Simulering av spillvattenflödet i
Solnaverkets värmepumpar
Malin Söderlund Alm
Examensarbete EGI-2015-045MSC KTH Industriell teknik och management
Maskinkonstruktion SE-100 44 STOCKHOLM
Examensarbete EGI-2015-045MSC
Simulering av spillvattenflödet i Solnaverkets värmepumpar
Malin Söderlund Alm Godkänt 2015-06-17 Examinator Björn Palm Handledare Jan-Erik Nowacki Uppdragsgivare Norrenergi AB Kontaktperson
Lars Olrin/Staffan Stymne
Sammanfattning
Norrenergi har fyra värmepumpar i sitt värmeverk i Solna. Värmepumparna använder spillvatten från Bromma reningsverk för att göra fjärrvärme att distribuera i Solna och Sundbyberg. Detta spillvatten leds in i en kanal där det sedan pumpas upp i värmepumparnas förångare. Spillvattnet pumpas först upp i värmepump 1. Det vatten som inte pumpas upp i första värmepumpen, pumpas upp i den andra värmepumpen om den är i drift. På vinterhalvåret är spillvattenflödet till kanalen begränsat och temperaturen kan vara lägre. Detta medför att spillvattnet in till värmepump 2 kan ha lägre temperatur på grund av att det delvis redan har passerat genom förångaren i värmepump 1.
Syftet med detta arbete är att simulera denna anläggning och se hur en omfördelning av spillvattnet kan påverka den totala värmeeffekten ut från värmepump 1 och 2, samt att se om det går att köra värmepumparna med bättre ekonomi.
Genom att ta fram värmepumpsspecifika ekvationer baserade på uppmätta data i anläggningen och bygga en modell i Excel, har dessa frågeställningar besvarats matematiskt. Resultatet visar att det inte är lönsamt att omfördela flödet genom att minska flödet in i värmepump 1 för att få en högre temperatur in i värmepump 2. Detta för att ett lägre flöde genom förångaren i värmepump 1 påverkar värmegenomgångstalet negativt, vilket i sin tur leder till en sämre värmeöverföring från spillvattnet till köldmediet. Det leder också till lägre förångningstryck i denna förångare vilket gör att risken för frysning ökar.
För att säkerställa driften av både värmepump 1 och 2 bör istället effekten på värmepump 1 regleras ner för att nå en ingående spillvattentemperatur i värmepump 2 som är tillräckligt hög för att den ska kunna vara i drift.
Master of Science Thesis EGI-2015-045MSC
Simulation of the waste water flow in the heat pump plant in Solna
Malin Söderlund Alm Approved 2015-06-17 Examiner Björn Palm Supervisor Jan-Erik Nowacki Commissioner Norrenergi AB Contact person
Lars Olrin/Staffan Stymne
Abstract
Norrenergi has four heat pumps in their heating plant in Solna. These heat pumps use waste water from the Bromma sewage treatment plant as a heat source to produce district heating to distribute in Solna and Sundbyberg. This waste water is led into a duct where it is pumped through the evaporators of the heat pumps. The waste water is first pumped up into the first heating pump. The water that is not used in the first heat pump is passed by to be pumped up into the second heat pump, if it is in operation. In the winter months, the waste water flow into the duct is limited and the temperature can be lower. The consequence of this is that the waste water to heat pump 2 may have lower temperature, because it has already partially passed through the evaporator in heat pump 1.
The aim of this study is to simulate this plant and investigate the possibility to optimize the distribution of the waste water to increase the total heating capacity of heat pump 1 and 2, and investigate if it is possible to operate the heat pumps with better economy.
By developing heat pump specific equations based on measured data in the plant and build a model in Excel, these questions have been answered mathematically. The results of this study shows that it is not profitable to redistribute the waste water flow by reducing the flow into the evaporator of heat pump 1, to achieve a higher temperature of the water into heat pump 2. This is due to a lower flow through the evaporator in heat pump 1 affecting the overall heat transfer coefficient negatively, which in turn leads to a poorer heat transfer from the waste water to the refrigerant. It also results in a lower evaporation pressure within the evaporator of heat pump 1, which means the risk of freezing increases.
To secure the operation of both heat pump 1 and 2, the heating capacity of heat pump 1 should be reduced to reach an incoming waste water temperature into heat pump 2 that is high enough to keep the second heat pump in operation.
NOMENKLATUR
Beteckningar
Symbol
Beskrivning
Q Effekt [W] Ledskenevinkel [%] m Massflödet [kg/s] m Logaritmisk medeltemperatur[K] K E Kompressoreffekt [W] 1 T Kondenseringstemperatur [K] 2 T Förångningstemperatur [K] Verkningsgrad Ct Total Carnot-verkningsgrad p c Värmekapacivitet [J/(kgC)] U Värmegenomgångstal [W/(m2C)] h Värmeövergångstal [W/(m2 C)] Värmekonduktivitet [W/(mC)] d Tubdiameter [m] Dynamisk viskositet [Ns/m2] Kinematisk viskositet [m2 /s] V Spillvattenflöde [m3/s] A Area [m2]Förkortningar
Symbol
Beskrivning
VP VärmepumpCOP Coefficient of performance
COP1 Värmefaktor
COP2 Köldfaktor
Fjv Fjärrvärme
INNEHÅLLSFÖRTECKNING
NOMENKLATUR ...3 INNEHÅLLSFÖRTECKNING...4 1 INTRODUKTION ...5 1.1BESKRIVNING AV NORRENERGI ... 5 1.1.1 Allmänt om Norrenergi ... 5 1.1.2 Beskrivning av produktionsområde ... 5 1.1.3 Värmepumpsanläggningen i Solnaverket ... 5 1.2SYFTE/PROBLEMFORMULERING ... 6 1.3AVGRÄNSNINGAR ... 6 2 REFERENSRAM ...7 2.1SYSTEMBESKRIVNING ... 7 2.2EKVATIONER ... 9 3 GENOMFÖRANDE ... 10 3.1TILLVÄGAGÅNGSSÄTT ... 10 3.2DATAINSAMLING ... 103.3UNDERLAG TILL MODELLEN ... 10
3.4MODELLEN ... 15 3.5VERIFIERING AV MODELLEN ... 15 4 RESULTAT ... 18 4.1RESULTAT ... 18 4.2FELKÄLLOR... 21 4.3GILTIGHETSOMRÅDEN ... 21
5 DISKUSSION OCH SLUTSATS ... 22
5.1DISKUSSION ... 22
5.2SLUTSATS ... 24
6 REKOMMENDATIONER OCH FRAMTIDA ARBETE ... 25
6.1REKOMMENDATIONER ... 25
6.2FRAMTIDA ARBETE ... 25
7 REFERENSER ... 26
BILAGA 1: HÄRLEDNINGAR ... 27
HÄRLEDNING AV FORMEL FÖR KONDENSERINGSTEMPERATUREN ... 27
HÄRLEDNING AV FORMEL FÖR FÖRÅNGNINGSTEMPERATUREN... 30
1 INTRODUKTION
1.1 Beskrivning av Norrenergi
1.1.1 Allmänt om Norrenergi
Norrenergi är ett kommunägt företag som ägs av Solna och Sundbyberg städer. Verksamheten bedrivs i Solna, Sundbyberg, Danderyd samt Bromma (Årsredovisning 2013). Norrenergi tillhandahåller fjärrvärme och fjärrkyla. Företagets fjärrvärmeproduktion och distribution uppgår till drygt 1 TWh årligen och fjärrkylaproduktionen uppgår till drygt 69 GWh (Årsredovisning 2013).
1.1.2 Beskrivning av produktionsområde
Norrenergi har produktionsanläggningar i Solna och Sundbyberg. I Sundbyberg finns spets- och reservanläggning bestående av tre hetvattenpannor på totalt 140 MW (Årsredovisning 2013). I Solna ligger Solnaverket som är Norrenergis baslastanläggning. Här finns fem hetvattenpannor och en värmepumpsanläggning med fyra värmepumpar. Den totala installerade effekten är 380 MW (Årsredovisning 2013), varav värmepumparna står för 100 MW (Olrin, 2014). Utöver detta finns två fjärrvärmeackumulatorer, en fjärrkylaackumulator samt en fjärrkylastation (Årsredovisning 2013).
1.1.3 Värmepumpsanläggningen i Solnaverket
Stockholm vatten har ett reningsverk i Bromma för att rena avloppsvatten. Det renade avloppsvattnet, spillvattnet, går via en bergtunnel till Norrenergis anläggning i Solna. Här tas värmen i spillvattnet tillvara i värmepumpsanläggningen för att producera fjärrvärme.
Värmepumpsanläggningen består av fyra värmepumpar, två med tubförångare och två med strilförångare, med en total värmeeffekt på ca 100 MW (Olrin, 2014). Som bild 1 visar kommer spillvattnet in från höger och når först värmepump 1, VP1. Om flödet är tillräckligt högt går vattnet även till värmepump 2, VP2, utan att först pumpas upp i VP1. Vid lägre flöden passerar dock en del av flödet genom VP1 innan det går vidare till VP2. Spillvattnet fortsätter sedan vidare till VP3 och VP4 innan det släpps ut i bergtunneln igen.
Bild 1: Schematisk skiss över de fyra värmepumparna
1.2 Syfte/Problemformulering
Huvudsyftet med detta arbete är att utreda om spillvattenflödet till värmepumparna i värmepumpsanläggning går att utnyttja bättre vid lågt spillvattenflöde.
En modell över systemet, inkluderat in- och utflöden av spillvattnet, skall göras. Genom att ändra fördelningen av spillvattenflödet mellan VP1 och VP2 ska påverkan på totala värmeeffekten Q1 undersökas. Vidare skall systemet optimeras med hänsyn till elförbrukningen för att på så vis finna den bästa värmefaktorn, COP1, för ett givet fall samt även högsta Q1 vid givna
förutsättningar. Det som är av störst intresse är att finna en lösning då vatteninflödet till systemet är begränsat, vilket inträffar under vinterhalvåret. Optimeringen skall även göras för ett vinterfall där både temperaturen och flödet på inkommande spillvatten är lågt.
Vidare skall även påverkan på totala Q och COP11 undersökas om effekten på VP1 minskas eftersom VP2 går ostadigt när spillvattentemperaturen understiger 8°C.
1.3 Avgränsningar
Beräkningar görs här endast med hänsyn till spillvattensidan. Värmepumparna ses som svarta lådor där ingående temperaturer och flöden är kända, men den värmeöverföring som sker i själva värmepumpen ses som en svart låda. Detta innebär bland annat att underkylarna inte behandlas separat, utan all värmeöverföring från köldmediet till fjärrvärmen antas gå via kondensorn. Viss förenkling av kompressorn har gjorts genom att ledskenevinklarna α1 och α2 antas justeras linjärt i förhållande till varandra. Detta medför att beräkningarna endast beror av α1. Förenklingen medför att själva uppstartsförloppet samt drift på dellast under 40% inte stämmer med verkligheten.
Beräkningarna görs endast då ledskenevinkeln α1, vid varje värmepump, är mer än 20% öppen. När vinkeln understiger 20% anses kyleffekten vara så låg att värmepumpen kan antas vara avstängd.
För att säkra att värmepumparna endast går för värmeproduktion används bara mätvärden från januari, februari och mars 2013.
Alla framtagna ekvationer gäller endast för värmeeffekter högre än 13 MW. Värmepumparna går inte på lägre last eftersom det bland annat ökar risken för vibrationer.
Fokus har varit att titta på spillvattenfördelningen mellan VP1 och VP2, därav omfattar simuleringen endast dessa två värmepumpar.
2
REFERENSRAM
2.1 Systembeskrivning
Värmepumpar används där värmen vid en lägre temperatur, värmekällan, ska användas för att höja temperaturen där den redan är högre, värmesänkan. Detta är enligt termodynamikens andra huvudsats omöjligt att genomföra utan tillförsel av arbete. Arbetet som tillförs, i detta fall, är den elektricitet som används för att driva kompressorn.
Värmen i spillvattnet tas upp i värmepumpens förångare där köldmediet värms vid ett lågt tryck. Köldmediet förs sedan genom en kompressor där trycket ökar och därmed temperaturen på köldmediet. Köldmediet värmeväxlar sedan med fjärrvärmevattnet på kondensorsidan. Köldmediet kyls ner och förs sedan åter till förångarsidan efter att det har expanderat i strypanordningen, se bild 2.
Bild 2: Kompressordriven förångningsprocess
Värmepumpen är mest effektiv när temperaturskillnaden mellan värmekällan och värmesänkan är liten. Detta beror på att höga temperaturlyft kräver hög tryckskillnad. Då ökar kompressoreffekten vilket medför lägre COP (Nowacki, 2009).
COP, Coefficient of performance, är en faktor som talar om hur mycket effekt som utvinns per tillfört arbete. Värmefaktorn, COP1,beräknas enligt ekvation (1)
E Q COP 1 1 (1)
där Q är värmeeffekten1 och E är den energi som tillförs, i detta fall den el som driver kompressorn.
Köldfaktorn, COP2, beräknas enligt ekvation (2)
E Q COP 2 2 (2) där Q är kyleffekten (Granryd m fl, 1999, s 2:7-2:8).2
Totalt består värmepumpsanläggningen av fyra värmepumpar. Två värmepumpar har tubförångare med enströmmig tubvärmeväxlare och två har strilförångare med öppen panelförångare.
Bild 3: Enströmmig tubförångare.
Bild 3 visar en enströmmig tubförångare. Förångarens funktion är att överföra värmen från spillvattnet till köldmediet, i detta fall R134a. Tubförångaren består av många tuber, rör, som spillvattnet går genom. Dessa rör är nedsänkta i ett bad av köldmedium. Köldmedienivån hålls så hög att tuberna alltid ligger dränkta. Köldmediet värms då upp under kokning och förångas. Den förångade gasen stiger upp över tubsatsen och sugs ut ur förångarens topp och går vidare till kompressorn.
Bild 4: Öppen panel/strilförångare.
I en strilförångare, som bild 4 visar, strilar spillvattnet på utsidan av en panel. Här sker förångningen av köldmediet på insidan av panelen. En strilförångare kan arbeta med lägre temperaturer och är därför lämplig att ha efter en tubförångare då spillvattentemperaturen är lägre.
2.2 Ekvationer
För beräkningar har följande ekvationer använts (Granryd m fl. 1999, s 2:7-2:10)
Effekt Q mcpT (3) m UA Q (4) Värmeeffekt Q1 mfjvcp(Tfjv,utTfjv,in) (5) K E Q Q1 2 (6) Kyleffekt Q2 mspvcp(Tspv,in Tspv,ut) (7) Värmefaktor K E Q COP 1 1 (8) Köldfaktor K E Q COP 2 2 (9)
1 2
2 2 T T T COP Ct (10) där
2 1 2 T T T3 GENOMFÖRANDE
3.1 Tillvägagångssätt
En litteraturstudie över företaget och värmepumpar har varit grundläggande för att få den bakgrund som har varit nödvändig. Informationen behövdes för att vidare kunna se över de förändringar och förbättringar som eventuellt kunde göras i en värmepumpsanläggning av denna storlek.
För att kunna finna lösningar till de problemformuleringar som ställts, har mätdata samlats in från Norrenergis databas Plant Connect. Dessa data har sedan behandlats och feldata har sorterats ut.
Vidare har dessa data använts för att ta fram ekvationer för att beskriva hur systemet fungerar. En modell över värmepumpsanläggningen har gjorts. Här har de framtagna ekvationerna lagts in för att vidare kunna ta fram lösningen för olika driftfall.
3.2 Datainsamling
Under datainsamlingsprocessen var det viktigt att först se vilka värden som var relevanta att ta fram. För att veta vilka parametrar som var av intresse behövde relevanta ekvationer gällande systemet undersökas. Genom litteraturstudier har dessa ekvationer hittats och kan här hittas under kapitel 2.2 Ekvationer. När parametrarna var definierade kunde stora delar av dessa värden tas direkt ur Norrenergis databas Plant Connect.
Alla dessa värden var i behov av granskning då vissa feldata hittades. Feldata identifierades bland annat genom att de var orimliga värden såsom minusgrader på spillvattnet och negativ elektricitetstillförsel i kompressorn.
Alla värden som föll utanför avgränsningarna rensades bort och konstanterna till ekvationerna togs fram baserat på mätdata från januari, februari och mars 2013.
3.3 Underlag till modellen
För att kunna göra en modell över systemet måste först relevanta ekvationer gällande just dessa värmepumpar tas fram.
För att få fram en ekvation för kompressoreffekten (11) för varje enskild VP användes ekvation (9) och (10) 2 1 2 2 T T T Q Ek Ct (11)
Till denna lades en faktor för den relativa elkonsumtionen vid olika dellaster. Detta resulterade i ekvation (12)
2
2 1 2 2 1 dellast G dellast F E T T T Q Ek Ct (12)där E, F och G är värmepumpsspecifika konstanter.
Som bild 5 nedan visar, ökar den relativa elkonsumtionen vid lägre last, i detta fall vid last lägre än 65% av VP1s maximala last. När dellasten är 1, d.v.s. när värmepumpen levererar högsta möjliga värmeeffekt, beräknas Ek enligt (11).
Bild 5: VP1s relativa elkonsumtion
Ett samband mellan ledskenevinklarnas påverkan på effekt undersöktes. Först undersöktes förhållandet mellan de två ledskenevinklarna. Genom att rita upp α1 mot α2 togs förhållande mellan dem fram. Som kan ses i bild 6 är sambanden mellan vinklarna nära linjärt. Därför gjordes antagandet att så var fallet och vidare användes bara α1.
Bild 6: Ledskenevinkeln α1 mot α2 0 1 2 3 4 5 6 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2
Relativ elkonsumtion VP1
[dellast] [relativ elkomsumtion] [%] [%]Kyleffekten beräknas enligt ekvation (13)
D t C t B Q Q e e A Q max 1 2 1 2 60 2 2 1 (13)där A, B, C och D är värmepumpsspecifika konstanter. A är värmepumpens kyleffekt vid fullast när förångningstemperaturen är 0C och kondenseringstemperaturen 60C. B anger hur många procent Q ökar per grads ökning av T22 . C anger hur många procents minskning av Q som 1 2 grads ökning av T1 ger (Nowacki, 2008). 1 är ledskenevinkeln och 1maxär den maximala
ledskenevinkeln, som här antas vara 100 för VP1 och VP2 samt 75 för VP3 och VP4.
Ekvationen för Q2
1 togs fram för varje enskild VP. Detta gjordes genom att kyleffekten ritades upp mot ledskenevinkeln α1 i ett diagram. I detta diagram, se bild 7, infogades en trendlinje och ekvation (14), gällande för VP1, genererades.Bild 7: Kyleffekten som funktion av ledskenevinkel 1 för VP1
VP1 Q
1 0.001412 0.26141 4.1925 (14)Denna ekvation, (14) för VP1, användes sedan i ekvation (13). Med antagna värden på A, B, C och D samt uppmätta värden på t1, t2 och 1, räknades ett värde fram på Q . Detta 2 Q 2 jämfördes sedan med det uppmätta värdet på Q med hjälp av minsta kvadrat-metoden. Summan 2 av kvadraterna i avvikelsen minimerades genom att använda Excels applikation problemlösaren. Verktyget fick justera värdena på A, B, C och D för att få så låg summa som möjligt på avvikelserna. Denna process gjordes sedan för varje enskild VP men för VP2 användes ekvation (15), för VP3 (16) och VP4 (17) i ekvation (13). VP2
0.0013 0.2565 1 2.9304 2 1 1 Q (15) VP3
0.0032 0.5031 1 2.4977 2 1 1 Q (16) [%] [MW]VP4 Q
1 0.001412 0.247814.8543 (17)Bild 8 visar hur väl formeln för Q stämmer överens med uppmätta värden på 2 Q för VP2. 2
Bild 8: Relationen mellan beräknad och uppmätt kyleffekt för VP2.
Y-axeln visar den beräknade kyleffekten och x-axeln visar den uppmätta kyleffekten.
Genom att sätta in givna data för fullast, för respektive VP, i ekvation (11) erhölls ett värde på den totala Carnot-verkningsgraden Ct. När denna konstant var framtagen användes ekvation (12) för att får fram resterande konstanter. På samma sätt som för konstanterna i ekvation (13) erhölls konstanterna E, F och G i ekvationen för Ek.
För att kunna räkna på temperatur och flöden i värmepumpsmodellen måste hänsyn tas till värmepumpens förmåga att föra över värme från ett medie till ett annat. I detta fall från vatten till köldemediet R134a på förångarsidan samt från R134a till fjärrvärmevattnet på kondenseringssidan.
Värmetransport sker i tre olika steg: konvektion, strålning och ledning. I dessa värmepumpar sker värmetransporten genom ledning och konvektion, men värmemotståndet orsakat av ledning är så litet att den kan bortses från. Eftersom det i detta fall är den totala värmetransporten som är av intresse måste det totala värmegenomgångstalet U för varje värmeväxlare tas fram.
U beräknas enligt ekvation (4).
m
UA
Q (4)
Där mär den logaritmiska medeltemperaturdifferensen och beräknas enligt (18)
1 2 ln 1 2 m (18) y = 0,9999x R² = 0,9936 5 10 15 20 5 10 15 20
Beräknad Q
2mot uppmätt Q
2VP2
Q2 Linjär (Q2)
[MW] [MW]
1
och 2är temperaturdifferensen i punkt 1 respektive punkt 2 enligt bild 9.
Bild 9: En förenkling av temperaturgrafen över förångare och kondensor
Enligt bild 9 är det tydligt att temperaturen inte är konstant längs värmeväxlarens yta. Spillvattnet kyls succesivt ner och köldmediet antas ha konstant förångningstemperatur, vilket är en förenkling då det beror på vilket köldmedium som används. Likaså ökar fjärrvärmevattnets temperatur medan kondenseringstemperaturen antas vara konstant. Hänsyn måste därför tas till denna temperaturförändring. Detta görs genom LMTD-metoden. LMTD står för logaritmisk medeltemperaturdifferens och beräknas enligt ekvation (18). I detta fall, med förångare och kondensorer, antas den ena fluidens temperatur vara konstant vilket medför att flödesriktningen saknar betydelse och någon korrektionsfaktor behöver inte användas.
Genom att stoppa in givna mätdata på de olika temperaturerna samt värde på uppmätt Q har ett värde på UA kunnat itereras fram genom att använda Excels applikation problemlösaren.
Detta UA-värde är det totala värmegenomgångstalet för just denna yta på värmepumpens kondenserings- eller förångningssida och mäts i enheten [W/K].
När UA är känt kan LMTD-metoden användas för att beräkna olika temperaturer i värmepumpen.
2
T kan beräknas genom (19)
) 1 ( 2 21 2 p p C m UA C m UA p e e C m Q T T (19) 1
T kan beräknas genom (20)
) 1 ( 1 11 1 p p C m UA C m UA p e e C m Q T T (20)
Tabell 1 visar alla framräknade konstanter, för respektive VP, som används i modellen.
Tabell 1. Konstanterna för respektive VP
A B C D E F G ηCt UA Förångning [MW/K] UA Kondensering [MW/K] VP1 16,96 0,03 -0,007 1,31 -1,22 5,38 -3,19 0,596 2,40 2,53 VP2 16,35 0,04 -0,009 1,17 0,08 2,09 -1,16 0,577 1,97 1,86 VP3 17,33 0,03 -0,002 1,37 -0,65 3,93 -2,31 0,557 2,20 2,87 VP4 17,14 0,03 -0,004 1,32 0,16 2,21 -1,39 0,517 2,57 2,11
3.4 Modellen
För att kunna simulera olika driftfall och på så vis få fram kyleffekter, värmeeffekter och kompressoreffekter för dessa, har en modell byggts upp i Excel. Anledningen till att Excel valdes var att programvaran är lätt för gemene man att hantera.
Modellen finns i två versioner men bara den ena har verifierats med hjälp av uppmätta data. Fokus har varit att få modellen av VP1 och VP2 att fungera så bra som möjligt.
Norrenergi har problem med att få VP2 att gå stabilt vid vissa temperaturer. Därför har möjligheten nu tagits fram att försöka simulera situationen om en del av spillvattenflödet in till VP1 istället pumpas direkt till VP2 för att öka spillvattnets temperatur in i VP2.
Villkor har satts upp vid de olika förgreningspunkterna för spillvattnet, se bilaga 2, vilket medför att även recirkulationer på spillvattensidan kan upptäckas. Bild 10 visar hur modellen ser ut för VP1 och VP2.
Bild 10: Modell över VP1 och VP2
3.5 Verifiering av modellen
För att undersöka hur väl modellen stämmer överens med verkligheten har en verifiering av den gjorts. Detta har gjorts genom att uppmätta data har stoppats in i modellen och de värden som modellen har genererat har jämförts med uppmätta värden på samma parameterar. De värden
som matats in i modellen är ledskenevinkeln 1, inkommande spillvattentemperatur i VP1, inkommande fjärrvärmevattentemperatur, fjärrvärmeflöde1, totalt inkommande spillvattenflöde i kanalen samt pumpflödet2. Tabell 2 och 3 visar data taget ur Plant Connect samt vad modellen visar för värden.
Tabell 2. Verifiering av data för VP1 vid givna tidpunkter
VP1 Q1 [MW] Q2 [MW] EK [MW]
Givet Modell Diff Givet Modell Diff Givet Modell Diff 20130209 00:00 21,0 21,0 0,0 15,08 15,2 -0,12 5,92 5,8 0,12 20130122 01:00 24,0 23,8 0,2 16,47 16,6 -0,13 7,55 7,2 0,35 20130304 11:00 18,0 17,9 0,1 13 13,1 -0,1 4,93 4,8 0,13 20130101 00:00 19,0 19,1 -0,1 13,57 13,7 -0,13 5,43 5,4 0,03 20130115 00:00 21,5 21,4 0,1 15,4 15,4 0 6 6 0 20130201 15:00 19,4 19,4 0,0 14 14,1 -0,1 5,4 5,3 0,1 20130212 12:00 22,0 22,4 -0,4 15,94 16,2 -0,26 6,06 6,2 -0,14 20130228 22:00 23,0 23,1 -0,1 16,54 16,5 0,04 6,45 6,6 -0,15 20130315 15:00 21,0 20,6 0,4 15,15 14,3 0,85 5,85 6,3 -0,45 VP1 COP1 Utgående spillvattentemp °C Givet Modell Diff Givet Modell Diff 20130209 00:00 3,55 3,61 -0,06 7,43 7,43 0 20130122 01:00 3,18 3,31 -0,13 7,5 7,5 0 20130304 11:00 3,64 3,75 -0,11 7,29 7 0,29 20130101 00:00 3,5 3,53 -0,03 5,98 5,9 0,08 20130115 00:00 3,55 3,58 -0,03 7,53 7,5 0,03 20130201 15:00 3,6 3,65 -0,05 6,66 6,6 0,06 20130212 12:00 3,63 3,61 0,02 7,48 7,4 0,08 20130228 22:00 3,57 3,48 0,09 6,2 6,2 0 20130315 15:00 3,59 3,27 0,32 7,05 7,2 -0,15 .
1 Fjärrvärmeflödet för VP1 saknades och ett uppskattat flöde på 825 l/s användes
2 Pumpflödet för respektive pump är enligt dokumentationen konstant och ca 1000 l/s. I detta arbete har flödet
Tabell 3. Verifiering av data för VP2 vid givna tidpunkter
VP2 Q1 [MW] Q2 [MW] EK [MW]
Givet Modell Diff Givet Modell Diff Givet Modell Diff 20130209 00:00 18,0 17,6 0,4 12,8 12,4 0,4 5,2 5,1 0,1 20130122 01:00 22,9 21,3 1,6 15,63 14,7 0,93 7,2 6,6 0,6 20130304 11:00 14,0 13,8 0,2 9,97 9,7 0,27 4,06 4 0,06 20130101 00:00 17,9 17,7 0,2 12,69 12,5 0,19 5,16 5,2 -0,04 20130115 00:00 17,0 16,6 0,4 12,1 11,8 0,3 4,88 4,8 0,08 20130201 15:00 18,0 17,6 0,4 12,9 12,5 0,4 5,1 5,1 0 20130212 12:00 14,0 13,9 0,1 9,94 9,9 0,04 4,05 4 0,05 20130228 22:00 15,0 14,5 0,5 10,7 10,2 0,5 4,29 4,3 -0,01 20130315 15:00 14,5 14,3 0,2 10,25 10,1 0,15 4,26 4,2 0,06 VP2 COP1 Inkommande spillvattentemp °C Utgående spillvattentemp °C Givet Modell Diff Givet Modell Diff Givet Modell Diff 20130209 00:00 3,46 3,44 0,02 9,9 8,8 1,1 3,46 3,44 0,02 20130122 01:00 3,17 3,25 -0,08 11,25 10,1 1,15 3,17 3,25 -0,08 20130304 11:00 3,45 3,4 0,05 8,42 7 1,42 3,45 3,4 0,05 20130101 00:00 3,46 3,41 0,05 8,98 9,2 -0,22 3,46 3,41 0,05 20130115 00:00 3,48 3,48 0 10,96 10,1 0,86 3,48 3,48 0 20130201 15:00 3,53 3,45 0,08 9,61 8,8 0,81 3,53 3,45 0,08 20130212 12:00 3,45 3,47 -0,02 9,16 8,5 0,66 3,45 3,47 -0,02 20130228 22:00 3,49 3,41 0,08 9,1 7,4 1,7 3,49 3,41 0,08 20130315 15:00 3,4 3,38 0,02 8,99 8,2 0,79 3,4 3,38 0,02
4 RESULTAT
4.1 Resultat
Tabell 4 visar hur Q1 för både VP1 och VP2 förändras om en del av flödet till VP1 omfördelas och istället för att pumpas upp i VP1 pumpas upp i VP2. Den vänstra och den högra spalten illustrerar två olika totala spillvattenflöden in i kanalen med olika spillvattentemperaturer. Här har en förenkling gjorts då UA antas vara konstant på spillvattensidan. Övre delen av tabellen visar parametrarna som matats in i modellen. Den undre delen visar vilka värden modellen ger på sökta parameterar och de blåmarkerade parametrarna är de indata som har justerats.
Tabell 4. Data vid olika spillvattenflöden genom VP1
Indata till modellen
Totalt mspv in i kanal [l/s] 901 901 901 1100 1100 1100 spv T in i kanal [˚C] 8,5 8,5 8,5 10,9 10,9 10,9 Ledskenevinkel 1 VP1 [%] 100 100 100 100 100 100 Ledskenevinkel 1 VP2 [%] 100 100 100 100 100 100 pump m VP1 [kg/s] 960 750 500 960 750 500 pump m VP2 [kg/s] 851 851 851 851 851 851 fjv T in VP1 [˚C] 58 58 58 58 58 58 fjv T in VP2 [˚C] 54,5 54,5 54,5 54,5 54,5 54,5 fjv m VP1 [l/s] 825 825 825 825 825 825 fjv m VP2 [l/s] 800 800 800 800 800 800 Utdata från modellen total Q1, [MW] 41,0 40,9 40,3 43,7 43,6 43,1 total K E , [MW] 12,4 12,4 12,3 13,1 13,0 12,9 total COP1, 3,30 3,30 3,29 3,34 3,34 3,35 spv T i kanal efter VP2 [˚C] 0,9 1,0 1,1 4,2 4,3 4,3 1 Q VP2 [MW] 18,8 18,9 19,0 20,2 20,4 20,8 Kl E VP2 [MW] 5,9 5,9 5,9 6,2 6,2 6,3 spv T in vp2 [˚C] 4,4 4,4 4,7 7,4 7,8 8,7 1 Q VP1 [MW] 22,2 22,0 21,3 23,5 23,2 22,3 spv T ut VP1 [˚C] 4,4 3,6 1,4 6,8 5,7 3,4
Som tabell 4 visar, sjunker den totala Q1 när flödet in i VP1 minskas. Värmefaktorn, COP1, är relativt konstant, inom felmarginalerna. Spillvattentemperaturen in i VP2 är oförändrad vid det lägre totala inflödet i kanalen, vilket beror på att det vattnet som gått genom VP1 har kylts ner mer vid det lägre flödet. Detta medför ökad risk för frysning i VP1. Däremot ökar temperaturen in i VP2 med 0.4-1.3C enligt modellen, när det totala spillvatteninflödet i kanalen är 1100 l/s.
Tabell 5 visar exempel på när högsta totala värmeeffekten, Q1,total, uppnås vid olika driftfall vid
ett lågt flöde i spillvattenkanalen och vid en temperatur på 10.9C. Att bara sänka kyleffekten,
2
Q , i VP1 ger en lägre total värmeeffekt, Q1,total. Spillvattentemperaturen in i VP2 ökar knappt.
Att sänka kyleffekten, Q2, i VP1, genom att leda om en del av spillvattnet till VP2, ger inte heller någon större förändring av temperaturen in i VP2, däremot sjunker den totala värmeeffekten, Q1,total.
Tabell 5. Förändring av totala värmeeffekten vid olika ledskenevinklar och pumpflöden i VP1
Indata till modellen
Totalt mspv in i kanal [l/s] 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 spv T in i kanal [˚C] 10,9 10,9 10,9 10,9 10,9 10,9 10,9 Ledskenevinkel α1 VP1 [%] 100 70 50 100 100 70 70 Ledskenevinkel α1 VP2 [%] 100 100 100 100 100 100 100 pump m VP1 [kg/s] 960 960 960 750 500 750 500 pump m VP2 [kg/s] 851 851 851 851 851 851 851 fjv T in VP1 [˚C] 58 58 58 58 58 58 58 fjv T in VP2 [˚C] 54,5 54,5 54,5 54,5 54,5 54,5 54,5 fjv m VP1 [l/s] 825 825 825 825 825 825 825 fjv m VP2 [l/s] 800 800 800 800 800 800 800 Utdata från modellen total Q1, [MW] 43,5 42,4 39,6 43,3 42,7 42,2 41,7 total K E , [MW] 13,1 12,5 11,5 13,0 12,8 12,5 12,4 total COP1, 3,3 3,4 3,4 3,3 3,3 3,4 3,4 spv T i kanal efter VP2 [˚C] 3,6 3,8 4,2 3,7 3,8 3,8 3,9 1 Q VP2 [MW] 20,0 20,1 20,3 20,1 20,4 20,2 20,4 Kl E VP2 [MW] 6,1 6,1 6,2 6,1 6,2 6,2 6,2 spv T in VP2 [˚C] 7,0 7,1 7,6 7,2 7,8 7,4 7,9 1 Q VP1 [MW] 23,5 22,3 19,4 23,2 22,3 22,0 21,3 spv T ut VP1 [˚C] 6,8 6,9 7,4 5,7 3,4 5,9 3,7
Om spillvattenflödet leds om eller om effekten regleras ner vid detta flöde sjunker alltid den totala värmeeffekten Q1,total. Kräver dock VP2 8Cför att kunna vara i drift, visar modellen att
Tabell 6. Nedjustering av VP1s värmeeffekt med 1MW
Indata till modellen
Totalt mspv in i kanal [l/s] 1300 1300 1100 1100 1100 900 900 900 spv T in i kanal [˚C] 10,9 10,9 10,9 10,9 10,9 10,9 10,9 10,9 Ledskenevinkel α1 VP1 [%] 100 70 100 70 50 100 70 50 Ledskenevinkel α1 VP2 [%] 100 100 100 100 100 100 100 100 pump m VP1 [kg/s] 960 960 960 960 960 960 960 960 pump m VP2 [kg/s] 851 851 851 851 851 851 851 851 fjv T in VP1 [˚C] 58 58 58 58 58 58 58 58 fjv T in VP2 [˚C] 54,5 54,5 54,5 54,5 54,5 54,5 54,5 54,5 fjv m VP1 [l/s] 825 825 825 825 825 825 825 825 fjv m VP2 [l/s] 800 800 800 800 800 800 800 800 Utdata från modellen total Q1, [MW] 44,2 43,0 43,7 42,6 39,8 43,2 42,1 39,4 total K E , [MW] 13,2 12,7 13,1 12,6 11,6 13,0 12,5 11,5 total COP1, 3,35 3,39 3,34 3,38 3,45 3,33 3,37 3,43 spv T i kanal efter VP2 [˚C] 5,2 5,3 4,2 4,4 4,8 2,9 3,0 3,5 1 Q VP2 [MW] 20,7 20,7 20,2 20,3 20,5 19,8 19,9 20,1 Kl E VP2 [MW] 6,3 6,3 6,2 6,2 6,2 6,1 6,1 6,1 spv T in VP2 [˚C] 8,4 8,5 7,4 7,6 8,0 6,5 6,7 7,2 1 Q VP1 [MW] 23,5 22,3 23,5 22,3 19,4 23,4 22,2 19,3 spv T ut VP1 [˚C] 6,8 6,9 6,8 6,9 7,4 6,5 6,7 7,2
Tabell 6 visar hur den totala värmeeffekten förändras när värmeeffekten på VP1 har justerats ner med ca 1 MW. Om flödet är lågt ökar spillvattentemperaturen in till VP2 vilket i sin tur leder till att VP2 ger högre värmeeffekt. Alla driftfall ger lägre total värmeeffekt men om VP2 endast kan vara i drift vid spillvattentemperaturer över 8Ckan den totala värmeeffekten öka om VP1 går på lägre last och det totala spillvatteninflödet i kanalen är ca 1100 l/s. Är flödet lägre, 900 l/s, ökar inte temperaturen in i VP2 tillräckligt mycket och är flödet högre, 1300 l/s, påverkas inte temperaturen på spillvattnet in i VP2.
Som i driftfallet ovan, ger en sänkning av värmeeffekten på VP1 endast en positiv påverkan på
total
Q1, om det leder till att VP2 kan vara i drift jämfört med att inte vara i drift.
Det går inte att utläsa vilket driftfall som ger högsta värdet på COP eftersom de förändringar som olika driftfall visar är inom felmarginalen för modellens beräkning av COP.
4.2 Felkällor
Eventuella felkällor i detta arbete är osäkerhet kring var mätpunkterna sitter i verkligheten samt att fjärrvärmeflödet genom VP1 enligt mätdatat ständigt har varit 1 l/s, vilket inte stämmer.
4.3 Giltighetsområden
Gäller endast Solnaverkets värmepumpsanläggning. Gäller endast när ledskenevinkeln är över 20%.
Modellen kan endast användas när spillvattentemperaturen ut ur systemet överstiger 0˚C. Utgående spillvattentemperatur från VP2 bör överstiga 5˚C om VP3 och VP4 ska gå på fullast.
5 DISKUSSION OCH SLUTSATS
5.1 Diskussion
Vid låga flöden är det endast lönsamt att omfördela en del av vattnet för att öka spillvatten-temperaturen in till VP2. Dock endast så mycket att VP2 precis kan vara i drift, d.v.s. temperaturen bör vara minst 8C. Detta gäller endast vid ett konstant UA-värde. Detsamma gäller en sänkning av effekten på VP1. Det är endast fördelaktigt om temperaturen på spillvattnet in till VP2 överstiger 8Cvilket resulterar i att VP2 kan vara i drift.
Om spillvattenflödet in i VP1 minskar, minskar även värmegenomgångstalet U. U beräknas enligt ekvation (21) (Palm, s 8)
2 2 1 1 1 1 1 A h A A h A U vägg (21)
där h1 och A1 är värmeövergångstalet respektive arean på spillvattensidan och h2 och A2 är värmeövergångstalet respektive arean på köldmediesidan. Den mittersta termen betecknar värmegenomgången genom värmeväxlarens vägg, Avägg, vars tjocklek är . Denna term har försummats eftersom den ansetts liten i sammanhanget.
Flödet på insidan av tuberna är oftast turbulent och värmeövergångtalet kan beräknas ur Dittus-Boelters ekvation (22) (Palm, s 14)
4 . 0 8 . 0 Pr Re 023 . 0 Nu (22)
Värmeövergångskoefficienten på vätskesidan kan beräknas ur formeln för Nusselts tal (23) (Palm, s 10) 4 . 0 8 . 0 4 . 0 8 . 0 Pr Re 023 . 0 Pr Re 023 . 0 d h d h Nu (23)
där hvärmeövergångstalet [W/(m2C)], värmekonduktivitet [W/(mC)] och
d tubdiametern i [m]
Pr är Prandtls tal och beräknas enligt (24) (Palm, s 10)
cp
Pr (24)
I Pr är ingående termer beroende av temperaturen men antas vara oberoende av flödet.
Här antas att Pr för vattnet är konstant eftersom Pr(5C)11.16, Pr(10C)9.42 och 07
. 8 ) 15
Pr( C (Lervik, 1994, s 10). Temperaturen i beräkningarna varierar mellan ca 5°C och 12°C. Prandtls tal varierar i detta fall mellan ca 8 och 11. Ju högre temperatur på vattnet desto lägre värde på Pr. Termen varierar mellan 2.3 och 2.6 eftersom Pr skall upphöjas till 0.4 i Dittus-Boelters ekvation. Termen varierar mellan 1.86 och 2.06 om, som i vissa andra korrelationer, Pr skall upphöjas till 0.3 istället.
Reynolds tal på spillvattensidan beräknas enligt (25) (Palm, s 10) N A d V Re (25)
Där Vär spillvattenflödet [m3/s], d är tubdiametern [m , ] är kinematiska viskositeten ],
/
[m2 s A är tubens tvärsnittsarea [m2] och N är antalet tuber som skall dela på flödet.
Vidare antas att alla termer i ekvation (23) är konstanta utom flödet. Flödet påverkar Re och bryts därför ut ur ekvationen. (23) kan nu förenklat skrivas som (26).
8 . 0 V C h (26)
För flöden mellan 500 l/s och 1000 l/s varierar h1 med en faktor mellan 0.57 till 1. Den totala påverkan på värmegenomgångstalet U fås ur (27) där ekvation (26) sätts in i ekvation (21).
2 2 1 8 . 0 1 1 1 A h A A V C A U vägg (27)
Här inses att U också sjunker. Hur mycket är svårt att säga utan att beräkna hur stor del av värmeöverföringen som är på spillvattensidan jämfört med köldmediesidan. Här har alltså räknats med att UA är konstant när termen i verkligheten sjunker med sänkt flöde.
Om spillvattenflödet in till förångaren minskar, minskar värmeöverföringen till köldmediet. Detta leder till att avkokningen av köldmediet minskar, vilket i sin tur leder till lägre tryck i förångaren om effekten inte regleras ner. Vid lägre tryck är förångningstemperaturen för köldmediet lägre, vilket leder till att risken för frysning av spillvattnet ökar. För att inte gå under rekommenderat lägsta tryck i förångaren bör ledskenornas öppningsvinkel minskas. På detta vis minskar köldmedieflödet vilket i sin tur påverkar värmeöverföringen även på köldmediesidan. Även tryckförhållandet över kompressorn påverkas. Det får inte bli för högt eftersom det kan leda till ”pumpning”, d.v.s. att kompressorn inte orkar komprimera köldmediet tillräckligt. Risk finns då för att kompressorn tar skada. Troligtvis finns en reglering i Norrenergis styrsystem för anläggningen som gör att värmepumpen nödstoppas om detta skulle hända.
Alla beräkningar i modellen har i detta arbete gjorts med konstant UA som är ett snittvärde framräknat med hjälp av den stora datamängd som funnits tillgänglig. Att även separera ut värmeövergångstalen på varma och kalla sidan har dock ansetts svårt.
5.2 Slutsats
För att säkra drift på både VP1 och VP2 bör kyleffekten på VP1 sänkas för att nå tillräckligt hög spillvattentemperatur in i VP2. Detta ger högst värmeeffekt under säkra driftförhållanden.
Modellen visar inga vinster med att leda vattnet förbi VP1 för att öka temperaturen in i VP2. Minskar flödet in i VP1 minskar värmeeffekten, Q1, för VP1. I vissa fall medför det en ökning av Q1 för VP2 men den totala Q1 för VP1 och VP2 sjunker.
COPn ligger på ett relativt konstant värde för undersökta driftfall vilket visar att det inte innebär någon betydande ekonomisk vinst att omfördela flödet mellan VP1 och VP2.
6 REKOMMENDATIONER OCH FRAMTIDA ARBETE
6.1 Rekommendationer
Utifrån det resultat som framkommit är min rekommendation att vid lägre spillvattenflöden sänka effekten på VP1 för att nå en temperatur som möjliggör att VP2 kan vara i drift.
Om denna temperatur, ca 8°C, inte går att nå med en mindre sänkning av VP1s effekt är det bättre att låta VP1 gå på maximal last och samtidigt ha VP3 och VP4 i drift.
6.2 Framtida arbete
Som framtida arbete rekommenderar jag att utveckla den framtagna modellen och lägga in underkylarna och på så vis förbättra modellen.
Modellen kan även utvecklas genom att liknande beräkningar görs på fjärrvärmesidan, som här har gjorts på spillvattensidan, för att optimera driften även där.
Vidare kan värmeövergångstalen för varma och kalla sidan förmodligen separeras ut, även om det i detta arbete bedömdes som svårt att genomföra.
7 REFERENSER
Årsredovisning 2013.
Års- och hållbarhetsredovisning En hållbar berättelse Norrenergi 2013 Granryd m fl., 1999, s 2:7-2:10
Eric Granryd m fl. Refrigerating engineering, KTH Palm, s 8
Palm, s 10 Palm, s 14
Björn Palm. Short notes on heat transfer prepared by Björn Palm, KTH Lervik, 1994
Patrik Lervik. Värmetekniska tabeller sammanställda av Patrik Lervik, Åbo akademi
http://web.abo.fi/fak/tkf/vt/Common/Docs/tabeller.pdf
Olrin, 2014.
Möte med Lars Olrin, Norrenergi, 10 juni 2014 Nowacki, 2008
Nowacki, 2009
BILAGA 1: HÄRLEDNINGAR
Härledning av formel för kondenseringstemperaturen
Denna härledning kan troligtvis förenklas.
m UA Q1 där m =
11 1 12 1 11 1 12 1 ln T T T T T T T T 1 Q =
11 1 12 1 11 1 12 1 ln T T T T T T T T UA 1 Q =
11 1 12 1 12 11 ln T T T T T T UA (1) Där T12är okänd 1 Q = mCpT 1 Q = mCp
T12T11
11 1 T C m Q p = T12 12 T = 1 T11 C m Q p (2) Sätt in (2) i (1) 1 Q = 11 1 11 1 1 11 1 11 ln T T T C m Q T T C m Q T UA p p 1 Q = 11 1 11 1 1 11 1 11 ln T T T C m Q T T C m Q T UA p p 1 Q = 11 1 11 1 1 1 ln T T T C m Q T C m Q UA p p 11 1 11 1 1 ln T T T C m Q T p = 1 1 Q C m Q UA p 11 1 11 1 1 ln T T T C m Q T p = p C m UA 1 1 1 1 1 1 1 ln T T T C m Q T p e = mCp UA e 11 1 11 1 1 T T T C m Q T p = p C m UA e 1 11 1 1 T C m Q T p = p C m UA e T T 11 1 1 T = 11 1 11 1 T C m Q e T T p C m UA p 1 T = 11 1 11 1 T C m Q e T e T p C m UA C m UA p p
p C m UA e T T 1 1 = p C m UA p e T T C m Q 11 11 1 Cp m UA e T 1 1 1 = p C m UA p e T T C m Q 11 11 1 1 T = p p C m UA C m UA p e e T T C m Q 1 1 11 11 1 1 T = p p p p mC UA C m UA C m UA C m UA p e e T e T e C m Q 1 1 1 1 1 1 11 11 1 1 T = p p p p mC UA C m UA C m UA C m UA p e e e T e C m Q 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 T = p p p mC UA C m UA C m UA p e e T e C m Q 1 1 1 1 1 1 11 1 1 T = Cp m UA p e C m Q T 1 1 1 1 11 1 T = p p p p C m UA C m UA C m UA C m UA p e e e e C m Q T 1 11
1 T = 1 1 11 p p C m UA C m UA p e e C m Q T
Härledning av formel för förångningstemperaturen
Denna härledning kan troligtvis förenklas.
m UA Q2 där m =
2 21 2 22 2 21 2 22 ln T T T T T T T T 2 Q =
2 21 2 22 2 21 2 22 ln T T T T T T T T UA 2 Q =
2 21 2 22 2 21 2 22 ln T T T T T T T T UA 2 Q =
2 21 2 22 21 22 ln T T T T T T UA (1) 2 Q = mCpT 2 Q = mCp
T22T21
p C m Q 2 = 21 22 T T 22 T = p C m Q T 2 21 (2) Sätt in (2) i (1)2 Q = 2 21 2 2 21 21 2 21 ln T T T C m Q T T C m Q T UA p p 2 Q = 2 21 2 2 21 2 ln T T T C m Q T C m Q UA p p 2 Q = 2 21 2 2 21 2 ln T T T C m Q T C m Q UA p p 2 21 2 2 21 ln T T T C m Q T p = 2 2 Q C m Q UA p 2 21 2 2 21 ln T T T C m Q T p = p C m UA 2 2 1 2 2 2 1 ln T T T C m Q T p e = mCp UA e 2 21 2 2 21 T T T C m Q T p = p C m UA e 1 2 2 21 T C m Q T p = p C m UA e T T 2 21
2 2 21 T C m Q T e p C m UA p = T21T2 2 2 21 e T C m Q e T e p p mCp UA p C m UA C m UA = T21T2 21 2 21 T C m Q e T e p C m UA C m UA p p = 2 2 T T emCp UA 21 2 21 T C m Q e T e p C m UA C m UA p p = 1 2 p C m UA e T 2 T = 1 21 2 21 p p p C m UA p C m UA C m UA e T C m Q e T e 2 T = 1 1 2 21 p p p C m UA p C m UA C m UA e C m Q e e T 2 T = 1 1 1 2 21 p p p p C m UA p C m UA C m UA C m UA e C m Q e e e T 2 T = 1 2 21 p p C m UA C m UA p e e C m Q T
In i V P1 >0 I k an alen e fter VP1 in <0 In i k an ale n f rå n b ö rjan >0 In i V P2 >0 I k an alen e fter VP2 in o ch in n an VP1 u t<0 I k an alen e fter VP1 in >0 Ut u r VP1 >0 I k an alen m ellan VP1 u t o ch VP2 u t<0 I k an alen e fter VP2 in o ch in n an VP1 u t>0 Ut u r VP2 >0 I k an alen e fter VP2 <0 I k an alen m ellan VP1 u t o ch VP2 u t>0 Ned is ä r In i V P1 <0 I k an alen e fter VP1 in >0 In i k an ale n f rå n b ö rjan <0 In i V P2 <0 I k an alen e fter VP2 in o ch in n an VP1 u t>0 I k an alen e fter VP1 in <0 Ut u r VP1 <0 I k an alen m ellan VP1 u t o ch VP2 u t>0 I k an alen e fter VP2 in o ch in n an VP1 u t<0 Ut u r VP2 <0 I k an alen e fter VP2 >0 I k an alen m ellan VP1 u t o ch VP2 u t<0 Upp v ä ns ter In i V P1 >0 I k an alen e fter VP1 in >0 In i k an ale n f rå n b ö rjan >0 In i V P2 >0 I k an alen e fter VP2 in o ch in n an VP1 u t>0 I k an alen e fter VP1 in >0 Ut u r VP1 >0 I k an alen m ellan VP1 u t o ch VP2 u t>0 I k an alen e fter VP2 in o ch in n an VP1 u t>0 Ut u r VP2 >0 I k an alen e fter VP2 >0 I k an alen m ellan VP1 u t o ch VP2 u t>0 Ned v ä ns ter In i V P1 <0 I k an alen e fter VP1 in > 0 In i k an ale n f rå n b ö rjan >0 In i V P2 <0 I k an alen e fter VP2 in o ch in n an VP1 u t>0 I k an alen e fter VP1 in >0 Ut u r VP1 <0 I k an alen m ellan VP1 u t o ch VP2 u t>0 I k an alen e fter VP2 in o ch in n an VP1 u t>0 Ut u r VP2 <0 I k an alen e fter VP2 >0 I k an alen m ellan VP1 u t o ch VP2 u t>0 Upp hö g er In i V P1 >0 I k an alen e fter VP1 in <0 In i k an ale n f rå n b ö rjan <0 In i V P2 >0 I k an alen e fter VP2 in o ch in n an VP1 u t<0 I k an alen e fter VP1 in <0 Ut u r VP1 >0 I k an alen m ellan VP1 u t o ch VP2 u t<0 I k an alen e fter VP2 in o ch in n an VP1 u t<0 Ut u r VP2 >0 I k an alen e fter VP2 <0 I k an alen m ellan VP1 u t o ch VP2 u t<0 Ned hö g er In i V P1 <0 I k an alen e fter VP1 in <0 In i k an ale n f rå n b ö rjan <0 In i V P2 <0 I k an alen e fter VP2 in o ch in n an VP1 u t<0 I k an alen e fter VP1 in <0 Ut u r VP1 <0 I k an alen m ellan VP1 u t o ch VP2 u t<0 I k an alen e fter VP2 in o ch in n an VP1 u t<0 Ut u r VP2 <0 I k an alen e fter VP2 <0 I k an alen m ellan VP1 u t o ch VP2 u t<0 P un kt A B C D P un kt A B C D
