ÖREBRO UNIVERSITET
Grundlärarprogrammet, inriktning 4–6 Matematik
Självständigt arbete i matematik, avancerad nivå 15hp Vårterminen 2020
Hur kan lärare utnyttja elevers felsvar?
En fallstudie om hur en lärare kan framkalla och utnyttja elevers
felsvar för att skapa rika matematiksamtal
Louise Nilsson Rundlöf
How Can Teachers Use Pupils Misconceptions?
A Case Study About How Teachers Can Induce and Use Pupils Misconceptions to Cre-ate Rich Mathematic Interactions
Abstract
Teachers ways of using misconceptions and wrong answers in the mathematics classroom is not a very researched concept. The aim of this case study was to shed light on the different ways in which teachers can use students’ wrong answers in the mathematics classroom to create rich mathematical conversations. By observing a mathematics lesson and organising a stimulated recall interview, this study has investigated how a teacher induces wrong answers from students and uses these answers to create rich mathematic discussions. The results of this study show that teachers can induce wrong answers by establishing norms where there is an overall acceptance for wrong answers. Three strategies seem to be beneficial to use the wrong answers to create rich conversations: calculate the wrong answer and in whole class-education investigate where it fails, comparing the children’s opinions and reasoning and questioning the pupil´s reasoning. The inducing and using of the misconceptions can create rich mathe-matical discussions where the children can be challenged to explain different reasoning and in children’s work in reaching an agreement in the mathematics classroom.
Keywords: Pupils misconceptions, Interactive strategies, Rich mathematic interactions.
Sammanfattning
Lärares sätt att förhålla sig till felsvar i matematiken är ett relativt outforskat område. I denna kvalitativa fallstudie var syftet att synliggöra hur en lärare kan använda sig av elevers felsvar för att skapa rika matematiksamtal i undervisningen. Med hjälp av en observation av en matematiklektion samt uppföljande stimulated recall-intervju, har det undersökts hur lära-ren kan framkalla och utnyttja felsvar för att skapa rika matematiksamtal. Resultaten visar att lärare kan framkalla felsvar genom att etablera normer där det är accepterat att säga fel. Tre strategier verkar särskilt användbara för att utnyttja felsvar: Räkna ut lösningen i helklass för att undersöka var svaret brister, jämföra elevernas olika resonemang samt ifrågasätta elever-nas resonemang. Framkallandet och utnyttjandet av felsvar kan då skapa rika matematiksam-tal där elever utmanas att försvara olika resonemang och gemensamt komma överens med sina klasskamrater om vilken lösning som fungerar bäst, alltså konsensus.
Innehållsförteckning
Inledning ... 1
Syfte och frågeställningar ... 1
Tidigare forskning ... 2
Elevers felsvar i matematikundervisningen ... 2
Interaktiva strategier ... 3
Teoretisk ram ... 4
Sociomatematiska normer i klassrummet ... 4
Samtalsmönster och rika matematiksamtal ... 5
Samtalsmönster. ... 5 Rika matematiksamtal. ... 6 Metod ... 7 Datainsamlingsmetod ... 7 Val av metod ... 7 Beskrivning av lektion. ... 7
Tillvägagångssätt i Stimulated recall intervjun. ... 7
Användning av data. ... 8
Analysmetod ... 8
Procedur för analysmetod ... 8
Kodning och tematisering. ... 8
Transkribering. ... 9
Urval ... 10
Validitet och Reliabilitet ... 10
Forskningsetiska principer ... 10
Analys och Resultat ... 11
Hur en lärare kan framkalla elevers felsvar ... 11
Hur en lärare kan framkalla felsvar genom att etablera en god miljö ... 11
Hur en lärare kan utnyttja elevers felsvar för att skapa rika matematiksamtal ... 13
Räkna ut lösningen i helklass för att undersöka var svaret brister. ... 13
Jämföra och låta eleverna resonera. ... 15
Ifrågasättande av elevernas resonemang. ... 17
Resultatsammanfattning ... 18
Diskussion ... 19
Resultatdiskussion ... 20
Hur en lärare kan framkalla elevers felsvar. ... 20
Sammanfattning... 21 Konsekvenser för undervisning ... 21 Metoddiskussion ... 22 Fortsatt forskning ... 23 Litteraturförteckning ... 24 Bilaga 1 ... 26 Bilaga 2 ... 27
1
Inledning
I Harry Potter och Dödsrelikerna frågar Harry sin vän Luna om vad som händer om han anger fel lösenord och får då höra: ”Då får man vänta tills nån svarar rätt (…) På det sättet lär man sig nåt, förstår du” (Rowling, 2007, s. 606). Detta utdrag kan vara ett exempel på hur skolans rätt och fel-betoning ibland avspeglas på barn och ungdomar. Betoningen är vanligt förekommande inom initiering, respons och evalueringssamtal, även kallat IRE-samtal. Där beskrivs konceptet som att eleven får slutna frågor att besvara av läraren då det läggs stort fokus på om eleven gjort rätt eller fel (Skolforskningsinstitutet, 2017).
Matematikdidaktikern Hersch beskriver att undervisning borde fokusera på matematiksamtal, då det sällan kan läras ut genom att elever lyssnar på vad läraren säger (Hersch, 1997). Normen om vad ett typiskt rikt matematiksamtal kan vara har förändrats med tiden. Smith och Kay Stein (2016) skriver att rika matematiksamtal kännetecknas bland annat av att eleven står i centrum för diskussionen. Om elever får större inflytande över det matematiska samtalet kan det då hända att de anger fel svar. Vad kan detta innebära för den verksamma läraren?
Idag tyder en del forskning på att lärare och elever gynnas av att använda felsvaren för att uppnå rik matematikundervisning (Gardee & Brodie, 2015). En nyutkommen undersökning har intervjuat Sveriges mellanstadielärare kring bland annat inställningen kring felsvar i ma-tematikundervisningen. Den visar att många lärare trots vetskapen att felsvar kan innebära goda fördjupningar i matematik, sällan använder felsvaren i undervisningen. Skolinspektionen menar att lärarna istället låter elever med korrekta svar få större utrymme i undervisningen (Skolinspektionen, 2020). Normer i klassrummet kan då vara väsentligt att undersöka, hur de eventuellt kan framhäva elevers felsvar. Med bakgrund till detta kan det finnas en stor pot-ential i att undersöka hur en lärare på olika sätt kan framkalla och utnyttja elevers felsvar för att skapa rika matematiksamtal.
Syfte och frågeställningar
Syftet med denna studie är att synliggöra hur en lärare kan använda sig av elevers felsvar för att undersöka om felsvaren kan leda till rika samtal i matematikundervisningen.
Frågeställningarna är följande:
2 - Hur kan en lärare utnyttja elevers felsvar för att skapa rika matematiksamtal?
Med framkallandet av felsvar menas här att en lärare medvetet kan välja att skapa möj-ligheter för elever att säga fel. Det betyder alltså inte att läraren ska tvinga fram felsvar från eleverna, utan istället skapa möjligheter för eleverna att våga svara såväl rätt som fel. Lärares sätt att använda elevers felsvar och ha dem som tillgång i undervisningen är vad som menas med att en lärare utnyttjar felsvaren.
Tidigare forskning
Följande avsnitt kommer att presentera tidigare forskning kring elevers felsvar i matema-tikundervisning. Sedan beskrivs tidigare forskning om interaktiva samtalsstrategier. Elevers felsvar är viktiga att presentera för att beskriva hur tidigare studier undersökt felsvaren och dess potential i undervisningen. Interaktiva samtalsstrategier lyfts fram för att kunna framhäva olika strategier som finns inom undervisning och matematikundervisning. Både felsvar och interaktiva strategier kommer att användas och undersökas i denna studies analys, vilket ökar relevansen för att undersöka hur tidigare forskning ser på dessa områden.
Elevers felsvar i matematikundervisningen
I skolan kan elever stöta på något slags hinder när de ska lösa en matematikuppgift. Om eleven arbetat fram ett svar som sedan visar sig vara felaktigt, kan detta betraktas som ett felsvar. Det är inte alltid elever får förutsättningar att använda sitt felsvar för att utvecklas (Pettersson, 2013). Vissa lärare introducerar tidigt strategier för eleverna som hjälper dem att hantera sina felsvar. Andra lärare kan istället låta sina elever arbeta vidare efter varje löst tal, utan att exempelvis kontrollera med facit.
Beroende på hur lärare arbetar med elevers felsvar, kan det antingen hjälpa eleven framåt eller skapa hinder i elevens matematiska process. Elevers felsvar kan då enligt Gardee och Brodie (2015) leda till en utökad förståelse hos eleven då den tvingas utmana sin egen förför-ståelse i matematiken. Felsvar är ofta en naturlig del av matematikklassrummet men beroende på hur skicklig läraren är kan den använda dessa på olika sätt, då det enligt Gardee och Brodie (2015) kan finnas en potential i elevernas felsvar. Genom att ta sig an felsvar i undervisning kan alltså en rik matematikundervisning etableras (Gardee & Brodie, 2015).
Elevers felaktiga resonemang kan skapa goda förutsättningar för utveckling eftersom ele-verna behöver sätta sig in i sina klasskamraters olika lösningar (Heemsoth & Heinze, 2014). Enligt Heemsoth och Heinze (2014) borde felsvar och felaktiga resonemang ses som en tillgång i undervisningen, då felsvaren kan öka elevernas prestationer på prov. Elever som är
3 invanda att arbeta med felsvar har enligt författarnas studie presterat bättre än de elever som blivit instruerade att undvika dem (Heemsoth & Heinze, 2014). En avgörande faktor att iden-tifiera och analysera elevernas vanliga missförstånd i matematiken. Det kan finnas en styrka i att använda felsvar i undervisningen, då det kan förhindra framtida missförstånd i matemati-ken som annars riskerar leda till felaktiga strategier (Maharani & Subanji, 2018). Det kan fin-nas en svårighet med att arbeta med felsvar då det ofta tar mycket tid av undervisningen (Gar-dee & Brodie, 2015).
Felaktigheter i matematiken, såsom felaktiga lösningar, kan ibland vara avgörande för de diskussioner som uppstår i klassrummet. Enligt Nagar (2016) kan en skicklig lärare på för-hand förutspå elevers svårigheter och felsvar samt använda dessa i praktiken som en förutsätt-ning för att fördjupa elevernas matematiska kunskaper och lärandeprocess (Nagar, 2016).
Även om en elev förstått att den svarat fel på en uppgift kan det finnas en rädsla att miss-lyckas, vilket kan skapa en ovilja att fortsätta lösa talet och undersöka sitt felsvar (Skolin-spektionen, 2020). Detta är en utmaning som kan skapa en otrygghet hos eleven då den kan få känslan av att den presterar sämre i matematiken. Ofta kan detta enligt Pettersson (2013) på-verka elevers koncentrationsförmåga och försämra viljan att lösa uppgiften självständigt. Lä-raren kan då vara till stor hjälp och stödja eleven att med hjälp av felsvaret hitta grundproble-met och sedan lösa talet (Petterson, 2013). Elevers felsvar kan sammanfattningsvis skapa både möjligheter och utmaningar för lärare i matematikundervisningen.
Interaktiva strategier
När det talas om samtalsstrategier kan det oftast inkludera ett interaktivt lärande. Detta kan utformas med hjälp av dialoger och gruppsamtal i matematikklassrummet (Babushkina, Vitalievna Bagramova & Ivanovna Shukshina, 2019).
En typ av interaktiva strategier är affektiva strategier, som bygger på emotionella reakt-ioner. Några exempel på affektiva strategier enligt Babushkina, Vitalievna Bagramova och Ivanovna Shukshinas (2019) studie var att läraren arbetade fram en miljö som kunde ge förut-sättningar för effektivt lärande. Genom att bygga upp en god kommunikation mellan lärare och elever kan det skapa en social interaktion som fungerar (Babushkina, Vitalievna Bagramova & Ivanovna Shukshina, 2019).
Felsvar i klassrummet har tidigare forskats på av Fuentes (2013), som ville undersöka hur läraren kunde använda sig av felsvaren. Fuentes (2013) studie om interaktiva strategier be-lyste olika slags samtalsstrategier specifikt för matematiklassrummet. På grund av detta ut-vecklade forskaren en strategi där eleverna tvingades följa upp detta med att utveckla med
4 egna ord. Om eleven inte förstått kan det synliggöras för läraren genom inkorrekta beskriv-ningar av uppgiften. Just för elever som haft fel på en fråga hade studien en strategi att be-möta svårigheten; om du märker ett misstag i ett elevarbete, använd felet som en möjlighet för utveckling. På detta sätt kan samtalet speglas av en elevs misstag och ifrågasättas och arbetas med i exempelvis helklassdiskussioner. Sammanfattningsvis beskrev studien att lärare med hjälp av de olika interaktiva strategierna kan skapa en samtalsrik undervisning som kan hjälpa eleverna att utvecklas (Fuentes, 2013).
I skolan är det vanligt att läraren vid felsägelser omformulerar eller upprepar en elevs felsägelse. Detta kallas för den interaktiva strategin Revoicing, där läraren hjälper eleven att använda rätt terminologi. I matematiken kan den oftast användas för att markera skillnaden mellan en vardaglig användning av ett begrepp och ett korrekt sätt att beskriva begreppet på. Enlig IRE-pedagogiken är syftet med denna strategi att involvera eleverna i lärandeprocessen (Parsons, 2017). Ett vanligt exempel på detta kan vara när läraren rättar elevers användning av uttrycket gångra och ersätter det med att multiplicera.
Teoretisk ram
Teoretiska ramen består först av begreppet sociomatematiska normer, då det redogör för normer som kan påverka miljön i klassrummet. Sedan presenteras ett forskningsfält som tyd-liggör hur samtalsmönster kan påverka och spegla klassrummets rådande normer i de mate-matiska samtalen. De samtalsmönster som är aktuella för denna studie är disputerande, kumu-lativa, utforskande och initiering, respons och evaluerings-samtal. Dessa beteckningar på sam-tal och dess betydelse för matematiksamsam-talen kommer att utgå från Skolforskningsinstitutets (2017) studie. Studien är vald då den redogör för och har analyserat utifrån en litteraturstudie hur dessa samtal kan påverka klassrumskulturen. Slutligen kommer teoretiska ramen presen-tera rika matematiksamtal.
Sociomatematiska normer i klassrummet
Enligt Helenius (2019) kan de sociomatematiska normerna ”analysera och diskutera hur olika uppfattningar om matematik och olika matematiska beteenden etableras och regleras i samband med matematikundervisning” (Helenius, 2019, s.2). Med detta menas att normer i klassrummet kan synliggöras med att läraren skapar önskvärda beteenden som eleverna förväntas följa. Michaels, O’Connor och Resnick (2007) beskriver även att normer i klass-rummet är något som läraren etablerar i interaktionen med eleverna. Detta är ett så kallat demokratiskt sätt att föra undervisning, då eleverna ofta ges utrymme att aktivt delta i
5 diskussioner. Det här innebär att läraren har ett ansvar att etablera olika slags normer i klassrummet för att på så vis skapa olika slags förväntningar på hur eleverna samt lärares interaktioner kan gå till (Michaels, O’Connor, & Resnick, 2007).
Ett inkluderande klassrumsklimat är viktigt för att lärare ska kunna lära ut effektivt till eleverna. Då kan interaktioner mellan lärare och elever spegla de attityder och normer som finns i klassrummet. Walshaw och Anthony (2008) beskriver hur elever behöver stå till svars för sina tankar samt föra och ta emot kritik i diskussioner, vilket kan leda till att eleverna ut-vecklas i sitt lärande. Det här kommer att lyftas i analysavsnittet för att undersöka om läraren kan framkalla elevers felsvar med hjälp av klassrumsnormer.
Samtalsmönster och rika matematiksamtal
Nedan kommer olika samtalsmönstren presenteras var för sig. Det börjar med en kort be-skrivning av samtalsmönstret följt av de indikationer som finns om samtalet. Slutligen kom-mer det presenteras hur rika matematiksamtal definieras som i denna studie.
Samtalsmönster.I disputerande samtal behöver eleverna försvara och föra argument för varför deras idéer fungerar. Det är läraren som står i centrum och tar ansvar för själva diskuss-ionen. Indikationer på disputerande samtal är när läraren ställer många följdfrågor till eleven för att på så sätt utmana eleverna att resonera och stå till svars för sina idéer. Det är främst elever som bidrar med sina idéer men diskussionerna är begränsade till syftet att behålla kon-trollen över sina egna matematiska förklaringar. Det här görs genom att eleverna hålls ansva-riga för att resonera samtidigt som läraren ser till att eleverna lär sig något (Skolforskningsinstitutet, 2017).
I Kumulativa samtal ska elevernas idéer accepteras okritiskt och syftar till att ta upp ele-vernas resonemang snarare än att ifrågasätta. Indikationer på kumulativa samtal är när elever-nas åsikter hörs men inte utvecklas mer än att de benämns av antingen lärare eller elever. Det bekräftas att elevernas åsikt hörts och accepteras, men utan någon slags följdfråga på hur de kan resonera fram resultatet. Det är eleverna som står i centrum när det kommer till matema-tiska idéer men med tanke på att de inte tas till vara på i undervisningen är det läraren som lär ut och utvärderar kunskapen. Dessutom hålls läraren som ansvarig för diskussion och läran-deprocessen (Skolforskningsinstitutet, 2017).
Intiterings, respons och evaluering (förkortas hädan efter med IRE) är ett samtal som mestadels etableras av läraren där den ställer slutna frågor. Med slutna frågor menas här att eleverna får frågor som har ett eller flera förväntade svar. Eleverna besvarar frågorna som följs med att läraren utvärderar svaret. Läraren vill med dessa samtal se om eleven förstått det
6 som läraren eftersträvar. Det här kan i vissa fall vara begränsande då det mister funktionen som samtal kan ha för att undersöka hur eleven kommit fram till svaret. Indikationer på IRE -samtal är när dialoger mellan lärare och elever bekräftar att någon sagt rätt eller fel svar. Det är läraren som styr och tar ansvar för att samtalet förs och som förklarar samt motiverar ma-tematiska idéer. Dessa mama-tematiska idéer stärks av slutna frågor med syfte att se om eleven förstått det matematiska sammanhanget (Skolforskningsinstitutet, 2017).
I utforskande samtal ska eleverna motivera sina tankesätt och engagera sig i sina kamra-ters resonemang. På detta sätt ska de nå en samstämmig förståelse, där de gemensamt ska komma fram till ett resonemang, ofta kallas detta konsensus. Åsikterna ska respekteras men också utmanas (Skolforskningsinstitutet, 2017). Indikationer på utforskande samtal är när läraren bidrar till att eleverna skulle nå en konsensus i klassrummet om vad, hur och varför något matematiskt problem är som det är. Dessutom kan eleverna delta i samtalet för att hjälpa varandra vidare. Genom att elever och lärare respektfullt ifrågasätter varandras idéer kan eleverna få en större roll i undervisningen där de kan ta mer plats. Här har elev och lärare lika stort ansvar att ta till vara på lärandeprocessen samt att bidra med matematiska idéer. Lä-rarens uppgift är att vägleda eleverna till att de tillsammans kommer överens om något (Skolforskningsinstitutet, 2017). Öppna frågor är även indikation på att utforskande samtal förs, då eleverna får tillfälle att besvara frågor som oftast har mer än ett korrekt svar.
Rika matematiksamtal. Enligt Smith och Kay Steins (2016) studie beskrivs rika matematiksamtal som interaktioner med tydlig koppling till lärandemålen och där läraren ställer öppna frågor. Vidare menar författarna att rika matematiksamtal beskrivs där eleverna får ta stort ansvar för sina resonemang och tillsammans med andra elever diskuterar med matematiska resonemang.
I denna studie kommer utforskande samtal få större utrymme, då det enligt Skolforsk-ningsinstitutet (2017) kan ses som ett mål för att skapa rika matematiksamtal. De andra sam-talsstrategierna beskrivs för att skildra hur samtalen kan vara i klassrummet. Ofta ställs ut-forskande samtal och IRE-samtal som motpoler till varandra, då de enligt Skolforskningsin-stutet (2017) i praktiken är väldigt olika. Ett exempel på detta är hur utforskande samtal an-vänder öppna frågor, medan IRE-samtal ställer slutna frågor. Detta ger olika förutsättningar för elever att delta i samtalen, men det betyder inte att den ena är bättre än den andra. I denna studie är det därför utforskande samtal som eftersträvas och räknas som rika matematiksamtal, då de andra samtalsmönstren i analysen undersöks om det kan leda till utforskande samtal.
7
Metod
Denna fallstudie är kvalitativt grundad och har med hjälp av en observation av en lektion samt uppföljande stimulated recall intervju undersökt hur lärarens motiverar sina tillväga-gångssätt i lektionen.
Datainsamlingsmetod
Under datainsamlingsmetodsavsnittet är det redogjort för studiens tillvägagångssätt i kronolo-gisk ordning.
Val av metod. Undersökningen var utformad efter en observation av en helklasslektion
med en efterföljande stimulated recall intervju med läraren. Fallstudien skulle belysa hur lära-ren arbetade med olika tillvägagångssätt för att framkalla och utnyttja felsvar och på så vis skapa rika matematiksamtal. Genom att använda en observation kan då tillvägagångssätten enkelt redogöras. Tanken var att en observation skulle räcka som insamling till materialet, men beroende på omfånget av observationen på lärarens sätt att ta in felsvar i undervisningen, var jag beredd att ge mig ut på fler observationer om det skulle behövas. Det räckte dock med en observation.
Beskrivning av lektion.Lektionen som observerades var i ämnet algebra, där lärandemå-let var att lösa ekvationer. Lektionen höll på i 75 min med helklassundervisning. Enligt lära-ren var helklassundervisning en vanlig procedur som eleverna kände sig bekanta med. Obser-vationen gjordes genom att filmas med två kameror med olika perspektiv. Ett perspektiv på elevernas reaktioner, ett på lärarens kroppsspråk. Lektionen skedde på förmiddagen, lektionen innan lunch. Läraren hade en mygga på sig och en mobil spelade in ljud i mitten av klass-rummet för att fånga upp det ljud som eleverna sa ifall de inte skulle höras på originalinspel-ningen. Jag satt längst bak i klassrummet och minnesantecknade, vilket kunde användas i den öppna kodningen, för att komma ihåg de första intrycken av observationen.
Tillvägagångssätt i Stimulated recall intervjun. Stimulated recall intervjun skulle un-dersöka lärarens motiveringar till tillvägagångssätten i intervjun. Haglund (2003) menar att forskaren på detta sätt kan undersöka hur läraren reflekterar över konsekvenserna för hand-lingarna. Läraren fick se de valda episoderna och sedan återge vad den observerat. Intervjun var semistrukturerad, då jag varierade mellan förberedda och spontana frågor. Bryman (2017) skriver att sådana intervjuer kan skapa goda förutsättningar för att undersöka lärarens egen inställning, utan att färgas för mycket av forskarens intressen.
8
Användning av data. Huvudmaterialet i denna studie har baserats på observationen, då den beskriver hur läraren framkallat och utnyttjat felsvar. Dock var stimulated recall intervjun väsentlig för analysen då den redogjorde för motiveringarna till lärarens val av olika strate-gier. På detta sätt samspelade både intervjun och observationen i analysen.
Analysmetod
En tematisk analys användes i denna studie. Tematisk analys innebär i korthet att arbeta med sin insamlingsmetod utifrån valda teman. Antingen kan forskare använda sig av förvalda teman eller, likt i grundad teori, finna nya slags teman i samband med att analysen utvecklas (Bryman, 2017). Denna typ av analysmetod är vald i studien för att i efterarbetet kunna identi-fiera teman för de valda frågeställningarna. Dessa teman bestämdes utifrån öppen och selektiv kodning, vilka senare i detta avsnitt kommer presenteras.
Procedur för analysmetod. Första delen av analysmetoden var att titta igenom
observat-ionsmaterialet och ögna igenom mina lektionsanteckningar, för att undersöka de första in-trycken om materialet. Efter detta analyserades materialet från observationen med hjälp av öppen och selektiv kodning. Sedan tematiserades materialet utifrån när läraren framkallar felsvar respektive utnyttjar felsvar. Efter observationen valdes det ut lektionsepisoder där lära-ren lyfte in elevers felsvar i undervisningen eller undvek att göra detta.
De fyra lektionsepisoderna visade upp flera olika typiska exempel på hur läraren framkal-lar felsvar samt utnyttjar felsvar med de tre strategierna. Om läraren på intervjun skulle gå igenom alla gånger elevernas felsvar lyfts in i undervisningen skulle det bli väldigt uppre-pande. Därför valdes de fyra lektionsepisoderna som var typiska exempel på strategierna ut. De delarna av intervjun med läraren är valda för att de visar exempel på när läraren motiverar varför hen framkallar eller utnyttjar felsvaren utifrån de valda strategierna. De gånger läraren kommenterade något annat än felsvar, exempelvis elevernas kunskapsnivåer, har valts bort på grund av dess mindre relevans för studiens frågeställningar. De lektionsepisoder som är valda från observationen och intervjun är helt enkelt representativa för hur läraren framkallat och utnyttjat felsvar, samt hur läraren motiverat dessa tillvägagångssätt.
Kodning och tematisering.Här kommer det beskrivas vad öppen kodning och selektiv kodning betyder men också vad detta innebär för tematiseringen av observationen. Dessa två kodningsätt var en tvåstegsprocess baserat på Glasers Substantiva kodning (Fejes & Thornberg, 2015). Substantiv kodning betyder att forskaren ska undersöka sitt insamlings-material på med hjälp av olika kodningar och pendla mellan dessa för att öka validiteten
9 (Fejes & Thornberg, 2015). Detta innebar för min studie att jag i analysen av materialet pend-lade mellan var det fanns felsvar samt undersöka hur läraren kunde framkalla felsvar. Sedan i den selektiva kodningen djupgående undersöktes hur läraren med hjälp av normer kunde framkalla felsvar. Alla delar i teorin användes i selektiva kodningen, där samtalsmönstren hade en stor roll.
Öppen Kodning.Öppen kodning betyder att forskaren närmar sig sitt material med hjälp
av öppna frågor och kodar samt tematiserar sina transkriberingar och filmer med hjälp av te-matiseringar som uppkommer i samband med undersökningen (Fejes & Thornberg, 2015). I den öppna kodningen undersöktes först om observationen hade några felsvar hos elever och hur läraren isåfall bemötte dessa. Översiktligt granskades om läraren bemötte och framkallade elevers felsvar på något speciellt sätt. De teman som inte berörde innehållet i denna studie valdes istället bort. Exempel på detta var allmänt prat om matematik, tidsaspekter på matema-tik samt lärarens egna exempel på när och hur eleverna ska arbeta med matemamatema-tik hemma.
Selektiv kodning.Selektiv kodning gjordes utifrån de framställningar som varit mest
re-levanta i analysmaterialet för fallstudiens frågeställningar. Här kunde också fallstudiens teo-rier skapa nya perspektiv på valda teman och tillföra perspektiv på tematiseringarna (Fejes & Thornberg, 2015). I den öppna kodningen hade jag redan observerat var felsvaren fanns, nästa steg i selektiva kodningen var då att undersöka om felsvaren kunde leda till rika matematik-samtal. Om felsvaren på olika sätt skapade rika matematiksamtal valdes dessa episoder ut att användas i analysen och intervjun. Utforskande samtal som räknades som rika matematiksam-tal i denna studie, var de sammatematiksam-tal som skulle markera om felsvaren blivit en tillgång för läraren. Detta mättes med de beskrivningar som gjorts samt indikationer som finns i teoriavsnittet. De andra samtalsmönstren kunde även leda till utforskande samtal, vid dessa situationer under-söktes då hur samtalen påverkade varandra.
Transkribering. De utdrag som valts ut att transkribera är enligt mig, representativa för
att framkalla och utnyttja felsvar. Vid transkriptionen användes en tabell utformad och inspi-rerad efter Conversation Analyses (Även kallat CA), alltså konversationsanalys. Detta gjordes för att framställa de situationer så verklighetstroget som möjligt i förhållande till materialet (Fejes & Thornberg, 2015). Tabellen över transkriberingen (Tabell 1) är bifogad i bilaga 2. För att få ett mindre upprepande språk förkortades ibland transkripten, ett exempel på detta är när läraren uppepat samma mening flera gånger. Detta är enligt Fejes & Thornberg (2015) något som är nödvändigt för att läsaren ska kunna ta till sig texten på ett lätttillgängligt sätt.
10
Urval
I undersökningen valde jag att observera och intervjua en lärare från skolan där jag utfört min verksamhetsförlagda utbildning. Urvalet av lärare grundade sig på att hen använde sig av felsvar i undervisningen men var även ett praktiskt urval där elever och lärare hade träffat mig tidigare. Därför kan lärandesituationen också bli mindre konstlad (Bryman, 2017). Läraren har undervisat i matematik i 27 år och har därför lång erfarenhet inom yrket. Klassen som observerats är en årkurs sex, där läraren följt dem sedan fjärde klass.
Begränsningen med urvalet kan vara att resultatet av observationen inte är generaliserbar för alla lärare i Sverige. Däremot kan denna undersökning säga något om hur andra lärare kan använda praktiknära strategier och samtal i undervisningen på olika sätt.
Validitet och Reliabilitet
Validitet är ett begrepp som innefattar om en studie kan undersöka det den har för avsikt att faktiskt undersöka (Barajas, Forsberg, & Wengström, 2016). Validitet handlar även om mätinstrumentet verkligen mäter det som ska undersökas (Bryman, 2017). Genom att se om frågeställningarna är relevanta, kopplade till metodansatsen samt teoriavsnittet kan detta möj-liggöras. Metoden besvarade mina forskningsfrågor då läraren sågs som en expert på sitt om-råde och visade på den tysta kunskapen som kan finnas i praktiken. Med tyst kunskap menas att läraren delger något som sällan finns i läroböcker, utan snarare interaktionsbaserad kun-skap som lärare får genom erfarenhet (Thomassen, 2007). Läraren kan här visa upp vilka stra-tegier och samtal som kan framkalla och utnyttja felsvar i undervisningen. Dessutom kunde lärarens olika val motiveras och sedan synliggöras i stimulated recall intervjun.
Reliabilitet handlar om att en studie ska kunna redogöras så pass tydligt att någon annan forskare som är insatt i ämnet ska kunna göra om studien och få samma resultat vid olika mätningar (Barajas, Forsberg & Wengström, 2016). Reliabilitet ska säkerställa att undersökningen är pålitligt gjord (Bryman, 2017). Genom att denna studie redogjort hur observationen, intervjun samt analysmetoden gått till kan förhoppningsvis andra forskare då göra en liknande studie.
Forskningsetiska principer
I denna fallstudie har jag utgått från några etiska principer för att förhålla mig till forsk-ningsetiken. Dessa är följande: Informationskravet, Samtyckeskravet, Konfidentialitetskravet samt Nyttjandekravet. Enligt Bryman (2017) ska detta innebära att forskare skyddar de som är inblandade i forskningen på olika vis. Informationskravet och samtyckeskravet är till för att
11 den som blir intervjuad eller observerad ska kunna bli införstådd i studiens syfte samt ge full-ständigt samtycke (Bryman, 2017). Innan observationen delade jag ut en blankett där elever och vårdnadshavare undertecknade, om de ville delta i observationen. Dessutom beskrev jag observationens syfte, både muntligt och skriftigt, till den valde läraren. Blanketten är bifogad som bilaga 1, där observationen och undersökningens syfte tydliggjorts.
Konfidentialitetskravet handlar om att uppgifter som jag får ta del av ska behandlas kon-fidentiellt, där ingen obehörig ska kunna nå dessa. Nyttjandekravet är att informationen endast får användas till berörd forskning (Bryman, 2017). Detta har följts upp genom att lärare och elever skyddas med anonymitet. Detta påverkade transkriptionerna då lärare och eleverna sällan beskrevs med kön och ursprung. Varken lärare eller elever hade några fiktiva namn då detta kan ge läsaren en bild av vem personen är. Dessutom har transkriptionerna gjorts om till ett formellt språk för att ta bort vissa identifierande inslag.
Analys och Resultat
Analysen sorteras efter olika kategorier med transkriberingar löpande i texten för att visa på exempel som stärkt resultaten. Transkriberingar från observationen presenteras först i ord-ningen för att visa exempel på lärarens tillvägagångsätt att hantera felsvaren. Sedan kommer transkriberingar från intervjun för att visa hur läraren motiverat de olika valen som gjorts på lektionen. Läraren benämns med L i transkriptionerna och eleverna nämns antingen som E, E1, E2 etc., då det avgörs om det antingen är en elev i transkriptet eller flera. Intervjuaren benämns med I.
Hur en lärare kan framkalla elevers felsvar
Läraren kunde under lektionen framkalla elevernas felsvar med hjälp av etablerandet av normer. Genom att läraren arbetar med normer och skapar en social miljö där det är accepterat att säga fel kan läraren framkalla elevernas felsvar.
Hur en lärare kan framkalla felsvar genom att etablera en god miljö. I teorin nämnde
Helenius (2019) hur normer kunde påverka matematikundervisningen på olika sätt. Genom att läraren förmedlar olika önskvärda beteenden kommer också eleverna eftersträva att följa dessa. Under lektionen har eleverna upprepade gånger haft felaktiga lösningar eller svar till en uppgift och tillsammans arbetar eleverna och läraren fram svaret. En sådan miljö kan illustre-ras med hjälp av nedanstående dialog mellan läraren och en elev. Läraren ber eleven att ut-veckla varför den gjort en viss uträkning. Eleven förstår efter att ha funderat lite att den gjort fel.
12 E: Jag (1.5) Fel. [Elev skruvar på sig]
L: Jaha, du kan säga det. Jag har tänkt fel. Ojdå. När du får sånt och speciellt när det är ålder, vad ska du göra då? Du ska inte ge upp. Ojdå kommer du säga till dig själv, jag har tänkt fel.
I utdraget har eleven insett att den gjort fel och verkar synbart obekväm, då eleven skru-var på sig. Dock förklarar läraren att det är helt okej att göra fel. På detta sätt kan läraren skapa goda förutsättningar att låta eleverna förstå att normen i klassrummet ska vara att det är accepterat att säga fel. Dock kan elevens klasskompisar uttrycka andra normer, som går emot lärarens egna normer. Om en elev exempelvis skrattar kan eleven i ovanstående situation bli rädd för att säga fel, trots att läraren försök att etablera normen att det är okej att säga fel. Mi-chaels, O’Connor och Resnick (2007) beskriver hur normer bör bli integrerade i undervis-ningen där läraren tillsammans med eleverna diskuterar fram olika normer. På detta sätt kan läraren i den berörda situationen tillsammans med eleverna diskutera om fel är något som är accepterat eller ej. Eleven var som sagt obekväm i början men efter diskussionens gång sträckte eleven på sig och vågade prata ännu mer. Detta märktes även i andra exempel då en elev som vanligtvis har rätt, sa fel svar och efter mycket diskussion erkände det. Samma elev sa sedan på slutet av lektionen att hen tyckt lektionen varit väldigt givande och kunnat lära sig mer efter att ha haft fel.
Nedan visar ett exempel på hur läraren tycker att den arbetar med felsvar i klassen. Enligt läraren kan en god miljö skapas med hjälp av att eleverna vågar göra fel framför eleverna i helklass.
L: Ja, de är vana vid att komma fram (.) till tavlan. Och de gillar det. Det är inte många som gör det men jag brukar skriva upp massor av uppgifter på tavlan för jag vill skapa en miljö där man inte skrattar åt varandra om man har gjort fel. Nej om man gör fel, ska man istället stötta varandra (.) eh man kommer fram till tavlan och det kan vara att man gör fel eller inte klarar uppgiften men tillsammans (.) Så är de trygga under lektionerna. Ovanstående utdrag kan urskilja hur läraren betonar att miljön kan skapa många möjlig-heter för att låta eleverna delvis våga säga fel, delvis förenkla lärarens arbete att framkalla felsvar. Trygghet och diskussion är två faktorer som läraren betonar. Detta stöds av Walshaw och Anthony (2008) som menar att miljön kan ge rätt förutsättningar att våga säga vad de tror är rätt svar och då kunna utvecklas i matematik. Genom att diskutera med eleverna och arbeta fram en trygg miljö, kan också eleverna våga säga hur de tänker. Som nämnt om IRE-kulturen i teoridelen, kan det ofta i samtal vara fokus på rätt och fel. Läraren vill här istället fokusera
13 på hur elever kan diskutera sig fram till varför något blivit rätt eller fel. Detta kan vara goda exempel på disputerande samtal (Skolforskningsinstitutet, 2017).
Läraren fortsätter även att diskutera om så kallade svaga elever. Läraren menar att de hjälps av att tillsammans arbeta med de andra eleverna och då lyftas av lärarens förklaringar och resonerande. Detta kan även vara ett sätt att arbeta med framkallning av felsvar, då man arbetar med elevernas skilda nivåer och låter dem hjälp varandra. Genom att också utmana varandras felsvar kan det då bildas rika matematiksamtal (Smith & Kay Stein, 2016). Nedan visas ett exempel på hur läraren beskriver sitt sätt att framkalla felsvar och varför det är vik-tigt.
L: Ja men det är från början. Det tar lite tid med eleverna och påverkas av sättet som man jobbar med eleverna. Om man låter dom våga säga fel och säger att det är okej och förtydligar att det inte är ett problem genom att le mot dem, får de en bra känsla. Man ska inte skälla på dem och säga:” nej men du har sagt fel, så gör man inte. ” Man tar in det och diskuterar det och försöker köra sitt sätt och visar att det har blivit fel och att det inte är något problem.
Läraren reflekterade fortsättningsvis att det kan finnas en utmaning att fastställa en bra miljö i klassrummet där det är okej att säga fel. Läraren påpekade att den viktigaste grundste-nen är att felsvar kan användas effektivt. Att ha en accepterande miljö menade läraren ska vara en viktig faktor för att felsvar ska kunna vara en tillgång i undervisningen. När läraren fick frågan om felsvar kan ha en negativ inverkan på elever, svarade läraren att det inte varit ett problem då ett gott klimat kan förhindra att eleverna far illa. Med andra ord menade lära-ren att den goda miljön är avgörande för att läralära-rens arbete med felsvar ska bli framgångsrikt. Normen som läraren vill förmedla är att det ska vara accepterat att säga fel, vilket blir synligt i interaktionen mellan läraren och eleverna. Läraren indikerar då på önskvärda beteenden och framkallar felsvar med hjälp av en accepterande miljö.
Hur en lärare kan utnyttja elevers felsvar för att skapa rika
matematik-samtal
Under analysen av arbetet har läraren haft tre olika strategier för att utnyttja felsvar som visat sig skapa rika matematiksamtal. Följande strategier har observerats flertalet gånger på lektionen. Strategierna är namngivna efter respektive underrubrik.
Räkna ut lösningen i helklass för att undersöka var svaret brister. Under
observat-ionen var det två tillfällen där läraren misstänkte att en elev hade en felaktig lösning och följ-de upp följ-det genom att räkna ut elevens felaktiga lösning i helklass. Målet var då att eleverna skulle se var resonemanget brister och på så vis ta lärdom av elevens felaktiga lösning
alterna-14 tivt felsvar. Eleverna kunde då utifrån lösningen ha rika matematiksamtal om vad som gått snett och hur det kan förhindras i framtiden. Detta är ett typiskt exempel på utforskande sam-tal då det i teoriavsnittet beskrivits hur samsam-talet ger utrymme för elevernas egna resonemang (Skolforskningsinstitutet, 2017). I nedanstående exempel kan eleverna hjälpa varandra att ta sig vidare i lärandeprocessen genom att läraren ger möjligheter för eleverna att integrera med varandra. Inom utforskande samtal är det viktigt att eleverna får lika stort ansvar att bidra med matematiska idéer som läraren (Skolforskningsinstitutet, 2017). Vid två tillfällen av lektionen använder läraren elevens felaktiga lösning och räknar ut på tavlan för att sedan se var det bris-ter. Nedan är ett typiskt exempel på detta. Eleven ifrågasätter en lösning av en ekvation som läraren precis gått igenom med klassen. Den valda uppgiften utmanar eleverna att ta reda på vad x är. Läraren beskriver uppgiften på detta sätt: Pias pappa är 3 gånger så gammal som Pia. Lisa är 5 år yngre än Pia. Deras sammanlagda ålder är 45 år. Skriv en ekvation och räkna ut hur gamla Pia, Lisa och pappa är. Denna uppgift hänvisas härefter i studien med namnet Pias ålder. Nedan räcker en upp handen när läraren frågar om hur klassen tänker kring x:
E: Jag vill bara säga att jag tänkt på ett annat sätt. L: Att du har tänkt (.)?
E: På ett annat sätt.
L: Vad för sätt har du tänkt på? E: Ska jag komma fram och visa?
L: Ja. (ler) Nu ska vi se vad hon har tänkt på.
I utdraget kan det observeras hur läraren får en fråga där eleven tänkt på ett annorlunda sätt än vad den tidigare lösningen visat på. Eleven vill frivilligt gå fram och visa hennes ut-räkning. Efter detta visar eleven sin lösning och svar. Eleven får då fram ett x med decimaltal. Läraren bekräftar först elevens sätt att tänka på, vilket är typiskt kumulativt samtal, då elevens svar uppmuntras och accepteras direkt, utan någon vidare relevans för om det är korrekt eller ej.
Detta resulterar i att eleven förklarar vad den gjort för att sedan bli bekräftad av sin klass-kamrat. Klasskamraten uppmuntrar elevens lösning och på detta sätt blir samtalet ett typiskt kumulativt samtal, där elevens svar bekräftas av andra. Läraren dyker in och ifrågasätter ele-vens resonemang och frågar när svaret på åldern till Pia blir 16,66. Här brister alltså svaret, då läraren ställer frågan till eleverna om svaret verkligen är rimligt. En annan elev motiverar att svaret är rimligt om man avrundar åldern. Läraren ställer då frågan om det går att avrunda ålder. Detta är alltså ett samtal där läraren först låter eleven ta relativt stor plats, visa upp sitt
15 resonemang och undersöker därefter när svaret brister. När eleven inser att svaret inte är rim-ligt längre, kan läraren med hjälp av klassen undersöka vad som gått snett. Eleverna har först ett kumulativt samtal som sedan med vägledning av läraren blir ett utforskande samtal där eleverna behöver stå till svars för sina tankar. Dock blandas det även med några IRE-samtal, där läraren ställer några slutna frågor för att hitta var bristerna uppkommit. Läraren beskrev att arbetet med felsvar i helklassundervisningen kan bli viktigt för inlärningen nedan:
L: Ja, för jag ville inte (.) min tanke var att diskussionen i helklass skulle vara när alla kunde se lösningen. Annars kommer det bli så att när de börjar sitta med det enskilda arbetet så kan många ha samma sorters frågor. Då kan vi förlora väldigt mycket tid, då kan det bli bättre att vi i helklass tar massor av annorlunda uppgifter och resonerar kring hur vi kan tänka när vi jobbar med exempelvis ekvationer.
I utdraget beskrivs hur felsvar kan vara ett bra medel när läraren har tidsbrist. Genom att läraren går igenom felaktiga svaren eller lösningarna i helklass, undviker läraren att gå ige-nom samma förklaring upprepade tillfällen med olika elever. Dessutom menade läraren att eleverna gynnas av att resonera vid olika slags uppgifter, då de utmanas. Detta kunde då skapa rika matematiksamtal. Efter att läraren valt att räkna ut elevens lösningsförslag i helklass kom eleverna fram till att Pia var 16,66 år gammal. Nedan beskriver läraren att helklassdiskussion-er kan vara viktiga då elevhelklassdiskussion-erna inshelklassdiskussion-er var lösningen bristhelklassdiskussion-er och då förstå att de har gjort fel.
L: Utan då kommer eleverna veta om att det inte är rimligt längre, att något är fel och då gå tillbaka till uppgiften och börja från början. Då upptäcker de vad det är för fel som de gör själva.
Läraren menar att man bör fånga upp felsvaren för att undersöka dess brister, för att låta eleverna lära sig av sina misstag. Läraren säger att eleverna måste inse att de har svarat fel för att kunna finna motivationen till att kontrollera sina svar i framtiden. Läraren säger också att det är viktigt att eleverna inser att det är rimligt, då eleverna behöver skaffa egna strategier som är fungerande i matematik. Eleverna kan på detta sätt bli mer självständiga i sina lös-ningar av matematikuppgifterna.
Jämföra och låta eleverna resonera.Denna strategi går ut på att läraren väljer att ta en elevs felsvar och antingen har ett annat svar att jämföra med eller tillfråga eleverna om något annat alternativ. Denna typ av strategi observeras två gånger under lektionen. Detta sätt kan likna utforskande samtalsmönster då elevernas svar jämförs för att sedan skapa en konsensus i gruppen, om vilket alternativ som är bäst (Skolforskningsinstitutet, 2017).
16 Exemplet nedan är valt för att exemplifiera en variant av denna strategi. Detta är en hel-klassdiskussion mellan tre elever och läraren. Läraren har tidigare fått höra från elev 1 att man inte bör lösa talet på ett visst sätt. Eleven menar vidare att man inte får multiplicera med x-variabeln då den står i nämnaren, då det inte räknas som ett riktigt tal. Läraren har innan dess först löst uppgiften på Elev 1:s sätt men vill nu utmana eleverna och lösa uppgiften på ett an-nat sätt, för att kunna jämföra lösningarna. Läraren ifrågasätter sedan eleven och frågar om det inte går att lösa det på ett annat sätt. Eleven kan då utveckla sina tankar och pröva hur länge resonemanget håller. Sedan prövar läraren att lösa talet med hjälp av klassens andra alternativ. Nedan följer dialogen efter klassen löst talet på det sätt som Elev 1 inte tyckte det kunde lösas på. Läraren ber Elev 1 om vad den tycker om att de löst uppgiften på ett sätt som eleven tidigare tyckt varit omöjligt att lösa på. Eleven menade att det inte går att multiplicera ett tal där x står som nämnare. Elev 1 svarar då att det ser bra ut det också. Då räcker Elev 3 ivrigt upp handen och läraren ger eleven ordet:
E3: Båda kom fram till rätt svar (.) men det där är mer tekniken vi har kört [pekar på ut-räkningen som E2 och läraren använt] så jag tror det där är mer rätt.
L: Ja (.) Den här tekniken är den som vi använt och har kört hela tiden, så om vi använ-der den får vi också samma svar. Men E1 du tyckte att vi inte får göra det om en av dem inte är ett tal. Den här variabeln är, x, att vi inte får gångra det. (.) Det där är frågan. Varför tyckte du att vi inte får multiplicera dem?
E1: För (.) när vi har talet x, känns det inte som att man kan göra någonting med det. När eleverna får diskutera och resonera för sina val och läraren ställer frågor är samtalet till en början ett typiskt disputerande samtalsmönster, då eleverna behöver stå till svars för sina resonemang. Dock övergår det till ett rikt matematiksamtal då eleverna får större möjlig-het att utveckla sina resonemang i takt med att läraren låter över ansvaret för samtalet till ele-verna.
Läraren fortsätter genom att be eleverna i klassen motivera vilket som de tycker är lättast att använda. En diskussion förs mellan eleverna där de motiverar varför någon av lösningarna är bäst. Detta är typiska indikationer på utforskande samtal, då eleverna behöver komma överens om en konsensus. En elev menar att lärarens lösning är tryggast, då de oftast använ-der den, en annan elev menar att samma lösning är enklast medan en tredje elev poängterar att Elev 1:s strategi är snabbast sätt att lösa talet på. Läraren låter eleverna motivera och frågar sedan återigen vilken de tycker de skulle använda i framtiden. Läraren låter sedan klassen bilda en gemensam lösning som de tycker är bäst att använda på framtida tal, vilket blir lära-rens val, då den är tryggast för eleverna. Eleverna använder många olika argument och även
17 om läraren leder samtalet vidare låter den eleverna ta stort ansvar att lösa uppgiften. Detta är typiska indikationer på utforskande samtal, alltså rika matematiksamtal (Skolforskningsinstitutet, 2017). Nedan kommer ett transskript där läraren beskriver sin tolk-ning av situationen, där hen reflekterar över hur elev 1 reagerade på att resonemanget inte var fullständigt korrekt.
L: mm. Ja men jag tror att de tar det bra. Han har tagit det okej. Det går att han prövar sig fram och skulle kunna säga: Ja men jag har sagt det går inte, men inser sedan snabbt att det inte håller, och ändrar sig sedan efter att han provat. Ibland leder det till att eleverna har rätt, ibland så håller det inte hela vägen istället. Men jag vill att vi testar det tillsammans om det blir rätt eller inte.
Läraren menar att det är viktigt att eleven får öva på sin förmåga att försvara sitt resone-mang för att sedan se om det håller eller inte. En jämförande del kan då också vara bra för att öka elevernas förståelse av problemet när de ser olika sätt att komma fram till svaret. Detta leder till ett rikt matematiksamtal, då eleverna engagerar sig i att diskutera hur variabler går att multiplicera med eller inte (Skolforskningsinstitutet, 2017).
Ifrågasättande av elevernas resonemang.En annan strategi som observerats är hur lära-ren ifrågasätter elevernas resonemang för att se hur länge det håller. Nedanstående utdrag är ett typiskt exempel på hur eleverna har ett svar och tvingas försvara det för läraren. Denna strategi har observerats sju gånger under lektionen. Nedan har eleven sagt att den inte kommer längre i lösningen av uppgiften Pias ålder än att hen vet att eleven är 16,66 år gammal, trots att den saknar förklaring till varför.
L: Ja det kan man göra, och vad leder det till sen? Vad kommer du fram till? E: Jag kommer inte fram till något annat svar.
L: och det kommer bli 16,66 år gammal. Kan du skriva det? (.) [E skakar på huvudet.] Nej. Vad har du gjort för någonting? E: Fel.
I ovanstående transskript har eleven först en teori om att 16,66 är ett rimligt svar. Läraren ifrågasätter då med hjälp av olika ledande frågor för att få eleven att till slut själv inse att sva-ret inte är rätt. Sedan leder detta till en diskussion om hur eleverna tänkt, kan tänka och hur de kan lösa uppgiften på nytt. Eleverna får inte alltid ta lika stor del som lärarens talutrymme, men får alltid försvara sina resonemang och diskutera med varandra om vad som är ett rimligt svar. Detta är typiska exempel på utforskande samtal enligt Skolforskningsinstitutet (2017).
Genom att läraren ställer många öppna och slutna frågor tvingas eleverna att tänka efter om resonemanget är försvarbart. Dessutom låter läraren över ansvaret på eleverna att resonera och
18 förklara för sin klasskamrats felsvar, vilket indikerar på att det präglas av ett utforskande sam-tal. Ett annat typiskt exempel på hur läraren kan ifrågasätta en elevs lösning på ett svar som är felaktigt är denna ledande fråga:
L: Är den fem år yngre? Eller fem år?
Eleven inser då att den inte riktigt är på rätt väg, då den missförstått uppgiftsbeskrivning-en. Eleven får då hjälp med att förstå en av grundförutsättningarna för att lösa talet. Sedan bryter en diskussion ut där eleverna funderar på vem som ska vara x i situationen, då det finns både Pia, hennes pappa och syster. Även om det är en ledande fråga kan det sedan resultera i att eleverna får resonera för varför något borde göras och sedan diskutera vidare. Läraren kommenterar att denna strategi är bra då eleven behöver inse att den har fel.
L: Eleverna kommer inte glömma bort det. Ja, de vet att jag brukar säga till dem ”när ni gör det, det är bra att ni gör fel, för vi gör det tillsammans, då kommer man inse att juste, så får man inte göra. Och nästa gång när det kommer samma sorts uppgift då kommer du komma ihåg det, juste, jag har varit framme vid tavlan, eller jag har disku-terat med min lärare, och vi kom fram till att man inte får göra det.” då kommer de inte glömma bort det.
Genom att läraren väljer att använda sig av öppna frågor, ställer eleverna mot väggen och ifrågasätter deras resonemang, kan eleverna också inse att de har fel. Enligt läraren kan detta skapa en kunskap som sitter i som de aldrig glömmer bort. Dessutom skapas det i samband med ifrågasättandet, rika matematiksamtal då eleverna behöver arbeta tillsammans och komma fram till ett gemensamt beslut, en konsensus (Skolforskningsinstitutet, 2017).
Resultatsammanfattning
Frågeställningen som ska besvaras i detta resultatavsnitt är följande: Hur kan en lärare framkalla och utnyttja elevers felsvar för att skapa rika matematiksamtal? Analysen visar att läraren med hjälp av miljön och klassrumsnormer kan framkalla elevers felsvar. Lärarens mål var att etablera en god social miljö där det är accepterat att säga fel. Detta kan göra att lärare med hjälp av att skapa en trygghet hos eleverna och etablera normen om att det är okej att säga fel. Läraren visade det med hjälp av att betona när elever hade fel i en uppmuntrande ton. Elever kan då få förståelse för att felsvar kan vara ett önskvärt beteende som kan leda till en lärandeprocess.
I analysen visades tre strategier som lärare kan använda för att utnyttja felsvar för att skapa rika matematiksamtal. I dessa strategier kunde olika sorters samtal uppstå, där både kumulativa, IRE-samtal, disputerande och utforskande samtal fanns med. När lärare och ele-ver hade olika sorters samtal kunde det i slutändan leda till att det blev rika matematiksamtal.
19 Ibland kunde IRE-samtal leda till utforskande samtal då läraren först ifrågasätter elevers svar med hjälp av slutna frågor, för att ge utrymme eleven att diskutera kring felsvaret. Detta resul-tat visar på att felsvar, med hjälp av andra samtal, kan leda till rika matematiksamtal.
Den första strategin bestod av att räkna ut lösningen i helklass för att undersöka var det brister. Denna strategi kunde tillföra många rika matematiksamtal genom att läraren gav ele-verna ett stort ansvar för att resonera kring felsvarens lösning. Eleele-verna behövde stå till svars för sina resonemang och läraren kunde spara tid genom att diskutera med eleverna i helklass. Felsvar blir här ett medel för lärare att använda för att ta elever vidare i lärandeprocessen.
Den andra strategin baserades på att lärare kan jämföra elevernas egna resonemang. Ge-nom att elever hade två (eller flera) olika resonemang att förhålla sig till, kan de ges större möjligheter att eleverna kommer överens om ett gemensamt sätt att lösa det på, alltså en kon-sensus. Genom att utnyttja felsvaren på detta vis kan lärare skapa rika matematiksamtal då elever får stå upp för sina resonemang, där lärare endast fungerade som en ledsagare av att föra samtalet vidare. Andra faktorer som kan skapa rika matematiksamtal är när elever får pröva att resonera för varandras lösningar, vilket kräver att eleverna behöver fundera över andra elevers tillvägagångssätt.
Den tredje och sista strategin handlade om att lärare kan ifrågasätta elevernas resonemang för att få eleven att inse att den gjort fel. Denna strategi förutsatte att elever kunde komma med olika resonemang som i slutändan inte kunde bära hela vägen. Ett exempel på detta var när eleverna hade bedömt att en ålder med decimaltal kunde vara rimligt. Istället för att av-färda lösningen, tog då läraren tillvara på svaret och ifrågasatte elevens egna resonemang. Lärare kan då låta elever inse att de haft fel svar, genom att ifrågasätta deras lösning på olika sätt. Detta kan göra att eleverna analyserar rimligheten i sitt svar. I samband med denna stra-tegi kunde elever ta stort ansvar för att föra samtalet vidare och skapa rika matematiksamtal, där elever hjälper varandra och skapar ett gemensamt beslut om hur de ska gå tillväga härnäst.
Diskussion
I diskussionsavsnittet kommer resultaten diskuteras i relation till tidigare forskning. Se-dan kommer studiens inverkan på lärares arbete reflekteras över. Efter detta kommer en re-flektion över hur metoden kunde ha gjorts annorlunda. Avslutningsvis kommer avsnittet besk-riva hur framtida forskning kan arbeta vidare med felsvar.
20
Resultatdiskussion
I resultatsdiskussionen redogörs först hur lärare kan framkalla elevers felsvar. Sedan be-skrivs hur lärare kan utnyttja elevers felsvar för att skapa rika matematiksamtal.
Hur en lärare kan framkalla elevers felsvar. I denna studie har den berörda läraren
tagit tillvara på elevernas missförstånd och etablerat en social miljö där klassen är van vid att diskutera utifrån felsvar. Lärare kan då arbeta med miljön i klassen för att få eleverna att känna sig trygga att resonera kring sina egna felsvar. Detta stöds av Parsons (2017) och Babushkinas, Vitalievna Bagramovas och Ivanovna Shukshinas (2019) beskrivning av hur miljöfaktorer kan skapa förutsättningar för elever att trots rädsla, våga chansa i matematikklassrummet. Även Blomhøj (2019) menar att interaktionen mellan elever och lärare är avgörande för att felsägningar ska kunna uppstå och sedan användas på ett produktivt sätt. Detta kräver att läraren etablerar en norm som ska följas i klassrummet (Michaels, O’Connor, & Resnick, 2007 ; Walshaw & Anthony, 2008).
Normerna som var fördelaktiga för matematikklassrummet skulle på ett demokratiskt sätt fördela ordet. Läraren kunde då etablera olika slags interaktioner med eleverna där de fick stor delaktighet och inflytande (Michaels, O’Connor, & Resnick, 2007 ; Walshaw & Anthony, 2008 ; Blomhøj, 1994). Normen att det är acceptabelt att säga fel är något som betonades (Michaels, O’Connor, & Resnick, 2007 ; Walshaw & Anthony, 2008 ; Blomhøj, 1994). Lära-ren arbetade kontinuerligt med att låta eleverna delta och ta stort ansvar i samtalen. Studien visar bland annat att felsvar kan användas då lärare känt tidsbrist, då läraren kan gå igenom ett missförstånd i helklass, istället för att gå igenom samma förklaring återupprepande gånger enskilt med elever. Med bakgrund till detta visar min studie, likt tidigare forskning, att normer kan ha en stor inverkan på hur felsvar accepteras i klassrummet. Studien visar även på ett nytt synssätt, då tidigare studier sagt att felsvar kan vara tidkrävande (Gardee & Brodie, 2015). Här menar min utvalda lärare att felsvar kan istället vara tidseffektivt.
Hur en lärare kan utnyttja felsvar för att skapa rika matematiksamtal.I denna stu-die har läraren använt sig av tre olika sorters interaktiva strategier att utnyttja felsvar på.
Första strategin att räkna ut lösningen i helklass för att se var svaret brister kunde ele-verna diskutera tillsammans med läraren varför något blivit fel. Detta är ett exempel på vad Gardee och Brodie (2015) menar, då felsvar kan leda till rika matematiksamtal, när elever får diskutera rimligheten i sitt eget svar. Dessutom stöds det av Petterssons (2013) beskrivning av elevers inlärning, där eleverna riskerar att ha för hög tilltro till sin egen lösningsförmåga om de inte tidigt lär sig att kontrollera svaret. Denna strategi är en typisk affektiv strategi, då den
21 fokuserar på hur eleverna kan lära sig av sina egna misstag (Babushkina, Vitalievna Bagramova, & Ivanovna Shukshina, 2019).
När läraren arbetade med andra strategin att jämföra elevers felsvar med varandra kunde eleverna se olika sorters lösningar. Detta skapade möjligheter för eleverna att kunna resonera om vad som är rätt eller fel med sina egna motiveringar. Eleverna kunde då få större förståelse för hur en liknande uppgift i framtiden kan lösas på olika sätt. Denna interaktion är ett exem-pel på hur lärare kan hantera felsvar enligt Babushkina, Vitalievna Bagramova och Ivanovna Shukshina (2019). Vidare menar författarna att eleverna behöver utmana sina rädslor och våga säga fel för att lära sig av det (Babushkina, Vitalievna Bagramova, & Ivanovna Shukshina, 2019).
Den sista strategin som presenterats i studien är när läraren ifrågasätter elevernas felsvar. När läraren utmanade eleverna med slutna och öppna frågor behövde de utveckla sina resonemang för sina tillvägagångssätt. Dessutom behövde eleverna stå till svars för sina egna lösningar och diskutera vad som fungerar eller inte. På detta sätt kan lärare med hjälp av strategin enligt Babushkina, Vitalievna Bagramova, och Ivanovna Shukshina (2019) utmana elevernas förförståelse av matematiken. Läraren använde sig här till viss del av strategin re-voicing, genom att återupprepa elevens resonemang och lägga till ett ord för att få eleven att bli tveksam på sin egen lösning.
Sammanfattning.Denna studie visar på att lärare kan framkalla och utnyttja felsvar för att skapa rika matematiksamtal. Läraren i studien har medvetet framkallat felsvar och utnyttjat felsvar för att utmana sina elever. Tidigare har forskning inte visat tydliga strategier där felsvar kan skapa goda samtal i matematikklassrummet. Denna fallstudie har visat hur läraren med hjälp av normer kan framkalla felsvar och hur tre olika strategier kan leda till rika mate-matiksamtal.
Konsekvenser för undervisning
Min förhoppning med denna undersökning är att lärare kan undersöka hur normer kan skapa olika förhållningssätt till felsvar. IRE-samtal har länge haft en dominerande roll i ma-tematikundervisningen (Skolforskningsinstitutet, 2017). Om lärare istället börjar använda den valda studiens tillvägagångssätt och strategier för att framkalla och utnyttja felsvar, kanske felsvaren kan bli en tillgång i matematikklassrummet. Detta styrks av Smith och Kay Steins (2016) studie som pekar på huruvida rika matematiksamtal kan skapas, då det enligt författar-na borde utformas av interaktioner som utmaförfattar-nar elevers egförfattar-na uppfattningar. Författarförfattar-na be-skriver hur problem kan vara en utlösande faktor för att kunna skapa rika samtal (Smith &
22 Kay Stein, 2016). Dessutom har denna studie visat att IRE-samtal och andra samtal i sin tur kan leda till rika matematiksamtal, vilket visar hur läraren med enkla medel kan förändra sam-talskulturen i klassrummet. Om eleverna får mer utrymme att ta plats i klassrummet och dis-kutera fram en konsensus kan också en lärandeprocess skapas.
Denna studie kan ge lärare nya tillvägagångssätt och strategier för att framkalla och ut-nyttja felsvar samt undersöka felsvarens potential för lärandeprocessen. I framtiden kan even-tuellt läraren, efter mycket arbete med normer och klassrumsmiljön, framkalla och utnyttja felsvaren så väl att det skapas rika matematiksamtal. Ett förslag på hur läraren kan arbeta med att framkalla och utnyttja felsvar i klassen är följande: Lärare bör etablera normer i klassrum-met där ett önskvärt beteende är att eleverna accepterar varandras felsvar och vågar ta risker. Ett exempel på detta i den valda studien är hur läraren tillsammans med eleverna diskuterar varför något blivit fel och säger till klassen att det är helt okej att säga fel. Läraren låter ele-verna försvara sina resonemang vilket innebär att ta stora risker då de inte alltid kan ha rätt i sitt resonerande. På detta sätt kan lärare konkret arbeta med att etablera normer i klassrummet för att framkalla felsvar. Lärare bör istället för att avskräckas av elevers felsvar, se dem som en tillgång i undervisningen.
Metoddiskussion
I undersökningen har en observation av en lektion samt en uppföljande intervju gjorts. Valet av metod var visserligen fungerande, men det finns förbättringsområden. Observationen gjordes på en slumpmässigt vald lektion där läraren fokuserade på helklassdiskussioner. Om det hade gjorts ytterligare en observation, där läraren delade in klassen i smågrupper, hade eleverna fått större talutrymme. Läraren kunde då eventuellt använt sig av andra strategier kring felsvar. Om ännu en lektion observerats finns risken för att studien skulle ha blivit för omfattande, då strategierna endast övergripligt kunnat analyserat. Istället valde jag att foku-sera på hur felsvar kan framkallas och utnyttjas i helklassundervisningen, då det kan skapa en fördjupning inom det valda ämnet.
Hur intervjun kunde ha utvecklats är hur lärarens egna reflektioner kunde fått en större roll. Frågorna som ställdes till läraren var till stor del öppna frågor, men tematiseringen spe-lade dock en större roll i intervjun. Lärarens egna reflektioner över exempelvis framkallandet av felsvar, skulle kunnat ha förändrats om frågorna ställdes på ett annat sätt. Om läraren fått större spelrum för sina egna reflektioner kunde eventuellt ännu mer tyst kunskap tagits tillvara på. Eftersom jag inte har några större erfarenheter av att ställa intervjufrågor, anser jag att har åstadkommit ett relativt bra intervjuarbete. Mitt mål var att försöka undvika att påverka den
23 valde lärarens svar, genom att inte ställa ledande frågor som skulle kunna få läraren att för-söka svara på vad forskaren skulle tänkas vilja höra.
Fortsatt forskning
Denna studie har undersökt hur en lärare kan framkalla och utnyttja felsvar för att skapa rika matematiksamtal. Ett oväntat resultat i denna studie är hur läraren ibland undvikit felsva-ren som en strategi för att förebygga missförstånd. Lärafelsva-ren menade att vissa felsvar inte var värda att ta upp med hela klassen, utan snarare undvikas för att inte förvirra andra elever. Detta var ett resultat jag inte var förberedd på, vilket jag sedan undersökte för att se om detta kunde leda till rika matematiksamtal. Ingen koppling kunde göras mellan hur läraren använde strategin för att sedan skapa rika matematiksamtal. Därför kunde inte den valda strategin vara med i analysavsnittet tillsammans med de andra tre strategierna för att utnyttja felsvar, då det inte var en strategi som kunde skapa rika matematiksamtal. Med bakgrund till detta kan det finnas en god anledning att forska vidare på hur lärare kan undvika felsvar. Kan det finnas vinster med detta och hur? Lärares sätt att förhålla sig till felsvar kan påverkas av olika före-ställningar hos elev och lärare. Förhoppningsvis kan fortsatt forskning hitta fler tillvägagångs-sätt att använda felsvar på.
24
Litteraturförteckning
Babushkina, L. E., Vitalievna Bagramova, N., & Ivanovna Shukshina, T. (2019). The Multilingual Personality Formation of a Future Teacher through the Interactive Cognitive Strategies. International Journal of Educational Methodology, 6 (1), 147-152.
Barajas, K. E., Forsberg, C., & Wengström, Y. (2016). Systematiska litteraturstudier i utbildningvetenskap. Stockholm: Natur & Kultur.
Blomhøj, M. (1994). Ett osynligt kontrakt mellan elever och lärare. Översättning av originalartikel i Nämnaren, 4, 1-9.
Bryman, A. (2017). Samhällsvetenskapliga metoder. Stockholm: Liber AB.
Fejes, A., & Thornberg (2015). Handbok i kvalitativ analys. Stockholm: Liber AB.
Fuentes, S. Q. (2013). Small-Group Discourse: Establishing a Communication-Rich Classroom. The Clearing House: A Journal of Educational Strategies, Issues and Ideas, 86 (3), 93-98. Gardee, A., & Brodie, K. (2015). A teacher’s engagement with learner errors in her Grade 9
mathematics classroom. Original Research, 36 (2), 1-9.
Haglund, B. (2003). Stimulated Recall. Några anteckningar om en metod att generea data. Pedagogisk Forskning i Sverige, 3, 145-157.
Heemsoth, T., & Heinze, A. (2014). How Should Students Reflect Upon Their own Errors With Respect to Fraction Problems. Kiel, Germany: Leibniz Institute for Science and Mathematics Education, 36 (3), 265-272.
Hersch, R. (1997). What is Mathematics, Really? New York: Oxford University Press.
Maharani, I. P., & Subanji, S. (2018). Scaffolding Based on Cognitive Conflict in Correcting the Students’ Algebra Errors. International Electronic Journal of Mathematics Education, 13 (2), 68-74.
Michaels, S., O’Connor, C., & Resnick, L. (2007). Deliberative Discourse Idealized and Realized: Accountable Talk in the Classroom and in Civic Life. Stud Philos Educ, 27, 284-295.
Nagar, N. M. (2016). Examining teaching based on errors in mathematics amongst. European Journal of Science and Mathematics Education. 4 (4), 522.
Parsons, C. S. (2017). Reforming the Environment: The Influence of the Roundtable Classroom Design on Interactive Learning. Journal of Learning Spaces, 17 (1), 23-33.
Pettersson, A. (2013). Bedömning av kunskap för lärande och undervisning i matematik. Stockholm: Skolverket.
