Lärares användning av matematiska begrepp

Examensarbete i fördjupningsämnet matematik

Lärares användning av matematiska

begrepp

Teachers’ Use of Mathematical Concepts

Michelle Ljunggren

Emilia Nilsson

Grundlärarexamen med inriktning mot arbete i förskoleklass till årskurs 3, 240 högskolepoäng Datum för slutseminarium: 2017- 03 - 26

Examinator: Clas Olander Handledare: Per Schubert Natur, Miljö, Samhälle

Förord

Examensarbetet är genomfört som en del av grundlärarutbildningen på Malmö högskola. Vi, Michelle Ljunggren och Emilia Nilsson, har båda ansvarat för arbetet. Båda har sökt och samlat in material, läst och diskuterat, intervjuat och observerat, transkriberat och analyserat samt skrivit texten. Vi har använt oss av Google dokument så att båda har deltagit aktivt i skrivprocessen.

Vi vill främst tacka de två lärare som deltog, delade sina tankar och reflektioner angående våra frågeställningar. Utan er hade arbetet inte gått att genomföra. Vi vill också tacka vår handledare Per Schubert, som genom diskussioner och konstruktiv feedback väglett oss under arbetets gång.

Sammanfattning

Synen på hur matematiska begrepp bör användas i klassrummet skiljer sig, både i forskarvärlden och i skolvärlden. Det finns forskning som förespråkar att korrekta matematiska begrepp ska användas i undervisningen men det finns också forskning som menar att det inte är fel att använda vardagliga synonymer till vissa matematiska begrepp. Syftet med vår studie har varit att belysa om och hur lärare i förskoleklass till årskurs 3 ger eleverna möjlighet att utveckla sin matematiska begreppsförmåga. För att besvara våra frågeställningar har vi intervjuat och observerat två lärare. Resultatet visar att även om arbetssätt och konkretiseringar i klassrummet sker på lika sätt så är synen på användningen av matematiska begrepp delad. Lärarna använder varierande arbetssätt främst genom att tala matematik och arbeta praktisk. De använder de matematiska begreppen på olika sätt i undervisningen, antingen blandas de matematiska begreppen med de vardagliga eller så används endast korrekta matematiska begrepp. Genom verklighetsförankring och konkret material uppmärksammar lärarna eleverna på matematiken och de abstrakta matematiska begreppen får en konkret innebörd.

Innehållsförteckning

2. Syfte och frågeställningar ... 7

3. Teoretiska perspektiv ... 8

3.1. Matematiska begrepp ... 8

3.2. Undervisningens ramar ... 9

3.3. Ernest fem olika ideologier ... 9

3.3.1. The Industrial Trainer ... 9

3.3.2. The Technological Pragmatist ... 10

3.3.3. The Old Humanist ... 10

3.3.4. The Progressive Educator ... 10

3.3.5. The Public Educator ... 11

3.3.6. Ideologiernas anknytning till tre undervisningsperspektiv ... 11

4. Tidigare forskning ... 13

4.1. Kommunikation i klassrummet ... 13

4.2. Barns tillägnande av begrepp ... 13

4.3. Vikten av rätt terminologi ... 15 4.4. Matematikundervisningens verklighetsförankring ... 16 5. Metod ... 18 5.1. Observationer ... 18 5.2. Intervjuer ... 19 5.3. Forskningsetiska överväganden ... 19

5.4. Urval och genomförande ... 19

5.5. Analysförfarande ... 20

6. Resultat och analys ... 21

6.1. Beskrivning av lärarna ... 21

6.2.1. Analys av lärarnas arbetssätt ... 22

6.3. Lärarnas användning av matematiska begrepp ... 24

6.3.1. Analys av lärarnas användning av matematiska begrepp ... 26

6.4. Lärarnas konkretiseringar av matematiska begrepp ... 27

6.4.1. Analys av lärarnas konkretiseringar av matematiska begrepp ... 30

7. Slutsatser och diskussion ... 31

7.1. Metoddiskussion ... 33

7.2. Vidare forskning ... 33

Referenser ... 34

Bilaga 1 ... 37

1. Inledning

Under de senaste 50 åren har skolans matematikundervisning ändrats från att vara formell och abstrakt till att vara mer som ett verktyg för att kunna förstå och tolka omvärlden (Löwing, 2004). På senare år har även språket kommit att få en stor betydelse i matematikundervisningen. Orsaken anser hon vara problemlösningsförmågan. Problemlösning infördes i läroplan för grundskolan 1980 (Lgr80) och har sedan dess fått mer utrymme i skolan. Språk och problemlösning har en stark koppling då man ofta “talar matematik” och kopplar matematiken till elevernas vardag genom att konkretisera. Det språk som används i matematikklassrum är speciellt, då språket innehåller ord och uttryck som i det vardagliga språket skiljer sig i både precision och betydelse (ibid).

Under vår tid på lärarutbildningen har vi reflekterat över språket som används i matematikklassrummen. En lärare använder sig av rätt terminologi medan en annan inte gör det. Dessa olika erfarenheter tillsammans med forskning som vi tagit del av har mynnat ut i många frågor. Är det viktigt att eleverna känner till att talen heter ”termer” för att förstå processen addition och se sambandet med processen subtraktion? När dessa adderas blir det en summa men när de subtraheras blir det en differens. Kan man utesluta vissa matematiska begrepp och ändå göra eleverna medvetna om likheter och skillnader mellan dessa?

Eleverna ska enligt Läroplan för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet 2011 (Lgr11) ges förutsättningar att utveckla de fem förmågorna problemlösningsförmåga,

begreppsförmåga, metod- och beräkningsförmåga, resonemangsförmåga och

kommunikationsförmåga. Den förmåga vi kommer fokusera på i detta examensarbete är

begreppsförmågan, det vill säga att eleverna ska utveckla användandet och analysera matematiska begrepp och se samband mellan dessa begrepp. Enligt kunskapskraven i Lgr11 ska eleven i årskurs 3 ha grundläggande kunskaper om matematiska begrepp samt kunna visa detta i ett vardagligt sammanhang genom att använda begreppen på fungerande sätt (Skolverket, 2014). Eleven ska också kunna beskriva begreppens olika egenskaper samt hur de står i relation till varandra. Enligt Pareto (2014) och Löwing (2004) är en bra begreppsförståelse i matematik något som kan ha effekter på framtida matematikinlärning.

Engvall (2013) skriver i sin avhandling att det språk som dominerar kommunikationen mellan lärare och elev är vardagsspråket och att matematiska begrepp är mindre vanliga i klassrumskommunikationen. Detta har hon kommit fram till genom att läsa fyra olika studier som tar upp samspelet i klassrummet och genom egna klassrumsstudier där hon analyserar språkanvändningen i klassrummet. Enligt hennes mening behövs det

… fler studier som inte bara strävar efter att i stora drag beskriva det uppenbara i undervisningen utan också̊ avser att synliggöra mindre tydliga fenomen. Ett sätt att göra detta möjligt är att studera matematikklassrummet och det som sker där, så som det visar sig genom lärares och elevers handlingar. (ibid, s.36)

Genom vår tidigare genomförda kunskapsöversikt om matematiska begrepp utifrån begreppskartor och storytelling kom vi fram till att det är viktigt att begrepp konkretiseras för eleverna innan de abstraheras. Utifrån den teoretiska inblick kunskapsöversikten bidrog med blev vi intresserade av att empiriskt undersöka hur begreppen används och sätts i relation till varandra.

Angående kommunikationen i klassrummet menar Boaler (2011) att om läraren har genomgång mer än halva lektionen där eleverna skriver av läraren, så lär eleverna sig snabbt att de inte behöver tänka utan bara kopiera. Denna undervisningsform främjar passivt lärande vilket innebär att eleverna enbart memorerar metoder i stället för att ifrågasätta och lära sig på djupet. Enligt henne behöver man enbart lära sig några fåtal metoder utantill och kunskap om matematiska begrepp för att lösa de flesta matematiska problem (ibid).

2. Syfte och frågeställningar

Syftet med denna studie är att belysa om och hur undervisningen i förskoleklass till årskurs 3 ger eleverna möjlighet att utveckla sin matematiska begreppsförmåga. Detta kommer att göras utifrån två lärares undervisning.

För att uppnå syftet kommer vi att undersöka följande frågeställningar:

• Vilka arbetssätt använder lärarna för att främja elevernas förståelse av matematiska begrepp?

• Hur använder lärarna matematiska begrepp för att främja elevernas förståelse? • Hur konkretiserar lärarna matematiska begrepp för att främja elevernas förståelse?

3. Teoretiska perspektiv

I detta kapitel presenterar vi teorier kring matematiska begrepp och undervisningsmetoder utifrån Ernest (1991) fem ideologier och utifrån hur Säljö (2012) beskriver det behavioristiska, konstruktivistiska och sociokulturella perspektivet.

3.1. Matematiska begrepp

Pimm (1987) skriver att det finns en relation mellan att tala och att lära, där begrepp är något man lär sig genom att tala om dessa med egna ord. Att lära matematik beror dels på lärandet av symboler men också på speciella termer. Enligt Ernest (1991) är begrepp inom matematiken oftast konkreta tillämpningar som beskriver den fysiska och sociala världen.

Om man studerar barns begreppssystem på olika nivåer visar det sig att graden av generalitet (växt, blomma, ros) är den grundläggande, naturliga och oftast förekommande relationen mellan betydelser (begrepp). Där visar begreppen sin sanna natur. (Vygotskij, 2001, s.358)

Detta visar enligt Vygotskij att begreppens relationer bygger på graden av dess generalisering. Denna relation kan också ses utifrån den hierarki Ernest (1991) beskriver där den matematiska kunskapen är den hierarkiska natur som finns bland matematiska egenskaper, speciellt mellan matematiska begrepp. Denna begreppsliga hierarki beskriver han som att man längst ner hittar grundläggande begrepp som beskriver egenskaper och position såsom linje, triangel, ett och kub. Högre i denna hierarki hittar man begrepp som definierar betydelsen av begreppen i den lägre hierarkiska nivån såsom figur, addition och tal. Högre upp finns än mer abstrakta begrepp såsom talsystem och funktion, som har anknytning till begrepp under sig i hierarkin. Form är ett abstrakt begrepp som befinner sig högt upp i hierarkin, begreppet innehåller de mindre abstrakta begreppen som befinner sig lägre i hierarkin som exempelvis cirkel, triangel, kvadrat, rektangel. Längre ner i hierarkin finns sedan vardagliga begrepp som rund, trekant, fyrkant (ibid).

För att elever ska kunna bygga upp matematiska modeller och generalisera sina kunskaper krävs en förändring och en förädling av språket, nämligen att gå från ett vardagsspråk till ett matematiskt förankrat språk. De vardagliga begreppen, de begrepp som används i alldagliga situationer, utvecklas och sträcker sig upp mot och genom de vetenskapliga. De vetenskapliga

begreppen, i detta fall de begrepp som är specifika för matematikämnet, utvecklas och

3.2. Undervisningens ramar

Löwing (2004) talar om undervisningens fasta ramar och rörliga ramar. De fasta ramarna är det läraren inte kan påverka såsom styrdokument och kunskapssyn, men även undervisningens tider, lokaler och aktörer är redan förutbestämda. De rörliga ramarna är det som läraren kan påverka, såsom undervisningsmaterial, arbetsform (hur undervisningen organiseras) och arbetssätt (lärarens metodik). “Lärarens möjligheter att bedriva en god undervisning beror i hög grad av hur dessa ramar möjliggör eller förhindrar undervisningen” (ibid, s.71).

3.3. Ernest fem olika ideologier

Ernest (1991) skriver om olika kunskapssyner som ligger till grund för hur läraren strukturerar matematikundervisningen. Dessa fem ideologier är Industrial Trainer, Technological

Pragmatist, Old Humanist, Progressive Educator och Public Educator.

Undervisningsmetoderna kan skilja beroende på vilken ideologi och kunskapssyn läraren utgår från. När man undersöker de teorier som ligger till grund för matematiklärande och läroplaner måste man även överväga värden, ideologier och samhällsgrupper/sociala grupper. Ernest ideologier kommer sedan knytas samman med de behavioristiska, konstruktivistiska och sociokulturella perspektiven.

3.3.1. The Industrial Trainer

Inom ideologin The Industrial Trainer ses kunskap som klippt och skuren, odiskutabel. Det finns rätt och fel, bra och dåligt, och är etablerat av en auktoritet. Man ser på barnen som tomma kärl som läraren ska träna och mata med rätt kunskap, likt en lärling. Elevernas arbete är hårt disciplinerat och individuellt, de motiveras genom att tävla mot varandra. Matematiken ska hållas fri från sociala problem och endast bestå objektivt innehåll som siffror, nummer och beräkningar. Målet med matematikutbildningen är att skaffa sig funktionella räknefärdigheter där lärandet sker isolerat och individuellt. Att knyta an matematikundervisningen till elevers erfarenheter anses inte lämpligt då de enbart leder till distraherade elever.

3.3.2. The Technological Pragmatist

Inom ideologin Technological Pragmatist ses matematiken utifrån två sidor, den ena sidan är ren färdighetsträning och fakta som eleverna ska ta till sig. Den andra sidan gäller matematikens användningsområde och dess praktiska tillämpning, detta är huvudsyftet med skolmatematiken då studenterna ska förbereds inför arbetslivet. Man ser även här barnet som ett tomt kärl som av läraren behöver fyllas med fakta och färdighet. Huvuddragen är att inte ifrågasätta utan bara acceptera befintliga strukturer och modeller. Lärarens främsta uppgift är här att vägleda eleverna via instruktioner samt visa ämnets relevans för framtida yrken. Färdighetsträning dominerar undervisningen.

3.3.3. The Old Humanist

Matematik har ett inneboende värde och är en central del av kulturen inom denna ideologi. Målet med undervisningen är överföring av kunskap, kultur och värden. Kunskap kommuniceras och baseras på resonemang och logik inom The Old Humanist. Elever förväntas klättra i matematikens hierarkiska abstraktionsnivåer utifrån sin matematiska förmåga. Den framgångsrika lär sig matematikens begreppsstruktur, hierarkiska nätverk av begrepp och satser som sammanlänkas av logiska länkar, matematiska relationer och grundläggande idéer. Lärarens roll är att föreläsa och förklara för eleven, för att kommunicera matematikens struktur meningsfullt och inspirerande genom varierade metoder, demonstrationer och aktiviteter för att motivera och underlätta inlärning och förståelse.

3.3.4. The Progressive Educator

Inom denna ideologi utvecklas kunskap i takt med mognad och i förhållande till erfarenhet. Erfarenhet stimulerar avslöjande av barnets medfödda kunskap och denna utvecklas genom samspel med världen. Medfödd kunskap återskapas av individer som en del av deras utveckling. Matematik är inom denna ideologi sann och säker. Barn jämförs med en växande blomma som behöver vårdas, skyddas och berikas med erfarenheter så den kan utvecklas till sin fulla potential. De ska lära sig matematik aktivt, genom lek, aktiviteter, undersökningar, projekt, diskussion, utforskning och upptäckande. Kreativitet och självinsikt ska utvecklas genom positiva erfarenheter. Barn ska utvecklas till frågeställare och bärare av fakta.

3.3.5. The Public Educator

Kunskap är i denna ideologi kulturbunden, värdefull och bygger på mänsklig verksamhet. Man ser på individer som likvärdiga, med lika rättigheter och för det mesta liknande gåvor och potential. Individens utveckling påverkas av omgivningens kultur och sociala strukturer. Sociala interaktioner konstruerar barns kunskap och mening, kunskap får inte vara påtvingat utan ska vara inbäddad i elevens kultur och verkliga situationer. Människan är aktiv och undersökande vid skapande av mening och kunskap. Målet med undervisningen är att ge individen egenmakt och frihet så att hen utifrån kunskap kan ta en aktiv och engagerad roll i att skapa sitt eget öde, ta initiativ och delta i en social utveckling och förändring. Målet med matematikundervisningen är att utveckla demokratiska medborgare genom kritiskt tänkande.

3.3.6. Ideologiernas anknytning till tre undervisningsperspektiv

Utifrån Ernest fem ideologier finns kopplingar till det Säljö (2012) skriver om de tre stora lärandeteorierna behaviorismen, kognitivismen och detsociokulturella perspektivet.

Enligt Säljö (2012) ser behaviorismen barnet som ett blankt papper som sedan ska matas med kunskap precis som Ernest (1991) skriver gällande The Industrial Trainer och Technological Pragmatist. Enligt behaviorismen är lärandet en linjär process som successivt byggs upp av stimuli och respons från omvärlden. Kunskapssynen är atomistisk vilket innebär att komplexa beteenden kan brytas ner i mindre delar eller att mindre delar kan bygga något mer komplext. Kognitiva förmågor såsom reflektioner, insikt och förståelse ses som oviktiga (Säljö, 2012). En tydlig koppling kan dras till The Industrial Trainer där det sociala inte ska blandas med matematiken.

The Old Humanist har drag av både behaviorismen och kognitivismen. Ideologin är inte lika strikt som behaviorismen, man ser inte eleverna som tomma kärl, men läraren ska dock fortfarande stå för kunskapen som i denna ideologi kan förmedlas genom olika arbetssätt. Kommunikationen har en viktigare roll än vad som beskrivs i The Industrial Trainer, Technological Pragmatist och behaviorismen. Dock ser man inte att eleverna kan inhämta kunskaper på egen hand så som kognitivismen beskriver.

Mellan ideologin The Progressiv Educator och kognitivismen finns likheter. I kognitivismen ser man inte eleverna som oerfarna mindre vuxna som måste fyllas med information. Istället menar man att barn har ett logiskt och avancerat tänkande, men de skiljer sig från de vuxnas. Lärande framkallas utifrån psykologiska erfarenheter, lärare eller en situation enligt Piaget (2003). Kunskapsutvecklingen är en spontan process. Han menar att

elever har olika utvecklingsstadier som sker utifrån mognad, erfarenheter, överförs socialt och regleras av individen själv, undervisningen måste möta eleverna i det stadiet de befinner sig (Piaget, 2003; Säljö, 2012). Precis som Ernest (1991) skriver om undervisningen i The Progressive Educator ska undervisningen inom kognitivismen vara utforskande, stimulera till självstyrda uppgifter och grupparbeten, där barn får samarbeta och bygga upp en kunskap gemensamt.

The Public Educator har likheter med det sociokulturella perspektivet då lärandet sker genom att interagera med andra och därför blir sociala grupper och kulturen runt omkring betydelsefull. Människan är i ständig utveckling och efterhand som man behärskar begrepp eller en färdighet så är nya begrepp och färdigheter lättare att ta till sig. Lärande och utveckling är således människans naturliga tillstånd. I det sociokulturella perspektivet ser man inte bara till den enskilda individen utan hur hen påverkas och påverkar samhället/kulturen omkring (Säljö, 2012). Inom The Public Educator är också individens betydelse för samhället stort, de formas tidigt till demokratiska medborgare och uppmanas till att ta initiativ och delta i en social utveckling och förändring i samhället.

4. Tidigare forskning

I detta kapitel presenterar vi den forskning som är aktuell för vår studie, som rör matematikämnet, undervisningen och matematiska begrepp.

4.1. Kommunikation i klassrummet

Löwing (2004) har utifrån klassrumsobservationer beskrivit och analyserat sju olika lärares kommunikation i undervisningen. Ett vanligt inslag i undervisningen är enligt henne TRIADEN som innebär fråga – svar – reaktion. Dessa cykler kan vara olika långa, men de saknar precision om lärare och elever talar förbi varandra, att föra några djupare samtal om matematik blir då inte möjligt. Enligt Pimm (1987) som har undersökt och analyserat kommunikationen i klassrum utifrån olika transkriberade klassrumsinteraktioner kan läraren ibland vara för fokuserad på formen, det som sägs i klassrummet, exempelvis uppmaningar och instruktioner. Detta kan påverka det innehåll som eleverna egentligen ska lära sig (ibid).

Pimm (1987) skiljer på elevers olika sätt att kommunicera. Elevernas yttre kommunikation är när de förklarar något för att någon annan ska förstå. Eleverna har också en inre kommunikation med sig själva för att kunna organisera sina egna tankar. Det finns en styrka i att samtala i klassrummet för att lärare ska förstå elevernas tankegång och upptäcka deras idéer. Eleverna får också möjlighet att kontrollera att de har förstått. Det räcker inte att ge eleverna mer talutrymme i undervisningen, han menar att läraren måste styra samtalet i rätt riktning så elevernas tal utvecklas och blir tydligt, budskapsinriktat och fokuserat. Det är viktigt att göra eleverna medvetna om varför de uppmuntras till att prata matematik, att konversationen är uppgiftsfokuserad och tydlig (ibid).

Enligt Löwing (2008) är kommunikationen mellan elev och läromedel den vanligaste kommunikationen för eleverna. I läromedlet kan det finnas termer som är svåra att förstå eller som har både en matematisk och vardaglig betydelse. Grevholm, Norén & Löfwall (2014) förespråkar inte regelmatematik och rutininlärning, läraren ska istället sträva efter variation i både undervisningens kommunikation och arbetssätt för att eleverna ska få tillfälle till lärande och kunna skapa en mening i och med matematiken.

4.2. Barns tillägnande av begrepp

Ett av lärarens viktigaste uppdrag är enligt Björklund (2014) att stödja utvecklingen av matematiska begrepp. Engvall (2013) har i sin avhandling undersökt

matematikundervisningen på lågstadiet i sex klasser från två olika kommuner. Hon kommer fram till att läraren har en viktig utmaning i att skapa en undervisning där matematiska begrepp är allt mer förekommande för att ge eleverna förutsättningar att utveckla och använda dessa begrepp.

När barn ska tillägna sig begrepp i skolan ställs de enligt Vygotskij (2001) inför helt andra problem än när de tänker på egen hand. De vardagliga begreppen står i relation till elevers erfarenheter på ett annat sätt än vad de vetenskapliga begreppen gör. Dessa olika typer av begrepp kompletterar varandra. Där de vetenskapliga begreppen är svaga är de vardagliga starka och vise versa.

När det gäller språk och terminologi använde de flesta lärarna ett oprecist språk i sin kommunikation med eleverna. Med detta vardagsbetonade språk blev det ofta svårt att lyfta fram abstrakta begrepp. Även eleverna använde ett oprecist för att inte säga slarvigt språk när de kommunicerade med läraren. Eftersom få av lärarna korrigerade detta språk uppfattade sannolikt eleverna att deras sätt att uttrycka sig var acceptabelt, inte minst med tanke på att lärarna själv använde ett liknande språk. (Löwing, 2004, s.200-201)

Detta är något som kan påverka utvecklingen av det matematiska språket som för eleverna är viktigt vid fortsatta studier (Pareto, 2014). Att läraren använder det språk som det är av mening att eleverna lär sig. Kurz & Bartholomew (2012) skriver om vikten att eleverna ser mening med undervisningen och att lära sig matematik. Att i undervisningen använda begrepp och koppla dessa till verkligheten utifrån elevernas erfarenheter är viktigt (Malmer, 2002; NCM, 2012).

Det är enligt Björklund (2014) viktigt att bygga upp begreppsförståelsen för att främja elevers lärande i matematik, detta genom att sammanlänka kunskaper och se de i olika sammanhang. För att främja elevers begreppsförståelse talar hon om vikten av att laborera och se begreppsinnebörder i varierande sammanhang. En god begreppslig grund gör det möjligt att föreställa sig något man inte ser konkret framför sig, se det abstrakta bakom begreppen. För att denna förmåga ska kunna utvecklas och kunskapen fördjupas måste eleverna få en förståelse för begreppens relationer till varandra samt kunna använda dessa vid problemlösning av olika slag.

I sin artikel skriver Pareto (2014) att ett problem för många matematiklärare är frågan om hur man ska undervisa matematik på ett sätt som uppmuntrar förståelse hos elever. Enligt henne är förståelsen för matematik baserat på elevernas styrka att koppla samman matematikens begrepp och ämnets idéer, därför menar hon att relaterade begrepp bör studeras

förståelse. Enligt henne verkar forskarvärlden vara överens om vikten av att ställa frågor för att utveckla ett lärande, i synnerhet för att främja djupare resonemang om matematik. Hunter (2008) hävdar att frågor i matematikklassrummet tillåter eleverna att göra upptäckter om och kopplingar mellan begrepp, att jobba med frågor i klassrummet är effektivare än traditionella metoder för undervisning.

Ett sätt att koppla begrepp till elevers verklighet och erfarenhet är genom konkretisering. Goral & Gnadinger (2006) skriver att även om konkret material används i undervisningen kämpar många elever oftast med förståelsen av begrepp. För att eleverna ska kunna bygga en djupare förståelse om begrepp menar de att det är viktigt att eleverna får se och uppleva olika metoder och verktyg (ibid). ”För att lära sig begrepp, och termer för att kommunicera begreppen, bör man gå från det enkla och okomplicerade till det mer komplicerade! (Löwing, 2011, s.53).

4.3. Vikten av rätt terminologi

Enligt Björklund (2014) är svårigheter i begreppsutvecklingen något som relateras till begreppets komplexitet. Hon menar att förhållandet ”stor och liten” är mindre komplext för att man endast jämför relationen mellan två olika objekt. Till skillnad från förhållandet ”störst och minst”, som är mer komplext, för att man jämför varje objekt i förhållande till varandra i urskiljandet av de olika objekten.

Bergqvist & Österholm (2014) beskriver att det är viktigt att använda rätt terminologi, främst för att kunna kommunicera med andra. De skriver om relationen mellan matematik och språk. I språket kan det finnas mer eller mindre komplexa relationer mellan ordval och korrekt matematisk terminologi. Orden gångra och plussa är synonymer med de matematiska termerna multiplicera och addera. Relationen mellan dessa olika begrepp ser de som en relativt ytlig relation eftersom det är samma företeelser som betecknas. En mer komplex

relation är den mellan begreppen fyrkant och kvadrat eftersom att de inte är synonymer. Detta

kan leda till en begreppsförvirring då de inte enbart handlar om ordval, utan det kan bli oklart vad man pratar om. En kvadrat är ett objekt med fyra kanter, alltså en fyrkant, men det finns fler objekt än en kvadrat som har fyra kanter, exempelvis rektangel, romb och parallellogram (ibid). Alltså utifrån begreppens hierarkier (Ernest, 1991). De menar i sin artikel att valet av enstaka ord inte alltid är avgörande i matematiklärandet samtidigt som små, ytliga skillnader i språkbruket i vissa fall kan vara viktiga (Bergqvist & Österholm, 2014).

Att använda ord som ”fyrkant” när man menar kvadrat, ”runda grejer” när man menar cirklar eller att beskriva en division som ”den delat med den” eller ”den delat på den” kan leda till missförstånd av viktiga begrepp. (Löwing, 2004, s.121)

Enligt Löwing (2011) har språket en viktig roll då det är med detta vi kan kommunicera och reda ut begrepp. Att ett språk som är otillräcklig kan leda till hinder vid bildande av begrepp.

Pimm (1987) beskriver en situation där eleverna i ett engelskt klassrum får frågan om vad differensen mellan 24 och 9 är. Engelskans difference betyder skillnad i det vardagliga språket och inom matematiken innebär det att man ska utföra en subtraktion. Eleverna besvarar frågan genom att förklara skillnaden mellan talens egenskaper istället för att utföra subtraktionen och få en differens. Ett sådant ord i svenska klassrum kan vara produkt, vardagligt kan det vara en produkt i en affär, exempelvis schampoo, medan det i ett matematiskt klassrum är det man får när man multiplicerar två faktorer. Dessa ord är homonymer, vilket betyder att de har mer än en betydelse. Detta kan bli problematiskt på många sätt, framför allt på grund av att skillnader gällande betydelse och användning av begreppet skiljer sig mellan matematiska och vardagliga situationer (ibid).

Malmer (2002) skriver om vikten av att läraren frekvent använder rätt terminologi och ord som är viktiga för matematiken i undervisningen.

4.4. Matematikundervisningens verklighetsförankring

”Matematik är inte ett kunskapsobjekt som barnet plötsligt en dag upptäcker. Matematik är i stället ständigt närvarande i människans utforskande och strävan att förstå sin omvärld och hur omvärlden bäst hanteras” (Björklund, 2014, s.66).

Boaler (2011) liknar dagens matematikundervisning med en dörr till en annan värld likt Narnia. Där inget stämmer överens med verkligheten ”när man går in i ’mattelandet’ lämnar man sitt sunda förnuft utanför dörren” (ibid, s.51). Detta kan leda till att matematiken blir svårbegriplig och verklighetsfrämmande vilket gör eleverna mindre intresserade av ämnet. Boaler (2011) menar att man bör använda sig av realistiska och konkreta situationer som har sammanhang. Att utifrån verkliga situationer arbeta med eleverna på ett sätt som kräver att de analyserar matematiskt och tar till vara på alla matematiska variabler för att kunna lösa uppgiften. Just konkretisering innebär enligt Löwing (2008; 2011) att erfarenheter, material och metaforer används i undervisningen så att eleverna får möjlighet att abstrahera den matematik de ska lära sig.

språkliga referenser. Lärarens språkbruk påverkar elevernas. ”Om läraren är slarvig med sitt språk, eller inte själv behärskar ett matematikdidaktiskt språk, kan detta leda till att eleverna får problem med begreppsbildning och med att tänka och uttrycka sig” (ibid, s.72).

Björklund (2014) menar att barns språk och ordförråd spelar en viktig roll för möjligheten att tillägna sig det matematiska språket, hon menar att det ofta är i lek och samtal med andra som begreppen problematiseras och sätts i ett sammanhang. Om barn saknar ord och begrepp från erfarenheter att uttrycka sig med, blir det svårt att synliggöra nyanser i begreppen. Det är därför viktigt att man som lärare gör det möjligt för eleverna att möta och pröva begrepp och dess olika nyanser i olika sammanhang, för att på så sätt låta de komma underfund med begreppens innebörd och hur begreppen används och ställs i relation till varandra.

5. Metod

Vi har gjort en fallstudie av två lärares undervisning på två grundskolor i södra Sverige. Där vi använde oss av klassrumsobservationer och intervjuer. Alvesson (2011) menar att intervjuer i sig inte säger så mycket om praktiken. Atkinson & Hammersley (1994) menar å andra sidan att vid observationer är det endast observatörens röst som förs fram. Med detta i åtanke valde vi att använda oss av både observationer och intervjuer för att komma åt både de praktiska och tankarna bakom det som sker.

I forskningssammanhang talar man om att forskningen ska ha en validitet och reliabilitet (Alvehus, 2013). Med validitet menas att man som forskare avser mäta det som är relevant i sammanhanget, att undersöka det man vill undersöka. Reliabilitet handlar om tillförlitlighet, att man som forskare använder sig av ett tillförlitligt material som kan upprepas (ibid). I vår undersökning har våra metoder gjort att materialet vi samlat in är relevant för våra forskningsfrågor. Just de metoder vi använt kan upprepas dock kan resultatet se annorlunda ut beroende på vilka som deltar i studien. Därför har vi varit noga med vilka metoder som lämpar sig bäst för vår forskning samt kritiskt granskat vårt resultat och jämfört det med vad som tidigare forskats om.

5.1. Observationer

Vi gjorde observationer i matematikklassrum eftersom att det är i dessa situationer det matematiska språket används som mest. Under observationerna fokuserade vi på språket som användes av läraren i undervisningen samt lärarens arbetssätt och material. Vi förde fältanteckningar under alla observationstillfällen och antecknade dels vad läraren sade, dels vad som skrevs på tavlan. Under observationstillfällena valde vi att placera oss på olika positioner i klassrummen för att se undervisningssituationen utifrån mer än ett perspektiv. Enligt Alvehus (2013) finns det två typer av observationer, öppen och dold. I en öppen

observation gör sig observatören till känna för de som observeras, medan i en dold observation tillkännages inte observatören. Vi har gjort en öppen observation, där det är

viktigt att tänka på observatörseffekten, att observatörerna påverkar det som sker på ett eller annat sätt. Observationen blir då mindre representativ (ibid). Enligt Hammersley & Atkinson (1994) bör man fundera över om deltagarna i observationerna är medvetna om att de observeras, hur mycket som är presenterat om den forskning de deltar i samt vilka aktiviteter och grupper som ska undersökas. Vi valde öppna observationer för att på så sätt undkomma

vissa etiska problem, att den som observeras inte är medveten om att detta sker. Detta kan i sin tur ha påverkat resultatet, då den observerade är medveten om att den blir observerad. Under observationerna använde vi oss inte av några tekniska hjälpmedel.

5.2. Intervjuer

Vi intervjuade lärarna för att undersöka vilka tankar och reflektioner som låg bakom den undervisning som observerades. Enligt Alvehus (2013) är intervjun ett effektivt redskap för att interagera om känslor och motiv. Under intervjuerna har vi använt oss av ljudinspelning för att ha tillgång till ett tillförlitligt underlag. Intervjuerna har byggt på samma frågor för att få så lite variation som möjligt. Enligt Alvehus (2013) består en semistrukturerad intervju av ett fåtal öppna frågor, som man samtalar kring. Här får respondenten en större inverkan på intervjun och intervjuaren måste vara mer aktiv som lyssnare, samtalspartner och vid val av följdfrågor (ibid).

5.3. Forskningsetiska överväganden

Inför observationer och intervjuer har vi tagit hänsyn till informationskravet, samtyckeskravet,

konfidentialitetskravet och nyttjandekravet (Vetenskapsrådet, 2011). Informationskravet

innebär att forskaren informerar om forskningens syfte för de som berörs av forskningen, detta gjorde vi i form av ett mail vi skickade. Samtyckeskravet innebär att de som deltagit själv fått ta ställning till om de ville delta i vår studie, där lärarna som deltagit varit intresserade av att delta. Efter deras deltagande har också konfidentialitetskravet använts då vi inte kommer skriva ut vilka skolor vi varit på och berörda lärare. Eftersom eleverna i klassrummet inte observerats så inhämtade vi inget samtycke från föräldrar, men däremot fick de information av berörd lärare om att vi skulle närvara i klassrummet. För att skolor och lärare ska vara anonyma är de figurerade i vår text. Nyttjandekravet innebär att det material som samlats in vid observationer och intervjuer endast kommer att nyttjas av oss.

5.4. Urval och genomförande

Vi har kontaktat skolor via mail där vi presenterade vår undersökning och frågade om de var intresserade av att delta. Där valdes två skolor och två lärare. Skolorna vi besökt har varit i samma kommun i en medelstor stad i Skåne, i olika rektorsområden. På den ena skolan som är en F-5 skola har observerade vi tre lektioner (två halvklass och en helklass) och

genomförde en intervju med läraren. På den andra skolan som är en F-3 skola observerade fyra lektioner (först en gemensam aktivitet sedan fyra smågrupper) och genomförde en intervju med läraren. Vid genomförandet har fältanteckningar förts utifrån samma struktur i båda klassrummen och vid intervjuerna har samma frågor diskuterats.

5.5. Analysförfarande

Analysen av vårt insamlade datamaterial har gjorts utifrån Braun & Clarke (2006) tematiska analys. Tematisk analys identifierar, analyserar och hittar mönster i datamaterialet och organiserar och beskriver detta i detalj. Utifrån forskarens insamlade data är det viktigt att bestämma den typ av analys man vill göra. De teman och mönster som finns i datamaterialet relateras till forskningsfrågorna. Det är enligt Braun & Clarke (2006) forskarens frihet att bestämma teman som gör den tematiska analysen flexibel.

Analysprocessen innebär att man hela tiden går fram och tillbaka i datamaterialet, som sedan analyseras i dess helhet och i dess mindre delar. Skrivandet blir därför en process som hela tiden sker utifrån idéer och potentiella koder. Den har enligt Braun & Clarke (2006) sex olika faser. Den första fasen innebär att man gör sig bekant med sitt datamaterial, genom att läsa det flera gånger och sedan skriver man ner inledande idéer. Den andra fasen är den fas där man skapar inledande koder i sitt datamaterial på ett systematiskt sätt. Här kan antingen all data analyseras eller valda delar av datamaterialet. Tredje fasen går ut på att hitta teman i data utifrån de koder man skapat i fas två, och här samlar man all data som är relevant för varje tema. Fas fyra innebär att man går igenom sina teman och granskar dem utifrån hur de fungerar i relation till de koder man använt och till all data. Man skapar alltså en karta utifrån de teman man analyserar. I femte fasen definieras och namnges de teman man skapat i datamaterialet. Här analyserar man för att förfina de specifika teman man hittat och vilken historia ens analyserade data berättar. Den sjätte och sista fasen är att producera rapporten, en sista möjlighet att analysera. Här väljs exempel på innehåll och citat som är levande och övertygande. Dessa analyseras för att knytas till forskningsfrågan, litteratur och för en färdig produkt av analysen utifrån materialet (ibid). Det är dessa sex faser vi använt för att sortera och analysera vårt insamlade datamaterial.

Vi har använt både en induktiv och deduktiv metod (Alvehus, 2013). Det vill säga att vi genom att dra slutsatser utifrån de enskilda fall vårt datamaterial gett oss har vi format teman, alltså använt en induktiv metod. En deduktiv metod har också använts då vi utifrån det vi redan vet, teorier och forskning, har tillämpat detta på vårt insamlade datamaterial.

6. Resultat och analys

Resultatet presenteras utifrån våra frågeställningar. Där två lärares undervisning presenteras tillsammans utifrån de teman vi skapat i vårt datamaterial och analyseras utifrån teori och forskning.

6.1. Beskrivning av lärarna

Lärare 1 har arbetat på skolan i 20 år, varav tio av dessa som grundskolelärare. Hens utbildningsgrund är barnskötare, förskollärare och grundskolelärare för årskurs 1-5 med inriktning mot matematik och svenska. Läraren arbetar mest i de yngre årskurserna på skolan. Lärare 2 är utbildad förskollärare och har arbetat som detta i 37 år, varav 22 år i förskoleklass. Läraren har utbildat blivande förskollärare och lärare för de lägre årskurserna och även ansvarat för att utbilda förskollärare inom kommunen i praktisk matematik.

6.2. Lärarnas arbetssätt för att främjande förståelsen av

matematiska begrepp

Båda lärarna anser att det är viktigt att använda sig av varierade arbetssätt i undervisningen, då elever lär på olika sätt. För att främja begreppsförståelsen använder sig lärare 1 av konkretiseringar, tankekartor, räknesagor, diskussioner, grupparbeten, enskilt arbete och arbete med digitala verktyg. Under de tre lektioner vi observerat har vi sett att läraren använder sig av konkret material i form av fiskar när de arbetade med mönster, positionssystem och talföljd. De för diskussioner i klassrummet, både i hel- och halvklass. Lärare 1 låter även eleverna arbeta enskilt och berättar i intervjun att hen gärna låter dem samarbeta, men poängterar vikten av att de inte ger varandra svaret utan förklarar för varandra hur de tänker. Enligt läraren är inte det rätta svaret viktigt. Det är processen att lära tillsammans, ordet fel står i hens klassrum för få extra lärande, att om något blir fel leder det till att man lär sig av det. Lärare 2 använder sig främst av praktiska arbetssätt i sin undervisning och använder precis som lärare 1 diskussioner, reflektioner och konkret material. Båda lärarna diskuterar med eleverna om tal är udda eller jämna, hur de vet det, om talets grannar, fem hopp och tio hopp, lärare 2 nämner även staketräkning. Lärarna har många likheter i sina arbetssätt, då de börjar lektionen med en diskussion eller reflektion om aktuellt arbetsområde för att sedan låta eleverna arbeta praktiskt och upptäcka. De avslutar lektionerna

med reflektion och diskussion kring vad de arbetat med och lärt sig. Lärare 2 har en grundplanering, men den är flexibel och utvecklas samt påverkas av vad som sker i klassrummet.

Båda lärarna använder sig av arbetssätt som är verklighetsförankrade och elevnära. Eleverna får upptäcka matematiken både inne och ute. Lärarna ställer öppna frågor, alltså används oftast inte frågor med ett svar och sedan kort en reaktion, utan frågor som kan uppbringa diskussion. Samtalen och diskussionerna bygger på det som eleverna upptäcker i de olika omgivningarna för att de ska få gemensamma erfarenheter och en förståelse för matematikens begrepp och termer men framförallt att påvisa att matematiken finns överallt. “Men det är hela tiden synliggöra medvetandegöra och berätta, vad är det vi gör … för dem tänker ju inte på det alla gånger” (Lärare 1). Båda nämner i intervjuerna att det för dem är viktigt att eleverna får använda alla sinnen, för vi lär olika och att det är viktigt att få uppleva saker på många olika sätt. Lärare 2 säger: ”Jag har alltid haft som mål för mina ögon att man ska se på det, känna på det och ta på det och ibland till och med smaka på det och sen får man ordet”. Båda lärarna är övertygade om att man lär på olika sätt.

Lärare 2 pratar utifrån elevernas erfarenheter vid uppstarten av något nytt, låter eleverna tillsammans utforska aktuellt ämne. När de till exempel startar upp ämnesområdet längd, observerar vi hur eleverna i små grupper får vars ett mätinstrument som exempelvis kan vara ett skosnöre, en fingervirkning, presentsnöre med mera. För att sedan med hjälp av detta visa på sitt mätinstrument var det de mätt börjar och slutar, alltså arbeta med mätandets princip.

Lärare 1 använder ingen matematik-bok utan endast uppgifter ifrån den, då hen är kritisk mot mekanisk räkning och anser sig veta mer om vad hens elever behöver än en läroboksförfattare. Lärare 2 använder inte heller matematikböcker i sin undervisning och anser att det är viktigare att fylla elevernas kappsäck med till exempel matematiska begrepp, än att skriva siffror och bokstäver rätt samt arbeta med stenciler. Båda lärarna utgår från eleverna och de styrdokument som finns när de planerar sin undervisning. De är också noggranna vid val av material, så att materialet uppnår de syften undervisningen har.

6.2.1. Analys av lärarnas arbetssätt

I båda lärarnas undervisning ser vi drag av The Old Humanist då man kommunicerar i klassrummet och kunskap baseras på resonemang och logik då kommunikation och samtal är viktigt i deras klassrum. Ett annat drag ur ideologin som lärarna har gemensamt är att de använder olika arbetssätt att kommunicera matematiken för att inspirera och motivera. Vi kan

också utläsa drag från The Progressive Educator i båda lärarnas undervisning, då eleverna i de klassrum vi observerat och utifrån lärarnas intervju ser att eleverna får arbeta med matematik aktivt, genom lek, aktiviteter, undersökningar, diskussioner, samt genom att utforska och upptäcka. Utifrån dessa två ideologier ser vi lärarnas anknytning till konstruktivismen. Vi ser även en koppling till det sociokulturella perspektivet och Ernest ideologi The Public Educator då eleverna får vara aktiva och undersökande i undervisningssituationer och kunskapen inhämtas från något som är elevnära och verkliga situationer. Lärarna påpekar att man lär tillsammans, av varandra och den miljö man befinner sig i genom de samtal och gemensamma aktiviteter som sker.

Just att använda varierade arbetssätt är något båda lärarna beskriver att de gör genom att arbeta med exempelvis konkretiseringar, diskussioner och att undersöka. Detta är något Grevholm, Norén och Löfwall (2014) förespråkar att läraren gör i sin undervisning, att använda variation i kommunikationen av matematik och i arbetssätten.

Löwing (2004) skriver att TRIADEN är ett vanligt inslag i undervisningen. Det innebär att läraren ställer en fråga, får ett svar och reagerar på svaret. Detta är inte något vi uppfattat i den undervisning vi observerat. Vi har sett att det är vanligare att läraren för en diskussion med eleverna kring deras tankar, hur de resonerar sig fram till svaret eller hur de kan förklara att de vet att det är så. Att ställa frågor är enligt Pareto (2014) viktigt för att främja resonemang kring matematiken. Där det enligt Pimm (1987) är viktigt att eleverna förstår varför de förväntas tala matematik. Lärarna får genom dessa samtal chansen att upptäcka elevernas idéer och tankar och dessutom får eleverna chansen att lyssna in någon annan och kontrollera sin egen förståelse. Detta anser vi att båda lärarna gör, då de ständigt ber eleverna förklara sina tankegångar, istället för att bara reagera på om svaret är rätt eller fel. Genom att lärarna ber eleverna i klassrummet att förklara sin tankegång och att man tillsammans upptäcker saker så måste eleverna själva tänka till. Då de inte bara kopiera läraren vilket Boaler (2011) skriver lätt sker om läraren har genomgång större delen av lektionen.

Utifrån Löwings (2004) undervisningsramar, de fasta och de rörliga ser vi att läraren utifrån sina fasta ramar såsom styrdokument, lokaler och lektionstid utformar de rörliga ramarna. Ingen av lärarna använder en matematikbok utan de utformar gärna eget material eller använder befintligt material som är lämpligt för elevgruppen. Vi ser likheter i lärarnas arbetsformer, såsom att de använder en gemensam aktivitet som uppstart, de låter eleverna laborera, diskutera och reflektera kring det som sker i klassrummet. Alltså ser vi inte att den primära kommunikationen för eleven är läromedlet som Löwing (2008) beskriver, utan att de kommunicerar med varandra och med läraren.

Sammanfattningsvis ser vi att båda lärarna använder sig av varierade arbetssätt för att främja förståelsen av matematiska begrepp och för att eleverna enligt dem lär på olika sätt, därför är det viktigt att låta eleverna använda så många sinnen som möjligt i undervisningen. Det är enligt lärarna viktigt att tala matematik i undervisningen, där samtalen är baserade på att diskutera och reflektera över kunskapen och inte bara att presentera det rätta svaret. Detta gör de genom att arbeta praktiskt och att utgå från elevernas vardag och närmiljö där de tillåts se att matematiken finns överallt, att göra eleverna medvetna om vikten att kunna matematik. Lärarna ser på arbetssätten och undervisningen på liknande sätt och vi ser här drag från Ernest olika ideologier The Old Humanist, The Progressive Educator och The Public Educator. De är också noggranna med valet av material i arbetet, att det material de använder ska ha en mening för eleverna.

6.3. Lärarnas användning av matematiska begrepp

Lärare 1 är tveksam till om korrekta termer är viktigt att lägga tid på, eller om den tiden kan läggas på andra element i undervisningen. Hen har tidigare varit helt säker på att korrekt terminologi är viktig men efter att ha läst Språkbrukets roll i matematikundervisningen av Bergqvist & Österholm (2014), så är hen numera tveksam till om det är så, eller om begrepp som ”plus” och ”minus” fungerar lika bra. Läraren anser det dock vara viktigt att eleverna får höra rätt terminologi. Exempelvis kan matematiska termer som addition och subtraktion kanske lika bra beskrivas med begreppen plus och minus, så länge eleverna har förståelse för processen. Vi ser utifrån observationerna att hen i undervisningen använder både termer som addition, subtraktion, differens och summa i sin undervisning, tillsammans med begreppen plus, minus, att det blir något och vad man har kvar.

Ja … de har jag väll i och för sig varit innan också va, för jag har alltid använt båda begreppen för att få balans i det va för att jag ska få med så många elever som möjligt … men det är frågan om jag kommer till och lägga lika mycket på rätt term. (lärare 1)

Läraren använder i undervisningens vardagliga begrepp för de elever som behöver höra dessa och matematiska begrepp för de elever som är på en nivå där de behöver denna utmaning.

Ja, som vi pratade om innan, jag försöker ju använda dem rätta begreppen men samtidigt måste jag backa och förklara med synonymer på ett enklare språk för jag vill inte att dem ska falera på språket, men där är ju dem som anammar det, så att dem som behöver det, får höra det, och dem andra som inte köper det dem har plus och minus ja. (lärare 1)

Samtidigt som lärare 1 är tveksam till om det är viktigt att säga addition eller plus så visar hen medvetenhet om att en del begrepp är viktiga för förståelsen. Dessa är hen inte intresserad av att lägga mindre vikt vid, utan endast de begrepp med mer ytliga förhållande där vardagliga ord kan beskriva samma saker som matematiska termer. Inom geometrin lyfter läraren fram vikten av rätt matematiska begrepp för rätt geometrisk form, för här är relationen komplex. Hen är dock inte inne på att släppa terminologin helt och hållet, men om tiden som läggs på det inte genererar något positivt lägger hen hellre tiden på annat i matematikundervisningen.

Lärare 2 anser till skillnad från lärare 1 att rätt terminologi alltid är viktig att använda, att det inte krävs mer av eleverna för att de ska lära sig att säga cirkel istället för exempelvis ”running”. Om man använder felaktig terminologi finns det enligt lärare 2 en risk för att fel begrepp befästs. Hen ger exemplet att om man uppmanar barnet att hämta en större pinne när man egentligen menar längre, så befäster man begreppet större. Ska barnet i en annan situation prata om längd så kan det enligt läraren ”bli fel i hjärnkontoret” om begreppet större är befäst sedan tidigare. Alltså kan läraren genom att använda fel begrepp ställa till det för eleven. Hen benämner i sin undervisning det matematiska språket som mattespråk för att på så sätt fånga elevernas intresse samt uppmärksamma det matematiska språket. Enligt hen är eleverna i denna ålder intresserade av språk och detta intresse fångar läraren genom att påpeka att det är ett matematiskt språk de lär sig. Genom olika situationer har hen uppmärksammat att eleverna anammar det matematiska språket, genom att berätta att de såg en cylinder på semestern eller hittade kuber i soppan. Läraren beskriver också sin syn på hur kunskap kring begrepp kan påverka betygen i högre årskurser. Läraren använder i sin undervisning matematiska begrepp och lägger fokus på att eleverna i klassrummet ska använda begreppen på korrekta sätt. Hen ser att detta blir ett bevis på att eleverna tar till sig undervisningen, att eleverna använder de rätta matematiska begreppen.

I lärare 1:s klassrum relateras begreppen till varandra. Addition och subtraktion hänger samman, exempelvis 3+5=8 och 8-5=3, och man kan här gå bakvägen om man är osäker på summan eller differensen. Multiplikation är en upprepad addition, 4+4+4+4 kan också skrivas som 4x4. Multiplikation och division är sammankopplade då exempelvis 4x4=16 och 16/4=4. Detta konkretiserar läraren med exempelvis en triangel som visar på att 15-3=12 och 12+3=15, där de tre talen placeras i vars en av triangelns vinklar för att visa relationerna. Denna triangel kan också visa på förhållandet mellan multiplikation och division, då 5x3=15 och 15/3=5.

Lärare 2 anser att det matematiska språket blir en naturlig del av ens undervisning om man är insatt i det, vilket också leder till att det blir naturligt för eleverna. Hen anser att språket är

viktigt och att begrepp kopplas till varandra. Inom geometrin kopplar hen cirkel till cylinder, kon och klot samt kvadrat och rektangel till rätblock och kub. Detta var ett område de nyss avslutat och när de talade om vad de lärt sig om geometrin märkte vi under observationen att eleverna använde rätt terminologi, och de hade befäst begrepp som cirkel, rektangel, triangel, kvadrat, rätblock, hexagon, oktagon med flera. Läraren berättar också hur elever i leken använder begreppen när de exempelvis ber en kamrat att skicka ett rätblock (en kapplastav).

6.3.1. Analys av lärarnas användning av matematiska begrepp

Lärare 1 anser i enlighet med Pimm (1987) att man lär sig begrepp genom att tala om dessa med egna ord. Utifrån Bergqvist & Österholm (2014) beskriver läraren de ytliga relationerna som att det kanske inte spelar så stor roll om man säger exempelvis addition eller plus, men mellan de mer komplexa begreppen som kvadrat och fyrkant är hen övertygad om att det är viktigt att använda rätt begrepp. Läraren beskriver också hur hen anser att eleverna genom konkretiseringar lär sig ett abstrakt begrepp, som då blir konkret. Då är i sin tur något nytt abstrakt. Att hen växlar mellan matematiska begrepp och vardagliga begrepp i vissa situationer för att nå ut till alla elever och för att kunna backa och förklara så att eleverna kan förstå de mer abstrakta begreppen genom begrepp de redan besitter. Just att klättra i matematikens begreppsliga hierarki är något som Ernest (1991) beskriver i ideologin The Old Humanist.

Lärare 2 anser precis som Malmer (2002) att det är viktigt att läraren frekvent använder rätt terminologi. Att det betyder allt i hens undervisning att frekvent använda rätt terminologi. Löwing (2004) beskriver hur ett slarvigt språk från läraren kan leda till att eleverna får problem med att bilda begrepp samt att tänka och uttrycka sig inom matematiken, detta är något som även lärare 2 påtalar. Läraren poängterar vad begreppen heter på matematiskt språk för att uppmärksamma eleverna om detta och även göra dem nyfikna på matematiken. Hen är också noga med att det språk eleverna använder är matematiskt korrekt och rättar om begreppen benämns fel eller med vardagsspråk.

En utmaning enligt Löwing (2004) är för läraren att använda ett korrekt matematiskt språk och samtidigt förankra detta språk hos eleverna. Detta anser vi att båda lärarna lyckas med och är medvetna om, trots deras skilda syn på vikten av att alltid använda rätt terminologi. Något som är gemensamt för båda lärarna är att de använder matematiska begrepp i klassrummen. Det betyder att det i dessa två klassrum skiljer sig från det Engvall (2013) kommer fram till i sin avhandling, att matematikklassrummet präglas av ett vardagsspråk. Vi

ser att det i dessa klassrum är det matematiska språket som dominerar. Enligt Pareto (2014) är det viktigt att koppla samman matematikens begrepp och ämnets idéer, och därför bör begrepp studeras tillsammans. Detta är något som båda lärarna gör. De använder begrepp och kopplar dessa till verkligheten utifrån elevernas erfarenheter, något som både Malmer (2002) och NCM (2012) anser vara viktigt.

Båda lärarna använder begreppen och sätter de i relation till varandra. Alltså använder de enligt oss den hierarkiska struktur eller de generaliseringar som finns bland begrepp (Ernest, 1991; Vygotskij, 2001). De sätter begreppen i relation till varandra och kopplar dessa till något som för eleverna är konkret. Det som lärare 1 beskriver genom exempelvis förhållandet mellan de fyra räknesätten (addition, subtraktion, multiplikation och division) och båda lärarna beskriver utifrån relationen mellan de geometriska formerna.

För att sammanfatta lärarnas användning av matematiska begrepp och vår analys så har lärarna skild syn på vikten att alltid använda rätt terminologi. Lärare 1 använder både det matematiska och det vardagliga, exempelvis addition och plus i sin undervisning, för att möta eleverna på olika nivåer. Utifrån begreppens ytliga eller komplex relation. Lärare 2 använder alltid rätt matematiska terminologi och vill att även eleverna i klassrummet gör detta. Det finns enligt hen annars en risk att eleverna får problem i framtiden om de befäst felaktiga begrepp. Båda lärarna sätter begreppen i relation till varandra, att detta är viktigt för förståelsen. De är överens om att inom exempelvis geometri är det viktigt att använda rätt begrepp, det är den ytliga relationen inom aritmetik som skiljer. I klassrummen är det matematiska språket det språk som används mest av lärarna.

6.4. Lärarnas konkretiseringar av matematiska begrepp

Båda lärarna anser det vara viktigt att matematiken kopplas till elevernas verklighet och att visa att matematiken finns överallt. Detta gör lärare 1 genom att visa begreppens förhållande bildligt, exempelvis dubbelt och hälften med kortlek eller dominobrickor. Med dessa hjälpmedel kan man konkret visa dubbelt och hälften genom att ta exempelvis kort nummer tio ur en kortlek, hålla för halva kortet och då se att man har fem kvar, att hälften av tio är fem för att sedan visa på andra hållet att dubbelt så mycket som fem är tio. Samma sak kan man också visa konkret med hjälp av dominobrickor. Detta ser vi också i lärare 2:s undervisning under observationerna då eleverna får mäta med olika mätinstrument, att praktiskt arbeta med processen mätning för att sedan tala om vilken som är längst, kortast, längre eller kortare i relation till det praktiska material de använder. Matematiken förankras i verkligheten genom

att de för en diskussion och reflekterar kring när det kan vara viktigt att mäta i vardagen, alltså varför eleverna behöver besitta denna kunskap. Just att konkretisera matematiken är viktigt enligt båda lärarna, att man har en förståelse för processen. Lärare 2 ger ett exempel om begreppet PI (π) som för många bara är något abstrakt som används vid beräkningarna av en cirkels area eller omkrets utan att man egentligen har en konkret förståelse för varför man använder just PI. Just att konkretisera något som i sig är abstrakt är viktigt för elevernas förståelse av begreppen. Lärare 2 beskriver hur hen låter eleverna arbeta praktiskt och ha konkret material framför sig. Genom att visa att talet fem kan delas upp i till exempel en hög med tre och en hög med två. Läraren påvisar då att man ska ha additionstecknet mellan de två talen och att man ska skriva att alla föremålen tillsammans är lika med fem. Att man arbetar praktiskt med konkret material, men sen också att läraren skriver den abstrakta processen på tavlan.

Båda lärarna anser att variation är viktigt och att eleverna ska se att matematiken finns överallt. Lärare 1 utmanar eleverna till att motbevisa hen, för att verkligen leta efter matematiken. Ingen har hittills lyckats motbevisa hen, trots upprepade försök. Läraren hittar matematiken i allt. Hen talar om matematiken som finns i bilder, på byggarbetsplatsen utanför skolan, formerna utomhus. Lärare 2 talar om matematiken i sitt klassrum, belyser den i elevernas lek, talar om matematik i matsituationer samt genom utematematik, exempelvis se på registreringsnummer, gatuskyltar, hitta former, laborera med vikt/volym. Alltså arbetar lärarna praktisk och utifrån konkreta och verkliga situationer.

Lärare 1 använder många konkretiseringar i sin undervisning, talar om bråk utifrån att dela exempelvis en pizza. Positionssystemet introducerades första lektionen vi observerade, där läraren talade om årtalet 2017, hur mycket tvåan, nollan, ettan och sjuan är värda utifrån deras position. Här fick eleverna delta med sina kunskaper om positionssystemet och läraren stöttade sedan med att förankra positionssystemet till olika positioner i ett fotbollslag, att alla spelare har olika roller utifrån sin position precis som med siffrorna i ett tal har olika värden. Detta är en verklighetsförankring som läraren använder då hen är medveten om att det finns ett stort intresse för fotboll bland eleverna i klassen, så att de flesta eleverna kan relatera till denna jämförelse. Denna jämförelse användes på ett eller annat sätt under de tre lektioner vi observerade, antingen vid genomgång, diskussion eller som påminnelse om vad positionssystemet innebär och talens olika värde. Detta har även konkretiserats genom att eleverna fått använda pengar för att se vad talet 15 är uppbyggt av, det vill säga ett tiotal och fem ental (en tiokrona och fem enkronor). Även genom en aktivitet där eleverna fått slå med

tio ental till ett tiotal. Båda lärarna diskuterar siffror och matematiska begrepp med eleverna. Förståelsen av begrepps innebörd är viktig:

För att få de att förstå, för det är otroligt komplext att man bara säger, idag är det den tjugotredje. Kan man lika bra säga att idag är det äggakaka… för de har ingen aning om vad det är för någonting. Det blir bara ett begrepp, precis som att man kan läsa av alla siffrorna, men om man inte kan läsa av siffrorna och talen och ha en förståelse för det, så betyder de ju lika mycket som alfabetet när jag inte kan läsa. (lärare 2)

Ge eleverna kunskap om hur talen är uppbyggda genom att skapa en förståelse. Läraren menar att det inte räcker att kunna läsa talen, man ska också förstå vad talet står för:

om jag vet att 28 är två tiotal och åtta ental, då har jag ändå förståelse för vad 28 är för något, jag vet att det är jämt och jag vet att grannarna är 27 och 29. Då har jag kommit jättelångt, för jag har placerat in det på talraden, jag vet att det är ett jämnt tal så det går att dela mitt av och jag vett det består av två tiotal och åtta ental. (lärare 2)

Detta är något läraren gör när de varje dag går igenom dagen, vad det är för datum, hur många tiotal och ental innehåller dagens datum, vilka grannar har talet, är talet udda eller jämnt? Detta konkretiseras också med ett snöre med tio kulor på för varje tiotal och en kula för varje ental.

Just att konkretisera ser lärare 1 som en process att något konkret leder till en abstrakt kunskap och att det abstrakta då blir en konkret kunskap eftersom att man besitter den. Då är det i sin tur något nytt som blir abstrakt. Lärare 2 anser att genom praktiska arbetssätt och konkretiseringar kan man ge eleverna förståelse för matematiken och matematiska begrepp redan i de lägre åldrarna innan de möter denna matematik mer abstrakt i de högre årskurserna.

Det är viktigt att skapa förståelse för vad matematiken innebär, 5+3 betyder något, att man har fem av något och sen får en ökning med tre. Lärare 1 beskriver det så här:

ja, men vilken nytta har jag? När ska jag använda den? Kan jag göra den till något? Alltså jag är mer för och jobba praktiskt med det för att vidareutvecklas så att man har de här igen, för många högstadielärare säger, åh matte ja dem tycker det är så tråkigt … ja, men vad är det, tänk efter … varför är det tråkigt? (lärare 1)

Eftersom de yngre, enligt lärare 2, tycker att matematiken är rolig. Detta för att man bygger, konstruerar, jobbar praktiskt och kopplar det något konkret och verkligt. Om det bara massa siffror som surrar runt och man inte får förståelse genom att koppla de till någonting som man är medveten om och har en erfarenhet av, så kan det bli rörigt. Hen anser att det är viktigt att visa, att se någonting och att uppleva det tillsammans.

6.4.1. Analys av lärarnas konkretiseringar av matematiska begrepp

Enligt Goral & Gnadinger (2006) kämpar elever med förståelsen av begrepp, trots att konkret material används i undervisningen. De anser att för att eleverna ska kunna bygga en djupare förståelse om begrepp är det viktigt att eleverna får se och uppleva olika metoder och verktyg. Detta är något vi ser i klassrummen då lärarna använder varierade arbetssätt och olika konkreta material (exempelvis fiskar, mätinstrument) samt poängterar vikten att eleverna får använda olika sinnen för inhämtningen av kunskap. Lärarna låter inte eleverna bara använda det konkreta materialet, utan det finns ett syfte med användandet. Lärarna använder varierade arbetssätt och låter eleverna arbeta med matematiken och dess begrepp genom att uppleva det på olika konkreta sätt och med olika konkreta verktyg. Att konkret material, elevers erfarenheter och metaforer är något som enligt Löwing (2011) kan ge eleverna möjlighet att abstrahera matematiken. Det är enligt Björklund (2014) viktigt att konkretisera det abstrakta matematiska begreppen för eleverna, låta eleverna bygga upp sina kunskaper genom egna erfarenheter och handlingar

Boaler (2011) menar att det är viktigt att läraren använder realistiska och konkreta situationer som har sammanhang. Vi ser att båda lärarna kopplar matematiken till elevernas vardag, genom att utgå från den miljö eleverna befinner sig i och även de erfarenheter de har med sig. Lärarna konkretiserar genom att praktiskt hitta matematiken både inomhus och utomhus, på olika sätt (exempelvis bilder, byggarbetsplats, trafiken). Matematiken är något som enligt lärarna finns överallt, att eleverna måste se att de har nytta av att kunna matematik. Sammanfattningsvis tycker båda lärarna att det är viktigt att koppla matematiken till elevernas vardag och ställa begreppen i relation till varandra. De använder sig av olika arbetssätt och konkreta material för att konkretisera de matematiska begrepp som för eleverna ännu är abstrakta. Eleverna får arbeta utforskande och praktiskt med det konkreta materialet i olika situationer för att på så sätt bilda en uppfattning om att matematiken finns överallt och skapa en förståelse för matematiken. De får till exempel leta efter geometriska former på lekplatser, hemma och på byggarbetsplatser, de får mäta föremål i klassrummet med olika redskap och de får leta siffror i olika miljöer, de kan hitta siffror på husnummer, registreringsskyltar, klockor, skorna, kläderna och på glasen i matsalen. Något som lärarna också poängterar är att eleverna ska få möjlighet att använda alla sinnena i undervisningen.