Malmö Lärarhögskola
Examensarbete Grundskollärarutbildningen MaNO 4-9 10p ht 2003
Procentförståelse årskurs 9
Rickard Omfors
SAMMANFATTNING
Examensarbetet omfattar dels en teoretisk del, en litteraturstudie som sammanfattar andras erfarenheter av problem vid procenträkning, dels en egen undersökning som gjorts under hösten 2003. Den nu genomförda undersökningen inleddes med en kvantitativ del, en diagnos, som testar förmågan att lösa olika typer av procentuppgifter. Diagnosen innehåller allt från enkla omvandlingar av tal med enkla algoritmer till textbaserade problem, som visar om eleverna har fått en djupare förståelse. Diagnosen kompletterades med elevintervjuer för att fånga upp attityden till matematikämnet i allmänhet och provet i synnerhet.
Resultatet av diagnosen visade att eleverna hade problem med begreppsförståelse i procenträkning och att de i hög grad endast klarade av enkla uppgifter i diagnosen genom att räkna helt mekaniskt med kända algoritmer. Procentuella förändringar behärskades inte då man ofta valde fel bas och ej heller förstod skillnaden mellan begreppen procent och procentenheter. Av intervjuerna framkom, dels att de flesta var positiva till matematikämnet, dels att de inte tyckte diagnosen var svårt formulerad. Litteraturstudier visar att elever generellt har lätt för algoritmlösningar medan uppgifter med text upplevs som svårare. Min undersökning verifierar detta förhållande.
Innehållsförteckning
Sidnummer:
1 Inledning
4
1.1 Ämnesval
4
1.2
Bakgrund
4
2 Syfte och frågeställningar
5
3 Teoretisk bakgrund
6
3.1
Procentbegreppet –lite historik
6
3.2
Behovet av och svårigheterna med procenträkning
6
3.3
Teorier om inlärning av procentbegreppet
7
3.4 Tidigare undersökningar av procentförståelse
11
4 Metod
13
4.1 Val och beskrivning av undersökningsmetod
13
4.2 Undersökningens omfattning
15
4.3 Validitet
15
4.4 Reliabilitet
15
4.5
Avgränsning av undersökningen
15
5 Resultat
16
5.1 Allmänt16
5.1.1 Förklaring av hur resultatet och analysen presenteras
16
5.1.2 Genomsnittsresultat för samtliga elever
17
5.1.3 Förklaring till diagram
17
5.2
Resultat och analys för respektive förmåga
18
5.2.1 Förmågan att omvandla bråktal till procent
18
5.2.3 Förmågan att räkna på procent när "det hela" multipliceras
20
5.2.4 Förmågan att räkna på olika alternativ i affärer
21
5.2.5 Förmågan att räkna ut den andel en viss procent motsvara
22
5.2.6 Förmågan att räkna med begreppen procent och procentenhet
23
5.2.7 Förmågan att räkna med rätt helhet som bas vid ränta på ränta
24
5.2.8 Förmågan att förklara ett matematiskt begrepp med text
25
5.3 Sammanställning av elevernas svar på intervjuerna 26
6 Diskussion och slutsatser
29
7 Referenser
34
Bilaga 1
Diagnos
Bilaga 2
Diagnos facit
Bilaga 3
Intervjufrågor
Bilaga 4 Elevernas fel
1
Inledning
1.1
Ämnesval
Då jag som blivande MaNo lärare (åk 4-9), under min studietid och på mina vikariat, lagt märke till att det fanns många elever som hade problem med procenträkning ville jag ta reda på hur problemen uppstår och på vilket vis undervisningen kan bli bättre. Jag valde att göra en diagnos samt ett antal intervjuer med elever.
1.2
Bakgrund
Jag befinner mig i slutet på min utbildning till MaNo lärare 4-9. Jag har praktiserat på flera skolor och har för tillfället ett halvtidstjänst på en skola i sydvästra Skåne. Under min egen skoltid har jag ändrat uppfattning om matematikämnet flera gånger. Under de tidiga skolåren älskade jag att räkna sida upp och sida ner tills klassläraren bad mig att inte räkna mer. Känslorna till ämnet förändrades successivt under mellanstadiet och i slutet av grundskolan var matematik ett av de tråkigaste ämnena. Trots detta valde jag naturvetenskaplig linje på gymnasiet med motiveringen att jag i övrigt var naturvetenskapligt intresserad. Jag insåg dessutom att jag skulle ha en större möjlighet att utbilda mig vidare om jag valde naturvetenskaplig gren. Under gymnasiets sista år blev jag åter intresserad av matematiken efter att ha lyckats ta till mig de allt svårare kursavsnitten med hjälp av bra lärare både hemma och i skolan.
2 Syfte och frågeställningar
Huvudsyftet med detta examensarbete är, att ta reda på elevers eventuella kunskapsbrister, efter genomgången kurs i procenträkning för årskurs 9, i förhållande till grundskolans läroplan. Efter genomgången grundskola skall elever klara av att hantera vardagsmatematik som behövs i vuxenlivet.
Följande frågeställningar har legat till grund för undersökningen: – Hur förstår eleverna de olika sätten att ange procent? – Vilka är de vanligaste felen vid procentberäkning?
Teoretisk bakgrund
3.1
Procentbegreppet - lite historik
Procentbegreppet uppstod redan under antiken (Smith, 1958). Romarna pratade inte om procent, men de använde andelar (bråk med vår tids terminologi) som på ett naturligt sätt kan kopplas till hundradelar. Under kejsare Augustus regeringstid fanns det en skatt kallad "Centesima rerum venalium". Skatten beräknades som 1/100 av priset på varor som såldes på auktion. Den ökande handeln under 1400-talet samt utvecklingen av ekonomin som vetenskap ledde till en ökad användning av procent i samhället (Smith, 1958). Det finns att läsa i samtida italiensk litteratur också. Men att använda "per cento" i skrift utvecklades under 1600-talet till formen " per o/o", varefter "per" snabbt gick förlorad och dagens beteckning på procent sågs i skrift för första gången. (Jungdalen, 2000), (UR, 2000).
3.2
Behovet av och svårigheterna med procenträkning
Procentbegreppets användning i vuxenlivet
Man möter begreppet procent överallt i vardagen, vare sig det gäller ränta på lånet eller rabatt på varor eller i statistikuppgifter i nyhetsartiklar. Många uppfattar begreppet procent som abstrakt och tycker därmed att det är svårbegripligt. Det enklaste fallet tycks vara när man anger en procentsats vid exempelvis realisation av varor. (Malmer, 1999)
De flesta klarar av att räkna ut vad 10 % rabatt ger i kronor och att 20% blir dubbelt så mycket. Men om man skall beräkna procentsatsen som motsvarar en del av det hela blir det mycket svårare. Procentuella förändringar vållar också stora problem eftersom man inte förstår skillnaden på procent och procentenhet och vad som är bas vid beräkningen. Tyvärr ser man ofta att begreppen procent och procentenheter sammanblandas. Vi kan t ex. ta räntan på ett banklån som minskar med två procentenheter, från 8 till 6 procentenheter, då är den procentuella minskningen av räntekostnaden hela 25 procent. Många tror att räntan minskar med 2 procent vilket självklart är fel eftersom det rätta uttrycket är att räntan gått ned med 2 procentenheter. Procentavsnittet anses vara en viktig del av skolmatematiken eftersom man har nytta av den i vuxenvärlden (Malmer, 1999). Det är en stor fördel att kunna förstå och använda sig av procenträkning vid jämförelse av priser när vi gör våra inköp eller för att beräkna räntekostnader om man köper ett hus eller en bil. Om man skall kunna följa med i rapporteringen i massmedia krävs också kunskap om procentbegreppet. (Malmer, 1999)
De som vill utbilda sig vidare inom naturvetenskap eller samhälle och ekonomi måste räkna med statistik som innehåller en stor del information som uttrycks i procent.
Vad säger läroplanen och kursplanen om procentbegreppet?
Mål enligt kursplanen för matematik (Skolverket, s.27-28, 2000) som eleven ska ha uppnått i slutet av det nionde skolåret är:
”- att eleven skall ha förvärvat sådana kunskaper och färdigheter i matematik som behövs för att kunna hantera situationer och lösa problem som vanligen förekommer i hem och samhälle och som behövs som grund i fortsatt utbildning, ha goda färdigheter i överslagsräkning och räkning med naturliga tal, tal i decimalform, samt med procent och proportionalitet i huvudet, med hjälp av skriftliga räknemetoder och med miniräknare.” I kursplanen för matematik (Skolverket, s.5, 2000) står det nämnt att:
”Grundskolan har till uppgift att hos eleven utveckla sådana kunskaper i matematik som behövs för att fatta välgrundade beslut i vardagslivets många valsituationer, för att kunna tolka och använda det ökande flödet av information och för att kunna följa och delta i beslutsprocesser i samhället. Utbildningen skall ge en god grund för studier i andra ämnen, fortsatt utbildning och ett livslångt lärande.” I grundskolans styrdokument betonas vikten av att eleverna utvecklar sin begreppsförståelse för procent.
Följande strävandemål nämns i kursplanen i matematik (Skolverket, s.27, 2000): "Strävan skall också vara att eleven utvecklar sin tal- och rumsuppfattning samt sin förmåga att förstå och använda: – grundläggande talbegrepp och räkning med reella tal, närmevärden, proportionalitet och procent.”
Enligt läroplanen (Skolverket, 1994) är målet i grundskolan att:
”…varje elev efter genomgången grundskola behärskar grundläggande matematiskt tänkande och kan tillämpa det i vardagslivet.”
3.3
Teorier om inlärning av procentbegreppet
Anderbergs två frågeställningar
Enligt Anderberg (1992) förekommer procent i vardagslivet i följande två frågeställningar • Hur mycket är 14 % av 19, 50kr?
I det första fallet känner man således procenttalet och det hela och skall beräkna delen. I det andra fallet känner man delen och det hela och skall beräkna procenttalet. Många av problemen med procenträkning uppstår då man blandar uppgiftstyperna. Elever har svårt att ställa om mellan olika beräkningssätt. (Anderberg, 1992)
Malmer om procentförståelse som bygger vidare på tidigt inlärda bråktal
Det är många som diskuterat hur procent skall introduceras. Vanligt är att utgå från en 100 ruta då procent betyder per hundra. Man får då en tydlig koppling till decimaltal. Denna metod leder inte till en fullständig förståelse. En stor del av eleverna i skolan har långt tidigare, innan den egna skolgången, observerat begrepp som procent och % -tecknet. Sådana saker kan göra att många barn förstår skillnaden mellan hälften, en fjärdedel (del av helhet) och en hel. Nästa steg för bättre förståelse är att koppla till tal i bråkform. Som allt annat så är denna process inte så krävande om det görs på ett korrekt och pedagogiskt sätt. Självklara bråk och procent som är grunden är att eleverna måste veta att det hela = 100 %. Hälften är då 50 %, fjärdedelen 25 % och tiondelen 10 %. Men det är viktigt att förklara att vissa saker kan bli mer än 100% som t ex ökningar på varor, tjänster, men då på längre sikt.
Malmer (1999) redogör i sin bok för ett nu klassiskt exempel med brunögdhet (34% av tjejerna var brunögda, 34% av pojkarna var också brunögda. Hur många procent av flickor och pojkar är brunögda?). Eleverna reagerar (även vuxna) på talet 34 (inte procentandelen!) och formuleringen "flickor och pojkar", som givetvis måste innebära en addition (34 + 34 = 68), alltså 68%. Det är ju dessutom matematik! Då tillämpar man invanda handlingsmönster. Då Malmer vid ett tillfälle ändrade procentsatsen till 54% med för övrigt lika lydande innehåll, svarade flertalet 108%. På hennes invändning "är det inte väldigt många brunögda?" fick hon svaret "men vi har så många invandrarelever här". (Malmer, 1999)
Kilborn om mekaniskt räknande
Enligt Kilborn (1990) finns det en risk att det traditionella sättet att lära ut procentbegreppet i grundskolan leder till ett mekaniskt räknande med små möjligheter till reflektion. En stor del av skolans procenträkning handlar om sifferexercis. Kilborn ger ett exempel: "Skriv 25 % som ett decimaltal.” Den enda anledningen till detta förfarande är enligt Kilborn att man räknar uppgifter av typen 25% av 500. Man översätter därmed uppgiften till 0,25⋅500 med motiveringen att procent betyder hundradel. Detta kan ge till följd att procenträkningen leder till procentkunskaper, som inte fyller någon större funktion om inte en fördjupad begreppsförståelse också erhålls.
Löwing & Kilborn om risken med att använda kronor för att lära procenträkning
Författarna ser stora fördelar med att använda pengar för att förklara procentbegreppet. Om man börjar med att det hela är 100 %, kan man med en hundralapp och ett antal enkronor lätt förklara vad en procent är. Målet är att få eleverna att förstå att 1 % betyder 1/100 (en hundradel). Med denna metod blir 1 % =1 kr. De påpekar dock att risken med att använda pengar är att eleverna lätt förknippar procent med kronor i alla lägen
(Löwing & Kilborn, 2002).
Introduktion av procentbegreppet i Undvalls lärobok Z och Hakes lärobok Matte Direkt
Hur de olika problemställningarna tas upp i skolan är olika beroende på vilken lärobok man använder. Det är vanligt att man introducerar procenträkning med att beräkna andelen. Uppgifterna kan då se ut på följande vis som i boken Z (Undvall L, 2003): Hur många är 4 apelsiner av 7 apelsiner i en fruktkorg. Andra uppgifter handlar om att räkna ut procenttal och att göra olika jämförelser. Exempelvis kan olika affärers erbjudande jämföras. I den nya matematikboken Matte Direkt år 9 (Hake B m fl, 2003) introducerar man procenträkningen med beräkningar av räntor.
Unenges teori - Meningsfullhet och relevans
Det kan vara lämpligt att beskriva en av Unenges teorier på ett lättfattligt sätt. Den knyter an till grundskolans styrdokument, samtidigt som teorin kan användas till att öka elevernas begreppsförståelse för procentbegreppet. Matematikundervisningen måste vara meningsfull för att eleverna skall uppfatta inlärningssituationen som givande (Unenge, 1994). Med meningsfullhet menar Unenge att uppgifterna i läromedlet måste vara relevanta och begripliga för att elevernas kunskaper skall utvecklas. Unenge nämner två nivåer av relevans i innehållet, speciell och generell relevans.
• Speciell relevans: Unenge avser en aktuell uppgift, som ingår i ett för eleven känt sammanhang.
• Generell relevans: Uppgiften kan vara viktig ur ett generellt perspektiv. Uppgiften avser att bidra till en mer allmängiltig kunskap.
Unenge skriver också om fyra olika nivåer av begriplighet när det gäller innehållet. Dessa kallar Unenge för att göra, berätta, förklara, samt argumentera:
• Göra: En elev gör en uppgift utifrån förutsättningarna. Eleven "gör" en aritmetisk operation.
• Berätta: Eleven kan berätta om sin metod vid lösandet av en uppgift. Hur tänkte eleven? Varför valde eleven just denna aritmetiska operation?
• Förklara: Eleven kan ingående förklara för lärare eller kamrater hur metoden fungerar.
• Argumentera: En elev kan argumentera för valet av metod. Eleven kan motivera hur metoden fungerar och varför eleven valt denna metod.
Tabell 1. Samband mellan uppgifters relevans och begriplighet?
Begriplighet Speciell relevans Generell relevans
Göra 11 12
Berätta 21 22
Förklara 31 32
Argumentera 41 42
Ovanstående resonemang om begriplighet och relevans i läromedlens uppgifter sammanställer Unenge till en matris (tabell 1). Denna matris visar med raderna olika nivåer av uppgifters begriplighet, medan kolumnerna visar olika nivåer av uppgifters relevans. En ökad begreppsförståelse för procent anges med stegvis förflyttning nedåt och till höger i matrisen. Ruta 11 och 12 står för den lägsta begreppsförståelsen, medan ruta 42 står för den högsta. Grundskolans procentuppgifter kan ses utifrån deras begriplighet. Uppgifterna befinner sig ofta på rad 1 (tabell 1). Ett exempel är följande uppgift: skriv 0,75 som procent! För att eleven skall komma till rad 2 i matrisen krävs det att eleven kan berätta hur metoden fungerar. Hur beräknar du 12 % av 500 kr. På rad 3 i matrisen måste eleven kunna redogöra för valet av metod. Vilken metod väljer du för att lösa 12 % av 500 kr? Varför väljer du denna metod? På rad 4, som visar den högsta formen av begreppsförståelse, tillkommer att eleven måste argume ntera för valet av metod samt bedöma vilka kunskaper som behövs för att lösa uppgiften. Procentuppgifterna kan även ses utifrån deras relevans.
3.4
Tidigare undersökningar av procentförståelse
Utifrån ett internationellt perspektiv är svenska elevers matematikkunskaper på medelnivå. I de fall som Sverige ligger över medel gäller det delområden som statistik (procent ingår här), mått och mätningar, rumsuppfattning samt bråkräkning (procenträkning ingår också här) medan de svenska elevernas kunskaper i algebra, ekvationer och geometri ligger under det internationella genomsnittet. Resultatet kan bero på hur man prioriterar kunskapsinnehållet i läro- och kursplaner. Skillnaden mellan de sämsta och de bästa inte så stor i Sverige som i andra länder, vilket får anses vara positivt. (Skolverket, s.40, 1999).
I Sverige råder ingen signifikant skillnad mellan pojkar och flickor (PISA 2000).
Nationella prov i matematik för åk 9 innehåller en del uppgifter med procentberäkningar. Provens utformning hålls hemlig i görligaste mån och jag kan därför inte använda mig av dessa för att analysera resultaten. Skolverket har endast publicerat en sammanfattning av resultatet för 2002 års nationella prov för åk 9 i matematik, varvid framkommer att pojkar är bättre i procenträkning än flickor. Dessutom påpekar man att eleverna är dåliga på att lösa textbaserade uppgifter. Flickor anses ha lite lättare för att uttrycka sig med text
(Skolverket, 2002).
En omfattande undersökning av påverkansfaktorer vid problemlösning i mate matik för åk 4-9 genomfördes med början år 1993 av Ebbe Möllehed. Studien har sammanställts och analyserats under ett antal år innan den publicerades år 2001.
Ebbe Möllehed har över 40 års erfarenhet av undervisning och är fortfarande verksam på Malmö Lärarhögskola.
Undersökningen omfattade 25 uppgifter i varje årskurs, där vissa uppgifter var gemensamma i några eller alla årskurserna. Mer än 80 elever i varje årskurs deltog i undersökningen. Det främsta syftet var att undersöka vilka brister elevernas lösningar i olika årskurser hade. Skillnaderna mellan könen studerades också (Möllehed E, 2001).
Resultaten från hans undersökning visade att sexton faktorer påverkade problemlösningen i matematik i grundskolan. 1. Textförståelse 2. Visuell förståelse 3. Verklighetsuppfattning 4. Uppmärksamhet 5. Separation
6. Relationer mellan helheten och dess delar 7. Kombinationsförmåga 8. Logik 9. Proportionell förståelse 10. Konstans 11. Matematiska begrepp 12. Talförståelse 13. Räkneförmåga
14. Samband mellan storheter 15. Samband mellan enheter 15. Noggrannhet
Av dessa sexton faktorer är nio knutna till individens kognitiva utveckling, sex till matematikinlärningen och en till individrelaterad egenskap (uppmärksamhet).
De genomgående vanligaste bristerna finns i faktorerna textförståelse, uppmärksamhet, verklighetsuppfattning och räkneförmåga. Då alla matematikuppgifter i undersökningen handlar om problemlösning så konfronteras alla elever med sin förmåga till textförståelse och sin räkneförmåga.
4
Metod
4.1
Val och beskrivning av undersökningsmetod
Litteraturstudier
Litteraturstudier gav mig ett bra underlag avseende kursplaner, vanliga fel och vad läroplaner förutsätter att elever skall behärska efter genomgången grundskola.
Tillgång till undersökningsobjekt
Genom min anställning på en skola hade jag inga problem med att få tillgång till andra lärare och inte heller vållade det några problem med att ta elevers tid i anspråk. De andra skolorna hade jag haft kontakt med långt tidigare, dels som elev och senare även flitigt anlitad som vikarie, dels som idrottsutövare i en idrottsförening med andra lärare som ledare. De elever som varit med i undersökningen har använt sig av den gamla eller den nya upplagan av matematikboken Z (Undvall L, 1988 & 2003). Diagnosen och intervjuerna genomfördes under vecka 43 och vecka 45- 47 höstterminen 2003.
Attityd till undersökningen
Mitt förslag till undersökning uppskattades eftersom lärarna på de olika skolorna trodde att det skulle påverka undervisningen positivt. Det kan vara stimulerande att vara med i en utvald grupp. Respektive lärare fick ju dessutom möjlighet till återkoppling kring ett genomgånget avsnitt.
Diagnos
För att få svar på mina frågeställningar på ett enkelt sätt, bedömde jag att det behövdes en diagnos. Det låter sig inte göras att, med begränsad tid till förfogande, få fram förmågan att lösa olika typer av uppgifter med intervjuer. För att få så bra diagnosuppgifter som möjligt rådfrågade jag lärare på skolan. Genom litteraturstudier och egna erfarenheter från skolans värld samt ett antal gamla diagnoser togs därefter ett förslag till diagnos fram. Efter diverse redigeringar, varvid uppgifter grupperades i lämplig ordning och med olika svårighetsgrad, hade jag ett färdigt förslag. Detta granskades av en av de deltagande lärarna och av min handledare på lärarutbildningen innan slutversionen togs fram (se bilaga 1). Diagnosen
Intervjuer
För att få reda på elevernas inställning till diagnosen och deras allmänna attityd till matematikämnet bestämde jag mig för att göra en intervju med en del av eleverna. Jag visste att eleverna var fåordiga och att ingen särskild tid kunde avsättas för intervjuerna utan de skulle ske i samband med raster och till viss del under lektionstid. Därför togs några frågor fram, som skulle vara enkla att besvara (frågor framgår av bilaga 3). Lärarnas attityd till diagnosen behövde inte undersökas eftersom de medverkat till utformningen.
Underhandskontakt med undersökningsgrupper
Kontakten med skolorna skedde dels via e-mail, dels genom personliga besök och telefonsamtal. Examensarbetet presenterades omsorgsfullt och fick ett bra gensvar varvid ytterligare idéer framkom som sedan kunde användas i arbetet.
Urvalet
Urvalet av klasser gjordes tillsammans med lärarna på de skolor jag valt. Det gjordes inget slumpmässigt urval ur en större grupp elever utan hela klasser valdes. På en skola fanns det bara en klass 9. På en av de andra skolorna fanns två klass 9 som båda fick vara med i undersökningen. Den tredje skolan hade flera klass 9 men där valdes endast den klass vars lärare jag hade kontakt med sedan tidigare. Ingen elev har således uteslutits ur de klasser som valts.
Undersökningsresultat - analysgrund
Diagnosen (se bilaga 1) och de personliga intervjuerna (se bilaga 3) är det huvudsakliga underlaget för mitt examensarbete. Med hjälp av diagnosen och intervjuerna har jag försökt att skapa en bild över hur elever förhåller sig till procentbegreppet.
Redovisningsmetod
Resultatet har sammanställts klassvis i tabeller som är lätta att avläsa och därigenom kan ligga till grund för en djupare analys. Analysresultaten presenteras tillsammans med resultatdiagrammen, för att underlätta vidare analys och diskussion. Uppgifterna i diagnosen är blandade. Jag analyserade och värderade de olika resultaten efter uppgiftskategori. Detta sätt att analysera gav information om elevers svårigheter att förstå olika begrepp.
4.2
Undersökningens omfattning
Totalt fyra åk 9 klasser med totalt 75 elever, fördelade på tre skolor har genomfört diagnosen. Totalt 30 elever har intervjuats ur tre av klasserna.
4.3
Validitet
Då man genomför en undersökning är det viktigt att den håller en god validitet vilket betyder att man verkligen undersöker det man skall undersöka. (Patel, Davidsson, s.85, 1995).
Jag anser att mina frågeställningar har besvarats och att undersökningen därigenom har en god validitet.
4.4
Reliabilitet
Med reliabilitet menar man i vilken grad undersökningsinstrumentet är tillförlitligt (Patel, Davidsson, s.86, 1995). Diagnosen utarbetades och granskades av flera kompetenta matematiker. Jag hade i min undersökning 75 elever. Bortfallet var tre elever i klass A och fem i klass B. Resultatet på diagnosen har granskats flera gånger, varför risken för felrättning eller poängfel är liten. Med stöd av ovanstående påstår jag därför att undersökningen har en mycket god reliabilitet.
4.5
Avgränsning av undersökningen
I samråd med min handledare och de berörda matematiklärarna på skolorna bestämdes att min undersökning endast skulle omfatta årskurs 9 elever. Tiden för diagnostiskt test skulle vara c: a en timme. Undersökningen skulle omfatta fyra klasser med totalt 75 elever fördelade på tre skolor varav en friskola. Alla skolorna ligger i sydvästra Skåne inom Malmö och Vellinge kommun. Resultatet gäller endast de undersökta klasserna eftersom man inte kan generalisera utifrån en så liten undersökning. En större undersökning hade krävt andra resurser än de som fanns tillgängliga för en lärarstuderande.
5.
Resultat
5.1
Allmänt
5.1.1
Förklaring av hur resultatet och analysen presenteras
Elevernas vanligaste fel finns sammanställda i bilaga 4. Nedan följer en genomgång av resultate n av diagnosen. Jag har valt att gruppvis kommentera uppgifter som testar en viss förmåga och således inte varje enskild uppgift. Det finns dessutom en analysdel i direkt anslutning till respektive uppgiftsgrupp. Att separera resultat och analys genom uppdelning på olika avsnitt skulle leda till ett svårläst dokument. Varje resultatdel följs således av en analysdel med egen rubrik för att underlätta läsandet. Risken för tröttande upprepningar minskar därigenom avsevärt. Resultatet varierar med olika uppgifter och man kan se att klasserna är något ojämna i resultat per klass. Klass A och B ser vid en första anblick ut att vara bättre i procenträkning än klass C och D. Det visar sig emellertid att det omvända förhållandet råder för vissa typer av uppgifter. Diagnosen innehöll uppgifter som testar olika förmågor. Uppgifterna har grupperats efter dessa och diagram har tagits fram med staplar för varje klass. Staplar representerar uppnått resultat för respektive klass mätt i procent av möjligt resultat och kan således sägas vara ett mått på respektive förmåga. Nedan följer genomsnittsresultat för samtliga elever samt delresultate n växelvis med analysen av respektive förmåga.
5.1.2
Genomsnittsresultat för samtliga elever
Tabell 1 uppgift 1-6.
Sammanställning av alla klassers resultat per uppgift (uttryckt i procent av max poäng)
Uppgift 1 2a 2b 2c 2d 3a 3b 3c 3d 4a 4b 4c 4d 5a 5b 6a 6b klass A 50 100 68 68 95 89 58 58 79 89 89 68 53 53 58 47 92 klass B 53 100 94 76 82 82 65 53 82 47 47 59 35 65 59 35 65 klass C 43 88 59 53 88 53 41 47 65 76 65 88 59 41 71 47 59 klass D 19 86 86 77 86 77 73 68 82 86 64 73 32 55 45 50 55 medel 41 94 77 69 88 76 59 57 77 75 66 72 45 53 58 45 68
Tabell 2 uppgift 7-13.
Sammanställning av alla klassers resultat per uppgift (uttryckt i procent av max poäng)
Diagram totalt genomsnittsresultat för alla undersökta
41 94 77 69 88 76 59 57 77 75 66 72 45 53 58 45 68 56 73 68 58 61 63 0 1 3 55 22 58 47 61 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
1 2a 2b 2c 2d 3a 3b 3 c 3 d 4a 4b 4c 4d 5a 5b 6a 6 b 7 8 9a 9b 9c 10a 10b 11 12a 12b 13a 13b 13c
Uppgift
Måluppfyllelse i procent av
möjligt resultat
5.1.3
Förklaring till diagram
I samtliga diagram har följande färgkod använts: Klass AKlass B Klass C Klass D
Uppgift: 7 8 9a 9b 9c 10a 10b 11 12a 12b 13a 13b 13c
klass A 68 96 79 74 84 84 0 16 79 37 74 58 79 klass B 59 63 59 47 59 59 0 6 35 12 53 41 41 klass C 53 81 59 47 65 53 0 28 65 18 59 47 76 klass D 45 53 77 64 36 55 0 2 41 23 45 41 45 Medel 56 73 68 58 61 63 0 13 55 22 58 47 61
5.2
Resultat och analys för respektive förmåga
5.2.1
Förmågan att omvandla bråktal till procent
0 20 40 60 80 100 2a 2b 2c 2d 3a 3b 3c 3d 13a 13b 13c
% Diagram 1 Förmågan att omvandla bråktal till procent
Uppgift nummer
Resultat
De flesta klarar av att skriva enkla bråktal i procentform. Brister finns däremot i förmågan att förlänga och förkorta bråktal.
Analys
Ett bråktal, som i uppgift 2a (1/4=25%), tycks vara välkänt för de allra flesta. Däremot blir resultatet sämre om bråktal innehåller svårare tal. Decimaltal i täljaren som i uppgift 13b drar ned resultatet avsevärt. Det tycks finnas bråktal som är kända sedan länge genom vardagssituationer. Att omvandla ¼ till 25 % klarade t ex alla av i två av klasserna.
Däremot finns det brister i baskunskaper avseende förkortning och förlängning av bråktal, vilket framgår av resultatet för uppgift 3b och c. Om elever hade kunnat förkorta hade dessa båda tal varit enkla. Bristen har uppstått under bråktalsavsnittet men påverkar här förmågan att räkna med procent. Uppgiften 13c borde däremot ha klarats av alla eftersom svaret endast krävde att man kunde definitionen av procent (9/100=9 %). Den enklaste uppgiften hade medvetet lagts sist för att vara en lättplockad poäng. Psykologi eller utmattning? Det kan vara en psykologisk låsning eftersom de sista uppgifterna vid olika sorters diagnoser brukar vara svårast.
5.2.2
Förmågan att omvandla decimaltal till procent och omvänt
Diagram 2 Förmågan att omvandla decimaltal till procent och omvänt0 20 40 60 80 100 4a 4b 4c 4d % Uppgift nummer
Resultat
Genomsnittsresultatet sjunker jämfört med diagram 1, men man kan notera att en av klasserna ligger avsevärt sämre till. Elever har problem med omvandling av decimaltal som innehåller ental, tiotal osv. Omvänt från procent till decimaltal ger sämre resultat.
Analys
Procent är enklare om man håller sig till uppgifter under 100 %.
Heltal följda av decimaler är svåra att göra om till procent (4a och b). Att inte förstå att decimaltalet 1,2 motsvarar 120 % visar på brister i taluppfattningen. Exemplet med 10,5 gavs för att se om eleverna klarade av att hantera antalet nollor, vilket eleverna i två av klasserna tycks göra. Svårigheter med omvandling till decimaltal från procenttal visar sig i uppgift 4 c och d. Elevernas resultat på uppgift 4d visar att delar av procent är svårare. Duktiga elever klarar emellertid av att skriva 0,005.
5.2.3
Förmågan att räkna på procent när "det hela" multipliceras
Diagram 3 Förmågan att räkna på procentnär det hela multipliceras
0 20 40 60 80 100 5a 5b % Uppgift nummer
Resultat
Resultatet sjunker katastrofalt när uppgiften innehåller en text om ett vardagsproblem. Många tror dessutom att 4 % fettinnehåll i ett bröd blir 12% fett i tre bröd
Analys
Man inser inte det orimliga med att andelen fett skulle förändras om antalet bröd är fler. Kanske hade det varit enklare om man först räknat med alkoholhalten i en öl resp tre. Denna uppgift tyckte nästan alla var "klurig" trots att svaret stod i texten (4 gram per 100 gram bröd). Många svarade automatiskt att det var 40 gram fett i ett bröd. Men de skulle ha svarat i procentform 4 %. Att i b-uppgiften komma fram till att tre bröd innehåller 12 % fett borde leda till eftertanke. Hur mycket fett skulle det då finnas i 10 eller 100 bröd? 40 % eller 400 % fett. En öl innehåller kanske bara 2,8 % men med detta synsätt ökar alkoholstyrkan om man dricker fler.
5.2.4
Förmågan att räkna på olika alternativ i affärer
Diagram 4 Förmågan att räkna på olika alternativ i affärer0 20 40 60 80 100 6a 6b 7 8 % Uppgift nummer
Resultat
Uppgift 6 a och b prövar förmågan att jämföra pris och att använda rätt bas för beräkningen. Många använder priset i butik B som bas och får 20 % i stället för 25 % som är det rätta svaret i a - uppgiften. Uppgift 6 b är enklare eftersom basen för beräkningar är tydligare i texten men trots det görs det fel eftersom man ej svarar med priset utan rabatten. I uppgift 7 väljer man likaså fel bas för beräkningen. I uppgift 8 handlar det om att jämföra priset på mä rkesvaror i två affärer. Resultatet blir bättre för många av eleverna trots text och krav på följdberäkning.
Analys
Jämförelsen av alternativen i uppgift 6a försvårar tydligen matematiken eftersom mindre än hälften av eleverna klarar denna. I 6 b räknar dock väsentligt fler ut rätt pris med rabatten 10 %. Många glömmer emellertid att räkna ut vad flingpaketet då kommer att kosta och i stället svarar man med den framräknade rabatten. Märkbart bättre resultat uppnås i uppgift 8, vilket visar att klädinköp känns som ett relevant problem ur elevens vardag Sammanfattningsvis kan sägas att elever har lätt för att räkna ut en rabattförmån om problemet är hämtat ur deras vardagsperspektiv, men vissa svårigheter finns då rätt bas skall väljas för beräkningen.
5.2.5
Förmågan att räkna ut den andel en viss procent motsvarar
Diagram 5 Förmågan att räkna ut den andelen viss procent motsvarar
0 20 40 60 80 100 9a 9b 9c % Uppgift nummer
Resultat
De flesta felen beror på siffermässiga felräkningar.
Analys
Resultatet pekar på stora svårigheter så fort man anger enheter som kg, gram, kronor osv. på det hela. Elever tycks inte heller klara av enkel multiplikation av två tal. Kanske man förvillas av alla olika enhetsbegrepp?
5.2.6
Förmågan att räkna med begreppen procent och procentenhet
Diagram 6 Förmågan att räkna med och förståbegreppen procent och procentenhet
0 20 40 60 80 100 10a 10b 11 % Uppgift nummer
Resultat
Uppgift 10 a ger bra resultat eftersom det är en enkel beräkning som endast finns med för att lägga grunden för uppgift b som ingen klarar av. De flesta klarar av att räkna ut att räntan blir 7% men förstår inte att räntehöjningen är 40%. Man förstår inte vad som skiljer procent och procentenhet vilket även resultatet för uppgift 11 visar.
Analys
Uppgift 10a klaras av vilket var förväntat men ingen enda elev klarar av uppgift 10b eftersom de ej förstår att en räntehöjning från 5 % -7 % är en 40 % -ig höjning av räntan eller två procentenheter mer. Resultatet för uppgift 11 har uppnåtts tack vare en mängd halva rätt. Uppgiften hade tyvärr formulerats så att man skulle svara med både procent och procentenhet vilket innebar att ett halvt rätt måste sättas även om de svarat med både 2 procent och 2 procentenheter. Denna uppgift var en av de svåraste om man ser till resultatet. Anledningen till att så många haft svårt för denna uppgift är troligtvis att de inte haft tillräckligt mycket övning på vad de är för skillnad på procent och procentenheter. Alla som svarade fel på denna uppgift hade angivit 2 % som ökningen då de bara tagit 12 % -10 %. Visst fanns det några undantag i alla klasserna. Men bara fyra stycken elever som hade helt rätt på denna uppgift.
5.2.7
Förmågan att räkna med rätt helhet som bas vid ränta
på ränta
Diagram 7 Förmågan att räkna med rätt helhetsom bas vid ränta på ränta
0 20 40 60 80 100 12a 12b % Uppgift nummer
Resultat
Uppgift 12a klaras av förhållandevis lätt medan resultatet för uppgift 12b visar på svårigheter med förståelsen eftersom man lägger samman de båda lönehöjningarnas procenttal istället för att räkna ut den totala ökningen som en procentdel av ursprunglig lön.
Analys
Eleverna har ej förstått vad som är rätt helhet (bas) för procentberäkningen.
Att räkna ut löneutvecklingen för läraren var betydligt lättare än att räkna ut den procentuella höjningen efter två år. Eleverna har ingen aning om vad som är det hela när man skall räkna procenten.
5.2.8
Förmågan att förklara ett matematiskt begrepp med text
Diagram 8 Förmågan att förklara ett matematisktbegrepp med text
0 20 40 60 80 100 1 % Uppgift nummer
Resultat
Diagnosen inleddes i uppgift 1 med en uppmaning att med egna ord förklara vad som menas med procent och när man har användning för procentbegreppet. Väldigt många svarar bara att procent används vid realisationer! Jag hade med denna uppgift för att elever skulle tänka igenom procentbegreppet innan de började räkna. Jag hade förväntat mig att alla skulle skriva att en procent är en hundradel eller en del av eller 1/100. Någon enstaka elev har med denna grunddefinition.
Analys
Eleverna kan ej med egna ord förklara procentbegreppet. Att förklara med egna ord vad procent är tillhörde en av de svåraste uppgifterna enligt resultatet. Matematikämnet tycks sakna ett språk. Det saknas dessutom kunskap om vardagstillämpningar. Klädrealisationer tycks vara det enda elever kan komma på. Inte ens grunddefinitionen med 1/100 = 1 % finns med.
5.3
Sammanställning av elevernas svar på intervjuerna
Från början var det tänkt att jag skulle intervjua elever från alla fyra klasserna. Men tyvärr så gick inte det utan det blev elever ur tre av klasserna. Antalet elever som intervjuats har varit 30 stycken. Valet av elever gjordes dels i samarbete med lärarna, dels genom att jag frågade eleverna om de ville ställa upp. Jag valde att göra intervjuerna efter diagnosen för att ta reda på deras inställning till diagnosen och attityd till matematikämnet. Jag har valt att lyfta fram de svar ur intervjuerna som är mest representativa för undersökningsgruppen. Gemensamt för intervjuerna är att de flesta har svårt att utrycka vad de tycker. Nedan följer mina frågor och några valda elevcitat:
1. Vilken matematikbok använder du?
Alla eleverna använder den nya upplagan av XYZ seriens bok Z (Undvall L, 2003) förutom klass D som har den äldre upplagan (Undvall L, 1988).
2. Vad tycker du om din lärobok?
De flesta av de intervjuade uppfattade boken som tråkig, för många uppgifter av samma karaktär. För lite variation. De vill ha mer verklighetsanknytning i uppgifterna.
”-Bra men mer verklighetsuppgifter skulle inte skada” ”-Ger dåliga förklaringar men vissa är bra”
”-Trevlig bok och bra med uppgifter”
”-Otydliga förklaringa och man blandar lätt ihop uppgifter” ”-Boken är bra men det beror på vilken linje man skall gå”
”-bra med tre olika nivåer på uppgifterna men roligare med flera uppgifter från verkligheten vi möter. Den känns ny.”
”-Varför måste det finnas så mycket skräp i boken med så många onödiga uppgifter?” ”-Boken kunde haft mer uppgifter som man har nytta av och inte så skumma tal med ekvationer och bokstäver.”
”Onödiga uppgifter.” ”Helt okej.”
3. Hur genomföres lektionerna?
Lektionerna genomförs enligt den traditionella varianten med genomgång och tyst räkning. Flertalet av de intervjuade lade till att lektioner är tråkiga och att man har för snabba genomgångar med dåliga förklaringar av lärarna. De som var mer positiva var inte oväntat de med högre betyg.
Följande citat belyser att lektionerna är tråkiga och att läraren inte förklarar så att alla förstår!
”-Genomgångarna är så sega och tråkiga.”
”-För lite variation, blir lätt tråkigt med att bara sitta att räkna själv.”
”-Vi jobbar bara i våra böcker och de är tråkigt efter bara en stund. Vill jobba med andra.” ”-Läraren kan inte förklara men kan säkert det själv, men inte lära ut.”
”-Läraren är tråkig och förklarar dåligt.”
Men några positiva röster fanns också!
”-Läraren förklarar väldigt bra och på många olika sätt och det är bra.” ”-Vi jobbar på för snabbt så jag hinner inte med att förstå.”
”Lätt att hänga med, lagom takt.”
”-Bra genomgångar tycker jag men bara halva klassen fattar.”
4. Tycker du diagnosen var lätt eller svår?
Nästan alla upplevde diagnosen som väl konstruerad och att den liknade tidigare diagnoser
”-Jag tycker uppgifterna på diagnosen var liknande de vi haft på våra andra diagnoser och de var dessutom väldigt tydliga så att man vet vad man skall svara på. Våra diagnoser vet man ibland inte vad vi skall svara på.”
”-Lätt att förstå vad man skall svara på.”
”-Ganska lätt men en del svåra uppgifter på sida 1, sida 2 var lättare.”
”-Tyckte den var lätt, men det var den tydligen inte, nu när jag ser mitt resultat.”
5. Fanns det något som du tyckte var helt nytt för dig?
Inget som var helt nytt förutom att många inte hade arbetat med procent och procentenheter.
”-Procentenheter har vi nog inte jobbat med vad jag kommer ihåg.” ”-Uppgifterna var bra men den uppgiften med brödet var klurig.” ”-Kände igen det mesta.”
6. När har man nytta av att kunna räkna med procent?
Frågan när man kan ha nytta av att kunna räkna med procent var tydligen svårare än vad jag trodde, och de flesta kunde bara säga att den används vid realisationer och i skolan.
”-Man använder procent inom företagsekonomi som räntor och sånt.”
”-När man handlar kläder och det är rea på 30 % är det bra att veta hur billigt det är!” ”-När man ser på nyheterna pratar man mycket om procent t ex 30 % arbetslöshet.”
7. Tycker du procenträkning är svårare än andra delar av matematiken?
De flesta anser att procenträkningen hör till den lättare delen av matematikområdena.
”-Procent är ganska så lätt och mycket lättare än när vi räknar med ekvationer som i algebra.”
”-Procent är nog bland det enklaste i matematiken. Algebra är mycket svårare.”
”-Procent använder vi ju nästan överallt och därför är det lättare än algebra som jag aldrig kommer att använda.
8. Vad inom procenträkning tycker du är lättast respektive svårast?
Det lättaste är omvandlingar och en del korta textuppgifter. Svåraste upplevdes de längre textuppgifterna.
”-Frågorna med text var lättare än omvandlingsuppgifterna då jag var osäker på omräkningen i huvudet.”
”-Omvandlingarna till procent var lättast.”
6
Diskussion och slutsatser
Huvudsyftet med min undersökning var att ta reda på elevers eventuella kunskapsbrister efter genomgången kurs i procenträkning för årskurs 9, i förhållande till grundskolans läroplan. Enligt läroplanen skall eleverna efter genomgången grundskola klara av att hantera den vardagsmatematik som behövs i vuxenlivet.
Följande frågeställningar har legat till grund för undersökningen: – Hur förstår eleverna de olika sätten att ange procent? – Vilka är de vanligaste felen vid procentberäkning?
– Hur klarar eleverna av procentberäkning i exempel hämtade ur vardagslivet? Nedan diskuteras resultatet och jämförs med teorier och tidigare undersökningar.
Räkneförmågan
Elever som har syskon kan ha lärt sig vad en halv eller en tredjedel är när de delat en godispåse. Det är viktigt att lära känna sina elevers bakgrund för att förstå hur de tänker.
De flesta förstår att ¼ = 25% och de kan även klara av att förlänga bråktal när nämnaren innehåller ett tal som är enkelt att förlänga till 100. Men om nämnaren är 8 blir uppgiften uppenbart mycket svårare. Med 2 i täljaren kan en förkortning till ¼ göras varefter det lätt inses att en förlängning med 25 ger de eftertraktade 100-delarna. Ett annat vanligt fel i diagnosen var att 30% blev 1/3 vid beräkning av rabatten på en tröja i stället för 0,3.
Bristande baskunskaper om bråktal och decimaltal visar sig således vara en del av problemet vid procenträkning och denna påverkansfaktor benämns med ”räkneförmåga” enligt Mölleheds (2001) terminologi. Det gäller därför att lära eleverna att använda procent som en ”naturlig del av tänkandet" och att visa på att procent kan uttryckas med bråktal eller decimaltal i en algoritm. Utifrån mitt resultat tycker jag mig kunna se att det är viktigt att eleverna först behärskar grunderna vid räkning med bråktal och decimaltal innan de börjar med procenträkning.
Matematiska begrepp
En annan vanlig typ av fel i min undersökning utgöres av brister i ”matematiska begrepp” enligt Mölleheds (2001) terminologi. Exempelvis finns det åtskilliga brister när det gäller
föregående års lön. Denna typ av fel har också beskrivits tydligt i exemplet med brunögdhet (Malmer, 1999). Det största problemet som jag ser det är att många elever inte vet vad de gör, de bara lär sig hur man gör genom mekaniskt räknande vilket Kilborn (1990) också observerat. Eleverna behöver också vara bekanta med innebörden av en uppdelning, minskning eller ökning som görs i proportion till en viss mängd och delmängd. Att det är svårt med beräkning av förändringar har också påtalats av Malmer (1999).
Textförståelse
Allmänt tycks det vara svårare med benämnda uppgifter, "läsetal", än med ren algoritmräkning. Några elever lyckas dock bättre med textbaserade problem än med ren algoritmräkning, vilket tyder på olika utveckling när det gäller språk och begreppsförståelse. Om olikheter beror på hemmiljö eller är genetisk betingad går inte att fastställa i denna undersökning. De flesta tycks emellertid ofta söka efter siffror som kan stoppas in i en lämplig algoritm. Felen blir mer frekventa om uppgiften saknar verklighetsanknytning.
En uppgift med text kräver mer reflektion än en ren algoritm.
Sammantaget visar diagrammen att klasserna har mycket lättare för att lösa algoritmer än textuppgifter/problemuppgifter.
När man studerar diagrammen ser man omedelbart att en uppgift (10 b) inte klarats av någon elev. I denna uppgift skulle man beräkna den procentuella ökningen av räntan på ett lån. Här kan omedelbart slås fast att eleverna överlag inte förstår skillnaden mellan procent och procentenhet. Detta har även Malmer (1999) observerat.
Uppgiften hade konstruerats för att testa om alla felsägningar i massmedia motsvaras av samma problem i matematikundervisningen.
Att med ord förklara matematikbegrepp
I undersökningen fanns det med en uppgift där eleverna skulle visa sin förmåga att med ord förklara vad som menas med procent och när man använder begreppet. Jag har inte sett några tidigare undersökningar av denna förmåga men resultatet visar med all tydlighet att eleverna behöver övas i att uttrycka sig språkligt om matematiska begrepp. I alla andra ämnen används språket för att visa på kunskapen i ämnet.
Psykologisk påverkan
En annan allmän iakttagelse är att förmågan minskar med högre uppgiftsnummer, trots att svårighetsgraden för exempelvis uppgift 13c är ringa. Denna effekt kanske kan kanske tillskrivas psykologiska orsaker eftersom eleverna vant sig vid att lärare brukar konstruera diagnoser med ökande svårighetsgrad. Denna påverkansfaktor finns inte med i Mölleheds (2001) sammanställning av påverkansfaktorer. Det skulle vara intressant att studera betydelsen av denna typ av förutfattade meningar. Trötthet på upploppet skulle kunna vara en annan orsak. Alla bör dock klara av att omvandla 9/100 till 9 %.
Behovet av procentberäkningar i vuxenvärlden
Begrepp som procenttal, bråktal och decimaltal bedöms som viktiga avsnitt för att kunna följa med i svårare moment vid fortsatta studier.
I exemplen med räntekostnad för ett lån och val av butik för inköp av en tröja, ser man att elevernas resultat blir bättre när exemplen handlar om deras egna vardagstillämpningar. Unenge (1994) tar upp detta med att uppgifterna måste vara relevanta och begripliga för att elevernas kunskaper skall utvecklas.
Uppgiften med bättre procenttal i valresultatet (11) upplevs som svårare än att räkna ut var man köper ett märkesplagg billigast (8). Det är också anmärkningsvärt att man i uppgift 5 (fetthalten i tre bröd) inte uppnår ett bättre resultat trots att fettinnehållet deklareras på alla livsmedel och är intressant för vardagshälsan för människor i alla åldrar.
Läroplanens mål uppnås således inte utan en fördjupad kunskap.
På vilket sätt påverkar undersökningen mig som lärare?
Jag tror att det i mate matikundervisningen bör ges mer utrymme för begreppsförståelse om man vill att eleverna skall uppnå kursplanens mål. För att kunna utveckla ett matematisk tänkande och fördjupa förståelsen för matematik måste eleven förstå problemet och uppgiftens innehåll, för att kunna lösa det. För detta krävs en god begreppsförståelse.
Lärare måste återkommande förklara matematiska begrepp som heltal, bråk, förlängning, förkortning, osv. Elever kan inte förutsättas förstå och komma ihåg olika definitioner ur tidigare avsnitt. Det är bättre att repetera tidigare avsnitt än att ondgöra sig över elevernas bristande kunskaper i exempelvis bråkräkning. Likaså tycker jag att man skall försöka
utan även i flera andra ämnen som i geografi: 47 % av landet är täckt med skog, i religion: 23 % av landets invånare är hinduer, kan man enkelt integrera procentundervisning även under andra lektionspass än matematik. Genom detta sätt får man eleverna att inse att procent förekommer inom många områden.
Det finns litteratur som indirekt handlar om matematik och dessutom finns det teknik som intresserar de flesta där matematiken behövs. Det kan vara musikanläggningar, mobiltelefoner, mopeder osv. Man kan ha klassens roliga timme uppbyggd kring spel och tävlingar där matematiken kommer till användning. Kortspel innehåller enkla additioner där exempelvis en kung står för tretton och ett ess kan vara ett eller fjorton. Om elever kan detta måste de även förstå att ett matematiskt problem kan innehålla bokstäver i stället för siffror. Av den äldre generationen i mitt hem har jag hört att kortspel på rasterna var väldigt vanligt på Tekniska Gymnasiet i Malmö. De som studerade till ingenjörer roade sig således med "matematisk gymnastik" mellan lektionerna. Under min tid som lärare (åk 4) hösten 2003 har jag testat ett egenkonstruerat "Multiplikationsbingo", ett spel där rutorna innehåller svaren medan utropen är faktorerna i multiplikationen. Eleverna såg det som underhållning och noterade inte att jag övade multiplikationstabellen med dem.
Det är viktigt att lektionstiden ägnas åt att sprida djupare förståelse och att elever lär sig att analysera det man har arbetat med. Endast genom att lära känna elevers tankebanor och deras befintliga kunskapsnivå kan man på ett konstruktivistiskt sätt utvidga deras kunskaper. Respekten för elevers olika sätt att tänka är viktig i ett mångkulturellt samhälle. Kreativiteten kvävs om tänkandet standardiseras. Mina erfarenheter från skolans värld är att eleverna i allt för hög grad använder miniräknare i stället för att göra beräkningarna med hjälp av förkortning eller förlängning.
Många elever hade lärt sig mer om de hade ägnat mer tid åt olika huvudräkningsövningar vilket skulle ha resulterat i en större talförståelse. Dessutom kan beräkningar ske snabbare om man gör dem genom huvudräkning (Malmer, 1999).
Jag anser att mina frågeställningar har besvarats med att det finns brister i räkneförmåga, matematiska begrepp och textförståelse och att det är viktigt att räkna med elevernas verklighet i undervisningen för att synliggöra nyttan med matematiken. Dessutom måste elevernas ges tillfälle att öva sig i att förklara matematiska begrepp med text.
Framtida studier
Det skulle vara intressant att fördjupa sig i hur man på bästa sätt ökar textförståelsen och det skulle också vara intressant att tillsammans med beteendevetare undersöka betydelsen av förväntningar när det gäller svårigheter. Jag syftar då på att den enligt min mening lättaste uppgiften (13c), som mer av en slump och en vänlig gest hamnade sist, inte löstes av fler.
Avslutning
Under hösten 2003 har jag haft en halvtidstjänst som klasslärare i en åk 4 samtidigt som jag arbetat med denna rapport. Jag har haft stor hjälp av andra lärare för att kunna genomföra undersökningen på de berörda skolorna. Utan deras medverkan hade undersökningen inte fått den bredd som nu redovisats. Det kändes stimulerande att få med en friskola i jämförelserna eftersom många ifrågasätter om undervisningen bedrivs på likartat vis och med likartade krav. Jag har även haft god hjälp av min handledare. Ett stort tack till alla inblandade!
7
Referenser
Anderberg, B (1992). Matematikmetodik i grundskolan. Bengt Anderberg läromedel, Stockholm.
Hake B m fl, (2003). Matte Direkt år 9. Bonnier Utbildning, Stockholm. Kilborn, W, (1990). Didaktisk matematik del 2. Rationella och irrationella tal. Almqvist och Wiksell, Stockholm.
Löwing & Kilborn, (2002). Baskunskaper i matematik för skola, hem och samhälle. Studentlitteratur, Lund.
Malmer, G (1999). Bra matematik för alla. Studentlitteratur, Lund.
Möllehed, E (2001). Problemlösning i matematik- En studie av påverkansfaktorer i
årskurserna 4-9. Inst. För pedagogik, Lärarhögskolan, Malmö.
Patel, R & Davidson, B (1995). Forskningsmetodikens grunder. 5: e uppl. Studentlitteratur, Lund.
Skolverket (1994). Läroplaner för det obligatoriska skolväsendet och de frivilliga
skolformerna – Lpo- 94 Lpf 94. Utbildningsdepartementet, Stockholm
Skolverket. (1996). TIMSS. Svenska 13-åringars kunskaper i matematik och naturvetenskap i
ett internationellt perspektiv. Skolverkets rapport 114. Stockholm
Skolverket (1999). Läget i grundskolan. Utbildningsdepartementet, Stockholm.
Skolverket (2000). Kursplanen i matematik för grundskolan. Utbildningsdepartementet, Stockholm.
Skolverket (2001) PISA-2000. Svenska femtonåringars läsförmåga och kunnande i matematik
och naturvetenskap i ett internationellt perspektiv. Skolverkets rapport nr 209. Stockholm.
Smith, D.E. (1958). History of Mathematics - volume II, Dover Publications, Inc, Storbrittanien.
Undvall L mfl (1988 & 2003). Matematikboken Z ( XYZ-serien). Liber, Stockholm. Unenge, Sandahl, Wyndham (1994). Lära matematik. Natur och Kultur, Stockholm.
Internetlänkar
http://www.skattebetalarna.se/Main.aspx?ObjectID=2826 Författare: Åke Jungdalen (Sunt Förnuft 4/2000)
Titel: Del 1 - Kraftiga skattehöjningar bidrog till romarrikets fall 2004-01-24
http://www.skolverket.se/nat/resultat/index.shtml
Författare: Skolverket (2002)
Titel: En sammanställning av resultaten från ämnesproven skolår 9 som gavs 2002.
Rapporten bygger på provresultat från ett riksrepresentativt urval av skolor.
2004-01-24
http://www.ur.se/ura/matematik_08_05.htm Författare: Utbildningsradion (2000)
Titel: Procenthistoria 2004-01-24
