DEGREE PROJECT, IN APPLIED MATHEMATICS AND INDUSTRIAL , FIRST LEVEL
ECONOMICS
STOCKHOLM, SWEDEN 2014
Portföljoptimering med courtageavgifter
KEVIN FAN, RASMUS LARSSON
KTH ROYAL INSTITUTE OF TECHNOLOGY
Portföljoptimering med courtageavgifter
K E V I N F A N
R A S M U S L A R S S O N
Examensarbete inom teknik:
Tillämpad matematik och industriell ekonomi (15 credits) Civilingenjörsutbildning i industriell ekonomi (300 credits)
Kungliga Tekniska Högskolan 2014 Handledare på KTH Anna Jerbrant och Per Enqvist
Examinator Johan Karlsson
TRITA-MAT-K 2014:15 ISRN-KTH/MAT/K--14/15--SE
Kungliga Tekniska Högskolan Skolan för Teknikvetenskap KTH SCI SE-100 44 Stockholm, Schweden URL: www.kth.se/sci
1 Abstract
Ever since it was first introduced in an article in the Journal of Finance 1952, Harry Markowitz’ mean - variance model for portfolio selection has become one of the best known models in finance. The model was one of the first in the world to deal with portfolio optimization mathematically and have directly or indirectly inspired the rest of the world to develop new portfolio optimization methods.
Although the model is one of the greatest contributions to modern portfolio theory, critics claim that it may have practical difficulties. Partly because the Markowitz model is based on various assumptions which do not necessarily coincide with the reality. The assumptions which are based on the financial markets and investor behavior contain the simplification that there are no transaction costs associated with financial trading. However, in reality, all financial products are subject to transaction costs such as brokerage fees and taxes. To determine whether this simplification leads to inaccurate results or not, we derive an extension of the mean-variance optimization model which includes brokerage fees occurred under the construction of an investment portfolio. We then compare our extension of the Markowitz model, including transaction costs, with the standard model. The results indicate that brokerage fees have a negligible effect on the standard model if the investor's budget is relatively large. Hence the assumption that no brokerage fees occur when trading financial securities seems to be an acceptable simplification if the budget is relatively high.
Finally, we suggest that brokerage fees are negligible if the creation of the portfolio and hence the transactions only occurs once. However if an investor is active and rebalances his portfolio often, the brokerage fees could be of great importance.
Keywords: Portfolio optimization, brokerage fees, mean-variance portfolio optimization, Markowitz, efficient frontier.
Bachelor thesis Industrial Economics
Portfolio optimization with brokerage fees
Rasmus Larsson Kevin Fan
Approved Examiner
Johan Karlsson
Supervisor
Per Enqvist
Grade Commissioner
-
Contact person
Rasmus Larsson, Kevin Fan
2 Sammanfattning
Harry Markowitz portföljoptimeringsmodell har sedan den publicerades år 1952 i en artikel i the journal of Finance, blivit en av de mest använda modellerna inom finansvärlden. Modellen var en av dem första i världen att hantera portföljoptimering matematiskt och har direkt eller indirekt inspirerat omvärlden att utveckla nya portföljoptimeringsmetoder. Men trots att Markowitz modell är ett av de största bidragen till dagens portföljoptimeringsteori har kritiker hävdat att den kan ha praktiska svårigheter. Detta delvis på grund av att modellen bygger på olika antaganden som inte nödvändigtvis stämmer överens med verkligheten. Antagandena, som är baserad på den finansiella marknaden och individers investeringsbeteende, leder till förenklingen att transaktionskostnader inte förekommer i samband med finansiell handel. Men i verkligheten förekommer transaktions- kostnader som courtageavgifter och skatter nästintill alltid vid handel av finansiella produkter som t.ex. värdepapper. För att avgöra om modellen påvisar felaktiga resultat på grund av bortfallet av courtageavgifter härleds en utvidgning av Markowitz modell som inkluderar courtageavgifter.
Utvidgningen av Markowitz modell jämförs sedan med originalmodellen. Resultaten tyder på att courtageavgifter har en försumbar effekt på originalmodellen om investeraren har en stor investeringsbudget. Slutsatsen är därför att, förenklingen att inga courtageavgifter förekommer är en acceptabel förenkling om investeringsbudgeten är stor. Det föreslås slutligen att courtageavgiften är försumbar om transaktionen av aktier endast sker en gång. Men om en investerare är aktiv och ombalanserar sin portfölj flitigt, kan courtageavgifterna vara av stor betydelse.
Nyckelord: Portföljoptimering, courtageavgifter, Markowitz, mean-variance portfolio optimization, effektiv front.
Kandidatarbete Industriell ekonomi
Portföljoptimering med courtageavgifter
Rasmus Larsson Kevin Fan
Godkänt Examinator
Johan Karlsson
Handledare
Per Enqvist
Betyg Uppdragsgivare
-
Kontaktperson
Rasmus Larsson, Kevin Fan
3 Förord
Denna studie har genomförts som ett kandidatarbete på Kungliga Tekniska Högskolan inom civilingenjörsutbildningen Industriell ekonomi med inriktning mot tillämpad matematik. Arbetet utfördes under våren 2014 på institutionen för optimeringslära och systemteori.
Vi vill uttrycka vår uppskattning och tacksamhet till vår handledare, Universitetslektor Per Enqvist, för hans support och råd angående studien. Vi vill också tacka universitetsadjunkt Anna Jerbrant och Anneli Linde för deras feedback och korrekturläsning av arbetet.
Vi vill slutligen tacka samtliga icke nämnda personer som har granskat och hjälp oss med arbetet, däribland samtliga opponeringsgrupper.
4 Innehållsförteckning
1 Abstract ... 3
2 Sammanfattning ... 4
3 Förord ... 5
4 Innehållsförteckning ... 6
5 Introduktion ... 8
5.1 Problemformulering Industriell ekonomi ... 9
5.2 Syfte ... 9
6 Avgränsningar ... 10
7 Variabler och definitioner ... 11
8 Referensram ... 13
8.1 Förväntad avkastning för en portfölj ... 13
8.2 Risk... 14
8.3 Harry Markowitz portföljoptimeringsproblem - Originalmodellen ... 15
8.4 Effektiva fronten ... 15
9 Implementering ... 17
9.1 Courtageavgiften ... 17
9.2 Modellansats ... 18
9.3 Portföljoptimering - Courtagemodellen ... 18
9.3.1 Volatiliteten av en portfölj med courtageavgifter... 18
9.3.2 Justering av MVO-modellen för courtage ... 19
9.4 Startvärden ... 22
9.5 Verifiering av lösning ... 22
9.5.1 Metod 1 – En övre effektiv front ... 23
9.5.2 Metod 2 – En undre effektiv front ... 25
10 Metod – Industriell ekonomi... 28
10.1 Litteraturstudie för ämnen inom industriell ekonomi ... 28
11 Dataanalys ... 31
11.1 Aktier och budget ... 31
11.2 Banker och Courtage ... 31
11.3 Tidsram ... 32
11.4 Förväntad avkastning med historisk data ... 32
11.5 Estimering av kovariansmatrisen ... 32
11.6 Beräkningsprogram ... 33
11.7 Programmets komplexitet ... 33
12 Resultat ... 35
12.1 Storlek på courtageavgiften ... 36
12.2 Förändring av optimala portföljer ... 37
12.3 Intervall och Approximativ lösning ... 37
13.1 Lösningarnas karaktär ... 40
13.1.1 Optimala lösningar ... 41
13.2 Reflektion och kritik ... 41
14 Diskussion och koppling till Industriell ekonomi ... 43
14.1 Aktiv förvaltare ... 43
14.1.1 Småspararperspektiv ... 44
14.1.2 Slutsatser ... 44
14.2 Bankperspektiv ... 44
14.2.1 Slutsatser ... 45
15 Slutord ... 46
15.1 Förslag på fortsatt forskning ... 46
16 Referenslista ... 47
17 APPENDIX 1 – Illustrativa figurer... 49
18 APPENDIX 2 – Beräknade effektiva fronter ... 51
19 APPENDIX 3 – Tabell... 56
5 Introduktion
Beslutet att konstruera en portfölj av tillgångar är ett av de mest betydelsefulla finansiella beslut som tas av individer och institutioner. För att konstruera en portfölj måste en beslutsprocess utvecklas där investeraren noga bestämmer lämpliga kriterier för varje investering i portföljen så att investeraren erhåller en acceptabel nivå av risk gentemot förväntad avkastning. Denna beslutsprocess är ytterst kritisk då felaktigt valda kriterier kan leda till stora kapitalförluster. Det finns flera metoder för att bedöma och utveckla beslutsprocessen. En av dessa metoder härleddes av Harry Markowitz och är baserad på matematisk optimering. Metoden var en av dem första metoderna att behandla portföljoptimering matematiskt och lade grund för dagens portföljoptimeringsteori.
Den portföljoptimeringsteori som Harry Markowitz härledde benämns som “Mean-Variance portfolio optimization” (MVO) och publicerades år 1952 i journalen, ”Journal of Finance” under artikeln
”Portfolio Selection”. Metoden har sedan dess publikation blivit en av de mest använda portföljoptimeringsmetoderna inom aktiehandel och har direkt eller indirekt inspirerat omvärlden att utveckla nya portföljoptimeringsmetoder [1] [2].
MVO är baserad på att investeraren väljer den optimala förväntade avkastningen för en given nivå av risk som definieras som volatilitet. Metoden utgår ifrån att potentiella investerare är riskmedvetna och rationella, och föredrar därför alltid den investering med minst risk för varje given nivå av förväntad avkastning. En investerare enligt denna modell kommer enbart acceptera en högre risk om högre förväntad avkastning erhålls. Ett av de viktigaste antaganden i MVO är att rationella investerare alltid kommer att välja en portfölj som ligger på den effektiva fronten, ett set av möjliga effektiva portföljer. En effektiv portfölj definieras som en portfölj med den största förväntade avkastningen för en given nivå av risk eller ekvivalent minsta risken för en given nivå av förväntad avkastning [3].
Trots att MVO är ett av de största bidragen till modern portföljoptimeringsteori, har kritiker hävdat att den kan ha praktiska svårigheter [2] [4]. Detta för att även om den konceptuella grunden för portfölj-optimering är solid och användning har skapat möjligheter att förbättra portföljhanteringsprocessen, kan det vara komplicerat att använda och tyda resultaten korrekt. Att okritiskt acceptera utfallet, indata och de bakomliggande antagandena för MVO kan resultera i portföljer som är felaktiga, ineffektiva och slutgiltigen leder till kapitalförluster [4] [5] [6]. Det är därför betydelsefullt för en investerare att vara medveten om vilka begränsningar modellen har och om de påverkar portföljoptimeringsresultatet.
I detta kandidatarbete genomförs därför en kvantitativ studie som kritiskt granskar ett av de mest grundläggande antaganden inom MVO; att ingen courtageavgift förekommer. Antagandet är en stark förenkling av verkligheten då courtageavgifter förekommer nästintill alltid vid handel av finansiella produkter som t.ex. värdepapper. Courtageavgiften är dessutom en essentiell parameter för realistisk portföljoptimering och kan t.ex. förändras beroende på vilken bank eller vilket depåalternativ som man handlar ifrån [1]. Studien kommer undersöka hur courtageavgiften påverkar de optimala lösningarna från MVO och därefter jämförs eventuellt uppkomna skillnader med originalmodellen. Skillnaderna illustreras av en jämförelse mellan olika bankers effektiva fronter som beräknats med utgångspunkt i bankernas courtageavgifter. Notera att eftersom courtageavgiften har en betydande påverkan på en investerare, främst om courtageavgiften är hög relativt investeringsbudgeten och om investerarens tidshorisont är kort, kommer enbart investerare med låg budget och kort tidshorisont att undersökas matematiskt [7].
Huvudproblemet som kandidatarbetet kommer att försöka besvara är därmed:
Hur de beräknade effektiva fronterna från MVO påverkas av inkluderade courtageavgifter.
5.1 Problemformulering Industriell ekonomi
Dessutom skall detta kandidatarbete diskutera huruvida inkluderingen av courtageavgifter kan påverka den praktiska användaren rent ekonomiskt. Med utgångspunkt från resultaten från matematikdelen kommer därför följande frågor att diskuteras utifrån ett industriellt ekonomiskt perspektiv:
Hur påverkas en rationell aktiv förvaltare av courtageavgifter med utgångspunkt från MVO?
- Hur kan en aktiv rationell aktieförvaltare dra nytta av marknadens struktur av courtageavgiften för att förbättra sin egen verksamhet?
Hur kan bankerna dra nytta av en eventuell effekt av courtageavgifterna på den rationella investeraren?
5.2 Syfte
Studiens primära syfte är att redogöra för eventuella brister med MVO och därmed kunna utreda och skapa större förståelse för modellen så att en investerare, oavsett om denne är en småsparare eller en ekonomichef, kan justera sina förväntningar på optimeringsmodellen.
6 Avgränsningar
Utöver courtageavgifter förekommer i praktiken ytterligare kostnader som t.ex. skatt och depå- avgifter. Men en analys av samtliga kostnader med utgångspunkt från MVO blir för tidskrävande och komplext. Denna studie tar därför endast hänsyn till courtageavgiften.
Hur courtageavgifter är strukturerade och hur dem bakomliggande reglerna är utformade är komplext och beror på en mängd faktorer. Faktorerna involverar allt ifrån vilken arbetsförfattning investeraren har, till vilken bank investeraren handlar ifrån. En analys av alla courtagestrukturer och bakomliggande regler för olika aktiva förvaltare blir därför för komplext. Denna studie utgår därför från dem enklaste depåalternativen från respektive bank. Dessa depåalternativ och därmed tillhörande courtageavgifter antas sedan vara lika för samtliga investerare oavsett t.ex.
investeringsbudget eller arbetsförfattning. Bankernas hantering av courtageavgifter antas vara likartat för samtliga investerare oberoende av depåalternativ.
7 Variabler och definitioner
Nedan kommer en kort beskrivning av dem viktigaste variablerna och deras definition i kandidatarbetet. För mer detaljerade definitioner hänvisas läsaren till kandidatarbetet. Definierade variabelnamn kommer att behållas intakta genom hela kandidatarbetet om inget annat nämns.
̅
̂ ̌ ̂
För att läsaren skall erhålla en större förståelse för arbetet presenteras i tabell 1 använda begrepp och dess definition.
Tabell 1 – Terminologi. Tabellen redogör för använda begrepp och dess definition.
Begrepp Definition
Portfölj Definieras i detta fall som en portfölj beståendes av aktier, dvs. ett innehav av värdepapper.
Ombalansering Ombalansering innebär att en investerare med tillgång till en portfölj väljer att köpa nya värdepapper eller sälja innehavande värdepapper.
Transaktionskostnader Transaktionskostnader är samtliga kostnader som tillkommer vid transaktioner av värdepapper [8].
Courtage Courtage är den avgift som banker och
fondkommissionärer tar ut vid handel av värdepapper som till exempel aktier [9].
Minimicourtage Minimicourtage är den lägsta handelsavgiften man betalar vid handel med värdepapper [9].
Rörligt courtage Vid en angiven summa övergår minimicourtaget till ett rörligt courtage som utgörs av en procentsats av det investerade kapitalet [9].
Balanserat courtage Ett balanserat courtage inträffar när minimicourtaget och det rörliga courtaget båda är låga eller höga samtidigt.
Effektiv portfölj En effektiv portfölj är en portfölj som har maximal förväntad avkastning för en given nivå av risk [1].
Effektiva fronten Den effektiva fronten består av alla effektiva portföljer som kan uppnås med en specifik uppsättning värdepapper [1].
Depåalternativ Det går att välja olika kontoalternativ när man handlar via banker. Dessa kontoalternativ benämns som depåalternativ [10].
Ekvationer kommer att benämnas med en referens enligt . Detta för att undvika missuppfattning med källhänvisningarna.
8 Referensram
I detta kapitel beskrivs Harry Markowitz portföljoptimeringsteori som tillhandahåller en metod för att analysera en portfölj baserat på förväntad avkastning i förhållande till standardavvikelsen för avkastningen av tillgångarna i portföljen. Notera att under Markowitz portföljoptimering är standardavvikelsen en mätenhet för risken som associeras med portföljen.
För ökad förståelse av modellen och resonemang är det viktigt att förstå grundläggande bakom- liggande antaganden. Harry Markowitz portföljteori är baserad på ett flertal antagande varav de viktigaste presenteras nedan [11]:
Alla investerare strävar efter att maximera vinsten och minimera riskerna
Alla investerare agerar rationellt och är riskobenägna
Alla investerare får samma information vid samma tidpunkt
Investerare betalar inte skatt eller transaktionskostnader
Dessa antaganden ligger till grund för portföljoptimeringen som presenteras nedan.
8.1 Förväntad avkastning för en portfölj
För att beräkna den optimala portföljen enligt MVO introduceras nedan ett flertal nödvändiga variabler. Uppsättningen av en portfölj kan beskrivas med varje tillhörande akties vikt i portföljen, som definieras som andelen av den totala portföljen i procent [1].
Givet att portföljvikterna är beräknade kan man kalkylera den förväntade avkastningen för portföljen. En portföljs avkastning är det vägda medelvärdet av avkastningarna för varje individuell tillgång. Varje individuell tillgång påverkar således avkastningen för portföljen olika mycket beroende på dess vikt.
Antag att vi har en portfölj med n aktier där aktie nummer :s avkastning är och portföljens totala avkastning representeras av variabeln . Den totala avkastningen beräknas då enligt [1].
∑
Notera att avkastningen i framtiden, vilket är av intresse, inte finns tillgängligt då det är omöjligt att förutse en akties exakta avkastning i framtiden. Markowitz använder istället förväntad avkastning på portföljen [3] vilket man kan beräkna med ekvation . Notera att avkastningarna är slumpmässiga variabler som i modellen antas vara normalfördelade. Av förenklingsskäl förutsätts det att antagandet om normalitet är korrekt och aktiens förväntade avkastning kan då beräknas med historisk data (se avsnitt Dataanalys). Enligt grundläggande sannolikhetsteori är det förväntade värdet av en summa, summan av de förväntade värdena [12]. Notera att vikterna är konstanter och de kan därför tas utanför det förväntade värdet. Följande formel kan därmed härledas [13] [1]:
( ) (∑
) ∑
∑
För att förenkla fortsatta beräkningar skrivs om till vektorform, enligt följande:
( ) ∑
8.2 Risk
Risken definieras i MVO som volatiliteten eller standardavvikelsen av portföljen [3]. Standard- avvikelsen för portföljen kan härledas genom egenskaperna för varians och kovarians samt grund- läggande sannolikhetsteori enligt [1]:
( ) ( ) ∑ ∑ ( ) ∑ ( ∑ )
∑ ∑ ( )
Funktionen indikerar att risken av portföljen endast beror på förhållandet och kovariansen mellan aktierna. Notera att kovariansen av en slumpmässig variabel med sig själv blir variansen för variabeln. Omskrivning av till vektor- och matrisform ger följande uttryck:
( )
[
]
( ) ∑ ∑ ( )
Då standardavvikelsen är roten ur variansen kan portföljrisken skrivas enligt : ( ) √ ( ) √
Funktionen används inte i MVO, eftersom problemet då blir svårare på grund av icke-linjäritet.
Istället används funktionen i optimeringsproblemet för att bedöma risken av portföljen. Den beräknade variansen för portföljen konverteras sedan till volatilitet enligt .
8.3 Harry Markowitz portföljoptimeringsproblem - Originalmodellen
Med angivna variabler och definitioner kan nu optimeringsproblemet ställas upp enligt följande [3]:
{
∑
För att förenkla beräkningarna tillåts inte blankning vilket illustreras av att är större än noll. Vill man införa blankning kan det enkelt justeras genom att låta vara en fri variabel. Variabeln beskriver den förväntade avkastning som investeraren vill uppnå. Notera att målfunktionen är kvadratisk, vilket implicerar att kovariansmatrisen måste vara positivt semi-definit för att optimeringen skall kunna genomföras. Kovariansmatrisens struktur diskuteras i kapitlet Dataanalys.
Tillsvidare förutsätts kovariansmatrisen vara positivt semi-definit.
8.4 Effektiva fronten
Genom att justera erhålls olika effektiva portföljer för en given nivå av förväntad avkastning. En effektiv portfölj är en portfölj som har maximal förväntad avkastning för en given nivå av risk.
Justeringen av kan dock medföra beräkningsproblem, eftersom att om man väljer ett som inte är möjligt att uppnå med använda aktier erhåller man ett problem som inte kan lösas och kommer därför genera ett felaktigt resultat.
För att beräkna olika effektiva portföljer för olika nivåer av risk och förväntad avkastning skrivs därför optimeringsproblemet om till följande problem [3]:
{
∑
Där är en konstant som beskriver vilken relation mellan risk och förväntad avkastning som investeraren är beredd att ta. Genom att justera kan man beräkna olika effektiva portföljer för en given nivå av risk. Till exempel om är ytterst liten kommer optimeringen ge den portfölj som har lägst risk oavsett avkastning, och om är ett stort tal kommer optimering generera den portfölj som maximerar den förväntade avkastningen.
Genom justering av erhålls effektiva portföljer med olika nivåer av risk och förväntad avkastning. En effektiv front kan därför erhållas genom att låta gå från ett tal nära noll, till ett sådant tal att . Den effektiva fronten består av ett set av optimala portföljer således är varje punkt på fronten en effektiv portfölj [1]. Figur 1 illustrerar den effektiva fronten.
Figur 1 – Effektiv front. Bilden illustrerar den effektiva fronten som beräknas när skiftas från ett tal nära noll till ett stort tal.
Alla portföljer som ligger på den effektiva fronten är optimala i den mån att för en given nivå av risk kan en högre förväntad avkastning inte uppnås. Alla portföljer under den effektiva fronten är således ineffektiva då de ger en lägre förväntad avkastning än en effektiv portfölj med samma risk. En rationell investerare ska därmed endast välja portföljer som ligger på den effektiva fronten.
9 Implementering
I detta kapitel beskrivs och introduceras först nödvändiga variabler och begrepp som används vid portföljoptimeringen med inkluderade courtageavgifter. Sedan presenteras en optimeringsmodell som tar hänsyn till courtageavgifter. Slutligen presenteras en verifieringsmetod för dem optimala lösningarna för courtageavgiftsmodellen.
9.1 Courtageavgiften
Courtage är den avgift som banker och fondkommissionärer tar ut vid handel av värdepapper [9].
Courtaget är inte standardiserat, vilket innebär att bankernas utbud av courtage-avgifter och tillhörande regler kan variera. Det finns således olika sätt att hantera courtage, både matematiskt men också regelmässigt. Denna studie utgår ifrån att en courtageavgift matematiskt består av tre olika delar:
1. Courtageavgiften för en enskild aktie är noll när den inte handlas
2. Vid en transaktion betalas en courtageavgift enligt; ̂ . Detta är det rörliga courtaget. Notera att är det belopp i kronor som investeras i aktie
3. Om courtageavgiften ̂ , skall man istället betala , givet att en transaktion sker.
Detta kallas för minimicourtage
Med ovanstående struktur på courtageavgiften kan ekvationen för den beskrivas enligt :
̂ {
Figur 2 visar funktionen i grafisk form. Notera att den svarta linjen som representerar courtageavgiftens struktur när handel sker med aktie , kan beskrivas med en max funktion enligt:
Figur 2 – Courtageavgiftens struktur. En illustration av courtageavgiftens struktur.
Rent regelmässigt görs följande antaganden:
1. Varje transaktion av en aktie kommer leda till betalning av courtage.
2. Courtageavgiften betalas direkt.
På grund av att courtageavgifterna tar upp en del av budgeten införs beteckningen , som står för den andel av budgeten som måste användas till att betala courtageavgiften för aktie . I samband med denna nya beteckning fås, istället för villkor , ett nytt villkor .
∑ ( )
̂
Detta kan illustreras med ett enkelt exempel. Låt oss säga att man har 100 kronor att investera i två aktier, till exempel ABB och Volvo. Courtaget är 10 kronor styck. Detta innebär att vid köp av dessa två aktier kommer courtaget att kosta 10+10 = 20 kronor vilket innebär att investeraren har 100-20 = 80 kronor kvar att köpa aktier för. I detta fall kommer t.ex. som beräknas enligt att bli 0.1:
9.2 Modellansats
För att kunna utforma ett portföljoptimeringsproblem måste ytterligare antaganden angående investeringsprocessen och dess egenskaper tas.
1. Investeraren har en budget som definieras av variabeln 2. Investeraren köper för hela budgeten
3. Courtageavgiften är en engångskostnad som sker vid köp av aktier 4. Investeringsperioden är över en fix period på sex månader
5. Courtageavgiften är den enda transaktionskostnaden som förekommer. Ytterligare kostnader kan förekomma som till exempel skatt, men dessa tas inte med i denna studie
På grund av förenklingsskäl betraktas courtageavgiften som en engångskostnad som endast påverkar optimeringen genom att reducera den totala investeringsbudgeten. Denna ansats är även inspirerad av ”The Morton-Pliska Approach” som bygger på ett liknande antagande där transaktionskostnader reducerar investeringsbudgeten [14].
9.3 Portföljoptimering - Courtagemodellen
En stor del av originalformuleringen av MVO vid används för portföljoptimeringen med courtageavgifter, dock måste vissa justeringar göras med utgångspunkt från courtageeffekterna.
Dessa justeringar summeras nedan.
9.3.1 Volatiliteten av en portfölj med courtageavgifter
På grund av att courtageavgiften tar upp en del av budgeten kommer summan av vikterna av varje aktie inte vara lika med ett (se . Detta leder till att man får en felberäknad volatilitet, eftersom
vikterna justeras så att deras summa blir ett. Detta görs genom att dela varje vikt med summan av vikterna. På detta sätt kommer varje vikt att bli större, proportionellt till storleken som den redan är.
För att förtydliga, om vi har 100 kr att investera i två aktier och courtageavgiften är 10 kr för båda aktierna, och vi väljer att investera 40 kr i aktie 1 och 40 kr i aktie 2, då får vi följande icke-justerade vikter:
Eftersom vi endast har två aktier med lika stor vikt, ska portföljen bestå av femtio procent av vardera aktie. Men från beräkningarna i exemplet framkommer det att portföljen består av fyrtio procent av respektive aktie samtidigt som summan av investeringarna i portföljen uppgår till åttio procent.
Detta beror på att courtageavgiften har beräknats som en del av portföljen, vilket inte följer den grundläggande teorin av MVO. Således måste portföljvikterna justeras så att deras summa blir ett.
För att korrektera vikterna delas varje vikt med summan av vikterna, i detta fall 0.8. Detta ger dem korrekta vikterna på femtio procent:
Med hjälp av dessa justerade vikter beräknar man sedan volatiliteten med MVO. Notera att vi inte behöver ta hänsyn till att portföljens värde är mindre än budgeten som vi började med när vi endast är intresserade av volatiliteten av portföljen. Detta på grund av att volatiliteten beräknas med hjälp av vikterna i portföljen, och inte med mängden investerat kapital. Med andra ord är volatiliteten ett procentuellt värde, inget absolut värde.
Justeringen innebär att volatiliteten av portföljen beskrivs enligt följande uttryck:
| |
∑ ∑
∑
Notera att om courtageavgiften är noll kommer summan av vikterna att bli ett enligt tidigare nämnd teori ( , vilket gör att i detta fall avspeglar risken för originalmodellen av MVO ( ).
(∑ ) | | (∑
)
9.3.2 Justering av MVO-modellen för courtage
Från och kan en omskrivning av göras enligt . (Se figur 2)
̂ {
} {
( ) En omskrivning av originalmodellen till följd av effekterna från courtaget får, med hjälp av dem tidigare härledningarna och , ett utseende enligt .
{
∑
∑
{
( )
Problemet som är uppställt enligt kan inte lösas i MatLab på grund av den logiska funktionen i villkoret . Villkor måste därför skrivas om. En metod som löser detta problem är införandet av en binär variabel som definieras som . Denna binära variabel antar värdet 1 om ingen handel med aktie sker, och värdet 0 om handel med aktie sker, se . Med hjälp av denna variabel kan villkor skrivas om till .
{
( )
Det nya villkoret kan nu enkelt skrivas om till två separata villkor eftersom målfunktionen vill minimera . Målfunktionen minimerar eftersom risken beror på förhållandet mellan aktierna medan den förväntade avkastningen beror på mängden investerat kapital. Då målfunktionen är uppbyggd enligt kommer den maximera den förväntade avkastningen och därmed även summan av vikter, vilket innebär att måste minimeras. De nya villkoren beskrivs enligt och . Notera att den binära variabeln inte finns med i på grund av att den inte är nödvändig för att beskriva , då villkoret automatiskt blir noll när är noll. Vilka värden kan anta när enligt villkoren och illustreras i figur 3. Notera att eftersom minimeras kommer den alltid bli cirka eller .
Figur 3 - Tallinje. Figuren illustrerar f.61.1 och f.61.2 inverkan på . Den vänstra tallinjen beskriver vilka värden får anta när . Den högra tallinjen beskriver vilka värden får anta när .
Med dessa omskrivningar fås ett nytt optimeringsproblem enligt .
{
∑ ∑
Optimeringsproblemet går inte att lösa direkt i MatLab eftersom det inte går att genomföra beräkningar med binära variabler i icke-linjära problem (se kapitel 10 Dataanalys). Det måste därför genomföras en omskrivning av den binära variabeln. För att skriva om den binära variabeln definieras tre uttryck enligt som låser in den till önskat värde. För att låsa in -variabeln behövs två tillstånd, ena då , och andra då . För det första fallet används som låser in till 1, när är noll. När , tvingas vara noll på grund av . Tredje olikheten, , används endast för att begränsa den binära variabeln så att inga oförutsägbara värden kommer med.
Med hjälp av alla ovanstående omskrivningar får problemet ett utseende enligt . En sista enkel omskrivning för att göra problemet MatLab-kompatibelt kan ses i , som sedan körs med hjälp av MatLab.
{
∑ ∑
{
(∑ ) ∑
Detta är ett icke-konvext och icke-linjärt problem vilket medför beräkningsproblem, då beräkningarna troligtvis kommer att fastna i ett flertal lokala optimum som inte är globala optimum.
Det genomförs därför tre metoder för att lokalisera och verifiera att lösningarna är optimala eller approximativt optimala. Den första metoden genererar bra startvärden medan de två sista metoderna låser in dem optimala lösningarna i ett intervall.
9.4 Startvärden
För att erhålla bra startvärden för optimeringen, dvs. vikterna , som hjälper optimeringsprogrammet att beräkna det globala optimumet för ett givet värde av , beräknas först de optimala vikterna för originalmodellen . Dessa vikter benämns som ̂ ̂ ̂ ̂ och används sedan som startvärden för courtagemodellen . Vikterna ̂ ̂ ̂ ̂ bör vara bra startvärden, då lösningen med inkluderat courtage bör ligga nära lösningen till originalmodellen.
Detta på grund av att den findamentala skillnaden mellan optimeringsproblemen och är att budgeten reduceras. Således bör vikterna totalt reduceras i samma storleksordning, samtidigt som deras relation mellan varandra förblir intakt. Beräkningen av startvärdena genomförs för samtliga från tills en effektiv front kan illustreras. Algoritmen för beräkningarna av startvärdena kan beskrivas med följande fem punkter:
1. Välj ett som används vid beräkningen av en effektiv portfölj
2. Beräkna med angivet och spara de optimala vikterna ̂ ̂ ̂ ̂
3. Använd de optimala vikterna ̂ ̂ ̂ ̂ som startvärden vid beräkningen av 4. Spara de nya optimala vikterna ̌ ̌ ̌ ̌
5. Välj ett nytt , förslagsvis och starta om vid punkt 2 9.5 Verifiering av lösning
För att verifiera att den effektiva fronten från courtagemodellen är inom godtagbara värden härleds två olika förenklade konvexa optimeringsproblem som kommer ge högre respektive lägre volatiliten för en given nivå av förväntad avkastning. Därmed skapas ett intervall som kan användas till att avgöra om lösningarna från är optimala eller approximativt optimala.
I nedanstående avsnitt förklaras två optimeringsproblem, där den första presenterade metoden kommer beräkna en effektiv front som är ovanför den effektiva fronten för . Medan den andra
9.5.1 Metod 1 – En övre effektiv front
Den första metoden kan användas för att approximera det icke-konvexa och allmänt komplexa optimeringsproblemet som introducerades vid . Metoden går ut på att man approximerar courtageavgiften genom en linjärisering. Det förutsätts då att courtage inte är en max funktion utan istället en linjärfunktion med start i noll, det vill säga courtaget är proportionellt mot vikten på aktien. Courtagefunktionen kan då skrivas enligt . Linjäriseringen illustreras i figur 4.
Figur 4 – Linjärisering av courtageavgift. Den röd streckiga linjen representerar och därmed en linjärisering av courtageavgiften.
Linjäriseringen innebär att det tidigare komplexa bivillkoret kan skrivas om enligt följande:
∑
{
( ) } ∑
∑
∑ ∑
Formuleringen i kan sedan skrivas om med hjälp av och av ovanstående courtage- ekvation till optimeringsproblemet .
{
∑
∑ ∑
∑
Notera att i huvudfunktionen har i enlighet med omskrivningen av skrivits om som ett bivillkor som formuleras enligt .
Den effektiva fronten beräknas i detta fall genom att justera istället för . Som tidigare nämnts kan justeringen av resultera i felaktiga resultat om ett väljs sådant att den angivna förväntade avkastningen inte kan uppnås med dem aktier som används i beräkningarna. Problemet åtgärdas
genom att beräkna den maximala förväntade avkastningen med originalmodellen, och denna förväntade avkastning används sedan som en övre gräns.
Det nya optimeringsproblemet kan skrivas om till ett konvext kvadratiskt optimeringsproblem genom att använda tekniken för att ersätta nämnaren med kvadraten på det inverterade värdet av en variabel. Detta är en enkel utvidgning av tekniken som Charnes och Cooper [15] [16] härlett för fraktionerade program där huvudfunktionen är ett förhållande mellan linjära funktioner samtidigt som bivillkoren är linjära. Metoden utgår från att man definierar en variabel som vid multiplikation med ger den nya variabeln ̅. Det går sedan att skriva om den icke-linjära riskfunktionen till en kvadratisk funktion. Man multiplicerar sedan varje bivillkor från föregående optimerings- problem, , med . Därigenom erhålls ett kvadratiskt optimeringsproblem. Variabler och omskrivningar ses nedan:
∑
̅ ̅ ̅ ̅ ̅
∑ ̅ ̅
Notera att om villkoret för ska gälla måste följande ekvation uppfyllas:
∑ ∑
∑ ̅
Billvillkoret som beskriver courtageavgiften skrivs sedan om enligt följande procedur:
∑ ∑
∑ ∑
∑
∑
Multiplikation av båda sidor med ger:
∑
∑ ̅
Resterande bivillkor i multipliceras med enligt ovanstående procedur och följande bivillkor erhålls:
∑
∑ ̅
̅
Med ovanstående omskrivningar erhålls ett nytt simpelt kvadratiskt optimeringsproblem, , som är ekvivalent med .
{
̅ ̅
∑ ̅
∑ ̅
∑ ̅
̅
̅
För att få ursprungslösningarna till optimeras och lösningarna skalas sedan om enligt:
̅
Där ̅ är de erhållna optimala lösningarna från [16]. Dessa lösningar kan sedan användas för att beräkna den övre effektiva fronten. Notera återigen att denna metod kan användas som en approximativ lösning på ursprungsproblemet .
Metod 1 leder till en övre effektiv front då courtageavgiften alltid kommer att vara mindre än eller lika med courtageavgiften i , vilket illustreras i figur 5. På grund av att courtageavgiften alltid kommer att vara mindre än eller lika med courtageavgiften i , kommer investeraren att kunna allokera mer eller lika mycket kapital i aktier, vilket leder till ökad förväntad avkastning men inte förhöjd risk. Risken ökar inte på grund av att den beror på förhållandet och kovariansen mellan aktierna, inte mängden investerat kapital. Således kommer den effektiva fronten för alltid vara ovanför eller på den effektiva fronten för .
Figur 5 - Differens. I figuren illustreras skillnaden mellan den linjäriserade och den riktiga courtageavgiften. Den blå streckade linjen från den svarta till den vita punkten, illustrerar en skillnad som kan uppstå i courtageavgifterna mellan
original- och courtagemodellen.
9.5.2 Metod 2 – En undre effektiv front
För att skapa en undre effektiv front används en likartad teknik som för metod 1. Skillnaden är att courtagevillkoret i ersätts med det approximativt maximala courtaget som kan erhållas.
Sedan multipliceras samtliga bivillkor med och därefter kan samma härledning som för metod 1 genomföras.
Den maximala totala courtageavgiften som kan erhållas med aktier uttryck i procent kan beskrivas med följande ekvation:
Detta innebär att en aktie har en portföljvikt nära ett som påtvingar ett maximalt rörligt courtage medan resterande aktier är tillräckligt små för att påtvinga ett minimicourtage. Därav erhåller man maximalt rörligt courtage samtidigt som resterande portföljvikter påtvingar den maximala summan av minimicourtage som går att uppnå med aktier. Minimicourtaget är multiplicerat med ty det är antalet aktier som påtvingar ett minimicourtage. Den totalt maximala courtageavgiften kan formuleras med följande ekvation:
(∑
{
( ) )
Definitionen av den totalt maximala courtageavgiften resulterar i att bivillkoret som beskriver courtagets påverkan på modellen med det maximala courtaget kan ersättas genom nedanstående härledning:
∑ ∑
| | ∑ ( )
Multiplikation med av samtliga bivillkor och härledning enligt metod 1 ger optimeringsproblemet :
{
̅ ̅
∑ ̅ ( )
∑ ̅
∑ ̅
̅
̅
Genom justering av kan en undre effektiv front beräknas. Optimeringsproblemet skapar en undre effektiv front eftersom courtageavgiften i alltid är större än courtageavgiften i . Enligt samma argument som för metod 1 är därför den effektiva fronten för alltid under den effektiva fronten för . Således skapas ett lösningsintervall mellan metod 1 och 2, där dem optimala lösningarna från ska befinna sig. Figur 6 illustrerar inlåsningskonceptet.
Figur 6 - Inlåsningskoncept. En illustration av intervallet som skapar en inlåsning för de optimala lösningarna från f.20
10 Metod – Industriell ekonomi
I detta kapitel beskrivs hur problemformuleringen med utgångspunkt från industriell ekonomi besvarades. Tillvägagångssättet klargörs och det ges en beskrivning av vilket relevant material som användes. Problemformuleringen besvaras i kapitlet ”Diskussion och koppling till industriell ekonomi”.
För att besvara problemformuleringen genomfördes en kvantitativ studie vars utgångspunkt var att utreda courtageavgiftens effekter på portföljoptimeringsmodellen MVO. Studien genomfördes förenklat i sex steg som presenteras nedan i kronologisk ordning.
1. Litteraturstudie för ämnen inom matematik.
- MVO-teori
2. Datainsamling och dataanalys för portföljoptimeringsberäkningarna 3. Beräkning av samtliga portföljoptimeringsproblem
- Originalmodellen, MVO - MVO med courtageavgifter
4. Resultat och slutsats av portföljoptimeringarna 5. Litterturstudie för ämnen inom industriell ekonomi
6. Resultat och slutsats med utgångspunkt från ämnen inom industriell ekonomi
Den matematiska litteraturstudiens primära syfte var att erhålla en teoretisk grund för arbetet så att en korrekt portföljoptimering med utgångspunkt från MVO kunde genomföras. Det sekundära syftet var att erhålla kunskap kring MVO och dess bakomliggande antaganden för att utforma ett portföljoptimeringsproblem med hänsyn till courtageavgifter.
Portföljoptimeringsberäkningarna gav ett underlag för en diskussion kring problemformuleringen.
För information hur portföljoptimeringsberäkningarna genomfördes rekommenderas kapitlen
”Referensram” och ”Implementering”. För vidare information om hur data för portföljoptimerings- beräkningarna hämtades, hur den valdes och vad datan består av rekommenderas kapitlet
”Dataanalys”. Resultaten från beräkningarna kompletterades sedan med en litteraturstudie för ämnen inom industriell ekonomi. Litteraturstudie beskrivs i nästkommande avsnitt.
Notera att det beskrivna genomförandet endast behandlar den ekonomiska delen av kandidat- arbetet. För vidare information om hur den matematiska problemformuleringen besvarades hänvisas läsaren till de tidigare kapitlen ”Referensram” och ”Implementering”.
10.1 Litteraturstudie för ämnen inom industriell ekonomi
För att besvara problemformuleringen med utgångspunkt från industriell ekonomi analyserades och diskuterades resultatet från portföljoptimeringen. Diskussion och argument utvecklades och förstärktes sedan med hjälp av en litteraturstudie. Notera att det bakomliggande syftet med litteraturstudien är att erhålla en stark kunskapsbas kring hur bland annat bankmarknaden är strukturerad för att kunna utforma kvalificerade slutsatser utifrån portföljoptimeringsresultaten.
Litteraturstudien skall även redogöra om det existerar andra forskningsarbeten som överensstämmer med eventuellt framkomna slutsatser i diskussionen, för att förstärka dess trovärdighet.
Det kan diskuteras om nyhetsvärdet är obefintligt om problemformuleringen redan besvarats i tidigare arbeten. Det ska dock noteras att det inte fanns något i litteraturstudien som antydde att en liknande problemansats gjorts. Med restriktion mot att litterastudien kan missat likartade arbeten med samma problemansats, kan det därför förslås att denna studie är unik. Nyhetsvärdet är således fortfarande relevant. Litteraturstudien ska därför ses som ett komplement till portföljoptimerings-
Intresseområden som är i fokus är nationalekonomi, marknadsföring och investeringslogik.
Kunskaper som belyser andra närliggande aspekter av intresseområdena är konkurrensstrategi.
Kunskaper inom nationalekonomi, marknadsföring och konkurrensstrategi är viktiga för att besvara hur bankerna kan dra nytta av en eventuell effekt av courtageavgifterna på den rationella förvaltaren. Syftet är att utreda vilken marknadsstruktur som präglar den svenska bankmarknaden.
En analys av marknadsstrukturen för det svenska banksystemet kan klargöra vilka faktorer som är av betydelse för denna marknad. Dessa faktorer kan sedan användas för att utforma kvalificerade slutsatser angående hur bankerna ska dra nytta av en eventuell effekt av courtageavgifter på den rationella förvaltaren.
Kunskap kring investeringslogik är betydelsefullt för att avgöra vilka faktorer som är viktiga för en investerare och därmed kunna besvara hur en aktiv aktieförvaltare kan dra nytta av marknadens struktur av courtageavgiften för att förbättra sin egen verksamhet.
För att stärka relevansen av analysen utgick litteraturstudien från två specifika urvalskriterier. Endast ett av dessa urvalskriterier behövde uppfyllas för att litteraturen skulle användas. De två urvalskriterierna kan sammanfattas i nedanstående punkter:
1. Författarna ska vara akademiskt erfarna personer inom antingen ekonomi eller matematik.
2. Litteraturen ska antingen vara publicerat av akademiska journaler och tidskrifter eller verksamma institutioner och myndigheter. Litteraturen kan även fungera som kurslitteratur i kurser inom ekonomi och matematik på KTH.
För att få en bred kunskapsbas delades litteratursökningen upp i två sökningsmoment:
1. En studie där slutsatser och resultat var baserade på kvantitativ forskning, och förklarade specifika, nischartade problem inom intresseområdena.
2. En faktabaserad studie där författarna konstaterade fakta snarare än att bevisa den. Denna studie genomfördes främst för att erhålla baskunskaper som är allmänt accepterade av forskare inom forskningsområdena som nationalekonomi och marknadsföring. Böcker av Krugman&Wells, Kotler och Porter valdes ut i denna litteratursökning.
Det hämtades inte några empiriska beräkningar eller sifferbaserad data vid litteratursökningen.
Litteraturstudien resulterade endast i att textbaserad fakta, slutsatser och resultat användes.
Diskussionen med utgångspunkt från industriell ekonomi är således, som tidigare nämnts, baserad på resultatet från beräkningsdelen i denna studie och på information från litteraturstudien.
Genom att kombinera grundläggande fakta som bygger upp diskussionen och stärker trovärdigheten i argumentet, med specifik matematiskt härledd fakta erhölls en stark kunskapsbas som gav ett bredare perspektiv på den angivna problemformuleringen.
Litteratursökningen genomfördes på engelska och svenska. I tabell 2 redogörs vilka sökord som användes för respektive intresseområde och sökningsmoment. Allmän sökning innebär att sökorden kombinerades på olika sätt för att erhålla fakta som inte nödvändigtvis var baserad på intresse- områdena. Notera att i samtliga sökningar kombinerades sökorden på olika sätt. Kunskapskolumnen beskriver den mest centrala fakta som erhölls från litteraturstudien från respektive sökningsmoment.
Tabell 2 – Sökord. Sökord som användes under litteratursökningen
Sökningsmoment Sökord - svenska Sökord - engelska Kunskap Kvantitativ forskning
Allmän sökning Marknadsstruktur, Bank, Oligopol, Monopolistisk konkurrens,
Transaktionskostnader, Effekt, Investerare
Market structure, bank, Oligopolies, Monopolistic competition, Transaction costs, Effect, Investors
Hur det svenska banksystemet fungerar, Vilka faktorer som influerar en investerares beteende.
Faktabaserad
Nationalekonomi Nationalekonomi, Rationell, Marknadsstruktur, Krugman, Konkurrenskraft,
Konkurrensstrategi, Marknadsstruktur, Bank, Oligopol, Monopolistisk konkurrens
Economics, Rational, Market structure, Krugman, Competitiveness, Competitive Strategy, Market structure, bank, Oligopolies, Monopolistic competition
Hur fungerar en marknad med monopolistisk konkurrens eller oligopol, vilka faktorer är avgörande för konkurrens i en marknad som präglas av monopolistisk konkurrens respektive oligopol.
Marknadsföring Kotler, Porter, Marknadsföring, Konkurrenskraft,
Konkurrensstrategi, Marknadsstruktur, Bank, Oligopol, Monopolistisk konkurrens
Kotler, Porter, Marketing, Competitiveness, Competitive Strategy, Market structure, bank, Oligopolies, Monopolistic competition
Hur fungerar en marknad med monopolistisk konkurrens eller oligopol, vilka faktorer är avgörande för konkurrens i en marknad som präglas av monopolistisk konkurrens respektive oligopol, med utgångspunkt från marknadsföring.
Allmän sökning Kombination av ovanstående Kombination av ovanstående Kombination av ovanstående
Ett flertal artiklar hämtades via KTHB Primo från databaser som JSTOR, Stern och ScienceDirect.
Dessa artiklar har publicerats i akademiska journaler som Journal of Banking and Finance, Journal of Financial Economics och Journal of Finance. Resterande artiklar hämtades från stora tidsskrifter, företag, banker eller institutioner som Financial Times, MSCI, SEC, ECB och Konkurrensverket.
Utifrån ovanstående kriterier och sökningsmetoder valdes totalt 10 artiklar och tre böcker ut. Se referenslistan för en mer detaljerad beskrivning av använd litteratur.
Det fördes även en diskussion med branschinsatta personer, som gav författarna inspiration och ideer för vidare formulering och analys av de angivna problemen. Diskussionen var inte av intervjukaraktär, utan snarare ett samtal där åsikter delades mellan deltagarna. Bland annat fördes en diskussion med en aktieförvaltare som arbetar med datoriserad aktiehandel, personen förblir anonym på begäran.
11 Dataanalys
I detta kapitel klargörs det vilken data som används i kandidatarbetet, vart data kommer ifrån samt varför en viss specifik data användes.
11.1 Aktier och budget
I kandidatarbetet granskas tio aktier från den svenska börsen. Anledningen till att tio aktier användes i beräkningarna var främst på grund av förenklingsskäl. Samtliga aktier fanns på Large cap när detta kandidatarbete publicerades. Aktierna valdes genom en slumpgenerator för att förenkla urvals- processen. Två krav var dock att finansiell information från finance.yahoo.com skulle finnas för den slumpade aktien samt att bolagen i stor mån var verksamma inom olika branscher för att göra studien mer intressant. De tio aktier som valdes ut kan ses i tabell 3.
Tabell 3 - Utvalda aktier. Urvalet av aktier för beräkningen av optimeringsproblemen
Aktie Bransch
AstraZeneca Hälsovård
ABB Ltd Industrivaror & tjänster
Boliden Material
Ericsson B Informationsteknik
Nordea Finans & Fastighet
SEB A Finans & Fastighet
Volvo B Industrivaror & tjänster
AXFOOD Dagligvaror
Electrolux B Sällanköpsvaror- och tjänster NCC B Industrivaror & tjänster
Budgeten som används i beräkningarna valdes till 100 000 kronor. Detta eftersom medelportföljen för privatpersoner i Sverige, år 2013 var värd 360 000 kronor och medianportföljen uppgick till 25 000 kronor. Denna studie har som syfte att granska små investerare som har en liten budget. Det var därför rimligt och relevant att välja en mindre portfölj ungefär mittemellan på 100 000 kronor [17].
11.2 Banker och Courtage
De fyra bankerna vars courtageavgift granskas i detta arbete är Swedbank, Skandia, NordnetDirekt och Avanza, se tabell 4. Observera att NordnetDirekt ingår i Nordnet-koncernen och är en bifirma till Nordnet Bank AB. Det finns ingen bakomliggande anledning till valet av dessa banker. Det enda kriteriet var att bankerna skulle erbjuda olika courtageavgifter så att en jämförelse mellan olika effektiva fronter kunde genomföras. Notera att courtageavgiften varierar baserat på depåalternativen. De kommande resultaten representerar därför inte en enskild bank utan istället ett depåalternativ från respektive bank. Samtlig data angående depåalternativ och courtageavgifter hämtades från respektive banks hemsida 2014-04-01 [18] [19] [20] [10] [21].
Tabell 4 – Courtageavgifter. Courtageavgiften för respektive bank
Bank Minimicourtage Rörligt courtage
Avanza 39 kr 0,15 %
NordnetDirekt 7 kr 0,15 %
Skandia 8 kr 0,25 %
Swedbank 99 kr 0,09 %
11.3 Tidsram
Courtageavgiften har större påverkan om investeraren har en kort investeringsperiod. Detta eftersom courtageavgiften kan ses som en fast engångskostnad om investeraren planerar att hålla investeringen under en längre period. Courtageavgiften kommer därför i detta fall inte vara en avgörande faktor för valet av investering. En kort tidshorisont betraktas därför och den valda tidsramen är ett halvår. Samtliga data har korrigerats för att erhålla angiven tidsram. Notera att antalet handelsdagar på aktiemarknaden under ett år är 250 dagar [22].
11.4 Förväntad avkastning med historisk data
Det finns flera olika sätt att beräkna förväntad avkastning för en enskild aktie [23]. I denna studie beräknas den förväntade avkastningen av förenklingsskäl med historisk data [1]. För att beräkna avkastningen för en specifik tidsperiod används det justerade aktiepriset vid starten och slutet av den utvalda perioden. Avkastningen för den utvalda perioden kan då beräknas med formel [1].
̅
Där är slutet av perioden och är starten av perioden. Variabeln är det justerade aktiepriset vid tidpunkt . Det justerade aktiepriset tar hänsyn till effekter som t.ex. utdelningar, fondemissioner och aktiesplits, vilket innebär att samtliga relevanta justeringar redan genomförts och det är därför inte nödvändigt att justera aktiepriset ytterligare. Dagliga avkastningar från 2010-01-04 till 2014-03- 21 används för beräkningar av den förväntade avkastningen, totalt 1038 observationer per aktie. Den valda tidsperioden för beräkningen av den förväntade avkastningen är därför en dag och står därför i detta fall för dag . Den förväntade avkastningen beräknas sedan enligt upplagt material från Columbia Business School med formel [24] [25]. Den beräknade förväntade avkastningen med hjälp av historisk data för respektive aktie kan ses i tabell 5.
∑ ̅
Tabell 5 - Beräknad avkastning. Beräknad förväntad avkastning med för samtliga aktier
Aktie Beräknad avkastning
AstraZeneca 4,19 %
ABB Ltd 3,70 %
Boliden 4,00 %
Ericsson B 6,21 %
Nordea 5,02 %
SEB A 12,14 %
Volvo B 9,47 %
AXFOOD 9,34 %
Electrolux B 2,01 %
NCC B 12,27 %
11.5 Estimering av kovariansmatrisen
Kovariansmatrisen , som finns i målfunktionen i optimeringsproblemen, spelar en central roll för en
