Elevers svårigheter gällande begreppet ”derivata”

Elevers svårigheter gällande

begreppet ”derivata”

- en systematisk litteraturstudie

Students’ Difficulties Regarding the Concept of ”Derivatives”

- a Systematic Literature Study

Feryal Özkayalar Güven

Fakulteten för hälsa, natur- och teknikvetenskap Matematik / Ämneslärarprogrammet

Avancerad nivå / 15hp Handledare: Sorina Barza Examinator: Jorryt van Bommel 2020-06-05

Sammanfattning

Den här studien är en systematisk litteraturstudie som går ut på att presentera och analysera vad forskning visar beträffande svårigheter som elever möter inom området ”derivata” samt hur undervisningen kan utformas för att stötta eleverna i sitt lärande inom ”derivata”. Via systematiska sökningar som skedde både i databaser och manuellt valdes artiklar som passade in på urvalskriterier. Artiklarna analyserades utifrån frågeställningarna. Elevens svårigheter i sin förståelse för begreppet ”derivata” delades upp i tre huvudsakliga kategorier: tangentens ekvation och dess lutning i förhållande till ”derivata”, gränsvärde i förhållande till ”derivata” och förändringshastighet i förhållande till ”derivata”. Studien fann att eleverna uppvisade svårigheter när de gäller tangenten, tangentens lutning, förändringshastighet och gränsvärde. Att eleverna hade svårt med att förstå begreppet ”derivata” gjorde att de fick även svårare att se sambandet mellan alla andra begrepp. Gällande undervisningens utformning fann studien att användandet av olika representationer och digitala verktyg förebygger elevens svårigheter för begreppet ”derivata”.

Nyckelord

Abstract

This study is a systematic literature study aiming at presenting and analyzing what research shows regarding difficulties students encounter in the field of derivatives and how teaching can be designed to support students in their learning in derivatives. Through systematic searches which were done both in databases and manually, articles that matched given criteria were selected. The articles were analyzed based on the research questions. The students' difficulties in understanding the concept of derivatives were divided into three main categories: the tangent equation and its slope in relation to derivatives, the limit value in relation to derivatives and the rate of change in relation to derivatives. The study found that students experienced difficulties in the concept of the derivative, such as the tangent, the slope of the tangent, the rate of change and the limit. The fact that the students had difficulty with the concepts made them even more difficult to understand the connection between these concepts. Regarding the teaching, the study found that different representations and the using of digital tools prevent the students' difficulties in the concept of derivatives.

Keywords

Innehållsförteckning

1 INLEDNING ... ……1

1.1 SYFTE ... ….2

1.1.1 Frågeställningar ... 2

2 BAKGRUND ... 3

2.1 DERIVATA - HISTORISK OCH VETENSKAPLIGT PERSPEKTIV... 3

2.2 DERIVATA I STYRDOKUMENT ... 5

2.3 DERIVATA I MATEMATIKEN…….………..………..6

2.4 LÄRANDE – BEGREPPSBILD OCH BEGREPPSDEFINITION……….…8

2.4.1 Tröskelbegreppet derivata………...9

2.4.2 Derivata från process till objekt………9

2.4.3 Begreppsdefinitioner och begreppsbilder………..10

2.4.4 Begreppsbildning-operationell och strukturell förståelse………….…10

3 METOD……….……….12

3.1 LITTERATURSÖKNING………..………..12

3.2 AVGRÄNSNINGAR OCH URVAL………..………12

3.3 ANALYSMETOD………15

4 RESULTAT………..…….17

4.1 ELEVERS SVÅRIGHETER GÄLLANDE BEGREPPET DERIVATA………..17

4.1.1 Tangentens ekvation och dess lutning i förhållande till derivata…...17

4.1.2 Gränsvärde i förhållande till derivata………...18

4.1.3 Förändringshastighet i förhållande till derivata………19

4.2 UNDERVISNINGSUTFORMNING FÖR ATT UNDERLÄTTA ELEVERS

FÖRSTÅELSE GÄLLANDE BEGREPPET DERIVATA………21

4.2.1 Att betona betydelsen av beräkningen av derivatan i en punkt med

hjälp av definitionen samt använda mer dess olika representationer…….21

4.2.2 Att öka användandet av digitala verktyg vid undervisningen av

begreppet derivata……….23

5 DISKUSSION………26

5.1 METODDISKUSSION……….……….26

5.2 RESULTATDISKUSSION………..27

5.2.1 Resultatdiskussion av elevers svårigheter gällande begreppet

derivata………...27

5.2.2 Resultatdiskussion av undervisningsformning för att underlätta

elevers förståelse gällande begreppet derivata….………..………28

5.3 VIDARE FORSKNING ………..………..29

REFERENSER………...………..30

1

1 Inledning

Begreppet ”derivatan” infördes av Fermat på 1630-talet och vidareutvecklades av Newton, Leibniz, Lagrange och Cauchy, som förändringen av avståndet i tid, eller som ett gränsvärde av en ändringskvot som representerade medelhastigheten. Viktiga exempel som hastighet, inflation, ström och acceleration visar derivatans viktiga betydelse i vardagslivet eller i andra vetenskapliga ämnen.

Elever har första kontakten med begreppet ”derivata” i kurserna Matematik 3b eller Matematik 3c i den svenska gymnasieskolan. ”Derivata” förekommer också i den påföljande kursen, Matematik 4. Senare i elevens vidare studier i skolan, i Analysen, kommer eleverna att få jobba med olika tillämpningar av ”derivata”, t.ex. optimering, differentialekvationer eller integraler. ”Derivata” är centralt även i andra områden, exempelvis fysik, kemi, biologi och teknik m.m. De olika tillämpningsområdena visar betydelsen av ”derivata” samt varför det är mycket viktigt med elevens förståelse för begreppet ”derivata”. Ryve (2006) anser att begreppsförståelsen för eleven är en viktig förmåga. Denna förmåga gör att eleven ser relationen mellan matematiska idéer och procedurer. Elevens ökade begreppsförståelse underlättar deras vidareutveckling i matematikämnet (Ryve, 2006). Å andra sidan elevens brister i begreppsförståelse för ”derivata” påverkar elevens förståelse för integraler och differentialekvationer. På grund av detta är det viktigt att en lärare planerar ett lämpligt undervisningssätt för att ge eleverna möjlighet att utveckla begreppsförståelse.

Undervisning i matematik är i stor utsträckning lärobokstyrd (Ryberg, 2014). De flesta läroböcker har ett likvärdigt upplägg på begreppet ”derivata”, anser Ryberg (2014). ”Derivata” kan representeras symbolisk, grafisk, numerisk, visuell och verbal. IT-användningen har gjort det möjligt att representera och visualisera begreppet ”derivata” på nya sätt, men trots detta läggs stor del av tiden till att behandla ”derivata” endast symboliskt (Ryberg, 2014).

Under min verksamhetsförlagda utbildning mötte jag elever som hade det svårt med begreppet ”derivata”. Även en del lärare som jag mötte ansåg att begreppet ”derivata” är ett mångfacetterat begrepp vilket gör det svår för eleverna att förstå det. Dessutom visar forskningar att eleverna har svårigheter med att förstå ”derivata” både på gymnasie- och universitetsnivå (Ubuz, 2001; Bingölbali, 2008; Orton, 1983). Detta har lett till att jag har valt att göra en litteraturstudie med fokus på svårigheterna som eleverna har gällande begreppet ”derivata” samt hur lärarna formar sin undervisning för att underlätta elevernas förståelse för detta.

2

1.1 Syfte

Syftet med denna litteraturstudie är att redovisa och analysera forskningen beträffande en del svårigheter som elever har inom området ”derivata” samt hur undervisningen kan vara utformad för att stötta eleverna i sitt lärande inom ”derivata”.

1.1.1 Frågeställningar

Utifrån studiens syfte kommer följande frågeställningar att besvaras:

• Vilka svårigheter vid inlärning av begreppet ”derivata” är vanligt förekommande hos elever?

• Hur kan undervisningen utformas, utifrån befintlig forskning, för att underlätta förståelse av begreppet ”derivata”?

3

2 Bakgrund

I följande avsnitt behandlas en kort historisk beskrivning och vetenskapligt perspektiv av ”derivata”. Vidare följer ett avsnitt om vad läroplanen för den svenska skolan tar upp gällande ”derivata” och derivatans definition. Utöver detta presenteras det teoretiska ramverket som använts i studien, vilket innehåller beskrivningar av begreppsbilder och begreppsdefinition.

2.1 ”Derivata” - historisk och vetenskapligt perspektiv

Innan begreppet ”derivata” utvecklades var metoderna som användes för att bestämma tangenter krångliga. Det var de gamla grekiska matematikerna som använde olika metoder för att konstruera räta linje som tangenter. Grekerna definierade tangenten som en rät linje som skär en cirkel eller en parabel i en enda punkt. På den tiden användes inte symboler utan allt behandlades geometriskt. Det hände inte mycket inom detta område fram till 1600-talet då, nya upptäckter förde utvecklingen av matematiken framåt (Alfredsson, Bråting, Erixon & Heikne, 2013).

Rene Descartes (1596–1650) bidrag till matematiken var att han införde rektangulära koordinatsystemet och visade hur geometrin och algebra hängde ihop. Hans metod för att bestämma tangenten utgick från att anpassa en cirkel så att endast en punkt blev gemensam med kurvan. Descartes visade med sin metod att en linje som tangerar en kurva i en punkt är en tangent. Detta gjorde han genom att bestämma en normal till punkten. Metoden var svår och besvärlig men fungerade lätt på enkla kurvor. Descartes metod byggde på undersökandet av ett polynom. I metoden nämner Descartes att två storheter ”närmar sig varandra” vilket motsvarar ett slags gränsvärdestänkande (Lund, 2002; Edwards, 1979).

Pierre de Fermat (1601–1665) skrev om tangentmetoden i sin avhandling ”Methodus ad

disquirendam maximam et minimam” (Metod för att bestämma maxima och minima) redan

1629 men blev inte känd förrän år 1636. Descartes som lade fram sin tangentmetod 1637 kritiserade Fermat för sin metod. Fermats tangentmetod användes för att bestämma maximi- och minimipunkter för polynomfunktioner samt bestämma tangentens lutning. Hans metod uttryckt med modern notation, visas genom att bestämma tangenter till parabeln som är given av ekvationen 𝑦 = 𝑥2 (Lund, 2002; Edwards, 1979)

Det avgörande steget till utvecklingen av begreppet ”derivata” togs av två personer, oberoende av varandra. En av dem var Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716) och den andra var Isaac Newton (1642–1727). Leibniz och Newton införde begreppet ”derivata” med räknelagar för

4

derivering som krävdes för olika tillämpningar. Leibniz och Newton lade fram sina egna versioner av differentialkalkylen (Alfredsson, m.fl., 2013).

Genom att betrakta en kurva i ett koordinatsystem gav Leibniz sin tolkning gällande differentialkalkylen. Han föreställde sig att alla kurvor består av en mängd av oändligt små linjesträckor. Leibniz definierade differensen mellan två på varandra följande x värden som differentialen dx och på samma sätt definierade han differentialen dy av y (se figur 1 nedan). Differentialen dx anses vara oändligt liten. Med detta visade Leibniz att tangenten till kurvan i en punkt (x, y) är linjen som förlänger det små linjesträckor som är en del av kurvan i (x, y). Han introducerade riktningskoefficienten för tangenten 𝑑𝑦

𝑑𝑥. Storheten 𝑑𝑦

𝑑𝑥 tolkas som tangentens

riktningskoefficient. För en deriverbar funktion y=f(x) gäller 𝑓´(𝑥) vilket är en modern beteckning av ”derivata”. Funktionsbegreppet var inte definierad i nuvarande form, under Leibnizs tid. Han betecknade riktningskoefficienten med 𝑑𝑦

𝑑𝑥 (Lund, 2013; Edwards, 1979).

Figur 1. Variablerna x och y i sambandet 𝑥 = 𝑦2 _{samt differentialerna dx och dy i extrem}

förstoring

Newton undersökte kurvorna som banor för en punkt som rör sig i planet. Han beskrev punktens rörelse i planet med variablerna x och y, där båda storheterna varierar med tiden. I modern matematik kan man säga att x och y är funktioner av tiden. En storhet som varierar med tiden (som till exempel x) kallar Newton, en ”fluent”. Hastigheten med vilken en ”fluent” varierar kallar Newton för ”fluxion”. Fluxionen av x betecknas 𝑥̇ = 𝑥̇(𝑡) och y betecknas

𝑦̇ = 𝑦̇(𝑡). Newton anser att vid en given kurva är även rörelsens hastighet given dvs man kan beräkna rörelsens hastighet för en given punkt i en bestämd kurva (Lund, 2013; Edwards, 1979).

5

Figur 2. Förhållandet 𝑦̇

𝑥̇ mellan fluxionerna 𝑥̇ och 𝑦̇ är lika med riktningskoefficienten för

tangenten

Hastigheten för en punkt av en kurva beräknades genom att rita en parallellogram med sidorna i x och y- led (se figur 2 ovan). Diagonalen i parallellogrammen anger hastigheten och riktningen för punktens rörelse. Hastighetens riktning bestämmer då tangentensriktning. Förhållandet 𝑦̇

𝑥̇ mellan ”fluxionerna” 𝑥̇ och 𝑦̇ är lika med riktningskoefficienten för tangenten.

Då är tangentens riktningskoefficient 𝑦̇

𝑥̇. Newton försökte definiera begreppet ”gränsvärde”

men han lyckades inte (Lund, 2013; Edwards, 1979).

Leibniz och Newton kallas för infinitesimalkalkylens upptäckare. De jobbade oberoende av varandra, Newton var i England och Leibniz var i Frankrike. Differentialkalkylen tillhör detta område i matematiken (Lund, 2013; Edwards, 1979).

Differentialkalkylen vidareutvecklades och användes, efter Leibniz och Newton, främst inom ingenjörsverksamhet, fysik och astronomi. Under 1700-talet blommade användningen av differentialkalkylen. Tekniken inom ämnet finslipades, man började studera kurvor, extremvärden samt krökning. Differentialekvationer ställdes upp och nya lösningsmetoder uppfanns samt utvecklade variationskalkylen (Lund, 2013).

Differentialkalkylen var väldigt användbar och betraktades som ett redskap som möjliggjorde att erhålla korrekta resultat inom många områden. De mest uppseendeväckande resultat uppnåddes inom astronomi. Infinitesimalkalkylen gjorde det möjligt att härleda Keplers lagar för planeters rörelse i solsystemet (Lund, 2013).

2.2 ”Derivata” i Styrdokumenten Gy11

Begreppet ”derivata” introduceras i kurserna Matematik 3b eller Matematik 3c (Skolverket, 2011). Därefter förekommer det i den följande kursen Matematik 4. Det centrala innehållet

6

gällande ”derivata” för 3b och 3c är samma. Men centrala innehållet för Matematik 4 är fördjupning på de tidigare momenten för ”derivata”.

Det centrala innehållet i styrdokumentet för matematik 3b eller 3c

• ”Begreppen sekant, tangent, ändringskvot och ”derivata” för en funktion.

• Härledning och användning av deriveringsregler för potens- och exponentialfunktioner samt summor av funktioner.

• Algebraiska och grafiska metoder för bestämning av derivatans värde för en funktion, såväl med som utan numeriska och symbolhanterande verktyg.

• Algebraiska och grafiska metoder för lösning av extremvärdesproblem inklusive teckenstudium, andraderivatan och användning av numeriska och symbolhanterande verktyg.

• Samband mellan en funktions graf och funktionens första- och andraderivata.

• Begreppen primitiv funktion och bestämd integral samt sambandet mellan integral och ”derivata”.

(Skolverket, 2011) Det centrala innehållet i styrdokumentet för matematik 4

• ”Härledning och användning av deriveringsregler för trigonometriska, logaritm-, exponential- och sammansatta funktioner samt produkt och kvot av funktioner”.

(Skolverket, 2011)

2.3 ”Derivata” i matematiken

Följande definition av ”derivatan”, som används idag gavs av Augustin-Louis Cauchy (1789– 1857).

Låt en funktion f vara definierad i en omgivning av en punkt 𝑥₀. Funktionen f sägs vara deriverbar i punkten 𝑥0 om gränsvärdet, till ändringskvoten

𝑓(𝑥0 +ℎ)−𝑓(𝑥0 )

7

Gränsvärdet kallas ”derivatan” av f i 𝑥₀ och betecknas 𝑓´ (𝑥₀) (Persson & Böiers, 2010;

Månsson & Nordbeck, 2011).

Det finns många olika beteckningar för ”derivatan” av en funktion i en punkt. Några av dessa notationer är y´, 𝑦̇, 𝑑𝑦 𝑑𝑥, 𝑓´(𝑥), 𝑑𝑓 𝑑𝑥, 𝑑 𝑑𝑥𝑓, Df eller 𝐷𝑓(𝑥). Notationerna dx, dy och 𝑑𝑦

𝑑𝑥 introducerades av Leibniz. Första ”derivatan” betecknas av 𝑑𝑦 𝑑𝑥,

𝑑𝑓 𝑑𝑥, 𝑑

𝑑𝑥 𝑓 idag. Notationer 𝑦̇ introducerades av Newton.

En av den vanligaste moderna notationen är 𝑓´(𝑥) introducerades av Lagrange (Edwards, 1979). Om en funktion f är deriverbar i en punkt 𝑥₀ betyder att grafen till funktionen f har en tangent i punkten (𝑥₀, 𝑓(𝑥₀)). ”Derivatan” 𝑓´(𝑥₀) är riktningskoefficienten (eller lutningen) för tangenten i denna punkt (Persson & Böiers, 2010).

∆𝑦 ∆𝑥= 𝑓(𝑥0+ ℎ) − 𝑓(𝑥0) (𝑥0+ ℎ) − 𝑥0 =𝑓(𝑥0+ ℎ) − 𝑓(𝑥0) ℎ Derivatans definition lim ℎ→0 𝑓(𝑥0+ ℎ) − 𝑓(𝑥0) ℎ

Figur 3. Geometrisk tolkning av ”derivata”-Tangenten och differenskvoten

Ett annat ekvivalent sätt att definiera ”derivatan” i en punkt är med hjälp av höger och vänster ”derivatan”. Nämligen, en funktion är deriverbar i en punkt om och endast om både höger och vänster ”derivatan” existerar och är lika stora. Om en funktion f är derivarbar i en punkt så är den självklart kontinuerlig i punkten. Omvändningen av detta gäller inte. En funktion kan vara kontinuerlig i en punkt utan att vara deriverbar i punkten. Exempelvis, för funktionen f=|x| har ju negativ vänster ”derivata” och positiv höger ”derivata” i punkten. Denna funktion är kontinuerlig överallt men inte deriverbar i 0.

8 Figur 4. f: y=∣x∣

Om en funktion är deriverbar i varje punkt av en mängd kan man definiera en funktion som kallas ”derivata”. På detta sätt kan man härledda, med hjälp av definitionen, deriveringsregler för elementära funktioner och deriveringslagar för olika operationer som man kan utföra mellan funktioner. Detta förenklar avsevärt beräkningen av ”derivatan” i en punkt och gör att man kan undvika gränsvärdet. Derivator kan användas mycket lättare i optimeringsproblem och modellering av olika fenomen.

2.4 Lärande - Begreppsbild och begreppsdefinition

I styrdokument Gy11, (Skolverket, 2011), framgår det att undervisningen i matematik ska ge eleverna förutsättningar att använda och kunna beskriva innebörden av olika matematiska begrepp och även kunna samband mellan dessa begrepp. Matematiska begrepp är viktiga byggstenar i matematik (Skolverket, 2017).

Lärande med förståelse är något som har diskuterats under lång tid och är än idag aktuellt i dagens lärandeteoretiska diskussion (Skot, Jess, Hansen & Lundin 2010).

Matematik ska läras med förståelse men det är inte självklart om vad som behöver göras för att det ska kunna ske. Skot, m.fl. (2010) anser att begrepp och färdighet inte bör vara isolerade i elevens kunskaper utan eleven bör få möjlighet att finna och konstruera sambandet mellan de. Matematiken framträder som en sammanhängande konstruktion av begrepp (Skot, m.fl., 2010). Exempelvis gränsvärde, förändringskvot, ”derivata” i en punkt, ”derivata” som funktion etc. Enligt Carpenter och Lehrer behöver eleverna reflektera kring sina matematiska erfarenheter och ges tillfälle till att undersöka nya begrepp och metoder så att de ska få förståelse för sitt lärande. Författarna anser att det är viktigt att en elev inte bara lär sig en procedur utan får även möjlighet till att göra det matematiska innehållet till sitt eget. Dessutom påpekar författarna att matematiklärande med förståelse upprättar relationer till det som eleven kan och det nya som

9

eleven ska lära sig. Författarna tillägger även vikten av att eleverna uttrycker sin matematiska förståelse i tal, skrift, teckningar, diagram, matematiska symboler (Skot, m.fl., 2010).

2.4.1 Tröskelbegreppet ”derivata”

I matematiklärande med förståelse är matematiska begrepp viktiga för att de fungerar som byggstenar i matematiken (Pettersson, 2011). Matematikkursen innehåller många begrepp, vissa av begreppen har eleverna mött tidigare som funktionsbegreppet medan andra är helt nya, såsom ”derivata”. Enligt Pettersson (2011) är förståelse för vissa begrepp viktigare än andra begrepp för elevens matematiska utveckling. För att kunna tillgodogöra sig innehållet i undervisningen bör eleven behärska dessa begrepp. ”Derivata” är ett exempel på sådant begrepp. ”Derivata” är ett tröskelbegrepp, enligt Pettersson (2011). Författarna anser att tröskelbegrepp är svårt för de flesta elever att lära sig men när de väl har gjort det så öppnar det sig nya möjligheter till att lära sig matematik på. Det ses som en tröskel för att när en elev väll har passerat denna tröskel så öppnar sig en helt ny vy över det matematiska området (Pettersson, 2011). Det kan vara tillexempel att tidigare dolda samband mellan olika begrepp blir synliga genom att gamla kunskaper i olika matematiska områden kan kopplas ihop med varandra. Författarna poängterar att tiden som läggs ned för att eleverna ska tillgodogöra sig kunskaperna i tröskelbegreppet som ”derivata” är väl använd tid.

2.4.2 ”Derivata” från process till objekt

Hiebert och Leferves (1986) forskning visar att elevers inlärning i matematik bygger på procedurell förståelse istället för begreppsmässig förståelse. På grund av detta har eleven svårare att förstå begreppen och svårare att förstå sambanden mellan olika begrepp. Begreppsmässig förståelse ger eleven en djupare förståelse för samband mellan andra matematiska begrepp (Hiebert och Leferve, 1986). Ett exempel är en elev som ska skriva tangentens ekvation i punkt till en given funktion och kan hitta ”derivatan” för funktionen i punkten. Om eleven inte kan besvara vad ”derivatan” i en punkt innebär då har eleven brister i sin förståelse för begreppet ”derivata”.

För att kunna förstå och arbeta med begreppet ”derivata” ställs höga krav på matematisk förståelse samtidigt ställs höga krav på kunskap inom olika delområden som har samband med ”derivata” inom matematik (Tall, 1985). Enligt Tall (1985) får eleverna lära sig olika matematiska begrepp utan att få en helhetsförståelse.

10

Enligt Pettersson & Brandell (2017) utvecklas elevernas begreppsförståelse från ”process” till ”objekt”. Författarna påpekar att vägen för full förståelse av begreppet ”derivata” från process till objekt är komplicerad. Det som processen komplicerad är att ”derivata” inte kan ses som ett enda objekt. ”Derivatan” kan uppfattas som på tre sätt, nämligen lokalt objekt, globalt objekt eller obekant i en ekvation (Pettersson & Brandell, 2017). Författarna menar att ”lokalt objekt” beskriver värdet hos ursprungsfunktionen i en punkt, dvs lutningen av en tangent i denna punkt. ”Globalt objekt” innebär att ”derivatan” är en funktion som är knuten till ursprungsfunktionen och kan ses som ett mått på funktionens förändringshastighet (Pettersson & Brandell, 2017). ”Derivatan” kan även vara en ”obekant i en ekvation”, till exempel i differentialekvationer. Pettersson & Brandell (2017) anser att sambandet mellan de olika objekten med dess egenskaper inte är synligt för eleverna.

2.4.3 Begreppsdefinitioner och begreppsbilder

Begreppet derivatans förståelse för elever nämns ofta i Tall och Vinner (1981). De visar hur dessa utvecklas. Tall och Vinner (1981) använder sig av begreppsbild och begreppsdefinition för att definiera begrepp.

Enligt Tall och Vinner (1981) är begreppsbild den kognitiva strukturen som innehåller tankar, alla mentala bilder, egenskaper, metoder m.m. som en individ medvetet eller omedvetet relaterar till ett givet begrepp. Författarna definierar begreppsdefinition som en sammansättning av ord eller tecken som individen använder sig av vid beskrivning av ett matematiskt begrepp. Begreppsbilder uppstår genom upplevelser som individen har byggt upp via erfarenheter. Författarna anser att tidigare erfarenheter kan klargöra betydelsen av nya fenomen när dessa uppträder i ett nytt sammanhang. Individen skapar en egen uppfattning utifrån begreppsbilden och reagerar olika beroende på vilken situation som begreppet dyker upp i (Tall & Vinner, 1981). Författarna påpekar att en individ lär sig någonting när det uppstår konflikt mellan begreppsbilden och begreppsdefinitionen. Begreppsbilden förändras när individen lär sig något nytt (Tall & Vinner, 1981). En faktor som kan hindra inlärningen av begreppsdefinitioner är när en konflikt uppstår då begreppsbilden inte skiljer sig från en annan begreppsbild (Tall & Vinner, 1981).

2.4.4 Begreppsbildning-operationell och strukturell förståelse

Sfard (1991) fokuserade på begreppsbildning och elevens synsätt på begrepp i sin studie. Man har en begreppsbildning om vissa matematiska färdigheter anses utvecklade. De kan vara

11

operationella och strukturella (Sfard, 1991). Operationell begreppsbildning handlar om processer där begreppet anses vara ett verktyg. Strukturell begreppsbildning handlar om att se abstrakta matematiska begrepp som ett objekt. Enligt Sfard (1991) är dessa färdigheter oförenliga och att det finns ett samspel mellan färdigheter vid inlärning. En operationell förståelse av ett begrepp kan bli strukturell och en strukturell förståelse kan bli operationell. Sfard (1991) klassificerar övergången från operationell begreppsbildning till strukturell begreppsbildning i tre stadier: internalisering (interiorizering), komprimering (kondensation) och konkretisering (reification).

Internaliseringsstadiet är när en elev har blivit bekant med en process som leder hen till ett nytt

begrepp. Det kan handla att en elev löser en andragradsekvation utifrån ett vanligt tillvägagångssätt men stöter på negativa tal under rottecknet. Detta leder till ett naturligt införande av nya begreppet ”komplexa tal” (Sfard, 1991). Perspektivet som dominerar i detta stadium är operationellt.

För att visa hur internaliseringen sker för begreppet ”derivata” av en funktion ger vi följande exempel. ”Derivata” introduceras för eleven där eleven får lära sig proceduren, alltså tillvägagångssättet vid derivering. Eleven utför proceduren när de deriverar ett polynom genom att använda deriveringsregler. För funktionen 𝑓(𝑥) = 𝑥2_{+ 𝑥 är ”derivatan” 𝑓´(𝑥) = 2 ∙ 𝑥}2−1₊

1 ∙ 𝑥1−1_{, alltså 𝑓´(𝑥) = 2𝑥 + 1.}

Sfard (1991) beskriver komprimeringsstadiet som en automatiserings process där man hoppar över detaljerna. I detta stadie börjar en begreppsbild att framträda hos eleven som kan beskriva hur de olika delarna hänger ihop. Eleven får en större förståelse för helheten istället för varje del för sig. Om vi exempelvis tittar på samma funktion som ovan 𝑓(𝑥) = 𝑥2 _{+ 𝑥 och låter}

eleverna hitta den stationära punkten till funktionen, kommer de att derivera funktionen först och sedan sätta in 𝑓´(𝑥) = 0. Värden för x som erhålls sätts in i ursprungsfunktionen för att ta reda på de stationärapunktens y-värden. Deriveringen som eleven utför genom detta exempel för detta stadie får eleven att tänka på procedurer som helhet.

Konkretiseringsstadiet är man kan använda något som eleven redan kan på ett nytt sätt. Eleven

ser processen ur ett annat perspektiv och behandlar processen som ett objekt (Sfard, 1991). I detta skede behöver eleven inte längre processen för att beskriva begreppet utan kan relatera till andra begrepp. Enligt Sfard (1991) kopplas detta stadium till djupare förståelse. För att uppnå detta krävs mycket ansträngning. Med kunskapen som eleven har om ”derivata” kommer eleven att kunna lära sig nya begrepp, till exempel integralen.

12

3 Metod

I följande avsnitt redogörs för hur den systematiska litteraturstudien har gått till. I avsnittet presenteras hur materialet har samlats in och hur sökningen efter detta material har gått skett. Därefter kommer beskrivningen av hur det manuella urvalet har gjorts som resulterade i följande litteratur för denna studie.

3.1 Litteratursökning

Denna studie är en systematisk litteraturstudien. Barajas, Forsberg och Wengström (2013) anser att en förutsättning för att kunna göra systematiska litteraturstudier är att det ska finnas tillräckligt med studier av hög kvalitet som kan fungera som underlag för en granskning och analys. Vid denna litteraturstudie sker sökningen systematiskt och materialet granskas kritiskt för att därefter kunna sammanställas inom valda problemområdet. Vidare kommer denna systematiska litteraturstudier uppfylla några kriterier, som att redogöra uttalade sökstrategier och att tydligt beskriva kriterier och metod för sökningar och urval av artiklar.

I den här studien har det använts både manuell sökning och databassökning. Majoriteten av sökningar har gjorts i databaser via Karlstads universitetsbibliotek och speciellt databasen ERIC som står för Educational Resources Information Center. Databasen ERIC innehåller flertal forskningsartiklar som är skrivet inom ämnesdidaktik på olika språk, i huvudsak engelska. Dessutom har även sökningar gjorts i Google Scholar som är en webbsökmotor som innehåller vetenskapliga artiklar men även icke granskade publikationer. Barajas m.fl. (2013, s.74) beskriver att en manuell sökning kan göras genom att studera artiklarnas referenslista och på så sätt göra det möjligt att hitta andra artiklar. I denna litteraturstudie har manuell sökning använts.

3.2 Avgränsningar och urval

Artiklarna i studien som erhölls från både databassökning och manuell sökning valdes utifrån vissa kriterier med målet att besvara studiens frågeställningar. Artiklarna som användes skulle uppfylla följande urvalskriterier:

• Artiklarna ska vara vetenskapligt förankrade vilket görs genom att sätta krav på att den ska vara granskade.

• Språket i artiklarna ska vara svenska, engelska eller turkiska för att författaren ska kunna tillgodogöra sig innehållet.

13

• Artiklarna ska vara från empirisk studie med deltagare på gymnasienivå eller universitetsnivå och på grund av detta har inte någon åldersgräns tillämpats vid denna studie.

• Artiklarna ska vara relaterade till elevers svårigheter kring begreppet ”derivata” och lärarnas utformning av undervisning.

I denna litteraturstudie har booleska operatorer använts för att begränsa sökningen och hitta litteratur som har relevans för frågeställningarna. I litteraturstudien har engelska, svenska och turkiska sökord använts för att utöka sökresultaten. Sökorden som använts i studien var:

• Svenska: derivata*, begrepp*, missuppfattningar*, elev*, skola*, undervisning*, analys*, tangent*, gränsvärde*, lutning*

• Engelska: derivative*, misconcept*, error*, difficult*, student*, secondary schools students*, high schools students*, high school*, secondary school*, calculus*, rate of change*, slope*, teaching*, teaching methods*, understanding*, mathematics*.

• Turkiska: türev*, zorluklar*, türev tanimi*, ögrenme önerileri*, egim*, ortalam oran*, analiz*, matematik*, lise*, türev kavram*.

Litteratursökningen började med olika kombinationer av ovan nämnda sökord för att hitta artiklar som är relevanta och intressanta för studien. Utifrån frågeställningen valdes sökordet ”derivata” men som sökord användes den engelska motsvarigheten till ”derivata” vilket är

derivative. Vid sökning ger detta 561 träffar, vilket är alltför stort antal för bearbetning. Genom

att kombinera till exempel sökordet derivative med andra sökord som misconcept, student och

mathematics kunde resultatet begränsas (se tabell 1).

Tabell 1-Antal träffar för första söksträngen och urval enligt i databas ERIC

Databas Sökord Avgränsning Antal

träffar

Utvalda artiklar

ERIC derivative* Peer-Rewiewed 561

ERIC derivative* AND

misconcept*

Peer-Rewiewed 11

ERIC derivative* AND

misconcept* AND student*

Peer-Rewiewed 9

ERIC derivative* AND

misconcept* AND student* AND mathematic*

Peer-Rewiewed 6 Gur & Barak (2007) Kaplan, Özturk & Ocal (2015)

Samtliga sammanfattningar till de 11 artiklar som innehöll sökorden ”derivative* AND misconcept*” (se rad 2 i tabell 1) lästes igenom. Två artiklar valdes utifrån urvalskriterier för

14

studien. De valda artiklarna ledde i sin tur till andra relevanta artiklar. Slutligen valdes följande artiklar ut för att visa elevens svårigheter gällande begreppet ”derivata” och dessa artiklar är skrivna efter alfabetisk ordning:

Amit, M. & Vinner, S. (1990). Some Misconceptions in Calculus: Anecdotes or the tip of an iceberg? I G. Booker, P. Cobb & T.N. Mendicuti (Red.), Proceedings of the Annual

Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education with the North American Chapter 12th PME-NA Conference,14 (1), 3–10. Cinvestav:

Mexico.

Aspinwall, L. ve Miller, L.D. (2001). Diagnosing conflict factors in calculus through students’ writings: one teacher’s reflections. The Journal of Mathematical Behavior, 20, 89–107.

Bezuidenhout, J. (1998). First-year university students’ understanding of rate of change.

International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 29(3),

389–399.

Bingölbali, E. & Akkoc, H. (u.a). Üniversite ögrencilerinin türev kavramini anlamalari ve Türkiye´de üniversite seviyesindeki matematik egitimine genel bir bakis. [Universitetsstudenters förståelse av begreppet derivata och en förståelse för

matematikundervisning på universitetsnivå i Turkiet].

Gur, H. & Barak, B. (2007). The Erroneous Derivative Examples of Eleventh Grade Students. Educational Sciences:Theory and Practice, 7(1), 473-480.

Gökçek, T. & Açıkyıldız, G. (2015). Matematik lärarstudenters missuppfattningar gällande begreppet derivata. Turkish Journal of Computer and Mathematics Education, 7(1), 112–141.

Hähkiöniemi, M. (2005). Is there a limit in the derivative? -Exploring students` understanding of the limit of the difference quotient. Working Group 14-Advanced

mathematical thinking, 1758–1767.

Kaplan, A., Ozturk, M. & Ocal, M.F. (2015). Relieving of Misconceptions of Derivative Concept with Derive. International Journal of Research in Education and Science

(IJRES), 1(1), 64–74.

Orton, A. (1983). Students' Understanding of Differentiation. Educational Studies in

Mathematics, 14(3), 235–250. Springer.

Orton, A. (1984). Understanding Rate of Change. Mathematics in School, 13(5), 23–26. The Mathematical Association.

Sahin, Z., Yenmez, A.A. & Erbas, A.K. (2015). Relational Understanding of the Derivative Concept through Mathematical Modeling: A Case Study. Eurasia Journal of

Mathematics, Science & Technology Education, 11(1), 177–188.

Ubuz, B., 2001. First year engineering students’ learning of point of tangency, numerical calculation of gradients, and the approximate value of a function at a point through computers. Journal of Computers in Mathematics and Science Teaching, 20 (1), 113– 137.

En annan frågeställning i studien var att undersöka lärarnas olika undervisningssätt för att underlätta elevernas förståelse för begreppet ”derivata”. För denna sökning användes följande sökordskombinationer: derivative tillsammans med teaching methods, understanding, student,

mathematics och antalet träffar som resultatlistan bestod av gjorde det möjligt med utvärdering

15

Tabell 2-Antal träffar för andra söksträngen och urval enligt i databas ERIC

Databas Sökord Avgränsning Antal träffar Utvalda artiklar

ERIC Derivative* Peer-Rewiewed 561

ERIC Derivative* AND teaching methods* Peer-Rewiewed 131 ERIC Derivative* AND teaching methods* AND understanding* Peer-Rewiewed 32 ERIC Derivative (IT) AND teaching methods* AND

understanding* AND student* AND mathematics*

Peer-Rewiewed 11 Sahin, Yenmez & Erbas (2015)

Vid granskningen fann jag annan relevant litteratur bland materialet. Detta gjorde att det nya materialet lästes igenom och i vissa fall ledde detta fram till annan intressant litteratur. Urvalet av artiklarna kom slutligen att begränsas och dessa artiklar är skrivna efter alfabetisk ordning: Akkoç, H. (2006). Bilgisayar destekli matematik ögretimi: grafik analiz yaklasimi:

Ilkögretim ikinci kademe ve liseler icin. Toroslu Kitapligi: Istabul. [Matematikundervisning med med hjälp av digitala verktyg för grundskolor och

gymnasieskolor. Toroslu bibliotek: İstanbul].

Berry, J.S. & Nyman, M.A. (2003). Promoting students’ graphical understanding of the calculus. Journal of Mathematical Behavior, 22, 481–497.

Bingölbali, E. (2008). Türev kavramina iliskin ögrenme zorluklari ve kavramsal anlama icin öneriler. I M.F. Özmantar, E. Bingölbali & H. Akkoç (Red.), Matematiksel kavram

yanılgıları ve çözüm önerileri, 223–255. Pegem Akademi: Türkiye. [Inlärningssvårigheter relaterade till begreppet derivata och förslag till begreppsmässig förståelse. I M.F. Özmantar, E. Bingölbali & H. Akkoç (Red.), Matematiska

missuppfattningar och förslag till åtgärder, 223–255. Pegem Akademi: Turkey].

Gustafsson, I.M., Jakobsson, I., Nilsson, M., Zippert, M. & m.fl. (2011). Matematiska

uttrycksformer och representationer (Nämnaren, nr. 3). Göteborg: Göteborgs

universitet.

Habre, S. & Abboud, M. (2006). Students’ conceptual understanding of a function and its derivative in an experimental calculus course. Journal of Mathematical Behavior, 25, 57–72.

Hiebert, J. & Lefevre, P. (1986). Conceptual and Procedural Knowledge in Mathematics: An Introductory Analysis. Heibert, J. (Red.), Conceptual and Procedural Knowledge: The

case of mathematics, 1–27. Hillsdela, NJ: Lawrence Erlbaum Associates.

Park, J. (2013). Is the derivative a function? If so, how do students talk about it? International

Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 44(5), 624–640.

Zandieh, M.J. 2000. A theoretical framework for analyzing student understanding of the concept of derivative. In E. Dubinsky, A. Schoenfeld, & J. Kaput (Eds.) Research in

collegiate mathematics education. IV. Issues in mathematics education, 8, 103–127.

Providence, RI: American mathematical society.

3.3 Analysmetod

Analysmetoden i denna systematiska litteraturstudie gick ut på att sammanfattningarna av artiklarna lästes igenom för att få en överblick av artiklarna. Artiklarna som är av relevans för

16

studien lästes, speciellt resultaten och slutsatsen. Utifrån resultatet som erhölls från artiklarna kategoriserades elevers svårigheter för begreppet ”derivata” och utformning av undervisning som underlättar elevens lärande för ”derivata”. Gällande analysen av elevernas svårigheter för begreppet ”derivata” valdes begreppsbild. För att besvara studiens andra frågeställning granskades de valda artiklarnas resultat utifrån relevans. Resultatet av analys redovisas i avsnitt 5.1 och 5.2. Resultatet diskuterades och analyserades utifrån Sfards teoretiska ramverk för begreppsbildning. Detta presenterades i avsnitt 6.

17

4 Resultat

I följande avsnitt presenteras på ett systematiskt sätt forskningsresultaten som ger svar på studiens frågeställningar. Utifrån forskningen kommer elevernas svårigheter inom begreppet ”derivata” belysas. Därefter redovisas hur läraren kan utforma sin undervisning för att underlätta elevens förståelse för begreppet ”derivata”.

4.1 Elevers svårigheter gällande begreppet ”derivata”

I detta delkapitel redovisas forskningsresultaten gällande elevers svårigheter för begreppet ”derivata”. De artiklar som jag har analyserat för studien visar att eleverna har brister i sin förståelse för begreppet ”derivata”. Analysen av forskningsresultatet ledde till upptäckten av tre kategorier av svårigheter:

• Tangentens ekvation och dess lutning i förhållande till ”derivata”. • Gränsvärde i förhållande till ”derivata”.

• Förändringshastighet i förhållande till ”derivata”.

I de kommande tre avsnitt kommer jag att beskriva i detalj dessa svårigheter.

4.1.1 Tangentens ekvation och dess lutning i förhållande till ”derivata”

Begreppet tangent och dess lutning är tydligt kopplat till ”derivata” i en punkt. Artiklarna som har analyserats för studien visar att eleverna gör egna felaktiga tolkningar av definitionen. Gur och Baraks (2007) forskning visar att eleverna förväxlar tangentens lutning med normalens lutning. Författarna påpekar att dessa missuppfattningar följaktligen leder till att eleverna tolkade begreppet ”derivata” felaktigt. Även Kaplan, Ozturk och Ocal (2015) visar att eleverna inte kan skilja mellan tangentens lutning och normalens lutning. Eleverna tror att första derivatas uttryck är tangentens lutning (Kaplan, m.fl., 2015). Dessutom påpekar Kaplan, m.fl. (2015) att eleverna tror att första ”derivatan” av funktionen är tangentens ekvation. Ubuz (2001) visar också i sin studie att eleverna har missuppfattningar gällande sambandet mellan tangentlinje och ”derivata”. Eleverna tror att funktionens första ”derivata” är tangentens ekvation eller att derivatans värde i en punkt är tangentens ekvation.

En liknande studie utfördes av Amit och Vinner (1990). Eleven i studien visar sig ha missuppfattningen att tangentlinjens ekvation i en punkt till en kurva är värdet av ”derivatan” i den punkten. Denna missuppfattning mellan ”derivata” och tangent har kommit till på grund av att eleverna lär sig procedurer utantill och saknar djupare begreppsmässigt förståelse, anser

18

författarna. Eleverna lär sig definitionen av ”derivatan” utantill, exempelvis ”derivata” är en tangentlinje som dras till en funktion i en given punkt (Amit & Vinner, 1990). Eleverna saknar kunskaper i gällande tangentlinje, tangentens ekvation och tangentens lutning m.m. Detta gör att eleverna inte kan se sambandet med ”derivata”, anser författarna. Även Sahin, Yenmez och Erbas (2015) kommer fram till samma slutsats som Amit och Vinner. Orsaken till denna missuppfattning är att eleverna lär sig begreppet ”derivata” som är tangenten till funktionen i en punkt.

Aspinwall och Miller (2001) visar i sin studie att för många elever är begreppsbilderna för tangentens lutning och ”derivata” begränsade och omfattar endast formler. Detta utgör ett hinder för elevens begreppsmässiga förståelse för momentan hastighet och begreppet gränsvärde. Författarna undersökte elevernas förklaringar och tankar kring förhållandet mellan begreppen ”derivata” av en funktion i en punkt och lutningen för tangentlinjen för funktionen i samma punkt. Eleverna tolkade lutningen och ”derivatan” som funktion som samma. Exempelvis, ”derivatan” av 𝑓(𝑥) = 𝑥2 _{är 𝑓´(𝑥) = 2𝑥 och lutningen av 𝑥}2 _{säger de, är också}

2x.

Bingölbali & Akkoc (u.a) visar att eleverna har svårigheter gällande sambandet mellan begreppet ”derivata” och tangentens lutning. Eleverna beräknar tangentens lutning genom att derivera funktionen så länge tills ett tal erhölls. De har bristande kunskaper gällande begreppet ”derivata” och tangentens lutning och sambandet mellan dessa begrepp. Exempelvis,

𝑓(𝑥) = 𝑥3_{− 𝑥}2_{+ 1}

𝑓´(𝑥) = 3𝑥2 − 2𝑥, 𝑓´´(𝑥) = 6𝑥 − 2, 𝑓´´´(𝑥) = 6

𝑦 − 1 = 𝑚(𝑥 − 1), 𝑦 − 1 = 6(𝑥 − 1), 𝑦 = 6𝑥 − 5

istället för att beräkna 𝑓´(1).

4.1.2 Gränsvärde i förhållande till ”derivata”

Det har gjorts mycket forskning kring gränsvärde som är en väsentlig del av begreppet ”derivata” i en punkt. Orton (1983) och Hähkiöniemi (2005) har undersökt elevernas förståelse för sambandet mellan begreppet ”derivata” och gränsvärde.

Orton (1983) visar i sin studie att eleverna har stora brister gällande sin förståelse av gränsvärdets betydelse samt vilken funktion detta har i begreppet ”derivata”.

19

Hähkiöniemi (2005) undersökte vilken typ av missuppfattningar som finns hos finska gymnasieelever till att hitta ”derivata” i en given punkt med hjälp av definitionen, d.v.s med hjälp av gränsvärdet. Eleverna hade svårt att bestämma ”derivatan” för funktionen 𝑓(𝑥) = 2𝑥

i punkten x=1 med hjälp av gränsvärde. En elev i studien besvarade uppgiften med lim

𝑥→12

𝑥 _{= 2.}

En annan elev använd sig av formeln lim

𝑥→1 2𝑥−2

𝑥−1 för att lösa uppgiften och insåg att både nämnaren

och täljaren blev noll men hen kunde inte gå vidare. Detta visade att eleverna hade svårt att använda sig av derivatans definition. Eleverna i hans studie kunde inte beräkna ”derivatan” med hjälp av sekantlinjes lutning genom att minska avståndet mellan punkterna. Enligt Hähkiöniemi (2005) bör eleverna arbeta mer med uppgifter som kräver att gränsvärdet beräknas. På detta sätt kan man se hur eleverna förstår betydelsen av gränsvärdet i derivatans definition. Hähkiöniemi (2005) rekommenderar att lärare bör läggas mer tid på användning av gränsvärde vid utformning av undervisningen.

Orton (1984) undersökte i sin studie elevernas kunskaper gällande förhållandet mellan sekantlinjen och tangentlinjen. Detta gjorde han genom att visualisera (se figur 6). Linjestycket mellan punkterna P och Q på cirkeln kallas sekant. Orton ställer därefter frågan ”vad händer med sekanten när punkten Q närmar sig P?”. Av eleverna som svarade på denna fråga var det 40% som inte kunde komma fram till att sekanten övergår till en tangent i punkten P. Elevernas svar på frågan var att ”det blir en punkt” eller att ”linje blir kortare” eller att ”området blir mindre och det försvinner” (Orton, 1984, s. 25).

Figur 6. Vad händer med sekanten när punkten Q närmar sig P? (Orton, 1984, s. 25)

4.1.3 Förändringshastighet i förhållande till ”derivata”

Förutom ovannämnda elevers svårigheter gällande begreppet ”derivata” finns det forskningsresultat som visar att eleverna har svårigheter när det gäller sambandet mellan ”derivata” och förändringshastigheten.

20

Orton (1984) visar att eleverna har svårigheter att förstå begreppet förändringshastighet. Utifrån en graf (se figur 7) ställer Orton (1984) frågor gällande ”medelhastighet”. Frågorna som eleverna besvarade var ”Vad är medelhastigheten?”

i. mellan A och B? ii. mellan B och E?

iii. mellan A och J?” (Orton, 1984, s. 26).

Resultatet visar att eleverna har svårt att beräkna medelhastigheten. En tredjedel av eleverna har svarat fel på medelhastigheten från A till B. På frågan ovan (ii) glömmer eleverna att ange det negativa tecknet på medelhastigheten. Ett annat misstag som eleverna gör på frågan (ii) är att eleverna räknar rätt på förändringen i y-led men delar detta med x-koordinaten för punkten E. Till frågan ovan (iii) har nästan hälften av eleverna svarat fel på.

Orton (1983) påpekar i sin studie att eleverna har svårt att skilja mellan medelhastighet och förändringshastighet i en punkt. Eleverna kan inte uppfatta att förändringshastighet i en punkt är ”derivata” för funktionen i den sökta punkten. Vidare beskriver Orton (1983) att eleverna har svårigheter även när de behöver tolka punkterna där förändringshastigheten är noll.

Figur 7. Funktionen där medelhastigheter beräknas mellan givna punkter (Orton, 1984, s. 26) Förutom Ortons resultat, finns det flera studier som visar att eleverna har brister i sina kunskaper om sambandet mellan begreppen förändringshastighet och ”derivata” i en punkt. Bezuidenhout, (1998) visar att eleverna har brister i sin förståelse när det gäller grafiska aspekter av förändringshastighet. Eleverna som deltar i studien är inte medvetna om att ”derivata” är en förändringshastighet. Även Gökcek och Acikyildiz (2015) konstaterar i sin studie att eleverna har problem vid grafiska aspekter av förändringshastighet.

21

Sahin, Yenmez och Erbas (2015) visar att eleverna saknar kunskap gällande betydelsen av begreppet förändringshastighet samt hur förändringshastigheten är relaterad till ”derivata”. Författarna påpekar att eleverna inte kan se sambandet mellan genomsnittligt förändringshastighet och momentan förändringshastighet. Dessutom känner inte eleverna till att den momentana förändringshastigheten är lutningen på tangenten i punkten.

4.2 Undervisningsutformning för att underlätta elevers förståelse gällande

begreppet ”derivata”

I detta delkapitel redovisas några förslag från de valda artiklarna för att underlätta elevers förståelse för begreppet ”derivata”. Förslagen kategoriseras i två underrubriker:

• Att beräkna ”derivatan” i en punkt med hjälp av definitionen samt använda mer dess olika representationer.

• Att öka användandet av digitala verktyg vid undervisningen av begreppet ”derivata”. I de kommande två avsnitt kommer jag att gå genom dessa ovannämnda undervisningsutformningar utifrån valda artiklarna för studien.

4.2.1 Att beräkna ”derivatan” i en punkt med hjälp av definitionen samt

använda mer dess olika representationer

Elevers inlärning i matematik bygger oftast på procedurell förståelse istället för begreppsmässig förståelse (Hiebert & Leferve, 1986). På grund av detta får eleverna svårare att förstå begreppen och därmed svårare att förstå sambanden mellan olika begrepp. Begreppsmässig förståelse möjliggör för elevens förståelse av begreppet och samtidigt ger en djupare förståelse för samband mellan andra matematiska begrepp (Hiebert och Leferve, 1986). Genom procedurell förståelse lär sig eleverna endast hur procedur, regler och formler kan tillämpas. Det betyder inte att elever har förståelse för helheten. Eleven klarar att beräkna ut ”derivatan” i en punkt för en given funktion och kan skriva tangentens ekvation eller kan beräkna tangentens lutning för den givna punkten. När eleven ska förklara vad ”derivatan” innebär för den givna punkten kan inte eleven koppla detta till gränsvärde eller föränderingshastighet.

För att öka elevernas förståelse för matematiska begrepp är det viktigt att läraren använder sig av flera olika representationer i undervisningen (Gustafsson, m.fl., 2011). Författarna delar in dessa representationer i fem kategorier: symboliska, grafiska, numeriska, visuella och verbala.

22

Elever lär sig flera olika representationer för att beskriva en och samma matematiska begrepp vilket medför att eleven får en rikare och djupare begreppskunskap (Gustafsson, m.fl., 2011). Begreppet ”derivata” behöver representeras på flera sätt eftersom ”derivata” kan beskrivas på många olika sätt. Begreppet ”derivata” i en punkt är grafisk lutningen för tangenten till en punkt för en given funktion eller kurva, fysiskt, momentan hastighet, symbolisk, ett gränsvärde av förändringskvot, och verbal förändringshastighet (Zandieh, 2000).

Forskningar visar att en del elever har svårigheter att förstå förhållandet mellan ”derivata” och tangenten i en punkt liksom förändringskvot och gränsvärde (Bingölbali, 2008; Orton, 1983). Enligt Bingölbali (2008) är det inte tillräckligt att eleverna har vetskap om förhållandet mellan ”derivata” och dessa ovannämnda begrepp för att få en begreppsmässig förståelse av ”derivata”. För att eleverna ska få en begreppsmässig förståelse av förhållanden mellan olika representationer av ”derivata” måste kopplingar mellan dessa representationer vara kända för eleverna (Bingölbali, 2008). Enligt författaren bör undervisningen läggas upp på ett sådan sätt att eleverna kan se sambanden mellan dessa representationer.

Det finns forskning som visar hur begreppet ”derivata” bör introduceras för eleverna för att förebygga svårigheterna. Läromedel har olika infallsvinklar när dessa introducerar begreppet ”derivata”. Berry och Nyman (2003) har undersökt sju läromedel och de har kommit framtill att endast två av dessa läromedel introducerar begreppet ”derivata” annorlunda. Dessa de två förklarar begreppet ”derivata” som en förändringshastighet för en funktion. Den första av de två läroböckerna illustrerar detta via ett exempel där en bil rör sig längs en motorväg och eleverna får ta del av sträcka v.s tid som graf för bilens rörelse. Så småningom introducerar författarna tangentlinjen och lutningen för kurvan för att visa kopplingen med ”derivata”. Den andra läroboken börjar illustrera ”derivata” med hjälp av medelhastighet och för att senare gå in på momentanhastighet. Författarna har utifrån momentanhastigheten gått in på definitionen av ”derivata” som en lutning för tangenten som går genom en punkt. De andra fem börjar med att förklara begreppet ”derivata” med hjälp av tangentens lutning och gränsvärde (Berry & Nyman, 2003).

Några svenska läroböcker i gymnasiet definieras begreppet ”derivata” med hjälp av en kort beskrivning om begreppet ändringskvot och därefter kopplas det ihop med begreppet sekantens lutning, tangentens lutning och gränsvärde och dessa illustreras grafiskt. Några läroböcker definiera begreppet ”derivata” direkt med hjälp av gränsvärde. I läroböckerna visas sambandet mellan ”derivata” och tangentens lutning i en punkt, ”derivata” och gränsvärde, ”derivata” och

23

förändringhastighet. Dessa samband gås igenom ytligt och det saknas kopplingen mellan till exempel tangentens lutning och gränsvärde. För att eleverna ska få en djupare förståelse för begreppet ”derivata” bör eleven se sambandet mellan ovanstående representationer (tangentens lutning, förändringshastighet m.m) (Zandieh, 2000). Det som är viktigt är att eleverna får se tydliga kopplingar mellan ”derivata” och de olika representationerna och samtidigt se hur de olika representationer förhåller sig till varandra (Zandieh, 2000).

4.2.2 Att öka användandet av digitala verktyg vid undervisningen av begreppet

”derivata”

Forskning visar att eleverna har svårigheter med begreppet ”derivata” och sina olika representationer (gränsvärde, tangentens lutning, förändringshastighet m.m) (Orton, 1983, 1984; Gökcek & Acikyildiz, 2015; Bezuidenhout, 1998). För att förebygga dessa svårigheter föreslår forskningar användandet av digitala verktyg.

Forskningen av Habre och Abboud (2006) fokuserar på elevens förståelse för funktioner och dess derivator. Studien har gjorts på elever som läser analyskursen 1 i Libanesisk- Amerikanska Universitetet i Beirut, Libanon. Under denna studie använde författarna sig av programmet

Autograph som gör det möjligt att visualisera animerat hur en sekantlinje övergår till en

tangentlinje (se figur 8). Med hjälp av denna metod klargörs idén om att en medel förändringshastighet skulle bli en momentan förändringshastighet (se figur 9). Sekantlinjerna i figur 8 närmar sig tangentlinjen när h går mot noll. Tangentens lutning i denna punkt (a, f(a)) är momentan förändringshastighet i denna punkt, alltså ”derivatan” i punkten a.

24

Figur 8. Genomsnittlig förändringshastighet mellan punkterna (a, f(a)) och (a+h, f(a+h)) när h går mot noll (Habre & Abboud, 2006, s.61).

Figur 9. Genomsnittlig förändringshastighet övergår till momentan förändringshastighet i punkten (a, f(a)) (Habre & Abboud, 2006, s.61).

Akkoc (2006) har använt programmet Graphic Calculus för att visa olika representationer av ”derivata” i en punkt. På detta sätt kan det vara möjligt för elever att förstå ”derivatan” och få en begreppsmässig förståelse.

Med hjälp av programmet Graphic Calculus har Akkoc (2006) beräknat funktionens ”derivata” i punkten x=1 för funktionen 𝑦 = 𝑥2_{. Genom att minska värdet på ∆𝑥 kommer lutningen att}

närma sig värdet 2 (se figur 10). Programmet gör det möjligt för eleverna att se via animationer hur sekantlinjerna närma sig tangentlinjen. Med hjälp av programmet får elever se sambandet mellan olika representationer av begreppet ”derivata”. Som exempel kan eleven se förändringshastigheten med hjälp av en numerisk representation och samtidigt visualiseras detta grafiskt.

25

Figur 10. Funktionens ”derivata” i en punkt med hjälp av programmet Graphic Calculus (Akkoc, 2006, s. 56)

Graphic Calculus programmet gör det möjligt att se funktionen och dess ”derivata” i samma

fönster. (se figur 11).

Figur 11. Funktionens ”derivata” ritat med hjälp av programmet Graphic Calculus (Akkoc, 2006, s. 56)

Park (2013) visar egenskaperna för ”derivatan” visuellt. Symboliska, algebraiska och grafiska representationer hjälper eleverna att förstå sambandet mellan ”derivata” och tangent, ”derivata” och gränsvärde.

26

5 Diskussion

I detta kapitel kommer arbetets metod och resultat att diskuteras och slutsatser att dras. I metoddiskussionen kommer styrkor och svagheter med metoden att lyftas fram. I resultatdiskussionen belyser vi studiens resultat i relation till bakgrund, syfte och frågeställningar. Dessutom kommer förslag till vidare forskning att ges.

5.1 Metoddiskussion

Metoden för denna litteraturstudie var att systematisera (sammanfattat) relevanta artiklar som besvarade arbetets syfte och frågeställningar. Barajas m.fl. (2013) definierar reliabiliteten som mätmetodens förmåga att ge samma resultat vid upprepad mätning. Validitet innebär förmågan att mäta det som är avsett att mätas, enligt författarna. Denna litteraturstudiens sökningar har antecknats steg för steg vilket resulterar i att studien får hög reliabilitet. De sökta artiklarna var

peer-reviewed samt urvalen gjordes så att artiklarna besvarade studiens syfte och

frågeställningar. Detta gör att validiteten av studien är hög.

Den manuella sökningen resulterade i bland annat att följande artiklar valdes till studien: Orton (1983) Amit och Vinner (1990) och Bezuidenhout (1998). Dessa artiklar är äldre än de andra som har använts i studien. Detta kan anses vara en svaghet för denna studie. Man kan ifrågasätta relevansen av 20 år gamla resultat men jag fann att resultaten i dessa artiklar är mycket viktiga för studiens syfte och frågeställningar. Dessa artiklar bygger på kvantitativa undersökningar som omfattar stora elevgrupper av olika åldrar. Dessutom kan artiklarna betraktas som klassiker inom området dels grund av stora antalet citeringar.

Av de utvalda artiklarna gällande elevernas svårigheter för begreppet ”derivata” är 5 stycken publicerade i Turkiet. Dessa artiklar utgör hälften av studiens artiklar. Fördelen med dessa artiklar är att de undersökningarna är gjorda på olika åldersgrupper. Nackdelen med studierna är att de inte speglar en geografisk mångfald.

Sökningarna till denna litteraturstudien gjordes via databaserna ERIC och Google Scholar. Det är en nackdel att endast två databaser användes. Flera databaser och andra sökord hade gett studien ett kanske, mer detaljerat resultat. Den manuella sökningen har kompletterat eventuella brister i databassökningen. När jag läste en intressant artikel om ”derivata” kunde jag utifrån referenslistan hitta annan relevant forskning.

27

5.2 Resultatdiskussion

5.2.1 Resultatdiskussion av elevernas svårigheter gällande begreppet ”derivata”

Första frågeställningen som skulle besvaras i denna studie var: Vilka svårigheter vid inlärning

av begreppet ”derivata” är vanligt förekommande hos elever?

Begreppet ”derivata” är svårbegripligt på grund av två orsaker. Den första orsaken är att ”derivata” kan tolkas genom begreppsbilder, som tangentens lutning eller förändringshastighet. Den andra orsaken är att begreppet ”derivata” är ett tröskelbegrepp som kräver en djup matematisk förståelse. Det grundas på andra svåra begrepp såsom funktion, förändringskvot och gränsvärde. Detta är ett konkret exempel på Tall och Vinners (1981) teori om begreppsbild och begreppsdefinition och hur de samspelar med varandra.

Missuppfattningar förklaras genom faktumet att eleverna lär sig procedurer utantill och saknar därmed en djupare förståelse för begreppsdefinition och begreppsbilder. Dessa aspekter redovisas i artiklarna Ortons (1983), Hähkiöniemis (2005) och Aspinwall och Millers (2001). Se också i denna studie Avsnitt 4.1.1 och 4.1.2.

Eleverna lär sig olika matematiska begrepp utan att få en helhets förståelse. Resultatet från denna litteraturstudie visar att eleverna tillämpar formler utan att hå någon förståelse för helheten för begreppet ”derivata” (se Avsnitt 4.1.2). Eleverna lär sig begreppet ”derivata” som en process, t.ex. via ”deriveringsregler”, vilket kan leda till att det bildas en operationell begreppsbildning hos eleven. Endast en operationell förståelse av ett begrepp förhindrar djupare inlärning. För att få en djupare förståelse för ett visst begrepp krävs både ett operationellt och ett strukturellt förhållningsätt (Sfard, 1991). Sfards (1991) teori gällande begreppsbildning innebär att en operationell förståelse av ett begrepp kan anta en strukturell förståelse och vice versa. Elevernas inlärning sker genom operationell begreppsbildning som sedan bör gå över till strukturell begreppsbildning (Sfard, 1991). Enligt resultatet från Avsnitt 4.1.1 kan eleven visa att hen klarar av att derivera en funktion och kan även beräkna ”derivatan” i en given punkt. Men eleven visar ingen förståelse för att ”derivatan” i den punkten är tangentens lutning. Genom att utföra denna process visar eleven endast ha operationell förståelse för begreppet ”derivata”. Att eleven inte kan förklara sambandet mellan tangentens lutning och ”derivata” i en punkt innebär att eleven saknar strukturell förståelse. Strukturell förståelse innebär att ett begrepp ses som ett objekt och kan relateras till andra begrepp. Denna fas bör läggas extra tid vid undervisningen för att ge eleven möjlighet att fördjupa sina kunskaper av begreppet.

28

Det tog flera hundra år tills begreppet ”derivata” definierades korrekt (se Avsnitt 2.1). Om historiskt sätt var det så svårt att grunda begreppet är det förklarligt att för många elever tar det lång tid tills de känner sig bekväma med det.

5.2.2 Resultatdiskussion av undervisningsutformning för att underlätta elevers

förståelse gällande begreppet ”derivata”

Studiens andra frågeställning var: Hur kan undervisningen utformas, utifrån befintlig forskning,

för att underlätta förståelse av begreppet ”derivata”?. Denna del består av förslag om utlärning

strategier gällande begreppet ”derivata”.

Begreppet ”derivata” kan tolkas på olika sätt. Detta gjorde ämnet mer intressant till exempel, att se hur det bör introduceras för att underlätta elevens förståelse. Det som kan sägas utifrån resultatet från Avsnitt 4.2.1är att man inte kan dra någon konkretslutsats gällande hur begreppet ”derivata” ska introduceras för att förebygga elevernas svårigheter.

Att ”derivatan” kan introduceras på flera olika sätt är både en för och en nackdel. Fördelen kan vara att elevens förståelse för ”derivata” kan visas på ett sätt som underlättar för eleven. Det är alltid till fördel för läraren att kunna beskriva, förklara begreppet ”derivata” på flera olika sätt för eleven. Nackdelen är att flera begrepp inom ”derivata” har samma betydelse. Exempelvis ändringskvot, medelhastighet, genomsnittligt förändringhastighet m.m. På grund av detta bör läraren påpeka dessa begrepp och klargöra sambandet mellan dem.

Det finns några förslag på hur elevens svårigheter gällande begreppet ”derivata” kan förebyggas. Ett av tillvägagångsätten som kan underlätta elevens förståelse för begreppet ”derivata” är användning av flera olika representationer i undervisningen. Resultatet (se Avsnitt 4.1.1) visar att eleverna har svårigheter att förstå sambandet mellan ”derivata” och de olika representationerna (tangentens lutning, förändringshastighet, m.m.) (Orton, 1983; Bezuidenhout, 1998; Park, 2013). För att eleven ska få en begreppsmässig förståelse av begreppet ”derivata” är det viktigt att eleven ska se kopplingen mellan dessa representationer och ”derivata” men även att de får se sambandet mellan dessa representationer. På grund av detta bör lärarna förtydliga dessa representationer och visa sambandet mellan de i sina lektioner. För att visa sambandet mellan dessa representationer kan läraren använda sig av digitala verktyg. Exempelvis, genom att använda CAS, Matlab, Maple, GeoGebra, Graphic Calculus eller Autograph kan vissa begrepp visualiseras, och därmed underlätta elevens förståelse. Med

29

hjälp av visualisering av ”derivata’’ kan en del svårigheter förebyggas. Dessutom gör detta möjligt för eleven att förstå begreppet ”derivata” och därmed få en begreppsmässig förståelse.

5.3 Vidare forskning

Resultaten från denna litteraturstudien visar att många studenter har svårigheter för begreppet ”derivata”. Det skulle vara intressant att ta reda på om det finns konkreta svårigheter för begreppet ”derivata” för svenska elevers. Studier av exakt detta slag saknas i Sverige.