Matematiklärande genom kreativa resonemang

NATURVETENSKAP -MILJÖ-SAMHÄLLE

Självständigt arbete i Matematik och lärande

Matematiklärande genom kreativa

resonemang

Learning mathematics through creative reasoning

Assma El Bariaki

Rebecka Schmidt

Ämneslärarexamen med inriktning mot årskurs 7-9, Examinator: Peter Bengtsson

330 högskolepoäng Handledare: Jan Olsson

Självständigt Arbete på grundnivå LL204G 15 hp 2021-01-13

2

Förord

Denna uppsats har skrivits av två studenter vid Malmö universitet inom ramen för kursen Självständigt arbete på grundnivå 15 hp under hösten 2020. Kursen är en del av

ämneslärarprogrammet mot årskurs 7-9 där frågeställningen är vald utifrån

fördjupningsämnet matematik. Det gemensamma intresset härstammar från liknande observationer från vår verksamhetsförlagda utbildning där främst rutinuppgifter används i undervisning och det har funnit begränsade möjligheter för elever att lösa utmanande problem. Alla delar i arbetet har genomförts tillsammans och således har båda parter bidragit med lika mycket i alla delar. Vi vill rikta ett stort tack till vår handledare som har stöttat oss genom hela skrivprocessen och gett oss genomtänkt feedback för att komma framåt i vårt arbete.

3

Abstract

I den nya läroplanen Lgr 11 är resonemang i fokus och betraktas som en viktig del i

utvecklingen av matematiska kunskaper hos elever (Skolverket, 2019). Hur elever resonerar och lär sig att resonera kan påverkas av den undervisning elever erbjuds i skolan.

Matematikuppgifter är ett viktigt undervisningsverktyg som lärare använder för att skapa lärandesituationer för elever. Vilka uppgifter läraren väljer och hur dessa används i

undervisning, kan påverka elevens sätt att resonera fram sin lösning som i sin tur påverkar elevernas lärande. Studiens syfte var att få kännedom om hur elever genom kreativa resonemang kan utveckla sitt matematiklärande där vi ställde två följdfrågor om hur uppgifter och lärare kan bidra till detta. Utifrån en systematisk informationssökning och analys av relevant forskning inom detta område har det visats att traditionell undervisning som bidrar till lärande genom främst algoritmiska resonemang har vissa begränsningar och undervisning som främjar kreativa resonemang kan hjälpa elever i sitt matematiklärande. Hur lärare stöttar elever i undervisning för att främja resonemang, hur de använder sig av uppgifter och hur feedback utnyttjas har även visat sig spela en avgörande roll.

Nyckelord: matematikuppgifter, kreativt resonemang, imitativt resonemang, algoritmiskt resonemang, matematiklärande

4

Innehållsförteckning

1 Inledning... 5

2 Syfte & Frågeställning ... 8

2.1 Frågeställning...8

3 Metod ... 9

3.1.2 Urvalskriterier ...9

3.2 Sökprocessen... 10

3.2.1 Sökning i ERIC via EBSCO ... 11

3.2.2 Sökning i Libsearch ... 11

3.2.3 Sökning i SwePub ... 12

3.2.4 Sekundärsökning ... 12

3. 3 Analys av resultat ... 14

4 Resultat ... 15

4.1 Matematiklärande genom uppgifter som främjar AR och CMR ... 15

4.2 Lärarens ansvar ... 18

4.2.1 Val av uppgifter och uppgiftsutformning ... 18

4.2.3 Att stödja elevers lösningsprocess ... 21

4.3 Feedback ... 23

5 Diskussion & Slutsats ... 25

5.1 Diskussion ... 25

5.2 Slutsats ... 26

5.2.1 Förslag på vidare forskning ... 27

5

1 Inledning

Vi har uppmärksammat dominansen av matematikböckernas och uppgiftsräknandets roll i undervisningen under vår verksamhetsförlagda utbildning. Skolan har en lång tradition där matematikundervisningen helt eller delvis bygger på matematikböcker och dess innehåll (Johansson, 2006). Resultatet från en studie visade att 79% av undervisningstiden gick ut på att elever skulle lösa uppgifter som bidrog till att öva förmågan att genomföra procedurer (Boesen, Helenius, Bergqvist, Bergqvist, Lithner, Palm & Palmberg, 2014). Majoriteten av dessa uppgifter valdes utifrån elevers matematikböcker.

En studie undersökte läroböckers innehåll från tolv olika länder där Sverige var ett av länderna (Jäder, Lithner & Sidenvall, 2015). Resultatet visade att läroboken och dess uppgifter ger en begränsad möjlighet för elever att utveckla sin problemlösningsförmåga. Från Skolverkets rapport från TIMSS genomförd år 2015 visade svenska elever ett försämrat resultat i matematik jämfört med tidigare år (Skolverket, 2016). Under rubriken “Lektionernas innehåll matematik och NO” går det att läsa att det är ovanligt att lärare ber elever att lösa mer utmanande uppgifter. Det är även en relativt liten andel av elever i årskurs 8 som ombeds att själva bestämma metod vid lösning av en uppgift (Skolverket, 2016). Den senaste rapporten från TIMSS genomförd år 2019 kunde visa ett oförändrat resultat för Sverige i matematik (Skolverket, 2020).

Enligt Skolverket (2019) ska elever nyfiket pröva, argumentera och resonera kring matematik. Det står i läroplanen (Skolverkets, 2019, s.54) att,

“Undervisningen ska bidra till att eleverna utvecklar förmågan att argumentera logiskt och föra matematiska resonemang. Eleverna ska genom undervisningen också̊ ges möjlighet att utveckla en förtrogenhet med matematikens uttrycksformer och hur dessa kan användas för att kommunicera om matematik i vardagliga och matematiska sammanhang. ”

Frågan är om elever verkligen får rätt förutsättningar i form av vilka uppgifter de löser, hur de löser dem och hur lärare framlägger dessa i klassrummet för att kunna utvecklas mot matematikämnets krav.

6

Bristen på mer komplexa och utmanande matematiska problem i undervisningen är oroande (Boaler, 2017). Boaler (2017) menar att undervisning som bygger på att elever arbetar med förenklade versioner av matematiska problem som de repeterar i det oändliga inte är riktig matematik och säger istället, ”Att resonera sig fram till en lösning är själva grunden i

matematik. När eleverna kan tala om hur de har kommit fram till en lösning och kan diskutera andras lösningar så ägnar de sig naturligt åt matematik.” (Boaler, 2017, s.112). Ball och Bass (2003)

säger att matematisk förståelse och matematiskt resonemang är oskiljbara. De beskriver matematiska resonemang både som ett mål och samtidigt som ett medel för att nå denna förståelse. Resonemang är nödvändigt för att internalisera kunskap och kunna använda det i nya kontexter. De kan användas både för att undersöka ny matematik, bygga ny kunskap och för att bevisa eller förklara kunskap (Ball & Bass, 2003). Vilka uppgifter läraren bygger sin undervisning på avgör vilken uppfattning elever utvecklar och skapar även

förutsättningar för en ingående förståelse för matematikämnet (Boaler, 2017). Det kan vara svårt att veta vilka matematiska frågor som ska tas upp, hur de ska presenteras och vem som ska ställa dem för att stödja elevers förmåga att resonera i matematik. Boaler (2017) betonar lärarens avgörande roll i att skapa förutsättningar till utvecklande

inlärningsupplevelser genom att själv utveckla sina kompetenser i hur uppgifter kan användas och anpassas i undervisning.

Lithner (2008) föreslår två olika huvudtyper av resonemang som elever kan använda. Den ena är när eleven använder ett färdigt recept av en lösningsstrategi som hen tränar på och minns utantill. Detta definierar Lithner (2008) som imitativt resonemang, IR. Den andra huvudtypen definierar författaren (2008) som kreativt grundat resonemang, CMR, vilken innebär att eleven konstruerar nya lösningsstrategier för att lösa matematikuppgiften. I Lithners ramverk (2008) definierar han resonemang som resultatet av tankeprocesser, d.v.s. den sekvens av påståenden och argument som startar med en uppgift och avslutar med ett svar.

1.2 Imitativa resonemang

Lithner (2008) delar in imitativa resonemang i två huvudtyper, den första namnger han som memorerat resonemang, MR. Strategin bygger på att ett fullständigt svar återkallas och att

7

detta implementeras genom att endast skriva svaret. Den andra beskrivs som algoritmiskt resonemang, AR där eleven minns en algoritm som löser uppgiften korrekt. En konceptuell tankeprocess samt argumentation saknas i lösningen. Detta kan enligt Lithner (2008) begränsa inlärningseffekten eftersom eleven löser uppgiften genom att minnas, imitera och utan matematisk grund för sina val.

1.3 Kreativa resonemang

Kreativa resonemang enligt Lithner (2008) innebär att eleven konstruerar en egen lösning till en uppgift och argumenterar för lösningens rimlighet med argument som är

matematiskt förankrade. Lithner (2008) menar att kreativt resonemang inte behöver vara mer utmanande eller förknippad med intelligens. Även enklare resonemang definieras som kreativa om de uppfyller följande kriterier,

• Ett nytt resonemang (för den som löser problemet) skapas eller ett som glömts bort återskapas,

• Det finns argument som stödjer strategin som används, de motiverar varför detta är giltigt,

• Samt att argumenten är förankrade i de matematiska egenskaperna i de delar som är inblandade i problemet.

Det verkar finnas ett bekymmer med att elever idag erbjuds en undervisning med ett starkt fokus på rutinuppgifter och användandet av färdiga algoritmer och imitativa resonemang. Utifrån vår erfarenhet från den verksamhetsförlagda utbildningen, nationella och

internationella undersökningar, rapporter och även utifrån tidigare forskning har matematikuppgifters centrala roll i undervisning bekräftats. Det gör det intressant att undersöka hur lärare kan undervisa för att elever ska kunna lära sig genom kreativa resonemang. I denna studie kommer delar som handlar om uppgifters utformning och lärarens ansvar att vara i fokus.

8

2 Syfte & Frågeställning

Syftet är att denna kunskapsöversikt ska kunna redogöra för hur matematikundervisning kan hjälpa elever att utveckla och använda kreativa resonemang och på så sätt utveckla sina matematiska kunskaper.

2.1 Frågeställning

Vi har valt att fokusera denna kunskapsöversikt till frågeställningen,

• Hur kan matematikundervisning ge elever bättre förutsättningar för att utveckla sitt lärande i matematik genom kreativa resonemang?

Detta ger oss två följdfrågor som vi vill lyfta,

• Vilka matematikuppgifter kan bidra till att hjälpa elever att lösa uppgifter med kreativa resonemang?

• Vilket ansvar har läraren i detta för att eleven ska kunna lära sig genom kreativa resonemang?

9

3 Metod

Detta kapitel börjar med en beskrivning av insamlingsprocessen och urvalskriterierna som användes vid datainsamlingen för att sedan gå över till sökprocessen som delats in avsnitt baserat på sökningarna i de olika databaserna. Avslutningsvis kommer ett avsnitt med en metodanalys. Enligt Friberg (2017) är det viktigt med en detaljerad sökprocess då den möjliggör för läsaren att kunna bedöma relevansen av artiklar som valts ut i en kunskapsöversikt.

3.1 Datainsamling

Vi använde oss av en databassökningsmetod som gjordes genom tre olika databaser vilka var ERIC, Libsearch och SwePub. Detta för att få en så heltäckande bild av området som möjligt (Backman, 2016). Den databas som användes mest var ERIC som är den största elektroniska databasen som framförallt inriktar sig på pedagogik (Backman, 2016).

Libsearch, som är Malmö universitets bibliotekskatalog, användes också i stor utsträckning. Den samlar källor från olika databaser. SwePub användes för att utvidga vårt sökande mot vetenskapliga artiklar som är skrivna på svenska. Vi kompletterade primärsökningen genom att genomföra en sekundärsökning, det vill säga att undersöka referenslistorna på de artiklar som bedömts som relevanta (Friberg, 2017). Rienecker och Jørgensen (2017) säger att sekundärsökning är ett effektivt sätt att hitta relevant forskning, men nackdelen med denna metod är att man får äldre forskning och förbiser aktuell forskning. Även författarnas namn som återkom i flera vetenskapliga artiklar inom vårt sökfält blev av intresse och vi använde fältet AU (Author) för att få fram resultat skrivna av dessa författare.

3.1.2 Urvalskriterier

Databasernas avgränsningsfunktioner har utnyttjats för att kunna sortera bort icke relevant forskning (Friberg, 2017). För att öka relevansen har också en begränsning mellan åren 2008–2020 gjorts. Vi vill belysa vårt område ur nutida perspektiv och kunna följa

forskningsutvecklingen inom detta område under den senaste perioden med tanke på den nya läroplanen Lgr11. Vi avgränsade vår sökning genom att kryssa i ”Peer reviewed” för att

10

få fram artiklar som är vetenskapligt granskade. Vi har valt både nationell och internationell forskning för att få ett bredare perspektiv. För att göra första urvalet och avgöra artiklarnas relevans till vår frågeställning granskades alla artiklar vi fick fram utifrån rubrik,

sammandrag och nyckelord (Friberg, 2017). Det andra urvalet gjordes genom att läsa en stor del eller hela artikeln för att bedöma om den är kopplad till vår frågeställning (Friberg, 2017). Denna studie inkluderar forskning som explicit studerar hur eleven lär sig

matematik genom kreativt resonemang med fokus på uppgiftsinnehåll och lärarens undervisning. Alla artiklar som var sammankopplade till matematiskt resonemang och uppgifter var av intresse.

3.2 Sökprocessen

Vi har utgått från de centrala begreppen i frågeställning och syfte för att välja ut sökorden till sökprocessen samt synonymer till dessa. Denna fas, enligt Backman (2016), är

avgörande i hela sökprocessen. Kärnbegreppen vi använde oss av är matematikuppgifter, kreativt resonemang och lärarens ansvar med följande synonymer,

• problemlösningsuppgifter, rutinuppgifter, rika problem.

• matematiskt resonemang, imitativt resonemang, algoritmiskt resonemang. • Lärarens ansvar, lärarens roll.

Det var viktig för oss att ta del av vilka olika engelska synonymer våra kärnbegrepp kunde ha och hur de användes i forskning samt i vilka kontexter de skulle vara relaterade till vårt ämne (Rienecker och Jørgensen, 2017). Vi började med en inledande sökning i ERIC för att skapa en överblick på den aktuella forskningen i undersökt område, inte en systematisk sökning (Friberg, 2017). Vi började med följande sökord mathematical reasoning AND mathematical tasks AND teacher role och det blev 0 träffar. Eftersom det inte fanns artiklar som kopplade ihop kärnbegreppet teacher role med reasoning valde vi att ta bort teacher role som sökord. Vi använde mathematical reasoning AND mathematical tasks och vi fick 102 resultat. Vi läste några artiklar som bedömdes intressanta utifrån rubriken. Det var intressant när vi märkte att lärares roll och ansvar dykte upp i större delen av artiklarna. Följande engelska sökord användes och dess synonymer,

11

"mathematical tasks", "problem solving", "non routine task*", " high demanded task*", "real-life context task*", " routine task*", “mathematical problem”

"mathematical reasoning", "creative reasoning", "imitative reasoning", "algorithmic reasoning"

Vi använde oss av boolesk söklogik för att kombinera olika sökorden med operatorerna AND och OR som markerar hur orden förhåller sig till varandra samt vi använde trunkering för att inte missa relevanta artiklar (Friberg, 2017).

3.2.1 Sökning i ERIC via EBSCO

Vi började vårt sökande i ERIC med följande kombination av sökord "mathematical tasks" OR "problem solving" OR "non routine task*" OR " high demanded task*" OR "real-life context task*" OR " routine task*" AND "mathematical reasoning" OR "creative

reasoning" OR "imitative reasoning" OR "algorithmic reasoning" och vi fick 112 träffar. Vi tänkte begränsa till högstadienivå för att fokusera mer på de nivåerna vår utbildning är inriktad på. Då använde vi oss av AND "secondary education" OR "secondary school". Detta gav oss 42 träffar där 12 artiklar bedömdes relevanta. Efter läsning av samtliga artiklar det var 6 artiklar som hade en direkt koppling med vår forskningsfråga se tabell 1. Trots begränsningen till “secondary education” och “secondary school” blev målgrupperna i dessa studier från mellanstadiet till gymnasiet.

3.2.2 Sökning i Libsearch

Här användes samma sökordskombination som i ERIC och gav 0 träffar. Därefter användes sökorden "mathematical task*" OR "problem solving" AND "mathematical reasoning" OR "creative reasoning" OR "imitative reasoning" OR "algorithmic reasoning" och gav 0 träffar. Sedan använde vi orden ”mathematic tasks” istället för "mathematical tasks" OR "problem solving" och det gav 6 olika träffar. På grund av de få träffar vi tog bort begränsningen för specifika skolår. Vi fick då 43 träffar bland annat artiklarna vi redan fått från ERIC. Denna sökning gav oss ytterligare 3 artiklar, se tabell 1.

12

3.2.3 Sökning i SwePub

För att få med svensk litteratur har vi sökt vidare på SwePub. Sökning med samma ord vi hade tidigare. Detta gav inga resultat. Vi sökte vidare med “matematiskt resonemang” och det gav oss 26 träffar varav 3 ansågs relevanta. Två var doktorsandavhandlingar, Liljekvist (2014) och Brunström (2015). Här var det en studie från Liljekvists avhandling och en från Brunströms avhandling som var av intresse, där vi valde att gå till de ursprungliga studierna och ansåg dessa som relevanta se tabell 1. Den tredje var Sidenvalls licentiatavhandling (2015). Men efter en ytterligare sökning på Sidenvall ansågs hans doktorsavhandling som var publicerad år 2019 mer relevant.

3.2.4 Sekundärsökning

Här har vi genomfört vad Friberg (2017) kallar för en personsökning. Utifrån artiklars referenser insåg vi att Lithner som författare var av intresse och det gav ytterligare 2 relevanta artiklar. Även möjligheten att söka vidare på vissa vetenskapliga tidningar genom att trycka på nyckelbegrepp som leder till relaterade artiklar genomfördes. Vi utnyttjade denna möjlighet när vi läste Norqvist (2017) artikel och detta gav oss två artiklar varav en bedömdes som relevant, se tabell 1. I referenserna från artiklarna av Norqvist m.fl. (2019) och Sidenvall (2019) hittade vi inte mer forskning som ansågs berika svaret utifrån vår frågeställning. Dessa två artiklar ansågs vara nya och därför att föredra framför de andra äldre artiklarna som gick i samma linje.

13

Tabell 1: Sammanställning av valda artiklar utifrån sökningsprocessen

Databas

Artiklar

ERIC Norqvist, M. (2017). The effect of explanations on mathematical reasoning tasks.

Olsson, J. (2018). The Contribution of Reasoning to the Utilizationof Feedback from Software When Solving Mathematical Problems.

Muller, M. Yankilewitz, D. Maher, C. (2016) Teachers Promoting Student Mathematical Reasoning.

Palha, S., Dekker, R., Gravemejer, K. (2014). The effect of shift-problem lessons in the mathematicas classroom.

Pereira, J., Ponte, J. (2017). Enhancing students’ mathematical reasoning in the classroom: teacher actions facilitating generalization and justification.

Akyuz, D. (2012). The value of the debts & Credits.

LIBSEARCH _{Lithner, J. (2017). Principles for designing mathematical tasks that enhance}

imitative and creative reasoning.

Norqvist, M., Jonsson, B., Lithner J. (2019) Investigating algorithmic and creative reasoning strategies by eye tracking

Olsson, J., Teledahl, A. (2018). Feedback to encourage creative reasoning. SwePub Brunström, M., Fahlgren, M. (2015). Matematiska resonemang i en

lärandemiljö̈ med dynamiska matematikprogram.

Designing prediction tasks in a mathematicssoftware environment Sidenvalls avhandling (2019):

Sidenvall, J., Granberg, C., Lithner, J. & Palmberg, P. (manuskript). Supporting teachers to support students’ problem-solving.

Jonsson, B., Norqvist, M., Lithner, J., Liljekvist, Y. (2014). Learning mathematics through algorithmic and creative reasoning.

Sekundär

sökning Jonsson, B. kulasiz, Y. Lithner, J. (2016). Creative and algorithmic mathematical reasoning: effects of transfer-appropriate processing and effortful struggle. Bergqvist, T., & Lithner, J. (2012). Mathematical reasoning in teachers'

14

3. 3 Analys av resultat

Vi genomförde en analysprocedur för att försäkra oss om att resultatanalysen utformats efter kopplingen till forskningsfrågan (Friberg, 2017). Alla forskningsartiklarna lästes noggrant flera gånger med målet att färgmarkera möjliga svar på studiens fråga och för att hitta olika teman (Friberg, 2017). Analysen gjordes utifrån forskning som visade positiva eller negativa aspekter angående användning av kognitivt utmanande uppgifter och rutinuppgifter. Därefter också utifrån forskning som visade vilken betydelse lärare i sin ansvarsposition har för att bedriva en undervisning som främjar elevers kreativa

resonemang. Vi började med att avgränsa oss till information och innehåll som behandlade CMR eller IR (MR och AR) samt undervisning och uppgifter som ansågs kunna motsvaras av dessa definitioner. Andra steget var att avgöra om informationen och innehållet tog upp uppgifter och/eller lärarens ansvar att organisera undervisning. Efter att ha sammanställt artiklarna kunde vi få fram resultat som kategoriserades till tre huvudkategorier.

15

4 Resultat

Många faktorer påverkar undervisning och den sammanställda forskningen har kunnat analyserats och sorterats i främst tre huvudkategorier där det fanns ett tydligt samband mellan vilket resonemang eleven använder och utvecklar, uppgifter eleven övar på och hur undervisning bedrivs. Utifrån frågeställningens relevans formulerades de två första

kategorierna, matematiklärande genom uppgifter som främjar CMR- och AR och lärarens ansvar. Lärarens ansvar innefattar många olika aspekter vilket ledde till fyra underrubriker för att tydligt kunna belysa dessa och identifiera samband mellan dem. Det skapades en tredje huvudkategori där feedback presenteras som en avgörande faktor som kan främja elevers CMR.

4.1 Matematiklärande genom uppgifter som främjar AR

och CMR

Här presenteras två delavsnitt som kategoriserats utifrån temat uppgifter. Första avsnittet lyfter forskning om lärandemöjligheter med CMR-uppgifter och det andra om hur AR- och CMR-uppgifter kan användas i undervisning.

4.1.1 Elevers lärandemöjligheter med CMR-uppgifter

Forskargruppen LICR (lärande i matematik genom imitativa och kreativa resonemang) har i en serie studier undersökt hur AR- respektive CMR påverkar elevers lärande. De har också undersökt möjliga orsaker till skillnader i lärande och för- och nackdelar med olika

uppgiftsdesigner. Jonsson, Norqvist, Lithner och Liljekvist (2014) jämförde i sin studie hur AR- respektive CMR-uppgifter påverkade elevers matematikinlärning. Resultatet visade att CMR-gruppen presterade bättre på alla uppgifter på alla nivåer i testet än AR-gruppen. Studien kunde utesluta att CMR-gruppens resultat berodde på elevens kognitiva nivå utan på hur väl de genomförde träningen inför provet. Det kunde även konstateras att

instruktionerna som fanns att tillgå vid lösning av uppgifterna utnyttjades av majoriteten av eleverna i CMR-gruppen samtidigt som nästan alla elever i AR-gruppen valde att bortse

16

från dessa. Studien väckte intresse om de egenskaper CMR-uppgifter har som verkar förbättra elevers matematikinlärning. Jonsson, Kulaksiz och Lithner (2016) undersökte därför i en annan studie två hypoteser. Den första var transfer-appropriate-process-hypotesen, TAP, vilken innebär att elever presterar bra på prov med liknande uppgifter som de övat på. Den andra var effort-struggle-hypotesen, ES, vilken innebär att elever genom ansträngning utvecklar sin matematiska förmåga. Resultatet visade att TAP-hypotesen inte stämde då eleverna i CMR-gruppen presterade bättre än AR-gruppen på både AR- och CMR-uppgifter. Däremot kunde ES-hypotesen bekräftas då AR-gruppen presterade bättre på CMR-uppgifter efter att de hade undervisats med en ES-del i övningarna. När den tillagda ES-delen togs bort hade TAP återigen minimal betydelse. Slutsatserna som kunde dras från denna studie var således att elever genom ansträngning och utmaning utvecklar sin matematiska förmåga och inte nödvändigtvis för att uppgifter i övningar liknar de på proven. Denna studie väckte frågor som handlade om att

AR-uppgifter inte förklarade varför metoderna fungerar och att detta kunde leda till sämre matematisk förståelse. Norqvist (2017) konstruerade AR-uppgifter med en extra förklaring till varför metoden fungerade, XAR-uppgifter, i sin studie och kunde konstatera att CMR-gruppen fortsatte att prestera bättre och att det inte fanns någon skillnad mellan XAR- och AR-gruppen. Utifrån dessa resultat väcktes intresset för vilken information AR- respektive CMR-elever fokuserar vid i uppgifter. Norqvist, Jonsson och Lithner (2019) undersökte i sin studie vad i uppgiftsinformationen som elever fokuserade på med en “EyeTracking” -metod som kunde följa detta. De försökte hitta ett samband mellan uppgiftsinformation och elevers lösningsstrategier. Studien kom fram till att AR-elever fokuserade mest på formler och exempel i uppgifter medan CMR-gruppen ägnade mest uppmärksamhet på illustrationer. En intressant upptäckt som gjordes hos elever i CMR-gruppen som lyckades mindre bra var att de hade längre blickfördröjningstid än övriga i CMR-gruppen och fastnade vid icke-relevant information. Författarna misstänkte att detta kunde bero på lägre kognitiv förmåga hos dessa elever. Sammanfattningsvis visar resultatet att elever som utsätts för givna algoritmer tenderar att bortse från uppgiftsinformation som främjar förståelse för lösningsmetoden. Det har visat sig att elever som övar genom AR-uppgifter i allmänhet ignorerar illustrationen, vilket blir problematiskt eftersom det är viktigt för att bygga djupare förståelse för algoritmen. Däremot ägnar studenter som övar med CMR-uppgifter mer uppmärksamhet åt relevant information. Det har visat sig att några elever som tränar med CMR-uppgifter löser uppgifter med samma strategier som AR-deltagare.

17

4.1.2 Användning av CMR- och AR-uppgifter i undervisning

I sitt ramverk för uppgiftsdesign framhåller Lithner (2017) att de främsta vinsterna från CMR-uppgifter verkar finnas i ett långsiktigt perspektiv. Vid enstaka lektioner kommer inte en omedelbar förbättring av förståelse och problemlösningsförmåga att kunna märkas. Lithner (2017) nämner att nackdelar med AR-uppgifter är att elever enbart lärt sig en metod och fördjupar således inte de matematiska kunskaperna och hur de kan användas i olika sorters problem, vilket leder till att eleverna besitter en falsk säkerhet. AR-uppgifter kan enligt Lithner användas i undervisning ifall målet är att eleven ska förses med en användbar lösningsmetod som går att tillämpa utan ansträngning för att lösa en typ av uppgifter. På kort sikt kan detta höja självförtroendet och föredras därför av elever. Lithner är inte helt emot att AR-uppgifter används i undervisning då han hävdar att AR-uppgifter kan vara av nytta i vissa sammanhang då det är orealistiskt att elever alltid själva ska

konstruera all kunskap. Greene och Renesse (2016) i sin studie är inne på samma linje då de menar att elever inte alltid behöver gå tillbaka och återskapa varje enskilt steg för att nå lösningen till mer komplexa uppgifter. Att använda memorerade metoder kan vara avlastande för att fokusera på mer komplexa delar av uppgifter som bidrar till bättre förståelse. När elever har svårigheter med att nå kunskapsmålen och att konstruera

lösningar, kan ibland en balans mellan CMR- och AR-metoderna vara den bästa lösningen (Lithner, 2017). Greenes och Renesses (2016) studie illustrerar en cyklisk process för att designa bra uppgifter där följande fråga,

” Is there anything in this activity that I expect students will be able to repeat in a similar setting – a method they are developing to approach a particular type of problem? If so am I providing practice opportunities for them so that they recognize this as a method? Am I

highlighting this to them?” (Greene & Renesse, 2016, s.662)

är viktig att som lärare ställa till sig själv för att klargöra för elever att de kan utnyttja redan inlärda metoder, memorera de och använda de när det behövs istället för att återvända till resonemang från konceptet och återskapa dem. Enklare CMR-uppgifter kan användas när elever ska lära sig nya koncept eller begrepp och CMR-uppgifter kan även designas för att utveckla uppgiftlösandets flyt hos elever (Lithner, 2017). Sammanfattningsvis påverkar

18

CMR-uppgifter elevers lärandemöjligheter positivt eftersom det ökar elevers förståelse för sina lösningar då de noggrant argumenterar för sin resonemangsprocess. Dock är CMR-uppgifter inte alltid ideala. Undervisning och CMR-uppgifter behöver anpassas till de olika syften och mål som finns med matematikinlärningen.

4.2 Lärarens ansvar

Här presenteras delavsnitt som kategoriserats utifrån temat lärarens ansvar. I de första två delavsnitten kommer redogörelse för resultat om vilken betydelse ett medvetet val av uppgifter och utformningen av dessa har. Därefter presenteras resultat från en jämförelse mellan två olika undervisningsmetoder och sist hur läraren kan stödja elever i

lösningsprocessen för att främja elevers kreativa resonemang.

4.2.1 Val av uppgifter och uppgiftsutformning

Brunström och Fahlgren (2015) undersökte i sin studie hur uppgiftsutformning påverkade elevers lösningar. De kom fram till en kritisk del i uppgifter, vilken var ifall uppmaning till förklaring och motivering i en uppgiftsfråga skulle finnas med eller inte, för att få elever att tydliggöra och motivera för sin lösningsprocess. Författarna kunde konstatera att många elever egentligen svarade med beskrivningar när förklaringar efterfrågades samt att förklaringarna ibland handlade om något annat än det de tänkt sig när uppgiften

formulerades. Norqvist m.fl. (2019) uppmärksammade också detta i sin studie, hur elevers olika lösningsstrategier påverkades av vad de valde att fokusera på i uppgifter. Analysen av Brunströms och Fahlgrens (2015) studie tydliggjorde att den exakta formuleringen av frågan är mycket viktig när förklaringar efterfrågas. En uppgift reviderades där fokus ändrades från längden till hur längden förändrades, då gick eleverna från att tänka linjärt till att tänka exponentiellt vilket egentligen var syftet med uppgiften från början. På detta sätt kunde uppgifter revideras för att främja elevers konceptuella resonemang.

Norqvist m.fl. (2019) menar utifrån sin studie att lärarens uppgift är att välja eller skapa uppgifter som hjälper eleven utveckla sitt resonemang. I samma spår av tidigare studier skriver Akyz (2012) också om vikten att välja uppgifter som är vardagsanknutna vilket ger elever bättre möjligheter att diskutera sina idéer och lösningar. I ett sådant sammanhang ska

19

läraren ställa frågor som guidar för att främja elevers konceptuella resonemang (Akyuz, 2012). Greene och Renesse (2016) tycker att utmanande uppgifter inte behöver vara så komplexa att de läggs sist i läroboken och bara är till för de högpresterande eleverna. De illustrerar i sin studie hur en lärare kan lyckas med skapandet av utforskande matematiska aktiviteter, inquiry activities, vars uppgiftsdesignsprocess innefattar skapande av uppgift, test av uppgift och slutligen utvärdering av uppgift. Läraren bör ställa sig en rad frågor under denna process som t.ex. ”Is this question asking students to think and reason or just “do”?

Am I doing the thinking or are the students? Am I explaining the reasoning to the student instead of asking the student to explain the reasoning to me?” (Greene & Renesse, 2016, s.659). Lärarens

avsikt är att eleven ska utveckla förståelse och inte bara guida eleven för att lösa uppgiften. Då är det viktigt att uppgiften inte säger exakt hur elever ska göra för att lösa den då detta generellt inte kommer att leda till någon djupare förståelse. Detta sätt att tänka kring uppgiftsdesign stödjs också av Brunströms och Fahlgren (2015) som kommer fram till att det är viktigt att lärare formulerar frågor som stödjer elever i deras utveckling av djupare matematisk förståelse. Vidare skriver Green och Renesse (2016) att i utvärderingsfasen ska läraren ställa följande fråga ” Did the students make mistakes?” (Greene & Renesse, 2016, s. 663). När elever inte har upplevt uppgiften som utmanande har de inte ansträngt sig vilket betyder att uppgiften var för enkel och att elever troligen inte engagerat sig i en

resonemangsprocess för att utveckla förståelse till nya koncept.

4.2.2 Jämförelse mellan undervisningsformer

För att undersöka hur undervisningsformer påverkar elevers resonemang jämförde en studie traditionell undervisning med undervisning som främjade kooperativt lärande (Palha, Dekker & Gravemejer, 2014). I det traditionella upplägget bestod arbetssättet till stor del av enskilt arbete i textböcker efterföljt av egen rättning efter ett facit. Lärarna uppmuntrade eleverna att leta i boken för att hitta de metoder som visade hur uppgifterna skulle lösas. Detta upplägg kallas i studien för regular-lesson-arrangement, RLA. Det andra upplägget kallades shift-problem-arrangement-lesson, SPLA. I detta upplägg konstruerades ett ramverk som verkade gruppdiskussionsfrämjande och fokuserade kring fyra

nyckelaktiviteter som elever skulle genomföra. Ett förtest och ett eftertest gjordes där resonemang som eleverna använde sig av kategoriserades efter följande,

20

• teoretiskt resonemang, TR, lösning baserad på matematiska teorier och definitioner för att kunna lösa uppgiften korrekt

• relationellt resonemang, RR, lösningen är sammansatt och refererar till generella koncept och specifika värden eller refererar till teoretiska begrepp men är kontextualiserad i uppgiftstypiska drag

• och empiriskt resonemang, ER, lösning baserad enbart på uppgiftsspecifika drag.

I studien testades en SPLA-grupp mot en RLA-grupp som behandlade integraler, samt en SPLA-grupp mot en RLA-grupp som behandlade geometriska bevis. Resultatet på

eftertesterna presenteras i figur 1 (Palha m.fl., 2014) och figur 2 (Palha m.fl., 2014). Utifrån figur 1 kan det tolkas som att RLA-gruppen presterade bättre under geometritestet då de använde högre andel TR och RR vid lösningarna, dock är det för liten skillnad för att kunna dra några slutsatser från resultatet. Figur 2 visar inte samma resultat som vid integraltestet. Här har SPLA-gruppen presterat signifikant bättre då andelen TR och RR använts i högre utsträckning vid lösning.

21

Figur 2: Nivån på elevers resonemang vid eftertestet på integraler.

Författarna i studien menar att geometriuppgifterna som användes under SPLA-gruppens lektioner inte matchade elevernas kunskapsnivå samt att SPLA-undervisningen endast utgjordes av fem lektionstillfällen mellan för- och eftertest vilket kan ha varit för kort tid och för få lektioner för att kunna säkerställa resultatet. Detta går i samma linje som Lithner (2017) presenterar i sin forskning om uppgifter där det framkommer att CMR-undervisning ger bättre resultat på lång sikt. Palha m.fl. (2014) presenterar också ett resultat som visade att elevers engagemang under lektionerna minskade i SPLA-uppgifter som krävde generella lösningar och argument som styrkte lösningarnas giltighet. Författarna drar slutsatser om att lärarna var ganska passiva under dessa lektioner då de t.ex. inte ville gå med på att undervisa med SPLA under alla 13 tillfällen, utan endast vid 5 av dessa (Palha m.fl., 2014). Återigen kan betydelsen av anpassade uppgifter samt lärares engagemang för elevers lärande genom kreativa resonemang upptäckas. Utifrån studien konstaterades även vikten av att lärare stödjer och motiverar elever i sina lösningsprocesser.

4.2.3 Att stödja elevers lösningsprocess

I Palha m.fl. studie (2014) saknades evidens för hur lärarna uppmuntrade eleverna till att koppla sina intuitiva lösningar och nyckelidéer till mer generella och formella lösningar under SPLA-lektionerna. I studien noterades även att lärare hade svårigheter att se hur ämnesinnehållet skulle behandlas i RLA-upplägget respektive SPLA-upplägget. I en annan studie videoinspelades istället elever och lärare (Muller, Yankilewitz & Mahers, 2016). Undervisningsformen var kooperativt lärande med en noggrant planerad

22

uppgiftsutformning. Eleverna skulle först arbeta i grupper där de pratade, diskuterade och argumenterade kring uppgiftslösningar. I slutet av varje lektion skulle de utmana varandras påståenden, dela med sig av sina lösningar samt reflektera över lösningarna i helklass. En intressant upptäckt som gjordes var lärares agerande när elever dragit “fel” slutsats. Istället för att tillrättavisa eleverna, ställdes frågan, kan du argumentera för detta? Eleverna började då istället argumentera och resonera kring sitt svar och kom tillslut själva framtill nya slutsatser som var korrekta i matematisk mening och dessutom underbyggda av

matematiska resonemang. Mata-Pereira och Ponte (2017) studie visade att majoriteten av elevers generaliseringar och argument inte direkt var kopplad till hur uppgiften var designad utan var ett resultat av helklassdiskussionen, där lärarens ingripande var avgörande för att kunna guida eleverna. Dock bidrog uppgiftens utforskande karaktär in till

diskussionsmöjligheter (Mata-Pereira & Ponte, 2017). Lärarens ingripande var en

kombination av tydliga åtgärder där ordningen hade en stor betydelse. Läraren började med att presentera, informera, guida och sist utmana elever. Sidenvall (2019) bekräftar i sin avhandling att uppgiftsdesign och undervisningsdesign är oskiljbara och den ena måste anpassas till den andra, vilket betyder att uppgiften ska ackompanjeras med en lärarhjälp som gör att uppgiften bibehåller sin CMR-karaktär. Detta resultat stödjs även av Mullers m fl. (2016) studie där ökad svårighetsgrad och öppnare uppgifter bidrog till högre variation av elevers argument och resonemang i diskussionerna samt mer innehållsrika

klassrumsdiskussioner. Utifrån denna upptäckt föreslår författarna att lärare bör dra nytta av potentialen i bra utformade uppgifter och samtidigt uppmana elever att dela med sig av lösningar och rättfärdiga sina lösningar för sina klasskamrater (Muller, Yankilewitz & Maher 2016).

Lärare har ett viktigt ansvar i klassrummet, inte bara som leverantör av väldesignade icke-rutinmässiga matematikuppgifter utan också som guide för elevernas egna försök att konstruera matematisk kunskap och bli skickliga matematiska problemlösare (Lithner, 2017). Hur en lärare presenterar en lösningsmetod för elever undersöktes av Bergqvist och Lithner (2012) för att förstå hur det kan påverka elevers sätt att resonera. De aspekter som observerades i studien var identifiering av uppgiftstyp, beskrivning av lösningsmetod, kreativ reflektion, argumentation, matematiskgrund och inriktning. Resultatet visade att lärare under sin lösningsprocess sällan i förväg identifierat vilken typ av uppgift de sysslat med och presentationerna var begränsade med avseende på reflektioner, argumentation

23

och matematiskgrund. Även om argumentation, beskrivning av lösningsmetod och matematisk grund presenterades i ungefär hälften av presentationerna tog dessa aspekter liten plats. De flesta av lärarnas lösningspresentationer var präglad av AR. Vilket kan vara en nackdel då eleverna inte får ta del av den matematiska grunden eller argumentationen som gör lösningsmetodens betydelse explicit, vilket begränsar elevers möjlighet att lära sig CMR. Begränsning i undervisning med AR lyfts också av Lithner (2017) i sin studie. I AR-undervisningsdesignsprincip kan läraren presentera lösningsmetoden antingen före eller efter elevers lösningsförsök där lärarens agerande i sådana lärandesituationer alltid är samma. De använder sig av AR vid presentation av dessa lösningsförsök. Denna typ av undervisning, enligt Lithner (2017), är enklare att planera och ställer inga krav varken på läraren eller eleven under lärandesituationer.

När eleven har fått rätt förutsättningar i form av uppgifter, ett CMR-främjande

lektionsupplägg och rätt stöd av lärare under lösningsprocessen är det också viktigt att som lärare fundera över vilken återkoppling som bör ges till elever i sin lärprocess för att ytterligare kunna stödja dem i CMR.

4.3 Feedback

Olsson och Teledahl (2018) menar utifrån sin studie att läraren ska vägleda eleven i CMR genom att ställa frågor som antingen uppmuntrar eleven att motivera för sina val eller frågor som uppmuntrar eleven att överväga sin lösningsmetod och upptäcka hur delarna i lösningen byggde på varandra. Det kan läraren göra genom att en välplanerad formativ bedömning förbereds för att optimera elevens lärande genom att förutse elevers möjliga lösningsmetoder och inte bara ställa slumpmässiga frågor (Olsson & Teledahl, 2018). Mata-Pereira och Ponte (2017) bekräftar detta och säger att ett tillvägagångssätt som leder till att elever börjar argumentera är att läraren ber eleverna att förklara “varför” vilket också stödjs av Mullers m.fl. (2016) studie. Mata-Pereira och Ponte (2017) menar att det inte räcker med “varför” för att sätta eleven på rätt spår, utan läraren måste stötta eleven med en mer utmanande frågeställning, för att öka elevers engagemang i argumentationsprocessen. Sidenvall (2019) i sin avhandling diskuterar resultaten från en studie som undersökte hur lärarens återkoppling kan skapa förutsättningar för elever att lösa uppgifter med hjälp av CMR. En lärarguide skapades för att hjälpa lärare att anpassa återkopplingen för att

24

stimulera elever till CMR beroende på vilken svårighet eleverna befann sig i. Studien fokuserade på i vilken utsträckning denna lärarguide användes och om det ledde till

användning av CMR. Det visade sig att knappt hälften av elev-lärar-interaktioner gav elever möjlighet att lösa läroboksuppgifter med CMR, resten av fallen där läraren inte använde lärarguiden löste elever uppgifterna med IR. Läraren började med att kartlägga elevers svårigheter för att kunna ge genomtänkt feedback och ha en metakognitiv återkoppling. Vissa elever utnyttjade denna feedback och fortsatte lösa uppgifter på egen hand. I de fallen då lärarguiden inte gav de önskade resultaten berodde det dels på lärares tidsbrist och elevens motvilja att interagera och dels på att läraren gav eleven information om

lösningsmetoden. Lärarguidens funktionalitet verkade vara beroende av andra faktorer än bara att ha en uppgift att jobba med. Det visade sig att eleverna behövde tillräckligt med tid och att de behövde känna sig bekväma med uppgiften för att kunna ta till sig feedback och använda den. Feedback kan också utnyttjas från digitala problemlösningsverktyg som t.ex. Geogebra för att främja CMR, vilket Olsson (2018) undersökte i sin studie. Vilket

resonemang, IR eller CMR, som elever använder sig av under lösningsprocessen är beroende på hur eleven avläser och tolkar programmets feedback för att kunna använda den och motivera nästa steg i sin lösningsstrategi. Resultaten visade att elever som kunde lösa uppgiften var de som engagerade sig i CMR genom att matematiskt argumentera prediktivt för sina förutsägelser om vilket resultat de förväntade via programvaran. Sedan använde de feedbacken från Geogebra både för att verifiera sin lösning och för att utarbeta nästa steg. Elever som inte kunde argumentera prediktivt, vilket är en del i CMR, saknade en bild på vilket resultat de kunde förvänta sig samt hur den information som genererades av programvaran skulle tolkas. Detta bekräftades i studien genom att ett par elever lyckades lösa uppgiften efter att de ändrade strategi.

25

5 Diskussion & Slutsats

I avsnitten som följer kommer en diskussion kring resultatet, därefter en kort slutsats som kan dras utifrån resultat och diskussion och avslutningsvis ett förslag på en forskningsfråga utifrån resultatet av denna kunskapsöversikt.

5.1 Diskussion

Resultaten visar att en undervisning som bygger på CMR- eller utmanande uppgifter ger elever bättre förutsättningar att utforska och argumentera utifrån matematisk grund som stöd för sin lösning jämfört med AR- eller rutinmässiga uppgifter som inte verkar ge någon djupare matematisk förståelse (Jonsson m.fl., 2014; Jonsson m.fl., 2016; Lithner, 2017; Norqvist, 2017; Norqvist m.fl., 2019). Detta betyder att elever i matematikundervisning behöver möta uppgifter som ger goda förutsättningar för att de själva ska kunna skapa en egen lösning och matematiskt argumentera för sin lösningsprocess. Boalers (2017) syn på undervisningsinnehåll och Balls och Bass (2003) påstående om samband mellan

resonemang och förståelse stödjer detta. Studierna i LICR-projektet visade att kreativa matematiska resonemang var positiva för matematiklärandet, dock saknades ett lärar-elevperspektiv. Det kan leda till missuppfattningar om att elever som får CMR-uppgifter konstruerar egna lösningsmetoder och klarar sig därigenom på egen hand utan hjälp av läraren. Andra studier visade vikten av att läraren måste vara medveten om vilken hjälp elever behöver för att optimera sina lärandemöjligheter. 11 av 15 studier som ingår i denna kunskapsöversikt belyser lärarens roll i olika sammanhang och alla betonar lärarens stora ansvar att planera och organisera sin undervisning samt leda och ge rätt återkoppling som inspirerar elever att skapa egna lösningar. Mycket visar att stora delar av undervisning i svensk skola leder till algoritmiska resonemang. Detta tyder på att elever inte får tillräckligt med utmanande uppgifter. (Boesen m.fl., 2014; Johansson, 2006; Jäder m.fl., 2015;

Skolverket, 2016, 2020), och att en lärare som bedriver AR-inriktad undervisning minskar elevens lärandemöjligheter. Det kan verka tidskrävande att planera CMR-främjande undervisning (Lithner, 2017), men många studier påpekar att läraren bör frångå det traditionella undervisningssättet som utgår från enkla exempel och främst AR-uppgifter

26

(Palha m.fl., 2014, Muller m.fl., 2016; Akyus, 2012; Mata-Pereira & Ponte, 2017; Greene & Renesse, 2016). Det går att tolka resultatet som att uppgiftsdesign och undervisningsdesign samverkar och att dessa inte bör skiljas åt (Mata-Pereira & Ponte, 2017; Sidenvall, 2019). Boaler (2017) belyser lärar-elevperspektivet där det ligger ett stort ansvar hos läraren att anpassa uppgifter, presentationer och undervisning för att skapa goda förutsättningar för elever att lära sig genom CMR. Lärare bör kritisera sitt eget sätt att presentera lösningar och framförallt överväga om de verkligen inspirerar elever till CMR. Lärare måste inse att hen är en förebild samt en kunskapskälla till elever och därför själv använda kognitivt

utmanande uppgifter under genomgångar och redovisa alla stegen i den kognitiva

processen (Bergqvist & Lithner, 2012). Boaler (2017) menar att lärare ska vara självkritiska till sin undervisning och sträva efter att utveckla denna. För att ytterligare optimera

lärandemöjligheter genom CMR kan stöttning ges till elever i form av feedback under lösningskapandeprocessen (Greene & Renesse, 2016; Olsson & Teledahl, 2018; Muller m.fl., 2016; Mata-Pereira & Ponte, 2017; Sidenvall, 2019). Att ge en givande återkoppling genom att ställa frågor eller föra en dialog utan att lösningsmetoden ges kan vara en utmaning men viktig för att elever ska få djupare kunskaper som kan användas i nya sammanhang. Feedback ska inte ges slumpmässigt utan vara välplanerad genom att kartlägga möjliga svårigheter i lösningsskapandet som elever kan stöta på. Intressant forskning har hittats kring hur digitala hjälpmedel som Geogebra kan utnyttjas av elever som ett verktyg i lösningsprocessen vilket tycks gynna lärande genom CMR (Olsson, 2018).

5.2 Slutsats

Utifrån de presenterade resultaten kan det konstateras att elever som får arbeta med utmanande problemuppgifter ökar sin matematiska förståelse på lång sikt. De utvecklar sin förmåga att resonera med välgrundade argument och lär sig att basera sina påståenden på matematisk grund. Det har även visat sig att det inte bara är själva uppgiften som påverkar elevernas lärande utan också hur uppgiften används i undervisning, hur läraren på olika sätt stöttar eleverna i lösningsprocessen och ger rätt feedback. Med utgångspunkt i denna forskningsöversikt är undervisning baserad på kognitivt utmanande uppgifter som är

27

5.2.1 Förslag på vidare forskning

Forskningen i denna översikt kommer fram till att uppgifter som bidrar till kreativa resonemang i matematikundervisning är att föredra framför rutinmässiga uppgifter för att främja matematiklärande. Under arbetet har det framkommit att feedback spelar en viktig roll i elevers lösningsprocess med CMR-uppgifter. Det hade därför varit intressant och undersöka hur en välplanerad feedback påverkar elevers användande av kreativa

resonemang i lösningsprocesser jämfört med en icke-planerad och slumpmässig feedback. Där den välplanerade feedbacken består av att kartlägga ev. svårigheter som kan uppstå i lösningsprocessen samt möjliga lösningsscenarier.

28

Referenser

Akyuz, D. (2012). The value of the debts & Credits. Mathematics Teaching in the Middle School, 17(6), 332–338. doi-org.proxy.mau.se/10.5951/mathteacmiddscho.17.6.0332

Backman, J. (2016). Rapporter och uppsatser. Studentlitteratur: Lund.

Ball, D., & Bass, H. (2003). Making mathematics reasonable in school. I J. Kilpatrick, W. G. Martin, & D. Schifter (Red.), A research companion to principles and standards for school

mathematics (s. 27-44). Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics.

Bergqvist, T., & Lithner, J. (2012). Mathematical reasoning in teachers' presentations. The

Journal of Mathematical Behavior, 31(2), 252-269. doi:10.1016/j.jmathb.2011.12.002

Boaler, J. (2017). Matematik med dynamiskt mindset- hur du frigör dina elevers potential. Stockholm: Natur & Kultur.

Boesen, J., Helenius, O., Bergqvist, E., Bergqvist, T., Lithner, J., Palm, T., & Palmberg, B. (2014). Developing mathematical competence: from the intended to the enacted

curriculum. The Journal of Mathematical Behavior, 33(1), 72-87. doi:10.1016/j.jmathb.2013.10.001

Brunström, M. (2017). Matematiska resonemang i en lärandemiljö̈ med dynamiska matematikprogram (doktorsavhandling). Karlstads universitet, Karlstad. Tillgänglig:

https://www.diva-portal.org/smash/get/diva2:784065/FULLTEXT01.pdf

Brunström, M., Fahlgren, M. (2015). Designing Prediction Tasks in a Mathematics

Software Environment. The International Journal for Technology in Mathematics Education, 22(1), 3-18. URL: https://www-proquest-com.proxy.mau.se/scholarly-journals/designing-prediction-tasks-mathematics-software/docview/1675192263/se-2?accountid=12249

29

Friberg, F. (2017). Dags för uppsats: vägledning för litteraturbaserade examensarbeten (3:e uppl.). Lund: Studentlitteratur.

Greene, M., Renesse, C.V. (2016). A Path to Designing Inquiry Activities in Mathematics.

PRIMUS Problems, Resources, and Issues in Mathematics Undergraduate Studies, 27(7), 646-668.

Doi-org.proxy.mau.se/10.1080/10511970.2016.1211203.

Johansson, M. (2006). Teaching mathematics with textbooks: A classroom and curricular

perspective.Dissertation, Luleå Sweden: Luleå University of Technology. Tillgänglig:

https://www.diva-portal.org/smash/get/diva2:998959/FULLTEXT01.pdf

Jonsson, B., Kulaksiz, Y. C., & Lithner, J. (2016). Creative and algorithmic mathematical reasoning: effects of transfer-appropriate processing and effortful struggle. International

Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 47(8), 1206-1225.

doi:10.1080/0020739X.2016.1192232

Jonsson, B., Norqvist, M., Lithner, J., & Liljekvist, Y. (2014). Learning mathematics through algorithmic and creative reasoning. The Journal of Mathematical Behavior, 36, 20-32. doi:10.1016/j.jmathb.2014.08.003

Jäder, J. Lithner, J. Sidenvall, J. (2015). Reasoning requirements in school mathematics textbooks: An Analysis of books from 12 countries. Jäder, J. (2015). Elevers möjligheter till

lärande av matematiska resonemang (Licenciate thesis, Linköping University). Linköping:

Liljekvist, Y. (2014). Lärande i matematik: om resonemang och matematikuppgifters egenskaper. (Doktorsavhandling), Karlstads universitet, Karlstad. Tillgänglig: https://www.diva-portal.org/smash/get/diva2:696528/FULLTEXT01.pdf

Lithner, J. (2008). A research framework for creative and imitative reasoning. Educational

30

Lithner, J. (2017). Principles for designing mathematical tasks that enhance imitative and creative reasoning. ZDM Mathematics Education, 49(6), 937–949. doi:10.1007/s11858-017-0867-3

Mata-Pereira, J., & Ponte, J.-P. d. (2017). Enhancing students' mathematical reasoning in the classroom: teacher actions facilitating generalization and justification. Educational Studies

in Mathematics, 96(2), 169-186. doi:10.1007/s10649-017-9773-4

Muller, M., Yankilewitz, D., Maher, C. (2016). Teachers Promoting Student Mathematical Reasoning. Investigations in Mathematics Learning, 7, 1-20.

doi-org.proxy.mau.se/10.1080/24727466.2014.11790339

Norqvist, M. (2017). The effect of explanations on mathematical reasoning tasks.

International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 49(1), 15-30.

doi.org/10.1080/0020739X.2017.1340679

Norqvist, M., Jonsson, B., Lithner, J. (2019). Investigating algorithmic and creative

reasoning strategies by eye tracking. The journal of mathematical behavior,

55.doi.org/10.1016/j.jmathb.2019.03.008

Olsson, J. (2018). The contribution of reasoning to the utilization of feedback from software when solving mathematical problems. International Journal of Science and Mathematics

Education, 16, 715-735. doi:10.1007/s10763-016-9795-x

Olsson, J., Teledahl, A. (2018). Feedback to encourage creative reasoning. Proceedings of

MADIF 11, s. 101-110. Tillgänglig: https://www.diva-portal.org/smash/get/diva2:1274151/FULLTEXT01.pdf

Palha, S., Dekker, R., Gravemejer, K. (2014). The effect of shift-problem lessons in the mathematics classroom. International Journal of Science and Mathematics Education, 13, 1589– 1623. https://doi-org.proxy.mau.se/10.1007/s10763-014-9543-z

31

Rienecker, l., Jørgensen, P. S. (2017). Att skriva en bra uppsats (4:e uppl.). Stockholm: Samfundlitteratur och Liber AB.

Sidenvall, J. (2015). Att lära sig resonera - om elevers möjligheter att lära sig matematiska genom

matematiska resonemang (Licentiatavhandling, Studies in Science and Technology Education,

86). Linköping: Linköping universitet. Tillgänglig: http://liu.diva-portal.org/smash/get/diva2:810757/FULLTEXT01.pdf

Sidenvall, J. (2019). Lösa problem Om elevers förutsättningar att lösa problem och hur lärare kan stödja

processen (Doktorsavhandling, Umeå). Umeå: Institution för naturvetenskapernas och

matematikens didaktik. Tillgänglig: http://umu.diva-portal.org/smash/get/diva2:1303310/FULLTEXT01.pdf

Skolverket (2016). TIMSS 2015 svenska grundskoleelevers kunskaper i matematik och naturvetenskap i ett internationellt perspektiv. (Rapport 448). Stockholm. Tillgänglig:

https://www.skolverket.se/getFile?file=3707

Skolverket. (2019). Läroplan för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet 2011: reviderad 2019 (6:e uppl.). Hämtad från https://www.skolverket.se/getFile?file=4206

Skolverket (2020:8). TIMSS 2019 Svenska grundskoleelevers kunskaper i matematik och naturvetenskap i ett internationellt perspektiv. Stockholm: Skolverket. Tillgänglig: