Linköpings universitet | Institutionen för datavetenskap Kandidatuppsats, 15 hp | Statistik och dataanalys Vårterminen 2016 | LIU-IDA/STAT-G--16/005--SE.
En statistisk analys av
islastens effekt på en
dammkonstruktion
A statistical analysis of the ice loads effect on
a dam structure
Anton Persson
Emil Klasson Svensson
Handledare: Ann-Charlotte Hallberg Examinator: Bertil Wegmann Linköpings universitet SE-581 83 Linköping, Sweden 013-28 10 00, www.liu.se
Förord
Denna rapport skrevs på institutionen för datavetenskap vid Linköpings universitet. Rapporten ska fungera som en del i ett större forskningsprojekt. Vi vill rikta ett tack till vår kontaktperson på Kungliga Tekniska Högskolan, Rikard Hellgren, som handlett oss genom arbetets gång och bidragit med ovärderlig kunskap inom ämnesområdet samt med insiktsfulla kommentarer. Vi vill även tacka vår handledare från institutionen, Ann-Charlotte Hallberg, som handlett oss och bidragit med sin kunskap inom statistik. Dina kritiska infallsvinklar har varit värdefulla. Linköping, juni 2016 Anton Persson & Emil Klasson Svensson
Abstract
A dam is a structure mainly used for storing water and generating electricity. The structure of a dam moves in a season-based pattern, mainly because of the difference in temperature between the air on outside of the dam and the water on the inside. Due to the Nordic climate, occurrences of icing on the water in the basin is fairly frequent. The effects of ice on the structural load of the dam are relatively unexplored and are the subject to this bachelor’s thesis. The goal of this project is to evaluate which predictors are significant to the movement of the dam with multiple linear regression models and dynamic regressions. The movement is measured by inverted pendulums that register the dam’s movement compared to the foundation. It is of particular interest to determine if the ice load influences the movement of the dam. The multiple regression models used to explain the dam’s movement were all discarded due to autocorrelation in the residuals. This falsifies the models, since autocorrelation means that they don’t meet the needed assumptions. To counteract the autocorrelation, dynamic models with autoregressive terms were fitted. These models showed no problem with autocorrelation. The result from the dynamic models were successful and managed to significantly explain the movement of the dam. The autoregressive terms proved to be efficient explanatory variables. The dynamic regression models also show that the time, temperature, hydrostatic pressure and ice thickness variables are also useful explanatory variables. The ice thickness shows a significant effect at the 5 % significance level on two of the investigated pendulums. The report's results indicate that there is reason to continue research on the ice load impact on dam constructions.
Sammanfattning
En damm används i huvudsak för att magasinera vatten i energiutvinningssyfte. Dammen rör sig fram och tillbaka i ett säsongsmönster mestadels beroende på skillnader i utomhustemperatur och vattentemperaturen i magasinet. Det nordiska klimatet innebär risk för isläggning i magasinet, för vilken lasten är relativt outforskad. Denna rapport syftar till ett med multipla linjära regressionsmodeller samt dynamiska regressionsmodeller avgöra vilka variabler som förklarar en specifik svensk dammkonstruktions rörelse. Dammens rörelse mäts genom att mäta dammens förflyttning kontra berggrunden med data från dammens inverterade pendlar. Av särskilt intresse är att avgöra islastens påverkan på rörelsen. Resultaten visar att multipla linjära regressions-modeller inte fullständigt lyckas modellera dammens rörelse, då de har problem med autokorrelerade residualer. Detta hanteras med hjälp av autoregressiva regressionsmodeller där de initiala förklarande variablerna inkluderas, kallat dynamisk regression. Denna rapports resultat visar att de autoregressiva parametrarna fungerar mycket väl för att förklara pendlarna, men att även tid, temperatur, det hydrostatiska trycket samt istjocklek är användbara förklarande variabler. Istjockleken visar signifikant påverkan på 5 % signifikansnivå på två av de undersökta pendlarna, vilket är ett noterbart resultat. Författarna menar att rapportens resultat indikerar att det finns anledning att fortsätta forska kring islastens påverkan på dammkonstruktioner.
1
I
NNEHÅLLSFÖRTECKNING
1 Inledning ... 1 1.1 Uppdragsgivare ... 1 1.2 Bakgrund ... 2 1.3 Tidigare rapporter och forskning ... 3 1.4 Syfte ... 4 1.4.1 Konkreta frågeställningar ... 4 1.4.2 Avgränsningar ... 4 1.4.3 Begreppslista ... 5 1.5 Etiska och samhälleliga aspekter ... 5 2 Datamaterial ... 6 2.1 Dammen ... 7 2.1.1 Temperaturdata ... 7 2.1.2 Vattennivådata ... 8 2.1.3 Pendeldata ... 8 2.2 Isdata ... 12 2.3 Imputering av data ... 12 2.4 Behandling av felaktiga observationer ... 14 2.5 Tidsförskjutningsanalys ... 19 2.5.1 Pendel 4 Grund ... 19 2.5.2 Tidsförskjutningsanalys summerat ... 21 2.6 Val av temperaturdata ... 21 3 Metod ... 23 3.1 Multipel linjär regression ... 23 3.2 Hydrostatiskt tryck ... 24 3.3 Tid ... 24 3.4 Trigonometriska funktioner ... 24 3.5 HTT- och HST-modeller ... 25 3.6 Påbyggnad av HTT- och HST-modeller ... 26 3.6.1 HTTS-modellen ... 26 3.6.2 HIST-modellen ... 26 3.6.3 HITT-modellen ... 26 3.6.4 HITTS-modellen ... 27 3.7 Residualanalys ... 27 3.8 Diagnostiska mått ... 28
3.9 Box-Ljung-test ... 29 3.10 Partiellt F-test ... 29 3.11 Dynamiska regressionsmodeller ... 30 3.12 Principalkomponentanalys ... 32 3.13 Korskorrelation ... 32 4 Resultat och analys ... 33 4.1 Grunda pendeln monolit 10 ... 33 4.1.1 HITTS ... 34 4.1.2 Dynamisk regression med AR-modellering ... 36 4.2 Djupa pendeln monolit 10 ... 40 4.2.1 HST ... 41 4.2.2 Dynamisk regression med AR-modellering ... 43 4.3 Grunda pendeln monolit 4 ... 47 4.3.1 HITTS ... 48 4.3.2 Dynamisk regression med AR-modellering ... 50 4.4 Djupa pendeln monolit 4 ... 54 4.4.1 HITTS ... 55 4.4.2 Dynamisk regression med AR-modellering ... 57 5 Slutsats ... 61 5.1 Den grunda pendeln i monolit 10 ... 61 5.2 Den djupa pendeln i monolit 10 ... 61 5.3 Den grunda pendeln i monolit 4 ... 61 5.4 Den djupa pendeln i monolit 4 ... 62 5.5 Samlade slutsatser ... 62 5.6 Besvarande av frågeställning ... 63 6 Diskussion ... 64 7 Referenslista ... 66 Bilagor
2
F
IGURFÖRTECKNING
Figur 1 Idéskiss över betongens rörelse orsakad av ojämn temperaturfördelning ... 2 Figur 2 Termometrarnas placering i monolit 10 ... 7 Figur 3 Funktionsskiss av en inverterad pendel ... 9 Figur 4 Skiss över de undersökta pendlarnas placering i berggrunden ... 10 Figur 5 De slutgiltiga tidsserierna för de fyra undersökta pendelrörelserna ... 11 Figur 6 Istjockleken på Ströms vattudal (t.v) och Runn (t.h) mellan v.52 2010 och v.9 år 2011 ... 13 Figur 7 Felaktiga observationer i Pendel 10 djup, våren 2011 ... 14 Figur 8 Felaktiga observationer i Pendel 10 djup, vintern 2011/2012 ... 15 Figur 9 Felaktiga observationer i Pendel 10 djup, september 2012 ... 16 Figur 10 Felaktiga observationer i Pendel 10 grund, juli 2010 till maj 2011 ... 16 Figur 11 Felaktigt aggregerat veckovärde för pendel 4 grund, vecka 22 år 2012 ... 17 Figur 12 Felaktiga observationer i Pendel 4 grund, timvis data under vecka 20-24 år 2012 ... 18 Figur 13 Utomhustemperaturen kontra rörelsen för pendel 4 grund ... 19 Figur 14 Korskorrelationer mellan pendel 4 grund och olika förskjutningar på temperatur ... 20 Figur 15 Utomhustemperaturen med fem veckors förskjutning kontra rörelsen för pendel 4 grund .. 20 Figur 16 Residualdiagram för HITTS-modellen, pendel 10 grund. ... 35 Figur 17 SAC (t.v.) och SPAC (t.h.) för HITTS-modellens residualer, pendel 10 grund ... 36 Figur 18 Residualdiagram för den dynamiska regressionen, pendel 10 grund. ... 38 Figur 19 Den dynamiska regressionens anpassade värden kontra de observerade värdena, pendel 10 grund. ... 39 Figur 20 Residualdiagram för HST-modellen, pendel 10 djup. ... 42 Figur 21 SAC (t.v.) och SPAC (t.h.) för HST-modellens residualer, pendel 10 djup ... 43 Figur 22 Residualdiagram för den dynamiska regressionen, pendel 10 djup. ... 45 Figur 23 Den dynamiska regressionens anpassade värden kontra de oberverade värdena, pendel 10 djup. ... 46 Figur 24 Residualdiagram för HITTS-modellen, pendel 4 grund. ... 49 Figur 25 SAC (t.v.) och SPAC (t.h.) för HST-modellens residualer, pendel 4 grund. ... 50 Figur 26 Residualdiagram för den dynamiska regressionen, pendel 4 grund. ... 52 Figur 27 Den dynamiska regressionens anpassade värden kontra de oberverade värdena, pendel 4 grund. ... 53 Figur 28 Residualdiagram för HITTS-modellen, pendel 4 djup. ... 56 Figur 29 SAC (t.v.) och SPAC (t.h.) för HST-modellens residualer, pendel 4 djup. ... 57 Figur 30 Residualdiagram för den dynamiska regressionen, pendel 4 djup. ... 59 Figur 31 Den dynamiska regressionens anpassade värden kontra de observerade värdena, pendel 4 djup. ... 60
3
T
ABELLFÖRTECKNING
Tabell 1 Beskrivande sammanfattning av de datamaterial som används i rapporten ... 6 Tabell 2 Tidsförskjutning på temperaturvariabeln för de olika pendlarna ... 21 Tabell 3 Korrelationsmatris över den grunda pendeln i monolit 10 samt de fyra temperaturvariabler som undersöks ... 22 Tabell 4 Modelljämförelse av olika MLR-modeller för pendel 10 grund ... 33 Tabell 5 Modellsummering för HITTS-modellen anpassad på den grunda pendeln i monolit 10. ... 34 Tabell 6 Modellsummering för den dynamiska regressionen anpassad på den grunda pendeln i monolit 10. ... 37 Tabell 7 Box-Ljung-test av autokorrelation i den dynamiska regressionens residualer, pendel 10 grund ... 38 Tabell 8 Modelljämförelse av olika MLR-modeller för pendel 10 djup ... 40 Tabell 9 Modellsummering för HST-modellen anpassad på den djupa pendeln i monolit 10. ... 41 Tabell 10 Modellsummering för den dynamiska regressionen anpassad på den djupa pendeln i monolit 10. ... 44 Tabell 11 Box-Ljung-test av autokorrelation i den dynamiska regressionens residualer, pendel 10 djup. ... 45 Tabell 12 Modelljämförelse av olika MLR-modeller för pendel 4 grund. ... 47 Tabell 13 Modellsummering för HITTS-modellen anpassad på den grunda pendeln i monolit 4. ... 48 Tabell 14 Modellsummering för den dynamiska regressionen anpassad på den grunda pendeln i monolit 4. ... 51 Tabell 15 Box-Ljung-test av autokorrelation i den dynamiska regressionens residualer, pendel 4 grund. ... 52 Tabell 16 Modelljämförelse av olika MLR-modeller för pendel 4 djup. ... 54 Tabell 17 Modellsummering för HITTS-modellen anpassad på den djupa pendeln i monolit 4. ... 55 Tabell 18 Modellsummering för den dynamiska regressionen anpassad på den djupa pendeln i monolit 4. ... 58 Tabell 19 Box-Ljung-test av autokorrelation i den dynamiska regressionens residualer, pendel 4 djup. ... 60
4
B
ILAGEFÖRTECKNING
Bilaga 1
Istjocklek på Klövsjön
Bilaga 2
Tidsförskjutningsanalys
Bilaga 3
Val av temperaturdata
1
1
I
NLEDNING
I detta kapitel förklaras i korthet vad en dammkonstruktion är och har för ändamål, samt vad denna rapport har för syfte. Rapportens uppdragsgivare presenteras. I samband med rapportens syfte redovisas de konkreta frågeställningar som rapporten ämnar att besvara, samt dess avgränsningar. Inledningen tar även upp bakgrunden till arbetet, hur forskning sker på orådet i dagsläget samt de etiska aspekterna av rapporten, som avslutar kapitlet. En damm används i huvudsak för att magasinera vatten i energiutvinningssyfte. Dammkonstruktioner utsätts för stora laster som riskerar att försämra dammens funktioner och i värsta fall rasera hela konstruktionen. Det är i den här kontexten av stort intresse att kartlägga vilka laster en dammkonstruktion utsätts för, och vad lasterna medför. Den här rapporten skrivs i syfte att ge ett bidrag till denna kartläggning. Det finns flera typer av dammkonstruktioner där de vanligaste är betongdammar och fyllningsdammar.
Den här rapporten behandlar en betongdamm. Följande rapport använder sig av data från en av de större dammarna i Norden, men dammens namn anges aldrig enligt uppdragsgivarnas önskan. Dammen i fråga är av typen valvdamm, vilket innebär att dammens genom sin valvformade design fördelar det hydrostatiska trycket mot landfästena. (NE, 2016) Den förväntade livslängden för en damm är normalt över hundra år. Under den tiden ska dammen både kunna motstå lasterna den utsätts för och vara tät. Misslyckas detta riskeras enorma förluster både miljömässigt och ekonomiskt, samt fara för människoliv. Rapporten syftar huvudsakligen till att med statistiska metoder undersöka framförallt islastens effekt på dammkonstruktionen för den undersökta dammen. Om det visar sig generera intressanta resultat på denna dammkonstruktion finns det goda förhoppningar att liknande modelleringar ska kunna generaliseras till dammkonstruktioner i stort. Det skulle förhoppningsvis leda till än bättre förkunskaper vid konstruktion och reparation av dammar.
1.1 U
PPDRAGSGIVARERapportens uppdragsgivare är Svenskt Vattenkraft Centrum, SVC. Projektet är genomfört i samarbete med Kungliga tekniska högskolans (KTH) betongbyggnadsavdelning och är en del av ett forskningsprojekt som genomförs i samarbete mellan KTH, Luleå tekniska högskola samt företagen Sweco och ÅF.
2
1.2 B
AKGRUNDAtt stå emot det horisontella tryck som det magasinerade vattnet skapar är den huvudsakliga uppgiften för en betongdamm. Över tid utsätts en damm för stora variationer i laster av vatten och is, beroende på hur högt vattenstånd magasinet har för tillfället. Tillsammans med stora variationer i dammens omgivande klimat är det exempel på vad som kan få toppen av en dammkonstruktion att flytta sig i förhållande till både dess grund och berggrunden. I Sverige, som har ett varierande klimat, är klimatpåverkan den enskilt största anledningen till att dammen rör sig. Klimatet innebär också att våra svenska dammar utsätts för islaster. Vattentemperaturens olikhet med lufttemperaturen orsakar en ojämn temperaturfördelning i betongen vilket leder till att den antingen expanderar eller komprimeras. Detta illustreras i figur 1 där en genomskärning av en damm visas. Figur 1 Idéskiss över betongens rörelse orsakad av ojämn temperaturfördelning I figur 1 visas att när vattnet är kallare än luften under sommaren så expanderar betongen närmast luften och krönet böjer sig mot vattnet. När luften är kallare än vattnet, alltså under vintern, så komprimeras betongen närmast luften vilket gör att krönet böjs bort från vattnet. Detta innebär alltså att dammkrönet rör sig från sida till sida över årstiderna. Utöver temperaturskillnaden förekommer vanligtvis även isbildning på det magasinerade vattnet, som ett resultat av klimatet. För att beakta detta rekommenderar de svenska riktlinjerna för dammsäkerhet (RIDAS) att stabiliteten kontrolleras för lastfall där islast ingår. En majoritet av de svenska dammarna byggdes under 50-70-talet och medelåldern på svenska betongdammar är idag 77 år. Sedan dammarna byggdes har dimensioneringsvärdet för islasten höjts och varierar enligt RIDAS mellan 50 – 200 kN/m från söder till norr i Sverige. Det innebär att ett stort antal låga och medelhöga dammar inte längre anses vara stabila och måste förstärkas. (Svensk Energi, 2012) Samtidigt råder det stor osäkerhet var de värden för islast som RIDAS använder härstammar ifrån och kunskapsläget kring islastens egentliga storlek är bristfällig. En hypotes är att islasten är betydligt mindre än de ovan angivna värden och att islast inte är något stort problem för svenska dammar. (Johansson, Spross & Fransson 2013) Sommar Vinter
3 Om den hypotesen kan styrkas skulle andra dammsäkerhetsinvesteringar kunna prioriteras och de samhälleliga-, ekonomiska- och miljömässiga kostnaderna av att renovera fullt funktionella betongdammar kan undvikas. Tidigare utförda mätningar av islast på dammar har i huvudsak utförts genom att mätare installerats direkt i isen för att mäta dess tryck (Johansson, Spross & Fransson 2013). Denna typ av mätningar ger allmän kunskap om is och spänningarna i is. Däremot tar de inte interaktionen mellan is och damm i beaktning. Detta innebär att förhållandet mellan spänningar i isen och det tryck det ger på dammen måste bestämmas. Enligt Johansson, Spross och Fransson (2013) är detta förhållande inte uppenbart och tidigare försök att fastställa detta har misslyckats. I denna rapport kommer den specifika effekten av islasten på dammen studeras. På detta sätt kommer en mer specifik kunskap om islaster på dammar att uppnås. I anslutning till detta projekt pågår det samtidigt flera andra projekt där islastens storlek på olika sätt försöker mätas. Det handlar dels om direkta mätningar där paneler som liknar lastbilsvågar har monterats på betongdammar, men även metoder där man på olika sätt försöker bakåtananalysera islastens storlek genom simuleringar. En simulering av en damm är tidskrävande och kräver att flera antagande görs kring dammarnas egenskaper och verkningssätt. I tidigare projekt har det visat sig att det krävs relativt stora islaster för att kunna urskilja islasten från övriga säsongsrörelser. (Johansson, Malm & Fransson, 2014) I denna rapport har därför målet varit att undersöka om det statistiskt går att hitta några spår av islasten i tidsserierna givet att andra variabler som förklarar säsongsrörelser också inkluderas. Om det överhuvudtaget ska vara lönt att fortsätta med simuleringarna så bör det undersökas om isen har en signifikant och urskiljbar påverkan på dammens rörelser. En annan fördel är att eventuella metoder som utvecklas i denna rapport ger ytterligare en metod för att avgöra islastens storlek och därmed ökad möjlighet att jämföra resultat från olika metodiker. Om de olika mätningarna konvergerar, trots det faktum att olika mätförfaranden och mätutvärderingstekniker används, kan större tillförlitlighet ges till resultaten.
1.3 T
IDIGARE RAPPORTER OCH FORSKNINGOmrådet dammanalys är ett väl utforskat område, huvudsakligen inom området dammsäkerhet. Adolfi och Eriksson (2013) har med liknande frågeställning försökt uppskatta islastens påverkan på dammkonstruktioner gjorda i betong genom att ta fram en statistisk fördelning på hur islasten varierar globalt sett. De konstaterar att islast är relevant för dammens integritet och bör betraktas som en stokastisk variabel i brottsannolikhetsberäkningar för betongdammar som är lägre än 15 m. Användandet av statistik inom dammanalys är ofta knutet till övervakning av dammar för att identifiera eventuella brister i dammens integritet. Swiss Committee on Damms (2003) behandlar flera möjligheter att modellera dammrörelse med hjälp av olika sorters linjära modeller. Vidare konstaterar Swiss Committee on Damms (2003) att tidigare projekt som använt sig av neurala nätverk för att avgöra vilka faktorer som influerar dammens beteende inte har varit lyckade. Ett stort antal av de tidigare statistiska studierna är utförda i länder där is inte förekommer vilket ger denna rapport andra förutsättningar än tidigare studier. Rapportens författare har inte funnit tidigare studier där islasten direkt mätts upp och använts i statistiska linjära modeller.
4 Johansson, Malm och Fransson (2014) föreslår att projekt tillsätts för att precisera islastens påverkan på dammonoliter. Detta kräver att den instrumentella utrustningen förbättras för mätning av just islastens påverkan på konstruktionen snarare än alla tänkbara belastningar. Denna rapport utgår huvudsakligen från Mata et al. (2013) som med hjälp av linjära modeller försöker utröna vilka laster som påverkar en damm i Portugal. Klimatet i Portugal är dock betydligt mildare än i Sverige, vilket gör att isläggning aldrig sker. De har även betydligt mindre säsongsvariation i klimatet. Det är två väsentliga skillnader gentemot det nordiska klimatet. Därför kommer denna rapport försöka att på ett bättre sätt anpassa modeller som är anpassade för det svenska klimatet, där även islastens påverkan på dammkonstruktionen ska undersökas. Det finns även aningar om att det svenska klimatets säsongsvariation är så pass mycket större än den portugisiska att föreslagna modelleringar för säsongsvariationen kommer att ändras.
1.4 S
YFTESyftet med rapporten är att undersöka hur olika variabler påverkar en damms rörelse och att föreslå modeller baserat på lämpliga variabler. Det är av särskilt intresse för projektet att undersöka huruvida variabeln islast har en signifikant inverkan på dammens rörelse. Det finns även indicier på att säsongsmodelleringen för dammar i Sverige kommer skilja sig från tidigare studier. Rapportens resultat kan förhoppningsvis utvärderas tillsammans med rent mekaniska modeller och simuleringar som redan existerar för att bidra till att modellera islastens påverkan på dammkonstruktionen. Skulle rapporten uppvisa signifikant påverkan från is skulle det innebära incitament för att bättre kartlägga islastens påverkan på dammkonstruktioner i klimat där islast är en faktor. I nuläget är det ytterst ovanligt att effektiva mätinstrument för islasten installerats på dammkonstruktioner. 1.4.1 Konkreta frågeställningar Rapportens mål under arbetets gång är att besvara följande frågeställningar. • Vilka variabler är de bästa för att modellera dammens rörelse kontra berggrunden? • Hur stark påverkan har de här variablerna? • Påverkar islasten dammens rörelse kontra berggrunden signifikant? • Om så är fallet, hur påverkar islasten konstruktionen? 1.4.2 Avgränsningar Det datamaterial som gjorts tillgängligt för uppsatsen rör en specifik damm och resultat kommer enbart vara representativ för dammen i fråga. Dammar med liknande förutsättningar som den undersökta dammen skulle kunna antas bete sig på liknande sätt, och kan undersökas med samma typ av modellering som denna rapport genomför.
5 1.4.3 Begreppslista Nedan presenteras korta förklaringar till ett antal begrepp som används i rapporten. Monolit – En monolit är en byggnadsdel. En betongdamm består av flera monoliter bredvid varandra. Pendel – En vajer fixerad antingen i betongkonstruktionen eller i berggrunden. Används för att mäta dammkonstruktionen rörelse. Residualer- Residualerna är ett annat ord för feltermerna från en modell. Residualerna beräknas som modellens predikterade värde minus det faktiskt uppmätta värdet. Vitt brus - Slumpmässiga residualer normalfördelade kring 0. Både multipel linjär regression och dynamisk regression antar att residualerna ska bete sig som vitt brus. Nedströms – En riktningsmarkör. Nedströms är den riktning som innebär bort från dammkonstruktionen, alltså åt motsatt håll från det magasinerade vattnet, i den riktning vattnet fortsätter rinna vidare efter dammen. Uppströms – En riktningsmarkör. Uppströms är den riktning som är motsatsen till nedströms. Responsvariabel – den variabel, företeelse som försöks förklaras. Förklarande variabler – De variabler som används för att försöka förklara responsvariabeln.
1.5 E
TISKA OCH SAMHÄLLELIGA ASPEKTEREnligt Statens offentliga utredning (SOU 2012:46) finns det runt 10 000 dammar i Sverige. Bland dessa finns det 190 dammar som enligt internationella mått betraktas som höga dammar (15 meter eller högre). Vidare konstaterar man i samma utredning att det finns över 500 dammar som om de skulle brista skulle orsaka stora konsekvenser. Det är därför angeläget att kontinuerligt förbättra dammsäkerheten. En brusten damm som dämt upp en stor volym vatten kan ge upphov till omfattande följder. Utöver människoliv så kan bland annat vägar, elledningar, vattensystem och annan vital infrastruktur sättas ur spel eller helt förstöras (SOU 2012:46). De data som insamlas på dammen i fråga berättar hur konstruktionen beter sig ur olika aspekter vid olika belastningar. De, i kombination med klimatdata från SMHI, används för att modellera hur klimatförhållanden påverkar dammens konstruktion. Det finns till synes inga etiska anledningar att avstå från forskning kring dammkonstruktion. Data som används riskerar inte att på något sätt hänga ut någon enskild individ.
6
2
D
ATAMATERIAL
I detta kapitel ges en genomgång av de datamaterial som rapporten bygger sina analyser på. Kapitlet inleds med en kort sammanfattning av kapitlet följt av beskrivning av data från den aktuella dammen. Vidare beskrivs isdata samt olika typer av behandling för de respektive datamaterialen. Rådatamaterialet består av flertalet Excel-dokument från olika källor. Data bearbetades och sammanfogades till ett datamaterial för att kunna genomföra valda analyser. Samtlig bearbetning har skett i programvaran R. Efter att alla de olika datamaterialen, insamlat på olika tidsintervall, sammanställts i sin slutgiltiga form efter databehandlingen, så aggregeras data till veckonivå. Anledningen till att det slutgiltiga datamaterialet aggregerats till veckonivå är att isdata endast är uppmätt en gång i veckan. Hade den varit uppmätt dagligen hade ett sammanslaget datamaterial med betydligt fler observationer kunnat användas. Författarna har dock valt att aggregera veckovis snarare än att imputera isdatan till dagsnivå, då det skulle innebära att ungefär sex sjundedelar av isdata skulle imputerats. Veckoaggregeringen innebär att varje observation i det slutgiltiga- och sammanfogade datamaterialet representerar data för en given kalendervecka. Eftersom de olika grunddatamaterialen ser väldigt olika ut innebär veckoaggregeringen olika saker för olika data. En observation i det slutgiltiga datamaterialet kan alltså baseras på en mätning gällande istjocklek medan samma observations data på vattennivå baseras på medelvärdet av 672 observationer mätta var femtonde minut. Aggregeringen innebär alltså ett medelvärde av alla uppmätta punkter i den aktuella variabeln för den aktuella veckan. Sammanfattningsvis användes slutligen följande datamaterial för modellering av dammkonstruktionens rörelse, som presenteras i tabell 1. Tabell 1 Beskrivande sammanfattning av de datamaterial som används i rapporten
Variabelnamn Mätenhet Beteckning Omfång Kommentar Kapitel Pendel 4 Grund Millimeter (mm) m4yG 28.000 -29.597 Mm i y-led.
Responsvariabel. 2.1.3
Pendel 4 Djup Millimeter (mm) m4y 23.967-26.000 Mm i y-led.
Responsvariabel. 2.1.3
Pendel 10 Grund Millimeter (mm) m10yG 15.256-15.700 Mm i y-led.
Responsvariabel. 2.1.3
Pendel 10 Djup Millimeter (mm) m10y 20.046-20.358 Mm i y-led.
Responsvariabel. 2.1.3
Hydrostatiskt tryck !"##$%%&'å max (!"##$%%&'å)
/
Hydro 0.996-1.000 Tryck skapat av vatten. 2.1.2
Tid Veckor Tid 1 - 147 Veckoindex från 1
till 147. NA
Temperatur Celsius (grader) Temp -19.045-22.560 Utomhustemperat ur vid dammen.
2.1.1.
Is Centimeter (cm) Is 0-66 Hela istäcket på
Klövsjön. 2.2 I tabell 1 visas de variablerna som används i modelleringen. Det anges vilken mätenhet de är i samt beteckningen de har i ekvationer. Omfånget är för att ge läsare en uppfattning om de olika variablernas variation. Kommentar och kapitel är till för att underlätta för läsare att navigera igenom rapporten.
7
2.1 D
AMMENAll data från den aktuella dammen är automatiskt insamlad och uppmätt på ett tidsintervall om åtminstone varje timme. I detta delkapitel redovisas noggrannare de datamaterial som är insamlade från den aktuella dammen. Delar av databearbetningen som görs på data omfattar statistiska metoder som redogörs för i metodkapitlet. 2.1.1 Temperaturdata Vid dammen mäts utomhustemperaturen automatiskt varje timme och refereras i den här rapporten som Temperaturen alternativt Utomhustemperaturen. Det finns även sex termometrar fastborrade i betongen på monolit 10 i dammen. Mätarna reflekterar temperaturen i betongen. Temperaturen för samtliga mätare avläses maskinellt varje timme. I figur 2 visas en skiss över hur termometrarna i monolit 10 är placerade. Figur 2 Termometrarnas placering i monolit 10 I figur 2 visas placeringen av de sex termometrarna i monolit 10. Temperaturmätare TV103,TV109 och TV115 ligger mot vattenreservoaren och påverkas i högre grad av temperaturen i vattnet snarare än utomhustemperaturen. TV101, TV107 och TV113 vetter nedströms, mot utkanten av dammen, och påverkas mer av utomhustemperaturen än av vattentemperaturen. Datamaterialen för TV115 och TV113 visade sig ha undermålig kvalitet och uteslöts därför. Från de fyra kvarvarande termometrarna har två variabler skapats som skillnaden mellan de yttre- och inre belägna termometrarna för de översta- och mellersta termometrarna i monoliten. 0&112$341 = 2!103 − 2!101 0&112$342 = 2!109 − 2!107 De tre slutgiltiga temperaturvariablerna är alltså Utomhustemperatur (kallas även Temperatur), DiffTemp1 och DiffTemp2. Tanken är att DiffTemp1- och 2 bättre ska reflektera temperaturskillnaderna i betongen än utomhustemperaturen. De temperaturskillnaderna är den huvudsakliga anledningen till att konstruktionen rör på sig. TV103 TV101 TV107 TV109 TV115 TV113
8 Senare i rapporten undersöks med hur lång tidsskjutning på temperaturvariabeln som pendlarna tycks reagera. Tidigare undersökningar av de driftansvariga på den aktuella dammen tyder på att pendlarna på en viss monolit tycks reagera på utomhustemperaturen med fem veckors försening. Författarna till denna rapport hade fått indicier på att temperaturskillnaderna i monoliterna, alltså DiffTemp1- och 2, borde uppträda på samma sätt som den tidsförskjutna temperaturvariabeln. Detta då monolitens termometrar är nedborrade i betongen och därmed skildrar det aktuella temperaturläget i betongen som en reaktion av hur utomhustemperaturen för x antal veckor sedan påverkat betongkonstruktionen. Eftersom det är just rörelserna i betongen, som till stor del beror på betongkonstruktionens temperaturskillnader, som undersöks är det därför rimligt att inte använda någon förskjutning på DiffTemp1- och 2. Huruvida dessa två variabler är bättre anpassade än den tidsförskjutna temperaturvariabeln att agera förklarande variabel i modellering undersöks senare i rapporten. 2.1.2 Vattennivådata Dammen varierar i djup och kan beskrivas som skålformad längs dammens vägg. All data gällande vattennivå i dammen är därför i relation till havsytan, meter över havet. Havsytan är som term en icke konstant då havsytan ändrar sig över tid. I rapporten så antas eventuella förändringar i havsytan försumbart liten över det undersökta tidsspannet och havsytan bedöms således vara en konstant. Vid den djupaste punkten i dammen är det ungefär 40 meter. Data över magasinets vattennivå mäts i meter över havsytan och är maskinellt avläst var femtonde minut. 2.1.3 Pendeldata Dammens rörelse, vilket alltså är responsvariabeln i denna rapport, mäts via inverterade pendlar. Det finns två sorters pendlar på den aktuella dammen, hängande- och inverterade pendlar. De hängande pendlarna syftar till att mäta hur dammkonstruktionen rör sig i förhållande till sig själv, alltså dess deformationer. En hängande pendel är alltså fäst vid toppen av konstruktionen och har där sin referenspunkt. En vajer från referenspunkten till en del av dammkonstruktionens grund gör att man med hjälp av vinkeln på vajern kan mäta hur toppen av konstruktionen rör sig i förhållande till dess grund. Syftet med en inverterad pendel är att mäta konstruktionens rörelse i förhållande till berggrunden. En inverterad pendels nedre del är fast förankrad i berggrunden, där den alltså har sin referenspunkt. Från referenspunkten är en vajer är ansluten till dammkonstruktionen. När dammkonstruktionen sedan rör på sig kontra berggrunden ändras således vinkeln på vajern mellan dammkonstruktionen och referenspunkten i berget. Hur konstruktionen flyttar sig mäts alltså i grader på vajern, vilket sedan med hjälp av trigonometri skalas om till dammens rörelse i millimeter.
9 En skiss av hur en inverterad pendel ser ut visas i figur 3. Figur 3 Funktionsskiss av en inverterad pendel I figur 3 visas att referenspunkten sitter djupt förankrad i berggrunden. Vinkelmätningen sker med hjälp av en lasermätare och avspeglar dammkonstruktionens förflyttningar kontra berggrunden. Data på den hängande pendlarna på den aktuella dammen insamlas manuellt och månadsvis, medan data på de inverterade pendlarna insamlas automatiskt varje timme. Detta är anledningen till att endast de inverterade pendlarna används som responsvariabel, att dess data är betydligt bättre. Lasermätare Referenspunkt Tank med flytboj
10 De inverterade pendlarnas rörelser hämtas för denna rapport för fyra olika pendlar från två av dammens monoliter. I figur 4 visas hur de fyra inverterade pendlar som används är placerade. Figur 4 Skiss över de undersökta pendlarnas placering i berggrunden I figur 4 visas en skiss över hur de olika pendlarna är utplacerade. Den vita rektangeln motsvarar dammen och den nedre delen motsvarar berggrunden. Varje pendel är placerad i motsvarande monolit. Pendel 10 och Pendel 10 grund är exempelvis placerade i monolit 10. Idéskissen visar även de olika bergtyperna som dammen vilar på. Bergtyp A är den bergtyp av bäst kvalitet och bergtyp D är den med lägst kvalitet i konstruktionsavseendet. Ingen av pendlarna som undersöks är monterad i bergtyp sämre än bergtyp B. Pendlarna är installerade i syfte att mäta hur dammkonstruktionen rör sig i förhållande till berggrunden. Pendlarna är installerade på olika djup, från dammkonstruktionens väggar ner till olika djup i berggrunden. Alla pendlar mäter hur konstruktionen rör sig i både x- och y-led, det vill säga radiellt samt tangentiellt. Rapporten använder sig endast av data i y-led, det vill säga den radiella rörelsen, då antagandet är att islastens påverkan är i huvudsak i uppströms-/nedströmsriktning. Ökningar i pendelrörelsernas måttenhet motsvarar rörelse nedströms, det vill säga bort från dammen.
11 Slutligen visualiseras tidsserierna för samtliga pendlars rörelse. I figur 5 visas alltså samtliga pendlars rörelse på veckonivå där felaktiga observationer har justerats. Figur 5 De slutgiltiga tidsserierna för de fyra undersökta pendelrörelserna I figur 5 visas de fyra serier som alltså kommer att vara rapportens responsvariabler. De två pendlarna i monolit 4 har ett tydligare säsongsmönster och större variation än pendlarna i monolit 10.
12
2.2 I
SDATADå det inte existerar några mätningar av istjocklek på den aktuella dammen så har data hämtats från två geografiskt närliggande sjöar som inte är sammankopplade via vattendrag. Det optimala vore att data kring istjockleken på just magasinets vatten fanns tillgängligt. Eftersom så inte är fallet utgår denna rapport från att istjockleken i dammen är approximativt jämförbar med istjockleken på en närliggande insjö. Detta är naturligtvis inte optimalt, men efter dialog med uppdragsgivare görs antagandet att isen kan förväntas utvecklas på liknande sätt. Dammen ifråga har en relativt konstant vattennivå och vattenflödet hålls generellt sett på en låg nivå under vintertid, vilket talar för antagandet. Datamaterialet över Stödesjön och Klövsjön är tillhandahållet av SMHI och består av data insamlad mellan år 1987 och 2012. Efter närmare granskning av de två sjöarnas läge så noterades att Klövsjön är belägen på ungefär samma nivå över havet. Således bedömdes den bättre än Stödesjön för approximation av istjockleken på den aktuella dammen. Datan består av en till fyra mätningar per månad mätta på ojämna tidsintervall. Variablerna i SMHI:s data är Snö, Snösörja, Överis, Mellanvatten övre, Mellanvatten nedre, Stöpis, Kärnis samt Hela Istäcket, alla angivna i centimeter. Data insamlas manuellt och dessvärre tycks ingen tydlig manual för datainsamling funnits. Olika datainsamlare tycks ha betecknat Hela istäcket på olika sätt. Efter konsultation med SMHI har en egen variabel Istjocklek skapats som summan av Överis, Mellanvatten övre, Mellanvatten nedre, Stöpis och Kärnis. Variabeln Istjocklek anger antalet cm is som finns på sjön. Under sommarmånaderna har mätningar inte gjorts med antagandet att det inte sker någon isbildning då temperaturen håller sig över 0°c och ingen is finns synlig.
2.3 I
MPUTERING AV DATAKlövsjöns isdata har en nioveckorsperiod från mitten av december år 2010 till mitten av februari 2011 då isdata helt saknas. SMHI kontaktades i och med upptäckten av glappet i data för en förklaring och det beror helt enkelt på att SMHI av någon anledning inte haft någon som samlat in data på Klövsjön under den tidsperioden, utan konkret orsak. Temperaturdata granskades vid den närliggande mätstationen Hallhåxåsen A under de nio veckor data saknades. Det visade sig att temperaturen har hållit sig till ett snitt på -10°c under den aktuella perioden. Vid tre dagar, inte i följd, var temperaturen över 0 grader under tidsspannet, vilket inte är tillräckligt för att ett istäcke att smälta helt. Grundat på temperaturdata och kontakt med SMHI gör rapportens författare antagandet att det inte finns ett beroende hos de saknade observationerna i isdatamaterialet utan att det är Missing completely at random (MCAR). (Lohr, 2010) Denna tidsperiods istjockleksdata har således imputerats. Imputeringen har skett linjärt efter att ha titta på hur geografiskt närliggande sjöars istjocklek betett sig under samma tidsperiod.
13 I figur 6 visas istjockleken på Ströms vattudal och Runn under samma tidsspann som Klövsjön saknar data. Figur 6 Istjockleken på Ströms vattudal (t.v) och Runn (t.h) mellan v.52 2010 och v.9 år 2011 Som visas i figur 6 tycks de närliggande sjöarna Runn och Ströms vattudal haft en relativt linjär, positiv, utveckling på istjockleken under den tidsperioden som Klövsjön saknar data. En enkel linjär regression på datan som visas i figur 6 visar att en linjär modell av tiden förklarar 92.7 % av isutvecklingen på Ströms vattudal under den undersökta tidsperioden. På Runn är motsvarande siffra 93.2 %, varför det anses som en god approximation att anta en linjär trend även på Klövsjön under samma tidsperiod. Det slutgiltiga datamaterialet för istjockleken på Klövjön kan ses visualiserat i bilaga 1.
14
2.4 B
EHANDLING AV FELAKTIGA OBSERVATIONERViss hantering av datumen för datainsamlingen på Klövsjön har genomförts. Då data i regel är insamlat fyra gånger varje månad under den isbelagda perioden, men inte konsekvent med sju dagars mellanrum, är vissa mätningar flyttade en dag framåt eller bakåt i tiden. Detta eftersom det slutgiltiga datamaterialet är aggregerat veckovis enligt kalenderveckor. Om exempelvis mätningar generellt sett är gjorda söndagar, men en enskild mätning av någon anledning genomförts under måndagen dagen efter, har den alltså flyttats bakåt en dag i tiden. Detta sker fyra gånger för Klövsjön. Den automatiska avläsningen av pendlarnas position sker timvis under hela tidsperioden. Det innebär ett väldigt stort datamaterial. 27 av mätningarna innehåller endast nollor för samtliga pendlar. Dessa har raderats då det inte har någon effekt på veckoaggregeringen. Data för den långa pendeln i monolit 10 har också behandlats då den automatiserade avläsningen av pendelns läge tycks ha rubbats vid två tydliga tillfällen. Första gången det sker är våren 2011, vilket åskådliggörs i figur 7. Figur 7 Felaktiga observationer i Pendel 10 djup, våren 2011 I figur 7 visas ett litet utklipp av data från den djupa pendeln i monolit 10 under våren 2011. Den 13:e april kl 07.00 tycks den långa pendeln i monolit 10 rubbats från sitt läge. Från att tidigare haft mätningar som rört sig mellan 20.1 och 20.2 visas helt plötsligt positioner kring 23.45, och förändringen sker på två timmar. Det är inte en rimlig förändring i pendels position, varför det måste bero på en mänsklig faktor. Detta har åtgärdats genom att tidsperioden med väldigt höga värden har justerats ner genom subtraktion, anpassat till mätningarna innan och efter. Variationen i timnivå under den perioden med höga värden bibehålls således. De tre observationer som i figur 7 inte naturligt ser ut att tillhöra någon av serierna har slutligen imputerats linjärt. Det innebär att de fått ett värde som medelvärdet av de två närmast närliggande observationerna med giltig data.
15 I slutet av år 2011 har samma problem uppstått. I figur 8 visas ett annat utklipp av data från samma pendel fast mätningarna är från november 2011 till januari 2012. Figur 8 Felaktiga observationer i Pendel 10 djup, vintern 2011/2012 I figur 8 visas att den 16:e november klockan 10.00 har pendeln enligt data flyttat sig orimligt mycket på bara en timme. Den 13:e december flyttar sig mätningarna lika snabbt tillbaka till ursprunglig nivå. Detta har åtgärdats på samma sätt som tidigare beskrivits. Timvariationen, alltså utvecklingen i pendeln, under den tidsperioden med högre värden bevaras således. De två observationerna som ligger mitt emellan de två till synes olika serierna har imputerats linjärt.
16 Den 18:e september 2012 har data även för den djupa pendeln i monolit 10 justerats på grund av tydliga avvikande observationer. I figur 9 visas data från den 13:e september till den 24:e september år 2012. Figur 9 Felaktiga observationer i Pendel 10 djup, september 2012 I figur 9 visas att den 18:e september sker ett orimligt hopp i data. 25 observationer har värden kring 16, medan alla övriga i serien ligger på drygt 20. Då dessa 25 observationer inte har någon tydlig trend har de anpassats till den ursprungliga serien som ett medelvärde av de fyra observationerna innan hoppet och de fyra observationerna efter hoppet. Den korta pendeln på monolit 10 har ett liknande problem. I figur 10 visas pendelns rörelser från sommaren år 2010 till våren år 2011. Figur 10 Felaktiga observationer i Pendel 10 grund, juli 2010 till maj 2011 I figur 10 visas att en period tycks ha betydligt högre värden än resterande delen av serien. Den fjärde augusti 2010 ökar värdena markant från drygt 15 till drygt 17, för att den 28:e mars 2011
17 justeras tillbaka till tidigare nivå. Det finns ingen anledning att tro att detta är annat än ett datafel. Den nämnda tidsperioden har således justerats ned till resterande seriens nivå genom subtraktion från seriens värde innan- och efter perioden med markant högre värden. På så sätt bibehålls variationen i den avvikande serien. De få avvikande observationerna under perioden med högre värden samt de i övergången mellan den generella- och höjda nivån har imputerats linjärt. Även data för den grunda pendeln i monolit 4 har justerats. När den veckoaggregerade data plottas för pendelns rörelse ses en väldigt avvikande observation, vilket visas i figur 11. Figur 11 Felaktigt aggregerat veckovärde för pendel 4 grund, vecka 22 år 2012 I figur 11 syns att veckoindex 132, som motsvarar vecka 22 år 2012, avviker tydligt från trenden. Vid närmare granskning visar det sig att den timvisa datan som aggregeras för figur 11 visar upp ett konstigt mönster under denna vecka.
18 Därför visualiseras i figur 12 samma pendel fast på timnivå under vecka 20 till vecka 24 år 2012. Figur 12 Felaktiga observationer i Pendel 4 grund, timvis data under vecka 20-24 år 2012 I figur 12 visas tydligt att ett drygt tiotal observationer ser felaktiga ut. De rör sig på en nivå som pendeln aldrig varit i närheten av innan, och den rör sig mot den nivån för snabbt för att verka rimlig. Det är således dessa observationer som tycks ge vecka 22 år 2012 ett oväntat lågt aggregerat pendelvärde. 16 observationer har således justerats som ett medelvärde av medelvärdena innan respektive efter den avvikande serien. Utöver de serier av avvikande värden i pendlarna på monolit 10, vars justeringar förklaras ovan, har ett fåtal ensamma avvikande observationer tagits bort. Det handlar om sammanlagt fyra observationer som inte kommer i följd.
19
2.5 T
IDSFÖRSKJUTNINGSANALYSDe fyra olika pendlarna tycks reagera olika snabbt på temperaturförändringar. Tidigare datagranskning utförd av de driftansvariga på den aktuella dammen visade på att en enskild pendel tycktes reagera på temperaturen med 35 dagars fördröjning. För att studera detta närmare undersöktes detta för samtliga pendlar, för att undvika att stirra sig blind på just den pendelns fördröjning. Tillvägagångssätt och visualisering visas endast för den grunda pendeln i monolit 4 i detta kapitel, då tillvägagångssättet är detsamma för samtliga pendlar. Resultatet presenteras dock för samtliga pendlar. För tillvägagång och visualisering av övriga pendlar, se bilaga 2. Nedan visas alltså hur temperaturen bäst förklarar rörelsen i den grunda pendeln i monolit 4. Det kan därmed ses som motivering till varför en viss fördröjning på temperaturvariabeln används i senare modellering. 2.5.1 Pendel 4 Grund Rörelsen för den grunda pendeln i monolit 4 visualiserat gentemot utomhustemperaturen visas i figur 13. Figur 13 Utomhustemperaturen kontra rörelsen för pendel 4 grund I figur 13 avläses att det rent visuellt ser ut som att pendeln reagerar med ungefär fem veckors fördröjning på utomhustemperaturen.
20 Korskorrelationerna mellan den aktuella pendeln och olika fördröjningar på temperaturen visas i figur 14. Figur 14 Korskorrelationer mellan pendel 4 grund och olika förskjutningar på temperatur Figur 14 bekräftar den visuella analysen. Med fem veckors fördröjning på temperaturen så korrelerar den till hela 0.92 med den aktuella pendeln. Således kommer fem veckors fördröjning användas på temperaturen när modellering av den grunda pendeln på monolit 4 görs. Slutligen visualiseras återigen pendelrörelsen mot temperaturvariabeln, men denna gång med fem veckors förskjutning av temperaturen. Detta visas i figur 15. Figur 15 Utomhustemperaturen med fem veckors förskjutning kontra rörelsen för pendel 4 grund I figur 15 syns att korrelationen mellan pendelns rörelse och temperaturvariabeln ser ut att ha ökat väsentligt då temperaturvariabeln förskjutits fem veckor.
21 2.5.2 Tidsförskjutningsanalys summerat Det slutgiltiga antal veckor som temperaturvariabeln förskjuts för de respektive pendlarna visas i tabell 2. Tabell 2 Tidsförskjutning på temperaturvariabeln för de olika pendlarna Pendel Antal veckors förskjutning av temperaturvariabeln Pendel 4 Grund 5 Pendel 4 Djup 4 Pendel 10 Grund 5 Pendel 10 Djup 24 I tabell 2 visas att temperaturvariabeln kommer ges en förskjutning på mellan 4 och 24 veckor för att optimera dess korrelation med de olika pendlarna.
2.6 V
AL AV TEMPERATURDATAI detta delkapitel visas urvalsprocessen av temperaturmätare. Författarna till denna rapport hade fått indicier på att temperaturskillnaderna i monoliterna, alltså DiffTemp1- och 2 (se kapitel 2.1.1), borde uppträda på samma sätt som den tidsförskjutna temperaturvariabeln. Detta undersöks i detta delkapitel med hjälp av korrelationsmatriser. De tre temperaturvariabler som tidigare beskrivits används alltså på olika sätt i nedanstående korrelationsmatris. De tre variablerna är Temperatur med olika förskjutning för olika pendlar samt DiffTemp1- och 2 utan förskjutning. De tre variablerna testas nedan tillsammans med en principalkomponent på DiffTemp1 och DiffTemp2 för att avgöra vilken av variablerna som är bäst anpassad för att agera förklarande variabel. En principalkomponent är en ortogonal transformation av datamaterial och syftar i detta fall till att reducera de två gissningsvis starkt korrelerade variablerna DiffTemp1 och DiffTemp2 till en oberoende variabel. Metodiken förklaras närmare i metodkapitlet. För att avgöra vilken av temperaturvariablerna som är lämpligast att använda i modelleringarna genomförs en jämförelse av utomhustemperaturen, DiffTemp1, DiffTemp2 samt en principalkomponent av DiffTemp1 och DiffTemp2. Jämförelsen sker genom att undersöka dessa variablers korrelationer med responsvariablerna. En hög korrelation mellan responsvariablerna och förklarande variabel är önskvärt vid multipel linjär regression.
22 I tabell 3 visas en korrelationsmatris över den grunda pendeln i monolit 10 och de fyra olika temperaturvariablerna. Utomhustemperaturen med tidsförskjutning benämns som Temperatur. Principalkomponenten benämns som PCA. Tabell 3 Korrelationsmatris över den grunda pendeln i monolit 10 samt de fyra temperaturvariabler som undersöks
Pendel 10 G Temperatur DiffTemp1
DiffTemp2
PCA
Pendel 10 G 1.000
-0.778
-0.618
-0.559
-0.618
Temperatur -0.778
1.000
0.717
0.566
0.580
DiffTemp1 -0.618
0.717
1.000
0.895
0.527
DiffTemp2 -0.559
0.566
0.895
1.000
0.639
PCA
-0.618
0.580
0.527
0.639
1.000
I tabell 3 utläses att utomhustemperaturen har högst korrelation med den grunda pendeln i monolit och är då den lämpligaste temperaturvariabeln för de metoder som kommer att användas. Lägst korrelation med den grunda pendelrörelsen i monolit 10 har principalkomponenten (PCA) på 0.505. Vid vidare granskning dras samma slutsats för samtliga pendlar. Den tidsförskjutna temperaturvariabeln är den av de fyra potentiella temperaturvariablerna som korrelerar bäst med samtliga fyra pendelrörelser. Varken principalkomponenten mellan de två differentierade temperaturmätarna eller de två differentierade temperaturmätarna för sig själva korrelerar i närheten lika starkt med pendelrörelserna. Detta innebär att den tidsförskjutna utomhustemperaturen kommer att användas som förklarande variabel i rapportens samtliga modelleringar. För övriga korrelationsmatriser hänvisas till bilaga 3.23
3
M
ETOD
I det här kapitlet redogörs för samtliga statistiska metoder som används i rapporten. Syftet med metoderna samt hur de genomförs beskrivs i respektive delkapitel. Många statistiska metoder använder sig av hypotestest för att undersöka modellers- och variablers signifikans. I och med det introduceras alltid en risk att anta fel hypotes. Den här risken är signifikansnivån på testet. Om man förkastar nollhypotesen trots att den är sann är det ett typ 1-fel. Ett typ 2-fel är när nollhypotesen accepteras fast den inte är sann. I samtliga hypotesprövningar i denna rapport används 5 procents signifikansnivå. Valet av signifikansnivå motiveras med anledning av att hitta en god balans mellan typ 1- och typ 2-fel. Samtliga analyser har gjorts i programspråket R under version 3.2.3 (2015-12-10) -"Wooden Christmas-Tree". Utöver grundfunktioner så utnyttjas flertalet paket för analyserna. Om inget annat nämns så är analysen genomförd med de förinstallerade funktionerna i R. För de dynamiska-modellerna med AR-komponenter används paketet forecast, version 6.2. För beräkning av Sample Autocorrelation och Sample Partial Autocorrelation samt korskorrelation används paketet TSA, version 1.01. För beräkning av Variance inflation factor används paketet car, version 2.1-2. För den linjära imputeringen av saknad data användes paketet zoo, version 1.7–12. Eftersom HTT- och HST-modellerna samt alla dess påbyggnader som presenteras i detta kapitel är varianter på multipla linjära regressionsmodeller (MLR) så presenteras en kort beskrivning av MLR-metodiken först.
3.1 M
ULTIPEL LINJÄR REGRESSIONMultipel linjär regression (MLR) är en av de mest frekvent använda statistiska metoderna inom dammanalys i dagsläget. Metoden syftar till att med förklarande variabler beskriva ett linjärt samband med responsvariabeln. De huvudsakliga områdena för användning är att utifrån modellen prediktera responsvariabelns beteende samt fastställa samband mellan responsvariabeln och flera förklarande variabler. I den här rapporten handlar frågeställningen om att fastställa samband mellan pendelrörelser och de förklarande variablerna, varför prediktering av framtida observationer inte kommer att ske. Generellt är MLR baserad på minstakvadrat metoden som syftar till att anpassa en linjär funktion med det minsta möjliga kvadratiska felet. Enligt Bowerman et al. (2004) skrivs modellen generellt som => = ?@+ ?BC>B+. . . +?EFBC>,EFB+ %H (1) Där ?@, ?B, … , ?EFB är p stycken parametrar. C>B, … , C>,EFB är de förklarande variablerna vid tidpunkt t. => är responsvariabelns värde vid tidpunkt t. %> är feltermen mellan anpassat värde och observerat värde för responsvariabeln och beräknas som % = =>− =>.
Feltermen %H antas vara normalfördelad kring 0, %H~ K 0, LM , ha konstant varians och inte uppvisa
24 För att avgöra huruvida enskilda parametrar bidrar signifikant till modellen tillämpas t-test med följande hypoteser NO: ?Q= 0 NR: ?Q ≠ 0 Testvärdet beräknas som #∗ = ?U V ?U (2)
Teststatistikan är fördelad som #[XM; %OZ[− 4]. Om testvärdet, #∗ , överstiger tabellvärdet så förkastas
nollhypotesen och parametern antas bidra signifikant.
3.2 H
YDROSTATISKT TRYCKDet hydrostatiska trycket beskrivs av Mata et al. (2013) som fjärdegradspolynomet av vattennivån delat på den högsta vattennivån under tidsserien, och modelleras förslagsvis som N=]^_> = !"##$%%&'å> max !"##$%%&'å / (3) I förarbetet till rapport undersöktes flera sätt att definiera det hydrostatiska trycket, men valet föll på ovan nämnda modelleringssätt. Det hydrostatiska trycket beskrivs alltså även i denna rapport som i formel 3.
3.3 T
IDMata et al. (2013) konstaterar att tidsvariabeln i modellen kan vara ointressant i datamaterial som sträcker sig under ett kortare tidsspann. Detta för att tidsvariabeln är tilltänkt att beskriva tidens linjära effekt på dammrörelsen. Då denna rapport utgår från ett datamaterial som sträcker sig över en ganska begränsad tid finns farhågor om att tidsvariabeln inte kommer vara av något större intresse, vilket dock kommer att undersökas. Flera olika sätt att modellera tiden undersöktes i ett tidigt stadie av denna rapport, såsom den kvadratiska funktionen av tiden. Det fanns dock inga belägg för att det förbättrade modelleringen, varför endast förstagradspolynomet används.
3.4 T
RIGONOMETRISKA FUNKTIONERI regressionsmodeller är det möjligt att implementera sinus- och cosinusfunktioner för att modellera konstant säsongsvariation med linjära trender. Nedan visas hur säsongskomponenten modelleras enligt Bowerman et al. (2004). L är i formeln antalet säsonger som finns i tidsserien.
=> = ?@+ ?B2&]>+ ?Msin 2c2&]>
d + ?ecos 2c2&]> d + ?/sin 4c2&]> d + ?icos 4c2&]> d + %> (4) Modellen antar att det finns en generell linjär trend över tid i och med ?B2&], vilket redan är en komponent i samtliga variationer av HTT och HTS modeller. Den trigonometriska funktionens olika parametrar inkluderas tillsammans och ska inte uteslutas var för sig enligt enskilda parametertest. Detta är anledningen till att p-värdena för dessa enskilda
25 parametertest sätts inom parentes i rapportens resultat. De enskilda parametrarna ska alltså inte tolkas var för sig. Antal säsonger, L, sattes till 52 då data är i veckoformat. Valet att använda trigonometriska funktioner för att modellera säsongsvariationen var på grund av den flexibla implementeringen av parametrarna. Det är ingen ny skattningsmetod utan den implementeras direkt i MLR-modellerna. Andra alternativ som inte kräver en dynamisk regression utvärderades. En möjlighet rapporten fann var att använda indikatorvariabler (även kallat dummy-variabler) för att modellera säsongen. Det skulle dock kräva 51 indikatorvariabler, vilket är orimligt då säsongseffekterna inte är det som huvudsakligen undersöks. Eftersom syftet inte är att uppskatta de olika veckornas enskilda effekt väljs indikatorvariabler bort.
3.5 HTT-
OCHHST-
MODELLERI Bühlmann et al. (2015)redogörs de två vanligaste modellerna för att prediktera en damms rörelse/deformation, Hydrostatic, Seasonal, Time (HST) och Hydrostatic, Thermal, Time (HTT). De två modellerna är baserade på metoden multipel linjär regression. Den enda skillnaden mellan de två modellerna är säsongsvariationen, som man i HST-modellen modellerar med hjälp av cosinus- och sinusfunktioner, medan man använder sig av utomhustemperatur i HTT-modellen. Säsongsvariationen som modelleras med cosinus- och sinusfunktion i HST-modellen ersätts helt enkelt av de faktiskt uppmätta temperaturerna i en HTT-modell för ökad precision. Vid jämförelse av de två modellerna konstaterar Mata et al. (2013) att en HST-modells fördel i stor utsträckning endast är att den dras med mindre potentiella problem. Framförallt behöver en HST-modell färre variabler då den förlitar sig på att modellera säsongsvariationen med trigonometriska funktioner istället för att som HTT-modellen använda temperaturdata, vilket inte alltid är tillgängligt. Med mindre data är HST-modellen enklare att implementera medan HTT är mer krävande eftersom den kräver mer data. Rapporten kommer att utgå från både HST- och HTT-modeller. Anledningen till att inte endast HTT-modeller används, vilket Mata et al. (2013) som slutsats rekommenderar, är att det svenska klimatet har en klart tydligare säsongsvariation än det portugisiska klimatet. De bägge modellerna i sin helhet presenteras nedan. N22: => = ?@+ ?BN=]^_>+ ?M2$34$^"#j^>+ ?e2&]>+ %H (5) Nl2: => = ?@+ ?BN=]^_>+ ?M2&]>+ ?esin 2c2&]> d + ?/cos 2c2&]> d + ?isin 4c2&]> d + ?mcos 4c2&]> d + %H ]ä^ d = 52 (6) För att modellera samtliga förklarande variablers inverkan på pendelrörelserna utökas HST- och HTT- modellerna i denna rapport med fyra nya modeller. Samtliga förklarande variabler i HST- och HTT-modellerna behålls i dess påbyggnader för att undersöka sambandet mellan just de variablerna och dammens rörelse.
26
3.6 P
ÅBYGGNAD AVHTT-
OCHHST-
MODELLERMed anledning av rapportens syfte att huvudsakligen modellera islasten kommer ovan nämnda modeller att utökas genom påbyggnader. Den kontinuerliga variabeln istjocklek kommer att adderas. Sex olika modeller kommer att anpassas, som kombinationer- och påbyggnader av HTT- och HST-modellerna. Utöver just de två modellerna kommer ytterligare fyra modeller att skapas, varav tre innehåller variabeln istjocklek. De redovisas i korthet nedan. För att kunna jämföra resultatet i den här rapporten med tidigare forsknings resultat så presenteras i denna rapports resultatkapitel den bästa anpassningen av de sex olika MLR-modellerna för samt dess residualanalys för respektive pendel. 3.6.1 HTTS-modellen HTTS-modellen är en sammanslagning av HST- och HTT-modellerna. HTTS står för Hydrostatic, Thermal, Time och Seasonal. Det är alltså en HST-modell där temperatur lagts till som förklarande variabel, eller en HTT-modell där sinus- och cosinusfunktioner lagts till för att förklara säsongsvariationen, om man så vill. Anledning till att denna modell skapas är för att det under modellerandet visar sig att HTT-modellerna har svårt att modellera de stora säsongsvariationerna som det svenska klimatet uppvisar. Modellen i sin helhet visas nedan.
=> = ?@+ ?BN=]^_>+ ?M2&]>+ ?e2$34$^"#j^>+ ?/sin 2c2&]>
d + ?icos 2c2&]> d + ?msin 4c2&]> d + ?pcos 4c2&]> d + %H ]ä^ d = 52 7 3.6.2 HIST-modellen HIST-modellen är en HST-modell där variabeln istjocklek adderats som förklarande variabel. HIST står således för Hydrostatic, Ice, Seasonal och Time. Anledning till att denna modell skapas är för att undersöka om istjockleken förstärker HST-modellens förmåga att förklara pendelrörelsen. HIST-modellen i sin helhet visas nedan. =>= ?@+ ?BN=]^_>+ ?MqV>+ ?e2&]>+ ?/sin 2c2&]> d + ?icos 2c2&]> d + ?msin 4c2&]> d + ?pcos 4c2&]> d + %H ]ä^ d = 52 (8) 3.6.3 HITT-modellen HITT-modellen är en HTT-modell där variabeln istjocklek adderats som förklarande variabel. De förklarande variablerna i HITT-modellen är alltså Hydrostatic, Ice, Temperature och Time. Is adderas för att se om isvariabeln utöver vattennivå, temperatur och tid bidrar till att förklara pendelns rörelse. Modellen i sin helhet visas nedan. => = ?@+ ?BN=]^_>+ ?MqV>+ ?e2$34$^"#j^>+ ?/2&]>+ %H (9)
27 3.6.4 HITTS-modellen HITTS-modellen är den största av de modeller som anpassas. Det är alltså en HTTS-modell där variabeln istjocklek adderats som förklarande variabel. HITTS står alltså för Hydrostatic, Ice, Thermal, Time och Seasonal. Isvariabeln inkluderas för att avgöra huruvida den approximerade istjockleken på dammen bidrar till att modellera pendelns rörelse. Modellen i sin helhet ser ut som följer. => = ?@+ ?BN=]^_>+ ?MqV>+ ?e2&]>+ ?/2$34$^"#j^>+ ?isin 2c2&]> d + ?mcos 2c2&]> d + ?psin 4c2&]> d + ?scos 4c2&]> d + %H ]ä^ d = 52 (10)
3.7 R
ESIDUALANALYSFör att utvärdera huruvida residualerna uppfyller kravet %H~ K 0, LM ställt av MLR-modellerna används huvudsakligen fyra olika residualdiagram. I rapporten redovisas de här diagrammen i en och samma figur. Denna samlingsfigur kallas residualdiagram och innehåller följande figurer: Normal probability plot Normal probability plot är beräknat utifrån residualerna och det värde de skulle ha i en normalfördelning och jämförs sedan med de teoretiska värdena från normalfördelningen. Om residualerna är normalfördelade så bildar de tillsammans med de teoretiska värdena en sluttande rak linje. Residualer mot anpassade värden Detta diagram är intressant i syfte att avgöra om residualerna uppvisar en konstant varians. Idealt är residualerna tillsynes slumpmässigt runt noll över hela spannet utan indikation om ökande-, minskande- eller skev varians. Histogram för residualer Diagrammet visar hur residualerna är spridda i ett histogram. Idealt är de spridda i ett klockformat mönster centrerat kring nollpunkten med lika långa svansar på respektive sida, likt en normalfördelningskurva. Residualer över tid Detta diagram visar residualerna mot ett tidsindex, i denna rapports fall veckovis. För att leva upp till antagandet om oberoende ska residualerna vara slumpmässigt utplacerade över tidsindexet, och alltså inte uppvisa beroende av tidigare observationer. Är så inte fallet finns anledning att misstänka problem med beroende över tid kallat autokorrelation.
28
3.8 D
IAGNOSTISKA MÅTTFör att utvärdera modellerna i rapporten används flertalet diagnostiska mått som var för sig beskriver hur modellen presterar utifrån de givna förutsättningarna. Dessa mått ligger till grunden för de val av modeller som kommer göras. Samtliga mått är definierade enligt Kutner et al. (2004). Mean squared error (MSE) är ett mått för det genomsnittliga kvadratiska felet och utröner hur mycket i snitt modellen missar vid varje anpassat värde. Ett så lågt MSE som möjligt eftersöks där 0 är det teoretiskt bästa. MSE beräknas som tlu = 1 %OZ[− 4 =>− = M vwxy >zB (11) Modellens minsta- och största residual används för att få en uppfattning vilken spridning residualerna rör sig mellan. Justerat R2 är den justerade förklaringsgraden. Måttet berättar hur stor andel av variationen i responsvariabeln som förklaras av de förklarande variabler och är justerat för antalet parametrar i modellen. Enligt det här kriteriet bör den modell som uppvisar högst justerat R2 vara den optimala modellen.
Det justerade R2 beräknas utifrån R2 som beräknas enlig följande formel.
{jV#$^"# |M = 1 − %OZ[− 1 %OZ[− } 1 − |M (12) Där R2 beräknas som |M = 1 − =>− => M vwxy >zB =>− = M vwxy >zB (13) Variance inflation factor (VIF) är ett statistiskt mått för att fastställa kvantiteten av multikollinjäritet och agerar som en indikator för om det kan finnas för starkt samband mellan de förklarande variablerna. !q~E = 1 1 − |EM (14) Ett högt VIF-värde indikerar problem med multikollinjäritet. En tumregel är att VIF-värden som överstiger 10 bör undersökas närmare. Akaike information criterion (AIC) är ett statistiskt mått för att kvantifiera modellens kvalitet istället för att tillämpa hypotesprövningar. Metoden straffar modeller som är överanpassade genom att korrigera för antalet parametrar och uppskattar vilken information man förlorar. AIC defineras som qÄ = −2 log É&}$É&ℎ__]1j%}#&_% + 24 (15) Där 4 motsvarar antalet skattade parametrar. Den modell med lägst AIC är den modell med minst informationsförlust och således den som bör väljas. Likelihoodfunktionen är i samtliga metoder baserad på normalfördelningen.
29
