Föreläsning 21. Inledande matematik för Z/TD.
Praktiska
extremvärdesproblem.
Introduktion.
Den föreläsning handlar om att lösa praktiska extremvärdesproblem. Huvudsvårigheten är att översätta ett praktiskt problem formulerad som en text till ett formellt matem-atiskt problem om extremvärden av en funktion.
Detta innebär att man behöver införa lämpliga variabler och beteckningar i fall de inte …nns angivna i uppgiften.
Sedan måste relationer mellan inblandade variabler formuleras i form av en ekva-tion. Det bästa är om man kan explicit uttrycka den variablens som måste optimeras, i termer av andra prametrar i problemet.
Sedan måste man kunna lösa det matematiska problemet och formulera om re-sultatet i praktiska termer som text.
För att kunna göra detta, behöver vi uttrycka sökta variablen som funktion av ett argument.
Använd tekniker för extremvärden som vi lärde i kursen. Identi…era de…nitions-mängden av sökta variableln, kritiska, singulära och endpunkter för att bestämma extremvärden (maximala eller minimala) för variabeln av intresse.
Vi kommer att betrakta ett visst antal exempel med den typ av problem. Exempel 2. sid. 262 i Adams.
En fyr be…nner sig på ett litet ö 5 kilometer noprrut från en punkt A på raka kusten som går från vest till öst.
En kabel måste läggas mellan fyren och en punkt C på kusten, så att kabeln går först under vatten rakt till en punkten B på kusten som ligger 10km från A längs kusten, och sedan mellan punkten B och punkten C längs kusten. Delen av kablen som kommer att läggas under vatten är dyrare och kostar 5000$=km och delen av kableln som kommer att läggas längs kusten är billigare och kostar 3000$=km.
1) Vi behöver välja punkten C så att kostnaden blir minimal.
2) Var skulle C väljas om avståndet från punkten A till punkten B är 3km?
a) Låt oss beteckna med x avståndet mellan C och A. Detta gör att 0 x 10. Längden av kabeln under vatten är lika med avståndet mellan pukten C och fyren: LC =p25 + x2 enligt Pythagorsatsen.
CB = 10 x är längden av kabeln längs kusten. Detta ger totala kostnaden som
T = T (x) = 5000 LC + 3000CB = = 5000 p25 + x2+ 3000 (10 x)
Funktionen C är kontinuerlig på slutna intervallet och måste anta sitt minimala värde där. Det kan vara i endpunkterna eller i möjliga kritiska punkter eller singulära punkter.
Vi beräknar derivatan T0(x) för att undersöka om sådana punkter …nns. d
dxT (x) =
5000 x p
25 + x2 3000
Kritiska punkter måste satis…era ekvationen d dxT (x) = 5000 x p 25 + x2 3000 = 0 5000x = 3000p25 + x2 5x = 3p25 + x2 25x2 = 9 25 + x2 16x2 = 225 x2 = 225 16 = 152 42 x = 15 4 2 (0; 10) T (0) = 5000 p25 + 0 + 3000 (10 0) = 25000 + 30000 = 55000 T (15=4) = 5000 r 25 + 15 2 42 + 3000 10 15 4 = 5000 r 252 42 + 3000 25 4 = 8000 25 4 = 50000 T (10) = 5000 p25 + 100 5000 11:18 = 55902 Absolut minimal kostnad blir 50000$ för x = 154 .
b) om Om punkten B be…nner sig 3 kilometer från A, så är frågeställning ölikadan med den skillnad att
T (x) = 5000 p25 + x2+ 3000 (3 x)
De…nitionsmängden för funktionen är natyrligt att välja som [0; 3]. Beräkningar är likadana: d dxT (x) = 5000 x p 25 + x2 3000
Derivatan och kritiska punkten är samma som innan: x = 15=4, men den ligger utanför de…nitionsmängden.
Detta gär att minimum antas på en av endpunkterna x = 0 eller x = 3. T (0) = 5000 p25 + 0 + 3000 (3 0) = 25000 + 9000 = 34000
T (3) = 5000 p25 + 9 29155:
Detta medför att mest ekonomiska i det fallet blir varianten med x = 3:
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 5.5e+4 5e+4 4.5e+4 4e+4 3.5e+4 3e+4 x y x y Exempel 4.
Bestäm mest ekonomiska formen av en cylindrisk burk som minimerar mängden av material för dess produktion.
Två frågeställningar är möjliga:
(i) man kan önska ha en burk av en viss volum, och minimerar arean (mängden av material) eller
(ii) man kan …xera ytans area (mängden av material) och försöka maximera volumen.
Lösning.
Vi betraktar första frågeställningen (i)
Vi tar parametrar som på bilden: bottens radie r och höjden h. Volumen av cylindern är lika med
V = r2h:
Arean är summan av areor av två botten cirkelskivor och arean av cylindriska väggen:
S = 2 r2 + 2 rh (Ett viktigt steg!!!)
Vi kommer att betrakta radien r som oberoende variablen, som de…nierar formen av cylindern vid …xerade volumen V eller …xerade arean S.
Höjden h kan lösas ut från villkoret för givna volumen V :
h = V
r2
Detta ger oss ett uttryck för arean S som funktion av bara r : S = S(r) = 2 r V r2 + 2 r 2 = 2V r + 2 r 2 , 0 < r < 1
S = S(r) är deriverbar och kontinuerlig funktion på (0; 1). limr!1S(r) = 1, och limr!0+S(r) =1.
Detta medför att S måste ha ett absolut minimum på (0; 1). Det måste antas i en kritisk punkt, eftersom singulära punkter saknas: derivatan …nns överallt i de…nitionsmängden:
S0(r) = 2V
r2 + 4 r
Vi får fram en kritisk punkt med att lösa ekvationen 2V r2 + 4 r = 0 4 r3 = 2V r3 = 2V 4 r = 3 r V 2 r = h=2är en kritisk punkt. S00(r) = 4V r3 + 4 > 0; r > 0
Andra derivatans test medför att S har ett minimum i den punkten och det är ett absolut minimum.
Det är lämpligt att hitta motsarande relation mellan höjden h och radien r i det fallet. r3 = 2 4 r 2 h r = 1 2h
Det är möjligt att lösa båda frågeställningar (i) och (ii) inom en matematisk modell.
Beräkna derivator av V (r) och S(r) med tanke att h är en funktion av r: h = h(r):Använd produktregeln för derivator
dV dr = 2 rh + r 2dh dr dS dr = 2 h + 2 r dh dr + 4 r
I frågeställningen (i) söker vi kritisk punkt för S, d.v.s löser ekvationen dSdr(r) = 0 och förutsätter att V (r) är en konstant, d.v.s. att dVdr(r) = 0:
I frågeställningen (ii) söker vi kritisk punkt för V , d.v.s söker kritiska punkter och löser ekvationen dVdr(r) = 0 och förutsätter att S(r) är en konstant, d.v.s. att
dS
dr(r) = 0:
Det betyder att i båda frågeställningar samma system ekvationer för r och dhdr som måste lösas.
2 rh + r2dh dr = 0 2 h + 2 rdh dr + 2 = 0 2 rh r2 + dh dr = 0 2 h 2 r + dh dr + 2 = 0 2h r + dh dr = 0 h r + dh dr + 2 = 0 h r 2 = 0 r = h 2
