LÄRARPROGRAMMET
Att nå målen i längden
Elevers utveckling av längdbegreppet i årskurs 3 och 4
Hanna Airiman
Helena Larsson
Examensarbete 15 hp Höstterminen 2008
Handledare: Maria Bjerneby Häll Humanvetenskapliga Institutionen
HÖGSKOLA I KALMAR
Humanvetenskapliga Institutionen
Arbetets art:
Examensarbete, 15 hp
Lärarprogrammet
Titel:
Att nå målen i längden – Elevers utveckling av
längdbegreppet i årskurs 3 och 4
Författare:
Hanna Airiman, Helena Larsson
Handledare:
Maria Bjerneby Häll
SAMMA FATT I G
Syftet med denna studie är att undersöka hur väl eleverna når de nationella målen för årskurs 3 i matematik rörande längd och mätning. Ett ytterligare syfte är att undersöka hur stor förståelse eleverna i årskurs 3 och 4 har av längdbegreppet.
45 elever ur årskurs 3 och 4 deltog i undersökningen som består av enkäter och intervjuer.
Två olika modeller har använts för analys av elevernas svar. Den ena är Lowerys modell som innefattar tre faser. Denna modell är inriktad mot vad eleverna kan inom mätning. Den andre är Battistas modell som är uppdelad i tre nivåer och fokuserar på elevers
förståelse av längdbegreppet.
Resultatet av undersökningen visar att eleverna i årskurs 4 når de uppnåendemål för årskurs 3 som rör jämförelse, uppskattning och mätning av längder. Eleverna i årskurs 3 klarar också av jämförelse och mätning men har svårare för uppskattning av längder. Av resultatet framgår även att både eleverna i årskurs 3 och 4 har en del kvar för att uppnå full förståelse för längdbegreppet.
I EHÅLL
1 I TRODUKTIO ... 4
2 BAKGRU D ... 5
2.1 Mätning och längdenheter ... 5
2.2 ationella mål att uppnå i årskurs 3 ... 6
2.3 Modeller för analys av barns längduppfattning ... 7
2.4 Sammanfattning ... 10
3 SYFTE OCH FRÅGESTÄLL I G ... 11
4 METOD ... 12
4.1 Metoder för insamling av data ... 12
4.2 Urvalsgrupp ... 12
4.3 Enkäten ... 12
4.3.1 Enkätfrågorna ... 12
4.3.2 Introduktion ... 13
4.3.3 Genomförande och bearbetning av data ... 13
4.4 Intervjuerna ... 13 4.4.1 Intervjufrågorna ... 14 4.4.2 Genomförande ... 14 4.4.3 Bearbetning av intervjudata ... 15 4.5 Forskningsetiska principer ... 15 5 RESULTAT ... 16 5.1 Enkät ... 16 5.1.1 Fråga 1 ... 16 5.1.2 Fråga 2 ... 17 5.1.3 Fråga 3 ... 18 5.1.4 Fråga 4 ... 19
5.1.5 Sambandet mellan svaren på fråga 3 och 4 ... 19
5.1.6 Fråga 5 ... 21
5.2 Intervju ... 21
5.2.1 Analys enligt Lowerys modell ... 21
5.2.2 Analys enligt Battistas modell ... 23
5.2.3 Måttenheter och mätning av sträckor ... 25
5.2.4 Koppling mellan enkät och intervju ... 25
6 DISKUSSIO ... 26 6.1 Metoddiskussion ... 26 6.1.1 Tankar om förändringar ... 26 6.2 Resultatdiskussion ... 27 6.2.1 Enheter ... 27 6.2.2 Förståelsen för mätning av längd ... 27
6.2.3 Uppskattning och jämförelse av längder ... 28
6.2.4 Egna reflektioner ... 28
BILAGA 1: Enkäten
BILAGA 2: Ändring av enkäten BILAGA 3: Enkätresultat i tabellform BILAGA 4: Intervjumall
1
I TRODUKTIO
Barn börjar tidigt jämföra längder på flera olika sätt, allt från vem som är längst till vem som gör det längsta halsbandet. Vi har vid ett flertal tillfällen upplevt barns uppskatt-ningar och mätuppskatt-ningar av olika längder och finner det mycket intressant att se deras resonemang kring detta. Eftersom barn börjar uppskatta och jämföra längd tidigt är det intressant att se hur mycket de har utvecklat sin förmåga när de blivit lite äldre.
Under vår verksamhetsförlagda utbildning har vi uppmärksammat att matematik-förståelsen i vissa fall hamnat i skymundan. Istället har fokus lagts på att hinna göra klart matteboken som någon slags garanti för att eleverna lär sig det som målen kräver. Detta gör att vi funderar på om eleverna verkligen förstår vad de gör eller om de bara lärt sig hur de ska göra.
Sommaren 2008 fastställdes nationella mål för årskurs 3 i bland annat matematik. I och med detta ställs nya krav på skolan, lärarna och eleverna. Större förändringar inom skolan är alltid spännande och bemöts ofta med både ris och ros. Som blivande lärare är det intressant att studera dessa förändringar och även att så småningom komma ut i skolorna och jobba under dessa nya förutsättningar. Oavsett om införandet av nationella mål i årskurs 3 anses som en positiv eller negativ förändring så är de ett faktum och därför både intressanta och viktiga att titta närmare på.
2
BAKGRU D
Bakgrunden inleds med en redogörelse av mätning och längdenheter. De nationella målen för årskurs 3 i matematik behandlas, främst gällande längd och mätning. Avslutningsvis redovisas några olika modeller för analys av barns längduppfattning.
2.1
Mätning och längdenheter
Barns vardag är fylld med situationer där de använder sig av mätning (Heidberg Solem & Lie Reikerås 2004). I första hand handlar mätning om att jämföra, till exempel vem som är längst eller vem som har mest. Detta innebär att mätning är knutet till vissa egenskaper, såsom volym, vikt och längd. Mätning är oerhört viktigt för att kunna förstå sammansättning av mönster, användning av koordinatsystem för att kunna bestämma ett läge, specifika förändringar samt att kunna bestämma storleken på ett föremål (Battista, 2007).
Det räcker inte med jämförelser för att kunna mäta, det krävs även mätredskap (Heidberg Solem & Lie Reikerås, 2004). De enklaste verktygen för mätning av längd är den graderade linjalen, måttbandet och tumstocken (Kilborn, 1992). Att det krävs viss inskolning för att lära sig använda linjal och måttband på rätt sätt understryks av bland annat Kronqvist och Malmer (1993). Framförallt är det viktigt att poängtera att det är från nollan och inte ettan som mätningen påbörjas (a.a.).
Det internationella enhetssystemet Système International (SI) består av sju grundenheter och grundenheten för längd är meter. I SI-systemet finns det även multipelenheter som är enheter som är bildade av SI-enheter, till exempel millimeter, centimeter och decimeter (Nationalencyklopedin, 2008). På mätverktygen linjal, måttband och tumstock finns det vanligtvis graderingar för meter eller centimeter som sedan delas in i mindre enheter (Kilborn, 1992). Anledningen till att det används enheter vid mätning är:
• När man väl är överrens om valet av längdenhet, kan man ange en sträckas längd med hjälp av (enbart) ett mätetal.
• Varje sträcka, hur lång den än är, kan alltid beskrivas med hjälp av ett mätetal och på en förhand given enhet.
• Man får en linjär skala, vilket betyder att en dubbelt så stort mätetal svarar mot en dubbelt så lång sträcka.
(Kilborn, 1992, s. 13)
Om en elev inte klarar av att mäta ett objekt där änden av objektet inte ligger i nivå med nollan, det vill säga; eleven måste hitta en annan startpunkt för mätandet, så har eleven inte förståelse för hur mätredskapets enheter fungerar (Battista, 2007).
I en avhandling som undersöker döva elevers begreppsuppfattning angående längd- och taluppfattning fick eleverna vid flertalet tillfällen använda, för dem tidigare känt, mätredskap såsom en 30 centimeter lång linjal, slöjdlinjal (50 cm) eller måttband, för att göra olika mätningar (Foisack, 2003). Studien omfattar sju elever i årskurs 4 och fyra av eleverna hade inga problem med att mäta. De tre övriga eleverna var däremot mer osäkra på hur linjalen skulle användas på ett korrekt sätt. Problem som uppstod var hur linjalen ska avläsas på rätt sätt och även varifrån mätningen ska påbörjas. Vissa elever påvisade
även svårigheter med att använda enheter såsom centimeter och meter på ett korrekt sätt. I den här studien upptäcktes inga skillnader mellan döva barn och tidigare forskning om hörande barn, men precis som Foisack (2003) påpekar så är studien för liten för att kunna dra några generella slutsatser.
2.2
ationella mål att uppnå i årskurs 3
I slutet av november 2006 gavs Skolverket, på begäran från Regeringen (Utbildnings- och kulturdepartementet, 2006), uppdraget att ge förslag på nationella mål att uppnå samt nationella prov i svenska och matematik i årskurs 3. Som skäl för beslutet angavs ”För att stödja elevernas utveckling mot målen och sätta en lägsta garanterad nivå för lärarnas kontinuerliga utvärdering och uppföljning vill regeringen införa regelbundna obligatoriska kontrollstationer” (Utbildnings- och kulturdepartementet, 2006, s. 2). Regeringen anser att mål och nationella prov i årskurs 3 minskar olikheterna mellan skolor och skapar en mer likvärdig bedömning. De nationella mål som avser längd och mätning är:
Inom denna ram ska eleven:
• kunna göra enkla jämförelser av olika längder … och
• kunna uppskatta och mäta längder … med vanliga måttenheter (Skolverket, 2008a, s. 8)
I en analys av Skolverkets förslag till nationella mål (Engström & Magne, 2008) dras slutsatsen att förslaget kring målen är orealistiskt om alla elever ska uppnå alla mål. Den undersökning som ligger till grund för analysen indikerar att ungefär hälften av eleverna i årskurs 3 kommer uppnå alla mål medan den andra hälften kommer klara många mål, men inte alla. Engström och Magne (2008) riktar även kritik mot att målen inte är tillräckligt förankrade i empirisk forskning.
I studien (Engström & Magne, 2008) är skolmatematiken uppdelad i olika grundläggande huvudämnen. Ett av dessa huvudämnen är geometri (även kallat G-området) som innefattar ”strukturer i fråga om form och rum (till exempel geometri, mätningar med mera)” (Engström & Magne, 2008, s. 23). Studien (a.a.) beskriver även två typer av elever: särskilt undervisningsbehov i matematik (SUM-elever) och särskilt
överkursbehov i matematik (SÖM-elever). Dessa elevgrupper motsvarar vardera 15 % av
undersökningsgruppen. Det anmärkningsvärda är att både SUM-elever och SÖM-elever hade låg lösningsfrekvens gällande G-området på de tester som ingick i studien. Ändå visar SUM-eleverna större kunskap än som var förväntat inom G-området. SÖM-elevernas kunskaper ligger däremot på en lägre nivå inom G-området än vad den gör på många andra områden. Engström och Magne (2008) anser att de relativt låga prestationerna, även hos SÖM-eleverna, inom G-området kan tyda på att detta är ett försummat område i den svenska skolans matematikundervisning. Gällande mätning, som ingår i G-området, visar studien (a.a.) att det inte är några större problem i årskurs 3 att mäta med redskap såsom linjal. Däremot påpekar Battista (2007), med hänvisning till en amerikansk studie gjord år 2000, att elevers prestationer gällande mätning är oroväckande låg. Till exempel visar studien att mindre än 25 % av fjärdeklassarna kunde avgöra längden av ett föremål som låg så att det inte började mätas vid nollan på linjalen.
Resonemanget kring svenska elevers låga prestationer inom G-området (Engström & Magne, 2008) stöds av den internationella studien Trends in International Mathematics and Science Study (TIMSS 2007) (Skolverket, 2008c). I studien deltar 59 länder från hela världen med elever ur årskurs 4 och 8. Studien undersöker elevers färdigheter i matematik och naturkunskap. Inom matematik i årskurs 4 delas elevers prestationer in i tre områden. Ett av dessa områden är Geometriska figurer och mätningar. Inom detta område presterar svenska elever i årskurs 4 sämre än elever från många andra länder, detta trots att eleverna generellt sett är ett halvår äldre än fjärdeklassare i många andra länder (Skolverket, 2008c).
2.3
Modeller för analys av barns längduppfattning
Lowery har utvecklat en modell för analys av barns konservering av längdbegreppet som har sin utgångspunkt i Piagets faser (Foisack, 2003). Faserna sträcker sig från när barnet är nyfött till vuxen ålder (Imsen 2006). Den konkret-operationella fasen infinner sig när barnet är ungefär sju år och varar till barnet är i elvaårsåldern (a.a.). I denna fas styrs inte barnet längre av sina känslor utan ser mer förnuftigt på omvärlden (a.a.). Barnet börjar även kunna tänka logiskt om saker, men det krävs konkreta föremål för att detta ska kunna ske. Det logiskt-matematiska tänkandet är inte medfött utan utvecklas först när barnet blivit lite äldre understryker Piaget (1976). Han anser även att handlandet är vad som gör att barnet börjar se att en sak påverkar en annan. För att barnet vidare ska kunna se mönster och överföra sin kunskap på något nytt behöver de gå igenom en decentrering som innebär att barnet blir mindre egocentrerat och får förmågan att se omvärlden ur andra perspektiv (a.a.). Detta är vägen in i den abstrakt-operationella fasen som infinner sig när barnet är ungefär elva år och sträcker sig upp till vuxen ålder och innebär att barnet börjar kunna tänka abstrakt och inte är lika beroende av konkreta föremål (Imsen, 2006).
Foisack (2003) använder Lowerys modell i sin doktorsavhandling. Lowerys modell innehåller tre stadier som barn går igenom för att lära sig konservera längdbegreppet. Dessa stadier är vägen till förståelse för längd och ser ut på följande sätt:
1 Förstadiet:
1.1 Längd som objekts egenskap. Objektet har samma längd även om man vrider eller flyttar det.
1.2 Längd som avstånd mellan punkter. Avståndet från A till B är det samma som från B till A.
2 Övergångsstadiet:
2.1 Standardisering. En mätenhet måste vara överrenskommen. Enheten är konstant.
2.2 Iterering. En standardiserad enhet kan upprepas om och om igen för att bestämma längden av ett objekt eller ett avstånd.
3 Efterstadiet:
3.1 Standardisering och iterering blir användbara. Eleven mäter med förståelse. 3.2 Transitivitet förstås logiskt och utan material. T. ex om a är kortare än b och b
är kortare än c, så är a kortare än c. (Foisack, 2003, s. 154)
I likhet med uppnåendemålen i kursplanen för matematik (Skolverket, 2008a) så är Lowerys stadier (Foisack, 2003) inriktade på vad eleven kan. Det är först i efterstadiet som det krävs att eleverna förstår vad de gör. I kursplanen efterfrågas förståelsen först i strävansmålen där eleven:
• utvecklar sin förmåga att förstå, föra och använda logiska resonemang (Skolverket, 2008a, s. 6)
Många elever som misslyckas med uppgifter som innebär konservering och transitivitet av längd lär sig fortfarande mätstrategier och är därför inne i det ”tänket” och glömmer att dra nytta av sina förkunskaper kring konservering och transitivitet (Battista, 2007). Battista citerar Hiebert:
Conservation and transitivity are logical prerequisites for completing many measurement tasks, children do not seem to use this knowledge when they solve the tasks … They use an intermediate measurement to compare two lengths and do not think to ask transitivity question; they move a unit to measure the length of an object and do not worry about whether the length is being conserved. Simple skills or techniques apparently allow children to bypass the logical structure of many measurement tasks (Hiebert, 1981, s. 208. I: Battista, 2003, s. 893).
De elever som faktiskt utnyttjar sina förkunskaper och drar nytta av dessa vid lösning av uppgifter har större möjlighet att utveckla en djupare förståelse för mätningskonceptet. Däremot får de elever som, till exempel, inte konserverar längd en förståelse för mätning som inte är lika djupgående (Battista, 2007).
I en annan modell är elevernas förståelse för längd och mätning i fokus (Battista, 2003). Innan elever utvecklar metoder för mätning använder de sig av andra strategier (a.a.). Dessa strategier kallar Battista (2003) för on-Measurement (NM) reasoning där fokus ligger på att jämföra, uppskatta och föra logiska resonemang kring längder. NM reasoning fortsätter även att utvecklas efter att eleverna börjar utveckla Measurement (M) reasoning där fokus ligger på standardisering av SI-enheter och mätning med redskap. NM reasoning är nödvändigt för att förstå och kunna utveckla M reasoning. Rubrikerna på nivåerna är samma som Battista (a.a.) använder i sin artikel.
• M Level 1. Informal Holistic or Movement-Based Comparison.
Elever använder informella strategier som ofta är osäkra och diffusa. De ser på helheten och missar oftast detaljerna. Exempelvis så kan elever jämföra två sträckor enbart genom att titta på deras start- och slutpunkt och inte på deras faktiska längd.
• M Level 2. Componential Comparison.
Här har eleverna frångått att bara titta på helheten och jämför istället del för del. • M Level 3. Property-Based Comparison.
Eleverna kan nu vrida och vända på figurer och linjer för att hitta bästa sättet att jämföra dem på.
Nedan följer exempel på elevers lösningar som Battista (2003) har kategoriserat in under olika NM nivåer. Här har en elev, vars svar Battista (a.a.) klassar som M level 1, ritat vägen för en myra. Eleven säger att den översta vägen är jobbigast för myran för att det
är svårt att svänga om man bär på något. Eleven påpekar däremot inte att den övre sträckan faktiskt är längre.
(Battista, 2003 s 2 – 74)
För att ett svar ska klassas att tillhöra M level 2 så ska elevens svar visa att detaljerna är i fokus och kunna dra slutsatser från dem. I ett exempel på en lösning som Battista (2003) har kategoriserat som NM level 2 har en elev, som pilarna indikerar, jämfört varje del av linjerna för sig:
(Battista, 2003 s. 2 – 75)
Nedan redovisas en elevs resonemang som Battista (2003) har sorterats in i M level 3:
In determining the perimeter for Shape D, AK said, "Side X plus side Y equals 8 because these sides are across from the top which is 8. Side Z is 4 because it and the side of length 3 are across from the side of length 7."
(Battista, 2003 s. 2 – 75)
Battistas studie (2003) innefattar även nivåer kring Measurement (M) reasoning. En översättning av nivårubrikerna står först och originalet inom parentes:
• M Level 0. Förstadie till mätning (Pseudo-Measurement):
Eleverna räknar för att få fram ett svar men de får det inte att stämma. Till exempel så kan de räkna upp nummer, utan konstant avstånd eller relevans, medan de drar sitt finger längs en linje.
• M Level 1. Symbolisk upprepning av längdenheter (Enactive/Figurative Unit Length Iteration):
Eleverna upprepar en viss längdenhet med det kan bli med överlappning, luckor eller att längdenheten inte har samma konstanta längd.
• M Level 2. Mätning genom upprepning av längdenheter: längdenheten är inte fullständigt bibehållen under upprepningen (Measurement by Iterating Unit LENGTHS: Unit Length NOT Properly Maintained or Located During Iteration):
Nu kan eleverna räkna varje längdenhet, men enheterna är fortfarande inte helt kordinerade med varandra eller alternativt med objektet som ska mätas.
• M Level 3. Mätning genom upprepning av längdenheter: längdenheten är fullständigt bibehållen (Measurement by Interating Unit LENGTHS: Unit Length Properly Maintained):
Längdenheterna är nu på plats, det finns inga glapp eller överlappningar.
• M Level 4. Abstrakt mätning: resonerar kring längd utan upprepning av längdenheter; använder linjal på ett meningsfullt sätt (Abstract/Applied Measurement: Reasoning about Length without Iterating Units; Using Rulers Meningfully):
Eleverna behöver nu inte räkna varje längdenhet utan kan till exempel se att om den övre linjen i en rektangel är 5 cm så är den undre det också.
2.4
Sammanfattning
Vardagen är fylld av situationer där barn använder sig av mätning. I första hand handlar mätning om enkla jämförelser, men det krävs även mätredskap (Heidberg Solem & Lie Reikerås, 2004). För att lära sig använda mätredskap på ett korrekt sätt krävs en viss inskolning (Kronqvist & Malmer, 1993).
Skolverket har fastställt nationella mål för årskurs 3 i bland annat matematik. Engström och Magne (2008) anser att de nationella målen är orealistiska om alla elever ska uppnå alla mål. Just gällande mätning verkar det inte vara några större problem för eleverna att uppnå målen (a.a.).
För att undersöka hur väl eleverna når de nationella målen finns det flera modeller för att analysera barns längduppfattning. Lowery (Foisack, 2003) har utarbetat en modell, som utgår från Piagets faser, med tre stadier som eleverna genomgår för att konservera begreppet längd. Battista (2003) har utarbetat en modell med nivåer som barn genomgår när de utvecklar sin förståelse av längdbegreppet.
3
SYFTE OCH FRÅGESTÄLL I G
Syftet med denna undersökning är att ta reda på hur väl eleverna når upp till de nationella mål som gäller mätning och uppskattning av längder. De uppnåendemål som gäller mätning och uppskattning av längder för elever i årskurs 3 är att:
• kunna göra enkla jämförelser av olika längder … och
• kunna uppskatta och mäta längder … med vanliga måttenheter (Skolverket, 2008a, s. 8)
Ytterligare ett syfte med undersökningen är att undersöka hur stor förståelse eleverna har av längdbegreppet. Ett strävansmål är att eleven:
• utvecklar sin förmåga att förstå, föra och använda logiska resonemang (Skolverket, 2008a, s. 6)
Undersökningens syfte konkretiseras genom följande frågeställningar: • Hur väl når eleverna ovan nämnda mål?
• Med vilken förståelse mäter elever längder?
• Hur väl kan eleverna uppskatta och jämföra längder och höjder?
• Kan eleverna uppskatta hur långa de vanligaste längdenheterna är (millimeter, centimeter, decimeter och meter)?
För att kunna besvara dessa frågeställningar kommer ett test att användas. För en djupare förståelse för elevernas tankar och uppfattningar används även intervjuer.
4
METOD
I detta kapitel beskrivs de metoder som använts för insamlig av data, urvalsgrupp, genomförande, bearbetning av data samt de forskningsetiska principerna.
4.1
Metoder för insamling av data
För att kunna besvara våra frågeställningar har vi använt ett test (hädanefter benämnt som enkät) och intervjuer. Enkäten består dels av frågor som ska hjälpa oss se om eleverna når de nationella målen (Skolverket, 2008a) men de ska också vara en grund för urvalet till intervjuerna. Undersökningen har främst kvalitativa aspekter eftersom syftet är att, precis som Patel och Davidsson (2003) beskriver, få en djupare förståelse för ett fenomen eller en företeelse. Kvantitativ forskning ska vara möjlig att analysera på ett sådant sätt att säker statistik kring frågor som ”hur”, ”var”, eller ”vilka är skillnaderna” kan fastställas (a.a.). Detta är vi delvis inne på med hjälp av enkäterna men fokus ligger inte på vad som är rätt och fel utan mer på hur eleverna tänker när de besvarar frågan.
4.2
Urvalsgrupp
Eleverna i undersökningen kommer från två olika skolor. Skolorna ligger i olika kommuner i södra Sverige. Både elever ur årskurs 3 och årskurs 4 har deltagit från båda skolorna. Sammanlagt deltog 45 elever, 30 elever ur årskurs 3 och 15 elever ur årskurs 4.
4.3
Enkäten
Enligt våra egna erfarenheter väcker ordet prov eller test ett visst obehag och för att undvika att oroa eleverna kallades testet för enkät. Enkäten består av fem frågor och alla frågor har följdfrågan ”Hur kom du fram till ditt svar?” (se Bilaga 1). Efter en inledande analys av svaren på enkäten från årskurs 3, skola 1 upptäcktes att alla hade rätt på första uppgiften, vilket innebär att den inte var tillräckligt särskiljande. Pennspetsarna var i längdordning, det vill säga att den längsta pennans spets var längst åt höger och den kortaste längst åt vänster. För att se om eleverna verkligen kunde ordna pennorna i ordning så ändrades detta i de enkäter som genomfördes i de övriga klasserna (se Bilaga 2). Förändringen av frågan visade inga stora skillnader i elevsvaren. Därför har vi inte skiljt den gruppen som svarade på första versionen från de övriga grupperna i resultatet.
4.3.1
Enkätfrågorna
Valet av frågor till enkäten (se Bilaga 1) baserades dels på att vi ville få ett urval till mer ingående intervjuer, dels efter de nationella målen:
• Inom denna ram ska eleven kunna göra enkla jämförelser av olika längder • Inom denna ram ska eleven kunna uppskatta … längder … med vanliga
måttenheter.
(Skolverket, 2008a, s. 8)
Nedan redovisas var frågorna har hämtats från eller inspirerats av:
• Fråga 1: Denna fråga är inspirerad av Foisacks avhandling (2003). Syftet är att se om eleverna kan storleksordna. Ett ytterligare syfte är att inleda enkäten med
en fråga som inte är så svår, en snällfråga, så att eleverna inte på en gång tycker att det känns jobbigt och svårt.
• Fråga 2: Denna fråga är inspirerad av uppgiften ”Hur högt är huset?” (Nämnaren tema Uppslagsboken, 2002 s 24-25) som går ut på att uppskatta höjden av ett hus. Vi har istället för hus valt att eleverna ska uppskatta höjden av en dörr för att enklare kunna avgöra hur nära uppskattning eleverna har gjort. Syftet med denna fråga är att se om eleverna kan uppskatta en höjd.
• Fråga 3, 4 och 5: Dessa frågor är inspirerade av Skolverkets ”Informations-material om nationellt prov i årskurs 3” (2008b) där en fråga handlar om att eleverna ska uppskatta längden av och jämföra nycklar. Fråga 3 och 4 hör ihop och syftet är att se om eleverna har förmåga att göra en rimlig uppskattning gällande kortare längder. Ytterligare ett syfte är att se om eleverna använder sig av sin uppskattning på fråga 3 och gör en linje på fråga 4 som är proportionerlig till linjen ovanför. Syftet med fråga 5 är att se om eleverna kan jämföra längderna på löv som ligger vridna åt olika håll.
4.3.2
Introduktion
När vi introducerade enkäten för eleverna betonades att intresset låg på hur de tänkte för att lösa uppgifterna och inte på om svaren var rätt eller fel. För att visa för eleverna hur vi ville att de skulle besvara enkäten genomfördes en demonstrationsfråga i helklass. Frågan var ”Hur lång är Helena?”. Svaren varierade från ”en meter” till ”en och sjuttiofem”. Efter att eleverna gissat berättade vi att rätt svar är ”en och sjuttio” och skrev sedan 1 m 70 cm på tavlan. Eleverna fick här hjälpa till att fylla i rätt enheter. På enkäterna nämns vid flera tillfällen ordet enhet och för att försäkra oss om att eleverna visste vad enhet var så togs även detta upp under introduktionen. Efter detta frågade vi eleverna hur de tänkte när de kom fram till sitt svar. Vissa elever jämförde med sin egen längd medan andra jämförde med personer de visste var ungefär lika långa. Vi förklarade att det var sådana tankar som vi ville att de skulle skriva ner på enkätens följdfrågor.
4.3.3
Genomförande och bearbetning av data
När eleverna fick ut enkäten uppmanades de att skriva namnet på baksidan. Detta gjordes för att vi skulle kunna kopiera svaren utan att riskera anonymiteten. Introduktionen tog lite drygt fem minuter och enkäterna tog lite olika lång tid för eleverna, cirka 5-15 minuter. Det gick snabbare i årskurs 4 än i årskurs 3. Under tiden som de svarade på enkäten hjälpte vi de som räckte upp handen. Det som verkade vara svårt var att skriva hur de tänkt. För att hjälpa de elever som var i behov av det frågade vi hur de tänkte när de löste uppgiften. När eleven fick berätta om sina tankar och även fick lite uppmuntran från oss så var det också lättare för dem att sedan skriva ner tankarna. Vi undvek att ge eleverna sådana svar eller förslag som skulle kunna påverka resultatet. Vid analys av elevernas svar uppdagades olika kategorier som elevernas lösningar placerades in i (se Bilaga 3).
4.4
Intervjuerna
För att få så stor spridning som möjligt vid intervjuerna valdes elever med svar ur olika kategorier ut. Till exempel har både elever som använt sig av abstrakt tänkande och
konkreta jämförelser valts ut. Detta har vi gjort för att se om de klarar frågorna i intervjuerna olika framgångsrikt. Eleverna har också blivit valda på grund av om de gjort linjer som är rimliga i förhållande till varandra i fråga 3 och 4. När valet har stått mellan två elever som haft snarlika svar har vi valt den elev som svarat mest utförligt på frågorna om hur de tänkt. Detta har vi gjort för att vi bedömt att det är dessa elever som vi kan få längre muntliga svar av också. Sammanlagt valdes 14 elever ut till intervju, åtta elever ur årskurs 3 och sex elever ur årskurs 4.
4.4.1
Intervjufrågorna
Alla intervjufrågorna (se Bilaga 4) utgår från syftet och frågeställningarna.
• Uppgift 1, 2 och 3: De tre första frågorna är hämtade ur Battistas studie (2003). Syftet med dessa frågor är att se vilken förståelse eleverna har av mätning av längder samt för att kunna kategorisera elevernas svar efter Battistas (a.a.) Non-Measurement nivåer.
• Enhetsuppskattning: Nästa del i intervjun innebär att eleven ska uppskatta enheterna millimeter, centimeter, decimeter och meter. Syftet med detta är att se om eleverna uppfyller det nationella målet ”Inom denna ram ska eleven kunna uppskatta … längder … med vanliga längdenheter” (Skolverket, 2008a, s. 8). • Linje I och II: Den tredje delen i intervjun innefattar att eleverna ska mäta olika
linjer med linjal. Detta för att se om eleverna når upp till det nationella målet ”Inom denna ram ska eleven kunna … mäta längder … med vanliga längdenheter” (Skolverket, 2008a, s. 8).
• Linje III: Den tredje linjen skulle eleverna mäta med en linjal som var avbruten mellan nollan och ettan. Även denna fråga är för att se om eleverna når upp till det nationella målet ”Inom denna ram ska eleven kunna … mäta längder … med vanliga längdenheter” (Skolverket, 2008a, s. 8). Denna uppgift är även inspirerad av Battistas (2003) studie där uppgifter med avbruten linjal förekommer.
• Enkätåterkoppling: Sista delen i intervjun innebar att eleverna fick titta på en icke ifylld enkät och återberätta hur de tänkte när de löste uppgifterna. Syftet med detta var att se om eleverna muntligt kunde utveckla sina svar eller om de ändrade sitt svar.
4.4.2
Genomförande
Lugna rum är viktigt när barn ska intervjuas för att de inte ska tappa fokus (Doverborg & Pramling Samuelsson, 2007). Vid intervjuerna fick vi tillgång till rum som stod tomma och där det inte kom in mycket ljud. För att få med allt barnen säger är det bättre att spela in samtalen istället för att anteckna (Doverborg & Pramling Samuelsson, 2007). Vi var två när vi intervjuade och turades om att leda intervjuerna. Intervjuerna spelades in och den person som inte ledde intervjun antecknade gester och om eleven pekade istället för att svara verbalt på någon fråga. Intervjuerna gick ut på att ta reda på elevernas kunskaper kring området mätning och mycket om hur de tänker när de löser olika uppgifter. Därför har barnen intervjuats en och en, något som Doverborg och Pramling Samuelsson (2007) förespråkar, då barnen kan påverkas av varandra när de intervjuas i grupp. När vi intervjuade använde vi oss av många ”hur?” frågor. Denna typ av frågor inbjuder till långa svar och kan ge mycket information (Doverborg & Pramling Samuelsson, 2007). Att använda olika typer av material underlättar intervjun (a.a.).
Under intervjun fanns bilder att prata kring och eleverna fick använda pennor och vid vissa tillfällen linjaler.
4.4.3
Bearbetning av intervjudata
Efter genomförda intervjuer transkriberades alla intervjuer samt kompletterades med de stödanteckningar som förts. Därefter analyserades intervjuerna och svaren på de frågor som är hämtade från Battistas modell (2003) kategoriserades in under hans nivåer. För att kunna bedöma vilket stadium i Lowerys modell (Foisack, 2003) elevernas svar kan kategoriseras in i så har frågorna 1 och 5 ur enkäten, elevernas svar när de skulle visa enheterna samt frågorna som involverade linjal analyserats. Frågorna kring enheter samt mätning med linjal har analyserats i förhållande till de mål vi valt ut för elever att uppnå i årskurs 3 (Skolverket, 2008a).
4.5
Forskningsetiska principer
Vetenskapsrådet (2002) har fastställt forskningsetiska principer som innefattar fyra huvudkrav. Dessa huvudkrav är:
• Informationskravet: ”Forskaren skall informera de av forskningen berörda om den aktuella forskningens syfte.” (a.a. s. 7).
• Samtyckeskravet: ”Deltagare i en undersökning har rätt att själva bestämma över sin medverkan.” (a.a. s. 9).
• Konfidentialitetskravet: ”Uppgifter om alla i en undersökning ingående personer skall ges största möjliga konfidentalitet och personuppgifterna skall förvaras på ett sådant sätt att obehöriga inte kan ta del av dem.” (a.a. s. 12).
• Nyttjandekravet: ”Uppgifter insamlade om enskilda personer får endast användas för forskningsändamål” (a.a. s. 14).
Dessa huvudkrav är något som vi hela tiden tagit i beaktande och efterföljt. Eleverna som ingått i underökningen har fått godkännande från sina föräldrar (se Bilaga 5) och vi har påpekat att det är frivilligt för dem att delta. Originaldata har förvarats på säkert ställe och istället har kopior tagits där alla personuppgifter tagits bort för att kunna analysera data utan att riskera att röja personuppgifter.
5
RESULTAT
Resultatet inleds med en analys av enkätfrågorna. Vid analysen av intervjuerna har elevernas svar kategoriserats enligt Lowerys (Foisack, 2003) och Battistas (2003) modeller. Vidare redovisas elevernas kunskap om längdenheter samt mätning med vanlig linjal och avbruten linjal. Avslutningsvis förs ett resonemang kring sambandet mellan enkätsvaren och genomgången av enkäten på intervjuerna.
5.1
Enkät
Enkäten består av fem frågor där varje fråga har en följdfråga som lyder: ”Hur kom du fram till ditt svar?”. Sammanlagt besvarades enkäten av 45 elever, 30 elever i årskurs 3 och 15 elever i årskurs 4. Resultatet redovisas en fråga i taget och dessutom redovisas sambandet mellan svaren på fråga 3 och 4 (se tabeller i Bilaga 3).
5.1.1
Fråga 1
Efter en första analys upptäcktes att ingen elev svarat fel på frågan. Vi började därför fundera på om frågan var för lätt. Därför ändrades uppgiften till de övriga grupperna så att det inte räckte att bara titta på pennspetsarnas placering för att komma fram till rätt svar.
Svaren på följdfrågan är indelade i tre kategorier:
A. Konkret jämförelse: Knappt hälften av elever i årskurs 3 mätte med ett konkret föremål såsom penna eller fingrar. I årskurs 4 var det ungefär en tredjedel som använde sig av samma strategi.
B. Abstrakt tänkande: Hälften av eleverna i årskurs 3 och ungefär två tredjedelar av eleverna i årskurs 4 gav svar såsom ”bara såg det” eller ”tittade och tänkte”. C. Ej svarat/svårtolkat: Ett fåtal elever i årskurs 3 har inte besvarat frågan eller
svarat på ett sådant sätt att det har varit svårt att tolka.
5.1.2
Fråga 2
Dörren är lite drygt 2 meter hög. I både årskurs 3 och 4 svarade tre fjärdedelar av eleverna 20 centimeter ifrån eller närmare. De övriga av elevernas svar i årskurs 3 och 4 var 21 centimeter eller mer från dörrens höjd.
Svaren på följdfrågan är indelade i fyra kategorier.
A. Jämfört med en person: Ungefär en fjärdedel av eleverna i årskurs 3 använde sig av denna strategi. I årskurs 4 svarade en tredjedel på samma sätt.
B. Jämfört med SI-enheter: En knapp fjärdedel av eleverna i årskurs 3 jämförde med meter eller centimeter. Endast en elev i årskurs 4 använde samma strategi. C. Mätt dörren förut: En elev i årskurs 3 och en elev i årskurs 4 har uppgett att
han/hon har mätt dörren förut.
D. Ej svarat/svårtolkat: Hälften av eleverna i årskurs 3 och årskurs 4 har inte besvarat frågan eller så har deras svar varit svåra att tolka.
5.1.3
Fråga 3
Linjen är 6,3 centimeter lång och två tredjedelar av eleverna i årskurs 3 har svarat mellan 4 och 10 centimeter. Näst intill alla elever i årskurs 4 har svarat inom samma intervall. En knapp tredjedel av eleverna i årskurs 3 har svarat utanför detta intervall. Svaren på följdfrågan är indelade i tre kategorier:
A. Jämfört med fingrarna: Drygt en tredjedel av eleverna i årskurs 3 och ett fåtal av eleverna i årskurs 4 har jämfört med fingrarna.
B. Jämfört med SI-enheter: Ett fåtal av eleverna i årskurs 3 har räknat linjen med hjälp av att uppskatta millimeter, centimeter eller decimeter. En tredjedel av eleverna i årskurs 4 har använt sig av samma strategi.
C. Ej svarat/svårtolkat: Knappt hälften av eleverna i årskurs 3 och årskurs 4 har inte besvarat frågan eller så har deras svar varit svåra att tolka.
Här har en elev ur kategori A jämfört längden på linjen med sitt eget finger och kommit fram till ett svar med hjälp av det.
5.1.4
Fråga 4
Hälften av eleverna i årskurs 3 och drygt hälften av eleverna i årskurs 4 har ritat ett streck som var 11-18 centimeter långt. I årskurs 3 var det en fjärdedel av eleverna som ritade inom intervallet 7-10 centimeter och inom samma intervall i årskurs 4 var det ungefär en tredjedel. Ett fåtal av eleverna i årskurs 3 ritade en linje inom intervallet 3–6 centimeter och i årskurs 4 var det en elev i samma kategori.
Svaren på följdfrågan är indelade i fem kategorier:
A. Mätte med fingrarna/handen: Knappt en fjärdedel av eleverna i årskurs 3 angav att de på något sätt mätte med sina fingrar eller handen. Vanligast var att de visste något som var 5 centimeter och sen tog det tre gånger. Ett fåtal av eleverna i årskurs 4 använde sig av samma strategi.
B. Jämförde med linjen ovanför: Ett fåtal av eleverna i årskurs 3 och drygt en fjärdedel av eleverna i årskurs 4 uppgav att de tittat på linjen ovanför och jämfört.
C. Uppskattade 1 decimeter, lade till 5 centimeter: Ett fåtal av eleverna i årskurs 4 uppgav att de visste hur lång en decimeter var och att de sedan la till 5 centimeter till.
D. Tänker 15 steg: Ett fåtal av eleverna i årskurs 3 skrev att de ritade 15 små steg. E. Ej svarat/svårtolkat: Hälften av eleverna i årskurs 3 och en tredjedel av eleverna i
årskurs 4 har inte besvarat frågan eller så har deras svar varit svåra att tolka. Här är ett svar ur kategori D.
Eleven har gjort en båge för varje centimeter som sedan suddats ut. Det syns ändå att eleven tänkt i femton steg, trots att eleven själv inte skrivit ner sina tankar.
5.1.5
Sambandet mellan svaren på fråga 3 och 4
Hälften av eleverna i årskurs 3 och knappt tre fjärdedelar av eleverna i årskurs 4 har ritat sin linje på fråga 4 rimlig i förhållande till deras gissning på fråga 3. Om de till exempel sagt att första linjen är fem centimeter så borde linjen de själva ritar vara tre gånger så lång. Detta gäller även elever som har gissat på längder som ligger långt från rätt svar,
det som analyserats är om sambandet mellan linjerna stämmer. Till exempel har en elev gissat att linjen i fråga tre är 15 centimeter lång och sedan på fråga 4 ritat en lika lång linje. Sambandet mellan dem är glasklart men frågorna var för sig har inte fått rimliga svar. En tredjedel av eleverna i årskurs 3 och ett fåtal av eleverna i årskurs 4 har ritat en linje på fråga 4 som är orimlig i förhållande till deras svar på fråga 3. Ett fåtal av eleverna i årskurs 3 har besvarat frågorna på ett sådant sätt att det inte har gått att se ett samband mellan fråga 3 och 4.
Nedan är ett exempel på hur en elev använt sig av linjen ovanför och på så sätt fått fram ett rimligt samband mellan linjerna.
5.1.6
Fråga 5
I årskurs 3 ringade knappt tre fjärdedelar av eleverna in rätt löv och i årskurs 4 svarade näst intill alla elever som besvarade frågan korrekt.
Svaren på följdfrågan är indelade i tre kategorier:
A. Konkret jämförelse: Drygt en tredjedel av eleverna i årskurs 3 mätte med ett konkret föremål såsom penna eller fingrar. I årskurs 4 använde knappt hälften av eleverna samma strategi.
B. Abstrakt tänkande: Knappt hälften av eleverna i årskurs 3 och ett fåtal elever i årskurs 4 gav svar såsom ”bara såg det” eller ”tittade och tänkte”.
C. Ej svarat/svårtolkat: Ett fåtal av eleverna i årskurs 3 och en tredjedel av eleverna i årskurs 4 har inte besvarat frågan eller svarat på ett sådant sätt att det har varit svårt att tolka.
5.2
Intervju
Sammanlagt intervjuades 14 elever varav 8 elever i årskurs 3 och 6 elever i årskurs 4. Anledningen till att genomföra intervjuer är för att få en djupare inblick i elevernas förståelse av längdbegreppet samt för att undersöka om de kan mäta med förståelse. Under intervjuerna följdes en förbestämd intervjumall (se Bilaga 4).
5.2.1
Analys enligt Lowerys modell
I Lowerys modell (Foisack, 2003) finns en uppdelning i tre stadier för att analysera elevers svar. Förstadiet innebär att förstå att ett föremål har samma längd oavsett om det vrids eller flyttas. I övergångsstadiet ska standardiserade enheter vara bekanta för eleven som även ska veta att enheterna är konstanta. Enheten ska kunna upprepas vid bestämningen av en längd. I efterstadiet ska eleven mäta med förståelse och även kunna
jämföra sträckor på ett logiskt sätt. I Tabell 1 nedan redovisas de intervjuade elevernas svar efter en analys enligt Lowerys modell. För att tydliggöra redovisas exempel på hur elever svarat inom de olika stadierna. I varje stadium ingår två skiljda delar som ska vara uppfyllda för att klassas in under respektive stadium. De elevsvar som visat att det ena kravet är avklarat men inte det andra har placerats in mellan två stadier.
Tabell 1. Varje elevs sammantagna svar inkategoriserat i Lowerys stadier.
Lowerys stadier Årskurs 3 Årskurs 4
Förstadiet 1 0
FörstadietÖvergångsstadiet 2 4
Övergångsstadiet 3 1
ÖvergångsstadietEfterstadiet 2 1
Endast en elev bedöms befinna sig helt i förstadiet. Eleven har inte klarat av att bedöma vilka löv som är lika långa och visar inte kunskaper nog att kunna använda och läsa av en linjal. Eleven har inte heller klart för sig hur långa de enheter som efterfrågats är med undantag för meter och eventuellt centimeter som utdraget från intervjun visar:
Intervjuare: Om jag säger centimeter, hur långt är det då?
Elev M: Typ så där (visar mellan tummen och pekfingret, lite kortare än en
centimeter).
Intervjuare: Typ så där, jättelitet då? Elev M: Ja.
Intervjuare: Om man säger decimeter. Elev M: Det är ju ännu pyttemindre.
Intervjuare: Det är ju ännu pyttemindre, och millimeter? Elev M: Det är väl typ så där (visar cirka en centimeter). Intervjuare: Så där kanske och meter?
Elev M: Det är ju så här (sträcker ut armarna från varandra). Intervjuare: Så långt som armarna räcker.
Elev M: Ja.
De elevsvar som har hamnat mellan förstadiet och övergångsstadiet har haft fel på fråga 1 (pennorna) eller 5 (löven) i enkäten men kan ändå läsa av linjalen även om de i vissa fall mäter från början av linjalen och inte nollan. Alternativt har de haft rätt på löven och pennorna men varit långt ifrån att använda linjalen på ett korrekt sätt.
Vissa elever har svarat rätt på både fråga 1 och 5 i enkäten och mätt felfritt med linjalen, däremot har de inte klarat av att mäta med den avbrutna linjalen. Deras svar bedöms höra hemma i övergångsstadiet som exemplet nedan visar:
Intervjuare: Då ska du få en linje utav mig (tar fram första linjen), och en linjal så
mäter du den linjen där.
Elev J: Åtta centimeter.
Intervjuare: Åtta centimeter ja, sen har du den linjen (plockar fram andra linjen). Elev J: Tre och en halv.
Intervjuare: Tre och en halv vad då för någonting? Barn J: Centimeter.
Intervjuare: Centimeter. Nu ska du få en annan linjal, du får den linjalen och den
linjen (tar fram tredje linjen).
De elever som lämnat sådana svar att de bedömts vara mellan övergångsstadiet och efterstadiet har klarat av uppgifterna på tidigare nivåer utan problem. Dessutom har de antingen fört ett logiskt fungerande resonemang kring uppgift 3 i intervjuerna eller klarat av, eller varit nära att klara av att mäta med den avbrutna linjalen. Nedan visar elev C hur det går att mäta med den trasiga linjalen:
Intervjuare: Då ska du få en annan linjal. Du får den linjalen och den här linjen
(plockar fram linje tre). Så får du se hur lång den är.
Elev C: Nej, från det här hållet (mäter från siffran 20) den är 5 centimeter.
För att en elevs sammanlagda svar ska placeras in under efterstadiet så ska både det logiska resonemanget vara tydligt och svaren ska också visa att mätning sker med förståelse. Detta har inte någon elevs svar visat.
5.2.2
Analys enligt Battistas modell
De tre första uppgifterna i intervjun, som kan ses nedan, har använts till att bedöma vilken NM level (Battista, 2003) som elevernas svar kan kategoriseras in i. Frågan till de första två uppgifterna är ”Om det här var två snören, vilket är längst?”. Till uppgift 3 är frågan ”Hur långt det är runt figuren?”.
Uppgift 1 Uppgift 2 Uppgift 3
På M level 1 ligger fokus i elevsvaren på helheten och detaljer missas (Battista 2003). För elever som svarar inom M level 2 så är detaljerna i fokus (a.a.). För att ett svar ska vara inom M level 3 så ska eleven ha fört ett logiskt resonemang och kunnat vända och vrida på en figur för att nå fram till ett korrekt svar (a.a.).
Tabell 2. Varje elevs sammantagna svar inkategoriserat i Battistas nivåer.
Non-Measurement reasoning Årskurs 3 Årskurs 4
NM level 1 5 1
NM level 2 2 5
NM level 3 1 0
För att ett elevsvar ska kategoriseras in under NM level 1 så ska svaret visa att eleven inte har tittat på detaljerna. Den här eleven försöker dra ut ”snöret” i huvudet men lyckas inte få det helt rätt. Det blir en ungefärlig beräkning som inte stämmer.
Intervjuare: Just det. Så har vi en liknande uppgift här (tar fram andra uppgiften).
Vilket av de här två snörena är längst?
Elev K: Det där (pekar på det översta).
Intervjuare: Du tror det övre där ja, hur tänker du då?
Elev K: Om man gör så så täcker det nästan hela papperet (visar hur man kan dra ut
det översta ”snöret”) och det här kommer man bara bort hit (visar på den nedre linjen).
Intervjuare: Mm och du tror att den kommer lite kortare där. Elev K: Mm.
För att ett svar ska nå NM level 2 så krävs det att detaljerna blir beaktade och att det är de som är i fokus. Nedan följer ett tydligt exempel på en elevs lösning som klassas som NM level 2. Eleven har jämfört del för del för att avgöra vilken linje som är längst.
Elev F: Den är nog längre (pekar på den nedre). Intervjuare: Den där nere?
Elev F: Eller vänta, kan de vara lika långa? Intervjuare: Ja.
Elev F: Dom är lika långa (räknar prickarna tyst, pekar omväxlande på övre och
nedre linjens prickar).
Intervjuare: Hur tänkte du då?
Elev F: Om man räknar dom här (pekar på prickarna) är dom lika långa.
Även vissa elever som kommit fram till fel svar på uppgift 2 har ändå gett ett svar som sorterats in under NM level 2. Eleven visar att det är detaljerna som är i fokus men räknar fel:
Elev H: hmm…(lång paus) Den gissar jag på (pekar på den övre). Intervjuare: Du gissar på det. Hur kom du fram till det?
Elev H: Nej, det är den faktiskt! (Pekar på den nedre). Intervjuare: Är det den?
Elev H: mm..
Intervjuare: Den nedre där.
Elev H: två, två, två, sex. (räknar strecken på den nedre) En två tre fyr fem. (räknar
strecken på den övre).
Intervjuare: Blev det fem däruppe? Elev H: Ja.
Intervjuare: Okej, så då är den där nere längst? Elev H: Ja, i alla fall tror jag det.
För att ett svar ska kategoriseras in under NM level 3 så ska ett logiskt resonemang föras. Elev A har vikt ut figuren i uppgift 3 och gjort om den till en rektangel, sedan har eleven tagit den information som behövts för att lösa uppgiften och sållat bort det onödiga. När svaret kommer har det varit tyst en lång stund.
Elev A: Det borde bli 30 eller nåt. Intervjuare: Hur tänker du då?
Elev A: Om man viker ut den (vinkeln) så blir det så (som en rektangel) och det är 8
(pekar på åttan) där och då blir det 8 (pekar på basen av den tänkta rektangeln) där och om man dubblar de två (pekar på åttan och sjuan) så blir det 15 och sen 15 + 15 blir 30.
Det går inte att se någon skillnad i vilken NM level elevernas svar sorteras in under beroende på om eleverna tänker abstrakt eller konkret. Emellertid har rimligheten mellan fråga 3 och 4 ett samband med vilken NM level eleverna når upp till. Näst intill alla elever som svarat orimligt ligger på NM level 1 medan de som svarat rimligt så gott som alltid nått NM level 2 och i ett fall NM level 3. Det har inte heller upptäckts något direkt samband mellan vilka elever som svarat på en hög nivå i Battistas (2003) eller Lowerys (Foisack, 2003) modeller.
5.2.3
Måttenheter och mätning av sträckor
Eleverna ombads att visa ungefär hur mycket en centimeter, decimeter, millimeter och meter är. De flesta elever valde att visa med hjälp av fingrar och armar medan några få elever valde att visa med hjälp av konkreta föremål såsom bordet för meter och ett tallbarrs bredd för millimeter.
Intervjuare: En millimeter? Elev H: Som ett barr Intervjuare: Ett barr? Elev H: Ett tallbarr
Intervjuare: På längden eller? Elev H: Tallbarr på bredden
Alla elever i årskurs 4 klarade av att visa alla fyra enheter på ett tillfredställande sätt. Enheten meter var inga problem för någon av de elever som vi intervjuade. Under en av de sista intervjuerna ställdes en följdfråga kring enheten meter.
Intervjuare: Om man säger en meter då, hur långt är det?
Elev : Ungefär dit till den andra (sträcker ut armarna så mycket det går).
Intervjuare: Om man sträcker ut armarna så (visar), om jag sträcker ut armarna blir
det en meter då?
Elev : Ja. Det blir det fortfarande, fast din längd.
Decimeter och millimeter hade eleverna i årskurs 3 svårare för. Däremot så klarade de flesta elever i årskurs 3 att visa enheten centimeter. Vid analysen har det kommit fram att en del av de intervjuade eleverna trots att de inte kunnat uppskatta enheten centimeter, när de ombads göra det, ändå mätt linjerna på ett korrekt sätt och angett rätt svar i centimeter.
När det gäller mätning fick eleverna mäta två olika linjer med en vanlig linjal där nollan var fem millimeter in på linjalen. Den första linjen var 8 centimeter och den andre var 3,5 centimeter. Majoriteten av eleverna klarade av att använda linjalen på korrekt sätt och få fram rätt längd. De elever som inte klarade uppgiften var osäkra på varifrån de skulle börja mäta och mätte ifrån linjalens början istället för nollan. En elev hade inte förståelse för hur en linjal ska användas på korrekt sätt utan la linjalen vid linjen och räknade sedan egna små enheter.
En annan uppgift eleverna fick var att mäta en linje som var 5 centimeter lång med en linjal som var avbruten mellan nollan och ettan. De flesta av eleverna började mäta från ettan istället och fick då fram att linjen var 6 centimeter. En elev i årskurs 3 var den enda som klarade denna uppgift. Eleven i fråga började mäta från siffran 20 och räknade sedan 5 steg på linjalen.
5.2.4
Koppling mellan enkät och intervju
Det sista eleverna fick göra var att titta på en tom enkät och tänka tillbaka på hur de tänkt när de löste uppgifterna. De flesta elever svarade på ungefär samma sätt som de svarat i enkäten. Vissa av eleverna som svarat att de gissat på enkäten kunde under intervjun förtydliga sina svar. En elev förbättrade sitt resultat betydligt på en av enkätfrågorna under intervjun. Eleven hade tidigare gissat att en sexcentimeterslinje var 35 centimeter, men under intervjun svarade eleven att linjen var 7 centimeter.
6
DISKUSSIO
Diskussionen delas upp i två delar. I första delen diskuteras valet av metod. I den andra delen diskuteras resultatet och målen.
6.1
Metoddiskussion
Valet av metod påverkar självklart resultatet. Valet av just enkät som datainsamling gjorde att en större mängd data kunde samlas in än om det bara varit intervjuer. Utifrån enkäten kunde sedan en mindre mängd elever väljas ut och ändå säkerställa att elever med olika tankesätt representeras vid intervjuerna.
Många elever inspirerades av exempelfrågan som gjordes i helklass innan enkäten påbörjades. Eleverna inspirerades av varandra att tänka på ett visst sätt, till exempel så sa en elev att han/hon tänkte att det var en meterlinjal bredvid Helena. I enkäten svarade sedan flera elever att de tänkte att det var en meterlinjal bredvid dörren på fråga 2 och att de sedan uppskattade höjden efter hur många linjaler som fick plats. Många elever drog även nytta av att de visste att Helena var 1 meter och 70 centimeter och använde sedan detta för att uppskatta höjden av dörren.
Vid analysen av vissa enkäter väcktes misstanke om att eleverna sneglat på varandras svar då det förekom vissa svar som var allt för lika. Detta hade kunnat undvikas om eleverna spridits ut mer i klassrummet.
När intervjuerna genomfördes var båda två med och den som inte ledde intervjun satt vid sidan om och förde stödanteckningar. Det var inte en nödvändighet att vara två under intervjuerna, men eftersom det annars hade varit lätt att missa gester och kroppsspråk var det en stor fördel.
6.1.1
Tankar om förändringar
Om undersökningen skulle genomföras igen hade vi på det stora hela valt att gå tillväga på samma sätt. Däremot hade vissa mindre förändringar gjorts. Fråga 3 och 4 på enkäten (se Bilaga 1) hade kunnat få bättre utfall om de justerats en aning. Linjen som eleverna skulle uppskatta längden på hade varit tydligare om början och slutet hade varit markerade med lodräta streck. I undersökning var det några elever som först inte uppfattade vilken linje det var de skulle uppskatta utan trodde att linjen var ett ställe där svaret skulle stå. På uppgiften där eleverna skulle rita en linje som var 15 centimeter lång begränsades de en aning av papprets bredd. Om linjen istället skulle ha varit kortare hade detta hinder frångåtts och hade gjort frågan mer tillförlitlig.
Gällande intervjun hade vi förändrat formuleringen på fråga 1 och 2 (se Bilaga 4) från ”Om du föreställer dig att det här är två snören, vilket är längst” till ”Om det här är två snören, är något längre än det andra, och i så fall vilket?”. På fråga 2 var linjerna lika långa och hade frågan varit omformulerad så hade kanske fler elever klarat den. På frågan som innehöll avbruten linjal hade eventuellt utfallet varit annorlunda om linjalen hade varit avbruten på ett annat ställe. När eleverna skulle uppskatta enheten meter sträckte många elever ut armarna så långt de kunde. I resultaten är bedömningen att
eleverna som sträckt ut armarna så långt som möjligt har klarat av att visa hur lång en meter är. Vi är medvetna om att det är lite för långt men har ändå bedömt att detta är rimligt. Här skulle det däremot varit intressant ställa följdfrågan ”Hur långt är det om jag sträcker ut mina armar”. Detta hade kunnat ge svar på om eleverna hade standardiserat enheten meter eller om de trodde att alla hade sin egen personliga meter när de sträcker ut armarna.
6.2
Resultatdiskussion
Resultatdiskussionen delas in i huvuddelarna enheter, förståelse för mätning av längd samt uppskattning och jämförelse av längd. Avslutningsvis diskuteras förslag till fortsatt forskning samt egna reflektioner.
6.2.1
Enheter
Alla elever i årskurs 4 klarade av att visa de enheter som efterfrågades. Alla elever i årskurs 3 klarade att visa meter och de flesta kunde visa centimeter. Decimeter och millimeter var betydligt svårare för eleverna i årskurs 3. Detta talar för att enheterna vi efterfrågat är något som eleverna i årskurs 3 kommer att ha lärt sig inom ett år.
I resultaten har det kommit fram att vissa elever svarat långt från rätt på fråga 3 i enkäten, där en linje skulle uppskattas. Vissa av dessa elever har ritat en linje på fråga 4 som är rimlig i förhållande till deras gissning på fråga 3. Dessa elever har trots att de inte lärt sig SI-enheter ändå svarat inom NM level 2 vilket visar att förståelsen för hur enheter används är bra för dessa elever.
Under en av intervjuerna ställdes frågan om hur långt det var om intervjuaren sträcker ut armarna så långt som möjligt och svaret gav ett intressant resultat. Eleven menade att det fortfarande var en meter om en vuxen person sträckte ut sina armar så långt som möjligt. Detta visar på att den här eleven, precis som vissa elever i Foisacks studie (2003), inte har utvecklat förståelsen för SI-enheter.
I Lowerys stadier (Foisack, 2003) ligger fokus på vad eleven ska kunna i de första två stadierna och inte förrän i det sista stadiet krävs det att eleven har förståelse för vad han/hon gör. Den elev i vår undersökning som har haft svårast med mätningen har inte brytt sig om siffrorna som står på linjalen utan har räknat egna små enheter istället. Samma elev kunde däremot jämföra linjerna i uppgift 2 genom att räkna prickarna och på ett logiskt sätt få fram ett korrekt resultat. Detta tyder på att eleven har börjat använda sig av icke-standardiserade enheter men fortfarande inte förstått syftet med SI-enheter.
6.2.2
Förståelsen för mätning av längd
Precis som Engström och Magne (2008) hävdar så når eleverna i årskurs 4 målet att kunna mäta längder, även de flesta eleverna i årskurs 3 klarar detta mål. I Battistas (2003) NM reasoning är det förståelsen som är det väsentliga. Det kan vara därför det inte finns något direkt samband mellan vilka elever som når långt i de olika stadierna och nivåerna. Tvärt emot har den elevs svar i vår studie som placerats under förstadiet i Lowerys modell samtidigt gett sådana svar att de sorterats in i Battistas NM level 2. De elevsvar som bedömts vara mellan övergångsstadiet och efterstadiet är insorterade under
alla olika nivåer i Battistas (2003) modell. Den elev vars svar placerats under NM level 1 har klarat av att mäta med en trasig linjal. Eleven visar förmåga att kunna mäta med förståelse men vid jämförelse av olika linjer visar svaren på bristfälligt logiskt tänkande. Detta visar att förståelsen inte behöver vara fullt utvecklad för att klara av att mäta med linjal. I Engströms och Magnes studie (2008) visar det sig att SÖM-elever får för lite stimulans inom G-området. Detta gör att tankar väcks kring om de elever i vår studie som klarar av att mäta med vanlig linjal men inte med trasig skulle kunna hantera den trasiga linjalen på ett korrekt sätt om de fått lite mer stimulans.
Kronqvist och Malmer (1993) påpekar att det krävs viss inskolning i användandet av linjal och de menar att problemet ligger i att elever mäter från ett och inte noll. De resultat vår undersökning visar är lite annorlunda. Problemet är att några få elever mäter från början av linjalen och inte från ettan som Kronqvist och Malmer (1993) hävdar. Även Foisack (2003) har sett att vissa elever har problem med att använda linjalen korrekt. I vår undersökning har de flesta elever misslyckats med den avbrutna linjalen. Battista (2007) påpekar att elever kan vara så inne i ”tänket” kring mätning att de missar att utnyttja den förkunskap de faktiskt har vilket kan vara en anledning till att mätningarna blivit fel.
6.2.3
Uppskattning och jämförelse av längder
De flesta elever i årskurs 4 i vår undersökning är bra på att uppskatta och göra jämförelser av längder. Eleverna i årskurs 3 är också relativt duktiga på detta, men de når inte riktigt lika långt som eleverna i årskurs 4. I jämförelse med Battistas stadier (2003) så bör en elev som är bra på att uppskatta och jämföra ha svar som nått minst till NM level 2. Så gott som alla elever i årskurs 4 i vår undersökning har nått NM level 2, men i årskurs 3 är eleverna mer spridda. För att en elevs svar ska klassas att tillhöra NM level 3 krävs mer abstrakt tänkande. Detta är något som enligt Piaget utvecklas kring elva års ålder (Imsen, 2006). Vid analys av resultaten finner vi att alla elever befinner sig i den konkret-opertationella fasen som enligt Piaget (Imsen, 2006) inträffar i när barn är cirka 7 – 11 år gamla. Några är till och med på väg över till den abstrakt-operationella fasen (a.a.) där eleverna börjar tänka mer abstrakt.
6.2.4
Egna reflektioner
Eftersom vår undersökning genomfördes under höstterminen har eleverna i årskurs 3 fortfarande en dryg termin kvar innan de ska ha nått målen och vi ser inga hinder till att de inte skulle göra det. Gällande strävansmålen där eleverna ska ha nått en förståelse så har eleverna kommit olika långt på vägen. De flesta elever i årskurs 4 har nått NM level 2 och detta visar att de är på gång med förståelse och logiska resonemang. Det som pekar åt ett annat håll är att så många hade problem med den avbrutna linjalen vilket visar att eleverna inte mäter med förståelse.
Vi har genom vår undersökning uppmärksammat att eleverna i årskurs 4 inte har några större problem med varken mätning eller uppskattning av längder och eleverna i årskurs 3 är på god väg att även de uppnå målen. Det som däremot verkar vara svårare för eleverna är förståelsen av längdbegreppet. Därför är vår förhoppning med denna undersökning att lärare ska kunna använda sig av resultaten för att skapa ännu bättre förutsättningar för elevernas förståelse av längdbegreppet. Detta tror vi kan
åstadkommas genom att låta eleverna göra fler uppgifter som till exempel liknar Battistas (2003) jämförelser av olika sträckor. Ett annat sätt kan vara att diskutera varför det behövs SI-enheter och vad de används till och även diskutera vad som skulle hända om alla använde sig av en ”personlig meter” när man ska bygga ett hus eller liknande. Förslag på fördjupning
Engström och Magne (2008) menar att de nationella målen i matematik för årskurs 3 är orealistiska om alla elever ska nå alla mål. Därför skulle det vara intressant att undersöka fler mål än bara den lilla del som rör mätning och uppskattning av längd.
Battistas studie (2003) innefattar även Measurement (M) reasoning och det skulle vara av intresse av att se hur elevers svar på frågor tillhörande M reasoning hade kunnat kategoriseras. Det skulle även vara intressant att se om elever som nått långt inom NM reasoning också kommit en bit på väg i M reasoning.
TACK
Till vår tålmodiga handledare Maria Bjerneby Häll vid Högskolan i Kalmar som alltid haft tid för oss och gett oss många bra tips på vägen.
Till de klasser som ställt upp på enkäter och intervjuer som gjort detta arbete möjligt. Till våra familjer, släktingar och vänner för uppmuntran och stöd längs vägen. Speciellt tack för att Ni vigde några timmar av Er julledighet till att ge respons på vårt arbete. Stort tack till Er alla!
REFERENSLISTA
Battista, M. T. (2003, july). Levels of sophistication in elementary students’ reasoning
about length. Paper presented at the 27th annual conference of the International
Group for the Psychology of Mathematics Education, Honolulu, HI.
Battista, M. T. (2007). The development of Geometric and spatial thinking. I: Lester, F. K. (red.). Second Handbook of Research on Mathematics Teaching and
Learning. (s. 891-897). Information Age Publishing Inc. USA.
Doverborg, E. & Pramling Samuelsson, I. (2007). Att förstå barns tankar. Stockholm: Liber.
Engström, A. & Magne, O. (2008). Medelsta-matematik IV. En empirisk analys av
Skolverkets förslag till mål att uppnå i matematik för årskurs 3. Linköping:
Linköpings universitet.
Foisack, E. (2003). Döva barns begreppsbildning i matematik. Malmö: Malmö högskola. (Doktorsavhandling).
Heiberg Solem, I. & Lie Reikerås, E K. (2004). Det matematiska barnet. Stockholm: Bokförlaget Natur och kultur.
Imsen, G. (2006). Elevens värld. Introduktion till pedagogisk psykologi. Lund: Studentlitteratur.
Kilborn, W. (1992). Didaktisk ämnesteori i matematik. Del 3. Mätning, Geometri,
Funktioner, Sannolikhetslära och Statisktik. Malmö: Almqvist & Wiksell.
Kronqvist, K-Å & Malmer, G. (1993). Räkna med barn. Solna: Ekelunds Förlag AB. Nämnaren Tema (2002). Uppslagsboken. Göteborg: Nämnaren
Nationalencyklopedin (2008) http://ne.se/artikel/261648 Sökdatum: 081219 (sökord: SI) Patel, R. & Davidsson, B. (2003). Forskningsmetodikens grunder. Att planera,
genomföra och rapportera en undersökning. Lund: Studentlitteratur.
Piaget, J. (1976). Barnets själsliga utveckling. Lund: LiberLäromedel.
Skolverket (2008a). Kursplan med kommentarer till mål som eleverna ska ha uppnått i
slutet av det tredje skolåret. Stockholm: Skolverket.
Skolverket (2008b). Informationsmaterial om nationellt prov i årskurs 3. Matematik.
Konferensupplaga oktober 2008. Stockholm: Skolverket.
Skolverket (2008c). TIMSS 2007. Svenska grundskoleelevers kunskaper i matematik och
naturvetenskap i ett internationellt perspektiv. Rapport 323. Stockholm:
Skolverket.
Utbildnings- och kulturdepartementet. Regeringsbeslut, U2006/8951/S. Uppdrag till
Statens Skolverk att föreslå mål att uppnå och nationella prov i årskurs 3.
Vetenskapsrådet (2002). Forskningsetiska principer inom humanistisk-samhällsvetenskaplig forskning. Stockholm: Vetenskapsrådet.
