LÄRANDE OCH SAMHÄLLE
Examensarbete i fördjupningsämnet (matematik och
lärande)
15 högskolepoäng, avancerad nivå
Läromedelsanalys i matematik om
problemlösningsuppgifter i grundskolan
årskurs 9
Textbook Analysis in Mathematic Problem Solving in Secondary
School
Jessica Mao
Elita Brente
Ämneslärarexamen med inriktning mot arbete i Examinator: Peter Bengtsson
årskurs 7–9, 270 högskolepoäng Handledare: Lisa Björklund Boistrup
Förord
Detta arbete har skrivits i kursen examensarbete på avancerad nivå, 15 hp, vid Malmö universitet. Examensarbetet har skrivits i par och alla delar har gjorts i samstämmighet mellan båda parter. Arbetet har tillkommit med våra gemensamma ansträngningar. Skrivandet har växlat från enskilt arbete som inläsning av litteraturen till gemensamma träffar där sorteringen och analysen av det insamlade datamaterialet genomfördes. Arbetet har därmed utförts likvärdigt genom hela processen.
Vi skulle vilja rikta ett stort tack till vår handledare Lisa Björklund Boistrup, som har bidragit med värdefulla tips och väglett oss genom resans gång.
.
Sammanfattning
Läromedel har ett stort inflytande över matematikundervisningen och valet av läroboken i Sverige har överlämnats till den enskilde läraren och skolan. Granskning av läromedel kan anses vara en viktig del för att säkerställa kvaliteten. Läroboksanalys kan göras på flera olika sätt, där vi har valt att utgå från innehållsanalys inom ett utvalt område. Syftet med arbetet är att analysera tre läroböcker från åk 9 med fokus på problemlösning inom taluppfattning och algebra. Det som skiljer denna studien från övriga är att vi har utgått från ett relativt okänt teoretiskt ramverk, Chevallards Antropologiska didaktiska teori med praxeologi som analysverktyg.
Vårt resultat överensstämmer med andra undersökningar gjorda inom läromedelsanalys, att det finns få problemlösningsuppgifter i läroböcker och att de oftast är placerade i slutet av kapitlet eller boken. Vidare analyserades problemlösningen utifrån det matematiska innehållet. I analysprocessen fastställdes att problemlösningsuppgifter kräver av eleven att ha en övergripande kunskap inom flera matematiska områden tillsammans med en kognitiv förmåga att dra slutsatser utifrån givna villkor. Eleven ska tillika kunna använda flera olika metoder för att kunna lösa problemlösningsuppgifterna.
I
NNEHÅLLSFÖRTECKNING
FÖRORD ... 2
SAMMANFATTNING ... 3
INNEHÅLLSFÖRTECKNING ... 4
1 INLEDNING ... 6
2 SYFTEOCHFRÅGESTÄLLNING ... 8
3 TIDIGARE FORSKNING ... 9
3.1 Lärobok i matematik ... 9
3.2 Problemlösning ... 10
3.3 Problemlösning i läroböcker ... 11
4 TEORETISK BAKGRUND ... 13
4.1 Anthropological Theory of Didactic (ATD) ... 13
4.2 Vår definition av problemlösning ... 15
5 METOD…………...………..………..16
5.1 Metodval ... 16
5.2 Urval ... 16
5.2.1 Val av läroböcker ... 16
5.2.2 Kort beskrivning av läroböcker ... 17
5.3 Analysmetod ... 18
5.4 Genomförande ... 19
5.5 Etiska överväganden ... 21
5.6 Reliabilitet och validitet ... 21
6 RESULTAT ... 22
6.1 Uppgiftstyper i problemlösning inom kapitlet taluppfattning och algebra ... 22
6.2 Sammanfattning av resultatet för praxis och logos ... 36
6.3 Kvantifiering av totala antalet uppgifter i läroböckerna i förhållandet till antalet problemlösningsuppgifter ………..37
7 DISKUSSION ... 39 7.1 Metoddiskussion ... 38 7.2 Resultatdiskussion ... 41 8 FORTSATT FORSKNING………..………...………..44 9 REFERENSER ... 45 10 BILAGOR ... 48
1. Inledning
Historiskt har läromedel varit de verktyg som staten använt för att säkerställa en enhetlig och likvärdig skola. Läromedelsval och användning i Sverige reglerades på detaljnivån och tillsammans med kursplanerna föreslogs även lämpliga läromedel (Skolverket, 2006). Med reorganisationen och grundandet av Skolverket 1991 avskaffades dock läromedelsgranskningen och idag har den funktion överlämnats till skolan och lärarna. Bergqvist, E., Berqgvist, T., Boesen, Helenius, Lithner, Palm, & Palmberg (2010) skriver att valet av läromedel sker i diskussioner mellan kollegorna. Samtidigt som det saknas kontroll beskriver Bergqvist et al. (2010) att undervisningen är starkt
läromedelsbaserad i grundskolan. Läroboken är en av lärarens viktigaste verktyg i dennes yrkesutövande och dess innehåll kan spela en avgörande roll i undervisningen.
Det kan påpekas att läraren inte står ensam i sitt val. Läromedelsforskningen bedrivs både internationellt och inom Sverige samt under de senaste decennierna har den fått allt större uppmärksamhet inom olika internationella konferenser och organisationer.
UNESCO i samarbete med Georg Eckert Institute for International Textbook Research har utgivit boken UNESCO Guidebook on Textbook Research and Textbook Revision som återspeglar läromedels forskningsutveckling (Fan, 2011). Samtidigt beskriver Fan (2011) att det är för lite forskning inom läromedelsområdet i matematik i jämförelse med andra matematikdidaktiska forskningsområden. Hon nämner även att den
vetenskapsteoretiska basen, samt det teoretiska ramverk och forskningsmetoder är underutvecklade. Det finns flera möjliga perspektiv att utgå från, men vi har valt att rikta fokus mot matematikdidaktik och läromedelsanalys har kopplats till problemlösningen.
Många undersökningar visar att en läromedelbaserad undervisning är en av orsakerna till att matematikundervisningen än idag är starkt präglad av traditionella mönster med metodberäkningar (Mouwitz, 2007; Lester & Lambdin, 2007; Skolinspektionen, 2009; Brehmer, Ryve, & Steenbrugge, 2016). Mouwitz (2007) skriver att alltför ofta föreligger fokusen på kursens problem som endast tränar procedurförmåga. Vidare noterar han att elevens egen problemlösningsförmåga sällan sätts på prov. Det vore bäst om en uppgift till en början framstår som omöjlig att lösa. Lester och Lambdin (2007)
problematiserade den traditionella undervisningen i USA. I en traditionell undervisning dominerar enskilt arbete med uppgifter från läroböcker som endast övar
procedurförmåga hos eleverna. Kunskap som skapas i dessa sammanhang är ofta ytlig och glöms lätt bort av eleverna. Lester och Lambdin (2007) kritiserar miljön som uppstår i dessa klassrum. De betonar att läraren och läroboken förblir auktoriteten i klassrummet och eleverna är snabba på att utnyttja läraren för att hitta lösningar till uppgifterna (Lester & Lambdin, 2007). Skolinspektionen (2009) medger att läroboken inte är en tillräcklig resurs för eleverna att utveckla de förmågorna som är inskrivna i läroplanen. Exempelvis resulterar det i att eleverna får för små eller inga möjligheter till att utveckla sin kompetens inom problemlösning, resonemang och
kommunikationsförmåga. Detta utgör därmed ett av argumenten för forskning att problemlösning är ett centralt område i matematiken och är ett av skälen till att det behövs ytterligare forskning inom matematikundervisning.
Enligt forskning är problemlösningen en av matematikens viktigaste uppgifter, då den utvecklar en djupare förståelse hos eleverna. Genom problemlösning ges eleverna
möjligheten att se ett nytt matematiskt perspektiv och att upptäcka nya samband. Lärarna får möjligheten att spänna bågen för både eleverna och för egen professionell utveckling genom att undervisa med hjälp av problemlösning som ligger utanför de traditionella mönstren (Mouwitz, 2007). Forskningen visar att det är för lite
problemlösningsuppgifter i läroböckerna. Det innebär att eleverna får undervisning inriktad på utveckling av procedurlösningsförmåga. Brehmer et al. (2016) kom
exempelvis fram i sin studie till att det är brist på uppgifter i läroböcker som faktisk kan definieras som problemlösningsuppgifter.
2. Syfte och frågeställning
Syftet med detta arbete är att jämföra hur tre läroböcker i åk 9 belyser problemlösning i kapitlen om taluppfattning och algebra. Jämförelse ska göras med avseende på
problemlösningsuppgifters matematiska innehåll och studiens fokus ligger i
matematikdidaktiken. Frågeställningar som kommer att genomsyra undersökningen är följande:
• I vilken mängd förekommer problemlösningsuppgifter i de olika läroböckerna för kapitlen taluppfattning och algebra?
• Vilken/vilka sorts/ers problemlösningsuppgifter förekommer i läroböckerna för kapitlen taluppfattning och algebra?
3. Tidigare forskning
Innan analysarbetet kunde påbörjas genomfördes en litteratursökning för att bekanta med forskningsfältet. I början av sökprocessen definierades nyckelord som var viktiga för undersökningen, såsom läromedel, läroboksanalys, problemlösning,
problemlösningsstrategier och motsvarande sökord på engelska textbooks analysis, textbook, problemsolving, problemsolving tasks. Databaserna som användes var Google Scholar, Libsearch, ERIC, Swepub. Förutom sökning via nyckelord tillämpades även sökmetoden kedjesökning. I detta avsnitt presenteras tidigare forskning som vi anser är relevant för denna studie i tre områden, läroböcker i matematik, problemlösning och problemlösning i läroböcker.
3.1. Läroböcker i matematik
Johansson (2006) skildrar läroboken som en artefakt producerad av människor.
Samtidigt beskriver hon den som en speciell bok ansedd att användas i undervisningen som håller en viktig social funktion i relation till andra texter. Landets kultur och utbildningstradition återspeglas i läroboken (Johansson, 2006). Enligt Hiekka (2015) uppfattas läroboken av många elever som en konkretisering av kunskaper som de ska kunna i matematik. Många lärare anser att läroboken ger ett viktigt stöd i undervisningen och hjälper eleverna att uppnå sina mål. Bergqvist et al. (2010) intervjuade 66
grundskollärare och det framkom att 59% av lektionstiden gick till arbete med
matematikuppgifter enskilt eller i små grupper, uppgifterna kom från läroboken, lösblad eller liknande. (Bergqvist et al., 2010).
Enligt Lundin (2008) kan svenska läroböcker beskrivas som arbetsblad i matematiken med uppgifter där dess syfte är att hålla eleverna sysselsatta i klassrummet. I svenska läroböcker är det vanligt att uppgifterna är strukturerade efter svårighetsgrad. Det kan förklaras med läroplanens reform och mer individanpassad undervisning under de
senaste decennierna. Läroböckerna är anpassade för att kunna användas i icke homogena elevgrupper, där varje enskild elev har sina egna kunskapsmål. Det kan vara en
förklaring till den stora mängden enskilt arbete på matematiklektionerna (Johansson, 2006).
Flera forskare anser att läroboken har en särställning inom matematikundervisningen i jämförelse med andra ämnesområdena i skolan (Johansson, 2006; Löwing, 2004). I många fall överlämnas valet av uppgifter till eleverna själva Det innebär att ansvaret för lärandet i stor del överlåts till läroboken och eleverna. Samtidigt visar Pansell och Boistrup (2018) i sin studie att även om läraren följer läroboken i sin undervisning och hämtar uppgifter därifrån, innebär det inte nödvändigtvis att det är förutbestämt vad som kommer att läras ut och hur.
3.2. Problemlösning
Problemlösning har en central roll i skolmatematiken och kan definieras på många olika sätt där Mouwitz (2007) betonar svårigheten att bestämma dess konkreta innebörd. Vidare beskriver Mouwitz (2007) ett exempel på åtskillnad mellan ett problem och en rutinuppgift. Med ett problem menas en uppgift där tillämpning av en standardmetod inte räcker till eller passar. En rutinuppgift är det motsatta där en tillämpning av en
standardmetod fungerar, vilket kan betraktas som en procedur. Mouwitz (2007) anser att problemlösningen är svår att definiera konkret. Samtidigt behövs det för att kunna diskuteras kollegialt i skolvärlden för att bidra till ett professionellt språkbruk för alla lärare. Vidare argumenterar han för att det gemensamma språkbruket är förutsättningen för en rättvis bedömning och betygsättning.
Enligt Mouwitz (2007) kan problemlösningen även ses som en relation mellan elever och uppgifter. Han anser att definitionen av en uppgift kan betraktas som en
problemlösning eller inte är beroende på individen som ska lösa uppgiften. Vidare förtydligar han det med resonemanget att samma uppgift i en lärobok kan ses som en problemlösningsuppgift för en elev men som en rutinuppgift för en annan elev. Andrews och Xenofontos (2015) har poängterat samma fenomen med exemplet att multiplicera två tvåsiffriga tal är problematiskt för en 5 åring men inte för måttligt kompetent vuxen. Andrews och Xenofontos (2015) hävdar att ett matematiskt problem kan generellt sett betraktas som ett mål utan direkt uppenbart sätt att lösa det. Det är inte en funktion av uppgiften som är problemkomplexiteten utan det är det individuella lösarens kunskap, erfarenhet och inställning. Pansell och Andrews (2017) hade samma definition av problemlösning refererad till Andrews och Xenofontos (2015) och Doorman, Drijvers, Dekker, Heuvel-Panhuizen, van den, Lange, & Wijers (2007) där problemlösning kan
betraktas som ”konsten” av att hantera icke triviala problem som ännu inte har någon känd, rutinmässig lösningsstrategi för eleven.
Brehmer et al. (2016) refererat till Schoenfeld (1992, s.364) beskrev att det är viktigt att ”every study or discussion of PS be accompanied by an operational definition of the term and examples or what the author means”. I försöket att definiera ett problem åstadkom de tre nyckelfunktioner; problemet bör vara meningsfullt eller värt att lösa; lösaren måste anstränga sig för att åstadkomma lösningsprocessen, den bör vara
kognitivt utmanade; samt ingen lösningsstrategi ska finnas till hands för lösaren att lösa uppgiften.
Enligt Skolverket (2019) har problemlösning alltid varit ett angeläget område för forskning. Vidare betonar Skolverket (2019) med hänvisning till Montague (1997) att varje aspekt i problemlösning bidrar till svårigheter. Skolverket (2019) poängterade att det inte räcker med att lära sig reglerna för hur en lösningsprocess ska genomföras. Vidare skriver Skolverket (2019) att matematiken påminner i ett avseende om spel, vilket syftar till att en individ inte förblir en bra spelare för att hen kan spelreglerna.
Matematiken har både en logisk och en undersökande sida som inte enbart handlar om att lägga upp en plan för hur problemet ska lösas, utan det ska också ges möjlighet till att gissa och spekulera.
3.3. Problemlösning i läroböcker
Bremer et al. genomförde år 2016 en analys av läroböcker i gymnasiet med syftet att undersöka hur de representerar matematisk problemlösning. Böckerna som granskades var matematik 5000 3c, 4 och 5. Resultatet av Bremers et al. (2016) studie visade att endast 312 (5,45%) av 5722 uppgifter kunde definieras som problemlösningsuppgifter. Hög procentuell andel av de var placerade i speciella avsnitt i varje lärobok. Detta kopplade Bremer et al. (2016) till kursplanen för kurs 5 refererad till Skolverket (2012, s.39) att ”The teaching in the course should treat…Wide-ranging problemsituations in subject typical of a programme [,]”. Ytterligare resultat som Bremers et al. (2016) studie visade att de flesta uppgifter som definierades som ett matematiskt problem hittas i slutet av varje kapitel på högsta svårighetsgrad och gavs i ren matematisk kontext. För samtliga läroböckerna som ingick i studien hittades 98,75% av matematiska problem i nivå 3,
84,62% i slutet av varje kapitel och 62,50% i en klar matematisk kontext. Baserat på resultatet drog därmed Bremer et al. (2016) slutsatsen att läroböckerna har fåtal uppgifter som kan definieras som matematiska problem och de förekommer i slutet av varje kapitel presenterade mestadels i ett matematiskt sammanhang.
Taflin (2017) poängterar likt Bremer et al. (2016) om samma fenomen att
problemlösningsuppgifter förekommer i slutet av varje kapitel. Taflin (2017) kopplade fenomenet till att läroböckerna vanligtvis innehåller ett lärande av många olika metoder som eleverna behöver behärska för att kunna lösa matematiska problem. Resultatet av denna struktur i läroböckerna bidrar till att fokus förskjuts från att lösa problem till att kunna använda metoder (Taflin, 2017). Skolinspektionen genomförde år 2009 en
kvalitetsgranskning av matematikundervisningen i 23 grundskolor i 10 olika kommuner, med syfte att undersöka hur skolhuvudmän och verksamheter arbetar för att utveckla måluppfyllelsen. Granskningen ledde fram till att undervisningen i stor utsträckning baserades på läroboken. Skolinspektionen (2009) tolkade detta som ett negativt resultat, på grund av dess begränsningar och styrning av undervisningen. I undersökningen påpekades att elevernas möjlighet att träna på problemlösnings- och
resonemangsförmåga begränsas. Detta kan återkopplas till Taflins (2017) resonemang, uppgifterna snarast är fokuserade på metodinlärning än problemlösning.
4. Teoretisk bakgrund
I kapitlet beskrivs det teoretiska perspektivet som genomsyrar arbetet. Ytterligare presenteras definitionen mer konkret för problemlösning som kommer att användas i studien.
4.1. Anthropological Theory of Didactic (ATD)
The Anthropological Theory of Didactic utgör den teoretiska basen för arbetet, översatt till svenska kallas det för den antropologiska didaktiska teorin. Fortsättningsvis i texten kommer teorin att kallas för ATD. Den utvecklades av franska matematikdidaktikern Yves Chevallard under 80-talet och beskriver lärandeprocesser i undervisningen som en del av mänsklig aktivitet. I början utvecklades teorin för matematiken och
matematikundervisningen men senare har den tillämpats inom andra ämnesområde och forskningsfält. ATD bidrar till förståelse och ger analysmöjligheter i lärobokens innehåll utifrån matematikdidaktiska perspektiv. Den kunskap som lärs ut i skolan och som finns i läromedel har genomgått en transformation. Det finns en väsentlig skillnad mellan
vetenskap som framställer ny kunskap och skolan vars främsta uppgift är att reproducera denna kunskap. En lång omvandlingsprocess har skett från vetenskap i den akademiska bemärkelsen till ett skolämne. Enligt Chevallard och Sensevy (2014) kan ATD användas för att studera de olika didaktiska överföringsprocesserna i sociala sammanhang. Den didaktiska transpositionen sker i flera steg (Bosch & Gascon, 2014).
Kunskap som forsknings produkt Kunskap som ska undervisas enligt Kunskap som undervisas Kunskap som eleverna lär sig
Figur 1: Didaktisk transposition (Fritt efter Bosch & Gascón 2014)
I början befinner vi oss i den akademiska kunskapssfären (Figur 1) med en enorm kunskapsmängd som har samlats genom forskning och i nästa steg sker en avgränsning genom styrdokument såsom läroplaner och ämnesplaner. Vidare omsätter läraren med hjälp av läromedel dessa styrdokument till en undervisning. I det sista steget skapar eleverna en förståelse utifrån den undervisningen som de har fått i klassrummet. Vad som
kan noteras är att överföringen av kunskap är en dubbelriktad process. Genomförandet av varje steg i processen kan påverka de föregående stegen. Lärarens undervisning i
klassrummet influeras av läroboken samt egen undervisning, som motiverar läraren att reflektera över kunskapstransmissionen i klassrummet för att sedan återkoppla till styrdokumenten (Perez, 2018). Läroboken som verktyg befinner sig i mitten av denna omvandlingsprocess och kan spela en avgörande roll, eftersom ämnesplanerna i matematik är generella och ger för lite vägledning till lärarna (Johansson, 2006).
Inom ATD är praxeologin ett av grundbegreppen som i allmän mening beskriver
vetenskapen om mänskliga handlingar för att uppnå specifika mål. I Chevallards (2006) teori är en praxeologi inte bara ett verktyg för att beskriva vad och hur människor gör utan också vad de tänker. Läromedlet är inte enbart en instruktionsbok att följa, utan innehåller problemlösningsuppgifter där eleverna utmanas att tänka på egen hand och lösa olika problem. Med hjälp av ATD kan en modell skapas där vilken matematisk kunskap som helst, i vårt fall problemlösning kan beskrivas i termer med en matematisk praxeologi. Enligt Chevallard (2006) är en praxeologi ett sätt att beskriva kunskap utifrån en mänsklig aktivitet och består av två delar. Den ena är praxis,” the know- how” och den andra logos,” the know- why”.
Figur 2: Praxeology (Pansell & Boistrup, 2018, s.546)
Figur 2 beskriver att praxis består av uppgifter (tasks) som kan lösas med hjälp av procedurer vilka kallas techniques. En uppgift är en av de uppgiftstyper som eleverna ställs inför när de ska lösa problemet och för en varje sådan uppgiftstyp kan finnas en eller flera möjliga metoder att lösa problemet. Vi kallar det den praktiska delen av vår praxeologi – praxis. Vidare för att förklara metoder, tekniker och varför de används finns teknologi som en del av logos (Pansell & Boistrup, 2018). Logos innefattar även teori som är den övergripande kunskap, kan vara matematisk och/eller generell och ligger bakom teknologin.
4.2. Vår definition av problemlösning
Uppgifter kan tolkas olika beroende på individen och det är dess förkunskaper som avgör om uppgiften är enkel eller ett problem (Mouwitz, 2007). Han anmärker att inte är möjligt att ringa in problemlösningsuppgifter, det är en tolkningsfråga. Till detta beskrev Mouwitz (2007) att oavsett vilken definition som används behövs det för att det ska kunna diskuteras kollegialt. Därför är definitionen av nyckelord viktig i dessa
sammanhang. I denna studie kommer problemlösning att definieras som en uppgift som det inte räcker eller passar med att tillämpa en standardmetod (Mouwitz, 2007).
Dessutom kommer Pansells och Andrews (2017) definition refererad till Andrews & Xenofontos (2015) att användas, vilket är att en problemlösningsuppgift är en uppgift utan direkt uppenbar lösningsmetod och det är lösarens individuella kunskap och erfarenhet som behövs för att kunna lösa uppgiften. Problemlösning är ”konsten” att hantera icke-triviala problem som inte har känd, rutinmässig lösningsstrategi för eleven (Pansell och Andrews, 2017).
5. Metod
Kapitlet inleds med en beskrivning av metodval, urval och datamaterial. Därefter presenteras definitionen av problemlösning och analysmetoden som används i denna studie. Efter det följer en detaljerad beskrivning av hur hela processen genomfördes. Avslutningsvis förs ett forskningsetiskt resonemang och hur denna studie har förhållit sig till tillförlitligheten utifrån reliabilitet och validitet.
5.1. Metodval
Enligt Bryman (2002) är den vanligaste analysmetoden vid läromedelsanalys en innehållsanalys. Han beskriver processen som att dra slutsatser utifrån en systematisk beskrivning samtidigt som de karaktäristiska dragen i olika budskap sammanställs. Bryman (2002) poängterar att systematiseringen spelar en central roll i
kategoriseringsprocessen. Vi har valt att bygga våra kategorier utifrån Chevallards (2006) praxeologi, eftersom arbetet behandlar matematikdidaktiska frågor och studies syfte är att studera problemlösningen i läromedel. Enligt Chevallard (2006) kan varje mänsklig aktivitet analyseras utifrån en praxeologi och problemlösningen kan anses vara en mänsklig aktivitet, någonting som eleverna gör i vårt fall med hjälp av läroboken. En matematisk praxeologi med uppgift, teknik, teknologi och teori utgör en ram till
analysen. Vårt analysverktyg kan definieras som innehållsanalys med kvalitativ metod med delvis kvantifiering av data. Tre läromedel ingår i analysen och utgör ett
undersökningsobjekt för följande arbete.
5.2. Urval
I vårt urval ingick tre läroböcker från åk 9 utgivna mellan åren 2011 – 2014, Matte Direkt, Formula 9 och Matematik Z.
5.2.1. Val av läroböcker
Urvalet av läromedel är kritiskt för att det ska vara representativt. Läroböckerna som valts är delvis böcker som vi är bekanta med från vår tidigare verksamhetsförlagd utbildning men även utifrån systematiskt urval via sociala medier. Vi gjorde efterfrågningar via sociala medier, för att bekräfta vilka läroböcker som används av skolorna i Malmö/Skåne. Likaså i rapporten Matematikutbildningens mål och undervisningens ändamålsenlighet
angavs det att den mest använda läroboken för åk 6 var Matte Direkt (Bergqvist et al., 2010). Vi kan dra slutsatsen att det är troligt att samma lärobok behålls på högstadiet. Johansson (2006) skriver om att lärare inte är så förändringsbenägna i val av läromedel.
5.2.2. Kort beskrivning av läroböckerna
Matte direkt 9 Andra upplagan, av Synnöve Carlsson, Karl Bertil Hake, Birgitta Öberg
Utgivnings år 2011.
Sanoma Utbildning är förlaget bakom serien Matte Direkt utgiven för åk 7–9. Läroboken finns tillgänglig i digital form med
tillhörande lärarhandledning. Lärobokens grundkurs består av fyra kapitel som följs av genrepet som är en repetition inför nationella prov. Styva linan är en fördjupning i algebra och ekvationer och i kapitlet Inför gymnasiet erbjuds smakprov på olika uppgifter som är förekommande i gymnasieprogram. Varje kapitel i grundkursen är nivåindelat och det börjar med baskunskaper tillhörande
instruktioner och förklarande texter. Vidare följer en gemensam aktivitet och en diagnos. Därefter sker indelning i kapitlen efter Blå kurs (med enklare uppgifter) och Röd kurs (med fördjupning och svårare uppgifter). Kapitlen avslutas med en
sammanfattning och problemlösningsuppgifter. Problemlösningen med högre svårighetsgraden är placerad separat i slutet av boken.
Formula 9 Andra Upplaga, av Gert Mårtensson, Bo Sjöström, Petra Svensson
Utgivnings år 2014
Formula utges av förlaget Gleerups och utöver läroboken i serien ingår den tillhörande lärarhandledningen och materialet är tillgängligt i digital version. Boken innehåller sju kapitel där de första fem
kapitlen följer samma spår, i kapitlet 6 repeteras grunderna innan nationella provet och kapitlet 7 fördjupar de kunskaperna. Strukturen av Formula 9 skiljer i viss mån från en klassisk mattebok, då den börjar med en omfattande förklaringsdel, därefter följer
tillämpningsuppgifter som avslutas med diagnos, prov och
problemlösning i slutet av varje kapitel. Upplägget av Formula är tvärtom, där de första uppgifterna är problemlösning i form av en aktivitet där eleven tvingas att använda en
befintlig kunskap utan några förklarande instruktioner för att sedan fortsätta med ledtrådar. Boken innehåller flera laborativa inslag samt problemlösningsuppgifter i varje kapitel, jämnt fördelade i texten. Diagnosen kommer rätt så fort i kapitlet därefter delas in materialet i Spår 1 som behandlar baskunskaper och Spår 2 som fördjupar tidigare kunskaper för att sedan öka svårighetsgraden. Kapitlet avslutas med kapiteldiagnos, repetition, extra utmanade uppgifter och sammanfattning.
Matematik Z Fjärde upplaga, av Lennart Undvall, Kristina Johnson, Conny Welen
Utgivnings år 2013
Matematik Z ingår i serien XYZ som är anpassad för olika årskurs mellan 7–9 och är publicerad av förlaget Liber. Läroboken inleder med en instruktion om bokens struktur. Boken innehåller 6 kapitel som in sin tur är uppdelade i olika avsnitt. I varje avsnitt är
uppgifterna uppdelade i fyra nivåer. Förutom uppdelning med fyra nivåer ingår det även uppgifter som är markerade med antingen pratbubbla som indikerar en diskussionsuppgift eller miniräknare då miniräknare bör användas. För varje lärobok för respektive årskurs
finns det en grundbok (för eleverna), ett enklare bashäfte (för elever som har svårt för nivå 1), en utmaningsbok (för elever som har lätt för nivå 4) och en
lärarhandledning. Ytterligare finns grundkursen digitalt med interaktiva verktyg. Dessutom finns det en hel del tips och extramaterial på deras hemsida
www.matematikbokenxyz.se.
5.3. Analysmetod
Under arbetsgången har en kvalitativ analys genomförts utifrån praxeologin med kategoriseringen av uppgiftstyper. Uppgifternas karaktär bestäms utifrån praxis och logos, för att besvara frågan hur läroböckerna framställer problemlösningsuppgifter i kapitlen taluppfattning och algebra. För att skapa en ytterligare översikt över hur utvalda läroböcker uppmärksammar problemlösningsuppgifter har en kvantifiering av data genomförts. Som stöd för att avgränsa en problemlöningsuppgift används Mouwitz (2007), Pansell och Andrews (2017) och Andrews & Xenofontos (2015) definitioner av problemlösning.
5.4. Genomförande
Framställning av empiri är en viktig del i studien och för att säkerställa kvaliteten i analysen av datamaterialet genomfördes en pilotstudie. Varje uppgift gicks igenom var för sig i de olika läroböckerna enligt definitionen från Mouwitz (2007), Pansell och Andrews (2017) och Andrews och Xenofontos (2015). För varje
kapitel/område/delområde i läroböckerna sammanställdes tabeller med uppgifter som enligt definitionen tillhör problemlösningsuppgift (se Bilaga 1). Ett ytterligare kriterium var att liknande eller samma uppgiftstyp inte ska finnas i läroböckernas introduktionsdel. Dessutom ska de inte kunna lösas genom en ettstegsberäkning.
För att förtydliga processen av valet av en problemlösningsuppgift beskriver vi
processen och de frågor som ställdes för oss själva enligt följande. Läser uppgiften och ställer frågor till oss själva: Kan jag direkt se en lösningsmetod/tillämpa en
standardmetod? Räcker det att genomföra beräkningen i ett steg? Finns det liknade/samma uppgift i instruktionsdelen med lösningsexempel? Om svaren till
frågorna var nej kategoriserades uppgiften som en problemlösningsuppgift. Trots denna process var det många tveksamma uppgifter kvar angående om de kunde kategoriseras som problemlösningsuppgift i sammanställningstabellen. En kvalitativ analys är alltid en iterativ process, där det görs flera genomgångar av datamaterialet tills resultaten är stabila (Hjerm, Lindgren & Nilsson, 2015). Därtill upprepades sorteringsprocessen ett flertal gånger och ytterligare uppgifter förkastades. De uppgifterna som blev kvar sammanställdes i tabell (bilaga 3).
Uppgifterna scannades och klipptes ut för sortering i olika högar (se bilaga 2 och exempel i figur 3). Utifrån det kunde vi söka efter samband, likheter, olikheter, relationer, egenskaper och karaktär hos uppgifterna för att därifrån namnge
uppgiftstyperna. I en matematisk praxeologi en task eller uppgift är en matematisk uppgiftstyp där det ingår uppgifter med liknande egenskaper (Chevallard, 2006; Pansell och Boistrup, 2018). Exempelvis hur arean av en triangel beräknas eller hur den n:te figuren kan hittas är två olika typer av uppgifter. Uppgifterna sorterades utifrån deras matematiska innehåll, tyngdpunkten föreligger på vilken sorts övergripande kunskap, teori som återfinns i en specifik uppgiftstyp.
Figur 3: Sorteringsprocessen för namngivning (task)
För att förtydliga namngivningsprocessen använder vi uppgifterna i Figur 3 för att förklara. Likheter och samband som kan hittas i Figur 3 är att alla uppgifter utgår från en given andel, där eleven ska söka efter ett konkret tal som motsvarar det givna andelen. Därtill namnges uppgiftstypen till ”utifrån given andel ta reda på ett konkret antal.”.
De olika uppgiftstyperna kategoriseras i relation till praxeologi med praxis och logos utifrån uppgiftstyp, teknik(metod) för praxis och teknologi/teori för logos. Analysen för denna del gjordes med inspiration från Pansell och Boistrups (2018) artikel. Därtill kommer logos uppdelning i teknologi och teori att ses som en kategori. De urskiljs inte, vilket stämmer med hur Pansell och Boistrup (2018) genomförde sin analys. Utifrån Pansell och Boistrup (2018) och Chevallard (2006) konkretiserar vi praxis med frågeställningen ”vilka metoder behöver eleverna använda för att lösa uppgiften?” och logos med frågan ”vilka övergripande kunskap/begrepp/förståelse behöver eleverna för att kunna lösa uppgiften?”. Ett ytterligare perspektiv som vi tar hänsyn till är läroböckernas introduktionstext för varje kapitel/delavsnitt.
5.5. Etiska överväganden
Vår studie följer Vetenskapsrådets etiska principer (Vetenskapsrådet, 2002). Eftersom studien baseras på läromedelsanalys finns det inga etiska övervägandet att ha hänsyn till. Alla läromedel är offentliga handlingar och får användas i forskningssyfte. Vi
informerade berörda förlag via e-post om att vår studie kommer att utgå från deras läroböcker. Vi fick svar från Gleerups och Liber och med deras tillstånd har vi lagt in vissa bilder på uppgifter som exempel. Vi fick inget svar från Sanoma Utbildning därför har vi skrivit av uppgifterna från läroboken.
5.6. Reliabilitet och validitet
”En grundläggande fråga i all forskning är hur tillförlitliga data är” (Christoffersen & Johannessen, 2015 s. 21). Inom forskning kallas det för reliabilitet, vilket handlar om hur noggranna och exakta undersökningens data är, vilka data som används, sättet som de samlas in och hur de bearbetas. En annan viktig fråga inom forskning är validitet, vilket handlar om hur väl den insamlade data representerar frågeställningen (Christoffersen & Johannessen, 2015).
Enligt Hjärm et al. (2015) kan pålitligheten, trovärdigheten, tillförligheten, överförbarheten och bekräftelsebarheten fungera som bedömningskriterier till en
kvalitativ forskningsmetod. För att stärka reliabiliteten dvs tillförligheten genomfördes en pilotstudie, där problemlösningsuppgifter sorterades ut med hjälp av olika definitioner. Efter noga överväganden valdes Mouwitz (2007), Pansell och Andrews (2017) och Andrews och Xenofontos (2015) definitioner av problemlösning som ett analysverktyg i detta studie. Vi arbetade länge med data för att uppfylla de olika bedömningskriterierna och hela datamaterialet genomsöktes flertalet gånger. Samtliga uppgifter sorterades två gånger individuellt. Vi fick prova våra analyser regelbundet och analyserna presenterades för våra kurskamrater och handledare för att klargöra och förtydliga oklarheter. Vi
försökte följa begreppsanvändningen konsekvent och utgick från praxis och logos i analysprocessen. Reliabiliteten och validiteten är starkt bundna till varandra. Validiteten kan uppnås om ett analysverktyg mäter det som undersökningen anses att mäta samt stämmer överens med forskningsfrågan (Hjärm et al., 2015). I skapandet av vårt analysverktyg utgick vi från en vetenskaplig forskning, med Chevallards (2006) praxeologi.
6. Resultat
I kapitlet presenteras resultatet med en sammanställning av alla uppgiftstyperna som är identifierade i läroböckerna. Vidare följer en förklaring för varje uppgiftstyp separat utifrån följande struktur; 1) allmän beskrivning av uppgiftstypen 2) analys av
uppgiftstypen utifrån praxis och logos där en sammanställningslista med alla identifierade praxis och logos ingår (dock ingår inte alla praxis och logos i den gemensamma listan för varje enskild uppgift) 3) beskrivning av ett exempel med lösningstekniker och 4) koppling till läroboken med beskrivning av introduktionsdelen. Därefter sammanställs alla uppgiftstypers praxis och logos och slutsatser dras utifrån sammanställningen. Avsnittet avslutas med diagram som kvantifierar
problemlösningsuppgifterna i läroböckerna.
6.1. Uppgiftstyper i problemlösning inom kapitlet
taluppfattning och algebra
För att svara på frågeställningen vilken/vilka sorts/ers problemlösningsuppgifter som förekommer i läroböckerna för kapitlen taluppfattning och algebra utfördes analys utifrån deras matematiska innehåll med hjälp av Chevallards praxeologi. Totalt identifierade 6 olika uppgiftstyper som inkluderar alla problemlösningsuppgifter som återfanns i läroböckerna. Uppgiftstyperna som identifierades i läroböckerna var följande; 1) utifrån givna andelar ta reda på konkreta antal, 2) utifrån egenskaper och relationer mellan tal hitta talen, 3) hitta uttryck och relation utifrån en given information, se mönster, 4) hitta värde i en geometrisk kontext, 5) hitta samband mellan tal i kontext för att ta reda på värde och 6) utifrån konkreta tal och dess egenskaper hitta samband.
Uppgiftstyp 1: Utifrån givna andelar ta reda på konkreta antal Beskrivning av uppgiftstyp:
Uppgifterna i denna kategori formuleras med rena texter i olika situationer.
Inledningsvis ger alla uppgifterna en konkret beskrivning av andel i antingen bråkform eller procentform i relation till motsvarande antal. Utifrån det ska eleverna beräkna det okända antalet som saknas i det hela. Uppgifterna befinner sig inom bråkräkning och/eller procent. Uppgiftstypen finns endast i läroboken Matematik Z. Som exempel använder vi uppgift 1020 i läroboken Matematik Z för att förtydliga.
Uppgift 1020 i Matematik Z: Det finns regler för hur mycket bekämpningsmedel frukt och grönsaker får innehålla. Vid EU-undersökningen överskreds gränsvärdena för
bekämpningsmedel i 1/20 av proverna. I 1% av dessa prover var det så hög dos att det
omedelbart får effekter på hälsan. Hur många sådana prov upptäcktes i EU undersökningen? Vid EU-undersökningen analyserades 70 000 prover. Man hittade då rester av bekämpningsmedel i hälften av proverna. I några fall överskreds dosen för barn med 10 gånger det tillåtna värdet.
Uppgiften är i en kontext med undersökningssituation. Den inleds med en given andel 1/20 i relation till ett konkret tal 70 000. Eleverna ska utifrån frågan beräkna 1% och ange det konkreta antalet som saknas.
Praxis och logos:
Nedan följer en lista som visar en sammanställning över praxis och logos som
kännetecknas av denna uppgifttyp. Listan sammanfattar alla hittade praxis och logos, som nämnts tidigare ingår inte alla praxis och logos för varje enskild uppgift.
Utöver nämnda praxis (tekniker) behöver eleverna behärska övergripande kunskap för att koda viktig information i textuppgifterna genom logisk tänkande. Eleverna behöver uppfattning av rationella tals egenskaper för att kunna skapa förståelse av
lösningsmetoderna. Exempelvis behöver de kunna behärska teknik i form av omvandling mellan olika former, multiplikation med bråktal och decimaltal och förkorta för att lösa uppgift 1020 i läroboken Matematik Z. Bland annat för uppgiften behöver de först avkoda informationen såsom, 70 000 prover, 1/20 är lika antalet prover som överskred och 1% är lika med andelen som talet ska hittas för. Talet ska skrivas om till samma form för att kunna beräknas. Eleverna kan antingen välja att skriva om 1/20 och 1% till decimalform 0,05 och 0,01 eller endast skriva om 1% till bråkform 1/100. Därutöver behöver de förståelse om det rationella talens egenskaper vid omvandling till bråkform, såsom att 70 000 kan skrivas som 70 000/1. Beroende på om eleven
Praxis
• Tecknar ett uttryck • Löser en ekvation • Hanterar negativa tal • Utför beräkningar med fyra
räknesätt
• Omvandling av procent till decimal eller bråkform (omskrivning)
• Utför räkneoperationer med bråktal (förkortar, förlänger, gemensam nämnare)
Logos
• Förståelse om rationella tals egenskaper, exempelvis dess omskrivningar
• Förståelse om proportionalitet (andel)
• Logiskt tänkande för avkodning av informationen för att ”välja ut den viktiga informationen i texten” • Förståelse om talens egenskaper
bestämmer sig för decimalform eller bråkform kommer metoden för den sista uträkningen att skilja sig emellanåt (se figur 4).
Figur 4: Exempel på praxis för uppgift 1020 i Matematik Z
För bråkform behöver eleverna kunna teknik som att förkorta och division beräkning. Medan i decimalform behöver eleverna kunna talens egenskaper såsom positionernas värde. Detta gäller då miniräknare inte är tillåten för uppgifterna i läroboken.
Koppling till läroböckernas introduktionsdel:
I läroboken Matematik Z finns det en kort beskrivning av rationella tal i
introduktionsdelen. Rationella tal definieras enligt läroboken som ett tal i bråkform och kan skrivas om till olika former som bråkform, decimalform och procentform. Slutligen förklaras det att de hela talen kan skrivas som bråk, exempelvis att 4=4/1. Utifrån praxeologin tillhör det logos, då det utgör en övergripande kunskap som eleven behöver för att kunna lösa denna uppgiftstyp.
I exemplet i lärobokens introduktionsdel för kapitlet taluppfattning finns små rutor som förklarar bråkräkning, vilka kan kopplas till tekniken i praxis. Exemplen börjar med att beskriva bråkräkning med addition sedan multiplikation, multiplikation i blandform och slutligen en separat ruta med exempel av beräkning med bråk i division. Läroboken bygger rutorna med beskrivning av hur stegen ska genomföras, vilket är fokusen i praxis. Till exempel börjar förklaringsruta 1 med att beskriva “innan du adderar skriver du bråken med samma nämnare.”. Vidare ger boken en kort redogörelse till varför det förlängs med 3 eftersom minsta gemensamma nämnaren (MGN) är 9. Men ingen förklaring medföljer till vad minsta gemensamma nämnare är eller definitionen för MGN och hur den kan hittas. Den tillhör teorin i logos. I förklaringsruta 2 finns det endast en formulering för att vid multiplikation med bråk ska “täljarna multipliceras för sig och nämnarna för sig”. Sedan fortsätter förklaringsruta 3 med “innan du
vid bråkräkningen. På samma sätt fortsätter rutorna för multiplikation i blandform och bråkräkning i division. Därför hamnar dessa exempel med förklaringsrutorna i inom praxis, utan någon koppling till logos.
Uppgifttyp 2: Utifrån egenskaper och relationer mellan tal hitta talen Beskrivning av uppgiftstyp:
Inledningsvis beskrivs uppgifterna i denna uppgiftstyp med en beskrivning av de okända talens relationer och förhållandet till varandra. Uppgiftstypen kan befinna sig i en kontext som en textuppgift eller bara i ett rent matematiskt innehåll. Alla räknesätt kan förekomma. Vissa uppgifter kräver kännedom av geometriska figurer. Uppgifterna i denna uppgiftstyp förekommer i många fall i kontext där begreppsförståelsen krävs. Utifrån den givna information/kriterierna ska eleverna hitta metoder i form av exempelvis uttryck för att hitta de okända talen. Här ingår uppgifter om talens egenskaper som storleksordning och positionssystem, aritmetik med fyra räknesätt, även uppdelning i primtalsfaktorer samt algoritmer, omvandling mellan bråkform och decimalform, räknekonventioner, överslagsräkning och rimlighetsbedömning. För att förtydliga detta använder vi uppgift 5 i problemlösningssidan i läroboken Matematik Z och uppgift U3 i Formula som exempel.
Uppgift 5 i Matematik Z: På vågen: Robin, Matilda och Josefin vägde sig två och två. Robin och Matilda vägde 130 kg. Matilda och Josefin vägde 115 kg. Robin och Josefin vägde 125 kg. Vad visade vågen när alla tre ställde sig på den samtidigt?
Figur 5: Ett exempel inom kategorin utifrån egenskaper och relationer mellan tall hitta talen, Uppgift
U3 i Formula
I uppgiften i Matematik Z beskrivs talens relationer och förhållandet som vikt och i uppgift U3 i Formula som ett konkret tal. Sedan vad gäller hänsyn till figurer syftas det exempelvis till i Uppgift U3 att placeringen av talen är beroende av figurens utseende. Begreppsförståelse syftas till begreppen såsom summa, produkt, kvadrattal, lodrät, vågrät, mindre än, större än etc. Dessa begreppen har en avgörande roll för om eleven kan lösa uppgiften konkret.
Praxis och logos:
Praxis och logos som kännetecknar uppgiftstyp 2 har sammanställts i lista enligt nedan;
Förkorta/förlänga, teckna ekvation och använda balansmetoden, multiplikation med parantes, negativa tal och skriva om förhållandet såsom proportionalitet är de olika praxis som identifierats för denna uppgiftstyp. Vidare behöver eleverna behärska förståelse om talens egenskaper, logisk tänkande, begreppsförståelse, proportion och förståelse av variablers egenskaper. Dessa är tillhörande logos då dessa utgör en övergripande kunskap för eleverna att kunna innan metoder (teknik) kan tillämpas. Eleverna behöver kombinera olika praxis (teknik) för att kunna lösa uppgifterna. Exempelvis för uppgift 5 i läroboken Matematik Z behöver eleverna först logos kunskaperna för att kunna påbörja lösningen. Eleverna behöver kunna avkoda informationen och ställa upp det i form av steg #1 nedan i figur 8. Sedan behöver de förståelse om omskrivning och insättning av ekvationer (se steg #2 och #3 i figur 8).
Figur 6: Exempel på praxis för uppgift 5 i Matematik Z
Efter att eleverna har kommit fram till steg #3 i figur 8 behöver eleven endast tillämpa praxis för att lösa uppgiften som vanlig ekvation med exempelvis balansmetoden.
Praxis
• Utför räkneoperationer med bråktal (förkortar, förlänger)
• Tecknar ett uttryck
• Utför multiplikation med parentes (distributiva lagen)
• Omvandling mellan bråktal och decimaltal
• Löser en ekvation
• Resonerar, med hjälp av numeriska metoder förklarar samband
• Hantering av negativa tal • Utför beräkningar med fyra
räknesätt
Logos
• Förståelse om talens egenskaper såsom negativa tal, parentesens betydelse, positionssystemet etc.
• Logiskt tänkande för att teckna ekvation, rimlighetsbedömning • Begreppsförståelse för begrepp såsom
summa, produkt, addition, subtraktion, lodrät, vågrät etc.
• Förståelse om proportion och vikten angående dess ordning
• Förståelse om variablernas egenskaper vid beräkning, såsom att + = 2 men xx=x ²
• Förståelse om variablernas egenskaper i ekvation, omskrivning och insättning • Avkoda information i texten
Koppling till läroböckernas introduktionsdel:
Uppgifter av denna uppgiftstyp finner vi i alla tre läroböckerna men majoriteten finns i Formula 9 och Matematik Z. I läroboken Matematik Z finns uppgifterna endast i kapitel 2 Algebra och har en spridning över delkapitel 2.3 och 2.5. De uppkommer alla i de högre nivåerna 3 och 4. I läroboken Matematik Z:s delkapitel 2.3 finns det i början en introduktionsdel med beskrivning av ekvationer och balansmetoden, som tillhör praxis. Det förklaras att en ekvation är en likhet som innehåller något obekant tal och vänster led ska vara lika med höger led. Sedan fortsätter det med ett exempel ruta där
balansmetoden tillämpas. Multiplikation med parentes och negativa tal förklaras i stegvis för hur det ska genomföras, därför kategoriseras det som en teknik tillhörande praxis. Vad som tillhör logos är att exemplet inleds med en förklaringsruta där ett antagande ska skrivas upp. Eleverna ska använda sin övergripande kunskap och förståelse om talens egenskaper, logisk tänkande och begreppsförståelse för att kunna sätta upp ett samband för vidare lösningar. Dessa antagande innehåller inga mallar som eleverna kan använda utan det skiljer sig mellan varje specifik uppgift därför tillhör det logos. I delkapitel 2.5 tillkommer begreppet proportionalitet av det inleds introduktion texten som beskriver proportioner i bråkform. Logosdelen i introduktionstexten är förståelse om hur ordningen för att skriva proportionalitet har betydelse för
beräkningen. Tillhörande praxis är processen för uppställning av ekvationen genom proportionalitet då det visas tydligt stegvis med exempel.
Matte Direkt tar upp i instruktionsdelen talmängder, delbarhet, primtal och negativa tal i kapitel 1, de förklaringarna tillhör praxis och hjälper eleverna att utföra
proceduruppgifterna i boken. Någon förklaringsmodell eller bevis för att hjälpa elever med problemlösning finns inte. Formula 9 har liknande struktur med små
förklaringsrutor där beräkningarna med negativa tal, positiva tal, flera räknesätt och potensform tas upp som kan anses vara praxis relaterad.
Uppgifttyp 3: Hitta uttryck och relation utifrån en given information, se mönster. Beskrivning av uppgiftstyp:
Uppgifterna i denna kategori befinner sig oftast i en geometrisk kontext och introduceras med hjälp av figurer, dock kan även rena beskrivande textuppgifter förekomma. De är avsedda för att utveckla ett algebraiskt resonemang. Eleverna ska hitta samband mellan två variabler och uppgiftstypen är en viktig länk till
introduktionen av linjära funktioner. Det kan även användas för att öka elevernas förståelse om kvadrattal och potenser. Relationen mellan delar i mönster kan uttryckas med symboler, grafer och ord. Vi har valt en uppgift från läroboken Formula kapitlet 1, se nedan i Figur 9 för att visa de olika praxis och logos delarna.
Figur 7: Ett exempel inom kategorin att hitta uttryck och relation utifrån en given information, se
mönster, uppgift U5 i Formula
Praxis och logos
Nedan följer sammanställning av alla tekniker (praxis) och övergripande kunskap, teori (logos) enligt listan nedan som kan förekomma för denna uppgiftstypen.
I listan ovanför visas en sammanställning utifrån praxeologin som kännetecknar denna uppgiftstyp. Alla uppgifter kan lösas genom att teckna ett uttryck och sedan ställa upp en ekvation. Det som särskiljer denna uppgiftstyp ifrån de övriga är att de är lätta för att arbetas med laborativt. Åtminstone en del av uppgiften går att lösas konkret och därtill tillåter elever som inte är starka i algebra att tillägna sig kunskaper inom samband och mönster. Inom logos delen kan vi urskilja två viktiga delar som eleverna behöver utveckla, vilka är logisk tänkande för att kunna se mönster och samband och att kunna begrepp såsom potens, kvadratrot och aritmetisk talföljd.
Praxis
• Genom numeriska metoder försöker att hitta n:e talet • Genom att arbeta laborativt med
konkret material, hittar n:e talet och antal
• Genom att rita, hittar mönster och n:e talet
• Tecknar ett uttryck
• Genom att lösa en ekvation, beräknar värde
• Utför beräkningar med fyra räknesätt
• Hanterar negativa tal
• Utför multiplikation med parentes
Logos
• Allmän logiskt tänkande för att hitta mönster
• Att ha kunskap om potensbegrepp och kvadratrötter och se samband mellan de.
• Att ha kunskap om aritmetisk talföljd och se samband med linjära funktioner
För att förklara närmare använder vi uppgiften i Figur 9 i läroboken Formula som exempel. Vi betraktar först praxis delen, för att sedan övergå till logos. För att svara på fråga 1a behöver eleverna kunna tolka mönster och därifrån bestämma nästa figur nr.4 och nr.5. Eleverna kan alltingen utifrån ett enkelt resonemang eller rita figurerna nr.4 och nr. 5 för att hitta svaren. Men för att kunna lösa 1b och 1c krävs det ett mer
utvecklat resonemang för att hitta samband. Alternativet är att ha kunskap om att teckna uttryck och beräkna det algebraiskt. Eleverna kan även beskriva mönstrets utveckling numeriskt genom att rita en tabell och skriva ner en talföljd.
Som ett alternativ kan eleverna lösa uppgiften genom att titta på bilden och omgruppera mynten så att ett nytt mönster kvadrat bildas. Därifrån kan ett samband upptäckas mellan antalet mynt som ingår i en kvadrats sida och figurnumret. Ett ytterligare
alternativ är analysera mönstren för att ställa upp ett generellt algebraiskt uttryck. Då y - är antalet mynt i en viss figur och n - är numret på figuren, resulterar det till att = 2.
Tre olika tekniker (metoder) kan användas för att lösa deluppgiften 1. I fråga 2 kräver det att eleven kan titta bakåt och se att svaret på frågan 2a och 2b finns i föregående fråga 1b och 1c. 2c kräver en högre kognitiv förmåga för att lösa. Antingen kan eleven hitta mönster genom att se att 10 upphöjt med 2 är 100 och 100 upphöjt i 2 är 10 000, då någonting upphöjt i 2 ska bli 676. Problemet kan lösas genom att i stegvis prova olika tal i räknaren. Det andra sättet är att använda en generell regel och dra ut roten ur 676. Att kunna svara på frågan 3 kan eleven använda två tekniker, antingen genom resonemang och uppställning komma fram till att 1000 mynt befinner sig mellan figur nr.31 = 961 och figur nr. 32 = 1024 mynt, där den sökande svaret är figur nr. 31. En annan väg är att ställa upp en algebraisk ekvation där 2 =1000. Eleven kan prova att
lösa den intuitivt, eftersom i åk 9 saknas det metoder för att lösa den algebraiskt. Alla ovan nämnda lösningstekniker tillhör praxis. När vi betraktar uppgiften utifrån logos, för att lösa uppgiften delvis, räcker det för eleven att använda logiskt tänkande och att ha allmänt övergripande kunskap att se mönster i olika strukturer. Det krävs inga matematiska teorier. Däremot för att kunna lösa uppgiften i sin helhet, behöver eleven att se kvadrattal, kunna hantera potenser och kvadratrötter och samtidigt inse att de är varandras motsatser.
Koppling till läroböckernas introduktionsdel:
I läroboken Z förekommer denna uppgiftstyp endast i kapitel 2 algebra. I introduktionen finns det tydliga beskrivningar för hur eleven kan tänka för att hitta ett samband både i kontext med ren textformulering och genom mönster. Genom konkreta exempel skapar introduktion en vägledning för hur eleven kan tänka för att hitta uttryck. Begrepp som differens, starttal och figurnummers innebörd förklaras tydligt. Strukturen som det uppkommer i leder det till som delsteg för ett konkret metod för att hitta samband i linjära mönster. Därtill ingår det i praxis. Gällande logos behöver eleverna ha ett logiskt tänkande för att koppla ihop och hitta information som är given i uppgiften för att kunna tillämpa metoden för att teckna uttrycken.
I kapitel 1 i Matte Direkt finns det en kort introduktion till tal i kvadrat och kvadratrot, som följs av introduktion av Pythagoras sats och kopplas till kvadrattal, rektangeltal och triangeltal. De förklaringarna kan anses tillhöra praxis, eftersom inga djupare
förklaringsmodeller tillkommer. Däremot i kapitlet 2 förekommer denna uppgiftstyp efter linjära funktioner och läroboken förklarar talföljder och mönster utifrån dem, som kan kopplas till logosdelen.
Introduktionsdelen i Formula 9 hanterar potens och rot på liknande sätt som i Matte Direkt med korta beskrivningar innan uppgiftstypen uppkommer. Även dessa
beskrivningar är tillhörande praxis delen. Ytterligare har det hittats uppgifter i denna kategorin av uppgiftstyp i kapitlet som handlar om algebra och ekvationer. Men inga kopplingar hittades mellan uppgiftstypen och introduktionsdelen.
Uppgiftstyp 4: Hitta värde i en geometrisk kontext. Beskrivning av uppgiftstyp:
Uppgiftstypen har undersökande karaktär och olika lösningsstrategier kan behövas samt kunskaper i algebra och geometri binds samman. Eleverna ombeds till exempel att hitta area av en geometrisk figur genom att teckna ett algebraiskt uttryck och lösa
ekvationen. Det kan förekomma uppgifter som går att lösa genom numeriska metoder. Förutom texten har uppgiften en förklarande bild med sig, men tillika rena textuppgifter påträffas. För närmare förklaring av denna uppgiftstyp valdes uppgift 35 från Matte Direkt kapitlet 1:
Uppgift 35 i Matte direkt. Sohrab, Stefan och Ingemar bär en flaggstång som är 12 m lång i den del av staden där alla gator är 4 m breda och korsar varandra med rät vinkel. Kan de svänga in på en annan gata i korsningen med flaggstången?
Praxis och logos:
Nedan följer en lista med praxis och logos som kännetecknar uppgiftstypen 4;
Listan visar sammanställningen av praxis och logos för kategorin. Eleven kan tillämpa flera olika metoder(praxis) såsom att arbeta laborativt, rita skalenligt och prova sig fram. Samtidigt för att lösa de flesta uppgifter i kategorin i sin helhet, behöver eleverna kunna ställa upp ekvationer. Medan övergripande kunskaper, i logos kan vi urskilja allmän logiskt tänkande, förmågan att koppla samman algebra, geometri och i vissa fall även ta hänsyn till vardagliga situationer. Tillika är det viktigt för eleven att kunna Pythagoras sats, olika geometriska figurers omkretsar och areor, samt se samband och relation. En grundlig kunskap hur ett uttryck tecknas och en ekvation löses är
nödvändigt.
Till förklaring används uppgift 35 från Matte direkt som exempel. Genom att använda laborativt material, kan situationen ritas upp (praxis). Vidare behöver eleven kunskap (logos) för att kunna rita i skala, värdera och prova sig fram genom att placera en flaggstång. Beroende på hur noga eleverna är kan de komma fram till svaret att det är omöjligt att passera genom korsningen med flaggstången. Nästa metod kan beskrivas med hjälp av Figur 8 där eleverna ritar fram situationen och sedan med hjälp av Pythagoras sats, tecknar ett uttryck och löser ekvationen. De behöver kunskaper om plangeometri, rätvinkliga trianglar och beräkna hypotenusa.
Praxis
• Genom att rita och/eller att rita i skala, hittar värde.
• Arbetar laborativt med konkret material för att hitta värde
• Beräknar en area, eller en omkrets, eller en sida av en geometrisk figur med eller utan Pythagoras sats
• Tecknar uttryck
• Löser en ekvation algebraiskt
• Utför beräkningar med fyra räknesätten • Utför multiplikation inom parentes • Hanterar negativa tal
• Utför omskrivning av formel
• Utför multiplikation av parentesuttryck (den kommutativa lagen)
Logos
• Allmän logiskt tänkande och en uppfattning om geometriska figurer i plan och i rum
• Att kunna tillämpa Pythagoras sats i olika sammanhang och kunna hantera omskrivningar av en formel
• Ska kunna teckna ett algebraiskt uttryck och lösa en ekvation
• Att kunna area och omkrets i vanligt förekommande geometriska figurer och kunna hantera omskrivningar av dem.
Figur 8. Exempel på logos för uppgift 35 i Matte direkt
Eleverna kan ställa upp en ekvation där 2x blir hela längden av flaggstången, där y = 2 x, då 2 =42+42. Utifrån det kan eleverna dra slutsatsen att det inte går att
passera korsningen med flaggstången.
Följande praxis kan sammanfattas, såsom att rita i skala och resonera, lösa algebraiskt med hjälp av Pythagoras sats. I logosdelen återfinns övergripande kunskap om
kopplingen mellan algebran och geometri, samt att uppfatta situationen i verkligheten, där uppgiften utspelar sig i rummet. Likaså behöver eleverna ha kunskap om att teckna uttryck och lösa ekvation.
Koppling till läroböckernas introduktionsdel:
Endast 1 uppgift i denna kategorin av uppgiftstyp identifierades i läroboken Matematik Z. Den hittades i kapitel 2 algebra. I introduktionstexten återfanns endast praxis, då enbart formlerna introduceras för beräkningen av parenteser med alla fyra räknesätt. Tydliga rutor markeras med formeln enligt figur 9.
Figur 9: Ett exempel i introduktionsdelen i Matematik Z, s. 70 kapitel 2 algebra
I Matte Direkt påträffades denna uppgiftstypen i kapitlet 1 och kapitlet 2. I kapitel 1 återfinns en förklaring till Pythagoras sats och ett bevis på satsen redovisas i läroboken (logos). Tekniken (praxis) som finns är en beskrivning om hur man beräknar med kvadratrötter. I kapitel 2 visas tekniken för multiplikation i parentes (den distributiva lagen) och multiplikation med division (den kommutativa lagen). Till detta finns det även logos med förklaring till varför det kan multipliceras på ett visst sätt med hjälp av en geometrisk modell. Instruktionsdelen tar upp kvadrerings och konjugatregeln genom att visa tekniken (praxis) och kopplar det sedan vidare till hur en ekvation med
I läroboken Formula 9 förekommer uppgiftstypen endast i kapitlet Algebra och är dessutom placerade i slutet av kapitlet. I tidigare kapitel återfinns instruktioner om hur uttryck kan tecknas för att beräkna arean eller omkretsen (praxis). Läroboken behandlar olika metoder (praxis) där förkortning av bråktal, multiplikationen av parentesuttryck ingår. Boken tar upp enkla andragradsekvationer och presenterar en lösningsmetod. Begreppen som rätvinkliga trianglar och Pythagoras sats tas upp (logos) och tekniker att ställa upp en ekvation utifrån en given katet eller hypotenusan i en rätvinklig triangel demonstreras (logos).
Uppgiftstyp 5: Hitta samband mellan tal i kontext för att ta reda på värde. Beskrivning av uppgiftstyp:
Uppgiftstypen bäddar in det matematiska innehållet i en text och eleverna förväntas hitta svaret genom att teckna uttryck och lösa ekvation. Lösningsmetoden i uppgiftstypen är given och svårigheten ligger att tolka texten korrekt och ställa upp ekvationen felfritt. Som ett exempel med högre svårighetsgrad återfanns den uppgift i boken Formula 9:
Uppgift P5 i Formula. Formeln F = 1,8 • C + 32 visar sambandet mellan
fahrenheitgrader och celsiusgrader. Vid vilken temperatur visar celsiustermometer samma gradtal som fahrenheittermometern?
Uppgifterna i kategorien skiljer sig delvis från andra uppgifter genom att det bara finns algebraiska lösningar, även om det inte kan uteslutas att någon av eleverna lyckas resonera sig fram till svaret. I sammanställningen nedan togs det ingen hänsyn till sistnämnda metoden eftersom det kan anses ha mer slumpartad karaktär.
Praxis och logos:
I lisan följer en sammanställning över praxis och logos som kännetecknar för denna uppgiftstypen;
För att lösa uppgiftstypen är den viktigaste tekniken (praxis) att kunna teckna ett korrekt Logos
• Övergripande kunskap utifrån en kontext, avkoda informationen för att kunna teckna ett algebraiskt uttryck • Att ha kunskap att lösa en ekvation,
att kunna hantera negativa tal och den distributiva lagen.
• Ska kunna teckna ett algebraiskt uttryck och lösa en ekvation Praxis
• Multiplikation med parantes (distributiva lagen)
• Genom att avkoda
information i texten tecknar ett uttryck
• Löser en ekvation
• Omskrivning av en formel • Hantering av negativa tal
läsförståelse och tolkningsförmåga av texter (logos). Likadant som i de andra
uppgiftstyperna behöver eleverna ha kunskap om att teckna uttryck, multiplicera med parentes och hantera negativa tal.
Som förklaring presenteras lösningen av uppgiften P5 från ovan i Figur 10. Uppgiften kräver att eleven kan avkoda information i texten (logos) och inser att formeln måste skrivas om.
Figur 10: Lösningsexempel från Formula 9 uppgift P5 .
Svårigheten i uppgiften ligger i att eleven måste ha förståelsen om sambandet mellan fahrenheitgrader och celsiusgrader och kunna inse att F och C kan ersättas med x. Det krävs en hög kognitiv förmåga och ett logiskt tänkande (logos) för korrekt uppställning av ekvationen. Vidare ska eleven kunna hantera praxis korrekt och lösa ekvationen genom balansmetoden och felfri hantering av negativa tal.
Koppling till läroböckernas introduktionsdel:
I läroboken Matematik Z är uppgifterna i denna kategorin fördelade över avsnitten 2.1 och 2.3., dock finns majoriteten av uppgifterna i avsnittet 2.3. Endast 1 uppgift förekom i avsnittet 2.1. I introduktionstexten i avsnittet 2.1 hittades inga kopplingar till denna uppgiftstyp. I avsnittet 2.3 finns det enbart en kort beskrivning för tekniken (praxis) gällande balansmetoden vid ekvationslösning som nämnts tidigare under uppgiftstyp 2. Därtill är det samma praxis och logos som kan identifieras för följande uppgiftstyp 5 och uppgiftstyp 2 i läroboken Matematik Z.
Matte Direkt demonstrerar inte hur uppgiftstypen ska lösas. I kapitel 1 återfinns instruktionerna om hur negativa tal ska hanteras i ett uttryck (praxis). Kapitel 2
presenterar ett exempel för hur multiplikation inom parentes kan genomföras. I samband med detta ges det ett exempel på hur man kan teckna uttryck och lösa ekvationer. Läroboken visar även för hur en formel kan skrivas om.
vara till stöd för eleverna, såsom att visa hur bokstavsuttryck kan användas,
räkneexempel med parentes, dela upp i faktorer och förenkla uttryck (praxis). Här finns flera exempel på förklaringar till hur eleverna kan med hjälp av bokstäver teckna upptryck. Dessa förklaringar föreligger i en kontext med utförliga beskrivningar om hur ekvationer kan lösas.
Uppgiftstyp 6: Utifrån konkreta tal och dess egenskaper hitta samband Beskrivning av uppgiftstyp:
Uppgifterna i uppgiftstypen utgår från konkreta tal (nästan i alla uppgifter utifrån ett tal). Alla uppgifter inleder i princip med följande mening ”tänk på ett tal.”. Sedan härleder uppgiften med en beskrivning av en matematisk process som det valda talet ska följa. Genom det ska eleverna kunna se ett samband och visa att sambandet alltid gäller. Angående denna uppgiftstyp ska eleverna gå från den konkreta till det abstrakta.
Uppgift 4115 i Formula är ett representativt exempel för nästkommande uppgiftstyp (se figur 11).
Figur 11. Ett exempel inom kategorin utifrån konkreta tal och dess egenskaper hitta samband, uppgift
4115 i Formula
Uppgiften utgår ifrån att eleverna behöver följa instruktion och utföra räkneoperationer med de fyra räknesätten (praxis). Därefter ombeds eleverna att fortsätta med det
abstrakta för hitta samband och ge ett eget exempel (logos).
Praxis och logos:
Nedan följer det lista med sammanställning av praxis och logos som kännetecknas av denna uppgiftstyp.
Praxis
• Kunna följa instruktion • Kunna använda de fyra
räknesätten • Kunna teckna uttryck
• Att kunna multiplikation med parantes (distributiva lagen)
• Hantering av negativa tal
Logos
• Allmänt logiskt tänkande att kunna se mönster och samband mellan talen
• Förståelse om hur man teckna ett algebraiskt uttryck
För att förklara närmare använder vi uppgiften i Figur 11. Eleven behöver med hjälp av de fyra räkneoperationer följa instruktioner och få tillbaka samma tal i resultatet som starttalet. Eleven har använt flera tekniker (praxis) såsom följt instruktionen och utfört operationer med addition, subtraktion, multiplikation och division. I frågan b
tillkommer fler tekniker (praxis) och eleven ska kunna teckna ett uttryck och tillämpa den distributiva lagen. I logosdelen som återfinns i frågan c ombeds eleven att
konstruera liknande uppgift på egen hand.
Koppling till läroböckernas introduktionsdel:
Det finns inga delar i läroböckernas introduktionsdel som kan direkt kopplas till denna uppgiftstyp. Kunskaperna som behövs för denna uppgiftstyp genomsyras i alla
avsnitten. Genom alla kapitlen och delavsnitt i läroböckerna kan man få ledtråd för lösningen. Men det finns inga direkta hänvisningar i introduktionsdelen för denna uppgiftstyp där dessa uppgifterna befinner sig.
6.2. Sammanfattning av resultat för praxis och logos
Totalt hittades 14 olika tekniker (praxis), och fyra av de påträffades i alla 6 uppgiftstyper, såsom teckna ett uttryck, lösa en ekvation, hantera negativa tal och beräkna med fyra räknesätt. Alla uppgiftstyper kräver flera metoder för att kunna lösas, detta kan förklaras med problemlösningsuppgiftens karaktär och dess komplexa
struktur. Uppgiftstypen 4 hitta värde i en geometrisk kontext var mest rik på
lösningstekniker, som troligen kan fastslås med dess matematiska innehåll, där algebra och geometri knyts samman i en uppgift. Vi kan inte säkerställa för att vi har hittat alla tekniker(metoder) som går att tillämpa för att lösa uppgiftstyperna. Varje individ har sitt eget unika sätt att lösa problem och det finns alltid en möjlighet att upptäcka ett nytt tankesätt. Vårt syfte var att rekognosera de vanligaste teknikerna.
Att sammanställa logos som är mer komplicerad, eftersom olika uppgiftstyper har olika delar av teori, förklaringsmodeller och begrepp. Med försiktighet kan några generella slutsatser dras såsom att det behövs allmänt logiskt tänkande, en kognitiv förmåga att dra slutsatser utifrån givna villkor. Eleven ska kunna avkoda information i texten samt i form av symboler, ha förståelse av grundbegreppen såsom uttryck, ekvation, rationella tal. I allmänhet är det svårt att dra generella slutsatser i kvalitativa studier, det finns dock några upptäckter som vi skulle vilja sammanställa
