Linköpings universitet | Matematiska institutionen Produktionsuppsats, 15 hp | Ämneslärarprogrammet (Gymnasiet) - Matematik Vårterminen 2021 | LiU-LÄR-MA-A--2021/04--SE
Derivata i läromedel
– En kvantitativ innehållsanalys av uppgiftstyper i
svenska läromedel
Derivatives in Textbooks
– A Quantitative Content Analysis of Task Types in
Swedish Textbooks
Daniel Grönbäck Emil Johansson
Handledare: Björn Textorius Examinator: Peter Frejd
Linköpings universitet SE-581 83 Linköping, Sweden 013-28 10 00, www.liu.se Matematiska institutionen 581 83 LINKÖPING Seminariedatum 2021-06-02
Språk Rapporttyp ISRN-nummer (fyll i löpnr)
X Svenska/Swedish Engelska/English
Examensarbete avancerad nivå
LiU-LÄR-MA-A--2021/04--SE
Titel
Derivata i läromedel – En kvantitativ innehållsanalys av uppgiftstyper i svenska läromedel
Title
Derivatives in Textbooks – A Quantitative Content Analysis of Task Types in Swedish Textbooks
Författare
Sammanfattning
Den här studien syftar till att undersöka om svenska läromedel för Matematik 3b genom användandet av problemlösningsuppgifter ger elever möjlighet att kunna skapa förståelse för derivata. Metoden är kvantitativ innehållsanalys, och läromedlen analyserades med hjälp av ett kodningsschema med sju dimensioner. Huvudfokus för kodningen var uppgiftstyp, som kategoriserades utifrån grad av problemlösning. Kategorierna representerar olika uppgiftstyper med olika grad av imitation, resonemang och problemlösning. Detta gjordes för att kunna hitta mönster i hur läromedlens upplägg i termer av hur uppgiftstyp (grad av problemlösning) relaterar till svårighetsgrad och
avsnittstyp. Resultaten framställs genom tabeller och diagram. Resultaten pekar på att läromedlen generellt sett är relativt lika i sitt upplägg och uppgiftsfokus, även om det i vissa aspekter finns vissa skillnader. Det tydligaste mönstret är hur imitationsuppgifter dominerar den ordinarie uppgiftssamlingen, framför allt på grundläggande nivå. Dessutom finns mönster i hur specialavsnitt skiljer sig från de andra avsnittstyperna i termer av vilka uppgifter som är i fokus. Slutsatsen är även att trots att det finns en övervikt av imitationsuppgifter i de flesta läromedel, kan elever fortfarande utveckla alla förmågor som behövs – om läraren använder läromedlet på ett effektivt sätt.
This study’s purpose is to investigate if Swedish textbooks in the course “Matematik 3b”, through the use of problem-solving tasks, give students the possibility to create a deeper understanding of the concept of derivatives. The method is a quantitative content analysis, and the textbooks were analyzed by the usage of a coding schedule consisting of seven dimensions. The main focus regarding the coding of tasks was type of task, which was categorized according to level of problem-solving required to solve the task. The categories represent different task types defined by different amounts of problem-solving, reasoning and imitation. This was done in order to find patterns regarding how the textbooks were structured in terms of how task type relates to degree of difficulty and type of section in which the task appears. The results are presented through tables and diagrams. They point to the fact that in general, the textbooks are similar in terms of structure and task focus, even though there are some differences in certain aspects. The most obvious pattern is how imitation dominates the main tasks, especially those that are on a basic level. Furthermore, there are patterns in how the “special sections” differ in terms of which task types are in focus. The conclusion is that even though imitation dominates most textbooks, textbooks still offer students possibilities to develop in every aspect of mathematics – if the teacher uses the textbook in an efficient way.
Nyckelord
Innehållsförteckning
1. Inledning ... 1
2. Bakgrund ... 2
2.1 Gymnasieelevers svårigheter med derivata ... 2
2.2 Derivata i kursplanen för Matematik 3b ... 3
2.3 Problemlösning, problemlösningsuppgifter och imitationsuppgifter ... 4
2.4 Läromedelsforskning ... 5
2.5 Tidigare forskning på uppgiftstyper i läromedel ... 7
3. Syfte och frågeställningar ... 9
4. Metod ... 10
4.1 Urval av material för analys ... 10
4.1.1 Urval av läromedel ... 10
Matematik 5000 Kurs 3b grön lärobok ... 12
Matematik Origo 3b ... 12
Matematik M 3b ... 13
Exponent 3b ... 13
4.1.2 Urval av uppgifter ... 13
4.2 Analysverktyg: Uppgiftstyper, kodningsschema och kodningsmanual ... 14
4.2.1 Dimensioner och underkategorier ... 15
4.2.2 Övriga dimensioner och underkategorier ... 16
4.3 Analysförfarande ... 18
4.3.1 Exempel på kodning av uppgiftstyp ... 19
HR ... 19 LLR ... 19 GLR ... 20 SHR ... 20 SLR ... 21 4.4 Metoddiskussion ... 21
5. Resultat och analys ... 24
5.2 Uppgiftstypernas fördelning i förhållande till avsnittstyp ... 26
5.3 Uppgiftstypernas fördelning i förhållande till svårighetsgrad ... 29
6. Resultatdiskussion ... 34
6.1 Diskussion: Fördelning av uppgiftstyper i läromedlen ... 34
6.2 Diskussion: Uppgiftstyper och avsnittstillhörighet ... 35
6.3 Diskussion: Uppgiftstyper och svårighetsgrad ... 36
6.4 Sammanfattande diskussion och slutsats ... 37
6.5 Implikationer för undervisning ... 37
6.6 Vidare forskning ... 38
“Teachers should not be slaves to the textbook but be its intelligent master,
who profits from the potential of the book, but avoids its pitfalls.”
1. Inledning
För den svenske matematikläraren är läromedlet ett ovärderligt verktyg. Stora mängder tid sparas i planering och undervisning när läromedlet ger en mer eller mindre färdig struktur för innehållet, väl genomtänkta genomgångar, tydliga exempel och framför allt: stora mängder med uppgifter för elevernas eget arbete. Men kan vi förvänta oss att matematikböckernas innehåll är tillräckligt för att eleverna ska få med sig de kunskaper de behöver och nå de mål som krävs av kursplanen?
Johansson (2006, s. 6) beskriver i sin doktorsavhandling att läromedlet sen långt tillbaka har en särskilt stark ställning i just den svenska matematikundervisningen. Samtidigt
problematiserar författaren användandet och ger exempel på att läromedlet i många fall styr undervisningen så hårt att den verkar överordnad både kursplan och lärarens egna kunskaper. Matematikboken har blivit ”facit” för vad matematik är och hur undervisningen ska bedrivas, både för lärare och elever. Johansson skriver dock att det inte är skäl till att förkasta
användandet av läromedel, men att lärare behöver vara medvetna om dess innehåll och förhålla sig kritiskt till det med tillit till sin egen didaktiska förmåga och ämneskunskap. Denna studie ämnar bidra till just ett större medvetande om hur läromedel i kursen Matematik 3b möjliggör elevernas lärande på det specifika matematikområdet derivata.
Derivata är ett stort begrepp i matematisk analys och har tillämpningar inom exempelvis ekonomi och fysik. I gymnasiematematiken är derivata representerat i flertalet kurser – i både Matematik 3b, 3c, 4 och 5 utgör derivata en del av centralt innehåll. Denna studie fokuserar på Matematik 3b, där derivata introduceras för första gången. Denna kurs har högre andel underkända elever på nationella proven jämfört med Matematik 3c (Skolverket, u.å.). Tidigare har författarna till denna studie genomfört en litteraturstudie (Johansson & Grönbäck, 2020) där elevers svårigheter med derivata sammanfattades och kategoriserades. Där framkom det att elevers svårigheter karaktäriseras av att de saknar djupare förståelse för derivata och enbart ser derivata som en procedur. Frågan är då i vilken utsträckning de läromedel som används i undervisningen tar hänsyn till detta i sina beskrivningar och sitt upplägg. Ger
matematikboken eleverna möjlighet att utveckla alla förmågor och djupare kunskaper om derivata?
Ett sätt som läromedlet skulle kunna uppnå detta på är genom att ha stor variation på de uppgifter som förekommer i boken. Att de inte enbart kräver att elever utför en förutbestämd lösningsmetod utan också inkluderar arbete med problemlösning, vilket anses ha en stor potential att generera just en djupare förståelse för matematiken och utveckla många förmågor samtidigt. I detta examensarbete analyseras därför fyra svenska läromedel i Matematik 3b utifrån vilka typer av uppgifter som förekommer på derivataområdet, för att ge en bild av böckernas potential och fallgropar.
2. Bakgrund
2.1 Gymnasieelevers svårigheter med derivata
I en systematisk litteraturgenomgång genomförde författarna till den här studien en
kartläggning av elevers svårigheter med derivata (Johansson & Grönbäck, 2020). I studien gjordes en sökning efter vetenskapliga artiklar på ämnet, vilket resulterade i ett urval av 8 artiklar. Dessa artiklar lade sedan grunden för en bred sammanfattning och kategorisering av de svårigheter som eleverna i de olika artiklarna uppvisat. Hela studien resulterade i en kategorisering av elevers svårigheter med derivata i tre huvudkategorier med samma tre underkategorier, samt en extra kategori. Kategoriseringen illustreras i figur 1 och beskrivs mer i detalj nedan.
Figur 1 – Träddiagram över kategoriseringen av svårigheter med derivata. B=begreppssvårigheter, P=procedursvårigheter, F=Feltolkningar.
Huvudkategorierna beskrev vilken del av det breda begreppet derivata som svårigheterna fanns inom. Den första huvudkategorin, Begrepp som leder fram till derivata, samlade alla svårigheter som gäller begrepp som lägger grunden inför introduceringen av derivata, så som sekant, tangent, ändringskvot och förändringshastighet. I den andra huvudkategorin, Derivata
& derivering¸ handlade svårigheterna om själva begreppet derivata, derivatans definition,
derivering av olika uttryck med deriveringsregler samt bestämning av derivatans värde. Den tredje huvudkategorin av svårigheter, Tillämpningar av derivata och samband med andra
begrepp¸ kopplade till sådant derivatan används till. Svårigheter som placerades i den här
kategorin innefattar kopplingar mellan derivatans graf och funktionsgrafen, samband mellan maxima/minima och derivata, tolkning av derivatans betydelse i verklighetsbaserade
rörelseproblem. I forskningsartiklarna förekom även svårigheter som inte ansågs ha direkt koppling till derivata men som ändå orsakade vissa problem i lösningen av derivatauppgifter, exempelvis svårigheter med modellering eller algebra. Dessa tilldelades den separata
kategorin Övriga svårigheter.
Underkategorierna begreppssvårigheter, procedursvårigheter och feltolkningar delade in svårigheterna i varje huvudkategori efter svårighetens karaktär. Begreppssvårigheter
innefattade svårigheter med att förstå innebörden av ett begrepp och dess kopplingar till andra begrepp. Procedursvårigheter innefattade svårigheter med att hantera och använda procedurer,
så som derivering. Feltolkningar behandlar svårigheter som att exempelvis elever har missuppfattningar kring representationer och begrepp.
Som en av flera teoretiska utgångspunkter användes i litteraturstudien Sfards (1991) teori om begreppsbildning, som beskriver hur elever tillägnar sig matematikkunskaper och delas upp i operationell och strukturell begreppsbildning. Operationell begreppsbildning handlar då om att utföra processer och algoritmer och att ett begrepp enbart existerar i de processer där det behandlas. Strukturell begreppsbildning handlar i stället om att se ett begrepp som ett abstrakt objekt som existerar i sig självt och inte enbart då det utsätts för olika processer. Detta ses då också som ett mer avancerat stadium av begreppsbildningen som bygger på och föregås av den operationella begreppsbildningen. För en djupare helhetsförståelse av ett begrepp behövs då båda typerna av begreppsbildning och i de fall som eleven inte kommer till den strukturella begreppsbildningen stannar förståelsen vid något som Sfard beskriver som regler utan
förståelse.
De tydligaste dragen i Johansson och Grönbäck (2020) var att eleverna främst hade
svårigheter när det kom till djupare förståelse för begreppen. Detta syns dels i svårigheterna i den andra huvudkategorin, där det blir tydligt att elever ser derivata främst som en procedur och således är främst på ett operationellt stadie av begreppsbildning. Det syns också i den tredje huvudkategorin där inga svårigheter kategoriserades som procedursvårigheter men desto fler som begreppssvårigheter med att kunna se samband mellan derivata och andra begrepp, vilket även här tyder på att eleverna inte uppnått ett stadie av strukturell
begreppsbildning. Att så är fallet skulle både kunna bero på att elever inte ges tillräckligt med tid för att hinna nå strukturell begreppsbildning inom ramarna för undervisningen eller att ett allt för stort fokus på procedurkunskaper i lärandemiljön får eleverna att fastna vid den operationella begreppsbildningen.
2.2 Derivata i kursplanen för Matematik 3b
Derivata är en del av det centrala innehållet i flertalet gymnasiekurser i matematik: Matematik 3b, 3c, 4 och 5. Den här studien fokuserar på Matematik 3b. I kursplanen för Matematik 3b ingår följande centrala innehåll som behandlar derivata (Skolverket, 2011).
• Begreppen sekant, tangent, ändringskvot och derivata för en funktion.
• Härledning och användning av deriveringsregler för potens- och exponentialfunktioner samt summor av funktioner.
• Algebraiska och grafiska metoder för bestämning av derivatans värde för en funktion, såväl med som utan numeriska och symbolhanterande verktyg.
• Algebraiska och grafiska metoder för lösning av extremvärdesproblem inklusive teckenstudium, andraderivatan och användning av numeriska och symbolhanterande verktyg.
• Samband mellan en funktions graf och funktionens första- och andraderivata. Det är således det som ryms i dessa punkter som blir de kunskaper och aspekter av derivata som också blir föremål för analys i denna studie.
2.3 Problemlösning, problemlösningsuppgifter och imitationsuppgifter
Det finns många olika beskrivningar av vad som ryms inom aktiviteten problemlösning och vad som kännetecknar en så kallad problemuppgift inom matematiken. I vissa beskrivningar anses problemlösning vara kritiskt tänkande applicerat på just matematik, något som är en del av mer eller mindre all matematisk aktivitet, eller till och med skulle kunna vara själva matematikens kärna (Bergsten, 2006, s. 3). När det kommer till matematisk problemlösning definieras det dock oftast som att arbeta med problemuppgifter (Bergsten, 2006, s. 2;
Sidenwall, 2019, s. 4). Även vad som innefattas i begreppet problem eller problemuppgift är inte helt självklart. I vissa fall anses alla matematikuppgifter vara problemuppgifter, i andra fall anses bara matematikuppgifter satta i en kontext vara problemuppgifter. Den definition som dock är den vanligaste för problemuppgifter är att det är uppgifter till vilken det inte på förhand finns en känd lösningsmetod och det är upp till lösaren att skapa den (Bergsten, 2006, s. 2; Sidenwall, 2019, s. 3–4). Detta skiljer dem då också åt från uppgifter där
lösningsmetoden är känd och direkt kan imiteras av lösaren, vilka ofta benämns som just
imitationsuppgifter, övningsuppgifter eller rutinuppgifter. Denna definition är också den som
Skolverket utgår ifrån när de skriver om problemlösning, vilket exempelvis konkretiseras i kommentarmaterialet till ämnesplanen i matematik (Skolverket, u.å., s. 2). Det är värt att nämna att i en sådan definition är vad som är en problemuppgift individuellt och föränderligt, vissa kan ha en lösningsmetod som andra inte har och lösningsmetoder är något som man kan skaffa sig med tiden (Sidenwall, 2019, s. 4–5; Bergsten, 2006, s. 2–3). Hädanefter i denna studie utgår begreppet problemuppgift från den sistnämnda definitionen, alltså att
problemuppgifter är uppgifter där en lösningsmetod måste skapas. Problemlösning blir då själva aktiviteten att arbeta med problemuppgifter.
När det kommer till användning av problemlösning i matematikundervisningen anses det ha många fördelar jämfört med undervisning som enbart använder sig av imitationsuppgifter och utlärning av metoder. I en undervisning där eleverna får lösa problemuppgifter ges de
möjligheten till djupare förståelse för den matematik som innefattas och de får också lättare att knyta ihop separata delar av matematiken till en helhet (Sidenwall, 2019, s. 9; Klisinska & Jablonka, 2014, s. 3). Undervisning som sker genom problemlösning förbättrar så klart elevers problemlösningsförmåga (Sidenwall, 2019, s. 9), men ger också möjligheter för eleverna att utveckla andra förmågor som att kunna föra logiska resonemang och
kommunicera sina tankegångar (Klisinska & Jablonka, 2014, s. 3; Bergsten, 2006, s. 9). Arbete med problemlösningsuppgifter anses också öka elevernas motivation, kreativitet och tro på sin egen tankeförmåga, vilka också verkar positivt på elevernas lärande i matematik (Klisinska & Jablonka, 2014, s. 3; Bergsten, 2006, s. 9).
Det bör dock betonas att imitationsuppgifter i sig också har en viktig funktion. Även om problemlösning är viktigt för elevers förståelse krävs också grundläggande kunskap om teori och procedurer. Bergsten (2006, s. 7) skriver att all matematisk verksamhet innefattar både en praktisk sida, det vill säg kunskap om problemtyper och lösningsmetoder, samt en teoretisk, det vill säga kunskap om matematisk teori och verktyg. Vidare skriver Sidenwall (2019, s. 11)
att det finns många olika fördelar med att öva på imitation – bland annat ger det information om utförandet av procedurer, visar kritiska delar i exempel, samt är tidseffektivt och minskar risken för ett irrelevant sökande efter lösningsmetoder. Det finns alltså en stor poäng i att låta elever träna på lösningsmetoder och igenkänning av problemtyper i matematikundervisningen genom imitationsuppgifter, men det bör också varieras med andra typer av uppgifter och aktiviteter så som problemlösning för att eleverna ska få en djupare förståelse.
2.4 Läromedelsforskning
Det finns tidigare forskning om läromedel, dess upplägg och dess påverkan på
matematikundervisningen. Rezat och Sträßer (2012) föreslår att läromedel är en ”artefakt” som inte endast verkar som en resurs och verktyg för lärare, utan i själva verket är med och aktivt formar matematikundervisningen. Författarna skriver att speciellt digitala verktyg och läromedel har en strukturerande påverkan på undervisning och aktiviteter i klassrummet (s. 644). För att relatera undervisningsformande artefakt till både lärare och elever gör författarna en koppling till den didaktiska triangeln vilken visualiserar förhållandet mellan elev, lärare och innehåll (Hansén, Kansanen m.fl., 2011, s. 45-46), se figur 2.
Figur 2 - den didaktiska triangeln
Att läroboken som artefakt aktivt formar undervisningen gör att Rezat och Sträßer (2012, s. 644) föreslår ytterligare en dimension till den didaktiska triangeln (Figur 3). Den nya dimensionen utgörs då av artefakten, vilken i detta fall är läromedlet, och denna nya
dimension transformerar den didaktiska triangeln till en tetraeder där artefakten relaterar till både läraren, eleverna och innehållet. Denna modell belyser att läromedel inte bara är en resurs för lärare att använda utan vidare reflektion, utan är något som aktivt formar undervisningen och påverkar alla aspekter av den.
Figur 3 - Den didaktiska tetraedern efter Rezat och Sträßer (2012)
Monica Johansson (2006) skriver i sin doktorsavhandling om användningen av läroböcker i den svenska matematikundervisningen. Genom fyra studier analyseras läroböckers påverkan på undervisning, samt relationen mellan läroböcker, lärare och styrdokument. Johansson (a.a., s.26) skriver att resultaten pekar på att elever endast arbetar i läroboken som självständigt arbete och att i den gemensamma delen av lektioner baseras ofta exempel som tas upp på läroboken. Dessutom används sällan andra definitioner, procedurer eller konventioner än de som presenteras i läroboken. Även när hemläxor ges utgår de ifrån lärobokens uppgifter. Vidare skriver Johansson att lärare i många aspekter agerar utifrån föreställningen att läroböcker är överlägsna lärare och att lärare därför måste göra som läroboken gör (2006, s. 26). Detta innebär att läroböcker inte bara har inflytande vad gäller vilka typer av uppgifter elever gör, men även hur matematik framställs vad gäller koncept och särdrag (s. 26). Det kan även råda diskrepans mellan innehållet i en lärobok och det centrala innehållet från Skolverket (s. 26).
Johansson (2006, s. 7) tar också upp hur läromedel generellt kan spegla traditioner och teorier om lärande som är ledande i samhället. Som ett exempel tas upp hur uppdelningen av
uppgifter i olika svårighetsgrader som är mycket vanlig i svenska matematikläromedel kan ses som ett resultat av läroplansreformerna i mitten på 1900-talet. Sedan dess har svenska
läroplaner präglats av att undervisning ska individanpassas utifrån varje elevs förutsättningar och då blev läroboken i allmänhet och dess nivåindelning av uppgifterna i synnerhet en lösning på den utmaning det är att individanpassa undervisning. Johansson ger med detta en förklaring på varför matematikläromedel än idag har en så stark ställning i svensk
matematikundervisning och också varför det är så vanligt att elever jobbar enskilt i boken i så stor utsträckning.
Lärares användande av läroböcker är inte statiskt och lärare är inte heller tvungna att använda läroböcker på ett speciellt sätt. Johansson tar till exempel upp hur två olika lärare använder samma lärobok på skilda sätt (2006, s. 27). Likt Rezat och Sträßer skriver Johansson att läroböcker är en artefakt som delar kunskap och möjliggör lärares dagliga arbete (s. 28). Dessutom kan läroböcker ses som en typ av garanti för att elever får ta del av den kunskap de
behöver och är verktyg som möjliggör en likvärdighet och jämnhet i utbildning (s. 28). Dessa artefakter har svagheter och begränsningar, och verkar reducera lärares självständighet och ansvar (s. 28). Därför måste lärare vara medvetna om sitt läromedels svagheter och styrkor, och utnyttja detta i undervisningen.
Flertalet forskningsstudier på läromedel har genomförts. Många studier behandlar teman som skiljer sig något från denna studie, men som ändå fokuserar på läromedel. Mayer och Tajika (1995) undersöker fördelningen av lösta exempel, figurer och uppgifter i böckerna samt hur mycket dessa olika delar ges. Haggarty och Pepin (2002) studerar hur matematik som ämne presenteras genom läroböcker, och undersöker detta genom observationer och intervjuer med högstadielärare i England, Frankrike och Tyskland. Fan och Zhu (2007) studerar hur olika problemlösningsstrategier presenteras i läromedel. Alla dessa studier fokuserar således alla på läromedel i någon form, men ur olika aspekter. I denna studie kommer fokus vara riktat mot läromedlens uppgiftssamling och i vilken utsträckning uppgifterna kräver problemlösning. Denna aspekt av läromedelsforskning har också gjorts tidigare och två sådana studier beskrivs i delkapitel 2.5 nedan.
2.5 Tidigare forskning på uppgiftstyper i läromedel
Ett sätt att kategorisera uppgifter är genom uppgiftstyp, det vill säga vilken metod elever behöver tillämpa för att lösa uppgiften. Uppgiftstyper baseras i den här studien på huruvida uppgiften anses vara en problemuppgift eller inte. Sidenwall (2019) utgår även ifrån detta i sin avhandling, där kategorierna HR (high relatedness), LR (low relatedness), LLR (local low
relatedness) och GLR (global low relatedness) används för uppgifter. Definitionerna av dessa
kategorier återfinns i Jäder et al. (2020), som är en del av Sidenwalls avhandling. HR innebär att uppgiften kan lösas utan att skapa en lösningsmetod, medan LR innebär att en
lösningsmetod måste skapas (Sidenwall, 2019, s. 27). Vidare måste HR-uppgifter uppfylla två kriterier: dels måste uppgiften ha en lösningsmetod som direkt kan tillämpas på uppgiften, dels måste denna lösningsmetod vara enkel för eleven att identifiera (Jäder et al., 2020, s. 1127). Identifiering sker antingen genom att metoden finns i samma avsnitt som uppgiften, eller genom den rena uppgiftsbeskrivningen och karaktären. I Jäder et al. beskrivs också hur
LR kan delas in i LLR och GLR. För att en uppgift ska klassificeras som en LLR-uppgift
behövs bara en mindre modifiering av en redan känd lösningsmetod göras för att sedan
tillämpas (s. 1127). För en GLR-uppgift ska ingen lösningsmetod för uppgiften ha presenterats tidigare i läromedlet, alternativt att en metod har presenterats men eleven inte rimligen kan antas koppla metoden till uppgiften i fråga (s. 1127).
I Jäder et al. (2020) tillämpas denna kategorisering i en analys av 12 läroböcker för elever i gymnasieåldern. De jämförde där läroböcker från olika länder och fördelningen av HR-, LLR- och GLR-uppgifter på områdena algebra och geometri. Ett av dessa läromedel var det svenska läromedlet Matematik 5000 1b (Alfredsson et al., 2011) och kodningen av uppgifterna i detta läromedel gav följande resultat (Jäder et al., 2020, s. 1129): uppgifterna på området algebra
var 74% HR-uppgifter, 15% LLR och 11% GLR. På området geometri var motsvarande fördelning 65% HR, 15% LLR och 20% GLR.
Kategoriseringen som används i Jäder et al. (2020) har sitt ursprung i Lithner (2004), där en analys av tre matematikläromedel avsett för universitetsstudenter genomförs. Analysen görs utifrån vilken typ av lösningsstrategi som krävs av studenterna för att kunna lösa en särskild uppgift i läromedlet. Uppgifterna i de analyserade läromedlen delades då in i kategorierna IS (identification of similarities), LPR (Local Plausible Reasoning) och GPR (Global Plausible
Reasoning) (Lithner, 2004, s. 419). En IS-uppgift löses genom en strategi där studenten söker
ytliga likheter mellan den aktuella uppgiften och tidigare uppgifter och lösta exempel i boken, för att sedan kunna kopiera lösningsmetoden från denna liknande uppgift (a.a., s. 412). LPR-uppgifter löses också genom att söka likheter med andra LPR-uppgifter, men skiljer sig från IS-uppgifter i det att det inte är direkt givet om eller hur lösningsmetoden från den liknande uppgiften kan användas. Detta blir således något som studenten behöver ta ställning till och själv komma fram till i arbetet med uppgiften (a.a., s. 415-416). GPR-uppgifter går inte att lösa genom att söka liknande uppgifter och använda dess lösningsmetoder, utan kräver att studenten finner sin lösningsmetod enbart ur den information som förekommer i uppgiften (a.a., s. 418-419). Resultatet av analysen blev bland annat att i samtliga tre läromedel kunde majoriteten av uppgifterna lösas genom IS (57%, 56% respektive 85%) och av de uppgifter som kunde lösas genom IS eller LPR kunde liknande uppgifter hittas bland bokens lösta exempel i 90% av fallen. Det senare innebar att 70% av alla analyserade uppgifter kunde lösas genom att enbart vända sig till bokens lösta exempel. Det finns alltså flertalet genomförda studier där resultaten delvis pekar på att imitation, eller sökande av lösning i exempel, utgör en betydande del av uppgifterna.
3. Syfte och frågeställningar
Läromedel behöver ge elever möjlighet att öva på olika förmågor och uppgiftstyper, och saknas en mångfald i läromedlen riskerar elever en ofullständig förståelse av matematik. En lärare behöver vara förtrogen med sina läromedel och medveten om svagheter och styrkor i dessa. Att lärare kritiskt reflekterar och noggrant väljer vilka delar i läromedlen man använder eller inte är viktigt för att läromedlen ska användas på ett sätt som gynnar elevernas lärande, snarare än hämmar det. I kursen Matematik 3b är det en stor andel elever som inte når godkänt på nationella proven (Skolverket, u.å.). Derivata introduceras i denna kurs och utgör en betydande del av kursens centrala innehåll. Syftet med studien är att undersöka om svenska läromedel för Matematik 3b genom användandet av problemlösningsuppgifter ger elever möjlighet att kunna skapa förståelse för derivata. Studien utforskar och jämför hur väl olika läromedel möjliggör djupare kunskaper om derivata, samt se om det finns generella tendenser till en viss typ av innehåll i läromedlen. Följande tre frågeställningar ska besvaras av studien:
• Finns det ett generellt mönster i vilken typ av uppgifter som betonas för alla läromedel, eller skiljer sig det åt mellan läromedlen?
• I relation till läromedlens indelning i olika avsnittstyper1, av vilken typ är uppgifterna?
• I relation till läromedlens indelning i svårighetsgrad, av vilken typ är uppgifterna?
1 Med avsnittstyp menas indelningen av läromedlets uppgifter i ordinarie uppgifter, repetitions- och
4. Metod
Denna studie använder sig av kvantitativ innehållsanalys och då huvudsakligen utifrån hur Bryman (2018) beskriver den. Eftersom syftet med denna studie är att undersöka innehållet i läromedel faller det sig naturligt att undersökningsmetoden blir en innehållsanalys. Enligt Bryman (2018, s. 358) är den kvantitativa innehållsanalysen väl lämpad för att svara på forskningsfrågor gällande vad som förekommer och inte förekommer i främst tryckt material, men även i andra former av datamaterial. Den kvantitativa innehållsanalysen är inriktad på att utifrån en befintlig kategorisering systematiskt analysera och kvantifiera ett materials innehåll i syfte att ge objektiva svar på undersökningens frågeställningar. Denna metod skiljer sig således från mer kvalitativa analyser av innehåll, där kategoriseringen inte nödvändigtvis finns från början utan blir resultatet av undersökningen och fokus är riktat mot en eventuellt djupare mening i det som studeras (Bryman, a.a., s. 359). Frågeställningarna för denna studie är också formulerade för att kunna besvaras genom kvantifiering av innehållet i läromedel bland annat utifrån kategoriseringen av uppgiftstyper (se avsnitt 2.5), vilket ytterligare motiverar valet av undersökningsmetod.
I detta kapitel redogörs först för urvalet av läromedel och uppgifter för analys tillsammans med beskrivningar av de valda läromedlens struktur och innehåll. Efter detta följer en beskrivning av framtagandet av analysverktyg med beskrivningar av de dimensioner och underkategorier som materialet kodats in i. Kapitlet avslutas sedan med en genomgång av analysprocessens förfarande och slutligen en diskussion kring metodval och analysprocessen.
4.1 Urval av material för analys
Bryman (2018, s. 361–364) beskriver hur urvalsprocessen för material till innehållsanalys innehåller flera faser. Den första fasen gäller vad det är för typ av material som ska bli föremål för analys för att finna relevanta data som kan svara på studiens frågeställningar, alltså se till att urvalet är representativt och generaliserbart för det studien ämnar undersöka. Den givna typen av material för denna studie faller då naturligt på svenska
matematikläromedel, då syftet är att undersöka just läromedlens innehåll. Mer specifikt är det uppgifterna i dessa läromedel som blir de konkreta enheterna för analys. Nedan redogörs för valet av läromedel samt vilka uppgifter i dessa som togs med i innehållsanalysen.
4.1.1 Urval av läromedel
Som det beskrivs i tidigare kapitel förekommer derivata i flertalet kurser i den svenska
gymnasieskolan och läromedlen som används i undervisningen är utformade för varje enskild kurs. I denna studie gjordes en begränsning till att enbart analysera läromedel för kursen Matematik 3b. Själva begränsningen behövde göras för att studien skulle rymmas inom satta tidsramar och dessa möjliggjorde inte en analys av alla tillgängliga läromedel i alla kurser. Begränsningen till den specifika kursen motiveras först av att kurserna Matematik 3b och 3c där derivata introduceras också är de som innehåller flest aspekter av begreppet derivata, medan senare kurser enbart bygger vidare med några ytterligare deriveringsregler och
tillämpningar. Valet att sedan begränsa till enbart en av dessa kurser gjordes för att kunna analysera så många olika läromedelsserier som möjligt och därmed både kunna undersöka eventuella generella mönster i svenska läromedel och kunna urskilja om det fanns något läromedel som särskiljer sig. Att valet då föll på kursen 3b motiveras av att eleverna som läser den kursen troligtvis också utgör en stor del av de elever som får svårigheter med derivata. Därom vittnar bland annat de senaste resultaten från de nationella proven i kursen, där 40% av eleverna fick betyget F och alltså inte uppnådde godkänt resultat (Skolverket, u.å.).
Den andra fasen av urvalsprocessen som Bryman (2018, s. 362–363) redogör för gäller från vilken tidsperiod materialet bör vara hämtat. I fallet med denna studie är det de läromedel som används i gymnasieskolan i skrivande stund som är av intresse och därmed de som blir
urvalet.
Sammanfattningsvis skulle urvalet av läromedel för analys uppfylla följande kriterier: • Vanligt förekommande i matematikundervisningen i den svenska gymnasieskolan
under tiden för studiens genomförande
• Framtagna för undervisning i gymnasiets kurs Matematik 3b
• Inte vara del av samma läromedelsserie som något annat av läromedlen i urvalet • Tillgängliga för författarna av denna studie
Utifrån dessa kriterier valdes 4 läromedel som redogörs för i tabell 1. För att ge en bättre bild av struktur och innehåll hos vart och ett av läromedlen ges beskrivningar av dem nedan.
Tabell 1 - Urval av läromedel för analys
Titel Utgivningsår Författare
Matematik 5000 Kurs 3b grön lärobok
2013 Alfredsson, Bråting,
Erixon och Heikne
Matematik Origo 3b 2013 Szabo, Larson,
Viklund, Dufåker och Marklund
Matematik M 3b 2013 Holmström,
Smedhamre och Sjunnesson
Exponent 3b 2013 Gennow, Gustafsson
och Silborn
Av praktiska skäl kommer dessa läroböcker i det som följer av rapporten även refereras till med följande något nedkortade namn: ”5000” eller ”Matematik 5000” för Matematik 5000 Kurs 3b grön lärobok, ”Origo” för Matematik Origo 3b, ”M 3b” för Matematik M 3b samt ”Exponent” för Exponent 3b.
Matematik 5000 Kurs 3b grön lärobok
Detta läromedel är indelat i fyra kapitel varav två till största delen behandlar derivata. Varje kapitel är indelat i två till fem delkapitel med rubriker och underrubriker kopplade till ett specifikt innehåll. Alla delkapitel utgörs av flera teoriavsnitt, där teori presenteras och följs av
lösta exempel samt övningsuppgifter i tre svårighetsgrader. I kapitlen förekommer också
specialavsnitt som kallas aktiviteter, vilka är tänkta att möjliggöra variation i undervisningen och oftast tänkta att göras i grupp. Aktiviteterna är indelade under rubrikerna Upptäck,
Undersök, Diskutera eller Laborera. Historik är ett annat specialavsnitt som förekommer i alla kapitel, där matematiken sätts i sitt historiska sammanhang och ofta förekommer i dessa avsnitt några få uppgifter för eleverna att lösa. I slutet av varje kapitel ges först ett avsnitt med ”sant eller falskt”-frågor om kapitlets innehåll, en diagnos som är tänkt att hjälpa eleverna själva kontrollera vad de kan samt blandade uppgifter. De blandade uppgifterna förekommer i två varianter, en med enbart uppgifter från det senaste kapitlet och en med uppgifter också från tidigare kapitel. Uppgifterna i blandade uppgifter är också de uppdelade efter
svårighetsgrad och avsnitten är också indelade i uppgifter som är tänkta att göras utan respektive med hjälp av räknare samt ett par större utredande uppgifter.
Enligt författarna blandas uppgifter av standardkaraktär med bland annat uppgifter som kräver problemlösning på flera sidor i boken, men problemlösningsuppgifter markeras inte på något särskilt sätt. Hela läromedelsserien som läromedlet tillhör beskrivs som ”inriktad på
färdigheter, förståelse, kommunikation och problemlösning” (Alfredsson et al., 2013, s. 3).
Matematik Origo 3b
Läromedlet är indelat i sex kapitel vilka i sig är indelade i två till tre delkapitel med tydliga huvudrubriker. Derivata introduceras i slutet av det andra kapitlet och är sedan huvudtemat i ytterligare två kapitel. Varje delkapitel har en eller flera underrubriker där teorigenomgång följs av exempel med lösningar och en mängd övningsuppgifter. Övningsuppgifterna är graderade i tre olika svårighetsgrader och vissa av dessa har en särskild märkning med ett ”ö” för att visa att uppgiften är en så kallad öppen uppgift som enligt författarna saknar givet svar. I slutet av varje delkapitel förekommer också ett avsnitt med resonemang och begreppsfrågor kopplade till delkapitlets innehåll. I slutet av varje kapitel finns också tre olika specialavsnitt:
¤-uppgift som är en mer omfattande temauppgift med flera delar som ska öva upp förmågor
till kraven för högre betyg, Historia som kopplar kapitlets innehåll till matematikens historia och Problem och undersökningar som är mer omfattande och utmanande uppgifter som enligt författarna tränar problemlösning. Varje kapitel avslutas med först blandade uppgifter som täcker hela kapitlets innehåll, även dessa indelat i tre svårighetsgrader, samt Test som fungerar som en diagnos för kapitlet.
Författarna betonar själva fram vikten av problemlösning, då de skriver att läromedlet lyfter fram problemlösning, förståelse och det matematiska samtalet eftersom matematik är mer än att endast räkna.
Matematik M 3b
I detta läromedel behandlas derivata i det andra av bokens fem kapitel. Det sista kapitlet innehåller repetitionsuppgifter som är kopplat till det material som gåtts igenom vid slutet av vart och ett av de andra kapitlen, alltså en del med repetitionsuppgifter på enbart första kapitlet, en del med repetitionsuppgifter på både kapitel ett och två och så vidare. De första fyra kapitlen är indelade i ett stort antal avsnitt med egna rubriker. Den vanligaste typen av avsnitt börjar med en teorigenomgång där det viktigaste lyfts fram i tydligt framträdande
regelrutor och lösta exempel på uppgifter ges. Avsnitten innehåller sedan ett antal uppgifter
vilka är graderade i tre svårighetsnivåer. Bland dessa uppgifter förekommer någon gång ibland så kallade kommunicera-uppgifter som ämnar träna förmågan att förklara matematiska begrepp muntligen. Vissa avsnitt är markerade som fördjupningsavsnitt vars uppgifter också är indelade efter svårighetsgrad. I varje kapitel finns också specialavsnitten Digitala rutan och
Upptäck & visa, där det första innehåller uppgifter med särskilt fokus på lösningar med
digitala hjälpmedel och det andra är en större uppgift som är tänkt att leda fram till
formulerandet av ett generellt matematiskt samband. I slutet av kapitlen finns ett uppslag med
NOG-uppgifter, uppgifter som är formulerade som uppgifter på högskoleprovet och kapitlet
avslutas med två tester, där ett ska göras med och ett utan räknare. I boken förekommer det också sporadiskt tankenötter, uppgifter av problemlösningskaraktär som upplevs frikopplade från övrigt innehåll i boken. I läromedlet saknas, till skillnad från övriga läromedel i urvalet för denna studie, några tydliga kommentarer från författarna som tar upp just problemlösning.
Exponent 3b
Läromedlet är indelat i fem kapitel, varav två är helt fokuserade på derivata. Kapitlen är även här indelade i tydliga delkapitel som i sin tur har flera delavsnitt. Till varje delavsnitt finns en teori- och exempeldel, där förklaringar till nya begrepp ges och lösta exempel presenteras. Detta följs av övningsuppgifter som är indelade i två olika svårighetsgrader. Till vissa av dessa uppgifter finns tips längst bak i boken på hur man kan påbörja en lösning, till andra finns hela lösningar presenterade. Utöver detta förekommer också tre olika specialavsnitt på olika ställen i kapitlen: Gruppaktivitet, som är mer omfattande uppgifter som löses i grupp,
Utmaning, problem som är särskilt utmanande, samt Reflektera och diskutera med påståenden
gällande det teoretiska innehållet som eleverna ska ta ställning till och gärna göra i grupp. Varje kapitel avslutas med tester, ett test till varje delkapitel, samt blandade övningar på kapitlets innehåll.
I läromedlet har man också valt att markera vilka av de sju matematiska förmågorna i
kursplanen som uppgifterna i ett avsnitt är tänkta att träna, vilket är gjort för att ge variation i undervisningen. Författarna beskriver hur forskare anser att en mångsidig framför en enbart procedurinriktad matematik anses vara det som har störst potential att förbättra
undervisningen.
4.1.2 Urval av uppgifter
Intresset i denna studie riktar sig mot uppgifter som på olika sätt behandlar begreppet derivata och dess direkta tillämpningar. Detta kan jämföras med att de är uppgifter inom de kategorier
som i Johansson och Grönbäck (2020) kallas ”derivata och derivering” och ”tillämpningar av derivata och samband med andra begrepp”. För att få med alla sådana uppgifter i de läromedel som valdes ut gjordes därför ett ytterligare urval.
För de ordinarie avsnitten i läromedlen, med genomgång, exempel och övningsuppgifter, gjordes urvalet utifrån de rubriker som satts av läromedelsförfattarna. Uppgifter som var med i avsnitt med rubriker som enbart handlade om till exempel förändringshastighet eller
gränsvärden togs inte med i analysen då dessa inte direkt behandlar derivata (jämför med ”begrepp som leder fram till derivata” i Johansson och Grönbäck (a.a.)). Däremot togs alla uppgifter med som stod i avsnitt med rubriker som handlade om till exempel derivatans definition, deriveringsregler, derivatans graf och extremvärdesproblem, alltså avsnitt som antingen handlar om begreppet derivata i sig eller på något sätt handlar om att derivata tillämpas för att tolka eller beräkna.
För uppgifter som förekom i andra delar än de ordinarie avsnitten, som då antingen var en uppgift i en samling repetitionsuppgifter, en kapiteldiagnos eller dela av någon annan typ av specialavsnitt, baserades urvalet i stället på huruvida den enskilda uppgiften behandlade derivata eller dess tillämpningar. Denna alternativa urvalsmetod användes för att kunna plocka ut relevanta uppgifter ur avsnitt som också till stor del kunde bestå av uppgifter som inte alls behandlade derivata.
Sammanfattningsvis uppfyllde de uppgifter som togs med i analysen ett av följande två kriterier:
1. Var del av ett ordinarie avsnitt vars rubrik handlade om derivata och dess tillämpningar.
2. Var del i ett annat avsnitt än de ordinarie men där den enskilda uppgiften behandlade derivata och/eller dess tillämpningar.
4.2 Analysverktyg: Uppgiftstyper, kodningsschema och kodningsmanual
Den kvantitativa innehållsanalysen kräver tydliga beskrivningar av vad som är av intresse i materialet som analyseras och sedan hur det som är av intresse ska kodas in i redan befintliga kategorier. Bryman (2018, s. 364) beskriver hur båda dessa ställningstaganden och processer är hårt styrda av en studies frågeställningar. De variabler som analyseras hos materialet kallar Bryman (s. 370) för dimensioner och i varje dimension finns det flera underkategorier efter vilka själva kodningen sker. Vid själva analysarbetet används sedan ett kodningsschema där själva kodningen bokförs och en tillhörande kodningsmanual som ger en överblick och förklaring av vilka underkategorier av en viss dimension som enheten kan kodas till. Ur frågeställningarna utkristalliseras flera givna dimensioner för kodningen. I följande delkapitel redogörs för vad som utifrån studiens frågeställningar och syfte valts ut som
dimensioner vid själva analysen, med andra ord egenskaper hos uppgifterna som analysen bör ta hänsyn till. Vidare redogörs för dimensionernas olika underkategorier och vad som
4.2.1 Dimensioner och underkategorier
Den första dimensionen är uppgiftstyp och här kodas uppgifterna in i underkategorierna (1)
HR-uppgift, (2) LLR-uppgift, (3) GLR-uppgift, (4) SHR-uppgift eller (5) SLR-uppgift. Nedan
kommer SHR och SLR definieras.
Underkategorierna HR, GLR och LLR är beskrivna i bakgrunden (se kapitel 2.5). Dessa uppgiftstyper täcker emellertid inte alla uppgifter i ett läromedel. De gäller lösningsmetoder, det vill säga lösning av matematiska problem och uppgifter genom beräkning och metoder. Inte sällan innehåller dock läromedel i matematik andra utmaningar, så som diskussions-, resonemangs-, eller faktauppgifter. Kategorierna ovan behandlar inte uppgifter där elever behöver resonera kring ett icke-entydigt svar, eller uppgifter där elever ska svara med rena definitioner och begrepp. Därför togs beslutet att utöka kategorierna till att innefatta kategorierna SHR (special high relatedness) och SLR (special low relatedness), vilka växte fram under denna studies analysarbete. Dessa kategorier syftar till att täcka uppgifter där elever ska föra resonemang av olika komplexitet. Uppgifter som kategoriseras som SHR definieras som att elever kan lösa dem genom att kopiera resonemang eller teori som
presenteras i läromedlet – om en elev exempelvis ska redovisa hur derivatans definition ser ut, läser eleven i boken och kopierar svaret. Det är alltså en form av imitation – men inte av lösningsmetod, utan av teori och formuleringar. SLR handlar däremot om uppgifter där eleven måste föra djupare resonemang, alltså kan inte eleven endast kopiera fakta från läromedlet för att besvara en uppgift. Viktigt är här att skilja på SLR, som handlar om att föra resonemang och diskutera, och GLR, som handlar om att lösa matematiska problem genom en
lösningsmetod. De speciella kategorierna växte fram under analysen av läromedlen, då det upptäcktes att de tre ordinarie kategorierna inte räckte för att beskriva alla typer av uppgifter. I tabell 2 ges en slutgiltig kortfattad förklaring till varje uppgiftstyp som analysen utgick ifrån. För exempel på varje uppgiftstyp, se delkapitel 4.3.1.
Tabell 2 - Beskrivning av uppgiftstyper
Uppgiftstyp Förklaring
High relatedness (HR)
Uppgiften kan lösas genom imitation av en tidigare känd lösningsmetod. Lösningsmetoden har då förekommit i en kapitelintroduktion, ett löst exempel eller är samma
lösningsmetod som för en närliggande uppgift.
Special high relatedness (SHR)
Uppgiften kan lösas genom imitation eller kopiering av teori eller begreppsförklaringar som getts tidigare i
läromedlet.
Local low relatedness (LLR) Uppgiften kräver en mindre modifiering av en tidigare känd lösningsmetod.
Global low relatedness (GLR)
Eleven saknar helt lösningsmetod för uppgiften. Ingen lösningsmetod har presenterats, alternativt att en lösningsmetod har presenterats men eleven kan inte rimligen koppla lösningsmetoden till uppgiften i fråga.
Special low relatedness (SLR)
Uppgiften kräver ett djupare matematiskt resonemang, som inte kan imiteras eller kopieras direkt från
läromedlet.
4.2.2 Övriga dimensioner och underkategorier
Den andra dimensionen är svårighetsgrad, vilken kopplar till den indelning av uppgifter som är vanlig i svenska matematikläromedel. Antalet nivåer i denna indelning, liksom hur
nivåerna benämns, skiljer sig åt mellan olika läromedel. Även om vissa läromedel anger svårighetsgrad i tre nivåer så har alla läromedel det gemensamt att uppgifterna är på antingen
(1) grundläggande nivå eller (2) högre nivå i de fall svårighetsgrad är angett. Underkategorin (3) ej angett ges de uppgifter som saknar tydligt angiven svårighetsgrad. Kodningen av
svårighetsgrad baseras alltså på läromedelsförfattarnas val av nivå.
Ytterligare en dimension som tas med i kodningen för att ge svar på studiens andra
frågeställning är avsnittstillhörighet. I läromedlen sker oftast en indelning av innehållet och uppgifterna i avsnitt som har olika syften. För att kunna ta hänsyn till detta i analysen och avgöra om en viss uppgiftstyp är vanligare i en viss typ av avsnitt kodas uppgifterna efter om de är del av (1) ordinarie uppgiftsamling, (2) repetitionsavsnitt och diagnoser eller (3)
specialavsnitt. Den första underkategorin är den som är vanligast i läromedel och uppgifterna
liksom diagnoser är sådana avsnitt som oftast förekommer i slutet av varje kapitel och har funktionen att sammanfatta kapitlets innehåll. Specialavsnitt är sådana delar av boken som skiljer sig från de redan beskrivna avsnittstyperna. Exempel på sådana avsnitt kan vara en sida med uppgifter som särskilt kopplar till matematikens historia, olika typer av gruppaktiviteter eller större utredande uppgifter och introduktioner till nya avsnitt. Att ta med denna kategori i analysen är för att kunna avgöra om en uppgiftstyp förekommer mer eller mindre i olika delar av läromedlen och om det skiljer sig åt mellan läromedlen, därmed av intresse för studiens första frågeställning.
Utöver de tre dimensionerna uppgiftstyp, svårighetsgrad och avsnittstillhörighet kodas också uppgifterna efter vilket läromedel de tillhör och varje uppgift ges ett uppgiftsnummer som beskriver vilket nummer uppgiften är i ordningen av alla uppgifter som tas in för analys i det specifika läromedlet. För spårbarhet tas också sidnumret för sidan uppgiften står på samt det uppgiftsnummer eller eventuellt annat namn som uppgiften har i läromedlet. I uppgifter där det ingår flera deluppgifter analyseras varje deluppgift för sig.
Alla dimensioner och dess underkategorier sammanfattas i följande kodningsmanual (tabell 3) och ett exempel på ifyllt kodningsschema ges i tabell 4, med efterföljande förklaring.
Tabell 3 - Kodningsmanual för studiens innehållsanalys
Dimensioner Underkategorier/kodningsbeskrivning
Lärobok 1. 5000
2. Origo 3. M 3b 4. Exponent
Uppgiftsnummer Uppgiften numreras utifrån ordning i
analysen av läromedlet
Sidnummer i läromedel Sidnummer för uppgiften
Numrering i läromedel Uppgiftens numrering i läromedlet
Avsnittstillhörighet 1. Ordinarie uppgiftssamling
2. Repetitionsavsnitt och diagnoser 3. Specialavsnitt Svårighetsgrad 1. Grundläggande 2. Högre nivå 3. Ej angett Uppgiftstyp 1. HR 2. LLR 3. GLR 4. SHR 5. SLR
Tabell 4 - Exempel på ett ifyllt kodningsschema L är ob ok Upp gift sn u m m er S id n u m m er i lärom ed el Numr er in g i lärom ed el Avsn itt still h ör igh et S vår igh etsgr ad Upp gift styp 2 10 99 2017f 1 1 1
Kodningsschemat används för att dokumentera kodningen av varje enskild uppgift. I exemplet ovan (tabell 4) har uppgift 2017f ur Origo kodats. Uppgiften står på sidan 99, tillhör den ordinarie uppgiftssamlingen, är på grundläggande nivå och är en HR-uppgift.
4.3 Analysförfarande
Analysen, det vill säga kodningen av uppgifter, gjordes läromedelsvis. Det innebär att ett läromedel i taget analyserades. En generell bild av varje läromedel skaffades genom en genomläsning av läromedlens författares beskrivning av läromedlen. Här framgår ofta vilka typer av specialavsnitt som finns och hur läromedlet är uppbyggt. Efter detta gjordes en snabbare överblick av bokens uppgifter, huvudkapitel och delkapitel. Detta gjordes för att kunna välja ut vilka avsnitt och uppgifter som var av intresse för analys.
Alla ”enklare” koder, det vill säga alla utom ”uppgiftstyp”, antecknades i förväg. Därefter var det endast en fråga om att fylla i koden ”uppgiftstyp” för varje uppgift. Kategorierna
uppgiftsnummer, lärobok och sidnummer har endast en kod utan analys bakom. Svårighetsgrad på uppgifterna i den ordinarie uppgiftssamlingen kodades som
”grundläggande” eller på ”högre nivå” utifrån den indelning som fanns i de avsnitten hos alla läromedel. I de fall då läromedlet hade tre uppdelningar av svårighetsgrad kodades alla uppgifter förutom de med den lägsta graderingen som ”högre nivå”. I några läromedel framgick det i författarnas beskrivning att vissa specialavsnitt fokuserar på en högre
kunskapsnivå, och i de fallen gavs alla uppgifter i avsnittet koden ”högre nivå”. Uppgifter där svårighetsgrad inte angetts, vilket var fallet i flera specialavsnitt, tilldelades koden ”ej angett”. Gällande avsnittstillhörighet var ordinarie uppgiftssamling och repetitions- och
diagnosuppgifter något som förekom i alla läromedel, om än med lite olika namn. Övriga avsnitt, vars innehåll och fokus skilde sig en hel del mellan läromedlen, kodades som ”specialavsnitt”.
För att uppnå interbedömarreliabilitet analyserades alla uppgifter i alla läromedel av båda författarna. Ett mer tidseffektivt sätt att koda hade varit att dela upp läromedlen mellan författarna, men det valdes bort eftersom det inte ansågs ge en tillräckligt konsekvent
uppgift skulle kodas. För att dela upp analysen i rimliga delar analyserades ett delkapitel i taget. Steg för steg genomfördes analysen av uppgifterna på varje delkapitel på följande sätt:
1. Genomläsning av delkapitlet i fråga, för att få den kunskap om vilka begrepp och procedurer som presenteras som krävs för att göra en korrekt analys.
2. Analys av varje uppgift utifrån följande steg. Här gavs varje enskild uppgift en kod som läggs in i ett dokument utformat efter kodningsschemat
a. Överblick av uppgiften.
b. Om en lösningsmetod finns, hur ser den ut? Om en lösningsmetod inte finns, vilka resonemang eller fakta behövs för att svara på uppgiften och hur djupa är dessa resonemang?
c. Vid osäkerhet av lösningsmetod, eventuell lösning av uppgiften. d. Tilldelning av kod.
3. Kontroll att båda författarna kodat alla delkapitlets uppgifter på samma sätt. I de fall där kodningen skilde sig åt mellan författarna togs en diskussion kring uppgiften för att ge den en kod som båda författarna var överens om.
4.3.1 Exempel på kodning av uppgiftstyp
HR
Uppgift 3218c i Origo (s. 118) återfinns i delkapitlet ”derivatan av 𝑒𝑘𝑥 och 𝑎𝑥”.
Figur 4 - Exempel på HR-uppgift (Origo, s. 99, uppgift 3218c)
Sedan tidigare har elever fått informationen att funktioner kan deriveras termvis och i detta delkapitels inledning har deriveringsregler för exponentialfunktioner presenterats. Där ges också flertalet lösta exempel på liknande uppgifter, bland annat på derivering av funktionen 𝑔(𝑥) = 4𝑒−𝑥+ 5𝑥2− 𝑒7𝑥. Utifrån detta ansågs uppgiften kunna lösas genom direkt imitation av deriveringsregeln och de lösta exemplen och kodades som en HR-uppgift.
LLR
Uppgift 2313 i Matematik 5000 behandlar derivata kopplat till funktioner som beskriver olika förlopp. Uppgiften förekommer i ett avsnitt där derivatan av polynom introducerats, vilket innebär att eleven nyss börjar använda derivata och inte övat på speciellt många tillämpningar ännu.
Bestäm derivatan av följande funktioner med hjälp av deriveringsreglerna
Figur 5 - Exempel på LLR-uppgift (Matematik 5000, s. 92, uppgift 2313)
Enligt studiens definition av kategorin LLR ska uppgiftslösningen behöva mindre
modifieringar av tidigare kända lösningsmetoder. I uppgiften precis innan den ovan, uppgift (2312b) har eleverna beräknat och tolkat 𝑠′(2) givet att funktionsuttrycket 𝑠(𝑡) = 4𝑡 + 2𝑡2
beskriver sträckan i m som en bil rört sig på tiden 𝑡 sekunder. Således kan de antas ha en färdig lösningsmetod för att också beräkna och tolka 𝑁′(5) vilket efterfrågas i uppgift 2313. Den modifiering som krävs av lösningsmetoden från 2312b är bara steget att tolka ordet ”tillväxthastighet” som ”derivatan av 𝑁(𝑡)”. Därmed kategoriserades uppgiften som en LLR-uppgift.
GLR
Uppgift 2166a i M 3b tillhör avsnittet ”maximi- och minimiproblem”.
Figur 6 - Exempel på GLR-uppgift (M 3b, s. 158, uppgift 2166a)
Uppgiften kodades som en GLR, det vill säga en uppgift där eleverna helt saknar
lösningsmetod och måste skapa en sådan själva. Anledningen till detta är att eleverna inte fått lösa någon liknande uppgift tidigare och heller inte presenterats något exempel som liknar uppgiften. Lösningsmetoden måste skapas av eleven, vilket gör det till en GLR-uppgift.
SHR
SHR är kategorin som innefattar imitation eller kopiering av ”faktakunskaper” som enkelt kan hämtas från läromedlets teoriavsnitt. Följande exempel tillhör specialavsnittet ”Reflektera och diskutera” i Exponent, där elever ska bedöma om ett påstående är sant, falskt eller sant om.
Figur 7 - Exempel på SHR-uppgift (Exponent, s. 175, Reflektera och diskutera: uppgift 1)
Derivatan av exponentialfunktioner presenteras på s. 166 där följande information lyfts fram i en faktaruta: ”Funktionen 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 har derivatan 𝑓′(𝑥) = 𝑒𝑥”. För att kunna ge svar på
En modell för antalet bakterier 𝑁(𝑡) i en bakteriekultur beskrivs av formeln 𝑁(𝑡) = 2500 + 2𝑡2 där 𝑡 är tiden i
timmar. Bestäm tillväxthastigheten då 𝑡 = 5 och tolka resultatet.
Summan av tre sidor i en rektangel är 40 cm. Bestäm rektangelns maximala area.
uppgiften räcker det således att dubbelkolla mot faktarutan några sidor längre bak i boken. Således bedömdes uppgiften vara en SHR-uppgift.
SLR
Svar som inte direkt kan hämtas från läromedlets teorigenomgångar utan kräver självständiga resonemang kategoriseras som SLR. Uppgift 2084 i M 3b är en sådan uppgift:
Figur 8 - Exempel på SLR-uppgift (M 3b, s. 126, uppgift 2084)
Uppgiften bedömdes som en SLR eftersom den inte har en lösningsmetod, utan kräver ett resonemang och ett utforskande. Det handlar om att formulera och skapa en regel, snarare än att finna en metod för ett problem och sedan utföra den metoden. Därför användes inte GLR eller LLR i detta fall. Dessutom handlar det om ett självständigt och utökat resonemang, som inte kan direkt kopieras från en teorigenomgång, vilket utesluter kategorin SHR.
4.4 Metoddiskussion
I varje undersökningsarbete blir tidsaspekten avgörande för mängden data som går att analysera och hur många aspekter av en forskningsfråga som det finns tid att undersöka. Forskningsfrågorna valdes utifrån vad som skulle hinnas med att utforska under den begränsade undersökningsperioden. Det som hade kunnat undersökas utifrån samma syfte hade exempelvis varit vilka exempel som tas upp i läromedlen, vad som betonas i
genomgångar och hur dessa knyter ihop viktiga begrepp. På så vis hade studien genererat en mer heltäckande bild av läromedlens möjlighet till att skapa förståelse för derivata hos elever. Från början var avsikten att grunda analysen kring svårigheter funna i den tidigare
genomförda litteraturstudien (Johansson & Grönbäck, 2020). Det innebär att
läromedelsanalysen var menad att utgå ifrån kategorierna respektive underkategorierna som behandlade innehåll och typ av svårighet. Efter ett pilottest upptäcktes det dock att det var en svår gränsdragning mellan vad som är en begreppssvårighet och en procedursvårighet, samt att många uppgifter behandlade båda. Risken var därmed att kodning och analys utifrån denna kategorisering skulle blivit alltför godtycklig och subjektiv, eftersom det inte var möjligt att ta fram klara och tydliga definitioner av kategorierna kopplat till uppgifter. Dock fick studiens kategorisering vara styrande i urvalet av uppgifter, där enbart uppgifter togs med som ansågs vara del av de övergripande innehållskategorierna derivata och derivering och tillämpningar
av derivata och samband med andra begrepp.
Gällande metoden är en fördel att det är en relativt tydlig kodning som ska genomföras; det finns definitioner som är relativt enkla att förhålla sig till som kodare. Detta hävdar Bryman
Antag att du vet vilken enhet som finns på y-axeln och på x-axeln. Formulera en regel hur du kan bestämma derivatans
(2018, s. 377) är en av den kvantitativa innehållsanalysens starka sidor, det vill säga
transparensen som uppstår vid en kodning som denna. En imitation av studien från en annan författare skulle förmodligen ge liknande resultat vid användning av samma metod. Samtidigt är det inte möjligt för en annan kodare att upprepa exakt samma resultat – eftersom det alltid innefattar någon form av subjektiv tolkning att koda och bedöma uppgifter. I relation till detta skriver Bryman att kodarna ”måste bygga på den vardagskunskap de har som medlemmar av en viss kultur för att kunna koda allt det material de möter” (s. 378). Detta innebär att
författarnas roll som lärarstudenter är avgörande för de tolkningar som genomförts under studien. Alltså är det rimligt att tro att personer i liknande kunskapsposition hade kunnat komma fram till ungefär samma resultat, men inte personer utanför den så kallade ”kulturen” som Bryman tar upp.
Bryman (2018, s. 378) skriver även att innehållsanalys är en ”icke-reaktiv” metod, alltså att materialet inte reagerar på att det forskas på. Så är inte fallet i exempelvis kvalitativa studier av människor genom intervjuer eller observationer. Detta stärker validiteten i denna studie då det som mäts faktiskt mäts; läromedlet ändrar inte form eller åsikt för att det forskas på. Gällande svagheter med metoden skriver Bryman att en innehållsanalys endast är så bra som de dokument som den bygger på är (s. 379). I förhållande till denna studie kan det bland annat betyda att vi inte vet hur ofta en viss lärobok förekommer i Sverige, vi vet endast att de
används i någon grad. Resultatet hade kunnat påverkas av om en av böckerna används av en majoritet av Sveriges matematiklärare, och de andra endast av ett fåtal. Metoden ser alla läromedel som lika väl förekommande, vilket inte nödvändigtvis bör vara sant.
Vidare gjordes vissa urval av uppgifter i olika avsnitt. Exempelvis valdes inga uppgifter på ordinarie uppgiftssamling bort, medan det gjordes sållningar på repetitions- och diagnosdelar, samt på specialavsnitt. Detta gjordes eftersom vissa kapiteltester och repetitionsdelar
fokuserade på ett helt kapitel där derivata endast utgör en liten del av innehållet. Därför ansågs uppgiftsfloran bli missvisande om uppgifter som inte alls behandlade derivata kodades endast eftersom de var med i repetitionsavsnitt som också innehöll derivatauppgifter.
Anledningen till att det däremot inte skedde ett urval i den ordinarie uppgiftssamlingen var att det ansågs som ett medvetet beslut av läromedelsförfattarna att behandla annat innehåll kopplat till derivata. Om det exempelvis förekommer en uppgift med deluppgifter a-d, där a handlar om att beräkna ett enkelt funktionsvärde för att sedan använda detta värde kopplat till derivata i b-d, behölls a-uppgiften. Det ansågs då finnas en rimlig koppling mellan innehåll som inte direkt behandlade derivata och innehåll som behandlade derivata.
Beslutet att båda författarna kodade alla uppgifter, i stället för att dela upp uppgifterna, ökade studies reliabilitet. Detta eftersom en sambedömning sker och båda kodarna måste vara överens om alla uppgifter, således uppnås interbedömarreliabilitet. Även om båda författarna kodade alla uppgifter, finns givetvis aspekten av att det är omöjligt att skapa en kategorisering där alla uppgifter i alla läromedel passar in. Alla uppgifter har delats in enligt premissen att en uppgift ska delas in i den kategori den bäst passar in i. Det innebär givetvis att det finns
uppgifter som passar ungefär lika bra på flera kategorier. En bedömning har då gjorts gällande vilket av dessa alternativ som passar bäst in på uppgiften.
I kodningsarbetet användes först enbart uppgiftstyperna HR, LLR och GLR, men under kodningsarbetet blev det tydligt att vissa uppgifter inte passade in i någon av dessa kategorier. Det handlade då om uppgifter som inte var vare sig imitation eller problemlösning –
exempelvis resonemang eller kopiering av fakta som presenterats i teorigenomgångar. Därför konstruerades kategorierna SHR och SLR som ett komplement till de kategorierna från Jäder et al. (2020). Dessa kategorier växte alltså fram under analysens gång, eftersom den ordinarie kategoriseringen inte ansågs tillräckligt heltäckande efter att flera läromedel var kodade. Detta innebär att en genomgång av de läromedel som redan kodats utan dessa kategorier var
tvungen att genomföras. Denna genomgång syftade till att upptäcka de uppgifter som passade bättre in på de nyskapade kategorierna än de ursprungliga. Hade alla fem kategorier varit med från början av analysen hade eventuellt vissa uppgifter som inte fångades upp av
genomgången fångats upp från början.
Skillnaden mellan HR, LLR och GLR är även en skillnad som till viss del är subjektiv. HR-uppgifter definierades som HR-uppgifter som elever har en färdig lösningsmetod till, antingen genom ett exempel i en genomgång eller genom tidigare uppgifter. En problematisk aspekt är här att lösningsmetoder hämtade från tidigare genomförda uppgifter förutsätter att eleven i fråga faktiskt löst den tidigare uppgiften. I studien antogs att lösningar till tidigare uppgifter var kända lösningar, vilket inte stämmer överens med verkligheten då alla elever inte genomför alla uppgifter. Därför kombinerades även det antagandet med en typ av ”avståndsbedömning” – det vill säga att en kontroll gjordes av hur långt bak en känd lösningsmetod var från uppgiften som ska kodas. Var lösningsmetoden som fåtts från en tidigare uppgift endast några uppgifter bort bedömdes det inte på samma sätt som om lösningsmetoden presenterats i en uppgift som fanns 30 sidor längre bak i boken. Dessa var subjektiva bedömningar som påverkade huruvida en uppgift kodades som HR, LLR eller GLR. I relation till detta skriver Sidenwall (2019 s. 4–5) att vissa elever kan ha en
lösningsmetod som andra elever inte har, samt att lösningsmetoder är något som man kan skaffa sig med tiden. Alltså beror elevers upplevelse av uppgifter på om de har en känd lösningsmetod eller inte, vilket i sin tur påverkas av tidigare genomföra uppgifter. Detta innebär för denna studie att för en elev kan en uppgift vara en LLR-uppgift, medan för en annan kan det vara en GLR-uppgift.
5. Resultat och analys
I detta kapitel presenteras resultatet av kodningen av läromedlens uppgifter i tabeller och med kommentarer som förklarar och lyfter fram de tydligaste dragen i resultatet. Presentationen görs i tre delkapitel utifrån studiens tre frågeställningar som fokuserar olika aspekter och fördelningar av de analyserade uppgifterna. Totalt analyserades 2595 uppgifter i de fyra läromedlen. Alla procentsatser är avrundande, vilket innebär att det existerar en viss felmarginal.
5.1 Övergripande fördelning av uppgiftstyper i läromedlen
Studiens första frågeställning är följande:
• Finns det ett generellt mönster i vilken typ av uppgifter som betonas för alla läromedel, eller skiljer sig det åt mellan läromedel?
I tabell 5, figur 9 och figur 10 redogörs för fördelningen av uppgifterna efter uppgiftstyp i vart och ett av läromedlen, samt antalet analyserade uppgifter i varje läromedel av varje
uppgiftstyp.
Tabell 5 - Utfall av kodning efter uppgiftstyp i de fyra läromedlen. Andel av det totala antalet uppgifter i läromedlet angivet först med antal uppgifter av varje typ i parentes.
5000 Origo M 3b Exponent HR 69% (518) 62% (381) 73% (383) 61% (426) LLR 19% (140) 19% (115) 15% (78) 22% (156) GLR 8% (58) 11% (64) 6% (31) 11% (71) SHR 4% (27) 6% (35) 4% (19) 5% (33) SLR 2% (13) 4% (22) 3% (14) 2% (11) HR+SHR 72% (545) 67% (416) 77% (402) 66% (459) LLR+GLR+SLR 28% (211) 33% (201) 23% (123) 34% (238)
Figur 9 - Fördelning av uppgiftstyper i läromedlen
Figur 10 - Fördelning av HR+SHR respektive LLR+GLR+SLR i läromedlen
Ur tabell 5 och figur 9-10 framgår det tydligt att den större delen av derivatarelaterade uppgifter utgörs av HR-uppgifter i samtliga läromedel, mellan 62% och 73%. Även sett till fördelningen av övriga uppgiftstyper (tabell 5) så finns det likheter mellan läromedlen i det att den inbördes storleksordningen på andelarna är densamma för alla läromedel, det vill säga att andelen HR-uppgifter är störst, andelen LLR-uppgifter är näst störst och så vidare. Storleken på andelarna för en viss uppgiftstyp skiljer sig något åt mellan de olika läromedlen, men vid en jämförelse av alla fyra så är det ingen storlek hos ett specifikt läromedel som skiljer sig mycket åt från övriga läromedel. Däremot framträder tydliga ytterligheter i fördelningen mellan antalet imitationsuppgifter (HR+SHR) jämfört med uppgifter som kräver
problemlösning och djupare resonemang (LLR+GLR+SLR), där M 3b har en betydligt större andel imitationsuppgifter (77%) än Origo och Exponent (67% respektive 66%).
0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 5000 Origo M 3b Exponent
FÖRDELNING AV UPPGIFTSTYPER I
LÄROMEDLEN
HR LLR GLR SHR SLR 72% 67% 77% 66% 28% 33% 23% 34% 5 0 0 0 O R I G O M 3 B E X P O N E N TFÖ RDE LNI NG AV UPPG I FT ST YPE R I LÄ RO ME DLE N
