Linköpings universitet | Institutionen för beteendevetenskap och lärande Examensarbete, 15 hp | Speciallärarprogrammet 90 hp Vårterminen 2019 | ISRN LIU-IBL/SPLÄR-A-19/05-SE
Kan en strukturerad
intensivundervisning inom ordinarie
undervisningstid i matematik vara
gynnsam?
- En experimentell fallstudie om en intervention med enskild
intensivundervisning för elever i svårigheter med taluppfattning
______________________________________________________
Could Structured Intensive Teaching of Mathematics, within Regular
Teaching Hours, Prove Beneficial?
- A Single Case Study on Intensive One-to-One Teaching of Pupils
with Number Sense Problems
Anna Pettersson Annika Östman
Handledare: Rickard Östergren Examinator: Joakim Samuelsson
Linköpings universitet SE-581 83 Linköping 013-28 10 00 www.liu.se
Sammanfattning/Abstract
I den här studien undersöktes fyra elevers kunskapsutveckling och inställning till ämnet matematik under en period av tre veckors intervention. Syftet var att mäta om en enskild intensivundervisning i matematik inom ordinarie undervisningstid kunde vara gynnsam för elever i svårigheter med taluppfattning. Ytterligare syfte var att se på om intensivundervisningen hade någon effekt på elevernas självskattning kring matematik. Studien är en experimentell fallstudie med multipel baslinje singlecase-design. Resultatet visade att interventionen har varit gynnsam för de ingående eleverna både vad gäller kunskapsutvecklingen och deras inställning och självskattning till ämnet.
This study investigates the knowledge progression of four pupils and their attitude to mathematics during a period of three weeks. The aim is to measure whether pupils with number sense problems could benefit from intensive one-to-one teaching of mathematics, within regular teaching hours. The study also aims to find out if intensive teaching affects the pupils´self-assessment regarding mathematics. An experimental case study, with multiple baseline singlecase design, has been used. The results indicate that the intervention has proved beneficial to the pupils in the study, when it comes to their knowledge progression as well as their attitude and self-assessment.
Nyckelord/Keyword
Intensivundervisning, intervention, matematik, taluppfattning, tallinjeestimering, single case design, explicit undervisning, RTI, CRA
Intensive Teaching, Intervention, Mathematics, Numbersense, Number Line Estimation, Single Case Design, Explicit Instruction, RTI, CRA
Innehållsförteckning
Inledning 1 Syfte 2 Frågeställningar 2 Bakgrund 2 Matematiksvårigheter 2 Specialpedagogiska perspektiv 3 Explicit undervisning 4 CRA 6RTI Response to Intervention 6
Taluppfattning 7
Positionssystemet 8
Tal i bråkform 8
Tal i decimalform 8
Grundläggande kunskaper och färdigheter i matematik 10
Forskning om intensivundervisning 11 Metod 14 Metodansats 14 Urval 16 Genomförande av interventionen 16 Datainsamling 19 Tallinjeestimering 19 Taluppfattningstest 19 Elevenkät 20 Forskningsetiska principer 20 Resultat 20 Tallinjeestimering 21 Taluppfattningstest 23 Enkätundersökning 24 Diskussion 26 Metoddiskussion 26 Resultatdiskussion 27 Taluppfattning 28 Elevernas självskattning 29 Vidare forskning 29 Referenser 31 Bilagor 35
Bilaga 1 Lektionsplanering 35
Bilaga 2 Tallinjeestimering 43
Bilaga 3 Taluppfattningstest 45
Bilaga 4 Enkät 51
Bilaga 5 Missivbrev 53
1
Inledning
Svenska elever har under flera år tappat i matematikkunskaper i förhållande till elever i andra jämförbara OECD-länder. Vid den senaste PISA-mätningen 2015 har dock Sverige tagit sig upp till medelvärdet vilket är en förbättring jämfört med 2012 då vi befann oss under (Skolverket 2016). Trots förbättring i resultat i PISA så är det fortfarande många elever som har svårigheter med att nå målen i matematik. Matematiksvårigheter kan vara en avgörande faktor att man inte studerar vidare. Det kan i vuxen ålder leda till lägre inkomst och högre sjukfrånvaro som i sin tur påverkar både den enskilde individen och samhället negativt (Stockholms läns landsting 2015; Kaufmann & Von Aster 2012). Regeringen (2018) har enligt ett PM i juli 2018 tagit beslutet att från och med höstterminen 2019 utöka den garanterade undervisningstiden i matematik med 105 timmar för år 7-9. Ökningen motsvarar en timme per vecka. Samtidigt visar studier att undervisningstiden i svenska klassrum inte tas tillvara fullt ut, speciellt när det gäller lite äldre elever enligt Sjöberg (2006) .
I Läroplan för grundskolan, Lgr 11, del 1 under rubriken ”En likvärdig utbildning” kan man läsa:
Undervisningen ska anpassas till varje elevs förutsättningar och behov. Den ska främja elevernas fortsatta lärande och kunskapsutveckling med utgångspunkt i elevernas bakgrund, tidigare erfarenheter, språk och kunskaper.
I examensförordningen för speciallärare står det bland annat att specialläraren ska visa fördjupad förmåga att anpassa undervisningen för elever i behov av stöd samt vara uppdaterad på senaste forskningsläget vad gäller vetenskap och beprövad erfarenhet inom skolan (SFS 2011:186). Skollagens 3 kap § 3 anger att skolan ska ge stöd som syftar till att så långt som möjligt motverka konsekvenser av elevens funktionsnedsättningar så att eleven kan komma så långt som möjligt i sin kunskapsutveckling (Skollag 2010:800).
Det stöd som skolan kan ge är i form av extra anpassningar eller särskilt stöd. Extra anpassningar är mindre stödinsatser inom undervisningens ram såsom hjälp med struktur, förtydligande av instruktioner eller enstaka specialpedagogiska insatser. Särskilt stöd är av mer omfattande karaktär och kan exempelvis vara att ge eleven mer tid i ämnet och eller undervisning i mindre grupp alternativt enskild undervisning under en längre period (Skolverket 2014). Åtgärder som innebär utökad tid i ämnet medför enligt vår erfarenhet ofta svårigheter på såväl organisationsnivå som på individnivå. Elever, framför allt inom år 7-9, ser det ofta som negativt att stanna kvar i skolan efter ordinarie undervisning och om
2
undervisningen sker på bekostnad av ett annat ämne kan eleven uppleva stress att inte nå målen där. För att optimera elevernas lärande är det bland annat viktigt att undervisningstiden utnyttjas maximalt (Archer & Hughes 2011). Det är även viktigt och nödvändigt att i kommande yrkesroll som speciallärare hitta arbetssätt som kan hjälpa elever med olika förutsättningar att nå så långt som möjligt i sin kunskapsutveckling.
Syfte
Studiens syfte är att undersöka om en strukturerad och enskild intensivundervisning i matematik, inom ordinarie undervisningstid, kan vara gynnsam för elever med bristande kunskaper inom taluppfattning. Vi är även intresserade av att se om den här studiens intervention för med sig någon effekt gällande elevernas självskattning till sin matematiska förmåga, oro och inställning till ämnet matematik.
Frågeställningar
● Kan en strukturerad och enskild intensivundervisning i matematik inom ordinarie undervisningstid vara gynnsam för elever i svårigheter med taluppfattning?
● Hur påverkar intensivundervisning elevernas självskattning kring affektiva aspekter såsom inre- och yttre motivation, tilltro till sin matematiska förmåga samt oro kring matematik?
Bakgrund
I det här avsnittet kommer vi att presentera teoretiska perspektiv och tidigare forskning som är relevant för den här studien.
Matematiksvårigheter
Genom studier av 40 års forskning kring mathematical learning disability (MLD) har Lewis (2016) kommit fram till att det uppskattningsvis är mellan 5 och 8 procent av alla elever som är i matematiksvårigheter. Det förekommer flera olika benämningar på matematiksvårigheter som också används mer eller mindre synonymt som till exempel dyskalkyli, arithmetic learning
disabilities, mathematical disability/difficulties (MD), mathematical disorder (Sjöberg 2006).
Elever i matematiksvårigheter har ofta svårigheter med flera grundläggande förmågor som att komma ihåg aritmetiska fakta, skriftliga beräkningar, talens platsvärde, räknelagar, förmåga att tolka problemlösningsuppgifter. Svårigheterna grundar sig i brister i konceptuell och procedurell kunskap samt svag resonemangsförmåga (Träff & Samuelsson 2013). Kärnan kring matematiksvårigheter är enligt Chinn (2015) förhållandet mellan eleven,
3
matematiken och läraren. Dessa tre faktorer är länkade till varandra och beroende av varandra och en förändring i någon av de tre kommer få betydelse och påverka de andra två. Sharma (2015) menar att elever i matematiksvårigheter ofta har problem med taluppfattning och saknar flyt i sina uträkningar. Vidare uppmuntrar Sharma (2015) till att först undersöka om undervisningen är god och därefter undersöka om eleven har eventuella inlärningssvårigheter då orsaken till problem med taluppfattning och uteblivet flyt i uträkningar i de flesta fall beror på en undermålig undervisning. Kaufmann et al (2013) menar att bristande skolgång och därmed utebliven undervisning även är en faktor till matematiksvårigheter.
Sjöberg (2006) skriver att de flesta forskningsöversikter som behandlar matematiksvårigheter kopplar svårigheterna till medicinska, neurologiska och neuropsykologiska orsaker. Därmed kan man säga att det kategoriska synsättet dominerar och att orsakerna söks genom att söka brister hos eleven. Andra orsaker än elevens eget tillkortakommande kan vara orsaken till att elever hamnar i matematiksvårigheter. Dessa kan vara oro eller ångest orsakad av matematikundervisningen vilket kan leda till ett undvikande beteende som i sin tur leder till mindre träning och sämre kunskapsutveckling. Andra orsaker kan vara sociala som hemförhållanden och socioekonomisk status samt även inadekvat undervisning, stora undervisningsgrupper samt föräldrars låga utbildningsnivå. Det är viktigt att se på elevens hela situation och kontext när orsaker till matematiksvårigheter fastställs.
Specialpedagogiska perspektiv
Det förekommer olika perspektiv på elever i behov av stöd och hur skolan ska bemöta dessa behov. Nilholm (2007) skriver om det kompensatoriska-, det kritiska- och dilemmaperspektivet. Det äldsta och det mest dominerande perspektivet är det kompensatoriska där fokus ligger på att det är elevens brister och tillkortakommanden som gör att inlärningssvårigheter uppstår. Här får specialpedagogiken kompensera individens brister och det är ofta psykologiska eller medicinska rön som styr åtgärderna. Det kritiska perspektivet har istället fokus på hur samhället hanterar elevers olikheter och har vuxit fram i kritiken av segregerande begrepp som normalitet och andra kategoriseringar som förekommer i det kompensatoriska perspektivet. I det kritiska perspektivet ska skolan kunna möta alla elever med olika förutsättningar. Vidare problematiserar Nilholm (2007) det svenska utbildningssystemets komplexitet och motsägelsefullhet som han benämner dilemmaperspektivet. Genom att skolan ska anpassa undervisningen utifrån varje elevs förutsättningar och behov och målet ska vara detsamma för alla elever, då de på samma tid ska bedömas utifrån samma kriterier uppstår detta dilemma.
4
Persson (2013) skriver om det relationella perspektivet vilket liksom det kritiska perspektivet anser att elevers svårigheter uppstår i möte med lärmiljön. Han menar att specialpedagogisk verksamhet bör ses i interaktion med övrig skolverksamhet och att ett sådant synsätt tar tid att implementera på en skola. Genom att anpassa undervisningen till varje elevs behov kan skolan påverka elevens förutsättning att nå uppsatta mål. Vidare benämns det kategoriska perspektivet som har likheter med det kompensatoriska där kortsiktiga akuta lösningar är i fokus. I det kategoriska perspektivet grupperas elever utifrån de uppvisade svårigheterna och skolan sätter in stöd när svårigheterna uppstår. Engström (2015) menar att det kompensatoriska synsättet är det traditionella och vanligt förekommande i skolan. Man utgår från att eleven har en störning, defekt som skolan ska kompensera för. Elevens brister kartläggs och diagnostiseras. I det relationella perspektivet anser man i stället att skolans uppgift är att främja ett gott lärande för den mångfald av olikheter som eleverna utgör. Misslyckanden i skolan måste därför sökas utanför eleven.
Explicit undervisning
Archer och Hughes (2011) skriver om grunderna i explicit undervisning som är en strukturerad, systematisk och effektiv undervisningsmetod vilken innehåller både direkta instruktioner och kunskap om procedurer. Metoden kännetecknas av att läraren guidar eleven genom hela lärprocessen. Varje lektion börjar med en tillbakablick på väsentliga delar från tidigare undervisning och presentation av syfte och mål för kommande lektion. Lektionerna ska vara väl planerade med en strukturerad undervisning som fokuserar på innehållet utan utvikningar på andra områden. Under lektionen ser läraren till att eleven är delaktig och aktiv genom en god kommunikation med återkoppling tills eleven uppnår aktuella färdigheter. Undervisningsinnehållet bryts ner i små delar som läraren successivt presenterar genom tydliga förklaringar och demonstrationer och förvissar sig kontinuerligt om att eleven är delaktig och förstår innan nästa steg tas. Undervisningen utgår från det lättare för att sedan bli svårare vartefter elevens kunskaper utvecklas. Språket är konsekvent med rätt terminologi där både exempel och icke-exempel presenteras för eleven. Stöd och feedback ges under hela lärprocessen och fasas ut vartefter eleven erhåller önskad kunskap och färdighet. Utmärkande delar i explicit undervisning är också att fokusera på kritiska punkter inom aktuellt område och att lära ut effektiva strategier, begrepp och regler som eleven kommer att behöva i framtiden menar Archer och Hughes (2011).
5
Hur undervisningstiden används är en viktig aspekt i lärandet. Archer och Hughes (2011) skriver om tid som ägnas åt undervisning och tid som ägnas åt lärande. Det är inte alltid tillräckligt att utöka undervisningstiden i ett ämne, man måste beakta att ett lärande sker. Det finns anledning att uppmärksamma skillnaden på den totala tiden i skolan, undervisningstiden i ett ämne och den effektiva tiden då eleverna är aktiva och lär sig. Archer och Hughes (2011) menar att forskning visar att eleverna är aktiva på mindre än hälften av den avsatta undervisningstiden, vilket även ligger i linje med Sjöberg (2006). Metoden explicit undervisning fokuserar på att öka den effektiva undervisningstiden då eleven både är engagerad och gör framsteg eftersom det är då lärande sker. Faktorer som är betydande för att effektivisera lärandet är att fokusera på kritiska punkter inom området, att undervisa på elevens aktuella kunskapsnivå, noggrant följa schematider, undervisa gruppvis, ha noggrant planerade lektioner, hålla sig till avsett undervisningsinnehåll, minska tidsförlust på övergångar mellan aktiviteter, ha fasta rutiner för lektionen så att eleverna känner igen sig från gång till gång (Archer & Hughes 2011).
Lundberg och Sterner (2009) skriver om TOT-principen, Time On Task, vilken innebär att ju mer man övar på en uppgift, desto större är chansen att lyckas. Genom enskild handledning kan eleven få möjlighet att få effektiv och nödvändig undervisning enligt TOT-principen så att bästa möjliga kunskapsutveckling kan ske. Tiden används mer effektivt i och med att man då eliminerar yttre stimuli såsom exempelvis störande faktorer som kan förekomma i ett klassrum. Elever som erhållit intensivundervisning av en personlig tränare behöver även få tid på sig att bli självständiga och att en utfasning i klass bör ske successivt (Lundberg & Sterner 2009). Ett undervisningssätt som inte är i linje med explicit undervisning är när lektionen börjar med en gemensam genomgång och följs av att eleverna får arbeta enskilt resten av lektionen vilket omskrivs av Boaler (2011). Detta upplägg innebär att eleverna inte får möjlighet att samtala om matematik. Det matematiska samtalet har stor betydelse då det är en stor skillnad att lyssna på en genomgång och förstå innehållet till att själv kunna omsätta sin kunskap i ord och berätta sina tankar. När eleven själv kan förklara metoden visar hen att förståelse finns. Att bara sitta tyst och räkna mekaniskt i en bok innebär att kopiera metoder och riskerar att inte ge någon djupare förståelse. Denna typ av undervisning bidrar inte till elevens egen kreativitet utan riskerar istället att få eleven att tappa intresse för ämnet. Lärarens sätt att handleda eleven är en viktig del i undervisningen enligt Boaler (2011). Ramirez (2015) menar att elever i matematiksvårigheter behöver möta en varierad matematikundervisning för att hitta effektiva
6
strategier. Khisty och Chval (2002) betonar vikten av en lärandemiljö där eleverna uppmuntras att själva vara aktiva och diskutera för- och nackdelar med olika lösningar under ledning av läraren.
CRA
Miller och Hudson (2007) skriver om CRA som är en undervisningsmodell i tre steg där C står för concrete, R för representation och A för abstract. Enligt modellen CRA börjar undervisningen på konkret nivå för att utvecklas till representativ nivå och till sist komma till den abstrakta nivån. På den konkreta nivån börjar läraren att demonstrera metoden med det laborativa materialet för eleven och därefter får eleven själv prova med stöd av läraren. När eleven har förstått innehållet på den laborativa nivån införs den representativa nivån genom att läraren använder bilder för att representera matematikinnehållet. Efter att eleven har uppnått förståelse på den representativa nivån går undervisningen över till den abstrakta nivån. Eleven får på den abstrakta nivån lösa numeriska uppgifter utan laborativt eller representativt material. CRA-modellen har använts och varit framgångsrik vid undervisning av elever i matematiksvårigheter. När man arbetar på den konkreta nivån är det bra att börja med tiobasmaterial som första material, men att även gå över till andra typer av material som bönor eller knappar så att eleven inte förknippar antal och addition med endast tiobasmaterial. I den representativa nivån är det viktigt att använda bilder av åldersadekvata föremål och även där variera föremålens karaktär. CRA-metoden förespråkar också en lämplig struktur på undervisningen som t.ex. att jämföra och hitta skillnader, exempel och icke exempel och steg-för-steg undervisning (Miller & Hudson 2007).
RTI Response to Intervention
Ett sätt att organisera specialundervisning är att arbeta utifrån metoden RTI. RTI är en väl beprövad metod som kännetecknas av ett högt tempo med varierande aktiviteter på både grupp- och individnivå där man arbetar med såväl olika representationsformer som problemlösning. Lärarens förväntningar på eleverna är höga och eleverna är aktiva i sitt eget lärande. Elevernas framsteg, hur de responderar, följs noga upp och är avgörande för om eleverna ska följa nästa nivå i metoden RTI eller inte. RTI består av tre nivåer av prevention; primär-, sekundär-, och tertiär prevention (Fuchs & Fuchs 2001; Björn, Aro, Koponen, Fuchs & Fuchs 2015; Björn, Aro, Koponen, Fuchs & Fuchs 2018).
7
RTI som metod förekommer i olika skepnader, en jämförelse har gjorts mellan vad RTI i USA innebär kontra varianten av RTI i Finland. Amerikanska RTI är en metod vilken är avsedd för att diagnostisera och förebygga inlärningssvårigheter, medan den finska RTI främst är en administrativ struktur för stöd. Amerikanska RTI innehåller tydliga definitioner angående intensitet och varaktighet i de olika stegen vilket den finska metoden saknar. Amerikanska RTI väntar till steg tre för att sätta in specialpedagogiska resurser medan finska RTI har dessa resurser med från första steget.
I den amerikanska metoden pågår den primära preventionen, även kallad tier 1, som mest under åtta veckor och eleverna skannas av tre gånger per år. Den sekundära preventionen, tier 2, blir aktuell när elever trots den primära preventionen hamnar i svårigheter. Läraren planerar här undervisningen utifrån de uppvisade svårigheterna men med så lite påverkan som möjligt för klassen i övrigt. Undervisningen utförs av den ordinarie läraren och äger rum inom klassens ram, ibland med konsultation från speciallärare. Tier 2 pågår under längre tidsperiod än tier 1. Den kan pågå från nio veckor och upp till ett år och att uppföljning hur eleverna responderar bör ske minst en gång per tvåveckorsintervall. Om den sekundära preventionen inte ger önskat resultat och eleven fortfarande är i svårigheter blir tertiär intervention aktuell.
Tertiär intervention beskrivs som att eleven får individuell, strukturerad och riktad undervisning med hjälp av en speciallärare. Undervisningen sker oftast utanför klassrummet. I-och-med tertiär intervention, tier 3, ökas intensiteten i undervisningen ytterligare jämfört med tier 1 och 2. Tidsperspektivet är längre, minimum 15-20 veckor och elevernas kunskaper kontrolleras för att se hur de responderar på undervisningen och instruktionerna minst en gång per vecka (Fuchs & Fuchs 2001; Björn et al 2015; Björn et al 2018).
Trots flera olikheter så visar det sig att såväl den amerikanska som den finska modellen av RTI utgår från samma grundtanke nämligen rätten att få bästa möjliga förebyggande stöd till lärande och deltagande i undervisningen (Björn et al 2015; Björn et al 2018).
Taluppfattning
Här presenterar vi teoretiska perspektiv kring de områden inom taluppfattning vilka vi har behandlat i studien.
8
Positionssystemet
Vårt hindu-arabiska positionssystem bygger på tio symboler och man behöver förstå att symbolerna grupperas, räknas i tiotal och att symbolens position spelar roll för talets värde (McIntosh 2008). Positionssystemet kräver också att tomma positioner markeras med en nolla. För att kunna göra effektiva beräkningar behöver man förstå hur tal kan delas upp. Svårigheter som kan uppstå vid kunskapsutveckling av positionssystemet är att förstå att en grupp föremål kan behandlas som en enhet samt att behärska tiotalsövergångar. För att förebygga detta behöver eleven möta olika representationer där tal delas upp i talsorter och diskutera om uppgifter både muntligt och skriftligt. Konkret material i form av tiobasmaterial är bra att börja med då alla delar är representativa med förhållandena mellan de olika talsorterna; tio entalskuber är lika mycket som en tiotalsstav och så vidare.
Tal i bråkform
Övergången från hela tal till tal i bråkform är en kritisk punkt för många elever. McIntosh (2008) menar att elevens förståelse för bråk bäst kan uppfattas utifrån förmågan att uppfatta storleken på ett bråktal i förhållande till referenserna noll, en halv och ett, där ett motsvarar det hela som delats in i lika stora delar. Inom bråk finns det enligt McIntosh (2008) fyra grundläggande aspekter som behöver förstås; 1) alla delar behöver vara lika stora, 2) nämnaren anger antal delar vi delat upp en hel i, 3) ju större nämnaren är, ju flera delar har vi delat upp en hel i. Om täljaren är samma tal är bråket mindre värt ju större nämnaren är, 4) täljaren visar hur många delar av en helhet vi har. En förutsättning för att kunna räkna med bråk och att ha förståelse för bråkformen är att inse att två olika uttryck kan representera samma tal. Kända svårigheter med bråk är att eleven uppfattar att ju större nämnaren är, desto större är talet eller att ju större täljaren är desto större är talet eller att ju större summan av nämnaren och täljaren är desto större är talet. Dessa missuppfattningar uppstår ofta på grund av att undervisningen riktas in på ett räknande med för lite konkretisering och diskussion om talens beskaffenhet. McIntosh (2008) anser att det vid införandet av bråk räcker med att uttrycka bråken muntligt och att använda bråken i naturliga situationer där man samtalar om vad som händer. Det hjälper eleven att skapa inre föreställningar som sedan gör det lättare att uttrycka bråk med skrivna symboler.
Tal i decimalform
De vanligaste missuppfattningarna kring positionssystemet förekommer vid tal i decimalform. Elever möter tal i decimalform långt innan det tas upp i skolans undervisning enligt McIntosh
9
(2008). I elevens vardag används decimaltal bland annat i samband med tid, mätetal och priser. En förekommande missuppfattning av decimaltals storlek är att vi behandlar de hela talen och decimalerna på samma sätt och utläser 3 hela och 15 hundradelar som endast tre komma femton. Detta sätt att utläsa talet på kan ge eleven uppfattning att siffrorna på båda sidor om decimaltecknet är två olika tal. När vi först möter tal i decimalform i undervisningen menar McIntosh (2008) och Kilborn (2014) att det är viktigt att uttala decimalernas platsvärde, t.ex. tre ental, en tiondel och fem hundradelar istället för tre komma femton. Detta sätt förstärker förståelsen av platsvärdena i talet. En annan vanlig missuppfattning är att eleven tror att antalet decimaler har ett samband med talets värde. Uppfattningen är då att ju fler decimaler talet har, desto större är talets värde och när talet har få decimaler är också värdet mindre. Det finns också missuppfattningar som att det mellan två intilliggande decimaltal inte finns några fler tal. I undervisningen om decimaltal är det viktigt att eleven får möjlighet att samtala om decimaltal som knyter an till verkligheten samt att få möta olika former av konkret material. Vid användandet av miniräknare behöver eleven också få bekanta sig med decimaltecknet som oftast symboliseras som en punkt och även att miniräknare ofta utelämnar nollor i slutet av decimaltalen. Att använda tomma tallinjer med referenspunkter i början och i slutet där eleverna får placera ut tal och använda olika representationsformer är också ett sätt att befästa förståelsen av positionssystemet både när det gäller hela tal, tal i bråk- och decimalform (McIntosh 2008). När tal i decimalform ska jämföras i storlek är det enligt Kilborn (2014) viktigt att benämna de olika platsvärdena var för sig från den största positionen till den minsta, t.ex. vilket tal som är störst av 3,547 och 3,539. Talens ental är lika stora, likaså talens tiondelar. När vi kommer till hundradelarna är 4 hundradelar mer än 3 hundradelar och därmed är talet 3,547 störst oberoende av vilken tusendelssiffra de bägge talen har.
Hudson och Miller (2006) menar att konkret material och representationer i form av bilder är viktiga grundstenar när begreppsmässig förståelse av decimaltal ska utvecklas. Om eleven inte har den förståelsen av positionssystemets uppbyggnad finns det risk att decimalsystemet upplevs som ett helt nytt system istället för som det är, en utvidgning av positionssystemet. Det en fördel om eleven behärskar tal i bråkform innan undervisningen om decimaltal påbörjas vilket också omskrivs av Bentley och Bentley (2016).
Tal i decimalform är bara ett annat sätt att omskriva ett tal i bråkform. Hudson och Miller (2006) skriver att konkret material i form av hundraplatta, tiostavar och kuber, förutom vid undervisning av hela tal, även är användbara vid befästandet av decimaltal, bara eleven blir
10
medveten om att hundraplattan i detta fall representerar en hel. Det är viktigt att läraren uppmuntrar eleverna att uttrycka heltalens och decimalernas namn för att befästa de olika positionernas värde.
Grundläggande kunskaper och färdigheter i matematik
En grundläggande färdighet i matematik är taluppfattning. Hudson och Miller (2006) skriver om taluppfattning som elevens förmåga att förstå innebörden av tal och att utan svårighet kunna arbeta med tal på olika sätt. Elever med god taluppfattning uppfattar bland annat sambandet mellan talraden och antalet föremål, känner igen talmönster, använder en effektiv metod vid problemlösning utifrån problemets art med mera. Utvecklingen av taluppfattning är mycket viktigt och påverkar förvärvandet av matematisk kompetens genom alla skolår. Regiosa-Crespo och Castro (2015) menar att taluppfattning är förståelsen för hur talen förhåller sig till varandra, i vilken ordning de kommer i positionssystemet, att exempelvis förstå att 4 är hälften av 8. Taluppfattning innefattar även att snabbt kunna förstå, uppskatta och hantera numeriska kvantiteter på en inre mental tallinje.
När man undervisar elever i matematiksvårigheter är det enligt Miller och Hudson (2007) nödvändigt att förutom att ta hänsyn till vad forskningen säger om undervisningsmetoder också se till både det matematiska innehållet och den typ av kunskap som betonas. Det finns tre typer av färdigheter som elever behöver utveckla för att nå framgång i matematik. Det är konceptuell-, deklarativ- och procedurell kunskap.
Konceptuell kunskap innebär att eleven kan sammankoppla tidigare kunskap med ny och till exempel se sambandet mellan addition och subtraktion. Ett exempel på konceptuell kunskap är när eleven förstår att om hen lånar 4 kronor från en kassa med 10 kronor i behöver 4 kronor läggas tillbaka för att summan ska bli 10 kronor igen, (10-4=6 och 6+4=10). Konceptuell kunskap innefattar en djupare förståelse för matematikens egenskaper. När eleven börjar upptäcka samband ökar också kompetensen att generalisera kunskapen till andra situationer. Matematisk framgång i och utanför skolan är till stor del beroende av den konceptuella kunskapen då den är en viktig komponent i olika typer av problemlösning. För att utveckla konceptuell kunskap hos elever i matematiksvårigheter kan undervisningen med fördel riktas in på laborativ nivå med konkret material och på representativ nivå med bilder.
11
Den deklarativa kunskapen är tidigare förvärvad kunskap som eleven hämtar ur sitt minne utan att tveka. Det kan vara att se siffran 3 och direkt säga namnet tre eller att se räkneoperationen 3+5 och direkt veta att summan är åtta eller att ge namnet åt en geometrisk form som eleven tidigare har lärt sig. Automatisering av talkombinationer och tabellkunskaper är också en deklarativ kunskap. Att kunna plocka saker ur minnet hjälper eleven när matematikkunskaperna utvecklas och nya kunskaper ska byggas på tidigare. För att utveckla deklarativ kunskap behövs träning för att automatisera förvärvade kunskaper. En metod att träna deklarativ kunskap är upprepade en-minuters uppgifter där eleven får lösa så många uppgifter som möjligt på en minut.
Procedurell kunskap är förmågan att följa olika steg för att lösa ett matematiskt problem och används för att lösa såväl räkneuppgifter som problemlösning både i och utanför skolan. Det finns olika riktlinjer att beakta när procedurell kunskap ska utvecklas. Strategin ska innefatta ett antal steg som leder till problemets lösning. Stegen ska vara generaliserbara på olika typer av uppgifter, förmå eleven att hitta en strategi, vara enkelt skrivna och lätta att komma ihåg (Miller & Hudson 2007).
Forskning om intensivundervisning
Det finns flera forskningsresultat som visar att elever som har fått intensivundervisning i matematik har nått framgångar i kunskapsresultat både inom ordinarie undervisningstid och med utökad timplan (DCSF Department for children schools and families, 2008; Lundberg & Sterner, 2009). Hansson (2015) skriver om ett pilotprojekt med intensivundervisning där eleverna haft en personlig tränare 40 minuter per vecka utöver den ordinarie undervisningen under tio veckor. Eleverna i studien ökade sina matematikprestationer och även tilltron till sin egen förmåga. Efter pilotprojektet verkade dock eleverna tappa de positiva effekterna när de inte längre hade tillgång till den riktade stöttningen. Tidsperioden för intensivundervisningen är en avgörande faktor för hur effekten kommer att kvarstå. Det är viktigt att eleverna hinner utveckla en självständighet innan intensivundervisningen avslutas samt att det kan vara lämpligt att intensivundervisningen fasas ut successivt. Samtidigt menar Giota (2013) att intensivundervisning i särskild undervisningsgrupp ska ske under en kortare period och som en tillfällig åtgärd eftersom undervisning utanför klassrummet under längre tid kan påverka elevens självuppfattning negativt.
12
Almqvist, Malmqvist och Nilholm (2015) presenterar en sammanställning av forskning från flera metaanalyser som undersöker vilka stödinsatser som främjar måluppfyllelse för elever i svårigheter. När det gäller matematikämnet visar forskningen att individuellt lärarstöd i kombination med datorstödd undervisning ger en positiv effekt för eleverna. Metoder där man kombinerade explicit undervisning med datorprogram där eleven fick återkoppling på sin prestation och förslag på övningar visade sig gynna elevernas matematiska kunskapsutveckling. Individuellt lärarstöd och självinstruktion där elever får lära sig olika procedurer kan med fördel komplettera stödinsatser av denna typ.
Sjöberg (2006) har i sin avhandling kommit fram till att cirka 20 % av lektionstiden går bort till annat än matematik. Det kan vara schemabrytande aktiviteter, bortfall av tid i start och slut på lektionen samt elevers låga arbetsinsatser. Elever kan vid en första anblick se ut att arbeta men håller i själva verket på med något helt annat.
Schneider et al (2018) presenterar en metaanalys som ger omfattande bevis på att det finns ett samband mellan tallinjeestimeringar och matematisk kompetens. Studien omfattade 10 576 barn och ungdomar i åldrarna 4-14 år. Sambandet varierade beroende av vilken typ av matematisk kompetens som mättes och barnens ålder. När det gäller mätning av hela tal var sambandet starkare hos de yngre barnen och vid mätning av rationella tal var sambandet starkast hos elever som var äldre än 9 år. Undersökningen visade också att sambandet mellan tallinjeestimeringar och matematisk kompetens var högre vid avgränsade tallinjer än vid öppna tallinjer. En trolig förklaring till det är att barnen är mer vana att arbeta med avgränsade tallinjer. Tallinjeestimering har flera fördelar som att testet går relativt snabbt, det kräver ingen omvärldskunskap samt att det är lätt att administrera. Schneider et al (2018) kan inte uppge orsaker till det presenterade sambandet men drar slutsatsen att tallinjeestimering är en enkel och användbar metod att diagnostisera och förutsäga matematisk kompetens.
Ok och Bryant (2015) redovisar en single-case-studie där fyra elever i matematiksvårigheter i årskurs fem har fått delta i en intervention i multiplikationskunskaper både när det gäller flyt och strategier. Studien har också undersökt elevernas inställning till interventionen och i vilken omfattning eleverna kunnat bevara kunskaperna två veckor efter interventionens slut. Den sammanlagda tiden för studiens alla faser var tio veckor, vilket innefattade en period med förberedelser, en period med baslinje innan interventionen påbörjades, tre veckor med intervention där eleverna fick enskild undervisning 30 minuter fem dagar per vecka. Två veckor
13
efter interventionens slut gjordes en test som mätte hur stor del av kunskapen från interventionen som eleven hade bevarat. Förmågan att inneha flyt i beräkningar med multiplikation har visat sig vara en viktig faktor när matematikkunskaper ska utvecklas bland annat inom områdena bråk och algebra. Elever i matematiksvårigheter tenderar att få problem med att lära sig aritmetiska fakta i högre grad än sina jämnåriga klasskamrater. Dessutom använder elever i matematiksvårigheter ofta mindre effektiva metoder när de ska lösa olika matematiska problem. Detta får till följd att kunskapsutvecklingen går långsammare, de kommer efter i kursplanen och eleverna löper risk att få svårigheter att komma in på arbetsmarknaden. Studien har haft en multipel baslinjedesign där starten på interventionen har varit förskjuten för att eliminera eventuella ovidkommande variabler som kan påverka resultatet. Undervisningsmetoden explicit undervisning med bland annat tydliga mål, repetition av tidigare förvärvad kunskap och där vidare kunskap byggs på en liten bit i taget. Enskild undervisning har använts i kombination med träning av tidigare undervisningsmoment på Ipad. Att arbeta på Ipad innebär att eleven kan ta del av stödfunktioner i form av stavningshjälp, läshjälp, språkbruk med mera som finns tillgängliga samt att varje elev kan få individuellt anpassade uppgifter. I kombination med explicit undervisning har undervisningsmodellen CRA används där undervisningen utgår från det konkreta till det representativa för att till sist övergå till det abstrakta steget. Resultatet på studien visade att interventionen gav stor effekt för alla fyra elevers resultat både när det gäller strategier och flyt inom multiplikationsräkning. Eleverna visade sig även ha bevarat kunskapen två veckor efter interventionens slut samt att eleverna hade ett positivt intryck till den genomförda interventionen. Ok och Bryant (2015) menar att studien med explicit undervisning, strategisk intervention med inslag av träning med Ipad är en användbar strategi för att hjälpa elever i matematiksvårigheter både att förvärva och behålla matematikkunskaper. Interventionen visade sig även ha utvecklat en motivation hos eleverna att lära. Dock kan man inte ta för givet att strategin passar alla elever i matematiksvårigheter. Läraren behöver identifiera och bedöma varje elevs specifika behov för att se vilken strategi som passar.
Bråk är en viktig men utmanande del av matematiken för flera elever. Bouck et al (2017) presenterar en single-case-studie där tre 13-åriga elever i matematiksvårigheter fick ta del av en intervention med undervisning om olika representationer av likvärdiga bråk. Interventionen pågick under 15 veckor och eleverna fick enskild undervisning en till två gånger per vecka. Elever i matematiksvårigheter tenderar att ha svårare med inlärningen av bråk än sina klasskamrater. Att ha svårigheter med bråkräkning innebär inte bara problem att utveckla sina
14
matematikkunskaper vidare utan också svårigheter i det vardagliga livet som till exempel att läsa recept vid matlagning och att kunna utföra enklare reparationer i hemmet. Eleverna fick ta del av en variant av metoden CRA vilken bygger på undervisningsfaserna konkret, representativ och abstrakt nivå, men i stället för den konkreta fasen undervisas eleven på virtuell nivå. Metoden kallas VRA där undervisningsfaserna bygger på virtuell-, representativ och abstrakt nivå. Studien undersökte vilken effekt en intervention med VRA-undervisning av likvärdiga bråk har för elever i matematiksvårigheter samt om kunskapen bevarades två veckor efter interventionens slut. Efter studiens slut intervjuades eleverna om vilken fas i VRA de tyckte bäst om och vilken av faserna de skulle föredra att arbeta med i ordinarie klassrumssituation. Före interventionens start fick eleverna genomgå ett antal test innehållande bråk under den så kallade baslinjefasen där målet är att få en stabil kunskapsbild för respektive elev. Detta är en kvalitetsindikator i single-case-studier som förstärker trovärdigheten av interventionens effekt. Resultatet av studien visade att det fanns ett tydligt samband mellan interventionen och elevernas förmåga att lösa ekvivalenta bråkproblem. Vid upprepad mätning efter två veckor visade det sig även att eleverna hade bevarat kunskaperna från den abstrakta nivån. Undersökningen om vilken av undervisningsfaserna som eleverna föredrog uttalade alla tre eleverna positiva erfarenheter av den virtuella fasen. Eleverna tyckte att den representativa fasen var svårast och en av orsakerna till detta var deras brist på flyt i kunskaper om faktorer och multipler inom multiplikation (Bouck et al 2017).
Metod
Här presenterar vi metodansats, urvalsmetod, interventionens genomförande, metoder för datainsamling samt etiska överväganden.
Metodansats
Den här studien utgår från en kvantitativ metodansats. Bryman (2011) menar att kvantitativ forskning har ett teoriprövande och deduktivt synsätt till skillnad från kvalitativ forskning vilken betonar ett teorigenererande och induktivt synsätt. Den kvantitativa forskningen använder kvantifiering vid insamling av data samt analys av denna. Valet att välja en kvantitativ metod har gjorts utifrån att vi ville undersöka orsakssamband mellan olika variabler. Forskningsmetoden är den teknik på vilken data insamlas. Insamling av data i vår studie har genererat numeriska värden vilket avgjorde att detta blev en kvantitativ studie med enkäter och tester som forskningsmetod.
15
I val av forskningsdesign utgick vi från att vi vill undersöka om intensivundervisning kan ge effekt på elevernas kunskapsresultat. Vi valde en forskningsdesign som dokumenterar och mäter orsaker mellan oberoende och beroende variabler på individnivå nämligen en single-case-design.
Single-case-design är enligt Horner, Carr, Halle, McGee, Odom och Wolery (2005) en experimentell fallstudie för att se på bland annat sambandet mellan oberoende och beroende variabler för enskilda individer och där varje individ utgör sin egen kontrollgrupp. Designen passade väl in på det som vi ville undersöka i vår studie då vi skulle genomföra den i en enskild intensivundervisning. Det är den enskilde elevens resultat som ger svar på om interventionen har gett ett positivt utfall. Ytterligare en faktor som spelade roll i val av forskningsdesign var att vi såg stor användning av single-case-design i kommande yrkesroll för att kunna analysera och utvärdera hur olika specialpedagogiska insatser faller väl ut eller ej för respektive elever. Vi finner stöd i våra tankar då Horner et al (2005) i artikeln menar att single-case-design är en forskningsdesign som särskilt lämpar sig för det specialpedagogiska området där det oftast handlar om fokus på den enskilde individen vid olika interventioner. Studier med den här designen kan innefatta en deltagare, men oftast flera, 3-8 stycken.
I single-case-design samlas data och jämförs med tester vilka görs före och efter en insats eller intervention. Data som samlas före insatsen sägs enligt Horner et al (2005) vara under baslinjefasen i sammanställningen och kommer att jämföras mot data under interventionsfasen. Före en insats är det viktigt att den beroende variabeln, i detta fall elevens resultat på test uppvisar ett stabilt resultat. Utöver stabilt resultat krävs det minst fem mättillfällen innan insatsen påbörjas. För att eliminera ovidkommande variabler påbörjas interventionen med en förskjutning i tid för respondenterna i studien. Detta är en så kallad multipel baslinjedesign vilken förstärker att förändringen av resultatet beror på interventionen. Studiens validitet förstärks genom att interventionen replikeras via flera deltagare. För att ha ytterligare kontroll på ovidkommande variabler är det nödvändigt att både deltagare, miljö och aktiviteter dokumenteras noga.
Forskningsdesignen single-case är en experimentell studie som lämpar sig för visuell analys över tid. Designen innefattar systematisk visuell jämförelse inom och mellan mätpunkterna för varje enskild deltagare. På grund av att flera tillfällen av kunskapsmätning utförs både innan, under och efter studien samt att forskaren har god kontroll på ovidkommande variabler kan den
16
enskilde deltagaren vara sin egen kontrollperson. Resultaten redovisas ofta i ett linjediagram där forskaren kan följa resultatkurvan samt studera och jämföra trender hos deltagarna. Statistiska analyser kan göras genom att mäta hur stor effekt interventionen har på respektive elev (Horner et al 2005).
Urval
Eftersom vi i denna studie inte hade för avsikt att välja deltagare på ett slumpmässigt sätt kan metoden för urval benämnas som ett målinriktat urval. Syftet med ett målinriktat urval är att välja ut deltagare på ett strategiskt sätt så att personerna passar in för de forskningsfrågor som formulerats (Bryman 2011). Vi har genomfört studien på de skolor där vi är yrkesverksamma och vi valde att använda oss av elever vilka inte har uppnått betyg E vid betygssättningen höstterminen 2018. Eleverna går i år 6 och 7, vi har träffat två elever var så studiens resultat är baserat på fyra olika individer.
Genomförande av interventionen
Syftet med interventionen var att ge eleverna en strukturerad enskild intensivundervisning i taluppfattning på hela den ordinarie undervisningstiden under tre veckor för att därefter utvärdera om insatsen gett effekt.
Vår definition av intensivundervisning i den här studien är att undervisningen sker inom ramen för ordinarie undervisningstid och är tidsbestämd. I den här studien har intensivundervisningen varit tidsbestämd till tre veckor med samtlig matematikundervisning om taluppfattning. Intensifiering av insatser med enskild undervisning med speciallärare är tredje nivån inom RTI. Eleverna i studien har inte responderat positivt på tidigare insatser därmed kan interventionen jämställas med tier 3 i RTI (Fuchs & Fuchs 2001; Björn, Aro, Koponen, Fuchs & Fuchs 2015; Björn, Aro, Koponen, Fuchs & Fuchs 2018).
Vi tänkte att undervisningen i interventionen skulle vara strukturerad och intensiv i varje minut av avsatt tid för att maximera användandet av den ordinarie undervisningstiden.
Ett förtest gjordes med eleverna innan de påbörjade den enskilda undervisningen och ett eftertest gjordes när interventionen var slut. Förutom för- och eftertest gjordes ett antal tallinjeestimeringar både under baslinjefasen det vill säga tiden innan interventionen samt under interventionens gång.
17
Lektionerna veckan innan intensivundervisningen använde vi för att skapa en relation med eleverna och för att göra tallinjeestimeringar under baslinjefasen. Under denna vecka fick eleverna arbeta med det område vilket deras ordinarie matematikgrupper arbetade med. För att öka reliabiliteten i arbetet var det viktigt att de inte började träna på området som interventionen behandlar. Vi använde nio lektioner till interventionen och en lektionsplanering gjordes (Bilaga 1). Från början tänkte vi göra individuella lektionsplaneringar men det visade sig att arbetsgången blev så lika att eleverna kunde följa samma grundplanering. Vi kunde ändå individanpassa lektionerna då vi i undervisningssamtalet gjorde kunskapsbedömningar inför nästa steg.
Undervisningen var upplagd enligt CRA-modellen och utfördes enligt explicit undervisning (Miller & Hudson 2007, Archer & Hughes 2011). Av den ordinarie undervisningstiden bestod cirka 50 % av enskild intensivundervisning. Resterande del av undervisningstiden ägnade eleverna åt enskild färdighetsträning i form av arbetsblad och det digitala träningsprogrammet NOMP, där vi hade valt ut träningsuppgifter inom de områden vi tidigare undervisat. Varje lektion började med en muntlig uppföljning av föregående lektion för att kontrollera om eleven befäst tidigare undervisning. Under lektionens gång fördes också kontinuerliga kontroller i undervisningssamtalet för att säkerställa att eleven tillgodogjort sig innehållet.
Vi valde att börja arbeta med positionssystemet för positiva heltal inom talområdet ental upp till miljontal. Olika stora tal delades upp i talsorter och benämndes vid namn enligt McIntosh (2008). På den konkreta nivån arbetade vi med tiobasmaterial för att som McIntosh (2008) och Miller och Hudson (2007) omskriver påvisa förhållandena mellan talsorternas storlek då dessa har exakt samma förhållanden som talsorterna i vårt tiobassystem. Pengar eller stickor ger inte samma konkreta representation av talsorternas storleksförhållanden då till exempel en tiokrona inte är tio gånger så stor som tio enkronor. På den representativa nivån undervisades eleverna utifrån bilder av tiobasmaterialet samt att de själva fick rita bilder av olika tal. Vidare infördes tallinjer och talmönster började studeras. Eleverna fick göra 10-100- och 1000-hopp uppåt och nedåt på tallinjer. Vi undersökte tallinjer som inte börjar på noll och hur man genom att studera referenspunkter och deras inbördes avstånd på tallinjer kan uppskatta olika positioner mellan referenspunkterna.
Efter arbetet med positiva heltal infördes undervisning om bråk där vi började med bråk som del av area. På den konkreta nivån fick eleverna praktiskt vika kort i lika stora delar och samtal fördes om vad vi kan kalla varje del utifrån delarnas antal av en hel. Vi studerade bråktavlan
18
med samma storlek på helheter som är uppdelade på olika sätt i lika stora delar och benämnda
Bild 1 Bråktavlan
med bråktal. Överst finns en odelad helhet med benämningen 1, under denna är helheten delad mitt itu och varje del benämns med bråket 1/2 för att sedan fortsätta med helheter som är delade i tredjedelar, fjärdedelar och så vidare.
På representativ nivå fick eleverna studera bilder på olika helheter som på olika sätt delats in i lika stora delar och namnge delarna. Vi skrev bråkdelarna både med algebraiska uttryck och med bokstäver till exempel 1/4 = en fjärdedel. Samtal fördes om vikten att delarna är lika stora samt funktionen för begreppen täljare och nämnare. För att befästa nämnarens funktion kan det enligt McIntosh (2008) och Kilborn (2014) i början vara bra att skriva ut nämnaren med bokstäver för att eleven ska befästa att den anger enheten till skillnad från täljaren som anger antalet delar. På den abstrakta nivån fick eleverna lösa algebraiska uppgifter inom området bråk som del av area.
Därefter fortsatte vi att arbeta med bråk som del av ett antal. På den konkreta nivån delade vi in antal i lika stora mängder och förde samtal om delarnas namn. På den representativa nivån fick eleverna rita föremål och dela upp dem i lika stora mängder samt benämna vad varje mängd hade för värde i bråkform. Slutligen arbetade eleverna med uppgifter på den abstrakta nivån. Nästa område vi undervisade i handlade om bråk på tallinjen och att ett bråk även kan representera ett tal. På konkret nivå arbetade vi till en början med tallinjer som var lika långa som bråktavlan och eleverna fick använda bråktavlans delar för att bedöma vilket tal på tallinjen som var markerat eller att på samma sätt själva markera ut ett tal på tallinjen. Därefter fick eleverna på representativ nivå arbeta med olika långa tallinjer och med hjälp av tidigare kunskap fastställa olika bråktal på tallinjerna.
När vi kom in på tal i decimalform använde vi återigen tiobasmaterialet och fick då föra ett samtal med eleverna om att nu var ”hundraplattan” värd ett ental, tiostaven representerade en
19
tiondel och centikuben var värd en hundradel. Vi byggde olika tal och eleverna fick benämna de olika decimaltal som bildades. På representativ nivå fick eleverna rita och tolka bilder av tiobasmaterialet. Övningen byggdes vidare med att jämföra och upptäcka mönster vid olika talsortsövergångar. Vi arbetade med att storleksordna decimaltal samt att förstå siffran nolls värde i ett decimaltal. Den sista lektionen ägnades åt att omvandla enklare bråk till decimalform. Där fick eleverna laborera med bråktavlans delar på tallinjer med referenspunkterna 0 och 1 för att upptäcka att bråket också kan representeras i decimalform och stå för ett tal.
Datainsamling
Här presenterar vi de olika datainsamlingsmetoder som vi har använt i studien.
Tallinjeestimering
Tester med tallinjeestimering (Bilaga 2) gjordes i tre versioner och med 14 uppgifter per version. Vi gjorde tre likvärdiga versioner för att minska risken att eleverna eventuellt skulle memorera uppgifterna och att vi på så sätt då skulle få missvisande resultat. För att eleverna inte skulle påverkas av närliggande uppgifter så konstruerade vi testet med endast en tallinje per sida. Testerna med de olika versionerna av tallinjeestimeringar genomfördes i en förutbestämd ordning. Tallinjerna var konstruerade med två referenspunkter och vi sökte ett värde vilket skulle uppskattas utifrån dessa referenspunkter. I varje version fanns det tallinjer med referenspunkter 0-1, 0-100, 0-1000, 0-10000, 100-200 samt tallinjer vilka började på tresiffriga tal och hade hundra eller tusen högre på sista referenspunkten, exempelvis 744-844 och 333-1333. Genom dessa varianter av tallinjer gav testerna oss möjligheter att pröva elevernas taluppfattning inom såväl tal i decimalform, tal i bråkform som stora naturliga heltal. Vi satte ingen bestämd tidsgräns för testen men uppmanade eleverna att gå vidare om de inte kunde lösa en uppgift.
Taluppfattningstest
För- och eftertestet i taluppfattning (Bilaga 3) vilket var samma test vid båda tillfällena, skapade vi till övervägande del utifrån de tester som presenteras i boken av McIntosh (2008) Förstå och
använda tal – en handbok. Testet bestod av 30 uppgifter med samma maxpoäng. Vi satte
samman uppgifter från fem olika test från årskurs 3 till årskurs 7, då vi kunde bygga upp en progression av svårighetsgraden. Vi arbetade om de befintliga testerna genom att ta bort så mycket text som möjligt, då vi inte ville att elevernas läsförmåga skulle inverka på resultatet.
20
Testet innehöll olika talmönster, bråkuppgifter, tallinjer där ett värde skulle uppskattas utifrån två referenspunkter samt några uppgifter att storleksordna decimaltal. Inte heller på dessa test satte vi någon tidsgräns utan lät eleverna hålla på så lång tid de behövde med uppmaningen att gå till nästa uppgift om det var svårt.
Elevenkät
Elevenkäten (Bilaga 4) som eleverna gjorde både före och efter interventionen innehöll totalt 14 påståenden där svaret markerades på en femgradig skala. Fem av påståendena handlade om att känna oro inför situationer kring matematik i vardagen och matematik i skolan. På den skalan representerar siffran 1 ingen oro och siffran 5 mycket oro. Vi läste upp och förklarade de olika påståendena för eleverna för att undvika onödiga missförstånd samt att vi väntade så att eleven hann tänka efter innan svaret gavs. I sammanställning av resultat så har vi vänt på värdena vilket gör att vi i samtliga påståenden eftersträvar så hög siffra som möjligt. De resterande nio påståendena handlade om inre- och yttre motivation samt tilltro till sin matematiska förmåga.
Forskningsetiska principer
Vid alla studier är det viktigt att ta hänsyn till forskningsetiska principer. Då vi har utgått från elevers resultat vid tester så är det viktigt att informera såväl elever som deras vårdnadshavare och att få samtycke av vårdnadshavare angående att använda deras barns resultat i studien. Vi författade ett missivbrev (Bilaga 5) där vi informerade om vilka vi är, vad syftet med studien var och vad resultatet skulle komma att användas till. De fyra grundläggande huvudkrav för forskningsetiska principer är informationskrav, samtyckeskrav, konfidentialitetskrav samt nyttjandekrav (Vetenskapsrådet
2010).
För att uppfylla alla fyra krav är det även viktigt att alla i studien ingående elever behandlas med konfidentialitet vilket innebär att vi har anonymiserat elevernas personuppgifter och deras resultat samt att vi har hanterat deras personuppgifter på ett sådant sätt att obehöriga inte kan ta del av dem. I missivbrevet fanns det en svarstalong där vårdnadshavare gav sitt samtycke till att vi fick använda informationen i vår studie.Resultat
I den här delen kommer data att presenteras och analyseras visuellt med baslinjefas och interventionsfas för test med tallinjeestimeringar. Vad det gäller för- och eftertest samt enkätundersökningen så kommer beroende t-test att användas i analysen.
21
Tallinjeestimering
Diagrammen, figur 1, ger en visuell tolkning över tid av elevernas resultat på tester med tallinjeestimering. Samtliga test innehöll 14 uppgifter varvid max antal rätt är 14 per test. Till vänster om den röda linjen presenteras resultat från baslinjefasen och till höger om den röda linjen presenteras resultat från interventionsfasen. Den röda linjen markerar brytpunkten mellan baslinje och intervention.
Figur 1
Figur 1. Resultat av tallinjeestimeringar under baslinjefas och under interventionsfas
Tabell 1a
Tabell 1a redovisar antal rätt på individnivå för tester med tallinjeestimering. Rosa fält är resultat från baslinjefasen och grönt fält är resultat från interventionsfasen.
Test nr 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Elev A 7 9 8 7 5 10 12 14 14 13 14 Elev B 7 7 11 8 8 7 8 8 8 13 11 11 12 Elev C 8 8 4 5 5 6 8 6 6 8 8 10 10 11 Elev D 9 5 5 3 6 7 3 7 8 7 8 11 12 11 12 13
22 Tabell 1b
Tabell 1b redovisar effektstorleken för de upprepade mätningarna med tallinjeestimeringar.
TAU TAUb P Value
KI 85 % KI 90 % Elev A 1 1 0,0062 0.474<>1 0.399<>1 Elev B 0,7143 0,7895 0,0321 0.234<>1 0.166<>1 Elev C 0,8667 0,9286 0,0093 0.387<>1 0.318<>1 Elev D 0,95 0,958 0,002 0.507<>1 0.444<>1 Gruppen 0,8816 0 0.6401<>1 0.6057<>1
Tabellen visar effektstorleken med Tau (Parker, Vannest, Davis & Sauber 2011) vilket innebär den mängd antal rätt i procent räknat som inte överlappar mellan baslinjefasen och interventionsfasen. Med det menas att samma eller lägre resultat inte finns med i interventionsfasen. Effektstorleken för elev A, C och D är något högre, 87-100 %, än för elev B, 71 %, vilket även syns i diagrammen i figur 1. Eleverna A, C och D har mer icke överlapp än elev B. Trenden, Tau-b, visar dock på att effektstorleken ökar för samtliga elever, 79-100 %. Effektstorleken visar på ett tydligt icke-överlappande från baslinjefasen till interventionsfasen där tre av eleverna har en mycket stor effekt och är nästan helt separerade. Den fjärde eleven B
har en bra effekt men inte lika stor. Vi ser även att p är < .05 för samtliga elever. Konfidensintervallet, KI, berättar med vilken säkerhet som man kan säga att det verkliga
medelvärdet inom en viss intervall kan ligga. KI 90 % visar på en vid spridning från 30-100 % för eleverna A, C och D och ytterligare vidare för elev B med 16-100 %. Konfidensintervallet KI 90 % för gruppen smalnar av något då det ligger det mellan 60 och 100 % och vid KI 85 % har det smalnat av ytterligare till 64-100 %.
23
Taluppfattningstest
Figur 2
Figur 2. Resultat av antal rätt på för- och eftertest i taluppfattning samt gruppens medelvärde
Diagrammet i figur 2 ger en bild av utvecklingen för eleverna i antal rätta svar på det test vilket genomfördes före interventionsfasen och sedan efter interventionsfasen. Testet innehöll 30 uppgifter varvid maxpoäng var 30. Samtliga fyra elever visar på en stor positiv utveckling. I diagrammet syns även utvecklingen av gruppens medelvärde på testen.
Tabell 2
Tabell 2 visar antal poäng vid för- och eftertest i taluppfattning på individnivå samt gruppens medelvärde och standardavvikelse vid de båda testen.
Förtest Eftertest Elev A 5 23 Elev B 10 24 Elev C 10 21 Elev D 14 24 Gruppens medelvärde 9,75 23 Gruppens standardavvikelse 3,69 1,41
24
Tabell 2 återger den numeriska data vilken mätningarna vid för- och eftertest har gett oss. Utifrån gruppens mätvärden ville vi undersöka om skillnaden mellan resultat på förtest och resultat på eftertest var större än tillfälligheten och därmed kunna se om vi kan generalisera resultatet och se på om interventionen var lyckad. Det statistiska resultatet ger oss även svaret på den ena av studiens frågeställningar:
Kan en strukturerad och enskild intensivundervisning i matematik inom ordinarie undervisningstid vara gynnsam för elever i svårigheter med taluppfattning?
För att besvara frågan använde vi oss av ett beroende t-test. T-testet mäter den genomsnittliga förändringen av medelvärdet för gruppen mellan för- och eftertest. Utifrån t-testet har vi dragit en statistisk slutsats: Elever som har deltagit i interventionen har förbättrat sin taluppfattning signifikant mer jämfört med deras taluppfattning före interventionen t(3)= -7.37, p =.005, Cohens d: 3.689. Cohens d är ett mått för effektstorleken för att markera statistisk skillnad. Gränsen för stor skillnad ligger på 0,8 och resultatet i vår studie har fått ett värde på över 3 vilket visar på en mycket stor skillnad. Vi ser även i statistiken att interventionen kan ses som lyckad då skillnaderna i t-testet är större än tillfälligheterna då p < .05. För djupare analys av hur eleverna svarade på för- och eftertest hänvisar vi till bilaga 6.
Enkätundersökning
En av de två frågeställningarna i vår studie var: Hur påverkar intensivundervisning elevernas
självskattning kring affektiva aspekter såsom inre- och yttre motivation, tilltro till sin matematiska förmåga samt oro kring matematik? För att söka svar på detta genomförde vi en
enkätundersökning både före och efter interventionen. Eleverna fick där skatta sig på en skala 1-5 där 5 är det värde som eftersträvas och som signalerar på positiv inställning och avsaknad av oroskänsla inför situationer med matematik.
25 Figur 3
Figur 3 Redovisar gruppens medelvärde på respektive fråga i enkätundersökningen före och efter interventionsfasen. Inre motivation fråga 1-4, yttre motivation fråga 5-6, tilltro fråga 7-9, oro fråga 10-14
Tabell 3
Tabell 3 visar gruppens medelvärde med standardavvikelse på enkätundersökningen före och efter interventionsfasen.
Medelvärde sd
Inre motivation Före 3,19 0,52
Efter 3,75 0,46
Yttre motivation Före 3,75 0,35
Efter 4,13 0,18
Tilltro Före 1,92 0,14
Efter 3,25 0,25
Oro Före 2,60 0,74
Efter 2,65 0,59
Resultatet av enkätundersökningen i studien har sammanställts och analyserats utifrån mätresultat före och efter interventionen för att se hur interventionen har påverkat elevernas självskattning och inställning kring ämnet matematik. För att jämföra skillnader i mätvärden
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Enkät före och efter intervention
26
före och efter interventionens genomförande gjorde vi ett beroende t-test. Intensivundervisningen har till stor grad påverkat elevernas självkänsla och inställning till ämnet matematik signifikant jämfört med före interventionsfasen t(3)= -6.75, p = .007, Cohens d: 3.34.
Diskussion
I den här delen diskuterar vi val av metod och de resultat vi har fått i undersökningen. Vi avslutar diskussionsdelen med förslag på vidare forskning.
Metoddiskussion
Vår studie grundar sig på en intervention som har pågått under tre veckor. Detta kan göra att effekten av interventionen eventuellt inte blir kvarstående. Hade interventionen pågått under en längre tid hade mer tid kunnat ägnas åt att befästa varje moment. Det hade gett eleverna möjlighet att få mer träning på varje moment vilket Lundberg och Sterner (2009) skriver om i TOT-principen som innebär att ju mer man övar på en uppgift desto större chans har man att lyckas. Samtidigt menar Giota (2013) att intensivundervisning i särskild undervisningsgrupp ska pågå under en kortare period då det annars kan påverka elevens självuppfattning negativt. Önskvärt hade varit om eleverna hade haft möjlighet att utveckla en självständighet inom perioden för interventionen samt om utfasning i klass kunnat ske successivt. Det skulle enligt Hansson (2015) ge eleverna större förutsättningar att inte tappa de positiva effekterna av interventionen. Vi har använt oss av en Single-Case-design, vilket innebär att varje elev utgör sin egen kontrollgrupp och börjar interventionen vid olika tidpunkter, en så kallad multipel baslinjedesign, (Horner et al 2005) som medför att reliabiliteten i studien ökar. Dessutom har vi genomfört interventionen på två olika skolor vilket även det stärker reliabiliteten. Det som kan påverka reliabiliteten negativt är att gruppen endast bestått av fyra elever så trots statistisk signifikans kan det vara tveksamt att generalisera resultatet till en hel population.
Vi finner att Single-case som metod är användbar för oss i vår framtida roll som speciallärare då vi på ett vetenskapligt sätt kan utvärdera insatser för enskilda elever.
Bryman (2011) skriver om validitet som i vilken grad undersökningen mäter det som avsetts att mätas. Vi hade för avsikt att mäta taluppfattning hos våra elever och konstruerade ett test som innehöll uppgifter relevanta för år 3 upp till år 7. Progressionsbredden på uppgifterna gjorde att vi kunde undvika en eventuell tak- eller golveffekt och med högre validitet finna elevernas
27
kunskapsnivå. För att elevernas läsförmåga inte skulle påverka testresultat och validitet konstruerade vi uppgifterna med så lite text som möjligt.
Resultatdiskussion
Syftet med den här studien var att undersöka om en strukturerad och enskild intensivundervisning inom ordinarie undervisningstid kan vara gynnsam för elever i svårigheter med taluppfattning. Eleverna i vår studie har, vilket Träff och Samuelsson (2013) samt Sharma (2015) tar upp som matematiksvårigheter; problem med de grundläggande förmågorna i matematik såsom att komma ihåg fakta de tidigare har lärt sig, platsvärde när de ska bedöma storleken på tal, räknelagar samt att de saknar flyt i sina uträkningar. Eftersom våra elever går i år 6 och 7 har de blivit föremål för ett flertal tidigare stödinsatser. Den intervention i form av strukturerad enskild undervisning vi ger eleverna likställer vi därför med steg 3 (en. tier 3) i undervisningsmetoden RTI som beskrivs av Fuchs och Fuchs (2001); Björn et al (2015); Björn et al (2018). Undervisningen har liksom steg 3 i RTI-metoden skett utanför klassrummet av en speciallärare som genom direkt respons möjliggjort att eleverna var aktiva i sitt eget lärande och undervisningstiden har kunnat tas tillvara på ett effektivt sätt. Som Sjöberg (2006) kommit fram till, med jämngamla elever som i vår studie, så är det vanligt att en betydande del av lektionstiden, en femtedel, går bort till annat än matematik då eleverna kan ge sken av att arbeta, men istället håller på med andra saker som inte hör till ämnet. Då vi har haft ett högt tempo i en välplanerad och strukturerad undervisning har vi kunnat eliminera tidsförlust och utnyttjat all lektionstid effektivt.
Våra elever har genom interventionen utvecklat sin kunskap inom taluppfattning. Genom explicit undervisning och CRA har, som Archer och Hughes (2011) samt Miller och Hudson (2011) skriver, varje elev genom att få arbeta enskilt med en lärare fått en strukturerad och individanpassad undervisning. Lektionerna har präglats av god kommunikation och återkoppling till eleven för att förvissa oss om elevens förståelse och delaktighet. Elever i matematiksvårigheter använder ofta mindre effektiva metoder när de ska lösa matematikuppgifter (Ok & Bryant 2017) vilket denna undervisningsform med snabb återkoppling kan förebygga. På detta sätt har eleverna fått träna på att bygga upp sin procedurella kunskap (Miller & Hudson 2007). Genom att varje lektion börja med en tillbakablick av tidigare förvärvad kunskap och sammankoppla den med ny kunskap har vi hjälpt eleverna att förvärva konceptuell kunskap vilken omskrivs av Miller och Hudson (2007).
