Vågutbredning i tåg : En analys i Matlab

(1)

Examensarbete

Vågutbredning i tåg

– En analys i Matlab

Jonny Nilsson och Jonny Sahlberg Oktober 2006

(2)

(3)

Förord

Denna rapport utgör den skriftliga avrapporteringen av det examensarbete som vi under våren 2006 genomfört på Linköpings Tekniska Högskola. Examensarbetet, som omfattar 10 studiepoäng och är på D-nivå, ingår i vår Teknologi magisterexamen i Maskinteknik. Vi vill främst tacka vår examinator och handledare Tore Dahlberg som rekommenderade detta examensarbete för oss samt våra opponenter som kommit med synpunkter under projektets gång.

Linköping, oktober 2006

(4)

(5)

Sammanfattning

Vid malmbrytning förflyttas malm långa sträckor med tåg. Malmbanan är en järnväg som går från Luleå till Narvik i Norge. Mellan Kiruna och Narvik fraktas det årligen ca 15 miljoner ton järnmalm. Tåget består av 2 lok med 52 vagnar där varje vagn kan väga upp till 100 ton. I kopplen mellan vissa vagnar uppstår sprickor som kan leda till brott så att tåget riskerar tappa vagnar.

Syftet med det här arbetet är att titta på hur stora krafterna blir i kopplen mellan tågvagnarna. Tåget har i denna studie simulerats i Matlab i form av ett system bestående av massor, fjädrar och dämpare.

Vad som är intressant att se är hur dessa krafter varierar när tåget accelererar samt bromsar in så att systemet sätts i svängning. Problemet löstes genom att tillföra en varierande kraft F(t)=F0sin(ωt) på loket, vilket simulerar accelerations- samt

inbromsnings-tillfällena. Då krafterna mellan vagnarna är större än dragkraften från loket (F0) finns det risk för brott i kopplen (fjädrarna). Detta kan medföra att tåget

tappar vagnar. Därför är det önskvärt att studera vilka parametrar som påverkar krafternas storlek i kopplen. Matlab-programmeringen för att räkna ut krafterna mellan vagnarna är uppdelade i två filer, nämligen train_input.m och solver.m. I filen train_input förbereds inputdata för den ordinära differentialekvationslösaren i filen solver.m. De bägge filerna har varsin input-sektion där önskade parametrar måste specificeras innan Matlab-koden exekveras.

Om man i Matlab-programmet till en början har ett lok och en vagn, så kan man studera hur den maximala kraften (Fmax) i kopplen påverkas genom att successivt

koppla på en extra vagn. Krafterna i kopplen ökar inte proportionellt med ökande antalet vagnar, som man först spontant kan tro. Till en början ökar krafterna mellan dem men när antalet vagnar blir fler och fler så börjar kraftökningen att avta. Flera olika egensvängningar kan äga rum och beroende på vilket tidsintervall man vill studera får man olika värden på Fmax. Detta gör att man inte kan ange vid vilket antal

vagnar som krafterna börjar avta.

Då styvhetskonstanten är hög samt när deformationen av kopplet/fjädern mellan varje vagn är som störst uppstår stora krafter i kopplen. Styvhetsvärdet k påverkar även vagnarnas position relativt loket under körning. Fjädringen i kopplen minskar med ökande värde på styvhetsvärdet k och kopplen blir på så sätt stelare. Detta resulterar i att vagnarnas position relativt loket inte ändras lika mycket då kopplen görs stelare. När tågvagnarna lastas med malm ökar givetvis även vikten på hela ekipaget och får till följd att loket måste klara av att dra mer last. Kraften i kopplen ökar till följd av ökad massa på tåget. När tågvagnarna inte har någon last och därmed lägre vikt går tåget ryckigt, men när man lastar tåget får det en mjukare gång, frekvensen blir lägre. Dragkraften påverkar kraften i kopplen. Ju större dragkraft desto större kraft uppstår på kopplen.

(6)

(7)

Abstract

At iron ore mining the trains transports the ore far distances. “Malmbanan” is a rail-road that reaches from Luleå in Sweden to Narvik in Norway. Approximately 15 millions of iron ore are transported between Kiruna and Narvik each year. The train has two engines and 52 wagons were each wagon can weigh up to 100 ton. Cracks can happen between the wagons and can result in a break and the train can therefore loose wagons.

The aim of this thesis is to investigate how large the forces are between the wagons. The train has been simulated in Matlab with a mass-spring-damper-system.

It is interesting to study how these forces vary when the train accelerates and deaccelerates while the system is vibrating. The solution is to apply the force

F(t)=F0sin(ωt) to the engine, that simulates the accelerations and the deaccelerations. If the forces between the wagons are larger then the force from the train (F0) it can

result in a break between the wagons. It is convenient to study which parameters that are affecting these large forces. The Matlab code is divided into two files,

train_input.m and solver.m. The file train_input provides the ordinary differential equation solver in solver.m with input values. Both files has an input section were values has to be specified by the user before they runs.

If you study the Matlab program in the case of one engine and one wagon to start with. The maximal force (Fmax) between the wagons influences when you connect more wagons to the train. The forces increase to start with but when you connect more and more wagons to the train they begin to decrease. Several different

eigen-frequencies can occur, depending on which time period you are studying, and that gives different values on Fmax.

When the stiffness constant is high and when the deformation of the spring has its highest value it gives very large forces between the wagons. The stiffness value k affects the positions of the wagons relative to the engine during run. The springs elasticity decreases with higher stiffness value. The positions of the wagons relative to the engine don’t change as much when the springs are getting stiffer.

When the wagons are loaded with more iron ore the weight of the whole train increases and the engine has to be stronger. Fmax between the wagons increase if the

train is getting heavier. If the wagons don’t carry any load the train goes jerky, but when the wagons are loaded the train has a softer run, the frequency is lower.

The force F0 affects the forces between the wagons. When F0 is increasing the forces

increase also.

Large forces occur when the system begins to self vibrate with one of its eigenfrequencies, and when the frequency is near the eigenfrequency.

(8)

(9)

INNEHÅLLSFÖRTECKNING

1 INLEDNING... 1 1.1SYFTE... 2 1.2PROBLEMBESKRIVNING... 2 1.3AVGRÄNSNINGAR... 2 1.4METOD... 2 2 BAKGRUND ... 3 3 TEORI ... 7

3.1MASSA-FJÄDER-DÄMPARE-SYSTEM... 7

3.2EGENVINKELFREKVENS... 10

3.3KONSTRUKTION AV M-,K- OCH C-MATRISEN... 11

3.4KODNING AV M-,K- OCH C-MATRISEN I MATLAB... 12

3.5LÖSNING AV ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER I MATLAB... 14

4 ANALYS OCH RESULTAT ... 17

4.1BEGYNNELSELÄGE... 19 4.2ANTALET VAGNAR... 24 4.3STYVHETSVÄRDET... 27 4.4MASSAN PÅ TÅGET... 30 4.5DRAGKRAFTEN... 32 4.6VINKELHASTIGHETEN... 34 4.7LUTANDE PLAN... 37 4.8EGENVINKELFREKVENS... 38 5 SLUTSATS ... 39 6 DISKUSSION ... 41 KÄLLFÖRTECKNING ... 43 BILAGA 1: ANVÄNDARMANUAL ... 45 BILAGA 2: TRAIN_INPUT.M ... 47 BILAGA 3: SOLVER.M... 49

(10)

(11)

FIGURFÖRTECKNING

FIGUR 1: ETT LASTAT MALMTÅG (WWW.JARNVAG.NET)... 1

FIGUR 2: MALMBANANS STRÄCKNING (WWW.LKAB.COM)... 1

FIGUR 3: TVÅ PARALLELLKOPPLADE IORE LOK (WWW.JARNVAGEN.NET) ... 3

FIGUR 4: DEN NYA MALMVAGNEN FRÅN K-INDUSTSTIER (WWW.LKAB.COM)... 4

FIGUR 5: STELA JANNEY-KOPPEL (WWW.INFRA.KTH.SE/JVG/RAPPORTER/0507_INLAGA.PDF) ... 4

FIGUR 6: ANRIKAD PRODUKT KALLAD PELLETS (WWW. JERNKONTORET.SE) ... 5

FIGUR 7: STÅLBAND OCH PROFILRÖR ... 6

FIGUR 8: SYSTEMET VISAR TRE TÅGVAGNAR SOM DRIVS AV ETT LOK I FORM AV KRAFTEN F (T) ... 7

FIGUR 9: SNITTKRAFTERNA I FORM AV FJÄDERKRAFTERNA S OCH T HAR FÖRTS IN MELLAN DE FRILAGDA MASSORNA... 8

FIGUR 10: MASSA-FJÄDERSYSTEM BESTÅENDE AV EN VAGN OCH ETT LOK SOM UTSÄTTS FÖR EN KRAFT F(T), SOM SÄTTER SYSTEMET I SVÄNGNING ... 10

FIGUR 11: HÄR SER MAN HUR RESPEKTIVE VAGNS HASTIGHET VARIERAR UNDER KÖRNING. BEGYNNELSE-HASTIGHETEN ÄR SEDAN TIDIGARE SATT TILL 16 M/S... 19

FIGUR 12: GRAFEN ILLUSTRERAR VAGNARNAS POSITION RELATIVT LOKET. INITIALT ÄR AVSTÅNDET MELLAN VARJE VAGN SATT TILL 10 METER SEDAN TIDIGARE ... 19

FIGUR 13: VISAR HUR STORA KRAFTERNA ÄR I KOPPLEN MELLAN VAGNARNA. STORLEKEN PÅ RESPEKTIVE KRAFT ÄR PROPORTIONELL MOT FJÄDERSTYVHETEN (K), SAMT FJÄDRARNAS LÄNGDFÖRÄNDRING (X) SOM PÅVERKAS AV DIVERSE FAKTORER ... 20

FIGUR 14: KRAFTDIAGRAM DÅ TIDSINTERVALLET ÖKAS TILL T=15000S... 20

FIGUR 15: KRAFTDIAGRAM FÖR RESPEKTIVE VAGN-PAR I FÖRSTORING ... 21

FIGUR 16: VAGNARNAS HASTIGHETSDIAGRAM I FÖRSTORING ... 21

FIGUR 17: VAGNARNAS RELATIVA POSITIONSDIAGRAM I FÖRSTORING ... 22

FIGUR 18: RESPEKTIVE VAGNS HASTIGHET DÅ ANTALET VAGNAR UPPGÅR TILL 5 STYCKEN ... 24

FIGUR 19: RESPEKTIVE VAGNS POSITION RELATIVT LOKET DÅ ANTALET VAGNAR UPPGÅR TILL 5 STYCKEN ... 24

FIGUR 20: VISAR STORLEKEN PÅ KRAFTERNA MELLAN VAGNARNA DÅ ANTALET VAGNAR UPPGÅR TILL 5 STYCKEN ... 25

(12)

FIGUR 27: RESPEKTIVE VAGNS POSITION RELATIVT LOKET DÅ STYVHETSVÄRDET

K=40000 N/M ... 27

FIGUR 28: VISAR STORLEKEN PÅ KRAFTERNA MELLAN VAGNARNA DÅ STYVHETSVÄRDET K=40000 N/M... 28

FIGUR 32: RESPEKTIVE VAGNS HASTIGHET DÅ MASSAN PÅ TÅGET FÖRDUBBLAS ... 30

FIGUR 33: RESPEKTIVE VAGNS POSITION RELATIVT LOKET DÅ MASSAN PÅ TÅGET FÖRDUBBLAS ... 30

FIGUR 34: VISAR STORLEKEN PÅ KRAFTERNA MELLAN VAGNARNA DÅ MASSAN PÅ TÅGET FÖRDUBBLAS ... 31

FIGUR 35: M1=400000 KG, M=200000 KG... 31

FIGUR 36: M1=800000 KG, M=400000 KG... 31

FIGUR 37: RESPEKTIVE VAGNS HASTIGHET DÅ DRAGKRAFTEN FÖRDUBBLAS ... 32

FIGUR 38: RESPEKTIVE VAGNS POSITION RELATIVT LOKET DÅ DRAGKRAFTEN FÖRDUBBLAS ... 32

FIGUR 39: VISAR STORLEKEN PÅ KRAFTERNA MELLAN VAGNARNA DÅ DRAGKRAFTEN FÖRDUBBLAS ... 33

FIGUR 40: F0=50000 N ... 33

FIGUR 41: F0=500000 N ... 33

FIGUR 42: RESPEKTIVE VAGNS HASTIGHET DÅ VINKELHASTIGHETEN FÖRDUBBLAS.. 34

FIGUR 43: RESPEKTIVE VAGNS POSITION RELATIVT LOKET DÅ VINKELHASTIGHETEN FÖRDUBBLAS ... 34

FIGUR 44: VISAR STORLEKEN PÅ KRAFTERNA MELLAN VAGNARNA DÅ VINKELHASTIGHETEN FÖRDUBBLAS ... 35

FIGUR 45: Ω=0.6 RAD/S... 35

FIGUR 46: Ω=0.8 RAD/S... 35

FIGUR 47: Ω=1 RAD/S... 36

FIGUR 48: RESPEKTIVE VAGNS HASTIGHET DÅ LUTNINGEN PÅ KÖRBANAN ÄR 2 GRADER ... 37

FIGUR 49: RESPEKTIVE VAGNS POSITION RELATIVT LOKET DÅ LUTNINGEN PÅ KÖRBANAN ÄR 2 GRADER ... 37

FIGUR 50: VISAR STORLEKEN PÅ KRAFTERNA MELLAN VAGNARNA DÅ LUTNINGEN PÅ KÖRBANAN ÄR 2 GRADER ... 37

(13)

1 Inledning

Vid framställning av järn och stål bryts malm i gruvor och dagbrott. Malmen förädlas vid gruvorna till pellets som sedan transporteras till olika järn- och stålverk världen över. Från gruvorna i Kiruna och Malmberget transporterades råvaran förr i tiden med hästar och renar till dessa verk. Det var i slutet av 1800-talet som järnvägen öppnade mellan Kiruna och Luleå. Under vinterperiodens fem månader stängdes hamnen i Luleå för att isen hindrade malmbåtarna att ta sig fram. Stålindustrin stod inte stilla under vissa perioder, utan malmen skulle fram till stålverken även under vinter-perioden. Tack vare att golfströmmen ligger utanför Norge så är Narviks båthamn isfri året om och en järnväg byggdes västerut. Det var först 1974 som den första isbrytaren såg till att malmtrafiken kunde pågå året om från Luleås hamn. Järnvägen som går mellan Luleå och Narvik döptes till Malmbanan. På sträckan mellan Kiruna och Narvik fraktas det årligen 15 miljoner ton järnmalm.

Stora krafter påverkar tåget och det händer att sprickor uppstår i kopplen mellan malmvagnarna. Detta kan ibland uppkomma med brott som följd och tåget kan tappa malmvagnar under transporten.

Figur 1: Ett lastat malmtåg (www.jarnvag.net)

(14)

1.1 Syfte

Att studera hur stora de maximala krafterna i kopplen mellan tågvagnarna blir vid körning.

1.2 Problembeskrivning

Uppgiften var att titta på krafterna som uppkommer mellan malmvagnarna. Ett matematiskt samband skall tas fram i programmet Matlab. I programmet skall olika viktiga parametrar kunna ändras och resultatet av dem skall gå att läsa. Krafter, position och hastighet skall gå att läsa ur grafer. En användarmanual för att underlätta för användaren skall tas fram.

1.3 Avgränsningar

• Antalet vagnar är begränsat till 50 stycken • Tidsintervallet sätts till 300 sekunder

1.4 Metod

Den första tiden åtgick till att fördjupa sig mer teoretiskt för att lösa uppgiften. Litteratur i området svängningar studerades närmare för att kunna sätta upp en rörelseekvation som symboliserar ett tåg vid körning. Studien gick sedan vidare med att lära sig MATLAB mer ingående för att ha möjlighet till att programmera en kod som grundar sig på själva rörelseekvationen för tågets framfart.

(15)

2 Bakgrund

Under 2005 visade gruvbolaget Luossavaara-Kiirunavaara AB, eller LKAB som det kallas i dagligt tal ett resultat på 4,5 miljarder i vinst. Stålets pris och efterfrågan har ökat markant de senaste åren. De största stålproducerande länderna är Kina och Japan tätt följt av USA. Kina producerade 349,4 miljoner ton stål, Japan och USA runt 100 miljoner ton. Sverige, som är Europas största järnmalmproducent, kommer på 25 plats bland de största producerande länderna med 5,7 miljoner ton.

LKAB har gruvor i Malmberget och i Kiruna. Vid båda gruvorna planerar man att expandera fram till 2010. I Malmberget finns det 20 stycken malmkroppar varav 10 bryts för närvarande. När man ska bryta djupare i Kiruna så är bebyggelsen i närheten av gruvan i farozonen pga. rasrisken. Detta tänker bolaget lösa med att flytta stora delar av staden till ett nytt område.

Tåget

Transportkostnaderna var stora för LKAB och därför tog dotterbolaget Malmtrafiken i Kiruna AB (MTAB) över järnvägstransporterna. Efter renovering av malmbanan 2001 kunde vagnar med 30 tons axellast föras på den. Nya lok och vagnar köptes. Med de nya loken dras 52 stycken vagnar men målet är att börja lasta 62 stycken.

Loken

Loken är tillverkade av Bombardier och heter Iore. Loket har en dragkraft på 10 000 kN, vilket är 30 % starkare än det tidigare loket. De två parallellkopplade Iore-loken är tillsammans 46 meter långt och väger 360 ton. Vid behov kan de dra tåg med en vikt på 8000 ton.

Figur 3: Två parallellkopplade Iore lok (www.jarnvagen.net)

(16)

Malmvagnar

1998 beställdes ett 70-tal vagnar från sydafrikanska bolaget Transwerk, dessa vagnar klarar inte det kalla svenska klimatet, man har haft problem med utmattningssprickor i vagnskopplen. LKAB väljer att inte köpa flera vagnar av Transwerk utan har tillsammans med K-industrier i Malmö tagit fram en vagn anpassad för 30 tons axellast med en lastvikt på 100 ton.

Figur 4: Den nya malmvagnen från K-induststier (www.lkab.com)

Kopplingar

På de Sydafrikanska vagnarna sitter stela Janney-koppel typ F.LKAB ville använda dessa koppel för att minska risken att kopplet ramlar ner i spåret om det lossnar från vagnen pga. något fel. Sådana olyckor har hänt några gånger med ett gammalt koppel. Dessa olyckor kan resultera i urspårning och konsekvenserna blir då stora, farliga och dyra. LKAB är angelägna om att detta inte ska kunna hända.

(17)

Förädling

Vid tillverkning av stål krävs råvara som malm eller skrot samt legeringsämnen för att få de rätta egenskaperna. I processen behövs kol som reduktionsmedel och kalk som slaggbildare.

Järnmalmen

Rent järn finner man sparsamt på jordskorpan. För utvinning av järnmetall är föreningar med syre, dvs. järnoxider de helt dominerande. Dessa finner man i malmkropparna som är inbäddade i berggrunden. Man klassificerar malmkroppar på två olika sätt, magnetit och hematit, beroende på vilken oxid som ingår. Magnetit har fått namnet efter sina magnetiska egenskaper, om man har en ofärgad yta och gör en repa på den så blir repan svart. Namnet hematit kommer från den att repan blir blodröd.

Järnmalmen bryts om man hittar tillräckligt mycket koncentrerat i ett område. Malmen krossas för att man sedan ska kunna anrika järnet, dvs. frånskilja det omgivande materialet (gråberget). Magnetit särskiljs genom magnetisk separation. Den anrikande produkten kallas slig och den formas till pellets, små runda kulor med en bestämd storlek, sammansättning och hållfasthet.

Figur 6: Anrikad produkt kallad pellets (www. jernkontoret.se)

Skrot

Järn och stålskrot används som råvara i den skrotbaserade och malmbaserade ståltillverkningen. Skrotet delas in i tre olika grupper beroende på vilket ursprung det tillhört.

• Cirkulationsskrot är skrot inom verken som man vet exakt vad den består av. • Verkstadsskrot uppkommer vid bearbetning av stål i verkstäder, byggindustrin

och vid brobyggen.

• Uppsamlingsskrot är skrot som samlas in från uttjänade produkter som skrotbilar, hushåll och brobalkar.

(18)

Handelsfärdigt stål

Handelsfärdigt stål är stål som är ”färdig för handel”, klar att levereras till kunder som verkstads- och byggindustrin. Produkterna kan vara plåt, band, profiler, tråd och rör.

Figur 7: Stålband och profilrör

Slutprodukten av stål

Stål som användaren kommer i kontakt med i vardagen är stål som har vidareförädlats av verkstadsindustrin. En viss del av slutprodukterna kommer direkt från stålverken, det kan vara armerings-stål eller pressade profiler.

(19)

3 Teori

3.1 Massa-fjäder-dämpare-system

I Figuren nedan visas ett massa-fjäder-dämpare system med fyra frihetsgrader, eftersom de fyra stela massorna M endast kan röra sig horisontellt. Varje massas rörelse kan beskrivas med en koordinat (x1, x2, x3 och x4), positivt riktade åt höger i

figuren.

De tre deformerbara kropparna symboliseras här i form av fjädrar. Den motverkande kraften F är proportionell mot fjäderns deformation, med styvhetskonstanterna k1, k2

respektive k3, d v s

kx F =

där x är fjäderns deformation, t.ex. x1-x2.

Systemet har även tre dämpare som har som syfte att motverka massornas svängningsrörelser. I en vanlig form av modell av en dämpare antar man att den motverkande kraften F är proportionell mot dämparens deformationshastighet, med en dämpkonstant (en dämpstyvhet) c (Ns/m) som proportionalitetskonstant, d v s

x c F =

Figur 8: Systemet visar tre tågvagnar som drivs av ett lok i form av kraften F (t)

Frilägg massorna och för in snittkrafter i snitten. Snittkrafterna består av fjäderkrafterna S och dämparkrafterna T.

(20)

(21)

På matrisform fås: ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − + − − + − − + ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − + − − + − − + ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 0 0 0 ) ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 3 2 1 3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1 4 3 2 1 3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1 4 3 2 1 4 3 2 1 F t x x x x c c c c c c c c c c c c x x x x k k k k k k k k k k k k x x x x M M M M

(22)

3.2 Egenvinkelfrekvens

Figur 10: Massa-fjädersystem bestående av en vagn och ett lok som utsätts för en kraft F(t), som sätter systemet i svängning

Antag att de båda massorna är lika, dvs. att M1=M2=M, och att fjäderkonstanten är k.

Massornas rörelser ska nu studeras. Massan M1, den högra massan, belastas med en

kraft F

( )

t =F0sinΩt (dvs. en stationär kraft som har vinkelfrekvens Ω och amplitud

F0).

Rörelseekvationerna för systemet blir på matrisform

⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ Ω = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ 0 sin 0 0 ₀ 2 1 2 1 F t x x k k k k x x M M

Eftersom massorna exciteras med vinkelfrekvensen Ω kommer massorna också att svänga med denna frekvens. Ansätt därför partikulärlösningarna

t A x₁ = sinΩ t B x₂ = sinΩ

Sätt in ansatsen ovan i rörelseekvationssystemet. Detta ger med faktorn sinΩt bortförkortad ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + Ω − − − + Ω − 0 0 2 2 F B A k M k k k M

För att få en lösning vid fri svängning måste minst en av A och B vara skild från noll, därmed måste systemdeterminanten vara noll. Detta ger

(

−MΩ2 +k

)(

−MΩ2 +k

)

−k2 =0 0 2 = Ω och M k 2 2 = Ω

(23)

Härur erhålls egenvinkelfrekvensen 0 1 = e ω och M k e 2 2 = ω

Där ωe1 är en stelkroppsrörelse (båda massorna och fjädern rör sig som en stel kropp)

och ωe2 ger en rörelse då massorna svänger mot varandra.

3.3 Konstruktion av M-, K- och C-matrisen

Massmatrisen M, Styvhetsmatrisen K, och Dämpningsmatrisen C för ett lok (m1) och

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − − = 1 1 0 0 0 1 0 2 1 0 0 1 2 1 0 0 1 1 % # # # " " " c C

Om man studerar ovanstående matriser ser man att matrisernas ingående numeriska värden (-1, 0, 1 och 2) följer en viss struktur. Detta gör att kodningen av dessa matriser i Matlab underlättas avsevärt, eftersom man bland annat kan använda loop-funktionen i MATLAB vid specificeringen av dem.

3.4 Kodning av M-, K- och C-matrisen i Matlab

Massmatrisen M är inte komplicerad till sin struktur. De olika Massorna ligger i diagonalen i en nollmatris. Där den första massan m1 är lokets massa och efterföljande

vagnarnas massor är m2 till mn.

M(1,1)=m1; Lokets massa har första positionen i diagonalen

for i=2:n Vagnarnas massor har efterföljande positioner

M(i,i)=m;

end

Nedan följer hur uppbyggnaden av K-matrisen går till i Matlab då n=3, (3 vagnar). C matrisens uppbyggnad går till på samma sätt.

k K + ,1 =−

(

)

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ × − × × × − × × × = + 1 1 , 1i k i K end

Den övre diagonalen:

for i=1:

(

n−1

)

(

i i

)

k K , +1 =−

(

)

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ × × × − × × × − × = + 1 1 1 ,i k i K end

Om hela Matlab koden ovan körs fås den fullständiga styvhetsmatrisen K, då n=3:

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − = 1 1 0 1 2 1 0 1 1 k K

På samma sätt fås även dämpningsmatrisen C:

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − = 1 1 0 1 2 1 0 1 1 c C

(26)

3.5 Lösning av ordinära differentialekvationer i Matlab

Den inbyggda ODE-solvern i Matlab är ett numeriskt verktyg för att lösa ordinära differentialekvationer. ODE-solvern kan dock endast lösa första gradens differential-ekvationer. Men med ett litet trick kan man lösa differentialekvationer av högre ordningar också, nämligen genom att skriva om dem till ett system med första ordningens system.

Betrakta ett massa-fjäder-dämpare-system som påverkas av en konstant kraft: Newtons andra lag ger rörelseekvationen:

F x C Kx x M=− − − (1)

För att lösa (1) numeriskt formulerar vi först om problemet till ett system av två kopplade första ordningens ordinära differentialekvationer enligt:

v x=

(2)

(

M

)(

Kx Cv F

)

v= −1/ + +

Eftersom Matlab arbetar med vektorer och matriser sammanför vi x och v till vektorn

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ≡ v x X X X 2 1 (3)

Så att ODE-systemet (2) kan skrivas som en vektorekvation:

(

)

⎟⎟_⎠⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ F CX KX M X X X 2 1 2 2 1 ) / 1 ( (4)

Detta ODE-system, som alltså är ekvivalent med (3), implementeras i Matlab som m-filen train_input med följande innehåll:

function x_dot=train_input(t,X)

x_dot=zeros(2,1) definierar x_dot som

2x1-nollmatrisen

x_dot(1)=X(2) x_dot=v

x_dot(2)=(1/M)*(K*X(1)+C*X(2)+F_tot) vdot=(-1/M)(Kx+Cx+F_tot)

Vi tänker oss alltså Matlab-vektorn X definierad av X = [x v]´ så att X(1) = x och X(2) = v. Notera primet (´) som anger transponat och gör X till en kolonnvektor.

(27)

Ovanstående Matlab kod gäller endast för en vagn. Man får utvidga koden en del ifall man vill att den skall beskriva ett system med ett godtyckligt antal (n stycken) ihopkopplade vagnar.

x_dot=zeros(2*n,1)

x_dot(1:n)=X((n+1):(2*n))

x_dot((n+1):(2*n))=Minv*(-K*X(1:n)-C*X((n+1):(2*n))+F_tot)

Exempel på tillämpning av ODE 45:

ODE 45 anropas på följande sätt: [t,x] = ode45[´odefun´, t_vek, init]

Där odefun (train_input i vårt fall) är högerledet i en ordinär differentialekvation av första ordningen.

Här kan vi tänka oss att t är en tidsparameter, x kan vara en position och funktionen f beskriver hur positionen beror av tiden. När ekvationen löses av ode45 så lagras tidsvärdena i vektorn t och positionsvärden i vektorn x. Parametern t_vek är en vektor som ska innehålla första och sista t-värdet i det tidsintervall där man vill lösa ekvationen och i init ska alla initialvillkor specificeras.

I vårt fall med ett godtyckligt antal ihopkopplade vagnar som sätts i svängning måste initialvillkor för vagnarna samt loket specificeras. De initialvillkor som är intressanta är lokets och vagnarnas position samt deras hastighet. Eftersom Matlab är vektor- och matrisbaserat måste dessa initialvillkor sammanföras i vektorn init. Ponera ett system med ett lok och en vagn. Första platsen i vektorn init är då lokets position, andra platsen är vagn 1:s position, tredje platsen är lokets hastighet och den fjärde platsen är vagn 1:s hastighet. Detta gäller för ett system med ett lok och en vagn men är förstås även applicerbart på ett lok och ett godtyckligt antal ihopkopplade vagnar. Matlab koden som beskriver initialvillkoren i init vektorn ser ut som följer:

Initialvillkor:

for i=1:n

( )

i =0

init Alla platser i init vektorn sätts till noll end

( )

lok position

init1 = _ Första platsen i init vektorn är lokets position

(

n

)

lok hastighet

init +1 = _ Platsen för lokets hastighet beroende på antalet vagnar

(28)

(29)

4 Analys och resultat

Syftet med den här studien är som sagt att titta på hur stora krafterna i kopplen mellan vagnarna, dvs. i fjädrarna blir under körning. Det som är intressant att se är hur dessa krafter varierar när tåget accelererar samt bromsar in när systemet sätts i svängning. Detta löses genom att tillföra en varierande kraft på loket vilket simulerar accelerations- samt inbromsningstillfällena. En utmärkt funktion för detta ändamål är en konstant dragkraft F0 (amplitud) multiplicerad med en sinusformad funktion som

beror av vinkelfrekvensen samt tiden.

( )

t F₀sin( t)

F = ω

Då krafterna mellan vagnarna är större än dragkraften från loket (F0) finns det risk för

brott i kopplen (fjädrarna). Detta kan medföra att loket tappar vagnar. Därför är det önskvärt att studera vilka parametrar som påverkar krafternas storlek i kopplen. För att detta ska kunna genomföras så verklighetstroget som möjligt måste värden på diverse indata i Matlab koden vara realistiska. Nedan listade faktorer påverkar hur stor kraften mellan vagnarna blir under körning.

• Massan på vagnar och lok (inklusive eventuell last)

Massan på loket och vagnarna är satta till 100 000 kg respektive 50000 kg. • Antalet vagnar

Antalet vagnar kan varieras från 1 (endast lok) till 50 stycken (lok + vagnar). • Kopplens styvhet

Kopplens styvhet efterliknas här av styvhetskonstanterna i fjädrarna. • Dämpningen

Dämpningen beror av dämpstyvheten [Ns/m] i kopplen som har följande samband: m

k

c=µ*2 * , där µ är dämpningskoefficienten • Tågets begynnelsehastighet

Tågets begynnelsehastighet sätts till 16 m/s

(30)

• Vinkelfrekvensen (ω)

För att studera krafterna mellan tågvagnarna så sätts hela systemet (tåget) i svängning. Detta medför att fjädrarna töjs ut eller pressas ihop och krafterna kan därmed beräknas:

x k F = ∆

• Uppförsbacke eller nedförsbacke

En kraftkomposant kommer att påverka alla vagnar vid uppförsbacke eller i nedförsbacke. Lutningen på körbanan varieras med vinkeln θ som antingen är positiv vid uppförsbacke eller negativ vid nedförsbacke.

θ sin mg F =−

(31)

4.1 Begynnelseläge

I begynnelsefallet sätts all indata i Matlab-filerna som konstanta. För att sedan variera respektive parameter var för sig för att se ifall de inverkar på krafternas storlek i kopplen. Initialt sätts antalet vagnar till 3 stycken inklusive lok (n=3) för att det ger mer överskådliga grafer. Följande indata sätts konstanta: n=3, k=20000, m1=100000,

m=50000, F0=10000 och ω=0.2.

Den maximala kraften (amplituden) i kraftdiagrammet räknas ut av en inbyggd funktion i Matlab som kommer att redovisas under kraftdiagrammet.

Figur 11: Här ser man hur respektive vagns hastighet varierar under körning. Begynnelse-hastigheten är sedan tidigare satt till 16 m/s

(32)

Figur 13: Visar hur stora krafterna är i kopplen mellan vagnarna. Storleken på respektive kraft är proportionell mot fjäderstyvheten (k), samt fjädrarnas längdförändring (x) som påverkas av diverse faktorer

Den maximala kraften som uppstod i detta fall var Fmax = -7.0971*10^3 N

Figur 14: Kraftdiagram då tidsintervallet ökas till t=15000s

Om man ökar tidsintervallet från 300s till 15000s vid begynnelsefallet så ser man stora ”peakar” vid vissa tidpunkter i kraftdiagrammet.

Dessa peakar representerar stora krafter mellan vagn-paren. Peaken vid tiden t=6059s kommer att studeras närmare.

(33)

Figur 15: Kraftdiagram för respektive vagn-par i förstoring

Betraktar man på kraftdiagrammet i figuren ser man att kraften (F=3,266*10^4 N) mellan första vagnen (loket) och andra vagnen är positiv vid tiden t=6059s, medan kraften mellan vagn 2 och 3 är negativ samt mindre (F=-2,236*10^4 N) vid samma tidpunkt. Positiva och negativa värden fås beroende på om vagnarna utsätts för tryckande eller dragande krafter.

Figur 16: Vagnarnas hastighetsdiagram i förstoring

Studerar man hastighetsdiagrammet närmare ser man att vagn 1 och vagn 3:s hastigheter följer varandra vid tidpunkten som studeras. Dessa vagnar accelererar vid detta ögonblick medan vagn 2 bromsar in. Vid peaken korsar vagnarnas hastigheter i hastighetsdiagrammet och detta innebär att samtliga vagnar har ungefär samma hastighet vid det tillfället.

F=3,266*10^4 N

(34)

10 m 10 m

Vagn 3 Vagn 2 Vagn 1

8.583 m 19.583 m

Vid t = 0 s

Vid t = 6059 s

(35)

Betraktar man på vagnarnas position relativt loket ser man att vagn 2:s avstånd till loket är 8,583 m då t=6059s. Här ser man att avståndet mellan dessa vagnar är 1,417 m (10-8,583) kortare jämfört med startläget vid t=0s, detta resulterar i en tryckande kraft.

Vagn 3 är på avstånden 19,53 m relativt vagn 1. Det medför att avståndet mellan vagn 2 och 3 är 0,947 m (19,53-8,583) längre än vid startläget och resulterar i en dragande kraft.

En tryckande kraft ger alltså ett positivt värde i kraftdiagrammet medan en dragande kraft ger ett negativt värde.

I nästföljande avsnitt kommer nedanstående parametrar att studeras närmare. 1. Antalet vagnar (n)

2. Styvhetsvärdet (k)

3. Massan på tåget (m1 och m)

4. Dragkraften (F0)

5. Vinkelhastigheten (ω) 6. Lutningen på körbanan (θ)

Andra indata kommer att vara detsamma som i detta avsnitt och kommer därmed inte att skrivas ut under respektive kapitel.

(36)

4.2 Antalet vagnar

• Antalet vagnar är satt till n=5 stycken

Figur 18: Respektive vagns hastighet då antalet vagnar uppgår till 5 stycken

(37)

Figur 20: Visar storleken på krafterna mellan vagnarna då antalet vagnar uppgår till 5 stycken

5 vagnar ger Fmax = 1.1966*10^4 N mellan vagn 2 och 3

10 vagnar ger Fmax = -4.1422*10^4 N mellan vagn 4 och 5

(38)

30 vagnar ger Fmax = 2.3882*10^4 N mellan vagn 5 och 6

40 vagnar ger Fmax = -1.9992*10^4 N mellan vagn 16 och 17

(39)

4.3 Styvhetsvärdet

• Styvhetsvärdet fördubblas till k=40000 N/m

Figur 26: Respektive vagns hastighet då styvhetsvärdet k=40000 N/m

(40)

Figur 28: Visar storleken på krafterna mellan vagnarna då styvhetsvärdet k=40000 N/m

k=40000 N/m ger Fmax = 9.0477*10^3 N mellan vagn 1 och 2

(41)

k=200000 N/m ger Fmax = -2.2259*10^4 N mellan vagn 2 och 3

(42)

4.4 Massan på tåget

• Lokets massa fördubblas till m1=200 000 [kg]

• Vagnarnas massor fördubblas till m=100 000 [kg]

Figur 32: Respektive vagns hastighet då massan på tåget fördubblas

(43)

Figur 34: Visar storleken på krafterna mellan vagnarna då massan på tåget fördubblas

m1=200000 kg, m=100000 kg ger Fmax = -1.0263*10^4 N mellan vagn 1 och 2

Figur 35: m1=400000 kg, m=200000 kg

m1=400000 kg, m=200000 kg ger Fmax =2.0713*10^4 N mellan vagn 2 och 3

Figur 36: m1=800000 kg, m=400000 kg

(44)

4.5 Dragkraften

• Dragkraften fördubblas till F0=20000 [N]

Figur 37: Respektive vagns hastighet då dragkraften fördubblas

(45)

Figur 39: Visar storleken på krafterna mellan vagnarna då dragkraften fördubblas

F0=20000 N ger Fmax = 1.8166*10^4 N mellan vagn 1 och 2

Figur 40: F0=50000 N

F0=50000 N ger Fmax = -3.4460*10^4 N mellan vagn 1 och 2

Figur 41: F0=500000 N

(46)

4.6 Vinkelhastigheten

• Vinkelhastigheten fördubblas till ω=0.4 rad/s

Figur 42: Respektive vagns hastighet då vinkelhastigheten fördubblas

(47)

Figur 44: Visar storleken på krafterna mellan vagnarna då vinkelhastigheten fördubblas

ω=0.4 rad/s ger Fmax = -1,2882*10^4 N mellan vagn 1 och 2

Figur 45: ω=0.6 rad/s

ω=0.6 rad/s ger Fmax= -1.6879*10^4 N mellan vagn 1 och 2

Figur 46: ω=0.8 rad/s

(48)

Figur 47: ω=1 rad/s

(49)

4.7 Lutande plan

• Lutningen på körbanan sätts till vinkel_grad=2 (2 graders positiv lutning på körbanan)

Figur 48: Respektive vagns hastighet då lutningen på körbanan är 2 grader

Figur 49: Respektive vagns position relativt loket då lutningen på körbanan är 2 grader

(50)

4.8 Egenvinkelfrekvens

I avsnitt 3.2 Egenvinkelfrekvens illustreras teorin hur man får fram egenvinkel-frekvensen då systemet börjar svänga. Vid det ögonblicket är kraften mellan vagnarna som störst. Vid uträkningen av egenvinkelfrekvensen begränsas antalet vagnar till två stycken samt att dämpningen avlägsnas (µ=0). Egenvinkelfrekvensen slutligen fås ur en andragradsekvation enligt tidigare.

Ifall antalet vagnar överstiger två stycken ger det upphov till högre ordningens polynom och uträkningen blir väldigt problematisk att lösa.

Figur 51: Två vagnar ihopkopplade Tillvägagångssätt:

I detta exempel sätts massan för loket detsamma som den första vagnen för att förenkla beräkningen. Data: M=100000 Kg k=20000 N/m

(

2*20000

)

100000 0.6325 2 = = = M k e ω rad/s

Vid inmatning av de givna parametrarna ovan samt olika värden på ωe i Matlab

programmet fås den maximala kraften som verkar i kopplen: ωe=0.6 ger Fmax = 1.1645*10^5 N

ωe=0.63 ger Fmax = 4.7230*10^5 N ωe=0.6325 ger Fmax = 4.8451*10^5 N

ωe=0.64 ger Fmax = 3.9387*10^5 N

ωe=0.7 ger Fmax = -4.7904*10^4 N

Den framräknade egenvinkelfrekvensen ωe=0.6325 enligt teorin gav alltså upphov till

störst krafter mellan vagnarna, då denna parameter uppgavs som frekvens i Matlab programmet.

(51)

5 Slutsats

Syftet med detta arbete var att studera hur storleken på krafterna mellan vagnarna i kopplen påverkas då tåget accelererar och bromsar in under körning. Nedan redogörs för de faktorer som påverkar storleken på krafterna i kopplen.

Antal vagnar

Om man i Matlab programmet till en början har ett lok och en vagn, så kan man studera hur den maximala kraften (Fmax) i kopplen påverkas genom att successivt

koppla på en extra vagn. Krafterna i kopplen ökar inte proportionellt med ökande antalet vagnar, som man först spontant kan tro. Till en början ökar faktiskt krafterna mellan dem men när antalet vagnar blir fler och fler till antalet så börjar krafterna att avta. Flera olika egensvängningar kan äga rum i tiden och beroende på vilket tidsintervall man vill studera så får man olika värden på Fmax. Detta gör att man inte

kan ange vid vilket antal vagnar som krafterna börjar avta.

Styvheten

Storleken på styvhetskonstanten påverkar hur stora krafterna blir i kopplen, som även kan ses i formeln F=k*x. Då styvhetskonstanten är hög samt när deformationen x av kopplen mellan varje vagn är som störst uppstår det stora krafter i kopplen. Styvhetsvärdet k påverkar även vagnarnas position relativt loket under körning. Fjädringen i kopplen minskar med ökande värde på styvhetsvärdet k och kopplen blir på så sätt stelare. Detta resulterar i att vagnarnas position relativt loket inte ändras lika mycket som då kopplen görs vekare.

Massan

När tågvagnarna lastas med malm ökar givetvis även vikten på hela ekipaget och får till följd att loket måste klara av att dra mer last. Kraften i kopplen ökar till följd av ökad massa på tåget. När tågvagnarna inte har någon last och därmed lägre vikt går tåget ryckigt, men när man lastar tåget får den en mjukare gång.

Dragkraften

Dragkraften ändrar proportionellt kraften i kopplen. Desto större dragkraft ju större kraft uppstår på kopplen.

Vinkelhastighet

Stora krafter i kopplen uppstår då systemet börjar självsvänga med egenvinkel-frekvensen samt då excitationens vinkelfrekvens ligger nära egenvinkelegenvinkel-frekvensen.

(52)

(53)

6 Diskussion

I vår analys av hur krafterna påverkas i kopplen i ett tåg under körning, så har detta simulerats i form av ett massa-fjäder-dämpare-system i Matlab. Detta system speglar inte hur malmbanans tåg beter sig i verkligheten utan bara i teorins värld. Matlab programmet som skrevs under projektets gång har främst används som underlag för att se vilka faktorer som ger upphov till stora krafter i kopplen och hur man kan minska på dessa.

Om vi haft tillgång till verkliga värden på de parametrar som använts som inputvärden i Matlab programmet så skulle det ge upphov till mer verklighetstrogna värden på krafternas storlek. Med ett riktigt värde på t.ex. styvhetsvärdet k så skulle styvheten i kopplen bli mer realistiskt och man skulle på så sätt kunna få en bättre bild över hur tågvagnarna rör sig relativt varandra under körning.

I dagens version används en sinusfunktion som efterliknar när tåget accelererar och bromsar. Att kunna kopiera och implementera en verklig körning till programmet skulle vara intressant för att se hur krafterna varierar i körningen i realiteten.

En Fem-analys mellan koppel på vagnarna vore intressant för att se hur mycket kopplet klarar av innan brott uppstår.

(54)

(55)

Källförteckning

Litteratur:

Bergman N, Gustafsson F: MATLAB® for Engineers Explained, Springer-Verlag

London 2003

Dahlberg, Tore: Teknisk hållfashetslära, Studentlitteratur Lund 2001

Internet: www.lkab.com www.jarnvag.net www.kindustrier.se

(56)

(57)

Bilaga 1: Användarmanual

Matlab programmeringen för att räkna ut krafterna mellan vagnarna är uppdelade i två filer, train_input.m och solver.m. I filen train_input förbereds inputdata för den ordinära differentialekvationslösaren i filen solver.m. De bägge filerna har varsin input sektion där önskade parametrar måste specificeras innan Matlab koden exekveras. Nedan följer vilka parametrar som måste tecknas innan i respektive fil.

Train_input.m

n – antalet vagnar inklusive lok

k – styvhetskonstanten i fjädrarna (kopplen) mellan vagnarna [N/m]

m1 – lokets vikt [kg]

m – vagnarnas vikt [kg]

damping_koeff – dämningskoefficienten µ

f0 – dragkraften från loket i funktionen F

( )

t =F₀sin(ωt) som sätter systemet i svängning [N]

f_broms – eventuell motriktad konstant bromskraft som verkar på varje vagn [N] f0_konst – konstant dragkraft från loket [N]. Sätt f0 ovan till noll ifall detta fall ska prövas

w – vinkelhastighet [rad/s] som systemet svänger med i funktionen F

( )

t =F₀ sin(ωt)

vinkel_grad – Gradantalet på körbanan vid körning. På plan mark (vinkel_grad = 0°), uppförsbacke (vinkel_grad > 0°) eller nedförsbacke (vinkel_grad < 0°)

Solver.m

n - kopiera värden från TRAIN_INPUT.m k - kopiera värden från TRAIN_INPUT.m

t_start och t_stopp – Är tidsintervallet som integrerar differentialekvationssystemet dist - distansen mellan vagnarna [m]

(58)

(59)

Bilaga 2: train_input.m

%---%INPUT

n=3; % antalet vagnar (inkl lok)

k=20000; % styvhetskonstant i fjädrarna (kopplen) m1=100000; % lokets vikt m=50000; % vagnarnas vikt g=9.81; % gravitationskoefficient damping_koeff=0.1; % zeta c=damping_koeff*2*sqrt(k*m); % dämpning f0=10000; % dragkraften från loket

f_broms=0; % bromskraft som verkar på varje vagn (inkl lok) f0_konst=0;

w=0.2; % vinkelfrekvens

vinkel_grad=0; % lutande plan [grader] vinkel_rad=vinkel_grad*pi/180; % [grader]=>[radianer] %---%Massmatris M for i=2:n M(i,i)=m; end M(1,1)=m1;

Minv=inv(M); % Massmatrisen inverterad

%Styvhetsmatris K if n<=1 K(1,1)=0 end if n>1 for i=2:(n-1) K(i,i)=2*k; end for i=1:(n-1) K(i,i+1)=-k; end for i=1:(n-1) K(i+1,i)=-k; K(1,1)=k; K(n,n)=k; end

(60)

% Friktionsmatis C (dämpning) for i=2:(n-1) C(i,i)=2*c; end for i=1:(n-1) C(i,i+1)=-c; end for i=1:(n-1) C(i+1,i)=-c; end C(1,1)=c; C(n,n)=c; %Variabel kraftvektor for i=1:n F(i)=0; end F(1)=f0*sin(w*t);

F=(F)'; % radvektor => kolonnvektor (transponat)

%Lutandeplan kraftvektor for i=1:n F_lutning(i)=i*m*g*sin(vinkel_rad); end F_lutning(1)=m1*g*sin(vinkel_rad); F_lutning=(F_lutning)'; % transponat %Broms kraftvektor for i=1:n F_broms(i)=i*f_broms; end F_broms=F_broms'; % transponat %Konstant kraftvektor for i=1:n F_konst(i)=0; end F_konst(1)=f0_konst; F_konst=(F_konst)'; % transponat % Total kraftvektor F_tot=F+F_konst-F_broms-F_lutning;

% Förberedelse av input data for ODE45-solvern i filen solver.m % Definierar x_dot som (2*n)x1-nollmatrisen

x_dot=zeros(2*n,1);

% x_dot=v

x_dot(1:n)=X((n+1):(2*n));

%v_dot=(-1/M)(Kx+Cx_dot+F_tot)

(61)

Bilaga 3: solver.m

%---% INPUT

n=3; %!!!kopiera värden från TRAIN_INPUT.m k=20000; %!!!kopiera värden från TRAIN_INPUT.m t_start=0;

t_stopp=300; %tids intervall [sekunder] dist=10; %distans mellan vagnarna [m]

% Begynnelsevillor för init vektorn

lok_position=0; %lokets position sätts till noll lok_hastighet=16; %[m/s] vagn_hastighet=16; %[m/s] %---% init vektorn ---for i=1:n init(i)=0; end for i=(n+1):(2*n) init(i)=vagn_hastighet; end init(1)=lok_position; init(n+1)=lok_hastighet;

% Den ordinära differential ekvationslösaren ODE45 --- [t,x]=ode45('train_input',[t_start t_stopp],init);

(62)

% PLOT av hastighet --- string=cell(n,1);

for i=1:n

s=num2str(i);

string{i,1}=['hastigheten för' ' vagn ' s ''];

end

subplot(3,2,1);

plot(t,x(:,(n+1):(i+n)))

xlabel('Vagnarnas hastighet [m/s]'); legend(string)

% PLOT av vagnarnas position relativt loket ---

for i=1:n Loket(:,i)=x(:,1); end for i=1:n rel_x(:,i)=-x(:,i)+Loket(:,i)+(i-1)*dist; end string=cell(n,1); for i=2:n s=num2str(i);

string{i,1}=['positionen för vagn ' s ' relativt loket' ];

end

string{1,1}=['lokets position' ' (vagn 1)'];

subplot(3,2,2); plot(t,rel_x(:,1:n))

xlabel('Vagnarnas position relativt loket [m]'); legend(string)

% PLOT av krafter mellan vagnar ---force(:,(1:(n-1)))=k*(x(:,(2:n))-x(:,(1:(n-1))));

string=cell((n-1),1);

for i=1:(n-1); s=num2str(i);

splus=num2str(i+1);

string{i,1}=['kraften' ' mellan vagn ' s ' och vagn ' splus ''];

end

subplot(3,2,3);

plot(t,force(:,1:(n-1)))

xlabel('Krafter mellan vagnarna [N]'); max(force)

min(force)

(63)

Institution och avdelning Framläggningsdatum

Publiceringsdatum (elektronisk version)

Språk Rapporttyp _ISBN:

Svenska

Annat (ange nedan)

Licentiatavhandling Examensarbete ISRN: ________________ C-uppsats D-uppsats Serietitel Övrig rapport __________________ Serienummer/ISSN

URL för elektronisk version

Titel

Författare

Sammanfattning

Ins. för konstruktions- och produktionsteknik Hållfasthetslära

2006-10-02

2006-11-28

LITH-IKP-MAG-EX--06/0046--SE

urn:nbn:se:liu:diva-7638

Vågutbredning i tåg – En analys i Matlab Wave Propagation in trains

Jonny Nilsson, Jonny Sahlberg

Vid malmbrytning förflyttas malm långa sträckor med tåg. Malmbanan är en järnväg som går från Luleå till Narvik i Norge. Mellan Kiruna och Narvik fraktas det årligen ca 15 miljoner ton järnmalm. Tåget består av 2 lok med 52 vagnar där varje vagn kan väga upp till 100 ton. I kopplen mellan vissa vagnar uppstår sprickor som kan leda till brott så att tåget riskerar tappa vagnar.

Syftet med det här arbetet är att titta på hur stora krafterna blir i kopplen mellan tågvagnarna. Tåget har i denna studie simulerats i Matlab i form av ett system bestående av massor, fjädrar och dämpare.

Vad som är intressant att se är hur dessa krafter varierar när tåget accelererar samt bromsar in så att systemet sätts i svängning. Problemet löstes genom att tillföra en varierande kraft F(t)=F0sin(wt) på loket, vilket simulerar accelerations- samt inbromsnings-tillfällena. Då krafterna mellan vagnarna är större än dragkraften från loket (F0) finns det risk för brott i kopplen (fjädrarna). Detta kan medföra att tåget tappar vagnar. Därför är det önskvärt att studera vilka parametrar som påverkar krafternas storlek i kopplen. Matlab-programmeringen för att räkna ut krafterna mellan vagnarna är uppdelade i två filer, nämligen train_input.m och solver.m. I filen train_input förbereds inputdata för den ordinära differentialekvationslösaren i filen solver.m. De bägge filerna har varsin input-sektion där önskade parametrar måste specificeras innan Matlab-koden exekveras.

Om man i Matlab-programmet till en början har ett lok och en vagn, så kan man studera hur den maximala kraften (Fmax) i kopplen påverkas genom att successivt koppla på en extra vagn. Krafterna i kopplen ökar inte proportionellt med ökande antalet vagnar, som man först spontant kan tro. Till en början ökar krafterna mellan dem men när antalet vagnar blir fler och fler så börjar kraftökningen att avta. Flera olika egensvängningar kan äga rum och beroende på vilket tidsintervall man vill studera får man olika värden på Fmax. Detta gör att man inte kan ange vid vilket antal vagnar som krafterna börjar avta.

Då styvhetskonstanten är hög samt när deformationen av kopplet/fjädern mellan varje vagn är som störst uppstår stora krafter i kopplen. Styvhetsvärdet k påverkar även vagnarnas position relativt loket under körning. Fjädringen i kopplen minskar med ökande värde på styvhetsvärdet k och kopplen blir på så sätt stelare. Detta resulterar i att vagnarnas position relativt loket inte ändras lika mycket då kopplen görs stelare.

När tågvagnarna lastas med malm ökar givetvis även vikten på hela ekipaget och får till följd att loket måste klara av att dra mer last. Kraften i kopplen ökar till följd av ökad massa på tåget. När tågvagnarna inte har någon last och därmed lägre vikt går tåget ryckigt, men när man lastar tåget får det en mjukare gång, frekvensen blir lägre.