Institutionen för naturvetenskap och teknik
Statistisk analys av den
effektiva fronten
Empiriska resultat baserade på
material från internationella
portföljer
Elise Wester
Örebro universitet
Institutionen för naturvetenskap och teknik
Självständigt arbete för kandidatexamen i matematik, 15 hp
Statistisk analys av den effektiva fronten
Empiriska resultat baserade på material från
internationella portföljer
Elise Wester Juni 2019
Handledare: Niklas Eriksen, Stepan Mazur Examinator: Jens Fjelstad
Sammanfattning
I den här uppsatsen analyserar vi resultaten utav användandet av olika tidsintervall för skattning av parametrarna för den effekiva fronten. En intro-duktion ges till portföljteori och konfidensområdet för den effektiva fronten härleds. Vi gör en empirisk undersökning med material från internationella portföljer och tar fram parameterskattningar för tre olika tidsintervall, för att sedan jämföra dem med varandra. Resultaten analyserar vi och presenterar i figurer och tabeller.
Innehåll
1 Inledning 4
1.1 Portföljteori . . . 4
1.1.1 Riskreducering . . . 8
1.1.2 Sharpekvot . . . 9
1.2 Den effektiva fronten . . . 9
2 Metod 11 2.1 Statistisk inferens . . . 11 2.1.1 Skattning . . . 11 2.1.2 Hypotesprövning . . . 13 2.1.3 Konfidensintervall . . . 14 2.1.4 Normalapproximation . . . 15 2.1.5 Normalitetstest . . . 16 2.1.6 Konfidensområde . . . 16
2.2 Inferens för separata parametrar . . . 18
2.3 Inferens för simultana parametrar . . . 19
2.4 Konfidensområde för den effektiva fronten . . . 20
3 Resultat och analys 25 3.1 Data . . . 25
3.2 Intervallskattningar för separata parametrar . . . 26
3.2.1 Konfidensområden för förväntad avkastning och varians 27 3.2.2 Konfidensområden för hela den effektiva fronten . . . . 30
3.3 Normalitetsantagandet . . . 31
4 Diskussion 34
Kapitel 1
Inledning
Syftet med denna uppsats är att använda teorin från [1] och applicera den på verkliga data och jämföra resultaten när avkastningarna genererats med olika tidsintervall. Detta görs genom att ta fram konfidensområden för den effektiva fronten för de tre tidsintervallen daglig, veckovis och månadsvis avkastning. Uppsatsen inleds med en kort beskrivning av portföljteori och förklaringar av hur den förväntade avkastningen och risken för en portfölj kan beskrivas matematiskt och därigenom analyseras. Sedan följer ett kapitel som beskriver metoderna som använts och ger några exempel innan metoderna sedan i kapitel 3 appliceras på data från Yahoo Finance. Uppsatsen avslutas med en analys resultaten från kapitel 3.
1.1
Portföljteori
Modern portföljteori, (MPT) [4], introducerades på 1950-talet av ekonomen Harry Markowitz, som fortsatte att utveckla teorin under 20 års tid. Mar-kowitz fick 1990 Sveriges Riksbanks pris i ekonomisk vetenskap till Alfred Nobels minne [6] för sina bidrag till MPT. En portfölj sätts samman av olika tillgångar och MPT är en investeringsmodell för att sätta samman den port-följ som maximerar förväntad avkastning för en given risknivå (varians), eller minimerar risken för en given förväntad avkastning. Detta uppnås genom di-versifiering, vilket innebär att om man väljer att investera i olika sektioner, olika storlekar på företag och att blanda olika typer av värdepapper, där korrelationen mellan tillgångarna är negativ, så minskar man variansen för portföljen avsevärt.
Definition 1.1.1. En portfölj är en vektor w = (w1, w2, . . . , wn)T av
port-följvikter, därP
iwi= 1 och wi är andelen av den totala investeringen som
gjorts i tillgång i.
Portföljvikter kan vara både positiva och negativa. När wi < 0 så kallas
sälja dem vidare och hoppas att man ska kunna köpa tillbaka dem billigare i framtiden. Då man har lånat dem av någon, så måste man någon gång i framtiden lämna tillbaka dem. Om priset när man köper tillbaka tillgångarna är lägre än priset man från början sålde dem för, har man gjort en vinst vid återlämnandet.
Avkastning är ett mått på hur mycket värdet av en tillgång har ökat eller minskat under en specifik tidsperiod. Ett vanligt sätt att ta fram avkastning-en för avkastning-en period är att beräkna skillnadavkastning-en i värde vid slutet av tidsperiodavkastning-en från värdet i början av perioden.
Definition 1.1.2. (Avkastning). Låt pi > 0 vara värdet för en tillgång vid
tidpunkten i. Enkel avkastning, förhållandet mellan pi och pi−1, definieras
som
Xi=
pi
pi−1
och den aritmetiska avkastningen som Xia= pi− pi−1
pi−1
= pi pi−1
− 1. Då ges den logaritmerade avkastningen av
xi = ln(Xia+ 1) = ln pi pi−1 = ln(pi) − ln(pi−1).
I praktiken är det vanligt att använda sig av de logaritmerade avkastning-arna. Dessa underlättar många beräkningar, då de bland annat är additiva över tid och ofta antas vara normalfördelade, så kallat log-normala. I den här uppsatsen kommer logaritmerade avkastningar att användas och blankning vara tillåten. I praktiken är avkastningarna från en tidsperiod oftast små, vilket gör att den logaritmerade avkastningen är approximativt den samma som den aritmetiska, vilket kan ses i figur 1.1.
Lemma 1.1.1. För små värden på Xia gäller att Xia ≈ xi.
Bevis. Den naturliga logaritmen ln(x) för x > 0 kan skrivas som ln(x) =
Z x
1
1 tdt.
Det gör att den logaritmerade avkastningen xi kan skrivas som xi = ln(Xia+ 1) = Z Xai+1 1 1 tdt. Då Xia≈ 0, så är 1 t ≈ 1 för 1 ≤ t ≤ X a
i + 1, vilket ger att
xi= ln(Xia+ 1) ≈
Z Xia+1
1
1dt = [ t ]Xia+1
Figur 1.1: För värden nära 0 så är ln(X + 1) ≈ X.
Avkastningen för portföljen är en viktad summa av dess olika tillgångars avkastning och är en stokastisk variabel med ett väntevärde och en vari-ans. Ett par antaganden som görs inom (MPT) är att avkastningen är en stokastisk, normalfördelad variabel och att investerarna är rationella, alltså att de föredrar de tillgångar som ger högst förväntad avkastning till en gi-ven risknivå, och bara accepterar en högre risk om avkastningen förväntas öka. GMV-portföljen (Global Minimum Variance portfolio) är den portfölj som har lägst risk (varians). Anta en portfölj p som består av k tillgång-ar. Avkastningarna vid tidpunkt t ges av X(t) = (X1(t), X2(t), . . . , Xk(t))T.
Avkastningen från denna portfölj ges av
Xp = w1X1(t) + w2X2(t) + · · · + wkXk(t) = k
X
i
wiXi(t) = wTX.
Den förväntade avkastningen för tillgång i i tidpunkt t är µi = E(Xi(t)).
Definition 1.1.3. Väntevärdesvektorn µ för en stokastisk vektor X = (X1, X2, . . . , Xn)T definieras som
µ = E(X) = (E(X1), E(X2), . . . , E(Xn))T = (µ1, µ2, . . . , µn)T. (1.1)
Risken för en portfölj p ges av variansen, som visar hur långt ifrån det sanna värdet på avkastningen väntevärdet µp kan vara.
Definition 1.1.4. Kovariansmatrisen för en stokastisk vektor
X = (X1, X2, . . . , Xn)T ges av matrisen Σ där elementen (i, j) är
i X. Σ = E[(X − µ)(X − µ)T] = E[(X1− µ1)(X1− µ1)] . . . E[(X1− µ1)(Xn− µn)] E[(X2− µ2)(X1− µ1)] . . . E[(X2− µ2)(Xn− µn)] .. . . .. ... E[(Xn− µn)(X1− µ1)] . . . E[(Xn− µn)(Xn− µn)] =
Var(X1) Cov(X1, X2) . . . Cov(X1, Xn)
Cov(X2, X1) Var(X2) . . . Cov(X2, Xn)
..
. ... . .. ...
Cov(Xn, X1) Cov(Xn, X2) . . . Var(Xn)
. (1.2)
Lemma 1.1.2. Låt Σ vara kovariansmatrisen för en stokastisk vektor X bestående av avkastningar med väntevärde µ, och låt w vara portföljvikterna. Då ges den förväntade avkastningen av
R := E(wTX) = wTµ, (1.3)
och variansen för avkastningen ges av
V := Var(wTX) = wTΣw. (1.4)
Bevis. Väntevärdesoperatorn är en linjär funktion. E(wTX) = E X i wiXi ! =X i wiE(Xi) = X i wiµi= wTµ. (1.5)
Variansen för linjärkombinationer ges av
Var X i wiXi ! = Cov X i wiXi, X j wjXj = X i X j wiwjCov(Xi, Xj). (1.6) Vi ser att genom att skriva ut wTΣw så får vi
w1 w2 . . . wn
Var(X1) Cov(X1, X2) . . . Cov(X1, Xn)
Cov(X2, X1) Var(X2) . . . Cov(X2, Xn)
..
. ... . .. ...
Cov(Xn, X1) Cov(Xn, X2) . . . Var(Xn)
w1 w2 .. . wn =w1 w2 . . . wn P iwiCov(X1, Xi) P iwiCov(X2, Xi) .. . P iwiCov(Xn, Xi) =X i X j wiwjCov(Xi, Xj). (1.7)
1.1.1 Riskreducering
Risken för en portfölj ges av variansen och ett sätt att reducera risken är genom att välja att investera i tillgångar som är okorrelerade eller ännu hellre, negativt korrelerade. Detta kallas diversifiering. Det gäller också att välja portföljens vikter på ett optimalt sätt utifrån tillgångarnas korrelation. För en portfölj med två tillgångar, det vill säga då k = 2, så kan vikterna w1
och w2skrivas på formen av en vektor, så att w2= 1 − w1. Då kan variansen
för portföljen skrivas V = Var(wTX) = wTΣw =w1 w2 Var(X1) Cov(X1, X2) Cov(X2, X1) Var(X2) w1 w2 = w12Var(X1) + (1 − w1)2Var(X2) + 2w1(1 − w1)Cov(X1, X2)
= w12Var(X1) + (1 − w1)2Var(X2) + 2w1(1 − w1)ρX1,X2 p Var(X1) p Var(X2), där ρX1,X2 = √ Cov(X1,X2) Var(X1) √ Var(X2)
, är korrelationen mellan X1 och X2, och −1 ≤ ρ ≤ 1.
Exempel 1.1.1. Anta en portfölj som består av två tillgångar med varians Var(X1) = 5 och Var(X2) = 45 och perfekt negativ korrelation, ρ = −1.
Variansen för portföljen ges av
V = w12Var(X1)+(1−w1)2Var(X2)+2w1(1−w1)ρX1,X2pVar(X1)pVar(X2).
Variansen kan då minimeras genom valet av vikter, vilket syns i tabell 1.1 där variansen för olika värden på w1 beräknas.
w1 V
0 02· 5 + (1 − 0)2· 45 + 2 · 0 · (1 − 0) · (−1)p(5)p(45) = 45
0.5 0.52· 5 + (1 − 0.5)2· 45 + 2 · 0.5 · (1 − 0.5) · (−1)p(5)p(45) ≈ 5
0.75 0.752· 5 + (1 − 0.75)2· 45 + 2 · 0.75 · (1 − 0.75) · (−1)p(5)p(45) = 0
1 12· 5 + (1 − 1)2· 45 + 2 · 1 · (1 − 1) · (−1)p(5)p(45) = 5
Tabell 1.1: Tabell över de olika värdena för w1 och variansen som uppnås.
Liknande princip gäller även om ρ > 0, då kan variansen minimeras genom att blanka tillgången, alltså låta w1 < 0. Detsamma gäller för alla
värden på k, då variansen för en portfölj med k tillgångar beräknas på mot-svarande sätt som i fallet k = 2.Variansen för en portfölj med k tillgångar ges av V = k X i k X j wiwjCov(Xi, Xj) = k X i k X j wiwjρXi,Xj p Var(Xi) q Var(Xj),
och även här beror variansen på ρXi,Xj och wi kan väljas så att variansen
Definition 1.1.5. Korrelationsmatrisen för en stokastisk vektor, X = (X1, X2, . . . , Xn)T, ges av matrisen Corr(X) där element (i, j) är
ρXi,Xj = Cov(Xi,Xj) √ Var(Xi) √ Var(Xj) = √E((Xi−µi)(Xj−µJ)) Var(Xi) √ Var(Xj)
, sambandet mellan variab-lerna Xi och Xj. Corr(X) = ρX1,X1 ρX1,X2 . . . ρX1,Xn ρX2,X1 ρX2,X2 . . . ρX2,Xn .. . ... . .. ... ρXn,X1 ρXn,X2 . . . ρXn,Xn = 1 √E[(X1−µ1)(X2−µ2)] Var(X1) √ Var(X2) . . . √E[(X1−µ1)(Xn−µn)] Var(X1) √ Var(Xn) E[(X2−µ2)(X1−µ1)] √ Var(X2) √ Var(X1) 1 . . . √E[(X2−µ2)(Xn−µn)] Var(X2) √ Var(Xn) .. . ... . .. ... E[(Xn−µn)(X1−µ1)] √ Var(Xn) √ Var(X1) E[(Xn−µn)(X2−µ2)] √ Var(Xn) √ Var(X2) . . . 1 . 1.1.2 Sharpekvot
Sharpekvoten togs först fram 1966 av William F. Sharpe som 1994 omar-betade den så den fick sin nuvarande form [9]. Sharpekvoten utvecklades för att man ska kunna få en indikation på hur bra avkastning ens portfölj har haft med hänsyn till den risk man tagit. Sharpekvoten kan vara mycket användbar om man vill jämföra olika portföljer med varandra.
Definition 1.1.6. Sharpekvoten definieras som Sp= (Xp− Xb) σp = (Xp− Xb) pVar(Xp− Xb) ,
där Xp är portföljens avkastning, Xbden riskfria räntan och σp är
standard-avvikelsen för portföljen.
Om portföljen inte innehåller några riskfria tillfångar så blir Sharpekvo-ten helt enkelt Xp/pVar(Xp).
1.2
Den effektiva fronten
Enligt Markowitz så finns det en optimal portfölj för varje risknivå. Alla andra sammansättningar av portöljen kommer antingen ha en högre varians eller en lägre förväntad avkastning. Robert C. Merton [5] visade 1972 att de optimala portföljerna ligger på den övre delen av en parabel i µσ2-planet. I figur 1.2 visas denna parabel, den så kallade effektiva fronten. En portfölj som hamnar under den effektiva fronten ger inte tillräckligt hög förväntad avkastning i förhållande till sin risk och portföljer som befinner sig till höger
Figur 1.2: Den effektiva fronten och GMV-portföljen
om den effektiva fronten har en högre risknivå för den önskade avkastningen än portföljen som ligger på parabeln. Denna parabel ges av
V = a − 2bR + cR
2
ac − b2 , (1.8)
där koefficenterna a = µTΣ−1µ, b = 1TΣ−1µ och c = 1TΣ−11 definierar extrempunktens läge och lutningen på kurvan, 1 är en k-dimensionell vektor av ettor och Σ antas vara positivt definit. Genom att skriva om (1.8) får vi (R − RGMV)2= s(V − VGMV) (1.9) där s = µTRµ med R = Σ−1− Σ −111TΣ−1 1TΣ−11 , (1.10) och där RGMV= 1TΣ−1µ 1TΣ−11 och VGMV = 1 1TΣ−11 (1.11)
är den förväntade avkastningen och variansen för GMV-portföljen, portföljen med den lägsta risken och där lutningskoefficienten s bestämmer parabelns vidd. Eftersom mängden av karaktäristikor {RGMV, VGMV, s} är mer
lätt-hanterlig än mängden {a, b, c} utav konstanter så används ekvation (1.9) för att benämna den effektiva fronten. Taras Bodnar och Wolfgang Schmid introducerar test och tar fram konfidensintervall för den effektiva fronten i [1]. Deras huvudsakliga resultat är att ta fram ett konfidensområde för hela den effektiva fronten, vilket ger en bättre bedömning av en portfölj och kan användas för portföljanalys.
Kapitel 2
Metod
2.1
Statistisk inferens
I det här kapitlet tas det fram teststatistikor och konfidensintervall för para-metrarna VGMV, RGMVoch s. Det visas först för parametrarna separat och
sedan för dem simultant.
2.1.1 Skattning
Parametrarna i en population är ofta okända och man kan använda sig av ett stickprov, eller urval, från populationen för att göra skattningar av des-sa parametrar. Ett stickprov, x1, x2, . . . , xn, är observationer av stokastiska
variabler X1, . . . , Xn från någon fördelning, Xi ∈ F (θ), där θ är en okänd
parameter. En skattning av θ, ˆθ(x1, . . . , xn) är en observation av den
stokas-tiska variabeln ˆθ(X1, . . . , Xn), som är en regel för hur man beräknar
skatt-ningen, även kallad estimator. Båda betecknas oftast bara med ˆθ. Många olika typer av skattningar kan göras för samma parameter. Till exempel är stickprovsmedelvärdet ¯ X = 1 n n X i=1 Xi
en möjlig estimator för µ, väntevärdet för populationen. Populationsvarian-sen σ2 kan skattas med hjälp av stickprovsvariansen
S2= Pn
i=1(Xi− ¯X)2
n − 1 .
Urvalsestimatorerna ovan ger båda väntesvärdesriktiga skattningar. Det be-tyder att om µ är väntevärdet och σ2 variansen för X så är E( ¯X) = µ och E(S2) = σ2. En annan vanlig metod för att skatta parametrar är Maximum likelihood metoden. ML-skattningen av θ fås genom att maximera
likelihood-funktionen L(θ; x1, . . . , xn) m.a.p θ. Börja med att sätta upp L(θ) så att
L(θ) = fX(x1)fX(x2) . . . fX(xn) då fX är kontinuerlig, eller
L(θ) = pX(x1)pX(x2) . . . pX(xn) när pX är diskret.
Logaritmera sedan L(θ), vilket kan göras då ln[L(θ)] maximeras av samma θ som L(θ), då logaritmering underlättar vid beräkningen. Derivera sedan ln[L(θ)], sätt lika med noll och lös med avseende på θ. Det θ som maximerar L(θ) är ML-skattningen ˆθML.
Exempel 2.1.1. Låt Y1, Y2, . . . , Ynvara ett slumpmässigt urval från en
nor-malfördelning med väntevärde µ och varians σ2. Hitta ML-skattningar för µ och σ2. Eftersom Y1, Y2, . . . , Yn är kontinuerliga, oberoende och
likaförde-lade, slumpmässiga variabler så är L(µ, σ2) den simultana täthetsfunktionen för urvalet och ges av L(µ, σ2) = f (y1, y2, . . . , yn|µ, σ2). I det här fallet gäller
att L(µ, σ2) = f (y1, y2, . . . , yn|µ, σ2) = f (y1|µ, σ2)f (y2|µ, σ2) . . . f (yn|µ, σ2) = 1 σ√2πexp −(y1− µ)2 2σ2 . . . 1 σ√2πexp −(yn− µ)2 2σ2 = 1 2πσ2 n/2 exp " −1 2σ2 n X i=1 (yi− µ)2 # .
Logaritmera sedan L(µ, σ2), vilket ger ln[L(µ, σ2)] = −n 2ln σ 2−n 2 ln 2π − 1 2σ2 n X i=1 (yi− µ)2.
Derivera med avseende på µ och σ2. Detta ger ∂{ln[L(µ, σ2)]} ∂µ = 1 σ2 n X i=1 (yi− µ) och ∂{ln[L(µ, σ2)]} ∂σ2 = − n 2 1 σ2 + 1 σ4 n X i=1 (yi− µ)2.
Genom att sätta derivatorna lika med noll och lösa simultant så får vi från den första ekvationen
1 σ2 n X i=1 (yi− µ) = 0, eller n X i=1 yi− nˆµ = 0, och µ =ˆ 1 n n X i=1 yi = ¯y.
Genom att substituera ˆµ med ¯y i den andra ekvationen och lösa för σ2 så får vi −n 2 1 σ2 + 1 σ4 n X i=1 (yi− ¯y)2= 0, eller σ2 = 1 n n X i=1 (yi− ¯y)2.
ML-estimatorerna för µ och σ2 ges av ¯Y och ˆσ2 = 1nPn
i=1(Yi− ¯Y )2.
Notera att ML-estimatorn för väntevärdet µ är den samma som stick-provsestimatorn, och således väntevärdesriktig. ML-estimatorn ˆσ2 6= S2,
stickprovsvariansen, och är inte väntevärdesriktig för σ2. Parameterskattningar för den effektiva fronten
I avsnitt 1.2 så togs det fram parametrar för den effektiva fronten. Para-metrarna µ och Σ är oftast okända och måste skattas. ParaPara-metrarna skattas med hjälp av historiska data vilket ger
ˆ µ = 1 n n X j=1 Xj och Σ =ˆ 1 n − 1 n X j=1 (Xj − ˆµ)(Xj− ˆµ)T, (2.1)
vilka är väntesvärdiga skattningar för µ och Σ. Genom att sätta in skatt-ningarna i ekvation 1.9 och 1.11 fås
ˆ RGMV = 1TΣˆ−1µˆ 1TΣˆ−11, ˆ VGMV = 1 1TΣˆ−11, (2.2) ˆ s = ˆµTR ˆˆµ och R = ˆˆ Σ−1−Σˆ −111TΣˆ−1 1TΣˆ−11 .
Som följd får vi, efter att skattningarna satts in i ekvation (1.9), att den skattade effektiva fronten ges av
(R − ˆRGMV)2 = ˆs(V − ˆVGMV). (2.3)
2.1.2 Hypotesprövning
En hypotesprövning, eller hypotestest, görs inom statistik för att testa ett antagande om en eller flera parametrar i en population. En nollhypotes (H0: θ = θ0), att θ är lika med ett specifikt värde θ0, och en
alternativhypo-tes (HA), att θ inte är lika med θ0, formuleras, där nollhypotesen antas vara
sann. Observationer från populationen testas mot nollhypotesen och genom att bestämma p-värdet, sannolikheten att få ett minst lika extremt värde som det observerade, givet att H0 är sann, dras en slutsats om huruvida man ska
acceptera H0 eller förkasta den till fördel för alternativhypotesen.
Ett lågt p-värde tyder på att det är osannolikt att få det observerade värdet, om nollhypotesen är sann. Ett p-värde lägre än signifikansnivån (α) indikerar att vi har stöd för alternativhypotesen och vi förkastar H0. Medan
Exempel 2.1.2. Anta att Y ∼ Bin(25, p). Låt Y0 = 7 vara en observation på Y .
H0: p = 0.5 HA: p 6= 0.5
P-värdet ges av sannolikheten att få den observationen vi fått, eller en ännu mer extrem, under H0.
P (Y ≤ 7 ∨ Y ≥ 25 − 7) = P (Y ≤ 7) + P (Y ≥ 18) Då binomialfördelningen är symmetrisk då p = 0.5 fås
P (Y ≤ 7) + P (Y ≥ 18) = 2P (Y ≤ 7) = 2 · 0.022 = 0.044
H0 kan förkastas på nivån 5 % (α = 0.05) då p-värdet 0.044 < 0.05 men ej
på nivån 1% då 0.044 ≮ 0.01.
2.1.3 Konfidensintervall
Definition 2.1.1. (Konfidensintervall). Ett konfidensintervall för θ är ett stokastiskt intervall I(X1, . . . , Xn) som täcker θ med en given sannolikhet
P (θ ∈ I(X1, . . . , Xn)) = 1 − α
där 1 − α är konfidensgraden.
Konfidensintervall kan tas fram på olika sätt, både exakt och approxima-tivt.
Exempel 2.1.3. Utgå från exempel 2.1.2. Vi har observerat utfallet Yo= 7 på Y ∼ Bin(25, p) och vi vill beräkna ett exakt konfidensintervall för p med konfidensgrad 1 − α. Vi söker ˜p1 och ˜p2 så att P (˜p1 ≤ p ≤ ˜p2) = 1 − α. Dessa
fås genom att lösa ekvationerna P (Y ≥ Y0) = n X i=Y0 n i ˜ p1i(1 − ˜p1)n−i= α/2 P (Y ≤ Y0) = Y0 X i=0 n i ˜ p2i(1 − ˜p2)n−i= α/2
med avseende på respektive ˜p. Med n = 25, Y0 = 7 och α = 0.05 så fås den
undre gränsen 25 7 ˜ p17(1−˜p1)25−7+ 25 8 ˜ p18(1−˜p1)25−8+· · ·+ 25 25 ˜ p125(1−˜p1)25−25= 0.025,
vilket är det samma som
480000 ˜p17(1 − ˜p1)18+ 1081575 ˜p18(1 − ˜p1)17+ · · · + ˜p125= 0.025.
Genom att löser ekvationen med avseende på ˜p1 fås den undre gränsen för
p som ˜p1 = 0.121. Den övre gränsen tas fram på motsvarande sätt och ett
95% konfidensintervall för p ges av
2.1.4 Normalapproximation
Enligt Centrala gränsvärdessatsen [10] kan man för oberoende och likaför-delade slumpmässiga variabler från vilken fördelning som helst approximera medelvärden, ¯Y = 1nPn
i=1Yi, med normalfördelningen, om urvalet är
till-räckligt stort. En tumregel är n > 30.
Exempel 2.1.4. Vi utgår åter från exempel 2.1.2.
Bilda ett 95% konfidensintervall för p då ˆp = Yn. Normalapproximation kan göras om n > 9
störst av p och q minst av p och q
[10]. Vi har ˆp = 257 = 0.28 och n = 25, alltså är n > 9(0.720.28) ≈ 23.14 och vi kan approximera
Y ∼ Bin(n, p)approx∼ N(np,pnp(1 − p)). Vilket ger ˆ p = Y n approx ∼ N p, r p(1 − p) n ! . Vi standardiserar ˆp och får ˆ papprox∼ N p, r p(1 − p) n ! ⇔ qp − pˆ p(1−p) n approx ∼ N(0, 1)
Då det sanna värdet för standardavvikelsen, pnp(1 − p), är okänt ersätts det med den skattade standardavvikelsen,pnˆp(1 − ˆp), och vi får
Z =qp − pˆ ˆ p(1− ˆp) n approx ∼ N(0, 1) Från tabell får vi att P (−1.96 < Z < 1.96) = 0.95 ⇔ P −1.96 < qp − pˆ ˆ p(1− ˆp) n < 1.96 = 0.95.
Vi löser ut p, vilket ger intervallet " ˆ p ± 1.96 r ˆ p(1 − ˆp) n #
och i vårt fall där ˆp = 0.28 och n = 25 får vi att ett 95% konfidensintervall för p ges av
[ 0.104 ; 0.456 ].
Jämförs resultaten från exempel 2.1.3 och 2.1.4 så ser man att intervallen skiljer sig åt något, men att de båda är väldigt breda. Att intervallen är så breda beror på det låga antalet observationer i exemplen.
2.1.5 Normalitetstest
Det finns många olika metoder för att testa antagandet att ett urval kommer från en normalfördelning.
Shapiro-Wilks test
Shapiro-Wilks test [8] testar nollhypotesen att ett urval x1, x2, . . . , xn
kom-mer från en normalfördelad population. Teststatistikan är
W = Pn i=1aix(i) 2 Pn i=1(xi− ¯x)2 ,
där x(i) är det i : te minsta talet i det ordnade urvalet och ¯x =Pn
i=1xi/n är
medelvärdet för urvalet. Koefficienterna ai ges av (a1, a2, . . . , an) = m
TV−1
C ,
där matrisen V och vektorn m = (m1, m2, . . . , mn)T är kovariansmatris
re-spektive väntevärdesvektor för ordningsstatistikorna av oberoende och lika-fördelade slumpmässiga variabler dragna från en standardnormalfördelning och C = ||V−1m|| = (mTV−1V−1m)1/2. Nollhypotesen för detta test är att populationen är normalfördelad. P-värdet fås genom att jämföra värdet på W mot tabell. Om vi får ett p-värde lägre än den valda konfidensnivån så förkastas nollhypotesen och det finns anledning att tro att fördelningen inte är normalfördelad.
QQ-plot
En QQ-plot [7] ordnar urvalet från lägsta till högsta värde och plottar sedan dessa mot det förväntade värdet hos normalfördelningen för varje kvantil i urvalet. Kvantilvärdena för urvalet visas på y-axeln och de teoretiska vär-dena från normalfördelningen för samma kvantil visas på x-axeln. Om den resulterande plotten är linjär, så indikerar det att att urvalet kommer från en normalfördelad population. För att lättare kunna analysera resultatet så adderas en rät linje, som passerar igenom den första och tredje kvartilen för fördelningarna, till plotten. I figur 2.1 visas en QQ-plot som jämför ett urval från en likformig fördelning mot en normalfördelning. Den tydliga s-formen visar på att urvalet inte kommer från en normalfördelning.
2.1.6 Konfidensområde
Anta att vi vill hitta konfidensintervall I1, I2, . . . , In för parametrarna
θ1, θ2, . . . , θn så att
P (θj ∈ Ij∀ j = 1, 2, . . . , n) ≥ 1 − α. (2.4)
Figur 2.1: QQ-plot som jämför en likformig fördelning mot normalfördelning.
Anta att P (θj ∈ Ij) = 1 − αj. Då har vi att
P (θ1∈ I1, . . . , θn∈ In) ≥ 1 − n X j=1 P (θj ∈ I/ j) = 1 − n X j=1 αj. (2.5)
Om alla αj, där j = 1, 2, . . . , n, väljs lika med α, så kan vi se att
konfidens-området kan bli så litet som (1 − nα), vilket är mindre än (1 − α) om n > 1. För att få en simultan konfidensgrad (1 − α) så väljs konfidensintervallen Ij, j = 1, 2, . . . , n, så attPnj=1αj = α. Ett sätt att uppnå detta är att
kon-struera konfidensintervallen så att de har konfidensgrad (1−(α/n)). Approx-imativt samma resultat fås genom att låta konfidensgraden vara (1 − α)1/n. Lemma 2.1.1. (Bonferronis olikhet). För en händelse Ai gäller att
P n \ i=1 Ai ! ≥ 1 − n X i=1 P (Aci). (2.6)
Bevis. Vi tittar på Aci, komplementet till Ai, där de Morgans lag [10] ger oss
P n \ i=1 Ai !c = P n [ i=1 Aci ! ≤ n X i=1 P (Aci).
Vänsterledet kan skrivas om, enligt komplementsatsen [10], så att
1 − P n \ i=1 Ai ! ≤ n X i=1 P (Aci),
och genom att flytta om termerna får vi till slut P n \ i=1 Ai ! ≥ 1 − n X i=1 P (Aci). (2.7)
2.2
Inferens för separata parametrar
För att testa nollhypotesen att variansen är lika med ett känt värde V0, alltså H0: VGMV= V0 mot HA: VGMV= V1 6= V0, så används i [1] teststatistikan TV = (n − 1) ˆ VGMV V0 , (2.8)
där ˆVGMV är parameterskattningen från 2.1. Det är visat att TV ∼ χ2n−k
under H0, där n är antalet observationer och k är antalet tillgångar, och att
ett tvåsidigt 1 − α konfidensintervall för variansen, VGMV, ges av " (n − 1) ˆVGMV χ2n−k; 1−α/2 , (n − 1) ˆVGMV χ2n−k; α/2 # , (2.9)
där χ2p;βär β kvantilen för en χ2-fördelning med p frihetsgrader. För att testa nollhypotesen att den förväntade avkasningen från GMV portföljen, RGMV, är lika med ett känt värde R0, alltså att
H0: RGMV = R0 mot HA: RGMV = R16= R0 används teststatistikan TR= p n1TΣˆ−11 √ n − k √ n − 1 ˆ RGMV− R0 q 1 + (n/(n − 1)) ˆµTR ˆˆµ , (2.10)
där ˆΣ, ˆµ, ˆR och ˆRGMV är parameterskattningar från 2.1 Fördelningen för
TR härleds i Proposition 1 i [1] och det visas att TR ∼ tn−k under H0.
Intervallet för RGMV ges av ˆ RGMV± √ n − 1 √ n − k r 1 + n n − 1sˆ tn−k; 1−α/2 √ n1TΣ−11 , (2.11)
där tp;β är β kvantilen för den centrala t-fördelningen med p frihetsgrader.
För lutningskoefficienten s så testas
Teststatistikan ges av
TS =
n(n − k + 1) (k − 1)(n − 1)µˆ
TR ˆˆµ. (2.13)
Under nollhypotesen gäller det att TS ∼ Fk−1,n−k+1,ns0 medan under al-ternativhypotesen så är TS ∼ Fk−1,n−k,ns1. Det gör att testa (2.12) med
teststatistikan (2.13) är ekvivalent med frågan om huruvida ickecentralitets-parametern är lika med ns0, då H0 förkastas på signifikansnivån α om och endast om konfidensintervallet för ickecentralitetsparametern inte täcker s0.
Det är sen tidigare visat, bland annat av Lam 1987 [3], att man kan ta fram ett (1 − α) konfidensintervall för ickecentralitetsparametern genom att hitta lösningen på ekvationen Fp,q,λβ(TS) = β, där β = α/2 respektive 1 − α/2.
En rekursiv formel för att beräkna konfidensintervallet för ickecentralitets-parametern λβ ges i Appendix A.2 i [1] med referens till [3]. Gränserna för ickecentralitetsparametern beräknas rekursivt enligt
λu;i+1 = λu;i+ 2(Fm,n,λu;i(TS) − α/2) Fm,n,λu;i(TS) − Fm+2,n,λu;i(mTS/(m + 2)) λ`;i+1 = λ`;i+ 2(Fm,n,λ`;i(TS) − (1 − α/2)) Fm,n,λ`;i(TS) − Fm+2,n,λ`;i(mTS)/(m + 2)) ,
där λ1 = 0 och Fm,n,λi(Ts) är sannolikheten att få det givna värdet på TS
då λ = λi. När iterationerna konvegerar till λu respektive λ` så fås den övre respektive undre gränsen för s utav λu/n och λ`/n. Det kan inträffa att
Fk−1, n−k+1, λ(TS) > α/2 för alla λ > 0. Då fås ingen undre gräns för s och
den måste sättas till lägsta tänkbara värde, det vill säga 0. I det fallet har vi ett ensidigt, övre konfidensintervall för s.
2.3
Inferens för simultana parametrar
Teststastistikan TRV, för RGMV och VGMV simultant, härleds i proposition
2 i [1] och konfidensområdet för RGMV och VGMV ges av (RGMV− ˆRGMV)2 ≤ z1− ˜2 α/2 1 n+ ˆ s n − 1 VGMV, (2.14) VGMV∈ " (n − 1) ˆVGMV χ2 n−k; 1− ˜α/2 ,(n − 1) ˆVGMV χ2 n−k; ˜α/2 # , (2.15)
där zβ är β kvantilen för standard normalfördelningen N (0, 1) och där ˜
α = 1 − (1 − α)1/2. Relationen (2.14) ger en parabel i µσ2-planet med lut-ningskoefficient z21− ˜α/2(1/n + ˆs/(n − 1)) och extrempunkt i ( ˆRGMV, 0). Figur
Figur 2.2: Konfidensområde för förväntad avkastning och varians för GMV-portföljen. Data från kapitel 3.1, ˆR(m)GMV = 0.004750468, ˆVGMV(m) = 0.0004677155, ˆs(m)= 0.1039712, n = 60 och α = 0.1.
1 − α konfidensmängden A är mängden med alla punkter (RGMV, VGMV, s)
som uppfyller (RGMV− ˆRGMV)2≤ z1−α2 ∗/2 1 n+ ˆ s n − 1 VGMV, (2.16) VGMV∈ " (n − 1) ˆVGMV χ2n−k; 1−α∗/2 ,(n − 1) ˆVGMV χ2n−k; α∗/2 # , (2.17) ˆ sα∗/2≤ s ≤ ˆs1−α∗/2, (2.18) där ˆsβ definieras av Fk−1,n−k+1,nˆsβ(Ts) = β och α ∗ = 1 − (1 − α)1/3.
2.4
Konfidensområde för den effektiva fronten
Målet är nu att ta fram en enkel procedur för att undersöka hela den effektiva fronten. Detta görs genom att att dra nytta av de simultana konfidensinter-vallen för parametrarna. Vi vill få fram en 1 − α konfidensmängd B för den effektiva fronten i µσ2-planet. Denna ges av en mängd av parabler på for-men (R −RGMV)2 = s(V −VGMV) där RGMV, VGMVoch s uppfyller villkorenkonfidens-Figur 2.3: Konstruktion av konfidensområdet
området konstrueras. Det grå området ges av alla punkter (RGMV, VGMV)
som uppfyller (2.16) och (2.17). Det svarta området bestäms av de övre och undre gränserna för lutningen (se (2.18)), för en effektiv front med en fix ex-trempunkt. Mängden B är en union av alla svarta områden för alla effektiva fronter som har extrempunkt i det grå området.
Det gäller att
B = {(R − RGMV)2 = s(V − VGMV) : (RGMV, VGMV, s) ∈ A}. (2.19) Låt gränserna ges av g`= z1−α∗/2 r 1 + nˆs n − 1 √ n − 1p ˆVGMV q nχ2n−k;1−α∗/2 , gu= z1−α∗/2 r 1 + nˆs n − 1 √ n − 1p ˆVGMV q nχ2n−k;α∗/2 . (2.20)
alla de följande villkoren: V ≥ (n−1) ˆVGMV χ2 n−k;1−α∗/2 R ∈ R, V ≥ z−21−α∗/2 n(n−1) n(1+ˆs)−1(R − ˆRGMV)2 R ∈ I1`, V ≤ (n−1) ˆVGMV χ2 n−k;α∗/2 + ˆs−1α∗/2(R − ˆRGMV+ gu)2 R ∈ I2`, V ≥ (n−1) ˆVGMV χ2 n−k;1−α∗/2 + ˆs−11−α∗/2(R − ˆRGMV+ g`)2 R ∈ I1u, V ≥ z −2 1−α∗/2 n(n−1) n(1+ˆs)−1 1 + z−21−α∗/2sˆ1−α∗/2 n(n−1) n(1+ˆs)−1 (R − ˆRGMV)2 R ∈ I2u, V ≥ (n−1) ˆVGMV χ2 n−k;α∗/2 + ˆs−11−α∗/2(R − ˆRGMV− gu)2 R ∈ I3u, (2.21) där I1u= [ ˆRGMV+ g`, ˆRGMV+ g`/t], I2u= [ ˆRGMV+ g`/t, ˆRGMV+ gu/t], I3u= ( ˆRGMV+ gu/t, ∞), I1`= [ ˆRGMV− gu, ˆRGMV− g`], I2`= [ ˆRGMV− gu, +∞).
Det ges ett bevis, enligt följande, för sats 2.4.1 i [1]
Bevis. Från relation (2.18) får vi att, för en fix extrempunkt (RGMV, VGMV),
så ges den övre gränsen för den effektiva fronten av
(R − RGMV)2 = ˆs1−α∗/2(V − VGMV), (2.22)
där ˆs1−α∗/2 är den övre gränsen för lutningskoefficienten s. Extrempunkten
antar värden inom mängderna (2.16) och (2.17)(Figur 2.3). Genom att lösa (2.22) med avseende på V så får vi, för de punkter på parabeln som ges av (2.16), V = VGMV+ 1 ˆ s1−α∗/2 (R − RGMV)2 = z1−α−2 ∗/2 n(n − 1) n(1 + ˆs) − 1(RGMV− ˆRGMV) 2+ 1 ˆ s1−α∗/2 (R − RGMV)2. (2.23) Först beräknar vi den övre gränsen för alla effektiva fronter. Notera att denna mängd består av olika parabler. För olika värden på R så får olika parabler väljas. Vi vill minimera V = V (RGMV). Eftersom läget för parabeln bestäms av dess extrempunkt, då lutningskoefficienten är den samma för dem alla, och eftersom det värde på RGMV som minimerar V (RGMV) beror på
vilket värde vi har på R, så RGMV och VGMV är funktioner av R. Vi ser detta genom att derivera V med avseende på RGMV och nollställa, vilket för RGMV ∈ [ ˆRGMV+ g`, ˆRGMV+ gu] ger
där t = 1/ˆs1−α∗/2 1/ˆs1−α∗/2+ z−2 1−α∗/2(n(n − 1)/(n(1 + ˆs) − 1 = 1 1 + z1−α−2 ∗/2sˆ1−α∗/2(n(n − 1)/(n(1 + ˆs) − 1)) ≤ 1. (2.25)
Notera att tR+(1−t) ˆRGMV∈ [ ˆRGMV+g`, ˆRGMV+gu] om och endast om R ∈
I2u = [ ˆRGMV+ g`/t, ˆRGMV+ gu/t]. Om R ∈ I1u = [ ˆRGMV+ g`, ˆRGMV+ g`/t] så uppnås minimum av V då RGMV;min= ˆRGMV+ g`, (2.26) och för R ∈ I3u = ( ˆRGMV+ gu/t, ∞) då RGMV;min= ˆRGMV+ gu. (2.27) För RGMV ∈ [ ˆRGMV+ g`, ˆRGMV+ gu] så substituerar vi ekvation (2.24)
in i ekvation (2.23), vilket ger V = z1−α−2 ∗/2 n(n − 1) n(1 + ˆs) − 1t(R − ˆRGMV) 2 = z −2 1−α∗/2(n(n − 1)/(n(1 + ˆs) − 1)) 1 + z1−α−2 ∗/2sˆ1−α∗/2(n(n − 1)/(n(1 + ˆs) − 1)) (R − ˆRGMV)2. (2.28) Eftersom andraderivatan V00(RGMV) = 2z1−α−2 ∗/2 n(n − 1) n(1 + ˆs) − 1+ 2 ˆ s1−α∗/2 > 0, (2.29) och eftersom det värde på VGMV som minimerar V ges av VGMV;min = z1−α−2 ∗/2(n(n − 1)/(n(1 + ˆs) − 1)(RGMV;min − ˆRGMV)2, så ges, för ett
gi-vet värde på R, de avgränsande parablernas extrempunkt av (tR + (1 − t) ˆRGMV, z1−α−2 ∗/2(n(n − 1)/(n(1 + ˆs) − 1)t2(R − ˆRGMV)2). För R ∈ I1u = [ ˆRGMV+ g`, ˆRGMV+ g`/t] följer att V = (n − 1) ˆVGMV χ2 n−k;1−α∗/2 + ˆs−11−α∗/2(R − ( ˆRGMV+ g`))2. (2.30) För R ∈ I3u = ( ˆRGMV+ gu/t, ∞) så får vi V = (n − 1) ˆVGMV χ2n−k;α∗/2 + ˆs−11−α∗/2(R − ( ˆRGMV+ gu))2. (2.31)
Genom att sätta samman allting så får vi att den övre gränsen för alla effektiva fronter ges av
V = (n−1) ˆVGMV χ2 n−k;1−α∗/2 + ˆs−11−α∗/2(R − ˆRGMV− g`)2 förR ∈ I1u z1−α∗/2−2 (n(n−1)/(n(1+ˆs)−1)) 1+z1−α∗/2−2 sˆ1−α∗/2(n(n−1)/(n(1+ˆs)−1)) (R − ˆRGMV)2 förR ∈ I2u (n−1) ˆVGMV χ2 n−k;α∗/2 + ˆs−11−α∗/2(R − ˆRGMV− gu)2 förR ∈ I3u . (2.32) På liknande sätt så tas den nedre gränsen fram. I det här fallet, genom att maximera V = V (RGMV), letar vi efter den nedre gränsen som ligger
under alla effektiva fronter med extrempunkt på den undre delen av parabeln (2.16). Från (2.18) får vi att för en fix extrempunkt (RGMV, VGMV) ges den
undre gränsen av
(R − RGMV)2 = ˆsα∗/2(V − VGMV), (2.33)
där ˆsα∗/2är den undre gränsen för lutningskoefficienten s. Eftersom ˆRGMV >
RGMV < R så följer det att
V (RGMV)0 = 2z1−α−2 ∗/2 n(n − 1) n(1 + ˆs) − 1(RGMV− ˆRGMV)+ 2 ˆ sα∗/2 (RGMV−R) < 0. (2.34) Så V (RGMV) = VGMV+ 1 ˆ sα∗/2 (R − RGMV)2 = z1−α−2 ∗/2 n(n − 1) n(1 + ˆs) − 1(RGMV− ˆRGMV) 2+ 1 ˆ sα∗/2 (R − RGMV)2 (2.35) är en strikt avtagande funktion och uppnår därmed sitt maximum i ( ˆRGMV−
gu, ((n − 1) ˆVGMV/χ2n−k;α∗/2)).
Låt I1` = [ ˆRGMV− gu, ˆRGMV− g`] och I2` = [ ˆRGMV− gu, +∞). Den nedre
delen av konfidensmängden definieras av följande parabler
V = z−21−α∗/2 n(n−1) n(1+ˆs)−1(R − ˆRGMV)2 förR ∈ I1` (n−1) ˆVGMV χ2 n−k;α∗/2 (R − ˆRGMV+ gu)2 förR ∈ I2` . (2.36)
Slutligen uppnår vi uttrycket för det tvåsidiga 1 − α konfidensområdet som ges i början av satsen.
Kapitel 3
Resultat och analys
3.1
Data
Genom att använda resultaten från kapitel 2 görs ett exempel baserat på verkliga data. De parameterskattningar som fås när metoderna appliceras på historiska data, där avkastningen beräknats för olika tidsintervall, jäm-förs. Datamaterialet som använts är hämtat från Yahoo finance och impor-terat till den statistiska programvaran R där de empiriska beräkningarna utförts, se Appendix för detaljer. Fem index valdes ut, OMX Stockholm 30 Index (OMX), Nikkei 225 (N225), Nasdaq 100 (NDX), DAX Performance Index (GDAXI) och S&P 500 (GSPC), från perioden 28 februari 2014 till 28 februari 2019. För varje index gjordes skattningar för tidsintervallen daglig avkastning, veckovis avkastning och månadsvis avkastning genom att hämta stängningspriserna för varje index vid de olika tidspunkterna och beräkna de logaritmerade avkastningarna enligt ri= ln(pi) − ln(pi−1). Väntevärdena
ˆ
µi, i = 1, . . . , 5 beräknades sedan för varje index och samlades i vektorn ˆµ.
Kovariansmatrisen ˆΣ ges av en 5 × 5 matris där elementen är kovariansen mellan de fem indexen. Genom att följa metoden som ges i 2.1 så tas det fram parameterskattningar för förväntad avkastning och varians för portföljerna.
Det ger för månadsvis avkastning en urvalsstorlek på n = 60 och den effektiva frontens parametrar skattas av
ˆ
R(m)GMV= 4.8 · 10−3, ˆVGMV(m) = 4.7 · 10−4och ˆs(m)= 1.0 · 10−1.
För veckovis avkastning har vi en urvalsstorlek på n = 261 och parame-terskattningarna är
ˆ
R(v)GMV= 7.9 · 10−4, ˆVGMV(v) = 2.8 · 10−4och ˆs(v)= 1.6 · 10−2.
Daglig avkastning har en urvalsstorlek på n = 1252 och parametrarna skattas av
ˆ
För alla frekvenser av avkastningar väljs α = 0.1, vilket ger ˜α = 0.0513 och α∗= 0.0345 och k = 5.
3.2
Intervallskattningar för separata parametrar
Vi tar fram konfidensintervall för parametrarna separat enligt formlerna från kapitel 2.2. För variansen VGMV, med punktskattningen ˆVGMV, ges ett 90%konfidensintervall av " (n − 1) ˆVGMV χ2 n−1; 1−α/2 ,(n − 1) ˆVGMV χ2 n−k;α/2 # = [ ˆV1, ˆV2].
Vilket ger punktskattningarna och intervallen nedan ˆ VGMV(m) = 4.7 · 10−4 [ ˆV1(m), ˆV2(m)] = [3.7 · 10−4, 7.1 · 10−4], ˆ VGMV(v) = 2.8 · 10−4 [ ˆV1(v), ˆV2(v)] = [2.4 · 10−4, 3.5 · 10−4], ˆ VGMV(d) = 2.9 · 10−5 [ ˆV1(d), ˆV2(d)] = [2.7 · 10−5, 3.1 · 10−5]. För den förväntade avkastningen RGMV, som har punktskattningen ˆRGMV
ges ett 90% konfidensintervall av ˆ RGMV± √ n − 1 √ n − k r 1 + n n − 1ˆs tn−k; 1−α/2 √ n1TΣ−11 = [ ˆR1, ˆR2], så vi får ˆ R(m)GMV = 4.8 · 10−3 [ ˆR(m)1 , ˆR(m)2 ] = [−8.7 · 10−5, 9.6 · 10−3] ˆ R(v)GMV = 7.9 · 10−4 [ ˆR(v)1 , ˆR(v)2 ] = [−9.4 · 10−4, 2.5 · 10−3] ˆ R(d)GMV = 1.8 · 10−4 [ ˆR(d)1 , ˆR(d)2 ] = [−6.8 · 10−5, 4.3 · 10−4]. För att få ˆsα/2 ≤ s ≤ ˆs1−α/2 = [ˆs1, ˆs2], ett 90% konfidensintervall för
lut-ningskoefficenten s löses ekvationen Fk−1,n−k+1,nˆsβ(TS) = β. Det gick inte
att få en undre gräns för ickecentralitetsparametern för någon av frekvenser-na och den sattes till lägsta tänkbara värde, det vill säga 0, vilket betyder att vi har ett ensidigt övre konfidensintervall för lutningskoefficienten.
ˆ s(m) = 1.0 · 10−1 [ˆs(m)1 , ˆs(m)2 ] = [0, 2.2 · 10−1] ˆ s(v)= 1.6 · 10−2 [ˆs(v)1 , ˆs(v)2 ] = [0, 3.6 · 10−2] ˆ s(d)= 2.2 · 10−3 [ˆs(d)1 , ˆs(d)2 ] = [0, 5.1 · 10−3].
ˆ
RGMV VˆGMV S
Månadsvis 4.8 · 10−3 4.7 · 10−4 2.2 · 10−1 Veckovis 7.9 · 10−4 2.8 · 10−4 4.7 · 10−2 Daglig 1.8 · 10−4 2.9 · 10−5 3.4 · 10−2
Tabell 3.1: Tabell över de olika värdena för ˆRGMV och ˆVGMV och
Sharpekvo-ten.
Jämförelse
För att ta fram de olika skattningarna så har samma data och samma tidspe-riod använts, det som skiljer dem åt är med vilket frekvens som avkastning-arna har genererats. Den förväntade avkastningen ˆRGMV blir som högst när
det största tidsintervallet, månadsvis avkastning, har använts för att ta fram parameterskattningen. ˆR(m)GMV är ungefär sex gånger så stor som ˆR(v)GMV och över 26 gånger så stor som ˆR(d)GMV. Variansen ˆVGMV, eller risken, blir också
som störst för de månadsvisa parameterskattningarna, men här är skillnaden inte lika påtaglig. ˆVGMV(m) är ungefär 1.64 gånger så stor som ˆVGMV(v) och 16.2 gånger så stor som ˆVGMV(d) . Detta beror på att när en hög frekvens för att generera avkastningar har använts så fångas alla svängningar på markna-den upp vilket gör att variansen blir högre i förhållande till markna-den förväntade avkastningen. För att jämföra de olika frekvenserna med varandra används Sharpekvoten S = √RˆGMV
ˆ VGMV
. Det är bara marginell skillnad mellan dagligt och veckovist intervall medan månadsvist intervall visar en klar förbättring av Sharpekvoten, vilket visas i tabell 3.1.
3.2.1 Konfidensområden för förväntad avkastning och
vari-ans
För att bestämma konfidensområdena för RGMVoch VGMVså används
form-lerna från kapitel 2.3. Det syns tydligt att konfidensområdena blir mycket större, i förhållande till den skattade effektiva fronten, ju högre frekvens av-kastningarna har genererats med.
Skattningar för månadsvis avkastning
Vi har här att z1− ˜α/2 = 1.95, χ2n−k; ˜α/2 = 36.49, χ2n−k;1− ˜α/2 = 77.23, och konfidensområdet ges av
(RGMV− 4.8 · 10−3)2 ≤ 3.6 · 10−2VGMV,
VGMV ∈ [3.6 · 10−4, 7.6 · 10−4].
I figur 3.1 visas konfidensområdet för den förväntade avkastningen och va-riansen för GMV-portföljen med månadsvisa avkastningar och den skattade
effektiva fronten som ges av (R − ˆR(m)GMV)2= ˆs(m)(V − ˆV(m) GMV).
Figur 3.1: Konfidensområde för RGMV och VGMV för månadsvis avkastning.
Skattningar för veckovis avkastning
Vi har här att z1− ˜α/2= 1.95, χ2n−k; ˜α/2= 213.79, χ2n−k;1− ˜α/2= 301.93, och konfidensområdet ges av
(RGMV− 7.9 · 10−4)2 ≤ 7.6 · 10−3VGMV,
VGMV ∈ [2.4 · 10−4, 3.5 · 10−4].
I figur 3.2 visas konfidensområdet för den förväntade avkastningen och va-riansen för GMV-portföljen med veckovisa avkastningar och den skattade effektiva fronten som ges av (R − ˆR(v)GMV)2= ˆs(v)(V − ˆVGMV(v) ).
Figur 3.2: Konfidensområde för RGMV och VGMV för veckovis avkastning.
Skattningar för daglig avkastning
Vi har här att z1− ˜α/2= 1.95, χ2n−k; ˜α/2= 1151.56, χ2n−k;1− ˜α/2= 1346.18, och konfidensområdet ges av
(RGMV− 1.8 · 10−4)2 ≤ 1.6 · 10−3VGMV,
VGMV ∈ [2.6 · 10−5, 3.1 · 10−5].
I figur 3.3 visas konfidensområdet för den förväntade avkastningen och vari-ansen för GMV-portföljen med dagliga avkastningar och den skattade effek-tiva fronten som ges av (R − ˆR(d)GMV)2 = ˆs(d)(V − ˆVGMV(d) ).
Figur 3.3: Konfidensområde för RGMV och VGMV för daglig avkastning.
3.2.2 Konfidensområden för hela den effektiva fronten
Här ges konfidensområdena B för hela den effektiva fronten. Det gäller att B = {(R − RGMV)2= s(V − VGMV) : (RGMV, VGMV, s) ∈ A}.
Konfidensområde för månadsvis avkastning
För de månadsvisa avkastningarna har vi ˆsα∗/2= 0, ˆs1−α∗/2= 2.8 · 10−1,
z1−α∗/2= 2.11, χ2
n−k;α∗/2= 35.19 och χ2n−k;1−α∗/2= 79.42.
Då ges B(m), den simultana konfidensmängden, av
V ≥ 3.5 · 10−4 R ∈ R, V ≥ 12.14(R − 4.8 · 10−3)2 R ∈ [−3.3 · 10−3, −5.9 · 10−4], V ≤ 7.8 · 10−4+ ∞(R + 3.3 · 10−3)2 R ∈ [−3.3 · 10−3, +∞), V ≥ 3.5 · 10−4+ 2.79(R − 1.0 · 10−2)2 R ∈ [1.0 · 10−2, 3.3 · 10−2], V ≥ 2.73(R − 4.8 · 10−3)2 R ∈ [3.3 · 10−2, 4.7 · 10−2], V ≥ 7.8 · 10−4+ 3.53(R − 1.3 · 10−2)2 R ∈ (4.7 · 10−2, ∞). (3.1) Konfidensområde för veckovis avkastning
För de veckovisa avkastningarna har vi ˆsα∗/2= 0, ˆs1−α∗/2= 4.9 · 10−2,
z1−α∗/2 = 2.11, χ2
den simultana konfidensmängden, av V ≥ 2.4 · 10−4 R ∈ R, V ≥ 1.95(R − 7.9 · 10−4)2 R ∈ [−1.7 · 10−3, −1.3 · 10−3], V ≤ 3.5 · 10−4+ ∞(R + 1.7 · 10−3)2 R ∈ [−1.7 · 10−3, +∞), V ≥ 2.4 · 10−4+ 4.9 · 10−2(R − 2.8 · 10−3)2 R ∈ [2.8 · 10−3, 8.6 · 10−3], V ≥ 1.78(R − 7.9 · 10−4)2 R ∈ [8.6 · 10−3, 1.0 · 10−2], V ≥ 2.4 · 10−4+ 4.9 · 10−2(R − 3.3 · 10−3)2 R ∈ (1.0 · 10−2, ∞). (3.2) Konfidensområde för daglig avkastning
För de dagliga avkastningarna med ˆsα∗/2= 0, ˆs1−α∗/2= 7.5 · 10−3,
z1−α∗/2= 2.11, χ2
n−k;α∗/2= 1144.75 och χ2n−k;1−α∗/2= 1355.88. Då ges B(d),
den simultana konfidensmängden, av
V ≥ 2.7 · 10−5 R ∈ R, V ≥ 279.53(R − 1.8 · 10−4)2 R ∈ [−1.5 · 10−4, −1.3 · 10−4], V ≤ 3.2 · 10−5+ ∞(R + 1.5 · 10−4)2 R ∈ [−1.5 · 10−4, +∞), V ≥ 2.7 · 10−5+ 7.5 · 10−3(R − 4.9 · 10−4)2 R ∈ [4.9 · 10−4, 1.1 · 10−3], V ≥ 89.87(R − 1.8 · 10−4)2 R ∈ [1.1 · 10−3, 1.2 · 10−3], V ≥ 3.2 · 10−5+ 7.5 · 10−3(R − 5.2 · 10−4)2 R ∈ (1.2 · 10−3, ∞). (3.3)
3.3
Normalitetsantagandet
Normalitetsantagandet testas med ett Shapiro-Wilks test i R. Testet visar att bara de månadsvisa avkastningarna antas vara normalfördelade med ett p-värde = 4.9 · 10−1. För veckovis avkastning fås p-värde = 7.3 · 10−8 och för daglig avkastning, p-värde < 2.2 · 10−16, och det finns skäl för anta att urvalet inte kommer från en normalfördelning. Det syns också tydligt i figur 3.4, 3.5 och 3.6 att avkastningarna avviker från normalitet för de två högsta frekvenserna.
Figur 3.4: QQ-plot för daglig data.
Kapitel 4
Diskussion
Tre olika frekvenser jämförs för att se hur resultaten skiljer sig från varand-ra och om vi kan dvarand-ra någvarand-ra slutsatser från eventuella skillnader. Det visar sig att de skattningar vi får skiljer sig mycket från varandra, mest markant är att Sharpekvoten för den lägsta frekvensen, månadsvis avkastning, skil-jer sig så pass mycket ifrån veckovis, medan den skillnaden mellan veckovis och daglig avkastning inte alls är lika påtaglig. Sharpekvoten för månads-vis avkastning är 2.2 · 10−1 mot 4.7 · 10−2 och 3.4 · 10−2 för veckovis och daglig avkastning respektive. Hela teorin från [1], som vi använder för att ta fram punktskattningar och konfidensintervall, baseras på antagandet om att vi har en underliggande normalfördelning. I praktiken har det visats att data som genererats med månadsvisa intervall kan approximeras med nor-malfördelningen, medan veckovisa och dagliga data oftast inte uppfyller det antagandet. I resultatsdelen ser vi både genom Shapiro-Wilks test och QQ-plottar att just det är fallet här, bara avkastningarna som genererats med månadsvist intervall kan antas vara normalfördelade. Det påverkar konfi-densintervallen som baserats på antagandet om normalitet, men då vi har relativt stora urval så kan centrala gränsvärdessatsen tillämpas och vi kan anta approximativ normalfördelning och kan ändå använda resultaten. Som visat i kapitel 3.2.1 och 3.2.2 så är konfidensområdet för den effektiva fronten väldigt stort för daglig avkastning, och även för veckovis avkastning, vilket gör att det är svårt att dra några slutsatser om våra parameterskattningar för de frekvenserna. De skattningar som genererats genom månadsvis avkastning visar sig ge både den högsta Sharpekvoten och ha snävast konfidensområde, vilket tyder på högre precision.
Litteraturförteckning
[1] Taras Bodnar och Wolfgang Schmid (2009) Econometrical analysis of the sample efficient frontier, The European Journal of Finance, 15:3, 317-335, DOI: 10.1080/13518470802423478
[2] Portföljteori och den effektiva fronten. Teori och exempel.
https://www.investopedia.com/terms/m/modernportfoliotheory.asp 2019-02-14
[3] Y. M. Lam (1987) Confidence limits for non-centrality parameters of noncentral chi-squared and F distributions, ASA Proceedings of the Sta-tistical Computing Section, 1987, 441-443.
[4] Harry Markowitz Portfolio selection, The Journal of Finance, Vol. 7, No. 1. (Mar., 1952), pp. 77-91.
[5] Robert C. Merton An Analytic Derivation of the Efficient Portfolio Fron-tier, The Journal of Financial and Quantitative Analysis, Vol. 7, No. 4 (Sep., 1972), pp. 1851-1872
[6] The Nobel prize.
https://www.nobelprize.org/prizes/economic-sciences/1990/press-release/ 2019-02-06
[7] QQ-plot.
https://data.library.virginia.edu/understanding-q-q-plots/ 2019-05-27
[8] S.S. Shapiro och M.B. Wilk An Analysis of Variance Test for Normality (Complete Samples), Biometrika, Vol.52, No.3/4. (Dec., 1965), pp. 591-611.
[9] W.F. Sharpe (1994) The Sharpe ratio, The Journal of Portfolio Manage-ment Oct 1994, 21 (1) 49-58; DOI: 10.3905/jpm.1994.409501
[10] Dennis D. Wackerly, William Mendenhall III, Richard L. Scheaffer. Mat-hematical Statistics with applications. Brooks/Cole 2008.
Appendix
Här ges R koden som använts för att göra alla beräkningar för de månadsvisa avkastningarna. Koden för de veckovisa och dagliga avkastningarna ser ut på motsvarande sätt. 1 l i b r a r y ( " M A S S " ) 2 l i b r a r y ( " m v S h a p i r o T e s t " ) 3 l i b r a r y ( " M B E S S " ) 4 5 # # # # # 6 # d o w n l o a d i n d e x to R 7 # # # # # 8 9 N 2 2 5 m o n t l y < - r e a d . csv ( f i l e = " C : / U s e r s / e l i s e / O n e D r i v e / D o k u m e n t / S k o l a / E x a m e n s a r b e t e / ^ N 2 2 5 m o n t l y . csv " , h e a d e r = T R U E ) 10 O M X m o n t l y < - r e a d . csv ( f i l e = " C : / U s e r s / e l i s e / O n e D r i v e / D o k u m e n t / S k o l a / E x a m e n s a r b e t e / ^ O M X m o n t l y . csv " , h e a d e r = T R U E ) 11 N D X m o n t l y < - r e a d . csv ( f i l e = " C : / U s e r s / e l i s e / O n e D r i v e / D o k u m e n t / S k o l a / E x a m e n s a r b e t e / ^ N D X m o n t l y . csv " , h e a d e r = T R U E ) 12 G D A X I m o n t l y < - r e a d . csv ( f i l e = " C : / U s e r s / e l i s e / O n e D r i v e / D o k u m e n t / S k o l a / E x a m e n s a r b e t e / ^ G D A X I m o n t l y . csv " , h e a d e r = T R U E ) 13 G S P C m o n t l y < - r e a d . csv ( f i l e = " C : / U s e r s / e l i s e / O n e D r i v e / D o k u m e n t / S k o l a / E x a m e n s a r b e t e / ^ G S P C m o n t l y . csv " , h e a d e r = T R U E ) 14 15 # # # # # 16 # G e n e r a t e log r e t u r n s a c c o r d i n g to r_i = ln ( x_i ) - ln ( x_( i -1) ) 17 # # # # # 18 19 m < - dim ( G D A X I m o n t l y ) [1] -1 20 rm . G D A X I < - rep (0 , m ) 21 for ( i in 1: m ) { 22 rm . G D A X I [ i ] < - log ( G D A X I m o n t l y $ C l o s e [ i + 1 ] ) - log ( G D A X I m o n t l y $ C l o s e [ i ]) 23 } 24 25 rm . G S P C < - rep (0 , m ) 26 for ( i in 1: m ) { 27 rm . G S P C [ i ] < - log ( G S P C m o n t l y $ C l o s e [ i + 1 ] ) - log ( G S P C m o n t l y $ C l o s e [ i ]) 28 } 29 30 rm . N 2 2 5 < - rep (0 , m ) 31 for ( i in 1: m ) { 32 rm . N 2 2 5 [ i ] < - log ( N 2 2 5 m o n t l y $ C l o s e [ i + 1 ] ) - log ( N 2 2 5 m o n t l y $ C l o s e [ i ]) 33 } 34 35 rm . NDX < - rep (0 , m ) 36 for ( i in 1: m ) { 37 rm . NDX [ i ] < - log ( N D X m o n t l y $ C l o s e [ i + 1 ] ) - log ( N D X m o n t l y $ C l o s e [ i ]) 38 } 39
40 rm . OMX < - rep (0 , m )
41 for ( i in 1: m ) {
42 rm . OMX [ i ] < - log ( O M X m o n t l y $ C l o s e [ i + 1 ] ) - log ( O M X m o n t l y $ C l o s e [ i ])
43 }
44 45 # # # # #
46 # C a l c u l a t e mu and s i g m a . Shapiro - W i l k s t e s t for n o r m a l i t y and QQ - p l o t
47 # # # # # 48 49 d a t a . m o n t l y < - d a t a . f r a m e ( rm . GDAXI , rm . GSPC , rm . N225 , rm . NDX , rm . OMX ) 50 rm . mat < - d a t a . m a t r i x ( d a t a . m o n t l y ) 51 m v S h a p i r o . T e s t ( rm . mat ) 52 53 q q n o r m ( rm . mat ) 54 q q l i n e ( rm . mat ) 55 56 mu . m < - c o l M e a n s ( rm . mat ) 57 S i g m a . m < - cov ( rm . mat ) 58 59 # # # # # 60 # C a l c u l a t e e s t i m a t e s for R , V and s 61 # # # # # 62 63 o n e s < - rep (1 ,5) 64 S i g m a . m . inv < - g i n v ( S i g m a . m ) 65 S i g m a . m . inv 66 R _ hat . m < - g i n v ( S i g m a . m ) -( g i n v ( S i g m a . m ) % * % o n e s % * % t ( o n e s ) % * % g i n v ( S i g m a . m ) ) / sum ( t ( o n e s ) % * % g i n v ( S i g m a . m ) % * % o n e s ) 67 R . hat _ GMV . m < - ( t ( o n e s ) % * % g i n v ( S i g m a . m ) % * % mu . m ) / ( t ( o n e s ) % * % g i n v ( S i g m a . m ) % * % o n e s ) 68 V . hat _ GMV . m < - 1 / ( t ( o n e s ) % * % g i n v ( S i g m a . m ) % * % o n e s ) 69 s . hat . m < - mu . m % * % R _ hat . m % * % mu . m 70 71 # # # # # 72 # P l o t the e f f i c i e n t f r o n t i e r and GMV - p o r t f o l i o 73 # # # # # 74 75 R . m < - seq ( -0.05 , 0.05 , l e n g t h . out = 1 0 0 0 ) 76 V . m < - rep ( NA , 1 0 0 0 ) 77 for ( i in 1 : 1 0 0 0 ) {
78 V . m [ i ] < - s . hat . m ^( -1) * R . m [ i ]^2 -(2 * ( R . hat _ GMV . m * R . m [ i ]) / s . hat . m ) +( R . hat _ GMV . m ^2 / s . hat . m ) + V . hat _ GMV . m
79 } 80 81 r . p u n k t < - 0 . 0 0 5 82 83 p l o t ( V . m , R . m , cex =0.1 , pch = 20 , y l a b = " F o r v a n t a d a v k a s t n i n g " , x l a b = " V a r i a n s ( r i s k ) " )
84 p o i n t s ( x = min ( V . m ) , y = r . punkt , pch = 8 , col = " d a r k o r c h i d " , cex =2)
85 a r r o w s (0.011 , 0.05 , 0.01 , 0.038 , l e n g t h = 0.1 , col = " b l u e " ) 86 l e g e n d (0.006 , 0.055 , l e g e n d = " E f f e k t i v f r o n t " , t e x t . col = " b l u e " , bty = " n " ) 87 l e g e n d ( 0 . 0 0 0 0 1 , 0.009 , l e g e n d = " GMV - p o r t f o l j " , t e x t . col = " d a r k o r c h i d " , bty = " n " ) 88 89 # # # # # 90 # t e s t s t a t i s t i c s and c o n f i d e n c e i n t e r v a l m o n t l y 91 # # # # # 92 93 n . m < - 60 94 k < - 5 95 a l p h a . m < - 0.1
96 97 # Tv 98 c h i 2 . m < - q c h i s q ( c ( a l p h a . m / 2 , (1 - a l p h a . m / 2) ) ,( n . m - k ) , l o w e r . t a i l = F A L S E ) 99 lb . m < - (( n . m -1) * V . hat _ GMV . m / c h i 2 . m [ 1 ] ) 100 ub . m < - (( n . m -1) * V . hat _ GMV . m / c h i 2 . m [ 2 ] ) 101 p r i n t ( c ( lb . m , ub . m ) ) 102 103 # Tr 104 tl . m < - qt ((1 - a l p h a . m / 2) , ( n . m - k ) , l o w e r . t a i l = T R U E ) 105 R . lb . m < - R . hat _ GMV . m -( s q r t ( n . m -1) / s q r t ( n . m - k ) ) * s q r t ( 1 + ( n . m / n . m -1) * s . hat . m ) * ( tl . m / s q r t ( n . m * o n e s % * % S i g m a . m . inv % * % o n e s ) ) 106 R . ub . m < - R . hat _ GMV . m + ( s q r t ( n . m -1) / s q r t ( n . m - k ) ) * s q r t ( 1 + ( n . m / n . m -1) * s . hat . m ) * ( tl . m / s q r t ( n . m * o n e s % * % S i g m a . m . inv % * % o n e s ) ) 107 p r i n t ( c ( R . lb . m , R . ub . m ) 108 109 # Ts 110 Ts . m < - ( n . m * ( n . m - k +1) / (( k -1) * ( n . m -1) ) ) * mu . m % * % R _ hat . m % * % mu . m 111 # fel pf ( Ts . m , k -1 , n . m - k +1) 112 df1 . m < - k -1 113 df2 . m < - n . m - k +1 114 c o n f . l i m i t s . ncf ( F . v a l u e = Ts . m , c o n f . l e v e l = 1 - a l p h a . m , df .1 = df1 . m , df .2 = df2 . m ) $ U p p e r . L i m i t / n . m 115 116 # # # # # 117 # J o i n t t e s t s t a t i s t i c R and V . P l o t for c o n f i d e n c e r e g i o n . 118 # # # # # 119 120 a l p h a . t i l d e . m < - 1 - s q r t (1 - a l p h a ) 121 z . m < - q n o r m ((1 - a l p h a . t i l d e . m / 2) , 0 , 1) 122 123 c h i 2 . j o i n t . m < - q c h i s q ( c ( a l p h a . t i l d e . m / 2 , (1 - a l p h a . t i l d e . m / 2) ) , ( n . m - k ) , l o w e r . t a i l = F A L S E ) 124 lb . V . j o i n t . m < - (( n . m -1) * V . hat _ GMV . m / c h i 2 . j o i n t . m [ 1 ] ) 125 ub . V . j o i n t . m < - (( n . m -1) * V . hat _ GMV . m / c h i 2 . j o i n t . m [ 2 ] ) 126 p r i n t ( c ( lb . V . j o i n t . m , ub . V . j o i n t . m ) ) 127
128 V _ GMV . m < - seq ( sum ( lb . V . j o i n t . m ) , sum ( ub . V . j o i n t . m ) , l e n g t h . out = 1 0 0 0 ) 129 R _ GMV . pos . m < - rep ( NA , 1 0 0 0 ) 130 R _ GMV . neg . m < - rep ( NA , 1 0 0 0 ) 131 for ( i in 1 : 1 0 0 0 ) { 132 R _ GMV . pos . m [ i ] < - s q r t ( z ^2 * ((1 / n . m ) +( s . hat . m / ( n . m -1) ) ) * V _ GMV . m [ i ]) + R . hat _ GMV . m 133 R _ GMV . neg . m [ i ] < - - s q r t ( z ^2 * ((1 / n . m ) +( s . hat . m / ( n . m -1) ) ) * V _ GMV . m [ i ]) + R . hat _ GMV . m 134 } 135 136 p l o t ( V _ GMV . m , R _ GMV . neg . m , t y p e = " n " , x l a b = " V _ GMV " , y l a b = " R _ GMV " , y l i m = c ( - 0 . 0 0 2 , 0 . 0 1 2 ) ) 137 l i n e s ( V _ GMV . m , R _ GMV . neg . m , lwd =2 ) 138 l i n e s ( V _ GMV . m , R _ GMV . pos . m , lwd =2)
139 p o l y g o n ( c ( V _ GMV . m , rev ( V _ GMV . m ) ) , c ( R _ GMV . neg . m , rev ( R _ GMV . pos . m ) ) , col = " l i g h t g r a y " , b o r d e r = " g r a y " ) 140 141 # # # # # 142 # C o n f i d e n c e r e g i o n m o n t l y 143 # # # # # 144 n . m < - 60 145 k < - 5 146 a l p h a < - 0.1 147 a l p h a . s t a r < - 1 -(1 - a l p h a ) ^(1 / 3)
148 149 z . r e g i o n . m < - q n o r m ((1 - a l p h a . s t a r / 2) , 0 , 1) 150 151 c h i 2 . j o i n t . r e g i o n . m < q c h i s q ( c ( a l p h a . s t a r / 2 , (1 a l p h a . s t a r / 2) ) , ( n . m -k ) , l o w e r . t a i l = F A L S E ) 152 lb . V . j o i n t . r e g i o n . m < - (( n . m -1) * V . hat _ GMV . m / c h i 2 . j o i n t . r e g i o n . m [ 1 ] ) 153 ub . V . j o i n t . r e g i o n . m < - (( n . m -1) * V . hat _ GMV . m / c h i 2 . j o i n t . r e g i o n . m [ 2 ] ) 154 p r i n t ( c ( lb . V . j o i n t . r e g i o n . m , ub . V . j o i n t . r e g i o n . m ) ) 155
156 V _ GMV . r e g i o n . m < - seq ( sum ( lb . V . j o i n t . r e g i o n . m ) , sum ( ub . V . j o i n t . r e g i o n . m ) , l e n g t h . out = 1 0 0 0 ) 157 R _ GMV . pos . r e g i o n . m < - rep ( NA , 1 0 0 0 ) 158 R _ GMV . neg . r e g i o n . m < - rep ( NA , 1 0 0 0 ) 159 for ( i in 1 : 1 0 0 0 ) { 160 R _ GMV . pos . r e g i o n . m [ i ] < - s q r t ( z . r e g i o n . m ^2 * ((1 / n . m ) +( s . hat . m / ( n . m -1) ) ) * V _ GMV . r e g i o n . m [ i ]) + R . hat _ GMV . m 161 R _ GMV . neg . r e g i o n . m [ i ] < - - s q r t ( z . r e g i o n . m ^2 * ((1 / n . m ) +( s . hat . m / ( n . m -1) ) ) * V _ GMV . r e g i o n . m [ i ]) + R . hat _ GMV . m 162 163 } 164 165 R _ p l o t . r e g i o n . m < - c ( R _ GMV . neg . r e g i o n . m , R _ GMV . pos . r e g i o n . m ) 166 V _ p l o t . r e g i o n . m < - c ( V _ GMV . m , V _ GMV . m ) 167 168 p l o t ( R _ p l o t . r e g i o n . m ~ V _ p l o t . r e g i o n . m , cex = 0 . 1 ) 169 170 # s . hat_a l p h a . s t a r/2 <= s <= s . hat_1 - a l p h a . s t a r/2 171 df1 . m < - k -1 172 df2 . m < - n . m - k +1 173 174 s . l . m < - 0 175 s . u . m < - c o n f . l i m i t s . ncf ( F . v a l u e = Ts . m , c o n f . l e v e l = (1 - a l p h a . s t a r ) , df .1 = df1 . m , df .2 = df2 . m ) $ U p p e r . L i m i t / n . m 176 g . l . m < - z . r e g i o n . m * s q r t ( 1 + ( ( n . m * s . hat . m ) / ( n . m -1) ) ) * ( s q r t ( n . m -1) * s q r t ( V . hat _ GMV . m ) ) / s q r t ( n . m * c h i 2 . j o i n t . r e g i o n . m [ 1 ] ) 177 g . u . m < - z . r e g i o n . m * s q r t ( 1 + ( ( n . m * s . hat . m ) / ( n . m -1) ) ) * ( s q r t ( n . m -1) * s q r t ( V . hat _ GMV . m ) ) / s q r t ( n . m * c h i 2 . j o i n t . r e g i o n . m [ 2 ] ) 178 179 z . m < - z . r e g i o n . m ^( -2) * n . m * ( n . m -1) / ( n . m * (1+ s . hat . m ) -1) 180 t . m < - 1 / (1+ z . m * s . u . m ) 181 182 I . u .1. m < - c ( R . hat _ GMV . m + g . l . m , R . hat _ GMV . m + g . l . m / t . m ) 183 I . u .2. m < - c ( R . hat _ GMV . m +( g . l . m / t . m ) , R . hat _ GMV . m +( g . u . m / t . m ) ) 184 I . u .3. m < - c ( R . hat _ GMV . m +( g . u . m / t . m ) , " inf " ) 185 I . l .1. m < - c ( R . hat _ GMV . m - g . u . m , R . hat _ GMV . m - g . l . m )
186 I . l .2. m < - c ( R . hat _ GMV . m - g . u . m , " pos . inf " )
187 188 R . hat _ GMV . m - g . u . m 189 R . hat _ GMV . m + g . l . m 190 R . hat _ GMV . m + g . u . m 191 192 # # # # # 193 # p l o t log vs a r i t m e t i s k 194 # # # # # 195 196 R < - seq ( -0.4 , 0.6 , by = 0 . 0 0 1 ) 197 y < - R 198 f < - log (1+ R ) 199 200 p l o t ( R , y , t y p e = " l " , col = " red " , lwd = 2 , x l a b = " R " ) 201 l i n e s ( R , f , col = " b l u e " , lwd = 2)
