INOM
EXAMENSARBETE
TEKNIK,
GRUNDNIVÅ, 15 HP
,
STOCKHOLM SVERIGE 2016
Prognostisering av försäljning på
andrahandsmarkaden för bilar
En tidsserieanalys
PONTUS BERGLUND
OSCAR JAGERMARK
Prognostisering av försäljning på
andrahandsmarkaden för bilar
- en tidsserieanalys
P o n t u s B e r g l u n d
O s c a r J a g e r m a r k
Examensarbete inom teknik: Tillämpad matematik och industriell ekonomi (15 hp) Civilingenjörsutbildning i industriell ekonomi (300 hp)
Kungliga Tekniska högskolan 2016 Handledare på KTH: Fredrik Armerin, Jonatan Freilich Examinator: Henrik Hult
TRITA-MAT-K 2016:04 ISRN-KTH/MAT/K--16/04--SE
Royal Institute of Technology SCI School of Engineering Sciences KTH SCI SE-100 44 Stockholm, Sweden URL: www.kth.se/sci
Abstract
Forecasting is an essential tool for business desicion making in several areas. Capacity planning is one of these, and in this project we have ana-lyzed how the company KVD Kvarndammen AB should use their forecasts in order to optimize their strategy regarding capacity planning. We have also applied several models in the field of time series analysis, specifically AR, MA and ARMA to create a forecast of the total amount of sales on the used-car market in Sweden.
The results of the application show that modelling with an ARMA-based time series model is feasible and suggests that a forecast can be improved upon with the use of such a model compared to one not based on time series analysis. The largest differences between the quality of the applied models were not found between the AR, MA or ARMA models themselves, but rather depended on how the data was preprocessed, where differencing achieved the best results. We also concluded that KVD should use a chase demand -attitude and more specifically a match demand -strategy to optimize their capacity planning.
Sammanfattning
Prognostisering ¨ar ett essentiellt verktyg f¨or f¨oretag vid beslutsfattning inom flera omr˚aden. Kapacitetsplanering ¨ar ett av dessa och vi har i det h¨ar arbetet analyserat hur f¨oretaget KVD Kvarndammen AB b¨or anv¨anda prognoser f¨or att till¨ampa en optimal strategi inom kapacitetsplanering. Vi har till¨ampat olika modeller inom tidsserieanalys s˚asom AR, MA och ARMA f¨or att skapa en prognos ett ˚ar fram˚at f¨or total f¨ors¨aljning av be-gagnade bilar i Sverige.
Resultatet av till¨ampningen visar att en modellering med en ARMA-baserad tiddsseriemodell ¨ar genomf¨orbar och indikerar att en prognos kan f¨orb¨attras med en s˚adan metod j¨amf¨ort med en icke-tidsseriebaserad mo-dell. De st¨orsta skilnaderna mellan de applicerade modellerna var inte mellan AR-, MA-, eller ARMA-modellerna, utan snarare vilken typ av f¨orbehandling av data som anv¨andes, d¨ar differentiering gav b¨ast resul-tat. Vi kom ¨aven fram till att KVD b¨or anv¨anda sig utav en chase de-mand -attityd och mer specifikt en match dede-mand -strategi f¨or att optimalt planera sin kapacitet.
F¨
orord
Vi vill tacka v˚ar handledare Fredrik Armerin f¨or hans hj¨alp och insikt i arbetet. Vi vill ¨aven tacka Jonas p˚a Kvd Bilpriser som har varit central f¨or att arbetet kunde genomf¨oras.
Inneh˚
all
Inneh˚all 5 1 Inledning 7 1.1 Bakgrund . . . 7 1.2 Syfte . . . 7 1.3 Problemformulering . . . 82 Teoretisk matematisk bakgrund 9 2.1 Sannolikhetsteori . . . 9
2.1.1 Stokastisk process . . . 9
2.1.2 Stationaritet . . . 9
2.2 Tidserie . . . 9
2.2.1 Station¨ar tidsserie . . . 10
2.2.2 SACF & SACVF . . . 10
2.2.3 PACF . . . 10
2.3 Modellering med tidsserier . . . 10
2.4 F¨orbehandling av data . . . 11 2.4.1 Klassisk komponentuppdelning . . . 11 2.4.2 Differentiering . . . 12 2.4.3 Harmonisk regression . . . 12 2.5 IID-test . . . 12 2.5.1 Ljung-Box . . . 12 2.5.2 Turning Point . . . 13 2.5.3 Difference-sign . . . 13 2.5.4 Rank . . . 13 2.6 Modeller f¨or tidsserier . . . 13 2.6.1 Vitt brus . . . 13 2.6.2 AR-modellen . . . 14 2.6.3 MA-modellen . . . 14 2.6.4 ARMA-modellen . . . 14 2.7 MLE . . . 14 2.7.1 AICC . . . 15
3 Teoretisk bakgrund inom industriell ekonomi 16 3.1 Kapacitetsplanering . . . 16
3.1.1 P˚averkande faktorer . . . 16
3.1.2 CRP . . . 16
3.1.3 Kapacitetsplaneringens omfattning . . . 17
3.1.4 Fluktuationer i efterfr˚agan . . . 17
3.1.5 Strategier f¨or kapacitetsplanering . . . 17
4 Metodik 19 4.1 Initial dataanalys . . . 19
4.2 Eliminering av trend- och s¨asongsberoende . . . 20
4.3 Modellering med tidsserier . . . 21
6 Resultat 26
7 Diskussion 33
7.1 Prediktion & precision . . . 33 7.2 Metodkritik & felk¨allor . . . 33 7.3 Framtida f¨orb¨attringar . . . 34
8 Diskussion industriell ekonomi 35
8.0.1 Metodkritik och f¨orb¨attrningspotential . . . 36
1
Inledning
1.1
Bakgrund
Klassisk industriell produktion kunde f¨orlita sig p˚a push-strategier d¨ar efter-fr˚agan i princip var out¨omlig. Idag ¨ar marknadsl¨aget annorlunda d¨ar efterfr˚agan ¨
ar begr¨ansad och fluktuerar i st¨orre grad. Konsekvensen ¨ar att f¨oretag tving-as anv¨anda sig av pull-strategier f¨or att ¨overleva. En kritisk del i den typen av strategi ¨ar att kunna f¨orutsp˚a produktionsbehovet genom att prognostisera efterfr˚agan. Prognoser ger ett underlag p˚a hur f¨oretag b¨ast kan planera sin pro-duktion, t.ex. hur resurser s˚asom material och arbetskraft f¨ordelas.
Marknaden f¨or begagnade bilar i Sverige ¨ar en stor sektor med ¨over en miljon f¨ors¨aljningar per ˚ar. F¨ors¨aljarna ¨ar f¨ordelade mellan privatpersoner, bilhandla-re, och ¨ovriga f¨oretag, d¨ar privatpersoner utg¨or den st¨orsta delen. Det klassis-ka lemons-problemet1, d¨ar s¨aljare innehar ett informations¨overtag ¨over k¨opare, finns kvar ¨an idag vilket motverkar en effektiv marknad. Det finns d¨armed en m¨ojlighet f¨or f¨oretag att agera m¨aklare mellan privatpersoner och utj¨amna den systematiska informationsassymmetrin. Det ¨ar denna funktion som KVD Kvarn-dammen AB fyller i bilmarknaden.
KVD ¨ar Sveriges st¨orsta marknadsplats f¨or begagnade bilar och innehar s˚aledes en majoritet av marknaden. KVDs aff¨arsid´e ¨ar att agera som en oberoende mellanhand mellan k¨opare och s¨aljare med internet som plattform. F¨oretagets tradingavdelning testar och v¨arderar bilar samt st˚ar f¨or konsumentansvaret vid f¨ors¨aljning. F¨or att s¨akerst¨alla f¨oretagets neutralitet tar de en fast avgift f¨or att undvika j¨av i form av prish¨ojning. Koncernen KVD Kvarndammen best˚ar av flera dotterbolag, bl.a. KVD Bilpriser vars verksamhet ¨ar inriktad mot v¨ardering och databehandlning. KVD Bilpriser analyserar konsekvent fl¨oden av bilar i olika f¨ors¨aljningskanaler f¨or att f˚a en uppfattning om marknadsf¨or¨andringar.
1.2
Syfte
Projektets huvudsyfte ¨ar att applicera och utv¨ardera modeller f¨or tidsserier som kan anv¨andas vid prognostisering av f¨ors¨aljningssiffror f¨or bilar p˚a andra-handsmarknaden. Flera metoder kommer att unders¨okas f¨or att utv¨ardera vilken metod som l¨ampar sig b¨ast. Arbetet kommer ¨aven att analysera vilken typ av f¨orbehandling av data som m¨ojligg¨or en effektiv prognostisering. Det andra syf-tet ¨ar att unders¨oka hur KVD Bilprisers arbete med prognoser p˚averkar KVD-koncernens kapacitetsplanering inom deras tradingavdelning. Arbetet samman-kopplar teoretiska modeller med den verklighet f¨oretaget m¨oter och unders¨oker vilka diskrepanser som eventuellt finns.
1Lemons-problemet myntades 1970 av George Akerlof och beskriver
informationsassyme-trin mellan k¨opare och s¨aljare vid f¨ors¨aljning av begagnade bilar. Akerlof menar att eftersom s¨aljaren har ett informations¨overtag ¨over k¨oparen g¨allande bilens skick hindrar det k¨oparen fr˚an att fatta ett informerat beslut vid prisf¨orhandling.
1.3
Problemformulering
N¨astintill alla f¨oretag med varierande efterfr˚agan har nytta av en f¨ors¨aljningsprognos. Vare sig det handlar om lagerh˚allning eller kapacitetsplanering finns det inci-tament att prognostisera f¨ors¨aljningen f¨or att ¨oka effektiviteten och minska p˚a kostnaderna. En kvantitativ prognos med h¨og precision ¨ar s˚aledes ett kraftfullt verktyg i en verksamhet. Fr˚agest¨allningarna i arbetet ¨ar d¨armed:
• Vilken tidsseriemodell i kombination med f¨orbehandlig av data ger den b¨asta prognosen f¨or f¨ors¨aljningen p˚a andrahandsmarknaden f¨or bilar? • Vad ¨ar KVD Kvarndammens optimala kapacitetsplanering och kan
kvan-titativa prognoser ge underlag till att avg¨ora den?
Arbetet kommer avgr¨ansas genom att bara analysera Sveriges andrahandsmark-nad fr˚an 2000-2015 p˚a en aggregerad niv˚a. Modellerna som kommer att analy-seras ¨ar AR-, MA-, och ARMA-modellerna.
2
Teoretisk matematisk bakgrund
I detta avsnitt kommer de matematiska teorier och modeller som anv¨ands i arbetet att definieras.
2.1
Sannolikhetsteori
2.1.1 Stokastisk process
En stokastisk process ¨ar en samling av stokastiska variabler X(t); X = {X(t)|t ∈ T },
d¨ar T ¨ar indexm¨angden f¨or processen. Indexm¨angden ¨ar exempelvis T ⊂ Z. Al-la stokastiska variabler Xt¨ar definierade p˚a samma sannolikhetsrum (Ω, F , P) [Koski, 2014].
Processens medelv¨ardesfunktion ¨ar
µX(t) = E[X(t)], t ∈ T, variansfunktionen ¨ar
VarX(t) = E[X2(t)] − µ2X(t), t ∈ T, autokorrelationsfunktionen (ACF) ¨ar
ρX(t, s) = E[X(t) · X(s)], t, s ∈ T, och autokovariansfunktionen (ACVF) ¨ar
γX(t, s) = ρX(t, s) − µX(t) · µX(s) t, s ∈ T. 2.1.2 Stationaritet
En stokastisk process ¨ar svagt station¨ar d˚a f¨oljande g¨aller
• Medelv¨ardesfunktionen µX(t) ¨ar konstant som funktion av t, µX(t) = µ • Autokorrelationsfunktionen ρX(t, s) ¨ar en funktion av (t − s) s˚a pass att
γX(t, s) = ρX(h), h = (t − s) d¨ar h kallas lag.
2.2
Tidserie
En tidsserie ¨ar en samling observationer xt, som insamlats vid tidpunkten t. En tidsserie i diskret tid har en m¨angd T0 med insamlingstider som ¨ar en dis-kret m¨angd, exempelvis med fasta tidsintervall. Eftersom arbetet handlar om diskreta tidsserier kommer vi h¨adanefter bara ben¨amna dem tidsserier. En tids-seriemodell f¨or observerade xt ¨ar en specificering av den gemensamma sanno-likhetsf¨ordelningen av de stokastiska variablerna {Xt} d¨ar {xt} f¨ormodas vara ett utfall. Serien {Xt} ¨ar i verkligheten alltid begr¨ansad i antal, men kan antas vara o¨andlig, och kan d¨armed liknas med en stokastisk process.
2.2.1 Station¨ar tidsserie
Resultatet om svagt station¨ara stokastiska processer kan anv¨andas p˚a tidsserier. L˚at {Xt, t ∈ Z} vara en diskret tidsserie. Den ¨ar d˚a (svagt) station¨ar om
• Var(Xt) < ∞, ∀ t ∈ Z • µX(t) = µ, ∀ t ∈ Z
• γX(s, t) = γX(s + r, t + r), ∀ s, t, r ∈ Z
Svagt station¨ar kommer h¨adanefter ben¨amnas station¨ar d˚a strikt station¨aritet inte kommer ber¨oras i rapporten.
2.2.2 SACF & SACVF
En skattning av ACF:en och ACVF:en kallad Sample autocovariance function (SACVF) och Sample autocorrelation function (SACF) ges av
ˆ γ(h) = n X t=1 (xt+|h|− ¯x)(xt− ¯x) − n < h < n, ˆ ρ(h) = γ(h)ˆ ˆ γ(0), −n < h < n,
d¨ar ¯xt¨ar det aritmetiska medelv¨ardet av observationerna {x1, ..., xn} och h ¨ar lagen.
2.2.3 PACF
Om {Xt, t ∈ Z} ¨ar en station¨ar tidsserie med v¨antev¨arde noll ¨ar den partiella autokorrelationsfunktionen (PACF) definierad av
α(0) = 1, α(h) = φh,h, h ≥ 1 d¨ar φh,h¨ar det sista elementet i φh= Γ−1h γh,
Γh= [γ(i − j)]hi,j=1 och γh= [γ(1), γ(2), . . . , γ(h)]T.
Detta kan ses som autokorrelationen mellan tv˚a variabler Xt och Xt+h, men med det linj¨ara beroendet av Xt p˚a Xt+1till Xt+h−1borttaget.
2.3
Modellering med tidsserier
Det f¨orsta steget i en till¨ampning av tidsserieanalys ¨ar att plotta datanx1, . . . , xn
f¨or en given tidsserie Xt . Om uppenbara diskontinuiteter observeras i gra-fen kan analysen underl¨attas genom att datan delas upp i homogena segment. Grafens huvudsakliga karakt¨arsdrag unders¨oks och s¨arskilt huruvida det finns en trend eller en s¨asongsberoende komponent. Trend- och s¨asongskomponenten elimineras f¨or att f˚a en station¨ar serie vars v¨arden kallas residualer. Trend och s¨asongsberoende kan avl¨agsnas via olika metoder som kommer f¨orklaras mer
ing˚aende nedan. M˚alet med dessa metoder ¨ar att producera en station¨ar tids-serie. N¨ar detta uppn˚atts anpassas residualerna mot en process avsedd att mo-dellera residualernas beroende. Prognostisering av den ursprungliga tidsserien uppn˚as genom att residualerna prognostiseras och de ovan n¨amnda transforma-tionerna inverteras vilket resulterar i en prognos av den ursprungliga tidsserien.
2.4
F¨
orbehandling av data
Som tidigare n¨amnt m˚aste en tidsserie vara station¨ar f¨or att modellernas an-taganden ska upfyllas, det kr¨avs d¨armed viss f¨orbehandling av data. Nedan kommer de mest tradiotionella metoderna att presenteras och f¨orklaras. 2.4.1 Klassisk komponentuppdelning
Den klasssiska komponentuppdelningsmodellen beskrivs matematiskt som Xt= mt+ st+ Yt t = 1, . . . , n E[Yt] = 0, st+d= st, d X j=1 sj= 0
d¨ar Xt ¨ar oberverad datapunkt vid tidssteget t, mt ¨ar en l˚angsamt skiftande funktion k¨and som en trendkomponent, st¨ar en funktion med en k¨and period d refererad som en s¨asongskomponent, Yt¨ar en stokastisk komponent som tillh¨or en station¨ar stokastisk process och n ¨ar antal observationer. F¨or att estimera den s¨asongsberoende komponenten anv¨ands ett glidande medelv¨ardesfilter f¨or att skatta trenden. D˚a perioden d ¨ar j¨amn estimeras trenden till
ˆ
mt= (0.5xt−q+ xt − q + 1 + · · · + xt+q−1+ 0.5xt+q)/d, q < t ≤ n − q, 2q = d
Den s¨asongsberoende komponenten sk estimeras s˚a att ˆ sk= wk− d−1s d X i=1 wi, k = 1, . . . , d,
d¨ar wk ¨ar medelv¨ardet av avvikelsen
(xk+jd), q < k + jd ≤ n − q
k = 1, . . . , d, och ˆsk= ˆsk−d, k > d.
Sedan omdefinieras tidsserien s˚a att den s¨asongsberoende komponenten ¨ar bort-tagen
dt= xt− ˆst, t = 1, . . . , n.
d¨ar dt¨ar den nya tidsserien. Slutligen ˚aterestimeras trendkomponenten ˆm fr˚an dt med en minsta-kvadratregression, exempelvis med ett polynom av l¨amplig grad. Den estimerade station¨ara tidserien f˚as sedan av
ˆ
2.4.2 Differentiering
Vid differensiering introduceras en lag-d-operator ∇dd¨ar d ¨ar den s¨asongsberoende komponentens period. ∇d definieras av
∇dXt= Xt− Xt−d= (1 − Bd)Xt, d¨ar B ¨ar bak˚at-skift-operatorn.
BaXt= Xt−a, a = 0, 1, 2, . . . . N¨ar ∇d appliceras till modellen
Xt= mt+ st+ Yt, d¨ar sthar perioden d, uppn˚as
∇dXt= mt− mt−d+ Yt− Yt−d
vilket ger en uppdelning av differensen ∇dXti en trendkomponent (mt− mt−d) och en stokastisk komponent (Yt− Yt−d). Trenden i den resterande serien ∇dXt kan elimineras genom att anv¨anda ∇, eller ∇k= (1 − B)ki l¨amplig grad f¨or att skapa en station¨ar tidsserie [Brockwell & Davis, 2002].
2.4.3 Harmonisk regression
Ett annat s¨att att eliminera s¨asongsberoendet ¨ar att g¨ora en harmonisk regres-sion. Med det menas att tidsserien minstakvadratanpassas till en summa trigo-nometriska funktioner. F¨orst elimineras trenden genom klassik polynomregres-sion av l¨amplig grad. Den harmoniska regressionen som appliceras p˚a residua-lerna fr˚an polynomregressionen kan d˚a beskrivas som
st= k X
j=1
(ajcos(λjt) + bjsin(λjt)), st= st−d
d¨ar λj ¨ar fixa frekvenser som ges av λj = 2πn/d, (n = 1, 2, 3 . . . ), och d ¨ar den uppskattade periodiciteten i tidsserien [Brockwell & Davis, 2002].
2.5
IID-test
Det finns flera test f¨or att testa huruvida en serie observationer av stokastiska variabler ¨ar oberoende och likaf¨ordelade (IID). De mest praktiska presenteras nedan, d¨ar de har en gemensam nollhypotes, H0: ’serien ¨ar IID’.
2.5.1 Ljung-Box
Detta test bygger p˚a hur m˚anga av observationerna som ligger i konfidensinter-vallet f¨or SACF:en. Testvariablen ¨ar
QLB= n(n + 2) h X j=1 ˆ ρ2(j) n − j, och vid konfidensniv˚an α ¨ar testet QLB> χ2
2.5.2 Turning Point
Detta test handlar om hur en serie stokastiska variabler skiftar storleksordning mellan observsationer. Om vi l˚ater {x1, . . . , xn} vara en serie observationer s˚a ¨
ar i en v¨andpunkt om xi−1 > xi och xi+1 > xi, alternativt xi−1 < xi och xi+1 < xi. Om T ¨ar antalet v¨andpunkter s˚a kan testvariablen approximativt beskrivas f¨or stota n som
|T − µT| σT > Φ1−α/2, µT = E[T ] = 2(n − 2) 3 , σ 2 T = Var[T ] = 16n − 29 90 d¨ar α ¨ar konfidensniv˚an och Φ ¨ar standardnormalf¨ordelningsfunktionen. 2.5.3 Difference-sign
Detta test testar huruvida det finns en trend i en serie. Om {x1, . . . , xn} ¨ar observationer s˚a r¨aknas antalet S observationer som uppfyller xi > xi−1. Test-variabeln beskrivs approximativt f¨or stora n som
|S − µS| σS > Φ1−α/2, µS= E[S] = n − 1 2 , σ 2 S= Var[S] = 16n − 29 90 d¨ar α ¨ar konfidensniv˚an och Φ ¨ar standardnormalf¨ordelningsfunktionen. 2.5.4 Rank
Detta test unders¨oker om det finns linj¨ara trender i observationerna. Om P ¨ar antalet par (i, j) s˚a att xj > xi och j > i s˚a kan testvariablen approximativt beskrivas f¨or stora n som
|S − µS| σS > Φ1−α/2, µT = E[T ] = n(n − 1) 4 , σ 2 T = Var[T ] = n(n − 1)(2n + 5) 72
d¨ar α ¨ar konfidensniv˚an och Φ ¨ar standardnormalf¨ordelningsfunktionen [Brockwell & Davis, 2002].
2.6
Modeller f¨
or tidsserier
Det finns ˚atskilliga modeller f¨or tidsserier, men i arbetet kommer endast AR-, MA- och ARMA-modellen att behandlas.
2.6.1 Vitt brus
Modellerna som presenteras nedan bygger p˚a att tidserien reduceras till vad som kallas vitt brus. Om en serie {Xt, t ∈ Z} har egenskaperna
E[Xt] = µ och γX(h) = (
σ2 om h = 0 0 om h 6= 0
2.6.2 AR-modellen
En process {Xt, t ∈ Z} kallas f¨or en autoregressiv process av ordningen p, AR(p), om processen ¨ar station¨ar och
Xt− φ1Xt−1− . . . − φpXt−p= Zt, {Zt} ∼ WN(0, σ2).
Processen ¨ar allts˚a linj¨art beroende av tidigare observationer [Grandell, 2015]. 2.6.3 MA-modellen
En process {Xt, t ∈ Z} kallas f¨or en Moving Average-process av ordningen q, MA(q), om processen ¨ar station¨ar och
Xt= Zt+ θ1Zt−1+ . . . + θqZt−q, {Zt} ∼ WN(0, σ2).
Till skillnad fr˚an AR-modellen ¨ar MA-modellen inte beroende av tidigare ob-servationer, utan residualerna fr˚an tidigare observationer [Grandell, 2015]. 2.6.4 ARMA-modellen
ARMA-modellen kan ses som kombinationen av AR- och MA-modellen. En process {Xt, t ∈ Z} ¨ar en ARMA(p, q)-process om den ¨ar station¨ar och
Xt− φ1Xt−1− . . . − φpXt−p= Zt+ θ1Zt−1+ . . . + θqZt−q, {Zt} ∼ WN(0, σ2).
2.7
MLE
F¨or att skatta vektorparametrarna φ = (φ1, . . . , φp) och θ = (θ1, . . . , θq), givet fixa p och q anv¨ands normalt Maximum Likelihood Estimation (MLE). Under antagandet att processen ¨ar Guassian, d.v.s. att alla linj¨arkombinationer av ob-servationer har en gemensam normalf¨ordelning, definieras likelihoodfunktionen f¨or en ARMA-process som L(φ, θ, σ2) = q 1 2πσ2n r0· · · rn−1 exp − 1 2σ2 n X j=1 Xj− ˆXj2 rj−1 , = L(φ, θ, σ2) = q 1 2πσ2nr0· · · rn−1 exp S φ, θ 2σ2
d¨ar (Xj − ˆXj) ¨ar innovationerna fr˚an innovations-algoritmen som ocks˚a ger r0, . . . , rn−1. Liklihoodfunktionen maximeras sedan f¨or att hitta parametrarna som med st¨orst sannolikhet beskriver datan. Optimeringen av L(φ, θ, σ2) ¨ar komplicerad och sker numeriskt [Brockwell & Davis, 2002].
2.7.1 AICC
Akaike Information Criterion with bias Correction (AICC) ¨ar ett approxima-tivt m˚att p˚a informationsf¨orlusten i en till¨ampad modell. I sammanhanget f¨or ARMA-modellen s˚a definineras AICC som
AICC = −2lnL(φ, θ,S(φ, θ) n ) + 2
(p + q + 1)n n − p − q − 2
Modellspecifikationen, d.v.s. kombinationen av p, q, φ och θ som har det minsta v¨ardet p˚a AICC kan approximativt ses som modellen som med st¨orst sannolikhet minimerar informationsf¨orlusten [Grandell, 2015].
3
Teoretisk bakgrund inom industriell ekonomi
3.1
Kapacitetsplanering
3.1.1 P˚averkande faktorer
Kapacitet i f¨oretagssammanhang kan definieras som den maximala takten ett system kan producera enheter. Kapacitetsplanering har blivit allt viktigare p˚a grund av de ekonomiska f¨ordelarna f¨or f¨oretag att effektivt planera sin kapacitet inom materialbehovsplanering och andra informationssystem. Otillr¨acklig kapa-citet kan snabbt leda till f¨ors¨amrad leveranss¨akerhet, on¨odig ¨okning av of¨ardigt arbete (work-in-progress) och skapa frustration bland anst¨allda d˚a arbetsb¨ordan blir f¨or stor. Emellertid b¨or f¨oretag undvika ¨overkapacitet eftersom det leder till on¨odiga kostnader i form av personalkostnader och lagerh˚allning samt inl˚asning av kapital. Of¨orm˚aga att h˚alla l¨amplig kapacitetsniv˚a ¨ar ett hinder f¨or f¨oretag att uppn˚a sin maximala l¨onsamhet [Inman, 2015].
En metod f¨or kapacitetsplanering ¨ar att utifr˚an ¨overgripande faktorer uppskatta n¨odv¨andig kapacitet. [Jonsson & Mattsson, 2002] Exempel p˚a dessa ¨ar
• Ledtider
· Hur l˚anga ledtider f¨oretaget har, om de kan minskas och i s˚a fall var i produktionskedjan de kan minskas
• Tillg¨anglig teknologi
· Ny teknologi kan g¨ora det m¨ojligt att ¨oka kapacitet, exempelvis med mer effektiva maskiner
• Mellan- och l˚angsiktiga prognoser · Trov¨ardigheten av prognoser avv¨ags • Kostnaden av kapacitet
· Kostnaden av ¨okad kapacitet v¨ags mot vinsten f¨or¨andrad kapacitet kan ge
• Storleken av kapacitets¨okning
· Storleken av n¨odv¨andig kapacitet bed¨oms, vilken typ av kapacitet beh¨ovs och var kapaciteten beh¨ovs
3.1.2 CRP
CRP (Capacity Requirements Planning) ¨ar en metod som anv¨ands f¨or att bed¨oma den tillg¨angliga produktionskapaciteten f¨or ett f¨oretag. CRP och ¨overgripande faktorer ¨ar de tv˚a vanligaste kapacitetsplaneringsmetoderna bland svenska pro-duktionsf¨oretag [Jonsson & Mattsson, 2002]. CPR uppskattar f¨orst det plane-rade produktionsschemat ett f¨oretag best¨amt. Sedan analyserar f¨oretaget sin verkliga produktionskapacitet och v¨ager de tv˚a mot varandra f¨or att avg¨ora om produktionsschemat kan genomf¨oras med den befintliga produktionskapacite-ten. Givet att de tv˚a inte ¨overst¨ammer kan f¨oretaget antingen ¨oka eller minska kapacitet via omf¨ordelning av resurser.
3.1.3 Kapacitetsplaneringens omfattning
Kortsiktig kapacitetsplanering relaterar till mindre fr˚agor om schemal¨aggning, deltidsanst¨allningar, ¨overtid och liknande. Dessa beslut avgr¨ansas till en tids-skala p˚a veckor eller dagar och avgr¨ansas till avdelningar inom f¨oretag. Start-punkten f¨or beslutsfattning sker till f¨oljd av nuvarande efterfr˚aga och kapacitet. [Angelis, 2013]
Mellansiktig kapacitetsplanering r¨or beslut g¨allande antal anst¨allda och omfatt-ningen av underleverant¨orsavtalade resurser. Tidsavgr¨ansningen f¨or dessa ¨ar ofta veckor eller m˚anader och g¨aller hela f¨oretaget. Beslutsunderlag f¨or denna typ av planering ¨ar marknadsprognoser och befintliga kapacitetsbegr¨ansningar. M˚alet med mellansiktig kapacitetsplanering ¨ar att hantera f¨orv¨antade fluktua-tioner i efterfr˚agan kostnadseffektivt. [Angelis, 2013]
L˚angsiktig kapacitetsplanering syftar prim¨art till omfattande strategiska fr˚agor som r¨or ett f¨oretags st¨orre produktionsanl¨aggningar s˚asom lokaler och teknolo-gi. Tidskalan f¨or denna typ av beslut str¨acker sig ¨over flera m˚anader eller ˚ar. Startpunkten f¨or beslut baseras p˚a vilka framtida sannolika marknader f¨oretaget kan expandera p˚a och nuvarande kapacitetskonfiguration. L˚angsiktig kapacitets-planering kan ¨aven utvecklas av att kortsiktiga kapacitetsplaneringsl¨osningar ¨ar otillr¨ackliga, exempelvis n¨ar ¨okad kapacitet i mindre former ¨ar otillr¨ackligt och t.ex. en ny fabrik eller nytt produktionssystem ¨ar n¨odv¨andigt f¨or att uppn˚a ¨
onskad kapacitet. [Angelis, 2013] 3.1.4 Fluktuationer i efterfr˚agan
Det finns tre generella attityder till fluktuationer i efterfr˚agan. Dessa ¨ar level capacity, chase demand och manage demand. Vid level capacity h˚alls en kon-stant kapacitet oberoende av hur efterfr˚agan ¨andras och det f¨orh˚allningss¨attet anv¨ands n¨ar f¨oretag vill undvika kostnader som uppst˚ar vid kapacitets¨andringar. Chase demand inneb¨ar att f¨oretagets produktion anpassas f¨or att motsvara ef-terfr˚agan. Manage demand g˚ar ut p˚a att f¨oretaget f¨ors¨oker d¨ampa fluktuationer i efterfr˚agan genom prisstrategier, marknadsf¨oring m.fl. [Angelis, 2013]
3.1.5 Strategier f¨or kapacitetsplanering
D˚a ett f¨oretag har attityden, chase demand, finns det tre konkreta strategier f¨or hur kapacitet b¨or planeras. Dessa ¨ar lead -strategin, lag-strategin och match-strategin. Lead -strategin g˚ar ut p˚a att ¨oka kapacitet med f¨orv¨antningen att efterfr˚agan kommer ¨oka. Det ¨ar en aggressiv strategi med m˚alet att locka kun-der fr˚an konkurrenter genom att erbjuda b¨attre ledtider och service. Strategin ¨
amnar ¨aven att undvika alternativkostnader som uppst˚ar d˚a f¨oretag produce-rar p˚a full kapacitet och m˚aste neka nya kunder. Stor kapacitet beh¨over inte n¨odv¨andigtvis leda till st¨orre lager men det kan leda till on¨odiga kostnader om verklig efterfr˚agan ¨ar l¨agre ¨an f¨orv¨antad. Vid lag-strategin ¨okas kapacitet endast n¨ar f¨oretag producerar p˚a full kapacitet p˚a grund av ¨okad efterfr˚agan. Denna strategi ¨ar mer konservativ och minskar d¨armed risken f¨or oanv¨and kapacitet. Dock ¨okar risken f¨or l¨angre ledtider och f¨orlorade kunder. Match-strategin ¨ar en strategi som jobbar mer kortsiktigt och ¨andrar kapacitet i mindre doser i
respons till hur efterfr˚agan f¨or¨andras. Denna metod ¨ar beroende av prognoser som underlag f¨or att kunna f¨olja efterfr˚agan. [Angelis, 2013]
4
Metodik
4.1
Initial dataanalys
Inledningsvis gjordes en simpel analys av datan f¨or att unders¨oka huruvida det fanns n˚agon uppenbar struktur i tidsserien. Ett tydligt beroende skulle ge indi-kationer p˚a vilken typ av f¨orbehandling av datan som kr¨avs innan tidsseriemo-dellerna kunde appliceras. Figur 1 visar p˚a att det sannolikt finns ett periodiskt beteenede och m¨ojligtvis en mer l˚angsiktigt skiftande trend.
Figur 1: Obehandlad data f¨or f¨ors¨aljning av bilar p˚a andrahandsmarknaden 2000-2015.
Ett ytterliggare verktyg som anv¨andes f¨or att unders¨oka datans underliggande struktur var SACF:en. En tydlig periodicitet i grafen till SACF:en betyder att det fanns ett periodiskt beroende mellan observationerna i tidsserien. Figur 2 visar tydligt att det fanns ett periodiskt beroende med perioden d = 12 som beh¨ovde elimineras. Vidare ¨ar grafen avtagande vilket inneb¨ar att det fanns en trendkomponent i observationerna som ocks˚a beh¨ovde elimineras.
Figur 2: Den skattade autokorrelationsfunktionen f¨or obehandlad data med approx-imativt konfidensintervall (α = 0.05).
4.2
Eliminering av trend- och s¨
asongsberoende
Trend- och s¨asongsvariationer eliminerades fr˚an den givna datan via tre olika metoder. Dessa var klassisk komponentuppdelning, differentiering och harmo-nisk regression, vilka finns beskrivna i detalj i tidigare avsnitt. Parametrarna i metoderna, det vill s¨aga perioden till de harmoniska funktionerna, lag och po-lynomgrad valdes konservativt f¨or att stabilisera utr¨akningarna i s˚a h¨og grad som m¨ojligt. Notera att datan som anv¨andes h¨ar endast ¨ar fr˚an 2000-2014.
Figur 3: Residualer efter klassisk komponentuppdelning med d = 12 och polynomre-gression av ordning 3.
En ockul¨ar besiktning av figur 3, 4 och 5 indikerade att det fanns ett beroende av residualerna vilket antydde att en eventuell tidsseriemodell kunde appliceras,
d˚a serien med stor sannolikhet inte var vitt brus efter f¨orbehandlingen av data.
Figur 4: Residualer efter differentiering med ∇12och ∇.
Figur 5: Residualer efter harmonisk regression med perioderna {24,12,6,4} och poly-nomregression av ordning 3.
Statistiska tester utf¨ordes p˚a residualerna efter f¨orbehandlingen f¨or att un-ders¨oka huruvida de var IDD. Tabell 1 visar p˚a att alla tre residualserier inte ¨ar IDD d˚a Ljung-Box-testet f¨orkastade nollhypotesen f¨or samtliga av f¨orbehandlingarna av data. Allts˚a var det rimligt att anta att det fanns ett beroende mellan resi-dualerna som eventuellt kunde modelleras med en tidsseriemodell.
4.3
Modellering med tidsserier
Efter f¨orbehandlingen av data unders¨oktes varje metods ACF och PACF f¨or att eventuellt hitta n˚agra uppenbara m¨onster. En renodlad MA-process eller
AR-F¨orbehandling Test F¨ordelning Testvariabel p-v¨arde Klassisk komponentuppdelning Ljung-Box χ2(20) 102.44 0
Turning point (T − 118.7)/5.6 118 0.9057 Diff-sign (S − 89.5)/5.6 84 0.1567 Rank (P − 8055)/404.2 8239 0.6489 Differentiering Ljung-Box χ2(20) 115.99 0 Turning point (T − 110)/5.4 108 0.7121 Diff-sign (S − 83)/3.7 85 0.593 Rank (P − 6930.5)/361.3 6987 0.8757
Harmonisk regression Ljung-Box χ2(20) 93.82 0
Turning Point (T − 118.7)/5.6 130 0.044 Diff-sign (S − 89.5)/5.6 85 0.2466
Rank (P − 8055)/404.2 7999 0.8898
Tabell 1: Statistiska test f¨or att unders¨oka om residualerna ¨ar IDD.
process har tydliga karakt¨arsdrag i sin ACF och PACF. En AR(p)-process har en ACF som exponentiellt r¨or sig mot noll, och en PACF som blir noll efter lag p. En MA(q)-process har motsatta egenskaper, med en ACF som blir noll efter lag-q och en PACF som g˚ar exponentiellt mot noll [Brockwell & Davis, 2002]. Figur 6, 7 och 8 visar de skattade ACF och PACF:erna. En ockul¨ar besiktning av graferna visade p˚a att det sannolikt inte fanns n˚agon renodlad AR- eller MA-process d˚a de inte utan tvivel visar p˚a de associerade egenskaperna. Figur 6 visar att residualerna fr˚an klassisk komponentuppdelning m¨ojligtvis kunde vara en AR(5)-process. Figur 7 indikerar att det den differentierade serien kun-de eventuellt vara en MA(12). Residualerna fr˚an den hamoniska regressionen i figur 8 visar en ACF och PACF som ¨ar sv˚artolkade, dock fanns det intressant beteende kring lag-12.
D˚a ovanst˚aende metod inte gav ett tillfredst¨allande resultat anv¨andes ist¨allet ett mer systematiskt s¨att f¨or best¨amma modell och dess ordning. Samtliga modell-specifikationer av AR, MA och ARMA testades inom ett visst intervall (1:12). Detta f¨or att ett beroende med stor sannolikhet var periodiskt med d = 12. F¨or varje enskild specifikation estimerades parametrarna φ och θ givet p, q och en residualupps¨attning med MLE. Ett v¨arde p˚a AICC r¨aknades ut f¨or varje modell d¨ar den med l¨agst v¨arde valdes ut. Pseudokoden nedan illustrerar processen.
for i in 1:12 for j in 1:12 if AICC(ARMA(i,j)) < AICC(x) x = ARMA(i,j) end end end return x
Efter skattning av parametrarna simulerades ett utfall f¨or den givna processen ett ˚ar fram˚at (12 steg). Detta utfall transformerades sedan tillbaka med omv¨and metod gentemot respektive f¨orbehandling av data f¨or att f˚a en prognos. Pro-gnosen f¨or 2015 j¨amf¨ordes sedan med den verkliga datan f¨or 2015.
Figur 6: ACF och PACF efter klassisk komponentuppdelning med approximativt konfidensintervall (α = 0.05).
Figur 7: ACF och PACF efter differentiering med approximativt konfidensintervall (α = 0.05).
Figur 8: ACF och PACF efter harmonisk regression med approximativt konfidensin-tervall (α = 0.05).
5
Metodik industriell ekonomi
F¨or att genomf¨ora analysen av KVDs marknadsl¨age och kapacitetssituation anv¨andes intervju som verktyg f¨or datainsamling. Intervjun skedde med KVD Bilprisers VD och hade ett relativt strukturl¨ost format. Detta inneb¨ar att in-samlad data blev kvalitativ, d¨ar det ¨aven finns risk f¨or personlig partiskhet. Dock medf¨or det ocks˚a att datan blev mer nyanserad eftersom den sattes i en trov¨ardig kontext samt att intervjupersonen fick uttrycka sina personliga ˚asikter och erfarenheter.
Intervjun behandlade flera punkter d¨ar intervjupersonen fick tala fritt. Genom detta samlades information om bolagets syn p˚a prognosers betydelse f¨or orga-nisationen i sin helhet samt vilken bild av marknaden som prognostisering p˚a total bilf¨ors¨aljning ger. Det unders¨oktes ¨aven vilka kostnader som kan uppst˚a f¨or KVD n¨ar deras prognoser skiljer sig fr˚an verkligheten och hur de hanterar det. Intervjupersonen gav ¨aven inblick i hur f¨oretaget anv¨ande sig av prognoser f¨or att planera sin kapacitet inom tradingavdelningen.
Ut¨over det har ¨aven resultat fr˚an tidigare studier analyserats och j¨amf¨orts med KVD Bilprisers erfarenheter. Olika strategier inom kapacitetsplanering applice-rades och det unders¨oktes om de i kombination med prognostisering kan hj¨alpa KVD Bilpriser effektivisera sin verksamhet. Relationen mellan teori och verklig-het r¨orande prognostisering analyserades ¨aven f¨or att f¨orklara eventuella klyftor som kan t¨ankas finnas.
6
Resultat
Tabellerna nedan visar resultatet efter systematisk iterering av AR-, MA- och ARMA-modellerna, d¨ar specifikationen med l¨agst v¨arde p˚a AICC valdes f¨or samtliga upps¨attningar av residualer efter f¨orbehandlingen av data. Graferna nedan visar prognosen 12 m˚anader fram˚at f¨or bilf¨ors¨aljningen f¨or samtliga mo-dellspecifikationer som genererats och som presenterats i tabell 2. Dessa presen-teras med konfidensintervall, samt en naiv gissning. Med naiv gissning menas att prognosen g¨ors under antagandet att residualerna fr˚an f¨orbehandlningen av datan redan ¨ar vitt brus, och kan s˚aledes inte modelleras med en AR-, MA-, eller ARMA-process enligt teorin.
F¨orb ehandling Mo dell AICC σ 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Klassisk k omp. AR(5) 3420.6 9 .74 e 6 0.308 0.048 0.334 -0.194 0.164 -Konf.in t. ± 0 .143 ± 1 .149 ± 0 .144 ± 0 .154 ± 0 .150 -MA(6) 3420.9 9 .63 e 6 0.295 0.147 0.417 0.051 0.226 0.242 -Konf.in t. ± 0 .141 ± 0 .142 ± 0 .149 ± 0 .154 ± 0 .159 ± 0 .155 -ARMA(10,8) φ 3400.7 6 .73 e 6 -0.142 -0.100 0.884 -0.063 -0.230 0.351 0.432 0.390 -0.453 -0.276 -Konf.in t. φ ± 0 .268 ± 0 .243 ± 0 .187 ± 0 .346 ± 0 .397 ± 0 .265 ± 0 .210 ± 0 .235 ± 0 .161 ± 0 .1780 -ARMA(10,8) θ 0.569 0.460 -0.537 -0.122 0.418 -0.406 -0.443 -0.922 -Konf.in t. θ ± 0 .235 ± 0 .312 ± 0 .247 ± 0 .251 ± 0 .409 ± 0 .244 ± 0 .138 ± 0 .161 -Differen tiering AR(12) 3285.6 1 .71 e 7 -0.684 -0.604 -0.226 -0.283 -0.090 -0.051 -0.037 -0.155 -0.072 0.014 0.0315 -0.227 Konf.in t. ± 0 .148 ± 0 .180 ± 0 .203 ± 0 .205 ± 0 .209 ± 0 .209 ± 0 .208 ± 0 .207 ± 0 .204 ± 201 ± 0 .18 ± 0 .149 MA(12) 3267.3 1 .41 e 7 -0.594 -0.284 0.488 -0.435 0.088 0.611 -0.611 -0.185 0.440 -0.411 0.188 -0.294 Konf.in t ± 0 .185 ± 0 .184 ± 0 .234 ± 0 .230 ± 0 .205 ± 0 .217 ± 0 .202 ± 0 .188 ± 0 .260 ± 0 .246 ± 0 .173 ± 0 .211 ARMA(4,12) φ 3236.7 1 .07 e 7 -0.683 -0.708 -0.324 -0.278 -Konf.in t. φ ± 0 .186 ± 0 .209 ± 0 .224 ± 0 .205 -ARMA(4,12) θ 0.0571 0.140 0.0627 -0.109 -0.0289 -0.0605 -0.0889 0.0246 -0.0836 -0.0846 0.0815 -0.910 Konf.in t θ ± 0 .153 ± 0 .196 ± 0 .159 ± 0 .185 ± 0 .150 ± 0 .178 ± 0 .133 ± 0 .174 ± 0 .138 ± 0 .177 ± 0 .139 ± 0 .191 Harmonisk reg. AR(12) 3484.2 1 .24 e 7 0.031 0.284 0.259 -0.0748 0.0606 0.126 -0.094 -0.077 -0.0308 0.0809 -0.162 0.314 Konf.in t ± 0 .138 ± 0 .137 ± 0 .143 ± 0 .149 ± 0 .148 ± 0 .147 ± 0 .149 ± 0 .148 ± 0 .149 ± 0 .144 ± 0 .140 ± 0 .141 MA(12) 3484.4 1 .22 e 7 0.109 0.135 0.312 0.0490 0.094 0.172 0.0093 -0.0382 0.036 0.224 -0.182 0.464 Konf.in t ± 0 .168 ± 0 .151 ± 0 .179 ± 0 .163 ± 0 .155 ± 0 .151 ± 0 .156 ± 0 .166 ± 0 .143 ± 0 .164 ± 0 .167 ± 0 .199 ARMA(11,11) φ 3470.4 9 .25 e 6 -0.276 0.249 -0.123 -0.0784 0.699 0.674 0.047 0.0971 0.307 -0.114 -0.826 -Konf.in t. φ ± 0 .152 ± 0 .213 ± 0 .134 ± 0 .177 ± 0 .187 ± 0 .195 ± 0 .146 ± 0 .164 ± 0 .119 ± 0 .192 ± 0 .154 -ARMA(11,11) θ -0.276 0.249 -0.123 -0.078 0.699 0.674 0.0479 0.0971 0.307 -0.114 -0.826 -Konf.in t θ ± 0 .266 ± 0 .332 ± 0 .270 ± 0 .246 ± 0 .402 ± 0 .309 ± 0 .323 ± 0 .247 ± 0 .254 ± 0 .419 ± 0 .308 -T ab ell 2: Resultat a v systematisk iterering a v AR(0:12)-, M A(0:12)-o ch ARMA (1:12,1:12)-mo de ller f¨or sam tliga f¨orb ehandlingar a v data. σ 2 ¨ar den upp sk attade v ariansen f¨or det vita bruset. P arametrarna φ o ch θ presen teras tillsammans med appro ximativ a k onfidensin terv all (α = 0 .05).
AR(5) MA(6) ARMA(10,8) Tid Prognos L ¨agre gr ¨ans ¨ Ovre gr ¨ans Prognos L ¨agre gr ¨ans ¨ Ovre gr ¨ans Prognos L ¨agre gr ¨ans ¨ Ovre gr ¨ans V erkligt utfall 1 84671 78553 90788 84833 78749 90916 84133 79049 89218 82997 2 82135 75733 88537 81712 75368 88057 80937 75409 86465 80930 3 94720 88258 101182 94064 87656 100482 93899 88166 99632 96473 4 99047 92152 105943 98849 91956 105742 99690 93805 105575 98341 5 104968 98069 111867 104828 97928 111728 103882 97963 109801 101910 6 102171 95182 109160 101850 94814 108886 102186 95958 108413 102741 7 101034 93925 108143 101008 93819 111497 101491 95263 107718 107308 8 104657 97463 111687 104290 97102 114791 103783 97523 110043 100609 9 107918 100755 115081 107603 100415 117982 107283 101022 113543 105741 10 110800 103617 117983 110784 103595 103595 110057 104226 116827 109315 11 99396 92211 106582 99169 91981 91981 99218 92869 105568 96917 12 81065 73859 88272 80940 73751 73751 80954 74595 87314 80472 Kv adratfels-summa 8 .60 e 7 8 .35 e 7 6 .72 e 7 Relativt kv adratfel mot naiv prognos 1.00 0.980 0.789 T ab ell 3: Prognos inklusiv e k onfidensin terv all (α = 0 .05) 12 m ˚anader fram ˚at f¨or AR-, MA-, o ch ARMA-mo delle rna an passade efter resi dualerna fr ˚an klassisk k omp onen tupp delning. Kv adratfelssumman o ch det relativ a felet mot en naiv gissning utan tidsseriemo dell presen teras o cks ˚a.
AR(12) MA(12) ARMA(4,12) Tid Prognos L ¨agre gr ¨ans ¨ Ovre gr ¨ans Prognos L ¨agre gr ¨ans ¨ Ovre gr ¨ans Prognos L ¨agre gr ¨ans ¨ Ovre gr ¨ans V erkligt utfall 1 83470 75375 91566 83181 75816 90547 84470 78156 90784 82997 2 78894 70405 87383 79384 71437 87332 82063 75324 88802 80930 3 93958 85346 102570 94377 86380 102375 92931 86031 99831 96473 4 99912 90530 109294 98698 89528 107869 96947 89329 104565 98341 5 102545 92992 112097 102452 93193 111711 104002 96240 111763 101910 6 101576 91613 111539 102760 93301 112220 101718 93519 109917 102741 7 105364 94910 115818 103069 91625 114514 102893 94355 111431 107308 8 104207 93527 114887 102683 91076 114290 104653 96023 113283 100609 9 106925 96100 117749 108087 96466 119708 106654 97676 115632 105741 10 113180 102035 124325 110337 98106 122569 110222 101089 119355 109315 11 98135 86583 109687 96422 84166 108679 97770 88550 106990 96917 12 81118 69299 92937 80605 68158 93053 78603 69039 88168 80472 Kv adratfels-summa 4 .99 e 7 3 .63 e 7 6 .51 e 7 Relativt kv adratfel mot naiv prognos 0 .458 0.333 0.598 T ab ell 4: Prgonos inklusiv e k onfidensin terv all (α = 0 .05) 12 m ˚anader fram ˚at f¨or AR-, MA-, o ch ARMA-mo delle rna an passade efter resi dualerna fr ˚an differen tiering. Kv adratfelssumman o ch det relativ a felet mot en naiv gissning utan tidsseriemo dell presen teras o cks ˚a.
AR(12) MA(12) ARMA(11,11) Tid Prognos L ¨agre gr ¨ans ¨ Ovre gr ¨ans Prognos L ¨agre gr ¨ans ¨ Ovre gr ¨ans Prognos L ¨agre gr ¨ans ¨ Ovre gr ¨ans V erkligt utfall 1 77556 70606 84506 74417 67563 81270 79106 73144 85068 82997 2 77652 67669 87636 75330 65094 85567 78581 69458 87704 80930 3 96720 83175 110264 91047 77719 104375 97080 85261 108899 96473 4 93879 76382 111377 92518 75442 109594 97968 82588 113349 98341 5 101438 80642 122234 94677 74359 114994 105125 86669 123582 101910 6 102141 77767 126514 98895 75470 122319 105247 83893 126601 102741 7 100237 72107 128367 94049 67336 120762 102679 78101 127257 107308 8 102376 71001 133751 99658 69991 129324 105492 78243 132742 100609 9 106644 72103 141186 100956 68708 133205 109899 80128 139669 105741 10 109502 72044 146960 103582 68851 138313 112490 80261 144720 109315 11 94288 53997 134579 922998 54688 129908 99131 64864 133398 96917 12 81570 38933 124207 74475 34622 114329 85546 49455 121637 80472 Kv adratfels-summa 1 .08 e 8 5 .25 e 8 1 .41 e 8 Relativt kv adratfel mot naiv prognos 1 .13 4.82 1.29 T ab ell 5 : Prognos inklusiv e k onfide nsin terv all (α = 0 .05) 12 m ˚anader fram ˚at f¨or AR-,MA-o ch ARMA-mo dellerna an passade efter residualerna fr ˚an harmonisk reg ression. Kv adratfelssumman o ch det relativ a felet mot en naiv gissning utan tidsseriemo dell presen teras o cks ˚a.
Figur 9: Prognosen 12 m˚anader fram˚at efter klasisk komponentuppdelning. Streckade linjerna visar konfidensintervallen (α = 0.05). Visar ¨aven en naiv gissning d¨ar det antas att residualerna ¨ar vitt brus fr˚an b¨orjan.
Figur 10: Prognosen 12 m˚anader fram˚at efter differentiering. Streckade linjerna vi-sar konfidensintervallen (α = 0.05). Vivi-sar ¨aven en naiv gissning d¨ar det antas att residualerna ¨ar vitt brus fr˚an b¨orjan.
Figur 11: Prognosen 12 m˚anader fram˚at efter harmonisk regression. Streckade linjerna visar konfidensintervallen (α = 0.05). Visar ¨aven en naiv gissning d¨ar det antas att residualerna ¨ar vitt brus fr˚an b¨orjan.
7
Diskussion
7.1
Prediktion & precision
Resultatet av appliceringen av modeller f¨or tidsserier visar p˚a att precisionen i de applicerade modellerna ¨ar varierande. Konfidensintervallen f¨or prognoser-na ¨ar relativt stora vilket visas i figur 9, 10 och 11. Kvadratfelssummorna som presenteras i tabell 3, 4 och 5 indikerar ocks˚a att det finns tydliga skillnader i precision mellan modellerna. M¨arkbart ¨ar att st¨orst skilnad inte ¨ar mellan AR-, MA- eller ARMA- modellerna, utan ist¨allet mellan de olika f¨orbehandlingarna av data. Av modellerna som till¨ampades p˚a residualerna fr˚an klassisk kompo-nentuppdelning var ARMA(10,8) den b¨asta modellen, med b˚ade l¨agst AICC och det minsta kvadratfelet gentemot det verkliga utfallet av bilf¨ors¨aljninng fr˚an 2015. Intressant ¨ar att AR(5) och MA(6) inte var n¨amnv¨art b¨attre en den naiva gissningen som antar att residualerna ¨ar vitt brus fr˚an b¨orjan, trots bel¨agg som visar motsatsen i tabell 1.
Modellerna som applicerades p˚a residualerna fr˚an differentieringen visade p˚a de minsta kvadratfelen av alla f¨orbehandlingar. MA(12) genererade det minsta felet av dessa. N¨amnv¨art ¨ar att samtliga modeller som anv¨andes p˚a den diffe-rentierade serien var b¨attre ¨an den naiva gissningen, vilket indikerar att sj¨alva tidsseriemodelleringen och inte bara trend och s¨asongsskattningen var effektiv. Resultatet fr˚an modellerna som applicerades p˚a residualerna fr˚an harmonisk regression visar p˚a att tidsseriemodelleringen misslyckats. Samtliga visar p˚a ett s¨amre resultat ¨an den naiva gissningen. Dessa modeller genererade ocks˚a st¨orst konfidensintervall p˚a prognosen j¨amf¨ort med de tv˚a andra f¨orbehandlningarna av data.
I sin helhet visar resultaten p˚a att f¨orbehandlningen ¨ar av stor vikt vid modelle-ring av tiddserier f¨or f¨ors¨aljningen av bilar p˚a andrahandsmarknaden i Sverige. Differentiering verkar vara det b¨asta s¨attet att f¨orbehandla d˚a det b¨ast till˚ater en applicering av en ARMA-baserad modell. Anm¨arkningsv¨art ¨ar att flertalet modller hade ordning p, q = 12 vilket intuitivt ¨ar rimligt d˚a ett ˚arligt beroende var f¨orv¨antat.
7.2
Metodkritik & felk¨
allor
D˚a varje modellspecifikation anv¨ander sig av MLE f¨or att skatta parametrarna finns det felk¨allor kopplade till det. Sj¨alva parameterskattningarna, och konfi-densintervallen f¨or dessa och den faktiska prognosen bygger p˚a att residualerna ¨
ar normalf¨ordelade. Detta ¨ar dock ett relativt rimligt antagande i sammanhang-et. Vidare anv¨ands AICC som ett m˚att p˚a hur v¨al tidsseriemodellen anpassats till residulerna. Det l¨agsta v¨ardet p˚a AICC st¨amde ¨overrens med det l¨agsta kvadratfelet i alla fall utom tv˚a. AR(12) anpassad p˚a residualerna fr˚an harmo-nisk regression hade ett l¨agre kvadratfel j¨amf¨ort med ARMA(11,11), men med ett h¨ogre v¨arde p˚a AICC. Samma sak g¨aller ¨aven f¨or ARMA(4,12) och MA(12) applicerade p˚a den differentierade serien. Trots detta kan AICC ses som ett bra verktyg f¨or att bed¨oma modellernas l¨amplighet med resten av resultatet i ˚atanke. Det b¨or ocks˚a n¨amnas att MLE-skattnigen ¨ar k¨anslig f¨or st¨orningar och
d¨armed kr¨aver en bra startgissning f¨or att fungera optimalt.
Ett ytterliggare antagande som g¨ors ¨ar att residualerna fr˚an de tre f¨orbehandlingarna ¨
ar station¨ara. Figur 6-8 visar de skattade ACF PACF:erna f¨or dessa. Som sagt vi-sar de inte de enligt teorin karakteristiska egenskaperna f¨or en station¨ar tidsserie. D˚a AR-, MA- och ARMA-modellerna har station¨aritet som ett grundl¨aggande antagande m˚aste resultatet tolkas med f¨orsiktighet.
7.3
Framtida f¨
orb¨
attringar
Ett s¨att att rafinera modellerna som presenterats i resultet skulle vara att redu-cera dem. D˚a flera parametrar φioch θjhade ett konfidensintervall som inneh¨oll noll kan nollhypotesen H0 : φi = 0, θj = 0 inte f¨orkastas. Att fixera dessa pa-rametrar vid noll och sedan g¨ora om MLE-skattningen med samma ordning p˚a tidsseriemodellen skulle kunna generera ett b¨attre resultat med ett l¨agre v¨arde p˚a AICC d˚a en ¨overspecifikation straffas. Exempelvis har ARMA(4,12) koeffici-enter {θ1, . . . , θ11} som inte ¨ar signifikanta, och d¨armed kan modellen antagligen f¨orminskas, men fortfarande ha kvar θ12.
D˚a differentiering av data verkar vara det b¨asta s¨attet att skapa en station¨ar tidsserie, men den klassiska komponentuppdelningen gav den b¨asta naiva pro-gnosen finns det utrymme att kombinera dessa metoder f¨or en b¨attre f¨orbehandling av data. ARIMA-modellen kan ocks˚a j¨amf¨oras d˚a den i vissa fall kan ha b¨attre tr¨affs¨akerhet p˚a en ickestation¨ar-tidsserie med den inbyggda diffrentieringen. Vidare vore det intressant att unders¨oka huruvida det g˚ar att utt¨oka modellen med andra typer av prognoser, t.ex. konjunktursindex eller liknande. Givetvis b¨or det ocks˚a belysas att datam¨angden som anv¨ants ¨ar begr¨ansad och det ¨ar sv˚art att dra generella slutsatser utifr˚an resultatet. D¨arf¨or b¨or man vidare ana-lysera om likartat resultat kan uppn˚as p˚a liknande branscher eller marknader.
8
Diskussion industriell ekonomi
Kapacitetsplanering f¨or KVD ¨ar applicerbart p˚a f¨oretagets tradingavdelning, dvs. hur resurser och arbetskraft planeras [Bjorkman, 2016]. Som underlag f¨or den typen av kapacitetsplanering kr¨avs det dock att KVD Bilpriser prognosti-serar fram f¨orv¨antad efterfr˚agan. Detta g¨ors genom kvantitativa prognoser av total bilf¨ors¨aljning, likt de som tagits fram i denna rapport.
Kortsiktig kapacitetsplanering kan spela en viss roll f¨or KVDs arbete med kost-nadsminimering d˚a verklig efterfr˚agan inte motsvarar prognoserna. Detta antas dock vara undantagsfall d˚a tradinggruppens kapacitet klarar mindre prognosfel utan problem [Bjorkman, 2016]. I de fall d¨ar st¨orre prognosfel f¨orekommer b¨or dock ett etablerat system f¨or ¨overtid bland anst¨allda finnas f¨or att effektivt kunna hantera dessa.
L˚angsiktig kapacitetsplanering har utel¨amnats fr˚an rapporten eftersom tidsra-men den innefattar ligger utanf¨or rapportens omfattning.
Mellansiktig kapacitetsplanering har KVD dock st¨orre nytta av och b¨or utg˚a fr˚an 12-m˚anadersvisa prognoser av den orsaken att efterfr˚agan f¨oljer en tyd-lig ˚arlig cykel. Eftersom p˚alitliga prognoser ¨ar ett krav f¨or denna inriktning av kapacitetsplanering anses den vara den b¨ast l¨ampade f¨or KVD d˚a prognosen i denna rapport finns som underlag. Det b¨or n¨amnas att prognoserna framtag-na i denframtag-na rapport har m¨ojlighet att ligga till grund men det b¨or n¨amnas att dessa beh¨over vidareutvecklas och j¨amf¨oras med andra prognostiseringsmeto-der f¨or att s¨akerst¨alla prognosernas validitet. Flera typer av metoder med olika grader av tr¨affs¨akerhet och komplexitet anv¨ands f¨or att skapa en prognos. Dock h¨avdar [Sanders & Manrodt, 2003] att f¨oretag som anv¨ander sig av kvantitativa metoder har b¨attre tr¨affs¨akerhet ¨an motsvarande endast omd¨omesbaserade al-ternativ. Utvecklingen av prognostekniker g˚ar fram˚at, men det finns fortfarande ett kunskapsgap mellan den akademiska v¨arlden och det som sker i praktiken. Metoder som framtagits av forskare har i viss utstr¨ackning presterat b¨attre ¨
an industrins egenutvecklade tillv¨agag˚angss¨att [Syntetos et al. 2015]. Trots des-sa nya metoder och tekniker ¨ar det inte n¨odv¨andigtvis ett s¨akert recept p˚a framg˚ang. [Hughes, 2001] menar p˚a att det kan finnas motverkande faktorer i en organisation som hindrar prognosens m¨ojlighet att p˚averka i en beslutsfat-tande situation. P˚a sikt kan detta f˚a stora f¨oljder d˚a dagens prognoser st¨andigt f¨orb¨attras, vilket leder till informationsf¨orluster som ¨ar sv˚ara att ers¨atta. Den-na risk verkar dock vara relativt liten f¨or KVD d˚a f¨oretagets dotterbolag, KVD Bilpriser, g¨or kontinuerliga kvantitativa analyser med datahantering, prognosti-sering och liknande [Bjorkman, 2016].
Vidare unders¨okningar inom KVDs verksamhet, specifikt tradingavdelningen, ¨
ar n¨odv¨andiga f¨or att avg¨ora om f¨oretaget b¨or ha en level capacity- eller chase demand -attityd. Givet att KVD kan spara in p˚a kostnader s˚asom personalkost-nader vid efterfr˚agefluktuationer b¨or de adoptera en chase demand -attityd och anpassa antal arbetare efter den cykliska efterfr˚agan. Om det visar sig att det-ta inte st¨ammer b¨or de ha en level capacity-attityd d¨ar antalet arbetare h˚alls konstant. En change demand -attityd l¨ampar sig inte f¨or KVD d˚a det antas att
f¨oretagets roll som mellanhand inte ger n˚agon m¨ojlighet att p˚averka markna-dens efterfr˚aga betydelsefullt. Det antas troligast att KVD gynnas mest av en change demand -attityd d˚a den underl¨attas av prognoser.
F¨ordelarna som lead -strategin inneb¨ar gynnar inte KVD som redan ¨ar mark-nadsledande och beh¨over d¨arf¨or inte aggressivt vinna marknadsandelar. Mark-nadens cykliska efterfr˚agan ¨ar ¨aven ett hinder f¨or lead -strategin d˚a den f¨orespr˚akar en v¨axande expansion av kapacitet. Lag-strategin ¨ar d¨aremot f¨orsiktig och kan skapa missn¨oje hos kunder pga. l˚anga ledtider och d˚alig service under som-marm˚anaderna d˚a efterfr˚agan riskerar att ligga ¨over kapacitet. D˚a det redan rekommenderats att KVD anpassar sin produktion efter f¨orv¨antad efterfr˚aga b¨or de anv¨anda den mer moderata match-strategin. Det anses vara den mest naturliga strategin med tanke p˚a marknadens cykliska efterfr˚aga och det fak-tum att strategin ¨ar utformad s˚a att kapaciteten kontinuerligt anpassas efter efterfr˚agan.
Vidare kan ¨aven CRP kontinuerligt anv¨andas f¨or att kontrollera om f¨oretaget har kapacitet som motsvarar f¨orv¨antad efterfr˚aga. CRP ¨ar dock en metod som ofta anv¨ands vid komplexa system och det ¨ar m¨ojligt att kapacitetsplanering utifr˚an ¨overgripande faktorer ¨ar att f¨oredra d˚a den metoden ¨ar simplare och kr¨aver minimal data [Jonsson & Mattsson, 2002]. Denna avv¨agning l¨amnas till en eventuell framtida unders¨okning i KVDs verksamhet. KVD kan konkret med den simplare metoden unders¨oka om det ¨ar v¨art att exempelvis anlita extra personal under sommarm˚anaderna som ¨ar de mest intensiva. KVD skulle kunna anv¨anda sig av s¨asongsarbetare eller traineeplatser under den perioden. 8.0.1 Metodkritik och f¨orb¨attrningspotential
Den klassiska teorin f¨or kapacitetsplanering ¨ar likt flertal andra teorier f¨or stra-tegi egentligen anpassad f¨or ett renodlat produktionsbolag. D˚a KVD levererar en tj¨anst b¨or ett antal karakt¨arsdrag kopplade till tj¨anster tas i beaktning d˚a kapacitetsplanering till¨ampas. Tj¨anster ¨ar direkta och kan inte inventeras eller lagerh˚allas. K¨opare och s¨aljare interagerar i h¨ogre grad. Att etablera och m¨ata kapacitetsniv˚aer f¨or ett tj¨anstsystem ¨ar ofta en subjektiv och kvalitativ hand-ling. [Sasser, 1976] Detta skapar en viss os¨akerhet kring hur v¨al de f¨oreslagna strategier kan till¨ampas. F¨orsiktighet och vidare interna utv¨arderingar p˚a KVD rekommenderas innan strategierna appliceras i verksamheten.
Referenser
[Angelis, 2013] Angelis, Jannis Lecture Notes: Operations Strategy for I”KTH, Royal Institute of Technology, Department of Industrial engineering and management, (2013)
[Bjorkman, 2016] Bjorkman, Jonas, Intervju, (2016)
[Brockwell & Davis, 2002] Brockwell, Peter J. & Davis, Richard A, ”Introduc-tion to Time Series and Forecasting”Springer, (2002)
[Grandell, 2015] Grandell, Jan Time Series Analysis”KTH, Royal Institute of Technology, Department of Mathematics, (2015)
[Hughes, 2001] Hughes, M.C. Forecasting Practice: Organisational Issues”, The Journal of Operational Research Society, Palgrave Macmillian Journals, Vol.52. No.2. pp.143-149, (2001)
[Inman, 2015] Inman, R. Anthony ”Capacity planning”, reference for business, (2015)
[Jonsson & Mattsson, 2002] Jonsson, P. and Mattsson S-A, The use and appli-cability of capacity planning methods”, Production and Inventory Manage-ment Journal, Vol. 43, No. 3/4; pp. 89-95, (2002)
[Koski, 2014] Koski, Timo Lecture Notes: Probability and Random Processes at KTH”KTH, Royal Institute of Technology, Department of Mathematics, (2014)
[Sanders & Manrodt, 2003] Sanders, N.R., Manrodt, K.B. The Effficacy of Using Judgemental versus Quantitative Forecasting Methods in Practice”, Omega, Vol 31, Issue 6, pp. 511-522, (2003)
[Sasser, 1976] Sasser, W. Earl, Forecasting Practice: Organisational Issues”, Harvard Business Review, (1976)
[Syntetos et al. 2015] Syntetos, A.A., Babai, Z., Boylan, J.e., Kolassa, S., Ni-kolopoulus, K., Supply Chain Forecasting; Theory, Practice, Their Gap and the Future”, European Journal of Operational Research, Vol. 252, Issue 1, pp. 1-26, (2015)
TRITA -MAT-K 2016:04 ISRN -KTH/MAT/K--16/04--SE
