utrymme att växa fram och mogna. Elevens motivation för att skaffa ny kunskap kan delas in i tre olika lärande former. Konstruktivt, kontextuellt och funktionellt lärande. Procenträkning kan kopplas till det funktionella lärande där kunskapen blir ett redskap och kan hjälpa eleven organisera sin bild av vardagen.
Ulins (2001) åsikter kring problemlösningens plats i matematikundervisningen är knuten till Vygotskijs kognitiva teorier. Dagens uttryckliga symbolsystem och beräkningsalgoritmer i undervisningen hämtas från en för eleven yttre miljö och anpassas till, i pedagogernas ögon, lämpliga uppgifter. För att eleven ska nå framgång krävs att pedagogerna strävar efter att uppgifterna blir så verklighetstrogna och knutna till elevernas vardag som långt som möjligt. Det som oftast övas i skolan är att bli bekant med en mångfald av olika sätt att representera matematiska relationer och behandla dem med algoritmisk matematik. Vad som inte uppmärksammas i lika stor utsträckning är tolkningar av lösningar och reflektioner över de olika metodernas lämplighet. Författaren menar att det i läromedlen länge har varit praxis att ta lätt på begreppsbildningen. Procentbegreppet baseras ofta på en kvadrat med 100 rutor. Begreppsbildningen behöver belysning från olika håll. Den behöver mångfald. Speciellt viktigt är det när det gäller att introducera nya begrepp för eleverna. Då behöver läraren ha hög kompetens så att denne blir oberoende av läromedlen.
Möllehed (2001) talar om risken med att oerfarna lärare gärna vill bortse från elevens tankegångar och istället ge sitt eget synsätt, vilket kan vara främmande för eleven. Läraren måste sätta sig in i elevens sätt att tänka och förstå dennes bakgrund till svårigheten och vara öppen för olika lösningsmetoder. Eftersom eleverna har så skilda utgångsläge bör en del av matematikundervisningen ske i mindre grupper. I de mindre grupperna kan man med fördel införa laborationer. Alternativ till laborationer kan vara datorprogram.
Unenge et al (1994) framhåller också vikten att använda sig av matematikuppgifter som har relevans för eleven. I boken benämns detta begreppet etnomatematik och även kallat. Bilden i citatet tydliggör hur skolmatematiken inte anpassas av skolan.
”Området i centrum på figuren visar på ett av skolmatematikens problem. Innehållet i ”skolmatematiken” överensstämmer inte helt med den matematik som förekommer i vardagslivet. Vi sysslar i skolan med matematikuppgifter som inte har
relevans som ”vardagskunskaper”. (Unenge et al, 1994 s. 51)
Mölleheds (2001) undersökning gick ut på att studera bristerna i elevernas problemlösning av matematiska uppgifter och sedan sammanfatta dessa till övergripande faktorer. Genom att studera elevernas lösningar kan man få fram många enskilda brister och sedan sätta samman dessa till faktorer. En beskrivning av de enskilda faktorerna kan sedan med lätthet göras. En syntes skapas genom att gå från mindre delar till allt större enheter. Författaren använder sig av både hermeneutisk metod och fenomenologisk metod i sin undersökning. Genom samspelet mellan att del och helhet förändras, fördjupas förståelsen stegvis. Hans undersökning resulterade i sexton faktorer varav följande är de vi finner som mest kopplade till procentbegreppet:
• Textförståelse
Misstolkning av information i texten, förstår inte sammanhanget eller misstolkar enstaka detaljer
• Visuell förståelse
Eleven måste kunna tolka och förstå bilder och figurer • Verklighetsförståelse
Eleverna har en felaktig uppfattning av verkligheten genom felaktiga modeller eller använder orealistiska värden
• Uppmärksamhet Olika typer av slarvfel
• Relationer mellan helheten och dess delar
Eleverna inser inte hur delarna är relaterade till helheten och inte heller hur delarna är relaterade till varandra inom helheten
• Kombinationsförmåga
De hittar inte rätta kombinationerna och grupperingar • Logik
De kan inte dra en slutats av givna förutsättningar, visar prov på ofullständig tankegång
• Proportionell förståelse
Eleverna kan inte tillämpa proportionellt tänkande i de situationer där detta krävs
• Matematiska begrepp
Missförstår innebörden av matematiska begrepp, vissa problem med att använda formler och metoder vid beräkning av omkrets, area, volym och procent
• Talförståelse
Feltolkningar av decimaltal och rationella tal • Räkneförmåga
Olika räknefel och oförmåga att separera räknesätten • Noggrannhet
Fel som grundar sig på onödiga eller överdrivna approximationer
I Mölleheds (2001) undersökning dominerar faktorn textförståelse i alla årskurser utom i de klasser där eleverna lärt sig ha en dialog med läraren. I de fallen har eleverna lättare att skapa sin förståelse av vad uppgiften går ut på. Visuell förståelse, Verklighetsuppfattning, Relationer mellan helheten och dess delar, Kombinationsförmåga, Logik och Proportionell förståelse varierar i styrka mellan årskurserna. I de högre årskurserna finns flera uppgifter, där eleverna har svårt att tolka den bakomliggande verkligheten, medan det i de tidigare årskurserna finns få uppgifter, där detta krävs. Om eleverna har brister i hur en riktig bild av verkligheten ser ut misslyckas de med uppgiften. (se uppgift 5 i Appendix I). Många elever använder eller
kommer fram till orealistiska värden, som de utan vidare accepterar. Med elevernas begränsade erfarenhetsvärld kan det vara svårt att avgöra, vad som är realistiskt eller inte. Ibland beror felen på att de inte har reflekterat över situationen.
Hartman (2004) skriver att modellerna används heuristiskt. En viktig användning är att uttrycka en allmän idé som sedan ligger till grund för fortsatta undersökningar. Tanken är att man kan förstå komplicerade teorier genom att först få en modell presenterad för sig och sedan själva teorin bakom. Modellen ger de allmänna dragen hos en företeelse i världen, teorin ger en detaljerad bild av den.
3.1 Begreppsdefinitioner
Procent
Procent (ytterst av pro- och lat. ce´ntum 'hundra'), hundradel; beteckning %. Vid procenträkning måste man skilja på procent och procentenheter: om en skatt på 20 % höjs till 22 % så är höjningen 10 procent men 2 procentenheter. (Nationalencyklopedin, 2006)
Procentenheter
Procentenheter procen`tenhet subst. ~en ~er ORDLED: pro-cent--en-het-en • enhet uttryckt i procent vanl. vid jämförelse mellan olika procentuella andelar: partiet ökade från 6 till 14%, alltså med 8 ~er HIST.: sedan 1960-talet. (Nationalencyklopedin, 2006)
Bråk
Bråk (delar) bråk (medellågty. brok, eg. ”brytning”, här i betydelsen 'brutet tal'), matematiskt uttryck av formen a/b, där a kallas täljaren, b nämnaren och strecket bråkstreck. Nämnaren får aldrig vara noll. Vid räkning med enbart heltal kan alla additioner, subtraktioner och multiplikationer utföras. En division kan utföras i den mån täljaren är jämnt delbar med nämnaren. Genom att man inför bråk utvidgas räkneområdet till de rationella talen, där de fyra enkla räknesätten alltid kan utföras (utom division med noll). (Nationalencyklopedin, 2006)
Hundradel
Hundradelar hun`dradel äv. hun`dra dedel subst. ~en ~ar ORDLED: hundra--del-en, hundra-de--del-en • en del av (ngt som tänks delat i) hundra lika delar sedd i relation till helheten {SYN. procent}: en centimeter är en ~s meter KONSTR.: en ~s ngt, en ~ (av ngt) HIST.: sedan 1644. (Nationalencyklopedin, 2006)
Förändringsfaktor
Förändringsfaktor i viss litteratur benämns som tillväxtfaktor vilket kan ytterligare förvilla för eleverna, t.ex. om förändringsfaktorn är mindre än 1 framstår det som ologiskt att tala om tillväxt. En annan aspekt är att elever med svenska som andra språk kan ha svårt att få ett korrekt sammanhang. En storhet ändras med ett visst procenttal. Man kan då beräkna det nya värdet genom att multiplicera det ursprungliga värdet med
en tillväxtfaktor, förändringsfaktor. Vid ökning är denna faktor större än 1, vid minskning är mindre än 1.
4 FRÅGESTÄLLNINGAR
Vi skall undersöka om det är någon skillnad mellan kunskapen i procenträkning hos elever i årskurs sex och elever i gymnasiets årskurs ett. Vi skall även studera om svårighetsgraden i de matematiska läromedlen markant ökar från årskurs sex till nio. Har eleverna i gymnasiet årskurs ett studerande Matematik A en högre kunskap om procent?
Detta arbete behandlar två huvudfrågor där fråga två är indelade i delfrågor: 1 Vad är skillnaden mellan elevernas kunskaper i procenträkning?
2 Är det någon skillnad i svårighetsgraden på procentuppgifterna i läroböckerna? • Har uppgifterna relevans för eleverna?
• Hur är kontexten i läroböckerna? • Vilka moment läggs till i läroböckerna?
5 METOD
Vårt arbete bygger på en kartläggande kvantitativ undersökning och en kartläggning av innehåll och utveckling i läroplaner, didaktisk litteratur och läromedelanalys av arbetet enligt Johansson och Svedner (2001) och Patel och Davidsson (2003). Vi valde att genomföra en diagnos för att få svar på våra frågeställningar. I enlighet med Möllehed (2001) har vi försökt sätta ihop en diagnos med problem av varierande svårighetsgrad. Detta för att stimulera både de elever som upplever svårigheter i matematik och intressera mer avancerade elever. Problemen har hämtats från olika läromedel och kompletterats med en egenhändigt formulerad uppgift. Möllehed uppger att han i tidigare undersökningar funnit att åtta problem kan vara för litet antal för att kunna definiera olika faktorer. Hans undersökning bygger på fem lektionstillfällen. Vi har av praktiska och tidsmässiga skäl valt att genomföra diagnosen vid ett tillfälle och fick därmed begränsa oss till nio uppgifter. Elever på tre skolor, våra partnerskolor och respektive arbetsplatser, i Skåne medverkade. Dessa valdes av praktiska skäl.
I läroboksanalysen har vi valt att tematiskt lägga dela upp analysen med utgångs punkt av våra frågeställningar och begreppen, genus, miljö och etnicitet (Johansson och Svedner, 2001).
5.1 Urval
Två olika årskurser, årskurs sex och årskurs ett på gymnasiet på tre skolor valdes till vår undersökning. Totalt medverkade fyra klasser. Den ena sjätteklassen är på en skola belägen i en invandrartät stadsdel i en storstad, ca 50 % av befolkningen har invandrarbakgrund. Stadsdelen består till största del av höghuskomplex men det finns också ett stort område med mindre villor. Eleverna har haft traditionell undervisning i matematik. Den andra sjätteklassen utgörs av elever på en friskola i norra Skåne. Den ena gymnasieklassen kommer från en skola i storstadsmiljö med stor andel elever med invandrarbakgrund (ca 50 %) medan den andra gymnasieklassen, som kommer från norra Skåne, har endast svenska elever. En sjätteklass och en gymnasieklass kommer från skolan i norra Skåne. Alla klasser, utom sjätteklassen från storstaden, har nyligen haft undervisning i procent.
Urvalet av böcker till läromedelsanalysen har varit de böcker som finns på våra arbetsplatser, partner skolor samt Malmö Högskolas bibliotek.
5.2 Datainsamlingsmetoder
Vi valde ett prov i form av en diagnos (Appendix I) som undersökningsmetod. Diagnosen bygger på två läromedel, Matte Direkt år 9 och Matematikboken 6. Diagnosen bestod av nio frågor, fyra från vardera boken samt en kompletterade egenhändigt formulerad fråga. Frågorna ur läroböckerna är valda med hänsyn tagen till de två typer av grundproblem som tas upp i Anderberg (1992):
1 Procenttalet och det hela är känt och man skall beräkna delen. Ex: Hur mycket är 20 % av 12 kr?
2 Delen och det hela är känt och man skall beräkna procenttalet. Ex: Hur många procent är 5 kr av 8 kr?
Den kompletterande frågan valdes för att se om eleverna hade förstått begreppet förändringsfaktor. Begreppet förändringsfaktor ligger till grund för ränta på ränta och är det snabbast sättet att räkna procent med hjälp av miniräknare.
5.3 Procedur
Diagnosen (Appendix I) delades ut till eleverna och de upplystes om att det var ett prov som skulle bedömas. Detta för att eleverna skulle göra sitt bästa. Diagnosen var tidsbegränsad till 40 minuter. Eleverna skulle svara på rutat provpapper. Detta för att de skulle ha obegränsat utrymme för att utveckla sina lösningar och tankar. Eleverna fick använda miniräknare för att därmed minimera risken att eleverna svarade fel på uppgifterna på grund av problem med huvudräkning eller uppställningssvårigheter. Elevernas prov avpersonifierades för att säkerställa anonymitet. Resultaten bedömdes efter ett facit (Appendix II).
Tabell 1: Antal elever fördelade med avseende på årskurs, genus och etnicitet.
Elever Antal
Flickor utländska föräldrar gymnasiet 4 Flickor svenska föräldrar gymnasiet 7 Flickor utländska föräldrar sexan 6 Flickor svenska föräldrar sexan 7 Pojkar utländska föräldrar gymnasiet 12 Pojkar svenska föräldrar gymnasiet 14 Pojkar utländska föräldrar sexan 5 Pojkar svenska föräldrar sexan 7
Totalt antal elever 62
5.4 Bearbetning
Elevernas resultat har endast bedömts med rätt eller fel. Vi har inte kunnat göra en mer omfattande bedömning om hur eleverna tänkt och löst uppgifterna, detta på grund av att eleverna oftast enbart svarat med ett svar. Trots att det framgick av diagnosen att de skulle skriva svar och uträkningar. I uppgift åtta har vi gett rätt för både svar i kronor och i procent. Vi har delat in eleverna i åtta grupper efter två av Malmö högskolas perspektiv genus och etnicitet, se tabell 1. Med utländska menar vi personer som inte är födda i Sverige.
5.5 Validitet och reliabilitet
Validiteten i en studie talar om hur korrekt observationen är (Hartman, 2004). Man vill undvika felkällor som underminerar giltigheten och bedöma giltigheten i olika situationer. Validitet kan ses som ett mått på hur bra svaret på en viss fråga motsvarar det man vill mäta eller beskriva. Det finns många felkällor och för att undvika dessa är det därför viktigt att känna till så många felkällor som möjligt. God validitet betyder att en sann bild av det som undersökts visas, det vill säga, att man verkligen mäter det som man avser att mäta. Det är viktigt att, som forskare, kritiskt granska sina egna utgångspunkter (Johansson och Svedner, 2004). Det är inte självklart att alla uppfattar begrepp och uttryck på det sätt som forskaren avsett.
Reliabiliteten, en studies pålitlighet, har att göra med att samma observation ska kunna upprepas många gånger. Hög reliabilitet innebär att en hög tillförlitlighet uppnås. En observation måste vara så noggrant beskriven att någon annan ska kunna göra om observationen (Hartman, 2004). Reliabiliteten definieras som mätnoggrannhet enligt Johansson och Svedner (2004). Undersökningen skall, för att ha god reliabilitet, vara gjord på ett tillförlitligt sätt. Vår undersökning har en hög reliabilitet, då vi noggrant beskrivit metoden och tillvägagångssättet av vår undersökning. Urvalsgruppen i de olika årskurserna i vårt examensarbete var dock alldeles för liten för att vi ska kunna lita på undersökningen och göra generaliseringar.
Patel och Davidson (2003) framhåller att validitet och reliabilitet har ett förhållande till varandra och av den anledningen måste båda aspekterna granskas. De sammanfattar dessa förhållande i följande punkter:
• Hög reliabilitet är ingen garanti för hög validitet • Låg reliabilitet ger låg validitet
• Total reliabilitet är en förutsättning för total validitet
Detta kan tolkas som om tillförlitligheten är låg, så vet man inte vad man mäter. Omvänt, är det ett måste att veta vad som mäts, för att veta om mätningen är tillförlitlig.
6 RESULTAT
Resultatet från den genomförda diagnosen har sammanställts och analyserats med avseende på våra frågeställningar. Med vårt arbete ville vi undersöka vem som var bäst i procenträkning, en elev i årskurs sex i grundskolans senare år eller en elev under första året på gymnasiet.
6.1 Vad är skillnaden mellan elevernas kunskaper i procenträkning?
I diagram 1 har vi sammanställt resultaten från den genomförda diagnosen. Varje stapel är indelad i 8 delar, där de olika delarna är hur vi grupperat eleverna. De olika delarna kan variera från 0 till 100 %. Resultat från uppgift 4 i diagnosen visar att de flesta av eleverna har insikt i vad begreppet hälften innebär och kan översätta detta till procent. Uppgifter kopplade till vardagsanknutna frågeställningar, t.ex. den rörande realisation på en DVD-spelare (se uppgift 8 i Appendix I), klarade en stor del av eleverna. Flickor i årskurs sex, oavsett bakgrund, klarade denna klart bättre än pojkar i samma årskurs. Förvånande var att eleverna fann den för oss enklare uppgiften hur mycket är 20 % av 35 kg, svårare än den med DVD-spelaren. Helt klart fann både sjätteklassarna och gymnasieeleverna uppgiften rörande glaciären svårast. Uppgiften om förändringsfaktorn visade också att begreppet förändringsfaktor inte ens behärskas på gymnasiets första år. Pojkarnas resultat på denna uppgift låg markant under flickornas resultat.
0% 100% 200% 300% 400% 500% 600% 700% 800% 1(6) 2(9) 3(6) 4(6) 5(9) 6(9) 7(9) 8(6) 9 Uppgifter P ro ce n t rä tt Flickor ut sexan Flickor sv sexan Pojkar ut sexan Pojkar sv sexan Flickor ut gymnasiet Flickor sv gymnasiet Pojkar ut gymnasiet Pojkar sv gymnasiet
Diagram 1:Uppgift 1(6) innebär att uppgift 1 är tagen ur läromedlet i årskurs 6. Procent rätt innebär att antalet elever i de olika parametrarna är jämförda med det totala antalet i samma parameter.
6.2 Är det någon skillnad i svårighetsgraden på procentuppgifterna i
läroböckerna?
Svårighetsgraden när det gäller introduktionen av procentbegreppet skiljer sig inte markant vid en jämförelse av de läromedel vi studerat. Frågor som eleverna möter direkt både i årskurs sex och i årskurs nio är av varianten ”Hur mycket är 13 kr av 50 kr?” tillsammans med uppgifter som handlar om Reapriser. I Matematikboken 6 finns endast uppgifter med procent i heltal, i Matte Direkt år 9 finns det uppgifter med procenttal som har en decimal för att i Exponent A ökas på till två decimaler. I Matte Direkt år 9 utökas begreppet procent med uppgifter med värdeökning följt av en minskning. Denna svårighetsgrad ökas i Exponent A med uppgifter om varför inte det blir samma värde när något först ökar med 10 % och sedan minskar med 10 %.
Vi finner liknande uppgifter med i princip samma svårighetsgrad för det grundläggande procentbegreppet i de olika läromedlen.
6.2.1 Har uppgifterna relevans för eleverna?
Här har vi tittat närmare på uppgifternas vardagsanknytning. I alla läromedel hittar vi ansatser till försök att vardagsanpassa uppgifterna till elevernas olika åldrar. Ulin (2001) menar att det är viktigt att använda sig av verklighetstrogna exempel.
6.2.2 Hur är kontexten i läroböckerna?
De kriterier vi valt att fokusera på i vår studie av de kapitlen som behandlar procent i valda läromedlen är genus, miljö, etnicitet samt språkbruk.
I Matematik 6 är exemplen i början av kapitlet om procent, korta och innehåller många färgglada figurer och frågor av typen ”Hur många procent av figuren är färglagd?” Lästalen handlar om blommor, elever, hästar, glassar, kulor, rea och biobiljetter.
I kapitlet finns det många teckningar och bilder som föreställer människor från olika delar av världen. Även flickor och pojkar förekommer jämt fördelat i uppgifterna och illustrationerna. Miljöfrågor lyser dock med sin frånvaro.
I Matteboken 6B har begreppen bråk och procent slagits ihop. Lästalen handlar om frimärke, katter, hästar, böcker, läsk, idrott, rea och ränta. Kapitlet saknar fotografier och bilderna som finns är sparsamt färglagda. I kapitlet finns det en bild på en flicka och en bild på en pojke, namnen på personerna i lästalen är jämtfördelade mellan könen. Det finns inga bilder eller uppgifter med människor från olika delar av världen. Texterna i lästalen är korta och det finns ingen förklarande text till procentbegreppet. I Alma inleds kapitlet med tre sidor som förklarar begreppet procent. Kapitlet är uppdelat i svårighetsgrader, med A-, B- och C-uppgifter. Lästalen handlar om kulor, TV, böcker, tröjor, bilar, bensin, arv, tidningar och skolresor. Det finns flera sidor med förklaringar och genomgångna exempel i boken. Det finns inga bilder på personer i boken. Alla namnen på personerna i lästalen är typiskt svenska, däremot är det en jämn blandning mellan pojk- och flicknamn. Inga miljöfrågor finns.
I Talriket 6b inleds kapitlet procent med nio tal om mattor. Övriga tal handlar om saft, korv, apelsiner, gurkor, smörgåsar, böcker, lön, rea, jeans och godis. Två sidor tar upp procentuppgifter med böcker. Stora delar av kapitlet är knutet till Amerika och Grand Canyon. Namnen på personerna i uppgifterna är typisk svenska bortsett från några enstaka namn från Amerika. På fotografierna från Grand Canyon finns Indianer med, i övrigt finns det endast ritade bilder med personer från obestämt ursprung. Flickor och pojkar finns jämt blandat både i uppgifter och på bilder. Miljöfrågor tas inte upp.
I Beta högstadiets matematik inleds kapitlet med en bild som jämför procentform med bråkform och decimalform. Det förekommer inga fotografier eller bilder på människor i hela kapitlet. Illustrationerna är blå och svarta. Lästalen handlar om rea, kemi, ränta, lön, böcker, aktier, malm och biljetter. Endast i sex uppgifter finns pojk- och flicknamn med i texterna, istället används ”du”. Ingen koppling till vare sig genus, etnicitet eller miljö finns.
I Matematikboken Z grön har man slagit ihop procent med bråk och sannolikhet. Procentdelen inleds med att förklara vad procent är. Uppgifterna handlar om julgranar, skolor, sport, arv, spel, lån, lön, rea, aktier och HIV. Uppgifterna i boken har en blandning med avseende på genus och etnicitet. Inga miljöfrågor finns representerade. I Matte Direkt år 9 handlar de första uppgifterna om räntor på lån, därefter handlar de om aktier, resor, bilar och månadslöner. I kapitlet har man gjort en uppdelning i enklare och svårare kurs, benämnd blå och röd kurs. Sett ur ett genusperspektiv kan man säga att ingen åtskillnad görs mellan könen i uppgifterna. Personnamnen är också anpassade till en multietnisk skola: Nammie, Hamid, Leyla, Emil, Matilda, Bo. Miljöfrågor finns representerade i många av uppgifterna. Kapitlet innehåller ett stort antal illustrationer, bilder och foton.
I MEGA-matematik inleds kapitlet med en bild på Nintendos Game Boy, därefter följer en genomgång om hur man omvandlar mellan decimalform och procentform. Fotografierna är svartvita och bilderna är blåa. Lästalen handlar om filmer, bantning, musikanläggningar, rea, resor och ränta. Detta är den enda boken som har gruppuppgifter, där eleverna skall studera annonser och banker. Uppgifter knutna till miljön finns inte. Kapitlet avslutas med ett tema om Nicaragua.
I Exponent A finns uppgifter om ICA-kort, bankkonto, moms, aktier och obligationer. En för oss malplacerad uppgift handlar om färgkritor. Uppgifter rörande etnicitet är det sparsamt med, endast en uppgift. Däremot är miljöfrågor rikligt representerade. Kapitlet är sparsamt illustrerad. Det finns endast två fotografier, ett på en utländsk pizzabagare och ett på en blond flicka med långt hår.
I Matematik 3000 Kurs A inleds med att förklara varför procent är bra att kunna. Tre svartvita fotografier finns med i kapitlet. Bilderna är blå och svarta. Lästalen handlar om resor, målning, semester, lön, rea, uppsägningar, värdeminskningar och räntor. Namnen på personerna i uppgifterna är typiskt svenska och det finns en blandning mellan flick- och pojknamn. Miljöfrågor finns inte. Kapitlet avslutas med ett tema som handlar om
I Nova A inleds kapitlet med en svartvit bild om näckrosor. Uppgifterna handlar om moms, rea, räntor, pengar, spel, skatt, alkohol och lön. I samband med begreppet ppm finns det ett flertal uppgifter som tar upp miljöfrågor. Inga personer finns representerade på bilder eller fotografier. I texten finns endast svenska namn med en blandning mellan pojkar och flickor.
I Optima A inleds kapitlet med en svartvit bild och en text om hur aktier ökar i värde. Uppgifterna handlar om böcker, rea, salt, socker, taxeringsvärde, äpple, mattor, lön, kaffe och skolval. På två svartvita fotografier i kapitlet finns personer representerade, en svart man som arbetar inom sjukvården och en bild på en man och en kvinna i en skoaffär. Miljöfrågor finns representerade.
I tabell 2 kan man se att kontexten inte ökar markant från årskurs sex till gymnasiets matematik. Det är däremot stora skillnader mellan böcker inom samma årskurs.
Tabell 2: Andel lästal i matematikböckerna
Antal sidor Antal tal Antal lästal Procent lästal Medelvärde åk 6 Alma 34 167 98 59% Matteboken 6B 11 72 30 42% Talriket 6b 30 101 87 86% Matematik 6 23 134 93 69% 64%
åk 9 Beta Högstadiets Matematik 31 155 23 15%
Matte Direkt 26 153 118 77% Matematikboken Z grön 59 190 132 69% MEGA-matematik 27 101 76 75% 59% matte A Exponent A röd 35 149 116 78% Matematik 3000 48 308 240 78% Nova A 17 57 36 63% Optima A 34 148 125 84% 76%
6.2.3 Vilka moment läggs till i läroböckerna?
I årskurs sex behandlas främst taluppfattning och huvudräkning av procentbegreppet i kapitlet om procent, medan det i böckerna från årskurs nio läggs mer fokus på räntebegreppet. I årskurs nio tillkommer ränta på ränta, begreppet procentenheter och promille samt att arbeta med förändringsfaktorn. I böckerna från Matematik A kursen införs nya begrepp som Konsumentprisindex (KPI) samt begreppet parts per million (ppm).
7 DISKUSSION OCH SLUTSATSER
Vår utgångspunkt med examensarbetet var att många av eleverna har svårt långt upp i årskurserna med procenträkning. Vi anser att de traditionella läromedlen är konservativt uppbyggda och inte väcker elevernas intresse för procent. Vi är övertygade om vikten av att införa mer praktiska moment i matematikundervisningen, något som flera författare också visar på. Matematikundervisningen har inte i någon större utsträckning följt med i det förändringsarbete inom skolan som läroplanerna Lpo/Lpf 94 eftersträvar. Flera författare som Löwing, Malmer, Kilborn, Rystedt och Trygg menar att det beror på att många matematiklärare är fixerade vid en undervisning baserad på matematikboken.
Syftet med diagnosen var att undersöka om elever i skolår sex klarade av de procentuppgifter som finns i skolår nios läromedel samt om elever i första året på gymnasiet klarar av att räkna uppgifter från skolår sex och skolår nio bättre än vad eleverna i skolår sex gör. Vi sammanställde vår diagnos utifrån uppgifter från läromedel i årskurs sex och nio. 62 elever, fördelade på två sjätteklasser på två skolor samt två klasser årskurs ett på två gymnasieskolor i Skåne, fick utföra diagnosen. Eleverna har grupperats i enlighet med två av Malmö högskolas perspektivområden, genus och etnicitet. Vid vår analys av läromedlen inkluderade vi även med det tredje perspektivområdet, miljö. En uppgift i diagnos behandlade även området.
Möllehed (2001) menar att brister i kognitiva faktorer är avgörande för hur väl elever kan lösa matematiska problem. En stor del av eleverna kan redan i årskurs fem med lätthet lösa de matematiska problemen i hans undersökning medan andra inte klarar det förrän i årskurs nio. Vygotskijs teorier om undervisningens betydelse för utvecklingen går ut på att det inte går att införa en helt ny linje i undervisningen, men när en elev har uppnått en viss mognad och mottaglighet för intryck från omgivningen, kan man genom inlärning påskynda utvecklingen. Elevens utvecklingsnivå måste ligga inom den potentiella utvecklingszonen för att inlärningen ska påskynda utvecklingen. Läraren kan genom diskussioner kring konkreta modeller, få eleverna att vidga sitt kunnande och skapa en ny struktur för uppfattningen av t.ex. en tredimensionell figur eller delar av den. En kognitiv förmåga kan inte knytas till ett visst problem, utan till en rad olika problem med olika svårighetsgrad. Beroende på svårigheten kan eleven lyckas eller
misslyckas med att lösa problemet. Det är därför svårt att förknippa en viss kognitiv förmåga till ett bestämt åldersstadium. Möllehed anser därför att många av åldersgränserna för Piagets olika stadier behöver diskuteras och justeras. Den främsta orsaken till en spridning mellan eleverna i en och samma årskurs avseende problemlösningsförmågan är brister i de kognitiva faktorerna. ”Det är små skillnader i årskurs fyra och fem, men blir i de följande årskurserna tydligare och stabila, där pojkar har cirka 20 % fler korrekta lösningar än flickorna och ibland mer.” (Möllehed, 2001 s. 141). Den skillnad i problemlösningsförmåga mellan könen som fanns kan kanske förklaras med att uppgifter inte väcker flickornas intresse, de behandlar eventuellt områden som passar pojkar bättre. Flickornas mentalitet kan också spela in. Flickor avstår ofta hellre från att försöka om de inte känner sig säkra, medan pojkar gärna chansar och lyckas ibland.
Våra resultat från den genomförda diagnosen visar att de flesta eleverna har insikt i vad begreppet hälften innebär och kan översätta detta till procent. Uppgifter kopplade till, för eleverna, vardagsnära frågeställningar klarar en stor del av eleverna. Helt klart fann både sjätteklassarna och gymnasieeleverna uppgiften rörande glaciären som svårast. Uppgiften om förändringsfaktorn visade också att begreppet förändringsfaktor inte behärskas ens på gymnasiets första år. Vi delar Mölleheds (2001) slutsats att det är svårt att koppla den kognitiva förmågan till en bestämd årskurs. Eventuellt kan hans förklaring om att flickors mentalitet spelar in, förklara det lägre resultatet för uppgifterna om glaciären respektive lästalet om SMS-meddelandena.
Vi finner liknande uppgifter med i princip samma svårighetsgrad för det grundläggande procentbegreppet i de olika läromedlen vi studerat. Trots att svårighetsgraden på uppgifterna inte har ökat markant i läromedlen så ser vi ett avsevärt bättre resultat på elevernas förmåga att lösa uppgifter högre upp i årskurserna.
Vår slutsats är då att det är bättre att knyta an till elevernas vardag och begrepp nära deras värld genom att använda sig av frågor som, ”Hur stor del är det kvar av minnet på en 512Mb MP3 spelare efter att du har laddat ner 150 låtar, om varje låt är 3Mb stor?” än att tala om ränta på lån och hur mycket glaciären försvunnit på 10 år.
Den diagnos vi sammanställt och genomfört, gav oss ökade insikter om vilka kunskaper våra elever behöver vidareutveckla. Som illustration kan nämnas uppgift fem i diagnosen. Diagnosen var tagen ur ett läromedel och formuleringen löd: ”Den stora glaciären hade på 10 år minskat i tjocklek med 35 % till 12 meter. Hur tjock var den för tio år sedan?” Förvånansvärt många elever på gymnasiet lyckades inte tolka uppgiften,
än mindre beräkna tjockleken korrekt. Vår tolkning är att uppgiften ligger för långt från deras potentiella utvecklingszon på grund av att de uppfattar den som alldeles för långt från deras närmaste vardag. Frågan vi ställer oss är om vi genom att före diagnosen prata om miljöfrågor hade fått ett bättre resultat? Lpo/Lpf 94 talar om vikten av att använda och utforma matematiska modeller för att kommunicera de olika matematiska idéerna och tankegångarna. Ligger verkligen nivåerna i de olika skolåren i elevens potentiella utvecklingszon?
Rydstedt och Trygg (2005) skriver att förändringar mot en mer varierad undervisning tar tid på grund av att många lärare saknar förståelse för varför förändringar behöver ske. Det är viktigt att skolledningen förmedlar visioner till lärare och att lärarna i sin tur vidareförmedlar dessa idéer till elever och föräldrar. Det är först då alla nivåerna i skolvärlden inser varför en förändring bör ske som denna förändring kan bli förankrad och bli bestående.
Malmer (1999) skriver liksom Rydstedt och Trygg (2005) att matematikundervisningen oftast bedrivs på ett traditionellt sett, med genomgång av läraren i helklass följt av elevernas individuella ”tysta” räkning. Vygotskij (2005) betonar vikten av språkets betydelse för medvetandets framväxande. Detta ger i sin tur mer aktiva elever som kan diskutera matematik med sina klasskamrater.
När procentbegreppet introduceras i skolan, är det oftast genom en figur med 100 rutor, varav några av rutorna är färgade. Denna typ av uppgift är mycket enkel och nästan alla elever inom alla årskurser förstår den. Efter detta tar den traditionella undervisningen vid, vilket i huvudsak innebär att eleverna räknar i sina läroböcker på lektionerna (Engström, 1979). Troligtvis leder detta till ett motoriskt räknande med avsaknad av begreppsförståelse hos eleverna. Detta gäller även andra områden inom matematiken. Kan elevers förståelse och kunskaper inom procentbegreppet ökas med hjälp av laborativ undervisning? Rystedt och Trygg (2005) menar att ”variation är all inlärnings moder”. Ett laborativt arbetssätt med utgångspunkt i en matematikverkstad kan vara ett sätt bland flera att vidga elevernas kunskap i matematikämnet och möta läroplanernas mål.
Emanuelsson (red.) (1991) menar att man borde införa procentbegreppet ännu tidigare än vad man gör idag. Hon vill införa det redan i årskurs ett och då bygga vidare på hur eleverna delar godis och läsk i vardagen. När en elev skall dela en chokladkaka med sitt syskon vet eleven vad hälften innebär. Detta kan man ha som utgångspunkt när man
Mölleheds (2001) resultat visar att i hälften av fallen beror elevernas fel vid problemlösning i matematiken på brister i deras kognitiva förmågor. Svårigheter med att lösa problemen tillskrivs ofta brister i de matematiska kunskaperna, medan den egentliga orsaken återfinns i elevens kognitiva utveckling. Genom att utnyttja den potentiella utvecklingszonen hos eleven kan man med undervisningens hjälp höja elevens nivå och påskynda inlärning. Vår åsikt är att många elever inte finner det särskilt relevant att arbeta med uppgifter som handlar om att ta reda på hur många femkronor som finns samlade i en glasburk med mynt, hur huspriserna förändras på västkusten eller att jämföra hur stor andel hjortron en flicka plockar jämfört med en annan. Problemlösning är endast en del av matematikundervisningen som syftar till att eleverna får kunskaper för att hantera situationer i vardagslivet och för vidare utbildning inom olika områden. Författaren föreslår ett träningsprogram, gärna gemensamt för alla ämnen, som övar eleverna i att läsa och förstå texter och också individualiserat då förmågan till problemlösning är nödvändig i andra ämnen. Lpo/Lp 94 bygger på denna syn och talar om att eleven ska utveckla sin tilltro till den egna förmågan att lära sig mer matematik, att tänka matematiskt och använda matematik i olika situationer. Vi delar åsikten att det experimentella inslaget är viktigt och därför bör mer tid avsättas för praktiska övningar i matematikundervisningen. Malmer och Adler (1996) är inne på samma tankar och återkommer ofta i sin litteratur till konkreta material. Skemp (1979) talar om relationsorienterad inlärning där läraren ger eleverna flera alternativ att lösa uppgifterna, för att förhindra mekanisk inlärning. Vi anser att läromedlen är konservativt uppbyggda och inte väcker elevernas intresse för procent. I alla läromedlen saknas praktiska exempel och laborationer.
Vårt arbete resulterade bland annat i insikten att läraren bör sträva efter att uppgifterna blir så verklighetstrogna som möjligt och knutna till elevens vardag för att eleven ska nå framgång. Läraren måste sätta sig in i elevens sätt att tänka och förstå dennes bakgrund till svårigheten.
7.1 Diskussion av generaliserbarheten
Någon generalisering kan inte göras då urvalet har varit för litet. Det hade varit intressant att göra en liknande undersökning på flera skolor runt om i Skåne för att kunna få en säkerhet i resultaten.
8 LITTERATURFÖRTECKNING
Alvin, Inga, Anderberg, Bengt, Karlsson, Sören och Landtblom, Karin (1994). MEGA-matematik Grundbok år 9. Solna: Ekelunds Förlag AB.
Anderberg, Bengt (1992). Matematikmetodik i grundskolan. Stockholm: Bengt Anderberg Läromedel.
Axelsson, Rolf, Bratt, Helge, Jakobsson, Gunilla, Jakobsson, Lars och Nilsson, Klas (2000). Optima A. Malmö: Liber AB.
Björk, Lars-Eric, Borg, Kenneth, Brolin, Hans, Ekstig, Kerstin, Heikne, Hans och Larsson, Krister (2000). Matematik 3000 Kurs A. Järfälla: Bokförlaget Natur och Kultur.
Carlsson, Synnöve, Hake, Karl-Bertil, Liljegren, Gunilla och Picetti, Margareta (2004). Matte Direkt Borgen 6B. Stockholm: Bonnier Utbildning AB.
Carlsson, Synnöve, Hake, Karl-Bertil och Öberg, Birgitta (2003). Matte Direkt år 9. Stockholm: Bonnier Utbildning AB.
Emanuelsson, G, Johansson, B och Ryding, R (red.) (1991). Tal och räkning 2. Lund: Studentlitteratur.
Engström, Arne (1997). Reflektivt tänkande i matematik. Om elevers konstruktioner av bråk. Stockholm: Almqvist & Wiksell International.
Engström, Arne (red.) (1998). Matematik och reflektion. Lund: Studentlitteratur.
Gennow, Susanne, Gustavsson, Ing-Marie, Johansson, Bengt A och Silborn, Bo (2003). Exponent A röd. Malmö: Gleerups Utbildning AB.
Gustafsson, Ing-Mari, Mouwitz, Lars och Svensson, Reinhold (1999). NOVA A. Malmö: Gleerups Utbildningscentrum AB
Hartman, Jan (2004). Vetenskapligt tänkande. Lund: Studentlitteratur.
Johansson, Birgitta, Jonasson, Marianne, Måsbäck, Per, Svensson, Leif och Öberg, Curt (1996). Talriket 6b. Malmö: Gleerups Utbildningscentrum AB
Johansson, Bo och Svedner Per Olov (2001). Examensarbetet i lärarutbildningen. Undersökningsmetoder och språklig utformning. Uppsala: Kunskapsföretaget. Löwing, Madeleine och Kilborn, Wiggo (2002). Baskunskaper i matematik för skola, hem och samhälle. Lund: Studentlitteratur.
Löwing, Madeleine och Kilborn, Wiggo (2003). Huvudräkning. En inkörsport till matematiken. Lund: Studentlitteratur.
Malmer, Gudrun (1999). Bra matematik för alla. Lund: Studentlitteratur.
Malmer, Gudrun och Adler, Björn (1996). Matematiksvårigheter och dyslexi. Lund: Studentlitteratur.
Mårtensson, Gert, Svensson, Leif (1990). Beta Röd Högstadiets matematik åk 9. Malmö: Gleerups.
Möllehed, Ebbe (2001). Problemlösning i matematik. Malmö: Reprocentralen, Lärarutbildningen.
Nämnaren TEMA (1995). Matematik -ett kärnämne. Kungälv: NCM
Patel, Runa och Davidson, Bo (2003). Forskningsmetodikens grunder. Lund: Studentlitteratur.
